РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г.Ишиме
УТВЕРЖДАЮ
Директор филиала
______________ /Шилов С.П./
20.11.2014
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления подготовки 44.03.05 Педагогическое образование
профилей подготовки «Математика, информатика», «Математика, физика»
очной формы обучения
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ
от 20.11.2014
Содержание: УМК по дисциплине Математическая логика и теория алгоритмов для студентов
направления
подготовки
44.03.05
Педагогическое
образование
профилей
подготовки
«Математика, информатика», «Математика, физика» очной формы обучения
Автор(-ы): ассистент, Т.В. Павлова
Объем 21 стр.
Должность
Заведующий
кафедрой физикоматематических
дисциплин и
профессиональнотехнологического
образования
Председатель УМС
филиала ТюмГУ в
г.Ишиме
Начальник ОИБО
ФИО
Дата
согласования
Результат
согласования
Примечание
Мамонтова Т.С.
16.10.2014
Рекомендовано к
электронному
изданию
Протокол заседания
кафедры от
16.10.2014
№2
Поливаев А.Г.
11.11.2014
Согласовано
Протокол заседания
УМС от 11.11.2014
№3
Гудилова Л.Б.
20.11.2014
Согласовано
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г. Ишиме
Кафедра физико-математических дисциплин и профессионально-технологического образования
Павлова Т.В.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления подготовки 44.03.05 Педагогическое образование
профилей подготовки «Математика, информатика», «Математика, физика»
очной формы обучения
Тюменский государственный университет
2014
Павлова Т.В. Математическая логика и теория алгоритмов. Учебно-методический
комплекс. Рабочая программа для студентов направления подготовки 44.03.05 Педагогическое
образование профилей подготовки «Математика, информатика», «Математика, физика» очной
формы обучения. Тюмень, 2014, 21 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и
ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ Математическая логика
и теория алгоритмов [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.utmn.ru, раздел
«Образовательная деятельность», свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой физико-математических дисциплин и профессиональнотехнологического образования. Утверждено директором филиала ТюмГУ в г. Ишиме.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: к.п.н., доцент, зав. кафедрой ФМДиПТО Мамонтова Т.С.
Ф.И.О., ученая степень, звание заведующего кафедрой
© Тюменский государственный университет, филиал в г. Ишиме, 2014.
© Павлова Т.В., 2014.
Ф.И.О. автора
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа включает следующие разделы:
1.
Пояснительная записка.
1.1.
Цели и задачи дисциплины (модуля)
Цели освоения дисциплины:
 формирование систематических знаний в области математической логики, представлений о
проблемах оснований математики и роли математической логики в их решении.
Задачи освоения дисциплины:
- сформировать понимание основных понятий математической логики, ее связи с
усвоенными математическими понятиями из смежных дисциплин;
- доказать тесную связь основных разделов математики (математической логики) с другими
областями научного знания.
- развить представления об основных идеях и методах математической логики для изучения
и познания окружающей действительности;
- развить качества личности, необходимые для эффективной научной деятельности в
области математической логики.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Математическая логика и теория алгоритмов» в соответствии с Учебным
планом направления 44.03.05 Педагогическое образование профилей подготовки бакалавров
«Математика, информатика», «Математика, физика» относится к дисциплинам вариативной части
математического и естественнонаучного цикла. Для освоения дисциплины используются знания,
умения, профессиональные качества личности, сформированные в процессе изучения курса
математики в школе и вузе. Знания, умения и личностные качества будущего специалиста,
формируемые в процессе изучения дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов»,
будут использоваться в дальнейшем при освоении следующих дисциплин профессионального
цикла: «Методика обучения и воспитания (по профилю подготовки)», «Избранные вопросы
информатики», «Научные основы школьного курса математики». Курс «Математическая логика и
теория алгоритмов» предназначен для профессионального самообразования и личностного роста
студентов – будущих педагогов, проектирования их дальнейшего образовательного маршрута и
профессиональной карьеры.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими)
дисциплинами
№
Темы дисциплины необходимые
п/п Наименование обеспечиваемых (последующих)
для изучения обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
дисциплин
1
2
3
1. Методика обучения и воспитания (по профилю
+
+
+
подготовки)
2. Избранные вопросы информатики
+
+
+
3. Научные основы школьного курса математики
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
 способностью использовать естественнонаучные и математические знания для
ориентирования в современном информационном пространстве (ОК-3);
 способностью использовать современные методы и технологии обучения и
диагностики (ПК-2);
 готовностью использовать систематизированные теоретические и практические знания
для постановки и решения исследовательских задач в области образования (ПК-11).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате изучение дисциплины студент должен:
знать:
- приемы анализа и обобщения информации по дисциплине;
- основные методы, способы и средства получения, хранения и переработки информации по
дисциплине;
- основные правила устной и письменной математической речи;
- особенности эффективного внутригруппового и межгруппового межличностного
взаимодействия в ходе изучения дисциплины;
- законы логической равносильности;
- компоненты (аксиомы и правила вывода) и характеристики (свойства) исчислений
высказываний и важнейших теорий первого порядка;
- результаты о непротиворечивости и независимости в арифметике и теории множеств;
- методы математической логики для изучения математических доказательств;
- общую структуру математического знания, взаимосвязь между различными математическими
дисциплинами;
- основные знаки, символы, обозначения, сокращения математической логики;
- приемы построения математических моделей для решения практических проблем;
- роль и место математики в системе наук, значение математической науки для решения задач,
возникающих в теории и практике, общекультурное значение математики.
уметь:
- использовать рациональные способы получения, преобразования, систематизации, хранения
информации по дисциплине;
- наладить эффективное взаимодействие с однокурсниками в процессе изучения дисциплины;
- распознавать тождественно истинные (простейшие общезначимые) формулы языка логики
высказываний (предикатов);
- строить простейшие выводы (в виде дерева) в исчислениях высказываний и использовать эти
модели для объяснения сути и строения математических доказательств;
- доказывать рекурсивность простейших арифметических функций, предикатов и множеств;
- реализовывать основные методы математических рассуждений на основе общих методов
научного исследования и опыта решения учебных и научных проблем;
- пользоваться языком математики, корректно выражать и аргументированно обосновывать
имеющиеся знания по дисциплине;
владеть:
- способностью к обобщению, анализу, восприятию информации по дисциплине;
- культурой математической речи;
- навыками работы со всевозможными источниками информации по дисциплине;
- техникой равносильных преобразований логических формул;
- методами распознавания тождественно истинных формул и равносильных формул;
- дедуктивным аппаратом изучаемых логических исчислений;
- математикой как универсальным языком науки, средством моделирования явлений и
процессов;
- пониманием универсального характера законов логики математических рассуждений, их
применимости в различных областях человеческой деятельности.
приобрести опыт:
- применения средств языка логики предикатов для записи и анализа математических
предложений;
- построения математических моделей для решения различных практических проблем;
- применения законов логики математических рассуждений в смежных образовательных
областях.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 5 Форма промежуточной аттестации (зачет, экзамен) экзамен. Общая
трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы, 108 академических часов, из них 72
часа, выделенных на контактную работу с преподавателем, 36 часов, выделенных на
самостоятельную работу.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Всего
Семестры
часов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Контактная работа:
72
72
Аудиторные занятия (всего)
36
36
В том числе:
Лекции
16
16
Практические занятия (ПЗ)
20
20
Семинары (С)
Лабораторные занятия (ЛЗ)
Иные виды работ:
Самостоятельная работа (всего):
36
36
Общая трудоемкость
зач. ед.
3
3
час
108
108
Вид промежуточной аттестации Экза
экз
(зачет, экзамен)
мен
3. Тематический план
Таблица 3.
Семестр 5
Итого
часов
по
теме
1
2
3
1.1.
Логика
высказываний.
Булевы функции.
Исчисление
высказываний.
Всего*
1-8
4
5
7
8
Модуль 1 Логика высказываний
8
8
24
40
Логика
предикатов.
Формализованные
математические
теории.
9-13
8
8
24
40
Модуль 2 Логика предикатов
5
8
24
37
2.1.
Из них в
интерактивной
форме
Итого
количество
баллов
9
10
8
0 – 40
8
0 – 40
4
0 – 30
Самостоятельная
работа*
Лекции
Тема
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
Лабораторные работы
недели
семестра
Семинарские
(практические) занятия
№
Всего*
3.1.
Частично
рекурсивные
функции и
Машина
Тьюринга
Всего*
Итого (часов,
баллов) *
Из них часов в
интерактивной
форме
14-18
5
8
24
37
Модуль 3 Теория алгоритмов
3
4
24
31
3
16
4
20
10
6
24
72
31
108
4
0 – 30
4
0 – 30
4
16
0 – 30
0 – 100
16
*- если предусмотрены учебным планом ОП.
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
Итого количество
баллов
Информационные
системы
и
технологии
другие формы
Технические
формы
контроля
программы
компьютерног
о тестирования
реферат
Письменные работы
Самостоятельн
ая работа
Устный опрос
Теоретический
ответ на
занятии
Самостоятельное решение
задачи у доски
Домашняя
работа
№
Темы
комплексные
ситуационные
задания
Семестр 5
Модуль 1 Логика высказываний
1.1.
Всего
0-6
0-6
0-6
0-6
0-6
0-6
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-30
0-30
0-2
0-2
0-20
0-30
0-4
0-4
0-10
0-40
0-40
0-100
Модуль 2 Логика предикатов
2.1.
Всего
0-6
0-6
0-10
0-10
Модуль 3 Теория алгоритмов
3.1.
Всего
Итого
0-5
0-5
0-15
0-5
0-5
0-15
0-10
0-10
0-20
0-10
0-10
0-20
0-10
0-6
0-6
0-10
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1. Логика высказываний
Логика высказывания. Логические операции над высказываниями. Язык логики
высказываний, формулы. Истинностные значения формул. Равносильность. Равносильные
преобразования формул. Представление истинностных функций формулами. Тавтологии – законы
логики.
Функции алгебры логики. Существенные и несущественные переменные. Формулы.
Представление функций формулами. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма.
Принципы построения исчислений высказываний. Классическое и конструктивное
(интуиционистское) исчисления. Аксиомы, правила вывода. Доказуемость формул. Выводимость
из гипотез. Производные правила. Теорема дедукции. Характеристики исчислений высказываний
– непротиворечивость, полнота, разрешимость и связанные с ними теоремы. Независимость
аксиом, правил вывода.
Модуль 2. Логика предикатов
Логика предикатов. Предикаты и кванторы. Язык логики предикатов. Термы и формулы.
Языки первого порядка. Интерпретации. Значение формулы в интерпретации. Равносильность.
Общезначимость и выполнимость формул. Проблема общезначимости, неразрешимость ее в
общем случае. Применение языка логики предикатов для записи математических предложений,
построение отрицаний предложений.
Формализованные математические теории. Теории первого порядка. Аксиомы теории,
правила вывода. Доказательства в теории. Характеристики теорий: непротиворечивость, полнота,
разрешимость. Непротиворечивость исчисления предикатов. Модели теорий. Теорема о полноте
для теорий. Формальная арифметика. Теоремы Геделя о неполноте. Формализация теории
множеств. Обзор результатов о непротиворечивости и независимости в основаниях теории
множеств. Проблемы оснований математики. Парадоксы теории множеств. Проблема
непротиворечивости математики. Программа Гильберта. Метод формализации. Конструктивное
направление в математике.
Модуль 3. Теория алгоритмов
Частичные числовые функции. Простейшие функции. Операции суперпозиции и
примитивной рекурсии. Примитивно рекурсивные функции. Операция минимизации. Частично
рекурсивные функции, общерекурсивные функции. Тезис Чёрча. Теорема о совпадении класса
частично рекурсивных функций и класса частичных числовых функций, вычислимых по
Тьюрингу. Рекурсивные множества, разрешимые предикаты, рекурсивно перечислимые
множества, частично разрешимые предикаты. Теорема Райса. Нормальные алгоритмы Маркова.
Принцип нормализации. Машина Тьюринга и универсальные функции. Машина Поста.
6. Планы семинарских занятий.
№
занятия
1-2
Тема семинарского
занятия
Логика высказываний
3
Булевы функции
4
Исчисление высказываний
5-6
Логика предикатов
7-8
Формализованные
математические теории
9-10
Частично рекурсивные
функции и Машина
Вопросы, выносимые на семинар
1. Высказывания и операции над ними. Формулы алгебры
высказываний. Тавтологии
2. Логическая равносильность и логическое следование
формул
3. Приложение алгебры высказываний к логикоматематической практике
1. Булевы функции от одного, двух и n аргументов
2. Применение булевых функций к релейно-контактным
схемам
1. Система аксиом и теория формального вывода
2. Свойства формализованного исчисления высказываний
1. Понятие предиката. Логические и кванторные операции
над предикатами. Формулы логики предикатов
2. Применение логики предикатов к логикоматематической практике
1. Теории первого порядка
2. Аксиомы теории, правила вывода
3.Доказательства в теории
4. Характеристики теорий: непротиворечивость, полнота,
разрешимость
5. Модели теорий
1. Машины Тьюринга
2. Рекурсивные функции
Тьюринга
3. Нормальные алгоритмы Маркова
4. Неразрешимые алгоритмические проблемы
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Лабораторный практикум не предусмотрен учебным планом.
8. Примерная тематика курсовых работ (если они предусмотрены учебным планом ОП).
Курсовые работы не предусмотрены учебным планом.
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы студентов.
Таблица5.
Семестр 5
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Неделя
семестра
Объем
часов
Кол-во
баллов
1-8
24
0-40
24
0-40
24
0-30
24
0-30
24
0-30
24
72
0-30
0-100
Модуль 1. Логика высказываний
1.1.
Логика
высказываний.
Булевы функции.
Исчисление
высказываний.
Выполнение
домашней работы,
чтение лекций и
дополнительной
литературы
Всего
2.1.
Логика
предикатов.
Формализованные
математические
теории.
Модуль 2. Логика предикатов
Выполнение
Подготовка
домашней работы,
реферата
чтение лекций и
дополнительной
литературы
9-13
Всего
Модуль 3. Теория алгоритмов
3.1.
Частично
рекурсивные
функции и
Машина Тьюринга
Выполнение
домашней работы,
чтение лекций и
дополнительной
литературы
14-18
Всего
Итого
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения
дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения
образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
Циклы, дисциплины (модули)
учебного плана ОП
Индекс компетенции
Общекультурные,
профессиональные
Код компетенции
компетенции
ОК-3
ПК-2
ПК-11
Б1
5 семестр
Математическая логика и теория алгоритмов
Б1.В.ОД.18
+
+
+
Виды аттестации
Текущая
(по дисциплине)
Промежуточная
(по дисциплине)
ФОС
УФ-1
ПФ-4
ПФ-6
ПФ-8
ПФ-10
УФ-12
ПФ-4
ИС-4
+
+
+
+
+
+
+
+
ОК-3 способностью использовать естественнонаучные и математические знания для
ориентирования в современном информационном пространстве мировоззрения
Код
компетенции
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их
формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 6.
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
Знает:
понятийный
аппарат
дисциплины
базовый (хор.)
76-90 баллов
Знает: основные
математические
методы
исследования и
общие
математические
методы решения
задач (в
дополнение к
пороговому
уровню)
Умеет: корректно
применять
математический
аппарат при
изучении
дисциплин
естественноматематического
и профессионального циклов
Умеет: корректно
применять
математический
аппарат при
обучении физике
в
общеобразователь
ных учреждениях
(в дополнение к
пороговому
уровню)
Владеет:
основными
понятиями и
методами
дисциплины
Владеет:
основными
понятиями и
методами
дисциплины (в
дополнение к
пороговому
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Знает:
мировоззренческо
е значение
математики, роль
и место
математики в
изучении
окружающего
мира (в
дополнение к
пороговому и
базовому
уровням)
Умеет: применять
математические
методы при
проведении
теоретических и
экспериментальны
х исследований в
физике и в
профессионально
й деятельности (в
дополнение к
пороговому и
базовому
уровням)
Владеет:
математическими
методами
изучения
физических
явлений (в
дополнение к
пороговому и
базовому
уровням)
Виды занятий
(лекции,
семинарские,
практические,
лабораторные)
Оценочные
средства
(тесты,
творческие
работы,
проекты и др.)
лекции,
практически
е занятия
Аттестацион
ные тесты,
экзамен
(ПФ-4. ИС-4,
УФ-12)
лекции,
практически
е занятия
Аттестацион
ные тесты,
учебные
задачи
реферат,
ситуационны
е задачи
(ПФ-4, ИС-4,
УФ-4, ПФ-7,
ИС-7, ПФ10)
лекции,
практически
е занятия
решение
учебных
задач,
контрольные
работы УФ7, ПФ-6, ПФ7)
ПК-2 способностью использовать современные методы и технологии
обучения и диагностики
Знает: сущность
современных
методик и
технологий, в том
числе и
информационных
Знает:
современные
методики и
технологии, в том
числе и
информационные
лекции,
практически
е занятия
Аттестацион
ные тесты,
экзамен
(ПФ-4. ИС-4,
УФ-12)
Умеет:
осуществлять
анализ
информации с
позиции
изучаемой
проблемы
лекции,
практически
е занятия
индивидуаль
ные
проекты,
реферат,
решение
ситуационны
х задач (УФ8, ПФ-8, УФ1, ПФ-15,
ПФ-10)
Владеет:
современными
методиками и
технологиями
Владеет:
современными
методиками и
технологиями, в
том числе и
информационным
и
Умеет:
осуществлять
анализ
информации с
позиции
изучаемой
проблемы;
использовать
современные
методики и
технологии
Владеет:
современными
методиками и
технологиями, в
том числе и
информационным
и на уровне
лекции,
практически
е занятия
решение
ситуационны
х задач,
решение
учебных
задач,
контрольные
работы УФ7, ПФ-6, ПФ7)
Знает:
необходимый
минимум учебной
программы
дисциплины.
Знает:
на
хорошем уровне
учебную
программу
дисциплины.
Знает:
на лекции,
высоком уровне практически
учебную
е занятия
программу
дисциплины.
Аттестацион
ные тесты,
экзамен
(ПФ-4. ИС-4,
УФ-12)
Умеет:
реализовывать
учебные
программы курса
дисциплины,
опираясь
на
помощь извне.
Умеет:
самостоятельно
реализовывать
учебные
программы курса
дисциплины
в
некоторых
образовательных
учреждениях.
Умеет:
лекции,
самостоятельно
практически
реализовывать и е занятия
выбирать
наилучшие
учебные
программы курса
дисциплины
в
различных
образовательных
учреждениях,
исходя
из
их
специфики.
реферат,
решение
ситуационны
х задач (УФ8, ПФ-8, УФ1, ПФ15,ПФ-10)
ПК-11 готовность использовать систематизированные
теоретические и практические знания для постановки
и решения исследовательских задач в области
образования
Знает: о
существовании
современных
методик и
технологий, в том
числе и
информационных
Умеет:
анализировать
информацию
Владеет:
необходимыми
навыками
и
инструментарием
для
реализации
учебных
программ курса
дисциплины;
навыками работы
с программными
средствами
общего
и
профессиональног
о назначения.
Владеет:
необходимыми
навыками
и
инструментарием
для
самостоятельной
реализации
учебных
программ курса
дисциплины
в
некоторых
образовательных
учреждениях;
методами
построения
учебного курса;
навыками работы
с программными
средствами
общего
и
профессиональног
о назначения.
Владеет:
на лекции,
высоком уровне практически
навыками,
е занятия
знаниями
и
инструментарием
для
самостоятельной
реализации
и
выбора
наилучших
учебных
программ курса
дисциплины
в
различных
образовательных
учреждениях,
исходя
из
их
специфики;
навыками работы
с программными
средствами
общего
и
профессиональног
о назначения.
решение
ситуационны
х задач,
решение
учебных
задач,
контрольные
работы УФ7, ПФ-6, ПФ7)
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования
компетенций в процессе освоения образовательной программы.
ПФ-6 Примерные контрольные работы:
Контрольная работа по модулю «Логика высказываний»
Исследование рассуждений
Задача 1. Или Сэлли и Боб одного возраста (S), или Сэлли старше Боба (O). Если Сэлли и
Боб одного возраста, то Нэнси и Боб не одного возраста (N). Если Сэлли старше Боба, то Боб
старше Уолтера (W). Следовательно, или Нэнси и Боб не одного возраста, или Боб старше
Уолтера. Следует ли это заключение из данных посылок?
Получение логических следствий из данных формул
Задача 2. Даны посылки: X  Y  Z , Z  Y . Найти все логические следствия из
данных посылок.
Задача 3. Найти формулу F(X, Y), зависящую только от переменных X и Y и являющуюся
логическим следствием указанных формул (посылок):
X  Z, Z & Y , Y  X
Получение посылок для данных логических следствий
Задача 4. Найти все посылки, логическим следствием которых может являться формула
X Y
Задача 5. Найти недостающую посылку (формулу) F, зависящую лишь от указанных
высказываний, чтобы была верна следующая выводимость:
X & Y, F(X , Y, Z) ╞ Z
Необходимые и достаточные условия
В следующих предложениях вместо многоточия поставьте слова «необходимо, но
недостаточно» или «достаточно, но не необходимо», а где возможно «необходимо и достаточно»
так, чтобы получилось истинное утверждение:
Задача 6. Для того, чтобы уравнение cos x = a имело решение, …, чтобы a  1 .
Задача 7. Для того, чтобы выражение x2 – 2x – 3 равнялось нулю, …, чтобы x = – 1.
Анализ и синтез релейно-контактных схем (РКС)
Задача
8.
Составить
 X  Y  Z   Y  X 
РКС,
обладающую
следующей
функцией
проводимости:
Задача 9. Упростить РКС:
Задача 10. Какой контакт необходимо вставить в вакантное место, чтобы функция
проводимости полученной схемы стала бы равна данной булевой функции: F ( X , Y )  X  Y
Данной схеме соответствует функция проводимости:
 X & Y   Y  F  X ,Y  & X   X & Y 
Задача 11. Построить схему с тремя переключателями, которая замыкается тогда и только
тогда, когда замкнут либо один, либо два переключателя. При построении использовать не более
шести контактов.
1.
2.
Примерная итоговая контрольная работа по курсу:
Построить таблицу истинности для формулы логики высказываний.
̅̅̅̅̅̅̅
𝐴
∨ 𝐵 ⟹ 𝐵 ∧ 𝐶̅
Определить, равносильны ли данные формулы:
𝐴 ⇒ (𝐵 ⇒ 𝐶) и 𝐴 ∧ 𝐵 ⇒ 𝐶
(да)
3.
Определить, является ли формула 𝐵̅ логическим следствием формул 𝐴 ∧ 𝐵 и 𝐴̅ ∨ 𝐵.
(нет)
4.
Найти область истинности предиката x  4  0 на R .
5.
Записать на языке формул логики предикатов следующее утверждение:
2
 ;2  2; 
6.
7.
«Любое положительное рациональное число может быть представлено в виде отношение
двух натуральных чисел».
𝑚
(∀𝑥)(𝑥 ∈ 𝐐)(∃𝑚) (∃𝑛) (𝑥 = )
𝑛
Найти отрицание предиката (x)(y)(( x  y)  ( y  x)) .
(x )( y )(( x  y )  ( y  x ))
Сформулировать для утверждения «Если целое число оканчивается нулем, то оно делится на
два» обратное, противоположное, обратно-противоположное утверждения. Какие из
утверждений истинны?
Исходное утверждение: «Если целое число оканчивается нулем, то оно делится на два» истинно.
Обратное: «Если целое число делится на два, то оно оканчивается нулем» - ложно.
Противоположное: «Если целое число не оканчивается нулем, то оно не делится на два» ложно.
Обратно-противоположное: Если целое число не делится на два, то оно не оканчивается
нулем» - истинно.
q
8.
Машина Тьюринга с программой q11  q1 0 Л , q1a0  q0 преобразует слово   в слово
q0
00
УФ-12. Вопросы зачета (экзамена):
Билет 1
1. Высказывания и операции над ними.
Понятие высказывания. Отрицание высказывания. Конъюнкция, дизъюнкция, импликация,
эквивалентность двух высказываний. Логические операции.
2. Определите логическое значение последнего высказывания, исходя из логических
значений всех предыдущих высказываний (ответ объясните):
λ(А  В)=1, λ(А→В)=1, λ(¬В→А)=?
Билет 2
1. Формулы алгебры высказываний.
Конструирование сложных высказываний. Понятие формулы алгебры высказываний и
конкретизации формулы. Логическое значение составного высказывания. Составление
таблиц истинности для формул. Классификация формул алгебры высказываний.
2. Составьте таблицу истинности данной формулы и определите ее вид (в соответствии с
классификацией формул алгебры высказываний):
(P  (Q  ¬P))  ((¬Q→P)  Q).
Билет 3
1. Тавтологии алгебры высказываний.
О значении тавтологий. Определение тавтологии. Примеры тавтологий. Основные правила
получения тавтологий.
2. Докажите (с помощью равносильных преобразований), что данная формула является
тавтологией:
((P→Q)  (R→S)  ¬ (Q  S))→ ¬(P  R).
Билет 4
1. Логическая равносильность формул.
Понятие равносильности формул. Признак равносильности формул. Примеры
равносильных формул. Равносильные преобразования формул.
2. Применяя равносильные преобразования, приведите данную формулу к возможно более
простой форме:
(P→Q)  (Q→ ¬P)  (R→P).
Билет 5
1. Логическое следование формул.
Понятие логического следования. Признаки логического следования. Свойства логического
следования. Следование и равносильность формул.
2. Для следующих формул выясните, будет ли какая-либо из них логическим следствием
другой:
P→ (Q  R), (P  Q)→R.
Билет 6
1. Правила логических умозаключений.
Основные правила логических умозаключений. Проверка логического следования формул.
Нахождение следствий из данных посылок. Нахождение посылок для данного следствия.
2. Найдите все не равносильные между собой и не тождественно ложные формулы,
зависящие от Х и Y, для которых данная формула является логическим следствием:
Х↔Y.
Билет 7
1. Математические теоремы.
Прямая и обратная теоремы. Необходимые и достаточные условия. Противоположная и
обратная противоположной теоремы. Закон контрапозиции. Модификация структуры
математической теоремы.
2. Составьте все теоремы, обратные и противоположные следующей:
Всякий параллелограмм с равными диагоналями есть прямоугольник.
Билет 8
1. Методы доказательства математических теорем.
Основные методы доказательства математических теорем. Правило силлогизма.
Дедуктивные и индуктивные умозаключения. Правильные и неправильные дедуктивные
умозаключения. Софизмы.
2. На основании правил логических умозаключений, выясните, справедливо ли следующее
логическое следование:
¬X→Y, ¬Y  ¬Z, Z |= X.
Билет 9
1. Булевы функции от одного и двух аргументов.
Происхождение булевых функций. Булевы функции от одного аргумента. Булевы функции
от двух аргументов. Понятие равных булевых функций. Свойства дизъюнкции,
конъюнкции, эквивалентности, импликации и отрицания. Выражение одних булевых
функций через другие.
2. Постройте таблицу значений для следующей булевой функции:
f(x,y,z)=(x↓y)' + zx + xy.
Билет 10
1. Булевы функции от n аргументов.
Понятие булевой функции от n аргументов. Число булевых функций. Выражение булевых
функций через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Булевы функции и формулы
алгебры высказываний. Нормальные формы булевых функций.
2. Построив соответствующие таблицы значений, выясните, равны ли следующие булевы
функции:
f(x,y,z)=((y'+x)+z(x+y'))'; g(x,y.z)=z'→(y→x)'.
Билет 11
1. Системы булевых функций.
Полные системы булевых функций. Специальные классы булевых функций. Теорема Поста
о полноте системы булевых функций.
2. Докажите, что в данной паре булевых функций одна из функций двойственна другой:
f(x,y,z)=xyz+x+z; g(x,y,z)=xyz+xy+xz+yz+y.
Билет 12
1. Понятие и классификация предикатов.
Понятие предиката. Примеры предикатов. Классификация предикатов. Множество
истинности предиката. Выражение предиката в терминах множества истинности.
2. Изобразите на координатной прямой и на координатной плоскости множества истинности
данного предиката:
(|х|<4)  (х  1).
Билет 13
1. Равносильность и следование предикатов.
Понятие равносильных предикатов. Равносильные преобразования, их роль в математике.
Следствие предиката. Равносильность предикатов. Свойства равносильных предикатов.
2. Определите, равносильны ли данные предикаты:
«х+4>0», «sin x<1», определенные на множестве R.
Билет 14
1. Логические операции над предикатами.
Отрицание предиката. Конъюнкция и дизъюнкция предикатов. Свойства отрицания,
конъюнкции и дизъюнкции. Импликация и эквивалентность двух предикатов.
2. Изобразите на координатной плоскости множества истинности данного предиката,
заданного на множестве R2:
(х2-у2)/(х+у)=х-у.
Билет 15
1. Кванторные операции над предикатами.
Квантор общности. Квантор существования. Численные кванторы. Ограниченные
кванторы. Логический квадрат.
2. Определите, истинное или ложное высказывание, считая, что все переменные пробегают
множество R:
ba x  x2  ax  b  0 .
Билет 16
1. Формулы логики предикатов.
Понятие формулы логики предикатов. Классификация формул логики предикатов.
Тавтологии логики предикатов.
2. Докажите, что следующая формула является тавтологией алгебры предикатов:
xPx  Qx  xPx  xQx.
Билет 17
1. Применение логики предикатов к логико-математической практике
Запись на языке логики предикатов различных предложений. Сравнение логики предикатов
и логики высказываний. Строение математических теорем. Правильные и неправильные
рассуждения.
2. Проанализируйте следующие рассуждения на предмет их правильности (выявите
логические схемы, на которых они основаны, и выясните, справедливы ли они):
«Все рациональны числа – действительные. Все целые числа – рациональные.
Следовательно, все целые числа – действительные».
Билет 18
1. Система аксиом.
Начало аксиоматической теории высказываний: первоначальные понятия, система аксиом,
правило вывода. Понятие вывода и его свойства.
2. Покажите, что справедливы следующие выводимости, построив соответствующие
выводы:
F  G |−G.
Билет 19


1. Теорема о дедукции.
Теорема о дедукции и следствия из нее. Применение теоремы о дедукции. Производные
правила вывода (правила введения и удаления логических связок).
2. Используя теорему дедукции, покажите, что имеют место следующие выводимости:
F↔G |−F→G.
Билет 20
1. Независимость системы аксиом.
Понятие независимости. Независимость аксиомы (А1). Независимость аксиомы (А2).
Независимость аксиомы (А3). Независимость системы аксиом.
2. Докажите, что аксиома (А2) не зависит от аксиом (А1) и (А3) формального исчисления
высказываний.
Билет 21
1. Машины Тьюринга
Определение машины Тьюринга. Применение машин Тьюринга к словам. Конструирование
машин Тьюринга.
2. Машина Тьюринга задается следующей функциональной схемой:
Определите, в какое слово перерабатывает машина данное слово, исходя из начального
стандартного состояния: 11*111.
Билет 22
1. Вычислимые по Тьюрингу функции
Вычислимые по Тьюрингу функции. Правильная вычислимость функций на машине
Тьюринга. Тезис Тьюринга.
2. На ленту подряд вписаны два конечных набора единиц, разделенные звездочкой.
Составьте программу машины Тьюринга, которая выписывала подряд (без разделения звездочкой)
столько единиц, сколько их в обоих наборах (сложение единиц).
Билет 23
1. Рекурсивные функции
Происхождение рекурсивных функций. Тезис Черча. Примитивно рекурсивные функции.
Примитивная рекурсивность предикатов. Вычислимость по Тьюрингу примитивно
рекурсивных функций.
2. Докажите, что следующая функция примитивно рекурсивна:
r(x) – число делителей числа х, где r(0)=0.
Билет 24
1. Нормальные алгоритмы Маркова
Марковские подстановки. Нормальные алгоритмы и их применение к словам. Нормально
вычислимые функции и принцип нормализации Маркова. Совпадение класса всех
нормально вычислимых функций с классом всех функций, вычислимых по Тьюрингу.
Эквивалентность различных теорий алгоритмов.
2. Сконструируйте нормальный алгоритм в алфавите А={1}, вычисляющий следующую
функцию:
f(x)=x+1.
Билет 25
1. Неразрешимые алгоритмические проблемы
Нумерация алгоритмов. Нумерация машин Тьюринга. Существование невычислимых по
Тьюрингу функций. Алгоритмически неразрешимые проблемы в общей теории алгоритмов.
Другие примеры алгоритмической неразрешимости.
2. Определите, является ли слово в стандартном алфавите {ао, 1, q, П, Л} программой
некоторой машины Тьюринга:
qqaoq1qqq11qq1qqqq111qq1Лqq11qqaoП.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений,
навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций.
Шкала перевода баллов в оценки:
- от 0 до 60 баллов – «неудовлетворительно»;
- от 61 до 75 баллов – «удовлетворительно»;
- от 76 до 90 баллов – «хорошо»;
- от 91 до 100 баллов – «отлично»;
Студенты, набравшие по дисциплине менее 35 баллов, к экзамену не допускаются.
Студенты, не допущенные к сдаче экзамена, сдают текущие формы контроля в соответствии с
установленным графиком и набирают пороговое значение баллов. Студентам, не набравшим в
семестре необходимого количества баллов по уважительной причине (болезнь, участие в
соревнованиях, стажировка и др.), устанавливаются индивидуальные сроки сдачи экзамена.
11. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов» используются
лекция-дискуссия, лекция с запланированными ошибками, проблемная лекция, метод проектов.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1 Основная литература:
1. Игошин, В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов [Текст]:
учеб.пособие для вузов / В. И. Игошин. - М.: Академия, 2007. - 304 с.
2. Игошин, В.И. Математическая логика и теория алгоритмов [Текст]: учеб.пособие для вузов / В.
И. Игошин. - 2-е изд.,стер. - М.: Академия, 2008. - 448 с. - (10); М.: Академия, 2004. - 448 с. - (5 )
3. Лавров, И.А. Математическая логика [Текст]: учеб.пособие для вузов / И. А. Лавров; под ред.
Л.Л. Максимовой. - М.: Академия, 2006. - 240 с.
12.2 Дополнительная литература:
1. Ершов, Ю.Л. Математическая логика [Текст]: учеб.пособие для вузов / Ю.Л. Ершов, Е.А.
Палютин. – 2-е изд., испр.и доп. – М.: Наука, 1987. – 336 с.
2. Колмогоров, А.Н. Введение в математическую логику [Текст]: учеб.пособие / А.Н.
Колмогоров, А.Н. Драгалин. – М.: Изд-во Моск.ун-та, 1982. – 120 с.
3. Лихтарников, Л.М. Математическая логика: курс лекций. Задачник-практикум и решения /
Л.М. Лихтарников, Т.Г. Сукачева. -С-Пб., 1999
4. Мощенский, В.А. Лекции по математической логике [Текст]: учеб. пособие для матем.
спец.вузов / В.А. Мощенский. – Мн.: Изд-во БГУ, 1973. – 157 с.
5. Новиков, П.С. Элементы математической логики [Текст] / П.С.Новиков. – 2-е изд., испр. – М.:
Наука, 1973. – 399 с.
6. Успенский, В.А. Вводный курс математической логики [Текст] : учеб.пособие для матем.фак.
ун-тов, педвузов / В. А. Успенский ; Н.К. Верещагин, В.Е. Плиско. - 2-е изд. - М. : Физматлит,
2004. - 128 с.
12.3 Интернет-ресурсы:
Наименование
электронно№
библиотечной системы
(ЭБС)
Принадлежность
Адрес сайта
Наименование
организациивладельца, реквизиты
договора на
использование
1.
2.
Электронно-библиотечная
система «Университетская
библиотека онлайн»
Электронно-библиотечная
система Elibrary
сторонняя
http://biblioclub.ru подписка ТюмГУ
сторонняя
http://elibrary.ru
Универсальная справочно- сторонняя
информационная
полнотекстовая база
данных “East View” ООО
«ИВИС»
Электронная библиотека:
сторонняя
Библиотека диссертаций
http://dlib.eastvie
w.com/
5.
Межвузовская
электронная библиотека
(МЭБ)
http://icdlib.nspu.r
u/
6.
Автоматизированная
сторонняя
библиотечная
информационная система
МАРК-SOL 1.10 (MARC
21) (Электронный каталог)
библиографическая база
данных
3.
4.
корпоративн
ая
http://diss.rsl.ru/?l
ang=ru
локальная сеть
ООО "РУНЭБ".
Договор № SV-2503/2014-1 на период с 05
марта 2014 года до 05
марта 2015 года.
ООО "ИВИС".
Договор № 64 - П от 03
апреля 2014 г. на период
с 04 апреля 2014 года до
03 апреля 2015 года.
подписка ТюмГУ (1
рабочее место, подписка
в 2015 г.)
Совместный проект с
ФГБОУ ВПО
«Новосибирский
государственный
педагогический
университет»
Научнопроизводственное
объединение
«ИНФОРМ-СИСТЕМА».
Гос.контракт № 07034 от
20.09.2007 г., бессрочно
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного
обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
Пакет программ Microsoft Office.
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).
Для обеспечения освоения данной дисциплины имеются: оборудованные аудитории;
технические средства обучения (электронные доски, компьютеры, программное обеспечение);
выход в Интернет; аудио- и видеоаппаратура; наглядные пособия; пакеты компьютерных
программ.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Студенту следует помнить, что дисциплина «Математическая логика и теория
алгоритмов» предусматривает обязательное посещение студентом лекций и практических занятий.
Она реализуется через систему домашних работ, систему рефератов и индивидуальных работ.
Самостоятельная работа студентов заключается в выполнении домашних заданий с целью
подготовки к практическим занятиям (см. планы практических занятий) и подготовке рефератов.
Контроль над самостоятельной работой студентов и проверка их знаний проводится в виде зачета.
Дополнения и изменения к рабочей программе на 2015 / 2016 учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения:
1.
2.
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры ФМДиПТО «_» _____ 2015
г.
Заведующий кафедрой
/Т.С. Мамонтова/
Подпись
Ф.И.О.