ε - Московский государственный университет путей сообщения

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский государственный университет путей сообщения»
МГУПС (МИИТ)
На правах рукописи
Чан Суан Линь
Напряженно-деформированное состояние цилиндрических оболочек,
в том числе взаимодействующих с окружающим грунтом,
при упругих и упруго-пластических деформациях
05.23.17 – Строительная механика
Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук
Научный руководитель
доктор технических наук, профессор
Косицын Сергей Борисович
Москва – 2015
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .......................................................................................................... 7
ГЛАВА
1.
ОБЗОР
СОВРЕМЕННЫХ
МЕТОДОВ
РАСЧЕТА
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК .......................................................................... 15
1.1. Основные положения теории тонких цилиндрических оболочек ......... 15
1.2. Анализ современных подходов к расчетам узлов пересечения тонких
упругих цилиндрических оболочек ....................................................................... 17
1.3. Методы расчета узлов пересечения тонких цилиндрических оболочек с
учетом пластических деформаций материала ....................................................... 20
1.4. Современные подходы к расчетам пересекающихся цилиндрических
оболочек, взаимодействующих с окружающей средой ........................................ 25
1.5. Выводы по главе 1.................................................................................... 28
ГЛАВА 2. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ЗАДАЧАХ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ............................................................................... 31
2.1. Конечные элементы для расчета балочных систем................................ 31
2.2. Двумерные конечные элементы, применяемые в расчетах тонких
оболочек .................................................................................................................. 33
2.3. Объемные конечные элементы................................................................ 38
2.4. Конечные элементы для решения контактных задач ............................. 40
2.5. Учет физической нелинейности материала. Основные соотношения
теории пластического течения ............................................................................... 42
2.6. Методы решения нелинейных задач строительной механики .............. 48
2.7. Заключение по главе 2 ............................................................................. 50
3
ГЛАВА
3.
АНАЛИЗ
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ ............................................................................................................. 51
3.1. Анализ густоты сетки конечных элементов в расчетах круговых
цилиндрических оболочек...................................................................................... 51
3.1.1. Подбор размеров плоских конечных элементов для оболочек без
краевых эффектов ................................................................................................ 51
3.1.2. Оценка влияния густоты сетки элементов на примерах расчета
круговых цилиндрических оболочек с краевыми эффектами. Сравнение с
аналитическим решением С.П. Тимошенко....................................................... 54
3.1.3. Тестовые примеры решения нелинейных задач............................... 57
3.1.3.1. Геометрически нелинейный анализ тонкой пластины ............... 58
3.1.3.2. Геометрически и физически нелинейный анализ
цилиндрического сосуда давления с патрубком ............................................. 60
3.2.
Напряженно-деформированное
состояние
ортогонально
пересекающихся цилиндрических оболочек с учетом геометрической и
физической нелинейностей .................................................................................... 63
3.2.1 Вводные замечания ............................................................................. 63
3.2.2. Линейная и геометрически нелинейная постановки задачи............ 64
3.2.3.
Расчеты
тройникового
соединения
оболочек
с
учетом
возникновения пластических деформаций. ....................................................... 66
3.3. Расчет оболочки железнодорожной цистерны в геометрически
нелинейной постановке при пластических деформациях материала .................. 76
3.4. Выводы по главе 3.................................................................................... 84
ГЛАВА 4: РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК, В ТОМ ЧИСЛЕ
ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ,
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ
С
ОКРУЖАЮЩЕЙ
СРЕДОЙ ..................................................................................................................... 86
4
4.1.
Исследование
цилиндрическую
различных
оболочку,
моделей
учитывающих
грунта,
окружающего
одностороннее
контактное
взаимодействие с оболочкой .................................................................................. 86
4.1.1. Вводные замечания ............................................................................ 86
4.1.2. Модель объемного массива ............................................................... 87
4.1.3. Модель упругого основания.............................................................. 89
4.1.4. Модель упругого слоя ....................................................................... 92
4.1.5. Сравнительный анализ различных моделей грунта и выводы по п.
4.1 ......................................................................................................................... 95
4.2. Оценка влияния размеров расчетного фрагмента грунтового массива,
окружающего подземное сооружение, с точки зрения затухания напряженнодеформированного состояния грунта .................................................................... 96
4.3.
Численный
анализ
напряженно-деформированного
состояния
тройникового соединения оболочек без учета и с учетом их одностороннего
взаимодействия с окружающим грунтовым массивом ......................................... 99
4.3.1. Постановка задачи ............................................................................. 99
4.3.2. Расчет системы «оболочки – грунтовый массив» при полном
жестком контакте между объектами. ............................................................... 100
4.3.3. Расчет системы «оболочки – грунтовый массив» при двустороннем
контактном взаимодействии ............................................................................. 102
4.3.4. Расчет системы «оболочки – грунтовый массив» с учетом
возможного одностороннего контактного взаимодействия ............................ 103
4.3.5. Расчет системы «оболочки – грунтовый массив» с учетом
возможного одностороннего контактного взаимодействия и трения между
контактирующими объектами .......................................................................... 104
4.3.6 Сравнительный анализ результатов расчетов, выводы по п. 4.3 ... 105
4.4. Выводы по главе 4.................................................................................. 110
5
ГЛАВА
5:
НЕКОТОРЫЕ
ПРАКТИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ
РАСЧЕТА
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК, КОНТАКТИРУЮЩИХ С МАССИВОМ
ГРУНТА .................................................................................................................... 112
5.1.
Оценка
напряженно-деформированного
состояния
подземного
трубопровода, расположенного на перегоне «Дема – Уфа» Куйбышевской
железной дороги ................................................................................................... 112
5.1.1. Определение
величины
модуля
упругости и
прочностных
характеристик материала трубопровода .......................................................... 113
5.1.2. Расчеты оболочки трубопровода по плоским схемам ................... 114
5.1.3. Расчеты трубопровода по пространственной схеме ...................... 118
5.1.4. Сопоставление результатов расчетов трубопровода по плоской и
пространственной расчетным моделям, выводы по п. 5.1 .............................. 122
5.2. Геометрически нелинейный анализ напряженно-деформированного
состояния пересекающихся цилиндрических оболочек тоннельных обделок с
учетом возможности возникновения пластических деформаций в окружающих
грунтах, а также последовательности возведения объектов .............................. 124
5.2.1. Постановка задачи ........................................................................... 124
5.2.2. Линейно упругие грунты, жесткий контакт оболочек с массивом 126
5.2.3. Линейно упругие грунты с учетом возможности одностороннего
взаимодействия оболочек и грунтового массива............................................. 127
5.2.4.
Упруго-пластические
грунты
с
учетом
одностороннего
взаимодействия оболочек и грунтового массива............................................. 128
5.2.5. Расчет с учетом последовательности возведения объектов, упругопластические грунты при одностороннем взаимодействии оболочек и
грунтового массива ........................................................................................... 128
5.2.6. Сопоставление результатов расчетов пересекающихся оболочек
тоннельных обделок, выводы по п. 5.2 ............................................................ 133
6
5.3.
Анализ
напряженно-деформированного
состояния
оболочек
бензохранилища, расположенного в грунтовом массиве ................................... 135
5.3.1. Общие положения ............................................................................ 135
5.3.2. Анализ результатов расчетов бензохранилища ............................. 137
5.3.3. Выводы по п. 5.3 .............................................................................. 143
5.4. Выводы по главе 5.................................................................................. 144
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................ 146
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................................ 149
ПРИЛОЖЕНИЕ ................................................................................................ 173
Акты о внедрении результатов диссертационной работы .......................... 173
7
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы исследования.
Одним из актуальных путей развития техники является все более широкое
применение легких и экономичных тонкостенных конструкций. Подобные системы часто используются при строительстве зданий и подземных сооружений, трубопроводов, изготовлении железнодорожных и автомобильных цистерн, а также в
судостроении, авиастроении, химическом и энергическом машиностроении, газовой, нефтяной и в других отраслях промышленности. Основными элементами таких конструкций являются цилиндрические оболочки и их сопряжения и пересечения. При различных видах нагружения в зонах пересечений появляются существенно неоднородные напряженные состояния, характеризующиеся высокими
уровнями концентрации напряжений. В ряде случаев это вызывает появление
пластических деформаций, поэтому особое внимание должно быть уделено уточненным методикам расчета, позволяющим достоверно оценивать ресурсы прочности и обеспечивающим экономию материала объектов при обеспечении высокой надежности их работы.
Проблемы контактного взаимодействия цилиндрических оболочек и их пересечений с окружающими массивами грунтов в подземных сооружениях пока мало
изучены, особенно в части учета геометрической и физической нелинейностей, а
также последовательности возведения сооружений.
Настоящая диссертационная работа посвящена решению вышеназванных задач и поэтому ее тематика весьма актуальна.
Степень разработанности темы исследования.
В настоящее время создана достаточно совершенная теория тонких оболочек,
в развитие которой значительный вклад внесли отечественные и зарубежные ученые: А.В. Александров [3], С.А. Амбарцумян, В.В. Болотин, И.Н. Векуа, В.З. Власов [27], А.С. Вольмир [30], И.И. Ворович, И.Г. Галеркин, К.З. Галимов [32], А.Л.
Гольденвейзер [36], Э.И. Григолюк [40], Я.М. Григоренко [41], Н.А. Кильчевский,
8
М.С. Корнишин [59, 60], А.И. Лурье, Х.М. Муштари, В.В. Новожилов [98], П.М.
Огибалов, В.Н. Паймушин, В.В. Пикуль [102, 103], Ю.Н. Работнов, И.Х. Саитов,
В.В. Соколовский, С.П. Тимошенко [141], К.Ф. Черных, И.Я. Штаерман, П.М. Нахди, Э. Рейсснер и другие исследователи.
Однако практическое применение разрешающих уравнений теории оболочек
до сих пор весьма затруднительно из-за их сложности. В связи с этим для решения прикладных задач активно применяются приближенные методы. Качественное развитие вычислительной техники и увеличение мощности электронновычислительных машин позволили широко внедрить в расчетную практику численные методы.
Одним из наиболее распространенных численных методов для решения линейных и нелинейных задач строительной механики, в том числе тонких оболочек, является метод конечных элементов. Понятие конечных элементов впервые
предложено М. Тернером, Р. Клафом, X. Мартином, JI. Топпом. Дальнейшее развитие метод конечных элементов получил в работах зарубежных и отечественных
исследователей: М.Р. Айронса, А.В. Александрова, Дж. Аргириса, К. Бате, А.М.
Белостоцкого, Д. В. Вайнберга, E. Вилсона, У.М. Дженкинса, Ж. Деклу, O.K. Зенкевича, В.Н. Иванова, Р.У. Клафа, С.Б. Косицына, A.M. Масленникова, Дж. Одена, В.А. Постнова, JI.A. Розина, А.С. Сахарова, Ф. Сьярле, С.И. Трушина, Н.Н.
Шапошникова, И.Я. Хархурима, Н.М. Якупова [160] и других.
Весомый вклад в развитие методики расчета пересекающихся цилиндрических оболочек в линейной и нелинейной постановках задачи внесли: Ю.Ф. Баринов, А.М. Белостоцкий, В.М. Варшицкий, В. Виссер, Л. Германн, Ю.А. Куликов,
С.Б. Косицын, Д. Кэмпбелл, А.И. Лурье, И.А. Монахов, Е.О. Патон, П. Прейсс, В.
Рейдельбах, В.Н. Скопинский, Г.И. Феденко, Р. Хамилтон, и другие.
Проблемами взаимодействия подземных сооружений и грунтового массива
занимались: Н.С. Булычев, Е.А. Демешко, С.Б. Косицын, Е.Н. Курбацкий, А.А.
Лапшин, С.П. Наумов, Г.Н. Савин, В.В. Соколовский, А.Н. Сонин, В.Г. Храпов,
Н.Н. Шапошников, С.А. Юфин и другие.
9
Однако, и в настоящее время необходимость развития методик расчета цилиндрических оболочек и их соединений, в том числе взаимодействующих с окружающим грунтом, с учетом различного вида нелинейностей не потеряла своей
актуальности и является важной научной проблемой.
Целью работы является разработка и совершенствование расчетных моделей цилиндрических оболочек, в том числе пересекающихся и взаимодействующих с окружающим массивом грунта с учетом геометрической, физической и
конструктивной нелинейностей.
Задачи исследования.
1. Анализ влияния типа расчетной модели (линейная, геометрически нелинейная, физически нелинейная, учитывающая оба вида нелинейностей), а также
различных
видов
диаграмм
деформирования
материала
на
напряженно-
деформированное состояние (НДС) пересекающихся цилиндрических оболочек
трубопроводов и железнодорожных цистерн.
2. Оценка влияния размеров пространственного фрагмента грунтового массива, окружающего подземное сооружение, на степень затухания возмущений
НДС грунта, вызванных наличием этого сооружения.
3. Разработка алгоритма, учитывающего одностороннее контактное взаимодействие и связывающего различные модели грунта, окружающего цилиндрическую оболочку: упругое основание Фусса – Винклера, модель приведенного упругого слоя, модель объемного массива. Получение уточненной формулы для приведенного модуля упругости упругого слоя.
4. Разработка расчетной модели одностороннего взаимодействия оболочки и
окружающего массива грунта. Сравнительный анализ различных моделей взаимодействия оболочки с массивом грунта.
5. Разработка упрощенной модели последовательности возведения подземных объектов на примере пересекающихся цилиндрических оболочек тоннельных
обделок, находящихся в массиве упругопластического грунта, с учетом возможного одностороннего взаимодействия оболочек и грунта.
10
6. Решение других практических задач о пространственном взаимодействии
оболочек и массива грунта в линейной и нелинейной постановках задач.
Научная новизна исследования заключается в следующем:
1. Дана оценка влияния разных видов нелинейностей на напряженнодеформированные состояния тройникового соединения цилиндрических оболочек
трубопровода, а также железнодорожной цистерны. Выявлены особенности НДС
названных объектов, связанные с применением трех видов диаграмм деформирования материала: Прандтля, билинейной и мультилинейной, моделирующей реальную диаграмму.
2. Разработан алгоритм, учитывающий одностороннее контактное взаимодействие и дающий возможность связать между собой три пространственных модели грунта: основание Фусса – Винклера, модель упругого слоя и объемный массив. Получена уточненная формула для приведенного модуля упругости упругого
слоя.
3. В пространственной постановке задачи дана оценка влияния размеров расчетного фрагмента массива грунта, обеспечивающих затухание неоднородности
его НДС, вызванной расположением в массиве подземного сооружения.
4. Разработана модель одностороннего контактного взаимодействия, в том
числе с учетом поперечного трения, оболочки с окружающим объемным массивом грунта на основе одномерных контактных элементов.
5. Предложен приближенный способ учета последовательности возведения
подземного сооружения путем введения в расчетную модель поля начальных напряжений, накопленного на предшествующих этапах монтажа.
6. Решен ряд практических задач пространственного расчета оболочек, взаимодействующих с окружающими слоями грунтов:
– в пространственной постановке численно проанализировано напряженнодеформированное состояние пластиковой цилиндрической оболочки подземного
трубопровода под насыпью разной высоты с четырьмя железнодорожными путями на перегоне Дема – Уфа Куйбышевской железной дороги;
11
– выполнен анализ НДС пересекающихся цилиндрических оболочек тоннельных обделок, взаимодействующих с окружающим массивом грунта, с учетом
пластических деформаций грунта по модели Друкера – Прагера и последовательности возведения объекта согласно способу, предложенному соискателем;
– при различных нагружениях оценены напряженно-деформированные состояния с определением реального запаса прочности оболочек подземного стального бензохранилища с учетом геометрической и физической (согласно модели
материала Хубера – Мизеса) нелинейностей, взаимодействующих с массивом
грунта, слои которого деформируются упруго-пластически согласно модели Друкера – Прагера.
Теоретическая и практическая значимость работы.
1. Даны рекомендации по практическому использованию схематизированных
диаграмм деформирования материалов при проведении упруго-пластического
анализа цилиндрических оболочек и их пересечений.
2. Получена формула для приведенного модуля упругости упругого слоя,
приближенно моделирующего окружающий оболочку грунт (в модели грунта как
упругого слоя), а также разработан алгоритм, учитывающий одностороннее контактное взаимодействие и позволяющий связать между собой различные модели
грунта: упругого основания, упругого слоя и объемного массива. Формулу и алгоритм можно использовать при расчете цилиндрических оболочек и их соединений, взаимодействующих с окружающим грунтом.
3. Даны рекомендации по выбору размеров фрагмента массива грунта при
пространственном расчете подземных сооружений.
4. Разработанные пространственные расчетные модели одностороннего контактного взаимодействия оболочек и массива грунта на основе специальных контактных элементов и контактного трения можно применять при расчете подземных сооружений.
5. Предложенный алгоритм, основанный на введении в расчетную модель
поля начальных напряжений, позволяет приближенно учесть последовательность
возведения сооружения.
12
6. Полученные результаты анализа напряженно-деформированных состояний
различных сопряжений цилиндрических оболочек могут быть использованы при
проектировании железнодорожных и автодорожных цистерн, наземных и подземных бензохранилищ, тоннелей, трубопроводов, а также сосудов и узлов аппаратов
различного назначения.
7. Результаты работы уже нашли применение при проектировании пластикового трубопровода под разновысокой насыпью с четырьмя железнодорожными
путями на перегоне Дема – Уфа Куйбышевской железной дороги (в приложении
приведены акты о внедрении результатов диссертационной работы).
8. Результаты, выводы и рекомендации диссертационной работы предполагается использовать при проектировании и строительстве первой линии метро во
Вьетнаме.
Методология и методы исследования.
Для решения поставленных в диссертационной работе задач применен метод
конечных элементов в перемещениях, включающий построение расчетных моделей рассматриваемых систем, их численный линейный и нелинейный анализ. С
целью учета развития пластических деформаций материалов использована теория
пластического течения с критериями пластичности Хубера – Мизеса и Друкера –
Прагера.
Положения, выносимые на защиту.
1. Результаты сравнительного численного анализа НДС тройникового соединения цилиндрических оболочек трубопровода и железнодорожной цистерны в
линейной, геометрически нелинейной, физически нелинейной (теория пластического течения согласно критерию Хубера – Мизеса) постановках задачи, а также с
одновременным учетом двух видов нелинейностей.
2. Оценка влияния трех видов диаграмм деформирования материала: Прандтля, билинейной и мультилинейной, моделирующей реальную диаграмму.
3. Алгоритм, учитывающий одностороннее контактное взаимодействие и позволяющий связать между собой три вида пространственных моделей грунта: основание Фусса – Винклера, модель упругого слоя и объемный массив, а также
13
уточненная формула для вычисления приведенного модуля упругости упругого
слоя.
4. Оценка влияния в пространственной постановке размеров расчетного
фрагмента массива грунта, окружающего подземное сооружение (цилиндрическую оболочку), на его напряженно-деформированное состояние и рекомендации
по выбору необходимых размеров фрагмента массива, обеспечивающих затухание в нем неоднородности напряженно-деформированного состояния, вызванной
наличием подземного сооружения.
5. Пространственная модель одностороннего контактного взаимодействия
оболочки с окружающим объемным массивом, основанная на использовании специальных контактных элементов, учитывающих поперечное трение.
6. Алгоритм, основанный на введении в расчетную модель поля начальных
напряжений с предшествующего этапа расчета, позволяющий учесть последовательность возведения сооружения.
7. Результаты решений ряда практических задач:
–
численный
анализ
в
пространственной
постановке
напряженно-
деформированного состояния пластиковой оболочки подземного трубопровода,
расположенного под четырьмя железнодорожными путями в разновысокой насыпи перегона Дема – Уфа Куйбышевской железной дороги;
– результаты расчетов и анализа НДС пересекающихся цилиндрических оболочек тоннельных обделок, контактирующих с массивом грунта, с учетом пластических деформаций грунта по модели Друкера – Прагера и последовательности
возведения объектов;
– результаты анализа НДС и оценка запаса прочности стального подземного
бензохранилища с учетом геометрической и физической (согласно модели материала Хубера – Мизеса) нелинейностей, слои материалов грунтового массива
представлены моделями Друкера – Прагера.
Достоверность результатов обеспечена корректными математическими
формулировками поставленных задач, применением строгих и уже апробированных математических моделей строительной механики оболочек и грунтов, чис-
14
ленных методов линейного и нелинейного анализа, традиционных конечных элементов (реализованных в известном комплексе MSC PATRAN – NASTRAN), выполнением тестовых численных расчетов, показавших высокую степень сходимости решений, а также достаточно хорошим совпадением результатов анализа тестовых примеров методом конечных элементов с соответствующими аналитическими и численными решениями и экспериментами.
Апробация работы.
Основные результаты работы доложены и опубликованы в трудах и тезисах
докладов следующих научно-технических конференций.
1. Международная научная конференция «Задачи и методы компьютерного
моделирования конструкций и сооружений» («Золотовские чтения»). Москва,
МГСУ 2013, 2014 г.
2. Конференция «Наука МИИТа – транспорту», М.: МИИТ 2012, 2013, 2014 г.
3. 71, 72, 73 Научно-методические и научно-исследовательские конференции
МАДГТУ (МАДИ). Подсекция «Строительная механика и вопросы надежности на
транспорте». 2013, 2014, 2015 г.
4. Международная научно-практическая конференция «Инженерные системы», Москва, РУДН, 2013 г.
5. XV, XVI, XVII Российские конференции пользователей программного
обеспечения компании MSC SOFTWARE Corporation. М.: 2012, 2013, 2014 г.
6. XI Международная научно-техническая конференция «Современные проблемы проектирования, строительства и эксплуатации железнодорожного пути»,
Москва, МИИТ, 2014 г.
Публикации.
Основные положения диссертации опубликованы в 14 печатных работах. Из
них 4 в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК РФ.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы,
содержащего 226 наименований, и приложения. Общий ее объем составляет 176
страниц и включает 85 рисунков, 15 таблиц.
15
ГЛАВА 1. ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Теория оболочек развивается с конца XIX века. Количество опубликованных
исследований в этой области очень велико. Существует ряд достаточно подробных обзорных публикаций по данному вопросу [28, 45, 125]. Настоящий обзор не
претендует на полноту, в нем проанализированы, в основном, работы, относящиеся к пересекающимся оболочечным системам, в том числе расположенным под
землей.
1.1. Основные положения теории тонких цилиндрических оболочек
В настоящее время тонкостенные пространственные системы типа цилиндрических оболочек и их соединений находят широкое применение в различных
областях современной техники: на автомобильном и железнодорожном транспорте, в тоннелестроении, в промышленном и гражданском строительстве и других
отраслях. Благодаря криволинейной форме, оболочки работают как пространственные элементы и обладают высокими прочностными характеристиками, что позволяет при рациональном проектировании создавать из них легкие и прочные
конструкции.
Результаты исследований по теории тонких оболочек, изложенные в фундаментальных монографиях [27, 36, 85, 98], получены в основном на основании следующих гипотез Кирхгофа – Лява [157]:
– прямолинейные нормали, перпендикулярные к срединной поверхности
оболочки до деформации, остаются после деформации прямолинейными и перпендикулярными к деформированной срединной поверхности;
– нормальными напряжениями, действующими на площадках, параллельных
срединной поверхности оболочки, можно пренебречь по сравнению с другими
напряжениями.
16
Еще в конце XIX века (1874 г.) Х. Арон (H. Aron) [164] предпринял первую
попытку вывода уравнений теории оболочек, основываясь на уравнениях теории
упругости и методе Кирхгофа. Однако, при вычислении кривизн в выражении для
энергии изгиба Х. Арон допустил неточности. Дальнейшее развитие теории оболочек продолжали А. Ляв (A.E.H. Love), А. Бэссет (A.B. Basset), Х. Лэмб (H.
Lamb) и другие исследователи. В теории А. Лява (1888 г.) использовался метод
Кирхгофа – Геринга без обращения к гипотезам Кирхгофа [186]. Данный вариант
теории оболочек А. Лява сыграл важную роль в технике, поскольку в течение
долгого времени большинство авторов, работавших в области расчетов оболочек,
основывалось именно на разработанной А. Лявом теории. Основными недостатками являются непоследовательное обращение с малыми членами [98] и неясная
область применения. Дальнейшее развитие теории оболочек пошло по двум основным направлениям: продолжение исследований по выводу соотношений теории оболочек из уравнений пространственной теории упругости и прямой подход
к построению теории оболочек (моделирование оболочки деформируемой поверхностью и последующее изучение механики такой поверхности).
Важную роль в развитии теории оболочек сыграли работы А.И. Лурье [86],
В.В. Новожилова и Р.М. Финкельштейна [96, 97], посвященные исправлениям погрешности гипотез Кирхгофа – Лява. В работах [84, 85] представлено тензорное
изложение основных уравнений теории оболочек с использованием гипотезы
Кирхгофа – Лява. Следует отметить, что автору удалось устранить все недостатки
теории А. Лява, за исключением ее неясной области применимости.
С помощью асимптотического анализа уравнений теории упругости А.Л.
Гольденвейзер предложил новую формулировку кинематических и статических
положений, отличную от гипотез Кирхгофа – Лява. Он получил новые соотношения упругости, отличающиеся от выражений А.И. Лурье учетом поперечной сжимаемости оболочки [36].
Неоценимый вклад в развитие теории оболочек внесли отечественные и зарубежные ученые: С.А. Амбарцумян, В.В. Болотин, И.Н. Векуа, В.З. Власов [27],
И.И. Ворович, И.Г. Галеркин, К.З. Галимов, А.Л. Гольденвейзер [36], Э.И. Григо-
17
люк, Н.А. Кильчевский, А.И. Лурье, Х.М. Муштари, В.В. Новожилов [98], С.Н.
Кривошапко [73, 74, 75, 76], В.Н. Иванов [73, 76], П.М. Огибалов, Ю.Н. Работнов,
В.Н. Паймушин, В.В. Соколовский, С.П. Тимошенко [141], К.Ф. Черных, И.Я.
Штаерман, П.М. Нахди (P.M. Naghdi), Э. Рейсснер (E. Reissner) и другие исследователи.
Ввиду сложности и трудоемкости определения НДС конструкций, образованных из оболочек, задача развития и использования современных численных
методов расчета оболочек является одной из самых важных проблем механики
твердого деформируемого тела и представляет несомненный практический интерес. Одним из наиболее часто используемых численных методов для исследования НДС тонких оболочек является метод конечных элементов (МКЭ) [47, 35, 10,
37, 42, 44, 46, 48, 52, 54, 94, 99, 105, 106, 107, 115, 116, 129, 139, 143, 144, 161, 179,
224].
1.2. Анализ современных подходов к расчетам узлов пересечения тонких
упругих цилиндрических оболочек
Конструктивные объекты, включающие пересекающиеся цилиндрические
оболочки, широко применяются в различных технических областях: железнодорожном и энергетическом машиностроении, подземном, промышленном и гражданском строительстве, авиации, космонавтике, химической, нефтяной и газовой
отраслях промышленности и так далее. Анализ НДС узлов пересечения оболочек
является актуальной, но малоизученной проблемой механики оболочек [61, 71,
89]. Наличие патрубков или отверстий различного размера и формы приводит к
тому, что во многих случаях внешние воздействия на оболочку носят локальный
характер. Возникающие при этом местные напряжения и деформации могут достигать существенных величин, поэтому тщательное изучение особенностей НДС
подобных соединений оболочек для создания наиболее рациональных конструктивных решений является весьма сложной задачей. Большинство работ, касаю-
18
щихся исследования НДС зон пересечений оболочек, относится к цилиндрическим оболочкам. Чаще всего применяют их радиальные соединения.
Рассмотрим некоторые экспериментальные исследования в этой области.
Первые эксперименты, основанные на методах тензометрии и фотоупругости, касающиеся радиальных соединений цилиндрических оболочек, описаны в работах
[100, 104, 145, 172]. Проведены испытания толстостенных оболочек с довольно
небольшими коэффициентами концентрации напряжений. Английский исследователь Д. Моффат (D. Moffat) провел эксперименты методом тензометрии для
тройниковых трубчатых соединений равного диаметра, нагруженных, в основном,
внешними силами и моментами [191, 192]. Следует заметить, что такие эксперименты имеют частный характер и не позволяют обобщить результаты для подобных конструкций.
Теоретических исследований пересекающихся цилиндрических оболочек довольно много. Существенный вклад в развитие расчетных методов внес А.И. Лурье. Его труды имели фундаментальную основу для дальнейших исследований
других авторов. В работе [83] впервые приведено решение задачи о деформировании цилиндрической оболочки с отверстием. Подобные расчеты позднее также
были проведены В.Н. Савиным [112], А.Н. Гузем, Э.И. Григолюком [39], В.М.
Толкачевым, К. Маргерром (К. Marquerre) и другими исследователями.
В. Рейдельбах (W. Reidelbach) с помощью уравнений теории пологих оболочек получил приближенное аналитическое решение для тройникового соединения
цилиндрических оболочек с отношением диаметров патрубка и основной оболочки d / D  0,5 при действии внутреннего давления [201]. Автором предложен ряд
упрощающих допущений. Одно из них: линия пересечения считалась плоской окружностью. На основании подхода В. Рейдельбаха с отдельными поправками и
уточнениями условий сопряжения и уравнений для патрубка многие отечественные и зарубежные исследователи рассматривали тройниковые соединения цилиндрических оболочек ( d / D  0,5 ) при действии различных нагрузок [113, 147, 149,
159]. В работе [184] учтены деформации поперечного сдвига. В публикации [114]
описано исследование радиального соединения цилиндрических оболочек
19
( d / D  0,5 ) при действии внутреннего давления. Решение получено с помощью
подхода В. Рейдельбаха, а условия сопряжения удовлетворяются в отдельных
точках (коллокационно).
Тройниковое соединение с малым отношением диаметров оболочек
( d / D  0,25 ) при нагружении патрубка изгибающим моментом рассмотрено в
работе [140]. В.И. Феденко разработал приближенную методику для расчета радиальных соединений оболочек при внутреннем давлении [146]. НДС пересечения цилиндрических оболочек трубопровода с укреплением в зоне соединения
рассмотрено в работе [111].
Д. Апдайк (D. Updike) с соавтором получил приближенное решение для ортогонального соединения цилиндрических оболочек равного диаметра при допущении об осесимметричности напряженного состояния оболочек [213]. Ю.Ф. Бариновым разработана методика решения задачи о пересекающихся цилиндрических оболочках при симметричном и кососиметричном нагружении с использованием теории тонких оболочек Дж. Сандерса (J.L. Sanders). Приведено сравнение
полученных результатов расчета с известными экспериментами. Однако, следует
отметить, что здесь получено лишь качественное соответствие в распределении
напряжений [8, 9].
В последнее время в связи с развитием электронно-вычислительной техники
и ограниченностью аналитических решений стали активно применять численные
методы для расчета пересекающихся цилиндрических оболочек. В большинстве
случаев используется метод конечных элементов [226]. Одной из первых по применению МКЭ к расчету тройникового соединения цилиндрических оболочек является работа Л. Германна (L. R. Herrmann) и Дж. Кэмпбелла (J. Campbell) [34].
Оболочки смоделированы плоскими треугольными конечными элементами смешанного типа с двенадцатью степенями свободы. Такие элементы применены в
работе [163] для решения задач о деформировании тройниковых соединений под
действием различного вида нагрузок. Плоские треугольные элементы также применялись [184, 200, 202] для анализа НДС тройниковых соединений при действии
различных нагрузок, чаще всего внутреннего давления.
20
Для расчета радиального соединения цилиндрических оболочек в работе
[199] использованы плоские элементы повышенной точности, что приводит, с одной стороны, к уменьшению общей размерности задачи, а с другой – к росту трудоемкости вычислительной процедуры вследствие увеличения ширины ленты
матрицы жесткостей. В работе [26] для расчета крестообразных соединений цилиндрических оболочек использованы криволинейные треугольные элементы
смешанного типа с двадцатью четырьмя степенями свободы. В работах [77, 78,
204] представлены результаты расчета тройниковых соединений с использованием криволинейных элементов прямоугольной и треугольной формы.
Расчеты сварных и штампованных тройниковых соединений цилиндрических
оболочек под действием различных нагрузок проведены А.М. Белостоцким [12,
13, 14, 15, 17, 18, 19, 20]. В разработанной автором программе применяются восьмиузловые оболочечные элементы суперпараметрического типа. Дан анализ
влияния конструктивных параметров соединения на коэффициент концентрации
напряжений.
Расчет узлов пересечения цилиндрических оболочек с использованием элементов оболочки типа С. П. Тимошенко (с учетом деформаций поперечного сдвига) [141] приведено в работе [158].
Анализ НДС различных видов соединений цилиндрических оболочек методом конечных элементов на основе теории тонких оболочек с использованием четырехугольных оболочечных элементов под действием разных нагрузок выполнен В.Н. Скопинским с соавторами [125, 126, 127, 128, 129, 130, 132, 212].
1.3. Методы расчета узлов пересечения тонких цилиндрических оболочек с
учетом пластических деформаций материала
В научно-технической литературе известны работы, посвященные анализу
НДС пересекающихся цилиндрических оболочек и выполненные, в основном, в
линейной постановке. Гораздо в меньшей степени представлены задачи нелинейного анализа подобных систем.
21
Сначала рассмотрим некоторые экспериментальные исследования упругопластического деформирования пересекающихся цилиндрических оболочек при
статическом нагружении. По-видимому, первые эксперименты по изучению
тройникового соединения цилиндрических оболочек за пределом упругости описаны в работе [171]. Представлены результаты испытаний одиннадцати моделей в
виде графиков зависимостей «давление – осевое перемещение торца патрубка» и
«давление – изменение объема». К.Д. Клер (K.D. Clare) и С.С. Жиль (S.S. Gill)
проводили экспериментальные исследования с целью определения предельного
давления для цилиндрического сосуда с ортогональным патрубком [169]. В статье
[168] приведены результаты экспериментов для двух моделей тонкостенного сосуда с радиальным цилиндрическим патрубком при упругопластическом деформировании оболочек и даны зависимости «внутреннее давление – характерное перемещение». Результаты испытаний различных моделей соединения цилиндрического сосуда с патрубком (радиальным и тангенциальным) содержатся в работе
[176]. Показаны графики зависимостей «давление – перемещение». Установлено
небольшое различие в предельном давлении для этих видов пересечений оболочек. Испытания стальных тройниковых соединений при действии различных нагрузок, проведенные с целью изучения упругопластического поведения конструкции и определения предельных нагрузок, описаны в работах [174, 175].
В работе [181] на основании проведенных экспериментов проанализированы
особенности пластического деформирования цилиндрических сосудов с патрубками под действием комбинированных нагрузок (внутреннее давление, осевые
силы и изгибающие моменты, действующие в главной плоскости). Приведено сопоставление полученных экспериментальных результатов с расчетными решениями, полученными с помощью современных программных комплексов MSC
NASTRAN – PATRAN и ABAQUS. Установлено хорошее соответствие между
экспериментальными и расчетными результатами. Следует отметить и другие
экспериментальные исследования для пересекающихся цилиндрических оболочек
при действии внутреннего давления [11], внутреннего давления и внешних моментов [210], изгибающих моментов в поперечном сечении патрубка [211], ком-
22
бинированной нагрузки (внутреннее давление и изгибающий момент, действующий в главной плоскости соединения) [183].
В работах [177, 185, 205, 206, 207, 208, 214, 220, 221, 222] представлены результаты ряда экспериментов для различных видов пересечений цилиндрических
оболочек (радиальных и не радиальных), в том числе подкрепленных соединений.
Расчетным исследованиям НДС систем пересекающихся цилиндрических
оболочек с учетом физической нелинейности материалов посвящено не очень
много работ [209, 216, 217, 225]. Первые расчеты проводились, как правило, с использованием приближенных эмпирических формул, полученных с учетом неких
допущений или на основании результатов экспериментальных работ. Такие формулы применимы лишь для конкретных вариантов соединений (с определенными
геометрическими параметрами) и определенного вида нагружений. Причем в подавляющем большинстве случаев применялись или жесткопластические, или идеально упруго-пластические модели материала, как правило, без учета геометрической нелинейности конструкции.
Предельное давление в конструкции тройникового соединения определено с
помощью приближенного метода в работе [170]. Там же приведено сопоставление
с экспериментальными результатами. Теоретическая оценка нижнего предельного
давления ортогонально пересекающихся цилиндрических оболочек дана в статье
[166]. В работе [203] получены нижние предельные давления для тройниковых
соединений цилиндрических оболочек большого диаметра и представлен параметрический анализ. С.Р. Калладин (C.R. Calladine) для сферы с цилиндрическим
патрубком, задавая статически возможное поле напряжений, получил нижнюю
границу несущей способности [167]. В работах [90, 91] приведены результаты исследования НДС жесткопластических цилиндрических оболочек и их ортогонального соединения под действием внутреннего давления. В диссертации [101] разработан алгоритм расчета жесткопластических пересекающихся цилиндрических
оболочек, основанный на кинематическом методе теории предельного равновесия
с применением метода линейного программирования, теории пластического течения и конечно-разностной дискретизации. Определены несущая способность и
23
форма разрушения ортогональных и неортогональных соединений цилиндрических оболочек под действием внутреннего давления.
Работа [24] содержит результаты анализа радиально пересекающихся цилиндрических оболочек с использованием деформационной теории пластичности, метода упругих решений и вариационно-разностного метода дискретизации. Задачи
решены в физически нелинейной и геометрически линейной постановке. Получены зависимости коэффициентов концентрации напряжений и деформаций от
уровня номинальных напряжений, а также зоны пластических деформаций.
Р. Хэмилтон (R. Hamilton) со своими коллегами провел расчетные исследования упруго-пластического деформирования ортогонального пересечения цилиндрических оболочек, используя метод упругой компенсации и обобщенный
критерий текучести [180]. В работе [196] рассмотрено тройниковое соединение
цилиндрических оболочек при действии комбинированной нагрузки (внутреннего
давления и изгибающего момента в поперечной плоскости соединения). Полученные численные результаты сопоставлены с известными экспериментальными
данными. В работах [215, 218, 219] для тройникового соединения, нагруженного
на патрубке изгибающим моментом в главной плоскости, проведен численный
анализ НДС с использованием диаграммы деформирования материала Л. Прандтля (L. Prandtl) и критерия текучести Р. Мизеса (R. Mises). Также проведено сопоставление с экспериментальными результатами. В работе [219] учтены и геометрическая и физическая нелинейности.
Одним из наиболее эффективных численных методов решения задач определения НДС пересекающихся цилиндрических оболочек за пределом упругости
является метод конечных элементов. В работе [182] приведены результаты расчета с помощью МКЭ тройниковых соединений при комбинированном нагружении
внутренним давлением и изгибающими моментами в главной плоскости соединений. Результаты численного расчета по МКЭ сопоставляются с аналитическими
решениями в двумерной и трехмерной постановках задач для не радиального соединения [178]. Получено относительно хорошее совпадение результатов.
24
На основании двух разных подходов: классического предельного равновесия
и численного (МКЭ с применением метода Ньютона) в работе [198] выполнен сопоставительный анализ величин предельных нагрузок для пересекающихся цилиндрических оболочек.
В последнее время для нелинейного анализа многих инженерных конструкций, в том числе цилиндрических оболочек и их соединений, применяют современные конечноэлементные программные комплексы [61, 71], например, MSC
NASTRAN, MSC MARC, ANSYS, ABAQUS, COSMOS, СТАДИО [16], ЛИРА,
SCAD, MicroFE и др. В работах [187, 188, 189, 190] представлена обширная библиография, содержащая более 4000 информационных источников по применению
МКЭ для решения задач определения НДС сосудов давления, тройниковых соединений трубопроводов и других видов пересечений оболочек.
В работах [222, 223] дана оценка разрушающего внутреннего давления тройникового соединения с использованием МКЭ, реализованного в программном
комплексе ANSYS. В работе [173] изложен нелинейный анализ высоконагруженного сосуда с патрубком с помощью МКЭ.
Различные виды тройниковых соединений с укрепляющими накладками рассмотрены в статье [177]. Задачи решены с помощью программного комплекса
ANSYS. Также следует отметить другие работы по упруго-пластическому анализу
узлов пересечения цилиндрических оболочек [21, 29, 124, 131, 133]. Проведено
сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными.
Расчет пересекающихся цилиндрических оболочек проведен в работе [109].
Автор использовал высокоточные одномерные и четырехугольные конечные элементы, теорию пластического течения. Полученные результаты сопоставлены с
аналитическими решениями. В работе [28] на основе упруго-пластического анализа с применением МКЭ, теории оболочек и теории пластического течения рассмотрены пересекающиеся цилиндрические оболочки. Предложена новая оболочечная модель четырехугольного конечного элемента для расчета цилиндрических оболочек и их соединений в геометрически линейной и физически нелинейной постановке задачи.
25
1.4. Современные подходы к расчетам пересекающихся цилиндрических
оболочек, взаимодействующих с окружающей средой
Пересекающиеся цилиндрические оболочки, расположенные в грунтовом
массиве, могут являться конструкциями узлов сопряжения трубопроводов, пересечения тоннелей метрополитена, бензохранилищ и других подземных сооружений. Проблема взаимодействия оболочек с окружающим грунтом достаточно
сложна и мало изучена [23, 65, 72].
Краткие обзоры публикаций по определению НДС цилиндрических оболочек
с заполнителем изложены в работах Ильгамова М.А., Иванова В.А. и Гулина Б.В.
[49, 50], а оболочек в упругой среде – в книге Баженова В.А. [7]. В основном, рассмотренные работы посвящены расчетам оболочек со сплошным упругим заполнителем и оболочек, взаимодействующим с окружающим грунтом. Обзор литературы, посвященной развитию методов расчета подземных трубопроводов, представлен в работе [151].
Грунтовый массив представляет собой не только нагрузку, но и среду, в которой деформируется конструкция. В связи с этим особое внимание следует уделять вопросам контактного взаимодействия оболочек с массивом грунта. В настоящее время для решения такой задачи чаще всего применяют плоские расчетные модели, которые образуются путем вырезания из реальной пространственной
системы двумя поперечными сечениями, отстоящими друг от друга на единицу
длины. В плоской модели оболочка рассматривается как стержневая система единичной толщины, а грунт – как плоская система или основание Фусса – Винклера.
Однако для подземных объектов сложной геометрии, таких как пересекающиеся
оболочки, плоская постановка задачи не применима [72]. Отметим некоторые работы, посвященные вопросам взаимодействиям цилиндрической оболочки с грунтом (грунт рассматривается как упругое основание Фусса – Винклера) [55, 56, 82,
87, 110, 156].
26
Аналитические методы применяют лишь при решении задач с несложной
геометрией, простыми граничными условиями и простейшими моделями поведения материалов. В работах [152, 153, 154, 155] на основе применения операционного исчисления, связанного с преобразованием Лапласа, приведены аналитические решения для замкнутой цилиндрической оболочки с упругим заполнителем,
смоделированным моделями Фусса – Винклера и Власова, с различными краевыми условиями при действии осесимметричной нагрузки.
В работах [25, 31] предложены методики расчета НДС подземных тонкостенных мелиоративных труб, учитывающие пространственный характер их работы и особенности взаимодействия трубы с упругим грунтом под действием произвольной внешней нагрузки. Приведена оценка влияния переменности свойств
грунтов, как по окружности, так и по длине трубы [25].
В книге Григолюка Э.И. и Толкачева В.М. [39] рассмотрена проблема взаимодействия оболочек и пластин с жесткими телами и упругими подкреплениями.
Специально контактным задачам в теории оболочек и стержней посвящена книга
Моссаковского В.И. [93], в которой изложены результаты исследований НДС и
несущей способности тонкостенных оболочечных конструкций при локальных
нагружениях и контактных взаимодействиях. Приведены решения ряда задач контактного взаимодействия оболочечных систем с упругими и нелинейно-упругими
основаниями.
Одним из наиболее эффективных и распространенных численных методов
является метод конечных элементов. В последнее время для анализа НДС системы «пересекающиеся оболочки – массив грунта» преимущественно используют
современные конечноэлементные комплексы, позволяющие учитывать пространственный характер взаимодействия оболочек с окружающим грунтовым массивом. Результаты расчетов подземных магистральных трубопроводов с применением МКЭ приведены в публикациях отечественных и зарубежных авторов [1, 2,
5, 79, 80, 95, 120, 121, 122, 123, 162, 194, 195, 197]. В перечисленных работах расчетные схемы являются комплексными, то есть они включают модели стенки тру-
27
бы, массива грунта, в отдельных случаях и контактные слои между стенкой трубы
и массивом грунта.
Железнодорожные и автодорожные тоннели являются весьма ответственными и сложными подземными сооружениями. На практике нередко встречаются
конструкции пересекающихся тоннельных обделок (проход между перегонными
тоннелями, переход между станциями метрополитена, места сопряжения эскалаторных тоннелей со станционными залами и так далее). Однако, вопрос о взаимодействии таких пересечений с окружающим массивом грунта пока мало изучен,
особенно когда речь идет о нелинейной постановке задачи.
С.Б. Косицыным с соавторами решен ряд задач определения НДС наземных
и подземных сооружений. Ими выполнены пространственные расчеты тройниковых соединений магистральных трубопроводов с учетом упругопластического
деформирования материалов [63], колонных станций метрополитена [68, 69], корпуса щита в связи с его падением в монтажный котлован [67], несущей конструкции эскалаторного зала проектируемого второго выхода станции метро «Маяковская» [66], перегонных тоннелей [43] и исследования по плоской модели оболочек
тоннельного перехода «Лефортово» в г. Москве [70].
Среди тонкостенных конструкций, взаимодействующих с окружающим
грунтом, значительное место занимают тонкостенные емкости (резервуары) для
хранения жидких и газообразных продуктов [81, 117, 148]. Глубины заложения
таких резервуаров обычно невелики, в некоторых случаев часть конструкции может находиться над поверхностью грунта, то есть резервуар расположен в приповерхностном слое грунта. Если по расчетам магистральных трубопроводов имеется довольно много работ, и исследования идут, в основном, по пути уточнения
имеющихся методик, то методы расчетов конструкций, расположенных в приповерхностном слое грунта, еще не достаточно развиты. Поэтому разработка и исследование таких методов, особенно с учетом геометрической и физической нелинейностей материалов оболочек и грунта, является весьма актуальной задачей.
Характерной особенностью подземных резервуаров является их небольшая
длина. В связи с этим плоская расчетная модель, приемлемая для длинных трубо-
28
проводов, в расчетах подземных резервуаров не применима. Картина НДС оболочек подземных хранилищ достаточна сложная и содержит краевые эффекты и
другие локальные явления. В работе [148] предложена методика расчета коротких
вертикальных и горизонтальных цилиндрических оболочек, расположенных в
приповерхностном слое грунта, учитывающая собственный вес конструкций,
внутреннее давление сохраняемого продукта и его паров и двустороннее контактное взаимодействие с грунтом согласно модели Фусса – Винклера. Материал оболочек принят упругим.
1.5. Выводы по главе 1
Проведенный краткий анализ публикаций по рассматриваемой тематике позволил сформулировать следующие выводы.
1. В расчетах тонких оболочек, в том числе их пересечений, чаще всего используется теория оболочек, основанная на гипотезах Кирхгофа – Лява.
2. В настоящее время в связи с развитием компьютерных технологий для
анализа НДС оболочек наиболее эффективны численные методы, в частности метод конечных элементов.
3. В целях создания наиболее рациональных пространственных конструкций,
образованных из тонкостенных цилиндрических оболочек и их пересечений, необходимо учитывать в расчетах возникновение пластических деформаций материала и геометрическую нелинейность. Наиболее прогрессивной в настоящее
время является теория пластического течения. Однако вопросы ее применения в
расчетах пресекающихся цилиндрических оболочек еще мало изучены.
4. Методика решения пространственных задач одностороннего контактного
взаимодействия оболочек, в том числе пересекающихся, с окружающим грунтом,
особенно учитывающая геометрическую и физическую нелинейности взаимодействующих объектов, еще недостаточно проработана.
29
5. Проблемы учета в расчетах поэтапного возведения (особенно закрытым
способом) подземных сооружений чрезвычайно важны и актуальны, однако в настоящее время мало исследованы.
В связи с выше изложенным сформулирована цель настоящей диссертации:
– разработка и совершенствование расчетных моделей цилиндрических оболочек, в том числе пересекающихся и взаимодействующих с окружающим массивом грунта с учетом геометрической, физической и конструктивной нелинейностей.
В работе предполагается решить следующие задачи:
– проанализировать влияние типа расчетной модели (линейная, геометрически нелинейная, физически нелинейная, учитывающая оба вида нелинейностей), а
также различных видов диаграмм деформирования материала на напряженнодеформированное состояние пересекающихся цилиндрических оболочек трубопроводов и железнодорожных цистерн;
– оценить влияние размеров пространственного фрагмента грунтового массива, окружающего подземное сооружение, на степень затухания возмущений
НДС грунта, вызванных наличием этого сооружения.
– разработать методику, учитывающую одностороннее контактное взаимодействие и связывающую различные модели грунта, окружающего цилиндрическую оболочку: упругое основание Фусса – Винклера, модель приведенного упругого слоя, модель объемного массива, получить уточненную формулу для приведенного модуля упругости упругого слоя;
– разработать расчетную модель одностороннего взаимодействия оболочки и
окружающего массива грунта, выполнить сравнительный анализ различных моделей взаимодействия оболочки с массивом грунта;
– разработать упрощенную модель последовательности возведения подземных объектов на примере пересекающихся цилиндрических оболочек тоннельных
обделок, находящихся в массиве упругопластического грунта, с учетом возможного одностороннего взаимодействия оболочек и грунта;
30
– решить ряд практических задач о пространственном взаимодействии оболочек и массива грунта в линейной и нелинейной постановках задач.
31
ГЛАВА 2. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ЗАДАЧАХ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
2.1. Конечные элементы для расчета балочных систем
В настоящее время МКЭ является основным методом расчета строительных
конструкций [3, 57, 107, 108]. Его достоинства заключаются в универсальности и
эффективности в практических расчетах. МКЭ в расчетах балочных систем принципиально не отличается от метода перемещений с учетом продольных деформаций стержней. Для построения матрицы жесткостей и грузового вектора можно
использовать вариационный принцип Лагранжа и метод Ритца [108]. Полная
энергия Э деформированной консервативной системы равняется сумме потенциальной энергии внутренних сил U и потенциала внешней нагрузки П:
Э=U+П
(2.1)
Канонические уравнения равновесия имеют вид:
r11Z1+r12 Z 2+ … + r1n Z n+R1F=0;
r21 Z 1+r22Z2+ … + r2n Z n+R2F=0;
.………………………………..;
(2.2)
rn1 Z 1+rn2 Z 2+ … + rnn Z n+RnF=0.
Или в матричной форме:
RZ  R F  0 ,
(2.3)
T
где: Z – вектор обобщенных перемещений (Z  Z1 , Z2 ,..., Zn ) ;
T
R F – вектор обобщенных внешних сил ( R F  R1F , R2 F ,..., RnF ) ;
 r11
r
21
R
 ...

rn1
r12
r22
...
rn 2
... r1n 
... r2 n 

– матрица жесткостей;
... ... 

... rnn 
 2Э
 2U
rij 

;
Z i Z j Z i Z j
(2.4)
32
RiF 
П
.
Z i
(2.5)
Рассмотрим плоский балочный конечный элемент (EI = const, EA = const),
испытывающий растяжение и изгиб в вертикальной плоскости (рисунок 2.1).
Рисунок 2.1. Балочный конечный элемент в местной системе координат
Продольные перемещения u (x) и прогибы v (x ) точек элемента в местной
системе координат запишем в следующем виде:
u ( x) 
 Z f ( x) ;
(2.6)
i i
i 1, 4
v( x) 
Z
i
f i ( x),
(2.7)
i  2, 3, 5, 6
где: Zi – узловые обобщенные перемещения элемента; fi (x) – базисные функции:
f1 ( x)  1  ( x / l );


f 2 ( x)  1  3( x / l )  2( x / l ) ; 
f 3 ( x)  x(1  2( x / l )  ( x / l ) 2 );

f 4 ( x)  x / l ;

2
3

f 5 ( x)  3( x / l )  2( x / l ) ;

f 6 ( x)  x(( x / l )  ( x / l ) 2 ). 
2
3
(2.8)
Потенциальная энергия внутренних и внешних сил вычисляются по следующим формулам:
l
U
l
1
1
'
2
EA
(
u
(
x
))
dx

EI (v '' ( x)) 2 dx;


20
20
(2.9)
33
l
l
П    q x u ( x)dx   q y v( x)dx.
0
(2.10)
0
где: E – модуль упругости материала, A – площадь поперечного сечения, I – момент инерции сечения.
Компоненты матрицы жесткостей и грузового вектора найдем, исходя из выражений (2.4) – (2.10):
l
rij   EAf i ' ( x) f j' ( x )dx
(i  1,4;
0
l
rij   EIf i '' ( x ) f j'' ( x)dx
(i  2,3,5,6;
0
rij  0
(i  1,4;
rij  0
(i  2,3,5,6;
j  2,3,5,6);
j  1,4).
l
RiF    q x f i ( x)dx
0
l
RiF    q y f i ( x )dx.
0





j  2,3,5,6);




j  1,4);




(i  2,3,5,6).

(2.11)
(i  1,4);
(2.12)
2.2. Двумерные конечные элементы, применяемые в расчетах тонких
оболочек
При расчете по МКЭ цилиндрических оболочек часто применяются плоские
оболочечные конечные элементы. Плоские конечные элементы, используемые для
расчетов оболочек, испытывают два вида деформации: в своей плоскости и из
плоскости, но не учитывают взаимного влияния таких деформаций. Для примера
рассмотрим плоский четырехузловый прямоугольный конечный элемент (рисунок
2.2). Считаем, что для него справедливы гипотезы Кирхгофа – Лява.
34
Рисунок 2.2. Плоский прямоугольный конечный элемент,
применяемый для расчетов оболочек, в местной системе координат
(узловые неизвестные в узлах 2, 3 и 4 не показаны)
В качестве узловых неизвестных принимаются поступательные перемещения
и углы поворота узлов (в каждом узле по шесть степеней свободы). Вектор неизвестных узловых обобщенных перемещений имеет вид:
e

Z  Z1
Z2
Z3
Z4
.
T
Z k – вектор неизвестных узловых обобщенных перемещений k-го узла:
T

Zk  uk
Угол поворота
vk
wk
 xk
 yk  zk .
 zk не дает вклада в построение матрицы жесткостей, но он
необходим для увязки степеней свободы при произвольной ориентации конечного
элемента.
Поступательные перемещения точек внутри элемента в его плоскости:
4
u ( x, y )   u kФk ( x, y ) ;
(2.13)
k 1
4
v( x, y )   vk Фk ( x, y )
k 1
где: Ф k ( x, y ) – базисные функции.
(2.14)
35
Ф1 ( x, y )  (1  ( x / a ))(1  ( y / b));

Ф2 ( x, y )  ( x / a)(1  ( y / b));


Ф3 ( x, y )  (1  ( x / a))( y / b);


Ф4 ( x, y )  ( x / a)( y / b).
(2.15)
Поле прогибов w(x, y) задано в виде полинома, симметричного относительно
осей x и y:
w( x, y )  1   2 x   3 y   4 x 2   5 xy   6 y 2   7 x 3   8 x 2 y   9 xy 2  10 y 3  11 x 3 y  12 xy 3 (2.16)
Углы поворота определены так:
 x  x, y   w( x, y ) / y 

 y  x, y   w( x, y ) / x 
(2.17)
.
Матрица жесткостей в местной системе координат имеет вид:
 R 11

 R 21
Re  
 R 31

 R 41
R 12
R 13
R 22
R 23
R 32
R 33
R 42
R 43
R М
ij
R ij  
 0

R 14 

R 24 
;
R 34 

R 44 
(2.18)
0
;
R иij 
(2.19)
RМ
ij – жесткости, соответствующие мембранным деформациям конечного элемента в рамках плоской задачи теории упругости, определяются по формуле:
a b
R  h BT ( x, y)DB( x, y)dxdy,
М
(2.20)
0 0
где: h – толщина элемента; a, b длина сторон элемента; B(x, y) – матрица, содержащая производные от базисных функций Фk(x, y):
 Ф1

 x
B( x, y )   0

 Ф
 1
 y
0
Ф1
y
Ф1
x
Ф2
x
0
Ф2
y
0
Ф2
y
Ф2
x
Ф3
x
0
Ф3
y
0
Ф3
y
Ф3
x
Ф4
x
0
Ф4
y

0 

Ф4 
;
y 
Ф4 

x 
(2.21)
36
D – матрица, содержащая физические постоянные материала:

1
E 
D

1 2 
 0
0


0


(1   ) / 2 
.
1
0
(2.22)
R иij – жесткости, соответствующие деформациям плоского конечного эле-
мента при его изгибе, определяются по формуле:
h3 1
R 
L
12
a b
   B
и
T
T
( x, y )DB и ( x, y ) dxdyL1
и
(2.23)
0 0
где:
LT  L1
L2
L4  .
L3
(2.24)
Матричные блоки, входящие в (2.24) имеют вид:
1

L 1  0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0 ;

0 
a
0
a2
0
0
a3
0
0
0
0
0
1
0
a
0
0
a2
0
0
a3
1
0
 2a
0
0
 3a 2
0
0
0
0
0
b
0
0
b2
0
0
0
b3
0
0
1
0
0
2b
0
0
0
3b 2
0
1
0
0
b
0
0
0
 b2
0
0
a
b
a2
ab
b2
a3
a 2b
ab 2
b3
a 3b
0
1
0
a
2b
0
a2
2ab
3b 2
a3
1
0
 2a
b
0
 3a 2
 2ab
 b2
0
 3a 2b
1

L 2  0

0

1

L3  0

0

1

L 4  0

0

0
0

0 ;

0
0 

0 ;

3
b 
ab3 

3ab 2  .

3 
b 
B и(x, y) – функциональная матрица, содержащая вторые производные от членов
аппроксимирующего полинома (2.16) по координатам x, y:
37
0

B и ( x, y )  0

0
0
0
2
0
0
6x
2y
0
0
6 xy
0
0
0
0
2
0
0
2x
6y
0
0
0
0
2
0
0
4x
4y
0
6 x2
0 

6 xy 

6 y 2 
(2.25)
Методы расчета конструкций, изложенные выше для линейных систем, могут
быть использованы при учете геометрической и физической нелинейностей. Учет
одного или обоих этих видов нелинейностей приводит к получению разрешающей
системы уравнений, содержащей нелинейные члены [107]. В связи с этим для получения решений здесь необходимо использовать различные методы последовательных приближений.
При учете физической нелинейности соотношение между вектором напряжений σ и вектором узловых обобщенных перемещений Z можно представить в
следующем виде [107]:


σ  E( Z ) Z ,
(2.26)
где: E(Z) – матрица, зависящая от узловых обобщенных перемещений.
При учете геометрической нелинейности зависимость между вектором деформаций ε и вектором узловых обобщенных перемещений Z перестает быть
линейной [107]:


ε  D(Z) Z
(2.27)
где: элементы матрицы D(Z) является функциями компонентов вектора Z .
По принципу возможных перемещений получаем:


ε  D* ( Z ) Z
(2.28)
где: D* – матрица, элементы которой определяются по следующей формуле:
n
d is
Zs

Z
s 1
j
dij*  d ij  
(2.29)
.
Здесь: dij – элемент матрицы D, компоненты которой зависят от положения рассматриваемой точки.
Матрица жесткостей вычисляется по формуле [107]:
38
T
 
R *   D* EdV
(2.30)
V
где:E – матрица, элементы которой зависят от положения рассматриваемой точки
и свойств материала.
2.3. Объемные конечные элементы
Объемные конечные элементы применяются для аппроксимации трехмерного тела, у которого НДС описано с помощью всех компонентов тензоров напряжений и деформаций (по шесть). В практических расчетах используют различные
виды объемных конечных элементов: тетраэдры, призмы, параллелепипеды, а
также объемные конечные элементы с криволинейными поверхностями и так далее. В качестве примера рассмотрим объемный восьмиузловой конечный элемент
в виде параллелепипеда (рисунок 2.3).
Рисунок 2.3. Объемный конечный элемент в местной системе координат
(узловые неизвестные в узлах 1, 2, 3, 4, 5, 7 и 8 не показаны)
Зададим поступательные перемещения точек элемента в местной системе координат в виде:
39
8

u ( x, y, z )   u kФk ( x, y, z ); 
k 1

8

v( x, y , z )   vk Фk ( x, y, z ); 
k 1

8

w( x, y, z )   wk Фk ( x, y, z ).
k 1

где:
(2.31)
Фk ( x, y , z ) – базисные функции трех переменных x, y, z:
Ф1 ( x, y, z )  (1  ( x / a))(1  ( y / b))(1  ( z / c));

Ф2 ( x, y , z )  ( x / a)(1  ( y / b))(1  ( z / c));


Ф3 ( x, y, z )  (1  ( x / a ))( y / b)(1  ( z / c));

Ф4 ( x, y , z )  ( x / a)( y / b)(1  ( z / c));


Ф5 ( x, y, z )  (1  ( x / a))(1  ( y / b))( z / c );


Ф6 ( x, y, z )  ( x / a )(1  ( y / b))( z / c);

Ф7 ( x, y , z )  (1  ( x / a))( y / b)( z / c);


Ф8 ( x, y, z )  ( x / a)( y / b)( z / c).

(2.32)
Матрица жесткостей вычисляется по следующей формуле:
a b c
R e    B T ( x, y, z ) DB( x, y , z )dxdydz
(2.33)
0 0 0
где: B(x,y,z) – матрица, содержащая производные от базисных функций:
 Ф1
 x

 0


 0
B( x, y , z )  
Ф
 1
 y

 0

 Ф1
 z
0
0
...
Ф8
x
0
Ф1
y
0
...
0
Ф8
y
0
Ф1
z
...
0
0
0
...
Ф8
y
...
0
Ф8
x
Ф8
z
...
Ф8
z
Ф1
x
Ф1
z
0
Ф1
y
Ф1
x
0

0 

0 

Ф8 
z 

0 

Ф8 

y 
Ф8 
x  ;
D – матрица, содержащая физические постоянные материала:
(2.34)
40
2G  

 

 
D
 0

 0

 0



0
0
2G  

0
0

2G  
0
0
0
0
G
0
0
0
0
G
0
0
0
0
0

0

0

0

0

G  ;
G – модуль сдвига;  – коэффициент Пуассона;  – параметр Ламе:  
(2.35)
2G
.
1  2
Матрицу жесткостей для объемного конечного элемента при учете геометрической и физической нелинейностей можно получить по формулам (2.26) – (2.30).
2.4. Конечные элементы для решения контактных задач
Контактные задачи с заранее неизвестной, меняющейся в процессе нагружения зоной контакта часто встречаются в строительстве, машиностроении и других
отраслях техники. Контактные взаимодействия появляются на стыке подземных
сооружений с окружающими массивами грунта. Грунты практически сопротивляются только сжатию, а при попытке их растянуть контакт между взаимодействующими объектами нарушается, и появляются так называемые зоны «отлипания». Контактные взаимодействия такой природы принято называть односторонними. Односторонние взаимодействия могут быть с учетом или без учета поперечного трения. Задачи подобного класса являются конструктивно нелинейными.
Зоны «отлипания» заранее неизвестны и могут быть определены только в процессе решения задачи методом последовательных приближений. Контактные задачи
решаются как аналитическими, так и численными методами. Наиболее распространенным и удобным для практического использования является метод конечных элементов. При решении задач с помощью МКЭ на систему накладывают односторонние связи и итерационным методом уточняют их состояние. Для моделирования односторонних связей применяют специальные контактные конечные
элементы. Например, в программном комплексе MSC.NASTRAN существуют
41
различные контактные конечные элементы: GAP, SPC, SLIDE LINE. Рассмотрим
GAP элемент. Он предназначен для моделирования взаимодействия поверхностей
по типу контакта «узел – узел». GAP элемент соединяет два узла (рисунок 2.4),
которые первоначально могут даже совпадать. Связь между узлами (открытие или
закрытие) определяется в GAP направлении (ось x).
Рисунок 2.4. GAP элемент и его местная система координат
Чтобы аппроксимировать одностороннее взаимодействие GAP элементом,
необходимо задать его жесткость при сжатии как можно большой (стремящейся к
бесконечности), а жесткость при растяжении близкой к нулю (теоретически нулевой). Поперечное трение между объектами можно учесть, задавая коэффициент
трения покоя. В соответствии с требованиями алгоритма расчета, жесткости при
сжатии и растяжении для GAP элемента должны быть аккуратно выбраны (разница между ними не должна превышать 14 порядков), так как слишком большая величина разброса жесткостей может вызвать вычислительные трудности. GAP
элемент не учитывает геометрическую и физическую нелинейности.
Учет одностороннего контактного взаимодействия объектов производится
добавлением к матрице жесткостей R всей системы матрицы жесткостей GAP
элементов Rc, на главной диагонали которой расположены следующие коэффициенты (остальные коэффициенты равны нулю) [108]:
rii = c,
(2.36)
42
где: c – жесткость контактного элемента (может быть различной при растяжении
и сжатии).
2.5. Учет физической нелинейности материала. Основные соотношения
теории пластического течения
Твердые тела являются упругими лишь при достаточно малых нагрузках. Если воздействия – значительные, то тела испытывают неупругие, пластические деформации. В случае одноосного растяжения или сжатия пластические деформации возникают, когда нормальные напряжения достигают предела текучести материала. Если напряжения меньше предела текучести, то материал деформирован
упруго, а если больше, то появляются пластические деформации. Для не одноосного напряженного состояния пластические деформации возникают, когда напряжения удовлетворяют соответствующему условию начала текучести (или пластичности).
Для расчета конструкций в физически нелинейной постановке задачи применяют различные теории пластичности: теорию малых упруго-пластических деформаций (деформационную теорию), теорию пластического течения и другие их
модифицированные варианты [6, 22, 33, 51, 92]. В деформационной теории устанавливается связь между полными напряжениями и деформациями, а в теории
пластического течения – между бесконечно малыми приращениями деформаций и
напряжений. Преимущество деформационной теории заключается в сокращении
объема вычислений в связи с отсутствием необходимости рассматривать всю историю нагружения. Однако теория малых упруго-пластических деформаций имеет существенный недостаток: справедлива лишь при простом нагружении (или
близком к простому). Теория пластического течения справедлива как при простом, так и при сложном нагружении, а также позволяет учитывать историю нагружения. Наиболее часто в теории течения применяют следующие критерии текучести: для однородного изотропного материала – Треска – Сен-Венана (рисунок
2.6, а), Хубера – Мизеса (рисунок 2.6, б), для материалов, по разному сопротив-
43
ляющихся растяжению и сжатию – Мора – Кулона (рисунок 2.6, в), Друкера –
Прагера (рисунок 2.6, г). Рассмотрим подробнее основы теории пластического течения.
В общем случае для изотропного материала функция текучести зависит от
компонентов напряжений и имеет вид:
f  1 ,  2 ,  3   const  K ,
(2.37)
где K – константа материала, связанная с пределом текучести.
Выражение (2.37) зависит от инвариантов тензора напряжений:
f  , I 2 (T ), I 3 (T )   K .
(2.38)
Многочисленные эксперименты свидетельствуют о том, что при всестороннем растяжении или сжатии материал деформируется упруго. Тогда условие текучести получает следующий вид:
f I 2 ( D ), I 3 ( D )   K .
(2.39)
Здесь: второй и третий инварианты девиатора напряжений определяются по следующим формулам [88, 53]:
1
( x   y ) 2  ( y   z ) 2  ( z   x ) 2  6( xy2   yz2   xz2 ) ;
6
1
I 3 ( D )  [2  x3   3y   z3  3  x2 y   y2 z   z2 x   x y2   y z2   x2 z  12 x y z
27
2
9 x  xy  2 yz2   xz2  9 y  xy2  2 xz2   yz2  9 z  xz2  2 xy2   yz2  54 xy yz xz ]
I 2 ( D ) 




 











(2.40)




Одним из основных критериев пластичности для металлов является критерий
Хубера – Мизеса:
и 
1
( 1   2 ) 2  ( 2   3 ) 2  ( 1   3 )2   T .
2
(2.41)
Здесь  и – интенсивность напряжений или эквивалентные напряжения.
Поверхность текучести для этого критерия является симметричным относительно гидростатической оси  1   2   3 цилиндром (рисунок 2.6, б).
Процесс пластической деформации является необратимым. Напряжения в
конечном итоге зависят от пути деформирования и истории нагружения. Уравнения теории пластичности устанавливают связь между дифференциалами напря-
44
жений и деформаций. В практических расчетах дифференциалы заменяются конечными приращениями. Приведем исходные положения теории пластического
течения с изотропным упрочнением [51, 53].
1. Материал принят изотропным.
2. Относительное изменение объема  считается малым, является упругой
деформацией и пропорционально среднему напряжению :
  3k   ,
(2.42)
d  3k  d .
(2.43)
или в дифференциалах
Здесь:
  1   2   3 ;   1  2  3  3 ; k  1  2  E ,
(2.44)
где: 1 , 2 , 3 – главные напряжения; 1 , 2 ,3 – главные относительные деформации; E – модуль упругости; G – модуль сдвига;  – коэффициент Пуассона.
3. Полные дифференциалы составляющих тензора деформаций dij являются
e
p
суммой дифференциалов упругих d ij и пластических деформаций d ij :
dij  dije  dijp ,
где:


3
d eij   dij 
ij d 
1 


2G  ;
(2.45)
(2.46)
d ijp  d  sij ;
(2.47)
G  E 21    ;
(2.48)
1, если i  j 
 ij  
;
0
,
если
i

j


(2.49)
sij – компоненты девиатора напряжений; d – некоторый бесконечно малый скалярный множитель.
45
4. Девиатор дифференциалов пластических деформаций Dd p и девиатор напряжений D пропорциональны:
Dd p  d  D
(2.50)
.
5. При разгрузке материал подчиняется закону Гука, то есть является линейно упругим (2.46).
В матричной форме вектор приращений напряжений d σ выражается через
вектор приращений деформаций при помощи упруго – пластической матрицы
D*ep :
d σ  D*ep d ε
(2.51)
где:
T
T
 f  f  
 f   f 
*
Dep  D  D   D C    D 
 σ  σ  
 σ   σ 
1
(2.52)
здесь: D – матрица, содержащая упругие постоянные материала (формула 2.35);
C 
1 f
d .
 
(2.53)
В случае материала с упрочнением, параметр χ отвечает за смещение поверхности текучести. Фактически этот параметр определяется как часть работы при
развитии пластических деформаций:
T
d   1d1p   2 d 2p  ...  σ d ε p
(2.54)
Учитывая, что по закону течения:
d   σ
T
f
,
σ
(2.55)
И исключая λ из (2.53), получим С при условии, что известна зависимость
C
f T f
σ
 σ
(2.56)
46
Если материал упрочняющийся, то множитель d пропорционален дифференциалу работы пластической деформации. Чаще всего функцию упрочнения
[88] определяют по диаграмме растяжения материала при одноосном напряженном состоянии. Для материала с упрочнением пластическое деформирование сопровождается изменениями поверхности текучести. Если при упрочнении поверхность текучести геометрически подобно трансформировалась, не изменяя
свое положение, то имеет место изотропное упрочнение (рисунок 2.5, а); если
сдвинулась в пространстве напряжений, не изменяя размеры и форму, то упрочнение называют кинематическим (рисунок 2.5, б). Смешанное упрочнение представляет собой комбинацию двух описанных выше видов упрочнения (рисунок
2.5, в).
Рисунок 2.5. Виды упрочнения: а) изотропное; б) кинематическое;
в) смешанное.
Как известно, грунты хорошо работают на сжатие и фактически не работают
на растяжение. В связи с этим для грунтов применяют модели, позволяющие
учесть различие в свойствах материалов при растяжении и сжатии. В таких моделях используются критерии пластичности Мора – Кулона и Друкера – Прагера. В
отличие от условия пластичности Мора – Кулона (рисунок 2.6, в) поверхность текучести критерия Друкера – Прагера является круговым конусом (рисунок 2.6, г).
47
Рисунок 2.6. Поверхности текучести:
а) критерий Треска – Сена – Венана;
б) критерий Хубера – Мизеса;
в) критерий Мора – Кулона;
г) критерий Друкера – Прагера
Функция текучести модели Друкера – Прагера записана в виде:
f I1 , I 2   I 2  I1  k ,
(2.57)
где I1, I2 – инварианты (2.40),  и k параметры, характеризующие свойства материала. Эти параметры связаны со сцеплением с и углом внутреннего трения 
следующими соотношениями:

2 sin 
;
3 3  sin 
k
6c cos 
.
3 3  sin  
(2.58)
48
2.6. Методы решения нелинейных задач строительной механики
Нелинейный анализ конструкций с помощью МКЭ приводит к необходимости решения систем нелинейных алгебраических уравнений высокого порядка
[46]:

[R0  R  RL ]Z  RF ,
(2.59)

где R F – вектор внешних нагрузок; Z – вектор перемещений; R 0 – обычная мат-
рица жесткостей при малых деформациях; R  – матрица, обусловленная начальными напряжениями (эта матрица известна как матрица начальных напряжений,
которые имеются в наличии, начиная со второй итерации); матрица R L учитывает
наличие больших перемещений; суммарная матрица R  R 0  R   R L называется
полной матрицей касательных жесткостей.
Одним из наиболее эффективных методов решения уравнений (2.59) является
сочетание шаговой процедуры с итерационным методом Ньютона – Рафсона.
Суть шагового нелинейного статического анализа состоит в построении кривой
равновесных состояний. Нагрузка прикладывается по шагам. На каждом шаге
осуществляется итерационный процесс для удовлетворения уравнений (2.59) при
помощи метода Ньютона – Рафсона.
В классическом варианте метода Ньютона – Рафсона в начальной точке (рисунок 2.7, а, точка 0) вычисляется жесткость R  0 , обусловливающая наклон кривой RF(Z) в данной точке. Затем, для приращения RF i определяется соответствующий вектор Z1. На следующем шаге вычисляются жесткость R 1 , соответствующая Z1 и разностный вектор H 1. Такие итерации следует продолжать до тех
пор, пока величина H не станет удовлетворять заданным критериям сходимости.
Для многих случаев этот метод довольно быстро сходится, однако он требует
формирования и решения следующей системы уравнений на каждой итерации:

F (Z)  R  (Z)Z  R F  0.
(2.60)
49
Процедура решения метода Ньютона – Рафсона на отдельном шаге имеет вид
[57]:
1 
Z k 1  Z k  R  (Z k ) F(Z k ) , (k = 0, 1, 2 …).


(2.61)
Рисунок 2.7. Схема шагового алгоритма метода Ньютона – Рафсона:
а) классический метод Ньютона – Рафсона;
б) модифицированный метод Ньютона – Рафсона
В модифицированном методе Ньютона – Рафсона тангенциальная матрица
жесткости вычисляется лишь однажды (в начальной точке 0). В связи с этим направление всех векторов линейных шагов, начиная со второго, будет совпадать с
направлением стартового (рисунок 2.7, б). Как видно из рисунка 2.7, б, модифицированный метод требует большего количества шагов и итераций. Однако эти
итерации, не требующие нового построения матрицы жесткости, относительно
просты и общие затраты времени на процесс вычислений могут уменьшаться. Недостатком модифицированного метода Ньютона – Рафсона по сравнению с классическим методом является меньшая «область притяжения» начального приближения к точному решению.
В современных конечноэлементных комплексах используется комбинация
описанных выше алгоритмов [58]. Суть ее заключается в том, что матрица жесткостей обновляется не на каждой итерации, а с определенной периодичностью
(после несколько итераций, количество которых задается пользователем).
50
2.7. Заключение по главе 2
1. Расчеты цилиндрических оболочек по плоской расчетной модели чаще
всего производят при помощи прямолинейных балочных конечных элементов с
тремя неизвестными обобщенными перемещениями в каждом узле. Подобные
элементы кратко рассмотрены в данной главе.
2. Для пространственных расчетов цилиндрических оболочек, как в линейной, так и в нелинейной постановках задач, широкое распространение получили
плоские четырехузловые конечные элементы с шестью неизвестными перемещениями в каждом узле. Именно такие элементы кратко описаны в настоящей главе.
3. Для аппроксимации объемных массивов грунта используют трехмерные
конечные элементы (тетраэдры, призмы, параллелепипеды), как правило, с тремя
степенями свободы в узле. Пример такого параллелепипеда рассмотрен в этой
главе.
4. Для решения контактной задачи часто применяют контактные элементы,
работающие по схеме «узел – узел». В настоящей главе описан подобный контактный элемент (GAP элемент), имеющий разные жесткости при растяжении и
сжатии.
5. В этой главе даны основные соотношения теории пластического течения,
как для материалов типа металлов, так и для материалов, по разному сопротивляющихся растяжению и сжатию.
6. Настоящая глава содержит краткое описание шаговой процедуры решения
системы нелинейных алгебраических уравнений с дополнительной коррекцией
решения на каждом шаге итерационным методом Ньютона – Рафсона.
51
ГЛАВА 3. АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК МЕТОДОМ
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
3.1. Анализ густоты сетки конечных элементов в расчетах круговых
цилиндрических оболочек
3.1.1. Подбор размеров плоских конечных элементов для оболочек без
краевых эффектов
В настоящем параграфе рассмотрен вопрос о подборе размеров стержневых
балочных и плоских двумерных конечных элементов для моделирования круговых цилиндрических оболочек при плоской и пространственной постановках задач.
Расчеты проведены для цилиндрических оболочек радиусом R = 1 м, длиной l
= 2 м, толщиной δ = 0,02 м, изготовленных из материала со следующими характеристиками: модулем упругости E = 31010 н/м2, коэффициентом Пуассона µ = 0,2,
нагруженных внешним равномерным радиальным давлением q = 1000 н/м2. Материал оболочек считался неограниченно линейно упругим. Для расчетов использован программный конечноэлементный комплекс MSC PATRAN – NASTRAN.
Если оболочка достаточно длинная, и нет факторов, вызывающих возмущение ее НДС (оболочка со свободными краями), то для ее расчета можно применять плоскую схему, полученную путем вырезания конечного фрагмента оболочки (рисунок 3.1). В данном случае длина фрагмента оболочки принята равной l = 1
м. Плоская расчетная схема смоделирована балочными конечными элементами с
двумя узлами по шесть степеней свободы в каждом узле.
52
Рисунок. 3.1. Плоская расчетная схема цилиндрической оболочки.
Известны формулы [141] для определения продольной силы N и радиального
перемещения w в кольце:
N   qR;
(3.1)
qR 2
w
,
EA
(3.2)
где: A – площадь поперечного сечения кольца.
Подставляем соответствующие значения в формулы (3.1) и (3.2), получим:
N  1000  1  1000( Н );
1000 12
w
 1,667  10  6 ( м).
10
3 10 1  0,02
Знак «минус» показывает, что кольцо обжимается под действием внешнего
равномерного давления.
Для оценки точности и сравнения результатов, полученных методом конечных элементов, с аналитическими решениями проведены расчеты при различных
вариантах густоты сетки конечных элементов (КЭ), в которых количество КЭ в
кольце изменялось от 12 до 160 КЭ. Результаты этих расчетов показаны в таблице
3.1.
53
Таблица 3.1
Основные компоненты НДС кольца при различной степени
густоты сетки КЭ (по плоской схеме)
Количество
КЭ
N, Н
Погрешность,
%
w, 10-6 м
Погрешность,
%
Точное
n = 12
n = 20
n = 40
n = 80
n = 160
-980,786
-987,689
-996,918
-999,229
-999,807
-1000
1,921
1,231
0,308
0,077
0,019
-
-1,637
-1,648
-1,662
-1,666
-1,667
-1,667
1,8
1,14
0,3
0,06
0
-
решение
Анализ таблицы 3.1 показал, что при сгущении сетки КЭ продольная сила и
радиальное перемещение приближаются к точным аналитическим решениям, что
доказывает достоверность работы балочных конечных элементов. При количестве
КЭ в кольце 160 (то есть размеры КЭ примерно равны 0,04 м) МКЭ дает высокую
точность (0,019% по продольной силе и 0% по перемещению).
Далее рассмотрены пространственные расчетные схемы свободной цилиндрической оболочки. Оболочкасмоделирована соответствующими плоскими четырехузловыми конечными элементами, имеющими также по шесть степеней свободы в каждом узле. Для оболочки конечных размеров со свободными краями
(поставленные связи по торцам оболочки не искажают ее напряженнодеформированное состояние) количество конечных элементов варьировалось от
12 до 160 по окружному направлению и от 4 до 50 по длине оболочки. При этом
погрешность перемещений по отношению к точным решениям составила от
6,72% до 0,042% (таблица 3.2). В этой таблице знак минус у погрешностей означает, что полученные результаты меньше точных решений по абсолютной величине. Полученные результаты показали, что с увеличением количества конечных
элементов приближенные решения стремятся к точным. При размерах конечных
54
элементов 0,040,04 м (16050 элементов во всей оболочке) результаты расчета
можно считать достоверными.
Таблица 3.2
Полные перемещения при различной степени сгущения сетки КЭ (по пространственной схеме)
n=12 (по
n=20 (по
n=40 (по
n=80 (по
n=160(по
окружно-
окружно-
окружно-
окружно-
окружно-
Количество
сти)
сти)
сти)
сти)
сти)
элементов
m=4 (по
m=6 (по
m=13 (по
m=25 (по
m=50 (по
длине обо-
длине обо-
длине
длине обо-
длине
лочки)
лочки)
оболочки)
лочки)
оболочки)
-6,72
-2,448
-0,624
-0,17%
-0,042
Погрешность(%)
3.1.2. Оценка влияния густоты сетки элементов на примерах расчета
круговых цилиндрических оболочек с краевыми эффектами. Сравнение с
аналитическим решением С.П. Тимошенко
Далее проведен статический расчет цилиндрической оболочки радиусом R =
1 м, длиной l = 2 м, толщиной δ = 0,02 м, жестко заделанной по торцам, нагруженной внутренним равномерным давлением q = 107 н/м2 (рисунок 3.2). Оболочка
изготовлена из такого же материала, как и в предыдущем случае. При этом возникает явление краевого эффекта [141].
55
Рисунок. 3.2. Расчетная схема жестко заделанной оболочки.
Радиальные перемещения w и изгибающие моменты Mz определяются по
следующим формулам [141]:
1
qR 2
(

M

(

z
)

Q

(

z
))

0
0
2 3 D
Eh
dw
1

(2 M 0 ( z )  Q0 ( z ))
dz 2  2 D
w
d 2w
1

(2 M 0 (z )  2Q0 ( z ))
2
dz
2D
M z  D
d 2w
, M   M z
dz 2
где:
Eh
Eh3
;
D

;
4R2 D
12(1   2 )
q
q
M 0  2  2 D 
; Q0  4  3 D   ;
2
2

4 
 ( z )  e  z (cos z  sin z );
 (z )  e  z (cos z  sin z );
 ( z )  e z cos z , (z )  e z sin z.
Краевой эффект появляется в окрестности закреплений в виде изгиба оболочки в продольном направлении (рисунок 3.3) и затухает по мере удаления от закрепленных торцов. Его можно оценить только по пространственной расчетной
модели. Плоскую схему в данном случае можно использовать только для сечений,
достаточно удаленных от краев, где краевой эффект затухает. На рисунках 3.4 и
3.5 показаны эпюры радиальных перемещений и изгибающих моментов, получен-
56
ные методом конечных элементов и аналитическим способом. Погрешность составила от 0,1 до 3,15%.
Рисунок. 3.3. Деформированный вид оболочки (в масштабе)
Рисунок. 3.4. Эпюра радиальных перемещений:
аналитическое решение;
 МКЭ (16050 элементов).
57
Рисунок. 3.5. Эпюра изгибающих моментов:
аналитическое решение;
 МКЭ (16050 элементов).
Анализируя графики, изображенные на рисунках 3.4 и 3.5, приходим к выводу, что плоские четырехузловые конечные элементы можно использовать для
расчетов замкнутых цилиндрических оболочек, получая при этом вполне достоверные результаты, как по перемещениям, так и по внутренним усилиям при достаточной густоте сетки узлов конечноэлементной модели, например, 16050 элементов и выше. При этом характерный линейный размер конечного элемента
должен быть меньше 0,04 от соответствующего генерального размера оболочки.
3.1.3. Тестовые примеры решения нелинейных задач
Для оценки степени достоверности вычислительных алгоритмов и работы
конечных элементов за пределом упругости проведены тестовые расчеты пластин
58
и оболочек, а также выполнены сопоставления полученных методом конечных
элементов результатов с известными решениями и экспериментальными данными.
3.1.3.1. Геометрически нелинейный анализ тонкой пластины
Рассмотрим квадратную тонкую пластину со свободно опертыми краями
(скользящие шарниры) длиной сторон 2a = 2b = 1 м, толщиной t = 0,02 м (рисунок
3.6). Пластина изготовлена из стали со следующими характеристиками: модулем
упругости Е = 21011 Па, коэффициентом Пуассона  = 0,3. Пластина находится
под равномерным давлением 0  p  7 МПа. Конечноэлементная модель пластины
состоит из 400 плоских четырехузловых конечных элементов (размеры КЭ
0,050,05 м) с шестью степенями свободы в каждом узле. Задача решена в геометрически нелинейной постановке. Полученные результаты расчета сопоставлены с известными решениями, найденными методом конечных разностей (МКР),
из книги [59]. На рисунках 3.7 и 3.8 показаны графики зависимостей «прогиб –
нагрузка» и «напряжение x – нагрузка» (в данном случае напряжения x = y за
счет симметрии задачи) в центральной точке пластины. Эти графики показали
достаточно хорошее совпадение между результатами, полученными двумя методами расчета МКЭ и МКР. Максимальное отклонение составило 1,14 %.
Рисунок. 3.6. Расчетная модель пластины (размеры даны в метрах)
59
Рисунок. 3.7. График зависимостей «прогиб – нагрузка»
в центральной точке пластины
Рисунок. 3.8. График зависимостей «напряжение x – нагрузка» в центральной
точке пластины
60
3.1.3.2. Геометрически и физически нелинейный анализ цилиндрического
сосуда давления с патрубком
Далее проведен расчет цилиндрического сосуда давления с патрубком (рисунок 3.9) под действием внутреннего избыточного давления q = 6 МПа. Сосуд изготовлен из стали Q235 – A со следующими характеристиками: модулем упругости E = 2,1 1011 Па, коэффициентом Пуассона  = 0,3, пределом текучести Т =
339,4 МПа, временным сопротивлением в = 490 МПа. Диаграмма деформирования стали Q235 – A получена в результате испытаний на растяжение различных
образцов, вырезанных из листового материала сосуда [221]. Для расчета реальная
диаграмма деформирования материала заменена условной мультилинейной диаграммой (рисунок 3.10). В таблице 3.3 даны координаты характерных точек
оцифрованной реальной диаграммы деформирования стали Q235 – A.
Рисунок. 3.9. Геометрия оболочек сосуда давления с патрубком (размеры даны в
метрах, днища не показаны)
61
Таблица 3.3
Координаты характерных точек оцифрованной реальной диаграммы
деформирования стали Q235 – A
Характерные точки №
Деформация , 10-2
Напряжение , 10 8 н/м2
1
0
0
2
0.161619
3.394
3
1.70
3.394
4
3.12
3.638386
5
3.96
4.162008
6
4.96
4.418725
7
5.98
4.501118
8
6.98
4.558093
9
7.98
4.612743
10
8.96
4.677164
11
10.0
4.754243
12
11.0
4.800542
13
12.86
4.848847
14
13.99
4.900000
Рисунок. 3.10. Условная мультилинейная диаграмма
деформирования стали Q235 – A
62
Оболочки сосуда смоделированы плоскими четырехузловыми конечными
элементами с шестью степенями свободы в каждом узле. Количество конечных
элементов составило 5705 элементов. Задача решена в геометрически и физически
нелинейной постановке (теория пластического течения, условие начала текучести
– Хубера – Мизеса). Полученные результаты сопоставлены с экспериментальными данными [221]. На рисунке 3.11 представлены графики зависимостей «внутреннее давление – окружная деформация» для точки А (рисунок 3.9) по расчетным и экспериментальным исследованиям. Сопоставление показало достаточно
хорошее соответствие между расчетными результатами и экспериментальными
данными.
Рисунок. 3.11. График зависимостей «внутреннее давление – окружная
деформация» для точки А в оболочке патрубка сосуда давления
На основании тестовых примеров и сопоставлений с известными решениями
и экспериментальными данными приходим к выводу, что плоские четырехузловые конечные элементы можно использовать для нелинейного анализа замкнутых
цилиндрических оболочек и их соединений, получая при этом вполне достоверные результаты.
63
3.2. Напряженно-деформированное состояние ортогонально пересекающихся
цилиндрических оболочек с учетом геометрической и физической
нелинейностей
3.2.1 Вводные замечания
Одним из приоритетных направлений развития современной строительной
механики является численный анализ НДС пространственных систем сложной
геометрии, образованных путем сопряжения отдельных элементов конструкций
простых форм. К таким системам относятся пересечения цилиндрических оболочек различных диаметров, в том числе тройниковые соединения. Задачи расчета
тройниковых соединений цилиндрических оболочек являются существенно пространственными, поэтому плоские расчетные модели здесь неприменимы. Для
инженеров очень важно знать информацию о НДС такой сложной системы, как в
упругой, так и в упруго-пластической стадии деформирования, вплоть до предельной нагрузки. Эта информация помогает назначать разумные, научно обоснованные коэффициенты запаса прочности, что в свою очередь приводит к экономии материала и повышению надежности конструкции.
Рассмотрим область пересечения двух цилиндрических оболочек с размерами (рисунок 3.12): a = 2,2 м, R = 1 м, r = 0,7 м, T = 0,02 м, t = 0,014 м, изготовленных из стали 3 со следующими характеристиками: модуль упругости E = 210 11
н/м2, коэффициент Пуассона  = 0,3, нагруженных внутренним радиальным давлением q. В расчетном фрагменте значение параметра а назначено, исходя из условия затухания искажения НДС в окрестности сопряжения двух цилиндрических
оболочек. По всем торцам осевые перемещения считаются нулевыми (на рисунке
3.12 связи не показаны). Это объясняется тем, что расчетный фрагмент пересекающихся цилиндрических оболочек получен путем вырезания из бесконечно
длинных трубопроводов. Для обеспечения геометрической неизменяемости системы установлена одна дополнительная связь на торце основной оболочки по направлению, перпендикулярному плоскости рисунка. Задача решена в линейной и
64
геометрически нелинейной постановках, как без учета, так и с учетом пластических деформаций. Нагрузку q увеличивали постепенно по шагам.
3.2.2. Линейная и геометрически нелинейная постановки задачи
Материал считался неограниченно линейно упругим (закон Гука справедлив
во всем диапазоне деформирования). Задача решена, как без учета, так и с учетом
геометрической нелинейности. Для расчетов использованы четырехузловые плоские конечные элементы (по шесть степеней свободы в узле), реализованные в
программных комплексах MSC PATRAN – NASTRAN. Принятые размеры конечных элементов (примерно 0,04 м × 0,04 м) определены путем пробных проверенных расчетов (параграф 3.1). Дальнейшее сгущение сетки узлов не оказало существенного влияния на НДС оболочек. На рисунке 3.13 показана конечноэлементная модель системы оболочек. В зоне пересечения оболочки смоделированы четырехугольными элементами, а в остальных частях – прямоугольными элементами. Общее количество КЭ составило 21 697, а количество узлов – 32 132.
Рисунок 3.12. Расчётный фрагмент тройникового соединения
цилиндрических оболочек.
65
Рисунок 3.13. Пространственная конечноэлементная модель тройникового
соединения цилиндрических оболочек (вид сбоку).
Рисунок 3.14 содержит графики зависимостей «нагрузка – полное перемещение» для точки А (рисунок 3.12), расположенной в зоне пересечения оболочек.
Максимальные перемещения развились именно в этой зоне. Графики построены
по результатам расчетов без учета и с учетом геометрической нелинейности.
Рисунок 3.14. Графики зависимости «нагрузка – перемещение»:
линейная постановка;
геометрически нелинейная постановка.
66
Рисунок 3.14 показывает, что при значениях нагрузки (давления) до q  3106
н/м2 обе линии практически совпадают. При больших нагрузках они начинают отклоняться друг от друга. Эффект учета геометрической нелинейности проявляется, когда перемещения точек оболочек достигают одной – двух толщин и более,
однако при этом напряжения в оболочках намного превышают, как предел текучести материала, так и временное сопротивление (рисунок 3.15), что на практике
невозможно. Именно поэтому дальнейшие расчеты проведены с учетом возникновения пластических деформаций материала оболочек.
Рисунок 3.15. Поля эквивалентных напряжений
на внутренней поверхности оболочки:
а) линейная постановка;
б) геометрически нелинейная постановка
3.2.3. Расчеты тройникового соединения оболочек с учетом возникновения
пластических деформаций.
С целью оценки влияния различных видов диаграмм деформирования материала на НДС тройникового соединения цилиндрических оболочек проведены
расчеты системы по теории пластического течения (условие начала текучести –
Хубера – Мизеса). При практической реализации теории дифференциалы замене-
67
ны конечными приращениями. Реализованы четыре варианта расчетов при различных видах диаграмм деформирования материала со следующими параметрами:
– материал – упруго-пластический с упрочнением по реальной диаграмме
1
3
8
2
2
деформирования [137] (  Т  2,45 10 н/м2;  Т  1,23 10 ;  Т  2,00  10 ;
 В  3,57 10 8 н/м2;  В  1,77  10 1 ) без учета геометрической нелинейности;
– материал – упруго-пластический с упрочнением по реальной диаграмме
деформирования с учетом геометрической нелинейности;
– материал – упруго-пластический с упрочнением по билинейной диаграмме
11
( E  2 10
8
н/м2; E1  6,37  10 н/м2) с учетом геометрической нелинейности;
– материал – упруго-пластический без упрочнения, подчиняющийся идеальной диаграмме Прандтля (  Т  2,45  10
8
3
н/м2;  Т  1,23 10 ), с учетом гео-
метрической нелинейности.
Термин «реальная диаграмма» является условным, так как в программном
комплексе при численных расчетах эта гладкая диаграмма заменяется набором
большого количества прямых участков, то есть становится фактически мультилинейной (рисунок 3.16). В таблице 3.4 даны координаты характерных точек оцифрованной реальной диаграммы деформирования стали 3 (21 точка).
Таблица 3.4
Координаты характерных точек оцифрованной реальной диаграммы
деформирования стали 3
Характерные точки №
Деформация , 10-3
Напряжение , 108 н/м2
1
0
0
2
0.1225
2.45
3
2.00
2.45
4
2.65
2.61
5
3.24
2.78
68
Характерные точки №
Деформация , 10-3
Напряжение , 108 н/м2
6
4.56
3.02
7
5.75
3.16
8
7.36
3.29
9
8.92
3.39
10
10.3
3.45
11
12.2
3.5
12
14.1
3.54
13
17.7
3.57
14
20.3
3.56
15
22.6
3.55
16
24.6
3.53
17
27.7
3.47
18
30.8
3.36
19
33.6
3.17
20
37.0
2.83
21
39.5
2.44
Рисунок 3.16. Мультилинейная диаграмма деформирования стали 3
69
На рисунке 3.17 изображены графики зависимостей «нагрузка – перемещение», соответствующих точке А (рисунок 3.12), расположенной в зоне пересечения оболочек, для рассмотренных случаев нагружения. В целях сравнения на этом
же рисунке показаны фрагменты двух аналогичных графиков с рисунка 3.14 в
усеченном диапазоне нагрузки (от q = 0 до q = 3,0106 н/м2). Следует отметить, что
в указанном диапазоне нагружения оба графика, соответствующие расчетам без
учета физической нелинейности, практически совпали.
Анализируя результаты проведенных расчетов, отметим следующее.
При q  1,26106 н/м2 все кривые, показанные на рисунке 3.17, практически
совпали. Этот диапазон нагружения соответствует упругой работе материала.
Далее за счет появления пластических деформаций в зоне пересечения оболочек контролируемые перемещения начинают интенсивно нарастать и достигают
величин  0,22 м (11 толщин основной оболочки) при q = 3,0106 н/м2. Такой результат дает расчет, учитывающий упрочнение материала по реальной диаграмме
его деформирования без учета геометрической нелинейности. Наличие больших
прогибов в зоне пересечения оболочек требует обязательного включения в расчеты геометрической нелинейности. Решение задачи, учитывающее упрочнение материала по реальной диаграмме и геометрическую нелинейность снизило контролируемые перемещения в 3,06 раза до  0,072 м (3,6 толщины основной оболочки). Это снижение весьма существенное, поэтому его необходимо учитывать в
дальнейших расчетах. Деформированный вид тройникового соединения при q =
3,010 6 н/м2 показан на рисунке 3.18. На этом рисунке видно, как сильно деформировались оболочки в области их сопряжения.
К сожалению, у инженеров – расчетчиков реальные диаграммы деформирования материалов не всегда бывают в наличии. Очень часто известны лишь характерные параметры этих диаграмм: т – предел текучести и в – временное сопротивление (предел прочности), а также соответствующие относительные деформации (т и в). В таких случаях по известным параметрам можно построить схематизированные диаграммы деформирования материала, например, билинейные. У
70
билинейной диаграммы первый линейный участок соответствует закону Гука, а
модуль упругости определяется соотношением
E  т т .
Второй линейный участок соответствует упрочнению материала и может
быть определен величиной E1
E1   в   т   в   т  .
Рисунок 3.17. Графики зависимостей «нагрузка – перемещение»:
линейная постановка, линейно упругий материал;
геометрически нелинейная постановка, линейно упругий материал;
упруго-пластический материал по реальной диаграмме без учета
геометрической нелинейности;
упруго-пластический материал по реальной диаграмме с учетом
геометрической нелинейности;
упруго-пластический материал по билинейной диаграмме с учетом
геометрической нелинейности;
упруго-пластический материал по идеальной диаграмме Прандтля с учетом
геометрической нелинейности.
71
Рисунок 3.18. Деформированный вид тройникового соединения (в масштабе) при
q = 3,0106 н/м2 (расчет с учетом геометрической нелинейности и пластических
деформаций по реальной диаграмме)
Контролируемые перемещения в точке А, полученные в результате расчета,
учитывающего упрочнение материала по билинейной диаграмме и геометрическую нелинейность, составили  0,076 м (3,8 толщины основной оболочки). Это
число очень близко к решению, полученному с учетом реальной диаграммы деформирования материала и геометрической нелинейности.
Если же известны только величины т и т, то в расчетах может быть использована идеализированная диаграмма Прандтля без упрочнения. Контролируемые
перемещения в данном случае оказались равными  0,092 м (4,6 толщины основной оболочки), что также является приемлемым результатом по отношению к решению, принятому за эталонное (с учетом реальной диаграммы деформирования
материала и геометрической нелинейности).
На рисунке 3.19 а, б, в изображены использованные диаграммы деформирования. Расчеты проведены с учетом геометрической и физической нелинейностей.
На рисунках 3.20 и 3.21 показаны поля эквивалентных напряжений во внутренних
и наружных волокнах оболочек для вышеперечисленных вариантов. Наибольшие
72
напряжения в обоих волокнах появились непосредственно в месте пересечения
оболочек для всех случаев. Напряжения в наружных волокнах оказались больше,
чем напряжения во внутренних волокнах. Отсутствие геометрической нелинейности привело к увеличению максимальных эквивалентных напряжений по сравнению с ее учетом (во внутренних волокнах на 4,4 % для реальной диаграммы деформирования материала). Расчеты с учетом геометрической нелинейности по
билинейной и идеализированной диаграммам дали максимальные напряжения и
во внутренних и в наружных волокнах оболочек меньше по сравнению расчетом
по реальной диаграмме (максимальное отклонение составило 30,2 %).
Рисунок 3.19. Использованные диаграммы деформирования:
а) реальная диаграмма;
б) билинейная диаграмма;
в) идеализированная диаграмма Прандтля.
73
Рисунок 3.20. Поля интенсивностей напряжений во внутренних волокнах
оболочек при нагрузке q=3,0106 н/м2 :
а) геометрически линейная задача и учет
реальной диаграммы деформирования материала;
б) учет геометрической нелинейности и реальной
диаграммы деформирования материала;
в) учет геометрической нелинейности и билинейной
диаграммы деформирования материала;
г) учет геометрической нелинейности и идеализированной
диаграммы деформирования материала Прандтля
74
Рисунок 3.21. Поля интенсивностей напряжений в наружных волокнах оболочек
при нагрузке q=3,0106 н/м2 :
а) геометрически линейная задача и учет
реальной диаграммы деформирования материала;
б) учет геометрической нелинейности и реальной
диаграммы деформирования материала;
в) учет геометрической нелинейности и билинейной
диаграммы деформирования материала;
г) учет геометрической нелинейности и идеализированной
диаграммы деформирования материала Прандтля
75
На рисунках 3.22 и 3.23 представлены зоны пластических деформаций во
внутренних и наружных волокнах оболочек при применении трех видов диаграмм
деформирования материала с учетом геометрической нелинейности. Максимальные пластические деформации появились именно там, где развивались максимальные эквивалентные напряжения. Максимальные пластические деформации в
наружных волокнах в последнем варианте (рисунок 3.23, в) (с использованием
диаграммы Прандтля) оказались больше, чем в остальных вариантах (на 15,27 % и
22,9 %). Заметим, что в этом случае материал сильнее «течет» за пределом упругости.
Рисунок 3.22. Поля пластических деформаций во внутренних волокнах оболочек
при нагрузке q=3,0106 н/м2 :
а) учет геометрической нелинейности и реальной
диаграммы деформирования материала;
б) учет геометрической нелинейности и билинейной
диаграммы деформирования материала;
в) учет геометрической нелинейности и идеализированной
диаграммы деформирования материала Прандтля
76
Рисунок 3.23. Поля пластических деформаций в наружных волокнах оболочек при
нагрузке q=3,0106 н/м2 :
а) учет геометрической нелинейности и реальной
диаграммы деформирования материала;
б) учет геометрической нелинейности и билинейной
диаграммы деформирования материала;
в) учет геометрической нелинейности и идеализированной
диаграммы деформирования материала Прандтля
3.3. Расчет оболочки железнодорожной цистерны в геометрически
нелинейной постановке при пластических деформациях материала
В этом параграфе приведены результаты расчетных исследований оболочек
железнодорожной цистерны, как в линейной, так и в геометрически нелинейной
постановках задачи без учета и с учетом пластических деформаций по теории
пластического течения (критерий пластичности Хубера – Мизеса). Использованы
диаграммы деформирования материала различного вида.
Расчеты проведены для оболочки железнодорожной цистерны (рисунки 3.24
и 3.25), состоящей из замкнутой цилиндрической оболочки диаметром 2500 мм и
длиной 9000 мм, двух полуэллиптических днищ и цилиндрической горловины
диаметром 500 мм, высотой 150 мм. Нижняя часть цилиндрической оболочки с
центральным углом раствора 72º имеет толщину 11 мм. Толщины днищ и горловины – 12 мм. Толщина крышки горловины – 9 мм. Остальная часть цилиндра –
77
толщиной 9 мм. Нижняя часть оболочки цистерны прикреплена к раме цистерны
при помощи четырех ложементов, смоделированных жесткими заделками на оси
симметрии и шарнирно неподвижными закреплениями по дуге (рисунок 3.25).
Цистерна изготовлена из стали 3 со следующими характеристиками: модуль упругости 2·1011 н/м2 и коэффициент Пуассона 0,3. Максимальное внутреннее равномерное давление в цистерне, на которое произведен расчет, принято равным
1,5МПа. Для расчетов использованы четырехузловые плоские конечные элементы с шестью степенями свободы в каждом узле (рисунок 3.26), реализованные в
программных комплексах MSC PATRAN – NASTRAN.
Рисунок 3.24. Железнодорожная цистерна
Рисунок 3.25. Оболочка железнодорожной цистерны
78
Рисунок 3.26. Конечноэлементная модель оболочки железнодорожной цистерны
Чтобы оценить необходимость учета геометрической и физической нелинейностей, реализованы пять вариантов расчетов со следующими параметрами:
– материал – линейно-упругий без учета геометрической нелинейности;
– материал – упруго-пластический с упрочнением по реальной диаграмме
деформирования
[137]
8
(  Т  2,45 10 н/м2;
 Т1  1,23 10 3 ;
 Т2  2,00  102 ;
1
 В  3,57  10 8 н/м2;  В  1,77 10 ) без учета геометрической нелинейности;
– материал – упруго-пластический с упрочнением по реальной диаграмме
деформирования с учетом геометрической нелинейности;
– материал – упруго-пластический с упрочнением по билинейной диаграмме
8
11
( E  2  10 н/м2; E1  6,37 10 н/м2) с учетом геометрической нелинейности;
– материал – упруго-пластический без упрочнения, подчиняющийся идеаль3
ной диаграмме Прандтля (  Т  2,45  10 8 н/м2;  Т  1,23  10 ), с учетом геометри-
ческой нелинейности.
На рисунке 3.27 изображены графики зависимостей «нагрузка – полное перемещение», соответствующих точке А (рисунок 3.25), расположенной в зоне сопряжения основной цилиндрической оболочки с полуэллиптическим днищем.
Именно в этой области развились максимальные напряжения.
79
Рисунок 3.27. Графики зависимости «нагрузка – перемещение»:
линейно-упругий материал без учета геометрической нелинейности;
упруго-пластический материал с упрочнением по реальной диаграмме
деформирования без учета геометрической нелинейности
упруго-пластический материал с упрочнением по реальной диаграмме
деформирования с учетом геометрической нелинейности
При нагрузке q  0,6 МПа три кривые практически совпали. С дальнейшим
увеличением нагрузки эти кривые начали отклоняться друг от друга. Учет пластических деформаций (физической нелинейности) без геометрической нелинейности привел к существенному увеличению перемещений (до 15 см, что почти в
10 раз больше толщины оболочек цистерны). Поэтому дальнейшие расчеты проведены с учетом как физической, так и геометрической и нелинейностей.
80
Рисунок 3.28. Графики зависимости «нагрузка – перемещение»:
упруго-пластический материал с упрочнением по реальной диаграмме
деформирования с учетом геометрической нелинейности;
упруго-пластический материал с упрочнением по билинейной диаграмме
деформирования с учетом геометрической нелинейности;
упруго-пластический материал без упрочнения по идеальной диаграмме
Прандтля с учетом геометрической нелинейности
Рисунок 3.28 показывает графики зависимости «нагрузка – полное перемещение», соответствующие точке А. Во всех трех случаях расчеты проведены с
учетом геометрической и физической нелинейностей с применением различных
видов диаграмм деформирования материала. При нагрузке q  0,6 МПа все кривые почти совпали. Этот диапазон соответствует упругой стадии работы материала. Далее за счет появления пластических деформаций перемещения сильно возросли. Расчет по идеальной диаграмме Прандтля дал несколько большие перемещения по сравнению с остальными, так как здесь не учитывается упрочнение. В
целом результаты по перемещениям для трех случаев расчетов достаточно близ-
81
ки. При максимальной нагрузке q = 1,5 МПа различие в величинах перемещений
составило от 1,4% до 2,8%.
Рисунок 3.29 содержит деформированный вид оболочки цистерны (расчет с
учетом геометрической нелинейности, материал соответствует реальной диаграмме) при нагрузке q = 1,5 МПа. На рисунках 3.30 и 3.31 показаны поля интенсивностей напряжений во внутренних и наружных волокнах оболочек при q = 1,5
МПа и использованные диаграммы деформирования (расчеты проведены с учетом
геометрической и физической нелинейностей). Максимальные эквивалентные напряжения во внутренних волокнах оболочки оказались больше, чем в наружных
волокнах. Опасными являлись места сопряжений основной оболочки и днищ, а
также место пересечения с горловиной. Зоны пластических деформаций начали
развиваться именно в этих местах для всех трех случаев. Пластические деформации появились при нагрузке q = 0,33 МПа во внутренних волокнах (рисунок 3.32)
и при q = 0,48 МПа в наружных волокнах. Далее с ростом нагрузки зоны пластических деформаций увеличились по размеру. На рисунке 3.33 показаны зоны пластических деформаций во внутренних волокнах при различных диаграммах деформирования (q = 1,5 МПа).
Рисунок 3.29. Деформированный вид оболочки
железнодорожной цистерны (в масштабе)
82
Рисунок 3.30. Поля интенсивностей напряжений во внутренних волокнах
оболочек при нагрузке q = 1,5 МПа и использовании диаграмм деформирования:
а) реальной диаграммы;
б) билинейной диаграммы;
в) идеализированной диаграммы Прандтля
Рисунок 3.31. Поля интенсивностей напряжений в наружных волокнах оболочек
при нагрузке q = 1,5 МПа и использовании диаграмм деформирования:
а) реальной диаграммы;
б) билинейной диаграммы;
в) идеализированной диаграммы Прандтля
83
Рисунок 3.32. Зоны пластических деформаций во внутренних волокнах оболочек
при нагрузке q = 0,33 МПа и применении реальной диаграммы деформирования
(расчет с учетом геометрической нелинейности)
Рисунок 3.33. Зоны пластических деформаций во внутренних волокнах оболочек
при нагрузке q = 1,5 МПа, расчет с учетом геометрической нелинейности и
использовании диаграмм деформирования:
а) реальной диаграммы;
б) билинейной диаграммы;
в) идеализированной диаграммы Прандтля
84
3.4. Выводы по главе 3
1. На основе анализа тестовых примеров установлено, что плоские четырехузловые конечные элементы с шестью степенями свободы в каждом узле можно
использовать для расчетов цилиндрических оболочек, получая при этом вполне
достоверные результаты даже в зонах краевых эффектов, как по перемещениям,
так и по внутренним усилиям при достаточной густоте сетки узлов конечноэлементной модели (характерный линейный размер конечного элемента должен быть
менее 0,04 соответствующего генерального размера оболочки).
2. На примерах расчетов оболочек тройникового соединения трубопровода
показано, что в зонах сопряжения оболочек возникает концентрация напряжений
и при достаточно высоких нагрузках появляются пластические деформации материала, которые необходимо учитывать. Учет в расчетах пластических деформаций приводит к появлению в зонах пересечения оболочек больших перемещений
(порядка нескольких толщин оболочек), что требует введения в расчет нелинейных соотношений между перемещениями и деформациями. Не учет геометрической нелинейности приводит к завышенным (до 3 раз) величинам перемещений
(порядка 10 – 11 толщин оболочек при q = 1,5106 н/м2). Задачи анализа напряженно-деформированного состояния пересекающихся цилиндрических оболочек
необходимо решать с одновременным учетом двух видов нелинейностей: геометрической и физической.
3. Проанализировано влияние на НДС тройникового соединения оболочек
трех видов диаграмм деформирования материала: Прандтля, билинейной и мультилинейной, наилучшим образом аппроксимирующей реальную диаграмму с упрочнением. Установлено, что в расчетах при достаточной большой нагрузке следует использовать мультилинейную (наиболее близкую к реальной) диаграмму
(при наличии у расчетчика), а в случае ее отсутствия допустимо применять как
билинейную, так и диаграмму Прандтля.
85
4. Все положения, сформулированные выше в п. 2 и 3 настоящего параграфа
для тройниковых соединений оболочек трубопроводов, справедливы также и для
оболочек железнодорожных цистерн.
86
ГЛАВА 4: РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК, В ТОМ ЧИСЛЕ
ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ОКРУЖАЮЩЕЙ
СРЕДОЙ
4.1. Исследование различных моделей грунта, окружающего
цилиндрическую оболочку, учитывающих одностороннее контактное
взаимодействие с оболочкой
4.1.1. Вводные замечания
В этом параграфе рассмотрены различные модели грунтового основания, окружающего цилиндрическую оболочку, с учетом возможности одностороннего
контактного взаимодействия оболочки грунта (эту возможность называют «отлипанием» оболочки от грунтового массива), проанализированы результаты расчетов, найдена связь между параметрами моделей.
Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку радиусом 1 м, толщиной
0,02 м, изготовленную из стали с модулем упругости Eоб=2·1011 н/м2, коэффициентом Пуассона об=0,3 и плотностью об=7800 кг/м3. Оболочка расположена в грунте на глубине 5 м (рисунок 4.1, а). Грунт имеет следующие характеристики: модуль деформации Eгр=1,634·109 н/м2, коэффициент поперечной деформации
гр=0,3. Материалы оболочки и грунта считались неограниченно линейно упругими. Расчет проведен на действие собственного веса оболочки. Собственный вес
грунта при этом не учитывался. Для аппроксимации грунта с учетом возможности
одностороннего взаимодействия оболочки и массива построим три пространственных модели различной степени сложности, изучим их особенности и найдем
связь между параметрами моделей.
87
Рисунок 4.1. Конечноэлементные модели системы «оболочка – грунт»:
а) оболочка в объемном массиве, моделирующем грунт;
б) оболочка с контактными элементами, заменяющими упругое основание;
в) оболочка, окруженная приведенным упругим слоем.
4.1.2. Модель объемного массива
Грунт смоделирован однородным трехмерным массивом (рисунок 4.1, а).
Размеры расчетной области массива приняты с учетом затухания НДС грунта по 5
диаметров оболочки в каждую сторону и вниз согласно рекомендациям Савина
Г.Н. [119], предложенным для плоской задачи.
Оболочка аппроксимирована двумерными плоскими четырехузловыми элементами, основанными на гипотезе прямых нормалей, с шестью степенями свободы в каждом узле. Размеры элементов – 0,20,2 м. Объемный массив, моделирующий грунт, представлен трехмерными конечными элементами в форме четырехузловых тетраэдров (густая сетка около оболочки) и восьмиузловых параллелепипедов (более редкая сетка в остальных частях массива) с тремя степенями
свободы в каждом узле. Использование тетраэдров вызвано тем, что в месте расположения отверстия, подкрепленного оболочкой, геометрия массива является
сложной. Расчетная область закреплена от перемещений, нормальных к поверхностям массива, по торцам, с боков и снизу. Оболочка по торцам имеет аналогичные
88
опорные закрепления, обеспечивающие геометрическую неизменяемость расчетной модели. С целью учета возможности отлипания грунта между оболочкой и
массивом поставлены специальные односторонние контактные элементы (в программном комплексе NASTRAN их называют GAP элементами) с разными жесткостями при растяжении и сжатии. Эти элементы имели нулевые длины и стремящиеся к нулю жесткости при растяжении (Sр=10-7 н/м). Их жесткости при сжатии стремились к бесконечности и принимались равными Sсж=107 н/м.
Величины максимального полного перемещения wmax и максимальных эквивалентных напряжений по Мизесу во внутренних вэкв и наружных нэкв волокнах
оболочки приведены в таблице 4.1 (столбец «Вариант 1»). На рисунке 4.2 показаны деформированный вид оболочки и поле эквивалентных напряжений в ее наружных волокнах. Распределение продольных усилий в контактных элементах и
зоны отлипания оболочки от массива грунта представлены соответственно на рисунках 4.3 и 4.4. В зонах отлипания оболочки от массива усилия в контактных
элементах равнялись нулю (в пределах точности вычислений компьютера).
Рисунок 4.2. Поле интенсивностей напряжений по Мизесу
в наружных волокнах оболочки и деформированный вид (вариант 1).
89
Рисунок 4.3. Поле усилий в контактных элементах (вариант 1)
Рисунок 4.4. Зоны отлипания оболочки от грунтового массива
4.1.3. Модель упругого основания
Окружающий оболочку грунт смоделирован упругим основанием типа Фусса
– Винклера, но с возможностью одностороннего взаимодействия оболочки и массива (рисунок 4.1, б). Так как в комплексе NASTRAN отсутствует модель такого
90
упругого основания, то оно заменено специальными контактными GAP элементами, работающими только при сжатии. Длины контактных элементов приняты нулевыми, поэтому они не показаны на рисунке 4.1, б. Расчет проведен в конструктивно нелинейной постановке (методом последовательных приближений разыскивались зоны отлипания грунта). Число контактных элементов определено количеством узлов сетки элементов оболочки. Жесткости контактных элементов
при растяжении принимались стремящимися к нулю (Sр=10-7 н/м), а при сжатии
вычислены по формуле [64].
S сж  Kab .
Здесь K – коэффициент постели упругого основания; a и b – линейные размеры конечных элементов оболочки (в данном случае a  b  0,2 м).
Жесткости контактных элементов, расположенных у торцов оболочки, приняты в два раза меньше жесткостей остальных контактных элементов, так как
торцевые конечные элементы оболочки примыкают к соответствующим контактным элементам только с двух, а не с четырех сторон.
Для определения коэффициента постели упругого основания, соответствующего объемному массиву, рассмотренному в предыдущем разделе, проведен следующий дополнительный расчет. Рассмотрен трехмерный массив, моделирующий
столб грунта (Eгр=1,634·109 н/м2, гр=0,3), размерами в плане 11 м, высотой 10 м
(расстояние от низа оболочки до низа массива из предыдущего раздела – принятая
глубина сжимаемой толщи грунта), нагруженный сверху давлением 1 Па, передающимся на массив посредством жесткого штампа (Ешт=21015 Па, =0,3) (рисунок 4.5, а). Массив закреплен от перемещений по нормалям к боковым поверхностям и снизу. Плита (штамп) закреплена от горизонтальных смещений минимально необходимым числом связей, обеспечивающих ее геометрическую неизменяемость. При построении конечноэлементной модели использованы плоские четырехузловые (для штампа) и объемные восимиузловые (для столба грунта) конечные элементы. В результате получено значение максимального полного перемещения плиты (штампа) w1.
91
Рисунок 4.5. Расчетная схема для определения коэффициента постели
упругого основания, соответствующего объемному массиву:
а) столб грунта; б) упругое основание
Далее массив грунта был заменен упругим основанием (соответствующими
контактными элементами) с коэффициентом постели K0=1108 н/м3 (рисунок 4.5,
б). Расчетом плиты (штампа) на упругом основании при таком же давлении (1 Па)
определено значение максимального полного перемещения w2. Коэффициент постели основания, приблизительно соответствующий величине модуля деформации рассматриваемого грунта из предыдущего раздела (Eгр=1,634·109 н/м2), можно
определить по следующей формуле:
K  K0
w2
w1
.
Найденный таким путем коэффициент постели упругого основания составил
K = 2,20108 н/м3. С использованием этого коэффициента постели определены жесткости контактных элементов при сжатии и проведен расчет оболочки, взаимодействующей с основанием, на воздействие ее собственного веса при таких же
92
опорных закреплениях, как и в предыдущем разделе. В результате расчета получены компоненты НДС оболочки. Значения максимальных эквивалентных напряжений по Мизесу во внутренних вэкв и наружных нэкв волокнах оболочки, а также ее максимального полного перемещения wmax приведены в таблице 4.1 (столбец «Вариант 2»).
4.1.4. Модель упругого слоя
Далее рассмотрена еще одна упрощенная модель системы «оболочка –
грунт». Окружающий оболочку грунт смоделирован приведенным упругим слоем
(рисунок 4.1, в). Чтобы учесть возможность отлипания оболочки от грунта, приведенный упругий слой и оболочка соединены контактными элементами, работающими только на сжатие (Sсж=107 н/м, Sр=10-7 н/м). Материал упругого слоя
принят анизотропным в цилиндрической системе координат с одинаковыми модулями упругости во всех направлениях, коэффициентами Пуассона, равными нулю, а модулями сдвига на два порядка ниже, чем для изотропного материала. Это
объясняется желанием приблизить поведение упругого слоя как можно ближе к
работе упругого основания, то есть уменьшить в упругом слое влияние деформаций сдвига. Свяжем приведенный модуль упругости слоя Eпр с коэффициентом
постели упругого основания K из условия равенства элементарных потенциальных энергий деформации слоя и основания dWсл  dWос . При этом считаем, что
упругий слой (рисунок 4.6) работает на растяжение или сжатие только в радиальном и окружном направлениях, а наружная его поверхность закреплена от перемещений (wн=0).
Рисунок 4.6. Элементарный фрагмент упругого слоя.
93
Элементарная потенциальная энергия деформации слоя определена формулой
R
1 н
dWсл   σ r ε r  σ θ εθ rddrdz .
2 Rв
(4.1)
Напряжения и деформации радиального и окружного направлений с учетом
принятых допущений о материале соответственно находим так:
σr  Eпр εr ;
εr 
σθ  Eпрεθ ;
(4.2)
wн  wв 0  wв
w

 в ;
t пр
t пр
t пр
(4.3)
2π(r  w)  2πr w
 .
2πr
r
(4.4)
εθ 
С учетом выражений (4.2 – 4.4) формула (4.1) примет вид
 w
 в
dWсл 
2 Rв   t пр

Rн
E пр
2
  w  2 
    rdrddz .
  r  


(4.5)
Радиальные перемещения произвольных точек слоя в предположении, что
они меняются по толщине по линейному закону, определим по формуле
w  wв 
 r  Rв 
wн  wв
.
(r  Rв )  wв 1 


tпр
t
пр


С целью упростить вычисление интеграла в выражении (4.5), примем допущение о том, что
w  const 
wн  wв 0  wв
1

  wв .
2
2
2
(4.6)
С учетом (4.6) выражение (4.5) примет вид
2
  w 2
 wв  

в 

dWсл 

    rdrd dz
2 Rв   tпр   2r  


Eпр
Rн
(4.7)
Вычислив интеграл в (4.7) и опустив элементарные преобразования, получим
dWсл 
 R  Rв 1  Rв  tпр  
  ddz .
wв2  н
 ln
 2t

2
4
R
пр
в



Епр
(4.8)
94
Элементарная потенциальная энергия деформации основания определена
формулой
dWос 
1
Kwв2 Rв ddz .
2
(4.9)
Приравняв выражения энергий (4.8) и (4.9), получим:
 R  Rв 1  Rв  t пр
wв2  н
 ln 
 2t
2
4  Rв
пр

Е пр

1
  ddz  Kwв2 Rв ddz .

2

(4.10)
Отсюда следует, что
E пр 
KRв
2 Rв  t пр
2t пр
1  R t
 ln  в пр
4  Rв
.


(4.11)
Например, при
Rв  1 м, tпр  0 ,08 м, K  2,2 108 н/м 3
найденное значение приведенного модуля упругости слоя составило
Eпр  1,690  10 7 н/м2.
Отметим, что формула, аналогичная (4.11), но не учитывающая деформации
слоя в окружном направлении, приведена в работе [62]. В ней отсутствует, член,
содержащий натуральный логарифм.
Упругий слой, моделирующий грунт, аппроксимирован восьмиузловыми
объемными элементами (рисунок 4.1, в). Использование только одного слоя объемных элементов в данном случае возможно, так как упругие характеристики этого слоя не реальные, а приведенные. Выполнены пять расчетов для разных случаев толщины упругого слоя на воздействие собственного веса оболочки при таких
же опорных закреплениях, как и в предыдущих разделах. Наружная поверхность
упругого слоя принималась закрепленной от всех перемещений. В результате всех
расчетов получены компоненты НДС оболочки. Значения максимальных полных
перемещений wmax и максимальных эквивалентных напряжений по Мизесу во
внутренних вэкв и наружных нэкв волокнах оболочки при разных толщинах упру-
95
гого слоя приведены в таблице 4.1 (столбец «Вариант 3»). Следует отметить, что
для упругих слоев толщиной от 0,08 до 0,4 м ( 0,08 Rв  tпр  0,4 Rв ) рассчитанные величины максимальных перемещений и напряжений в оболочке оказались достаточно близки и неплохо согласуются с аналогичными результатами, полученными
при помощи других моделей грунта. Это подтверждает справедливость формулы
(4.11) и допущений, принятых при ее выводе.
Таблица 4.1
Максимальные перемещения и эквивалентные напряжения в оболочке.
Параметры
Вариант Вариант
Вариант 3
Вариант 3
Вариант 3
Вариант 3
Вариант 3
НДС
1
2
(tпр =0,08 м)
(tпр=0,1 м)
(tпр=0,2 м)
(tпр=0,3 м)
(tпр=0,4 м)
wmax, 10-5м
7,8164
7,6874
8,0483
8,0454
8,0316
8,0176
8,0628
5,1381
5,0986
5,1358
5,1376
5,1366
5,1282
5,1389
5,4799
5,5400
5,6483
5,6484
5,6440
5,6338
5,6443
вэкв, 105
н/м2
нэкв, 105
н/м2
4.1.5. Сравнительный анализ различных моделей грунта и выводы по п. 4.1
Согласно таблице 4.1 максимальные полные перемещения для всех случаев
расчетов получили точки, находящиеся на верхней части оболочки. Именно в
этой зоне происходило отлипание оболочки от массива (рисунок 4.2 и 4.4).
Результаты расчетов оболочки в системе «оболочка – окружающий грунт»,
полученные по трем рассмотренным моделям грунта, хорошо согласуются друг с
другом как качественно, так и количественно, что говорит о достоверности построенных моделей и расчетов. Перемещения, напряжения и деформации оболочки, а также зоны отлипания грунта во всех расчетных случаях идентичны.
Модель приведенного упругого слоя следует применять при отсутствии в
программных комплексах конечных элементов, моделирующих упругое основание, или при нерегулярности формы конечных элементов оболочки. В последнем
случае затруднен подсчет реальных жесткостей контактных элементов.
96
При выборе толщины приведенного упругого слоя и использовании формулы
(4.11) не следует принимать слой слишком толстым ( t пр  0,4  0,5 Rв ).
В расчетах следует использовать преимущественно объемные модели массива грунта с контактными элементами для учета его отлипания от оболочки, но
ввиду большой трудоемкости таких расчетов допустимо применять как упругое
основание, моделируемое контактными элементами, так и модель приведенного
упругого слоя с дополнительными контактными элементами.
4.2. Оценка влияния размеров расчетного фрагмента грунтового массива,
окружающего подземное сооружение, с точки зрения затухания напряженнодеформированного состояния грунта
Известно что, для плоских задач о распределении напряжений в грунте около
отверстий Савиным Г.Н. [119] проведен анализ НДС и предложено выбирать размеры расчетного фрагмента грунтового массива в пределах от 3-х до 5-и диаметров расположенных в нем круглых отверстий.
В данном параграфе приведены результаты расчета пространственных моделей системы «оболочка – грунтовый массив» при разных размерах расчетного
фрагмента массива грунта. Дана оценка влияния его размеров на НДС массива и
заложенного в нем подземного сооружения.
Рассмотрена цилиндрическая оболочка диаметром D = 2 м, толщиной T =
0,02 м, изготовленная из стали со следующими характеристиками: модулем упругости Eст = 2,11011 Па, коэффициентом Пуассона ст = 0,3 и плотностью ст = 7800
кг/м3. Оболочка расположена на глубине 10 м в массиве однородного изотропного
материала, моделирующего окружающий грунт (глину), имеющий модуль деформации Eгр = 14 МПа, коэффициент поперечных деформаций гр = 0,35 и плотность
гр = 1610 кг/м3. Материалы массива и оболочки считались неограниченно линейно упругими. Для оценки влияния размеров массива на НДС системы проведено
несколько расчетов пространственных моделей системы «оболочка – грунтовый
массив», находящихся под действием собственного веса оболочки и грунта, при
97
разных расстояниях от оболочки до боковых граней массива L = 1D ÷ 7D, где D –
диаметр оболочки (рисунок 4.7). Расстояние от конструкции до низа массива определено положением слоя прочного грунта и принято равным 10 м. Боковые и
нижняя границы массива закреплены от перемещений по нормалям к поверхностям. Контакт между оболочкой и грунтовым массивом принят полным жестким.
Такая модель часто применяется в пространственных расчетах подземных сооружений. Сетка объемных элементов – тетраэдров (по три степени свободы в каждом узле) сгущалась по мере приближения к оболочке. Оболочка смоделирована
плоскими прямоугольными элементами (по шесть степеней свободы в каждом узле).
В таблице 4.2 приведены экстремальные значения компонентов НДС. С увеличением размеров расчетного фрагмента массива максимальные полные перемещения wобполн и эквивалентные напряжения обэкв в оболочке незначительно
росли. Начиная со значения L = 3D , максимальные полные перемещения оболочки остались неизмененными (0,132 м).
Рисунок 4.7. Расчетная модель грунтового массива и расположенная в нем оболочка
98
Таблица 4.2
Экстремальные значения основных компонентов НДС системы в зависимости от
расстояния от оболочки до боковых граней массива.
Расстояния от оболочки до боковых граней массива
Компоненты
НДС
1D
2D
3D
4D
5D
6D
7D
wоб полн, 10 -1 м
1,29
1,31
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
wгр полн, 10-1 м
1,63
1,66
1,67
1,68
1,68
1,69
1,69
об экв, 107 Па
5,52
5,97
6,11
6,17
6,20
6,20
6,19
гр у, 105 Па
3,39
3,42
3,44
3,44
3,45
3,45
3,45
гр экв, 105 Па
1,57
1,60
1,63
1,64
1,68
1,65
1,67
Рисунок 4.8. Поля вертикальных напряжений в массиве грунта при L = (17) D
Наибольшие вертикальные напряжения в массиве гр у оказались внизу массива для всех расчетных случаев и почти не изменялись при L >3D (рисунок 4.8,
таблица 4.2).
При увеличении размера L компоненты НДС системы увеличиваются в целом
незначительно. При размерах L = (1 ÷ 3)D максимальные эквивалентные напряжения в наружных волокнах оболочки ниже соответственно на 10,82%, 3,55% и
99
1,29% относительно случая, когда L = 7D. При L > 3D максимальные эквивалентные напряжения в оболочке меняются незначительно.
На основании этого анализа НДС системы в практических расчетах рекомендуется принимать размеры расчетного фрагмента массива грунта равными L ≥3D.
С точки зрения затухания НДС грунта, чем больше размеры массива, тем лучше
моделируется задача в целом, но в связи с трудоемкостью пространственных расчетов эти размеры можно ограничить 3-мя – 5-ю диаметрами оболочки, также как
и для плоских систем [119].
4.3. Численный анализ напряженно-деформированного состояния
тройникового соединения оболочек без учета и с учетом их одностороннего
взаимодействия с окружающим грунтовым массивом
4.3.1. Постановка задачи
Рассмотрим узел пересечения цилиндрических оболочек (тройниковое соединение), состоящий из основной трубы диаметром D = 2 м, толщиной T = 0,02 м
и патрубка с размерами d = 1,4 м и t = 0,014 м, изготовленных из стали со следующими характеристиками: модулем упругости Eст = 21011 Па, коэффициентом
Пуассона ст = 0,3 и плотностью ст = 7800 кг/м3. Оболочки расположены на глубине 10 м в массиве однородного изотропного материла, моделирующего окружающий грунт (глину) (рисунок 4.9), имеющий модуль деформации Eгр = 14 МПа,
коэффициент поперечных деформаций гр = 0,35 и угол внутреннего трения  =
17о. Для оценки необходимости учета возможного одностороннего взаимодействия оболочек с окружающим массивом грунта (отлипание оболочек от грунтового
массива) проведены расчеты четырех пространственных моделей системы «оболочки – грунтовый массив», находящихся под действием собственного веса оболочек. Материалы оболочек и грунтового массива считались неограниченно линейно упругими. Собственный вес грунта при этом не учитывался, так как все деформации массива грунта от его собственного веса протекли еще до возведения
оболочек. Размеры объемного массива выбраны из условия затухания НДС грунта
100
[150] и приняты по 5 диаметров большой оболочки в каждую сторону и снизу (по
10 м). На боковых гранях и внизу массива поставлены линейные связи, запрещающие перемещения по нормалям к соответствующим поверхностям. По торцам
оболочек также поставлены аналогичные связи, обеспечивающие геометрическую
неизменяемость системы в целом. Оболочки аппроксимированы плоскими четырехузловыми конечными элементами (по шесть степеней свободы в каждом узле),
построенными на основе гипотез Кирхгофа – Лява. Грунт смоделирован объемными конечными элементами в виде четырехузловых тетраэдров (по три степени
свободы в каждом узле). Сетка объемных конечных элементов сгущалась по мере
приближения к оболочкам (рисунок 4.9). Использование тетраэдров обосновано
сложностью геометрии пространственной расчетной модели.
Рисунок 4.9. Система «оболочки – массив грунта» (связи не показаны);
а) конечноэлементная модель расчетного фрагмента;
б) конечноэлементная модель пересекающихся оболочек
4.3.2. Расчет системы «оболочки – грунтовый массив» при полном жестком
контакте между объектами.
Контакт между оболочками и грунтовым массивом считался полным жестким. Такая модель достаточно широко применяется в пространственных расчетах
подземных сооружений. Задача решена в линейной постановке.
101
В данном расчетном случае в зоне контакта возникают как нормальные, так и
касательные напряжения между контактирующими объектами, однако в реальных
условиях наличие такого полного «сдвигового» контакта недостаточно изучено.
Максимальные полные перемещения точек оболочек wmax и максимальные эквивалентные напряжения по IV теории прочности [4] (по Мизесу) во внутренних
гр
внут.об
нар.об
 max
и наружных  max
волокнах оболочек, а также в массиве грунта max при-
ведены в таблице 4.3 (столбец «Вариант 1»). Рисунок 4.10 содержит деформированный вид расчетного фрагмента в целом и узла пересечения оболочек. Такая
картина деформаций образовалась вследствие того, что патрубок под действием
собственного веса играет роль «рычага», закручивающего основную оболочку в
грунте. На рисунках 4.10  4.14 («Вариант 1») показаны места расположения экстремальных характеристик НДС системы. Максимальные полные перемещения
получили точки, расположенные внизу области сопряжения основной оболочки
(большего диаметра) и патрубка. Максимальные напряжения (во внутренних и
наружных волокнах оболочек) возникли в основной оболочке также внизу, в зоне
примыкания патрубка. В массиве наиболее опасной является зона в окрестности
боковой поверхности основной оболочки, противоположной месту примыкания
патрубка.
Рисунок 4.10. Деформированный вид оболочек с массивом грунта (вариант 1);
а) расчетный фрагмент;
б) узел пересечения оболочек
102
4.3.3. Расчет системы «оболочки – грунтовый массив» при двустороннем
контактном взаимодействии
С целью оценки влияния полного «сдвигового» контакта в рассмотренной
выше модели проведен расчет такой же системы «оболочки – грунтовый массив»,
но в отличие от предыдущего случая между оболочками и массивом размещены
специальные упругие контактные элементы [64, 118] с теоретически бесконечно
большими жесткостями при сжатии и растяжении. В данном случае эти жесткости
приняты одинаковыми, конечными и равными S сж = Sрас = 108 н/м, так как задать
бесконечно большие жесткости при численной реализации решения задачи в программном комплексе невозможно. Длины контактных элементов приняты равными нулю, чтобы исключить наличие начального зазора между контактирующими
поверхностями. Поскольку контактные элементы работают только на растяжение
и сжатие, в зоне контакта между тройниковыми соединениями и грунтовым массивом сдвиговое взаимодействие отсутствовало (трение пока не задавалось). Задача решена в линейной постановке. Наибольшие полные перемещения точек
оболочек wmax и максимальные эквивалентные напряжения по IV теории прочности в оболочках и в массиве представлены в таблице 4.3 (столбец «Вариант 2»). В
данном случае наибольшие перемещения получили точки, расположенные на боковой части основной оболочки напротив области примыкания патрубка (рисунки
4.11 и 4.12, «Вариант 2»), но величины перемещений оказались в 1,18 раза больше, чем при полном жестком контакте оболочек с массивом. Наибольшие напряжения в оболочках возникли наверху зоны сопряжения патрубка с основной оболочкой (рисунки 4.11, 4.13 и 4.14 «Вариант 2») и уменьшились в 1,04 раза (в наружных волокнах). Максимальные напряжения в грунтовом массиве имели место
внизу основной оболочки (рисунки 4.11, «Вариант 2» и 4.15, б) и стали в 1,48 раз
больше, чем в предыдущем случае. Следует отметить, что рассмотренная модель
с двусторонним контактом, также как и предшествующая с полным контактом,
имеет существенный недостаток: в верхней зоне контакта обе оболочки «тянут»
за собой грунтовый массив, что на практике не наблюдается.
103
4.3.4. Расчет системы «оболочки – грунтовый массив» с учетом возможного
одностороннего контактного взаимодействия
Чтобы учесть возможность одностороннего взаимодействия оболочек и грунта, между оболочками и массивом также поставлены контактные элементы,
имеющие бесконечно большие жесткости при сжатии, но нулевые при растяжении. В связи с численным решением поставленной задачи обеспечить как бесконечно большие, так и нулевые жесткости не представилось возможным, однако,
чем больше жесткости контактных элементов при сжатии и меньше при растяжении, тем лучше реализуется односторонний контакт. В данном случае жесткости
контактных элементов заданы соответственно Sсж = 108 н/м и S рас = 10 -7 н/м, а их
длины также приняты равными нулю как в предыдущем случае. Задача решена в
конструктивно нелинейной постановке. Нелинейность обусловлена необходимостью посредством итерационного процесса отыскания зоны отсутствия контакта
между оболочками и массивом (область отлипания оболочек от грунта). За счет
возможного отлипания НДС системы существенно изменилось. Максимальные
полные перемещения точек оболочек wmax и максимальные эквивалентные напряжения по IV теории прочности в оболочках и в массиве грунта приведены в таблице 4.3 (столбец «Вариант 3»). Наибольшие перемещения получили точки верхней части основной оболочки (рисунки 4.11 и 4.12, «Вариант 3») (в 2,10 раза
больше, чем при полном жестком контакте). В этой же зоне модели произошло
отлипание оболочки от массива грунта (рисунок 4.16, «Вариант 3»). Максимальные напряжения в оболочках возникли наверху зоны сопряжения патрубка с основной оболочкой (и во внутренних и наружных волокнах) (рисунки 4.11, 4.13 и
4.14, «Вариант 3») и в 2,94 раза превысили аналогичные напряжения (для наружных волокон), соответствующие варианту 1. Наибольшие напряжения в массиве
грунта оказались внизу на контакте с оболочками (рисунки 4.11 и 4.15, «Вариант
3») и выше, чем в варианте 1 в 2,85 раза. Внутренние усилия в контактных элементах в верхней части оболочек приблизительно равнялись нулю (рисунки 4.17 и
4.18, «Вариант 3»), что соответствует зоне отлипания оболочек от массива грунта.
104
В данном расчетном случае возможность отлипания оболочек от массива грунта
учтена, но контактное трение между объектами не рассматривалось, что, конечно,
является некоторым недостатком этой модели.
4.3.5. Расчет системы «оболочки – грунтовый массив» с учетом возможного
одностороннего контактного взаимодействия и трения между
контактирующими объектами
Расчетная модель осталась такой же, как в предыдущем разделе, то есть использующей упругие односторонние контактные элементы. Единственное отличие заключалось в наличии «сдвигового» контакта между оболочками и грунтовым массивом. Сдвиговые усилия учтены путем введения статического коэффициента трения для контактных GAP элементов [193]. В данном случае он принят
равным тангенсу угла внутреннего трения грунта (глины) к = tg = 0,3057. Эта
величина – ниже коэффициента трения стали по грунту, то есть предполагается,
что определяющей является возможность нарушения сдвигового контакта за счет
разрушения грунта. Задача решена в конструктивно нелинейной постановке. Наибольшие полные перемещения точек оболочек wmax и максимальные эквивалентные напряжения по IV теории прочности в оболочках и в массиве представлены в
таблице 4.3 (столбец «Вариант 4»). Экстремальные значения перемещений в оболочках оказались в точках верхней части основной оболочки, а эквивалентных
напряжений наверху зоны сопряжения (рисунки 4.11  4.14, «Вариант 4»). В этой
же зоне модели произошло отлипание оболочки от массива грунта (рисунок 4.16,
«Вариант 4»). Наибольшие напряжения в массиве грунта возникли внизу на контакте с оболочками и чуть сместились в бок (рисунки 4.11 и 4.15, «Вариант 4»).
Компоненты НДС уменьшились по сравнению с предыдущим случаем за счет
контактного трения оболочек с массивом грунта (максимальные полные перемещения в 1,16 раза, наибольшие напряжения в оболочках в 2,07 раза и в массиве в
1,29 раза). Усилия в контактных элементах, так же как и в предшествующем случае, равнялись нулю в местах отлипания оболочек от грунтового массива.
105
4.3.6 Сравнительный анализ результатов расчетов, выводы по п. 4.3
Расчетные модели, учитывающие возможность отлипания оболочек от грунта
(без учета, а также с учетом контактного трения между объектами), дают результаты как по перемещениям (соответственно в 2,1 и 1,82 раза), так и по расчетным
напряжениям (соответственно в 2,94 и 1,42 раза в наружных волокнах оболочек, в
2,85 и 2,21 раза в грунте), превышающие соответствующие характеристики НДС,
полученные при помощи общепринятой модели с полным контактом оболочек и
массива грунта. Поэтому именно их (варианты 3 и 4) следует рекомендовать для
проведения пространственных расчетов системы «оболочки – грунтовый массив».
Модель с учетом двустороннего контакта оболочек с массивом занимает промежуточное положение.
Наличие примыкающего патрубка подкрепляет основную оболочку, не позволяя ей сплющиваться в зоне сопряжения с патрубком.
Рисунок 4.11. Места расположения экстремальных характеристик НДС.
106
Рисунок 4.12. Деформированный вид оболочек.
Рисунок 4.13. Поля интенсивностей напряжений во внутренних
волокнах оболочек
107
Рисунок 4.14. Поля интенсивностей напряжений в наружных волокнах оболочек
108
Рисунок 4.15. Поля интенсивностей напряжений в массиве грунта
а) вариант 1; б) вариант 2; в) вариант 3; г) вариант 4.
Таблица 4.3
Основные экстремальные компоненты НДС системы
Компоненты НДС
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
wmax , 10-4 м
5,66
6,68
11,9
10,3
внут.об
 max
, 106 Па
0,87
0,96
3,21
1,89
нар.об
 max
, 106 Па
1,40
1,35
4,11
1,99
2,27
3,35
6,48
5,01
, 10
 гр
max
3
Па
109
Рисунок 4.16. Зоны отлипания оболочек от массива грунта
Рисунок 4.17. Усилия в контактных элементах (вариант 3)
110
Рисунок 4.18. Усилия в контактных элементах
4.4. Выводы по главе 4
1. Разработана методика, учитывающая одностороннее контактное взаимодействие оболочки и грунтового основания и позволяющая сопоставить три вида
моделей грунта, окружающего оболочку: основание типа Фусса – Винклера, модель упругого слоя и объемный массив. В результате анализа этих моделей установлено, что, характеристики НДС системы «оболочка – окружающий грунт»
оказались относительно близкими как качественно, так и количественно во всех
трех случаях.
2. Получена уточненная формула для приведенного модуля упругости упругого слоя. Выбирая толщину слоя, не следует принимать ее слишком большой
( tпр  0,4  0,5 Rв ). Модель приведенного упругого слоя следует применять при
отсутствии в программных комплексах конечных элементов, моделирующих упругое основание, или при нерегулярности формы конечных элементов оболочки.
3. В расчетах рекомендуется использовать преимущественно объемные модели массива грунта с контактными элементами для учета его одностороннего
взаимодействия с оболочкой, но ввиду большой трудоемкости таких расчетов допустимо применять как упругое основание, моделируемое контактными элемен-
111
тами, так и модель приведенного упругого слоя с дополнительными односторонними контактными элементами.
4. В пространственной постановке задачи дана оценка влияния размеров
фрагмента массива грунта, обеспечивающих затухание неоднородности его напряженно-деформированного состояния, вызванной наличием в массиве подземного сооружения. В практических расчетах подземных сооружений рекомендуется брать расстояния от цилиндрических оболочек до боковых граней массива
грунта равными или больше трех диаметров оболочек. Чем больше размеры массива, тем, в принципе, лучше моделируется задача в целом, но в связи с трудоемкостью пространственных расчетов эти размеры можно ограничить 3-мя – 5-ю
диаметрами оболочки, как и для плоских систем.
5. На примерах расчетов ортогонально пересекающихся цилиндрических
оболочек, взаимодействующих с окружающим массивом грунта, показано, что
учет возможности одностороннего взаимодействия оболочек и грунтового массива (эффекта отлипания) приводит к повышенным значениям основных характеристик НДС системы в целом по сравнению с общепринятой моделью с полным
контактом оболочек и массива грунта.
6. Для учета возможности отлипания оболочек от грунта и контактного трения между ними рекомендуется применять в местах контакта специальные контактные элементы, имеющие бесконечные (очень большие) жесткости при сжатии
и нулевые (или близкие к нулю) жесткости при растяжении со статическим коэффициентом трения, равным тангенсу угла внутреннего трения грунта. Однако,
учитывая, что вопросы контактного трения оболочек и грунта еще мало изучены,
а учет трения снижает компоненты НДС, можно проводить расчеты без учета этого фактора.
112
ГЛАВА 5: НЕКОТОРЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК, КОНТАКТИРУЮЩИХ С МАССИВОМ
ГРУНТА
5.1. Оценка напряженно-деформированного состояния подземного
трубопровода, расположенного на перегоне «Дема – Уфа»
Куйбышевской железной дороги
На участке перегона Дема – Уфа Куйбышевской железной дороги в полутвердом суглинке на глубине 13 м относительно земной поверхности (максимальная глубина) горизонтально расположена сеть трубопроводов. Сверху на насыпи
перпендикулярно трубопроводам проходят железнодорожные пути (рисунок 5.1).
Рисунок 5.1. План расположения трубопроводов (синие линии)
под насыпями железной дороги на перегоне Дема – Уфа
Трубопроводы предназначены для водоснабжения и водоотведения. Ниже
проанализированы напряженно-деформированные состояния пластиковых оболо-
113
чек трубопроводов. Расчеты произведены в геометрически и физически линейной
постановке задачи.
5.1.1. Определение величины модуля упругости и прочностных
характеристик материала трубопровода
Цилиндрические оболочки трубопроводов внешним диаметром 560 мм, толщиной 50,8 мм изготовлены из полиэтилена ПЭ100 SDR 11. Характеристики
прочности и деформативности этого полиэтилена не заданы, но заказчик предоставил данные натурных испытаний подобных труб меньшего диаметра. Для уточнения модуля упругости материала трубы на компьютере с помощью конечноэлементного комплекса MSC PATRAN – NASTRAN проведены расчеты труб, моделирующие натурные эксперименты заказчика (рисунок 5.2). Модуль упругости
9
материала оболочек в расчетах принят равным E  1,05 10 н/м2 (задано заказчи-
ком). Путем сравнения величин взаимных перемещений верхней и нижней точек
(3% от диаметра), полученных из экспериментов и из расчетов, скорректирован
модуль упругости материала труб, а для дальнейших расчетов принято его среднее значение из трех экспериментов (таблица 5.1).
Рисунок 5.2. Уточнение модуля упругости трубы:
а) расчетная схема;
б) деформированный вид оболочки трубы
114
Таблица 5.1
Скорректированные модули упругости для различных экспериментов
Модуль
Эксперименты
Диаметр, мм
Толщина, мм
Труба №1
110
10,0
1,0682109
Труба № 2
160
14,6
1,0445109
Труба № 3
315
28,6
1,3420109
Средний модуль
упругости, н/м2 упругости, н/м2
1,115210 9
После этого выполнен расчет трубы диаметром 560 мм, толщиной 50,8 мм из
9
такого же материала с откорректированным модулем упругости E  1,152  10
н/м2 при аналогичных граничных условиях, и определены максимальные полные
окружные напряжения (фибровые напряжения) в трубе, соответствующие взаимным перемещениям верхней и нижней точек 3% от диаметра трубы. Эти напряжения возникли в верхней и нижней точках трубы (на наружной поверхности) и
приняты в качестве допускаемых напряжений для дальнейших расчетов тр =
15,88 МПа.
5.1.2. Расчеты оболочки трубопровода по плоским схемам
Проведены расчеты системы «оболочка – грунтовый массив» в плоской постановке задачи для двух (предположительно наиболее опасных) сечений 1–1 и 2–
2 грунтового массива (рисунок 5.3). Во втором сечении толщина верхнего слоя
грунта на четыре метра больше аналогичного слоя первого сечения. В таблице 5.2
представлены основные физико-механические свойства грунтов.
115
Рисунок 5.3. Трубопровод в массиве грунта (размеры даны в метрах);
а) продольный разрез; б) поперечное сечение 2 – 2; в) поперечное сечение 1 – 1
116
Таблица 5.2
Физико-механические характеристики грунтов
6
3
Грунты
Е, 10 Па

, кг/м
Суглинок мягкопластичный
11,0
0,36
1890
Суглинок полутвердый
13,0
0,36
1930
Для расчета из трубы и грунта выделена полоса шириной 1 м. Рассмотренная
часть трубы смоделирована прямыми балочными конечными элементами с шестью степенями свободы в каждом узле. Области грунта аппроксимированы четырехузловыми плоскими конечными элементами также с шестью степенями
свободы в каждом узле. По торцам грунтового массива поставлены связи по нормалям к торцам, а также связи во всех узлах вдоль направления трубы. При расчетах системы учтены следующие нагрузки [38]: собственный вес грунтов, вес самой конструкции, гидростатическое давление и воздействие подвижного состава в
виде равномерно распределенной нагрузки интенсивностью 80 кН/м2 (задано заказчиком). К этим нагрузкам добавлены коэффициенты надежности по нагрузке
[134]. Рассмотрены два варианта устройства трубы с учетом конструктивнотехнологических особенностей производства работ: с учетом устройства защитной обоймы из тампонажного цемента М700 между трубой и стенкой скважины и
без учета. Толщина слоя защитной обоймы составила 120 мм. Величины максимальных полных окружных напряжений в стенке трубы тр, максимальных вертикальных грz и эквивалентных напряжений грэкв в массиве грунта без учета и с
учетом обоймы из тампонажного цемента для двух вышеуказанных сечений показаны в таблице 5.3. Знаки минус у окружных напряжений в стенке оболочки трубы означают, что в этих местах труба работает на сжатие. С учетом обоймы из
цементного раствора полные максимальные напряжения в стенке трубы существенно снизились. Максимальные полные окружные напряжения в стенке трубы
без учета защитной обоймы для сечений 1–1 и 2–2 соответственно равны 6,02
МПа и 7,89 МПа. Они меньше, чем допускаемое напряжение, т.е. условие прочности выполнено. Сечение 2–2 оказалось опаснее сечения 1–1. Места экстремаль-
117
ных напряжений в стенке трубы и в массиве грунта для сечения 2–2 без учета защитной обоймы можно определить на рисунках 5.4 и 5.5. Для сечения 1–1 такие
картины аналогичны. Также проведен расчет системы для сечения 1–1 с учетом
одностороннего взаимодействия трубы и грунта с помощью контактных элементов (без учета защитной обоймы). В этом случае максимальные полные окружные
напряжения в стенке трубы составили 6,41 МПа, что на 6,48% выше соответствующих напряжений в варианте полного жесткого контакта объектов. Разница
оказалась невелика, поэтому дальнейшие расчеты в плоской постановке задачи
осуществлены без учета одностороннего контактного взаимодействия между оболочкой и грунтом.
Рисунок 5.4. Эпюра полных окружных напряжений в стенке оболочки
для сечения 2 – 2 без учета защитной обоймы
118
Рисунок 5.5. Эквивалентные напряжения в грунтовом массиве
для сечения 2–2 без учета защитной обоймы:
а) поле напряжений; б) увеличенный фрагмент
Таблица 5.3
Основные экстремальные компоненты НДС системы в плоской постановке задач
тр , МПа
грz , МПа
грэкв , МПа
Без обоймы
-6,02
0,33
0,34
С обоймой
-0,21
3,10
3,05
Без обоймы
-7,89
0,44
0,45
С обоймой
-0,39
5,85
5,75
Сечения
1–1
2–2
5.1.3. Расчеты трубопровода по пространственной схеме
С целью уточнения особенностей работы трубопровода и полной оценки его
НДС выполнены пространственные расчеты системы «оболочка – грунтовый массив» с учетом контактного взаимодействия массива и оболочки. Для определения
наихудших условий эксплуатации и оценки влияния подвижного состава на НДС
119
системы проведены шесть статических расчетов с учетом особенностей расположения поездов на насыпях (рисунок 5.6):
– вариант 1: поездная нагрузка находится в положении А;
– вариант 2: поездная нагрузка находится в положении Б;
– вариант 3: поездная нагрузка находится в положении В;
– вариант 4: поездная нагрузка находится в положении Г;
– вариант 5: поездная нагрузка находится в положении Б, В и Г;
– вариант 6: поездная нагрузка находится в положении А, Б, В и Г.
Вырезан массив грунта длиной 35 м вдоль трубы. Расстояния от трубы до боковых границ и низа массива приняты равными пяти диаметрам трубы. Расчетный
фрагмент загружен следующими нагрузками: собственным весом грунта и самой
трубы, гидростатическим давлением (рассчитано по максимальному возможному
уровню подземных вод) и временной нагрузкой от подвижного состава. Боковые
и нижняя границы массива закреплены от перемещений по нормалям к поверхностям. Материалы считались неограниченно линейно упругими. На рисунке 5.7 показана конечноэлементная модель оболочки и массива грунта. Расчеты проведены
без учета защитной обоймы, так как ее учет существенно снижает напряжения в
трубе.
Рисунок 5.6. Пространственная схема трубопровода и грунтового массива
120
Рисунок 5.7. Конечноэлементная модель системы «оболочка – массив грунта»
В таблице 5.4 приведены величины максимальных окружных напряжений в
оболочке трубы тр, максимальных вертикальных (грz ) и эквивалентных напряжений в массиве грунта грэкв при различных положениях поездной нагрузки. Определен наиболее невыгодный вариант нагружения системы: самым опасным является вариант 1, когда поезд проходит по сечению 2–2 (в положении А (рисунок
5.6)). На втором месте – вариант 6, когда над трубой проходят одновременно все
поезда. Условие прочности материала трубы во всех вариантах выполнено.
На рисунке 5.8 показан деформированный вид оболочки трубы в варианте 1.
Поля напряжений, как в оболочке, так и в массиве грунта (вариант 1) представлены на рисунках 5.9 и 5.10. Максимальные окружные напряжения в оболочке появились во внутренних волокнах у ее боков под местом расположения поезда.
Максимальные вертикальные и эквивалентные напряжения в массиве оказались
на нижней границе контакта с оболочкой.
121
Рисунок 5.8. Деформированный вид оболочки трубы (вариант 1)
Рисунок 5.9. Поле окружных полных напряжений во внутренних
волокнах оболочки трубы (вариант 1)
122
Рисунок 5.10. Поля вертикальных напряжений в грунтовом массиве
в различных вариантах расположения поездной нагрузки
Таблица 5.4
Экстремальные напряжения системы в различных вариантах расположения
поездной нагрузки
Напряжения
Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант
1
2
3
4
5
6
тр, МПа
-5,04
-4,42
-4,41
-4,42
-4,32
-4,89
эквтр, МПа
6,56
5,06
5,07
5,11
4,57
5,72
грz , МПа
0,33
0,29
0,29
0,29
0,29
0,32
грэкв , МПа
0,24
0,20
0,20
0,20
0,19
0,22
5.1.4. Сопоставление результатов расчетов трубопровода по плоской и
пространственной расчетным моделям, выводы по п. 5.1
123
В таблице 5.5 сопоставлены максимальные окружные напряжения в оболочке
трубы тр, максимальные вертикальные (грz) и эквивалентные (грэкв) напряжения в массиве грунта, полученные из расчетов по плоской и пространственной
схемам для сечений 1–1 и 2–2. Пространственные расчеты дают несколько пониженные напряжения и в грунте, и в стенке трубы по сравнению с расчетами по
плоской схеме. Это сопоставление подтверждает достоверность пространственных расчетов, так как расчеты по плоской схеме широко используются в практике
проектирования и уже достаточно апробированы. Их достоверность не вызывает
сомнения.
Таблица 5.5
Экстремальные напряжения системы в плоских и
пространственных постановках задач
Сечение 1–1
Напряжения
Сечение 2–2
По плоской
По пространст-
По плоской
По пространст-
схеме
венной схеме
схеме
венной схеме
тр, МПа
-6,02
-4,42
-7,89
-5,04
грz , МПа
0,33
0,29
0,44
0,33
грэкв , МПа
0,34
0,20
0,45
0,24
Анализ результатов расчетов позволил сформулировать следующие выводы.
1. Максимальные полные окружные напряжения в стенке трубы (без учета ее
обоймы из цементного раствора) меньше, чем допускаемое напряжение, то есть
условие прочности выполняется.
2. Если учитывать обойму из цементного раствора, то полные максимальные
напряжения в стенке трубы существенно снижаются.
124
3. Пространственные расчеты дают пониженные напряжения, как в стенке
трубы, так и в грунте, по сравнению с расчетами по плоской схеме (максимальные
полные напряжения в стенке трубы снизились на 36%).
4. Наиболее невыгодным является размещение поезда в положении А. На
втором месте – вариант 6, когда над трубопроводом проходят одновременно все
поезда.
5.2. Геометрически нелинейный анализ напряженно-деформированного
состояния пересекающихся цилиндрических оболочек тоннельных обделок с
учетом возможности возникновения пластических деформаций в
окружающих грунтах, а также последовательности возведения объектов
5.2.1. Постановка задачи
Рассмотрим ортогонально пересекающиеся цилиндрические оболочки, моделирующие железобетонные тоннельные обделки. Обделка большого тоннеля изготовлена из монолитного бетона марки Б40 со следующими характеристиками:
модулем упругости E = 3,61010 н/м2, коэффициентом Пуассона µ = 0,2, плотностью  = 2400 кг/м3, а маленького примыкающего тоннеля – из монолитного бетона марки Б25 с характеристиками: модулем упругости E = 31010 н/м2, коэффициентом Пуассона µ = 0,2, плотностью  = 2400 кг/м3. В связи с наличием арматуры (не более 3% по объему) [135] в обделках их модуль упругости и плотность
увеличены: для большого тоннеля E = 4,111010 н/м2 и  = 2500 кг/м3, для малого –
E = 3,5281010 н/м2 и  = 2500 кг/м3. Внутренние диаметры обделок тоннелей равны соответственно 5,6 и 3,0 м, а их толщины – 0,3 и 0,2 м. Пересекающиеся тоннели заложены на глубине 20 м в слое плотной супеси неоднородного грунтового
массива, состоящего из шести разных слоев (рисунок 5.11). Седьмой слой (известняк) не введен в расчет, так как он является крепким грунтом. Каждый слой
считался однородным изотропным. Основные физико-механические характеристики слоев грунта приведены в таблице 5.6.
125
Таблица 5.6
Основные физико-механические характеристики слоев грунта
Наименование
грунтов
Насыпной
грунт
Песок среднезернистый
Угол внут-
Модуль де-
Коэффи-
формации Е
циент Пу-
(107 Па)
ассона 
3,3
0,3
1600
–
–
2
4,0
0,3
2000
2,0
38
4
2,4
0,32
1970
17
29
3
2,4
0,3
2200
15
26
19
3,8
0,3
1960
4
36
23
1,7
0,35
2100
25
19
12
Плотность
Сцепле-
реннего
(кг/м3)
ние (КПа)
трения
(градусы)
Мощность
слоя, м
Супесь твердая
(средней
плотности)
Супесь твердая
(плотная)
Песок мелкозернистый
Суглинок мягко-пластичный
Размеры массива (42  21  63 м) подобраны из условий затухания его НДС и
приняты равными трем диаметрам тоннелей в соответствующие стороны (рисунок 5.11, а). Границы двух нижних слоев – наклонные, что нарушает симметрию
задачи. Нижняя граница массива закреплена от вертикальных перемещений, а боковые торцы – от горизонтальных. Для оценки влияния разных моделей грунтов
на НДС оболочек проведены четыре расчета системы «грунтовый массив – оболочки тоннельных обделок» с учетом особенностей контактного взаимодействия
объектов. Сетки конечных элементов (КЭ) построены с учетом особенностей геометрии областей со сгущением в местах отверстий (рисунок 5.11, б, в). Применены различные типы КЭ: тетраэдр и параллелепипед для дискретизации массива,
четырехузловые плоские элементы для аппроксимации оболочек и одномерные
контактные элементы. Общее количество КЭ составило ~ 280 000. Во всех случа-
126
ях материалы оболочек считались линейно упругими. Система нагружена собственным весом грунтов и тоннельных обделок с учетом коэффициентов надежности по нагрузке [136].
Рисунок 5.11. Система «пересекающиеся оболочки тоннелей – массив грунта»;
а) геометрическая модель;
б) конечноэлементная модель массива;
в) конечноэлементная модель пересекающихся оболочек
5.2.2. Линейно упругие грунты, жесткий контакт оболочек с массивом
В первом случае использован самый простой и популярный подход, применяемый в расчетах подобных подземных сооружений. Все материалы (как грунтов, так и оболочек) приняты линейно упругими. Контакт между ними – полный
жесткий. Задача решена в линейной постановке.
Основные экстремальные компоненты НДС системы (максимальные вертикальные напряжения в массиве (угр), максимальные окружные напряжения во
внутренних волокнах большой оболочки (бол.об), малой оболочки (мал.об) и максимальные перемещения обделок (wоб)) представлены в таблице 5.7 и на рисунках
5.14, 5.15 (вариант 1).
127
5.2.3. Линейно упругие грунты с учетом возможности одностороннего
взаимодействия оболочек и грунтового массива
В отличие от предыдущего случая между грунтовым массивом и расположенными в нем оболочками поставлены односторонние контактные элементы,
что обеспечивает возможность одностороннего взаимодействия контактирующих
объектов. Эти контактные элементы имеют большую жесткость при сжатии и
близкую к нулю жесткость при растяжении. Длина контактных элементов принята близкой к нулю. Задача решена в геометрически и конструктивно нелинейной
постановке в связи с необходимостью итерационного процесса отыскания зоны
«отлипания» конструкций от окружающего грунта. Соответствующие результаты
расчета показаны в таблице 5.7 и на рисунках 5.14, 5.15 (вариант 2). Усилия в
контактных элементах показаны на рисунке 5.12. Сжимающие усилия появились в
контактных элементах, находящихся наверху и внизу большой оболочки. В зоне
пересечения произошло «отлипание» оболочки от массива грунта. Максимальные
окружные напряжения повысились по сравнению с предыдущим вариантом на
16,8%.
Рисунок 5.12. Усилия в контактных элементах (вариант 2):
а) примыкающих к большой оболочке;
б) примыкающих к малой оболочке
128
5.2.4. Упруго-пластические грунты с учетом одностороннего взаимодействия
оболочек и грунтового массива
Расчетная модель осталась такой же, как и во втором случае, но здесь учтены
пластические свойства грунтов согласно модели Друкера – Прагера [138]. В данном случае модель реализует упругое и идеально пластическое поведение грунтов, то есть без упрочнения. Поверхность текучести согласно модели Друкера –
Прагера является правильным круговым конусом относительно гидростатической
оси  1   2   3 в пространственной системе главных напряжений.
Задача решена с учетом геометрической и физической нелинейностей. Основные показатели НДС системы помещены в таблице 5.7 и на рисунках 5.14, 5.15
(вариант 3). Максимальные окружные напряжения в оболочках по модулю увеличились, а образовались также в зоне пересечения оболочек. Поля вертикальных
напряжений в массиве грунта для трех рассмотренных случаев имеют незначительные различия, как по величине максимальных напряжений, так и по характеру распределения.
5.2.5. Расчет с учетом последовательности возведения объектов, упругопластические грунты при одностороннем взаимодействии оболочек и
грунтового массива
Все предшествующие расчеты выполнены в один этап при одновременном
нагружении объектов собственным весом грунта и собственным весом оболочек.
Максимальные величины полных перемещений объектов оказались очень большими (порядка метра). Эти перемещения включают осадки грунтов (за счет обжатия от собственного веса), которые произошли еще до начала строительства подземных сооружений. Величина максимальной осадки поверхности грунта в исходном состоянии, то есть до начала возведения обделок тоннелей (осад.), приведена в таблице 5.7. Это исходное состояние называют бытовым, а соответствующие напряжения и перемещения – бытовыми. На рисунке 5.13 показано поле вер-
129
тикальных напряжений массива в бытовом состоянии. Чтобы определить реальные перемещения оболочек, возникшие за счет сооружения тоннелей, нужно вычесть из полученных результатов wоб бытовые перемещения их точек. В линейной
постановке это сделать можно, а при решении нелинейной задачи следует учесть
технологию возведения конструкции и проводить расчеты по этапам. Этой проблеме посвящен данный раздел. Расчет проведен в два этапа с учетом геометрической, физической и конструктивной нелинейностей. На первом этапе определено
НДС системы в бытовом состоянии при действии только собственного веса грунта. На втором этапе вынимают грунт, образуя отверстия, и одновременно сооружают обделки тоннелей. На втором этапе нагрузкой является собственный вес обделок и вес удаленного грунта (с противоположным знаком). В качестве дополнительного воздействия в каждый узел конечноэлементной модели окружающего
оболочки массива грунта введены по шесть компонентов тензора напряжений,
полученных на предыдущем этапе расчета (из бытового состояния). Эти компоненты называют начальными напряжениями. Физические характеристики фактически удаленного (в действительности) грунта в модели приняты равными нулю
(близкими к нулю).
Основные результаты расчета (после выполнения двух этапов) приведены в
таблице 5.7 и на рисунках 5.14, 5.15 (вариант 4). Под действием собственного веса
грунтов и обделок оболочки сплющиваются (рисунок 5.16). Максимальное полное
перемещение оболочек составило 2,0910-2 м. На рисунке 5.17 показаны поля пластических деформаций в грунтовом массиве.
130
Рисунок 5.13. Поле вертикальных напряжений в массиве в бытовом состоянии
Рисунок 5.14. Поля вертикальных напряжений в массиве грунта:
а) вариант 1; б) вариант 2; в) вариант 3; г) вариант 4.
131
Рисунок 5.15. Поля окружных напряжений во внутренних волокнах оболочек
тоннельных обделок: а) вариант 1; б) вариант 2; в) вариант 3; г) вариант 4.
132
Рисунок 5.16. Деформированный вид объектов, рассчитанных
с учетом физической и геометрической нелинейностей
грунтов и последовательности возведения:
а) массив грунта; б) оболочки тоннельных обделок
Рисунок 5.17. Поля пластических деформаций в грунтовом массиве:
а) бытовое состояние; б) после сооружения тоннелей
133
5.2.6. Сопоставление результатов расчетов пересекающихся оболочек
тоннельных обделок, выводы по п. 5.2
За счет учета последовательности возведения объектов окружные напряжения в оболочках обделок тоннелей снизились ( на 41%) по сравнению с третьим
вариантом. Максимальное полное перемещение оболочек существенно уменьшилось и составило 2,0910 -2 м. На начальном этапе (в бытовом состоянии) пластические деформации появились в самом низу массива грунта, а после сооружения
тоннелей возникли также в местах отверстий. В итоге максимальные пластические деформации составили 1,8210-2.
Таблица 5.7
Основные компоненты НДС системы для различных вариантов
Компоненты
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
угр, 10 6 Па
1,442
1,438
1,438
1,422
бол.об, 107 Па
4,709
5,498
5,602
3,296
мал.об, 10 7 Па
3,859
3,882
3,906
2,363
wоб, м
1,001
1,003
1,003
2,0910 -2
осад., м
1,173
1,173
1,173
1,173
НДС
Наибольшие перемещения в оболочках получили точки верхней части большого тоннеля во всех вариантах расчетов. Максимальные вертикальные напряжения в массиве (угр) возникли на нижней границе последнего слоя за счет собственного веса грунтов и обделок. Наибольшие напряжения угр дает первый вариант. Во всех случаях максимальные окружные напряжения (бол.об) возникли в
точках большой оболочки, расположенных непосредственно в зоне примыкания
тоннелей (рисунок 5.15). Расчет с учетом возможного одностороннего взаимодействия и пластических деформаций грунтов (без поэтапного расчета) дает наибольшие напряжения бол.об (соответственно на 19% и 2% больше, чем варианты
1 и 2).
134
Сопоставительный анализ результатов расчетов дал возможность сформулировать следующие выводы.
1. Учет одностороннего контактного взаимодействия объектов и пластических деформаций грунта приводит к увеличению максимальных эквивалентных
напряжений в оболочках тоннельных обделок.
2. Расчет подземных сооружений, возводимых закрытым способом, на полную нагрузку, включающую собственный вес грунтов, приводит к существенно
завышенным величинам перемещений ввиду того, что учитывается обжатие грунтов произошедшее до начала проходки тоннелей.
3. Предложено приближенно учитывать последовательность сооружения
объектов в два этапа: на первом – производить расчет только на собственный вес
грунтов (определять бытовое состояние грунта), а на втором – учитывать только
собственный вес обделки, вес удаленного грунта (со знаком минус) и начальные
напряжения в грунте, взятые по результатам расчета на первом этапе. Физические
характеристики фактически удаленного грунта в модели приняты близкими к нулю.
4. Учет в расчетах поэтапного возведения (закрытым способом) подземных
сооружений приводит к пониженным напряжениям, как в стенках оболочек, так и
в грунте, а также дает возможность получать перемещения, не учитывающие бытовые осадки грунтов, произошедшие еще до начала строительства объектов.
5. В практических расчетах оболочек тоннельных обделок, сооружаемых закрытым способом, рекомендуется модель грунтов, учитывающая геометрическую
и физическую нелинейности, возможность контактного взаимодействия и поэтапное возведение объектов.
135
5.3. Анализ напряженно-деформированного состояния оболочек
бензохранилища, расположенного в грунтовом массиве
5.3.1. Общие положения
Подземный резервуар емкостью 25 м3 (рисунок 5.18) предназначен для хранения темных и светлых нефтепродуктов [142] и расположен на глубине 1,2 м от
поверхности земли. Оболочка цистерны изготовлена из стали 3. Диаметр оболочки – D = 2,76 м, длина L = 4,84 м, толщина 1 = 4 мм, а толщина конических днищ
и горловины – 2 = 5 мм (рисунок 5.19). Сверху на цистерну поставлен технический колодец с дном из монолитного бетона М150, а под ней на расстоянии 0,2 м
лежит бетонный поддон из монолитного бетона М100. Между оболочкой и бетонным поддоном – песчаная подушка. Массив грунта состоит из четырех слоев.
Граница между двумя нижними слоями – наклонная, что нарушает симметрию
задачи. Физико-механические характеристики грунтов даны в таблице 5.8. Сооружается объект открытым способом.
Рисунок 5.18. Оболочка цистерны бензохранилища:
а) на заводе; б) на стройке
136
Рисунок 5.19. Чертеж подземного резервуара из типового проекта
Таблица 5.8
Физико-механические характеристики грунтов
7
3
4
Мощность
Грунты
Е, 10 Па

, кг/м
с, 10 Па
, град.
Насыпной
3,1
0,3
2100
–
–
1
Супесь пластичная
1,6
0,32
2150
2,2
25
5
1,2
0,35
1920
3,2
18
11
Глина полутвердая
2,5
0,35
2120
8,0
22
9
Песчаная подушка
3,2
0,3
2000
0,8
36
1,25
Суглинок мягкопластичный
слоя, м
Размеры расчетного фрагмента массива грунта приняты 202526 м. По его
боковым торцам и подошве поставлены связи перпендикулярно соответствующим
поверхностям.
137
Оболочки и технический колодец смоделированы плоскими четырехузловыми конечными элементами (рисунок 5.20), а грунтовый массив, бетонный поддон
и песчаная подушка – объемными элементами (тетраэдрами), сетка которых сгущалась по мере приближения к оболочке.
Рисунок 5.20. Конечноэлементная модель бензохранилища:
а) оболочка и массив грунта; б) оболочка и песчаная подушка;
в) оболочка, технический колодец и бетонный поддон
5.3.2. Анализ результатов расчетов бензохранилища
Сначала в целях определения наиболее невыгодного нагружения объекта
проведены линейные расчеты системы «оболочка бензохранилища – грунтовый
массив» в различных вариантах загружения: 1) от собственного веса грунта и кон-
138
струкции; 2) от собственного веса и давления бензина; 3) от избыточного давления паров бензина (гипотетический случай); 4) от собственного веса и избыточного давления паров бензина. Во втором варианте считаем, что цистерна на 3 – 4 %
не заполнена бензином. Избыточное давление принято равным максимально допустимому по нормам q0 = 0,07 МПа [142]. Самыми опасными оказались третий и
четвертый варианты нагружения (с учетом избыточного давления паров бензина)
(на рисунке 5.21, в, г). В дальнейшем будем нагружать систему собственным весом и избыточным давлением.
Рисунок 5.21. Поля эквивалентных напряжений во внутренних волокнах
оболочки бензохранилища (линейный расчет):
а) от собственного веса грунтов и конструкций;
б) от собственного веса и давления бензина;
в) от избыточного давления паров бензина;
г) от собственного веса и избыточного давления паров бензина
139
Далее с целью оценки влияния одностороннего контактного взаимодействия
оболочек бензохранилища и массива грунта на НДС объектов проведен расчет
системы с учетом конструктивной нелинейности, но без учета геометрической и
физической нелинейностей при воздействии собственного веса грунта и цистерны, а также избыточного давления паров бензина q0 = 0,07 МПа. Между оболочками и массивом грунта поставлены односторонние контактные элементы,
имеющие большую жесткость при сжатии и близкую к нулю жесткость при растяжении. Длина контактных элементов принята близкой к нулю. Следует отметить, что под действием данной нагрузки эффект одностороннего взаимодействия
практически не проявился. Разница между результатами, полученными при помощи моделей с полным жестким контактом объектов и с односторонним контактом (с учетом поперечного трения), не велика и заключается лишь в перераспределении напряженно-деформированного состояния. По величине эквивалентные
напряжения в цистерне почти не изменились (рисунок 5.22). Поэтому дальнейшие
расчеты проводились без учета одностороннего взаимодействия грунта и конструкции. Отсутствие эффекта отлипания оболочки цистерны от грунта, повидимому, связано с открытым способом возведения бензохранилища.
Рисунок 5.22. Поля эквивалентных напряжений
во внутренних волокнах оболочки:
а) без контактных элементов;
б) с контактными элементами
140
Однако максимальные эквивалентные напряжения во внутренних волокнах
оболочки в последнем варианте (вариант 4) линейного расчета составили 3,16108
Па и превысили предел текучести стали 3 (т = 2,45 108 Па), поэтому дальнейшие
расчеты выполнены с возможностью учета физической и геометрической нелинейностей. Необходимость совместного учета двух видов нелинейностей показана
в п. 3.2 и 3.3. Материал оболочки представлен упруго-пластической моделью Хубера – Мизеса по мультилинейной (близкой к реальной) диаграмме деформирования (временное сопротивление в = 3,57 108 Па, рисунок 3.11), а грунта – упругопластической моделью Друкера – Прагера. На рисунке 5.23 показаны поля эквивалентных напряжений во внутренних волокнах оболочек при линейной и нелинейной постановке задачи. При учете нелинейностей перемещения и максимальные эквивалентные напряжения в оболочке снизились (за счет эффекта геометрической нелинейности) и составили наверху горловины 2,00108 Па (рисунок 5.23,
б).
Рисунок 5.23. Поля эквивалентных напряжений во внутренних волокнах
оболочки, возникшие под действием собственного веса
и давления паров бензина q0 = 0,07 МПа:
а) линейная задача;
б) с возможностью учета геометрической и физической нелинейностей
Таким образом, результаты линейного расчета говорят о том, что при рассмотренном нагружении должны возникнуть пластические деформации, а данные
141
о НДС, полученные из более точного нелинейного расчета свидетельствуют о
том, что на самом деле пластические деформации в оболочке при настоящей нагрузке еще не появились (рисунок 5.26).
Чтобы оценить реальный запас прочности материала оболочки цистерны, будем увеличивать внутреннее избыточное давление (собственный вес при этом остается неизменным). В данном случае удалось увеличить давление в 3 раза, то
есть q1 = 3q0 = 0,21 МПа. При этом давлении окружающий оболочку грунт разрушился, а максимальные эквивалентные напряжения в оболочке достигли предела текучести (т = 2,45 108 Па) (рисунок 5.24). Самыми опасными элементами являются горловина, крышка и места сопряжения цистерны с днищами. Именно в
этих зонах появились максимальные компоненты НДС. Деформированный вид
оболочки показан на рисунке 5.25. График зависимости эквивалентных напряжений в точке пересечения горловины и оболочки корпуса бензохранилища от избыточного давления q изображен на рисунке 5.26. Заметим, что при q=q 0 эквивалентные напряжения меньше предела текучести, а при q=q1 равны ему. Максимальные пластические деформации в оболочке составили 2,4610-3 (рисунок 5.27,
вид сверху). На рисунке 5.28 показаны зоны пластических деформаций в массиве
грунта, которые появились в местах контакта с оболочкой. Максимальные пластические деформации составили 6,5410 -3.
Рисунок 5.24. Поля интенсивностей напряжений от собственного веса
и избыточного давления паров бензина q1 = 3q0 :
а) во внутренних волокнах оболочки; б) в наружных волокнах оболочки
142
Рисунок 5.25. Деформированный вид оболочки
Рисунок 5.26. График зависимости эквивалентных напряжений
во внутренних волокнах в точке пересечения горловины и оболочки
корпуса бензохранилища от избыточного давления паров бензина q:
точка А соответствует нагрузке только от собственного веса
конструкций при q=0;
точка Б соответствует нагрузке от собственного веса конструкций
и избыточного давления паров бензина q= q0 = 0,07 МПа;
точка В соответствует нагрузке от собственного веса конструкций
и избыточного давления паров бензина q= q1 = 3q0 = 0,21 МПа
143
Рисунок 5.27. Зоны пластических деформаций в оболочке:
а) во внутренних волокнах; б) в наружных волокнах
Рисунок 5.27. Зоны пластических деформаций в массиве грунте
5.3.3. Выводы по п. 5.3
1. В целях получения достоверной оценки НДС оболочек цистерн подземных
бензохранилищ следует учитывать в расчетах геометрическую и физическую нелинейности.
144
2. В оболочках цистерн бензохранилищ, расположенных под землей и сооружаемых открытым способом, учитывать одностороннее контактное взаимодействие объектов (отлипание) нецелесообразно. За счет этого можно, не теряя
степени достоверности оценки НДС, уменьшить трудоемкость задачи.
3. Реальный запас прочности бензохранилища составил 300 % от допускаемого избыточного давления паров бензина.
4. Чтобы снизить напряжения в горловине и крышке, рекомендуется сделать
крышку конической или в виде сферического сегмента.
5.4. Выводы по главе 5
1. На примерах расчетов и анализа НДС подземного пластикового трубопровода установлено, что применение уточненных пространственных моделей приводит к пониженным напряжениям, как в стенке трубы, так и в грунте по сравнению с расчетами по плоской схеме.
2. Для пространственных расчетов конструкций подземных сооружений
предложен способ учета одностороннего контактного взаимодействия оболочек и
грунта, позволяющий учитывать возможное отлипание оболочек от грунта. Учет
одностороннего взаимодействия основан на введении между объектами специальных контактных элементов с очень большой жесткостью при сжатии и очень
малой – при растяжении.
3. В расчетах подземных сооружений, возводимых закрытым способом,
предложено приближенно учитывать последовательность монтажа объектов в два
этапа: на первом – производить расчет только на собственный вес грунтов (определять бытовое состояние грунта). На втором этапе – учитывать только собственный вес конструкции, вес удаленного грунта (со знаком минус) и начальные напряжения в грунте, взятые по результатам расчета на первом этапе.
4. В практических расчетах подземных сооружений, возводимых закрытым
способом, рекомендуется использовать модель грунтов, учитывающую геометри-
145
ческую и физическую нелинейности, возможность контактного взаимодействия и
поэтапное строительство объектов.
5. На примерах расчетов подземного бензохранилища, сооружаемого открытым способом, показано, что для получения достоверных оценок НДС следует
учитывать геометрическую и физическую нелинейности оболочки и массива
грунта. Эффект одностороннего контактного взаимодействия объектов (отлипание) можно не учитывать вследствие его слабого проявления. Также незначительно влияет на НДС конструкций бензохранилища учет последовательности монтажа объектов, так как собственный вес засыпаемого сверху грунта полностью воздействует на оболочку бензохранилища.
146
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В диссертационной работе изложены результаты анализа напряженнодеформированных состояний цилиндрических оболочек, в том числе взаимодействующих с окружающим грунтом, при упругих и упруго-пластических деформациях, заключающиеся в следующем.
1. Анализ тестовых примеров показал, что плоские четырехузловые конечные элементы с шестью степенями свободы в узле можно использовать для расчетов цилиндрических оболочек, получая при этом вполне достоверные результаты
даже в зонах краевых эффектов, как по перемещениям, так и по внутренним усилиям при достаточной густоте сетки узлов конечноэлементной модели (характерный линейный размер конечного элемента меньше 0,04 от соответствующего генерального размера оболочки).
2. Проведены расчеты и сравнительный анализ НДС ортогонального соединения цилиндрических оболочек трубопровода, а также железнодорожной цистерны с использованием различных постановок задач: линейной, геометрически
нелинейной, физически нелинейной (теория пластического течения с критерием
пластичности Хубера – Мизеса) и с двумя видами нелинейностей. Установлено,
что в зонах сопряжения оболочек возникают краевые эффекты, появляются пластические деформации, а перемещения становятся соизмеримыми с толщинами
оболочек (порядка четырех толщин и более), поэтому при решении таких задач
необходимо учитывать оба вида нелинейностей одновременно.
3. Для рассмотренных выше задач проанализировано влияние на НДС оболочек трех видов диаграмм деформирования материала: Прандтля, билинейной и
мультилинейной, наилучшим образом аппроксимирующей реальную диаграмму с
упрочнением. Установлено, что в расчетах при достаточной большой нагрузке
следует использовать мультилинейную (близкую к реальной) диаграмму (при наличии у расчетчика), а в случае ее отсутствия допустимо применять как билинейную, так и диаграмму Прандтля.
147
4. Разработана методика, учитывающая одностороннее контактное взаимодействие и позволяющая сопоставить три вида моделей грунта, окружающего
оболочку: основание типа Фусса – Винклера, модель упругого слоя и объемный
массив. Тестовые примеры показали близкие, как качественно, так и количественно характеристики НДС оболочки при использовании этих моделей грунта.
5. Получена уточненная формула для значения приведенного модуля упругости упругого слоя. Выбирая толщину слоя, не следует принимать ее слишком
большой ( tпр  0,4  0,5Rв ). Модель приведенного упругого слоя следует применять, если в программных комплексах отсутствуют конечные элементы, аппроксимирующие упругое основание, а также при существенной нерегулярности формы конечных элементов оболочки, или в случае большой размерности задачи, не
позволяющей использовать модель грунта как объемного массива.
6. В практических расчетах рекомендовано использовать преимущественно
объемные модели массива грунта. С целью учета одностороннего взаимодействия
массива с оболочкой предложена модель, основанная на использовании одномерных контактных элементов, имеющих большие жесткости при сжатии и нулевые
(или близкие к нулю) жесткости при растяжении, с учетом поперечного трения
(статический коэффициент трения принят равным тангенсу угла внутреннего трения грунта). Расчеты показали, что использование предложенной модели в ряде
случаев приводит к росту основных компонентов НДС системы по сравнению со
следующими моделями: общепринятой моделью полного жесткого контакта оболочки и массива, а также двустороннего контактного взаимодействия с помощью
одномерных контактных элементов (жесткости при растяжении и сжатии одинаковы).
7. Путем проведения расчетов в пространственной постановке задачи дана
оценка влияния размеров фрагмента массива грунта, обеспечивающих затухание
неоднородности его напряженно-деформированного состояния, вызванной наличием в массиве подземного сооружения. Установлено, что в практических расчетах подземных сооружений следует брать расстояния от оболочек до боковых
148
граней расчетного фрагмента массива грунта равными 3 – 5 диаметрам оболочки
и более.
8. Предложен приближенный способ учета последовательности возведения
сооружения путем введения в каждый узел конечноэлементной модели поля начальных напряжений, возникшего на предшествующем этапе расчета.
9. Решен ряд практических задач:
– в пространственной постановке выполнен численный анализ напряженнодеформированного состояния пластиковой оболочки подземного трубопровода,
расположенного под четырьмя железнодорожными путями в разновысокой насыпи перегона Дема – Уфа Куйбышевской железной дороги; решение сопоставлено
с результатами расчетов по плоской схеме в наиболее опасных сечениях; сделан
вывод о необходимости применения пространственной постановки для решения
подобных задач;
– проведен расчет пересекающихся цилиндрических оболочек тоннельных
обделок, взаимодействующих с массивом грунта, с учетом пластических деформаций материала грунта по модели Друкера – Прагера, геометрической нелинейности и последовательности возведения объектов; учет последовательности монтажа сооружения привел к снижению величин компонентов НДС системы;
– при различных нагрузках выполнены расчеты оболочек стального подземного бензохранилища с учетом физической (согласно модели материала Хубера –
Мизеса) и геометрической нелинейностей; слои материалов грунтового массива
представлены моделями Друкера – Прагера; дана оценка реального запаса прочности конструкции.
В перспективе следует построить алгоритмы для изучения НДС неортогонально пересекающихся оболочек, деформирующихся за пределом упругости,
взаимодействующих с окружающей средой, в том числе ребристых, из анизотропных материалов; разработать методики, учитывающие пространственное
взаимодействие объектов системы «здание – массив грунта – подземное сооружение» в нелинейной постановке задачи; создать программное обеспечение, позволяющее решать поставленные выше проблемы.
149
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Айнбиндер, А.Б. Расчет магистральных и промысловых трубопроводов на
прочность и устойчивость [Текст] / А.Б. Айнбиндер. – М.: Недра, 1991. – 288 с.
2. Айнбиндер, А.Б. Расчет магистральных трубопроводов на прочность и
устойчивость: справочное пособие [Текст] / А.Б. Айнбиндер, А.Г. Камерштейн. –
М.: Недра, 1982. – 341 с.
3. Александров, А.В. Методы расчета стержневых систем, пластинок и
оболочек с иснользованием ЭЦВМ [Текст] / А.В. Александров, Б.Я. Лащеников,
Н.Н. Шапошников, В.А. Смирнов. – М.: Стройиздат, 1976. ч.2.– 248 с.
4. Александров, А.В. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. для
строит. спец. Вузов [Текст] / А. В. Александров, В. Д. Потапов. – М.: Высш. шк.,
1990 – 400 с.
5. Алешин, В.В. Численный анализ прочности подземных трубопроводов
[Текст] / В.В. Алешин, В.Е. Селезнев, Г.С. Клишин и др.; под. общ. ред. В.В.
Алешина, В.Е. Селезнева. – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 320 с.
6. Аркулис, Г. Э. Теория пластичности [Текст] / Г. Э. Аркулис, В. Г.
Дорогобид. – М.: Металлургия, 1987. – 352 с.
7. Баженов, В. А. Изгиб цилиндрических оболочек в упругой среде [Текст] /
В. А. Баженов. – Львов.: Вища школа, 1975. – 168 с.
8. Баринов, Ю.Ф. Расчет разветвлений круговых цилиндрических оболочек
при статическом нагружении [Текст]: автореф. дис. канд.тех. наук: 01.02.03 /
Баринов Юрий Федорович – М., 1983. – 24 с.
9. Баринов, Ю.Ф. Расчет разветвлений круговых цилиндрических оболочек
[Текст] / Ю.Ф. Баринов // Вопросы прочности трубопроводов. – М., 1982. – С. 46 –
51.
10. Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов [Текст] /
К. Бате. – М.: Стройиздат, 1982.– 448 с.
150
11. Бащенко, А.Р. Расчет укрепления отверстий в цилиндрических обечайках
при наличии наклонных штуцеров [Текст] / А.Р. Бащенко, A.B. Горностаев, Ю.П.
Симонов, В.А. Фрейтаг // Сб. науч. трудов. Вопросы прочности в химическом
машиностроении. – 1978. – С. 63 – 70.
12. Белостоцкий, А.М. Исследование напряженного состояния и разработка
инженерной методики расчета на прочность тройниковых соединений при
действии полной системы квазистатических нагрузок [Текст] / А.М. Белостоцкий,
В.В. Головин, Б.В. Фрадкин // Вопросы атомной науки и техники. – Серия:
Физика и техника ядерных реакторов. – 1985. – вып. 6. – С. 76 – 83.
13. Белостоцкий, А.М. Комплекс программ "СТАДИО-81" на ЕС ЭВМ:
расчет пространственных физически нелинейных систем на статические и
динамические воздействия [Текст] / А.М. Белостоцкий // Сб. научных трудов
Гидропроекта. – 1983. – Вып. 85. – С. 25 – 35.
14. Белостоцкий,
А.М.
Методика
расчета
напряженного
состояния
тройниковых соединений труб при комплексном нагружении [Текст] / А.М.
Белостоцкий, В.В. Головин, Б.В. Фрадкин // Сб. научных трудов Гидропроекта. –
1985. – Вып. 100. – С. 83 – 93.
15. Белостоцкий, А.М. Нормы расчета на прочность оборудования и
трубопроводов АЭУ. ПНАЭ г-7-002-86. п.2.9. Методика уточненного расчета
тройниковых соединений [Текст] / А.М. Белостоцкий // М.: Энергоатомиздат,
1989.– С. 150 – 165.
16. Белостоцкий, А.М. Программный комплекс СТАДИО для линейных и
нелинейных
статических
и
динамических
расчетов
пространственных
комбинированных систем. Опыт разработки и эксплуатации и перспективы
развития [Текст] / А.М. Белостоцкий // Сб. научных трудов МГСУ. – М.:, 1998. –
С. 4 –11.
17. Белостоцкий,
А.М.
Пространственное
напряженное
состояние
ортогональных тройниковых соединений различных типов при комплексном
нагружении [Текст] / А.М. Белостоцкий //. Материалы семинара кафедры
151
сопротивления
материалов
Российского
университета
дружбы
народов.
Исследование пространственных систем. – М., 1996. – С. 55 – 60.
18. Белостоцкий, А.М. Упругий расчет сварных и штампованных тройников
на произвольные статические нагрузки [Текст] / А.М. Белостоцкий // Сб. Научных
трудов ВНИПИнефть: "Автоматизированное проектирование трубопроводных
систем
нефтеперерабатывающих
и
нефтехимических
производств".
–
ЦНИИТЭнефтехим. – М., 1982. – С. 121 – 131.
19. Белостоцкий, А.М. Экспериментальные и численные исследования
напряженного состояния тройниковых соединений при действии моментных
нагрузок [Текст] / А.М. Белостоцкий, В.П.Малявин, А.И.Дикарев и др. //
Сб.трудов МИСИ им.В.В.Куйбышева. – № 188. – 1982. – С. 35 – 49.
20. Белостоцкий, А.М. К
определению напряженно-деформированного
состояния тройниковых соединений трубопроводов [Текст] / А.М. Белостоцкий,
В.В. Головин, Б.В. Фрадкин // Рукопись депонирована во ВИНИТИ. – 1984. – №
1497 эн. Д84.
21. Берков, Н. А. Упругопластическое деформирование пересекающихся
цилиндрических оболочек [Текст] / Н. А. Берков, В. Н. Скопинский //
Машиностроение и инженерное образование. – 2008. – № 4. – С. 44 – 51.
22. Биргер, И.А. Теория пластического течения при неизотермическом
нагружении [Текст] / И.А. Биргер // Известия АН СССР. Серия «Механика». –
1964. – №3. – С. 78 – 83.
23. Булычев, Н.С. Механика подземных конструкций [Текст] : Учеб. для
вузов / Н.С. Булычев. – М.: Недра, 1994. – 382 с.
24. Варшицкий,
В.М.
Упруго-пластическое
деформирование
пересекающихся цилиндрических оболочек [Текст] : дис... . канд. техн. наук:
01.02.06 / Варшицкий Виктор Миронович. – М., 1990. – 114 с.
25. Великоднев, В.Я. Расчет подземных мелиоративных труб при наличии
неоднородности в основании [Текст] / В.Я. Великоднев // Тр. Московского
гидромелиоративного института. – 1981. – т. 69. – С. 162 – 170.
152
26. Виссер, В. Применение криволинейного элемента смешанного типа для
расчета оболочек [Текст] / В. Виссер // Расчет упругих конструкций с
использованием ЭВМ. – Л.: Судостроение, 1974. – Т.I.С. – С. 230 – 254.
27. Власов, В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике [Текст] /
В.З. Власов. – М.: Гостехиздат, 1949. – 784 с.
28. Вожова, Н.В. Определение предельного давления в пересекающихся
цилиндрических оболочках на основе упругопластического анализа [Текст]: дис.
... канд. тех. наук: 01.02.06 / Вожова Наталья Вячеславовна. – М., 2011. – 144 с.
29. Вожова, Н.В. Оценка статической прочности штуцерного узла сепаратора
с использованием трёхмерного конечно-элементного моделирования [Текст] /
Н.В. Вожова, Б.С. Вольфсон // Машиностроение и инженерное образование. –
2009. – № 4. – С. 45 – 51.
30. Вольмир, А.С. Гибкие пластинки и оболочки [Текст] / А.С. Вольмир. –
М.: Гостехиздат, 1956. – 420 с.
31. Габбасов, Р.Ф. К расчету гибких труб на совместное действие внешней
нагрузки и внутреннего давления с учетом отпора грунта [Текст] / Р.Ф. Габбасов //
Гидротехническое строительство. – М., 1970. – № 10. – С. 17 – 9.
32. Галимов, К. 3. Основы нелинейной теории тонких оболочек [Текст] / К. 3.
Галимов. – Казань: Изд. Казан, гос. ун-та, 1975. – 326 с.
33. Генки, Г. К. Теории пластических деформаций и вызываемых ими в
материале остаточных напряжений [Текст] / Г. К. Генки // В кн. «Теория
пластичности». – 1948. – С. 114 – 135.
34. Германн, Л. Метод дисскретных элементов для тонких оболочек [Текст] /
Л. Германн, Д. Кэмпбелл // Ракетная техника и космонавтика. – 1968. – Т. 6. – №
10. – С. 23 – 29.
35. Голованов, А.И. Исследование нелинейного деформирования слоистых
оболочек произвольной геометрии МКЭ [Текст] / А.И. Голованов, О.Н. Гурьянова
// Труды 18-й Международной конференции по теории оболочек и пластин. –
Саратов, 1997. – Т.З. – С. 44 – 48.
153
36. Гольденвейзер, А.А. Теория упругих тонких оболочек [Текст] / А. А.
Гольденвейзер. – М.: Наука, 1976. – 512 с.
37. Городецкий, А.С. Метод конечных элементов в проектировании
транспортных сооружений [Текст] / А.С. Городецкий, В.И. Зоворицкий , А.И.
Лантух-Лященко, А.О.Рассказов. – М.: Транспорт, 1981. – 146 с.
38. ГОСТ 18599 - 2001. Трубы напорные из полиэтилена. Технические
условия.
Межгосударственный
совет
по
стандартизации,
метрологии
и
сертификации [Текст] . – Минск, 2003. –20 с.
39. Григолюк, Э.И. Контактные задачи теории пластин и оболочек [Текст] /
Э.И. Григолюк, В.М. Толкачев. – М.: Машиностроение, 1980. – 411 с.
40. Григолюк, Э.И. Устойчивость оболочек [Текст] / Э.И. Григолюк , В.В.
Кабанов. – М.: Наука, 1978. – 360 с.
41. Григоренко, Я. М. Решение задач теорий оболочек на ЭВМ [Текст] / Я. М.
Григоренко, А. П. Мукоед. – Киев: Вища школа, 1979. – 280 с.
42. Деклу, Ж. Метод конечных элементов [Текст] / Ж. Деклу. – М.: Мир,
1976. – 96 с.
43. Демешко, Е.А. Современные методы прочностных расчетов в метро- и
тоннелестроении [Текст] / Е.А. Демешко, С.Б. Косицын, Д.Б. Долотказин, А.С.
Косицын, В.К. Сергеев, О.А. Потапова // В книге «Подземное строительство
России на рубеже XXI века. Итоги и перспективы». Труды юбилейной научно практической конференции. Москва, 15 – 16 марта 2000 г. М.: Тоннельная
ассоциация России, 2000. – С. 200 – 207.
44. Длугач, М.И. Метод конечных элементов в применении к расчету
цилиндрических оболочек с прямоугольными отверстиями [Текст] / М.И. Длугач
// Прикл. механика. –1973. – т. 11. – № 11. – С. 35 – 41.
45. Жилин, П.А. Прикладная механика. Основы теории оболочек [Текст]:
Учеб. пособие / П.А. Жилин. – СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2006. – 167 с.
46. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике [Текст] / О. Зенкевич.
– М.: Мир, 1975. – 541 с.
154
47. Иванов, В.Н. Основы метода конечных элементов и вариационноразностного метода [Текст] : Учеб. пособие / В.Н. Иванов. – М.: РУДН, 2008. –
168 с.
48. Игнатьев, В.А. Расчет тонкостенных пространственных конструкций
пластинчатой и пластинчато-стержневой структуры [Текст] / В.А. Игнатьев, О.Л.
Соколов, И.Т. Альтенбах, В. Киссинг. – М.: Стройиздат, 1996. – 559 с.
49. Ильгамов, М. А. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с
упругим заполнителем [Текст] / М. А. Ильгамов, В. А. Иванов, Б. В. Гулин. – М.:
Наука, 1977. – 331 с.
50. Ильгамов, М. А. Расчет оболочек с упругим заполнителем [Текст] / М.А.
Ильгамов, В. А. Иванов, Б. В. Гулин. – М.: Наука, 1987. – 260 с.
51. Ильюшин, А. А. Пластичность [Текст] / А.А. Ильюшин. – М.: ГИТТЛ,
1948. – 376 с.
52. Ильюшин, А.А. Механика сплошной среды [Текст] / А.А. Ильюшин. – М.:
Изд. Моск. ун-та, 1978. – 288 с.
53. Качанов, Л. М. Основы теории пластичности [Текст] / Л.М. Качаннов. –
М.: Наука, 1969. – 421 с.
54. Киричевский, В.В. Реализация метода конечных элементов на ЭВМ
БЭСМ-6 в расчете нетонких пластин и оболочек сложной геометрии [Текст] / В.В.
Киричевский, А.С. Сахаров, Г.В. Исаханов // Сопротивл. материалов и теория
сооружений. – Киев, 1976. – Вып. 28. – С. 148 – 162.
55. Клейн, Г.К. Расчет труб уложенных в землю [Текст] / Г.К. Клейн. – М.:
Госстройиздат, 1957. – 195 с.
56. Клейн, Г.К. Расчет подземных трубопроводов [Текст] / Г.К. Клейн. – М.:
Издательство литературы по строительству, 1969. – 240 с.
57. Клованич, С.Ф. Метод конечных элементов в нелинейных задачах
инженерной механики [Текст] / С.Ф. Клованич. – Запорожье, 2009. – 400 с.
58. Копанев, Д.Б. Решение задач нелинейной статики в MSC.Patran-Nastran
[Текст]: Руководство пользователя / Д.Б. Копанев. – М., 1999. – 85 с.
155
59. Корнишин, М.С. Гибкие пластины и панели [Текст] / М.С. Корнишин,
Ф.С. Исанбаева. – М.: Наука, 1968. – 260 с.
60. Корнишин, М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек
и методы их решения [Текст] / М.С. Корнишин. – М.: Наука, 1964. – 192 с.
61. Косицын,
пересекающихся
С.Б.
Анализ
цилиндрических
напряженно-деформированного
оболочек
при
состояния
упруго-пластических
де-
формациях с учетом геометрической нелинейности [Текст] / С.Б. Косицын, Чан
Суан Линь//. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений.–
Обзорно-аналитический и научно-технический журнал. – М., 2013. – № 1. – С. 3 –
9.
62. Косицын, С.Б. Неклассические криволинейные конечноэлементные
модели в линейных и нелинейных задачах строительной механики [Текст]: дис. ...
д-ра техн. наук: 05.23.17 / Косицын Сергей Борисович – М., 1993 – 424 c.
63. Косицын, С.Б. Пространственный расчет тройниковых соединений
магистральных трубопроводов с учетом пластических свойств их материалов
[Текст] / С.Б. Косицын // Подземное и шахтное строительство. – 1992. – № 2. – 3 с.
64. Косицын, С.Б. Расчет стержневых систем, взаимодействующих с упругим
основанием, методом конечных элементов с использованием программного
комплекса MSC/NASTRAN FOR WINDOWS [Текст]: Учебное пособие / С.Б.
Косицын, Д. Б. Долотказин – М.: МИИТ, 2004 – 116 с.
65. Косицын, С.Б. Сравнительный анализ различных моделей грунтового
основания, окружающего цилиндрическую оболочку, с учетом возможно-сти его
отлипания от оболочки [Текст] / С.Б. Косицын, Чан Суан Линь // International
Journal for Computational Civil and Structural Engineering. – 2013. – Volume 9. –
Issue 1. – P. 65 – 72.
66. Косицын,
С.Б.
Пространственный
расчет
несущей
конструкции
эскалаторного зала проектируемого второго выхода станции метро «Маяковская»
[Текст] / С.Б. Косицын, В.И. Гульбе, Д.Б. Долотказин // Журнал «Метро». – 1994.
– № 5 – 6. – 3 с.
156
67. Косицын, С.Б. Анализ ситуации и пространственный расчет корпуса щита
в связи с его падением в монтажный котлован [Текст] / С.Б. Косицын, Е.А.
Демешко, А.Н. Николаев, Б.И. Яцков, В.Н. Богданов // Журнал «Метро». – 1993. –
№ 3. – 3 с..
68. Косицын, С.Б. Пространственный расчет конструкции колонной станции
метрополитена глубокого заложения [Текст] / С.Б. Косицын, Е.А. Демешко, А.Е.
Слемзин // Подземное и шахтное строительство. – 1991. – № 11.– 3 с.
69. Косицын,
С.Б.
Расчет
колонной
станции
метрополитена
как
пространственной конструкции [Текст] / С.Б. Косицын, Е.А. Демешко, А.Е.
Слемзин // Транспортное строительство. – 1992. – № 1.– 4 с.
70. Косицын,
тоннельного
С.Б.
Исследование
влияния
некоторых
перехода в Лефортово в г. Москве на его
особенностей
напряженно-
деформированное состояние [Текст] / С.Б. Косицын, Д.Б. Долотказин // Вестник
Российского университета дружбы народов. Специальный выпуск «Геометрия и
расчет тонкостенных пространственных конструкций». – М.: Изд-во РУДН, 2002.
– № 1. – С. 90 – 94.
71. Косицын, С.Б. Сравнительный анализ различных моделей материала
применительно к расчетам оболочки железнодорожной цистерны с учетом
упругопластических деформаций и геометрической нелинейности [Текст] / С.Б.
Косицын, Чан Суан Линь // Механизация строительства. – 2014. – № 4 (838). – С.
12 – 15.
72. Косицын, С.Б. Численный анализ напряженно – деформированного
состояния ортогонально пересекающихся цилиндрических оболочек без учета и с
учетом их одностороннего взаимодействия с окружающим массивом грунта
[Текст] / С.Б. Косицын,. Чан Суан Линь // International Journal for Computational
Civil and Structural Engineering. – 2014. – Volume 10. – Issue 1. – P. 72 – 78.
73. Кривошапко, С.Н. Аналитические поверхности: Материалы по геометрии
500 поверхностей и информация к расчету на прочность тонких оболочек [Текст]:
Коллективная монография / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов, С.М. Халаби. – М.:
Наука, 2006. – 530 с.
157
74. Кривошапко, С.Н. Уникальные сооружения в форме линейчатых,
зонтичных поверхностей, поверхностей вращения и переноса [Текст]: Серия
«Строительные конструкции и материалы» / С.Н. Кривошапко, Л.А. Алборова //
Вып. 2. – М.: ОАО ВНИИНТПИ, 2008. – С. 1 – 42.
75. Кривошапко, С.Н. Формообразование оболочек в архитектуре [Текст]:
Учебное пособие / С.Н. Кривошапко. – М.: РУДН, 2008. – 48 с.
76. Кривошапко, С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей: Более 500
поверхностей 38 классов [Текст] / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов. – М.: Книжный
дом «ЛИБРОКОМ», 2010. – 560 с.
77. Куликов, Ю.А. Напряженно - деформированное состояние тройниковых
соединений тонкостенных труб [Текст] / Ю.А. Куликов, П.В. Стасенко // Расчет
на прочность. – М.: 1979. – Вып. 20. – С. 229 – 237.
78. Куликов, Ю.А. Расчет тройникового соединения тонкостенных труб
методом конечных элементов [Текст] / Ю.А. Куликов, П.В. Стасенко // Расчет на
прочность. – М.: 1977. – Вып. 18. – С. 141 – 152.
79. Лалин, В.В. Расчетное обоснование конструкции надземного участка
газопровода в условиях Крайнего Севера [Текст] / В.В. Лалин, A.B. Яваров //
Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. Т. 257. СПб.: Издательство «ВНИИГ им.
Б.Е. Веденеева», 2010. – С. 112 – 115.
80. Лалин,
В.В.
Современные
технологии
расчета
магистральных
трубопроводов [Текст] / В.В. Лалин, A.B. Яваров // Инженерно-строительный
журнал. – № 3. – СПб.: СПбГПУ ИСФ, 2010. – С. 43 – 47.
81. Лапшин, А. А. Конструирование и расчет вертикальных цилиндрических
резервуаров низкого давления [Текст]: учебное пособие / А. А. Лапшин, А. И.
Колесов, М. А. Агеева. – Нижний Новгород, ННГАСУ, 2009. – 124 с.
82. Леонтьев,
Н.Н.
Практический
метод
расчета
тонкостенной
цилиндрической трубы на упругом основании [Текст] / Н.Н. Леонтьев. – В сб. тр.
Московский инженерно-строительный институт. – М.: 1957. – Из. 27. – С. 47 – 69.
158
83. Лурье, А.И. Концентрация напряжений в области отверстия на
поверхности круглого цилиндра [Текст] / А.И. Лурье // Прикладная математика и
механика. – 1946. – Т10. – № 3. – С. 397 – 406.
84. Лурье, А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек [Текст] / А.И.
Лурье. – М.: Госгехиздат, 1947. – 252 с.
85. Лурье, А.И. Общая теория упругих тонких оболочек [Текст] / А.И. Лурье
// ПММ. – 1940. – Вып. 2. – С. 7 – 34.
86. Лурье, А.И.Равновесие упругой симметрично-нагруженной сферической
оболочки [Текст] / А.И. Лурье // ПММ. – 1943. – № 6. С. 393 – 404.
87. Макеев, Е.М. К расчету цилиндрической оболочки, лежащей на упругом
основании [Текст] / Е.М. Макеев // Киев, 1978. – С. 87 – 93.
88. Малинин, Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести [Текст]:
Учебник / Н. Н. Малинин. – М.: Машинострение, 1975. – 401 с.
89. Мануйлов,
Г.А.
Исследование
потери
устойчивости
оболочки
железнодорожной цистерны [Текст] / Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын //
Вычислительная
механика
деформируемого
твердого
тела
–
Труды
международной научно-техниической конференции. В двух томах. – М.: МИИТ,
2006. – С. 236 – 240.
90. Монахов, И.А. Практический метод расчета жесткопластических пластин
и оболочек в области больших прогибов [Текст] / И.А. Монахов, В.И. Себекина //
Деп. в ЦИНИС, НТЛ серия Б, «Строительство и архитектура» Вып. 7. – 1977. – С.
17 – 22.
91. Монахов,
И.А.
Расчет
жесткопластических
пересекающихся
цилиндрических оболочек, находящихся под действием внутреннего давления
[Текст] / И.А. Монахов // Деп. в ЦИНИС, НТЛ серия Б, «Строительство и
архитектура», Вып. 12. – 1977. – С. 25 – 37.
92. Морозов, Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения
[Текст] / Е.М. Морозов , Г.П. Никишков. – М.: Наука, 1980. – 256 с.
159
93. Моссаковский, В.И. Контактные задачи теории оболочек и стержней
[Текст]
/
В.И.
Моссаковский,
В.С.
Гудрамович,
Е.М.
Макеев.
–
М.:
Машиностроение, 1978. – 248 с.
94. Муляр,
В.П.
Упругопластическое
состояние
тонкостенных
цилиндрических оболочек с эллиптическим отверстием на боковой поверхности
[Текст] / В.П. Муляр, Е.А. Сторожук, И.С. Чернышенко// Прикл. мех. – Киев,
1997. – 33. – № 6. – С. 62 – 64.
95. Наумова,
Г.А.
Расчет
трубопроводных
конструкций
с
эксплуатационными повреждениями [Текст] / Г.А. Наумова, И.Г. Овчинников,
C.B. Снарский. – Волгоград: Издательство ВолгГАСУ, 2009. – 168 с.
96. Новожилов, В.В. О погрешности одной из гипотез теории оболочек
[Текст] / В.В. Новожилов // ДАН СССР. – 1943. – 33. – № 5 – 6.
97. Новожилов, В.В. О погрещности гипотез Кирхгофа–Лява в теориии
оболочек [Текст] / В.В. Новожилов, Р.М. Финкельштейн // ПММ. – 1943. – 7, вып.
5. – С. 323 – 330.
98. Новожилов, В.В. Теория тонких оболочек [Текст] / В.В. Новожилов. – Л.:
Судостроение, 1962. – 431 с.
99. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред
[Текст]: перев. с англ. / Дж. Оден. – М.: 1976. – 464 с.
100. Патон, Е.О. Ослабление обечаек сварными патрубками [Текст] / Е.О.
Патон, В.В. Шеверницкий, К.И. Дзевалтовский // Химическое машиностроение. –
1937. – № 5. – С. 9 – 25.
101. Петру, С. X. Несущая способность пересекающихся цилиндрических
оболочек за пределом упругости [Текст]: дис....канд. техн. наук: 05.23.17 / Петру
Симеон Харалампос. – М., 1993. – 145 с.
102. Пикуль, В.В. Теория и расчет оболочек вращения [Текст] / В.В. Пикуль.
– М.: Наука, 1982. – 158 с.
103. Пикуль, В.В. Теория и расчет сложных конструкций [Текст] / В.В.
Пикуль. – М.: Наука, 1985. – 183 с.
160
104. Пономаренко, И.Н. Исследование напряженного состояния тройникого
соединения труб высокого давлнения [Текст] / И.Н. Пономаренко, В.Г. Назаренко
// Химич. и нефт. машиностроение. – 1970. – № 9. – С. 8 – 9.
105. Постнов В.А. Новая модель изопараметрического конечного элемента
для расчета оболочек [Текст] / В.А. Постнов, М.И. Трубачев // Изв. АН. МТТ. –
1995. – № 1. – С. 141 – 146.
106. Постнов, В. А. Численные методы расчета судовых конструкций [Текст]
/ В. А. Постнов. – Л.: Судостроение, 1977. – 280 с.
107. Постнов, В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых
конструкций [Текст] / В.А. Постнов, И.Я Хархурим. – Л.: Судостроение, 1974. –
344 с.
108. Потапов, В.Д. Строительная механика. Статика упругих систем [Текст] /
В.Д. Потапов, А.В. Александров, С.Б. Косицын, Д.Б. Долотказин. – М.: Высшая
школа, 2007. – Книга 1. – 512 с.
109. Прагер, В. Проблемы теории пластичности [Текст] / В. Прагер. – М.:
Гос. Изд. Физ.-мат. Лиг., 1958. – 136 с.
110. Прево, Р. Расчет на прочность трубопроводов заложенных в грунт
[Текст] / Р. Прево – М.: Стройиздат, 1964. – 123 с.
111. Простак, В.Ф. Фасонные элементы трубопроводов гидроэлектростациий
[Текст] / В.Ф. Простак, Ф.М. Свойский, А.М. Шор // М.: Энергоатомиздат, 1983. –
96 с.
112. Прочность, устойчивость, колебания [Текст]: Справочник в 3-х томах. –
Машиностроение, 1968. – Т. 1. – 832 с. – Т. 2. – 463 с.
113. Пэн, К. Расчет напряжений и смещений в месте пересечения оболочек
[Текст] / К. Пэн, Р. Бекет // Конструирование и технология машиностроения. –
1970. – № 2. – С. 44 – 49.
114. Рахмилевич,
Р.З.
Напряженное-деформированное
состояние
цилиндрической оболочки со штуцером сосудов давления [Текст] / Р.З.
Рахмилевич, Б.З. Абросимов // Тр. Гипронефтемаш. – 1973. – Вып. 20. – С. 146 –
157.
161
115. Рикардс, Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин
[Текст] / Р.Б. Рикардс. – Рига: Зинатне. – 1988. – 284 с.
116. Розин, JI.А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ: метод
конечных элементов [Текст] / JI.А. Розин. – М.: Энергия, 1971. – 214 с.
117. Рудаченко,
А.В.
Исследование
напряженно-деформированного
состояния трубопроводов [Текст]: учебное пособие / А.В. Рудаченко, А.Л. Саруев.
– Томск.: Изд. Томского полит. унив., 2011. – 136 с.
118. Рыбников, Е.К. Инженерные расчеты механических конструкций в
системе MSC. Patran-Nastran [Текст]: Учебное пособие. Часть II / Е.К. Рыбников,
С.В. Володин, Р.Ю. Соболев. – М., 2003. –174 с.
119. Савин, Г.Н. Распределение напряжений около отверстий [Текст] / Г.Н.
Савин. – Киев: Наукова Думка, 1968. – 891 с.
120. Самыгин, А.Н. Конечно-элементное моделирование нелинейных задач
нестационарного деформирования трубопроводов с жидкостью в грунтовой среде
[Текст]: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.02.06 / Самыгин Александр Николаевич. –
Н. Новгород, 2003. – 109 с.
121. Селезнев,
В.Е.
Математическое
моделирование
магистральных
трубопроводных систем. Дополнительные главы [Текст] / В.Е. Селезнев, В.В.
Алешин, С.Н. Прялов. – Под общ. ред. В.Е. Селезнева. – М.: МАКС Пресс, 2009. –
356 с.
122. Селезнев, В.Е. Методы и технологии численного моделирования
газопроводных систем [Текст] / В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, Г.С. Клишин. – М.:
Едиториал УРСС, 2002. – 448 с.
123. Селезнев, В.Е. Основы численного моделирования магистральных
трубопроводов [Текст] / В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов. – М.:
КомКнига, 2005. – 496 с.
124. Скопинский, В.Н. Выбор схематизированной диаграммы напряжений
для упругопластического анализа пересекающихся оболочек [Текст] / В.Н.
Скопинский, А.Б. Сметанкин, Н.В. Вожова // Машиностроение и инженерное
образование. – 2011. – № 1. – С. 58 – 65.
162
125. Скопинский, В.Н. Напряжения в пересекающихся оболочках [Текст] /
В.Н. Скопинский. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. – 400 с.
126. Скопинский, В.Н. Концентрация напряжений в пересекающихся трубках
[Текст] / В.Н. Скопинский // Расчеты на прочность элементов приборных
устройств: Межвуз. сб. научных трудов. – М.: МИРЭА, 1990. – С. 70 – 73.
127. Скопинский,
В.Н.
Напряжения
в
тройниковых
соединениях
трубопроводов при комбинированном нагружении [Текст] / В.Н. Скопинский,
Н.А. Берков, А.Б. Сметанкин // Машиностроение и инженерное образование. –
2007. – № 2. – С. 34 – 45.
128. Скопинский, В.Н. Об особенностях напряженного состояния в области
пересечения цилиндрических оболочек [Текст] / В.Н. Скопинский // Строительная
механика и расчет сооружений. – 1986. – № 2. – С. 19 – 22.
129. Скопинский, В.Н. Расчет оболочечных конструкций с применением
четырехугольных криволинейных элементов [Текст] / В.Н. Скопинский // Изв.
вузов. Сер. машиностроение. – 1983. – № 5. – С. 16 – 21.
130. Скопинский,
В.Н.
Расчетное
исследование
подкрепленных
пересекающихся оболочек [Текст] / В.Н. Скопинский // Проблемы прочности. –
1989. – № 10. – С. 59 – 62.
131. Скопинский,
В.Н.
Упругопластический
анализ
напряжений
в
пересекающихся цилиндрических оболочках, укрепленных накладным кольцом
[Текст] / В.Н. Скопинский, H.A. Берков, Н.В. Вожова // Химическое и
нефтегазовое машиностроение. – 2010. – № 4. – С. 14 – 18.
132. Скопинский, В.Н. Экспериментальное и расчетное исследование
тройниковых и крестообразных соединений цилиндрических оболочек [Текст] /
В.Н. Скопинский, С.Е. Бугаенко, Н.А. Берков // Проблемы прочности. – 1987. – №
12. – С. 72 – 74.
133. Скопинский, В.Н. Предельная пластическая нагрузка для сосуда
давления с тангенциальным патрубком [Текст] / В.Н. Скопинский, Н.А. Берков,
Н.В. Вожова // Химическое и нефтегазовое машиностроение. – 2011. – №4. – С. 7
– 10.
163
134. СНиП 2.01.07-85* Нагрузки и воздействия. – М., 1985. – 45 с.
135. СНиП 2.03.01-84* Бетонные и железобетонные конструкции. – М.:
Госстроя СССР, 1984. – 79 с.
136. СНиП 32-04-97 Тоннели железнодорожные и автодорожные. – М.: ФАУ
«ФЦС», 2012. – 132 с.
137. Сон, М.П. Экспериментально-теоретическое исследование устойчивости
пространственных рамных систем и разработка приближенной методики
определения критической силы с учетом нелинейности [Текст]: дис. ... канд. техн.
наук: 05.23.17 / Сон Марк Петрович. – М., 2010. – 146 с.
138. Строкова, Л.А. Применение метода конечных элементов в механике
грунтов [Текст] / Л.А. Строкова. – М.: Издательство Томского политехнического
университета, 2010. – 143 с.
139. Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач [Текст]
/ Ф. Сьярле. – М.: Мир, 1980. – 512 с.
140. Тарасов, Ю.Л. Приближенный метод определения напряжений в
сочлениях трубок с цилиндрическими оболочками [Текст] / Ю.Л. Тарасов // Тр.
КуАИ. – 1967. – № 29. – С. 42 – 48.
141. Тимошенко, С.П. Пластинки и оболочки [Текст] / С.П. Тимошенко, С.
Войновский-Кригер. – M.: Наука, 1966. – 635 c.
142. Типовой проект 704-1-161.83. Резервуар стальной горизонтальный
цилиндрический для хранения нефтепродуктов емкостью 25 м3 [Текст]. – М.,
1982.
143. Товстик, П.Е. Устойчивость тонких оболочек [Текст] / П.Е. Товстик. –
М.: Наука, Физматлит, 1995. – 320 с.
144. Трушин, С.И. Метод конечных элементов. Теории и задачи [Текст] /
С.И. Трушин. – М.: АСВ, 2008. – 256 с.
145. Уик, Г.К. Тензометрия аппаратов высокого давления [Текст] / Г.К. Уик.
– Л.: Машиностроение, 1974. – 191 с.
164
146. Феденко,
Г.И.
Напряженное
состояние
в
области
соединения
цилиндрической оболочки с патрубком при внутреннем давлении [Текст] / Г.И.
Феденко // Тр. ЛенНИИхимаш. Л., 1974. – № 8. – С. 13 – 32.
147. Хазанов,
Х.С.
Напряженное
состояние
сочления
трубы
с
цилиндрической оболочкой [Текст] / Х.С. Хазанов // Матер. науч. тех.
конференция КуАИ. – 1970. – Т 2. – С. 18 – 19.
148. Хайдаров, М.Х. Расчет цилиндрических резервуаров в грунте [Текст]:
дис. ...канд. тех. наук: 05.23.17 / Хайдаров Махматкул Хушвактович. – М., 1994. –
138 с.
149. Хэнсбери, Дж. Теоретическое исследование упругого поведения двух
цилиндрических оболочек, пересекающихся под прямым углом [Текст] / Джонс
Хэнсбери // Констр. и технол. машиностроение. – 1969. – № 3. – С. 36 – 46.
150. Чан Суан Линь. Оценка размеров массива грунта, задаваемого при
пространственных расчетах подземных сооружений, исходя из условий затухания
его напряженно-деформированного состояния [Текст] / Чан Суан Линь // .
Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. – 2013. – № 4. –
М.: РУДН, 2013. – С. 41 – 43.
151. Чичелов,
В.А.
Расчеты
напряженно-деформируемого
состояния
трубопроводов, эксплуатируемых в сложных условиях, в нелинейной постановке
[Текст] / В.А. Чичелов, P.M. Зарипов, Г.Е. Коробков и др. // М.: ИРЦ Газпром,
2006. – 80 с.
152. Шагивалеев, К.Ф. Расчет замкнутой цилиндрической оболочки с
упругим заполнителем [Текст] / К.Ф. Шагивалеев // ISBN 5-7433-1199-4. – Сарат.
гос. техн. ун-т. – Саратов: СГТУ, 2003. – 240 с.
153. Шагивалеев, К.Ф. Расчет замкнутой цилиндрической оболочки с
упругим заполнителем при действии осесимметричной нагрузки [Текст] / К.Ф.
Шагивалеев // Деп. в ВИНИТИ 27.11.00, №3001 -В00. – Сарат. гос. техн. ун-т.
Саратов, 2000. – 5 с.
154. Шагивалеев, К.Ф. Расчет замкнутой цилиндрической оболочки с
упругим заполнителем при действии радиальной нагрузки [Текст] / К.Ф.
165
Шагивалеев, А.В. Лизнев // Деп. в ВИНИТИ 19.06.01, № 1458 - В2001. – Сарат.
гос. техн. ун-т.– Саратов, 2001. – 10 с.
155. Шагивалеев,
К.Ф.
Расчет
замкнутой
цилиндрической
оболочки,
заполненной сыпучим материалом, на радиальную нагрузку [Текст] / К.Ф.
Шагивалеев // Известия вузов. Строительство. – 2003. – № 2. – С. 20 – 23.
156. Шапошников, Н.Н. Расчет круговых тоннельных обделок на упругом
основании, характеризуемом двумя коэффициентами постели [Текст] / Н.Н.
Шапошников // Научн. тр. Московского института инженеров железнодорожного
транспорта. – 1961. – Вып. 131. – С. 296 – 305.
157. Шмаков, В.П. Избранные труды по гидроупругости и динамике упругих
конструкций [Текст] / В.П. Шмаков. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. –
287 с.
158. Шокотов, В.Н. Способ локальной внутриузловой конденсации в расчете
оболочек методом конечных элементов [Текст] / В.Н.Шокотов // Деп. в
УкрНИИНТИ 8.08.84. – № 1428Ук-84. – 1984. – 9 с.
159. Яковлев, Б.Н. Исследование термоупругих напряжений пересекающихся
цилиндрических
оболочек
[Текст]
/
Б.Н.
Яковлев
//
Матем.
методы
тепломассопереноса. – 1979. – С. 199 – 204.
160. Якупов, Н.М. Расчет упругих тонкостенныхконструкций сложной
геометрии / Н.М. Якупов, М.Н. Серазутдинов. – Казань: ИМН РАН. – 1993. – 206
с.
161. Aditya, А.К. Study of the shell characteristics of a paraboloid of revolution
shell structure using the finite element method [Text] / А.К. Aditya // Comput.and
Struct. – 1989. – 32. – № 2. – P. 423 – 432.
162. Altaee, A. Finite element modeling of lateral pipeline-soil interaction [Text] /
A. Altaee, B.H. Fellenius // 14th International Conference on Offshore Mechanics and
Arctic Engineering. – OMAE 96. – Florence, 1996.
163. Ando, V. Stress distributions in thinwalled intersecting cylindrical shells
subjected to internal pressure and inplane force [Text] / V. Ando, G. Yagawa, F.
Kikuchi // Proc. 1 st Int. conf. react. technology. Berlin. – V3. – P. 1 – 13.
166
164. Aron, H. Das Gleichgewicht und die Bewegung einer unendlich dünnen,
beliebig gekrümmten elastischen Schale [Text] / H. Aron // Journal für die reine und
angewandte Mathematik. – 1874. – № 78. – P. 136 – 174.
165. Belytschko, Т. Nonlinear finite elements for continua and structures [Text] /
Т. Belytschko, W. K. Liu, B. Moran // John Wiley & Sons Ltd, 2000. – 667 p.
166. Biron, A. On limit analysis of cylinder-cylinder intersections subjected to
internal pressure [Text] / A. Biron, A. Courchesne // Nuclear Engineering and Design. –
1976. – Vol. 36.1. – P. 68 – 80.
167. Calladine, C.R. Lower bound analysis of symmetrically loaded shells of
revolution [Text] / C.R. Calladine // 1st Int. conf. on pressure vessel technology. – P1,
Delft. – 1969. – P. 352 – 375.
168. Calladine, C.R. Plastic behaviour of thin cylindrical pressure vessels with
circular cutouts and radial branches [Text] / C.R. Calladine, I.W. Goodall // Journal of
Mechanical Engineering Science. – 1969. – Vol. 11. – No. 3. – P. 351 – 360.
169. Clare, K.D. Effect of vessel diameter-thickness ratio on the behaviour beyond
the elastic limit of flush nozzles in cylindrical pressure vessels [Text] / K.D. Clare, S.S.
Gill // Journal of Mechanical Engineering Science. – 1966. – Vol. 8. – No. 3. – P. 357 –
365.
170. Cloud, R.L. Approximate analysis of the plastic limit pressure of nozzles in
cylindrical shells [Text] / R.L. Cloud, E.C. Rodabaugh // Trans. ASME. J. Engineering
for Power. – 1968. – Ser. A. – No. 2. – P. 171 – 176.
171. Cottam, W.J. Experimental investigation of the behavior beyond the elastic
limit of flush nozzles in cylindrical pressure vessels [Text] / W.J. Cottam, S.S. Gill //
Journal of Mechanical Engineering Science. – 1966. – Vol. 8. – No. 3. – P. 330 –350.
172. Cranch, E.T. An experimental study of attachments to cylindrical and shallow
spherical shell [Text] / E.T. Cranch, J.W. Sally // Nucl. react. contain build and Pres.
Vess. – 1960. – P. 221 – 256.
173. Diamantoudis, A. Th. Design by analysis versus design by formula of high
strength steel pressure vessels [Text] / A. Th. Diamantoudis ,Th. Kermanidis // A
167
comparative study I I International Journal of Pressure Vessels and Piping. – 2005. –
Vol. 82. – P. 43 – 50.
174. Ellyin, F. An experimental study of elastic-plastic response of branch-pipe tee
connections subjected to internal pressure, external couples and combined loadings
[Text] / F. Ellyin, R.L. Maxwell, R.W. Holland // WRC Bulletin. – 1977. – No. 230. –
P. 4 – 45.
175. Ellyin, F. Experimental investigation of limit loads of nozzles in cylindrical
shells [Text] / F. Ellyin // WRC Bulletin. – 1976. – No. 219. – P. 4 –44.
176. Erbatur, F.H. Plastic behaviour of oblique flush cylindrical nozzles in
cylindrical pressure vessels: An experimental investigation [Text] / F.H. Erbatur, A.
Kirk, S.S. Gill // International Journal of Pressure Vessels and Piping. – 1973. – Vol. 1.
– No. 2. – P. 93 – 118.
177. Fang, J.A comparative study of usefulness for pad reinforcement in
cylindrical vessels under external load on nozzle [Text] / J. Fang, Q.H. Tang, Z. Sang //
International Journal of Pressure Vessels and Piping. – 2009. – Vol. 86. – P. 273 –279.
178. Fanous, F.Z. Limit load analysis using the reference volume concept [Text] /
F.Z. Fanous, R. Seshadri // International Journal of Pressure Vessels and Piping. – 2009.
– Vol. 86. – P. 291 – 295.
179. Gallagher, R.H. Finite Element Analysis. Fundamentals [Text] / R.H.
Gallagher. – Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. – 1975. – 416 p.
180. Hamilton, R. Simplified lower bound limit analysis of pressured
cylinder/cylinder intersections using generalized yield criteria [Text] / R. Hamilton, D.
Mackenzie, C. Shi , J.T. Boyle // Int. J. Pres. Ves. Piping. – 1996. – Vol. 67. – No. 2. –
P. 219 – 226.
181. Hsieh, M.F. Limit loads for knuckle-encroaching nozzles in torispherical
heads: experimental verification of finite element predictions [Text] / M.F. Hsieh, D.N.
Moreton, J. Mistry, D.G Moffat // Journal of Strain Analysis. – 2002. – Vol. 37. – No. 4.
– P. 313 – 326.
168
182. Kim, Y.J. Limit loads for thin-walled piping branch junctions under combined
pressure and in-plane bending [Text] / Y.J. Kim, K.H. Lee, C.Y. Park // Journal of
Strain Analysis for Engineering Design. – 2008. – Vol. 43. – No. 2. – P. 87 – 108.
183. Kirkwood, M.G. Plastic loads for piping branch junctions subjected to
combined pressure and in-plane moment loads [Text] / M.G. Kirkwood, D.G. Moffat //
Proc. Instn Mech. Engrs, Part E. Journal of Process Mechanical Engineering. – 1994. –
Vol. 208. – P. 31 – 43.
184. Kulkarni, A.K. Consistent teories for intersecting shells [Text] / A.K.
Kulkarni, K.W. Neale, F. Ellyin // Nucl. Eng. and Design. – 1975. – V33. – № 3. – P.
377 – 386.
185. Li, N. Study of plastic limit load on pressurized cylinders with lateral nozzle
[Text] / N. Li, Z.F. Sang, G.E.O. Widera // J. Pressure Vessel Technology. – 2008. –
Vol. 130. – № 4. – P. 041210.1 – 041210.7.
186. Love, A.E.H.A. Treatise on the Mathematocal Theory of Elasticity [Text] /
A.E.H.A. Love. – V. II. Cambridge, 1893. – 327 p.
187. Mackerle, J. Finite element analysis of fastening and joining [Text]: A
bibliography (1990-2002) / J. Mackerle // International Journal of Pressure Vessels and
Piping. – 2003. – Vol. 80. – № 4. – P. 253 – 271.
188. Mackerle, J. Finite elements in the analysis of pressure vessels and piping, an
addendum [Text]: a bibliography (1998-2001) / J. Mackerle // International Journal of
Pressure Vessels and Piping. – 2002. – Vol. 79. – № l. – P. 1 – 26.
189. Mackerle, J. Finite elements in the analysis of pressure vessels and piping, an
addendum (1996-1998) [Text] / J. Mackerle // International Journal of Pressure Vessels
and Piping. – 1999. –1. Vol. 76. – №7. – P. 461 – 485.
190. Mackerle, J. Finite elements in the analysis of pressure vessels and piping, an
addendum: A bibliography (2001-2004) [Text] / J. Mackerle // International Journal of
Pressure Vessels and Piping. – 2005. – Vol. 82 .– № 7. – P. 571 – 592.
191. Moffat, D.G. Experimental stress analysis of four fabricate equal diameter
branch intersections subjected to moment loadings and the implications on branch
169
junctions design [Text] / D.G. Moffat // Proct. Inst. Mechanical engineering. – 1985. –
V199. – № A4. – P. 261 – 284.
192. Moffat, D.G. Effective stress factors for piping branch junctions due internal
pressure and external moment loads [Text] / D.G. Moffat, J.A.M. Mwenifubo, S.H. Su,
J. Mistry // Journal of strain analysis.I. Mech. E. – 1991. – V26. – № 2. – P. 85 – 101.
193. MSC.Software Corporation. Решение задач нелинейной статики в
MSC.NASTRAN: Руководство пользователя [Text]. – 1999 – 86 с.
194. Nobahar, A. Effect of soil spatial variability on soil-structure interaction
[Text]: thesis Doctor of Philosophy / Arash Nobahar. St. John. – Canada, 2003. – 305 p.
195. Phillips, R. Pipeline integrity for ground movement hazards [Text] / R.
Phillips, J. Barrette, A. Jafari, T. Park, G. Piercey. – Canada, 2008. – 154 p.
196. Plancq, D. Limit analysis based on elastic compensation method of branch
pipe tee connection under internal pressure and out-of-plane moment loading [Text] / D.
Plancq, M.N. Berton // International Journal of Pressure Vessels and Piping. – 1998. –
Vol. 75. – P. 819 – 825.
197. Popescu, R. 3D Finite element analysis of pipe-soil interaction effects of
groundwater [Text] / R. Popescu, A. Nobahar. – St. John, Canada: C-CORE, 2003. – 34
p.
198. Porter, M.A. Comparison of limit load, linear and nonlinear FE analyses of
stresses in a large nozzle-to-shell diameter ratio application [Text] / M.A. Porter, S.R.
Massey, D.H. Martens // ASME/JSME 2004 pressure vessels and piping conference
(PVP 2004 - 2598). – 2004, July 25 – 29, San Diego, California, USA. – P. 73 – 77.
199. Prince, N. Structural analysis of shell intersections [Text] / N. Prince, V.R.
Rashid // Proc. 1st. Int. Conf. Pres. Ves. Techn. Delft. – 1969. – P.I.P. – P. 245 – 254.
200. Recho, N. Concentration de contraintes dans les joints tubulaires avec
piquages orthogonaux [Text] / N. Recho, J. Brozzetti // Constr. Met. – 1983. – V 20. –
№2. – P. 3 – 19.
201. Reidelbach,
W.
Der
Spannungszustand
im
Ubergangagebiet
einer
rectwinkligen Rohrabzweigung [Text] / W. Reidelbach // Ing. – Arch., 1961, 30, 5. – P.
293 – 316.
170
202. Revesz, Z. Stress analysis of cylinder to cylinder intersections [Text] / Z.
Revesz // Finite element new. – 1983. – P.I. № 4. – P. 28 – 30. – P. II. №5. – P. 28 – 30.
203. Robinson, M. Lower-bound limit pressure for the cylinder-cylinder
intersection [Text] / M. Robinson // Journal of Pressure Vessel Technology. – 1978. –
Vol. 100. – No. 1. – P. 65 – 73.
204. Sabir, A.B. Straint based finite elements for analysis of cylinders with holes
and normally intersecting cylinders [Text] / A.B. Sabir // Nucl. Eng. And. Design. –
1983. – V76. – № 2. – P. 111 – 120.
205. Sang, Z.F. Limit analysis and burst test for large diameter intersections [Text]
/ Z.F. Sang, L.P. Xue, Y.J. Lin, G.E.O. Widera // Welding Research Council Bulletin. –
2000. – No. 451. – P. 31 – 52.
206. Sang, Z.F. Limit and burst pressures for a cylindrical shell intersection with
intermediate diameter ratio [Text] / Z.F. Sang , L.P. Xue, Y.J. Lin, G.E.O. Widera //
International Journal of Pressure Vessels and Piping. – 2002. – Vol. 79. – No. 7. – P.
341 – 349.
207. Sang, Z.F. Plastic limit loads of nozzles in cylindrical vessels under out-ofplane moment loading [Text] / Z.F. Sang, Z.L. Wang, L.P. Xue, G.E.O. Widera //
International Journal of Pressure Vessels and Piping. – 2005. – Vol. 82. – No. 8. – P.
638 – 648.
208. Sang, Z.F. Plastic limit loads of pad reinforced cylindrical vessels under outof-plane moment of nozzle [Text] / Z.F. Sang, H.F. Wang, L.P. Xue, G.E.O. Widera //
International Journal of Pressure Vessels and Piping. – 2006. – Vol. 128. – No. 1. – P.
49 – 56.
209. Sato, T. Nonlinear analysis of flexibility and local stress distribution at
nozzle-shell intersection considering refractory lining rigidity [Text] / T. Sato, S.
Nomura // PVP2004 – 2606. ASME/JSME 2004 Pressure Vessels and Piping
Conference. – P. 121 – 127.
210. Schroeder, J. Analysis of test data on branch connections exposed to internal
pressure and/or external couples [Text] / J. Schroeder, K.R. Srinivasaiah, P. Graham //
WRC Bulletin. – 1974. – No. 200. – P. 3 – 29.
171
211. Schroeder, J. Plastic stability of pipes and tees exposed to external couples
[Text] /J . Schroeder, P. Tugeu // WRC Bulletin. – 1978. – No. 238. – P. 30 – 64.
212. Skopinsky, V.N. Numerical stress analysis in intersecting cylinderical shells
[Text] / V.N. Skopinsky // Transactions of the ASME. Journal of pressure Vessel
Technology. – 1993. – V. 115. – № 3. – P. 275 – 282.
213. Updike, D. Approximate analysis of intersecting equal diameter cylindrical
shells [Text] / D. Updike,A. Kalnins // Tran. ASME. – 1979. – V 101. – № 3. – P. 186 –
193.
214. Wu, B.H. Plastic analysis for cylindrical vessels under in-plane moment on
the nozzle [Text] / B.H. Wu, Z.F.Sang, G.E.O. Widera // Trans. ASME. J. Pressure
Vessel Technol. – 2010. – Vol. 132. – No. 6. – P. 061203.1 – 61203.7.
215. Xuan, F.Z. Plastic limit load of welded piping branch junctions under internal
pressure [Text] / F.Z. Xuan, P.N. Li , S.T. Tu // Nuclear Engineering and Design. –
2003. – Vol. 224. – No. 1. – P. 1 – 9.
216. Xuan, F.Z. Finite element-based limit load of piping branch junctions under
combined loadings [Text] / F.Z. Xuan, Pei-Ning Li // Nuclear Engineering and Design.
– 2004. – Vol. 231. – No. 2. – P. 141 – 150.
217. Xuan, F.Z. An approximative solution for limit load of piping branch
junctions with circumferential crack and finite element validation [Text] / F.Z Xuan,
Changjun Liu, Pei-Ning Li // Nuclear Engineering and Design. – 2005. – Vol. 235. –
No. 7. – P. 727 – 736.
218. Xuan, F.Z. Evaluation of plastic limit load of piping branch junctions
subjected to out-of-plane moment loadings [Text] / F.Z. Xuan, P.N. Li ,S.T. Tu //
Journal of Strain Analysis. – 2003. Vol. 38. – No. 5. – P. 395 – 404.
219. Xuan, F.Z. Limit load analysis for the piping branch junctions under in-plane
moment [Text] / F.Z Xuan, P.N Li, S.T Tu. // International Journal of Mechanical
Sciences. – 2006. – Vol. 48. – No. 4. – P. 460 – 467.
220. Xue, L. Burst analysis of cylindrical shells [Text] / L. Xue, G.E.O. Widera,
Z.F. Sang // J. Pressure Vessel Technology. – 2008. – Vol. 130. – No. 1. – P. 014502.1
– 014502.5.
172
221. Xue, L. Influence of pad reinforcement on the limit and burst pressures of a
cylinder-cylinder intersection [Text] / L. Xue, G.E.O. Widera, Z.F. Sang // Journal of
Pressure Vessel Technology. – 2003. – Vol. 125. – No. 2. – P. 182 – 187.
222. Xue, L. Static and dynamic burst analysis of cylindrical shells [Text] / L. Xue,
C. Cheng, G.E.O. Widera // Proc. PVP and ICPVT-11 Conference. – 2006, Juli 23-27.
Vancouver, BC, Canada. – Vol. 3: Design and Analysis. – P. 275 – 280.
223. Xue, L. Parametric FEA study of burst pressure of cylindrical shell
intersections [Text] / L. Xue, G.E.O. Widera, Z. Sang // Journal of Pressure Vessel
Technology. – 2010. – Vol. 132. – No. 3. – P. 31203 (7 pages).
224. Yang, T.Y. Curved quadrilateral element for static analysis of shells with
geometric and material nonlinearities [Text] / T.Y. Yang, S.A. Saigal // Int. J. Numer.
Meth. Engn. – 1985. – Vol. 21. – P. 617 – 635.
225. Zhao, Y. A stability design proposal for cone-cylinder intersections under
internal pressure [Text] / Y. Zhao, J.G. Teng // International Journal of Pressure Vessels
and Piping. – 2003. – Vol. 80. – P. 297 – 309.
226. Zienkiewicz, O.C. The finite element method [Text] / O.C. Zienkiewicz, R.L.
Taylor. – 5-th edition. – Volume 2: Solid mechanics. – Butterworth-Heinemann. – 2000.
– 479 p.
173
ПРИЛОЖЕНИЕ
Акты о внедрении результатов диссертационной работы
174
175
176