расчет пологих оболочек методом двойных

Министерство образования и науки Российской Федерации
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра строительной механики
РАСЧЕТ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
МЕТОДОМ ДВОЙНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Методические указания к выполнению практических работ
по дисциплине «Теория расчета пластин и оболочек», для студентов специалитета
очной формы обучения направления подготовки 08.05.01 Строительство
уникальных зданий и сооружений
© НИУ МГСУ, 2015
Москва 2015
1
УДК 624.04
ББК 38.112
Р24
Составитель
С.И. Трушин
Р24
Расчет пологих оболочек методом двойных тригонометрических рядов [Электронный ресурс] : методические указания к выполнению практических работ по
дисциплине «Теория расчета пластин и оболочек» для студентов специалитета
очной формы обучения направления подготовки 08.05.01 Строительство уникальных зданий и сооружений / М-во образования и науки Рос. Федерации, Нац. исследоват. Моск. гос. строит. ун-т, каф. строительной механики ; сост. С.И. Трушин. — Электрон. дан. и прогр. (0,61 МБ). — Москва : НИУ МГСУ, 2015. —
Учебное
сетевое
электронное
издание
—
Режим
доступа:
http://lib.mgsu.ru/Scripts/irbis64r_91/cgiirbis_64.exe?C21COM=F&I21DBN=IBIS&P21DBN=IBIS — Загл. с
титул. экрана.
Методические указания предназначены для выполнения студентами IV курса расчетно-графической работы «Расчет пологой оболочки методом двойных тригонометрических рядов» по дисциплине «Теория расчета пластин и оболочек». В методических указаниях приведены необходимые сведения из теории пологих оболочек, расчетные формулы
для определения напряженно-деформированного состояния и варианты заданий для выполнения работы.
Для студентов специалитета очной формы обучения направления подготовки 08.05.01
Строительство уникальных зданий и сооружений.
Учебное сетевое электронное издание
© НИУ МГСУ, 2015
2
Отв. за выпуск — кафедра строительной механики
Подписано к использованию12.10.2015 г. Уч.-изд. л. 0,3. Объем данных 0,61 МБ
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Национальный исследовательский Московский государственный
строительный университет» (НИУ МГСУ).
129337, Москва, Ярославское ш., 26.
Издательство МИСИ – МГСУ.
Тел. (495) 287-49-14, вн. 13-71, (499) 188-29-75, (499) 183-97-95.
E-mail: ric@mgsu.ru, rio@mgsu.ru
3
ВВЕДЕНИЕ
Методические указания посвящено выполнению студентами IV курса
расчетно-графической работы «Расчет пологой оболочки методом двойных
тригонометрических рядов» по дисциплине «Теория расчета пластин и
оболочек».
1. Постановка задачи, исходные гипотезы
Решение любой статически неопределимой задачи строительной механики
требует рассмотрения трех ее сторон: статической, геометрической и физической.
Пологая оболочка в декартовой системе координат показана на рис.1.
y
a
h
x
b
Рис. 1. Пологая оболочка
2. Основные дифференциальные зависимости
Уравнения равновесия оболочки
Уравнения равновесия оболочки имеют вид:
4
N11 N12

 0;
x
y
N12 N 22

 0;
x
y
 k1 N11  k 2 N 22  
Q13 Q23

 qz  0 ;
x
y
(1)
M 11 M 12

 Q13  0 ;
x
y
M 12 M 22

 Q23  0 .
x
y
Связь между перемещениями и деформациями
Геометрические соотношения между деформациями срединной поверхности и перемещениями записываются следующим образом:
e11
u 1
 w;
 x R1
e 22
2w
 11   2 ;
x
v 1

w;
 y R2
e12 
u v
 ;
 y x
(2)
2w
 12  2
,
xy
2w
 22   2 ;
y
где u и v – тангенциальные перемещения вдоль осей x и y; w – нормальное перемещение (прогиб); R1 и R2 – радиусы кривизны.
Связь между деформациями и напряжениями
Физические соотношения, связывающие нормальные и сдвигающие усилия, изгибающие и крутящие моменты (рис. 2) с деформациями срединной поверхности имеют вид:
5
N11 
Eh
Eh
Eh




;
;
N

e12 ;
e


e
N

e


e
12
11
22
22
22
11
21   
1  2
1  2
Eh3
11   22  ;
M 11 
12 1   2


Eh3
 22  11 ;
M 22 
12 1   2


Eh3
M 12 
12 .
241   
Рис. 2. Усилия в пологой оболочке
6
(3)
Для построения разрешающей системы уравнений теории пологих оболочек нормальные и сдвигающие усилия представляются в виде:
 2
N11  2 ;
y
 2
N 22  2 ;
x
 2
N12  
.
xy
(4)
В этом случае первые два уравнения системы (1) удовлетворяются тождественно, а из последних трех выводится уравнение равновесия в смешанной
форме. Второе разрешающее уравнение теории пологих оболочек представляет
собой уравнение неразрывности деформаций. Окончательно в операторной
форме система двух уравнений в смешанной форме представляется следующим
образом:
3. Основное дифференциальное уравнение задачи
D 4 w   2k   q z
1 4
    2k w  0 ,
Eh
(5)
где
Eh3
4
4
4
2
2
4
2
D
,   4  2 2 2  4 ,  k  k1 2  k 2 2
241   
x
x y
y
y
x
4. Граничные условия
Метод двойных тригонометрических рядов (метод Навье) используется для
расчета пологих оболочек шарнирно закрепленных по контуру, для которых
граничные условия имеют вид (рис. 1):
при x  0 и x  a v  w  M1  N1  0 ;
при y  0 и y  b u  w  M 2  N 2  0 .
7
5. Решение в двойных тригонометрических рядах
Выражения для функций w и  принимаются в виде двойных рядов:
 
wx, y     Amn sin
m1 n1
 
x, y     Bmn sin
m1 n1
mx
ny
;
sin
a
b
(6)
mx
ny
.
sin
a
b
(7)
Аналогично представляется нагрузка:


qx, y     qmn sin
m1 n1
mx
ny
,
sin
a
b
(8)
где
q mn
4 ab
mx
ny
sin
dxdy
  qx, y sin
ab 0 0
a
b
(9)
Вычисляются производные функций w и φ:
4w  
mx
ny
 m 
  Amn 
sin
;
 sin
4
a
b
x
 a 
m1 n1
4
 
4w
mx
ny
 m   n 
;
  Amn 
sin
   sin
2
2
a
b
x y
 a   b 
m1 n 1
2
2
4w  
mx
ny
 n 
;
  Amn   sin
sin
4
a
b
y
 b 
m1 n 1
4
(10)
8
 
 2
mx
ny
 m 


B
sin
sin



mn
a
b
x 2
 a 
m1 n1
2
 
 2
mx
ny
 n 
.


Bmn   sin
sin

2
a
b
y
 b 
m1 n 1
2
После подстановки формул (10) в уравнения (5) получим систему алгебраических уравнений (первое уравнение - уравнение равновесия, второе - уравнение
неразрывности деформаций) для определения коэффициентов Amn и Bmn:
2
2
  m 2  n 2 
  n 2
 m  



D 

A  k
 k2 
  Bmn  qmn ;
  a   b   mn  1 b 
a

 



2
2
2
2
  n  2
1   m   n  
 m  

Bmn  k1    k 2 

  
  Amn  0 .
  b 
Eh   a   b  
a

 

(11)
или
D2mn Amn  mnBmn  qmn ;
1 2
 mnBmn  mn Amn  0 ,
Eh
(12)
где
 2mnqmn
Amn 
;
D 4mn  Eh2mn
Bmn  
(13)
Ehmnqmn
.
D 4mn  Eh2mn
(14)
9
После подстановки формул (13) и (14) в выражения (6) и (7) окончательно получим:
 2mnqmn
mx
ny
;
wx, y    
sin
sin
4
2
a
b
m 1 n 1 D mn  Ehmn


Ehmnqmn
mx
ny
.
sin
sin
4
2
a
b
m 1 n 1 D mn  Ehmn

(15)

x, y     
(16)
Для пластинки k1  k2  0 и тогда


w x, y    
m1 n 1
qmn
2 2
  m  2  n  

D 

  a   b  


sin
mx
ny
.
sin
a
b
(17)
Для двух частных видов нагрузок имеем:
mx
ny
sin
; qmn  q0 .
a
b
1)
q x, y   q0 sin
2)
qx, y   q ; q mn 
4 ab
mx
ny
16q
sin
dxdy  2 .
  q sin
ab 0 0
a
b
 mn
10
(18)
(19)
Нормальные и сдвигающие усилия в оболочке определяются по формулам (4) с
использованием выражения (16). Изгибающие и крутящий моменты и поперечные силы вычисляются по формулам:
Eh3   2 w
2w 

M 11  
  2  ;
121  2   x 2
y 
Eh3   2 w
2w 

M 22  
  2  ;
121  2   y 2
x 
3
2
Eh
 w
M 12  
;
121    xy
Eh3
  2w 2w 

;
Q11  

121  2  x  x 2 у 2 
Q22  
(20)
Eh3
  2w 2w 

.

121  2  y  x 2 y 2 
11
Задание для выполнения расчетно-графической работы
«Расчет пологой оболочки методом двойных
тригонометрических рядов»
Исходные данные для расчетно-графической работы
«Расчет пологой оболочки методом двойных тригонометрических рядов»
Таблица 1
N
Размер в
плане a, м
Размер в
плане b, м
Толщина
оболочки h, м
Модуль
упругости E,
МПа
Коэффициент
Пуассона
Интенсивность
распределенной
нагрузки q, кПа
1
1
2
0,005
2*105
0,3
2
2
2
2
0,005
2*105
0,3
2
3
3
4
0,05
3*104
0,16
2
4
4
4
0,05
3*104
0,16
2
12
Таблица 2
N
Вид оболочки
Кривизны, м-1
1
Сферическая оболочка
k1=k2=0,1
2
Сферическая оболочка
k1=k2=0,02
3
Цилиндрическая оболочка
k1=0;
k2=0,1
4
Цилиндрическая оболочка
k1=0;
k2=0,02
5
Эллиптический параболоид
x
h
q
a
b y
k1  8
f1
a2
;
k2  8
f2
b2
f1  f 2  0,05 м
6
Эллиптический параболоид
k1  8
f1
a2
;
k2  8
f1  f 2  0,1 м
13
f2
b2
Библиографический список
1. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. - М.: Высшая школа, 1963.
- 278 с.
2. Амосов А.А. Техническая теория тонких упругих оболочек. - М.: Издательство АСВ, 2009.
3. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. –
М.: Высшая школа, 1990. – 400 с.
4. Филин А.П. Элементы теории оболочек. – Л.: Стройиздат, 1987. – 384 с.
14
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..4
1. Постановка задачи, исходные гипотезы…………………………………..4
2. Основные дифференциальные зависимости ………………………………..4
3. Основное дифференциальное уравнение задачи……………………………7
4. Граничные условия…………………………………………………………...7
5. Решение в двойных тригонометрических рядах……………………………8
6. Задание для выполнения расчетно-графической работы…………………12
Библиографический список………………………………………………………..14
15