Колебания армированной цилиндрической оболочки

XXVII сессия Российского акустического общества,
посвященная памяти ученых-акустиков
ФГУП «Крыловский государственный научный центр»
А. В. Смольякова и В. И. Попкова
Санкт-Петербург,16-18 апреля 2014 г.
А.Н. Соколов
Крыловский государственный научный центр
an.cokolov@gmail.com
Колебания армированной цилиндрической оболочки,
заполненной жидкостью
Аннотация
Исследуются колебания упругой цилиндрической оболочки, армированной
кордом и заполненной идеальной сжимаемой жидкостью. Рассматривается
случай ортотропной оболочки, когда нити корда укладываются симметрично
относительно меридиана оболочки. На основе классических уравнений
ортотропной оболочки получено дисперсионное уравнение совместных
колебаний оболочка-жидкость.
Для описания колебаний в низкочастотной области предложена
приближенная одномерная модель. Произведен анализ дисперсионных
кривых по оболочечной и приближенной моделям, для оболочки с
арамидным кордом.
Ключевые слова: ортотропная оболочка, дисперсионные кривые.
ВВЕДЕНИЕ
Армированные цилиндрические оболочки получили широкое распространение в
технике. Одной из основных сфер их применения являются гидравлические системы,
где такие оболочки применяются в качестве гибких вставок. Математическому
описанию колебаний армированных оболочек с жидкостью посвящено множество
работ [1-7]. Однако в практике инженерных расчетов элементы гидравлических систем
принято рассматривать на основе балочной модели [8-11]. В связи с этим в настоящей
работе предлагается приближенная одномерная модель армированной оболочки с
жидкостью.
1. УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ АРМИРОВАННОЙ СЛОЯ
Армированная оболочка, как правило, представляет собой многослойный композит,
состоящий из слоев наполнителя и корда (см. рисунок 1).
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
2
_________________________________________________________________________________________
Рис. 1. Армированная оболочка
Для компенсации распорных усилий, возникающих в оболочке под действием
внутреннего давления, нити корда укладываются под углом ± θ к меридиану оболочки.
В системе координат ( x, ϕ ) (см. рисунок 2) такая оболочка, обладает свойством
ортотропности.
Рис. 2. Армированный слой
Представляя оболочку однородной, определим ее упругие постоянные. Для этого
рассмотрим элемент, состоящий из нитей корда с наполнителем (см. рисунок 3).
Рис. 3. Композит
Упругие постоянные такого композита по главным направлениям упругости - 1, 2
согласно [12] вычисляются по формулам
E1 = EbVb + E m (1 − Vb ) ,
(1)
_________________________________________________________________________________________
А.Н. Соколов
Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
3
_________________________________________________________________________________________
1 Vb (1 − Vb )
=
+
,
E 2 Eb
Em
ν 12 = ν bVb + ν m (1 − Vb ) ,
ν 21 = ν 21
E2
,
E1
1 Vb (1 − Vb )
=
+
,
G Gb
Gm
где Eb , Gb , ν b - модуль Юнга, модуль сдвига и коэффициент Пуассона нити корда, а
E m , Gm , ν m - соответствующие параметры наполнителя; Vb - объемная доля корда.
Плотность композита определяется из выражения
ρ s = ρ bVb + ρ m (1 − Vb ) ,
где ρ b и ρ m - плотность нитей корда и наполнителя соответственно.
Для оболочки с углом укладки нитей корда ± θ упругие параметры обобщенного
закона Гука в системе координат ( x, ϕ ) рисунка 2 имеют вид [13]
′ ) sin 2 θ cos 2 θ + B22
′ sin 4 θ ,
B11 = B11′ cos 4 θ + 2( B12′ + 2 B66
′ ) sin 2 θ cos 2 θ + B22
′ cos 4 θ
B22 = B11′ sin 4 θ + 2( B12′ + 2 B66
′ − 2( B12′ + 2 B66
′ )]sin 2 θ cos 2 θ
B12 = B12′ + [B11′ + B22
(2)
′ + [B11′ + B22
′ − 2( B12′ + 2 B66
′ )]sin 2 θ cos 2 θ
B66 = B66
где
B11' =
E1
E2
ν E
ν E
'
, B22
=
, B66' = G , B12' = 2 1 = 1 2 ,
1 −ν 1ν 2
1 −ν 1ν 2
1 −ν 1ν 2 1 −ν 1ν 2
здесь E1 , E2 , ν 1 , ν 2 - параметры композита по главным направлениям упругости,
вычисляемые по формулам (1).
2. КОЛЕБАНИЯ ОРТОТРОПНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С
ЖИДКОСТЬЮ
Для описания ортотропной оболочки воспользуемся классическими уравнениями в
перемещениях [13]. Колебания жидкости, заполняющей оболочку, описываются
волновым уравнением в цилиндрических координатах [14]. На границе контакта
оболочки с жидкостью задается равенство радиальных скоростей [15].
_________________________________________________________________________________________
А.Н. Соколов
Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
4
_________________________________________________________________________________________
Рис. 4. Система координат оболочки
Таким образом, с учетом обозначений, принятых на рисунке 4, колебания
рассматриваемой системы описываются уравнениями (3) с граничным условием (4).
L11u + L12 v + L13 w = ρ s h
∂ 2u
,
∂t 2
L21u + L22 v + L23 w = ρ s h
∂ 2v
,
∂t 2

∂2w
∂Φ 
,
L31u + L32 v + L33 w = − ρ s h 2 + ρ f
∂t
∂t 

(3)
∂ 2 Φ ∂ 2 Φ 1 ∂Φ 1 ∂ 2 Φ ω 2
+ 2 +
+
+
Φ = 0.
∂x 2
∂r
r ∂r r 2 ∂ϕ 2 c 2f
∂w
∂Φ
=−
∂t
∂r
.
(4)
r=R
Здесь
L11 = C11
∂ 2 C 66 ∂ 2
+
,
∂x 2 R 2 ∂ϕ 2
L12 = L21 =
C12 + C 66 ∂ 2
,
R
∂x∂ϕ
(5)
L13 = L31 =
1
∂ 
 C12  ,
R
∂x 
2
2
4
1 
1

∂
 ∂
L22 =  C66 + 2 D66  2 + 2  C 22 + 2 D22  2 ,
R
R 
R

 ∂x
 ∂ϕ
_________________________________________________________________________________________
А.Н. Соколов
Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
5
_________________________________________________________________________________________
L23 = L32 =
D ∂3 
1  C 22 ∂ 1
∂3


− ( D12 + 4 D66 ) 2 − 223
R  R ∂ϕ R
∂x ∂ϕ R ∂ϕ 3 
D22 ∂ 4
1
2
∂4
∂4
(
2
)
C
+
D
+
D
+
D
+
22
11
12
66
R2
∂x 4 R 2
∂x 2 ∂ϕ 2 R 4 ∂ϕ 4
L33 =
h3
где Cik = hBik , Dik =
B .
12 ik
В (3) – (5) приняты следующие обозначения: ρ s - плотность резинокордной
оболочки, h - толщина оболочки, R - радиус срединной плоскости оболочки, ρ f плотность жидкости, c f - скорость звука в жидкости, ω - круговая частота, Bik упругие параметры обобщенного закона Гука в цилиндрической системе координат
оболочки, вычисляемые по формулам (2).
Решение системы (3) представляется в виде
u = ∑U n cos(nϕ ) e −i (ωt −k z z ) ,
n
v = ∑Vn sin(nϕ ) e −i (ωt −k z z ) ,
n
w = ∑ Wn cos(nϕ ) e
− i ( ωt − k z z )
(6)
,
n
Φ = ∑ J n (k r r )Φ n cos(nϕ ) e −i (ωt −k z z ) ,
n
где J n (k r r ) — функции Бесселя порядка n .
Подставляя (6) в (5), (4), (3) получаем систему линейных алгебраических уравнений
 a11
a
 21
a31

0
a12
a 22
a32
0
a13
a 23
a33
a 43
0  U n 
 
0  Vn 
=0,
a34  Wn 
 
a 44  Φ n 
где
a11 = −(k z2 C11 + n 2 C 66 − ρ s hω 2 ) , a12 = ik z n(C12 + C66 ) , a13 =
ik z
C12 ,
R
4
1




a 21 = −ik z n(C12 + C 66 ) , a 22 = −k z2  C 66 + 4 D66  − n 2  C 22 + 2 D22  + ρ s hω 2 ,
R
R




a 23 =
[
]
1
nC 22 − k z2 n( D12 + 4 D66 ) − D22 n 3 ,
R
_________________________________________________________________________________________
А.Н. Соколов
Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
6
_________________________________________________________________________________________
a32 = −
a33 =
[
]
1
nC 22 − k z2 n( D12 + 4 D66 ) − D22 n 3 ,
R
1
C 22 + D11k z4 + 2k z2 n 2 ( D12 + 4 D66 ) + D22 n 4 − ρ s hω 2
2
R
a34 = −iωρ f J n (λ )
a 43 = −iω , a 44 = −
1
(nJ n (λ ) − λJ n+1 (λ )) .
R
где k z2 = k 2f − (λ / R) 2 , λ = k r R .
Приравнивая нулю определитель системы, получим дисперсионное уравнение
 a11
a
det  21
a31

0
a12
a 22
a32
0
a13
a 23
a33
a 43
0
0 
= 0,
a34 

a 44 
(7)
3. ПРИБЛИЖЕННАЯ МОДЕЛЬ
Как известно, в системе ортотропная цилиндрическая оболочка с жидкостью в
низкочастотной области распространяющимися являются четыре типа волн – плоская
волна в жидкости, продольная, изгибная и крутильная волна в оболочке [3].
Рассмотрим данные виды колебаний в одномерном приближении.
3.1.
Продольные колебания
Для описания совместных продольных колебаний ортотропной оболочки с
жидкостью воспользуемся уравнением [16].
∂4P
∂2P
+
α
+β ⋅P = 0,
∂x 4
∂x 2
(8)
где
α = ω 2 ( Aρ f + S11 ρ s ) , β = ω 4 ρ f ρ s ( AS11 − 2 BS122 )
(
)
R 2 ( R + h) 2 ln(1 + h / R) + ( R + h / 2)h
2 RS 22 2S 22 (1 + h / R)
A=
+
+
, B=
,
ρf
h
(2 + h / R )
2h 2 ( R + h / 2) 2
c 2f
здесь S11 = B22 / B# , S 22 = B11 / B# , S12 = − B12 / B# , S 66 = 1 / B66 , B# = B11 B22 − ( B12 ) 2 .
Подставляя P = e λ в (8), получаем дисперсионное уравнение
λ4 + αλ 2 + β = 0 ,
из решения которого, находим выражения для волновых чисел
_________________________________________________________________________________________
А.Н. Соколов
Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
7
_________________________________________________________________________________________
λ1*, 2 = ± (−α + α 2 + 4β ) / 2
λ
*
3, 4
,
(9)
= ± (−α − α + 4 β ) / 2
2
Первые два корня соответствуют прямой и обратной продольной волне в оболочке,
вторые два – плоской волне в жидкости.
3.2.
Изгибные колебания
Для описания изгибных колебаний будем использовать уравнение Тимошенко для
ортотропной балки
B11 (1 − ν 12ν 21 ) J

B11 (1 − ν 12ν 21 )  ∂ 2 w 
ρ 2 Jω 4
∂4w
2
2



ρ
ω
+
J
1
+
−
S
−
ω
ρ

 ∂x 2 
χB66
χB66
∂x 4




 w = 0 ,

(10)
где ρ - эффективная плотность; J - момент инерции сечения; S - площадь
поперечного сечения оболочки; χ - коэффициент сдвига.
Упругие постоянные «ортотропной балки Тимошенко» определяются из выражений
Выражение для эффективной плотности имеет вид
ρ = ρs +
ρf
(1 + h / R )2 − 1
,
Выражение для коэффициента сдвига ортотропной балки с кольцевым сечением
согласно [17] имеет вид
χ=
6 B11 (1 − ν 12ν 21 )(1 − m 4 )(1 + m 2 )
,
B66ν 12 (2m 6 + 18m 4 − 18m 2 − 2) − B11 (1 − ν 12ν 21 )(7m 6 − 27m 4 − 27m 2 − 7)
где m = R /( R + h) , ν 12 = B12 / B11 , ν 21 = B12 / B22 .
В балке, описываемой уравнением (10), распространяется две волны, однако вторая
волна в низкочастотной области является неоднородной. Выражение для волнового
числа первой волны имеет вид
2
 
B11 (1 − ν 12ν 21 ) 
4 B (1 − ν ν ) S 
B (1 − ν 12ν
1 −
 + 11 2 12 21 + 1 + 11
χ ⋅ B66
χ ⋅ B66
ω ρ⋅J


 
ω2ρ
kb =
⋅
2 B11 (1 − ν 12ν 21 ) 
(11)
.
3.3.
Крутильные колебания
Наиболее известными приближенными теориями крутильных колебаний стержней
являются теории Кулона, Сен-Венана и Тимошенко, однако для кольцевого сечения все
эти теории дают одинаковый результат [18]. Поэтому крутильные колебания будем
рассматривать на основе технической теории.
_________________________________________________________________________________________
А.Н. Соколов
Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
8
_________________________________________________________________________________________
∂ 2φ
− k t2φ = 0 ,
∂x 2
где kt2 - волновое число крутильных волн.
kt =
ω 2ρs
B66
(12)
,
где ρ s - плотность оболочки.
4. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ
Численные эксперименты проводились при значениях параметров, представленных
в таблице 1
Таблица 1. Параметры оболочки и жидкости
Плотность наполнителя ρ m (кг/м3)
1200
Плотность корда ρ b (кг/м3)
1300
Плотность жидкости ρ f (кг/м3)
1000
Скорость звука в жидкости c f (м/с)
1500
Модуль Юнга корда Eb (Па)
2·1011
Модуль Юнга наполнителя Em (Па)
1·109
Коэффициент Пуассона наполнителя ν m
0.4
Коэффициент Пуассона корда ν b
Угол укладки корда θ (град)
0.3
Объемная доля корда Vb
Толщина оболочки h (м)
0.24
0.005
Внутренний радиус R (м)
0.05
52
На рисунках 4-6 представлены дисперсионные кривые, полученные по оболочечной
модели (S00, S01, S02, S11) и по приближенной модели (B00, B01, B02, B11). По оси
ординат отложены величины волнового числа, по оси абсцисс – безразмерная частота.
_________________________________________________________________________________________
А.Н. Соколов
Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
9
_________________________________________________________________________________________
K
S00
S01
B00
B01
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Частота
0.9
1
Частота
Рис. 5. Дисперсионные кривые продольных волн
K
S02
1
B02
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Рис. 6. Дисперсионные кривые крутильных волн
_________________________________________________________________________________________
А.Н. Соколов
Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
10
_________________________________________________________________________________________
K
S11
B11
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Частота
Рис. 7. Дисперсионные кривые изгибных волн
Из рисунков видно, что приближенная модель удовлетворительно описывает
дисперсионные ветви, соответствующие продольной и крутильной волнам в оболочке.
Дисперсионные ветви, соответствующие плоской волне в жидкости совпадают вплоть
до частоты 0.15, а далее расходятся. Модель, описывающая изгибные колебания дает
хорошее совпадение с оболочечной только на самых низких частотах (до 0.8) и требует
доработки.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предложена приближенная модель, описывающая колебания армированной
оболочки с жидкостью в низкочастотной области. На основе анализа дисперсионных
кривых, полученных по оболочечной и упрощенной моделям, определяются границы
применимости последней.
ЛИТЕРАТУРА
1. I. Mirsky. Vibrations of orthotropic, thick, cylindrical shells. The Journal of the
Acoustical Society of America, 36(1):41–51, 1964.
2. Г.И. Пшеничнов. Свободные колебания наполненных жидкостью соосных
ортотропных цилиндрических оболочек. In Трды VIII Всесоюзной конференции по
теории оболочек и пластин, 1973.
3. C. W. Bert, T. L. C. Chen. Wave propagation in fluid-conveying piping constructed of
composite material. Journal of Pressure Vessel Technology, 97(3):178–184, August 1975.
4. R.N. Shvets, R.A. Marchuk. Nonaxisymmetric elastic wave propagation in an orthotropic
cylindrical shell interacting with a fluid. Soviet Applied Mechanics, 15(2):134–138, 1979.
5. R.J. Pinnington. Axisymmetric wave transfer functions of flexible tubes. Journal of Sound
and Vibration, 204(2):291 – 310, 1997.
_________________________________________________________________________________________
А.Н. Соколов
Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
11
_________________________________________________________________________________________
6. G.R. Gulgazaryan, L.G. Gulgazaryan, and R.D. Saakyan. The vibrations of a thin elastic
orthotropic circular cylindrical shell with free and hinged edges. Journal of Applied
Mathematics and Mechanics, 72(3):312 – 322, 2008.
7. Vijay S. Prakash, Venkata R. Sonti. Asymptotic expansions for the structural
wavenumbers of isotropic and orthotropic fluid-filled circular cylindrical shells in the
intermediate frequency range. Journal of Sound and Vibration, 332(16):3696 – 3705,
2013.
8. de Jong CAF. Analysis of pulsations and vibrations in fluid-filled pipe systems. PhD
thesis, Eindhoven University of Technology, Department of Mechanical Engineering,
Eindhoven, The Netherlands, 1994.
9. A.S. Tijsseling. Fluid-structure interaction in liquid-filled pipe systems: a review. Journal
of Fluids and Structures, 10:109 – 146, 1996.
10. Matej Tadina and Miha Boltezar. Vibrations of a 3-dimensional piping system. Journal of
Mechanical Engineering, 53(6):386–398, 2007.
11. Н.А. Кузнецов, В.И. Попков, С.В. Попков, В.В. Черноберевский. Сопротивления
гибких вставок устанавливаемых в трубопроводы с жидкостью. Труды «ЦНИИ им.
акад. А.Н.Крылова», Судовая акустика, 12(296):19–31, 2002.
12. Artur K. Kaw. Mechanics of Composite Materials, Second Edition. CRC Press LLC,
2005.
13. С.А. Амбарцумян. Общая теория анизотропных оболочек. "Наука" М., 1974.
14. Jeong Ho You, K. Inaba. Fluid-structure interaction in water-filled thin pipes of
anisotropic composite materials. Journal of Fluids and Structures, 36(0):162 – 173, 2013.
15. Е. Скучик. Основы акустики. Мир, Москва, 1976.
16. Е.Л. Шендеров. Излучение и рассеяние звука. "Судостроение" Л., 1989.
17. Sangiahnadar Dharmarajan, Hugh McCutchen. Shear coefficients for orthotropic beams.
Journal of Composite Materials, 7(4):530–535, 1973.
18. Н.Х. Арутюнян, Б.Л. Абрамян. Кручение упругих тел. М.: Физматгиз, 1963.
_________________________________________________________________________________________
А.Н. Соколов
Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью