Лекция 6 Построение эпюр внутренних силовых факторов для

В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
2013
Лекция 6 Построение эпюр внутренних силовых факторов
для основных видов деформации бруса (продолжение)
1 Правила знаков при построении эпюр поперечных сил и
изгибающих моментов
В курсе ММК приняты следующие правила знаков:
а) для поперечных сил:
Внешняя сила, действующая по любую
сторону
от
данного
положительный
сечения,
вклад
в
дает
величину
поперечной силы, действующей в сечении,
если
пытается
повернуть
рассматриваемую часть балки по часовой
стрелке
относительно
центральной
оси
главной
инерции
данного
Рис. 1
сечения, перпендикулярной плоскости чертежа:
б) для изгибающих моментов (рис.2):
Внешняя сила, действующая по
любую сторону от данного сечения,
дает
положительный
величину
изгибающего
вклад
в
момента,
действующего в данном сечении, если
действие
этой
внешней
силы
Рис. 2
приводит к сжатию верхних и растяжению нижних слоев балки.
2 Примеры построения эпюр поперечных сил и изгибающих
моментов
При построении эпюр принято:
1
2
2013
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
1) строить эпюры изгибающих моментов на растянутых волокнах балки. С
учетом принятого правила знаков +
– это означает, что положительные
значения моментов откладываются вниз, отрицательные - вверх;
2) ось z в рассматриваемом сечении направлять вниз (для согласования в
дальнейшем правила знаков для изгибающих моментов и нормальных
напряжений).
l
II
I
y
II
y
z
Консольные балки
x
При
x
z
M y (x)
P
построении
консольных
Qz(x) I
P
x
y
My (x)
эпюр
балок
принципиальная
для
имеется
возможность
обойтись без определения опорных
реакций и реактивного момента в
жестком защемлении.
Qz(x)
z
Пример 1 (рис. 3).
Дано: P, l.
Qz (x), H
P
O
Необходимо: построить эпюры Qz(x)
и My(x).
Pl
O
Решение.
M y (x), Нм
Разделим мысленно балку на две
части I и II. Выделим часть I балки
Рис. 3
и рассмотрим ее равновесие:
 Pz  P  Qz x   0
 M y P   M y  x   P  x  0 
Соотношение
(2)
определяет
Qz x   P ,
(1)
M y x   P  х .
(2)

модуль
изгибающего
момента,
но
противоречит принятому ранее правилу знаков. Учитывая это правило
знаков, запишем окончательно:
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
3
2013
My(x) = -Px.
(3)
Эпюра построена на рис. 3.
Замечания 1. Все остальные ВСФ равны нулю в рассматриваемом
сечении;
2. Qz(x) и My(x) – это усилие и момент, с которыми части
балки I и II взаимодействуют друг с другом.
Пример 2 (рис.4)
Дано: M, l.
Необходимо:
построить
эпюры Qz(x), Мy(x).
Решение
1. Построение эпюры Qz(x).
Q zI  x   0
(4)
Соотношение (4) имеет место
Рис. 4
потому, что момент М создается парой сил, поэтому их суммарная
проекция на любое направление всегда равна нулю.
2. Построение эпюры Му(х).
M yI  x   M .
(5)
Эпюры построены на рис. 4.
Пример 3 (рис. 5)
Дано: q, l.
Необходимо:
построить
эпюры Qz(х) и My(х).
Решение
1. Применим метод сечений и
рассмотрим равновесие праРис. 5
4
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
2013
вой части. Заменим равномерно распределенную нагрузку, действующую
справа, ее равнодействующей и укажем положение линии ее действия
Rq(x) = qx.
(6)
2. Запишем уравнение для поперечной силы, используя правило:
Qz  x    Rq  x   qx x  0  0 x  l  ql .
(7)
3. Запишем уравнение Му(х):
x
x2
M y  x    Rq  x    q
2
2
x 0
ql 2
 0 x l  
.
2
(8)
линейный
закон
4. Строим эпюры (рис. 5).
Пример 4 (рис 6)
l,
Дано:
распределения внешней нагрузки по
длине, ее максимальное значение q0.
Необходимо: построить эпюры Qz(x),
M(x).
Решение
1. Рассмотрим равновесие правой
части.
Заменим
нагрузку
ее
распределенную
равнодействующей,
укажем линию ее действия:
Рис. 6
Но очевидна пропорция
Тогда
Rq  x  
q  x x
.
2

q x  
q x  x

q0
l
q0 x 2
Rq  x  
.
2l
2. Запишем уравнение для Qz(x) и My(x):
(9)
qx
.
l
(10)
(11)
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
q0 x 2
Qz  x   Rq  x  
2l
q0 x 3
x
M y  x    Rq  x   
3
6l
x 0
x 0
2013
5
q l
 0 x l  0
2
(12)
q0 l 2
 0 x l  
.
6
(13)
Эпюры построены на рис. 6.
Пример 5 (рис.7)
l,
Дано:
линейному
распределенная
закону
нагрузка
по
с
максимальным значением q0.
Необходимо: построить эпюры Qz(x),
My(x).
Решение
При рассмотрении равновесия правой
части
возникает
определенная
трудность вычисления равнодействующей от трапецеидальной нагрузки
и ее центра тяжести.
Рис. 7
Для
упрощения
вычислений
исходную нагрузку преобразовываем, заменяя ее суммой двух: равномерно
распределенной,
действующей
вниз
и
линейно
распределенной,
действующей вверх. Эти нагрузки заменяются равнодействующими Rq  x 
и Rq  x  .
Очевидно, что
Rq  x   q0 x
и
(14)
6
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
2013
q0 x 2
Rq  x  =
2l
(15)
Запишем уравнения ВСФ, используя принцип суперпозиции:
q0 x 2



Qz  x   Rq  x   Rq  x   q0 x 
2l
M y  x    Rq  x  
x 0
3
q x2 q x
x
x
 Rq  x    0  0
2
3
2
6l
q l
 0 x l  0 ,
2
x 0
(16)
q l2
 0 x  l   0 . (17)
3
Эпюры построены на рис. 7.
Двухопорные балки
Для двухопорных балок
построению эпюр Qz и My должно предшествовать определение опорных реакций.
Пример 6 (рис. 8)
Дано: P, a, b.
Необходимо: построить эпюры
Qz(x) и My(x).
Решение
Определение опорных реакций
Рис. 8
RA и RB
 M A P    Pa  RB a  b   0

RB  P
a
,
ab
(18)
 M B P    Pb  R A a  b   0

RA  P
b
.
ab
(19)
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
7
2013
2. Разбиваем балку на участки и показываем направления их обхода.
Границами участков являются точки приложения сосредоточенных сил и
моментов, начала и окончания действия распределенной нагрузки.
3. Записываем уравнения:
Q zI  x   R A  P
QzII  x    RB   P
M yI  x   R A  x   P
M yII  x   RB  x   P
RA
I
A
M
x
a
a
,
ab
z
(21)
b
a b
x x 0  0 x a  P
,
ab
ab
RB
Заметим,
что
(23)
скачки
x
которые
b
O
приложены
Пример 7 (рис. 9)
Дано: М, а, b.
Необходимо:
построить
эпюры Qz(x), My(x).
1. Определение
O
M
a
a b
Рис. 9
b
ab
в
соответствующих сечениях.
M
ab
My (x), Hм
на
внешним силовым факторам,
Qz (x), H
M
(22)
эпюрах численно равны тем
y
z
(20)
ab
b
x x  0  0 x b  P
.
ab
ab
II
y
b
,
ab
опорных
реакций.
 M A P   M  RB a  b   0 ,
RB 
M
.
ab
(24)
8
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
 M B P    M  R A a  b   0 ,
2.
RА 
2013
M
.
ab
(25)
Разбиваем балку на участки и показываем направления их обхода
(см. рис. 9).
3.
Записываем уравнение Qz(x) и Му(х)
QzI  x   R A 
M
,
ab
(26)
QzII  x   RB 
M
,
ab
(27)
M yI  x   R A  x  M
x
a
 0 xa  M
,
a  b x 0
ab
M yII  x    RB  x   M
(28)
b
x
. (29)
 0 x b   M
ab
a  b x 0
Замечание. Скачок на эпюре Му(х) в сечении, где приложен сосредоточенный
момент М, численно равен этому моменту.
Пример 8 (рис. 10)
Дано: q, l.
Необходимо: построить эпюры
Qz(x), My(x)
Решение
1. Определим опорные реакции
 M A P   RB  l 
ql 2
 0,
2
ql
.
(30)
2
ql 2
 M B P   2  R A  l  0 ,
ql
RA 
.
(31)
2
4. Запишем уравнения для Qz(x) и
Му(х):
RB 
Рис.10
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
Qz  x   R A  qx 
2013
ql
ql
ql
 qx x  0 
 .
2
2 x l
2
qx 2
M y x   R A  x 
2
0
x 0
Эпюры построены на рис. 10.
x l
9
(32)
ql 2
.
0 l 
8
x
(33)
2
3 Дифференциальные соотношения между распределенной
нагрузкой, поперечной силой и изгибающим моментом
Представим на рисунке двухопорную балку и выделим двумя
бесконечно близкими поперечными сечениями элемент длиною dx:
Рис. 11
Пусть
в
левом
поперечном
сечении
элемента
действуют
положительные My и Qz. Т.к. в общем случае они являются произвольными
функциями х, в правом сечении My и Qz будут отличаться соответственно
на dMy и dQz. Поперечная сила и изгибающий момент в правом
поперечном сечении будут тоже положительными в силу малости dx.
Рассмотрим равновесие выделенного элемента:
 Pz  Qz  dQz  Qz  qx dx  0 ,
откуда
10
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
q x  
dQz
.
dx
 M A P   M y  dM y  qx dx
Qz 
Величиной q x dx
2013
dx
 M y  Qz dx  0 , откуда
2
dM y
dx
(34)
.
(35)
dx
пренебрегаем, т.к. это величина более высокого
2
порядка малости. Подставляя значения Qz (35) в (34), получаем:
2
dQz d M y
.

q x  
2
dx
dx
(36)
Замечание Полученные соотношения справедливы с точностью до
знака.
Рассмотрим конкретный
пример, на котором проиллюстрируем соотношения (34) –
(36).
Пример 9 (рис. 12).
Дано: М =80 кНм, q1 = 40 кН/м,
q2 = 20 кН/м,
а = 3 м, b = 2 м, с = 2 м.
Необходимо: построить эпюры
Qz(х) и Му(х).
Решение
1. Определение
Рис. 12
реакций.
опорных
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ


a 2
2013
11
c
 M A P   M  RB a  b  q1 2  3 a  q2c a  b  2   0 , откуда RB = 56 кН
a
a



c
 M B P   M  q1 2  b  3   R A a  b   q2c 2  0 , RA = 44 кН.
2. Разбиение на участки. Располагаем в центрах тяжести произвольных
сечений I-I, II-II, III-III систему координат x, y, z.
3.
Запись уравнений Qz(x) и My(x) на участках:
QzI  x   q2 x x0  0 x c  40 кН,
QzII  x   q2 c  RB  40  56  16 кН,
q1 x 2
Q x   RA 
2a
 44 xa  44  60  16 кН.
III
z
x 0
Рассмотрим справедливость соотношения (34) на I-м участке: q = q2 =
const, следовательно, график Qz(x) на этом участке – наклонная прямая
линия.
На участке II – II q = 0, следовательно, график Qz(x) на этом участке –
прямая, параллельная оси х.
III
На участке III – III Qz  x  - квадратная парабола, т.к. q = q1 – линейная
функция х.
На опоре А (при х=0) q = 0, следовательно, касательная к графику Qz(x) в
этой точке должна быть || оси х.
q x2
M yI  x    2
2
 0 x c  40 кНм ,
x 0
c
M yII  x   q2c(  x )  RB x x 0  40 x b  8 кНм ,
2
12
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
q x3
M yIII  x   R A x  1
6a
2013
 0 x  a  72 кНм .
x 0
Проиллюстрируем применение (35) при построении эпюры Му(х):
I
На I участке M y  x  - квадратная парабола, при построении которой
необходимо учитывать, что в сечении х = 0 имеем Qz =0, следовательно,
касательная к графику должна быть горизонтальна.
II
На II участке M y  x  – линейная функция.
На III участке необходимо учесть, что в сечении х = хЭ имеем Qz = 0,
следовательно, в этом сечении функция M y  x  имеет экстремальное
значение.
Координата сечения с экстремальным изгибающим моментом хЭ
находится из условия:
q1 2
x Э  0  xЭ  2,57 м.
2a
3
qx
M yЭ  R A xЭ  1 Э  75,36 кНм.
6a
QzIII  x   R A 
Очевидно, что при х = хЭ касательная к графику Му(х) параллельна оси х.
4 Проверка правильности построения эпюр Qz(x) и My(x)
1. Величины скачков на эпюре Qz(x) численно равны значениям
внешних сил, приложенных в соответствующих сечениях.
2. В точках (сечениях), где приложены сосредоточенные моменты
внешних сил, имеют место скачки на эпюре My(x), численно равные
величинам этих моментов.
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
2013
13
3. Проверка правильности построения эпюр осуществляется также по
дифференциальным соотношениям (34) и (35).
4 Построение эпюр внутренних силовых факторов для статически
определимых плоских рам
Вводные замечания. Стержневая система, элементы которой работают на
растяжение – сжатие, называется фермой. Для фермы характерно шарнирное
соединение элементов и приложение внешних усилий в узлах соединения элементов.
Примеры ферм приведены на рис. 13.
Рис. 13
Если элементы стержневой системы работают, в основном, на изгиб или кручение,
такая система называется рамой. Для рамы характерно жесткое соединение элементов
в узлах и приложение внешних нагрузок в произвольных точках. Примеры плоских рам
представлены на рис. 14.
Рис. 14
Отличие фермы от рамы ясно из рис. 15.
14
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
2013
Рис. 15
Система называется статически определимой, если реакции внешних связей и
внутренние силовые факторы могут быть определены с помощью уравнений
статического равновесия (см рис. 16, где слева показана статически определимая рама,
а справа – статически неопределимая).
Рис. 16
Будем рассматривать простейшие плоские статически определимые
рамы. Для всех элементов таких рам Qy = 0, Mz = 0, Mx = 0,
если ось у нормальна к плоскости рамы.
При построении эпюр N(x), Qz(x), My(x) будем пользоваться принятыми
ранее правилами знаков. Заметим, что положительное направление оси z
на горизонтальных участках предпочтительно выбирать совпадающим с
направлением вниз.
Пример 10 (рис. 17)
Дано: Р, a, b.
Рис. 17
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
2013
Необходимо: построить эпюры N(x), Qz(x), My(x).
Решение
1. Разбиваем раму на участки и показываем направления их обхода.
2. Определяем ВСФ в произвольных поперечных сечениях участков:
I
N (x) = 0,
Q zI  x   0 , M yI  x    Px x  0  0 x  a   Рa ,
N II  x    P ,
QzII  x   0 ,
M yII  x    Рa .
3. Строим эпюры (рис. 18)
Рис. 18
Рассмотрим особенности построения эпюр ВСФ для рам, содержащих
элементы с криволинейной осью.
Пример 11 (рис. 19).
Дано: M, P, R.
Необходимо: построить
эпюры N(x), Qz(x), My(x).
Решение
Рис. 19
15
16
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
2013
1. Разбиваем брус на участки и показываем направления их обхода.
2. Определяем N(x), Qz(x), My(x) в поперечных сечениях участков I и II.
I–I
0<</2
I
N (x) = 0;
II – II
Q zI  x   0 ;
M yI  x    M .
0<</2
N II  x   P sin    0  0    / 2  P , QzII  x    P cos    0   P    / 2  0 ,
M yII  x    M  PR sin    0   M    / 2   M  PR .
3. Строим эпюры (рис. 20).
Рис. 20
Плоские рамы могут быть как
консольными, так и двухопорными.
Очевидно, построению эпюр для
последних должно предшествовать
определение опорных реакций.
Пример 12 (рис. 21).
Дано: М = 40 кНм, q = 10 кН/м,
а = 1м.
Необходимо: построить эпюры
N(x), Qz(x), My(x).
Рис. 21
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
2013
17
Решение
1.
Определение опорных реакций. Для плоской системы сил можно
составить три линейно независимые уравнения статического равновесия:
 Px  0
 M A P   0
 Pz  0
2.
Разбиение
на
 2qa  R AГ  0  R AГ  20 кН
 R B  2a  M  2qa 2  0  RB  30 кН
 R B  R AB  0  R AB  30 кН
участки.
Показываем
направления
их
обхода.
Границами участков, кроме точек приложения внешних усилий, являются
точки соединения прямолинейных и криволинейных участков.
Участок I-I:
0 xa
N xI  x    RB  30 кН,
Участок II-II:
I
Qz (x) = 0,
I
My (x) =0.
0 2
N xII  x    RB cos    0   30    2  0 ,
QzII  x    RB sin    0  0    2  30 кН,
M yII  x   RB a1  cos     0  0    2  RB a  30 кНм.
Участок III-III: 0     2
N III  x   RB sin   0  0    2  30 кН,
Q yIII  x    RB cos    0   30    2  0 ,
M yIII  x   RB a1  sin    M   0   10    2  20 кНм.
Участок IV-IV: 0    2a
N IV  x   R AB  30 кН,
Q yIV  x   R AГ  qx x  0  20 x  2  0 ,
18
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
M yIV  x   R АГ x 
qx 2
2
x 0
2013
 0 x  2  20 кНм.
3. Построение эпюр (рис. 22)
Рис. 22
4.
Проверка правильности построения эпюр производится по наличию
скачков и по дифференциальным соотношениям, а также по условиям
равновесия в узлах.
6. Построение эпюр внутренних силовых факторов для произвольно
нагруженных пространственных ломаных брусьев
Плоско-пространственным называют брус, все элементы которого
жестко соединены в узлах и расположены в одной плоскости, а внешние
усилия действуют в произвольных направлениях.
При решении внешние силы представляют в виде проекций на
принятые координатные направления. Расчет каждого из участков
ломаного бруса представляет собой результат наложения полученных
ранее решений.
Пример 13 (рис. 23).
Дано: а = 3м, b = 2м, с =1м, Р = 10 кН, q = 10кН/м.
2013
19
построить
эпюры
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
Необходимо:
внутренних
силовых
факторов
N(x), Qz(x), Qy(x), Mx(x), My(x),
Mz(x).
Решение.
1.
Разбиваем брус на участки I,
II, III и в произвольных сечениях
каждого из них на расстоянии х от
Рис. 23
начала
располагаем
систему
координат так, чтобы ось х совпадала с продольной осью бруса, ось z была
направлена вниз, а горизонтальная ось у составляла бы с двумя первыми
ортогональный базис одного и того же вида (правый или левый).
2.
Записываем уравнения ВСФ в произвольном сечении каждого
участка, пользуясь ранее принятыми правилами знаков (вспомните,
какими?).
I-I
0xa
M xI  x   0 ,
N xI  x   0 ,
Q yI  x    P  10кН ,
x
qa
M yI  x   qx x  0  0 x  a  
2
QzI  x    qx x  0  0 x  a  30кН ,
2
2
M zI  x   Px x  0  0 x  a  30кНм .
II-II 0  x  b
 45кНм ,
N xII  x    P  10кН ,
Q yII  x   0 ,
M yII  x   qax x  0  0 x  b  60кНм ,
III-III
0xc
a
 45кНм ,
2
Q zII  x   qa  30кН ,
M xII  x   qa
M zII  x    Pa  30кНм .
20
В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
N xIII  x   0 ,
2013
M xIII  x   qab  60кНм ,
Q yIII  x    P  10кН ,
QzIII  x   qa  30кН ,
a

M yIII  x   qa x   x  0   45 x  c  15 кНм,
2

M zIII  x   Pa  x  x  0  30 x  c  20кНм .
3. Строим эпюры (рис. 24)
Рис. 24
Замечание На прямых углах происходит взаимный «переход» Мх в Му и
наоборот.