МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ
ДИСЦИПЛИНЫ
ТиМ обучения информатике и математике:
ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ,
обучающихся по специальности
050202.65 – Информатика с дополнительной специальностью Математика
Автор: доцент кафедры МиММЭ Иванчук Н.В., канд. пед. наук, доцент
Подготовка будущих учителей математики тесно связана с творческим осмыслением ими
теоретических знаний по методике обучения математике, всесторонним анализом имеющихся
методик и технологий обучения, знакомством с разнообразными формами, приемами, методами
и средствами преподавания предмета.
В профессиональной подготовке учителя математики курс занимает особое положение, он
изучается студентами, уже получившими определенную философскую, педагогическую, психологическую, общедидактическую и математическую подготовку. Эти знания студентов систематически используются в курсе методики обучения математике и находят свой выход в практике обучения школьников. Предлагаемый курс имеет естественные межпредметные связи с
курсами по выбору, методикой преподавания математики, информатики.
Цели изучения дисциплины
Повышение математической культуры студентов, необходимой для научного обоснования
курса теории и методики обучения математике; овладение ими методами современного преподавания математики в средней школе, гимназиях и лицеях, которые базируются на прочной основе математических дисциплин. Заложить фундаментальные знания, необходимые для качественного обучения математике в средних учебных заведениях, сформировать практические
навыки решения школьных задач.
Задачи
- познакомить студентов с целями и задачами, предметом методики обучения математике
в средней общеобразовательной школе, гимназиях и лицеях,
- ознакомить с вопросами общей методики преподавания математики,
- изучить методические особенности преподавания основных тем школьного курса математики,
- изложить основные методические приемы изучения и преподавания различных тем
школьного курса,
- научить грамотно составлять планы и конспекты уроков,
- научить проводить анализ и самоанализ урока,
- ознакомить студентов с основными методами и средствами обучения,
- ознакомить с различными типами уроков и формами обучения математике.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате изучения курса студенты
должны знать:
- основные понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины,
- основные положения школьного курса алгебры, геометрии и начал анализа,
- способы и методы решения школьных задач.
2
должны уметь:
- решать задачи по разделам курса,
- применять теоретический материал,
- творчески подходить к решению профессиональных задач,
- строить математические модели задач, приводить их к нужному виду,
- выбирать и реализовывать наиболее рациональный метод решения задачи.
Объем дисциплины и виды учебной работы
№
п/
п
Шифр и наименование
специальности
Курс
Семестр
Виды учебной работы в часах
Трудоемкость
1
050202.65 – Информатика
с дополнительной специальностью Математика
4
7
8
120
Всего
аудит.
28
ЛК
18
ПР/
СМ
10
32
16
16
ЛБ
–
Вид итогового
контроля
Сам.
работа
30
зачет
30
зачет
Разделы дисциплины и виды занятий (в часах).
Примерное распределение учебного времени
Наименование раздела, темы
п/п
Всего
ауд.
Количество часов
ЛК
ПР
ЛБ
Сам.
раб.
7 семестр
1
2
3
Общие вопросы теории и методики обучения
математике.
Линия числа в школьном курсе математики.
12
6
6
–
10
8
2
6
–
10
Методика преподавания геометрии в девятилетней школе.
8
2
6
–
10
ИТОГО
28
18
10
–
30
8 семестр
4
Специфика восприятия и усвоения алгебраического и геометрического материала в школе.
4
2
2
–
6
5
Тождественные преобразования в курсе математики средней школы, методика их изучения.
Методика изучения функций в девятилетней
школе.
Модуль числа. Решение уравнений и неравенств с модулем.
12
6
6
–
10
8
4
4
–
8
4
2
2
–
6
ИТОГО
32
16
16
–
30
6
7
Содержание разделов дисциплины
Общие вопросы теории и методики обучения математике. Предмет методики преподавания математики. Цели и содержание обучения математике в средней школе. Принципы и ме-
3
тоды обучения математике. Методы научного познания в обучении математике. Общие вопросы совершенствования процесса обучения. Методика изучения математических понятий. Методы введения
новых математических понятий. Математические утверждения. Обоснования и доказательства.
Теоремы, их виды, работа с теоремами. Задачи в обучении математике. Формы обучения математике. Урок, типы уроков. Конспект урока. Контроль знаний и умений учащихся при обучении
математике.
Линия числа в школьном курсе математики. Цели изучения линии числа. Методические особенности расширения числовых множеств в курсе алгебры девятилетней школы. Методика преподавания математики в 5-6 классах. Методика изучения числовых систем. Натуральные числа. Методика изучения обыкновенных и десятичных дробей. Методика изучения отрицательных чисел. Методические особенности расширения числовых множеств в курсе алгебры
девятилетней школы.
Методика преподавания геометрии. Особенности изучения геометрического материала
в 1-6 классах. Логическое строение геометрии. Методика изучения аксиом. Взаимное расположение прямых на плоскости. Виды многоугольников. Признаки равенства и подобия треугольников. Виды геометрических преобразований на плоскости: осевая и центральная симметрия,
параллельный перенос, поворот, преобразования подобия. Методика изучения параллельности
прямых и плоскостей. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей.
Специфика восприятия и усвоения алгебраического и геометрического материала в
школе. Особенности развития подростков и специфика обучения алгебре, связанная с ними.
Специфика обучения алгебре как предмету. Объективные особенности геометрических представлений. Восприятие и усвоение геометрического пространства.
Тождественные преобразования в курсе математики средней школы, методика их
изучения. Линия тождественных преобразований в курсе математики средней школы и ее взаимосвязь с другими линиями школьного курса. Различные подходы к определению тождества.
Целенаправленность тождественных преобразований. Основные типы преобразований и этапы
их изучения. Методические особенности изучения тождественных преобразований. Методика
изучения тождественных преобразований трансцендентных выражений.
Методика изучения функций в девятилетней школе. Из истории развития функции.
Цели изучения функции в основной школе. Формирование понятия «функции» в школьном обучении. Требования к подготовке учащихся. Линейная функция. Квадратичная функция. Степенная функция.
Модуль числа. Решение уравнений и неравенств с модулем.
Темы для самостоятельного изучения
№
п/п
1
2
Наименование раздела
дисциплины.
Тема.
Форма самостоятельной работы
Форма контроля выполнения самостоятельной работы
Общие вопросы теории и Вопросы для само- Опрос, отчет о посеметодики обучения мате- стоятельного изу- щенных уроках, их аначения, посещение лиз, конспекты уроков.
матике.
открытых уроков в
школах, гимназиях,
лицеях.
Линия числа в школьном Рефераты, конспекты уроков. Посещекурсе математики.
ние открытых уроков в школах, гимназиях, лицеях.
Изучение и конспектирование
учеб-ной и методической литературы
по теме.
Защита рефератов и
конспектов. Отчет о
посещенных уроках и
их анализ. Проверка
отчетов о посещенных
уроках в общеобразовательных учреждениях.
Контрольная работа.
Количество
часов
10
10
4
3
Методика
геометрии.
преподавания Вопросы для само- Контрольная
4
Специфика восприятия и
усвоения алгебраического
и геометрического материала в школе.
5
Тождественные преобразования в курсе математики
средней школы, методика
их изучения.
6
Методика изучения функций в девятилетней школе.
7
Модуль числа. Решение
уравнений и неравенств с
модулем.
работа.
стоятельного изу- Защита рефератов и
чения. Изготовле- конспектов.
ние пособий, моделей. Изучение и
конспектирование
учеб-ной и методической литературы
по теме.
Вопросы для само- Опрос, отчет о посестоятельного изу- щенных уроках, их аначения, посещение лиз, конспекты уроков.
открытых уроков в
школах, гимназиях,
лицеях.
Рефераты, конспек- Защита рефератов и
ты уроков. Посеще- конспектов. Отчет о
ние открытых уро- посещенных уроках и
ков в школах, гим- их анализ. Проверка
назиях, лицеях.
отчетов о посещенных
Изучение и кон- уроках в общеобразоваспектирование
тельных учреждениях.
учеб-ной и методи- Контрольная работа.
ческой литературы
по теме.
Рефераты, конспек- Контрольная работа.
ты уроков. Посеще- Тестирование по теме
ние открытых уро- «Изучение функции в
ков в школах, гим- средней школе. Линазиях, лицеях.
нейная и квадратичная
Изучение и кон- функция».
спектирование
учеб-ной и методической литературы
по теме.
Изучение и кон- Выполнение группоспектирование
вых и индивидуальных
учеб-ной и методи- заданий.
ческой литературы
по теме
10
6
10
8
6
Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
1. Тематика и планы аудиторной работы студентов по изученному материалу
(планы последовательного проведения занятий: ПР, СМ, ЛБ)
Практические занятия
«Общие вопросы теории и методики обучения математике»
План: Предмет и методы теории методики обучения математике, цели и содержание школьного
курса математики. Анализ программ и учебников по математике средней школы, гимназий. Методы и средства обучения математике. Математические предложения, задачи в обучении математике, типы уроков. Составление конспекта урока. Принципы дидактики в обучении математике, математические понятия, углубленное изучение математики, внеклассная работа по математике, индивидуализация и дифференциация процесса обучения.
5
Практическое занятие
Логико-математический анализ определений понятий,
основные этапы формирования понятий
Основные цели работы: сформировать умения выполнять логико-математический анализ определений понятий школьного курса, показать на примерах возможную методику организации работы на основных этапах формирования понятий.
Вопросы для обсуждения на занятиях
1. Понятие. Объем и содержание понятия.
2. Структура определения. Логико-математический анализ определений.
3. Процесс формирования понятий.
4. Варианты методики введения понятий школьного курса математики.
Задания для подготовки к занятиям
1. Вспомните основной теоретический материал темы.
2. Выполните классификацию понятия «комплексные числа».
3. Для понятий «отрезок» и «арифметический квадратный корень»:
- установите способ определения;
- определите структуру определения;
- разработайте методику введения дедуктивным и индуктивным путями.
4. На основе анализа школьных учебников по математике 5-6 классов установите возможные последовательности изучения множества рациональных чисел.
5. Для приведенных в списке понятий школьного курса математики установите вид (способ)
определения, определите структуру определения (род, термин, видовые отличия, вид
логических связей видовых отличий) понятий, которые определены через ближайший
род и видовые отличия.
Список понятий: десятичная дробь; обыкновенная дробь; равные дроби; модуль числа («Математика», 5-6 кл.); тождество; модуль числа; арифметическая (геометрическая)
прогрессия («Алгебра», 7-9 кл.): точка; прямая; параллелограмм; прямоугольник: ромб;
квадрат; симметрия относительно точки; параллельный перенос; скрещивающиеся прямые; параллельность прямой и плоскости («Геометрия, 7-11 кл.).
6. Разработайте методику введения дедуктивным и индуктивным путями трех понятий по
одному из школьных курсов: «Математика», 5-6 кл., «Алгебра», 7-9 кл., «Геометрия», 7-9
кл. (выбор понятия осуществляет студент).
Методический комментарий к заданиям
Понятие – целостная многоуровневая иерархически организованная структура, включающая образы разной степени обобщенности.
Математические понятия отражают в нашем мышлении определенные формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций.
Понятие характеризуется: объемом; содержанием (характеристическое свойство (свойства), присущее всем объектам класса).
Средством раскрытия объема понятия является классификация. В качестве примера выполним классификацию понятия «четырехугольник».
Классифицируя далее понятие «параллелограмм», можно в качестве основания классификации взять отношение длин смежных сторон и тем самым выделить из множества параллелограммов множество ромбов. Если же в качестве основания взять наличие прямого угла, то можно выделить множество прямоугольников. Множество квадратов будет пересечением множества ромбов и прямоугольников (заметим, что на этом шаге нарушен один из научных принципов проведения классификации, но, учитывая потребность решения задач, эту взаимосвязь
между частными видами параллелограмма целесообразно показать).
Содержание понятия раскрывается с помощью определения.
Виды определений: вербальные и невербальные (остенсивные). Вербальные в свою оче-
6
редь делятся на явные (родовидовые) и неявные (аксиоматические и описательные). Неявно
определяются исходные понятия; например, в курсе геометрии таковыми являются понятия
точки, прямой.
Структура явного определения: термин – род – видовые отличия.
Видовые отличия могут быть заданы разными способами, например: описанием, отрицанием, конструктивно, рекурсивно.
Таким образом, можно конкретизировать виды определений через ближайший род и видовые отличия, выделив определение понятия посредством указания характеристических
свойств: конструктивные; рекурсивные; определения-отрицания.
Видовые отличия, выделенные в определении, могут быть связаны конъюнктивно и дизъюнктивно. С учетом вида логической связи видовых отличий выделяют конъюнктивные и
дизъюнктивные определения.
Примеры выполнения логико-математического анализа
родовидового определения понятия
Пример 1. Определение неправильной дроби.
Дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называется неправильной
дробью.
Термин – неправильная дробь; род – дробь; видовые отличия – числитель больше знаменателя, числитель равен знаменателю.
Видовые отличия соединены дизъюнктивно.
Вывод: определение неправильной дроби вербальное, дизъюнктивное.
Пример 2. Определение параллельных прямых.
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Термин – параллельные прямые; род – пары прямых; видовые отличия – лежат в одной
плоскости, не пересекаются.
Видовые отличия соединены конъюнктивно.
Вывод: определение параллельных прямых вербальное, конъюнктивное.
Процесс формирования понятий у человека включает следующие этапы: перцепт (образ
восприятия) – представление (вторичный образ – создается у ученика в отсутствии наглядной
основы) – предпонятие (образный концепт – ученик имеет образы, адекватные понятию, может
назвать
свойства
объектов, существенные для понятия, но не может выделить их достаточный набор, может не
владеть кванторами) – понятие (мыслится в системе понятий).
Определить объект – значит выбрать из его существенных свойств такие и столько, чтобы
каждое из них было необходимо, а все вместе достаточны для отличия определяемого объекта
от других. Существует два подхода к введению понятия и определения понятия: дедуктивный и
индуктивный.
Методика обучения математике выделяет основные этапы обучения явным определениям
(раскрытия содержания математического объекта):
1. логический анализ структуры определения объекта (термин, род, видовые отличия, их
логическая связь);
2. действие «подведение под понятие (решение задачи на «распознавание» – выделение
математического объекта среди предложенных);
3. действие получения следствий из факта, что конкретный объект принадлежит к классу
объектов, охарактеризованных определением;
4. если требует педагогическая ситуация, замена определения ему эквивалентным.
Практическое занятие
Методика обучения правилам и алгоритмам
Основные цели работы: сформировать умения выполнять логико-математический анализ
7
правил школьного курса, разрабатывать алгоритмические предписания; раскрыть методику на
основных этапах работы: по введению правил и их применению; по обучению решению алгоритмических задач.
Вопросы для обсуждения на занятиях
1. Теоретический материал по теме «Алгоритмы, методика обучения правилам и алгоритмам».
2. Варианты логико-математического анализа правил.
3. Варианты разработки алгоритмических предписаний.
Задания для подготовки к занятиям
1. Выделите основные теоретические положения по теме «Алгоритмы. Методика формирования алгоритмов в школьном курсе математики» по материалам лекции.
2. Выполните логико-математический анализ приведенных ниже правил по курсу математики 5-6 классов. Если правило не является алгоритмом, то разработайте соответствующий алгоритм.
Правило умножения десятичных дробей: «Чтобы умножить десятичную дробь на десятичную дробь, надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые. И в результате справа отделить запятой столько знаков, сколько их в обоих множителях вместе».
Правило выделения целой части из неправильной дроби: «Чтобы из неправильной дроби
выделить целую часть, надо: разделить с остатком числитель на знаменатель; неполное частное
будет целой частью; остаток (если он есть) дает числитель, а делитель – знаменатель дробной
части».
Правило деления дроби на дробь: «Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое
умножить на число, обратное делителю».
3. Разработайте алгоритм решения задачи нахождения наименьшего общего кратного двух
чисел.
4. Разработайте алгоритм (памятку):
- разложения многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки;
- разложения многочлена на множители способом группировки;
- решения квадратного уравнения.
Методический комментарий к заданиям
Алгоритмы являются элементами теоретических знаний, с которыми учащиеся встречаются наряду с определениями понятий и математическими утверждениями (аксиомами, теоремами).
Понятие алгоритм – основное, неопределяемое. Сущность его на содержательноинтуитивном уровне может быть описана следующим образом: алгоритм – понятное предписание, указывающее, какие операции и в какой последовательности необходимо выполнить с
данными, чтобы решить задачу определенного типа.
Свойства алгоритмов:
1. массовость (возможность использования для любой задачи данного типа);
2. элементарность и дискретность шагов (отдельные законченные шаги, каждый из которых в состоянии выполнить исполнитель);
3. детерминированность (однозначность определения первого и каждого следующего шагов, т.е. процесс решения задачи строго направлен);
4. результативность (точное выполнение указаний при решении задачи всегда приведет к
результату, т.е. к получению математического факта).
Одна из основных линий курса математики 5-6 классов – линия числа. На первом этапе
обучения какой-либо операции на числовом множестве формулируется правило. Правило – это
свернутый алгоритм. Обычно в правиле выделяются блоки – отдельные шаги (системы операций в сжатом виде, некоторые операции вообще не содержатся в формулировке правила). Это,
8
в основном те операции, которые необходимы на начальном этапе применения правила и отработаны до введения правила.
Можно утверждать, что любой алгоритм – правило; однако, не всякое правило является
алгоритмом.
Логико-математический анализ правил (алгоритмов)
Логический анализ предполагает:
- проверку наличия характеристических свойств алгоритма;
- выделение последовательности операций и логических условий;
- установление связей с другими знаниями.
Математический анализ – установление математической основы, т.е. базовых математических положений. Если в результате логико-математического анализа правила учитель убеждается в том, что правило не является алгоритмом, то целесообразно (с учетом уровня подготовленности учащихся класса) разработать предписание выполнения того или иного действия,
понятное каждому ученику. Также целесообразно проводить работу в этом направлении при
обучении алгебре, алгебре и началам анализа. Основой разработки предписаний может служить, например, типовая задача темы «Тождественные преобразования», решение уравнения
определенно
го типа и т.д. Если на начальной стадии обучения к составлению алгоритмов желательно привлекать учащихся по мере возможности, то в старших классах это делать необходимо с целью
формирования определенного исследовательского умения, именно умения открывать общий
метод.
Выделяются следующие основные этапы работы по введению правил, их применению и
по обучению решению алгоритмических задач:
- выполнение учителем логико-математического анализа правила;
- разработка алгоритмического предписания (в случае необходимости);
- разработка и проведение этапа актуализации знаний, необходимых для обоснования
необходимости и введения алгоритма;
- введение алгоритмического предписания (обучающий этап);
- этап закрепления (применение введенного алгоритма при решении типовых задач).
Пример. Рассмотрим методику введения правила деления дроби на дробь: «Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю». Проводим
логико-математический анализ этого правила.
Цель введения правила: сформировать умение выполнять деление дробных чисел.
1. Данное правило – не алгоритм, так как не обладает свойствами алгоритма, а именно:
- свойством массовости (правило не является руководством для выполнения деления на
натуральное число, деления смешанных чисел);
- свойством элементарности и дискретности (не выделены отдельные и законченные шаги);
- свойством детерминированности (не определен первый шаг, нет строгой направленности
процесса выполнения действия);
- свойством результативности (так как не обладает ни одним из указанных выше свойств).
2. Логические условия определения делимого, делителя и числа, обратного данному.
3. Базовые знания: понятие дроби; дробного числа; числа, обратного данному. Умения:
выполнять преобразования дробных чисел (преобразование смешанного числа в неправильную
дробь, обратное преобразование); при менять правило умножения дробей; упрощать дробь (сокращение дроби).
Далее разрабатываем алгоритм.
Разрабатывать алгоритмическое предписание можно двумя путями: сформулировать алгоритм для нахождения частного двух дробей и затем на примерах показать его применение к
частным случаям деления натурального числа на дробь и дроби на натуральное число, деления
смешанных чисел; частные случаи сразу включать в рассмотрение.
9
Первый путь. Алгоритмическое предписание деления дроби на дробь:
a c
: .
b d
a
1. Определите делимое   .
b
c
2. Определите делитель   .
d 
d 
3. Найдите дробь, обратную делителю   .
c
4. Делимое умножить на число, обратное делителю по правилу умножения дроби на дробь
a d
 .
b c
5. Если возможно, полученную дробь упростите (сократите), выделите целую часть.
6. Запишите ответ.
Частные случаи:
- если делимое или делитель – целое число, то, прежде чем приступать к выполнению
a

предписания, представить его в виде дроби со знаменателем единица  a   ;
1

- если хотя бы один из компонентов действия – смешанное число, выразить его в виде
 b Ac  b 
дробного числа  A 
.
c 
 c
Второй путь. Рассмотрим другой вариант оформления алгоритмического предписания.
Необходимо выполнить систему подготовительных упражнений:
52 64
- сократите дроби:
;
;
15 12  3
35 20
- исключите целую часть:
;
;
6
8
3
1
- замените неправильной дробью: 2 ; 6 ;
8
4
3 8 5 3 2 7
- найдите произведение дробей:  ;  ;  ;
4 3 9 25 7 2
3
2
- найдите число, обратное данному: ; 2 ; 1 ; 1 ;
5
3
5
1 1
1
- умножьте: на число, обратное ; 1 на число, обратное .
6
5
4
2
На этапе введения алгоритмического предписания необходимо при выполнении заданий
на нахождение частного дробных чисел каждый шаг выполнять в соответствии с предписанием
(постоянно работать с ним). При рассмотрении частных случаев также следует обращаться к
предписанию.
При обучении алгебре на первоначальном этапе потребность в разработке алгоритмов не
уменьшается.
Пример алгоритмического предписания решения типовой задачи разложения на множители по формуле разности квадратов с рассмотрением примеров решения задач указанного типа.
Условно назовем такого рода предписания памятками.
Памятка по разложению многочлена на множители
по формуле разности квадратов a2  b2   a  b  a  b  :
1. Убедитесь, что данное выражение является разностью.
2. Назовите выражения, составляющие эту разность.
3. Проверьте, можно ли представить эти выражения в виде квадратов.
10
4. Если выражения, составляющие разность, представимы в виде квадратов, то разложите
данную разность на множители по формуле разности квадратов.
Пример 1. Разложите на множители многочлен 16 x 2  9 y 2 .
1. Данное выражение является разностью: 16 x 2    9 y 2  .
2. Уменьшаемое: 16x 2 , вычитаемое: 9 y 2 .
3. Проверим, можно ли представить уменьшаемое и вычитаемое в виде квадратов:
2
2
16 x 2  42 x 2   4 x  , аналогично: 9 x 2   3 y  .
4. Разложим многочлен на множители по формуле разности квадратов:

  
16 x2  9 y 2  16 x2  9 y 2   4 x   3 y    4 x  3 y  4 x  3 y  .
2
2
Вывод: 16 x2  9 y 2   4 x  3 y  4 x  3 y  .
Пример 2. Разложите на множители многочлен 25a 2  81b3 .
Данное выражение является разностью:  25a 2    81b3  .
Уменьшаемое: 25a 2 , вычитаемое: 81b3 .
Проверим, можно ли представить уменьшаемое и вычитаемое в виде квадратов:
2
25a 2   5a  и 81b3  92 b3 .
Вычитаемое представить в виде квадрата нельзя.
Вывод: многочлен 25a 2  81b3 разложить на множители по формуле разности квадратов
нельзя.
Практическое занятие
Математические утверждения. Теорема.
Работа с теоремой, ее доказательством при обучении математике
Задания
1. Выполнить логико-математический анализ утверждений, им обратных, противоположных и обратных противоположным.
Утверждение 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Утверждение 2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Утверждение З. Вертикальные углы равны.
Утверждение 4. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то число
делится на 5.
2. Выполните логико-математический анализ четырех утверждений школьного курса математики (два по геометрии и два по алгебре), а также утверждений, обратных данным, противоположных данным, противоположных обратным. Утверждения выберите самостоятельно.
3. Выделите общие методические рекомендации по обучению теоремам (по материалам
лекции).
4. Разработайте методику обучения теоремам.
Теорема 1. Если обе части неравенства умножить на одно то же отрицательное число, то
знак неравенства изменится на противоположный.
Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то
прямые параллельны.
Комментарий к заданиям
Суждения – это предложения, в которых выражена мысль о предмете, объекте, явлении.
Два основных свойства суждений:
- суждение что-то отрицает или утверждает;
- суждение является истинным или ложным.
Структура суждения:
11
- логическое подлежащее (субъект мысли);
- логическое сказуемое (предикат мысли);
- логическая связка.
Виды суждений:
- общеутвердительное;
- частно утвердительное;
- общеотрицательное;
- частно отрицательное.
Логическое предложение, выражающее суждение о математических объектах, называется
математическим предложением. Каждая математическая теория представляет собой множество математических предложений, описывающее какую-то структуру или какой-то аксиоматизируемый класс структур.
Принадлежность предложения к некоторой математической теории определяется двумя
признаками:
- предложение сформулировано или записано на языке данной теории, состоит из математических и логических (принадлежащих языку теории) терминов или символов и не содержит
никаких других терминов или символов;
- предложение истинно, оно или является исходным истинным предложением (аксиомой),
или истинность предложения устанавливается доказательством с помощью исходных или ранее
доказанных истинных предложений.
Например, предложение «Сумма углов треугольника равна 1800» - геометрическое, принадлежит теории евклидовой геометрии, потому что оно сформулировано на языке геометрии,
состоит из геометрических терминов (сумма углов, треугольник, 1800) и логических терминов
(всякого, равна); его истинность доказывается в рамках евклидовой геометрии.
Раскрыть логическую структуру математического предложения – значит показать, из каких элементарных предложений оно сконструировано и как составлено, т.е. с помощью каких и
в каком порядке применяемых логических связок. (Логические связки наиболее часто используемые: «не», «и», «или», «если... , то», «тогда и только тогда», «существует» и т.д.) Математические предложения бывают простые и сложные.
Теорема – математическое предложение, истинность которого установлена с помощью
доказательства.
Действие «анализ математического утверждения (теоремы)» предусматривает выделение:
- разъяснительной части;
- условия;
- заключения;
- логических связок;
- установление вида (простое или сложное).
Выделяют две формы формулирования теоремы: импликативную и категоричную.
Пример. Выполнить анализ математического утверждения: «Сумма смежных углов равна
0
180 », а также утверждений: обратного данному, противоположного данному и противоположного обратному.
1. Утверждение сформулировано в категоричной форме.
2. Целесообразно утверждение переформулировать, используя импликативную форму:
Данное утверждение (1): «Если углы смежные, то их сумма равна 1800».
3. Утверждение, обратное данному (2): «Если сумма двух углов равна 1800, то углы
смежные».
4. Утверждение, противоположное данному (3): «Если углы не смежные, то их сумма не
равна 1800».
5. Утверждение, обратное противоположному (4): «Если сумма двух углов не равна
1800, то углы не смежные».
Анализ математического утверждения «Сумма смежных углов равна 1800».
12
Утверждение
1
Разъяснительная часть
Множество пар
углов
Множество пар
углов
Условие
Заключение
Истинно/ложно
Истина
Простое/сложное
Углы
Их сумма
Простое
смежные
равна 1800
2
Сумма угУглы смежЛожь
Простое
лов равна
ные
1800
3
Множество пар
Углы
Их сумма не
Ложь
Простое
углов
смежные
равна 1800
4
Множество пар Сумма угУглы не
Истина
Простое
углов
лов не равсмежные
на 1800
Термин «математическое доказательство» предусматривает доказательство предложений в
рамках какой-либо математической теории. Различают содержательные (неформальные) и формальные доказательства, которые применяются соответственно в содержательных (неформальных или полуформальных) и в формальных математических теориях.
В школьном обучении некоторые начальные фрагменты математических теорий излагаются неформально (алгебра, геометрия, анализ).
Можно сказать, что курс «Математика 5-6» относится в целом к теории, изложенной на
содержательном уровне, т.е. в нем используются обычные рассуждения, а правила логического
вывода не фиксируются. Принципиально иной пример – курс геометрии.
Разделяют виды доказательств: прямое (например, синтетическое) и косвенное (например,
методом от противного).
Вариант методики обучения построению прямого доказательства
на начальном этапе обучения геометрии.
Задача. Даны: прямая а и точки А, В, С, не лежащие на прямой а. Известно, что отрезок
АВ пересекает прямую а, а отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли прямую а отрезок ВС?
Ответ обоснуйте.
Литература
1. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для
студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я.
Саннинский. – М.: Просвещение, 1980.
2. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для
студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / А.Я. Блох, Е.С. Канин, Н.Г. Килина и др.; Сост. Р.С.
Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985.
3. Темербекова А.А. Методика преподавания математики: Учеб. пособие для студ. высш. учеб.
заведений. – М.: Гуманит.изд. центр Владос, 2003.
4. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А.
Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева. – М.: «Академия», 2004.
5. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И. Саранцев. – М.: Просвещение, 2002.
6. Алгебра: Учеб. для 7, 8 и 9 кл. сред. шк. / Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.
Суворова; Под ред. С.А. Теляковского.– М.: Просвещение, 2002.
7. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика–5, Математика–6, – М.: Просвещение, 1998.
8. Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Математика–5, Математика–6, – М.: Просвещение, 2000.
9. Атанасян Л.С. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2003.
10. Журнал «Математика в школе» 1991–2008 гг.
11. Газета «Математика» (приложение к газете «Первое сентября») за 2003–2008 гг.
Практические занятия по теме «Линия числа в школьном курсе математики»
План: Расширение понятия числа. Методика изучения натуральных чисел. Дробные числа.
13
Изучение обыкновенных и десятичных дробей. Положительные и отрицательные числа, действия над ними. Действительные числа, методика их изучения и действий над ними.
Практическое занятие
Расширение линии числа в школьном курсе математики
Основные цели работы: познакомиться с содержанием линии числа; выполнить методический анализ содержания; выявить методические аспекты построения теории числа в школьном
курсе: рассмотреть различные способы введения понятий линии числа, действий и свойств действий.
Вопросы для повторения:
Блок А (вопросы для контроля и самоконтроля содержательного характера)
1. Верно ли утверждение: «Натуральные числа делятся на простые и составные»?
2. Курочка Ряба несет яйца, каждое второе – простое, каждое третье – золотое. Может так
быть?
3. Запишите словами: НОД (24, 30) = НОК (2, 3).
4. Почему множество рациональных чисел обозначается буквой Q?
5. Каким дополнительным свойством обладает сравнение в Q по отношению к сравнению
в Z (Z – множество целых чисел)?
6. Каким дополнительным свойством обладает сравнение в R по отношению к сравнению
в Q (R – множество действительных чисел)?
7. Запишите словами: – 7,8(4).
8. Каждому действительному числу ставится в соответствие пятая цифра после запятой в
его десятичной записи. Будет ли это соответствие функцией? Ответ поясните.
9. Запишите в виде бесконечной десятичной дроби сумму 0,(31) и 2,(125).
10. Могут ли одновременно и сумма, и произведение двух иррациональных чисел быть рациональными? Если да, приведите примеры.
11. Чему равна сумма чисел 2 и 3 ? Запишите ответ.
12. Каких чисел больше – рациональных или иррациональных алгебраических?
1
13. Приведите пример иррационального числа, заключенного между числами
и 0,3.
4
14. Какое действие, выполнимое на множестве действительных чисел, не выполняется на
множестве комплексных чисел?
Блок В (вопросы для контроля и самоконтроля методического характера)
1. Предложите вариант классификации множества комплексных чисел.
2. Что такое «решето Эратосфена»?
3. Какие числа называют числами-близнецами?
4. Какие элементы математического содержания используются при изложении теории
числа в курсе математики 5-6 классов?
5. Какой метод лежит в основе переноса свойств (законов) арифметических действий,
сформулированных на множестве натуральных чисел, на этапах расширения числовых множеств?
6. Какой математический аппарат используется для строгого обоснования существования
квадратного корня из неотрицательного числа?
7. Какова мотивация расширения действительных чисел до множества комплексных чисел?
8. Как, согласно легенде, боги покарали ученика Пифагора, который разгласил тайну о несоизмеримости стороны и диагонали квадрата?
Вопросы для обсуждения на занятии:
14
1. Характеристика математической базы учащихся по курсу начальной школы.
2. Цели обучения линии числа в школьном курсе математики (основная, старшая школы).
3. Варианты логики построения теории числа в школьном курсе математики.
4. Мотивации практического и теоретического характера при расширении понятия числа.
5. Различные подходы к введению понятия «иррациональное число» в школьном курсе.
6. Варианты логики построения теории комплексных чисел в школьном курсе.
7. Роль геометрического материала при построении теории числа в курсе математики 5-6
классов. Конкретные примеры.
8. Понятие «вычислительная культура»:
- трактовка понятия;
- компоненты вычислительной культуры;
- этапы обучения математике, на которых возможна и целесообразна постановка цели
«формирование вычислительной культуры»;
- примеры с разработкой соответствующей системы заданий.
Задания для подготовки к занятиям
1. Познакомьтесь с содержанием курса математики начальной школы и требованиями к
математической подготовке учащихся начальной ступени обучения.
2. Опишите возможные варианты логики построения теории числа в школьном курсе математики (на основе анализа содержания линии числа в различных школьных учебниках).
3. Постройте классификацию множества комплексных чисел.
4. Как и в каком сочетании можно использовать в школе мотивации практического и теоретического характера при расширении понятия числа?
5. Какие возможны подходы к введению понятия «иррациональное число» в школьном
курсе? (На основе анализа содержания линии числа в различных школьных учебниках).
6. Какие возможны варианты построения теории комплексных чисел в школьном курсе?
(На основе анализа содержания линии числа в различных школьных учебниках).
7. Свойства (законы) арифметических действий вводятся на множестве натуральных чисел. Какой метод лежит в основе переноса этих свойств на этапах расширения числовых множеств?
8. Какова роль геометрического материала при построении теории числа в курсе математики 5-6 классов? Приведите конкретные примеры.
9. Формирование математической культуры – одна из целей обучения математике. Вычислительная культура – один из компонентов общей математической культуры. Предложите ваш
вариант трактовки понятия «вычислительная культура».
Выделите компоненты вычислительной культуры.
На каких этапах обучения математике, при обучении какому содержанию возможна и целесообразна постановка цели «формирование вычислительной культуры»? Приведите конкретный пример с соответствующей системой заданий.
Составьте список литературы по вопросам развития понятия о числе для внеклассного
чтения учащихся. Укажите, в каких классах она может быть использована.
Практическое занятие
Изучение десятичных дробей в 5-6 классах
Основные цели работы: выделить методические особенности в обучении теме «Десятичные дроби»; разработать методику изучения фрагментов содержания: «введение понятия», «введение правила»; рассмотреть в практическом плане вопрос разработки системы контроля по теме.
Вопросы для повторения:
Блок А (вопросы для контроля и самоконтроля содержательного характера)
15
1. Сформулируйте определение десятичной дроби.
1 27
1
;
; 9,04; 17,00; 3 ?
10 100
25
Какие общие сопутствующие понятия имеют место у десятичной и обыкновенной дробей?
Какое теоретическое положение лежит в основе упрощения десятичной дроби:
3,2500 = 3,25?
Может ли десятичная дробь быть неправильной?
Можно ли при округлении десятичной дроби до сотых получить натуральное число?
2. Какие из следующих чисел являются десятичными дробями: 15
3.
4.
5.
6.
Блок В (вопросы для контроля и самоконтроля методического характера)
Различны ли понятия дроби и дробного числа?
Какие виды десятичных дробей рассматриваются в школьном курсе математики?
С каким числовым множеством связано множество бесконечных периодических дробей?
С каким числовым множеством связано множество бесконечных непериодических дробей?
5. Выполняя совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями, учащиеся
часто осуществляют перевод обыкновенной дроби в десятичную. Сформулируйте признак возможности перевода обыкновенной дроби в конечную десятичную. Приведите
примеры, иллюстрирующие применение признака.
1.
2.
3.
4.
Вопросы для обсуждения на занятии:
1. Место темы «Десятичные дроби» в логике построения содержания различных курсов математики 5-6 классов. Цели обучения теме.
2. Приемы рационализации устных и письменных вычислении при изучении действий с
десятичными дробями с использованием свойств (законов) действий над числами.
3. Варианты методики обучения решению задач на проценты.
4. Система контроля по теме «Десятичные дроби».
Задания для подготовки к занятиям:
1. Определите место темы «Десятичные дроби» в логике построения содержания курса математики 5-6 классов (на основе сравнительного анализа учебников 5-6 классов разных
авторских коллективов).
2. Проанализируйте достоинства и недостатки методики изучения действий с десятичными
дробями до изучения действий с обыкновенными дробями.
3. Составьте набор упражнений, способствующих усвоению различия между понятиями
«дробь» и «дробное число».
4. Почему в курсе математики 5-6 классов уделяется большое внимание изучению обыкновенных дробей, несмотря на то, что их роль в практических вычислениях невелика?
Литература
1. Aлександров П.С., Колмогоров А.Н. Иррациональные числа // Вопросы преподавания математики в средней школе. – М.: Учпедгиз, 1961.
2. Андронов И.К. Математика для техникумов. – М.: Высшая школа, 1965.
3. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики / Сост. Р.С.
Черкасов и др. – М., 1985.
4. Программы по математике для средней школы.
5. Столяр А.А. Педагогика математики. – Минск: Выш. школа, 1986.
6. Фихтенгольц Г.М. Иррациональные числа в средней школе / / Математическое просвещение. – М.: Гостехиздат, 1957. Вып. 2.
7. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие
для студентов пед. ин-тов по физ.мат. спец./ А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост.
В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987.
16
8. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. пособие
для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Е.Л. Мокрушин и др.
– М.: Просвещение, 1977.
9. Газета «Математика» (приложение к газете «Первое сентября») за 2000–2009 гг.
10. Журнал «Математика в школе» 2000–2009 гг.
11. Учебники алгебры и алгебры и начал анализа разных авторских коллективов.
12. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие
для студентов пед. ин-тов по физ.мат. спец./ А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост.
В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987.
13. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. пособие
для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Е.Л. Мокрушин и др.
– М.: Просвещение, 1977.
14. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие. –
Мн.: Выш. шк., 1990.
15. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика–5, Математика–6, М.: Просвещение, 1998.
16. Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф. Математика–5, Математика–6, М.: Просвещение, 2000.
17. Алгебра: Учеб. для 7, 8 и 9 кл. сред. шк. / Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков,
С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского.– М.: Просвещение, 2002.
18. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбург С.И. Математика: учеб. для 5 кл.
общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2002.
19. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: Учеб. для 6 кл.
общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2004.
20. Газета «Математика» (приложение к газете «Первое сентября») за 2003–2008 гг.
21. Статьи в журнале «Математика в школе»: Некоторые формы организации устного счета –
№3, 1991; Индивидуальные задания для устранения ошибок – №5, 1993; Повышение вычислительной культуры учащихся – №5, 1995; О формировании навыков вычисления в уме – №5,
1987; О порядке выполнения действий – №2, 1965; Некоторые способы быстрых вычислений –
№1, 1992; Еще раз о целых числах – №10, 2001; Задачи на умножение положительных и отрицательных чисел – №5, 1980; Как я ввожу отрицательные числа – №7, 2002; Формальное и интуитивное в процессе развития понятия числа – №4, 1994; «Положительные и отрицательные
числа» в некоторых зарубежных учебниках – №5, 1964; О пропедевтике действий с отрицательными числами – №3, 1991; О введении понятия противоположного числа и правила вычитания
рациональных чисел – №1, 1960; Алгебраическая пропедевтика при сложении дробей с разными знаменателями – №2, 1996; Повторение в игровой форме действий с дробями – №8, 2001; О
порядке изучения обыкновенных и десятичных дробей – №4, 1995; Поработаем устно в начале
урока –№10, 2000.
Практическое занятие
Модуль числа в курсе девятилетней школы
Основные цели работы: выделить содержание темы, ее математические основы и место в
обучении математике; систематизировать знания студентов по методам решения математических задач, содержащих модуль.
Вопросы для повторения:
Блок А (вопросы для контроля и самоконтроля содержательного характера)
1. Для каких значений а выполняется равенство 2а  3  3  2а ?
2. Докажите неравенство а2  4а  5  2 а  2 .
3. Решите уравнение
х 2  3х  2  2 х  1 .
4. Изобразите множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравен-
17
ству  y  x  1   y  2   0 .
5. Постройте график уравнения х  3  y 2  4 y .
Блок В (вопросы для контроля и самоконтроля методического характера)
1. На каких этапах обучения математике вводится определение модуля? В чем отличие
этих определений?
2. Сформулируйте свойства модуля.
3. Какова, на ваш взгляд, причина рассмотрения уравнений и неравенств с модулем в теме
«Неравенства» (по учебнику Ш.А. Алимова и др. «Алгебра-8»)?
4. Опишите математическим языком положение точки х на координатной прямой, если
2  x  4  3.
5. Приведите способы решения уравнения 2,1x  1, 9  0, 5 в соответствии с теорией, изложенной в теме «Неравенства» (по учебнику Ш.А. Алимова и др. «Алгебра-8»). Каковы математические основы каждого из приведенных способов?
6. Выполните те же задания для неравенства 1  x  0, 3 .
Задания для подготовки к занятиям
1. На основе анализа программ и школьных учебников по курсу математики 5-6 классов,
алгебры, алгебры и начал анализа выделите:
- этапы обучения математике, на которых вводится определение модуля;
- суть определений, их математические основы;
- свойства модуля, вводимые на протяжении обучения математике.
2. Выполните типологию задач по основным содержательным линиям школьного курса
математики, связанных с модулем (основание типологии – требование задачи).
3. Выделите аналитические методы решения алгебраических уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля. На конкретном наборе задач дайте иллюстрацию применения
выделенных методов.
4. Выделите аналитические методы решения алгебраических неравенств, содержащих неизвестное под знаком модуля. На конкретном наборе задач дайте иллюстрацию применения
выделенных методов.
5. Выделите элементы теории преобразования графиков функций, содержащих аргумент
под знаком модуля. Разработайте методику введения теории (на примере одного из преобразований). Приведите примеры задач, иллюстрирующих применение введенной теории.
6. Методические особенности задач.
Для каждой из приведенных ниже задач определите место в учебном процессе; определите возможные функции в соответствии с этапом обучения; разработайте вариант методики работы по поиску решения.
a2  4  a  2
Задача 1. Упростите выражение 3
.
a  2a 2  5a  6
30
13
7  18 x
 2
 3
Задача 2. Докажите, что для выполнения равенства 2
необходимо, чтоx 1 x  x 1 x 1
бы 2 x  5  13 . Является ли это условие достаточным?
Задача 3. Решите уравнение
x2  9 x  24  6 x2  59 x  149  5  x .
Задача 4. Решите неравенства:
а) x  2  3  x  2  x ; б) x 2  5 x  6  x 2  4 x  5 .
Задача
5.
Изобразите
на
координатной
плоскости
область,
задаваемую
системой
18
 x  y  x  y  4,

 x  1,

2
 y  x  2 x  1.
Вопросы для обсуждения на занятии:
1. Типология задач по основным содержательным линиям школьного курса математики,
связанных с модулем (основание типологии – требование задачи).
2. Аналитические методы решения алгебраических уравнений, содержащих неизвестное
под знаком модуля. Иллюстрация применения выделенных методов.
3. Аналитические методы решения алгебраических неравенств, содержащих неизвестное
под знаком модуля. Иллюстрация применения выделенных методов.
4. Преобразования графиков функций, содержащих аргумент под знаком модуля. Методика введения теории (на примере одного из преобразований). Примеры задач, иллюстрирующих
применение введенной теории.
Практические занятия
Методика преподавания геометрии
План: Пропедевтический курс геометрии. Пропедевтический курс геометрии. Составление
конспекта урока по общепринятой схеме для 5-6-х классов по определенной теме. Изучение
геометрического материала в 5-6 классах. Основные понятия и определения. Методика изучения геометрических фигур и их измерений в систематическом курсе геометрии. Изучение векторов и координат на плоскости. Логическое строение геометрии. Методика изучения аксиом.
Взаимное расположение прямых на плоскости. Разработка конспекта урока «Решение задач на
параллельность прямых». Виды многоугольников. Обобщающий урок по теме «Четырехугольники». Признаки равенства и подобия треугольников. Виды геометрических преобразований на
плоскости: осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, поворот, преобразования
подобия. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей.
Литература
1. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для
студентов пед. ин-тов по физ.мат. спец./ А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И.
Мишин. – М.: Просвещение, 1987.
2. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. пособие для
студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Е.Л. Мокрушин и др. – М.:
Просвещение, 1977.
3. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие. –
Мн.: Выш. шк., 1990.
4. Совайленко В.К. Система обучения математике в 5–6 классах. – М.: Просвещение, 1991.
5. Зильберберг Н.И. Урок математики: Подготовка и проведение: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1995.
6. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбург С.И. Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2002.
7. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: Учеб. для 6 кл.
общеобразоват. учреждений. – 13-е изд., стереотип. – М.: Мнемозина, 2004.
8. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. – М.: ООО «Издательство «Вербум-М», ООО «Издательский центр «Академия», 2003.
9. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский центр «Академия», 2004.
10. Журнал «Математика в школе» 1991–2008 гг.
11. Газета «Математика» (приложение к газете «Первое сентября») за 2003–2008 гг.
19
Практические занятия
«Специфика восприятия и усвоения
алгебраического и геометрического материала в школе»
План: Особенности развития подростков и специфика обучения алгебре, связанная с ними.
Специфика обучения алгебре как предмету. Объективные особенности геометрических представлений. Восприятие и усвоение геометрического пространства.
Литература:
1. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для
студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. – М.: Просвещение, 1980.
2. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для
студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / А.Я. Блох, Е.С. Канин, Н.Г. Килина и др.; Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985.
3. Темербекова А.А. Методика преподавания математики: Учеб. пособие для студ. высш. учеб.
заведений. – М.: Гуманит.изд. центр Владос, 2003.
4. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский центр «Академия», 2004.
5. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов
мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И. Саранцев. – М.: Просвещение, 2002.
3. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие. –
Мн.: Выш. шк., 1990.
5. Геометрия, 7-9: Учеб. для общеоразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2003.
7. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. Для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1999.
8. Журнал «Математика в школе» 1991–2008 гг.
9. Газета «Математика» (приложение к газете «Первое сентября») за 2003–2008 гг.
Практические занятия
Тождественные преобразования в курсе математики средней школы,
методика их изучения
План: Различные подходы к определению тождества. Целенаправленность тождественных преобразований. Основные типы преобразований и этапы их изучения. Методические особенности
изучения тождественных преобразований. Методика изучения тождественных преобразований
трансцендентных выражений. Методические особенности работы по обучению теме «Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни».
Практическое занятие
Тождественные преобразования алгебраических выражений
Основные цели работы: познакомиться с содержанием линии «Тождественные преобразования алгебраических выражений» в школьном курсе математики и основами методики изучения содержания темы «Тождественные преобразования рациональных выражений»»; рассмотреть пример организации самостоятельной учебно-познавательной деятельности на уроках математики.
Вопросы для повторения:
Блок А (вопросы для контроля и самоконтроля содержательного характера)
1. Какое понятие более общее по отношению к понятию «тождество»?
20
873  733
 87  73 .
160
a
a 2  b2
3. Зная, что  2 , найдите значение выражения
.
b
ab
a 4  b 4  a 4  a 2b 2  b 4 

4. Упростите:
.
a 2  b2
5. Найдите значения а и b , при которых выполняется равенство:
2 x3  15 x 2  a   bx  5   x 2  10 x  25  . В ответ запишите сумму а и b .
2. Вычислите без калькулятора: а) 173· 227; б) 592; в)
a 2  2ab
6. Найдите значение выражения
, если известно, что 3a  2b  0,8  5a  b  .
b2
Блок В (вопросы для контроля и самоконтроля методического характера)
1. Имеют ли место взаимосвязи линии тождественных преобразований с другими основными содержательными линиями школьного курса математики? Если да, то с какими? Приведите примеры связей.
2. Перечислите возможные цели обучения линии «Тождественные преобразования».
3. Является ли тождеством равенство x   x в соответствии с определением в учебнике:
а) «Алгебра - 8» Ш.А. Алимова и др.; б) «Алгебра – 9» Ш.А. Алимова и др.?
4. Выполняя задание на упрощение выражения, ученик оформил его так:
2 x  3a  4 x  5a  2 x  4 x  6 x  3a  5a  6 x  8a . Какие ошибки допущены? Дайте версию причин их появления.
5. Выделите элементы теории тождественных преобразований, используемые при устном
25,33  13,73
 13,7  25,3 .
нахождении значения выражения
11,6
Вопросы для обсуждения на занятии:
1. Этапы введения понятия тождества в курсе алгебры девятилетней школы. Методика
введения понятия на каждом этапе (разработка фрагмента урока).
2. Методические особенности изучения темы «Одночлены и многочлены»:
- методика введения понятий;
- методика введения свойств степени с натуральным показателем;
- методика формирования умений и навыков по выполнению действий с одночленами (на
примере умножения одночленов).
3. Фрагменты методики обучения теме «Разложение многочленов на множители».
Методика введения способов разложения многочленов на множители, включая применение тождеств сокращенного умножения. При разработке методики исследуйте целесообразность использования базовых знаний учащихся по линии числа; геометрической иллюстрации
тождеств сокращенного умножения; разработки алгоритмических предписаний при формировании практических умений на первом этапе обучения.
Дидактические функции и цели про ведения самостоятельных работ, требования к их организации, этапы формирования навыка самостоятельной деятельности при обучении новому
материалу. Разработайте систему самостоятельных работ обучающего характера по теме.
Система самостоятельных работ по теме обучающего характера.
Система промежуточного и итогового контроля по теме.
4. Варианты разрешения методической ситуации.
Ученики при выполнении преобразований допускают ошибки такого рода: а)
5n  13  18n ;
21
x3 x
2
 ; в) x   y  z  1  x  y  z  1; г)  a  b   a 2  b 2 .
6
2
Причины этих ошибок, приемы их исправления. Пути предупреждения ошибок.
б)
Задания для подготовки к занятиям
1. Проследите линию развития учения о тождественных преобразованиях в курсе математики средней школы на основе анализа учебников алгебры и алгебры и начал анализа (в сравнительном плане рассмотрите учебники разных авторских коллективов).
2. Изучите программу по математике для девятилетней школы: содержание темы «Тождественные преобразования рациональных выражений», требования к умениям и навыкам тождественных преобразований рациональных выражений, планирование изучения темы.
3. Исследуйте вопрос о математических основах тождественных преобразований рациональных и дробно-рациональных выражений по курсу математики 7-8 классов.
Дальнейшие задания выполните на основе учебников алгебры под редакцией С.А. Теляковского.
4. Выполните логико-математический анализ теоретического содержания темы «Тождественные преобразования рациональных выражений» и методический анализ задачного материала.
5. Выделите этапы введения понятия тождества в курсе алгебры девятилетней школы. Разработайте методику введения понятия на каждом этапе (разработка фрагмента урока).
Практическое занятие
Тождественные преобразования тригонометрических выражений
Основные цели работы: познакомиться с содержанием темы и логикой ее изложения в
школьных учебниках; продолжить формирование умения выявлять внутренние и внешние связи изучаемого материала.
Вопросы для повторения:
Блок А (вопросы для контроля и самоконтроля содержательного характера)
1. К какому виду математических выражений относятся тригонометрические выражения?
21
31
2. Углом какой четверти является угол  , если: а)  
; б)   
; в)   3 ; г)
4
7
  4 ?
3. Определите знак произведения tg 2· sin 3· ctg 5· cos 1.

3
4. Какой знак имеет произведение sin х· cos х· tg х при: а)  x   ; б)   x 
?
2
2
5
5. Существует ли такое значение х, при котором выполняется равенство cos х sin х = .
8


 3

sin  2    tg     ctg    
1  cos 3
2

 2

6. Упростите выражение: а)
; б)
cos
3



tg



2

 

0
0
0
0
7. Вычислите: а) sin 135 – sin 45 ; б) cos 75 + cos 15 .
x
x
8. Вычислите tg х, если sin
– cos
= 0, 04 .
2
2
1
9. Вычислите sin 4   cos 4  , если sin   cos  
.
2
1
9
10. Вычислите sin     , если sin   cos   и    
.
4
2
Блок В (вопросы для контроля и самоконтроля методического характера)
22
1. Цели изучения начального этапа тригонометрии «Тригонометрические выражения и
их преобразования» и требования к математической подготовке.
2. Какие ведущие линии школьного курса математики являются базовыми для обучения
теме? Приведите конкретные примеры.
3. Найдите все возможные способы решения задачи. В каждом способе выделите математическую основу и умения, которыми должен владеть учащийся, чтобы задача была успешно
решена.
2 sin   3 cos 
Задача. Известно, что tg  2 . Найдите значение выражения
.
2 cos   sin 
Вопросы для обсуждения на занятии:
1. Содержание темы и логика его изложения в учебниках разных авторских коллективов.
2. Вводная диагностическая работа (цель, содержание, функции задач, критерии оценки).
3. Вариант методики обучения:
- формулам приведения;
- теоремам сложения.
4. Вариант построения системы теоретических знаний по теме с ориентацией на решение
задач.
5. Тригонометрический круг – средство формирования пропедевтических знаний по курсу
тригонометрии.
6. Система задач, выполняющих пропедевтические функции по функциональной линии и
линии уравнений и неравенств.
Задания для подготовки к занятиям
1. Сформулируйте цели начального этапа изучения тригонометрии «Тригонометрические выражения и их преобразования» и требования к математической подготовке (по программе по математике для общеобразовательных учреждений).
2. Познакомьтесь с содержанием темы и логикой его изложения в учебниках разных авторских коллективов.
3. Какие ведущие линии школьного курса математики являются базовыми для обучения
теме? Приведите конкретные примеры.
4. Разработайте вариант вводной диагностической работы, цель которой – актуализация
базовых знании и определение степени готовности учащихся к изучению новой темы.
5. Продумайте вариант построения системы теоретических знаний по теме с ориентацией на решение задач. Установите связи между элементами этой системы.
4. Определите роль тригонометрического круга при обучении теме. Сформулируйте
определение тригонометрического круга, исследуйте возможность использования тригонометрического круга в формировании пропедевтических знании по тригонометрии (линии функции,
уравнений и неравенств). Разработайте систему задач, выполняющих пропедевтические функции по выделенным линиям.
Литература
1. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для
студентов пед. ин-тов по физ.мат. спец./ А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И.
Мишин. – М.: Просвещение, 1987.
2. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. пособие для
студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Е.Л. Мокрушин и др. – М.:
Просвещение, 1977.
3. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие. –
Мн.: Выш. шк., 1990.
4. Мордкович А.Г. Алгебра. 7, 8, 9 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.
5. Алгебра: Учеб. для 7, 8, 9 кл. сред. шк. / Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.
23
Суворова; Под ред. С.А. Теляковского.– М.: Просвещение, 2002.
6. Газета «Математика» (приложение к газете «Первое сентября») за 2003–2008 гг.
7. Журнал «Математика в школе» 1990–2008 гг.
Практические занятия
Методика изучения функций в девятилетней школе
План: Методика изучения функции. Развитие понятия функции. Функционально-графическая
линия в учебниках алгебры А.Г. Мордковича. Методические особенности изучения линейной функции. Квадратичная функция. Степенная функция.
Литература:
1. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для
студентов пед. ин-тов по физ.мат. спец./ А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И.
Мишин. – М.: Просвещение, 1987.
2. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. пособие для
студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Е.Л. Мокрушин и др. – М.:
Просвещение, 1977.
3. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие. –
Мн.: Выш. шк., 1990.
4. Мордкович А.Г. Алгебра. 7, 8, 9 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.
5. Алгебра: Учеб. для 7, 8, 9 кл. сред. шк. / Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.
Суворова; Под ред. С.А. Теляковского.– М.: Просвещение, 2002.
6. Газета «Математика» (приложение к газете «Первое сентября») за 2003–2008 гг.
7. Журнал «Математика в школе» 1990–2008 гг.
2. Рекомендуемая литература
Основная литература:
1. Темербекова А.А. Методика преподавания математики: учеб. пособие для студ. вузов, обуч.
по спец. 032100 "Математика" / Темербекова А. А. – М.: ВЛАДОС, 2003.
2. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования: Учеб. пособие
для студ. пед. вузов и системы повыш. квалиф. пед. кадров / Е.С. Полат, М.Ю. Бухаркина,
М.В. Моисеева, А.Е. Петров; Под ред. Е.С. Полат. – М.: Издательский центр «Академия»,
2008.
3. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский центр
«Академия», 2004.
4. Современные педагогические и информационные технологии в системе образования: учеб.
пособие для студ. Вузов / Полат Е. С., Бухаркина М. Ю. – М.: Академия, 2007.
5. Газета «Математика» (приложение к газете «Первое сентября») за 2000–2013 гг.
6. Журнал «Математика в школе» 2000–2013 гг.
Дополнительная литература:
1. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для
студентов пед. ин-тов по физ.мат. спец./ А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост.
В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987.
2. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. пособие для
студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Е.Л. Мокрушин и др. –
М.: Просвещение, 1977.
3. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / под науч.
ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. – М.: Дрофа, 2005.
24
4. Методика и технология обучения математике. Лабораторный практикум: учеб. пособие для
студентов матем. факультетов пед. университетов / под науч. ред. В.В. Орлова. – М.: Дрофа,
2007.
5. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов
мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И. Саранцев. – М.: Просвещение, 2002.
6. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие. –
Мн.: Выш. шк., 1990.
7. Виноградова Л. В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие для
студ. вузов / Виноградова Л. В. – Ростов н/Д: Феникс, 2005.
8. Загвязинский В.И. Теория обучения: Современная интерпретация: Учеб пособие для студ.
высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2001.
9. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. –
М.: Мнемозина, 2003.
10. Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк. / Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2002.
11. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов,
Ю.П. Дудницин и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова. –М.: Просвещение, 1994.
12. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учебник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2005.
13. Атанасян Л.С. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2003.
14. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. –
М.: Просвещение, 1992.
15. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. Для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1999.
16. Зильберберг Н.И. Урок математики: Подготовка и проведение: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1995.
17. Карп А.Н. Даю уроки математики. – М.: Просвещение, 1992.
18. Волович М.Б. Наука обучать / Технология преподавания математики. – М.: LINKA-PRESS,
1995.
19. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя.
– М.: Просвещение, 1990.
20. Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике:
Кн. для учителя – М.: Просвещение, 1991.
21. Яковлев Н.М., Сохор А.М. Методика и техника урока в школе: В помощь начинающему
учителю.  М.: Просвещение, 1985.
22. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений /
С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2001.
23. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В.
Сидоров и др. – М.: Просвещение, 1993.
24. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение,
1993.
25. Дорофеев Г.В. Алгебра и начала анализа. 10 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений: В 2
ч. Ч.1. /Г.В. Дорофеев, Л.В. Кузнецова, Е.А. Седова. – М.: Дрофа, 2003.
26. Бевз Г.П. и др. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Г.П. Бевз, В.Г.
Бевз, Н.Г. Владимирова. – М.: Просвещение, 1994.
27. Геометрия: учебное пособие для 6 – 8 классов сред. шк. /А.Н. Колмогоров, А.Ф. Семенович,
Р.С. Черкасов; Под ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение 1981.
3. Перечень видео- и аудиоматериалов программного обеспечения
25
Цифровые образовательные ресурсы по математике
Учебные материалы //
http://school-collection.edu.ru/catalog/pupil/?subject=16
Конспекты разработок уроков по избранным темам школьной программы по математике //
http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/fd39f4a9-db7f-cb04-9a70-70887cbf47e2/
Словарь-справочник понятий и фактов элементарной математики //
http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/637182ba-dacb-8e36-95ad-763207381e44/
Электронная библиотека учебно-методической литературы по математике //
http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/696f5fc4-7f5c-b610-713f-014b7f9c0bc8/
4. Примерные зачетные тестовые задания
1 вариант
1. Натуральные числа изучаются в:
а) 7 классе, б) 6 классе, в) 5 классе, г) Не
изучаются в школе.
2.
Найти
сумму
корней
уравнения:
6
6
 х  2    х  4   64
2 вариант
1. Логарифмическая функция изучается в:
а) 9 классе, б) 10 классе, в) 11 классе, г) Не
изучается в школе.
2. Решить уравнение
а) 6, б) 8, в) 64, г) 12.
3. Найти сумму всех трехзначных чисел,
делящихся на 7.
а) 6767, б) 70336, в) 4321, г) 9876.
x
1
4. Найти 3tg , зная, что sin x  cos x 
2
5
а) -1; 6, б) 7; 8, в) 9, г) 4,5
а) -0,5; 2; -1, б) 0; 1; -0,5, в) 6: 0; -1, г) 0,5; 1; 2.
3. Найти сумму всех трехзначных чисел, делящихся на 13.
а) 54321, б) 37674, в) 7659, г) 43679.
x 4  4,5x3  7 x 2  4,5x  1  0
cos6   sin 6  ,
Найти
2 2 

sin 4 

3 8
4
а) 0, б) 0,5, в) 1, г) 0,6.
4.
зная,
что
5. Примерный перечень вопросов к экзамену
1. Цели обучения математике в школе. Значение школьного курса математики в общем образовании. Содержательные линии школьного курса математики. Анализ программ для 5-11
классов.
2. Принципы дидактики в обучении математике.
3. Научные методы обучения математике.
4. Репродуктивные и продуктивные методы обучения математике. Применение проблемного
обучения, программированного обучения, ЭВМ в обучении математике.
5. Математические понятия и методика их формирования.
6. Аксиомы и теоремы, методика их изучения.
7. Роль задач в обучении математике. Методика работы над текстовой задачей.
8. Формы организации урока математики. Типы уроков, их структура. Основные требования
к уроку. Уроки-лекции, семинары, практикумы, зачет.
9. Планирование работы учителя. Подготовка учителя к уроку.
10. Организация самостоятельной деятельности учащихся. Проверка знаний учащихся,
нормы оценок.
26
11. Средства обучения математике.
12. Особенности преподавания математики в школах и классах с углубленным изучением
математики.
13. Методика работы над геометрической задачей.
14. Индивидуализация и дифференциация процесса обучения.
15. Методика изучения темы «Натуральные числа».
16. Методика изучения темы «Обыкновенные дроби».
17. Методика изучения темы «Десятичные дроби».
18. Методика изучения положительных и отрицательных чисел в школьном курсе математики.
6. Примерная тематика рефератов
1. Использование современных информационных и коммуникационных технологий в
учебном процессе.
2. Аудиовизуальные технологии обучения математики.
3. Технологический подход к обучению математике.
4. Индивидуализация обучения математике.
5. Технология использования индивидуализированной системы задач при обучении математике.
6. История развития понятия числа.
7. Система мер и способы измерения величин.
8. Геометрия – от Евклида до наших дней.
9. Методы устных вычислений.
7. Работа с тестовой системой курса
База тренировочных тестовых заданий по курсу ТиМОМ выложена в «Системе управления обучением факультета ФМОИиП МГГУ» в категории «Математика с дополнительной специальностью Информатика» в блоке «Теория и методика обучения математике».