Системный анализ

Прикладная алгебра. 4 ММЭ 8 семестр
Примерный перечень вопросов к экзамену.
Сравнения в кольце целых чисел, их простейшие и основные свойства.
Классы эквивалентности и их свойства.
Полная система вычетов. Условие при котором ax  b пробегает полную
систему вычетов, если x пробегает полную систему вычетов.
Сумма классов вычетов. Свойства сложения классов вычетов. Аддитивная
группа классов вычетов.
Умножение классов вычетов. Свойства умножения классов вычетов.
Кольцо классов вычетов.
Мультипликативные функции и их свойства. Функция Мёбиуса и её
свойства.
Функция Эйлера. Формула для вычисления значений функции Эйлера.
Свойства функции Эйлера.
Приведённая система вычетов. Условие при котором ax пробегает
приведённую систему вычетов, если x пробегает приведённую систему
вычетов.
Мультипликативная группа классов вычетов взаимно простых с модулем.
Условие при котором кольцо классов вычетов является полем.
Числа взаимно обратные по модулю числа. Вычисление обратных чисел с
помощью цепных дробей.
Теорема Эйлера. Теоремы Ферма.
Представление простого числа p  1(mod 4) в виде суммы двух квадратов.
Теорема Дирихле и её применение к представлению простого числа
p  1(mod 4) в виде суммы двух квадратов.
Степень и число решений сравнения.
Разбиение класса вычетов по данному модулю на классы вычетов по
кратному модулю.
Теоремы о разрешимости и числе решений сравнений первой степени.
Теорема о том, что число решений сравнения степени n по простому
модулю имеет не более n решений. Теорема о числе решений сравнения
p1
x
 1  0(mod p) , где p - простое. Теорема Вильсона. Теорема о числе
решений сравнения x d  1  0(mod p ) , где p - простое, d| p 1.
Порядок числа по модулю. Свойства порядка.
Первообразные корни по простому модулю. Теорема о числе
первообразных корней по простому модулю. Теорема о числе образующих
циклической группы простого порядка. Свойства первообразных корней.
Описание модулей, по которым существуют первообразные корни.
Индексы по простому модулю. Свойства индексов. Таблицы индексов и
антииндексов.
Двучленные сравнения по простому модулю. Необходимое и достаточное
условие разрешимости двучленного сравнения по простому модулю.
k-степенные вычеты. Необходимые и достаточные условия для того, чтобы
число было k-степенным вычетом.
Сравнения второй степени. Теорема о числе решений сравнения второй
степени. Квадратичные вычеты и невычеты. Критерий Эйлера.
Символ Лежандра. Закон взаимности.
Арифметические применения теории квадратичных вычетов.
Систематические дроби. Определение длины периода при обращении
обыкновенной дроби в систематическую.
Признаки делимости. Признак Паскаля. Признаки делимости в десятичной
системе счисления.
Проверка арифметических действий с помощью сравнений.
Проверка простоты целого числа. Теорема Вильсона. Числа Кармайкла.
Вероятностный тест простоты Рабина. Законность теста Рабина. Алгоритмы
факторизации целых чисел. Алгоритмы факторизации Поллака (методы
Монте-Карло). Метод Монте-Карло 1. Метод Монте-Карло 2.
Основные алгоритмы, используемые в криптографической системе RSA.
Общий алгоритм шифрования RSA. Выбор параметров системы RSA.
Гипотеза 1. Ограничения на выбор положительных простых чисел p и q .
Условие Ривеста. Алгоритм Гордона. Применение алгоритма RSA для
создания электронной подписи.