М А Т Е М А Т И К А

МАТЕМАТИКА
Олимпиада по математике проводится только в письменной
форме. Типовые варианты билетов дают представление об уровне
требований, предъявляемых к участникам олимпиады.
Каждый участник олимпиады получает два билета: основной, содержащий десять заданий, и дополнительный с двумя заданиями.
Десять заданий основного билета включают преобразование
алгебраического выражения, решение показательного (или логарифмического), тригонометрического, иррационального уравнения,
системы уравнений (алгебраических или показательно-логарифмических), текстовую задачу на составление алгебраического уравнения или системы уравнений, задачу по геометрии. В основной билет также входят задачи на решение алгебраического, тригонометрического, иррационального или показательно-логарифмического
неравенства, нахождение области определения функции, задачи на
производную и прогрессию. Включены также задачи с параметром.
Дополнительные задания рассчитаны на выявление математической смекалки и эрудиции у каждого участника олимпиады.
Все задания как основные, так и дополнительные оцениваются в баллах, а с учетом того, что в билет включены задания разной
сложности, выполнение более сложного задания оценивается и большим числом баллов.
Все числовые ответы должны быть приведены точно, без перевода обыкновенных дробей в десятичные и наоборот. В решениях
также не требуется приводить пространных словесных пояснений,
но следует выполнить все необходимые математические выкладки.
В целом уровень предлагаемых заданий не выходит за рамки
программы средней общеобразовательной школы.
ПРИМЕРНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ОСНОВНЫХ БИЛЕТОВ
3
(с решениями)
Билет 1
1. Упростить выражение (при р > q)
1
 2
q p
2q 2  2 pq  2 pq
q 1 
 p  2 pq  q 2 
 2


.



p  q  p  q 2  q 
p 1  q 1 



2. Найти интервалы монотонности и точки экстремума
1 x3
функции f  x   
.
x 3
3. Решить уравнение log 3 x  2  1  log 3 x .
4. Антикварный магазин купил два предмета за 22500 руб.,
затем продал их, получив 40 % прибыли. Сколько заплатил магазин
за каждый предмет, если на первом предмете было получено 25 %
прибыли, а на втором 50 %?
5. Решить уравнение


6 sin   x   cos 2 x  5  0 .
2


6. Решить уравнение
7. Решить систему
x2  x6  2.
log 3 3x  y   2 log 3  y  3  1;

 1  22 x 1  4 y.

8
8. Решить неравенство 2 x  x  2  4 .


9. Решить неравенство log 2 x x 2  5x  6  1 .
10. Найти значения параметра а, при которых уравнение
2
x  | x | a  0 имеет ровно два решения.
4
Решения
1. Чтобы упростить первое слагаемое, воспользуемся определением квадратного корня:
p 2  2 pq  q 2  p  q  p  q , если p  q ,
Тогда
1
 2
q p
2q 2  2 pq   2 pq
q 1 
 p  2 pq  q 2 
 2


=



p  q   p  q 2  q 
p 1  q 1 




2q 2  2 pq   2 pq
q
p 
  2
=
=  p  q 


2
p  q   p  q
p  q p  q 

=
p 2  q 2  2q 2  2 pq 2 pq  pq  q 2  p 2  pq
=
pq
p2  q2
=
 p  q 2  p  q 2  p  q .
 p  q  p  q  p  q 
Ответ: p  q .
2. Найдем область определения функции (ООФ) f x  
D f    , 0   0,    .
1 3x 2 x 4  1

 2 .
3
x2
x
Найдем стационарные точки функции:
Вычислим f x   
f x   0  x 4  1  0  x  1 .
5
1 x3
 :
x 3
Исследуем производную на знак в области определения
функции, результаты исследования представим в виде таблицы:
x
(,1)
–1
(–1,0)
f  x 
+
0
f x 

– 4/3
(0,1)
1
(1,)
–
–
0
+


4/3

0
Ответ: функция возрастает на интервалах  ,1 и
1,  , убывает на интервалах  1, 0 и 0,  1 , x  1 – точка
минимума, x  1 – точка максимума, f  1  4 / 3 , f 1  4 / 3 .
3. Решим уравнение log 3  x  2  1  log 3 x . При решении логарифмических и показательных уравнений необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ) и сделать проверку.
ОДЗ:
x  2  0
 x  2;   .

x  0
Тогда
log 3 x  2  log 3 x  log 3 3  log 3 x  2 x  log 3 3 
 x2  2x  3  x2  2x  3  0 .
По теореме Виета
 x1  x2  2  x1  3;
x2  1  ОДЗ.


 x1 x2  3
 x2  1,
Проверка. Подставляем x  3 в левую и правую части уравнения по отдельности: log 3 3  2  0; 1  log 3 3  1  1  0; 0  0 .
Ответ: x = 3.
6
4. Пусть x – сумма, которую магазин заплатил за первый
предмет; y – сумма, которую магазин заплатил за второй предмет;
x + y – сумма, которую магазин заплатил за оба предмета.
Магазин получил 40 % прибыли, следовательно, оба предмета он продал за 140 % от 22500 руб., т.е. за 31500 руб. Тогда 1,25x –
продажная цена первого предмета; 1,5y – продажная цена второго
предмета; 1,25x + 1,5y – сумма, полученная от продажи обоих предметов. Следовательно,
 x  y  22500


1,25 x  1,5 y  31500
0,25 y  3375
 x  9000 ;


 y  13500 .
 0,25 x  2250
Ответ: 9000 и 13500 руб.


5. Решим уравнение 6 sin   x   cos 2 x  5  0 . ОДЗ в три2

гонометрических уравнениях определяют в случае необходимости,
исходя из общих требований существования уравнений. Используем
формулы
sin  / 2  x   cos x ; cos 2x  2 cos2 x  1 ;
тогда
6 cos x  2 cos 2 x  1  5  0  cos 2 x  3 cos x  2  0 .
Пусть cos x  t

t  1 , t 2  3t  2  0 , по теореме Виета
t1  1; t 2  2, причем t 2  2 не удовлетворяет условию t  1 . Отсюда cos x  1 , x  2n , n  Z .
Ответ: x  2n, n  Z .
6. Решим уравнение x  2  x  6  2 . Решение иррациональных уравнений нужно начинать с определения ОДЗ:
x  2  0
 x  6;   .

x  6  0
7
Чтобы не нарушать эквивалентность преобразований при возведении
в квадрат, надо перенести x  6 в правую часть уравнения. Тогда
x2  2 x6 

x2
  2 
2
x6

2

 x2  44 x6  x6  4 x6  4 

x  6 1

x6

2
 12  x  6  1  x  7 .
В иррациональных уравнениях проверку надо делать обязательно.
Проверка:
7  2  7  6  9  1  3 1  2 ; 2  2 .
Ответ: x = 7.
7. Решим систему
log 3 3x  y   2 log 3  y  3  1;

 1  22 x 1  4 y.

8
Определим ОДЗ:
3x  y  0  y  3x;


  y  3;
y  3
x  R
 x  R.


Последовательность решения следующая:
2
1

log 3 3x  y   log 3 3  log 3  y  3

 3 2 x 1
y

 22
2  2
 
1

2
9 x  3 y  y 2  6 y  9
3x  y   y  3



3

2 x  2  2 y
22 x  2  22 y
 y 2  3 y  9  9 x  0  y 2  3 y  9  9  y  1  0



x  y  1
x  y  1
8
 y 2  12 y  0
 y  y  12   0



 x  y  1
 x  y 1
 y0
 x  13;

   y  12  
так как y  0  ОДЗ.
 x  y  1  y  12,

В системе уравнений проверку надо делать обязательно.
Проверка: первое уравнение
log 3 3  13  12   2 log 3 12  3  log 3 27  2 log 3 9  3  4  1 
 1  1 ;
второе уравнение
1 2131
2
 23  227  224 ; 412  224 ; 224  224 .
8
Ответ: x  13, y  12 .
8. Неравенство
2 x  x  2  4 равносильно неравенству
 4  2 x  x  2  4 , для решения которого рассмотрим два случая.
Случай 1. x  2 и неравенство примет вид
 4  2x  x  2  4   4  x  2  4   6  x  2 ,
и, с учетом условия x  2 , получим ответ x  2 .
2
Случай 2. x  2   4  2 x  x  2  4   2  3x  6    x  2 ,
3
2
с учетом условия x  2 имеем неравенство   x  2 .
3
2
Объединяя оба случая, получим   x  2 .
3
2
Ответ:   x  2 .
3
9
9. Решим неравенство log
(рис.1, а):
2x
x
2

 5x  6  1 . Определим ОДЗ


2x  0
 x  0
x0
1
1
 

2x  1
 x 

  x 
2
2
2



x  5 x  6  0 x  2  x  3  0
 x  3
 x  2

 1 1 
 x   0;    ; 2   3;   .
 2  2 
Для решения неравенства, которое содержит неизвестную
в основании логарифма, необходимо рассмотреть два случая.
1
 1

x 
x  ;
Случай 1. 2x 1   2
 
2
log 2 x x 2  5 x  6  log 2 x 2 x
 x 2  5 x  6  2 x
(знак неравенства меняется на противоположный, так как основание
логарифма меньше единицы). Решим систему
1

1

x 
x 


2

2
 x 2  7 x  6  0 x  1 x  6  0


1

 x  2 ;
  x  6;

 x  1.
а
х
б
х
С учетом ОДЗ получим
0  x  1 / 2 (рис.1, б).
Случай 2. 2x  1 
х
1

x 


2
2
log 2 x x  5 x  6  log 2 x 2 x
в
Рис.1

10

1

x 


2
2

x  5x  6  2 x
1

x 

2

2

x  7 x  6  0
1 
1


x
x 

 
2  1 x  6 .
2
x  1x  6  0
1  x  6

Учитывая ОДЗ, получим 1  x  2 или 3  x  6 (рис.1, в).
Объединив оба случая, найдем окончательный ответ:
x  0; 1 / 2  1 ; 2  3; 6 .
Ответ: x  0; 1 / 2  1 ; 2  3; 6 .
10. Обозначим | x | t , t  0 и, воспользовавшись тем, что
x | x | , получим уравнение t 2  t  a  0 . Решим его:
2
2
t1, 2 
1  1  4a
.
2
Исходное уравнение имеет два корня, если уравнение
t  t  a  0 имеет один корень. Это происходит в двух случаях:
1
1
1
1. D  1  4a  0  a  , t1, 2  и x1, 2   .
4
2
2
2. D  0 и один из корней отрицательный, например t1  0 , а
2
другой – положительный, t 2  0 ( x1, 2  t 2 ) , тогда t1t 2  0 и по теореме Виета t1t 2  a  0 . Объединив с условием D  0 , получим
4 a  1
a0.

a0
Подводя итог, запишем ответы обоих случаев вместе: a  0, a  1 / 4 .
Ответ: a   ; 0  1 / 4 .
11
Билет 2
5
1. Найти значение производной функции f x    2 e x1  x 2 ln x
x
в точке x  1 .
2. Упростить выражение
1
2
1


 2x 3
3
x  x3 1


 2
1
 2


 x3  x 3
x 3 x  1 

1
 1

 x3 1

 .
 2 
 x3 


3
1
.
64
4. В треугольнике ABC угол ABC = 120, AB = 6 см. Площадь
треугольника равна 6 3 см 2. Найти BC.
5. К 1 л р-процентного раствора некоторого вещества добавили 0,5 л q-процентного раствора того же вещества. Какова концентрация полученного раствора?
6. Решить систему уравнений
3. Решить уравнение 2 log3 x 
 x 5 y 16
 ;
 
 y 3x 3
 x  y  6.
7. При каком значении параметра a длина отрезка, являющегося областью решений неравенства x 2  4  a , равна 6?
8. Решить уравнение 2 | sin x | cos2  x   cos2 7  / 2  x  .
9. Решить неравенство
7  3x  2 4  x  x  1 .


10. Решить уравнение x 2 log 6 5x 2  2x  3  x log 1/ 6 5x 2  2x  3 
 x  2x .
2
12
Решения
1. Решение любой задачи, связанной с исследованием
свойств функции, необходимо начинать с указания области её опре5
деления. Областью определения функции f x    2 e x 1  x 2 ln x
x
является полубесконечный интервал 0;    . Применяя формулы
для производной суммы и произведения, найдем
 
   




f x   5 x 1  2 e x1  x 2 ln x  x 2 ln x  

5
 2 e x1  2 x ln x  x ;
2
x
f 1  5  2 e0  2 ln 1  1  6 .
Ответ: f 1  6 .
2. Упростим выражение
1
2
1

 1


3
3
 2x 3
x  x 1  x3 1
 2
 2
 2 
1

 3


3
3
x x  1   x 3 
x x
1
=
1
2
1
2
2
2
1
2


 2x 3

3
3
3
3
3
3
2x  x  x  1 x 3
x  x 1
x
 1

 1
 2

2
1
 

3
3
3
x 3 x  1
x3 1
 x x  1 x x  1  x  1
1
 2
 2
 x 3  x 3  1 x 3


1
1




 2
.
2 1
2
1
1
1
1


 


x 3  x 3  1  x 3  x 3  1  x 3  1  x 3  1  x 3  1 x 3  1



 





 


1
.
Ответ:
2


 x 3  1




13
3. Решим уравнение
3
log3 x
2

1
.
64
 x0
ОДЗ: 
 x  0; 1  1,   . Далее получим
log 3 x  0
3
2 log3 x  2 6 
3
1
 6  log 3 x   
log 3 x
2
 log 3 x  log 3 3

1
2
x
1
.
3
Ответ: x  1 / 3 .
4. Дано: ABC; ABC = 120; AB = 6 см; SABC = 6 3 см2. Найти BC.
Воспользуемся формулой для площади треугольника:
1
AB  BC sin ABC 
2
2S  ABC
26 3
 BC 
 BC 
 4 см.
AB sin ABC
6 sin 120 
Ответ: BC = 4 см.
p
5. В первом растворе находилось
г вещества, во втором
100
q 1
растворе –
 г вещества. После смешивания в 1,5 л раствора
100 2
p
q
находится
г вещества. Обозначим концентрацию полу
100 200
ченного раствора в процентах через K. Тогда
p
q

2 p  q 2 100  2 p  q .
100
200
K
100 
3
600
3
2
2p  q
Ответ:
%.
3
S  ABC 
14
6. Найдем ОДЗ: x , y  0 . Обозначим x / y  t (t  0) , тогда
первое уравнение примет вид
t
3 16
 3t 2  16 t  5  0.

5t 3
Решив его, получим t1  5, t 2  1 / 3 .
Вернувшись к переменным x и y , получим две системы:
x  5 y
 x  15 / 2;
x / y  5



 x  y  6 5 y  y  6  y  3 / 2
и
 x / y  1 / 3 3 x  y
 x  3;



x  y  6
 x  3 x  6  y  9.
Проверка. Подставим первую пару значений x и y в оба
уравнения:
15  2 5 3  2
1 16 16 16 15 3

 5    ;
  6 6  6 .
2  3 3 2  15
3 3
3
3
2 2
Аналогично надо поступить со второй парой значений x и y .
Ответ: 15 / 2; 3 / 2,  3;  9 .
7. Решим неравенство x 2  a  4 . ОДЗ: a  4  0  a  4 .
Тогда можно извлечь корень: x  a  4   a  4  x  a  4 .
Отсюда длина отрезка равна 2 a  4 . Следовательно, 2 a  4 
 6 a4 9 a 5.
Ответ: a  5 .
8. Решим уравнение 2 | sin x | cos2  x   cos2 7 / 2  x  . Воспользуемся формулами приведения и тем, что sin 2 x  | sin x |2 . Тогда
15
2 | sin x | cos x  sin 2 x 
 2 | sin x | cos x  | sin x |2  | sin x | 2 cos x  | sin x |  0 .
Получим | sin x |  0  x  k или 2 cos x  | sin x | . Отсюда при
sin x  0 имеем 2 cos x  sin x , tgx  2 , т.е. x  arctg2  k . С учетом
условия sin x  0 получим x  arctg2  2k . Аналогично при sin x  0
имеем 2 cos x   sin x , tgx  2 и x  arctg2  2k (с учетом условия sin x  0 ).
Ответ: x  k , x  arctg2  2n , k , n  Z .
9. Решим неравенство
7  3x  2 4  x  x  1 . Решение
иррациональных неравенств, так же как и иррациональных уравнений, нужно начинать с определения ОДЗ:
7  3x  0

 4  x  0  1 x  4 .
 x 1 0

Аналогично примеру 6 из билета 1, чтобы не нарушить эквивалентность преобразований при возведении в квадрат, переносим 2 4  x
в правую часть неравенства. Тогда получим

7  3x
  2
2

2
4  x  x 1 
 7  3x  44  x   4 4  x x  1  x  1 
4
4  x x  1  6 x  10  2
4  3x  x 2  3x  5 .
Далее ход решения существенно отличается от решения иррациональных уравнений. Рассмотрим два случая
Случай 1. Пусть 3x  5  0 , тогда неравенство очевидно, так
как выражение в левой части всегда неотрицательно. С учетом ОДЗ
имеем (рис.2, а):
16
 3x  5  0
5
 1 x  .

3
 1  x  4
Случай 2. Пусть 3x  5  0 , тогда обе части неравенства, не
нарушая эквивалентности, можно возвести в квадрат. В результате
получим


4 4  3x  x 2  9 x 2  30 x  25  13 x 2  42 x  9  0 .
Найдем корни уравнения
13 x 2  42 x  9  0  x 
21  324 21  18 3 / 13


.
13
13
 3
По методу интервалов решением
неравенства является промежуток
3 / 13  x  3 и, учитывая условие
3x  5  0 , получим 5 / 3  x  3
(рис.2б). Отметим, что полученный
промежуток принадлежит ОДЗ.
Объединив ответы первого
и второго случаев, получим ответ
 1  x  3.
a
б
Ответ: x   1; 3 .
10. Решим уравнение
x 2 log
6
Рис.2


5x 2  2 x  3  x log 1 / 6 5x 2  2 x  3  x 2  2 x .
Начинаем с ОДЗ: 5x 2  2 x  3  0 . Найдем корни уравнения
5x 2  2 x  3  0 ; они равны x1  1, x2  3 / 5 . Отсюда ОДЗ:
 ;  3 / 5  1;   .
Упростим левую часть уравнения, заменив основание 1/6
на 6, и избавимся от корня:




1 2
x log 6 5x 2  2 x  3  x log 6 5x 2  2 x  3  x 2  2 x .
2
17




1

Вынесем (x2 +2x) за скобки. Тогда x 2  2 x  log 6 5x 2  2 x  3  1  0 .
2

Следовательно, корнями уравнения являются x1  0, x2  2 и


log 6 5 x 2  2 x  3  2  5x2  2x  39  0  x3  3, x4  13 / 5 . Учитывая ОДЗ, получим x1  2, x2  3, x3  13 / 5 .
Ответ: x1  2, x 2  3, x 3  13 / 5 .
Билет 3
1. Найти уравнение касательной к графику функции
x3
в точке с абсциссой x0  2 и угол между этой касаf x  
4 x
тельной и осью абсцисс.
2. Упростить выражение
1
1


 
a

b
1


  .
 a a  a b  b a   a 2  b ab  


3. Решить уравнение sin x  cos 4 x  cos 2 x .
4. Три числа, третьим из которых является 12, образуют геометрическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то получим арифметическую прогрессию. Найти эти числа.
5. Два бассейна наполняют водой. В одном из них уже имеется 200 м3 воды, а в другом – 112 м3. Через сколько часов количество воды в бассейнах станет одинаковым, если во второй бассейн
в час вливается на 22 м3 воды больше, чем в первый?
6. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к
гипотенузе, равна
3
см и делит прямой угол в отношении 1:2.
2
Найти катеты.
18
7. Найти область определения функции
y


lg 6  4 x  x 2
.
sin 2 x
8. Решить уравнение
9. Решить неравенство
| x 2  3x  2 |  2 x  1 .
 x   x 
4 sin    cos    3  1
2 3 2 3
 0.
2
1

  cos x 
2

10. Решить неравенство log 1 log 2 log x 1 9  0 .
2
Решения
1. Уравнение касательной y  y0  f x0  x  x0  . Найдем



 x  3  x  3 4  x   x  3 4  x 
f x   

 
4  x 2
4 x

4 x x3
4  x 
2

7
4  x 2
.
Вычислим
f x0   f 2 
7
5
и y0  f 2  .
4
2
Запишем уравнение касательной
y
5 7
  x  2 
2 4
19
 4 y  10  7 x  14  7 x  4 y  4  0 .
Обозначим  – угол между касательной и осью Ox . Известно, что
f x0   tg , тогда tg  7 / 4 и   arctg(7 / 4) .
Ответ: уравнение касательной 7 x  4 y  4  0 ,
  arctg(7 / 4) .
2. Упростим выражение
1


 
a b
1


 
 a a  a b  b a  a 2  b ab  



a b

 a a  ab  b





a b




=
    b   
a a

a b
3 

3

1

 a  a  b a 
a a  ab  b 
a b
1
1

ab  b 




1

1
.
a b
Ответ:
1
.
ab
3. Решим уравнение sin x  cos 4 x  cos 2 x . Перенесем cos 2 x
в левую часть: sin x  cos 4 x  cos 2 x  0 .
Воспользуемся формулой
cos   cos   2 sin
 

,
sin
2
2
тогда уравнение примет вид
sin x  2 sin x sin 3x  0 
20
 sin x1  2 sin 3x   0  sin x  0 или sin 3 x  1 / 2 
1
k
 x  k или 3x   1 arcsin  n 
2
 x  k или x 
1
 1k   n .
3
6 3
Ответ: x  k , x   1k
 n
, k  Z , n  Z.

18 3
4. Воспользуемся свойствами прогрессий: если три числа
(a, b, c) образуют геометрическую прогрессию, то ac  b 2 ; если три
числа (a, b, c) образуют арифметическую прогрессию, то a  c  2b .
Обозначим x и y – первые два числа. Тогда
 12 x  y 2
 x  2 y  9  2 y  912  y 2  y 2  24 y  108  0 

x  9  2 y
 y1  18, y2  6  x1  27, x2  3 .
Ответ: две геометрические
прогрессии: 3, 6, 12 и 27, 18, 12;
две арифметические: 3, 6, 9 и 27, 18, 9.
5. Пусть t – искомое число часов; x – число кубических
метров воды, которая нальется в первый бассейн за время t. К этому
моменту во втором бассейне должно быть (х + 88) м3 воды. Скорость
x 3
заполнения первого бассейна равна
м /ч, а второго бассейна –
t
x  88 3
м /ч. По условию задачи разность между скоростями составt
x  88 x
ляет 22 м3/ч. Итак,
  22  x  88  x  22t , откуда t  4 ч.
t
t
Ответ: 4 ч.
21
6. Дано: ABC – прямоугольный, CM – медиана, CM = 3 / 2 см,
ACM : MCB  2 : 1 . Найти AC и CB.
Достроим заданный треугольник до прямоугольника CADB (рис.3).
Диагонали прямоугольника в точке
пересечения делятся пополам, поэтому CD  2CM  3 см. По условию
MCB  30. В треугольнике CDB
Рис.3
DB  AC  CD sin MCB 

 3 sin 30  3 / 2 см; CB  CD cos MCB  3 cos 30  3 / 2 см.
Ответ: AC  3 / 2 см, CB  3 / 2 см .
7. Найдем область определения заданной функции:




lg 6  4 x  x 2  0
lg 6  4 x  x 2  lg 1


2
 6  4 x  x 2  0

6  4 x  x  0
sin 2 x  0
2 x  n, n  Z


Рис.4

2
6  4 x  x  1;

2
6  4 x  x  0;


 x  2 n, n  Z
(знак в первом неравенстве сохраняется, так как основание логарифма
больше единицы; второе неравенство является следствием первого,
поэтому можно его не рассматривать). Тогда, решив систему, получим (рис.4):
6  4 x  x 2  1  0
x2  4x  5  0
x  5 x  1  0;



 x   n, n  Z   x   n, n  Z   x   n, n  Z .



2
2
2



3
3


Ответ: x   5,      ,       ,      , 0   0,1 .
2  2 
2  2

 
22
| x 2  3x  2 |  2 x  1 . Найдем ОДЗ:
8. Решим уравнение
2 x  1  0  x  1 / 2 .
Теперь можно возвести обе части уравнения в квадрат:
2
| x  3x  2 | 2 x  12 . Рассмотрим два случая.
Случай 1.
x 2  3x  2  0
 x  (; 1]  [2; ) ,
 3x 2  7 x  1  0 и x 
рень x 
или
x  2x  1  0
x2  3x  2  4x2  4x  1
тогда


 7  61
. С учетом ОДЗ получим один ко6
 7  61
.
6
Случай 2. x 2  3x  2  0  x  1; 2  , тогда  x 2  3 x  2 
 4 x 2  4 x  1 и данное уравнение корней не имеет.
Ответ: x 
9. Решим неравенство
 x   x 
4 sin    cos    3  1
2 3 2 3
 0.
2
1

  cos x 
2

Найдем ОДЗ:
1
1

 cos x  0  cos x   x    2k , k  Z .
2
2
3
23
 7  61
.
6
Поскольку знаменатель положителен, исходное неравенство
 x   x 
сводится к неравенству вида 4 sin    cos    3  1  0 .
2 3 2 3
Воспользуемся формулой
2 sin  cos   sin     sin    .
y
Найдем
0
x
или
2sin x  sin  2 / 3  3  1  0
2 sin x  2 3 / 2  3  1  0  sin x  1 / 2 
 x  2k   / 6; 2k  7 / 6 .
Рис.5
С учетом ОДЗ получим
x  2k   / 6; 2k   / 3 
 2k   / 3; 2k  7  / 6 , k  Z (рис.5).
Ответ: x  2k   / 6; 2k   / 3 
 2k   / 3; 2k  7 / 6 , k  Z .
10. Решим неравенство log 1 log 2 log x 1 9  0 . Найдем ОДЗ:
2
x  1  0
 x  1  0;
x  1  1
 x  2;


ОДЗ: 

log
9

0
 x1
log x1 9  log x1 1;


log 2 log x1 9  0
log x1 9  1,
но так как неравенство log x1 9  log x1 1 может выполняться только
при x  1  1 , поэтому ОДЗ (рис.6) имеет вид
x  1
x  1
x  2
x  2


 x  2, 10 .


x  2
x  1  1

log x1 9  log x1 x  1
x  1  9
24
Исходное
неравенство:
log 1 log 2 log x 1 9  log 1 1 . Посколь2
х
2
ку основание логарифма меньше
единицы, при потенцировании
знак неравенства меняется на
противоположный. Получим
Рис.6
log 2 log x 1 9  1  log 2 log x 1 9  log 2 2  log x 1 9  2
(знак неравенства сохраняется, так как основание логарифма больше
единицы). Тогда
log x 1 9  log x 1 x  12 , 9  x  12  9  x  12  0 
 x  12  32  0  x  1  3 x  1  3  0  x  4 x  2  0.
С учетом ОДЗ (рис.6) x  4; 10  .
Ответ: x  4; 10  .
ПРИМЕРНОЕ СОДЕРЖАНИЕ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
(с решениями)
logx 2
1. Построить график функции y  x
.
Решение. Область определения функции: x  0,1  1,   .
1
Если x  0,1 , то log x 2  0 , следовательно, y  x  log x 2  .
2
log x 2
 2 (рис.7).
Если x  1,  , то log x 2  0 , поэтому y  x
25
2. При каких a, b, c система уравнений с одним неизвестным
 ax2  bx  c  0;
 2
 bx  cx  a  0;
cx2  ax  b  0 ?

y
совместна?
х
Рис.7
Решение. Если заданная система
совместна и x  q – ее решение, то
a  b  c  q 2  q  1  0 .
Так как q 2  q  1  0 при любых значениях q , то
a  b  c  0. С другой стороны, если это условие выполняется,
то система совместна, так как имеет, по крайней мере, одно решение: x  1.
Ответ: система совместна тогда
и только тогда, когда a  b  c  0.
3. AD и BC – основания трапеции ABCD, О – точка пересечения диагоналей. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно S1 и S 2 . Найти площадь трапеции (рис.8).
Решение. Проведем высоты h1 и h2 треугольников AOD
и BOC из точки О к основаниям
AD = a
и
BC = b.
Тогда
2
S

h
a
,
2
S

h
a
.
Так
как
Рис.8
1
1
2
2
 AOD подобен BOC , то
bh1  ah2  x.
Высота трапеции h  h1  h2 , поэтому ее площадь
S
ab
ab
h1  h2   ah1  bh1  ah2  bh2  S1  S2  x.
h
2
2
2
26
Так как 4S1S 2  2S1  2S 2  h1ah2b  x 2 , то
S  S1  S 2  2 S1S 2 


2
S1  S 2 .
Ответ:


2
S1  S 2 .
4. Пусть x1 и x2 x1  x2  – корни уравнения x 2  ax  b  0 .
Каковы корни уравнения
bx 2  ab  1 x  b  1  a 2  0 ?
(1)
Решение. Обозначим f  x  левую часть уравнения (1). Тогда



1
1 
1
f  x1    b  x12  2  2   ab  1  x1    b 2  2b  1  a 2 
x1 
x1 
x1 



 1

a
 x12  ax1  b  2   b   0 ,
 x1 x1



так как x1 – корень уравнения x2 + ax + b = 0. Аналогично
f x2  1 / x2   0.
Таким образом, уравнение (1) имеет два различных корня:
x1  1 / x1 и x2  1 / x2 . Других решений квадратное уравнение (1)
не имеет.
Ответ: x1  1 / x1 ; x2  1 / x2 .
5. Доказать, что если 2a  3b  6c  0 , то уравнение
ax 2  bx  c  0
(2)
имеет корень на промежутке (0,1).
Решение. Для решения задачи воспользуемся первой теоремой Больцано – Коши: если функция F(x) непрерывна на промежутке [a, b] и F(a)F(b) < 0, то уравнение F(x) = 0 имеет на промежутке
[a, b], по крайней мере, один корень.
27
Положим
f x   6(ax 2  bx  c)  6ax 2  6bx  6c  6ax 2  6bx  2a  3b  .
Тогда
f 0  2a  3b ,
f 1  4a  3b,
f 1 / 2  a / 2 .
Если a  0, то f 1 / 2   0 и x  1 / 2 – корень уравнения (2).
При a  0 положим
1 1
A  f 0 f    a 2 2  3 ;
2 2
1
1
B  f 1 f     a 2 4  3 ,
2
 2
где   b / a.
Если (2 + 3) < 0, то A < 0 и уравнение (2) имеет корень на
промежутке (0, 1/2). Если (2 + 3)  0, то (4 + 3) > 0, B < 0 и на
промежутке (1/2, 1) имеется корень уравнения (2).
Таким образом, утверждение доказано.
6. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
sin x  cos x  sin a  cos a не имеет решений на промежутке 0,  .
Решение. Перепишем данное уравнение в виде




2 sin  x    2 sin  a  
4
4


или
sin y  sin b ,
где y  x   / 4; b  a   / 4; y   / 4, 5 / 4.
28
(3)
Наибольшее значение функции z  sin y на промежутке
 / 4, 5 / 4 равно единице и достигается в точке y   / 2 ,
наименьшее значение, равное  1 / 2 , достигается в точке
y  5 / 4 .
Следовательно, уравнение (3) не будет иметь решений на
промежутке  / 4, 5 / 4 , если sin b  1 / 2 , т.е. при

 

b    5  2k, 7  2k  .
4

kZ  4
Ответ: a 

k Z 
3


  (2k  1), (2k  2 ) .
7. Решить уравнение
3
1
4
4
1
3





 0.
x x 1 x  2 x  3 x  4 x  5
Решение. Положим x  5 / 2  y. Тогда заданное уравнение
примет вид

 
 

 1
1   1
1   1
1 

  4
0
3



5 y y5 y 3 y3 y1 y1

 
 

2 
2
2 
2
2
2
или




3
1
4
  0.
2 y


2
2
2

5
3
1
 y 2   
y2   
y2    
2
2
 2  

Отсюда y  0  x  5 / 2 или
9 
1 
25 
1 
9 
25 

3 y 2   y 2     y 2   y 2    4 y 2   y 2    0 .
4 
4 
4 
4 
4 
4 

29
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим
8 y 4  48 y 2 
119
 0,
2
откуда
y2 
24  576  4  119 24  10
17
7

, y1, 2  
, y3, 4  
.
8
8
2
2
Ответ: x1 
5
5
17
5
7
; x2 , 3  
; x4 , 5  
.
2
2
2
2
2
8. При каких значениях параметра р уравнение p 2 x  2  x 
 p  1 имеет единственное решение?
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
2  1  p  21   0.
x
x
Это уравнение имеет корень x  0 при любых значениях p и не будет иметь других решений в том и только том случае, если уравнение
p  2 x  0 либо не имеет решений, либо имеет единственное решение x  0. Первый случай имеет место при p  0, второй – при p  1.
Ответ: p   , 0   1 .
9. Пусть x1 , x2 – различные корни уравнения
x 2  4 x  a  5  0.
(4)
Найти, при каких значениях параметра а выполняется неравенство


x1 x22  x1 x2  8.
(5)
Решение. Положим b  a  5 . Очевидно, b  0. Поскольку
уравнение (4) имеет два неравных корня, его дискриминант
D  4  b  0, откуда 0  b  4. Неравенство (5) перепишем в виде
30
x1 x2 x2  x1   8.
(6)
По теореме Виета x1 x2  b, x1  x2  4. Неравенство (6) дает
4b  8, откуда b  2.
Таким образом, неравенство (5) будет выполнено, если
2  b  a  5  4, или, что то же самое,
 4  a  5  4
1  a  9;

 a  7;
a  5  2
a  5  2
a  3.


Ответ: a  1,3  7,9.
10. Сколько решений имеет уравнение
висимости от значения параметра a ?
4  x 2  x  a в за-
Решение. Графиком функции y  4  x 2 , x  2 является
расположенная в верхней полуплоскости полуокружность C с радиусом 2 и с центром в начале координат.
Графиком функции y  x  a является двухзвенная ломаная
L с вершиной в точке (0, а), звенья которой составляют с осью Оy
(рис.9) углы 45 .
Из приведенных на
рис.9 построений следует:
а>2
а=2
1) при а < –2 или а > 2
–2 < а < 2
линии C и L не пересекаются
L
и, следовательно, уравнение
а = –2
не имеет решений;
2
C
2) при a  2 линии C и
а < –2
L имеют одну общую точку
х
–2
2
(0,2), поэтому уравнение имеет
единственное решение x = 0;
3) при 2  a  2 ли–2
нии C и L пересекаются в
двух точках, так что уравнение имеет два решения.
Рис.9
31
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Билет 4
1. Вычислить производную функции
f x  
 3( x  1)  x ln 3x  1 в точке x  0 .
3
3
2. Упростить выражение
1


 ab 
a b  2

a  b  
 b 1  a 1 ab a  b  
 1 .

ab
a  b 








2 x  8  x
3. Решить уравнение lg 5 5  lg 25 .
4. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 34, а сумма данного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке равна 88. Найти эти числа.
5. Решить 3 x  2  2 3 x  22  3 .
6. Решить уравнение 3 sin 2 x  4 cos 2 x  5 .
7. Найти значение параметра а, при котором система
 2 x  a  1 y  3;

a  1x  4 y  3
имеет бесконечное множество решений.
8. Решить неравенство 1  2x  1  x .
9. Решить неравенство 2 x  2 x  3  5 .
2
10. Решить неравенство x lg x   3 lg x 1  1000 .
Билет 5
1. Найти уравнение касательной к графику
f  x   x 3  3 x 2  9 x  8 , параллельной оси абсцисс.
2. Упростить выражение
32
функции


2
 1 x


 12

 1 x

1
2  2

2
4
  2 1 x


 12
.
3. Решить уравнение 3 x 1  2  5 x  2  5 x  2  3 x .
4. Турист преодолел расстояние между двумя городами за
три дня. В первый день он проехал 1/5 всего пути и еще 60 км, во
второй день 1/4 всего пути и еще 20 км и в третий день 23/80 всего
пути и оставшиеся 25 км. Найти расстояние между городами.
5. Медиана треугольника ABC, проведенная к стороне AB,
6
составляет со стороной CB угол 60 и равна
см. Найти длину
10
стороны AB, если она составляет со стороной CB угол 45.
6. Решить неравенство
x
x3

 2.
x 1 x  2
7. Решить уравнение
x2
x 1
3
 2.
x 1
x2
8. При
5
параметра
a уравнение
 4  3x  3x  4a  2 имеет решение ?
1
9. Решить уравнение sin 2 x sin 6 x cos 4 x  cos12 x  0 .
4
x
10. Решить неравенство log 2 9  4  2 x  3 .
log5 3 x  4 a  2 
каких
значениях


Билет 6
1. Второй член арифметической прогрессии составляет 88 %
от первого члена. Сколько процентов от первого составляет пятый
член этой прогрессии?
2. Упростить выражение
33





1
x
y

2

x y

x xy y





1

 xy 12 .


3. Решить уравнение 2 cos 2 x  3 sin   x   0 .
4. В равнобедренном треугольнике основание и высота равны 4 см. Вычислить радиус описанной окружности R.
5. Жидкость поступает в сосуд через три крана. Заполнение
сосуда только через второй кран требует 0,75 времени, за которое
сосуд может наполниться через один первый кран. Наполнение сосуда только через третий кран требует времени на 10 мин больше,
чем через один второй кран. Если одновременно открыть все три
крана, то сосуд заполнится за 6 мин. За какое время наполняет сосуд
каждый кран в отдельности?
4
6. Решить уравнение 2  x 
 2.
2 x 3
 xy  x  y  1;
7. Решить систему  2
2
 x y  xy  2.
8. Решить неравенство
9. Решить неравенство
x 2  4 x  4  | 5x  3 |  7 .
8
 4  log 3 x  2 .
log 3 x  2  2
10. При каких значениях параметра m оба корня уравнения
x  2mx  m 5m  3  0 отрицательны?
2
Билет 7
1 Составить уравнение касательной к графику функции
1
1
f x   sin 2 x  ln 4 x  1 в точке с абсциссой x  0 .
2
2
2. Упростить выражение
34


4

2
2 z 1 
2
1

2 
z  1  z 4  1  2






4
4
z
2
 2

z  1  z 8  1  1







3
2

1
2
z
z
.
3. Решить уравнение 9 x  6 x  2 2 x1 .
4. Решить уравнение cos3 x  cos x  sin 2 x .
5. На уборке снега работают две машины. Первая может
убрать всю улицу за 1 ч, вторая – за 0,75 % этого времени. Начав
уборку одновременно, обе машины проработали 20 мин, после чего
первая машина прекратила работу. Сколько еще нужно времени,
чтобы вторая машина закончила работу?
5
6. Треугольник, высота которого равна
см, равновелик
3
7
ромбу с диагоналями см и 5 см. Найти основание треугольника.
2
7. Решить систему

3 x  3 y  2;


 xy  27 .
8. Найти решения неравенства x 2  a  1x  a  0 в зависимости от значения параметра a .
9. Найти наименьшее значение x , удовлетворяющее неравенству x2  9 x  20  x  1  x2  13 .
10. Решить неравенство


lg 10 x 2  90 
1
3
 log x 2  6 x  9 10   1 .

2
Билет 8
1. Число увеличено на 25 %. На сколько процентов надо
уменьшить новое число, чтобы вновь получить исходное число.
2. Упростить выражение
35




 a
 

 a b
  3
3
 a2  b 2

1
1
2
1

b2

2





1

 1 1
 a 2 b 2 .



3. Решить уравнение 2 x 1  3  2 2  x  11 .
4. Решить уравнение sin 2 2 x  8 cos 2 x  0 .
5. Два печника могут сложить печь за 12 ч. Если первый
печник будет работать 2 ч, а второй – 3 ч, то они выполнят 20 %
всей работы. За сколько часов может сложить печь каждый печник,
работая отдельно?
6. В треугольнике ABC боковые стороны AB и BC равны 6 см.
На стороне AB как на диаметре построена окружность, пересекающая BC в точке D так, что BD : DC = 2 : 1. Найти длину стороны AC.
7. Решить неравенство 5 x  4 x  2  0,04 .
8. Решить неравенство
3
log 2 x  1  5 log 2 x  2  3 .
9. Решить систему
 x 2  xy  4 y 2  7;
 2
2
3x  8 y  14.
10. Пусть
x1 и x2
–
различные
корни
уравнения
3x 2  2 x  a  1  0 . Найти все значения параметра a , при которых вы-
полнено неравенство  1  x12  x22  3 x1x2  2 .
Билет 9
1. Сумма трех чисел, составляющих возрастающую геометрическую прогрессию, равна 65. Если от первого числа отнять единицу, а от третьего отнять 19, то новая тройка чисел составит арифметическую прогрессию. Найти первоначальные числа.
2. Упростить выражение
36
2
 1  a2
a  a2 
(a 2  2) 2
 1/ 2



.
 a  a 1 / 2
a1 / 2  a 1 / 2 
a3

1
1
3. Решить уравнение lg x  1  lg 5 x  1  lg x .
2
2
4. Длина садового участка на 10 м больше его ширины. Его
площадь решили увеличить на 400 м2. Для этого его длину увеличили на 10 м, а ширину – на 2 м. Найти площадь нового участка.
5. В равнобедренной трапеции задана диагональ, равная
4 см, и угол между диагональю и основанием, равный /6 . Найти
площадь трапеции.
6. Решить уравнение sin x  sin 2 x  sin 3x  0 .
7. Решить систему
7 y log 5 x  14;
 y
7  log 5 x  5.
8. Решить неравенство 2  3x  3x  2  4 .
x b 1 
9. Найти
все
решения
неравенства
 3b  2  4b  3x  6 в зависимости от величины параметра b.
x2 0.
10. Решить неравенство log 0, 2 log x
Билет 10
1. Найти точки экстремума функции f x   3 x 2 
6
.
x
2. Упростить выражение


ab
a1 / 2  b1 / 2  1 / 4 1 / 2


a b
 b 1 / 4
1/ 4
1/ 4 
 a 3 / 4  a1 / 2b1 / 4
a b 

3. Решить уравнение
1
1
4x
1
2
 2x
37
3  0.

1
.
4. Периметр треугольника равен 4,5 см, а биссектриса делит сторону на отрезки, равные 9 и 6 мм. Найти стороны треугольника.
5. Расстояние от пункта A до пункта B по течению реки катер
проходит в 1,5 раза медленнее, чем теплоход, причем за каждый час
катер отстает от теплохода на 8 км. Путь от пункта В до пункта А
против течения реки теплоход проходит в 2 раза быстрее катера.
Найти скорости катера и теплохода в стоячей воде.
6. Решить уравнение sin 2 x  sin x  cos x  cos 2 x .
7. Решить неравенство log 22  x  12  4 log 1 x  1  24  0 .
2
8. Решить уравнение 2 x 2  3x  2  2 x 2  3x  5  1 .
9. При каких значениях параметра k неравенство
x 2  2kx  | 2k  3 |  0 верно для всех значений x ?
10. Найти область определения функции
y  2 sin x  2  log 3 log 0,5 ( x  2)  2.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Дано f x   ln
1 x
. Найти, при каких значениях а и b
1 x
 ab 
f a   f b  2 f 
.
 1  ab 
2. Решить систему уравнений
 xx  1 3 x  5 y   144 ;
 2
 x  4 x  5 y  24.




3. Решить уравнение 2 x 2  x  1  7x  12  13 x 3  1 .
2
38
4. Найти сумму четвертых степеней корней уравнения
3x  x  3  0.
2
5. Решить систему уравнений
sin x 2  sin y  1;

 2

x  y  .
3

6. Решить уравнение
sin
1992  2
1

.
x
cos x
7. Доказать, что
cos
100
x
2
4
1
 cos
 .
5
5
2
8. При
каком
значении
параметра
2
 a x  a  a  0 имеет единственное решение?
a
уравнение
9. Определить сколько решений в зависимости от значения
параметра a имеет система
 x 2  y 2  9 ;

 x  y  a.
10. Доказать, что при любых значениях параметра а уравнение a  2a 2  7a x 2  a 3  4a 2  9a  6 x  5a 2  4  0 имеет хотя
бы одно решение.

3



11. Найти все значения параметра a  0 , при которых корни
уравнения a 2 x 2  ax  1  7a 2  0 будут целыми.
12. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
a cos x  sin x  2  a имеет решение.
39
ОТВЕТЫ К БИЛЕТАМ
Билет 4
1. f 0  3 3 . 2. 2ba  b  .
3. x1  5 , x2  1 . 4. 35 и 53.
5. x1  3, x2  11 / 8 . 6. x  arctg3  π n, n  Z . 7. a  3 .
8. x   ; 0 . 9. x  2 .
10. x  1000 .
Билет 5
1. y  3 , y  35 .
2
5. 0,6 см.
. 3. x  9 . 4. 400 км.
1  x4
6. x   2;  1 / 2  1;    . 7. x  11 / 8 . 8. a  5 / 4 .
 n
 k
9. x1  
, x2   
; k  Z , n  Z . 10. x  0; 1,5 .
8 4
12 2
2.
Билет 6

 k , k  Z . 4. R  2,5 см.
6
6. x  1 .
7.  1;  1,  1; 2, 2;  1 .
1. 52 %. 2. 1. 3. x   1k
5. 56/3, 14, 24 мин.
1

8. x    2,  .
3

9. x  1; 9  9; 81 .
10.  3 / 4  m  3 / 5 .
Билет 7
k
, k  Z . 5. 10 мин. 6. а=10,5 см.
2
7. 27, 1;  1,  27 . 8. При a  1 x   , a   1,   ;
при a  1 x   , 1  a,   ; при a 1 x  R . 9. x  4 .
10. x   ;  3  6;    .
1. y  3 x . 2. 2z. 3. x  0. 4. x 
40
Билет 8
3

. 4. x   k , k  Z .
2
2
5. 20 и 30 ч. 6. 2 6 см. 7. x  ;  2   0; 2  .
1. На 20 %. 2. 1. 3. x1  2, x2  log 2
8. x  1; 2 .

7  
7
7 
9.  0; 
; 2
;
 . 10.  10 / 3  a  4 / 3 .
4  
10
10 

Билет 9
1. 5; 15; 45. 2. 0. 3. x  1 . 4. 1600 м2. 5. S  4 3 см 2 .
1
k
2
6. x1 
, x2  
 2n ; k  Z , n  Z . 7. x 
, y  1.
2
3
25
8. x   ; log 3 2 .
9. x 
b
b
при b  4 , x 
при b  4 , x  R при b  4 .
b4
b4
10. 1  x  2 .
Билет 10
1. f min  f (1)  9 . 2. b / a . 3. x  0,5 . 4. 1,2 см; 1,8 см; 1,5 см.

2k
5. 12 и 20 км/ч. 6. x1 
, x2   2n ; k  Z , n  Z .
2
3
x


7
/
2
,
x 2  2 . 9.  1  k  3 .


7. x  1; 9 / 8  5;  . 8. 1
10. x  2; 3 / 4 .
ОТВЕТЫ К ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ
1. b   a, a   1; 1 .
2.  4; 4,8, 3; 0,6 .
1


3. 2; 4;  ; 1 .
2



199

 
. 5.  
. 6. x  16 m, m   83;  3; 1; 249 .
;


6
6 
81

8. a  0. 9. Нет решений при a  3 2 и a  3, одно решение
4.
41
при a  3 , два решения при a  3, три решения при a  3.
1 1 
11. a   ; ; 1 .
3 2 
1 
12. a   ; 2 .
2 
Составители: доценты В.В.Ивакин, С.Е.Мансурова, старшие преподаватели Т.С.Обручева, М.Ю.Сысоева.
Научный редактор проф. А.П.Господариков
42