МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Новосибирский государственный университет»
Факультет естественных наук
УТВЕРЖДАЮ
_______________________
«_____»__________________201__ г.
Рабочая программа дисциплины
Введение в дискретную математику
Направление подготовки
020201.65биология
Квалификация (степень) выпускника
Специалист
Форма обучения
Очная
Новосибирск
2014
Аннотация рабочей программы
Дисциплина «Введение в дискретную математику»является частью
цикла специальных дисциплин (дисциплина по выбору) ООП по
направлению подготовки 020201.65«Биология» (квалификация (степень)
специалист). Дисциплина реализуется на факультете естественных наук
Национального
исследовательского
университета
Новосибирский
государственный университет кафедрой информационной биологии ФЕН
НГУ.
Целью данного курса является изучение фундаментальных свойств
дискретныхматематических объектов, к которым относятся множества,
графы, логические функции, комбинаторные модели, алгоритмы. Знание и
овладение методами и понятиями дискретной математики необходимо
исследователю, призванному решать сложные научные задачи в области
биоинформатики. В результате изучения данной дисциплины студенты
осваивают теоретико-множественный подход к решению многих
практических задач, овладевают методами математической логики,
комбинаторного анализа, теории графов и алгоритмов.
Дисциплина преподается в 9 семестре.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы
организации учебного процесса: 25 часов лекций, 9 часовсамостоятельной
работы студента. Программой дисциплины предусмотрены следующие виды
контроля: промежуточный контроль в виде двух контрольных работ,
рубежный контроль в форме устного экзамена.
2
1. Цели освоения дисциплины
Дисциплина «Введение в дискретную математику» ставит своей целью
формирование фундаментальных знаний у студентов при изучении вопросов
теоретико-множественного описания математических объектов, основных
проблем теории графов и методологии использования аппарата математической
логики, составляющих теоретический фундамент описания функциональных
систем;приобретение навыков решения основных задач по ряду разделов
дискретной математики: теория множеств и отношения на множествах, теория
графов, функции алгебры логики;приобретение навыков самостоятельного
изучения отдельных тем дисциплины и решения типовых задач;усвоение
полученных знаний студентами, а также формирование у них мотивации к
самообразованию за счет активизации их познавательной деятельности.
Основной целью освоения дисциплины является получение студентами
навыков построения и анализа методов и алгоритмов, а также навыков
разработки и использования программных средств для анализа биологических
данных, таких как геномные и протеомные последовательности, данные о
воздействии различных веществ (включая лекарственные) на протекание
биохимических процессов в организме и т.д. Особое внимание уделено
изучению форматов представления данных генетики, молекулярной биологии и
биомедицины и изучению базовых алгоритмов их обработки.
2. Место дисциплины в структуре ООП
Дисциплина «Введение в дискретную математику» входит в цикл
специальных дисциплин (дисциплина по выбору) ООП по направлению
подготовки 020201.65«Биология».
Дисциплина «Введение в дискретную математику» опирается на
следующие дисциплины:
 Высшая алгебра;
 Математический анализ;
 Математическая статистика.
Результаты освоения дисциплины «Введение в дискретную
математику» используются в следующих дисциплинах данной ООП:

Математические методы в биологии;

Информационные технологии и языки программирования;

Компьютерная геномика;

Структурная компьютерная биология;

При подготовке дипломной работы
В результате освоения дисциплины обучающийся должензнать:
 способы задания множеств, основные операции над ними,
отношения между элементами множеств, их свойства и виды
отношений;
 отображения и функции, виды отображений, основные операции
над отображениями;
 основные
понятия
комбинаторики,
методы
решения
комбинаторных задач;
1.1 Комбинаторика
отображений и дискретные
структуры.
9
1-7
1.2
9
8
9
9-11
1.3 Булевы
функции,
представления
их
и
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу студентов и
трудоемкость
КСР
СРС
Практ.
занятие
(в часах)
Лекция
Раздел дисциплины
Неделя семестра
№
п/п
Семестр
 основные комбинаторные конфигурации, метод включенияисключения;
 основные понятия теории графов, связные графы, изоморфизм
графов;
 методы решения экстремальных задач на графах, алгоритмы
раскраски вершин и ребер графа.
Уметь:
 употреблять специальную математическую символику для
выражения количественных и качественных отношений между
объектами;
 доказывать основные теоремы теории множеств выполнять
операции над множествами, применять аппарат теории множеств
для решения задач, исследовать бинарные отношения на заданные
свойства,
 строить нормальные формы и определять функциональную полноту
систем функций алгебры логики;
 решать оптимизационные задачи на графах.
Владеть:
 практическим опытом решения задач теории множеств,
математической логики, комбинаторных и теоретико-графовых
задач,
 навыками применения языка и средств дискретной математики при
решении биологических и биоинформатических задач.
3. Структура и содержание дисциплины
Структура дисциплины предусматривает чтение лекций и самостоятельную
работу студента. Общая трудоемкость дисциплины составляет 34 часа
аудиторной нагрузки.
Формы текущего
контроля
успеваемости
(по неделям
семестра)
Форма
промежуточной
аттестации
(по семестрам)
14
6
6
4
Контрольная
работа №1
вычисление
1.4 Элементы
информации
1.5
теории
9
12-14
9
15
5
6
102
25
9
Контрольная
работа №2
экзамен
108
Курс состоит из трех разделов. Параллельно с чтением курса проводятся две
контрольные работы, направленные на проверку усвоения теоретического
материала и выявление трудных для студентов тем.
ОПИСАНИЕ СОДЕРЖАНИЯ ТЕМ ЛЕКЦИЙ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА
Комбинаторика отображений и дискретные структуры.
1. Системы счисления и кодирование натуральных чисел.
2. Отображения конечных множеств, их кодирование и подсчет числа.
3. Способы представления, порождения и перечисления комбинаторных
объектов.
4. Рекуррентные уравнения и производящие функции.
5. Дискретные метрические пространства. Булевы и к-значные гиперкубы.
Метрики на множестве слов и символьных последовательностей.
Суффиксные деревья. Префиксные коды.
6. Универсальные
слова.
Задачи
восстановления
символьных
последовательностей по их фрагментам. Коды без перекрытий.
Комбинаторная сложность слов. Последовательности де Брейна.
7. Модель синтеза генов и задачи быстрой сборки слов. Алгоритмы сборки
и сложность индивидуальных последовательностей. Повторы подсловв
символьных последовательностях.
Булевы функции, их представления и вычисление
1. Булевы функции Нормальные формы. Представления многочленами. Kзначные функции. Полнота систем функций. Схемы из функциональных
элементов.
2. Конечные автоматы и сети. Дискретная модель регуляторного контура
генной сети.
3. Методы поиска и перебора вариантов. Метод ветвей и границ.
Динамическое программирование. Понятие об алгоритмической
сводимости и универсальных переборных задачах.
Элементы теории информации
1. Случайные
символьные
последовательности.
Стационарные
и
марковские модели порождения последовательностей. Марковские цепи.
Эргодическая теорема.
2. Энтропия и информация. Сравнение вероятностного, комбинаторного и
алгоритмического подхода к понятиям информации и сложности.
3. Элементы теории кодирования. Побуквенное и блочное кодирование.
5
Неравенство
Крафта-Макмиллана.
Стоимость
и
избыточность
кодирования. Кодирование Шеннона и Шеннона-Фано. Оптимальное
кодирование, код Хаффмана.
4. Универсальное кодирование и граница его эффективности. Предсказание
и сравнение последовательностей. Предсказание стационарной
символьной последовательности. Взаимная информация и расстояние
между последовательностями.
5. Скрытые марковские модели. Построение модели по выборке. Алгоритм
Витерби.
4. Образовательные технологии
Преподавание курса ведется в виде чтения лекций и подготовке
домашних заданий. Предусмотрены также индивидуальные консультации
студентов преподавателем, написание и оценка контрольных работ.
В конце каждого лекционного занятия студентам даётся список заданий,
которые необходимо решить до следующего занятия.В конце следующей за
выдачей домашнего задания лекции студенты сдают преподавателю задачи,
заданные на дом. Кроме того, возможна сдача домашних заданий по
электронной почте или другим способом через сеть Интернет.
Помимо выдачи и приёма заданий, преподаватель консультирует
студентов в ходе решения задач. При этом если преподавателем фиксируется
непонимание одних и тех же вопросов (рассмотренных на лекциях) у двух и
более студентов, преподаватель может разобрать эти вопросы более детально
«у доски». Иногда для этих целей могут привлекаться сильные студенты,
хорошо усвоившие данный материал. Если преподавателем фиксируется
непонимание отдельных тем у 60% и более студентов, то преподаватель может
внести изменения в план следующих лекций и практических занятий с целью
более тщательной проработки трудных вопросов. Это обеспечивает большую
гибкость в формировании планов лекционных занятий.
5.
Учебно-методическое
обеспечение
самостоятельной
работы
студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Формой текущего контроля при прохождении дисциплины «Введение в
дискретную математику» является контроль посещаемости занятий, сдача
домашних заданий и написание контрольных работ.
Для того, чтобы быть допущенным к экзамену, студент должен выполнить
следующее:
 в ходе обучения посетить не менее 70 % занятий;
 сдать все домашние задания;
 написать на положительные оценки две контрольные работы.
Тема
Контрольная работа № 1
Комбинаторика отображений и дискретные
структуры.
6
Контрольная работа № 2
Булевы функции, их представления
вычисление.Элементы теории информации.
и
Пример задач для контрольной работы:
1. Найти область определения функции:
.
2. Построить график функции:
3. Найти предел числовой последовательности:
4. Найти пределы функций: a)
; б)
.
В случае отсутствия на контрольной работе по уважительной причине
(наличие медицинской справки) контрольную работу можно переписать в
течение недели от окончания срока действия справки. Контрольные работы
оцениваются по пятибалльной шкале.
Итоговый контроль. Итоговую оценку за семестр студент получает на
экзамене в конце семестра
Перечень примерных экзаменационных вопросов
1. Понятие математической логики.
2. Логика высказываний.
3. Логика предикатов.
4. Определения двоичного набора и логической функции.
5. Элементарные логические функции.
6. Логические формулы.
7. Алгебра логических функций.
8. Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы.
9. Булева алгебра и теория множеств.
10. Различные представления булевых функций.
11. Предполные классы.
12. Теорема Поста.
13. Минимальные и кратчайшие ДНФ.
14. Сокращенная ДНФ. Методы построения сокращенной ДНФ.
15. Сокращенная ДНФ монотонной функции.
16. Критерий поглощения (теорема Журавлёва).
17. ДНФ Квайна.
18. Регулярные интервалы.
19. ДНФ пересечения.
20 Методы построения тупиковых ДНФ.
21. Основные классы логических функций.
22. Теория Поста-Яблонского.
23. Понятие о минимальной логической функции.
24. Алгоритмы минимизации логической функции.
7
25. Определение предиката.
26. Операции над предикатами, кванторы существования и всеобщности.
27. Формулы логики предикатов.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
Предмет комбинаторики. Правила суммы и произведения.
Производящие функции для сочетаний и перестановок.
Циклы перестановок.
Цикловые классы.
Принципы включений и исключений в комбинаторике.
Понятие о графе. Бинарные отношения и графы. Операции над
графами.
Эйлеров цикл и критерий его существования.
Гамильтонов цикл и его свойства.
Понятие дерева.
Нормальный алгоритм Маркова.
Примитивно-рекурсивные функции.
Общерекурсивные функции.
Тезис Чёрча.
Описание и примеры машин Тьюринга.
6. Программа оценивания учебной деятельности студента
Оценка учебной деятельности студента в ходе обучения по программе
курса в течение 9семестра осуществляется в форме текущего контроля по
следующим видам учебной деятельности:
Лекции:
Оцениваются посещаемость и активная работа на лекциях
Самостоятельная работа:
Оцениваются решенные домашние задания.
Промежуточная аттестация
Промежуточная аттестация представляет собой две контрольных. Каждая
контрольная работа включает задачуи теоретический вопрос. Контрольная
работа оценивается по пятибалльной шкале.
Для того, чтобы быть допущенным к экзамену, студент должен выполнить
следующее:
 в ходе обучения посетить не менее 70 % занятий;
 сдать все домашние задания;
 написать на положительные оценки две контрольные работы.

Итоговая аттестация
8
Устный экзамен оценивается по пятибалльной шкале.
Таблица 2. Таблица пересчета полученной студентом суммы баллов за
устный экзамен по дисциплине «Введение в дискретную математику» в
итоговую оценку:
5 баллов
«отлично»
4 балла
«хорошо»
3 балла
«удовлетворительно»
2 и менее баллов
«неудовлетворительно»
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
А) Основная литеоатура
1. Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика. Изд-во МГТУ им.
Н.Э. Баумана, 2004.
2. Виленкин Н.А., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. М.:
«Фима» МЦНМО, 2006.
3. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной
математике. М.: Физматлит, 2004.
4. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.:Высшая школа,
2008.
5. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы
и сложность. М.: Мир, 1985.
6. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы. Построение и
анализ. М.: Издательский дом "Вильямс", 2005.
б) Дополнительная литература:
1. Бородин О.В. Дискретная математика: Учебное Пособие. Часть 1.
Новосибирск: НГУ, 2009.
2. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики, Т. I, под
редакцией С.В. Яблонского. М.: Наука, 1974.
3. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения: Учебное пособие / Под
ред. Рыбникова К.А./ М.: Наука, 1982.
4. Косточка А. В., Соловьева Ф. И. Дискретная математика: Учеб. пособие/
Новосиб. гос. ун-т, Мех.-мат.
фак., Каф. теорет. кибернетики. Новосибирск: НГУ, 2001.
5. Ландо С.К. Лекции о производящих функциях. - МЦНМО, 2007
6. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988.
7. Редькин Н.П. Дискретная математика. Санкт-Петербург, Москва,
Краснодар. Лань, 2003.
9
8. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория
и практика. М.: Мир, 1980.
9. Рыбников К.А.Введение в комбинаторный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1985.
10.Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики.
М.: Наука, 1982.
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
 Ноутбук, медиа-проектор, экран.
 Программное обеспечение для демонстрации слайд-презентаций.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО и с OC ВПО,
принятыми в ФГАОУ ВО Новосибирский национальный исследовательский
государственный университет с учетом рекомендаций ООП ВПО по подготовке
специалистов по направлению 020201.65«Биология».
Автор: Евдокимов Александр Андреевич, д.ф.-м. н., профессор кафедры
теоретической кибернетики ММФ НГУ
___________________
подпись
Программа одобрена на заседании кафедры информационной биологии
Факультета естественных наук НГУ 04 августа 2014 года, протокол № 9 (65).
Секретарь кафедры _____________ Т.А. Бухарина
10