Алгоритм моделирования балок и плит на неоднородном

АЛГОРИТМ МОДЕЛИРОВАНИЯ БАЛОК И ПЛИТ
НА НЕОДНОРОДНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Г. Н. Колесников, М. И. Раковская
ПетрГУ, Петрозаводск
Объектом моделирования в представленной работе является плита на упругом
основании. Такие плиты являются компонентами многих технических систем. Далее
рассматриваются плиты, применяющиеся в качестве покрытий временных автомобильных
(например, лесовозных) дорог. В этом случае основание плиты образовано, как правило,
увлажненными грунтами с низкими распределительными свойствами, вследствие чего
достаточно адекватная математическая модель может быть построена на основе гипотезы
Винклера [1].
С использованием данной гипотезы разработана дискретная модель плиты на
неоднородном упругом основании, которое имитируется системой односторонних связей,
сопротивляющихся только сжатию. Плита моделируется системой конечных элементов.
Указанные односторонние связи расположены в узлах сетки конечных элементов. Задача
заключается в определении напряженно-деформированного состояния плиты при
известной эксплуатационной нагрузке и нагрузке от собственного веса плиты.
Решение рассматриваемой задачи может быть сведено к определению точки
условного минимума функции потенциальной энергии [2]. При этом используются
методы решения задач квадратичного программирования.
Другой подход базируется на применении методов решения линейной задачи о
дополнительности [3]. Разработке соответствующих алгоритмов посвящено большое
число публикаций. Наибольшую известность получил достаточно универсальный
алгоритм Лемке [4]. Однако алгоритмов, эффективных в вычислительном отношении при
моделировании конструкций с большим числом односторонних связей, в частности –
балок и плит на упругом основании, предложено не было, что показано, например, в
статье [5].
С учетом специфики задачи в предпринятом исследовании построена модель и
апробирован алгоритм, который оказался более эффективным по отношению к ряду
известных алгоритмов, предназначенных для решения линейной задачи о
дополнительности при моделировании конструкций с односторонними связями.
Эффективность алгоритма объясняется тем, что, не обладая избыточной
универсальностью, алгоритм является адекватным многочисленным задачам
рассматриваемого класса.
Вычисления по данному алгоритму сводятся к выполнению Жордановых
исключений над исходной системой уравнений метода конечных элементов. Данная
система уравнений формируется с использованием стандартных алгоритмов,
применяемых в известных программных комплексах по расчету конструкций методом
конечных элементов [2]. В качестве разрешающих элементов при выполнении
Жордановых исключений используются диагональные элементы модифицируемой
матрицы жесткости. Отличительная особенность разработанной модели – очередность
Жордановых исключений, которая определяется известным критерием [6, 7].
Анализ напряженно-деформированного состояния системы с односторонними
связями по одному из вариантов разработанной методики может быть выполнен с
использованием
указанных
выше
стандартных
программных
комплексов,
предназначенных для расчета конструкций методом конечных элементов.
В целях проверки достоверности результатов моделирования выполнено решение
ряда тестовых примеров. Проведено также сравнение результатов моделирования плиты
дорожного покрытия с известными по литературе данными натурных испытаний. Во всех
случаях получены адекватные результаты. Результаты тестирования позволяют сделать
вывод о целесообразности применения разработанной модели для анализа напряженнодеформированного состояния балок и плит на упругом основании.
Литература
1. Горбунов-Посадов М. И. Расчет конструкций на упругом основании / М. И.
Горбунов-Посадов, Т. А. Маликова, В. И. Соломин. М.: Стройиздат, 1984. 679 с.
2. Перельмутер А. В. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа /
А. В. Перельмутер, В. И. Сливкер. Киев: Изд-во "Сталь", 2002. 600 с.
3. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и
невыпуклые функции энергии: Пер. с англ. / П. Панагиотопулос. М.: Наука, 1989.
494 с.
4. Ловцов А. Д. Алгоритмы линейной задачи дополнительности в применении к
расчету систем с односторонними связями / А. Д. Ловцов // Тез. докл. XX
Междунар. конф. "Математическое моделирование в механике сплошных сред.
Метод граничных и конечных элементов", 24–26 сент. 2003. СПб., 2003. С. 128–
129.
5. Pfeiffer F. Multibody systems with unilateral constraints / F. Pfeiffer // J. Appl. Math.
and Mech. 2001. Vol. 65 (4). P. 665–670.
6. Колесников Г. Н. Дискретные модели механических и биомеханических систем с
односторонними связями / Г. Н. Колесников; ПетрГУ. Петрозаводск, 2004. 204 с.
7. Колесников Г. Н. Закон очередности перехода односторонних связей в
действительное состояние и его применение в математических моделях упругих
механических систем / Г. Н. Колесников; ПетрГУ. Петрозаводск, 2003. 20 с. Деп. в
ВИНИТИ 21.05.03, № 981-В2003.