О формировании универсальных компетенций через

О ФОРМИРОВАНИИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ ЧЕРЕЗ
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА УРОКАХМАТЕМАТИКИ
Л. Н. Удовенко
Московский педагогический государственный университет, Москва, Россия
e-mail: l.udovenko@rambler.ru
Перед современным образованием в ряд приоритетов поставлены серьезные задачи. Математическому образованию в решении этих задач отводится особая роль, поскольку независимо от того, станет в будущем школьник математиком или нет, знания,
умения, навыки и способы деятельности, которые воспитываются при обучении математике, потребуются каждому в последующей практической деятельности.Эти образовательные задачи условно можно разделить на две группы. К одной группе относят задачи формирования предметных компетенций [1]. Традиционно предметные компетенции связывают с формированием математических знаний, умений, навыков, способов
деятельности при решении математических задач. К другой группе относятся задачи,
связанные с формированием у школьников надпредметных компетенций. К их числу
могут быть отнесеныметапредметные, универсальные компетенции. Например, формирование у обучаемых умений и готовности работать в коллективе; ориентироваться на
рынке труда; связывать свою карьеру с продолжением образования; менять профиль
деятельности в зависимости от изменений в стратегии развития экономики; самостоятельно работать с информацией; принимать решения и т.д. [2, 3].
В этой связи обучение математике оказывается наиболее эффективным, если оно
осуществляется в условиях специально организованной деятельности, «связанной с
классификацией объектов, конструированием объектов с заданными свойствами из заданных частей, построением логических схем, программ деятельности, использованием
при решении задач преобразований и инвариантов и т.д.» [4, С. 216], понимаемой как
логическое конструирование (Н.Я. Виленкин, А.Я. Блох).Такая деятельность может
быть разнообразно организована на всех этапах обучения математике через задачи, которые мы будем называть задачами логического конструирования. К их числу относим:
а) задачи расчленения на части; б) задачи классификации; в) задачи конструирования
объекта из заданных частей с заданными свойствами г) задачи по построению логических схем; д) задачи по составлению программ деятельности; е) задачи на использование преобразований и инвариантов.
Решая такие задачи, формируем у обучаемых инструментальные средства математики (в т.ч., предметные компетенции), а также определенные умственные действия,
способности (универсальные компетенции): «1) умение планировать структуру действий, необходимых для достижения заданной цели с помощью фиксированного набора
средств; 2) умение строить информационные структуры для описания объектов и систем; 3) умение организовать поиск информации, необходимой для описания объектов
и систем; 4) умение правильно, четко и однозначно сформулировать мысль в понятной
собеседнику форме и правильно понять текстовое сообщение» [4, С. 214].
Как показывает практика обучения школьников основной, старшей школы и
студентов первых курсов образовательных организаций высшего образования, если
предметные и универсальные компетенциив целом у обучаемых сформированы, то в
последующем они не испытывают значимых затруднений при освоении программного
материала разных дисциплин, не только математических. Они легче ориентируются и в
выборе основных долгосрочных образовательных приоритетов, и в построении краткосрочных образовательных траекторий, практически безошибочно определяя ключе-
вые.Так, у студентов первого курса можно практически безошибочно оценить их образовательные возможности. Для этого на одном из первых занятий,например, по аналитической геометрии, достаточно предложить такие задачи [5].
1. Найти площадь треугольника, заданного вершинамиА (2,3), В (4, -1) и С (6, 5).
2. Выяснить, лежат ли на одной прямой точкиА (1,3), В (2, 4) и С (3, 5).
С помощью нехитрого алгоритма (формулы) первая задача,как правило, решается без затруднений.Со второй задачей редко кто из студентов справляется самостоятельно, хотя и она решается по тому же алгоритму, что и первая. Анализ затруднений
выявил отсутствие или крайне слабую сформированностьи предметных, и универсальных компетенций у студентов, не решивших самостоятельно вторую задачу. Студентам
сложно предположить, что решение надо искать в школьном определении понятия
«треугольник», фигуры, состоящей из трех точек, не лежащих на одной прямой, последовательно соединенных отрезками. Из текста определения или из их попыток
вольного описания треугольника, которое им предлагается попытаться сделать самостоятельно, выпадают точки – вершины, которые не должны лежать на одной прямой.
Студенты вспоминают о сторонах [не идентифицируя их с отрезками], об углах, но
точки как геометрические объекты, определяющие треугольник, для них оказываются
потерянными. После совместного «нахождения» точек-вершин еще более тяжким для
студентов оказывается выявление отношения принадлежности, тогда как во второй задаче появляется еще и отношение «лежать между». Возможно, что именно так [одна
между двумя другими] расположены данные точки, а если так, то данный треугольник
«вырождается» в отрезок, на котором одна из точек оказывается в отношении «лежать
между». Младший школьник не испытывает затруднений в изображении такого «треугольника» и видит, что у него «нет площади».Студент-первокурсник, теряет в определении треугольника утверждение о трех точках, не лежащих на одной прямой, но изображает треугольник, вершины которого не лежат на одной прямой.
Показателенитакойпример [6]:
3. Найтиуглымеждукаждойпаройвекторов𝑎⃗, 𝑏⃗⃗и𝑐⃗, если|𝑎⃗| = 1, |𝑏⃗⃗| = 4, |𝑐⃗| = 3и
𝑎⃗ +
𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗ = 0.
Старшие школьники и студенты первого курса пытаются решать задачу, вспоминая различные свойства векторов. Попытки изобразить векторы, удовлетворяющие
условию
𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗ = 0
делаются без учета данных в задаче длин. В
результате не выявляется коллинеарность данных векторов в то время, когда ученики 8
классов, недавно познакомившиеся с понятием вектора, видят, что данные векторы
можно «уложить в одну прямую» и получить ответ.
Серьезные затруднения у обучаемых вызывают задачи, решения которых основываются на преобразованиях плоскости. Приведем пример.
4. Даны два различных равнобедренных треугольника, основания которых лежат на одной прямой (Рис. 1). Проведите прямую, параллельную основаниям, отсекающую внутри этих треугольников равные отрезки.
l
Рис. 1
Рис. 2
Не для всех обучаемых оказывается очевидным решение, состоящее в наложении этих треугольников друг на друга так, чтобы их основания по-прежнему лежали на
одной прямой, а высоты, опущенные на эти основания, совпали (Рис. 2).
В современных условиях нечасто школьники и студенты проявляют гибкость в
процессе поиска решения задачи, не стремятся к нахождению простого, но изящного
решения, не видят красоты математических формул, геометрических фигур. Эти соображения утвердили нас в целесообразности использованияпри обучении математике
идеи логического конструирования через задачи, разумно используя алгоритмический
подход, формируя последовательные, алгоритмические действияпри поиске решения.
Будем считать, что алгоритмические действия учащимися проводятся, если они
выполняют некоторую последовательность действий в строго определенном порядке.
При этом говорят, что они должны действовать по алгоритму, не отклоняясь от заданных указаний, данных в алгоритме - предписании.Очевидно, что алгоритмы бывают
разными и по внутренней структуре, и по количеству содержащихся в алгоритме указаний выполнить действие. Будем понимать, что по внутренней структуре бывают алгоритмы линейные, разветвляющиеся и циклические. Число указаний, действий, которые
требуется выполнить, следуя алгоритму, обычно называют числом шагов данного алгоритма. Будемназыватьихалгоритмическимидействиями.
Прирешениизадачобучаемыечастоиспользуютужеготовыеалгоритмы. Такие задачи называют стандартными. При решении стандартных задач выбор и применение
алгоритма оказывается не всегда простой проблемой для учащегося. Это зависит и от
того, какой вид алгоритма нужно выбрать: линейный, разветвляющийся или циклический, и от того, сколько шагов содержит алгоритм. Самыми простыми для восприятия,
понимания и применения являются линейные алгоритмы. Более сложными - разветвляющиеся, а затем циклические.
Если говорить о числе шагов, содержащихся в алгоритме, то алгоритмы, состоящие из 1-2 шагов, являются для обучаемых самыми простыми. Алгоритмы, содержащие 3-5 шагов - условно простые. Затем мы выделяем по степени сложности алгоритмы, состоящие из 5-8 шагов, из 9 шагов и более. Рассматривая алгоритмы и по видам
(линейный, разветвляющийся, циклический), и по числу шагов, мы определили степень
сложности по усвоению алгоритмов учащимися, что представлено в таблице 1.
Таблица 1.
1-2 шага
3-5 шагов
5-8 шагов
9 шагов и более
А
А
B
C
Линейные
B
B
C
D
Разветвляющиеся
B
B
C
D
Циклические
Самыми простыми для освоения оказываются алгоритмы группы A (простые алгоритмы), более сложными оказываются алгоритмы группы B (условно простые алгоритмы), затем C (условно сложные алгоритмы) и самыми сложными - (сложные) алгоритмы группы D. Линейные алгоритмы решения задач числовой линии, состоящие из
1-2 шагов, осваиваются школьниками на этапе дошкольного и начального обучения.
Качество их усвоения определяет успешность освоения и других групп алгоритмов.
Деятельность по применению известного алгоритма предваряет деятельность обучаемых по выбору алгоритма их множества известных, а затем по нахождению подходящего алгоритма для решения задачи. Связывая решения задач логического конструированияс некими алгоритмическими действиями, рассмотрим некоторые примеры. Уже в
начальной школе учащиеся встречаются с выполнением заданий, решение которых явным образом сводится к: а) анализу условия и требования; б) поиску пути решения;
в) решению и проверке; г) выделению серии заданий со сходными условием и требова-
нием, поиском пути решения и решением; д) составлению предписания или алгоритма
решения данной серии задач; е) осознанию и закреплению алгоритмического действия.
Осознанием алгоритмического действия мы считаем понимание учащимися правильности каждого шага данного предписания как наиболее рационального.
Возвращаясь к задаче 1 видим, что ее решение состоит из трех алгоритмических
действий: 1) подставить координаты точек в определитель третьего порядка; 2) вычислить полученный определитель; 3) сделать вывод о том, что абсолютное значение
определителя есть искомая площадь. Алгоритм линейный, относится к группеA. Решение задачи 2 производится практически по тому же алгоритму, за исключением третьего шага, на котором происходит ветвление (алгоритм группы B): если значение определителя равно 0, то данные точки лежат на одной прямой; если значение определителя
отлично от нуля, то данные точки не лежат на одной прямой. Отличие этих двух задач
состоит в том, что для первой готовый алгоритм в виде формулы обучаемым предъявляется в явном виде. Вторая задача может быть безошибочно решена по той же формуле, если обучаемые обладают универсальными компетенциями, позволяющими не
только пассивно фиксировать в памяти освоенные методы решения задач, но и активно
их использовать при решении сходных и иных задач. Возможно предъявление алгоритма решения задачи 2 с целью его непосредственного использования (имеются сторонники такого подхода, в основном связанного с программированным обучением).
Тогда задача 2 потеряет свою образовательную и развивающую ценность, она может
быть использована только для отработки навыка вычисления значения определителя
третьего порядка, не более. Однако ценным для нахождения решения (алгоритма) для
этой задачи является знание и понимание треугольника как геометрического объекта.
Для таких несложных задач предъявление готовых алгоритмов решения является не
просто бессмысленным, но и вредным. Задача 1 и подобные ей - задачи, решения которых основывается на непосредственном использовании готового алгоритма. Задача 2 и
подобные ей - задачи, требующие минимальных рассуждений, обоснований и самостоятельного выбора пути решения, из которого сложится алгоритм, некоторые шаги которого обучаемым уже известны. Задача 3- задача с векторами, но по-прежнему мы работаем с треугольником. Эта планиметрическая фигура для нас из объекта изучения
превратилась в средство освоения элементов векторной геометрии. В задаче 3 нам помимо умения наглядно представлять образы векторов важно реализовать умение строить треугольник по трем заданным сторонам. Такой нехитрый навык, который должен
отрабатываться в школе, оказывается определяющим для получения результата. Из
курса аналитической геометрии нам понадобятся только сведения о нахождении углов
между направленными осями. Задачи 2 и 3 требуют от обучаемых несложных умственных усилий по нахождению пути решения и по составлению алгоритма. Сходны и
наглядные модели, приводящие к изображению треугольника. В задаче 3 явным образом требуется его построение. В задаче 2 треугольник образуется только в случае появления подвижной точки. При этом решение задачи 3 для студентов более затруднительно, чем решение задачи 2. Мы связываем это с тем, что студент, изучая теоретический курс аналитической геометрии, интуитивно стремится к нахождению среди множества формул, появившихся в теории, той, с помощью которой можно получить ответ.
Попытки найти нужную формулу,подходящий алгоритм отвлекают обучаемого от проведения простых мыслительных действий, состоящих в конструировании объектов из
заданных частей с заданными свойствами. Именно это мыслительное действие и лежит
в основе решения задачи 3, более сложное по своей внутренней структуре, нежели
мыслительное действие расчления на части, лежащее в основе решения задачи 2.Алгоритм, с помощью которого решается задача 3, условно можно разбить на 5
шагов: 1) изобразим на плоскоститри произвольных вектора, сумма которых равна. 0
(Рис. 3);
2) условно соотнесем построенным векторам длины; 3) поскольку
𝑐⃗𝑎⃗
длина одного из векторов равна сумме двух других, следовательно,
⃗⃗
𝑏
все три вектора должны оказаться на одной прямой; 4) строим колРис. 3
линеарные векторы. Теперь начинается ветвление для каждой пары векторов.5.1) 𝑎⃗↑↑𝑐⃗,
значит 𝑎⃗ и 𝑐⃗ образуют угол в 0°; 5.2) 𝑎⃗ ↑↓ 𝑏⃗⃗ , значит они образуют угол в 180°; 5.3) 𝑏⃗⃗ ↑↓
𝑐⃗, следовательно 𝑏⃗⃗и 𝑐⃗образуютугол в 180°. Задача может быть отнесена и к группе B, и
к группе C. Подобная двусмысленность определяется степенью подготовленности обучаемого в области предметных знаний, умений, способов деятельности.
Особым образом по отношению к предыдущим задачам может быть рассмотрена
задача 4. Ее решение опирается на мыслительные действия, связанные с использованием преобразований и инвариантов. В данном случае алгоритм решения нужно представить в виде мысленного образа, догадываясь о возможности перемещений фигур относительно друг друга особым образом. И если задачи 2 и 3рядоположены, то задача 4 задача особого уровня, демонстрирующая достаточнуюсформированность образного
мышления, пространственного воображения, умения к проведению мыслительных действий во внутреннем плане, завершению обоснования и созданию алгоритма под это
обоснование, что может быть охарактеризовано только через исследование путей формирования алгоритмических действий, составляющих универсальные компетенции.
Литература
1. Хуторской А.В. Ключевые компетенции и образовательные стандарты : Доклад на
Отделении философии образования и теоретической педагогики РАО, 23 апреля 2002 г.
– http://www.eidos.ru/news/compet.htm - e-mail: info@eidos.ru.
2. Концепция развития математического образования в Российской Федерации / Распоряжение Правительства Российской Федерации № 2506-р от 24.12.2013 г. – 10 с. URL:
http://www.math.ru/conc/vers/2412-R2506.pdf (дата обращения: 14.01.2014).
3. Удовенко Л.Н. Развитие логической культуры средствами логического конструирования при обучении математике в 5-6 классах [Текст] :Дис. …канд. пед. наук. – М.,
1996.- 236 с.
4. Виленкин Н.Я., Блох А.Я., Таварткиладзе Р.К. Воспитание мыслительных способностей учащихся в процессе обучения математике // Современные проблемы методики
преподавания математики: Сб. статей / Сост. Н.С.Антонов, В.А.Гусев.- М.: Просвещение, 1985.- С. 201-221.
5. Минорский В.П. Сборник зада по высшей математике: Учеб.пособие для втузов. – М.
: Издательство Физико-математической литературы, 2003. – 336 с.
6. Малугин В.А. Линейная алгебра для экономистов : Линейная алгебра : Задачи и
упражнения : учебное пособие для вузов / В.А. Малугин. - М. :Эксмо, 2006. - 176 с.