темы и типовой вариант заданий с решениями для итогового

Темы заданий итогового тура олимпиады ИТМО
по математике
1. Упрощение алгебраических выражений. Многочлены, их корни, теорема Виета.
2. Рациональные и иррациональные уравнения.
3. Рациональные и иррациональные неравенства. Метод интервалов.
4. Упрощение показательных, логарифмических и тригонометрических выражений и
нахождение их значений.
5. Показательные и логарифмические уравнения.
6. Системы уравнений.
7. Метод координат в геометрии, векторы.
8. Функции: область определения, множество значений. Обратная функция.
9. Последовательности и прогрессии. Текстовые задачи.
10. Задачи с параметром (возможно применение производной).
Типовой вариант итогового тура олимпиады ИТМО
по математике
Состоит из 10 заданий.
Задача 1. Пусть x1, x2 - корни уравнения x 2  2 x  4  0 . Составить уравнение,
корнями которого будут числа x1  3x2 и 3x1  x2 .
Решение. x1  x2  2; x1x2  4 . Тогда сумма x1  3x2  3x1  x2  4  x1  x2   8 , а
произведение  x1  3x2  3x1  x2    x1  x2   4 x1x2  4 . Поэтому искомое уравнение
2
имеет вид: x 2  8 x  4  0 .
Ответ: x 2  8 x  4  0 .

Задача 2. Решить уравнение: x2  6 x  9


2
 x3  4 x 2  9 x .
Решение. Перепишем уравнение в виде x2  6 x  9

2


 x x 2  4 x  9 , а затем
2
9
9

разделим обе части на x , тогда получим возвратное уравнение  x  6    x  4  .
x
x

9
t  8
2
Обозначим t  x  , уравнение примет вид  t  6   t  4  t 2  13t  40  0  
x
t  5.
2

9

 x  1
x


8
2



x  8x  9  0
x
Таким образом, получим 

  x9 .
 x 2  5 x  9  0
x  9  5


 x  5  61
x

2
Ответ: 1;9;
Задача 3. Решить неравенство:
5  61
.
2
2x  5  3  x   5 4x  7   x  2  0 .
2
Решение. ОДЗ x  2,5 . Отметим нули левой части неравенства на оси x .
Методом интервалов получаем x 2,5
2 1,75; 3 .
Ответ: x 2,5
2 1,75; 3 .
sin 2 175 sin100  cos 2 265

Задача 4. Упростить:
.
1  cos 740
8cos 2 355
Решение. Воспользуемся формулами приведения, а затем формулами
понижения степени и двойных углов и получим
sin 2 180  5 
8cos 2  360  5 


sin  90  10   cos 2  270  5 

1  cos  720  20 
sin 2 5 cos10  sin 2 5 sin 2 5 cos10  sin 2 5




1  cos 20
8cos 2 5
8cos 2 5
2sin 2 10


cos 2 5  sin 2 5  sin 2 5 sin 2 5 cos 2 5  sin 2 5 1
sin 2 5

 .



8
8cos 2 5
8cos 2 5
8cos 2 5
8sin 2 5  cos 2 5
1
Ответ: .
8
Задача 5. Решить уравнение: x1 lg x  100
Решение. ОДЗ: x  0 . Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10,
тогда получим квадратное уравнение для lg x вида lg x 1  lg x   2 , откуда найдем
корни x  10 и x  102 .
Ответ: x  10; x  102 .
 x
y
42


1

x
xy
Задача 6. Решить систему уравнений:  y
.

 x xy  y xy  520
Решение. Заметим, что ОДЗ системы xy  0 . Преобразовав второе уравнение
системы к виду
xy  x  y   520 , получим, что x  y  0 , а с учетом ОДЗ будем иметь:
x  0, y  0 . Далее, разделив второе уравнение системы на xy , получим:
 x
y
42


1

x
xy
 y


x
y 520




y
x
xy

Пусть
520
 42

1


xy
 xy

 x  y  520 .
 y
x
xy

xy  t , t  0 , тогда первое уравнение будет иметь вид
  t  10

t 2  42t  520  0   t  52
 t  0.

Теперь решим систему для переменных x и y :
 xy  100
 y  100 x
 y  100 x
y

100
x





,
 2
  x  2
y 520   x 10
 x




5,2
 x  52 x  100  0  

 y
10 x
x
xy

  x  50

x  2
 x  50
откуда найдем 
или 
 y  50
 y  2.
Ответ:  2;50  ,  50;2 .
Задача 7. Найти площадь четырехугольника, вершины которого находятся в
точках A(0;0), B(2; 2), C (6;0) и D(4;2).
Решение. Сделаем рисунок.
Найдем координаты векторов AB и DC . Так как AB  2;  2  DC  2;  2 , то этот
четырехугольник – параллелограмм. Его площадь S  6  2  12 .
Ответ: 12.
Задача 8. Найти множество значений функции: y 
x 2
.
x2
x  2
 y  1.Если
x2
 1, x  0
x2
4

 y 1
x  0 , то y 
. Нарисуем график функции y  
.
4
x2
x2
1

,
x

0
 x  2
Решение. Заметим, что при x  0 функция имеет вид y 
По рисунку определим, какие значения принимает функция: y   ; 1  1;  .
Ответ: y   ; 1  1;  .
Задача 9. Разность первого и второго членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии на 18 меньше суммы всех следующих за ними членов
прогрессии, а сумма членов, стоящих на четных местах, равна 4. Найти эту
прогрессию.
Решение. Обозначим через b1 и q, q  1, первый член и знаменатель
геометрической прогрессии соответственно.
Далее заметим, что сумма членов, стоящих на четных местах, определяется по
b1q
формуле b2  b4  b6   b2n  
, а сумма следующих за первым и вторым
1  q2
членами  по формуле b3  b4  b3 
 bn 

b1q 2
1 q
.Тогда составим систему
 

b1q 2
q2 
b1 1  q 
,
  18,
b1  b1q  18 
1  q 
1 q

 
уравнений 

b
q
 1 4
 b1q
1  q 2
1  q 2  4.


Разделим первое уравнение системы на второе и получим:
 q  2,
4q 2  7 q  2  0  
 q  0, 25.
Решение q  2 не удовлетворяет условию q  1 , значит,
q  0,25,

4

2 
b


1

q
 1 q



q  0,25,

b1 15.
Ответ: b1 15, q   0,25.
Задача 10. Определить число корней уравнения x3  3x  1  a при каждом значении
параметра a .

 y  x3  3 x  1
Решение. Заданное уравнение равносильно системе 
.
ya


Переформулируем задачу: при каждом значении параметра a определить число точек
пересечения графиков заданных функций. Для построения графика функции
y  x3  3x  1, заданной на множестве всех действительных чисел, найдем точки
экстремума, вычислив производную:
y  3x 2  3  y  0  3x 2  3  0  x  1.
Производная положительна на интервалах  ; 1  1;   и отрицательна на
интервале  1;1 . При переходе через стационарную точку х  1 производная меняет
знак с плюса на минус, значит, точка х  1  точка максимума функции и
ymax  y  1  3 . При переходе через стационарную точку х  1 производная меняет
знак с минуса на плюс, значит, точка х  1  точка минимума функции и
ymin  y 1  1 .Используя результаты исследования, построим график этой функции.
Функция y  a представляет собой горизонтальную прямую.
Тогда можно получить ответ: при а  1, a  3 - 1 решение; при а  1, a  3 - 2
решения; при 1  а  3 - 3 решения.
Ответ: при а  1, a  3 - 1 решение;
при а  1, a  3 - 2 решения;
при 1  а  3 - 3 решения.