Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений

Авторская разработка учебного кейса в рамках практической
части сетевого проекта «Современный урок: кейс-метод»
Тема: «Задачи на отыскание наибольших и наименьших
значений величин. Задачи на оптимизацию»
Класс- 10 профильный класс физико-математического направления
Время занятия – 1 час 30 минут
Вид кейса – обучающий
Тип кейса – эвристический
Цели занятия:
- выявить, как подросток мыслит и как умеет применять теоретические
знания на практике;
- умения формулировать вопрос, аргументировать ответ; выработка
навыков простейших обобщений;
- получение навыков решения реальных проблем;
- получение навыков работы в команде;
- стимулирование деятельности учащихся для достижения успеха;
- проба «примерки» конкретной профессии, чтобы определиться с
выбором в будущем.
Проблемное задание.
Строительство жилья является приоритетным направлением современной
России. Происходит замена ветхого жилья и постройка нового, это и
правительственные программы, и муниципальные программы, и личные
планы.
Развитие строительного сектора во многом определяет качество жизни
людей. Современные красивые здания, комфортные жилые дома являются
ярким подтверждением успешности развития того или иного региона.
Строительство жилья, предоставление участков многодетным семьям,
активное развитие инвестиционных площадок и комплексная застройка
нашего города в 2013 году – главная задача строительного отдела
администрации и управления архитектуры и градостроительства г.Батайска
Представьте себе, что вам выделен участок земли и вы заказываете
постройку дома, или Вы являетесь застройщиком. Задача застройщика:
выполнить условия, представленные заказчиком. Заказчик ставит условие:
при заданном значении периметра площадь дома должна быть наибольшей.
Представить разные варианты решения этой жизненно важной проблемы.
Составить алгоритм решения задачи на оптимизацию.
Содержание кейса
1. Историческая справка
2. Ключевое задание
Задача
Уточнение задания
3. Дополнительная информация
Разные способы решения задачи
Этапы метода математического моделирования
Применение производной функции
4. Список литературы
Организация работы с кейсом.
Сам кейс предоставляется ученикам непосредственно на занятии. На
его изучение, ознакомление с ним отводится около 15 минут времени
занятия.
Класс разбивается на 4 подгруппы.
Затем организуется работа в подгруппах по поиску решения
поставленной проблемы. Преподаватель консультирует учеников, ученики в
подгруппах обсуждают варианты, объясняют непонятные моменты друг
другу. Этот этап занятия имеет длительность около 30 минут.
На следующем этапе организуется обсуждение вариантов решений
подгрупп, что занимает по времени также около 30 минут.
Итоговая часть занятия занимает около 15 минут и посвящена
подведению итогов, обобщению полученных результатов. В рамках итоговой
части преподаватель организует процедуру оценки предложенных
подгруппами вариантов решений. Критерии для оценки преподаватель
разработал вместе с обучающимися на самом занятии. В конце занятия
поводятся итоги. Каждый правильный ответ оценивается по10-ти бальной
оценочной шкале. Группа с наибольшим количеством баллов и без
штрафных очков получает отметку 5. Обращаем внимание на таблицу, в
которой есть графа – штрафы. Группа будет получать штрафные очки, если
во время выступления кто-то из участников подгруппы будет делать
замечания вслух, обсуждать свои вопросы, другими словами вести себя
некорректно по отношению к другим товарищам.
Ход занятия
Вступление. Учитель: « В жизни человек сталкивается с множеством
важных для себя вопросов, проблем, задач. Рассматривая многообразие
ответов, каждый из нас сравнивает их, ищет более рациональные,
оптимальные пути решения. Рассматривая математические задачи на
нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, постарайтесь
представить разные способы решения задачи и составить алгоритм решения
задач такого вида.
Сегодня мы работаем в ролевых группах заказчики, проектировщики,
строители.
Заказчики – формируют проблему, проводят экспертизу, делают
выводы о решении, выносят резюме.
Проектировщики и строители – предлагают разные варианты решения
поставленной задачи, предлагают алгоритм решения задачи на
оптимизацию».
Первая часть занятия (30 минут). Ознакомление с предложенным
материалом.
Историческая справка
1. Выписка из информационного сайта газеты «Вперед»:
Жильё долгожданное
- Главная ежегодная задача для нас - это выполнение плана по вводу жилья,
на ней сосредоточены все усилия как строительного отдела администрации,
так и управления архитектуры и градостроительства. В 2012 году в Батайске
построено и сдано в эксплуатацию 411 жилых домов, из них 400
индивидуальных и 11 многоквартирных общей площадью 92 тысячи
квадратных метров. И в 2013 году мы будем реализовывать годовой план по
строительству жилья.
С заботой о сиротах и многодетных
- Батайские многодетные семьи очень надеются, что в этом году им
предоставят участки под строительство жилья. Будет ли это сделано?
- Разумеется. Это одна из неотложных задач, которыми мы планируем
заниматься в 2013 году. В прошлом году было сформировано 106
участков общей площадью 6,9 гектара на улице Клеверной – это
продолжение Октябрьской, готовится проект планировки и межевания
территории в 13 гектаров на улице Цимлянской, там будет выделен 231
участок. Проблема заключается в том, что в нашем городе на сегодняшний
день 623 многодетные семьи, из которых более 450 уже обратились за
постановкой на учет для бесплатного получения земельных участков.
2. Готфрид Лейбниц (1646 - 1716)
Немецкий философ, математик, физик, юрист, историк, языковед. С 1676 г.
на службе у ганноверских герцогов. Основатель и президент с 1700г.
Бранденбургского научного общества (позднее Берлинский АН). По личной
просьбе Петра1 Лейбниц разработал программу образования и
государственного управления в России. Лейбниц предвосхитил принципы
современной математической логики. Он является одним из создателей
дифференцируемых и интегральных исчислений.
Научные труды его бессмертны...
Начиная с XVII в. Одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно
сыграло, и поныне играет большую роль в познании реального мира. Идея
функциональной зависимости восходит к древности, но однако явное и вполне
сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной
зависимости берут свое начало от XVII в. в связи с проникновением в математику идей
переменных. В работах Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный
характер и было связано либо с геометрическими, либо с математическими
представлениями. Слово «функция» Лейбниц употреблял с 1673 г. в
смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем
смысле выражение «функция от х» начало употребляться Лейбницем с 1698г.
Математик вводит также значение слов « переменная» и «константа».
В конце XVII в. в Европе образовались две крупные математические
школы. Главой одной из них был Лейбниц. Как он сам, так его ученики и
сотрудники вели здесь углубленные работы по изучению алгорифмов.
Вторую школу возглавлял Ньютон, она состояла из английских и
шотландских ученых. Обе школы создали новые алгорифмы, приведшие по
своей сути к одним и тем же результатам - создание дифференциального и
интегрального исчисления.
Математиков того времени долго волновал вопрос о нахождении
общего метода для построения касательной в любой точке кривой. Эта задача
связывалась с изучением движения тел и с отысканием экстремумов
наибольших и наименьших значений разных функций. Основываясь на
результатах Ферма и некоторых других выводах, Лейбниц значительно
полнее своих предшественников решил задачу, о которой идет речь, создав
соответствующий алгорифм.
И в 1684 году выходит в свет первая печатная работа Лейбница по
дифференциальному исчислению. Здесь исследуется проблема максимумов и
минимумов функции, важный вклад в изучение которой внес именно
Лейбниц. В своем «Новом методе» он применяет понятие дифференциала
для исследования возрастания и убывания функции и по существу
высказывает изучаемую нами ныне теорему.
В дальнейшем, совершенствуя свои познания, давая им математическое
осмысление, Лейбниц продолжает глубокие изучения в области
дифференцирования. Тесно сотрудничая с другими математиками, Он всю
свою жизнь посвящает науке. Его вклад в алгебре бесценен! Лейбниц был
одним из основателей учения, которое потом продолжали многие великие
умы человечества...
3. Задача из рассказа Л.Н. Толстого “Много ли человеку земли надо”.
В рассказе говорится о крестьянине Пахоме, мечтавшем о собственной
земле. Когда он, наконец, собрал желаемую сумму и предстал перед барином,
тот ответил ему: “Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за тысячу
рублей. Но если к заходу солнца не вернешься на место, с которого вышел,
пропали твои деньги. Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без
чувств, обежав четырехугольник”.
4. Некоторые примеры задач на оптимизацию и линейное
программирование
Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками
сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными.
Технологи – стараются так организовать производство, чтобы выпускалось
как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать прибор
для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей и т.д.
Задачи подобного рода носят общее название – задачи на оптимизацию (от
латинского слова optimum – “наилучший”). В самых простых задачах на
оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит
от другой, причём надо найти такое значение второй величины, при котором
первая принимает своё наименьшее или наибольшее (наилучшее в данных
условиях) значение. Решением таких задач занимается особая ветвь
математики – линейное программирование.
Ключевое задание
На участке земли под постройку жилья строителям необходимо выполнить
правила по технике безопасности и огородить участок по периметру, найти
размеры фундамента дома. Рассмотреть разные способы решения задач.
Составить алгоритм решения задачи на оптимизацию.
Задача
1. Во время проведения строительных работ по правилам техники
безопасности нужно огородить участок прямоугольной формы забором
длиной 64 м. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его
площадь была наибольшей?
2. Площадь дома прямоугольной формы составляет 100 м2. Каковы
должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был
наименьшим?
Уточнение задания
Дом располагается на данном участке с соблюдением норм культурного
проживания.
Дополнительная информация
1). Способы решения задачи: табличный, графический, алгебраический.
2). Задачи на оптимизацию решают по схеме трех этапов математического
моделирования:
1этап. Составление математической модели.
2этап. Работа с моделью.
3этап. Ответ на вопрос задачи.
3). Использование темы «Применение производной для нахождения
наибольших и наименьших значений непрерывной функции на промежутке».
Итоговая часть занятия (15 минут)
Подведение итогов, обобщение полученных результатов. В рамках
итоговой части преподаватель организует процедуру оценки предложенных
группами вариантов решения задачи и составление алгоритма решения на
оптимизацию. Критерии для оценки преподаватель разработал вместе с
обучающимися на самом занятии.
Критерии оценивания предложенных вариантов решений:
1. Представлены все способы решения задачи.
2. Задача на оптимизацию и алгоритм ее решения составлен близко к
«идеальному решению».
3. Предложены ли варианты расположения дома на участке с
культурным образом жизни: дорожки, место для детской площадки,
варианты подземной парковки автомототранспорта и др.
В итоге заполняется таблица.
Группы
Заказчик
Проектировщик
1
группа
2
группа
3
группа
4
группа
Строитель
Штрафы Итого
Выводы: обучающимся понравилась проблемная и групповая работа на
уроке, пути решения жизненной ситуации, примеряли профессиональные
роли, проводили экспертизу итогового результата. Учились работать в
коллективе.
Список литературы
1.А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В
2 частях: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный
уровень)- М.: Мнемозина, 20012.
2. http://bataysk-gorod.ru/ Алиса МОКРОУСОВА «В текущем году строители введут в
эксплуатацию 90 тысяч квадратных метров жилья» информационный сайт
газеты Вперед
3.http://viperson.ru/
4. http://www.tuvpravda.ru/