Ф.7.22.-17 Южно-Казахстанский государственный университет им. М.Ауезова Центр послевузовского образования

Ф.7.22.-17
Южно-Казахстанский государственный университет им. М.Ауезова
Центр послевузовского образования
Кафедра «Математические методы и моделирование»
«Утверждаю»
Проректор по НР и МС
_________________ Бахов Ж.К.
« » ______________ 2011г.
ПРОГРАММА
вступительного экзамена в докторантуру по специальности
6D060100 – Математика
Шымкент, 2011 г.
Программа вступительного экзамена составлена на основании типовых
программ
дисциплин
«Современные
проблемы
математики»,
«Математический анализ на многообразиях и стохастический анализ»,
«Дифференциальные уравнения, математическая физика и численные методы
их решения», «Современные проблемы алгебры и теории управления»
специальности 6N060100-«Математика».
Программа вступительного экзамена обсуждена на заседании кафедры
«Математические методы и моделирование»
«22» 04. 2011г., протокол № 9
Заведующий кафедрой ______________________Сарсенби А.М.
Программа вступительного экзамена одобрена методической комиссией
факультета
«Информационные
технологий,
телекоммуникация
и
автоматизированные системы» « »
2011г., протокол №___
Председатель _______________________Бердалиева Г.А.
Программа вступительного
послевузовского образования
экзамена
согласована
Начальник ЦПВО ________________________Ж.Д.Изтаев
2
с
Центром
Введение
В докторантуре осуществляется подготовка доктор философии (PhD) по
специальности 6D060100 – Математика.
Предшествующий уровень образования лиц, желающих освоить
образовательные программы докторантуры по специальности 6D060100 –
«Математика» – магистратура 6N060100 – «Математика».
Образовательная программа подготовки доктора философии (PhD) имеет
научно-педагогическую направленность и предполагает фундаментальную
образовательную, методологическую и исследовательскую подготовку и
углубленное изучение дисциплин по соответствующим направлениям наук
для системы высшего, послевузовского образования и научноисследовательского сектора.
Лицам, освоившим образовательную программу докторантуры,
присуждается академическая степень «доктор философии (Ph.D) по
специальности 6D060100 – Математика».
Требования к уровню подготовки лиц, освоивших образовательные
программы докторантуры:
- выпускник докторантуры должен иметь фундаментальную научную
или профессиональную подготовку;
- владеть современными информационными технологиями, включая
методы получения, обработки и хранения научной информации;
- уметь формулировать и решать современные научные и практические
проблемы,
организовывать
и
вести
научно-исследовательскую
экспериментально-исследовательскую
деятельность
по
выбранному
направлению;
- успешно осуществлять исследовательскую и управленческую
деятельность.
Докторанту, публично защитившему докторскую диссертацию
присуждается высшая академическая степень «доктор философии (Ph.D) по
специальности 6D060100 – Математика».
Лицам, полностью выполнившим образовательную программу
докторантуры и успешно защитившим докторскую диссертацию выдается
диплом о соответствующем уровне образования государственного образца и
транскрипт.
Сфера профессиональной деятельности специальности 6D060100 –
Математика:
- научно-исследовательские институты проблем математики;
- научно-исследовательские лаборатории других научных центров
математики;
- высшие учебные заведения.
3
1. Наименование дисциплин и их основные разделы
1.1. Современные проблемы математики
Уравнения смешанного и смешанно-составного типа. Нелокальнвые
начальные и краевые задачи для уравнений с частными производными. Язык
многообразий и внешние дифференциальные формы. Проблема
интегрирования с общей точки зрения. Основы теории случайных процессов.
Итерационные и вариационные методы решения нелинейных задач
математической физики. Основные алгебраические структуры: группы,
кольца и поля. Оптимальное управление процессов, описываемых
обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных
производных.
1.2. Математический анализ на многообразиях и стохастический
анализ
Язык многообразий и внешние дифференциальные формы. Проблема
интегрирования с общей точки зрения. Общая теория Стокса и ее
приложения в различных разделах физики, техники, теории многообразии и
теории интегрирования. Важнейшие классы случайных процессов. Элементы
случайного анализа. Корреляционная теория стационарных случайных
процессов. Стохастически эквивалентные процессы. Критерий Колмогорова.
Стохастический интеграл Ито. Винеровский процесс как квадратичноинтегрируемый
мартингал.
Формула
замены
переменных
Ито.
Стохастические дифференциальные уравнения.
1.3. Дифференциальные уравнения, математическая физика и
численные методы их решения
Общая задача Коши и неразделенные краевые задачи для линейных
дифференциальных уравнений любого порядка. Начальные и граничные
функций. Функция Грина. Представления решения начальных и краевых
задач для линейных дифференциальных уравнений любого порядка.
Уравнения смешанного и смешанно-составного типа. Методы регшения
начальных и краевых задач для уравнения смешанного и составного типа.
Некоторые сведения об общей теории эллиптических, параболических и
гиперболических уравнений. Нелокальные начальные и краевые задачи для
уравнений счастынами производными. Нагруженные интегральные и
дифференциальные уравнения и методы их решения. Приближенные и
численные методы решения линейных задач математической физики.
Приближенные и численные методы решения нелинейных задач
математической физики. Итерационные и вариационные методы решения
нелинейных задач математической физики. Численные методы решения
задач гидродинамики. Вариационно-разностные методы и методы МонтеКарло для решения уравнений Навье-Стокса. Метод конечных элементов.
1.4. Современные проблемы алгебры и теории управления
Основные алгебраические структуры: кольцо, идеал, радикал и
нильрадикал. Аннулятор идеала. Обратимые элементы. Делители нуля и
нильпотенты. Радикал Джекобсона. Целостные кольца. Обзор современных
работ по теории колец. Поля. Характеристика поля. Алгебраические
4
расширения полей. Примитивные элементы поля. Автоморфизмы конечных
полей. Вычисления на конечных полях. Современные достижения в
исследованиях полей. Базис Гребнера идеала. Алгоритм Бухбергера для
нахождения базиса Гребнера и его модификации. Решение полиномиальных
систем и пакет компьютерной алгебры: Maple, Mathematica и др. Достижения
казахстанских математиков в области алгоритмической алгоритмики.
Теоремы Вейерштрасса в банаховом пространстве. Вариационное
неравенство
Лионса.
Методы
минимизации
в
функциональных
пространствах. Оптимальное управление процессов, описываемых
обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных
производных.
2. Вопросы для вступительного экзамена в докторантуру Ph.D
по специальности “6D060100- МАТЕМАТИКА”
1. Принцип вложенных отрезков.
2. Монотонные последовательности. Теорема о существовании предела.
Число e как предел монотонных последовательностей.
3. Эквивалентность определений предела функции в терминах окрестностей
и последовательностей. Два замечательных предела.
4. Непрерывность функции одной переменной в точке, точки разрыва и их
классификации. Свойства ограниченности функции, непрерывной на
отрезке.
5. Равномерная непрерывность функции на отрезке. Теорема Кантора.
6. Дифференцируемость функции одной переменной. Производная.
Единственность.
7. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши.
8. Правило Лопиталя в предельных переходах.
9. Критерий интегрируемости функции по Риману в терминах множества
точек разрыва. Классы интегрируемых функций.
10.Первообразные. Теорема о существовании первообразной у каждой
непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
11.Определенный
интеграл
с
переменным
верхним
пределом.
Непрерывность. Дифференцируемость.
12.Формула Тейлора. Разложение функций в степенной ряд. Разложение
sin x , cos x .
13.Линейные функционалы в R n . Дифференцируемость в точке функции
многих переменных как локальная линеаризуемость. Дифференциал.
14.Дифференцируемость в точке функции многих переменных. Достаточные
условия дифференцируемости.
15.Определение, существование, непрерывность и дифференцируемость
неявной функции.
16.Числовые ряды. Критерий Коши сходимости ряда.
5
17.Положительные ряды. Сходимость. Признаки сходимости положительных
рядов.
18.Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
19.Структура области сходимости произвольного функционального ряда.
Структура области сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара.
Радиус сходимости.
20.Почленное
интегрирование
и
почленное
дифференцирование
функционального ряда.
21.Кольца. Поля. Аксиоматика и примеры.
22. Характеристика поля. Минимальные подполя.
23.Кольцо вычетов по модулю n. Поле Z p .
24.Делимость в кольцах, обратимые элементы кольца.
25.Подкольца, идеалы. Простые и максимальные идеалы. Делители нуля.
26.Фактор-кольцо. Теорема о гомоморфизмах колец.
27.Модуль, гомоморфизмы модулей. Прямые произведения и суммы
модулей.
28.Конечномерные векторные пространства. Аксиоматика и примеры. Базис.
Размерность.
29.Подпространства векторного пространства. Сумма и
пересечение
подпространств. Фактор-пространство.
30.Изоморфизм векторных пространств.
31.Ортонормированные системы в евклидовых пространствах.
32.Изоморфизм унитарных пространств.
33.Подпространства евклидова пространства, ортогональные дополнения.
34.Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Теоремы о гомоморфизмах групп.
35.Подгруппы, нормальные подгруппы.
36.Группы подстановок. Теорема Кэли.
37.Многочлены от одной переменной. Поле разложения многочлена.
38.Многочлены от n переменных. Лексикографический порядок, старшие
одночлены.
39.Поле рациональных дробей.
40.Связь между матрицами конечномерного линейного оператора в
различных базисах.
41.Жорданова форма линейного оператора в конечномерных пространствах.
42.Самосопряженные линейные операторы. Определение. Основные
свойства.
43.Унитарные и ортогональные операторы в евклидовых пространствах.
44.Закон инерции для квадратичных форм.
45.Критерий Сильвестра.
46.Различные виды задания уравнений прямой и плоскости.
47.Классификация кривых 2-го порядка.
48.Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям.
49.Аффинные и евклидовы многомерные пространства.
50.Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка и методы
их решения.
6
51.Теорема существования и единственности решения задачи Коши для
обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
52.Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши для
обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка от
параметров и от начальных данных.
53.Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Общие
свойства. Однородное ОДУ. Фундаментальная система решений.
Вронскиан. Общее решение однородного ОДУ.
54.Однородные линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами. Построение фундаментальной системы
решений.
55. Однородная система линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений (ОДУ). Фундаментальная система решений. Структура общего
решения однородной системы ОДУ.
56.Однородная система линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами. Построение фундаментальной системы
решений.
57.Неоднородные линейные обыкновенные дифференциальные уравнения.
Общее решение. Метод Лагранжа вариации постоянных.
58.Неоднородная система линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений. Метод Лагранжа вариации постоянных.
59.Постановка
краевых
задач
для
линейного
обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка. Теорема существования
и единственности решения краевой задачи.
60. Функция Грина и ее явные представления. Интегральное представление
решения краевой задачи. Теорема существования и единственности
решения краевой задачи.
61.Основные уравнения математической физики, постановка для них задачи
Коши и краевых задач. Корректность постановки задачи. Пример
Адамара.
62.Классификация уравнений с частными производными и приведение их к
каноническому виду. Понятие характеристики.
63.Уравнение Лапласа. Фундаментальное решение. Теоремы единственности
решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
64.Функция Грина для уравнения Лапласа и ее свойства. Функция Грина для
круга. Формула Пуассона. Некоторые следствия из формулы Пуассона
(неравенство Гарнака, теоремы Лиувилля и Гарнака).
65.Решение смешанной краевой задач для уравнения колебаний струны
методом Фурье. Задача о собственных значениях и собственных
функциях.
66.Решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности
методом Фурье. Собственные значения и собственные функции и их
свойства.
67.Решение задачи Коши для уравнения колебаний струны. Формула
Даламбера.
7
68.Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Формула
Пуассона.
69.Компактные множества в метрическом
пространстве. Теорема
Хаусдорфа.
70.Полные метрические пространства. Теорема о вложенных шарах.
71.Гильбертовы пространства, пространства l2 и L2(a,b). Изоморфизм
гильбертовых пространств.
72.Теорема Хана - Банаха о продолжении линейного функционала.
73.Метрические пространства. Множества всюду плотные и нигде не
плотные.
74.Линейные операторы в нормированных пространствах. Непрерывность и
ограниченность.
75.Общий вид линейных функционалов в гильбертовом пространстве
(теорема Рисса).
76.Теорема Рисса – Фишера.
77.Разложение в ряд Фурье по ортонормированной системе. Неравенство
Бесселя.
78.Полнота ортонормированной системы в евклидовом пространстве.
Критерий полноты.
79.Ортогональние дополнения в гильбертовом пространстве. Теорема о
разложения.
80.Принцип сжимающих отображений и его применения.
Список рекомендуемой литературы
1. Н. Темiрғалиев. “Математикалық анализ”, т.1, 2, 3.
2. У.Рудин. «Основы математического анализа». М.: Мир, 1976 г.
3. Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. ”Элементы функционального анализа”. М.
Наука, 1965 г.
4. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. “Элементы
теории
функций
и
функционального анализа”. М.: Наука, 1968 г.
5. У. Рудин ”Функциональный анализ”. М.: Мир, 1975 г.
6. Тихонов А.Н., Васильева А.В., Свешников А.Г. Дифференциальные
уравнения. М., «Наука», 1965.
7. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.,
«Наука», 1976.
8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.,
«Наука», 1977.
9. Михлин С.Г. Курс математической физики. М., «Наука», 1979.
10.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., Физматгиз, 1958.
11.Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М., 1982
12.Курош А.Г. Теория групп. – М., 2005
13.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра - М., 1979
14.Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп – М., 1982
15.Курош А.Г. Курс высшей алгебры – М., 1979
8
16.Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1968.
17.Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1,2 – М.: Просвещение, 1986.
18.Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М., Наука, 1990.
19.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. –
М.: Наука, 1980.
20.Ван дер варден Б. Алгебра - М., 1980
9
10
11
12