с/к Компьютерная алгебра - Факультет математики

Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
УТВЕРЖДЕНО
Ученым советом факультета математики и
информационных технологий
Протокол №________ от «____»_________20 г.
Председатель __________________
(подпись, расшифровка подписи)
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Дисциплина:
Кафедра:
Компьютерная алгебра
Алгебро-геометрических вычислений ____(АГВ)____
(аббревиатура)
Специальность (направление): 01.01.01 Математика
(код специальности (направления), полное наименование)
Дата введения в учебный процесс УлГУ:
«_____» ___________ 20
г.
Сведения о разработчиках:
ФИО
Касапенко Луиза Юрьевна
Аббревиатура
кафедры
АГВ
Ученая степень,
звание
к.ф.-м.н.
Заведующего кафедрой
Мищенко С.П.
(ФИО)
/_____________/
(Подпись)
«______»__________ 20
Форма А
г.
Страница 1 из 9
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
Оглавление
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. ...................................... 3
1.1. Цели ........................................................................................................... 3
1.2. Задачи ........................................................................................................ 3
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ...................... 3
3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ. ............................................................................... 5
3.1. Объем дисциплины и виды учебной работы: ....................................... 5
3.2. Распределение часов по темам и видам учебной работы: ................... 5
4. СОДЕРЖАНИЕ ................................................................................................ 6
Тема 1: Введение в компьютерную алгебру…...……………………………….6
Тема 2: Нормальные алгоритмы Маркова. Принцип нормализации ............ 6
Тема 3. Ассоциативное исчисление Туэ. Проблема равенства для
полугрупп……………………………………………………………………….6
Тема 4. Ассоциативное исчисление Полу-Туэ................................................. 6
Тема 5. Схемы симплификации ......................................................................... 6
Тема 6. Линейные схемы симплификации ....................................................... 6
Тема 7. Теория базисов Гребнера полиномиальных идеалов ........................ 6
Тема 8. Системы нелинейных алгебраических уравнений ............................. 7
Тема 9. Системы компьютерной алгебры. ....................................................... 7
5. ТЕМЫ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ ............................................................ 7
6. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО
ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ ................................................ 7
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.............. 9
7.1. Список литературы: ................................................................................. 9
Форма А
Страница 2 из 9
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.
Учебная дисциплина «Компьютерная алгебра» является одним из специальных
курсов, изучаемых студентами четвертого курса, обучающихся по специальности
«Математика».
Дисциплина «Компьютерная алгебра» базируется на знаниях и умениях,
полученных студентами на первых трех курсах в процессе изучения следующих
дисциплин: линейная алгебра, дискретная математика, алгебра, основные структуры
алгебры.
Компьютерная математика – область математики, лежащая на стыке алгебры и
вычислительных методов. Термин «компьютерная алгебра» возник как синоним
терминов «символьные вычисления», «аналитические преобразования», «аналитические
вычисления».
Компьютерная алгебра имеет дело с алгоритмами, которые существенно
отличаются от алгоритмов, используемых в вычислительной математике, так как
вычисления обычно производятся без округления, анализу сходимости уделяется
значительно меньше внимания, но используется более широкий набор алгебраических
объектов сложной структуры и ограничения по времени счета и по используемой памяти.
Дисциплина «Компьютерная алгебра», в основном, сосредоточена на одной из
областей компьютерной алгебры, такой, как теория базисов Гребнера, которая бурно
развивалась во второй половине прошлого века. Изложение теории базисов Гребнера в
процессе изучения курса «Компьютерная алгебра» включает случай полиномиальных
идеалов. Также строится более общая теория в случае схем симплификации и линейных
схем симплификации. В качестве частных случаев построения базиса Гребнера можно
считать алгоритм Евклида и метод Гаусса.
Базисы Гребнера имеют многочисленные приложения. В частности, они
позволяют определить, совместна ли система нелинейных алгебраических уравнений,
если совместна, то определить, сколько решений над алгебраически замкнутым полем
имеет система, если бесконечно много решений, то определить размерность
многообразия решений, и решить в итоге систему.
Целями учебной дисциплины являются:
1. знакомство с классическими результатами компьютерной алгебры
2. развитие навыков конструирования алгоритмов
Задачи
Основными задачами учебной дисциплины являются:
 формирование у будущих математиков комплексных знаний об основах
компьютерной алгебры
 формирование
терминологического
запаса,
необходимого
для
самостоятельного изучения специальной математической литературы
 приобретение студентами навыков и умений по решению задач компьютерной
алгебры
1.2.
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В результате изучения дисциплины «Компьютерная алгебра» студенты должны
Форма А
Страница 3 из 9
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
знать:






уметь:


Форма А
понятие об алгоритмической разрешимости/неразрешимости алгебраических
проблем
ассоциативные исчисления Туэ и Полу-Туэ, проблема равенства для полугрупп
понятие о схемах симплификации, примеры схем симплификации
понятие о линейных схемах симплификации, примеры линейных схем
симплификации
основы теории базисов Гребнера в случае полиномиальных идеалов и
основные алгоритмы
применение теории базисов Гребнера при решении систем нелинейных
алгебраических уравнений
применять изученные алгоритмы
решать классические задачи компьютерной алгебры, рассмотренные в
процессе изучения курса
Страница 4 из 9
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
3.1.
Объем дисциплины и виды учебной работы:
Вид учебной работы
1
Аудиторные занятия:
Лекции
практические и семинарские занятия
Самостоятельная работа
Всего часов по дисциплине
Текущий контроль (количество и вид,
контрольные работы)
Курсовая работа
Виды промежуточной аттестации
(экзамен, зачет)
Количество часов (форма обучения очная__)
В т.ч. по семестрам
Всего по плану
1
2
3
2
3
4
5
72
72
36
36
48
48
48
48
120
120
экзамен
экзамен
3.2.
Распределение часов по темам и видам учебной работы:
Форма обучения ___очная____
Название и разделов и тем
Всего
Виды учебных занятий
Аудиторные занятия
практиче Самосто
ятельная
ские
Лекции
работа
занятия,
семинар
3
4
5
1
2
1.Введение в компьютерную алгебру
2.Нормальные алгоритмы Маркова, принцип
нормализации
3.Ассоциативное исчисление Туэ. Проблема
равенства для полугрупп
4.Ассоциативное исчисление Полу-Туэ
5.Схемы симплификации
6.Линейные схемы симплификации
7.Теория базисов Гребнера полиномиальных
идеалов
8.Системы
нелинейных
алгебраических
уравнений
9.Системы компьютерной алгебры
4
4
2
0
0
2
2
2
4
2
0
2
4
10
16
34
2
4
4
8
0
2
4
10
2
4
4
16
32
8
8
16
32
6
10
16
120
36
36
48
Итого
Форма А
Страница 5 из 9
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
3. СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1: Введение в компьютерную алгебру
Что такое компьютерная алгебра. Понятие о конструктивных процессах и объектах.
Алгоритмическая разрешимость неразрешимость алгебраических проблем.
Тема 2: Нормальные алгоритмы Маркова, принцип нормализации
Тема 3. Ассоциативное исчисление Туэ. Проблема равенства для полугрупп
Тема 4. Ассоциативное исчисление Полу-Туэ
Тема 5. Схемы симплификации
Определение схемы симплификации, нормального элемента, нормальной формы,
канонической формы, схемы симплификации с канонизацией. Условие локального
слияния. Примеры схем симплификации. Приведение рациональной дроби к
несократимому виду. Алгоритм Евклида. Алгоритм Гаусса. Теорема об эквивалентности
условий, наложенных на схему симплификации : схема симплификации с канонизацией,
условие Черча-Россера, условие локального слияния, условие Ньюмана.
Тема 6. Линейные схемы симплификации
Определение линейной схемы симплификации, выделенного базиса, множества
симплификаторов. Примеры схем симплификации. Алгебра полиномов. Теорема об
эквивалентности условий, наложенных на линейную схему симплификации : линейная
схема симплификации с канонизацией, условие Черча-Россера, редуцируемость к нулю
специальных элементов.
Тема 7. Теория базисов Гребнера полиномиальных идеалов
Упорядоченность мономов: однородно-лексикографическая упорядоченность,
лексикографическая упорядоченность. Условие обрыва убывающих цепочек.
Согласованность порядка с умножением. Суппорт полинома. Старший член полинома.
Множество редукций. Лемма о старшем члене. Определение базиса Гребнера
полиномиального идеала, Н-представления, критической пары, s-полинома. Теорема об
эквивалентности условий: порождающее множество полиномиального идеала является
его базисом Гребнера, редуцируемость к нулю любого элемента идеала, всякий элемент
идеала обладает Н-представлением, всякий s-полином обладает представлением с
параметром, меньшим пи араметра его первоначального представления,
соответствующая линейная схема симплификации обладает канонизацией.
Существование алгоритма проверки того, является ли предъявленная система
порождающих полиномиального идеала его базисом Гребнера. Существование
алгоритма дополнения заданной системы порождающих полиномиального идеала до
базиса Гребнера. Алгоритм Бухбергера. Алгоритмическая разрешимость проблемы
вхождения произвольного полинома в идеал. Минимальный базис Гребнера. Связь
обструкций и нормальных мономов. Редуцированный базис Гребнера. Единственность
Форма А
Страница 6 из 9
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
редуцированного базиса Гребнера. Алгоритм построения редуцированного базиса
Гребнера полиномиального идеала.
Тема 8. Системы нелинейных алгебраических уравнений
Теорема Гильберта о базисе. Идеал системы нелинейных алгебраических уравнений.
Эквивалентность всякой бесконечной системы уравнений какой-нибудь конечной
системе. Аффинные алгебраические многообразия. Радикал идеала. Теорема Гильберта
о нулях. Применение теоремы Гильберта о нулях. Размерность множества решений
системы. Свободный набор переменных. Зависимый набор переменных. Критерий
конечности числа решений системы. О достраивании корня. О промежуточных заменах
переменных. Критерий несовместности системы. Алгоритм решения системы
нелинейных алгебраических уравнений. Алгоритм поиска максимального свободного
набора переменных.
Тема 9. Введение в системы компьютерной алгебры
Аналитические преобразования с помощью компьютера. Эффективность алгоритмов.
Знакомство с системой MAPLE9. Компьютерная алгебра на примерах: простые операции
с числами, полиномы, действия с матрицами, функции времени и даты. Представление
данных. Построение базисов Гребнера. Решение систем нелинейных алгебраических
уравнений.
4. ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
1. Нормальные алгоритмы Маркова, принцип нормализации
2. Примеры схем симплификации.
3. Примеры линейных схем симплификации
4. Построение базисов Гребнера полиномиальных идеалов
5. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений
6. Система компьютерной алгебры Maple9. Реализация некоторых алгоритмов в системе
Maple9.
5. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К
ЭКЗАМЕНУ
ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА
1.
2.
3.
4.
Конструктивные процессы и конструктивные объекты.
Нормальные алгоритмы Маркова. Принцип нормализации.
Пример алгоритмически неразрешимой проблемы.
Ассоциативные исчисления Туэ и полу-Туэ.
Форма А
Страница 7 из 9
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
5. Граф Ньюмана.
6. Схемы симплификации. Примеры схем симплификации.
7. Теорема об эквивалентности условий, наложенных на схему
симплификации: канонизация, условие Черча-Россера,
условие
локального слияния, условие Ньюмана.
8. Линейные схемы симплификации.
9. Примеры линейных схем симплификации.
10.Теорема об эквивалентности условий, наложенных на линейную схему
симплификации: канонизация,
условие локального слияния,
редуцируемость к нулю s-элемента.
11.Алгебра полиномов как пример линейной схемы симплификации.
12.Базис Гребнера полиномиального идеала.
13.Теорема об эквивалентности условий: канонизация, порождающее
множество полиномиального идеала является его базисом Гребнера,
редуцируемость к нулю элемента идеала, существование Hпредставления, существование специального представления sполинома.
14. Алгоритм построения редуцированного базиса Гребнера.
15. Алгоритмически разрешимые проблемы.
16.Системы нелинейных алгебраических уравнений. Множество решений
системы. Идеал системы.
17.Теорема Гильберта о базисе и ее следствия.
18.Аффинные алгебраические многообразия. Радикал идеала.
19.Применение теоремы Гильберта о нулях в теории систем нелинейных
алгебраических уравнений.
20. Критерий несовместности системы нелинейных алгебраических
уравнений.
21. Критерий
эквивалентности систем нелинейных алгебраических
уравнений.
22. Критерий
конечности
числа
решений системы нелинейных
алгебраических уравнений.
23. Алгоритм
нахождения
максимального
свободного
набора
переменных.
24. Геометрическая структура множества решений системы.
25. Алгоритм решения систем нелинейных алгебраических уравнений.
Форма А
Страница 8 из 9
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.
7.1.
Рекомендуемая литература:
1.Латышев В.Н. Комбинаторная теория колец. Стандартные базисы. –
М. : Изд-во МГУ, 1988.
2.Бухбергер Б. и др. Компьютерная алгебра: символьные и
алгебраические вычисления – М. :Мир, 1986.
3.Панкратьев Е.В. Элементы компьютерной алгебры. -М.: Интернетуниверситет информационных технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний,
2007.
4.Матрос Д.Ш., Поднебесова Г.Б. Элементы абстрактной и
компьютерной алгебры - М.: Издательский центр ”Академия”,2004.
5.Аладьев В.З. Системы компьютерной алгебры: MAPLE: Искусство
программирования – М.: Лаборатория базовых знаний, 2006
6.Дьяконов В. MAPLE6: учебный курс – СПб.: Питер, 2001.
7.Марков, Нагорный. Теория алгорифмов.- М.:1967.
8.Winkler F., Polynomial algorithms in computer algebra –
SpringerWienNewYork, 1996.
9.Cox D., Little J., O’Shea D., Ideals, varieties and algorithms: an
introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra –
Springer, 1996.
10.Cox D., Little J., O’Shea D., Using algebraic geometry – Springer, 1998.
Форма А
Страница 9 из 9