к комп.алгебре ПИ - Высшая школа экономики

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «От Гаусса и Гильберта к компьютерной алгебре»
для направления подготовки бакалавра 230700.62 «Прикладная информатика»
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет прикладной математики и кибернетики МИЭМ
Программа дисциплины
«От Гаусса и Гильберта к компьютерной алгебре»
для направления 230700.62 «Прикладная информатика» подготовки бакалавра
Автор программы:
Р.С. Авдеев, к. ф.-м. н., ravdeev@hse.ru, suselr@yandex.ru
Одобрена на заседании кафедры прикладной математики «20» мая 2014 г.
Зав. кафедрой
Карасев М. В.
Москва, 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «От Гаусса и Гильберта к компьютерной алгебре»
для направления подготовки бакалавра 230700.62 «Прикладная информатика»
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления подготовки 230700.62 «Прикладная информатика», изучающих дисциплину «От Гаусса и Гильберта к компьютерной алгебре».
Программа разработана в соответствии с:
 ФГОС 230700 Прикладная информатика 62 бакалавр.
 Рабочим учебным планом университета по направлению подготовки 230700.62
«Прикладная информатика», утвержденным в 2014 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «От Гаусса и Гильберта к компьютерной алгебре» является ознакомление студентов с методами вычислений в кольце многочленов от нескольких переменных, основанными на понятии базиса Грёбнера. Также рассматриваются приложения указанных методов к решению практических задач, важнейшей из которых является решение систем полиномиальных уравнений.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 владеть алгебраической терминологией, используемой в изученных методах;
 уметь вычислять базис Грёбнера идеала в кольце многочленов от нескольких переменных в зависимости от фиксированного порядка на мономах;
 уметь алгоритмически определять эквивалентность двух систем полиномиальных
уравнений;
 уметь алгоритмически определять, конечно ли множество комплексных решений заданной системы полиномиальных уравнений.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
А) общекультурные (ОК):
 способен использовать, обобщать и анализировать информацию, ставить цели и находить пути их достижения в условиях формирования и развития информационного общества (ОК-1);
 способен логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь,
владеть навыками ведения дискуссии и полемики (ОК-2);
Б) профессиональные (ПК):
 способен ставить и решать прикладные задачи с использованием современных информационно-коммуникационных технологий (ПК-4);
 способен применять методы анализа прикладной области на концептуальном, логическом, математическом и алгоритмическом уровнях (ПК-17);
 способен применять системный подход и математические методы в формализации решения прикладных задач (ПК-21).
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина является факультативом для данного направлению обучения.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «От Гаусса и Гильберта к компьютерной алгебре»
для направления подготовки бакалавра 230700.62 «Прикладная информатика»
5
Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
4
6
Название раздела
Аудиторные часы
ПрактиЛекСемические
ции
нары
занятия
Системы полиномиальных уравнений
Идеалы в кольцах многочленов
Базисы Грёбнера
Приложения базисов Грёбнера
Всего
6
8
10
8
32
6
8
10
8
32
Самостоятельная
работа
10
10
12
12
44
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Текущий
(неделя)
Итоговый
7
Всего
часов
Форма контроля
Отсутствует
2 и выше курс, 3 и 4 модуль
Экзамен
В конце 4-го модуля
Параметры **
В устной форме.
Содержание дисциплины
Содержание дисциплины разбито на четыре раздела, каждый включает в себя несколько
тем, по которым проводится одна лекция и одно практическое занятие.
1. Системы полиномиальных уравнений.
1.1. Напоминания из алгебры: поля, кольца, многочлены.
1.2. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.
1.3. Системы алгебраических (полиномиальных) уравнений. Случаи полей вещественных
и комплексных чисел.
Литература по разделу:
1. Аржанцев И.В. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. ‒ М.: МЦНМО, 2003.
2. Винберг Э.Б. Курс алгебры. ‒ М.: МЦНМО, 2011.
3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. ‒ М.: Наука, 1968.
2. Идеалы в кольцах многочленов.
2.1. Понятие идеала в кольце многочленов от нескольких переменных. Теорема Гильберта о базисе.
2.2. Идеал системы уравнений.
2.3. Радикал идеала.
2.4. Теорема Гильберта о нулях.
2.5. Приложения теоремы Гильберта о нулях.
Литература по разделу:
1. Аржанцев И.В. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. ‒ М.: МЦНМО, 2003.
2. Прасолов В.В. Многочлены. ‒ М.: МЦНМО, 2003.
3. Кокс Д., Литтл Дж., О’Ши Д. Идеалы, многооразия и алгоритмы. ‒ М.: Мир, 2000.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «От Гаусса и Гильберта к компьютерной алгебре»
для направления подготовки бакалавра 230700.62 «Прикладная информатика»
4. Adams W.W., Loustaunau P. An introduction to Gröbner Bases. ‒ Providence, RI: AMS,
1994.
3. Базисы Грёбнера.
3.1. Лексикографический порядок на мономах и его свойства.
3.2. Многогранник Ньютона многочлена.
3.3. Базис Грёбнера идеала в кольце многочленов.
3.4. Задача вхождения.
3.5. Вычисление базисов Грёбнера. Алгоритм Бухбергера.
3.6. Минимальный редуцированный базис Грёбнера.
Литература по разделу:
1. Аржанцев И.В. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. ‒ М.: МЦНМО, 2003.
2. Прасолов В.В. Многочлены. ‒ М.: МЦНМО, 2003.
3. Бухбергер Б. Алгоритмический метод в теории полиномиальных идеалов // Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. ‒ М.: Мир, 1986.
4. Кокс Д., Литтл Дж., О’Ши Д. Идеалы, многооразия и алгоритмы. ‒ М.: Мир, 2000.
5. Adams W.W., Loustaunau P. An introduction to Gröbner Bases. ‒ Providence, RI: AMS,
1994.
4. Приложения базисов Грёбнера.
4.1. Критерий несовместности системы полиномиальных уравнений.
4.2. Критерий эквивалентности двух систем полиномиальных уравнений.
4.3. Критерий конечности числа решений системы полиномиальных уравнений.
4.4. Свободные неизвестные.
4.5. Дальнейшие приложения в компьютерной алгебре.
Литература по разделу:
1. Аржанцев И.В. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. ‒ М.: МЦНМО, 2003.
2. Бухбергер Б. Алгоритмический метод в теории полиномиальных идеалов // Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. ‒ М.: Мир, 1986.
3. Adams W.W., Loustaunau P. An introduction to Gröbner Bases. ‒ Providence, RI: AMS,
1994.
8
Образовательные технологии
Проведение лекций и практических занятий.
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Программные средства:
Для успешного освоения дисциплины, студент использует следующие программные
средства:
 Wolfram Mathematica
11
Материльно-техническое обеспечение дисциплины
Практические занятия проводятся в компьютерном классе с удаленным доступом к сети
Интернет.