Миноры и их алгебраические дополнения

147330050
1
Миноры и их алгебраические дополнения
Пусть дан определитель порядка п. Минором k-го порядка будем называть
определитель, получающийся из исходного, если в последнем вычеркнуть
некоторые n – k строк и n – k столбцов. В частности, после вычёркивания одной
строки и одного столбца получаем минор порядка n – 1, все элементы
определителя являются минорами 1-го порядка.
Пусть в определителе п-го порядка взят минор М k-го порядка. Если
вычеркнуть строки и столбцы, пересечением которых образован этот минор, то
останутся n – k строк и столько же столбцов, пересечением которых образуется
минор n – k -го порядка M*. Этот минор называется дополнительным к
исходному минору. Если M* принять за исходный минор, то минор М будет
дополнительным к нему. Таким образом, можно говорить о паре взаимно
дополнительных миноров.
Если минор М образован пересечением строк i1,i2,,ik и столбцов j1,j2,,jk,
то алгебраическим дополнением AМ этого минора называется величина
 1s M * ,
где
s   il   jl
(*)
Так, если рассматривать элемент определителя a ij как минор первого порядка, то
его алгебраическое дополнение представляет собой минор, получающийся
вычёркиванием i-й строки и j-го столбца, умноженный на (–1)i+j.
Теорема.
Произведение
любого
минора
М
k-го
порядка
на
его
алгебраическое дополнение в определителе d является алгебраической суммой,
слагаемые которой, получающиеся от умножения членов минора М на взятые со
знаком (–1)s члены дополнительного минора М*, будут некоторыми членами
определителя d, причём их знаки в этой сумме совпадают с теми знаками, с
какими они входят в состав определителя.
147330050
2
Рассмотрим сначала случай, когда минор М расположен в левом верхнем
углу определителя
a11

a k1
d 
a k 1,1

a n1
 a1k


 a kk


 a k 1,k


 a nk
a1,k 1

a k ,k 1

a k 1,k 1

a n ,k 1
 a1n


 a kn


 a k 1,n


 a nn
Тогда минор М* занимает правый нижний угол определителя. Число s в этом
случае получается чётным:
s  1  2    k  1  2    k  21  2    k 
Возьмём произвольный член минора М
a11 a 2 2  a k k
(1)
Его знак (–1)l, где l – число инверсий в подстановке
2  k 
1


1  2   k 
(2)
Произвольный член минора М*
a k 1, k 1 a k  2 , k  2  a n n
(3)
имеет знак (–1)l*, где l* – число инверсий в подстановке
 k 1

  k 1
k2  n 

 k  2   n 
(4)
Перемножая члены (1) и (3), получим произведение п элементов
a11 a 2 2  a k k a k 1, k 1 a k  2 , k  2  a n n ,
(5)
расположенных в разных строках и разных столбцах определителя, то есть это
произведение является одним из слагаемых, составляющих определитель. Знак
произведения (5) – это произведение знаков (1) и (3), то есть (–1)l (–1)l* = (–1) l +l*.
В определителе произведение (5) берётся с тем же знаком, так как знак
определяется чётностью подстановки
147330050
3
2  k
 1

 1  2   k
k 1
 k 1
k2  n 
,
 k  2   n 
(6)
а она, в свою очередь, определяется суммарным числом инверсий в подстановках
(2) и (4). Действительно, первые k чисел в нижней строке (6) не составляют
инверсий с последними n – k числами в той же строке.
Пусть теперь минор М расположен в строках с номерами i1 ,i2 , ,ik ,
расположенными в порядке возрастания, и в столбцах с номерами j1 , j 2 , , j k ,
также расположенными в порядке возрастания. Строку с номером i1 с помощью
i1 – 1 транспозиций между соседними строками можно сделать первой, после
этого строку с номером i2 можно такими же транспозициями в количестве i2 – 1
можно переместить на второе место. Действуя таким образом, можно добиться
того, что минор М займёт первые k строк, проведя при этом
i1  1  i2  2    ik  k  i1  i2    ik  1  2    k 
транспозиций двух соседних строк.
Тем же самым способом можно переместить столбцы, начиная со столбца с
номером j1, который займёт место первого столбца, продолжая столбцом с
номером j2, который встанет на место второго столбца, и т. д. Таким образом, нам
придётся провести
i1  i2    ik  j1  j 2    j k  21  2    k   s  21  2    k  (7)
транспозиций строк и столбцов, чтобы привести определитель к виду, в котором
минор М занимает левый верхний угол. Очевидно, что при таком преобразовании
дополнительный минор М* окажется в правом нижнем углу. Теперь заметим, что
чётность разности (7) совпадает с чётностью числа s, после чего можно сделать
вывод, что утверждение теоремы верно и в этом случае.
Теорема Лапласа. Пусть в определителе d порядка п произвольно выбраны
k строк (1  k  п – 1). Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка,
содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна
определителю d.
147330050
4
Пусть в определителе d выбраны k строк с номерами i1 , i 2 , , i k ..
Произведение любого минора k-го порядка, расположенного в этих строках, на
его алгебраическое дополнение состоит из некоторого количества членов
определителя d, причём с теми же знаками, с которыми они входят в
определитель. Таким образом, все произведения, о которых идёт речь в
формулировке теоремы, образуют подмножество множества всех членов
определителя. Необходимо доказать, что все члены определителя составляют
подмножество множества всех произведений всех миноров k-го порядка,
содержащихся в выбранных k строках, на их алгебраические дополнения (здесь
мы пользуемся известным в теории множеств фактом: если множество А является
подмножеством множества В, и множество В является подмножеством множества
А, то множества А и В совпадают, иначе равны, иначе состоят из одних и тех
же элементов).
Пусть
a11 a 2 2  a n n
(8)
произвольный член определителя d. Возьмём из этого произведения отдельно
произведение элементов, стоящих в выбранных нами k строках с номерами
i1 , i 2 , , i k
a i1 i , ai2 i , , a ik i
1
2
k
Эти элементы стоят в k столбцах с номерами  i1 , i2 , , aik и являются членами
одного из миноров, о которых говорится в условии теоремы. Произведение всех
остальных сомножителей (8), очевидно является членом его дополнительного
минора. Таким образом, всякий член определителя входит в произведение
некоторого, вполне определённого, минора k-го порядка из выбранных строк на
его
дополнительный
минор,
причём
является
произведением
вполне
определенных членов этих двух миноров. Чтобы получить выбранный член
определителя с тем знаком, с которым он входит в определитель, остаётся
заменить дополнительный минор алгебраическим дополнением, и теорема
доказана.
147330050
5
Теорема. Сумма произведений некоторой строки определителя на алгебраические
дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.
 a11 a12

a
a
Определитель  матрицы A   21 22



a
 n1 a n2
 a1n 

 a 2n 
представим в виде суммы
  

 a nn 
произведений элементов i-й строки на их алгебраические дополнения:
  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2    ain Ain
Если в этой формуле заменить числа ai1 , ai 2 , , ain произвольными числами
b1 ,b2 , ,bn , то получится определитель матрицы, в которую превращается матрица
А после замены в ней i-й строки числами b1 ,b2,,bn . Если теперь вместо чисел
b1 ,b2,,bn подставить элементы j-й сроки матрицы А, то есть числа a j1 , a j 2 ,, a jn ,
то получится определитель матрицы, в которой i-я и j-я строки совпадают, и,
следовательно, определитель, равный нулю.
Теорема. Определитель произведения двух матриц п-го порядка равен
произведению определителей этих матриц.
Пусть даны матрицы п-го порядка
 
A  aij
и
 
B  bij
и пусть
 
AB  C  cij . Построим определитель  порядка 2п: в его верхнем левом углу
поставим матрицу А, в правом нижнем – матрицу В, в правом верхнем углу
поставим нули, а на главной диагонали левого нижнего угла поставим числа –1,
заполнив свободные места нулями. Определитель  будет иметь вид
a11
a 21

a
  n1
1
0

0
 a1n
a 22  a 2n
  
a n 2  a nn
0  0
1  0
  
0  1
a12
0
0
0
0
 
0
0
b11 b12
b21 b22
 
bn1 bn 2

0
 0
 
 0
 b1n
 b2 n
 
 bnn
147330050
6
Применим к определителю  теорему Лапласа о разложении по первым п
строкам. В результате получим
 = detAdetB
Преобразуем определитель  так, чтобы при неизменности его значения все
элементы bij стали нулями. Для этого к п+1-му столбцу прибавим первый
столбец, умноженный на b11, второй столбец, умноженный на b21 и т. д. К
(п + 2)му столбцу прибавим первый, умноженный на b12, второй, умноженный
на b22 и т. д. Вообще к (n + j)-столбцу, где j =1,2,,п, прибавим сумму первых п
столбцов, умноженных соответственно на b1 j ,b2 j , ,bnj .
Такие преобразования привели к тому, что в правом нижнем углу
определителя (будем называть его по-прежнему , так как величина его не
изменилась) оказались только нули. В правом верхнем углу определителя теперь
появятся числа, определённые следующим образом: в i-той строке в столбце с
номером n + j будет стоять сумма ai1b1 j  ai 2 b2 j    ain bnj . Эта сумма, исходя
из правила перемножения матриц, равна элементу матрицы C  AB . Таким
образом, в правом верхнем углу оказалась матрица С. Определитель  принял вид
a11
a 21

a
  n1
1
0

0
a12
a 22

a n2
0
1

0
 a1n
 a 2n
 
 a nn
 0
 0
 
 1
c11 c12
c 21 c 22
 
c n1 c n 2
0
0
0
0
 
0
0
 c1n
 c 2n
 
 c nn
 0
 0
 
 0
Применим теперь разложение определителя  по последним п столбцам.
Дополнительный минор для минора, стоящего на пересечении первых п строк и
последних п столбцов равен (–1)п. Для самого минора сумма s, определяемая
формулой (*), будет равна
s  1  2    n  n  1  ( n  2 )    2n  2n 2  n
147330050
Отсюда получается:
7
2
   12n  n  1n det C  det C
Обратная матрица (2).
Квадратная матрица называется вырожденной, если её определитель равен
нулю, и невырожденной, если её определитель не равен нулю. Произведение
матриц, хотя бы одна из которых вырожденная, будет вырожденной матрицей.
Произведение двух невырожденных матриц является невырожденной матрицей.
Рассмотрим вопрос о существовании обратной матрицы. Так как умножение
матриц некоммутативно, будем отдельно рассматривать правую и левую
обратные матрицы. Пусть матрица А имеет правую обратную матрицу А-1, то есть
АА-1 = Е
Если бы матрица А была вырожденной, то определитель матрицы в левой части
этого равенства равнялся бы нулю. Но определитель матрицы Е равен единице,
откуда следует, что ни матрица А, ри матрица А-1 не могут быть вырожденными.
Точно также можно доказать, что вырожденная матрица не может иметь левой
обратной матрицы, то есть вообще для вырожденной матрицы обратной матрицы
не существует.
Используя формулу разложения определителя по строке или столбцу, а
также теорему о сумме произведений элементов любой строки определителя на
алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки, можно
сделать вывод: обратной матрицей для матрицы А с определителем d  0 будет
матрица А-1 , определяемая формулой
 A11

 d
A
1  12
A  d
 
 A1n

 d
A21
d
A22
d

A2n
d




An1 

d 
An 2 
d 
 
Ann 

d 
(9)
Здесь Аij – алгебраическое дополнение элемента aij. Легко убедиться, что из
формулы (9) следуют равенства:
147330050
8
АА-1 = А-1А = Е
(10
Матрица А является единственной матрицей, удовлетворяющей условию
АА1 = А-1А = Е. Действительно, если найдётся другая матрица С, такая, что
АС = СА = Е,
то
САА1 = С(АА1) = СЕ = С,
САА1 =(СА)А1 = ЕА1 = А1.
Отсюда следует, что С = А1.
Из равенств (10) следует, что определитель матрицы А–1 равен единице,
делённой на определитель матрицы А, и матрица А1 также является
невырожденной, причём обратной для неё является матрица А.