Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОД ГАУССА
(МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ)
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей s уравнений и n
неизвестных, называется система вида
a11 x1 
a x 
 21 1


a s1 x1 
 a1n x n  b1 ,
 a 2n x n  b 2 ,
(1)
 a sn x n  bs .
Здесь x1, x2, …, xn – неизвестные, aij – коэффициенты при них, bi – свободные члены,
i, j=1,…,n. Матрица А=(aij), составленная из коэффициентов системы, называется
матрицей системы. Расширенной матрицей называется матрица В, полученная из А
дополнением столбцом свободных членов.
Решением системы уравнений (1) называется упорядоченная совокупность n
действительных чисел α1 , α 2 ,, α n , удовлетворяющая всем уравнениям системы, т.е.
обращающая при замене неизвестных на соответствующие числа все уравнения в верные
равенства.
Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и
несовместной, если она не имеет решений. Совместная система называется определенной,
если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного
решения.
Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если каждое
решение первой системы является решением второй и наоборот. Для того чтобы две
совместные системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных были
эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы каждое уравнение первой системы
было линейной комбинацией уравнений второй системы и обратно.
Рассмотрим следующие преобразования системы линейных уравнений:
1) перестановку двух уравнений системы;
2) умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля;
3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого,
умноженных на любое число.
Применяя к системе (1) преобразования 1)–3), построим эквивалентную систему
специального вида. Для этого возьмем в качестве первого уравнения одно из тех
уравнений системы (1), где коэффициент при х1 отличен от нуля. Далее будем умножать
это уравнение последовательно на 
a i1
a11 , i=2, i=3, …, i=s и прибавлять его почленно к
соответствующим уравнениям системы (1).
В результате получаем систему
a11 x1  a12 x 2 

a '22 x 2 


'
a 32
x2 



'

a s2
x2 

 a1n x n  b1 ,
 a '2n x n  b'2 ,
'
 a 3n
x n  b3' ,
(2)
'
 a sn
x n  bs' ,
во всех уравнениях которой, начиная со второго, будет исключено неизвестное x1. При
этом может случиться, что вместе с x1 будут исключены неизвестные x2,…, xk-1, но
1
найдется уравнение, в котором сохранится xk. Поставим его в качестве 2-го уравнения
системы. Из всех оставшихся уравнений, кроме первых двух, исключим неизвестное xk,
для чего будем умножать второе уравнение на

a ik
a 2k
и прибавлять ко всем
последующим, т. е. i=3, i=4, …, i=s. И так далее.
В результате такого последовательного исключения неизвестных в каком-нибудь
уравнении системы все коэффициенты при неизвестных могут обратиться в нуль. Если
при этом свободный член будет отличен от нуля, то полученная система несовместна, а
значит, несовместна и эквивалентная ей система (1). Если же свободный член какогонибудь уравнения обратится в нуль вместе со всеми коэффициентами при неизвестных в
этом уравнении, то это уравнение из системы можно отбросить, так как оно не
накладывает никаких ограничений на неизвестные.
Таким образом, после последовательного исключения неизвестных число уравнений
в получающихся при этом системах может только уменьшиться.
В результате придем к системе одного из видов:
a11 x1  a12 x 2 

a '22 x 2 





 a1n x n  b1 ,
 a '2n x n  b'2 ,
(3)
a 'nn x n  b'n
или
a11 x1  a12 x 2   a1m x m   a1n x n  b1 ,

a '22 x 2   a '2m x m   a '2n x n  b'2 ,


(4)


a 'mm x m   a 'mn x n  b'm , m  n.

Система (3) называется системой треугольного вида и, очевидно, имеет
единственное решение.
Система (4) называется системой трапецеидального (ступенчатого) вида, она имеет
бесконечно много решений. Действительно, если систему (4) переписать в виде
a11 x1  a12 x 2   a1m x m  b1  a1m 1 x m 1   a1n x n ,

a '22 x 2   a '2m x m  b'2  a 2m 1 x m 1   a '2n x n ,


(5)


a 'mm x m  b'm  a 'mm 1 x m 1   a 'mn x n ,

то, придавая неизвестным xm+1,…,xn произвольные значения, можно для каждого набора
x m1  x 0m1 , , x n  x 0n решить систему (5) и получить набор (x10 , x 02 , , x 0m , x 0m+1 , , x 0n ),
который будет являться решением системы (5) и, следовательно, системы (1).
При этом неизвестные xm+1,…,xn принято называть свободными, а x1,x2,…,xm –
основными неизвестными. Очевидно, легко выразить основные неизвестные через
свободные, т. е. получить общий вид решения.
При практическом решении системы (1) все описанные преобразования удобно
применять не к самой системе, а к расширенной матрице системы:
2
 a11a12

 a 21a 22


 a s1a s2
a1n b1 

a 2n b 2 
,

a sn bs 
Пример 1. Решить систему
 x1  x 2  3x 3  1,
 2x  x  2x  1,
 1
2
3

 x1  x 2  x 3  3,
 x1  2x 2  3x 3  1.
Решение. Составим и преобразуем матрицу
1

2
1

1

 1 1  3  1
1  3  1 (2) (1) (1)  1 1  3  1





1 2 1  
0  1 4 3 
0  1 4 3 



1 1 3

0 0 4 4
0 0 4 4  (1)





0 1 0 2   0 0 4 5  
2  3 1 





Первую
 1 1  3  1


0  1 4 3 

0 0 4 4


0 0 0 1 


строку
первой
матрицы умножаем последовательно на (2), (1), (1) и прибавляем ко второй, третьей и
четвертой соответственно. При переходе от второй к третьей матрице первую строку
оставляем неизменной, а вторую складываем с четвёртой и прибавляем к четвёртой. При
переходе от третьей матрицы к четвёртой третью строку умножаем на (1) и прибавляем к
четвертой. Полученное четвертое уравнение системы противоречиво, поэтому система
несовместна.
Пример 2. Решить систему
 x1  x 2  2x 3  x 4  1,

 x1  x 2  2x 3  5x 4  5,
 x  x  2x  6x  6.
2
3
4
 1
Решение. Выпишем расширенную матрицу этой системы и подвергнем ее таким
преобразованиям, чтобы она получила треугольный или трапецеидальный вид
 1  1 2  1 1  (1) (1)  1  1 2  1 1 
1  1 2  1 1 






  0 0 0 6  6   1 6    0 0 0 1  1 (1) 
1  1 2 5  5  
1  1 2 6  6 
  0 0 0 7  7   (1 7 )  0 0 0 1  1 


1  1 2  1 1 

 1  1 2  1 1 

  0 0 0 1  1  

 0 0 0 0 0   0 0 0 1  1


Восстановим систему линейных уравнений по последней матрице
 x1  x 2  2x 3  x 4  1,

x 4  1.

Полученная система, эквивалентная данной, совместна. Найдем ее решения. Для
этого перепишем ее в следующем виде:
3
 x1  x 4  x 2  2x 3  1,

x 4  1.

Очевидно, если неизвестным x2 и x3 придавать любые значения, получим решение
системы: x2=c1, x3=c2, тогда x4=−1, x1=c12c2.
Таким образом, имеем общий вид решения: х 1=с12с2, х2=с1, х3=с2, х4= 1, где с1, с2 –
любые числа.
Пример 3. Решить систему
4 x1  2 x2  x3  7 ,
 x  x  x  2,
 1
2
3

2 x1  3 x2  3 x3  11,
4 x1  x2  x3  7.
Решение. Выпишем расширенную матрицу этой системы и подвергнем ее таким
преобразованиям, чтобы она получила треугольный или трапецеидальный вид:
4 2 1 7 
 1  1 1  2  (4) (2) (4)  1  1 1  2 






1

1
1

2



4 2 1 7  
 0 6  3 15   (1 / 3)



 2 3  3 11 
2 3  3 11 

0 5  5 15   (1 / 5)






4 1  1 7 
4 1  1 7 
 0 5  5 15   (1 / 5)







1  1 1  2
1  1 1  2
1  1 1  2






0
2

1
5

0
1

1
3
(

2
)
(

1
)




0 1  1 3 




0 1  1 3 
0 2 1 5  
0 0 1  1






0 1  1 3 
0 1  1 3 
0 0 0 0 







Поменяем в первой матрице
1  1 1  2


 0 1  1 3 
0 0 1  1 


первую и вторую строки местами. При переходе от второй матрицы к третьей умножаем
последовательно первую строку на (4), (2), (4) и прибавляем ко второй, третьей и
четвертой соответственно. При переходе от третьей матрицы к четвёртой первую строку
оставляем неизменной, вторую делим на 3, третью и четвёртую на 5. При переходе от
четвёртой матрицы к пятой поменяем местами вторую и третью строки. При переходе от
пятой матрицы к шестой умножаем последовательно вторую строку на (2), (1) и
прибавляем к третьей и четвертой соответственно. Полученную в шестой матрице
нулевую строку вычёркиваем. Наша система приведена к треугольному виду и имеет
единственное решение. Найдем ее решение. Для этого перепишем ее в следующем виде:
 x1  x2  x3  2,

x2  x3  3,


x3  1.

Получаем решение х3=1, х2=2, х1=1.
4