Учебная программа Дисциплины Ф.05 «Численные методы и программирование» по специальности 020101 - Химия

Учебная программа
Дисциплины Ф.05 «Численные методы и программирование»
по специальности 020101 - Химия
1. Область применения
Данная дисциплина относится к дисциплинам федерального компонента, цикла общих
математических и естественнонаучных дисциплин (ЕН.00) специальности 011000 –
Химия, преподается в течение 4 семестра (дневная форма обучения).
2. Цели и задачи дисциплины
Содержание дисциплины направлено на формирование естественнонаучного
мировоззрения студентов, освоение научного стиля мышления, глубокого и правильного
понимания принципов математического моделирования процессов и явлений, методов
вычислительного эксперимента и их применения в химических исследованиях.
В результате изучения данного курса студент должен получить основные навыки
программирования, изучить наиболее распространенные методы приближенных
вычислений и ознакомиться с прикладными программными комплексами для обработки
экспериментальных данных и математического моделирования. Студенты должны
получить представление об основных численных методах и границах их применимости,
научиться выбирать методы решения, подходящие для решения конкретной задачи и
правильно интерпретировать получаемые результаты.
Теоретические основы курса студенты осваивают в рамках математического анализа и
информационных технологий. Основной формой проведения занятий должно быть
выполнение студентами практических заданий на компьютере. Курс реализуется сразу
после курса "Информационные технологии".
3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате изучения студенты должны:
Знать: Способы алгоритмического программирования. Способы, порядок и правила
написания компьютерных программ на языке Visual Basic. Методы численного решения
математических задач, имеющих наибольшее значение для химии: решение
алгебраических и трансцендентных уравнений, систем линейных уравнений, систем
дифференциальных уравнений, численного дифференцирования и интегрирования,
интерполяции и аппроксимации данных, статистической обработки экспериментальных
данных.
Уметь: Составлять компьютерную программу на языке Visual Basic, реализующую
изученные методы, проводить ее отладку, тестирование и использовать ее для решения
конкретной задачи, связанной с практикой химического исследования.
Иметь представление: о методах компьютерного моделирования (компьютерного
эксперимента), способах использования прикладных программ для решения задач
химической кинетики, химической термодинамики, моделирования молекулярной
структуры, динамики молекулярных и химических процессов. Иметь представление о
математических моделях, их особенностях, возможностях и ограничениях.
2
Содержание разделов дисциплины
Раздел 1. Элементы программирования
Алгоритм. Языки низкого и высокого уровня. Интерпретация и трансляция текста
программы. Разница между исходным текстом и исполняемым модулем. Процедурные языки
программирования. Понятие об объектно-ориентированном программировании. Понятие о
Visual-технологии программирования.
Язык Visual BASIC. Типы величин. Константы и переменные. Массивы переменных.
Арифметические выражения. Порядок выполнения арифметических операций.
Использование стандартных математических функций.
Структура программы: раздел описания и раздел операторов. Логические выражения.
Использование операций отношения и логических операций and, or, not.
Операторы: присвоения значения переменной, ввода и вывода значений, организации циклов
и разветвлений.
Процедуры и функции, их организация и использование в программах. Формальные и
фактические параметры. Параметры-значения и параметры-переменные. Локальные и
глобальные переменные.
Организация взаимодействия программы с внешними файлами данных. Стандартные файлы
ввода и вывода информации.
Раздел 2. Численные методы, математические модели, особенности вычислений на ЭВМ
Математическая модель. Эмпирические, феноменологические и детальные модели.
Параметры модели. Прямая и обратная задачи. Особенности численного (компьютерного)
моделирования.
Особенности выполнения вычислений на ЭВМ. Диапазон и точность представления чисел.
Машинный нуль. Ошибки округления. Абсолютная и относительная погрешности
результатов основных арифметических операций. Потеря точности при операциях сложения
и вычитания. Накопление ошибок. Устойчивость вычислительных алгоритмов.
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного
(ведущего) элемента по столбцу и вычисление обратной матрицы. Условие устойчивости
вычислений.
Вычисление собственных значений и собственных векторов симметричной матрицы с
помощью преобразований подобия. Метод Якоби. Преобразования Хаусхолдера и QLалгоритм. Решение частичной проблемы собственных значений. Нахождение собственного
вектора методом обратной итерации.
Решение нелинейного алгебраического уравнения методом деления отрезка пополам.
Условия применимости метода и скорость сходимости к решению. Решение нелинейного
3
алгебраического уравнения методом Ньютона. Условия применимости и сходимости.
Скорость сходимости. Обобщение метода Ньютона на случай системы нелинейных
уравнений.
Поиск минимума функции одной переменной. Методы золотого сечения и квадратичной
интерполяции. Минимизация функции нескольких переменных: метод прямого поиска Хука Дживса, метод скорейшего спуска, метод Ньютона. Общее представление о методах
сопряженных направлений и переменной метрики. Частный случай минимизации суммы
квадратов: метод Гаусса - Ньютона.
Приближенное вычисление определенных интегралов. Общая структура интерполяционной
квадратурной формулы, способы выбора узлов и определение весов. Порядок точности.
Формулы Ньютона - Котеса и Гаусса; их частные случаи: формулы прямоугольников,
трапеций, Симпсона. Алгоритм интегрирования с заданной степенью точности.
Численное дифференцирование. Суммарная погрешность и ее составляющие: ошибка
дискретизации (усечения) и ошибка округления. Порядок точности. Способы уменьшения
погрешности дифференцирования.
Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ): решение
задачи Коши. Локальная и глобальная ошибки. Понятие устойчивости решения. Явные и
неявные схемы интегрирования (на примере метода Эйлера); их устойчивость. "Жесткие"
уравнения. Количественный критерий жесткости. Общее представление о принципах
построения методов для интегрирования жестких систем ОДУ.
Раздел 3. Решение различных математических задач в химии
Виды и цели математического моделирования. Моделирование как способ проверки гипотез.
Обработка данных эксперимента как решение обратной задачи математического
моделирования. Имитационное моделирование (вычислительный эксперимент).
Реализация принципов математического моделирования в прикладных программных
комплексах для химиков. Неэмпирические и эмпирические методы расчета строения молекул
(Gaussian, GAMESS, МОРАС). Моделирование кинетики химических реакций (KINET,
PolyRate). Расчет равновесного состава по термодинамическим свойствам веществ
(ИВТАНТЕРМО, СНЕТ).
Моделирования химических систем методами Монте-Карло и молекулярной динамики.
Области применения, возможности и ограничения.
Раздел 4. Статистическая обработка экспериментальных данных
Интерполяция таблично заданной функции. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Факторы, определяющие точность интерполяции. Сплайны, их свойства и применение.
Аппроксимация функций. Обобщенный метод наименьших квадратов (МНК). Линейный
МНК. Статистические характеристики оценок параметров модели. Нелинейный МНК.
4
Элементы математической статистики. Распределения случайных величин: единичное,
нормальное, экспоненциальное. Их характеристики, графическое представление. Статистики
Стьюдента, хи-квадрат, Фишера. Их свойства и применение в аналитической химии,
физической химии, химической технологии, биомедицинских приложениях.
Рекомендуемая литература:
а) Основная литература
Турчак Л.И. Основы численных методов. М.:Наука, 1987, 320с.
Бахвалов Н.С. Численные методы. М.:Наука, 1975.
Калиткин Н.Н. Численные методы. М.:Наука, 1987.
Маккелви М. Visual Basic 4. М.:Бином, 1989, 576с.
Гулд Х. Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. Т.1,2. М.: Мир, 1990.
б) Дополнительная литература
Самарский А.А. Введение в численные методы. М.:Наука, 1982.
Джонсон К. Численные методы в химии. М.: Мир, 1983.
Кларк Т. Компьютерная химия. М.: Мир, 1990.