Федеральное агентство по образованию Дальневосточный государственный технический университет (ДВПИ им. В.В. Куйбышева)

Федеральное агентство по образованию
Дальневосточный государственный технический университет
(ДВПИ им. В.В. Куйбышева)
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Программа, методические указания и контрольные задания
для студентов первого курса заочного факультета
специальностей
210405 «Радиосвязь, радиовещание и телевидение»,
210201 «Проектирование и технология радиоэлектронных средств»,
140211 «Электроснабжение»
Владивосток 2009
Настоящие методические указания составлены в соответствии с учебным
планом и программой курса высшей математики и предназначена для студентов
специальностей «Радиосвязь, радиовещание и телевидение», «Проектирование
и технология радиоэлектронных средств», «Электроснабжение».
Учебным планом для студентов 1 курса предусмотрено выполнение двух
контрольных работ. Данное пособие содержит задания для контрольных работ,
а также решение типового варианта. Номер варианта для каждого студента
совпадает с последней цифрой его учебного шифра.
Методические указания составлены старшими преподавателями кафедры
прикладной математики и механики Поздышевой Н.С. и Василенко Н.Ю.
Рабочая программа курса Высшая математика для инженернотехнических специальностей заочного факультета.
1. Введение.
1. Системы двух линейных алгебраических уравнений с двумя
неизвестными. Определители 2-го порядка.
2. Определители n-го порядка. Метод Крамера. Системы m линейных
уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса. Исследование совместности
систем. Матрицы: сложение, умножение на число, произведение матриц,
обратная матрица.
3. Комплексные числа: алгебраическая, геометрическая, показательная
формы. Формула Эйлера. Действия над КЧ, их геометрическая интерпретация.
2. Векторная алгебра.
1. Вектор – направленный отрезок. Длина вектора. Коллинеарность,
компланарность, равенство векторов. Линейные операции над векторами.
Линейная зависимость векторов. Основная теорема о линейной зависимости
векторов в V3. базис, координаты, размерность. Теоремы о свойствах базиса и
координат. Ортогональная проекция вектора на ось и плоскость.
Неортогональная проекция. Правая и левая системы координат. Декартова
прямоугольная и полярная системы координат.
2. Скалярное произведение, векторное произведение, смешанное
произведения векторов, их вычисление в прямоугольной и произвольной
системах координат, основные задачи. Геометрический смысл определителей 1го, 2-го, 3-го порядков.
3. Аналитическая геометрия.
1. Основные задачи аналитической геометрии. Координаты вектора в двух
различных базисах. Линейные преобразования на плоскости, частные случаи:
параллельный перенос, сжатие, отражение относительно оси, поворот.
Линейные преобразования в пространстве. Алгебраические линии и
поверхности.
2. Геометрический смысл уравнения 1-го порядка на плоскости.
Различные виды уравнения прямой. геометрический смысл уравнения 1-го
порядка в пространстве, виды уравнений плоскости. Прямая в пространстве –
пересечение двух плоскостей, общее и каноническое уравнения.
3. Основные задачи на прямую и плоскость, решаемые методами
векторной алгебры.
4. Вывод канонических уравнений эллипса, гиперболы, параболы на
основе характеристических свойств этих кривых. Исследование свойств кривых
2-го порядка.
5. Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду, классификация
кривых 2-го порядка: примеры уравнений, построение поверхностей методом
сечений.
4. Линейная алгебра.
1. Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис, координаты,
размерность. Теорема о свойствах базиса и координат. Подпространство.
Эвклидовы пространства. Неравенство Коши и треугольника. Ортогональный и
ортонормированный базис.
2. Линейное отображение = матрица. Линейные операции над матрицами,
произведение матриц.
3. Ранг матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. СЛАУ:
матричный способ решения, теорема о структуре общего решения однородной
и неоднородной систем, фундаментальная система решений.
4. Собственные
числа
и
векторы линейного
преобразования.
Характеристическое
уравнение.
Симметричное
и
ортогональное
преобразования, свойства их собственных чисел и векторов.
5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
1. Символ . Неопределенности. Числовые последовательности. Предел
монотонной ограниченной последовательности. Число е. предел функции в
точке. Простейшие свойства функций, имеющих предел. Предельный переход в
пространствах.
2. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Теорема о
разложении: f(x)=A+(x). Пределы алгебраических операций. Символ ''о –
малое''. Эквивалентные бесконечно большие и бесконечно малые функции.
3. Функции, непрерывные в области. Элементарные функции, их
непрерывность. Односторонние пределы. Точки разрыва функции. Свойства
функций, непрерывных на замкнутом множестве.
4. Производная 1-го порядка. Дифференциал 1-го порядка. Касательная и
нормаль к графику функции. Дифференцируемость = существование
производной. Производные суммы, произведения, частного; сложной, неявной
и параметрической функций. Гиперболические функции и их производные.
5. Производные и дифференциалы высших порядков. Локальное
поведение функции: возрастание, убывание, максимум, минимум. Теорема
Ферма (необходимое условие экстремума). Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя.
6. Теорема Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в формах
Лагранжа и Пеано. Формула Тейлора для основных элементарных функций.
Приложения формулы Тейлора.
7. возрастание и убывание функций на отрезке. Необходимые и
достаточные условия локального экстремума. Наибольшее и наименьшее
значения функций.
8. Выпуклость функций вверх и вниз в точке и на отрезке. Необходимые и
достаточные условия локального экстремума. Наибольшее и наименьшее
значения функций. Приложение формулы Тейлора.
9. Возрастание и убывание функции на отрезке. Необходимые и
достаточные условия локального экстремума. Наибольшее и наименьшее
значения функции.
10.Выпуклость функции вверх и вниз в точке и на отрезке. Необходимые и
достаточные условия выпуклости (вогнутости). Точки перегиба графика.
Вертикальные и наклонные асимптоты. Построение графика функции на основе
исследования с помощью производных 1-го и 2-го порядков.
6. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.
1. ФНП: Область определения. Линии уровня. Предел функции,
непрерывность. Частные производные. Дифференцируемость ФНП. Полный
дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
2. производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент
и его свойства.
3. Частные производные высших порядков. Равенство смешанных
производных. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для ФНП.
Остаточный член в форме Логранжа и Пеано.
4. Безусловные экстремумы ФНП. Необходимое и достаточное условия
существования экстремума. Неявные функции. Производные неявных функций.
5. Условный экстремум ФНП. Достаточное условие экстремума.
Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.
7. Вектор- функция.
1. Предел ВФ, непрерывность ВФ, производные ВФ, свойства этих
операций. Длина дуги кривой. Геометрический смысл1-ой и 2-ой производных.
Касательная, нормаль, главная нормаль.
2. Кривизна. Естественный базис кривой. Скорость, ускорение
криволинейного движения.
8. Интегральное исчисление функции одной переменной.
1. Первообразная, ее свойства. Неопределенный интеграл, его свойства.
Таблица простейших формул. Простейшие приемы интегрирования. Замена
переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
2. Интегрирование
простейших
дробей.
Разложение
дробной
рациональной функции на простейшие дроби.
3. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых
иррациональных выражений.
4. Интегрирование
выражений,
содержащих
тригонометрические
функции. Примеры функций, не интегрирующихся в ЭФ.
5. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные
свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
6. Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Теорема
Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле.
Интегрирование по частям.
7. Приложения определенных интегралов к вычислению площадей
плоских фигур, объемов тел, длина отрезка кривой. Некоторые физические
приложения ОИ: вычисление работы силы, координат центра масс, давления.
8. Несобственные интегралы 1-го и 2-го типов. Теоремы сравнения.
Абсолютная необходимая сходимость.
Литература:
1. Беклемешев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. 4е изд. – М., 1980.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии. – М.: Наука, 1988.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. - М.: Наука, 1988.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для
втузов. Т. 1,2. – М.: Наука, 1985.
5. Клетник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука,
1986.
6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1999. Ч 1,2.
7. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. - М.: Наука, 1973.
8. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому
анализу. – М.: Высшая школа, 1964.
9. Дмитрий Писменный. Конспект лекций по высшей математике. – М.:
Айрис Пресс, 2000. Ч. 1,2.
Методические указания по изучению курса
«Высшая математика»
Весь курс высшей математики разбит на темы, для каждой темы даны
подробные указания по литературе, рекомендуемой для изучения, а также
задачи для самостоятельного решения. Цифра в [] означает номер пособия из
приведенного выше списка литературы: например [4] означает учебник Н.С.
Пискунова и т.д.
Кроме того, указания содержат вопросы для самопроверки. Указано также,
после каких тем студент должен выполнить контрольные работы.
Указания содержат задания для 2-х контрольных работ. Приведено также
подробное решение типового варианта. Студенту рекомендуется также
обратить особое внимание на пособия [6] и [8], в которых имеется большое
число решенных задач.
ТЕМА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
1. Векторы
Литература. [1], гл.1,§ 1; [5], задачи 761, 764–777, 785, 786, 790, 792.
2. Системы координат
Литература. [1], гл.1, § 2, п. 1–3; [5], задачи 750–752, 778, 779, 1–25, 44–49,
86–115, 719–725, 735–742, 745, 746.
3. Определители второго и третьего порядков
Литература. [1], гл. 1, § 3, п. 5–9; [5], задачи 1204–1209, 1211–1251, 850–
864, 116–126, 873–878.
4. Скалярное произведение векторов
Литература. [1], гл. 1, § 3, п. 1; [5], задачи 795–838, 748, 749, 753–760, 780–
784, 53–58, 63–85.
5. Векторное и смешанное произведения векторов
Литература. [1], гл. 1, § 3, п. 2, 3, 12; [5], задачи 839–849; [1], гл. 1, §3,
4; [5], задачи 865–871.
п.
6. Замена базиса и системы координат
Литература. [1], гл. 1, § 4, п. 1; [5], задачи 787–789, 793, 794; [1], гл. 1, §4, п.
2, 3; [5], задачи 127–141.
7. Полярные, цилиндрические и сферические координаты
Литература. [1], гл. 1, § 2, п. 4, 5; [5], задачи 26–28, 42, 43.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется вектором и модулем вектора
2. Какие векторы называются коллинеарными, компланарными, равными?
3. Могут ли два вектора, имеющие равные модули, быть не равными? Если
да, то чем они могут различаться?
4. Какие операции над векторами называются линейными и какие свойства
этих операций?
5. Что называется базисом на прямой, на плоскости и в пространстве?
6. В каком случае векторы называются линейно зависимыми и в каком
линейно независимыми?
7. Какой базис называется ортонормированным?
8. Как определяется декартова система координат?
9. Как выражаются координаты вектора через координаты его начальной и
конечной точек?
10.Что называется скалярным произведением двух векторов, какие его
свойства?
11.Что называется векторным произведением двух векторов, какие его
свойства?
12. Что называется смешанным произведением трех векторов, какие его
свойства?
13. Что называется определителем (детерминантом) второго и третьего
порядков, каковы их свойства и способы вычисления?
14. Как преобразуются координаты вектора при замене базиса пространства
(плоскости)?
15. Какому условию должны удовлетворять координаты трех векторов,
чтобы их можно было принять за базис пространства?
16. Каковы формулы преобразования декартовых прямоугольных координат
на плоскости?
17. Опишите полярную, цилиндрическую и сферическую системы
координат?
ТЕМА 2. ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ
1. Уравнения в декартовых координатах
Литература. [1], гл. 2, § 1, п. 1, 5; [5], задачи 157–162, 174–197, 885–887,
891–909,910; [6], задачи 37–39, 41.
2. Параметрические уравнения линии и поверхности
Литература.[1], гл. 2, § 1, п. 3, 4; [5], задачи 204–207, 209; [6], задачи 52–56.
3. Алгебраические линии и поверхности
Литература. [1], гл. 2, §1, п. 2.
4. Плоскости и прямые
Литература. [1], гл. 2, § 2, 3; [5], § 12–15, 38–43, 45; [2], § 9–11.
5. Линии второго порядка
Литература. [1], гл. 3, § 1, 2, п. 1; [5], задачи 385, 397, 398, 444, 460, 472,
509, 512; [1], гл. 3, § 2, п. 2; [5], задачи 515, 516, 522, 526, 530, 532, 541, 542; [1],
гл. 3, § 2, п. 3; [5], задачи 585, 588, 591, 599, 600, 607.
6. Поверхности второго порядка
Литература. [1], гл. 3, § 4; [5], задачи 1084, 1096, 1153, 1154, 1155, 1179.
7. Уравнения линии в полярных координатах
Литература. [4], гл. 1, § 10, упр. 41–45; [5], задачи 163, 166, 208, 632.
Вопросы для самопроверки
1. Как определяются в аналитической геометрии линии, поверхности и
другие множества точек? Приведите примеры.
2. Как можно найти точку пересечения двух линий на плоскости, трех
поверхностей, линии и поверхности? Приведите примеры.
3. Опишите параметрический способ задания линий и поверхностей.
Приведите примеры.
4. Какие поверхности и линии называются алгебраическими? Приведите
примеры.
5. Что называется порядком алгебраической линии и алгебраической
поверхности? Приведите примеры.
6. Что называется направляющим вектором прямой и нормальным вектором
плоскости?
7. Как записываются параметрические уравнения прямой и плоскости?
8. Что называется угловым коэффициентом прямой на плоскости и каков
его геометрический смысл в декартовой прямоугольной системе координат?
9. Как записываются уравнения прямой, проходящей через две точки, в
пространстве и на плоскости?
10. Как записывается уравнение плоскости, проходящей через три заданные
точки?
11. Как вычисляются углы между двумя прямыми (на плоскости и в
пространстве), между двумя плоскостями, между плоскостью и прямой?
12. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых (на
плоскости и в пространстве), двух плоскостей, прямой и плоскости?
13. Каковы канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы?
14. Что называется фокусами, директрисами и эксцентриситетом эллипса,
гиперболы и параболы?
15. Каковы геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы?
16. Что называется асимптотами гиперболы?
17. Назовите поверхности второго порядка и напишите их канонические
уравнения.
18. Приведите примеры уравнений линий в полярных координатах.
ТЕМА 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
1. Матрицы и линейные операции над ними
Литература. [1], гл. 5, § 1; [6], ч. 1, задачи 394,395.
2. Определители
Литература. [1], гл. 5, § 2; [5], задачи 1252–1256; [6], ч. 1, задачи 387–390.
3. Системы линейных уравнений. Правило Крамера
Литература. [1], гл. 5, § 3; [7], § 4; [6], ч. 1, задачи 391–393; [5], задачи
1236, 1242, 1247.
4. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса
Литература. [1], гл. 5, § 4, 5; [7], § 4; [6], ч. 1, задачи 435–437, 441–443,
446, 447, 449.
Эффективным методом решения систем линейных уравнений является
метод последовательного исключения неизвестных, называемый также методом
Гаусса. Метод Гаусса предполагает выполнение последовательных шагов. На
каждом шаге выбирается одно уравнение, называемое ведущим, и одно
неизвестное, называемое ведущим неизвестным. Путем элементарных
преобразований над матрицей системы в каждой строке последовательно
исключают ведущее неизвестное и приводят к элементарной матрице, имеющей
довольно простой вид.
Перечислим элементарные преобразования:
1. изменение порядка строк расширенной матрицы системы, что
соответствует изменению порядка уравнений системы;
2. сложение одной строки матрицы с другой, предварительно умноженной
на любое, отличное от нуля число;
3. умножение элементов строки матрицы на любое, отличное от нуля
число;
4. отбрасывание полностью нулевых строк матрицы.
5. Произведение матриц. Обратная матрица. Решение систем
матричным способом
Литература. [1], гл. 5, § 6; [4], т. 2, гл. 21, § 4, 6–9, упр. 3–10; [6], ч. 1, гл.
4, § 2, задачи 396,402, 406, 407.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется матрицей? Как определяются линейные операции над
матрицами и каковы их свойства? Приведите примеры.
2. Что
называется
определителем?
Каковы
основные
свойства
определителей?
3. Что называется минором и алгебраическим дополнением? Приведите
примеры.
4. Каковы способы вычисления определителей? Приведите примеры.
5. Что называется матрицей и расширенной матрицей системы линейных
уравнений? Приведите примеры.
6. Что называется решением системы линейных уравнений? Какие системы
называются совместными, а какие  несовместными?
7. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
8. Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?
9. При каком условии система линейных уравнений имеет единственное
решение?
10. Что можно сказать о системе линейных уравнений, если ее
определитель равен нулю?
11. При каком условии однородная система n линейных уравнений с n
неизвестными имеет ненулевое решение?
12. Опишите метод Гаусса решения и исследования систем линейных
уравнений.
13. Что называется рангом системы линейных уравнений? Как, используя
метод Гаусса, можно найти ранг системы линейных уравнений?
14. Какие неизвестные в системе линейных уравнений и в каком случае
называются свободными, а какие базисными? Что называется общим решением
системы линейных уравнений?
15. Что называется рангом матрицы? Как его можно найти?
16. Что называется произведением двух матриц? Каковы свойства
произведения матриц?
17. Какая матрица называется единичной?
18. Какая матрица называется обратной для данной матрицы? Всегда ли
существует обратная матрица? Как можно найти обратную матрицу?
19. В чем состоит матричный способ решения систем линейных уравнений?
6. Линейные и евклидовы пространства
Литература. [1], гл. 6, § 1, гл. 7, § 1; [7], § 4; [6], ч. 1, гл. 5, § 1–3, § 5.
7. Линейные преобразования (операторы)
Литература. [2], § 15–21; [6], ч. 1, гл. 4, § 2; гл. 5, § 4.
Если задано правило, по которому каждому вектору x линейного
пространства поставлен в соответствие вектор x того же пространства, то
говорят, что задано преобразование этого пространства. Преобразования
называют также операторами.
Линейное преобразование полностью характеризуется его матрицей.
Поэтому действия над такими преобразованиями сводятся к действиям над их
матрицами. Например, если вектор x переводится в вектор x линейным
преобразованием с матрицей A, а вектор x переводится в вектор x линейным
преобразованием с матрицей B, то последовательное применение этих
преобразований равносильно линейному же преобразованию, переводящему
вектор x в вектор x (оно называется произведением составляющих
преобразование). Матрица этого линейного преобразования C=BA.
8. Комплексные числа
Литература. [4], т. 1, гл. 7, § 1–3, упр. 1–10; [1], гл. 5, § 7, п. 1–4; [6], ч. 2,
гл. 3, § 7.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется преобразованием пространства? Какие преобразования
называются линейными?
2. Как найти матрицу линейного преобразования, являющегося
произведением двух линейных преобразований, матрицы которых известны?
3. Что называется собственными значениями и собственными векторами
линейного преобразования? Как их найти?
4. Что называется комплексным числом?
5. Какие интерпретации комплексных чисел вы знаете? Опишите их.
6. Что называется действительной и мнимой частями комплексного числа?
7. Что называется алгебраической и тригонометрической формами
комплексного числа?
8. В каком случае два комплексных числа называются сопряженными?
9. По каким правилам производятся арифметические действия над
комплексными числами?
10. Запишите формулу Муавра.
После изучения тем 1, 2, 3 выполните контрольную работу 1.
ТЕМА 4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1. Число. Функция. Обзор элементарных функций
Литература. [4], гл.1, § 1–5, § 6, упр. 1–6, § 7, упр. 8–10, 12, 14, 16, 18, 28,
29, 34, 39, 40; § 8, упр. 7; § 9.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение функции. Что называется областью определения
2.
3.
4.
5.
функции?
Каковы основные способы задания функции? Приведите примеры.
Какая функция называется периодической? Приведите примеры.
Какая функция называется сложной? Приведите примеры.
Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.
2. Предел и непрерывность функции
Литература. [4], гл. 2, § 1–5, упр. 1, 4, 6, 8–14, 18, 19; § 6, упр. 31–33, 35, 37
–40; § 7, 8, упр. 41–44, 46, 48, 49; § 9, упр. 2, 3, 21–23, 25–30, 45, 47, 57, 59; § 10,
11, упр. 60–62; [3], гл. 2, 3.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте
определения предела последовательности, предела
функции при стремлении аргумента к некоторому конечному числу и предела
функции при стремлении аргумента к бесконечности.
2. Как связано понятие предела функции с понятиями ее пределов слева и
справа?
3. Дайте определение ограниченной функции.
4. Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные
свойства?
5. Какая функция называется бесконечно большой и какова ее связь с
бесконечно малой?
6. Сформулируйте основные теоремы о пределах.
7. Запишите первый и второй замечательные пределы.
8. Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на
отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции
9. Сформулируйте теорему об области непрерывности элементарных
функций.
10. Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на отрезке, и
дайте геометрическое истолкование этим свойствам.
11. Сформулируйте определение порядка одной бесконечно малой
относительно другой бесконечно малой.
12. Запишите основные эквивалентные бесконечно малые.
ТЕМА 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
1. Производная
Литература. [4], гл. 3, § 1, 2, упр. 1, 3, 4; § 3, упр. 7, 8; § 4–8, упр. 10, 12, 15,
16, 20–22, 24, 27, 29, 42, 45, 71; § 9, упр. 33–40, 43, 46–48, 50, 52, 54, 56, 58, 59,
61, 64–68, 72, 74, 75, 78, 80; § 10, упр. 51, 53, 60, 62, 63, 79, 81; § 11, упр. 142,
143, 147, 149–151; § 12, упр. 83, 85, 90, 100, 101, 108, 110, 113; § 13, 14, упр. 116,
118, 120, 134, 137; § 15, упр. 222–227; § 16–18, упр. 152–157, 159–161; § 19; §
26, упр. 207, 210–213, 216–219; § 27; [6], ч. 1, гл. 7, § 1.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте определение производной. Каков ее механический и
геометрический смысл?
2. Запишите формулы производных суммы, произведения, частного двух
функций. Приведите примеры.
3. Запишите формулу дифференцирования сложной функции. Приведите
примеры.
4. Сформулируйте правило логарифмического дифференцирования.
Приведите примеры.
5. Сформулируйте теорему о производной обратной функции.
2. Дифференциал
Литература. [4], гл. 3, § 20, 21, упр. 162–164, 166, 169–171, 230, 231.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте определение дифференциала функции.
2. Для каких функций дифференциал тождественно равен приращению?
3. В чем заключается свойство инвариантности формы дифференциала
функции?
4. На чем основано применение дифференциала в приближенных
вычислениях?
3. Производные и дифференциалы высших порядков
Литература. [4], гл. 3, § 22, 25, упр. 172, 176, 183, 184, 188, 190, 194, 206,
233, 234; § 24, упр. 196, 201–205, 236; § 23.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте определения производной и дифференциала высших
порядков.
2. Каков механический смысл второй производной?
3. Как находятся первая и вторая производные функций, заданных
параметрически?
4. Свойства дифференцируемых функций
Литература. [4], гл. 4, § 1, упр.1, 5, 7, 8; § 2, упр. 9, 10, 12; § 3, упр. 17; § 4,
упр. 19, 20, 23, 28; § 5, упр. 30, 33, 35, 38, 42, 45, 50, 52.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте теорему Ролля. Каков ее геометрический смысл?
2. Сформулируйте теорему Лагранжа. Каков ее геометрический смысл?
3. Выведите правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0/0.
Перечислите различные типы неопределенностей, для раскрытия которых
может быть использовано правило Лопиталя. Приведите примеры.
5.Формула Тейлора
Литература.[4], гл. 4, § 6, 7, упр. 54, 56, 57, 59, 62, 65, 67.
Вопросы для самопроверки
1. Запишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Когда эту формулу называют формулой Маклорена и какой вид принимает она
в этом случае?
2. Напишите формулы Маклорена для функций ex, sin x, cos x, ln(1+x).
3. Как используется формула Тейлора для вычисления приближенных
значений функции с заданной точностью? Приведите примеры.
ТЕМА 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ И
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
1. Возрастание и убывание функций. Экстремумы
Литература. [4], гл. 5, § 1, 2; § 3-5, упр. 3, 12, 14, 22, 25, 27, 30; § 6, упр. 32,
34; § 7, упр. 40, 44, 52, 54; § 8; [8], ч. 1, гл. 7, § 2, п. 3.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте определения возрастающей и убывающей на отрезке
функции. Сформулируйте достаточный признак возрастающей функции.
2. Сформулируйте определение точки экстремума функции.
3. Сформулируйте два правила для отыскания экстремумов функции.
4. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции,
дифференцируемой на отрезке? Всегда ли они существуют?
2. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
Литература. [4], гл. 5, § 9, упр. 62, 63, 67-71.
3. Асимптоты
Литература. [4], гл. 5, § 10, упр. 73, 75, 76, 78, 108, 110.
4. Общая схема построения графиков функции
Литература. [4], гл. 5, § 11, упр. 84, 92, 95, 96, 99, 103, 134.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте определения выпуклости и вогнутости линии, точки
перегиба. Как находят интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба
линии, заданной уравнением y=f(x)? Приведите примеры.
2. Сформулируйте определение асимптоты линии. Как находятся
вертикальные и наклонные асимптоты линии, заданной уравнением y=f(x)?
Приведите примеры.
3. Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика.
ТЕМА 7. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ
1. Векторная функция скалярного аргумента
Литература. [4], гл. 9, § 1, 2, 3, упр. 1, 3, 4, 6; [6], ч. 1, гл. 7, § 5.
2. Кривизна кривой. Формулы Френе
Литература. [4], гл. 6, § 1-4, упр. 1-5; § 6, 7, упр. 6-12, 19, 20, 23, 26, 40, 41,
43; гл. 9, § 4, 5, упр. 8-16; [6], ч. 1, гл. 7, § 6.
Вопросы для самопроверки
1. Как определяется векторная функция скалярного аргумента?
2. Как определяется предел и производная векторной функции скалярного
аргумента?
3. Каков геометрический и механический смысл производной векторной
функции скалярного аргумента?
4. Каковы свойства производной векторной функции скалярного аргумента
и правила дифференцирования векторной функции?
5. Что называется кривизной плоской линии? По какой формуле она
вычисляется? Приведите примеры.
6. Что называется кругом и центром кривизны, эволютой и эвольвентой
плоской линии? Приведите примеры.
7. Что называется касательной, главной нормалью, бинормалью,
нормальной плоскостью и соприкасающейся плоскостью пространственной
линии? Как записываются их уравнения для линии, являющейся годографом
заданной векторной функции? Приведите примеры.
8. Что называется кривизной и кручением пространственной линии? По
каким формулам они вычисляются? Приведите примеры.
9. Напишите формулы Френе. Приведите примеры.
ТЕМА 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Основные понятия. Частные производные
Литература. [4], гл. 8, § 1-6, упр. 1-10.
2. Полный дифференциал. Касательная плоскость
и нормаль к поверхности
Литература. [4], гл. 8, § 7, упр. 11-17; § 8, упр. 18; гл. 9, § 6, упр. 17, 18, 20;
[6], ч. 1, гл. 8, § 2, п. 2, § 3.
3. Производные сложной функции и функции, заданной неявно.
Частные производные и полные дифференциалы высших порядков
Литература. [4], гл. 8, § 10, упр. 22, 24; § 11, упр. 26, 28, 30, 32; § 12, упр.
34, 38; [6], ч. 1, гл. 8, § 2, п. 3, 4, 6.
4. Поверхности уровня и линии уровня в скалярном поле. Производная
по направлению и градиент
Литература. [4], гл. 8, § 13-15, упр. 40-43; [6], ч. 1, гл. 8, § 2, п. 5, § 1.
5. Формула Тейлора для функции двух переменных.
Экстремум функции нескольких переменных
Литература. [4], гл. 8, § 16, 17, упр. 47-49; §18; [6], ч. 1, гл. 8, § 4.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется функцией двух переменных, ее областью определения?
Дайте геометрическое истолкование этих понятий.
2. Что называется функцией трех переменных, ее областью определения?
Как можно геометрически истолковать область определения функции трех
переменных?
3. Что называется поверхностью уровня и линией уровня?
4. Что называется пределом функцией двух переменных в точке? В каком
случае эта функция называется непрерывной в точке, в области?
5. Что называется точкой разрыва функцией двух переменных? Приведите
пример функцией двух переменных, непрерывной всюду, кроме каждой точки
окружности x 2 +y 2 =1.
6. Как определяются частные производные? Сформулируйте правила
нахождения частных производных функций нескольких переменных. В чем
состоит геометрический смысл частных производных функции двух
переменных?
7. Когда функция z =f(x,y) называется дифференцируемой в данной точке?
Что называется полным дифференциалом этой функции в данной точке? В чем
состоит правило применения полного дифференциала для вычисления
приближенного значения функции, близкого к известному?
8. Запишите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в
точке M0. В чем состоит геометрический смысл полного дифференциала
функций двух переменных?
z
z
9. Запишите формулы нахождения
и
сложной функции z=F(u,v),
y
x
где u=  (x,y), v=  (x,y).
dz
10. Напишите формулу вычисления полной производной
сложной
dx
функции z=F(u,v), где u=u(x), v=v(x). Как записать эту формулу в случае
u =x?
11. Запишите формулу дифференцирования неявной функции y=y(x),
заданной уравнением F(x,y)=0.
12. Дайте определение частных производных высших порядков.
Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных
функций двух переменных.
13. Что называется производной функции u=u(x,y,z) в данной точке M0 по
направлению вектора s? Запишите формулу ее вычисления.
14. Что называется градиентом скалярного поля u=u(x,y,z) в данной точке?
Как выражается производная по направлению через градиент и единичный
вектор? Сформулируйте известные вам свойства градиента.
15. Что называется максимумом (минимумом) функции двух переменных?
Сформулируйте необходимые и достаточные условия экстремума функции
двух переменных.
16. Сформулируйте правила нахождения экстремумов функции двух
переменных.
17. Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего
значений функции двух переменных в замкнутой области.
18. Что называется условным экстремумом функции z=f(x,y)? Изложите
метод нахождения условных экстремумов функции двух переменных, если эти
переменные связаны одним условием.
ТЕМА 9. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Определение и свойства неопределенного интеграла
Литература. [4], гл. 10, § 1-3, упр. 2, 5, 7, 9, 11, 14, 16, 17, 25, 41, 46, 49, 58,
60,66.
2. Основные методы интегрирования
Литература. [4], гл. 10, § 4, упр. 27, 28, 33, 37, 47,51, 65,72, 83, 89, 91, 94,
100, 101; § 6, упр. 127-131, 134, 135, 138, 140, 143, 145.
3. Стандартные методы интегрирования
некоторых классов функций
Литература. [4], гл. 10, § 5, упр. 102, 105, 107, 110, 112, 113, 115, 116, 123,
125; § 7-9, упр. 156, 163, 164, 167, 169; § 10, упр. 170, 176, 177; § 12, упр. 196,
198, 203, 204, 209, 212, 214, 216; § 13, упр.178,180.
4. Использование таблиц интегралов
Литература. [4], гл. 10, § 14.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение первообразной функции.
2. Укажите геометрический смысл совокупности первообразных функций.
Что называется неопределенным интегралом?
3. Напишите таблицу основных интегралов.
4. Назовите свойства неопределенного интеграла.
5. Запишите формулу замены переменной в неопределенном интеграле.
6. Запишите формулу интегрирования по частям для неопределенного
интеграла. Укажите типы интегралов, вычисление которых целесообразно
производить с помощью метода интегрирования по частям.
7. Изложите методы интегрирования простейших рациональных дробей 1,
2,3 и 4 типов.
8. Сформулируйте теорему о разложении многочлена на простейшие
множители. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на
простейшие дроби в случае простых действительных корней знаменателя.
Приведите примеры.
9. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на
простейшие дроби в случае простых действительных кратных корней
знаменателя. Приведите примеры.
10. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на
простейшие дроби для случая, когда среди корней знаменателя имеются пары
простых комплексно-сопряженных корней. Приведите пример.
11. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на
простейшие дроби для случая, когда среди корней знаменателя имеется пара
кратных комплексно-сопряженных корней. Приведите пример.
12. Изложите метод нахождения интегралов вида R(sin x, cos x)dx, где R –
рациональная функция. Приведите примеры.
13. В чем состоит общая идея метода рационализации при интегрировании
иррациональных и трансцендентных функций?
ТЕМА 10. ОПЕРЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Определение, свойства и вычисление определенного интеграла
Литература. [4], гл. 11, § 1-5, § 6, упр. 8, 10, 11, 13, 16-21, 23, 24.
2. Приближенное вычисление определенного интеграла
Литература. [4], гл. 11, § 8, упр. 44, 46, 47, 50.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение
геометрический смысл.
определенного
интеграла
и
укажите
его
b
2. Пусть  f ( x)dx  0, f ( x)  0. Как это истолковать геометрически?
a
3. Сформулируйте свойства определенного интеграла.
4. Сформулируйте теорему о среднем для определенного интеграла и
выясните ее геометрический смысл.
5. Запишите формулу Ньютона–Лейбница для вычисления определенного
интеграла.
6. Запишите формулу замены переменной в определенном интеграле.
Приведите пример.
7. Запишите формулу интегрирования по частям для определенного
интеграла. Приведите пример.
8. Запишите формулу трапеций для приближенного вычисления
определенного интеграла. Приведите пример.
9. Запишите формулу парабол (правило Симпсона) для приближенного
вычисления определенного интеграла. Приведите пример.
3. Несобственные интегралы
Литература. [4], гл. 11, § 7, упр. 29-31, 34, 35, 37-40.
4. Геометрические приложения определенного интеграла
Литература. [4], гл. 12, § 1, упр. 1, 3, 5-11; § 2, упр. 13, 14, 17, 18; § 3, упр.
38-41, 43; § 4, 5, упр. 20-23, 25, 32; § 6, упр. 49, 51, 53, 56.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение несобственного интеграла первого рода (интеграла, у
которого один или оба предела интегрирования бесконечны); укажите его
геометрический смысл в случае, когда подынтегральная функция
неотрицательна; приведите примеры сходящегося и расходящегося интеграла
первого рода.
2. Дайте определение несобственного интеграла второго рода (интеграла от
неограниченной функции). Укажите его геометрический смысл в случае, когда
подынтегральная функция неотрицательна; приведите примеры сходящегося и
расходящегося интеграла второго рода.
3. Сформулируйте правило дифференцирования интеграла, зависящего от
параметра.
4. Запишите формулу для вычисления площади криволинейного сектора,
ограниченного кривой, заданной в полярной системе координат.
5. Запишите формулу для вычисления длины дуги кривой, заданной
уравнением в декартовой системе координат. Приведите примеры.
6. Запишите формулу для вычисления объема тела по известным площадям
поперечных сечений. Запишите формулу для вычисления объема тела
вращения. Приведите примеры.
7. Запишите формулу для вычисления площади поверхности тела вращения.
После изучения тем 4–10 выполните контрольную работу 2.
Номера задач для контрольных работ
Вариант
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
Вариант
1
91
2
92
3
93
4
94
5
95
6
96
7
97
8
98
9
99
10
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
Контрольная работа №1
11 21 31 41 51 61 71
12 22 32 42 52 62 72
13 23 33 43 53 63 73
14 24 34 44 54 64 74
15 25 35 45 55 65 75
16 26 36 46 56 66 76
17 27 37 47 57 67 77
18 28 38 48 58 68 78
19 29 39 49 59 69 79
20 30 40 50 60 70 80
Контрольная работа №2
111 121 131 141 151 161
112 122 132 142 152 162
113 123 133 143 153 163
114 124 134 144 154 164
115 125 135 145 155 165
116 126 136 146 156 166
117 127 137 147 157 167
118 128 138 148 158 168
119 129 139 149 159 169
120 130 140 150 160 170
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
Контрольная работа №1.
Элементы векторной алгебры, линейной алгебры и аналитической геометрии.
1-10. Убедиться, что векторы a,b,c образуют базис. Найти разложение
вектора d по этому базису.
Номер
задачи
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Координаты векторов
A
b
3; 2; 2
1; 2; 1
1; -2; 1
1; 2; 4
2; 3; 3
3; 2; 2
3; 2; -2
5; -1; 4
1; 1; 3
2; 1; 1
2; 3; 1
-1; 1; 2
-2; 0; 4
1; -1; 1
-1; 4; -2
2; 3; 1
4; -1; 3
1; 2; 3
2; 3; 1
2; -4; 3
c
1; 1;
1; 1;
1; 3;
2; 2;
-1; -2;
1; 1;
1; 0;
4; -2;
3; 2;
-1; 2;
d
3
2
3
4
4
3
1
1
2
1
5; 1; 1
6; 3; 5
5; -1; 1
-1; -4; -2
4; 11; 11
5; 1; 11
4; 7; 11
0; 4; 2
5; 1; 1
6; 0; 5
11-20. Даны координаты вершин пирамиды А, В, С, D. Требуется найти: 1)
длину ребра АВ; 2) угол между ребрами АВ и АС; 3) уравнение прямой АВ; 4)
уравнение плоскости АВС; 5) угол между ребром АD и гранью АВС; 6)
площадь грани АВС; 7) объем пирамиды; 8) уравнение высоты, опущенной из
вершины D на грань АВС. Сделать чертеж.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
А(2, 0, 2),
А(3, 1, 2),
А(3, 1, 2),
А(2, 0, 3),
А(2, 0,-3),
А(-1, 1, 3),
А(2, 7,-5),
А(3, 8, 5),
А(2, 3, 6),
А(3,-1, 2),
В(3, 1, 2),
В(4, 0, 3),
В(0, 0, 6),
В(-1, 4, 2),
В(-3, 4, 2),
В(1, 0, 0),
В(2, 0,-1),
В(2, 3, 5),
В(-3, 0, 1),
В(0,-3, 1),
С(4,2,0),
С(2,1,-1),
С(3,2,1),
С(3,2,1),
С(5,7,0),
С(5,-2,1),
С(-2,-4,6),
С(-3,-5,1),
С(6,-3,1),
С(0,0,2),
D(1,1,1).
D(0,-3,2).
D(0,4,1).
D(1,2,3).
D(4,2,1).
D(-1,-1,0).
D(3,2,-1).
D(0,2,1).
D(4,3,-1).
D(4,7,-1).
21-30. Даны вершины треугольника А(х1,у1), В(х2,у2), С(х3,у3). Требуется:
1) вычислить длину высоты и медианы, проведенных из вершин В; написать их
уравнения; 2) написать уравнение прямой, проходящей через вершину В
параллельно стоне АС; 3) угол между прямыми АВ и АС; 4) найти точку В1
симметричную точке В относительно прямой АС.
Номер
задачи
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Координаты вершин треугольника
А
В
4; 3
-2:-3
4;-2
-4; 4
2; 6
-4; 3
-1;-1
-2; 6
-2; 6
1;-1
7; 2
-1; 4
3; 1
-1; 4
7; 1
-5;-4
6; 2
3;-5
-2;-3
-4; 5
С
-5; 5
-3; 1
-5;-2
4; 3
6; 3
-2; -3
2;-2
4;-3
-2; 7
1;-3
31-40. Линия задана уравнением r = r (  ) в полярной системе координат.
Требуется:
1. построить линию по точкам, начиная от  = 0 до  = 2  и придавая 

значения через промежуток ;
8
2. найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе
координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная
полуось абсцисс с полярной осью;
3. по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат
определить, какая это линия.
4
1
31. r 
;
32. r 
;
4  4 cos
3  cos
5
3
33. r 
;
34. r 
;
6  4 cos
1  2 cos
3
1
35. r 
;
36. r 
;
2  cos
7  7 cos
2
4
37. r 
;
38. r 
;
3  3 cos
2  3 cos
1
5
39. r 
;
40. r 
.
3  3 cos
3  2 cos
41-50. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и
решить ее тремя способами: 1) методом Крамера; 2) методом Гаусса; 3)
средствами матричного исчисления.
 3 x1  4 x 2  2 x3  8,

41.  2 x1  4 x 2  3x3  1,

 x1  5 x 2  x3  0.
 5 x1  8 x 2  x3  7,

42.  2 x1  3 x 2  2 x3  9,

 x1  2 x 2  3 x3  1.
 3 x  x  x  5,
1
2
3


43.  x1  4 x 2  2 x3  3,
  3 x  5 x  6 x  7.
1
2
3


 x1  3 x 2  2 x3  1,

45.  x1  2 x 2  x3  0,

 4 x1  4 x 2  x3  3.
 x1  2 x2  3x3  2,

47.  x1  2 x2  x3  6,

 x1  x2  2 x3  0.
 x1  2 x 2
 3,

49.  x1  x 2  3 x3  3,
 2 x  3 x  4 x  3.
2
3
 1
2 x1  x 2  5 x3  4,

44. 5 x1  2 x 2  13 x3  2,

3 x1  x 2  5 x3  0.
 3 x1  2 x 2  x3  1,

46.  x1  3 x 2  5 x3  2,

 x1  2 x 2  x3  3.
 2 x1  3x2  x3  4,

x2  x3  0,
48. 

 x1  2 x2  3x3  2.
 x1  2 x2  3 x3  3,

50.  x1  2 x2  x3  3,

 2 x1  3 x2  x3  6.
51-60. Решить систему методом Гаусса. Найти общее и два частных
решения системы.
 2 x1  x 2  x3  х 4  х5  1,

51.  x1  x 2  x3  х 4  2 х5  0,
 3 x  3 x  3 x  3 х  4 х  2.
2
3
4
5
 1
 3 x1  x 2  2 x3  х 4  х 5  1,

53.  2 x1  x 2  7 x3  3 х 4  5 х5  2,

 x1  3 x 2  2 x3  5 х 4  7 х5  3.
 x1  3 x 2  2 x3  2 х 4  х5  1,

55.  x1  2 x 2  x3  х 4  х5  3,

 x1  4 x 2  x3  х 4  х5  3.
 x1  2 x2  3x3  4 х4  2 х5  2,

57.  x1  2 x2  x3
 х5  3,

 2.
 x1  x2  2 x3  3х4
 4 x1  5 x 2  5 x3  5 х 4  7 х5  3,

52.  3 x1  3x 2  3 x3  3х 4  4 х5  2,

 x1  x 2  x3  х 4  2 х5  0.
 3x1  2 x 2  7 x3  5 х 4  8 х5  3,

54.  x1  3x 2  2 x3  5 х 4  7 х5  3,

 3x1  x 2  2 x3  х 4  х5  1.
 x1  2 x 2  x3  х 4  х5  1,

 1,
56.  x1  3x 2  5 x3  х 4

 x1  2 x 2  x3  х 4  х5  3.
 2 x1  3x 2  x3  х 4  4 х5  1,

x 2  x3  х 4  2 х5  5,
58. 

 x1  2 x 2  3x3  4 х 4  2 х5  2.
 x1  2 x 2
 x1  2 x 2  3x3  4 х 4  2 х5  2,
 3х 4  2 х5  1,


 х5  3,
59.  x1  x 2  3x3  х 4  3х5  2,
60.  x1  2 x 2  x3
 2 x  3x  4 x  5 х  2 х  7.

2
3
4
5
 1
 2 x1  3x 2  x3  х 4  4 х5  1.
61-70. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.
  1 8
62. А  
 .
1
1


 6  1
64. А  
 .
3 2 
 8  3
66. А  
 .
2
1


 5 4
68. А  
 .
4
5


 1 4
70. А  
 .
2
3


2 1
61. А  
 .
3
4


 2 1
63. А  
 .
  3 2
 4 2
65. А  
 .
4
6


 2 3
67. А  
 .
5
4


 1 2
69. А  
 .
4
3


71-80. Дано комплексное число z . Требуется: 1) записать его в
алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения
w3  z  0 .


1  i 3 .
71. z  2 2 1  i  .
72. z  2 2 1  i 3 .
73. z   2 2 1  i  .
75. z  4 1  i  .
74. z  2 2
76. z   4 1  i  .
77. z  2 2
78. z  1



3i .

79. z  1 1  3i .


3i .
80. z  2 2


3 i .
81-90. Даны два линейных преобразования:
x   a x  a x  a x ,
x   b x   b x   b x  ,
1
11 1
12 2
13 3
11 1
12 2
13 3

 1
 
 



 x 2  a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x3 ,
 x 2  b21 x1  b22 x 2  b23 x3 ,
 
 



 x3  a 31 x1  a 32 x 2  a33 x3 ;
 x3  b31 x1  b32 x 2  b33 x3 .


Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее
  
x1 , x 2 , x3 через x1 , x 2 , x 3 .
81.
82.
83.
84.
85.
86.
x   x  2x  x ,
1
2
3
 1
 
 x 2  3x1  2 x 2  x3 ,
 
 x3  x1  2 x 2  x3 ;

x   x  2x  2x ,
1
2
3
 1
 
 x 2  2 x1  x 2  3 x3 ,
 
 x3  x1  x 2  2 x3 ;

x   x  2x ,
1
2
 1
 
 x 2  x1  2 x 2  x3 ,
 
 x3  x1  x 2 ;

x  
x 2  2 x3 ,
 1
 
 x 2  2 x1  x 2  3x3 ,
 
 x3  x1  3x 2  x3 ;

 x   x  2 x  3x ,
1
2
3
 1
 
 2 x3 ,
 x 2  3x1
 
2 x 2  x3 ;
 x3 

x   x  2x ,
1
2
 1
 
 x 2  2 x1  x 2 ,
 
 x3  x1  5 x 2  x3 ;

x   x  2 x  5x ,
1
2
3
 1
 
87.  x 2  2 x 2  x3 ,
 
 x3  x1  x 2 ;

 x   5 x   3x   x  ,
1
2
3
 1
 



 x 2  x1  2 x 2  x3 ,
 



 x3  x1  x 2  x3 .

 x   x   3x   x  ,
1
2
3
 1
 


 x3 ,
 x 2  2 x1
 



 x3  x1  2 x 2  x3 .

x   x   2x   x  ,
1
2
3
 1
 



 x 2  x1  x 2  x3 ,
 



 x3  x1  2 x 2  x3 .

 x   2 x   3x   x  ,
1
2
3
 1
 


3 x 2  2 x3 ,
x2 
 



 x3  x1  2 x 2  3 x3 .

 


 x3 ,
 x1  2 x1
 



 x 2  x1  2 x 2  x3 ,
 



 x3  x1  x 2  x3 .

x   x   5x   x  ,
1
2
3
 1
 



 x 2  x1  3 x 2  x3 ,
 



 x3  x1  x 2  3 x3 .

 


x

x

3
x
 1
1
2 ,
 



 x 2  x1  4 x 2  x3 ,


 x3   x1
 x3 .

x   2x   x  ,
1
2
 1
 


x 2  5 x3 ,
x2 
 

 x3  2 x1 .
 


x

3
x

x
 1
1
2 ,
 



 x 2  x1  2 x 2  x3 ,


 x3   3 x1
 2 x3 .



x  
x 2  6 x3 ,
1

 


 7 x3 ,
 x 2  3x1
 



 x3  x1  x 2  x3 .

 x   5 x  x  3x ,
1
2
3
 1

88.  x 2  x1  2 x 2 ,
 
7 x 2  x3 ;
 x3 

x   x  2x  2x ,
1
2
3
 1

89.  x 2 
3x 2  x3 ,
 
 3 x3 ;
 x3  2 x1

x   7 x
 4 x3 ,
1
 1

90.  x 2  
4 x 2  9 x3 ,
 
 x3  3 х1  x 2 ;

Контрольная работа № 2
Математический анализ
91-100. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
2 x 2  5x  3
91. а) lim
,
x2  9
x 3
sin 2 x
в) lim
,
2
x 0 3 x
92. а)
lim
x 4
x 2  x  12
,
2x 2  7х  4
sin 2 x
в) lim
,
x 0 1  сos 4 x
93. а)
в)
2x2  x  3
,
lim
2
x 1 x  х  2
lim
x 0
sin 3x
,
1  cos 2 x
n 2  2n  2
б) lim
,
2
 2n  1
n  3n
x
 x 3
г) lim 
 .
х   x  2 
б)
lim
n 
n 3  3n  4
,
n3  n  1
x
 2x 1 
г) lim 
 .
х   2 x  1 
100 n
,
3 n
x
 x  3
г) lim 
 .
х   x  1 
б)
lim
2
n  n
6  х  x2
94. а) lim
,
2
x 3 15  х  2 x
в)
lim
x 0
95. а)
lim
x 3
в)
lim
x 0
sin 8 x
,
tg 5 x
x 2  2x  3
,
x 2  5х  6
tg 3 x
,
sin 2 x
2x 2  7 x  4
96. а) lim
,
10 x  5
x 0 , 5
в)
lim
x 0
sin 5 x
,
1  cos 6 x
6n  4
,
n
5x
 x 1 
г) lim 
 .
х   x  4 
б)
lim
n  7  9
2n 2  3n  5
,
lim
2
n  3  5n  6n
x
 4x 
г) lim 
 .
4
x

2
х  

б)
б)
lim
n 
4n 3  2n 2  n
,
2n 3  n  1
x
 x  2
г) lim 
 .
х   x  3 
x 2  6 x  16
97. а) lim
,
2
 5х  2
x 2 3 x
2 x  tg 3 x
в) lim
,
x  0 1  cos 4 x
2n  1
б) lim n
,
1
n  2
3x
 2x  1
г) lim 
 .
х   2 x  1 
2 x 2  5x  3
98. а) lim 2
,
 4х  5
x  1 x
2x
в) lim
,
1  cos 6 x
x 0
5n  3
б) lim n 1
,
2
n  5
4x
 x 1 
г) lim 
 .
х   x  2 
x 2  8x  2
99. а) lim
,
2
 4х  4
x  2 3 x
x  sin 5 x
в) lim
,
x  0 1  cos 8 x
2x 2  x  1
100. а) lim 2
,
 5х  4
x  1 x
cos x  cos3 x
в) lim
,
x  tg 2 x
x 0
б)
lim
n 
n  n2  1
,
5n  3
 x 
г) lim 

х   x  2 
3x
.
5n  3n
б) lim n
,
n
n  3  5
2x
 x 3
г) lim 
 .
х   x  1 
101-110. Исследовать функции на непрерывность и сделать схематический
чертеж.
101. а) y 
3x
, при x1  5 , x2  1 .
x5
  x,
x0


б) y   sin x, 0  x   .

x 

 x  2,
 2 x,
x0

x4

102. а) y 
, при x1  1 , x2  2 . б) y   x 2  1, 0  x  1 .
x 1

2,
x 1


103. а) y 
104. а) y 
105. а) y 
2x  3
, при x1  4 , x2  5 .
x4
 3 x  1,
x0


б) y   x 2  1, 0  x  1 .

1,
x 1


7x  5
, при x1  2 , x2  1 .
2x  4
 sin x,
x0


б) y   2 x, 0  x  1 .

x,
x 1


6 x
, при x1  2 , x2  6 .
x2

  x,
x0



б) y   tgx , 0  x  .
4



2,
x


4
 x  1,
x0

3x

106. а) y 
, при x1  6 , x2  7 . б) y   x 2 , 0  x  2 .
x6

x2

 1,
x


,
x0

2


3x

107. а) y 
, при x1  4 , x2  7 . б) y   cos x, 0  x  .
2
x4




x

,
x


2
2

  x,
x0

2x

108. а) y 
, при x1  5 , x2  6 . б) y  
2, 0  x  2 .
x5

x,
x2


109. а) y 
110. а) y 
2x
, при x1  2 , x2  2 .
x2
 x 2  1,
x0


б) y  
1, 0  x  2 .

x2

 x  2,
2x
, при x1  2 , x2  2 .
x2
 x 2  1,
x0


б) y  
x, 0  x  2 .

x2

 2 x  2,
111-120. Найти производные данных функций.
111. а) y  x 4  5 x  3 (5 х  1) 2 ;
в) y  arctg x  x ;
д) y  x  sin y  y  cos x  0 .
112. а) y 
3х
6 2 x;
2 x
в) y  x  arcsin x  1  x 2 ;
б) y 
1  tgx
;
1  tgx
2
г) y  x x ;
б) y  sin 2 2 x ;
г) y  x sin x ;
д) e xy  x 2  y 2  0 .
1  x2
113. а) y 
;
1  x2
в) y  arctg 1 ;
x
 
б) y  e1 ln x ;
г) y  x arcsin x ;
д) y  sin x  cos  x  y   cos y .
1  x2
114. а) y 
;
1 x
б) y  tg ln
в) y  3 x cos 2 x ;
д) cos  x  y   2 x  4 y  0 .
115. а) y  х 2  5 х  3 (5 х  1) 2 ;
в) y  arctg 2 x  1  2 x  1 ;
д) cosxy   y .
x
116. а) y 
3х
 6 3 x;
3 x
в) y  x 2  arcsin 2 x  1  4 x 2 ;
д) e x  y  sin  y  .
 x
1  3x 2
117. а) y 
;
1  3x 2
в) y  arctg  1 2 
 x 
2
3
д)  x  y    x  2 y  .
3
1  3x 2
118. а) y 
;
2  3x 2

г) y  1  x 2
б) y 

x 1 ;

sin x
;
1  cos 2 x
;
1  cos 2 x
г) y  sin 3x  x ;
2


б) y  ln 2 2 x3  3 ;
sin 2 x
г) y  shx 
;


б) y  cos ln 2 x ;
г) y  x arccos 2 x ;
б) y  e 3 x cos 2 2 x  3 ;
в) y  3 1 4 x arctg 2 x ;
д) y  ln x  x  ln y  x  y .
119. а) y  x 4  2 x 

3x  12 ;
в) y  arcsin 2 x  x ;
д) xy  7 x 3  5 y 4  3x  4  0 .

г) y  1  3 x 2
б) y 

sin 5 x
1  ctgx
;
1  ctgx
sh3 x
г) y   x  3 ;
;
2x
120. а) y 
2x
2
б) y  x 3 ln sin 3x  ;
63 2 x;

в) y  earcsin 2 x   1  x 2 ;
г) y  1  x 2

sin x
;
д) 5 x 2 y  7 x  2 y 2  4  0 .
121-130. Исследовать функции методом дифференциального исчисления и
схематично построить их графики.
121. а) у 
122.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
2х  1
 х  1
2
;
х2  2х  2
а) у 
;
х 1
х 2  3х  2
а) у 
;
х 1
3х
а) у  2
;
х 1
х3
а) у  2
;
х 1
4х
а) у  2
;
х 4
2х  1
а) у 
;
 х  12
2

х  2
а) у 
;
х 1
х
129. а) у 
;
9  х2
x2  х  1
130. а) у  2
;
х  2x
б) у  х 3  е х 1 .
б) у  x  е х .


б) у  ln x 2  2 x  2 .
б) у   х  1  е3 х 1 .
б) у  х  ln x .
б) у 
1
5

е x
.
б) у   x  1  е 2 х .
1
б) у  x 2  e x .
б) у  х 2  2 ln x .


б) у  ln х 2  1 .
131-140. Найти частные производные второго порядка функции z  f  x, y  .
Показать, что zxy  zyx .
131. z  y
x

 x ;
y
132. z  y  e xy ;

133. z  ln x 2  2 y 2 ;
134. z  arctg  y  ;
 x
135. z  x  e  xy ;
136. z  arctg  x y  ;


137. z  sinxy ;
139. z  cos x  y 2 ;
2


y
x
e
138. z  ;
140. z  ln  x  ln y .
141-150. Даны функция z = f ( x , y ) точка А(х0,у0) и вектор аа1 , а 2  . Найти:
1) grad z в точке А;
2) производную в точке А по направлению вектора а .


141. z  ln x  y 2 ;
А(0;2),
а  4,3 .
142. z  х 2  ху  у 2 ;
А(1;1),
а  2,1 .
143. z  е 2 х  2 у ;
А(1;-1),
а  2,3 .
144. z  arctg xy 2 ;
А(2;3),
а  4,3 .
2
145. z  arcsin x  ;
 y
А(1;2),
а  5,12  .
146. z  cos xy  ;
А(1;

),
2
А(1;1),
а  1,2 .
2
А(0;1),
а  5,4  .
2
А(-1;-3),
а  4,2  .
А(1;1),
а   2,3 .
 


148. z  sin x  y ;
149. z  arctg 3x y  ;
150. z  ln 5 x  3 y ;
147. z  ln 3x 2  y 3 ;
2
2
а  3,2  .
151-160. Вычислить неопределенные интегралы.
151. а)  1  х dx ;
г)  x  arctg 2 xdx ;
152. а) 
г) 
dx
dx
;
в)
;

9x2  3
4х2  4х  3
3x 2  20 x  9
д) 
.
x  1x  3x  5
б) 
dx
7 dx
;
7x  2
б) 
ln x
dx ;
x2
д) 

б) 
9dx
;
x  ln 7 x
153. а)  sin 2  3x dx ;
;
в) 
dx
в) 
dx
;
2х  2х  1
3х 2  2 х  1
9x2  3
2 x 2  41x  91
dx .
x 2  2 x  3  x  4

2
;
г)  x  sin xdx ;
154. а)  e9 8 x dx ;
г)  ln x  1dx ;
155. а)  1  x 3 dx ;
г)  x  e x dx ;
156. а) 
dx
;
2x  7
г)  arccos2 xdx ;
158. а)  7  e9  7 x dx ;
159. а) 
б) 
tgx
dx ;
cos2 x
д) 
x 2  19 x  6
dx .
x 2  x  2  x  3


в) 

dx
б) 
e
;
dx
в) 
;
2x2  1
4 х 2  8х  3
5 x 2  5 х  58
dx .
x 2  x  12  x  1

;

ctgx
dx
;
в)
;
dx

5х  х2  6
sin 2 x
2 x 2  26
dx .
д)  2
x  4 x  3  x  5
б) 

б) 

dx
д) 
dx
в) 
;
2  5x2
1  х  3х 2
9 x 2  3х
dx .
x 2  x  2  x  1
б)  sin x  cos xdx ; в) 
dx
;
dx
dx
;
в)
;

2x2  1
8  2х  х2
6x2
д)  2
dx .
x  3x  2 x  1
dx
;
1  6x
7 x 2
5  7 х  3х 2
б) 
д) 
г)  x  1  e dx ;
dx

ln x
dx ;
x3
x
160. а) 

д) 
157. а)  cos4  3x dx ;

д) 

г)  x  ln xdx ;
г)
4 x 2  32 x  52
dx .
x 2  6 x  5 x  3

;

dx
;
х 2  4 х  25
2 x 2  12 х  6
dx .
x 2  8 x  15 x  1


б)  3 cos2 x  sin xdx ; в) 
dx
4 х2  8х  9
;
г)  x  ln xdx ;
д) 
7 x 2  17 х
dx .
x 2  2 x  3 x  2


161-170. Вычислить определенные интегралы с точностью до 10-2.

2
3
0
1
x3
162. а)  8
dx ;
x

1
0
б)
0
164. а)


0
2
2
dx
.
2
x

5x

4
1
0

170. а)
2

2
.
1
dx
.
2
x

2x

5
1
2
б)
dx

3
2  3х  2 x
4
2
.
1
x
2
2
б) 
6

4х  3  x
2
sin ln x 
168. а) 
dx ;
x
1
169. а)
dx
б) 
dx ;
e
4
.
2
2

2
б) 
167. а)  cos x  sin 3 xdx ;

8  2х  x
2
3
4x
1

dx

1
x

2
1
б)
dx ;
x2
dx ;
1  x6
3
166. а)
х
x2
1
165. а)
1
.
x  2x  4
dx
б)  2
.
 5 x  4x  21
163. а)  х3 4  5 х 4 dx ;
е

2
2
1
2
dx
.
2
2 2 x  3x  2
0
dx
б) 
161. а)  sin x  cos xdx ;
2
 
cos x
2
dx
.
0 x  4x  5
б) 
dx ;
2
7
cos x
dx ;
x
dx
.
x

3x

10
4
б) 
2
9
171-180. Вычислить
расходимость.

arctg 2 x
171. 
dx ;
2


1

4
x
0

x
dx ;
173. 
5
0 4 16  x 2


несобственные


172.

174.
интегралы
4
 х  1  ln 2 x dx ;
1


1
x
dx ;
16 x 2  1
или
доказать
их
16 x
175. 
dx ;
4
1 16 x  1

177.
1
 x  ln x  12 dx ;
e2

179.
3
0
x
x2
3
8
176.
178.

1 
3


4
1  9 x arctg 3xdx ;
2
2
dx
 x 2  3x  2 ;
3

dx ;



180.  x  e  x dx .
2
0
181. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = х 2
прямой у = 3 - 2 х .
и
182. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды
х = 4 ( t - sint ), y = 4 ( 1 - cost ), (0  t  2  ) с осью ОХ.
183. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = 2(1-cos).
184. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли
r =4cos2.
2
185. Вычислить длину дуги полукубической параболы у 2 =( х-1 ) 3 от точки
А(2;-1) до точки В(5;-8).
186. Вычислить длину астроиды х = 2cos 3t, y = 2sin 3t.
187. Вычислить длину кардиоиды r = 3(1-cos).
188. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной кривыми у = 8 - х 2 , у = х 2 .
189. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной кривыми у = х 2 , у = х .
190. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной параболой 2у = х 2 и прямой 2 х + 2 у - 3 = 0 .
Решение типового варианта




Пример 1. Даны
векторы
в
a 2;4;1 , b 1;3;6 , c 5;3;1 , d 24;20;6
  
некотором базисе. Показать, что векторы a , b , c образуют базис и найти

координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Для того, чтобы три вектора могли образовывать базис пространства R3 ,
необходимо и достаточно, чтобы они были линейно независимы. Это значит,
определитель, столбцами которого являются координаты векторов системы,
должен быть отличен от нуля.
Вычислим определитель  системы.
2 1 5
  4 3 3  2  3 1  4  6  5  1  3 1  1  3  5  6  3  2  4 11 
.
1 6 1
 6  120  3  15  36
  4  74  0


Вывод: векторы a , b , c линейно независимы и образуют базис в R3 .

  
Разложение вектора d по базису a , b , c в векторной форме имеет вид:
d  x1  a  x2  b  x3  c ,

где х1, х2, х3 – искомые координаты вектора d в данном базисе.
В координатной форме это разложение имеет вид:
(24;20;6)= х1(2;4;1)+х2(1;3;6)+х3(5;3;1)
или
(24;20;6)=(2х1+х2+5х3;4х1+3х2+3х3;х1+6х2+х3).
В левой и правой частях полученного равенства стоят два вектора. Они
равны и поэтому равны их одноименные координаты. Получим систему трех
уравнений с тремя неизвестными:
 2 х1  х 2  5 х3  24

4 х1  3х 2  3х3  20 .
 х  6х  х  6
2
3
 1
Систему решаем по формулам Крамера. Для этого, кроме определителя ,
вычисляем 1, 1, 3, полученные из определителя  заменой соответствующих
столбцов столбцом свободных членов системы.
24 1 5
 1  20 3 3  24  3  1  20  6  5  1  3  6  6  3  5  6  3  24  20  1  1 
6 6 1
 72  600  18  90  432  20  148,
2 24 5
 2  4 20 3  2  20  1  4  6  5  24  3  1  1  20  5  2  3  6  4  24  1 
1 6 1
 40  120  72  100  36  96  0,
2 1 24
 3  4 3 20  2  3  6  4  6  24  1  20 1  1  3  24  2  20  6  4 1  6 
1 6 6
 36  576  20  72  240  24  296 .

Координаты вектора d определяются по формулам:


 148
0
296
х1  1 
 2 ; х2  2 
 0 ; х3  3 
 4.

74
 74

74

 

Таким образом, разложение вектора d по базису a , b , c имеет вид:

d  2a  4c или d (2;0;4).
Проверка. Подставим
в правую часть полученного разложения координаты
  
векторов a , b , c :

2a  4c = 2 ( 2 ; 4 ; 1 ) + 4 ( 5 ; 3 ;1 ;) = ( 4 ; 8 ; 2 ) + ( 2 0 ; 1 2 ; 4 ) = ( 2 4 ; 2 0 ; 6 ) = d .
Получили
координаты вектора d . Значит, разложение вектора d по базису
  
a , b , c найдено верно.
Пример 2. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(10;6;6),
B(-2;8;2), C(6;8;9), D(7;10;3).
Найти:
1) Длину ребра АВ;
2) Угол между ребрами АВ и АD;
3) Уравнение прямой АВ;
4) Уравнение плоскости АВС;
5) Угол между ребром АD и гранью АВС;
6) Площадь грани АВС;
7) Объем пирамиды;
8) Уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.
Сделать чертеж.
Решение:
1) Если ребро АВ обозначить за вектор АВ , то длина ребра - это длина
вектора. Находим координаты вектора АВ :
АВ =(-2-10;8-6;2-6)=(-12;2;-4).
Если АВ =(х;у:z), то его длина AB  x 2  y 2  z 2 .
Следовательно,
AB 
 122  2 2   42
 144  4  16  164  12,8 .
2) Угол между ребрами АВ и АD – это угол между векторами АВ и АD .
Находим координаты вектора АD .
АD =(7-10;10-6;3-6)=(-3;4;-3).
Из пункта 1) нам известны координаты вектора АВ =(-12;2;-4). Угол между
двумя векторами находится по формуле:
AB  AD
cos AB , AD 
.
AB  AD


Если векторы АВ и АD имеют координаты АВ =(х1;у1:z1), АD (х2;у2:z2)
соответственно, то эта формула перепишется в виде:
x1  x 2  y1  y 2  z1  z 2
cos AB, AD 
.
2
2
2
2
2
2
x1  y1  z1  x 2  y 2  z 2
Следовательно, получаем
 12   3  2  4  4   3
cos AB, AD 

2
2
2
2
2
2
 12   2   4   3  4   3





36  8  12
56
28


 0,75.
144  4  16  9  16  9
164  34
82  17
Итак,   410 24 .
3) Уравнение прямой, проходящей через две точки М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2)
имеет вид:
x  x1 y  y1 z  z1


x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1
или равносильное ему уравнение:
x  x1 y  y1 z  z1
,


l
m
n
где a =(l,m,n) – координаты направляющего вектора прямой М1М2.
Направляющий вектор прямой – это вектор, параллельный прямой. В нашем случае
прямая проходит через точки А(10;6;6) и В(-2;8;2).Следовательно, уравнение прямой
АВ:
x  10 y  6 z  6


.
 2  10 8  6
26
Итак, каноническое уравнение прямой АВ:
x  10 y  6 z  6


,
 12
2
4
где направляющий вектор

а   12;2;4
4) Уравнение плоскости по трем точкам находится по формуле:
x  x1 y  y1 z  z1
x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1  0 , 
x3  x1 y 3  y1 z 3  z1
где А(х1;у1;z1); В (х2;у2;z2); С(х3;у3;z3) – точки, через которые проходит плоскость.
Подставляя координаты точек А, В, С в формулу , получим:
x  10 y  6 z  6 x  10 y  6 z  6
 2  10 8  6 2  6   12
2
 4  0.
6  10 8  6 9  6
4
2
3
Считаем определитель, разложив его по первой строке.
 а 1 1 А 1 1 +а 1 2 А 1 2 +а 1 3 А 1 3 ,
i j
где Aij   1 M ij - алгебраические дополнения элементов a ij , а Мi j – минор
элемента a ij . Минором элемента матрицы называется определитель, получаемый
(вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых он расположен) из
данного. Следовательно,
2 4
 12 2
1 2  12  4
x  10    111 
  y  6   1 
  z  6   1 

2 3
4
3
4 2
  x  10 6  8   y  6 36  16    z  6 24  8 
  x  10   14   y  6  52   z  6  16 
 14 x  140  52 y  312  16 z  96  14 x  52 y  16 z  356 .
14 x  52 y  16 z  356  0 .
Итак, уравнение плоскости АВС:
7 x  26 y  8 z  178  0 .
5) Требуется найти угол между ребром АD и гранью АВС. Это равносильно
нахождению угла между прямой АD и плоскостью АВС. Угол между прямой
x  x1 y  y1 z  z1
и плоскостью Ах+Ву+Сz+D=0 определяется по


l
m
n
формуле:
Al  Bm  Cn
sin  
,
A2  B 2  C 2  l 2  m 2  n 2
где n   A, B, C  - координаты нормального вектора плоскости АВС.
a  l , m, n  - координаты направляющего вектора прямой АD.
Находим уравнение прямой АD по двум точкам:
x  10
7  10
Следовательно,
x  10

y 6
y 6
10  6

z 6
36
.
z 6
a   3,4,3 .
,
3
4
3
Т.к. уравнение плоскости АВС: 7 x  28 y  8 z  178  0 , то ее нормальный вектор
АD :
n  7,26,8 .
Значит,
sin  


7   3  26  4  8   3
7  26   8 
2
2
2
 3
2
 4   3
2
2

.
 21  104  24
107


 0,653
49  676  67  9  16  9
789  34
  40 0 42 .
6) Площадь грани АВС – это площадь треугольника АВС. Если
треугольник построен на векторах АВ и АС , то его площадь считается по
формуле:
1
S   AB  AC .
2
Из пункта 1) имеем АВ =(-12;2;-4).Находим координаты вектора АС .
АС =(6-10;8-6;9-6)=(-4;2;3).
Далее необходимо найти векторное произведение АВ  АС .Составляем
определитель и вычисляем его, раскладывая по первой строке.
i
j k
2 4
 12  4
 12 2
AB  AC   12 2  4  i
 j
k

2 3
4
3
4 2
4 2 3
 i 6  8  j  36  16   k  24  8  14i  52 j  16 k .
находим длину полученного вектора:
АВ  АС  14 2  52 2   16   196  2704  256  3156  2 789 .
Следовательно,
1
S   2 789  789  28,1 .
2
1
7) Объем пирамиды равен
объема параллелепипеда, построенного на
6
векторах АВ , АС , АD . Координаты этих векторов найдены ранее:
2
АВ   12;2;4 , АС   4;2;3 , АD   3;4;3 .
Vпаралда
 12 2  4
 AB  AC  AD   4 2 3 
3 4 3
  12   2   3  4  4   4   2  3   3  2   3   4   4  3   12   2   4    3 
 72  64  18  24  144  24  214 .
1
214 107
Vпар да 

 35,7 .
6
6
3
8) Грань АВС имеет нормальный вектор n  7;26;8 . Для того, чтобы
составить уравнение высоты, надо знать направляющий вектор а той прямой,
 
где лежит высота. Т.к. DH  ABC (DH-высота), то a n ( а -параллелен прямой
Следовательно, Vпир 
DH, а n - перпендикулярен АВС). Следовательно, в качестве направляющего
вектора прямой DH можно взять нормальный вектор плоскости АВС. Т.е.
n  a  l , m, n   7,26,8 . Уравнение высоты имеет вид:
x  xD y  y D z  z D
.


l
m
n
Итак, получили уравнение высоты DH:
x  7 y  10 z  3
.


7
26
8
Пример 3.
Даны вершины треугольника А(1;-1), В(-2;-6), С(-6;3).
Требуется: 1) вычислить длину высоты и медианы, проведенной из вершины В;
написать их уравнения; 2) написать уравнения прямой, проходящей через
вершину В параллельно стороне АС; 3) найти угол между прямыми АВ и АС;
4) найти точку В1 симметричную точке В относительно прямой АС.
Решение:
1.а) Составим уравнение медианы, проведенной из вершины В. Пусть М –
середина АС. Найдем её координаты:
 x  xB y A  yB 
1  6  1  3 
 5 
М A
;
;
  M
  M   ; 1 .
2
2
2 
 2
 2 


Уравнение прямой по двум точкам находится по формуле:
x  x1 y  y1
.

x2  x1 y2  y1
x  xB
y  yB
y6 x2 y6
x2


BМ:
 5
 1 
.
2
7
 2  2 1 6
xМ  xB y М  y B
Приведем это уравнение к общему виду прямой.
-14(х+2) = у+6  -14х-28= у+6  ВМ: 14х+у+34=0.
(Общий вид прямой А х + В у+С=0).
Длину медианы ВМ вычисляем по формуле: d BM  ( x B  x M ) 2  ( y B  y M ) 2 .
197
 7,02.
2
1.б) Составим уравнение стороны АС – основания высоты ВН по
известным двум точкам
x  xА
y  yА
y 1 x 1 y 1
x 1
АС:


.



 6 1 3 1
7
4
xС  x А y С  y А
Приведем это уравнение к общему виду прямой.
4(х-1) = -7(у+1)  4х-4= -7у-7  АС: 4х+7у+3=0.
A
4
Угловой коэффициент этой прямой
k АC     . Две прямые
B
7
1
1
7
перпендикулярны, если: k2   . Т. к. АС  ВН, то k BН  
 .
k AC 4
k1
Составим уравнение высоты ВН, зная, ее угловой коэффициент и точку В.
y  y В  k ВН  x  x В  .
7
y  6  x  2  4(у+6)=7(х+2)  4у+24=7х+14.
4
ВН: 7х-4у-10=0.
Тогда d BM  (2  52 ) 2  (6  1) 2 
1
4
 49 
Вычислим длину высоты ВН, как расстояние от точки В до прямой АС, по
Ax 0  By0  C
формуле d 
. Тогда получим
A2  B 2
4  (2)  7  (6)  3
47
d BH 

 5,83.
65
42  72
2) Известно, что если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты
совпадают. Следовательно, т. к BL|| AC ,то k BL  k AC .
Составляем уравнение прямой BL, зная ее угловой коэффициент
4
k BL  k AC   и точку B(-2;-6), через которую проходит эта прямая, т. е.
7
y  y B  k BL  x  x B  .
4
y  6    x  2 7у+42=-4х-8 BL: 4х+7у+50=0.
7
3) Найдем угол между прямыми АВ и АС. Составим уравнение
прямой АВ по известным двум точкам
x2 y6
x2 y6
АВ :



. 5(х+2) = 3(у+6)  5х+10= 3у+18 
1 2 1 6
3
5
АВ: 5х-3у-8=0.
5
4
Угловой коэффициент АВ: k AВ  . Знаем, что k AC   .
3
7
Воспользуемся формулой

tg ( AB , AC ) 
k AC  k AB
.
1  k AC k AB
Для данного случая

tg ( AB, AC ) 
 74  53
1  74  53
 47.

( АВ , АС )  89 0 .
4) Из п.1.б) известны уравнения стороны АС: 4х+7у+3=0 и высоты
ВН: 7х-4у-10=0. Найдем точку их пересечения:
4 х  7 у  3  0  х  58
 4х  7 у  3  0
65


.

61
у



65
у

61
7
х

4
у

10

0


65

 58 61 
О ;  - точка пересечения стороны АС и высоты ВН. Эта же точка
 65 65 
является серединой отрезка ВВ1. Зная формулы координат середины отрезка
 x  x B 1 y В  y В1 
 ,
О В
;
2
2


выведем формулы х В1  2 х0  х В , у В1  2 у 0  у В .
 2  246
,
Для данного случая получаем: х В1  2  58
65
65
61
 6 
у В1  2   65
268
.
65
 246 268 
;
Окончательно имеем: В1 
.
 65 65 
Пример 4. Линия, заданная уравнением r=r(  ) в полярной системе
координат. Требуется:
1) построить линию по точкам, начиная от  =0 до  =2  и придавая 

значения через промежуток ;
8
2) найти уравнение данной линии в декартовой системе координат, у
которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс
с полярной осью;
3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат
определить, какая это линия:
r
1
.
2  2 cos
Решение:
1) Рассмотрим первый способ построения кривой. Придавая углу значения

через промежуток
, вычисляем соответствующие значения, радиуса r и
8
записываем в виде таблицы найденные полярные координаты точек.


0
r
0,25
0,26

9
5
r
6,57
8
8
4
1,71

3
4
0,29
11

8
0,36
3
8
0,81
5
2
0,5
13
2
0,5
3
8
0,81
8
0,36
7
4
1,71
15
4
0,29
8
0,26
7
8

6,57

2
0,25
По найденным точкам строим кривую в полярной системе координат (см. рис.)
Рис.
2) Перейдем к прямоугольным координатам, используя формулы:
r 2  x2  y2
cos 
и
x
.
r
Подставляя выражение для r и соs в заданное уравнение
r
1
,
2  2 cos
получаем:
1
2х
х2  у2 
2
.
х2  у2
Выполняем преобразования, чтобы освободиться от знаменателя.
х у 
2

х2  у2
2
2 х  у  2х
2

2
х 2  у 2 2 х2  у 2  2х  х 2  у 2 ,
;
х2  у2  0 ;
2 х 2  у 2  2х  1.
Перенося 2х в правую часть и возводя в квадрат обе части равенства, имеем:
4х 2  4 у 2  1  4х  4х 2 .
Преобразуя, получаем уравнение кривой в каноническом виде.
1
 х - парабола.
4
3) Полученное уравнение определяет параболу, ось симметрии которой ось
1 
абсцисс, а вершина находится в точке  ;0  , ветви направлены влево.
4 
Данные результаты соответствуют результатам, полученным ранее (см. рис.).
у2 
Пример 5. Дана система линейных уравнений:
2 х1  х2  х3  4

 3 х1  4 х2  2 х3  11
 3 х  2 х  4 х  11
2
3
 1
доказать ее совместность и решить тремя способами:
1) Методом Гаусса;
2) По формулам Крамера;
3) Средствами матричного исчисления.
Решение: Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только
тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу ее расширенной матрицы,
т. е. r( A)=r ( A 1 ) , где
 а 11
А   а 21
а
 31
а 12
а 22
а 32
 а11
а 13 

а 23  , А1   а21
а
а 33 
 31
а12
а22
а32
а13 b1 

а23 b2  .
а33 b3 
Расширенная матрица системы имеет вид:
 2 1 1 4



А1  3
4  2 11  .


3 2
4 11 


Умножим первую строку на (–3),а вторую на (2); прибавим после этого
элементы первой строки к соответствующим элементам второй строки; вычтем
из второй строки третью. В полученной матрице первую строку оставляем без
изменений.
 2 1 1 4 


А1   0 11  1 10  ~


0 6  6 0


Разделим элементы третьей строки на (6) и поменяем местами вторую и третью
строки:
 2  1  1 4


~0 1 1 0 ~


0 11  1 10 


Умножим вторую строку на (–11) и прибавим к соответствующим элементам
третьей строки.
 2  1  1 4


~0 1 1 0


0 0 10 10 


Разделим элементы третьей строки на (10).
 2  1  1 4


1 1 0 ;
А1 ~  0


0 0
1 0


 2  1  1


1  1 .
А ~0
0 0
1 

Найдем определитель матрицы А.
2
0
0
1 1
1  1  2 11  0  0  0  0  0  2  0 .
0
1
Следовательно, r ( A) = 3 . Ранг расширенной матрицы r( A 1 ) так же равен 3, т.е.
r ( A ) = r ( A 1 ) = 3  система совместна.
1) Исследуя систему на совместность, расширенную матрицу
преобразовали по методу Гаусса.
Метод Гаусса состоит в следующем:
1. Приведение матрицы к треугольному виду, т. е. ниже главной диагонали
должны находиться нули (прямой ход).
2. Из последнего уравнения находим х3 и подставляем его во второе,
находим х2, и зная х3, х2 подставляем их в первое уравнение, находим х1
(обратный ход).
Запишем, преобразованную по методу Гаусса, расширенную матрицу
 2  1  1 4


1 1 0
А1 ~  0


0 0
1 0


в виде системы трех уравнений:
2 х1  х2  х3  4

х 2  х3  0 


х3  1

х 3 =1
х 2 =х 3  х 3 =1
2х1=4+х2+х3  2х 1 =4+1+1
 2х 1 =6 
х1=3

Ответ: х1=3 , х2=1, х3=1.
2) Решим систему по формулам Крамера: если определитель системы
уравнений Δ отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое
находится по формулам
1

; х2  2 ;


Вычислим определитель системы Δ:
х1 
х3 
3
.

2 1 1
  3 4 2 
3 2 4
 2  4  4  3  (1)  (2)  3  (2)  (1)  (1)  3  4  2  (2)  (2)  3  (1)  4 
 32  6  6  12  8  12  60
Т.к. определитель системы отличен от нуля, то согласно правилу Крамера,
система имеет единственное решение. Вычислим определители Δ1, Δ2, Δ3. Они
получаются из определителя системы Δ заменой соответствующего столбца на
столбец свободных коэффициентов.
4 1 1
 1  11 4  2 
11  2 4
 4  4  4  11  (1)  (2)  11  (2)  (1)  (1)  4  11  4  (2)  (2)  11  (1)  4 
 64  22  22  44  16  44  180,
2 4 1
 2  3 11  2  2  11  4  3  11  (1)  4  3  (2)  (1)  11  3  4  3  4  2  (2)  11 
3 11 4
 88  33  24  33  48  44  60,
2 1 4
 3  3 4 11  2  4  11  11  (1)  3  3  (2)  4  4  4  3  2  (2)  11  3  (1)  11 
3  2 11
 88  33  24  48  44  33  60.
Находим по формулам неизвестные:


180
60
х1  1 
 3; х2  2 
 1;

60
 60
х3 
 3 60

 1.
 60
Ответ: х1=3 , х2=1, х3=1.
3) Решим систему средствами матричного исчисления, т. е. при помощи
обратной матрицы.
А  Х=В  Х=А - 1  В,
где А-1 – обратная матрица к А,
 b1 
 
В   b2  - столбец свободных членов,
b 
 3
 x1 
 
X   x 2  - матрица-столбец неизвестных.
x 
 3
Обратная матрица считается по формуле:
 А11

1
А 1    А21
 
 А31
А12
А22
А32
А13 

А23 
А33 
()
где  - определитель матрицы А, А i j – алгебраические дополнения элемента а i j
матрицы А.  = 60 (из предыдущего пункта). Определитель отличен от нуля,
следовательно, матрица А обратима, и обратную к ней матрицу можно найти по
формуле (). Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы
А по формуле:
А i j =(-1) i + j M i j .
А11   1
11
4 2
 16  4  12;
2
4
А21   1
21
1 1
  4  2  6;
2 4
А12   1
3 2
 12  6  18;
3
4
А22   1
2 1
 8  3  11;
3 4
А13   1
3
4
 6  12  18;
3 2
А23   1
2 1
  4  3  1;
3 2
А31   1
1 1
 2  4  6;
4 2
А32   1
2 1
  4  3  1;
3 2
1 2
13
31
А33   1
33
2 2
23
3 2
24  1
 8  3  11.
3
4
Запишем обратную матрицу.
 1

 12
6 6  5

1 
3
А 1     18 11
1   
60 
  10

18
1
11

  3

 10
1
10
11
60
1
60
1 

10 
1 
.
60 
11 

60 
Сделаем проверку по формуле: А-1 А=Е.
А-1А=
 1

 5
3
 
 10
 3

 10
1
10
11
60
1
60
1 
3
 2 3
 


10  2  1  1   5 10 10
  6 33 3
1 
3
4

2


   
60 
10
60
60
4   6
11  3  2
3 33


 
60 
 10 60 60
1 0 0


  0 1 0
0 0 1


1 4 2
 
5 10 10
3 44 2


10 60 60
3
4 22


10 60 60

1 2
4
  
5 10 10 
3 22 4 


10 60 60 
3
2 44 



10 60 60 

Вывод: так как произведение А-1 А дает единичную матрицу, то обратная
матрица А-1 найдена верно и решение системы определяется по формуле
Х=А - 1  В.
 1

 5
3
Х  
 10
 3

 10
1
10
11
60
1
60
1 
1
1
 1

 4  11  11 


10   4   5
10
10

1     3
11
1
  11     4  11  11 
60     10
60
60 
11


11  
3
1
11 


4


11

11


60 
60
60 
 10
.
 4 11 11 
 


5
10
10

  3
 
12
121
11
  
   1
 10 60 60   
 12 11 121   1 
  

 10 60 60 
Ответ: х1=3 , х2=1, х3=1.
Проверка. Подставим полученные значения в систему. Получим:
2  3  1  1  1  1  6  1  1  4

3  3  4  1  2  1  9  4  2  11
3  3  2  1  4  1  9  2  4  11

Т. к. неизвестные х1 , х2, х3 обратили каждое уравнение в тождество, то они
найдены верно.
Пример 6. Решить систему методом Гаусса и найти какие-нибудь два
базисных решения системы.
 x1  x2  x3  x4  x5  6

 x1  3x2  x3  3x4  3x5  8
 x  x  3x  x  4
2
4
5
 1
Решение:
Расширенная матрица данной системы имеет вид
1  1 1  1 1 6 


1 3 1  3 3 8  
1 1 0  3 1 4 


Выполним прямой ход метода Гаусса.
Умножим первую строку на (-1) и прибавим ко второй и третьей строке.
Получим
1 1 1 1 1 6 


 0 4 0  2 2 2  
 0 2 1  2 0  2


Меняем местами вторую и третью строки матрицы. Получаем
1 1 1 1 1 6 


  0 2 1  2 0  2 
0 4 0  2 2 2 


Вторую строку умножаем на (-2) и прибавляем к третьей. Получаем
1 1 1 1 1 6 


  0 2 1  2 0  2 
0 0 2
2 2 6 

Разделим третью строку на 2. Получим
1 1 1 1 1 6 


  0 2  1  2 0  2.
0 0 1
1 1 3 

Итак, прямой ход осуществлен, в результате преобразования матрицы получим
систему уравнений, эквивалентную заданной
 x1  x2  x3  x4  x5  6

2 x2  x3  2 x4  2


x3  x 4  x5  3

Обратный ход позволяет последовательно определить все неизвестные
системы. Так как система содержит 5 неизвестных и всего 3 уравнения, то
выберем x4, x5 - свободными переменными, а x1, x2 x3 – базисными
переменными.
Из последнего уравнения находим x3=3-x4-x5 и подставляем во второе
уравнение для определения x2. Получаем
x3  2 x 4  2
3  x 4  x5  2 x 4  2
 x2 

2
2
1  x 4  x5
x2 
 x2  0,5  0,5x 4  0,5x 5 .
2
x2 
Подставляем найденные x2 и x3 в первое уравнение и находим
x1=6+x2-x3+x4-x5=6+ 0,5  0,5x 4  0,5x 5 -3+x4 +x5 +x4-x5;
x1=3,5+2,5x4-0,5x5.
В результате получаем общее решение системы
 3,5  2,5x 4 - 0,5x 5 


 0,5  0,5x 4  0,5x 5 
.
X 
3 - x4 - x5


x


4


x5


Одно базисное решение получаем при x4=x5=0, т.е. x1=3,5; x2=0,5; x3=3 или
X1=(3,5; 0,5; 3; 0; 0).
Чтобы получить другое базисное решение, достаточно задать x4=1; x5=0,
тогда x1=6; x2=1; x3=2 или X2=(6; 1; 2; 1; 0).
Пример 7. Найти характеристические числа и собственные векторы
 5 4
линейного преобразования с матрицей А = 
 .
 2 3
Решение:
x   x1  5 x1  4 x 2
Запишем линейное преобразование в виде: 1
x 2  x 2  2 x1  3x 2
Составим характеристическое уравнение:
5
4
 (5   )(3   )  8  15  3  5   2  8  0
2
3
2 - 8 + 7 = 0;
Корни характеристического уравнения: 1 = 7; 2 = 1;
(5  7) x1  4 x 2  0  2 x1  4 x 2  0
Для корня 1 = 7: 

2 x1  (3  7) x 2  0 2 x1  4 x 2  0
Из системы получается зависимость: x1 – 2x2 = 0. Собственные векторы для
первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где
t- параметр.
(5  1) x1  4 x 2  0 4 x1  4 x 2  0
Для корня 2 = 1: 

2 x1  (3  1) x 2  0 2 x1  2 x 2  0
Из системы получается зависимость: x1 + x2 = 0. Собственные векторы для
второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где tпараметр.
Полученные собственные векторы можно записать в виде:
u1  t (e1  0,5e2 ); u 2  t (e1  e2 ).
Пример 8. Дано комплексное число z. Требуется:
1. записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;
2. найти все корни уравнения  3  z  0 .
2 2
z
.
1 i
Решение:
1) Комплексное число z в алгебраической форме имеет вид: z=а+bi;
в тригонометрической форме: z=r(cos+isin), где r  a 2  b 2 и   arctg
b
.
a
2 2
в алгебраической форме, умножим
1 i
числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю, т. е. на 1- i.
Для тог чтобы записать z 
 2 2 1  i   2 2  2 2i  2 2  2 2i


  2  2i .
1  i 1  i 
2
1 i2
z   2  2i - алгебраическая форма.
z
a   2 , b 2 , r 
 2    2 
2
  arctg
2
2
 2 
 2  2  2,
 arctg  1 

4


2

3
.
4
3
3 

z  2 cos
 i sin
 - тригонометрическая форма.
4
4 

2)  3   2  2i    3  2  2i .
Так как число z   2  2i в тригонометрической форме
3
3 

z  2 cos
 i sin

4
4 

3
3 

  3 2 cos  i sin  .
4
4 

Применяя формулу для извлечения корня из комплексного числа:
  2k
  2k 
n r cos  i sin    n r  cos
 i sin

,
n
n 

получаем
3
3


 2k
 2k 

  1,26 cos 45 0  120 0 k  i sin 45 0  120 0 k
  3 r  cos 4
 i sin 4
3
3






Если k=0, то  0  1,26 сos 45 0  i sin 45 0 ;
 
Если k=1, то 1

 1,26сos165
 1,26сos 285



0

 i sin 285 .
 i sin 165 0 ;
0
0
Если k=2, то  2
Следовательно, корни уравнения в алгебраической форме имеет вид
Ответ:
 0  0,8909  i  0,8909 ,
1  1,217  i  0,326 ,
 2  0,326  i  1,217 .

Пример 9. Даны два линейных преобразования:
x   2 x  x  5х ,
1
2
3
 1
 
 x2  x1  4 x2  x3 ,
 
 x3  3x1  5 x2  2 х3 ;

 x   x   4 x   3x  ,
1
2
3
 1
 



 x2  5 x1  x2  x3 ,
 



 x3  3 x1  6 x2  7 x3 .

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее
x1, x2, x3 через x1, x2, x3.
Решение: Первое преобразование определяется матрицей A, а второе 
матрицей B, где
 2 1 5 


A   1 4  1,
3  5 2 


1 4 3 


B   5  1  1.
3 6 7 


Искомое преобразование является произведением данных преобразований с
матрицей
3   2 1 5 
1 4

 

C  BA   5  1  1   1 4  1 .
3 6
7   3  5 2 

Перемножив матрицы B и A, получим матрицу
0
7
 15


C   6  4 24 .
 33  14 23 


Следовательно, искомое преобразование таково:
 x   15 x
 7 x3 ,
1
 1
 
 x 2  6 x1  4 x 2  24 x3 ,
 
 x3  33 x1  14 x 2  23 x3 .

Пример 10. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом
Лопиталя:
5  4x  x 2
а) lim 2
;
x 5 x  16 x  55
5  4x  x2
Функция 2
не определена при х = 5 и поэтому разрывна в этой
x  16 x  55
точке. Числитель и знаменатель в точке х = 5 обращается в нуль, налицо
0
неопределенность   . Выделим общий множитель (х-5) и сократим на него
0
числитель и знаменатель, считая х  5 , х  5.
x  5 x  1  lim x  1   5  1   6  1.
5  4x  x 2
lim 2
 lim
х 5 x  16 x  55
x 5  x  5 x  11
x 5 x  11
5  11  6
2
x 3 х 2
б) lim
;
x  3 
х  4x 2
Ни числитель, ни знаменатель этой дроби не имеют конечного предела так как
они неограниченно возрастают при неограниченном возрастании х, т. е. имеем
 
дело с неопределенностью   . Поделим числитель и знаменатель дроби на
 
2
х :

3
2 
3
2
x 2 1  3  2 
1


3

x 
2
x2
2
x2  3 х  2
1 0  0
1
x

x
lim
 lim
 lim


2
x  3 
x 
4
 3
 x  3  1  4 0  0  4
х  4x
1
x2  2  3  4 
2
3
x
x

x 2
x 2


2
3
3
1
так как 3 , 2 , 2 , 3 при х   – величины бесконечно малые.
x
x 2 x
x 2
x2
;
x 0 1  cos 2 x
Поскольку числитель и знаменатель обращаются в нуль при х = 0 , то имеем
0
дело с неопределенностью вида   .
0
Воспользуемся
тригонометрической
формулой
для
преобразования
2
знаменателя 2 sin x = 1 - cos2x и получим предел, в котором участвует
тригонометрическая функция sinx.
x
Применив первый замечательный предел lim
 1, получаем:
x  0 sin x
x2
x2
x
x 1 1
lim
 lim
 lim

  ,
2
x  0 1  cos 2 x
x  0 2 sin x
x  0 sin x sin x 2
2
x
 1 при х  0.
так как
sin x
2x
 x5
г) lim 
 .
x   x  2 
в) lim
х5
при х  0 равен единице, т.е. в данном примере
х2
требуется раскрыть неопределенность 1 . Примеры такого вида сводятся ко
Предел функции
 
x
1

второму замечательному пределу lim 1    е .
x  
x
k 

Преобразуем выражение в скобках к виду 1 

xа

х  5 x  2  3
3
.

1
х2
x2
x2
Тогда
 x 5
lim 

x  x  2 
2x
3 

 lim 1 

x 
x  2
x2
 3
3

т. к. lim 1 

x  
x  2
 e , lim
x 
2x
x2 3

2 x
 3 x2
3

 lim 1 

x  
x  2
 e6 ,
6x
 6.
x2
Пример 11. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если
они существуют. Сделать чертеж.
  x, x  0,

f  x    x 2 , 0  x  2,
 x  1, x  2.

Решение:
Область определения функции – вся числовая ось (;+). В интервале
(;0 функция непрерывна, так как это линейная функция f(x)=х. В
интервале (0;2 эта функция непрерывна, так как это степенная функция
f(x)=х 2 и ее графиком является парабола. В интервале (2;+) функция
непрерывна, так как это линейная функция f(x)=х+1. Внимание надо обратить
на точки х=0 и х=2, так называемые точки стыка.
Найдем предел f(x) в точке х=0 слева и справа и сравним их. Слева от
точки х=0 функция задана формулой f(x)=  х, а справа  f(x)=  х 2 , тогда
lim f ( x)  lim(  x)  0; lim f ( x)  lim x 2  0;
x00
x00
x00
x00
f (0)   x x0  0.
Так как
f (0)  lim f ( x)  lim f ( x)  0 , то точка x=0 является точкой
x 0  0
x 0  0
непрерывности функции.
2. Аналогично исследуем на непрерывность функцию в точке x=2.
lim f ( x)  lim x 2  4; lim f ( x)  lim x  1  2  1  3;
x20
x20
x20
x20
Так как эти пределы различны
f (2)  x 2
x2
 22  4.


 lim f ( x)  lim f ( x)  , функция в точке x=2
x2 0
 x 20

терпит разрыв первого рода.
Построим график.
у
4
Y=-x
Y=x+1
3
х
0
2
Пример 12.
1
а) Найти производную функции y  x cos x sin x  cos2 x .
2
Решение:
1
1
Сначала преобразуем данную функцию: y  х sin 2 x  cos2 x
2
2
1
1
1
y   sin 2 x  x  2 cos 2 x  2 cos x  ( sin x) 
2
2
2
1
 sin 2 x  x cos 2 x  sin x cos x  x cos 2 x.
2
2
x 2e x
б) Найти производную функции y  2
.
x 1
Решение:
2
y 
2
(2 xe x  x 2 2 xe x )( x 2  1)  (2 x) x 2 e x
( x 2  1) 2
2
2
2
2
2

2
2
2 xe x ( x 4  1  x 2 )
2 x 3 e x  2 x 5 e x  2 xe x  2 x 3 e x  2 x 3 e x


( x 2  1) 2
( x 2  1) 2
в) Найти производную функции y  ln tg
x
x
.

2 sin x
Решение:
1 sin x  x cos x
1
sin x  x cos x




2
2
x
x
x
sin
x
sin
x
2 x 2
tg
cos
2 sin cos
2
2
2
2
sin x  sin x  x cos x x cos x


.
sin 2 x
sin 2 x
y 
1

1

x
г) Найти производную функции y  sin 2 x 
2
1
.
Решение:
Логарифмируем данную функцию
ln y  ln sin 2 x 

x 2 1
,

ln y  x 2  1  ln sin 2 x  ,
Дифференцируем

y

 x 2  1 ln sin 2 x   x 2  1  ln sin 2 x  ,
y




y
2 cos 2 x
 2 x  ln sin 2 x   x 2  1 
,
y
sin 2 x


Выражаем




y   2 x  ln sin 2 x   2  x 2  1 ctg 2 x  y .
Или




y   2 x  ln sin 2 x   2  x 2  1 ctg 2 x  sin 2 x 
x 2 1
д) Найти производную y  sin x  2 xy 3  3x  y.
Решение:
Функция задана неявно, тогда дифференцируя, получаем:
y   sin x  y  cos x  2 y 3  2 x  3 y 2 y   3  y .
Группируя слагаемые с y  , получаем:
y (sin x  6 xy 2  1)  3  y  cos x  2 y 3 .
Окончательно получаем:
.
y 
3  y  cos x  2 y 3
sin x  6 xy 2  1
x  1
y
.
2
Пример 13. Исследовать функцию
и построить график.
x2
Решение.
1. Данная функция не определена при x  2 , т. к. в этой точке знаменатель
обращается в ноль. Значит
D f    ; 2  2; .
 x  1  f  x   f x  , f  x    f x . Следовательно,
2. f  x  
x2
функция общего вида.
3. Не периодична.
2
4. Точки пересечения с осью Ох: y  0 при x  1  0 , x  1. С осью
Оу: x  0 ,
2

0  1
1
y
  . Нашли две точки пересечения графика функции с осями
02
2
1

координат:  1; 0  и  0;   .
2

5. Исследуем на непрерывность. Точкой разрыва является x  2 .
Определим тип разрыва. Для этого найдем односторонние пределы функции в
данной точке.
2
2


x  1
32
x  1
32
и
lim

 
lim

  .
x 2 0
x 2  0
x2
0
x2
0
Значит, x  2  точка разрыва второго рода.
6. Из предыдущего пункта следует, что x  2  вертикальная асимптота.
Найдем наклонную асимптоту y  kx  b .
x  1  1.
f x 
k  lim

lim
x 
x 
x  2  x
x
  x  12

4x  1

  lim




b  lim
f
x

kx

lim

x
 4.
x 
x 
x 


x

2
x

2


2
Итак, y  x  4  наклонная асимптота.
7. Исследуем на возрастание, убывание и экстремум функции. Для этого
найдем производную функции.

  x  12  2 x  1 x  2    x  12 x 2  4 x  5  x  5 x  1
 
y  


.
x  22
x  22
x  22
 x2 
Найдем точки, в которых производная равна нулю y  0 .
х  5x  1  0  x  5 и x  1.
Далее отметим данные точки на числовой оси и к ним добавляем точку x  2 , в
которой y  не определена.

+
-1
+
2
х
5
Находим интервалы, на которых y  0 : x   ;1  5;  и
y  0 : x   1; 2   2; 5 .
При прохождении точки x  1 производная меняет знак с плюса на минус.
Следовательно, x  1  точка экстремума функции, а именно максимум.
2

 1  1
 0.
xmax  1  ymax 
1 2
При прохождении точки x  5 производная меняет знак с минуса на плюс.
Следовательно, x  5 так же является точкой экстремума функции, а именно
минимумом.
2

5  1
xmin  5  ymin 
 12 .
52
8. Исследуем на вогнутость функции и точки перегиба. Для этого находим
производную второго порядка.



 x 2  4 x  5  2 x  4 x  22  x 2  4 x  5  2 x  2
18
 
y   

.
2 
4
3
 x  2
x  2
  x  2 
Вторая производная в ноль никогда не обращается, поэтому на числовой оси
отмечаем только x  2 .

+
х
y  0 : x  2;   функция вогнута и y   0 : x   ; 2  выпукла. Точек
перегиба нет.
Составим таблицу, в которую занесем полученные сведения.
х
 1;2
2;5
5;
 ;1
-1
2
5
у
+
0
не сущ.
0
+


у 
не сущ.
+
+


у
верт. ас.
max
min
После того, как собрали все данные, полученные в ходе исследования,
изобразим характерное поведение графика данной функции. (См. рис.).
у
y  x4
12
4
-4
-1
0
x  1
2
y
2
1
5
х
2
x2
Пример 14. Найти вторые частные производные функции z  sin( x 2  y ) .
''
Показать, что z xy
 z 'yx' .
Решение:
Вначале находим первые частные производные данной функции:
z x'  2 x  cos(x 2  y),
z 'y   cos(x 2  y).
Дифференцируя каждую из полученных производных по х и по у, находим
вторые частные производные данной функции:
''
z xx
 ( z x' ) 'x  2 cos(x 2  y )  2 x  ( sin( x 2  y ))  2 x 
 2 cos(x 2  y )  4 x 2 sin( x 2  y );
z 'yy'  ( z y' ) 'y  ( sin( x 2  y))( 1)   sin( x 2  y);
''
z xy
 ( z x' ) 'y  2 x  ( sin( x 2  y))  (1)  2 x sin( x 2  y);
z 'yx'  ( z y' ) 'x  ( sin( x 2  y))  2 x  2 x sin( x 2  y);
''
Из последних двух производных видно, что z xy
 z 'yx' .

Пример 15. Даны функция z = x2 + y2x , точка А(1, 2) и вектор a  (2,2).
Вычислить:

а) grad z в точке А;

б) производную функции z в точке А по направлению вектора a .
Решение:
а) Находим частные производные функции z в общем виде:
z
 2x  y 2 ;
x
Значения этих величин в точке А:
z
x
z
 2 yx;
y
z
y
 6;
А


Градиент определяем по формуле: grad z
A
z
x
 4.
А
А
 z
i 
y

 j.
А



Тогда grad z A  6i  4 j .
б) Определяем модуль этого вектора:
a = 2 2  (2) 2  8  2 2 .

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора a :
2
2
cos =
;
cos = .
2
2
Значение производной заданной функции по направлению вектора
определяем по формуле:
z
z
z
 cos 
 cos  .
 
a A x А
y А
Окончательно получаем:
z
2
2
 4
 2 .
 6
a A
2
2

а
Пример16. Найти неопределенные интегралы:
cos3x
dx ;
а) 
4  sin 3x


4  sin 3 x  u , 


Делая замену 3 cos3 xdx,
 , получаем:
 du

  cos3 xdx
3

du
cos3x
1
3 1 du 1
 4  sin 3x dx   u  3  u  3 ln u  C  u  4  sin 3x  3 ln 4  sin 3x  C .
dx
б)  2
;
x  16 x  65
1
Выделяем полный квадрат в знаменателе дроби 2
. Получаем
х  16 х  65
х2-16х+65=(х-4)2+42+65=(х-4)2-16+65=(х-4)2+49.
Тогда получаем табличный интеграл типа:
dx
dx
dx
du
1
u
 u 2  a 2  a arctg a  C .
1
 x 2  16 x  65   x  42  49   x  42  7 2  7 arctg
x4
 C.
7
в)  x 2 e 3 x dx ;
Применим два раза формулу интегрирования по частям
 udv  uv   vdu .
Получаем
u  x 2 , du  2 x,

u  x, du  dx,

2
x
2




2 3x
3x
3x
 x e dx  dv  e 3 x dx, v  1 e 3 x   3  e  3  xe dx  dv  e 3 x dx, v  1 e 3 x  




3
3




x 2 3x 2  x 3x 1 3x  x 2 3x 2 x 3x 2 3x
 e    e   e dx  
e 
 e   e dx 
3
33
3
3
9
9

 x 2 2x 2 
x 2 3x 2 x 3x
2 3x

e 
e 
 e  C  e 3 x  

   C.
3
9
27
3
9
27 


х 2 dx
г)  3
.
х  5x2  8x  4
х2
Разложим знаменатель дроби 3
на множители. Получаем:
х  5х2  8х  4
х3+5х2+8х+4=(х+1)(х2+4х+4)=(х+1)(х+2)2 .
Множителю ( х + 2 ) 2 соответствует сумма двух простейших дробей
А
В

, т. к. кратность корня х = - 2 равняется двум. Множителю (х+1)
х  22 х  2
С
– простейшая дробь
.
х 1
Итак, подынтегральная функция может быть представлена в виде суммы трех
простейших дробей.
х2
х2
А
В
С




.
3
2
2
2
х  2 х 1
х  5 х  8 х  4  х  2  х  1  х  2
Приводим к общему знаменателю и, приравнивая числители двух последних
дробей, получаем
х2=А (х+1)+В(х+2)(х+1)+С(х+2)2,
х2=Ах+А+Вх2+3Вх+2В+Сх2+4Сх+4С.
Сгруппируем члены при одинаковых степенях х.
х2=х2(В+С)+х(А+3В)+х0(А+2В+4С).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
х2 1  В  С
х1 0  А  3В  4С
х0 0  А  2В  С
В итоге имеем систему
В  С  1,


 А  3В  4С  0,
 А  2 В  4С  0.

Решая систему одним из известных методов, получаем А=-4, В=0, С=1.
Итак, разложение рациональной дроби на простейшие, имеет вид
х2
4
1


.
3
2
2
х  5х  8х  4
х  2 х  1
Таким образом,
 4
х 2 dx
х 2 dx
1 

dx 



 х 3  5x 2  8x  4 
x  22 x  1   x  22 x  1  .
dx
dx
4
 4


 ln x  1  C
2
x 1 x  2
x  2
Пример 17. Вычислить определенные интегралы с точностью до 10-2.
e
е


e
ln 2 x
ln 3 x
1
1
2
dx   ln x d (ln x) 
 ln 3 е  ln 3 1  1  0  0,33.
а) 
x
3 1 3
3
1
1
б)
1
2

1
2
1
dx
1 2
dx


4x 2  4x  5 4  1 x 2  x 
2
1
1
5
4
1 2
dx
 
4  1 ( x  12 ) 2  14 
2
5
4

1
2
1 2
dx
1


1


 

arctg
(
x

)

0
,
25

arctg
1

arctg
0

0
,
25

0


2
4  1 ( x  12 ) 2  1 4
4
1



2
2
 0,25 



 0,20.
4 16
Пример 18. Вычислить несобственный интеграл или доказать его

расходимость

0
dx
.
1  x2
Решение. По определению несобственного интеграла находим:


0
b
dx
dx

lim
 lim

2
2
b 
b 
1 x
0 1 x
arctg x 0  lim
arctg b  0 
b 
b

2
.
Пример 19. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y = x, y = x2, x = 2.
Решение:
6
5
4
3
2
1
-1
1
2
3
4
-1
Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по
формуле:
2
2
 x3 x2  2 8 4 1 1 5
S   x 2 dx   xdx          (ед2)
21 3 2 3 2 6
1
1
3
Рекомендации к выполнению контрольных работ
Приступая к решению контрольных работ, необходимо изучить
теоретический материал по рекомендованному учебнику. Изученный материал
кратко законспектировать, выделяя основные определения, формулы
необходимые для решения задач. Приобрести необходимый навык поможет
учебник [6].
Работы должны отвечать следующим требованиям:
1. Условия задач должны быть записаны в тетрадь.
2. Решения задач должны сопровождаться краткими обоснованными
пояснениями.
3. Все вычисления должны быть приведены полностью.
4. Записи должны быть аккуратными и разборчивыми.
5. Из предложенных задач для контрольных работ студент выбирает номера
задач по последней цифре его учебного шифра.
6. Контрольная работа должна быть выслана в институт не позднее, чем за
месяц до начала сессии. Студенты, вовремя не выполнившие
контрольные работы, к экзамену допускаются по усмотрению
преподавателя.
7. В период экзаменационной сессии студент обязан представить зачетную
работу и защитить ее, решая самостоятельно подобные задачи.