УТВЕРЖДЕНО на заседании Ученого совета ТГУ имени Г.Р

УТВЕРЖДЕНО
на заседании Ученого совета
ТГУ имени Г.Р. Державина,
протокол № 11
от «8» июня 2010 г.
Ректор
В.М. Юрьев
ПРОГРАММА
КАНДИДАТСКОГО ЭКЗАМЕНА
ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ
01.01.01 ВЕЩЕСТВЕННЫЙ, КОМПЛЕКСНЫЙ
И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Тамбов 2010
ПРОГРАММА-МИНИМУМ
кандидатского экзамена по специальности
01.01.01 «Вещественный, комплексный и функциональный анализ»
по физико-математическим наукам
Введение
В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: теория функций
действительной переменной (действительный анализ); теория функций комплексной переменной
(комплексный анализ); функциональный анализ, группы Ли и алгебры Ли, линейные операторы в
гильбертовом пространстве, теория представлений групп, а также программы соответствующих курсов
лекций, читаемых на механико-математических, математико-механических и физико-математических
факультетах университетов.
Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Министерства
образования Российской Федерации по математике и механике при участии МГУ им. М.В. Ломоносова.
1. Действительный анализ
Меры, измеримые функции, интеграл. Аддитивные функции множеств (меры), счетная
аддитивность мер. Конструкция лебеговского продолжения. Измеримые функции. Сходимость функций
по мере и почти всюду. Теоремы Егорова и Лузина. Интеграл Лебега. Предельный переход под знаком
интеграла. Сравнение интегралов Лебега и Римана. Прямые произведения мер. Теорема Фубини.
Неопределенный интеграл Лебега и теория дифференцирования. Дифференцируемость
монотонной функции почти всюду. Функции с ограниченным изменением (вариацией). Производная
неопределенного интеграла Лебега. Задача восстановления функции по ее производной. Абсолютно
непрерывные функции. Теорема Радона-Никодима. Интеграл Стилтьеса.
Пространства суммируемых функций и ортогональные ряды. Неравенства Гельдера и
Минковского. Пространства ip, их полнота. Полные и замкнутые системы функций. Ортонормированные
системы в L2 и равенство Парсеваля. Ряды по ортогональным системам; стремление к нулю
коэффициентов Фурье суммируемой функции в случае равномерно ограниченной ортонормированной
системы.
Тригонометрические ряды. Преобразование Фурье. Условие сходимости ряда Фурье.
Представление функций сингулярными интегралами. Единственность разложения функции в
тригонометрический ряд. Преобразование Фурье интегрируемых и квадратично интегрируемых функций.
Свойство единственности для преобразования Фурье. Теорема Планшереля. Преобразование Лапласа.
Преобразование Фурье— Стилтьеса.
Гладкие многообразия и дифференциальные формы. Касательное пространство к многообразию в
точке. Дифференциальные формы на многообразии. Внешний дифференциал. Интеграл от формы по
многообразию. Формула Стокса. Основные интегральные формулы анализа.
2. Комплексный анализ
Интегральные представления аналитических функций. Интегральная теорема Коши и ее
обращение (теорема Мореры). Интегральная формула Коши. Теорема о среднем. Принцип максимума
модуля. Лемма Шварца. Интеграл типа Коши, его предельные значения. Формулы Сохоцкого.
Ряды аналитических функций. Особые точки. Вычеты. Равномерно сходящиеся ряды
аналитических функций; теорема Вейерштрасса. Представление аналитических функций степенными
рядами, неравенства Коши. Нули аналитических функций. Теорема единственности. Изолированные
особые точки (однозначного характера). Теорема Коши о вычетах. Вычисление интегралов с помощью
вычетов. Принцип аргумента. Теорема Руше. Приближение аналитических функций многочленами.
Целые и мероморфные функции. Рост целой функции. Порядок и тип. Теорема Вейерштрасса о целых
функциях с заданными нулями; разложение целой функции в бесконечное произведение. Случай целых
функций конечного порядка, теорема Адамара. Теорема Миттаг—Леффлера о мероморфных функциях с
заданными полюсами и главными частями.
Конформные отображения. Конформные отображения, осуществляемые элементарными
функциями. Принцип сохранения области. Критерии однолистности. Теорема Римана. Теоремы о
соответствии границ при конформных отображениях.
Аналитическое продолжение. Аналитическое продолжение и полная аналитическая функция (в
смысле Вейерштрасса). Понятие Римановой поверхности. Продолжение вдоль кривой. Теорема о
монодромии. Изолированные особые точки аналитических функций, точки ветвления бесконечного
порядка. Принцип симметрии. Формула Кристоффеля—Шварца. Модулярная функция. Нормальные
семейства функций, критерий нормальности. Теорема Пикара.
Гармонические функции. Гармонические функции, их связь с аналитическими. Инвариантность
гармоничности при конформной замене переменных. Бесконечная дифференцируемость. Теорема о
среднем и принцип максимума. Теорема единственности. Задача Дирихле. Формула Пуассона для круга.
3. Функциональный анализ
Метрические и топологические пространства. Сходимость последовательностей в метрических
пространствах. Полнота и пополнение метрических пространств. Сепарабельность. Принцип сжимающих
отображений. Компактность множеств в метрических и топологических пространствах.
Нормированные и топологические линейные пространства.
Линейные пространства. Выпуклые множества и выпуклые функционалы, теорема Банаха-Хана.
Отделимость выпуклых множеств. Нормированные пространства. Критерии компактности множеств в
пространствах С и Lp. Евклидовы пространства. Топологические линейные пространства.
Линейные функционалы и линейные операторы. Непрерывные линейные функционалы. Общий
вид линейных ограниченных функционалов на основных функциональных пространствах. Сопряженное
пространство. Слабая топология и слабая сходимость. Линейные операторы и сопряженные к ним.
Пространство линейных ограниченных операторов. Спектр и резольвента. Компактные (вполне
непрерывные) операторы. Теоремы Фредгольма.
Гильбертовы пространства и линейные операторы в них. Изоморфизм сепарабельных
бесконечномерных гильбертовых пространств. Спектральная теория ограниченных операторов в
гильбертовых пространствах. Функциональное исчисление для самосопряженных операторов и
спектральная теорема. Диагонализация компактных самосопряженных операторов. Неограниченные
операторы.
Дифференциальное исчисление в линейных пространствах. Дифференцирование в линейных
пространствах. Сильный и слабый дифференциалы. Производные и дифференциалы высших порядков.
Экстремальные задачи для дифференцируемых функционалов. Метод Ньютона.
Обобщенные функции. Регулярные и сингулярные обобщенные функции. Дифференцирование,
прямое произведение и свертка обобщенных функций. Обобщенные функции медленного роста; их
преобразование Фурье. Преобразование Лапласа обобщенных функций (операционное исчисление).
Структура обобщенных функций с компактным носителем.
4. Группы Ли и алгебры Ли
Многообразия (карта, атлас, дифференцируемая структура). Функции на многообразии. Лемма
Урысона. Касательные векторы. Отображения. Касательное отображение (дифференциал
отображения). Дифференциал функции. Касательное расслоение. Векторные поля. Кокасательное
расслоение. Дифференциальные формы.
Группы Ли. Группы матриц. Алгебры Ли. Присоединенное представление алгебры Ли.
Алгебры Ли группы Ли (построение с помощью: а) левоинвариантных векторных полей, б) локальных
координат, в) кривых, г) присоединенного представления). Экспоненциальное отображение.
Подгруппы Ли и подалгебры Ли. Однородные пространства. Присоединенная группа.
Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли.
Разрешимые алгебры Ли. Нильпотентные алгебры Ли. Полупростые алгебры Ли.
Форма Киплинга. Критерий Картана. Разложение полупростой алгебры Ли в сумму простых.
Присоединенная группа полупростой алгебры Ли.
Алгебра Ли sl(2,C). Представления алгебры sl(2,C). Алгебра Ли sl(n,C). Подалгебры Картана.
Корни. Классификация комплексных полупростых алгебр Ли.
5. Линейные операторы в гильбертовом пространстве
Линейные операторы. Область определения. Непрерывность. Ограниченность.
График. Сумма, произведение операторов. Обратимость. Обратный оператор. Собственные
векторы, инвариантные подпространства, приводимость. Изометрические и унитарные операторы.
Замкнутые операторы. Замыкание.
Сопряженный оператор. Симметрические и самосопряженные операторы. Оператор умножения
на независимую переменную. Оператор дифференцирования. Теорема Банаха об ограниченности
замкнутого оператора.
Резольвента и спектр. Спектр самосопряженного оператора.
Резольвента самосопряженного оператора. Спектральное разложение самосопряженного
оператора.
Индексы дефекта. Преобразование Кэли. Формулы фон Неймана. Симметрические расширения
симметрического оператора. Самосопряженные расширения.
Симметрические дифференциальные операторы. Самосопряженные расширения регулярного
дифференциального оператора.
Теорема Титчмарша-Кодайры.
6. Теория представлений групп
Группы. Подгруппы. Однородные пространства. Классы сопряженных элементов. Нормальные
делители. Фактор-группы.
Некоторые сведения из линейной алгебры (линейные пространства, линейные функционалы,
линейные операторы, прямая сумма пространств и операторов, тензорное произведение пространств и
операторов, унитарные операторы, сопряженные операторы, самосопряженные операторы).
Групповая алгебра конечной группы. Центр групповой алгебры.
Представления групп. Эквивалентность представлений. Прямая сумма и тензорное произведение
представлений. Приводимость, неприводимость, разложимость представлений.
Унитарные представления. Сплетающие операторы. Лемма Шура. Соотношение ортогональности
для матричных элементов конечной группы.
Характеры. Соотношение ортогональности для характеров неприводимых представлений
конечной группы. Свертка матричных элементов и характеров. Разложение представлений на
неприводимые с помощью характеров.
Разложение групповой алгебры. Разложение центра групповой алгебры. Структура групповой
алгебры конечной группы.
Квазирегулярные представления. Преобразование Пуассона и Фурье. Сферические функции.
Индуцированные представления. Теорема двойственности Фробениуса. Компактные группы. Мера
Хаара. Представления компактных групп. Представления группы U(l). Группа SU(2), ее алгебра Ли.
Неприводимые представления группы SU(2).
Группа SO(3). Неприводимые представления группы SO(3). Сферические функции Лапласа.
Разложение квазирегулярного представления на сфере.
Вопросы
для кандидатского экзамена по
специальности 01.01.01 «Вещественный, комплексный и функциональный анализ»
1. Меры, измеримые функции, интеграл. Аддитивные функции множеств (меры), счетная аддитивность
мер. Конструкция лебеговского продолжения. Измеримые функции. Сходимость функций по мере и
почти всюду.
2. Теоремы Егорова и Лузина. Интеграл Лебега. Предельный переход под знаком интеграла. Сравнение
интегралов Лебега и Римана. Прямые произведения мер. Теорема Фубини.
3. Неопределенный интеграл Лебега и теория дифференцирования. Дифференцируемость монотонной
функции почти всюду. Функции с ограниченным изменением (вариацией).
4. Производная неопределенного интеграла Лебега. Задача восстановления функции по ее производной.
Абсолютно непрерывные функции. Теорема Радона-Никодима. Интеграл Стилтьеса.
5. Пространства суммируемых функций и ортогональные ряды. Неравенства Гельдера и Минковского.
Пространства ip, их полнота. Полные и замкнутые системы функций.
6. Ортонормированные системы в L2 и равенство Парсеваля. Ряды по ортогональным системам;
стремление к нулю коэффициентов Фурье суммируемой функции в случае равномерно ограниченной
ортонормированной системы.
7. Тригонометрические ряды. Преобразование Фурье. Условие сходимости ряда Фурье. Представление
функций сингулярными интегралами. Единственность разложения функции в тригонометрический ряд.
8. Преобразование Фурье интегрируемых и квадратично интегрируемых функций. Свойство
единственности для преобразования Фурье. Теорема Планшереля. Преобразование Лапласа.
Преобразование Фурье— Стилтьеса.
9. Гладкие многообразия и дифференциальные формы. Касательное пространство к многообразию в
точке. Дифференциальные формы на многообразии. Внешний дифференциал. Интеграл от формы по
многообразию. Формула Стокса. Основные интегральные формулы анализа.
10. Интегральные представления аналитических функций. Интегральная теорема Коши и ее обращение
(теорема Мореры). Интегральная формула Коши. Теорема о среднем. Принцип максимума модуля. Лемма
Шварца. Интеграл типа Коши, его предельные значения. Формулы Сохоцкого.
11. Ряды аналитических функций. Особые точки. Вычеты. Равномерно сходящиеся ряды аналитических
функций; теорема Вейерштрасса. Представление аналитических функций степенными рядами,
неравенства Коши. Нули аналитических функций. Теорема единственности. Изолированные особые точки
(однозначного характера).
12. Теорема Коши о вычетах. Вычисление интегралов с помощью вычетов. Принцип аргумента. Теорема
Руше. Приближение аналитических функций многочленами.
13. Целые и мероморфные функции. Рост целой функции. Порядок и тип. Теорема Вейерштрасса о
целых функциях с заданными нулями; разложение целой функции в бесконечное произведение.
14. Случай целых функций конечного порядка, теорема Адамара. Теорема Миттаг—Леффлера о
мероморфных функциях с заданными полюсами и главными частями.
15. Конформные отображения. Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями.
Принцип сохранения области. Критерии однолистности. Теорема Римана. Теоремы о соответствии границ
при конформных отображениях.
16. Аналитическое продолжение. Аналитическое продолжение и полная аналитическая функция (в
смысле Вейерштрасса). Понятие Римановой поверхности. Продолжение вдоль кривой. Теорема о
монодромии.
17. Изолированные особые точки аналитических функций, точки ветвления бесконечного порядка.
Принцип симметрии. Формула Кристоффеля—Шварца. Модулярная функция. Нормальные семейства
функций, критерий нормальности. Теорема Пикара.
18. Гармонические функции. Гармонические функции, их связь с аналитическими. Инвариантность
гармоничности при конформной замене переменных. Бесконечная дифференцируемость. Теорема о
среднем и принцип максимума. Теорема единственности. Задача Дирихле. Формула Пуассона для круга.
19. Метрические и топологические пространства. Сходимость последовательностей в метрических
пространствах. Полнота и пополнение метрических пространств.
20. Сепарабельность. Принцип сжимающих отображений. Компактность множеств в метрических и
топологических пространствах.Нормированные и топологические линейные пространства.
21. Линейные пространства. Выпуклые множества и выпуклые функционалы, теорема Банаха-Хана.
Отделимость выпуклых множеств. Нормированные пространства. Критерии компактности множеств в
пространствах С и Lp. Евклидовы пространства. Топологические линейные пространства.
22. Линейные функционалы и линейные операторы. Непрерывные линейные функционалы. Общий вид
линейных ограниченных функционалов на основных функциональных пространствах. Сопряженное
пространство.
23. Слабая топология и слабая сходимость. Линейные операторы и сопряженные к ним. Пространство
линейных ограниченных операторов. Спектр и резольвента. Компактные (вполне непрерывные)
операторы. Теоремы Фредгольма.
24. Гильбертовы пространства и линейные операторы в них. Изоморфизм сепарабельных
бесконечномерных гильбертовых пространств. Спектральная теория ограниченных операторов в
гильбертовых пространствах.
25. Функциональное исчисление для самосопряженных операторов и спектральная теорема.
Диагонализация компактных самосопряженных операторов. Неограниченные операторы.
26. Дифференциальное исчисление в линейных пространствах. Дифференцирование в линейных
пространствах. Сильный и слабый дифференциалы. Производные и дифференциалы высших порядков.
Экстремальные задачи для дифференцируемых функционалов. Метод Ньютона.
27. Обобщенные функции. Регулярные и сингулярные обобщенные функции. Дифференцирование,
прямое произведение и свертка обобщенных функций.
28. Обобщенные функции медленного роста; их преобразование Фурье. Преобразование Лапласа
обобщенных функций (операционное исчисление). Структура обобщенных функций с компактным
носителем.
29. Многообразия (карта, атлас, дифференцируемая структура). Функции на многообразии. Лемма
Урысона. Касательные векторы. Отображения.
30. Касательное отображение (дифференциал отображения). Дифференциал функции. Касательное
расслоение. Векторные поля. Кокасательное расслоение. Дифференциальные формы.
31. Группы Ли. Группы матриц. Алгебры Ли. Присоединенное представление алгебры Ли.
32. Алгебры Ли группы Ли (построение с помощью: а) левоинвариантных векторных полей, б)
локальных координат, в) кривых, г) присоединенного представления). Экспоненциальное отображение.
33. Подгруппы Ли и подалгебры Ли. Однородные пространства. Присоединенная группа.Универсальная
обертывающая алгебра алгебры Ли.
34. Разрешимые алгебры Ли. Нильпотентные алгебры Ли. Полупростые алгебры Ли.
35. Форма Киплинга. Критерий Картана. Разложение полупростой алгебры Ли в сумму простых.
Присоединенная группа полупростой алгебры Ли.
36. Алгебра Ли sl(2,C). Представления алгебры sl(2,C). Алгебра Ли sl(n,C). Подалгебры Картана. Корни.
Классификация комплексных полупростых алгебр Ли.
37. Линейные операторы. Область определения. Непрерывность. Ограниченность. Замкнутые
операторы. Замыкание.
38. График. Сумма, произведение операторов. Обратимость. Обратный оператор. Собственные векторы,
инвариантные подпространства, приводимость. Изометрические и унитарные операторы.
39. Сопряженный оператор. Симметрические и самосопряженные операторы. Оператор умножения на
независимую переменную. Оператор дифференцирования. Теорема Банаха об ограниченности
замкнутого оператора.
40. Резольвента и спектр. Спектр самосопряженного оператора.Резольвента самосопряженного
оператора. Спектральное разложение самосопряженного оператора.
41. Индексы дефекта. Преобразование Кэли. Формулы фон Неймана. Симметрические расширения
симметрического оператора. Самосопряженные расширения.
42. Симметрические дифференциальные операторы. Самосопряженные расширения регулярного
дифференциального оператора.Теорема Титчмарша-Кодайры.
43. Группы. Подгруппы. Однородные пространства. Классы сопряженных элементов. Нормальные
делители. Фактор-группы.
44. Некоторые сведения из линейной алгебры (линейные пространства, линейные функционалы,
линейные операторы, прямая сумма пространств и операторов, тензорное произведение пространств и
операторов, унитарные операторы, сопряженные операторы, самосопряженные операторы).
45. Групповая алгебра конечной группы. Центр групповой алгебры. Унитарные представления.
Сплетающие операторы. Лемма Шура. Соотношение ортогональности для матричных элементов
конечной группы.
46. Представления групп. Эквивалентность представлений. Прямая сумма и тензорное произведение
представлений. Приводимость, неприводимость, разложимость представлений.
47. Характеры. Соотношение ортогональности для характеров неприводимых представлений конечной
группы. Свертка матричных элементов и характеров. Разложение представлений на неприводимые с
помощью характеров.
48. Разложение групповой алгебры. Разложение центра групповой алгебры. Структура групповой
алгебры конечной группы.Квазирегулярные представления. Преобразование Пуассона и Фурье.
49. Сферические
функции.Индуцированные
представления.
Теорема
двойственности
Фробениуса.Компактные группы. Мера Хаара.Представления компактных групп.
50. Представления группы U(l).Группа SU(2), ее алгебра Ли. Неприводимые представления группы
SU(2).
51. Группа SO(3). Неприводимые представления группы SO(3). Сферические функции Лапласа.
Разложение квазирегулярного представления на сфере.
Рекомендуемая литература.
Основная литература
1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука,
1966. Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его применения, М., ИЛ, 1950. Виленкин
Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М., Наука, 1965. Винберг Э.Б. Линейные
представления групп, М., Наука,1985.
2. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М.: Наука, 1988.
Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли, М.: Мир, 1981.
3. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976 (1981).
4. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы (в трех томах). М.: ИЛ; 1962, Мир, 1966, 1974.
Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления, М., Наука, 1970.
5. Желобенко Д.П., Штерн А.И. Представления групп Ли, М.: Наука, 1983.
6. Кириллов А.А. Элементы теории представлений, М., Наука, 1978.
7. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука,
1976 (1989).
8. Кострикин А.И. Введение в алгебру, М., Наука, 1977.
9. Кэртис И., Райнер И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, М., Наука,
1969.
10. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.
11. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.
12. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. 1,2. М.: Наука, 1967—1968.
13. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.
14. Наймарк М.А., Теория представлений групп. М., Наука, 1976.
15. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.
16. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 2. М.: Наука, 1975 (1991).
17. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1977 (1999).
18. Проскуряков И.В., Сборник задач по линейной алгебре.
19. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.:
Мир, 1976.
20. Рисе Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.
21. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976. Смирнов В.И. Курс высшей математики.
Т. V. М.: Физматгиз, 1959. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1. М.: Наука, 1976 (1985).
22. Сборник задач по линейной алгебре / под ред. А.И.Кострикина, М., Наука, 1987.
23. Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп, М., Мир, 1970.
24. Смирнов В.И., Курс высшей математики, т.З, ч.1, М., Наука, 1967.
25. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, М.: Мир, 1964.
26. Шевалле К. Теория групп Ли. I. М.: ИЛ, 1948.
Дополнительная литература
1. Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. М.: Факториал, 1998. Евграфов М.А. Аналитические
функции. М.: Наука, 1991. Зорич В.А. Математический анализ. Т. 2. М.: Наука, 1984.
2. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. Рудин У.
Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высш. школа, 1999.
Хатсон В., Ним Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 198
Программа кандидатского экзамена рассмотрена и одобрена на заседании кафедры математического
анализа.
Протокол № ___ от «__» _мая__ 2010 г.
Зав. кафедрой математического анализа, д.ф.-м.н., проф.
В.Ф. Молчанов