О счетных семействах конечных множеств.
advertisement
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР ИМ. А.А. ДОРОДНИЦЫНА СООБЩЕНИЯ ПО ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ В.В. ШЕВЧЕНКО О СЧЕТНЫХ СЕМЕЙСТВАХ КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР ИМ. А.А. ДОРОДНИЦЫНА РАН МОСКВА 2008 УДК 510.254 Ответственный редактор доктор физ.-матем. наук А.Ф. Кононенко В работе предпринята попытка решения основных вопросов, связанных с основаниями математики и антиномиями типа парадокса Б. Рассела с использованием оригинального понятия счетного семейства конечных множеств. Идея предлагаемого подхода к решению данных вопросов состоит в построении математики как строго формального языка с одной аксиомой (аксиомой индукции) и опирается на сложившиеся направления конструктивной математики (интуиционизм, теория доказательств, теория алгорифмов и конструктивных функций А.А. Маркова) и представление А. Пуанкаре о том, что в основе любого математического умозаключения лежит рекурренция. Постулированы алфавит и семь начальных символов рассматриваемого формального языка, заданы правила определения новых символов (операндов, отношений, операций над операндами и логических операций, кванторов), построения предикатов, правило вывода (доказательства истинности) предикатов. На представленном формальном языке сформулированы основные положения конечной и счетной математики, доказана их непротиворечивость, определены основные понятия и доказаны базовые теоремы геометрии на плоскости и математического анализа. Ключевые слова: основания математики, логика, конструктивная математика, множество, формальный язык Рецензенты: В.И. Меденников, И.М. Промахина С Научное издание Вычислительный центр им. А.А. Дородницына Российской академии наук, 2008 2 Введение Проблему оснований математики, выяснения логики и сути математического умозаключения по праву можно считать столь же древней, сколь и сама математика. На ее решение направляли немалые усилия Пифагор и Архимед, И. Ньютон и Г. Лейбниц, Л. Эйлер, К. Гаусс, Л. Кронекер, Г. Кантор [1-2], Б. Рассел [3], Л. Брауэр и А. Гейтинг [4-5], Д. Гильберт [5-6], А.А. Марков [7-10], А.М. Тьюринг и Е.Л. Пост [11-12], А. Пуанкаре [13-14] и многие другие. Важность этой проблемы, необходимость и возможность ее решения достаточно емко и целостно выражены в известном высказывании Д. Гильберта: «Надо согласиться, что состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте, в математике – этом образце достоверности и истинности – образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводят к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку? Но существует вполне удовлетворительный путь, по которому можно избежать парадоксов, не изменяя при этом нашей науке» ([6], стр. 13). К настоящему моменту в рамках конструктивного направления математики (УДК 510), включающего в себя «интуиционизм Л. Брауэра и А. Гейтинга», «теорию доказательств Д. Гильберта», «теорию 3 алгорифмов и конструктивных функций А.А. Маркова» и другие направления, проделана большая работа, позволяющая ставить вопрос о реализации идеи Г. Лейбница о построении универсального языка для всей математики и формализации на его основе математических определений и доказательств любого рода. Разработка Г. Кантором «наивной» теории множеств [1-2], в рамках которой считается возможным присутствие множества в самом себе в качестве элемента и рассматривается как вполне корректное понятие «множества всех множеств» достаточно быстро привела к рассмотрению антиномий типа парадокса Б. Рассела [3] о множестве всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента, и к так называемому «кризису оснований математики». Это привело, в свою очередь, к развитию ряда направлений «конструктивной» математики, исходящих из недопустимости актуализации бесконечного и призванных преодолеть возникший кризис: интуиционизма Л.Э.Я. Брауэра и А. Гейтинга [4-5], теории доказательств Д. Гильберта [5-6], теории алгорифмов и конструктивных функций А.А. Маркова [7-10], «машинного» подход А.М. Тьюринга и Е.Л. Поста [11-12]. Однако говорить о преодолении «кризиса оснований математики» и разрешении соответствующих антиномий к настоящему моменту нет оснований. Дискуссии по данному кругу вопросов не только не утихают, но и становятся жестче. В связи с тем, что «машинный» подход обобщается и поглощается подходом А.А. Маркова (см. [7,9,10]) проанализируем основные идеи и представления интуиционизма, теории доказательств и «конструктивной математики» А.А. Маркова. Интуиционизм основывается на базовых понятиях конструктивного объекта (рациональные числа и др.), свободно становящейся последовательности (ССП) 4 (иррациональные числа и др.), вида (свойство, которым объект обладает либо нет), интуиционистском исчислении высказываний (логических предложений из элементарных высказываний (термов), связанных операциями (и), (или), (не), (следует)) и интуиционистской логике. При этом термами являются виды конструктивных объектов или ССП. Интуиционистские логика и исчисление высказываний основываются на аксиомах и правилах вывода, отличающихся от классических заменой закона исключенного третьего (закона снятия двойного отрицания: A A ) принципом противоречия A (A B) . Теория доказательств использует понятия формула L , класс формул A , математическая теория T . Теория описывается классом истинных формул-аксиом и правилами вывода. Для аксиом и правил вывода используется общий термин - постулат. Постулаты той или иной теории проверяются на конечных множествах (финитной математике), при работе с которыми не возникает и не ожидается антиномий типа парадокса Б. Рассела. Теории, проверенные на финитной математике предложенным Д. Гильбертом «методом формализации», считаются корректными и обоснованными. «Конструктивная математика» А.А. Маркова, опираясь на абстракции «отождествления» и «потенциальной осуществимости» развивает представление о математическом конструировании как о построении слов в заданном алфавите, каждая буква которого обозначает некоторое постулативно осуществимое действие, класс которых из опасения ограничить общность теории не конкретизируется. Рассмотренные направления исследований в значительной мере увеличили строгость и ясность математики, как языка 5 точного описания явлений природы, произвели «восхождение к конструктивности» (Н.М. Нагорный). Но всякое восхождение подразумевает достижение вершины. В связи с чем возникает задача конструктивного переосмысления всех понятий, представлений и результатов современной математики с минимизацией системы постулатов и c выстраиванием строго формального языка математики, принципиально не допускающего возникновения антиномий (нелепостей) типа парадокса Б. Рассела. Решение такой задачи представляется возможным, если опираться не только на достижения рассмотренных направлений исследований, но и на строгое следование идеям арифметизации (рационализации) математики, квинтэссенция которых выражена в известных высказываниях трех великих математиков: «Математика – царица наук, а теория чисел – царица математики». «Я возражаю против употребления актуально бесконечной величины как чего-либо завершенного, что никогда не позволительно в математике …». К.Ф. Гаусс. «Целые числа сотворил Бог, а все прочее – дело рук человеческих». Л. Кронекер «Желая углубиться в философию математических наук, я должен был сначала изучить те из ее разделов, которые более всего свободны от чувственных и вообще от посторонних элементов. Здесь имел я больше всего шансов проникнуть в истинную природу математического рассуждения. Но в арифметике во всей своей чистоте царит фундаментальное понятие числа. Поэтому я должен был черпать свои примеры в арифметике, а не в геометрии, как это делает большинство философов. 6 Я нашел, однако, что даже в арифметике математическое рассуждение - не просто силлогизм – и что повсюду силлогизм бесплоден. Математическое рассуждение требует особого рода индукции, которая отличается от обычной тем, что ее результат абсолютно достоверен». А. Пуанкаре. Мысль К.Ф. Гаусса о недопустимости актуализации бесконечного легла в основу всех рассмотренных выше направлений конструктивной математики. Однако в полной мере прорисованный в приведенных высказываниях замысел не реализован. И связано это, судя по всему, с тем, что и теория доказательств и интуиционизм и конструктивизм А.А. Маркова избегают конкретизации базовых понятий формулы, конструктивного объекта, вида, символа алфавита с использованием «фундаментального понятия числа» и бесспорных в своей надежности инструментов финитной математики и математического конструирования (декартово произведение, построение множества отображений, построение множества подмножеств, объединение и пересечение множеств, выделение подмножества имеющегося множества). Избегают, опасаясь потери общности, потери геометрической интуиции (образного правополушарного мышления) и т. п. Но обоснованы ли эти опасения? В предлагаемой работе реализуется попытка преодоления «кризиса оснований математики» путем отказа от использования неконструктивных понятий, которые нельзя определить путем сколь угодно кратного применения перечисленных выше естественных приемов математического конструирования. Такими неконструктивными понятиями являются, в частности, понятия «множество всех множеств» и «множество всех множеств, содержащих (или не содержащих) себя в качестве элемента». Более того, неконструктивным, с данной точки зрения, является и само содержание множеством 7 самого себя в качестве элемента, поскольку включение самого себя в себя таким, каким оно было до включения меняет само множество. Процесс определения конструктивных понятий при этом основывается на использовании строго формальных правил определения новых операндов, отношений, операций над операндами и логических операций. Сравнивая изложенный далее подход с интуиционизмом можно сказать, что понятия конструктивного объекта и ССП обобщаются и конкретизируются в этом подходе через понятие операнда, понятие вида – через понятие отношения, закон исключенного третьего остается в силе и доказывается как теорема, правила определения и использования новых символов, равно как и правила построения высказываний становятся строже и однозначнее. Сравнивая этот подход с теорией доказательств Д. Гильберта можно сказать, что он избавляет от необходимости выстраивать системы аксиом при построении и доказательстве математических теорий (геометрии и других), поскольку постулативная основа выстраивается в нем раз и на всегда для всей математики в виде семи исходных (постулируемых) символов, правила вывода, правил определения новых операндов, отношений, операций над операндами и логических операций и единственной аксиомы. В отличие от конструктивной математики А.А. Маркова этот подход конкретизирует используемые символы и действия, исходя из того, что всякий не вспомогательный символ должен быть символом или операнда, или отношения, или квантора, или операции над операндом, или логической операции, или одного из исходных предикатов «TRUE» (истина) либо «FALSE» (ложь). И из того, что всякое действие или определяет новый символ, или формулирует правило вывода, правило определения, аксиому либо утверждение, или выводит заключение об истинности либо ложности утверждения. 8 Идея предлагаемого подхода во многом основана на представлении А. Пуанкаре о том, что в основе любого математического умозаключения лежит математическая индукция (рекурренция), вполне определенно высказанное в работе [13] (стр. 11-24) и работе [14] (стр. 656-658). Развитие этого представления приводит к фундаментальному понятию счетного семейства конечных множеств, на базе которого выстраиваются основы конструктивных геометрии и анализа. Проводится строгий логический анализ представлений и результатов различных направлений конструктивной математики и построение с использованием этих результатов формального языка со строго заданными: алфавитом, перечнем начальных символов, правилами определения новых символов (операндов, отношений, операций над операндами и логических операций, кванторов), построения предикатов, единственным правилом вывода (доказательства истинности) предикатов. При этом постулируются только семь начальных символов, каждый из которых имеет фундаментальный характер, и единственная записанная в виде аксиоматически истинного предиката аксиома правомерности математической индукции (которую в определенном смысле можно ассоциировать с аксиомой Архимеда). Все иные символы определяются по установленным правилам, и все иные предикаты (утверждения) должны доказываться с помощью правила вывода. К начальным символам относятся: - исходный элементарный (неделимый, включающий в себя только самого себя) операнд «0», соответствующий философскому понятию «ничто»; - исходные операции « S » (прибавление единицы к исходному операнду или операнду, полученному из исходного с применением только этой же исходной операции, соответствующее появлению нового состояния при наблюдении кем бы то ни было чего бы 9 то ни было) и «» (декартово произведение элементарных операндов, соответствующее одновременному наблюдению двух сущностей в умножаемых декартово состояниях); - исходное отношение «» принадлежности элементарного операнда любому (элементарному или не элементарному) операнду либо принадлежности произвольного операнда как элемента другому операнду (например, принадлежности подмножества множества множеству всех его подмножеств), либо принадлежности операции над операндами некоторому множеству таких операций, отношения – множеству отношений, логической операции – множеству логических операций; - исходная логическая операция «» следования из того, что стоит слева того, что стоит справа; - исходные предикаты «TRUE» (истина) и «FALSE» (ложь). Построение предлагаемого языка математики реализуется в два этапа. На первом этапе без использования аксиом определяются дополнительные к начальным символы (понятия), необходимые для описания конечных математических представлений, языка конечных множеств, доказывается непротиворечивость этого языка, невозможность одновременного доказательства истинности и ложности любого сформулированного на этом языке утверждения. На втором этапе вводится аксиома правомерности математической индукции, позволяющая определить исходя из понятия конечного множества (КМ) понятие счетного множества (СМ), исходя из понятия конечного семейства КМ - понятие счетного семейства КМ (введенное в рассмотрение в работе [15]), обобщить путем перехода от КМ к СМ понятие операнда и все определенные в рамках конечной 10 математики отношения и операции, определить понятия множеств натуральных, целых, рациональных, комплексных чисел, иные операнды, отношения, операции. Доказывается непротиворечивость «счетной математики», высказывается предположение о возможности описания на языке такой математики всех представлений и результатов современной математики. В обоснование высказанного предположения в пп. 3-4 работы на описанном в п. 1 языке счетной математики определяются основные понятия и доказываются базовые теоремы геометрии на плоскости (п. 3) и математического анализа (п. 4). В п. 2 для лучшего понимания дальнейшего определенные в п. 1 понятия счетного семейства КМ (ССКМ) и класса ССКМ описываются более рельефно. 1. Исходные понятия и представления Описание предлагаемого языка (математики) начнем с определения его алфавита, который (в качестве одного из возможных вариантов) примем состоящим из следующих групп знаков: 1. Знаки арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 с допускаемыми верхними правыми индексами. 2. Строчные и заглавные буквы латинского и греческого алфавитов с любыми индексами или без индексов. 3. Дополнительные знаки, используемые при именовании исходных и определяемых отношений и операций: 4. , , , /, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . Вспомогательные знаки кванторов , , пустого множества , парные вспомогательные знаки 11 , , , , , символы :: = (это есть) и (либо) и разделительные знаки : ; , . . В качестве начальных не требующих определения символов рассматриваемого языка примем описанные во введении символы 0, S , , , , TRUE , FALSE . Символ 0 назовем исходным операндом, символы S и - исходными операциями, символ - исходным отношением, символ - исходной логической операцией, символы TRUE и FALSE - исходными предикатами. С этих символов будут начинаться все построения разрабатываемого конструктивного языка математики, в процессе которых будут определяться новые операнды, операции, отношения, логические операции, формироваться различные предикаты. При этом операнд может быть элементарным (элементом, принадлежность к которому справедлива для него самого и только для него), пустым множеством или операндом общего вида. Любые строчные буквы латинского и греческого алфавитов с любыми индексами или без индексов, которые не были ранее определены как конкретные операнды, операции или отношения, будут (как это и принято) означать произвольный элементарный операнд, заглавные – произвольный операнд общего вида. При этом, как и обычно, произвольность таких операндов будет ограничиваться фиксацией тех или иных конкретных ограничений. Такие символы, обозначающие некоторый операнд, принадлежащий тому или иному подклассу операндов, будем (как это и принято), называть переменными. При описании рассматриваемого языка для обозначения некоторого (любого, но зафиксированного в текущем рассмотрении) знака описанного алфавита или отсутствия 12 какого-либо знака будем использовать символ s , а для обозначения некоторой последовательности знаков данного алфавита или отсутствия каких-либо знаков - символ ss . Произвольные, но различные знаки или последовательности знаков данного алфавита, рассматриваемые одновременно, будем отличать при этом различными метками перед закрывающей треугольной скобкой. Та или иная последовательность ss знаков используемого алфавита, сама заключенная в треугольные скобки ( ss ), будет означать некоторый класс символов (или последовательностей символов, если понимать символ как чем-то ограниченную последовательность знаков) языка. К таким классам символов, в частности, будут относиться класс всех выражений операндов opnd или всех символов отношений srel либо всех возможных полных выражений всех отношений вместе с их аргументами (операндами) rel либо всех возможных последовательностей аргументов всех отношений arg rel либо допустимых правил определения отношений rdrel , или всех символов операций над soper либо всех возможных операндами полных выражений таких операций вместе с их аргументами oper (операндами) либо всех возможных последовательностей аргументов всех таких операций arg oper либо допустимых правил определения таких операций rdoper , или всех символов логических операций 13 slop либо всех возможных полных выражений логической операции с её аргументами (предикатами) lop либо всех возможных последовательностей аргументов всех логических операций arg lop либо допустимых правил определения логических операций rdlop , или всех предикатов pred . rel , Конкретные символы классов символов opnd , arg rel , oper , arg oper , lop , arg lop и pred в общем случае в силу допустимости присутствия в них переменных могут иметь множественные значения (соответствующие различным значениям переменных). Перечисленные обозначения указанных классов символов означают весь соответствующий класс символов, включающий и символы с переменными и символы без переменных. При необходимости выделения из таких классов символов подклассов символов, в которых обязательно присутствуют те или иные переменные (одна или несколько), будем указывать перечень этих переменных в круглых скобках вслед за обозначением класса. Например, pred x, Y будет означать совокупность обозначение предикатов, в которых присутствуют переменные “x” и “Y” (и, возможно, иные переменные). При желании указать, что в рассматриваемом классе символов присутствуют перечисленные переменные и только они будем указывать список переменных в двойных круглых скобках. На переменные, как об этом уже говорилось, могут накладываться те или иные ограничения. Класс всех допустимых символов переменных (букв с индексами и без 14 индексов) обозначим var , класс всех записанных через запятую списков таких символов - list var . Различные подклассы символов того или иного класса символов языка будем, как и в случае с произвольными цепочками знаков языка, отличать различными метками перед закрывающей треугольной скобкой. При этом условимся, что в качестве символа нового определяемого операнда может использоваться любая не использованная ранее последовательность знаков алфавита второй группы (строчные и заглавные буквы латинского и греческого алфавитов с любыми индексами или без индексов), а в качестве символа нового отношения или новой операции (логической либо над операндами) такая же последовательность или общепринятый для определяемого отношения или операции знак третьей группы знаков алфавита языка. Условимся также о том, что, как это и принято, полные выражения операций и отношений с аргументами будут записываться как в виде последовательности символа операции или отношения и последовательности аргументов в круглых скобках, так и в привычном виде (для унарных и бинарных операций и отношений) без скобок ( TRUE , 5 6 и т. п.). Правила определения при этом будут выписываться для записей операций и отношений с круглыми скобками. Сами же определения иногда для удобства будут выписываться и с использованием записей без круглых скобок, но при этом те же определения всегда нетрудно будет при желании переписать в полном соответствии с правилами определения (выписанных для записей с круглыми скобками). Построение рассматриваемого языка будем проводить в виде последовательности пронумерованных и помеченных записей, каждая из которых может быть правилом 15 определения (операндов, операций, отношений, кванторов, предикатов), определением, правилом вывода, аксиомой, утверждением (гипотезой), доказательством утверждения, доказанным утверждением (теоремой) или обозначением. Номера и метки записей языка будут предшествовать записям и помещаться в круглые скобки. При этом правило вывода будем отмечать как (ПВ), правило определения - как (ПО), аксиому - как (А), утверждение - как (У), теорему - как (Т), доказательство теоремы номер N - как (Д Т N), обозначение - как (ОБ). Правила определения могут описывать порядок (задавать синтаксис) определения, а определения могут определять новые логические операции (ЛО), операнды (О), операции над операндами (ОО), отношения (ОТ), кванторы (К), предикаты (ПРЕД). Правила определения также могут задавать синтаксис определения символов некоторого класса символов, например последовательностей аргументов операций или отношений. Отмечая определения будем указывать букву О, символ того, что оно определяет и символ определяемого операнда, операции или отношения. Например, определение операции + будем отмечать как (О ОО +). Вполне аналогично будут отмечаться правила определения. Например, правила определения операнда будут отмечаться как (ПО О). Обозначения будут использоваться для сокращения записей или для объявления множеств, операций, отношений элементарными операндами, которые могут входить в те или иные множества как элементы. Формат обозначений будет использоваться простой: ss1 :: ss 2 , где слева стоит вводимое обозначение, а справа то, что обозначается и уже определено. Круглые скобки, как это принято, будут использоваться для заключения в них списка аргументов операции или отношения (если это необходимо) и для исключения возможных неоднозначностей при определении порядка операций и отношений. При этом будет 16 подразумеваться, что символ логической операции разделяет сильнее, чем символы отношений и операций над операндами, а символ отношения – сильнее, чем символ операции над операндами. Для обеспечения необходимой гибкости построения языка математики порядок записи правил вывода и определения, определений, аксиом, утверждений и теорем с их доказательствами регламентироваться не будет. Единственным и естественным правилом будет правило, согласно которому ничто (ни правило вывода, ни правило определения, ни не являющийся исходным символ операнда, операции, отношения или квантора, ни аксиома, ни теорема) не может использоваться до его описания. Правила определения и сами определения должны быть корректными. Для правил определения классов символов языка это означает, что приведенное в языке правило определения того или иного класса символов (последовательностей знаков используемого алфавита) языка ss (например класса всех операндов или предикатов) позволяет однозначно установить для любого символа языка, относится он к рассматриваемому классу символов или нет. К правилам корректности определения логических операций также следует отнести требование, согласно которому при определении такой операции должны быть заданы ее логические значения для всех возможных наборов логических значений совокупности ее аргументов. Еще одним естественным правилом корректности определения операций и отношений является то, что число аргументов одного и того же отношения или операции всегда должно быть одним и тем же. Для определений это означает, что они должны соответствовать своим правилам определения (операнды должны определяться в соответствии с правилами определения операндов, отношения – отношений и т.д.). При этом для определения одного и того же отношения или 17 операции, имеющей вполне определенный символ, могут использоваться несколько строго соответствующих нужному правилу определения определений. Более того, эти несколько определений не обязаны следовать друг за другом. Они могут определять значения рассматриваемой операции или отношения для разных наборов аргументов. При этом требование корректности накладывает естественное ограничение, согласно которому эти наборы аргументов не должны пересекаться: каждый конкретный возможный набор аргументов должен присутствовать в одном и только одном определении. Сама же совокупность возможных наборов аргументов конкретного отношения или операции на уровне той или иной записи языка определяется совокупностью таких наборов, присутствующих в определениях, предшествующих этой записи. Далее эта совокупность вполне может расшириться. Аксиомы и утверждения (доказанные или не доказанные), записи доказательств утверждений (теорем) должны являться предикатами (соответствовать правилам определения предикатов). При описании правил определения будем использовать широко используемые при описании конструкций языков программирования символы :: = (это есть) и (либо), понимаемые в том же смысле, что и при описании таких конструкций. При этом обозначение определяемого класса символов (как и обычно) может присутствовать одновременно и слева и справа от знака :: = . Наконец, двустороннее следование из записи слева записи справа и наоборот будем обозначать для краткости, как это принято, знаком . Также для краткости будем подразумевать, но опускать в конце каждой записи определения или аксиомы запись TRUE . В целом предложенный порядок построения языка математики мало чем отличается от традиционного порядка 18 построения математических текстов. В связи с этим описанный выше порядок записи будет использоваться только в текущем пункте работы, пп. 2-4 будут записаны традиционным образом. При желании эти пункты нетрудно переписать в соответствии с рассмотренным выше порядком. Договорившись о необходимом, перейдем к самому описанию конструктивного языка математики. При этом, во многом следуя идеологии теории доказательств Д. Гильберта, начнем с описания конечной математики и доказательства непротиворечивости любых ее утверждений. Описание языка конечной математики начнем с правил определения новых операндов, отношений, операций (логических и над операндами), их аргументов, квантора и описания предикатов, в которых, в силу наличия исходного операнда ( 0 ), отношения (), операций над операндами ( S и ), логической операции () и предикатов ( TRUE и FALSE ), вполне допустимы перекрестные ссылки (так как применяя то или иное правило определения, можно использовать все начальные символы и символы, введенные до этого): (1) (ПО LOP) lop :: = slop ( arg lop ) (2) (ПО ARGLOP) arg lop :: = pred arg lop , pred (3) (ПО ARGLOP0) arglop0 :: = TRUE FALSE arglop0 , TRUE arglop0 , FALSE (4) (ПО ЛО) rdlop :: = slop ( arglop0 ) TRUE slop ( arglop0 ) FALSE (5) (ПО ПРЕД) pred :: = TRUE FALSE rel lop (6) (ПО REL) rel :: = srel ( arg rel ) 19 (7) (ПО ARGREL) arg rel :: = opnd arg rel , opnd (8) (ПО ОТ) rdrel :: = srel ( arg rel ) pred (9) (ПО OPER) oper :: = soper ( arg oper ) (10) (ПО ARGOPER) arg oper :: = opnd arg oper , opnd (11) (ПО ОО) rdoper :: = soper ( arg oper ) opnd (12) (О К ) Y x pred x x Y pred x Y X pred X X Y pred X pred1 listvar pred 2 listvar listvar pred1 listvar pred 2 listvar (13) (ПО О) nopnd :: = 0 nopnd S (14) (ПО О) elopnd :: = nopnd elopnd elopnd (15) (ПО О) opnd :: = elopnd x pred X pred X oper x Записи (1-4) определяют синтаксис и порядок определения и использования логических операций, фиксируя, что полная запись такой операции состоит из ее символа и перечня аргументов в круглых скобках; что в качестве ее аргумента может использоваться любой предикат; что для ее определения с учетом указанных выше требований корректности определений необходимо и достаточно задать ее 20 логическое значение на всех возможных наборах логических значений ее аргументов. Записи (5-11) вполне аналогично задают синтаксис и порядок описания предикатов и определения отношений и операций над операндами. Запись (12) определяет суть квантора . Записи (13-15) задают правила определения натуральных и элементарных операндов, операндов общего вида. Далее определим унарную ЛО (не), бинарные ЛО (и) и (или) и правило вывода языка: (16) (О ЛО ) TRUE FALSE (17) (О ЛО ) FALSE TRUE (18) (О ЛО ) TRUE TRUE TRUE (19) (О ЛО ) TRUE FALSE FALSE (20) (О ЛО ) FALSE TRUE FALSE (21) (О ЛО ) FALSE FALSE FALSE (22) (О ЛО ) TRUE TRUE TRUE (23) (О ЛО ) TRUE FALSE TRUE (24) (О ЛО ) FALSE TRUE TRUE (25) (О ЛО ) FALSE FALSE FALSE (26) (О ПВ) SS1 SS 2 SS 3 TRUE SS 2 SS 4 SS1 SS 4 SS 3 TRUE Определив правило вывода, уточним процедуру вывода (доказательства истинности) утверждений. Под выводом утверждения будем понимать преобразование в доказываемое утверждение исходного предиката TRUE с использованием правила вывода (26) и всех описанных в языке до момента вывода рассматриваемого утверждения определений, аксиом и 21 теорем. Записывать доказательства будем в виде последовательности записей, разделенных пробелом или концом строки, в которой каждая последующая запись получается из одной из предыдущих с использованием правила вывода (26) и некоторого определения или аксиомы, номер которого (ой) будет указываться перед самой записью. Выведем (докажем) исходя из этого закон исключенного третьего (закон снятия двойного отрицания): (27) (Т) TRUE TRUE FALSE FALSE (28) (Д Т 28) 16 TRUE FALSE TRUE TRUE 17 FALSE TRUE 16 FALSE FALSE 17 Определим также квантор и операнд : (29) (О К ) listvar pred1 listvar pred 2 listvar listvar pred1 listvar pred 2 listvar (30) (О О ) x x Используя арабские цифры и использовав очевидное сокращение записи дизъюнкции нескольких утверждений, определим десятичные цифры 1-9 как натуральные операнды таким образом, чтобы любой сколь угодно большой натуральный операнд ( nopnd ) можно было записать (используя вводимые определения) в виде десятичного числа: (31) (О О 1) 22 1 s S s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (32) (О О 2) 2 1S (33) (О О 3) 3 2 S (34) (О О 4) 4 3S (35) (О О 5) 5 4 S (36) (О О 6) 6 5S (37) (О О 7) 7 6 S (38) (О О 8) 8 7 S (39) (О О 9) 9 8S 1 0S (нетрудно заметить, что использование определений (31-39) позволяет переписать в виде десятичного числа любую цепочку знаков, начинающуюся со знака 0 , вслед за которым следует любое число знаков исходной операции S ). Далее определим отношение равенства операндов, основные операции над множествами и отношения между ними, арифметические операции натуральных операндов (чисел) и отношения порядка между ними. (40) (О ОТ =) 0 = 0 x y xS yS x y u v x u y v x x X y y Y x y (41) (О ОТ =) X Y y y Y x x X x y (42) (О ОО ) x X y Y x y X Y z X Y X ,Y , x, y x X y Y z x y (запись (42) определяет декартово произведение произвольных операндов исходя из начального символа декартова произведения элементарных операндов) (43) (О ОО ) x X Y x X x Y (44) (О ОО ) (45) (О ОТ ) x X Y x X x Y X Y X Y X 23 X Y X Y Y X Y X Y X Y (48) (О ОТ ) X Y X Y X Y X X (49) (О ОО 2 ) Y 2 Y X (46) (О ОТ ) (47) (О ОТ ) (50) (О ОО +) nopnd1 0 0 nopnd1 nopnd1 nopnd1 nopnd 2 S nopnd1 S nopnd 2 (51) (О ОО ) nopnd1 1 1 nopnd1 nopnd1 nopnd1 nopnd 2 S nopnd1 nopnd 2 nopnd1 nopnd1 S nopnd 2 nopnd1 nopnd 2 nopnd 2 (52) (О ОО ) x y z x z y y z x (53) (О ОО ) x y z x zy y zx (54) (О ОТ ) nopnd1 nopnd1 S x y y z x z (55) (О ОТ ) nopnd1 nopnd1 S x y y z x z (56) (О ОТ ) x y x y x y (57) (О ОТ ) x y x y x y 24 Нетрудно заметить, что основу предлагаемого языка конструктивной математики составляют записи (1-30), определяющие правила построения с использованием начальных символов новых операндов, логических операций, отношений между операндами и операций над ними, правила формулирования различных предикатов (утверждений, которые могут быть как истинными, так и ложными), правило вывода (26), позволяющее проверять истинность утверждений, кванторы и основные логические операции. Доказательство (28) закона исключенного третьего (27) иллюстрирует процедуру проверки истинности предикатов с использованием правила вывода (26). Определения (31-57) сформулированы в строгом соответствии с правилами определения (1-11,13-15). Правила определения (13-15) даже без использования альтернатив правила (15) с квантором позволяют при необходимости определить любые конечные множества: конечные множества натуральных, целых, рациональных, комплексных рациональных и т. д. чисел (так как любое целое или рациональное число нетрудно представить в виде декартова произведения двух натуральных, любое комплексное число – двух рациональных и т. д.). Любые функции с конечными областями определения и значений могут представляться либо в виде операций над операндами либо в виде подмножеств декартовых произведений области определения и области значений (второй способ описания функций в настоящее время более распространен). Заявленная во введении при описании начального символа возможность его использования для обозначения принадлежности операции над операндами к множеству операций дает возможность объявлять такие операции элементарными операндами и работать по тем же правилам, что и с числами, с конечными множествами функций. И так далее, с неограниченным числом возможных 25 уровней объявления функций элементарными операндами. При этом, однако, используемые при работе предикаты вполне могут содержать информацию о таких сложных элементарных операндах как об операциях над операндами (функциях). Такая же работа возможна и с множествами отношений или логических операций. Что делает возможности рассматриваемого языка при работе с конечными множествами (КМ) практически неограниченными. Достаточно интересными понятиями, возникающими в процессе рассмотренных выше рекурсивных построений, являются понятия семейства конечных множеств и класса таких семейств, с использованием которых далее, в пп. 3 и 4, выстраиваются без применения понятий континуума и иррационального числа исходные представления плоской геометрии и математического анализа. Под конечным семейством конечных множеств (КСКМ) будем понимать операцию над операндами с одним аргументом, который может принимать значения любого элемента некоторого конечного множества, результатом которой является некоторое конечное множество. Под классом КСКМ будем понимать несколько более сложную конструкцию, в которой некоторая функция с конечными областями определения и значений определяет для каждого элемента конечного множества элемент другого конечного множества , для которого уже некоторая операция над операндами определяет некоторое конечное множество. Подробнее КСКМ и их классы и счетные обобщения тех и других будут рассмотрены в п. 2. Описав на предлагаемом языке основные положения (записи) конечной математики и рассмотрев принципы описания других представлений и результатов такой математики, докажем, что в конечной математике, выстраиваемой в строгом соответствии с предложенными 26 правилами, антиномии и противоречия невозможны, что любой её предикат, в котором все значения переменных конкретизированы, либо истинен, либо ложен. Теорема 1.1 (о непротиворечивости конечной математики): Любой предикат, все символы которого либо являются начальными, либо определены в строгом соответствии с правилами определения (1-11,13-15), переменные которого конкретизированы (определены через исходный операнд в строгом соответствии с правилами определения операндов (13-15)), сведенный с использованием правила вывода (26) к начальному символу TRUE , не может быть сведен к начальному символу FALSE , и наоборот. Доказательство: Действительно, в соответствии со сформулированными правилами построения предикатов (1-5), любой предикат рассматриваемого языка однозначно может быть представлен в виде функции алгебры логики (ФАЛ), аргументами которой являются начальные символы TRUE и FALSE или отношения. Любое отношение в соответствии с (6-8) записывается в виде предиката, который также может быть представлен в виде ФАЛ того же типа. Но переписывая один из аргументов ФАЛ в виде ФАЛ, мы остаемся в классе таких же ФАЛ. В связи с этим можно утверждать, что последовательное и однозначное раскрытие (представление в виде ФАЛ) аргументов-отношений любого предиката, записанного в виде ФАЛ, приводит к однозначной записи рассматриваемого предиката в виде ФАЛ, аргументы которой являются в силу условия конкретизации переменных простыми отношениями , , между элементарными операндами, полученными из исходного операнда 0 путем применения к нему исходных операций над операндами S и . При этом запись рассматриваемого операнда в виде такой ФАЛ однозначна, проверка истинности этого предиката с 27 использованием правила вывода (26) может привести в силу описанных правил построения языка к этой ФАЛ и только к ней. Такая ФАЛ легко приводится к ФАЛ, аргументами которой являются только исходные предикаты TRUE и FALSE . А она, в свою очередь, как известно, имеет строго определенное значение: TRUE или FALSE . Что и доказывает теорему. На качественном уровне суть теоремы 1.1 очевидна – складывая два определенных натуральных числа невозможно получить различные результаты. Для того чтобы перейти от конечной математики к бесконечной, сформулируем первую и единственную аксиому рассматриваемого языка. Эта аксиома, с одной стороны, появляется вместо последней из аксиом Пеано и может быть названа аксиомой правомерности математической индукции. С другой стороны, она включает в себя определение операнда N - счетного множества натуральных чисел и имеет все основания ассоциироваться с аксиомой Архимеда. Итак, (58) (А) x :: nopnd x N pred x N pred 0 pred x x N pred x x xS В рамках конечной математики, частично описанной в записях (1-57), нетрудно определить семейство элементарных операндов 1, 2,..., i,... и семейство операндов общего вида N1 , N2 ,..., Ni ,... таких, что N i состоит из натуральных чисел от до i . Аксиома (58) позволяет, доказав истинность 28 того или иного предиката (утверждения), зависящего от одной переменной, возможные значения которой ограничены семейством элементарных операндов 1, 2,..., i,... (или семейством операндов общего вида N1 , N2 ,..., Ni ,... ), для i (или для операнда N i ) и, доказав элементарного операнда (что всегда не тривиально, в отличие от проверки истинности предикатов конечной математики), что каким бы ни было натуральное j i , из истинности того же предиката для операнда j (или для операнда N j ) следует его истинность для операнда j 1 (или для операнда N j 1 ), утверждать, что рассматриваемый предикат истинен для всех возможных значений переменной, от которой он зависит, начиная с i -го. При этом то, что в аксиоме (58) предикат сначала доказывается для 0 , не принципиально, поскольку любое натуральное число может быть сдвинуто нужным образом и доказываемый предикат при этом по существу не изменится. Аксиома (58) позволяет получать содержательные математические результаты и это, по всей видимости, и имелось в виду в представлении А. Пуанкаре о том что «в основе любого математического умозаключения лежит рекурренция» (см. [13], с. 11-24, 604-616). При этом процесс получения таких результатов принципиально не формализуем, поскольку принципиально нельзя формализовать процесс применения метода математической индукции к любому предикату. В единственности результата сложения двух натуральных чисел никто из серьезных математиков не сомневается, а вот найти алгебраическое или иное компактное выражение для числа простых чисел, меньших заданного, никто из людей пока не смог. Едва ли знаменитая теорема 29 Гёделя о неполноте при ее внимательном рассмотрении и конструктивном осмыслении говорит о чем-то ином. Опираясь на аксиому (58), можно использовать счетное множество натуральных чисел, после чего можно определить множества целых, рациональных и комплексных рациональных чисел и начать последовательное, планомерное конструктивное переосмысление всех разделов современной математики. Начало такому процессу закладывается в пп. 3-4 путем конструктивного описания базовых представлений геометрии на плоскости и математического анализа с использованием рассмотренного в п. 2 понятия счетного семейства конечных множеств. Есть все основания ожидать, что переосмысление на предложенном языке текущих проблем из различных разделов математики (аналитическое решение различных нелинейных дифференциальных уравнений и др.) приведет к сведению этих проблем к задачам теории чисел, что могло бы существенно сблизить «чистую» и «прикладную» математику. Но этот тезис нуждается в проверке, так же как и тезис о том, что все разделы современной математики удастся с успехом изложить на предложенном языке конструктивного описания математики. В настоящем разделе остановимся еще на весьма важном вопросе о том, может ли использование аксиомы (58) привести к тому, что те или иные утверждения получат доказательства (с использованием правила вывода (26)) и истинности, и ложности. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема 1.2 (о непротиворечивости счетной математики). Любой предикат, все символы которого либо являются начальными либо описаны в строгом соответствии с правилами определения (1-11,13-15), переменные которого конкретизированы (определены через исходный операнд в строгом соответствии с правилами определения операндов 30 (13-15)), сведенный с использованием правила вывода (26) и аксиомы (58) к начальному символу TRUE , не может быть сведен тем же образом к начальному символу FALSE , и наоборот. Доказательство. Действительно, допустим, что некоторый предикат, содержащий счетные операнды и выражения x x N и без не конкретизированных переменных, был сведен с использованием правила вывода (26) и аксиомы (58) как к символу TRUE (посредством вывода 1), так и к символу FALSE (посредством вывода 2). Применение аксиомы индукции (58) по своей сути всегда подразумевает переход от конечного числа к любому натуральному или от конечного отрезка натурального ряда ко всему счетному множеству N . Из чего следует, что при наличии доказательства истинности (или ложности) некоторого предиката со счетными операндами с использованием аксиомы (58) существует доказательство истинности (или ложности) того же предиката, в котором все счетные множества и выражения x x N заменены на конечные множества и конечные натуральные числа, с которых начинались индуктивные доказательства. Эти доказательства повторяют доказательства с применением аксиомы (58) исходного предиката во всем, но применение аксиомы (58) заменяется в них на проверку истинности доказываемого индуктивно утверждения для начального значения. В связи с этим из исходного допущения доказательства от противного следует, что может быть доказана истинность и ложность одновременно предиката конечной математики, полученного рассмотренными заменами счетных множеств и выражений x x N . А это противоречит теореме 1.1, что и доказывает теорему 1.2. 31 Убедившись в непротиворечивости счетной математики, начнем реализацию намеченного плана по переосмыслению в ее терминах различных разделов математики, начав со счетных семейств конечных множеств, геометрии и анализа. При этом, как указывалось выше, будем использовать сложившийся в математике стиль изложения, но так, чтобы все излагаемое всегда допускало при необходимости строгое описание в виде последовательности записей предложенного языка конструктивного описания математики. 2. Счетные семейства конечных множеств и их классы Начиная конструктивно осмысливать и выстраивать математику, рассмотрим подробнее конечные множества, представления и инструменты, которые используются и в принципе могут использоваться при их построении. При этом для начала не будем рассматривать сложные рекурсивные инструменты построения КМ, использующие объявления (обозначения) операций и отношений элементарными операндами). К таким представлениям и инструментам следует отнести: - представление о натуральном ряде N и множестве Q рациональных чисел с порядком (определяемым бинарными отношениями , , ) и арифметическими бинарными операциями , , , , в которых могут определяться иные унарные, бинарные и т. д. отношения и операции («простое», «четное», «нечетное» и т. п.); - возможность выделения в Q конечного такого, что для любого X Q x X a x b и x кратно 1/ n путем задания n N и a, b Q (из множества N как подмножества подмножества 32 Q вполне аналогично может быть выделено конечное a 1 образом конечное подмножество Q подмножество элементов от a, b N путем задания n до b включительно ). Выделенное таким обозначим a, b, n , число элементов в таком и всех других рассматриваемых далее конечных множествах будем обозначать V (X ) ; - возможность объединения и пересечения выделенных описанным образом конечных подмножеств Q ; - возможность построения декартова произведения построенных ранее КМ X ,Y : X Y (V ( X Y ) V ( X ) V (Y ) ); возможность построения множества X подмножеств построенного ранее множества ( V (2 X всех : 2X ) 2V ( X ) ); - возможность определения (построения) любых операций над операндами, аргументами и результатом которых являются КМ, включая построение множества отображений из построенного ранее КМ X в другое КМ Y , ставящих в соответствие любому элементу x X некоторый элемент y Y . Такое множество одномногозначных отображений обозначим Y X , V (Y X ) V (Y )V ( X ) (много-многозначные отображения могут строиться с предварительным построением множества всех подмножеств и выделения из него нужного подмножества или иным образом, с построением иных операций над операндами); 33 - возможность исходя из определенных в Q отношений и операций определять произвольные иные отношения ( Re i ) и операции ( Op i ) в множествах, построенных с помощью описанных выше инструментов; - возможность выделения в построенных с помощью описанных инструментов конечных подмножествах с использованием определенных в них отношений и операций тех или иных подмножеств. Последовательность взаимоувязанных применений рассмотренных инструментов абстрактного конструирования КМ, записанную в формальном виде, назовем алгоритмом построения данного КМ. Заметим также, что определенное записями (40-41) предложенного языка отношение равенства произвольных операндов позволяет использовать понятие равенства любых КМ и любых их элементов (никаких «аксиом конгруэнтности» не требуется), и рассмотрим подробнее процедуру выделения подмножеств КМ. Для конструктивного определения понятия «подмножество КМ» допустим, что на элементах некоторого КМ x X определено конечное число унарных, бинарных и т. д. отношений и операций. Общая формула, определяющая произвольное подмножество X с использованием данных отношений и операций, определится произвольным логическим предложением, построенным с использованием операций «и», «или», «не», термами которого является отношение равенства либо иное заданное отношение с аргументами в виде последовательности вложенных операций над одной переменной x X и конкретными элементами X . С КМ неразрывно связан алгоритм его построения, определяющий последовательность действий по построению 34 данного КМ. При этом входящими в алгоритм действиями могут быть: 1. Определение одного из промежуточных или итогового КМ путем или выделения конечного подмножества Q вида a, b, n , или объединения либо пересечения промежуточных КМ, или декартова произведения промежуточных КМ, или построения множества всех подмножеств промежуточного КМ, или построения множества отображений из одного промежуточного КМ в другое, построения иных операций над операндами. 2. Определение отношения в промежуточном КМ. 3. Определение операции в промежуточном КМ. 4. Определение нового промежуточного или итогового КМ путем выделения подмножества промежуточного КМ. Каждое из перечисленных действий будем обозначать вполне определенной формальной записью: Ai a, b, n , Ai Aj Ak , Ai Aj Ak , Ai Aj Ak , A A Ai 2 , Ai Ak , Re p ( x1 ,..., xm Ai ) определение отношения в Ai Op ( x ,..., x A ) определение операции в A Ai определение подмножества Aj ( Ai , Aj , Ak - промежуточные КМ). j j p q 1 lq i i Алгоритмы построения КМ будем записывать в арифметической и алгебраической форме. При арифметической записи используемые константы (рациональные числа) будем записывать в определениях подмножеств, отношений, операций явно, в виде чисел. При алгебраической записи – в виде букв, присвоение числовых 35 значений которым будет делаться путем отдельных записей вида a 2 . Пример 1. Алгоритм построения КМ A точек плоскости ( x, y) , принадлежащих квадрату 0 x 1, 0 y 1, координаты которых кратны 0,1 в арифметической форме примет вид: A1 0, 1, 10, A2 0, 1, 10, A A1 A2 . Пример 2. Алгоритм построения КМ A функций y(x) с областью определения 0, 1, 10 и такой же областью значений, для которых y(0) 0 в алгебраической форме примет вид A1 a, b, n; A2 a, b, n; Re1 z A3 z c d ; A3 A2 ; A1 A Re1 z A3 ; a 0; b 1; n 10; c 0; d 0. A , заданное алгоритмом Пусть имеется КМ его построения в алгебраической форме. Заменим в этом алгоритме все определения числовых значений используемых параметров (букв) некоторыми натуральнозначными (если параметр из N ) или рациональнозначными (если параметр из Q ) зависимостями от параметра N . Полученная запись определит некоторое КМ при каждом значении . Совокупность (счетное множество) полученных при этом КМ назовем счетным семейством конечных множеств (ССКМ) и обозначим A( ) . В случае, если при этом зависимости от параметра N не конкретизируются, а задаются в виде некоторого класса зависимостей, определяемую таким 36 образом совокупность ССКМ будем называть классом ССКМ, сохраняя при этом то же обозначение A( ) . Алгебраическая форма записи алгоритма построения КМ удобна при определении ССКМ тем, что не возникает необходимости разбираться в том, как получены при построении данного КМ различные числа, которые могут присутствовать в определении отношений, операций, подмножеств, поскольку все эти числа заданы в этой форме в виде алгебраических зависимостей от исходных параметров, числовые значения которых определяются отдельно. Однако, в случаях, когда разобраться в этом несложно, можно определять ССКМ заменой чисел зависимостями от параметра N в арифметической форме записи алгоритма построения КМ или использовать смешанную, алгебраически-арифметическую форму, в которой используются и числа, и отдельно определяемые параметры. Нетрудно заметить, что при определении ССКМ описанным образом не нарушается корректность записи используемых при определении отношений, операций, подмножеств высказываний. Но при некоторых некоторые промежуточные множества могут оказаться пустыми. Так приведенный в примере 1 п. 1 алгоритм построения КМ при определении ССКМ может принять вид A1 0, 1, , A2 0, 1, , A( ) A1 A2 A( ) , вполне соответствующее нашему представлению о квадрате на плоскости ( x, y) , вида 0 x 1, 0 y 1. Очевидная исходя из вида и породить ССКМ алгоритма (и не всегда присутствующая) зависимость промежуточных множеств от здесь и далее для краткости не обозначается. 37 Приведенный в примере 2 п. 1 алгоритм построения КМ при определении ССКМ может принять вид A1 0, 1, ; A2 0, 1, ; Re1 z A3 z 0 0; A3 A2 ; A1 A( ) Re1 z A3 A( ) , вполне соответствующее нашему представлению о функциях y(x) , определенных на отрезке 0 x 1 с областью значений 0 y 1, для которых y(0) 0 . и породить ССКМ При этом, очевидно, конструктивное представление рассматриваемого квадрата или рассматриваемого множества функций в виде ССКМ не единственно. Вместо в приведенных записях определения ССКМ можно поставить любую бесконечно возрастающую зависимость от . КМ, входящие в ССКМ, могут при каждом значении состоять из одного элемента. Такими ССКМ, в частности, могут описываться «иррациональные числа». При этом, очевидно, одно и то же «иррациональное число» может быть представлено различными ССКМ (в принятой терминологии – различными последовательностями, стремящимися к этому числу). Основные аналитические функции одной переменной (полиномы, дробно-рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, гиперболические функции) могут быть представлены в виде ССКМ и классов ССКМ, которые при увеличении параметра порождают все более точные дискретные представления рассматриваемых функций. При анализе свойств конкретных ССКМ основным инструментом является метод математической индукции. В связи с наличием формального представления ССКМ в виде 38 алгоритма его построения те или иные утверждения относительно свойств рассматриваемого ССКМ типа «для данного ССКМ для любого имеет место нечто» могут с использованием алгоритма построения ССКМ проверяться для 1 и доказываться для n 1 исходя из предположения о правильности рассматриваемого утверждения (нечто) для данного ССКМ при n . По аналогии с «Эрлангентской программой» Ф. Клейна единообразного описания различных геометрий и физических представлений на языке представлений групп и другими аналогичными программами можно говорить о программе описания в терминах ССКМ всех известных представлений и результатов современной математики, что могло бы явиться триумфом «восхождения к конструктивности». Однако реализация такой программы потребовала бы немалых усилий многих исследователей. В настоящей же работе ограничимся определением на языке ССКМ некоторых базовых понятий геометрии и классического математического анализа и конструктивным доказательством некоторых основополагающих утверждений этих разделов математики (пп. 3-4). 3. Об исходных представлениях конструктивной геометрии Рассмотрим ССКМ A : A1 , , , A2 , , , A( ) A1 A2 . x, y Q . Тогда y A , ( x, y ) A( ) . Пусть при этом x A1 , 2 39 при некоторых Назовем ССКМ A( ) плоскостью A( ) и проанализируем некоторые подмножества этой плоскости (также, очевидно, являющиеся ССКМ) и некоторые их свойства. ССКМ (a, b)( ) A( ) ( x, y) : ( x a) ( y b), a, b Q , которое при каждом или состоит из одного элемента плоскости A( ) или пусто, назовем точкой ( a , b ) плоскости A( ) . Такая точка является ССКМ и принципиально отличается от КМ (a, b) , являющегося декартовым произведением двух КМ, состоит из одного рационального числа. ССКМ RL( ) A( ) каждое из которых a, b x, y : y b /x a k a, b, k Q назовем прямой линией или просто прямой на плоскости A( ) , проходящей через точку ( a, b) и имеющей наклон k . ССКМ RL( ) A( ) x, y : x a a Q назовем прямой, параллельной оси y , или прямой с бесконечным наклоном. КМ, порождаемое таким ССКМ , RL( ) RL( ) при данном . RL ( ) назовем параллельными, будем называть прямой RL1 ( ) и 2 если при любом RL1 RL2 . Прямые при некотором 40 Прямые RL1 ( ) и RL2 ( ) назовем совпадающими, если их наклоны равны и существует RL1 RL2 . Прямые RL1 ( ) и RL2 ( ) , при котором назовем пересекающи- или RL1 RL2 , или RL RL a, b , причем при некоторых выполняется второе. Точку ( a , b ) при этом назовем точкой мися, если при любом 1 2 пересечения этих прямых. Теорема 3.1. Любые две прямые плоскости A( ) являются либо совпадающими, либо параллельными, либо пересекающимися. Одновременное выполнение какой-либо пары свойств пересечения, совпадения и параллельности прямых невозможно. Доказательство. Параллельные прямые не могут быть ни совпадающими, ни пересекающимися по определению в силу того, что для параллельных прямых при любом RL1 RL2 , а для совпадающих и , при котором это пересекающихся существует пересечение не пусто. Прямые с совпадающим наклоном k или с бесконечным наклоном, имея при некотором одну общую точку (a, b) , будут иметь общими при этом и все другие точки в силу условия прямолинейности y b / x a k при совпадающем наклоне или в силу совпадения для всех точек прямых обеих координат при бесконечном наклоне. Из чего следует, что при равном или бесконечном одновременно наклоне (а это определяющее свойство совпадающих прямых) прямые не могут быть пересекающимися. То есть совпадение и пересечение прямых 41 также несовместимо. Что и доказывает второе утверждение теоремы. Для полного доказательства теоремы остается показать, что любые две прямые RL1 ( ) и RL2 ( ) являются либо параллельными, либо пересекающимися, либо совпадающими. Для этого необходимо и достаточно доказать три следующих утверждения: 1. Если при некотором прямые RL1 ( ) и RL2 ( ) имеют общую точку ( a, b ) (то есть эта точка принадлежит обеим прямым при данном ), то другие их точки при данном либо все общие, либо все не общие. 2. Если при некотором для прямых RL1 ( ) и RL2 ( ) RL1 RL2 a, b , то при любом другом либо RL1 RL2 a, b , либо их пересечение пусто. 3. Если при некотором для прямых RL ( ) и RL ( ) RL RL RL RL , то это условие будет выполняться и при любом другом . 2 1 1 2 1 2 Утверждение 1 следует из условия прямолинейности RL1 ( ) и RL2 ( ) - y b / x a k и наличия у них общей точки (a, b) при заданном . При равном или бесконечном наклоне обеих данных прямых при любом , в том числе и при заданном, имеют место равенства RL1 RL2 RL1 RL2 и все их точки общие. При разных наклонах прямых RL1 ( ) и RL2 ( ) ( k 1 и k 2 соответственно) RL1 RL2 a, b 42 при рассматриваемом , k1 k 2 , то для k1 x a b A2 , поскольку если x A1 таких, что k 2 x a b A2 существуют x, y1 RL1 всех и x, y RL 2 в силу условия прямолинейности, и при 2 и, x a y2 y1 , а при x a - y 2 y1 . При k1 k 2 все наоборот, из чего следует, что при разных наклонах и при общей точке (a, b) при заданном прямые RL ( ) этом других общих точек не имеют. 1 Утверждение 2 утверждению 1. и RL2 ( ) при доказывается вполне аналогично Если при рассматриваемом RL1 RL2 a, b , то при любом 1 либо a, b A 1 , либо нет. Из того, что RL1 RL2 a, b следует, что наклоны этих k1 и k 2 различны. В силу чего при прямых a, b A1 RL1 1 RL2 1 a, b , в противном случае RL1 1 RL2 1 . Для доказательства утверждения 3 заметим, что из того, что при некотором для прямых RL1 ( ) и RL2 ( ) RL1 RL2 RL1 RL2 следует, что эти прямые имеют одинаковые наклоны и, по определению, являются совпадающими. Для совпадающих же прямых в силу равенства наклонов рассматриваемое нами условие 43 RL1 RL2 RL1 RL2 при любом . выполняется , и, следовательно, ни при каких параллельными, либо имеют одну общую точку являются (a, b) при Из совокупности утверждений 1-3 следует, что любые две прямые RL1 ( ) и RL2 ( ) либо не имеют общих точек всех , для которых a, b A и, следовательно, являются пересекающимися, либо при любом RL1 RL2 RL1 RL2 и, следова- тельно, эти прямые являются совпадающими. Таким образом, теорема 3.1 доказана. Задавшись точкой ( a , b ) плоскости A k , a, b, k Q, k и наклоном нетрудно построить ССКМ, описывающее прямую, проходящую через данную точку с данным наклоном (возможно с бесконечным). Если прямые RL1 ( ) и RL2 ( ) проходят через ( a, b) и имеют конечные наклоны k1 и k 2 , то величину k12 ( k1 k 2 ) /(1 k1 k 2 ) назовем наклоном между прямыми RL1 ( ) и RL2 ( ) . При этом, очевидно, k 21 k12 . Наклон между прямыми с бесконечным точку наклоном будем считать нулевым, между прямой с конечным наклоном k1 и прямой с бесконечным наклоном - равным . Если k 2 1 / k1 , будем говорить, что наклон между рассматриваемыми прямыми бесконечен. Такие 1 / k1 44 прямые, равно как и прямые с нулевым и бесконечным наклоном, будем называть перпендикулярными. Поворотом прямой с наклоном k , проходящей через некоторую точку, на наклон k 1 относительно этой точки назовем построение вместо данной прямой проходящей через ту же точку прямой с наклоном k k1 / 1 k k1 . Если заданы две точки D (a2 , b2 ) , C (a1 , b1 ) и a1 a2 2 b1 b2 2 то величину назовем квадратом расстояния между обозначим CD этими точками и 2 . Через точки ( a1 , b1 ) и ( a2 , b2 ) , очевидно, можно провести одну и только одну прямую с наклоном k b2 b1 / a2 a1 . RL , проходящая через точку ( a, b) с наклоном k . ССКМ ARL A x, y : y b k x a назовем полуплоскостью над этой прямой, ССКМ ARL A x, y : y b k x a - полуплоскостью под нею. Подмножество прямой RL A a, b x, y : y b /x a k, a, b, k Q , равное RL x, y : x1 x x2 , x1 , x2 Q , назовем отрезком CD этой прямой между точками C x1 , k x1 a b и D x2 , k x2 a b . Пусть задана прямая 45 Пусть задана RL прямая с наклоном m , m, n N , проходящая через точку n C a1 ,b1 , и число , представимое в виде r 2 m 2 n 2 , r , q N . Тогда существует две точки q2 nr mr D1 a , b на этой прямой и q q nr mr D2 a , b таких, что q q 2 2 CD1 CD2 . k Поскольку для любого рационального числа можно при заданных m, n N найти другое рациональное число, сколь угодно близкое к заданному и представимое в виде r 2 m 2 n 2 , r, q N , q2 можно сказать, что в практическом плане для любой точки прямой RL можно построить на той же прямой две точки, находящиеся от заданной точки на любом заданном квадрате расстояния. Пусть заданы три точки плоскости B a1 , b1 , C a2 , b2 , D a3 , b3 , b1 b2 b3 . Проведем через пары этих точек 46 A причем прямые RLBC , RLCD , RLBD соответственно. ССКМ, являющееся пересечением полуплоскости над прямой RLBC и полуплоскостей под прямыми RLCD и RLBD , назовем треугольником BCD на этой плоскости. Отрезки BC , BD и CD соответствующих прямых назовем сторонами этого треугольника, наклоны соответствующих прямых или между соответствующими прямыми – наклонами принадлежащих или между принадлежащими им сторонами треугольника. Построим конструктивные доказательства теорем, соответствующих теореме о сумме углов треугольника (теорема 3.2) и теореме Пифагора (теорема 3.3). Теорема 3.2. Пусть имеется треугольник BCD такой, k1 , наклон его стороны BC равен k 2 и наклон стороны CD равен k 3 . И, следовательно, наклоны , , между сторонами BC и BD , BC и CD , CD и BD соответственно равны что наклон его стороны BD равен k 2 k1 k k k k ; 3 2 ; 1 3 . 1 k 2 k1 1 k 2 k3 1 k3 k1 Тогда, повернув прямую отрезка BC относительно точки B на наклон , затем на наклон и затем на наклон , мы получим ту же прямую отрезка BC . Доказательство. Действительно, после поворота рассматриваемой прямой относительно рассматриваемой точки на наклон она, очевидно, будет иметь наклон k 1 . 47 После последующего поворота на наклон наклон она будет иметь k1 k k k k k k 1 1 2 3 2 3 . 1 k 1 k2 k3 k1 k3 k1 k2 Затем после поворота на она будет иметь наклон k2 k2 1 k12 k32 k12 k32 k2 k2 . 2 2 2 2 1 k2 1 k1 k3 k1 k3 k2 Теорема доказана. Теорема 3.3. Пусть имеется треугольник ABC bx , by , C cx , cy , такой что A ax , ay , B AB и AC его стороны 2 2 2 BC AB AC . Доказательство. перпендикулярности b y перпендикулярны. Действительно, по определению ay / bx ax cx ax / cy ay BC by cy bx cx 2 2 Тогда (3.1) 2 by a y a y c y bx ax ax cx by a y c y a y 2 2 AB AC 2 , b a c a x x x x 2 2 откуда с учетом (3.1) теорема доказана. Представленные выше построения позволяют утверждать, что язык ССКМ достаточен для построения геометрии, 48 опираясь исключительно на аксиоматические представления о натуральном ряде, множестве рациональных чисел и декартовом произведении, не аксиоматизируя понятий точки и прямой и не вводя постулатов Евклида, записанных в том или ином виде. 4. Об исходных представлениях конструктивного анализа F : A A1 , , , A2 , , , F A2 Рассмотрим класс ССКМ 1 где - произвольная бесконечно возрастающая натуральнозначная зависимость, определяющая конкретное ССКМ рассматриваемого класса (конкретные ССКМ данного класса будем помечать индексом - F1 и т.п.). F Назовем класс ССКМ пространством конструируемых функций с областью определения x и областью значений y , а входящие в этот класс ССКМ – его подпространствами. Подмножества различных ССКМ данного класса, состоящие при любом строго из одного элемента, будем обозначать x . f индекс При этом каждое такое подмножество (конструируемая функция) будет обозначаться своим нижним индексом. Использование в качестве верхнего индекса символа будет обозначать, что речь идет о рассматриваемом ССКМ (конструируемой функции) в целом, использование конкретного числа - что речь идет о КМ, порождаемом данным ССКМ при параметре , равном указанному числу (о конкретном дискретном отображении из КМ в КМ). Каждая конструируемая функция (КФ) 49 описывается в конкретном ССКМ своей зависимостью множеством A2i . соответствие каждому i При Fi класса F со и, соответственно, со своим каждом x A1 КФ некоторое ставит в y A2 . i y x , описывающий КФ, должен при этом соответствовать i , при любом и любом x A1 должно выполняться условие y x A2i . Пример 1. Рассмотрим ССКМ F1 с 1 . Алгоритм 2 КФ из данного ССКМ: 1 1 f exp x : f exp 0 1, f exp x f x exp вполне соответствует конструктивному представлению о x функции e , поскольку при таком описании увеличивая можно достигнуть любой точности значение представления экспоненты и сколь угодно большого отрезка [ , ] , на котором она рассматривается. Пример 2. Рассмотрим l , l N . 2 2 быть описаны все КФ вида полиномы Pn x , ССКМ F2 с В этом ССКМ, очевидно, могут m f exp x , m N l коэффициенты рациональными числами, кратными 50 1/ l которых . и все являются Вполне аналогично можно построить ССКМ F класса для конструктивного описания тригонометрических и дробно-рациональных функций. Для конструктивного описания логарифмических, иррациональных, обратных тригонометрических функций необходимо дать конструктивное определение обратной функции. Пусть КФ f индекс x , описанная в некотором ССКМ F класса F , такова, что при любом для любого y A множество x A , таких что f x y , состоит не более чем из одного элемента. В A при любом можно выделить подмножество y A , таких что существует x A , такой что f x y . Назовем это подмножество A и рассмотрим ССКМ G A . В этом ССКМ i i 1 2 индекс i 2 i 2 1 i индекс 21 i A21 1 присутствует КФ (подмножество, состоящее при каждом x y , y A21i , x A1 , из одного элемента) и любом x A такая что при любом x f x x . Эту КФ из ССКМ G назовем x . КФ, обратная к КФ из класса обратной к КФ f F , может как принадлежать, так и не принадлежать 1 индекс индекс этому классу. Перед рассмотрением определений непрерывности и дифференцируемости КФ 51 предела, дадим конструктивное определение предела последовательности a , a Q, N . a , a Q, N является Рациональное число a0 также можно Последовательность простейшим ССКМ. представить в виде последовательности a ССКМ, a , a0 Q назовем a , a Q, N , Число рациональную n n N , и для любого Последовательность 0 соответствующего N. пределом последовательности если можно построить алгебраическую зависимость Q, 0 , такую что для всех n a a . a 0 при этом последовательностью, сходящейся к a0 . Нетрудно заметить, что исходя из назовем приведенного определения последовательности типа 1 1/ , не имеющие рационального предела в классическом смысле, не сходятся и предела не имеют. И вообще сходимость монотонной и ограниченной последовательности не гарантирована. Число b Q назовем пределом КФ f индекс x в точке a Q, если можно построить рациональную , Q, 0 , такую что при любом для любого x Q , такого что x, a A и x a f x b . алгебраическую зависимость и н д екс 1 52 Если то же выполняется и тогда, когда a A1 , x A1 , но b Q назовем абсолютным пределом КФ f индекс x в точке x a, a Q . x назовем конечной или ограниченной в КФ f точке a Q , если числовая последовательность f a : a A имеет предел f a Q , то число индекс индекс индекс 1 который в этом случае назовем предельным значением КФ x в точке a . f индекс КФ f индекс x , ограниченную в точке a Q , назовем непрерывной (либо абсолютно непрерывной) в этой точке, если она имеет в данной точке предел (либо абсолютный предел), равный ее предельному значению в той же точке. f индекс x , КФ непрерывную (либо абсолютно непрерывную) во всех точках некоторой области (отрезка, интервала, полуинтервала, всей области определения) назовем непрерывной (либо абсолютно непрерывной) в данной области. Аналогично непрерывности можно определить ограниченность КФ на отрезке, интервале, полуинтервале, всей области определения. Пусть имеются ССКМ класса F F1 и F2 . ССКМ операторов P F2 F1 назовем из подпространства функций пространством F1 в F2 . подпространство функций Аналогично определяется пространство операторов для функциональных 53 ССКМ F . (подпространств функций), Пусть имеется КФ x f индекс ССКМ F . Для данной КФ определить числа не входящих в класс F1 для любых x, из ССКМ класса можно x f индекс x 1 / - f индекс x и f индекс f индекс x f индекс x - f индекс x 1 / . В том же классе ССКМ F можно построить ССКМ F2 с таким 2 , что эти числа для любых x, A22 . Тогда приведенные входят в множество соотношения определят в ССКМ F2 КФ, которые x справа и слева f индекс назовем производной КФ соответственно. Будем также говорить, что из подпространства КФ F1 в подпространство F2 заданы операторы производной справа и производной слева. Пусть имеется КФ f индекс x из ССКМ F1 и ее производные справа и слева из ССКМ F2 и a Q. точке a Если эта производная справа (слева) имеет в C Q C Q , будем предельное значение говорить, что данная КФ дифференцируема в данной точке справа (слева). Если КФ дифференцируема в точке и справа и слева, будем говорить, что она просто дифференцируема в этой точке. При этом производные справа и слева могут как совпадать, так и не совпадать. 54 f индекс x в точке a , Дифференцируемость КФ ограниченной в этой точке, достаточна для ее непрерывности в той же точке. Действительно, наличие у ее производных справа и слева предельных значений в данной точке в силу дифференцируемости означает, что можно построить рациональную алгебраическую зависимость n n N , Q, 0 , такую что для любого : n , a A и для всех f a C / 3 и f a C / 3 , т. е. f x 1 / - f x C / 3 , (4.1) f x - f x 1 / C / 3 . 1 индекс индекс индекс индекс индекс индекс В силу ограниченности данной КФ в данной точке можно найти также n1 такое, что при n1 , a A1 f a f a / 3. n , такое что при n , Найдем также a A C / / 3 и C / / 3 и положим n max n , n , n . Из (4.1) следует, что при n , a A f a 1 / f a 2 / 3 / 3 ,(4.2) f a 1 / f a 2 / 3 / 3 . a является Из (4.2) в свою очередь следует, что f x в точке a 1 / n и, пределом f индекс индекс 2 2 1 0 1 2 1 0 индекс индекс индекс индекс индекс индекс 0 значит, данная КФ непрерывна в данной точке. 55 Аналогично непрерывности можно определить дифференцируемость КФ в той или иной области. Дифференцируемость КФ в той или иной области, очевидно, достаточна для ее непрерывности в этой области, но не гарантирует абсолютной непрерывности в ней. Вопрос о том, является ли дифференцируемость КФ достаточной для ее ограниченности, требует выяснения. Нетрудно показать, что из дифференцируемости КФ в точке a следует стремление к нулю при возрастании разностей f индекс a 1 / f индекс a и a f a 1 / . f индекс индекс Но достаточно ли это для ограниченности последовательности f индекс a ? Ведь в классическом анализе неопределенность типа вполне может раскрываться и как 0. Возникает и много других неожиданностей. Например, КФ может быть непрерывной в точках, кратных 5, и не быть таковой в точках, кратных 7. Требуют выяснения и многие другие вопросы, связанные с конструктивным переосмыслением математического анализа в терминах ССКМ. 56 Литература 1. Кантор Г. О бесконечных линейных точечных образованиях. //Новые идеи в математике, 1914, №6. С-Пб.. 2. Кантор Г. Труды по теории множеств. М.: Наука, 1985. 3. Russel, Bertrand. The Principles of Mathematics. Cambridge, 1903. 4. Гейтинг А. Интуиционизм, пер. с англ. М.: Наука, 1965. 5. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств, пер. с англ. М.: Наука, 1966. 6. Гильберт Д., Бернайс П. Логические исчисления и формализация арифметики, пер. с нем. М.: Наука, 1979. 7. Марков А.А. Теория алгорифмов. // Тр. Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. 1954. Т. 42. С. 3-375. 8. Марков А.А. О конструктивных функциях. // Тр. Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. 1958. Т. 52. С. 315-348. 9. Марков А.А. О логике конструктивной математики. М.: Знание, 1972. 47 с. 10. Марков А.А., Нагорный Н.М. Теория алгорифмов. 2-е изд., испр. и доп. М.: ФАЗИС, 1996. 448 с. 11. Turing A.M. “Proc. London Math. Soc.”. Ser. 2. 1936. V. 42. №№ 3-4. P. 230-265. 12. Post E.L., “J. Symbol. Log.”, 1936. V. 1. № 3. P. 103-105. 13. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1990. 736 с. 14. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах. Т. 3. М.: Наука, 1974. 771 с. 15. Шевченко В.В. Конструктивные логические системы и их приложения. М.: ВЦ РАН, 2003. 51 с. 57
