§ 5. Модели сферы потребления и их характеристики

§ 5. Модели сферы потребления и их характеристики
5.1. Эластичность спроса на товар: от дохода, от цены и от цены на другой
товар
Экономический человек – условное общее понятие, представление о
человеке как о рационально мыслящем субъекте, строящем свои планы и
действия, исходя из принципа получения максимальной выгоды.
Гомо экономикус (лат. Homo ecoomicus) – 1) человек с высокой
экономической
интуицией
и
познаниями,
принимающий
оптимальные
варианты экономических решений; 2) человек, стремящийся к перманентному
обогащению; 3) «экономический» человек, действия, поведения…
Большинство задач формируется в терминах теории оптимизации. Иными
словами, как задачи оптимизации, которые допускают математическую
формулировку. В отличии от институциональной экономики, где, например,
есть так называемая «теорема» Коуза1 (R.H.Coase). Теорема Коуза впервые
была сформулирована Дж. Стиглером2 (G.J.Stigler) в 1966 году следующим
образом: «Если права собственности четко определены и трансакционные
издержки равны нулю, то размещение ресурсов (структура производства) будет
оставаться
неизменным
и
эффективным
независимо
от
изменений
в
распределении прав собственности». Формулировка Стиглера была основана на
опубликованной в 1960 году статье Р. Коуза «Проблема социальных издержек»
(англ. «The problem of social cost». Journal of Law and Economics. 1960. V. 3. P.
1-44).
Функция спроса (demand function) – функция, отражающая зависимость
объема спроса на отдельные товары и услуги (потребительские блага) от
1
Коуз Р.Г. – американский экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике 1991 года
«за открытие и прояснение точного смысла трансакционных издержек и прав собственности
в институциональной структуре и функционировании экономики».
2
Стиглер Дж.Дж. – американский экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике
1982 года «за новаторские исследования промышленных структур, функционирования
рынков, причин и результатов государственного регулирования».
173
комплекса факторов, влияющих на него. Более узкая трактовка: функция спроса
выражает взаимозависимость между спросом на товар и ценой этого товара при
условии, что другие факторы, влияющие на величину спроса, признаются
постоянными.
Такие зависимости применяются в аналитических моделях спроса и
потребления и строятся с использованием методов математической статистики
на основе информации о структуре доходов населения, цен на товары и других
факторов. Например, для анализа и прогнозирования спроса на предметы
длительного пользования нужны данные о наличии и возрасте таких предметов,
уже имеющихся у населения, о составе семей; спрос на мебель во многом
определяется интенсивностью жилищного строительства и т.д.
Наибольшее
отражающие
распространение
зависимость
спроса
получили
от
однофакторные
уровней
семейных
функции,
доходов.
Соответствующие этим функциям кривые названы кривыми Э. Энгеля (E.Engel)
(по имени впервые изучившего их немецкого ученого). В обобщенной форме
эти кривые можно выразить формулой:
xi = fi(S),
где S – средний доход; xi – объем потребления блага (либо объем спроса, если
он удовлетворяется). Формы же кривых (т.е. характер функций fi) могут быть
различны. Например, если спрос в определенной группе семей на данный товар
возрастает примерно в той же пропорции, что и доход, то функция будет
линейной: отложив на оси абсцисс графика уровень дохода, а на оси ординат –
величину спроса, получим точки, расположенные примерно по прямой линии
(рис. 1, а). Например, зависимость между доходами и расходом на фрукты и
ягоды, трикотажные изделия, готовую одежду и рыбные продукты в семьях
рабочих и служащих была до реформы цен 1992 г. приблизительно линейной.
174
Второй вид зависимости: когда по мере роста дохода спрос на данную
группу товаров возрастает все более высокими темпами. Здесь мы уже имеем
выпуклую кривую (рис. 1, б).
Рис. 1. Кривые Энгеля
Если же рост значений спроса (потребления), начиная с определенного
момента по мере насыщения спроса, отстает от роста дохода, то графически
связь между этими показателями выражается вогнутой кривой (рис. 1, в).
Таковы наиболее обобщенные формы зависимости между доходами и
спросом. В аналитических моделях используются для разных статей расходов
различные функции (напр., степенная, параболическая и др.). Большую роль
играет коэффициент эластичности, показывающий относительное изменение
потребления при изменении дохода на единицу. Коэффициенты эластичности
175
различны для разных благ в зависимости от степени удовлетворения
соответствующей потребности и ее настоятельности.
Функции спроса строятся также для анализа соотношения спроса и цен.
Для большинства благ действует зависимость: чем выше цена, тем ниже спрос,
и наоборот. Здесь также возможны разные типы зависимости и, следовательно,
разные формы кривых. Важно различать действительное увеличение спроса на
данный товар, когда кривая сдвигается вверх и вправо, и увеличение покупок в
результате снижения цен (при неизменности суммы затрат), что означает
движение вверх, напр. от A к B или от A′ к B′ по той же кривой (рис. 2).
Приведенные
примеры
относятся
к
функциям
индивидуального
рыночного спроса на отдельные группы товаров и услуг. От них следует
отличать макроэкономическую функцию совокупного (агрегатного) спроса,
показывающую
планируемый
уровень
расходов
населения
(домашних
хозяйств) и фирм на товары и услуги при каждом уровне совокупных доходов,
а также предельную склонность к потреблению, показывающую долю прироста
дохода, на величину которой увеличивается потребление.
Рис. 2. Функции спроса
Насыщение спроса (saturation, saturation of demand) – категория,
отражающая характерное для многих товаров и услуг на определенном уровне
их потребления существенное сокращение или даже прекращение спроса на
них (при данном уровне доходов и цен), а также накопленных запасов таких
176
благ. Насыщение спроса – фактор, который учитывается при планировании
роста благосостояния, производства товаров народного потребления, в
маркетинге. Следует различать насыщение платежеспособного спроса и
насыщение потребности в том или ином благе. Если потребление данного блага
перестает увеличиваться при любом увеличении дохода (или любом снижении
цен), то можно говорить о насыщении потребности в нем. Достигнутый
уровень его потребления – предельный.
С ростом доходов спрос на продукты питания растет медленнее, чем спрос
на одежду, обувь и т. д. На известном этапе наступает дальнейшая смена, когда
рост
потребления
одежды
отстает
от
роста
потребления,
скажем,
радиоприемников, холодильников и других предметов культурно-бытового
обихода и т.д. Все это свидетельства о насыщении спроса для соответствующих
товаров.
Графически насыщение можно изобразить в виде кривой спроса, которая
сначала имеет тенденцию к быстрому росту, а затем замедляет его, стремясь к
какому-то пределу, называемому уровнем, или точкой насыщения. На рис. 3
представлены функции Л. Торнквиста (L.Tornkwist) – шведского экономиста,
предложившего разделить все товары на три группы: первой необходимости
(кривая I), второй необходимости (II) и предметов роскоши (III). Здесь
пунктиры – уровни насыщения для товаров первой и второй необходимости;
D1 , D2 , D3 – уровни доходов, при которых начинается приобретение товаров
первой, второй необходимости и предметов роскоши:
D1 
a1 I ( I  b1 )
a ( I  b2 )
a I ( I  b3 )
, I  b1 , D2  2
, I  b2 , D3  3
, I  b3 ,
I  c1
I  c2
I  c3
где ai  0 , bi  0 , ci  0 , i = 1, 2, 3.
177
0
Рис. 3. Функции Торнквиста
Эластичность спроса от цен (по цене) (price elasticity of demand) –
коэффициент, показывающий относительное изменение объема потребления
(спроса) при изменении цены данного товара или цен других связанных с ним
товаров (в общем случае спрос на отдельный товар при прочих равных
условиях зависит от уровня цен всех товаров).
Известно, что спрос на товары или иные блага обычно прямо зависит от
цен: выше цены – ниже спрос, и наоборот. Коэффициент эластичности,
характеризующий степень этой зависимости, удобно трактовать как величину
изменения спроса (в процентах) при изменении цены на 1%. Он исчисляется по
формуле для спроса Yi на товар i относительно его цены Pi
Eii 
Yi Pi

Pi Yi
E ji 
Y j Pi
 .
Pi Y j
а в случае i ≠ j
По кривым спроса легко увидеть, что чем быстрее изменяется спрос при
изменении цены, тем круче опускается кривая. Коэффициент эластичности
показывает крутизну наклона кривой.
178
Если повышению цены на 1% соответствует снижение спроса более чем на
1%, и наоборот, понижение цены приводит к росту покупок больше чем на 1%,
говорят, что спрос эластичен (коэффициент эластичности больше единицы);
если повышение цены на 1% влечет за собой понижение спроса менее чем на
1%, то спрос неэластичен (0 < Eii < 1). Соответственно различаются товары
эластичного спроса и товары неэластичного спроса.
Эластичность спроса от цен для товаров длительного пользования обычно
больше для краткосрочного, чем для долгосрочного периода. Для других
товаров соотношение обратное.
Единичная эластичность спроса (unitary elastic demand) – эластичность
спроса от цен, при которой процентное изменение цены товара вызывает такое
процентное изменение спроса, что общий доход производителя (расход
покупателя) остается неизменным.
Перекрестный
коэффициент
эластичности
(cross-price
elasticity
coefficient) – коэффициент, показывающий, на сколько процентов изменится
спрос на данный товар при изменении цены на другой товар на один процент,
при условии, что остальные цены и доходы покупателей остаются прежними.
Если он меньше нуля, товары называются взаимодополняющими, если больше
– взаимозаменяющими, а если равен нулю – товары независимы друг от друга.
Взаимодополняемые (взаимодолняющие) товары (complements) –
товары, которые в совокупности удовлетворяют одну и ту же потребность
(например, фотоаппараты и химикалии для фотолюбителей, сосиски и горчица,
автомобили и шины и т. д.). Снижение цен на первые из названных пар товаров,
приводя к расширению их продажи, увеличивает спрос и на вторые.
Перекрестный коэффициент эластичности цен таких товаров меньше нуля.
Линия безразличия для двух взаимодополняемых товаров образуется из
двух прямых, параллельных осям координат (см. рис. 4). Точка A –
минимальная,
т.е.
это
набор,
обеспечивающий определенный
179
уровень
потребления при минимальных затратах обоих благ. То же: комплементарные
товары.
товар y
C
B
D
A
0
товар x
Рис. 4. Линия безразличия для двух
взаимодополняющих товаров
Взаимозаменяемые товары (substitutes, fungibles) – товары, которые
служат однородным целям (т.е. покупателю безразлично, какой из них
выбрать).
Взаимозаменяемость
почти
никогда
не
бывает
абсолютной.
Примерами взаимозаменяемости могут служить велосипеды и мотоциклы, куры
и индейки, пирожные и шоколад и т.д. Здесь важна связь между ценой на один
товар и спросом на другой: если снизится цена на один товар, то спрос на
другой уменьшится, и наоборот.
Поэтому перекрестный коэффициент
эластичности для таких товаров больше нуля.
Кривые безразличия (indifference curves) – геометрическое место точек
пространства товаров, характеризующихся состоянием безразличия с точки
зрения равной полезности для потребителя. Она является линией уровня для
функции полезности этого потребителя. С другой стороны, это графическая
иллюстрация взаимозаменяемости товаров. Применение кривых безразличия –
метод теоретического анализа спроса и потребления (а также некоторых других
экономических явлений).
180
На
обычном
графике,
изображающем
первый
квадрант
системы
координат, отложим по оси абсцисс количество одного блага, по оси ординат –
количество другого блага (рис. 5). Кривая безразличия соединяет на этой
плоскости пространстве координат все точки, отражающие такие комбинации
(ассортиментные наборы) товаров, что покупателю безразлично, какую из них
покупать. Например, потребителю безразлично, покупать ли шесть предметов x
и один предмет y (ситуация, показанная точкой A) или четыре предмета x и два
предмета y (точка B) и т. д. Совокупность наборов, безразличных данному (на
рис. 5 это наборы A, B, C), называется множеством безразличия (indifference
set).
x2
x2
C
D
`
III, U3
II, U2
x2
x2
B
A
0 x1
x1
I, U1
x1
x1
Рис. 5. Кривые безразличия потребления товаров x1, x2
Таких кривых безразличия можно построить сколько угодно: чем дальше
от начала координат, тем большие по объему наборы товаров рассматриваются.
Получается карта безразличия, напоминающая географическую карту с
нанесенными горизонталями. На ней кривая безразличия, лежащая выше и
правее данной кривой, представляет более предпочтительные наборы товаров
(на рис. 5 кривая II по сравнению с кривой I и III по отношению к II). Кривые
имеют отрицательный наклон, причем их крутизна показывает предельную
норму замещения одного товара другим; кривые никогда не пересекаются.
Абсолютный наклон кривых уменьшается при движении по ним вправо: это
181
означает, что кривые выпуклы к началу координат. Таковы основные свойства
кривых безразличия.
При совмещении на графике кривой безразличия с бюджетными линиями
получаем дальнейшую информацию. Точки пересечения (совпадения) этих
кривых покажут, какие наборы не только предпочтительнее, так сказать,
теоретически, абстрактно, но и фактически: они действительно доступны при
данном количестве денег. Например, в точке D, где бюджетная линия касается
кривой безразличия U2, достигается максимум удовлетворения запросов
потребителя при тех возможностях, которыми он располагает. На пересечении
с кривой U1 у него остаются неиспользованные деньги, а кривая U3 для него
недостижима. Если доходы потребителя увеличиваются, он может выбрать
наборы товаров, соответствующие не кривой I, а кривым II, III и т. д.
Кривая безразличия — это не просто теоретический «домысел»
экономистов. Проводятся лабораторные экономические эксперименты, в
которых испытуемые вычерчивают такие кривые на основании собственного
опыта. Свойства кривых изучаются с помощью средств математической
статистики, причем часто оказывается, что эти свойства полностью совпадают с
теоретически выведенными (отрицательный наклон, непересекаемость и др.).
5.2. Предпочтения и функция полезности
Авторы теории предельной полезности (Г.Госсен (H.H.Gossen), Л.Вальрас
(M.É.-L.Walras) и другие) в своих работах во второй половине XIX в. явно или
неявно
пользовались
количественную
некоторого
меру
продукта
понятием
функции
удовлетворения
или
набора
полезности,
потребностей
продуктов.
Они
представляющей
при
потреблении
считали
продукты
безгранично делимыми и измеримыми в непрерывной шкале. Это открыло
возможность использования
математического анализа
исследованиях.
субъективной
Функция
182
в экономических
полезности,
оцениваемой
основным объектом кардинальной
индивидуальным покупателем, стала
(количественной)
теории
полезности,
исходившей
из
предполагаемой
возможности количественного измерения полезности продуктов потребления.
Функция полезности аналогична потенциалу в физике. Её цель –
восстановить потенциал.
Существует два подхода к теории полезности в неоклассическом подходе.
Первый – это ординалистский подход. Второй подход – введение функции
полезности, кардиналистский подход. Два подхода эквивалентны с точки
зрения теории полезности.
5.2.1. Ординалистская теория
Пусть есть, x  col{x1 ,..., xn } – набор товаров (группа товаров) – в
натуральном или денежном выражении.
Цены товаров известны: p  { p1 ,..., pn } – для товаров в натуральном
выражении. В денежном выражении можно считать, что p  {1,...,1} .
На множестве наборов  n   n вводятся бинарные отношения, где  n =
{любой x   n , x  0 }. Здесь x  0 – это (частичная) упорядоченность
(полуупорядоченность) (порядок – лат. слово «order») в пространстве векторов
 n . Напомним, что x  0 означает, что любая координата xi  0 . Мы можем
сравнивать различные группы товаров: x  y – упорядоченность по количеству,
т.е. x  y , что означает: для любого i : xi  yi Но, не все наборы сравнимы. Еще
используют строгую сравнимость: x  y , что означает для любого i : xi  yi , но
существует номер j : x j  y j .
183
неограниченный конус
x2
zx
x
конусный отрезок между 0 и x ( [0, x ] )
0 y x
(порядковый отрезок)
x1
0
Вводится еще одно бинарное отношение – берется совершенная (полная)
упорядоченность, возникают линии безразличия, пытаются сравнить все
наборы.
x2
●x
●
y
x1
0
Наборы считаются одинаковой полезности, это означает, что наборы лежат
на одной поверхности безразличия.
Свойство
строгой
выпуклости:
x y
–
x
предпочтительнее
(относительное предпочтение), то есть используются действительные числа.
184
y
В теореме Дебрё1 утверждается, что при выполнении соответствующих
аксиом для полной упорядоченности существует функция полезности. Если
существует функция полезности, то есть предпочтения.
5.2.1.1. Аксиомы теории предпочтений
В микроэкономической теории данное отношение соотносится как с
каждым индивидуальным потребителем, так и с ансамблем потребителей как и
его носителями. В последнем случае вводится понятие «репрезентативный
потребитель».
Представляется
теоретическую
базу
математического
моделирования реальных проблем потребительского спроса, свободного от
отмеченных выше противоречий агрегированного потребителей, полагаем, что
отношение
≽
предпочтение
представляет
ансамбль
потребителей
как
априорный объект.
Предпочтение. x ≽ y – пример бинарного отношения, то есть, пара ( x, y )
– упорядоченная пара.
Предпочтение, бинарное отношение – множество пар ( x, y )  ≽   n   n .
Иначе
говоря,
множество
пар
предпочтений.
Бинарное
отношение
–
подмножество всех пар.
 n
(x,y)
y
0
x
 n
1
Дебрё Ж. (G.Debreu) – американский экономист французского происхождения, лауреат
Нобелевской премии по экономике 1983 года «за вклад в понимание теории общего
равновесия и условий, при которых существует общее равновесие».
185
Первые основные аксиомы бинарных отношений.
Аксиома 1. Рефлексивность:
x≽x
для любого
x   n , то есть
( x, x)  ≽   n   n то есть, все ( x, x ) – упорядочены.
(x,x) диагональ ≽

n

y
(x,y)
0
x
 n
Аксиома 2. Транзитивность: для любых x, y, z   n : x ≽y, y≽z следует
x ≽z. То есть, ( x, y )  ≽, ( y, z ) ≽, ( x, z ) ≽.
 n z
(x,z)
(y,z)
(x,y)
(y,y)
y
0
x
y
 n
Аксиома 3. В теории потребления рассматривают полную, совершенную,
линейную упорядоченность: для любых x, y   n : либо x ≽y, либо y≽x (либо то
и другое).
186
Другими словами, для любых x, y   n : либо ( x, y )  ≽, либо ( y, x )  ≽ (это
не альтернатива, то есть, подразумевается и то и другое).
Может быть ( x, y )  ≽, ( y, x )  ≽, то есть, x ≽ y и y ≽ x . В этом случае
существуют безразличные (эквивалентные) наборы (векторы), то есть, x  y.
Эквивалентность – бинарное отношение, определяемое тремя аксиомами.
x ≽ x , то есть, любая пара ( x, x )
1. Рефлективность: для любого
принадлежит ≽.
2. Транзитивность: для любых x, y , z : x ≽y, y≽z следует x ≽z.
3. Симметричность: для любых x, y : x ≽y, следует y≽x (то есть, для
любого
( x, y )  ≽,
следует
( y, x )  ≽)
–
симметричность
относительно
диагонали.
Строгая предпочтительность (строгое предпочтение): x  y , но при этом
неверно y  x , но при этом выполняется y≽x.
5.2.1.2. Аксиомы строгого предпочтения
1. Антисимметричность: для любых x  y , следует не верно y  x (в
случае, когда не определено ≽) ( ( x, y )  , следует ( y, x )  ).
2. Транзитивность: для любых x, y , z : x  y , y  z , следует x  z .
 n
(x,y)
y
(y,x)
x
0
x
y
187
 n
5.2.1.3. Непрерывные предпочтения
Определение. Предпочтение (бинарное отношение) непрерывно, означает,
что множество ≽ замкнуто в  n   n . Иными словами, для любых x   n
множества {любой y   n : y ≽ x }, {любой z  n : x ≽ z } замкнуты, то есть
граница входит в множество.
x2
x
yx
z≺x
линия безразличия
x1
0
Эквивалентно,
что
множества
{любой
y   n : y  x },
{любой
z   n : x  z } открыты, то есть граница не входит в множество.
Другое определение, если
x  y , то существует непересекающиеся
окрестности точек x и y ( Vx и Vy точек x и y ): для любой точки a  Vx , для
любой точки b  Vy , следует a  b .
x2
Vx




 Малое отклонение не меняет
свойства предпочтительности:
а может отклоняться от x, b может
отклоняться от y, но так a  b .
x
a
y
b
Vy
0
x1
188
Теорема (Ж.Дебрё). Любое непрерывное отношение предпочтения на
множестве  n может быть представлено непрерывной функцией полезности.
При этом функция при этом может быть задана неоднозначно.
5.2.2. Свойство функции полезности (предпочтения)
Задана на множестве со значениями V :  n    : x  y тогда и только
тогда V ( x ) > V ( y ) , если x  y , то V ( x )  V ( y ) .
x2
x2
строго выпукло

нестрого выпукло
y
x
x1
0
x1
0
Отношение предпочтения называется выпуклым, если для любого x   n
множество {любой y   n : y ≽ x } выпукло.
Утверждение.
1. Выпуклым
предпочтением
соответствуют
квазивыпуклая
вверх
(квазивогнутая) функция полезности (ФП).
2. Строго выпуклым предпочтениям соответствуют строго квазивыпуклая
вверх (строго квазивогнутая) ФП.
Утверждение 1, 2 можно считать определениями квазивогнутости и
строгой квазивогнутости.
Для любой функции можно дать следующее определение квазивогнутости:
функция f :  n   n такова, что для любого c    : f 1 [c, )  – прообраз
функции (множество Лебега) выпуклое подмножество в  n .
189
Любая выпуклая вверх функция f :  n   (вогнутая функция) является
квазивогнутой функцией.
Существуют
монотонные
функции
являющиеся
квазивогнутыми
и
квазивыпуклыми одновременно.
Пример. Выпуклая вверх функции – это такая функция, что множество,
которое называется подграфиком функции – выпуклое множество. Выпуклая
вниз функция – это такая функция, что множество, которое называется
надграфиком функции – выпуклое множество.
f ( x)
g(x)
подграфик
функции –
выпуклое множество
надграфик
функции –
выпуклое множество
0
x
Пример. Для функция двух переменных имеем, что подграфик функции –
выпуклое множество.
f ( x, y )
подграфик – выпуклое множество
y
0
x
190
Пример. Квазивогнутость: проводим сечение
f ( x )  c , следовательно
 a, b = f 1[c, ) прообраз – выпуклое множество. Здесь может быть a =  .
f ( x)
с
0
a
b
x
Пример. Для функции двух переменных: f ( x, y ) видим, что f 1[0, ) –
выпуклое множество.
сечение
c
y
0
x
Пример. Прямая линия – является квазивогнутой и квазивыпуклой. Здесь
для любого c   множество f 1[c, ) выпукло и множество f 1 (, c] тоже
выпукло.
191
f ( x)
квазивогнутая
c
квазивыпуклая
f 1 (c)
0
f 1 (, c]
f 1[c, )
x
Только по выпуклому сечению нельзя судить об квазивогнутости.
Необходимо учитывать значения f ( x)
 c (выше функция может вести себя
иначе) или f ( x )  c .
Аналогично можно ввести понятие квазивыпуклости функции (выпуклая
вниз функция).
Любая строго монотонная скалярная функция
f :  
является
квазивогнутой и квазивыпуклой функцией.
Определим строго квазивыпуклую функцию: f :  т   , что для любого
c   : f 1 ( [c, ) ) – выпуклое множество  n и граница его подмножества
строго выпукла, т.е. если в любой точке границы провести опорную
гиперплоскость, то эта гиперплоскость пересечет границу только в самой точке.
Замечание. Эквивалентные определения 1:
f (x)
квазивогнута на
открытом выпуклом множестве S в  n тогда и только тогда, когда
f ( x )  f ( y )  f (x  y )  f ( y )
для всех х, y из S из любых  ,  :    = 1, 0   ,   1 . f (x) квазивогнута
строго на открытом выпуклом множестве S в  n , если
1
Сюдсетер К., Стрём А., Берк П. Справочник по математике для экономистов / Пер. с
192
f ( x )  f ( y )  f (x  y )  f ( y ) ,
для всех x  y из S и любых  ,  :    = 1, 0   ,   1 . Функция f (x)
(строго) квазивыпукла на S   n , если функция – f (x) (строго) квазивогнута.
Свойства. 1) Если f 1 , …, f m – вогнутые функции, определенные на
выпуклом множестве S в  n , и сложная функция g задана для каждого х из
S в соответствии с равенством
g ( x)  F ( f 1 ( x),..., f m ( x )) ,
где F (u1 ,...,u m ) квазивогнута и по всем переменным возрастает, то g
квазивогнута.
2) Если f (x) квазивогнута (квазивыпукла), a F возрастающая, то F(f(x))
квазивогнута (квазивыпукла).
3) Если f (x) квазивогнута (квазивыпукла), a F убывающая, то F(f(x))
квазивыпукла (квазивогнута).
4) Если f (x) – функция с положительными значениями, определенная на
выпуклом конусе S в  n , и при этом f однородна степени 1 и квазивогнута на S,
то f вогнута на S.
5)
Принадлежащая
классу
гладкости
С1
(функция
является
дифференцируемой и производная её непрерывна) функция f (x) квазивогнута
на открытом выпуклом множестве S в  n тогда и только тогда, когда
f ( x )  f ( y )  f ( y )  ( x  y )  0
 f ( y )
f ( y ) 
для всех x и y из S. Здесь f ( y )  grad f ( y )  
,...,
.
y n 
 y1
Замечание. Дадим другое определение1. Вещественная функция f (x) ,
определенная на выпуклом множестве S   n , называется квазивыпуклой, если
при любых двух различных точках х и у из S
норвежск. Под ред. Е.Ю. Смирновой. СПб.: Экономическая школа, 2000. Глава 13.
1
Интрилигатор М. Математические методы в оптимизации и экономическая теория / Пер. с
англ. М.: Айрис-Пресс, 2002. Приложение А, А.5.
193
f (x  y )  max[ f ( x ), f ( y )]
для всех  ,  :  +  = 1, 0   ,   1 .
f (x) называется строго квазивыпуклой, если это неравенство выполняется
как строгое неравенство; f (x) квазивогнута, если – f (x) квазивыпукла; f (x)
строго квазивогнута, если – f (x) строго квазивыпукла. Таким образом, f (x)
строго квазивогнута, если при любых различных х и у из S   n выполняется
неравенство
f (x  y )  min[ f ( x), f ( y )] ,
для всех  ,  :     1 , 0   ,   1 , что следует из соотношения
max  f ( x )   min f ( x) .
xS
xS
Функция f (x) квазивыпукла тогда, и только тогда, когда множество
x  S : f ( x)  c
(c
– любое
вещественное
число)
является
выпуклым;
f (x)
строго
квазивыпукла, если это неравенство выполняется как строгое неравенство;
f (x) квазивогнута, если выполняются противоположные неравенства. Таким
образом, f (x) строго квазивогнута тогда, и только тогда, когда множество
x  S : f ( x)  c
( c – любое вещественное число) является выпуклым.
Замечание. Рассмотрим определитель1
Br ( x ) 
0
f1( x ) 
f r( x )
f1 ( x )
f11( x ) 
f1r ( x )

f r ( x )


f r1 ( x ) 

,
f rr( x )
где r  1,, n , x   n . Этот определитель называется окаймленный гессиан в
точке x . Функция f определена внутри области n и кроме того, дважды
1
Сюдсетер К., Стрём А., Берк П. Справочник по математике для экономистов / Пер. с
норвежск. Под ред. Е.Ю. Смирновой. СПб.: Экономическая школа, 2000. Глава 13.
194
дифференцируемая и вторая производная непрерывна. Тогда необходимое
условия квазивогнутости для f на открытом выпуклом множестве S в n , это
выполнение неравенства: ( 1) r Br ( x )  0 при r  1,, n , для всех
xS .
Достаточные условия квазивогнутости для f открытом выпуклом множестве
S в n , это выполнение неравенства: ( 1) r Br ( x )  0 при r  1,, n , для всех
xS .
Аналогично формулируется необходимое условия квазивыпуклости для f
на открытом выпуклом множестве S в n , это выполнение неравенств:
Br ( x )  0 при r  1,, n , для всех x  S . Достаточные условия квазивыпуклости
для f открытом выпуклом множестве S в n , это выполнение неравенства:
( 1) r Br ( x )  0 при r  1,, n , для всех x  S .
5.2.3. Монотонности предпочтений. Экстремально желательные наборы
Пусть дано  n , между векторами есть отношение упорядоченности x ≽ y .
Будем говорить, что предпочтение монотонное, если для любого x , y  n ,
x  y , следует x ≽ y . Предпочтение строго монотонно, если для любого
x , y  n , x  y следует x  y .
Кривые безразличия – изучим их свойства выпуклости (строгой
выпуклости) к началу координат.
195
x2
свойство
выпуклости
A
Dx
B
x1
0
Итак, свойство выпуклости к началу координат: для любых A и B ,
принадлежащей кривой безразличия ( A  B ), для любого луча, пересекающего
отрезок [ A, B ] существует хотя бы одна точка пересечения луча и кривой
безразличия, лежащая не дальше к началу координат, чем точка на отрезке
[ A, B ] .
x2
свойство строгой
выпуклости
A
x
D
B
0
x1
Свойство строгой выпуклости к началу координат: для любых A и B ,
принадлежащих кривой безразличия ( A  B ), для любого луча, пересекающего
интервал ( A, B) , существует хотя бы одна точка пересечения луча и кривой
безразличия, не совпадающая с точкой на интервале ( A, B) , и точка на кривой
строго ближе к началу координат, чем на отрезке.
Теорема. Пусть дана функция полезности V :  n   . Если функция V : 1)
строго монотонна и квазивогнута, то кривые безразличия выпуклы к началу
координат; 2) строго монотонна и строго квазивогнута, то кривые безразличия
строго выпуклы к началу координат.
196
Очевидно, что строго монотонное предпочтение является монотонным.
Однако монотонное предпочтение может не быть строго монотонным.
Пример. Пусть функция полезности V ( x )  x1 x2 , x1  0 , x2  0 , определяет
предпочтения, то есть, x ≽ y , что эквивалентно V ( x )  V ( y ) . Ясно, что если
( x1 , x2 )  ( y1 , y2 ) , то
V ( x )  V ( x1 , x2 )  x1 x2  y1 y2  V ( y )  V ( y1 , y2 ) .
В то же время (2,0)  (1,0) , но (2,0)  (1, 0) . Данное предпочтение монотонно,
но не строго монотонно.
Определение.
Пусть
предпочтения ≽. Вектор
пространства
 n ,
дано
ортант
отношение
v  n
называется экстремально желательным
набором (вектором) для данного предпочтения, если:
1) для любого x   n и   0 , x   v   n ;
2) для любого x   n и   0 , x   v  x .
В качестве вектора v можно взять какой-нибудь положительный вектор.
Задача. Для каких предпочтений на плоскости всегда существует
экстремально желательный вектор.
x2
x2
x
x
x+αv
x+αv≻x
αv
v
0
αv
x1
0
197
x1
Теорема
Эрроу-Дебре.
Пусть
рассматривают
выпукло,
монотонно,
 n ,
пространство
предпочтения ≽ – непрерывны.
1. Если
предпочтение
имеет
экстремально
желательный набор, то оно может быть представлено с помощью непрерывной,
монотонной и квазивогнутой функцией полезности.
2. Если
предпочтение
строго
выпукло,
строго
монотонно,
имеет
экстремально желательный набор, то оно может быть представлено с помощью
непрерывной, строго монотонной, строго квазивогнутой функцией полезности.
Замечания. 1) В книге В.К. Горбунова1 ставится обратная задача: по
известному вектору x* ( p, I ) спроса (или статистическим данным о векторе
спроса) найти функцию полезности.
x2
x* ( p , I )
px=I
0
Найти функцию
x1
V ( x ) , так, чтобы решение задачи оптимизации:
V ( x )  max, px  I , x  0 , совпало с x* ( p, I ) .
Условия максимизации для выпуклой функции. V – строго выпукло вверх
(строго квазивогнута).
В книге Горбунова¹ рассмотрены частные случаи, когда существует
алгоритм нахождение (построение) функции полезности конкретного вида.
1
Горбунова В.К. Математическая модель потребительского спрос: Теория и прикладной
потенциал. М.: ЗАО Изд-во «Экономика», 2004. 176 с.
198
x2
x * ( p, I )
x1
0
Если x*(p,I), в зависимости от I , это луч, то можно взять ФП КоббаДугласа. В общем случае нет алгоритма нахождение единственной функции.
Это результаты Африата1 (S.N.Afriat) (середина XX в).
1. Решается система неравенств Африата.
2. Используется идея МНК (ищется функция полезности
V ( x, a ) и
минимизируется сумма квадратов отклонений от заданной статистики).
2) В СССР на основе данных статистики о потреблении товаров находили
целевую функцию потребления.
Целевая функция потребления (ЦФП) похожа на функцию полезности
(см.2). ЦФП – например, сколько каждому человеку в городе необходимо хлеба,
сахара и др. В.А.Волконский построил для трёх агрегированных групп товаров:
u ( x )  a1 x1  a2 x2  a3 x3  a11 x12  a12 x1 x2 + a22 x22  a13 x1 x3  a23 x2 x3  a33 x32 .
Где:
x1 – потребление продуктов питания,
x2 – потребление промышленных товаров,
x3 – потребление платных услуг (всё – в денежном выражении),
a1  1  1,841a , a2  1  2,054a , a3  1  2,116a ,
1
Afriat S.N. The construction of utility functions from expenditure data // International Economic
Review. 1967. V. 8. P. 67-77.
2
Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики. М.: Экономика, 1988. С. 215216.
199
где a
– число детей в семье. Здесь a11  0,668  104 , a12  1, 230 104 ,
a13  1, 243  104 , a22  0,506  104 , a23  1,104  104 , a33  0,492 104 .
Этими вопросами занимается группа в Новосибирске под руководством
К.К. Вальтуха1,2.
3) Теоретический взгляд на проблему нахождение функции полезности
изучили К. Эрроу, Ф. Хан3.
x2
A
(0,A)
x1
0
Они положили взять расстояние от начала координат до кривой
безразличия. Так возникает функция полезности. Для этого необходимо найти
расстояние от 0 до всех точек кривой и выбрать минимальное, если не
существует точка, то взять инфимум.
 ( x, A)  inf || x  a ||
a A
a
A
x
1
Вальтух К.К. Целевая функция потребления: анализ и практическое использование.
Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1980. 381 с.
2
Вальтух К.К., Дементьев Н.П., Ицкович И.А. Математический и статистический анализ
функции потребления / Отв. ред. к.ф.-м.н. В.П.Бусыгин. Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1986.
168 с.
3
Arrow K.J., Hahn F.H. General competitive analysis. Holden-Day, San Francisko, CA: Oliver and
Boyd, Edinburg, 1971.
200
Для любого x кривой безразличия A, u ( x ) =  (0, A) – функция полезности.
V  const на любой кривой безразличия.
Теорема (Эрроу-Хана). Дано:  n , ≽ – полное, транзитивное, монотонное
(строго монотонное), непрерывное и выпуклое, то функция u (x) определяется
как расстояние от 0 до линии уровня, являющейся функцией полезности,
причем u  0 , u – непрерывная, неубывающая (строго возрастающая) и
квазивогнутая.
Замечание. Анализ характеристик1.
Функция общей полезности
U  U ( x1 , x2 ,..., xk )
обладает
весьма
привлекательным
для
построения
общей
теории
потребительского поведения и спроса свойством – она предполагает
возможность всеобщей заменяемости всех благ от x1 до x k . Это значит, что,
если потребитель фактически не смог приобрести столько товара x1 , сколько
ему хотелось бы, он может компенсировать «дефицит» общей полезности
большим потреблением какого-то другого товара, например xj, также
имеющего положительную полезность. В силу этого мы можем определить (во
всяком случае теоретически) для данного потребителя предельную норму
замещения (MRS) по любой паре товаров, скажем, хлебу и зрелищам,
аспирину и жвачке и т.п.
Принцип всеобщей заменяемости неоднократно подвергался критике.
«Те, кто, занимаясь отвлеченным чистым теоретизированием,– писал
Я.Корнай (J.Kornai), – защищают принцип «общей взаимозаменяемости»,
вероятно, устыдились бы, узнав, что их аргументация полностью совпадает с
рассуждениями
пытающихся
упростить
проблемы,
связанные
с
потребительским рынком дефицитной экономики. Их обычные доводы таковы:
да, правда, что существуют проблемы в снабжении мясом, зато у каждой
1
Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика: в 2-х т. / Общая ред.
В.М.Гальперина, СПб: Эконом. школа, 1999. Т. 1. Ч. II, гл. 3, прил. 3А.
201
семьи есть телевизор. Не хватает жилья, но в магазинах – широкий
ассортимент готовых швейных изделий» 1.
Известны, однако, и другие, отличные от канонической, типы функции
общей полезности – сепарабельная (англ. separable – отделимый) и
аддитивная (англ. additive – добавление, суммирование).
Функция полезности называется строго сепарабельной, если она может
быть представлена как
n
U  U   U i ( xi )  ,
 i 1

(1)
где i – индекс товара. Функция полезности называется строго аддитивной,
если она может быть представлена как
n
U   U i ( xi ) .
(2)
i 1
Очевидно, что (2) есть частный случай (1).
Функция полезности называется слабо сепарабельной, если все п товаров
могут быть разделены на т групп (например, пища, одежда, товары для дома,
услуги и т.п.), так что
 m n j 1

U  U    U j ( xi )  ,
 j 1 in j

(3)
m
где j – индекс товарной группы; i = 1,2,...,n j;
n
j
 n . Функция полезности
j 1
называется слабо аддитивной, если
m n j 1
U 
 U j ( xi ) .
(4)
j 1 i  n j
Очевидно, что слабо аддитивная функция полезности (4) предполагает
возможность взаимозаменяемости лишь между товарами, входящими в одну
группу, тогда как сами товарные группы связаны отношениями жесткой
дополняемости. Это значит, что кривые безразличия между товарными
1
Корнай Я. Дефицит / Пер. с венг. М.: Наука, 1990. С. 473.
202
группами,
например
пищей
и
одеждой,
имеют
вид
двух
взаимно
перпендикулярных лучей, подобно линии CAD на рис. 4.
Представление об аддитивности функции полезности лежит в основе
разработанного в 50-х гг. метода анализа и прогнозирования потребительского
спроса, известного под названием линейной системы расходов1. Он, в
частности, предполагает, что формирование спроса происходит в два этапа.
На первом потребитель распределяет свои средства по отдельным товарным
группам (столько-то на еду, столько-то на развлечения и т.д.), а во втором эти
ассигнования распределяются на покупку конкретных взаимозаменяемых
товаров, входящих в группу (например, на хлеб, мясо, овощи и т.д.). Во
многом сходную концепцию анализа и прогнозирования потребительского
спроса в России разрабатывала в 60-70-х гг. группа новосибирских
экономистов, руководимая К.К.Вальтухом2.
Очевидно, что разделение товаров на однородные группы можно провести
достаточно глубоко, так что в каждой группе останутся лишь различные
сорта,
марки,
обладающие
модели,
некоторыми
модификации
общими
одного
свойствами,
определенного
хотя
и
в
блага,
различных
соотношениях, например марки автомашин, сорта чая, модели персональных
компьютеров и т.п.
Именно на этой предпосылке основан предложенный известным
американским
экономистом
К.Ланкастером
новый
метод
анализа
потребительского поведения и спроса, известный как анализ характеристик
(attribute analysis – англ.)3. Он базируется на следующих аксиомах.
1
Stone R. Linear expenditure systems and demand analysis: Application to the pattern of British
demand // Econ. Journ. 1954. V. 64, № 255; Houthakker H. S., Taylor L.D. Consumer demand in
the United States : Analysis and projection. Cambridge (Mass.), 1966.
2
См., например: Вальтух К.К. Удовлетворение потребностей общества и моделирование
народного хозяйства. Новосибирск: Наука, 1973. 378 с.; Ицкович И.А. К анализу целевой
функции благосостояния // Проблемы народнохозяйственного оптимума. Новосибирск, 1969.
Вып. 2. С. 194-201.
3Lancaster К. A new approach to consumer theory // Jour. Polit. Econ. 1966. V. 74, № 2; Consumer
demand : A new approach. New York, 1971; Ланкастер К. Перемены и новаторство в теории
потребления // Теория потребительского поведения и спроса. СПб., 1999. (Вехи
экономической мысли; Вып. 1). С. 326-336.
203
1. Товар
сам
по
себе
не
приносит
полезности
(удовлетворения)
потребителю, он обладает определенными характеристиками, и именно
они являются носителями полезности.
2. Обычно товар обладает более чем одной характеристикой, и многие
характеристики являются общими для нескольких товаров.
3. Комбинации (наборы) товаров могут обладать характеристиками,
отличающимися от тех, что свойственны каждому товару в отдельности.
4. Спрос на блага – это производный спрос на характеристики благ или
ожидаемые от обладания ими услуги (так, спрос на автомобили – это
производный
спрос
от
спроса
на
транспортные
услуги,
их
безопасность, комфорт, престиж, объект собственности и т.п.).
Аналитический инструментарий анализа характеристик в принципе тот
же, что и в ординалистской теории. Отличия заключаются в следующем.
1. Система
предпочтений
строится
на
множестве
характеристик
товаров, а не самих товаров, как это принято в ординалистской концепции.
Соответственно кривые безразличия представляют множества характеристик,
обладающие одинаковой полезностью для определенного потребителя.
2. Поскольку
карта
безразличия
представляет
теперь
плоскость
характеристик, а не самих товаров, как это принято при традиционном
подходе,
существенному
переформулированию
подверглась
структура
бюджетного ограничения и ее интерпретация.
Анализ характеристик не является альтернативой традиционной теории,
скорее
он
дополняет
ее,
расширяя
возможности
научного
анализа
потребительского поведения и спроса. Его можно рассматривать и как некий
мост между экономической теорией рынка и маркетингом. Есть у него и
определенные недостатки. К ним относится сложность выявления всех
значимых для покупателей характеристик товара, неквантифицируемость
многих из них, а также и то, что реальным объектом купли-продажи являются
все же не характеристики товаров, а сами эти товары. В целом это еще один
204
взгляд на поведение потребителей, в чем-то более, а в чем-то менее острый, чем
традиционный.
Известны и другие подходы к анализу потребительского поведения и
спроса, также дополняющие традиционную теорию и позволяющие взглянуть
на рынок под другим углом зрения. Среди них следует назвать теорию
выявленных
П.Самуэльсона1
предпочтений
петербургскому
парадоксу»
Д.Бернулли
и
восходящую
теорию
выбора
в
к
«санкт-
ситуациях,
предполагающих риск2.
5.2. Модель поведения потребителя, условие равновесия.
Моделирование влияния изменения дохода и цен.
Уравнение Слуцкого
Если U ( x) – функция полезности, p  { p1 , , pn } – цены товаров x1 , , xn ,
то можно поставить две задачи:
U ( x)  max,

 px  I ,
 x  0;

 px  min,

U ( x )  u  0,
 x  0.

и
Эти задачи назовем взаимными. Решение первой назовем функцией спроса
по Маршаллу (и обозначим D ( p, I )  col(D1 ( p , I ), , Dn ( p, I )) ), а решение
второй
назовем
функций
спроса
H ( p, u )  col( H1 ( p, u ),, H n ( p, u )) ).
e( p, u )  p1 H1 ( p, u )    pn H n ( p, u )
по
Хиксу
Дальше
–
функция
(обозначим
представим
расходов.
Запишем
V ( p, I )  U ( D1 ( p, I ), , Dn ( p, I )) и назовем её функцией косвенной полезности.
1
См.: Баумоль У. (W.J.Baumol). Экономическая теория и исследование операций. М.: Изд-во
«Прогресс», 1965. С. 188-194.
2
Там же. С. 378-393; Бернулли Д. (D.Bernoulli) Опыт новой теории измерения жребия //
Теория потребительского поведения и спроса. СПб., 1999. (Вехи экономической мысли; Вып.
1). С.11-27; Фридмен М. (M.Friedman), Сэвидж Л.Дж. (L.J.Savage) Анализ полезности при
выборе среди альтернатив, предполагающих риск // Там же. C. 208-249.
205
Будем
предполагать,
что
в
 n
U ( x)
функция
непрерывно
дифференцируема и производные её непрерывны.
Составим для задачи номер один функцию Лагранжа:
L( x,  )  U ( x )   ( I  px ) .
Выпишем условия первого локального экстремума:
L
L
 0 , i  1,, n ,
 0,

xi
т.е., px  I . Распишем первое выражение:
получили,
что
условия
первого
L U

  pi  0 . Таким образом,
xi xi
локального
экстремума
означает
однодолларовые полезности всех товаров равны:
U
.
pi xi
Тогда справедливо утверждение.
Утверждение
(о
предельной
полезности
по
доходу).
Предельная
полезность по доходу равна множителю  * Лагранжа:
V ( p, I )
 *.
I
Доказательство. Предположим, для простоты, что n  2 . Пусть ( x1* , x*2 ,  * )
– решение задачи Лагранжа, т.е.
U ( x1* , x*2 )
  *  p1 ,
x1
U ( x1* , x1* )
 1*  p2 .
x2
Равенство
I  p1  D1 ( p1 , p2 , I )  p2  D2 ( p1 , p2 , I )
является тождеством по p1 , p2 , I , поэтому
1
D ( p , p , I )
D ( p , p , I )
dI
 p1  1 1 2
 p2  2 1 2
.
dI
I
I
206
Имеем
V ( p1 , p2 , I ) U [( p1 , p2 , I ), D2 ( p1 , p2 , I )]

=
I
I
U ( x1* , x*2 ) D1 ( p1 , p2 , I ) U ( x1*, x*2 ) D2 ( p1 , p2 , I )]
=



=
x1
I
x2
I
D ( p , p , I )
D ( p , p , I )]
I
= * p1  1 1 2
 * p2  2 1 2
= *    * .
I
I
I
Утверждение доказано.
Лемма Роя (правило, тождество, равенство Роя (R.Roy)). Для функции
косвенной полезности
V  V ( p, I )  U  D1 ( p, I ),..., Dn ( p, I ) 
справедливо равенство
Di  
V V
:
.
pi I
*
Доказательство. Предположим, для простоты n  2 , и пусть ( x1* , x*
2 , ) –
решение задачи Лагранжа, т.е.
U ( x1* , x*2 )
U ( x1* , x*2 )
*
   p1 ,
 *  p2 .
x1
x 2
Из тождества I  p1 D1  p 2 D2 следует, что
0
I
D ( p , p , I )
D ( p , p , I )
 D1 ( p1 , p2 , I )  p1  1 1 2
 p2  2 1 2 ,
p1
p1
p1
0
I
D ( p , p , I )
D ( p , p , I )
 D2 ( p1 , p2 , I )  p2  2 1 2
 p1  1 1 2
.
p2
p 2
p2
аналогично
Имеем
V ( p1 , p2 , I ) U [ D1 ( p1 , p2 , I ), D2 ( p1 , p2 , I )]

=
p1
p1
=
U ( x1* , x*2 , I ) D1 ( p1 , p 2 , I ) U ( x1* , x*2 ) D2 ( p1 , p 2 , I )



=
x1
p1
x 2
p1
207

D ( p , p , I )
D ( p , p , I ) 
= *  p1  1 1 2
 p 2  2 1 2   *  D1 ( p1 , p2 , I )  *  x1* .
p1
p1


Аналогично
V ( p1 , p2 , I )
  *  x*2 .
p2
Отметим, что  * 

V ( p1 , p2 , I )
, отсюда получим
I
V ( p1 , p2 , I ) V ( p1 , p2 , I )
:
 x*2  D2 ( p1 , p2 , I ) .
p2
I
Утверждение леммы доказано.
Утверждение (о предельном расходе по полезности). Предельный расход
по полезности равен множителю Лагранжа
e( p,U )
 * .
U
Доказательство. Предположим, для простоты, что n  2 . Пусть ( x1* , x*2 ,  * )
– решение задачи p1 x1  p2 x2  I  min , U ( x1 , x2 )  U на условный экстремум,
тогда имеем тождества по x1* , x*2 ,  * :
p1   * 
U ( x1* , x*2 )
,
x1
U ( x1* , x*2 )
*
p2   
.
x2
Равенство
U  U [ H1 ( p1 , p2 ,U ), H 2 ( p1 , p2 ,U )]
является тождеством по p1 , p2 ,U , поэтому
U U ( x1* , x*2 ) H1 U ( x1* , x*2 ) H 2
1




.
U
x1
U
x2
U
Имеем
e( p1 , p2 ,U )


( p1 H1 ( p1 , p2 ,U )  ( p2 H 2 ( p1 , p2 ,U )) =
U
U
208
= p1 
H1 ( p1 , p2 ,U )
H ( p , p ,U )
 p2  2 1 2
=
U
U
 U ( x* , x* ) H ( p , p ,U ) U ( x* , x* ) H ( p , p ,U ) 
*
1
2
1
2
 = * .
=  
 1 1 2

 2 1 2


x1
U
x2
U


Утверждение доказано.
Лемма Шепарда (R.W.Shephard). Справедливо равенство
e
 Hi .
pi
Доказательство. Из U = U ( H 1 ( p1 , p2 ,U ), H 2 ( p1 , p 2 ,U )) следует, что
U U ( x1* , x*2 ) H 1 U ( x*2 , x*2 ) H 2
0




.
p1
x1
p1
x2
p1
Имеем
e( p1 , p2 ,U ) 

[ p1  H 1 ( p1 , p2 ,U )  p2  H 2 ( p1 , p2 ,U )] =
p1
p1
= H 1 ( p1 , p 2 ,U )  p1
H 1 ( p1 , p2 ,U )
H 2 ( p1 , p2 ,U )
 p2
=
p1
p1
 U ( x* , x* ) H
U ( x1* , x*2 ) H 2 
*
1
2
1

= H 1 ( p1 , p 2 ,U )   



=

x1
p1
x 2
p 2 


= H 1 ( p1 , p2 ,U ) = x1* .
Равенство
e( p1 , p2 ,U )
 x*2  H ( p1 , p2 ,U ) получается аналогично.
p2
Утверждение леммы доказано.
Теорема Слуцкого (уравнение Слуцкого). Справедливо равенство
D j
pi
где
H j
pi

H j
pi
– эффект замещения, H i
 Hi
D j
I
D j
I

H j
pi
 Di
D j
I
,
– эффект дохода, D j  const , U  const
(измерение вдоль кривой безразличия).
209
Доказательство теоремы Слуцкого. Надо доказать
D j
pi

H j
pi
 Hi
D j
I
.
x1* ( p, e( p, u ))
Возьмем, к примеру, x ( p, e( p, u ))  H1 ( p, u) , тогда получим:
+
p1
*
1
D1 ( p, I ) D1 ( p, I ) e H1 ( p, u )
x1* e H1 ( p, u )
+
=
или


. Согласно лемме
e p1
p1
p1
I
p1
p1
Шепарда
D1 ( p, I ) D1 ( p, I )
H1 ( p, u )
e
 H1 , поэтому

H1 
, откуда мы
p1
p1
I
p1
получаем требуемое равенство
D1 H1
D H1
D

 H1 1 
 D1 1 .
p1 p1
I
p1
I
x2
u*
x2*
I e
x  H1 ( p, u* )  D1 ( p, I )
*
1
0
Напомним,
что
в
x1
доказательстве
мы
использовали
равенства:
D1 ( p, I )  D1  p, e( p, u * )  , V  V ( p, I )  V  p, e( p , u * )  , e( p, u )  e  p,V ( p, I )   I .
5.2.1. Вывод матричной формы уравнения Слуцкого1
Вначале рассмотрим наиболее простой случай, когда выбор набора
товаров потребителем определяется однозначно – для этого достаточно
считать,
что
функция
полезности
строго
1
вогнута.
На
самом
деле
Ашманов С.А. Введение в математическую экономику: Учеб. пособие. М.: Наука, 1984.
Часть II, Глава .
210
предполагается
даже
большее
–
что
матрица
Гессе
отрицательно
определена.
Пусть U ( x) и I  0 – соответственно функция полезности и доход
p   n
потребителя,
предположения.
полезности
–
вектор цен на
Считаем,
совпадает
с
что
область
 n .
Функция
товары.
Сделаем
определения
U
следующие
U ( x)
предполагается
функции
дважды
дифференцируемой и строго вогнутой. Кроме того,
U
U
U
 0 , lim
  , lim
 0 , i  1, 2,..., n .
xi 0 x
xi  x
xi
i
i
Будем также считать, что матрица Гессе вторых производных функции U
отрицательно определена во всех точках x   n . Обозначим ее
  2u ( x) 
H ( x)  
.
 x x 
i
j


Напомним, что отрицательно определенная матрица невырождена.
Наконец, будем рассматривать лишь р > 0, т.е. все рi > 0.
Поведение
потребителя
определяется
следующей
задачей
математического программирования:
U ( x)  max,
px  I , x  0.
(1)
Поскольку множество векторов х, допустимых для данной задачи,
ограничено и выпукло, то она имеет единственное решение
x * ( p, I )
( D ( p, I )) , которое в данном случае представляет собой однозначную
функцию спроса потребителя. Из условий, наложенных на первые частные
производные функции U , немедленно вытекает, что x* ( p, I )  0 . Поскольку
x* ( p, I ) является внутренней точкой области  n , то мы можем использовать
стандартные локальные условия максимума.
Построим функцию Лагранжа для нашей задачи:
L( x,  )  U ( x )   ( px  I ) .
211
Согласно теореме Лагранжа существует такое число  * , что пара
( x* ( p, I ),  * ) является локальным максимумом функции L( x,  ) . Запишем
условия локального экстремума для функции L:
px*  I  0 ,
(2)
U *
( x )   * pi  0 , i  1, 2,..., n ,
xi
(3)
где x*  x* ( p, I ) ( D ( p, I )) . Из (3), в частности, вытекает  *  0 .
Рассмотрим влияние изменения цены одного продукта, скажем pn , на
поведение потребителя. Дифференцируя (2) и (3) по pn , получим
xi*
pi
  xn* ,

pn
i 1
n
(4)
(это условие агрегации Курно (A.-A.Cournot))
*
0, i  1, 2,..., n  1,
 2U x j  *

pi   *

pn
j 1 xi x j pn
 , i  n.
n
Здесь
частные
производные
 2U
xi x j
вычисляются
(5)
в
точке
x*
=col ( x1* , x2* ,..., xn* ) . Будем рассматривать уравнения (4), (5) как систему для
определения вектора col ( * / pn , x1* / pn , …, xn* / pn ) . Обозначив вектор
col (x1* / pn ,…, xn* / pn ) через x* / pn , запишем систему (4), (5) в матричном
виде:
 xn* 
  / pn   0  p    / pn   
A *
 =
 =  0 ,
 *
 x / pn    p H   x / pn    * 
 
*
*
(6)
где H  H ( x* ) – матрица Гессе. Здесь во избежание недоразумений через
p  обозначен вектор-столбец. Кроме того, нуль в правой части равенства
означает
(n  1) -мерный
нулевой
вектор.
Поскольку
матрица
H
отрицательно определена и невырождена, то невырождена и матрица
системы (6). В самом деле,
212
1
 

 pH 1
 0 p
A =
=
,


1
1
1
1 


p
H



H
p

H
p
pH

H




1
где   ( pH 1 p) 1 . Из (6) имеем
 x*
  H 1 p xn*   * (  H 1 p pH 1  H 1 )( n ) ,
pn
(7)
где символ M ( n ) обозначает n -й столбец матрицы М.
Рассмотрим влияние компенсированного изменения цены, т.е. такого, при
котором одновременно так изменяется величина дохода I , что максимальное
значение функции полезности U остается неизменным. Так как из (3)
n
n
U
*
dU  
dxi    pi dxi ,
i 1 xi
i 1
а из (2)
n
n
dI   xi dpi   pi dxi
i 1
i 1
то для того, чтобы величина U
осталась постоянной (т.е.
n
необходимо и достаточно, чтобы
dU  0 ),
n
 p dx
i
i 1
i
 0 . В этом случае dI   xi dpi .
i 1
Отсюда I / pn = xn . А это просто тождество Роя, действительно,
I / pn = 
V V
:
= xn  Dn . Дифференцируя (2) по pn с учетом этого,
pn I
получаем
xi*
I
pi
+ xn* 
.


p

p
i 1
n
n
n
Дифференцирование
уравнения
(3)
дает,
(8)
естественно,
равенство,
совпадающее с (5). Объединяя (8) и (5) в систему для определения вектора
213
*
col (x / pn )comp
*
 0  p   ( / pn )comp 
= H ( p,U ) , получаем систему 
 =
  (x* / p )


p
H


n comp 
0
 0 .
 
 * 
 
Её решение имеет вид:
 x* 
  * [  H 1 p pH 1  H 1 ]( n ) .


 pn comp
(9)
Наконец, исследуем влияние изменения капитала I при неизменных
 x*
ценах р. Дифференцируя (2) и (3) по I : p
= 1,
I
*
 *
 2V x j
–
pi = 0,


x

x

I

I
j 1
i
j
n
 1
 0  p    * / I   
получим систему 
 =  0  , откуда находим
 *
  p  H   x / I   
0
x*
 *
  ,
   H 1 p  ,
I
I
(10)
где
 x1*
xn* 
x*
 col 
,...,
.
I
I 
 I
Из (7), (9) и (10) получаем
 x*  *
x*  x* 




 xn .
pn  pn comp  I 
(11)
Уравнение (11) называется уравнением Слуцкого и является основным
в неоклассической теории полезности.
Рассмотрим матрицу G   H 1 ppH 1  H 1 , участвующую в равенствах
(7) и (9). Ясно, что G симметрична. Покажем, что G отрицательно
полуопределена. Точнее, пусть z   n . Тогда zGz   0 , причем zGz   0
тогда и только тогда, когда z   p при некотором  . Нетрудно проверить,
214
что Gp  pG  0 . Пусть z   p . Тогда вектор z можно представить в виде
z   p  v , где v  0 , vH 1 p  0 . Для этого достаточно положить
zH 1 p 

.
pH 1 p
Далее,
zGz   vGv    vH 1 ppH 1v  vH 1v  vH 1v  0 ,
поскольку матрица H 1 отрицательно определена вместе с матрицей H .
Из
отрицательной
полуопределенности
матрицы
G
вытекает,
в
частности, что все ее диагональные элементы отрицательны: hii  ei Gei  0 ,
где ei – i -й базисный вектор. Тогда из (9) имеем  xn* / pn 
comp
 0.
Это означает, что возрастание цены товара при соответствующей
компенсации дохода приводит тем не менее к понижению спроса на этот
товар.
Назовем п-й товар ценным, если xn* / I  0 , т.е. если при увеличении
дохода спрос на этот товар также увеличивается, и малоценным в
противном случае. Умножив (10) скалярно на р, получаем
x*
p
 1,
I
откуда следует существование ценных товаров. Это равенство называется
условием агрегации Энгеля. Записав уравнение Слуцкого для n-го товара:
 xn*  *
xn*  xn* 



 xn ,
pn  pn comp  I 
видим, что спрос на ценный товар при повышении цены на него обязательно
падает, так как в этом случае xn* / pn  0 .
Далее, из (9) имеем
p  (x* / pn )comp  0 .
Это равенство называется условием агрегации Хикса.
215
Поскольку р > 0, (xn / pn )comp  0 , то обязательно найдется хотя бы
один номер j , для которого (x*j / pn )comp  0 .
Два товара i, j называются взаимозаменяемыми, если (x*j / pi )comp  0 ,
т.е. если при возрастании цены на товар i при компенсирующем изменении
дохода с одновременным падением спроса на товар i возрастает спрос на
товар j .
Таким образом, нами только что было показано, что для каждого товара
существует
по
крайней
мере
один
товар,
образующий
с
ним
взаимозаменяемую пару.
В том случае, когда (x*j / pl )comp  0 , то говорят, что товары j и l
образуют взаимодополнительную пару. Например, масло и маргарин
являются примером взаимозаменяемых продуктов, а бензин и автомобили –
взаимодополнительных.
Продукт j называется валовым заменителем продукта l , если x*j / pl > 0.
Говорят, что функция спроса x* ( p, I ) = D ( p , I ) обладает свойством валовой
заменимости, если с увеличением цены на любой продукт спрос на все
остальные продукты не убывает, т.е. если x*j / pl  0 , j  l . В том случае,
когда x*j / pl  0 при j  l , говорят о сильной валовой заменимости.
В качестве примера функции спроса с сильной валовой заменимостью
укажем функцию x* ( p, I ) , которая определяется как решение задачи (1) с
функцией полезности
n
U ( x)   i xivi ,
i 1
г д е i  0 , 0 < vi < 1 , i = l , 2 , . . . , п , x  col( x1 , x2 ,..., xn ) . В самом деле, из
(3) имеем
U pi U

.
xi
p1 x1
216
Подставляя значения частных производных для рассматриваемой
функции U , получаем
1/( vi 1)
 pv 
xi   i 1 1 
 p1 i vi 
x1( v1 1) /( vi 1) .
Отсюда
1/( vi 1)
n
 pv 
F ( p, x1 )   pi  i 1 1 
i 1
 p1 i vi 
Продифференцируем F ( p , x1 ) по pi :
x1(v1 1) /( vi 1)  I  0 .
F x1
F

+
= 0. Выразим
x1 pi
pi
1
x1
F  F 


 .
pi
pi  x1 
Поскольку (v1  1) /(vi  1)  0 , то, очевидно, F / x1  0 . В то же время
1/( vi 1)
F  1v1 v1 1 

x1 
pi  p1 i vi

vi
p11/( v1 1)
vi  1
для всех i  1. Из условия 0 < vi < 1 заключаем, что F / pi < 0, т.е. x1 / pi
> 0 при i  1.
Замечание. Формула влияния изменения цены i-го продукта на спрос на jый продукт:
x j
pi
Aij
 *

 xi
x j
I
,
где Aij  (1)i j M ij .
Спрос по Маршаллу:
x j
pi
x j
I
 *
An1, j

 *
Aij

  * xi
An 1, j

,
. Здесь  * – множитель Лагранжа в задаче максимизации
полезности:
217
U ( x)  max,

 px  I ,
 x  0,

(1)
 * находится из необходимого условия экстремума:
* 
MRi MU i MRU i
U



pi xi
pi
pi
pi
– предельная полезность денежной единицы одинакова.
Построение матрицы A :

 0

  u1
 *

A   u2

 *
 

 un
 *
 
un 
u1


*
* 

u11  u1n  
1


0

U 
*





,
u21  u2 n   1

   * (U )
H

 


  


un1  unn 


 U
U
U 
 2U
U  
,...,
; uij 
.
 , U – градиент, то есть, ui 

x

x

x

x

x
 1
n 
i
i
j
Другие формы:
 0
 u
 1
0. A   u2

 ...
u
 n
u1 ... un 
0
u
u11 ... u1n 
 1
u21 ... u2 n  , или A   u2


... ... ... 
 ...
u
un1 ... unn 
 n
u1 ... un 
u11 ... u1n 
u21 ... u2 n  .

... ... ... 
un1 ... unn 
 0 p T
1. A  
 , p – вектор цен, вытянутый в столбец.

p
H


0 p
2. A  
 , pn xn  ( pn )( xn ) .

p
H


 H p
3. A  
.
  p 0 
218
Все матрицы
A называются окаймленными гессианами (окаймленные
матрицы Гессе). Определители – определители окаймленных гессианов.
Основное
предположение.
U
Функция
дважды
непрерывно
дифференцируемая и строго выпукла вверх. Тогда существует единственное
решение задачи (1): x*  x* ( p, I )  D( p, I ) , p, I  0 .
Кроме того, существует матрица H 1 . Тогда существует любая из матриц
A1 , можно писать формулу A1 через H 1 и p .
Вывод уравнения Слуцкого в матричном виде:
ui   pi ,

 px  I ,
 x  0,

– необходимое условие максимума U .
Если ищем зависимость от дохода, то есть, дифференцируем по I . Если
ищем зависимость от цены, то есть, дифференцируем по p , где Aij –
алгебраические дополнения матрицы A .
*
Следствие 1. Найдем элементы матрицы
A:

cij = 
*
Aij

 H j 
= 

 pi const
=
H j
pi
, cii =
U  const
p j  const , j  i
компенсирующее изменение спроса, коэффициент Слуцкого.
Матрица Слуцкого: S  S ( p, I )  {cij }in, j 1 .
1. cij  c ji – матрица симметричная
 H i
 H j 





p
 i comp  p j
но:
D j
pi

Di
.
p j
219

 ,
comp
 * Aii

=
H i
pi
–
 H 
2. cii  0 , cii   i 
 pi comp
Потребление первого товара падает при росте цены на первый товар.
x2
u  const
x1
0
Коэффициент Слуцкого позволяет разделить товары по группам:
cij  0 ,
i j
–
взаимодополняющие
товары,
нетто-дополнимость,
«чистые», взаимодополняющие товары;
cij  0 – товары-заменители, нетто-заменители, чистые взаимозаменяемые
товары;
cij  0 – товары независимые.
Все формулы рассматриваются в конкретной точке, т.к. функция
непрерывна, то теорема о сохранении неравенства в некоторой окружности.
Эти условия несимметричны относительно спроса по Маршаллу:
 0 
 
  0  ,
pi  
 0
D j
D j
pi
 0 – j -й товар является дополнительным к i -му товару, брутто-
дополнительность;
220
D j
pi
0 –
j -й товар является заменителем к i -му товару, брутто-
заменитель;
D j
pi
 0 – j -й товар является независимым от i -го товара.
Вместо
термина
брутто
используются
термины
сильной
валово
заменяющийся и сильной дополняющийся:
D j
pi
 0 – любой j -й товар находится в сильной валово дополнительный к
любому i -му товару, i  j ;
D j
pi
 0 – любой j -й товар сильно валово замещает любой i -й товар,
i j.
Пусть D  col D1 ,..., Dn  . Если
D j
pi
 0 для конкретных i, j =1, n, то
вектор-функция спроса D обладает свойством валовой заменимости.
Следствие 2. Можно уравнение Слуцкого переписать в матричной форме1:
 x*  *T
x*  x* 



x ,
p  p comp  I 
  x* 

 D
 x* 
x*  x*
x* 
D   x* 
где

,...,
=
,...,
;


,...,
 =


 







p

p
p  p1
pn 

p

p

p
 1
n 

comp   1 comp
 n comp 
 H
H 
=
,...,
.

p

p
 1
n 
Замечание. В рыночных условиях цена товара определяется рынком
(спросом и предложением). Обычно увеличение цены сопровождается
сокращением спроса на товар. Однако в начале XIX в. Г. Бик (G.Bick)
обнаружил, а С. Грэй (S.Gray) дал более четкую формулировку феномену
1
Интрилигатор М. Математические методы в оптимизации и экономическая теория. М.:
Айрис-Пресс, 2002. Глава 8, 8.1.
221
положительной зависимости спроса от цены. Р. Гиффен (R.Giffen) исследовал
такую зависимость на примере потребления хлеба беднейшими рабочими
семьями. Позже Гиффену стали приписывать и другой пример – увеличение
потребления картофеля во время голода 1845 г. в Ирландии после повышения
цены на этот продукт. Но в публикациях Гиффена не удалось найти
подтверждение тому, что он подметил данный факт. На основе исторического
исследования был сделан вывод о том, что в результате неурожая предложение
картофеля в Ирландии сократилось и рыночная цена повысилась. При этом
продукты более высокого качества для бедных потребителей по их ценам были
недоступны.
После так называемой рыночной либерализации в России в январе 1992 г.
в средствах массовой информации в качестве примера «эффекта Гиффена»
часто стали приводить увеличение спроса на хлеб. Однако этот факт
иллюстрирует
не
«эффект
Гиффена»,
а
снижение
реального
дохода,
приведшего к увеличению потребления «некачественного» блага.
Положительная зависимость спроса от цены при наличии возможности
замены товаров относится к продуктам низшего порядка. В экономической
науке такое поведение потребителей получило название «парадокса (эффекта)
Гиффена».
В общем случае каждый товар попадает в одну из трех категорий,
приведенных ниже в таблице.
222
влияние
изменения
влияние
I
ценный товар
малоценный товар
xi
0
I
xi
0
I
да
да
масло (сливочное)
маргарин
изменения
частной цены
нормальные товары
x j
p j
0
(цена спроса падает)
товар Гиффена
x j
p j
да
0
(картофель, хлеб)
Примером нормального ценного товара служит масло: при повышении
цены его покупается меньше, а при повышении хода – больше. Нормальным
малоценным товаром является маргарин: его покупают меньше, если
увеличивается цена на него, но с ростом дохода его также покупают меньше,
поскольку потребитель получает возможность покупать больше масла. В
качестве примера товара Гиффена можно привести картофель. В то время
покупка картофеля представляла собой большую часть общих расходов
населения, по мере увеличения дохода потребитель предпочитал покупать
меньше картофеля и больше мяса. В случае если возрастает цена
картофеля, реальный доход понижается настолько, что потребитель будут
не в состоянии покупать столько мяса, сколько прежде, и поэтому будут
вынуждены приобретать ещё больше картофеля.
223
Замечание. Для любого j и произвольной i существует сильная валовая
D
 0,
pi
заменимость:
что
эквивалентно
x
E pij =
pi x j
0
x j pi
–
возникает
эластичность и она положительна.
Замечание. Уравнение Слуцкого в коэффициентах эластичности.
Вернемся к уравнению Слуцкого
D j
pi
H j

pi
 Hi
D j
I
, с помощью которого
мы исследовали влияние цены pi товара Di на объем спроса на D j товар.
Теперь мы можем представить это уравнение в коэффициентах эластичности.
Умножив все члены уравнения на pi / D j , получим
D j pi
H j pi
D j pi
=
– Hi
.
pi D j
pi D j
I D j
Левая часть последнего равенства представляет не что иное, как
D
коэффициент эластичности спроса на товар D j по цене pi – E pi j .
Первое слагаемое правой части характеризует эластичность спроса на
товар D j от цены pi при неизменной полезности, обозначим ее коэффициент –
H
E pi j .
D
Второе слагаемое правой части можно представить как ki EI j , где ki =
Dj
H i pi / I – доля расходов на товар H i в общих расходах покупателя I, а E I
–
коэффициент эластичности спроса на товар D j по доходу I .
Таким
D j
pi

H j
pi
образом,
 Hi
D j
I
мы
можем
записать
уравнение
Слуцкого
в коэффициентах эластичности:
D
H
D
E pi j  E pi j  ki E I j .
D
H
Dj
Уравнение E pi j  E pi j  ki E I
показывает, что коэффициент эластичности
спроса может быть разложен на два компонента, характеризующие эффекты
дохода и замены, и относительная величина первого из них зависит от доли
224
D
H
Dj
расходов на товар H i в общих расходах потребителя ki . Из E pi j  E pi j  ki E I
H
также видно, что для невзаимозаменяемых товаров E pi j  0 эластичность
спроса по цене пропорциональна эластичности спроса по доходу (фактор
пропорциональности – ki ).
Замечание. Ограниченная рациональность1
Лауреат Нобелевской премии Г.Саймон2 (H.A.Simon) был первым, кто
осознал и внушил экономистам, что люди не способны вести себя подобно
рациональным существам, о которых шла речь в стандартных моделях
рационального выбора. Саймон, являясь первым исследователем в области
искусственного интеллекта, осознал это в процессе попыток поручить
компьютеру «порассуждать» о проблеме. Он открыл, что когда мы
сталкиваемся с вопросом, ставящим нас в тупик, мы редко принимаем решения
на основе изолированного (автономного) рассмотрения только данной
ситуации. Чаще мы подыскиваем наудачу уместные факты и информацию и
прекращаем поиски, как только наше понимание достигает определенного
порога. Наши выводы часто непоследовательны, даже полностью неверны. Но
часто мы наталкиваемся на пригодные, хотя и неполные, решения. Используя
термины Саймона, мы – «удовлетворенны», а не максималисты.
В последующем экономисты – последователи Саймона создали весьма
софистическую теорию относительно решений, принимаемых при наличии
неполной информации. Сегодня мы понимаем, что если сбор информации –
занятие
дорогостоящее,
а
способность
ее
познавательной
обработки
ограничена, нерационально добиваться полной информативности для выбора
1
Франк Р.Х. (Frank R.H.) Микроэкономика и поведение. М.: ИНФРА-М, 2000. Глава 8
(допол.).
2
Значительный теоретический вклад Г.Саймона в науку управления получил достойное
признание в 1978 году, когда ему была присуждена Нобелевская премия по экономике «за
новаторские исследования процесса принятия решений в экономических организациях, в
фирмах».
225
такого типа, который осуществляется в простых моделях. Парадоксально, но
иррационально
быть
полностью
информированным!
Литература,
рассматривающая решения, принимаемые при неполной информации, далека от
того, чтобы бросить вызов модели рационального выбора. Она фактически
поддерживает принципы этой модели.
Но есть и другая сторона теории Саймона – скорее, отрицающая принципы
модели
рационального
выбора.
Исследование,
осуществленное
под
руководством психологов Д.Канемана и А.Тверски1, продемонстрировало, что
даже при наличии очевидно простых проблем люди часто попирают
фундаментальные аксиомы модели рационального выбора. Изложенные в этой
проблеме факты едва ли могли быть более простыми для понимания, и все же,
как отмечалось, люди постоянно делают иррациональный выбор.
Такие
примеры
не
являются
единичными.
Один
из
наиболее
подчеркиваемых принципов модели рационального выбора заключается в том,
что различные виды ценностей – вещи взаимозаменяемые. Заменяемость
означает, кроме всего прочего, что наше общее богатство, а не его часть,
мысленно или фактически находящаяся на отдельном счете, определяет то, что
мы покупаем. Однако Канеман и Тверски в своих экспериментах ярко
демонстрируют обратное. Одной группе людей предлагают представить себе,
что, имея ранее купленные 10-долларовые билеты, они приезжают в театр и
обнаруживают, что потеряли билеты. Участникам второй группы предлагают
представить, что они приезжают в театр, чтобы купить билеты, и
обнаруживают, что каждый потерял по 10 долл. Затем участников обеих групп
спрашивают, не изменятся ли их планы в отношении посещения театра.
Согласно модели рационального выбора причины, воздействующие на это
решение, одинаковы для обеих групп. Потеря 10-долларового билета должна
была бы оказать такое же воздействие, как и потеря 10-долларовой банкноты. И
все же, как свидетельствуют многократные эксперименты, большинство людей,
1
Tversky A., Kahneman D. The framing of decisions and the psychology of choice // Science. 1981.
V. 211. P. 453-458.
226
потерявших билет, отказываются от посещения спектакля, тогда как 88%
людей, потерявших банкноту, предпочитают пойти на спектакль.
Канеман и Тверски объясняют это тем, что люди, видимо, распределяют
свои расходы по отдельным «мысленным счетам»: на еду, жилье, прием гостей
и развлечения, расходы общего плана и т.д.
Люди, потерявшие билеты, действуют так, как если бы они отнесли 10 долл. на
дебет их мысленного счета на развлечения, а те, кто потерял банкноту в 10 долл., –
как если бы отнесли эту сумму на дебет их мысленного счета, предназначенного на
расходы общего плана. Для людей 1-й группы потеря представляется как явное
увеличение расходов на просмотр спектакля с 10 до 20 долл., а для людей 2-й
группы цена остается той же – 10 долл.
В соответствии с моделью рационального выбора оценка 2-й группы людей
правильна. Однако после некоторых размышлений большинство людей согласятся
с тем, что потеря билета – не более веская причина для отказа от посещения
спектакля, чем потеря банкноты в 10 долл.
Асимметричная функция ценности
Модель рационального выбора утверждает, что люди должны оценивать
события или совокупность событий с точки зрения их совместного влияния на
общий доход. Предположим, А – событие, принесшее вам неожиданный выигрыш в
100 долл., а Б – событие, повлекшее за собой счет на 80 долл. от муниципалитета за
починку выведенного из строя водопровода в вашем доме. Согласно модели
рационального выбора вам следует рассматривать наличие этих двух событий как
приятный факт, поскольку чистый эффект от них увеличивает ваш общий доход на
20 долл.
Канеман и Тверски убедились, однако, что люди расценивают каждое событие
отдельно и придают куда меньшее значение выигрышу, чем потере, – настолько
меньшее, что многие отказываются принимать события в совокупности и
расценивать результат как увеличение их дохода в целом!
227
Согласно же модели рационального выбора этого, конечно, никогда не может
случиться. Столкнувшись с двумя событиями А и Б, рассмотренными выше,
человек с начальным уровнем богатства М0 точно знает, как ему реагировать.
Общий результат события А (100 долл. дохода) и события Б (80 долл. потери)
выражается в увеличении его дохода до М0 + 20. И поскольку полезность есть
функция общего дохода, 2 события в совокупности повышают полезность с U0 до
U1 (рис. 1).
Полезность
U1
U0
0
M0
M1 + 20
Доход
Рис. 1. Полезность двух событий, увеличивающих общий доход
Согласно модели рационального выбора любое сочетание событий, которое
увеличивает общий доход, будет повышать и общую полезность.
Канеман и Тверски предполагают, что люди оценивают альтернативы не
по функции полезности, а по функции ценности, которая определяется
изменениями их богатства. Одно из важных свойств этой функции – ее большая
крутизна при потерях, чем при доходах. На рис. 2, например, она придает
гораздо большее значение потере в 80 долл., чем доходу в 100 долл. Отметим
также, что функция ценности имеет выпуклую форму в отношении доходов и
вогнутую – в отношении потерь. Это свойство аналогично свойству
уменьшающейся предельной полезности в традиционной модели. Оно
228
свидетельствует о том, что влияние дополнительных доходов или потерь
уменьшается при возрастании основных доходов или потерь.
Ценность
V(100)
– 80
Потери
0
Доходы
100
V(– 80)
Рис. 2. Функций ценности Канемана - Тверски
В отличие от традиционной функции полезности функция ценности
определяется на основании изменения общего богатства. Она является более крутой
при потерях, чем при доходах, имеет выпуклую форму в отношении доходов и
вогнутую – в отношении потерь.
Канеман и Тверски подчеркивают, что их функция ценности является
чисто
описательным
средством.
Они
пытаются
суммировать
правила,
определяющие выбор, который делают люди, и не требуют, чтобы они
осуществляли свой выбор только в соответствии с прогнозами их функции
ценности.
Согласно данным, представленным Канеманом и Тверски, для людей
весьма типично оценивать каждое событие как часть совокупности событий, а
затем принимать решения, суммируя отдельные ценности. В этом примере
V(100) гораздо меньше в абсолютных единицах, чем V(– 80). Поскольку
алгебраическая
сумма
двух
величин
меньше
229
0,
то
любой
человек,
использующий этот механизм решения, откажется от данной пары событий А и
Б, даже если общий их эффект увеличивает его общее богатство на 20 долл.
Функции ценности Канемана и Тверски обладают двумя важными
особенностями: 1) люди асимметрично толкуют доходы и потери, придавая при
принятии решений потерям больший вес, чем доходам; 2) люди сначала
оценивают отдельные события, а затем суммируют эти оценки. Первая из этих
особенностей не обязательно подразумевает иррациональное поведение. В
конце концов, нет ничего противоречивого в том, что ощущение потери гораздо
сильнее
ощущения
радости
от
аналогичного
по
величине
дохода.
Иррациональна вторая особенность – когда каждое событие трактуется
отдельно, а не с точки зрения их общего эффекта.
Существенным является способ освещения события. Если бы кто-то
разъяснил человеку, что чистый результат двух событий А и Б выражается в
увеличении его богатства на 20 долл., то он, вероятно, быстро бы согласился с
данным ходом событий. Оцененные как единое целое, эти события
представляют собой явное улучшение его нынешнего положения. Проблема же
состоит в том, что при принятии решений кажется более естественным
произвести раздельные оценки событий.
230
Задачи
Задача
1. Определить
функцию
сбыта
(спроса)
по
следующим
экспериментальным данным, приведенным в таблице 1.
Цена
Объем
Задача
54
570
50
600
55
580
2. Бюджетная
линия
59
510
60
480
семьи
Таблица 1
59
60
500
45
выражается
формулой
p1 x1 + 40x2 =10000, где x1 и x2 – количество потребляемых товаров двух видов.
При какой цене первого товара семья получит максимальную полезность, если
x2 =20, а вариант количества первого товара задан в таблице 2.
Вариант
Количество товара
Задача
1
20
2
30
3
40
3. Бюджетная
4
50
линия
5
60
6
70
семьи
7
80
8
90
выражается
Таблица 2
9
10
100 110
формулой
40 x1 +50 x2 =5000, вариант предельной нормы замещения первого товара вторым
задан в таблице 3.
Вариант
Предельная норма
замещения
1
0,6
2
0,7
3
0,8
4
0,9
5
1
6
1,1
7
1,2
8
1,3
Таблица 3
9
10
1,4 1,5
Задача 4. Оптимизируйте распределение дохода семьи, равного I = 6000
руб., на два вида товаров, если функция полезности U = x1 x2 . Цены на товары
p1 =20 руб./ед., p2 =15 руб./ед. соответственно, вариант параметров  и 
задан в таблице 4.
Вариант


1
0,4
0,5
2
0,5
0,6
3
0,6
0,7
4
0,7
0,8
5
0,8
0,9
231
6
0,9
0,6
7
0,4
0,7
8
0,5
0,8
Таблица 4
9
10
0,6
1
0,9
1
Задача 5. При оптимальном распределении семейного дохода I = 8000
руб. известны функции полезности U = x1 x2 (вариант параметров  и  задан
в таблице 4) и цены на товары p1 =20 руб./ед., p2 =15 руб./ед. соответственно.
Вычислите следующие показатели:
1) общую полезность, среднюю полезность и предельную полезность
каждого товара;
2) значение однодолларовой предельной полезности каждого товара;
3) зависимость спроса от цены на каждый товар;
4) зависимость спроса на каждый товар от дохода;
5) количество потребления товаров;
6) как изменится потребление товаров, если цена первого товара возрастет
в полтора раза;
7) как изменится потребление товаров, если цена первого товара
уменьшится в полтора раза, а бюджет семьи увеличится в два раза.
Задача 6. Решите задачу о платежеспособном спросе потребителя при
ценах p1 = 10, p2 = 2 и доходе I = 60 для функции полезности U , указанных в
таблице 5.
1/ 2 2 / 3
1
2
3 5
1 2
x1 x2
x
x1 /( x2  1)
x x
x
x x
x x
Таблица 5
x1 x2 /(2 x1  x2 )
x x
x x
3x12 / 3 x1/2 3
2
1
1/ 2
1
2
2
1/ 2
2
2
1 2
3
1 2
Задача 7. Для функции полезности, заданных в таблице 5, выполните
следующее:
1) выведите функцию потребления первого блага в зависимости от
произвольных цен p1 , p2 и дохода I ;
2) выведите функцию потребления второго блага в зависимости от дохода
при условии, что p2 =2.
Задача 8. Предпочтения потребителя заданы следующей функцией
полезности:
232
1) U ( x1 , x2 ) =
x1  a
xx
, где a, b  0 ; 2) U ( x1 , x2 ) = 1 2 ;
x2  b
x1  x2
3) U ( x1 , x2 ) =
x1
, где b  0 ; 4) U ( x1 , x2 ) = x11/ 2  x2 ;
x2  b
его доход равен I  0 , цены товаров – p1  0, p2  0 .
Найти функцию спроса на каждый товар. Объясните, каким товарам
(благам) такая функция полезности соответствует.
Задача 9. Предпочтения потребителя заданы следующей функцией
полезности:
U ( x1 , x2 ) = ax1 x2 ,
его доход равен I  0 , цены товаров – p1  0, p2  0 , причем a > 0,   0 ,   0 .
Найти функцию спроса на каждый товар.
Задача 10. Определить, какой набор товаров выберет потребитель,
обладающий доходом I  0 , если его функция полезности
n
U ( x) = a xii ,
i 1
а цены единицы товара равны pi  0 ,  i  0 , i  1,, n , a > 0.
Задача 11. Вывести функцию спроса для функции потребительского
предпочтения, называемого функцией Р. Стоуна (P. Stones):
n
U ( x) = a ( xi  ai )i .
i 1
Здесь ai  0 – минимально необходимое количество i -го блага, которое
приобретается в любом случае и не является предметом выбора. Для того,
чтобы набор {ai } мог быть полностью приобретен, необходимо, чтобы доход I
n
был больше
pa
i i
– количества денег, необходимого для покупки этого
i 1
n
набора, то есть,
pa
i i
 I . Коэффициенты степени  i  0 характеризуют
i 1
относительную «ценность» благ для потребителя.
233
Задача
12. Функции
спроса
Торнквиста
на
«предметы
первой
необходимости», «предметы относительной роскоши» и «предметы роскоши»
определяются следующим образом:
x1 ( p, I ) =
I
I 
, x2 ( p , I ) = 
при I   , x2 ( p, I ) =0 при I   ,
I
I
x3 ( p, I ) =  I
I 
при I   , x3 ( p, I ) =0 при I   ,
I
где  ,  и  зависят от вектора цен p = ( p1 , p2 , p3 ) , I – доход от потребителя.
Доказать, что потребитель, имеющий доход I и характеризующийся
функций полезности
U ( x1 , x2 ) = x1a x2b  a ( x1  b  a ) b
выберет набор товаров x1 ( p, I ) , x2 ( p, I ) , где x1 ( p, I ) – первая функция
Торнквиста с  = a ,  = bp , p2 =1 (второй товар принят за единицу счета).
Задача 13. Для функции полезности, заданных в таблице 5, в точке
равновесия x* = ( x1* , x2* ) потребителя при ценах на блага p1 =10, p2 =2 и доходе
I =60 выполните следующее:
1) запишите уравнение Слуцкого и укажите эффекты замены и дохода;
2) найдите показатели предельного спроса от дохода x1 / I , x2 / I ;
3) вычислите показатели предельного спроса от цен xi / p j , i, j =1, 2.
234
Список литературы к § 5
1. Алипрантис
К.
Существование
и
оптимальность
конкурентного
равновесия / Пер. с англ. / К.Алипрантис, Д.Браун, О.Бёркеншо. – М.:
Мир, 1995. – 384 с.
2. Аллен Р. Математическая экономия / Пер. с англ. Под ред. и со вступит.
статьей Альб.Л.Вайнштейна / Р.Аллен. – М.: Изд-во Иностранной лит-ры,
1963. – 668 с.
3. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику: Учеб. пособие /
С.А.Ашманов. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. – Часть II, Глава
1.
4. Батищева С.Э., Каданэр Э.Д., Симонов П.М. Математические модели
микроэкономики:
Учеб.
пособие.–
2-е
изд.,
перераб.
и
доп.
/
С.Э.Батищева, Э.Д.Каданэр, П.М.Симонов. – Пермь: Перм. гос. ун-т,
2006. – 314 с. – Глава 7.
5. Баумоль У. Экономическая теория и исследование операций / Пер. с англ.
/ У.Баумоль. – М.: Изд-во «Прогресс», 1965. – 496 с.
6. Бернулли Д. Опыт новой теории измерения жребия / Д.Бернулли // Вехи
экономической мысли. Теория потребительского поведения и спроса. Т.
1 / Под ред. В.М.Гальперина. – СПб.: Экономическая школа, 1999. – С.
11-27.
7. Бусыгин В.П. Сборник задач по курсу микроэкономики продвинутого
уровня / В.П.Бусыгин, Е.В.Покатович, А.А.Фридман. – М.: Изд. дом ГУ
ВШЭ, 2007. – 386 с.
8. Вальтух К.К. Удовлетворение потребностей общества и моделирование
народного хозяйства / К.К.Вальтух. – Новосибирск, Наука, 1973. – 378 с.
9. Вальтух К.К. Целевая функция потребления: анализ и практическое
использование / К.К.Вальтух. – Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1980. –
381 с.
235
10. Вальтух К.К. Математический и статистический анализ функции
потребления
/
Отв.
ред.
к.ф.-м.н.
В.П.Бусыгин
/
К.К.Вальтух,
Н.П.Дементьев, И.А.Ицкович. – Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1986. –
168 с.
11. Гальперин В.М. Микроэкономика: в 2-х т. / Общая ред. В.М.Гальперина /
В.М.Гальперин, С.М.Игнатьев, В.И.Моргунов. – СПб: Эконом. школа,
1999. – Т. 1. – 349 с.
12. Горбунов В.К. Математическая модель потребительского спроса: Теория
и прикладной потенциал / В.К.Горбунов. – М.: ЗАО «Изд. «Экономика»,
2004. – 176 с.
13. Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики: Учебник
для студ. экон. вузов / А.Г.Гранберг. – М.: Экономика, 1988. – 488 с.
14. Интрилигатор
М.
Математические
методы
в
оптимизации
и
экономическая теория / Пер. с англ. Г.И.Жуковой, Ф.Я.Кельмана / М.
Интрилигатор. – М.: Айрис-Пресс, 2002. – 576 с.
15. Ицкович
И.А.
И.А.Ицкович
К
//
анализу
целевой
Проблемы
функции
благосостояния
народнохозяйственного
/
оптимума.
Новосибирск, 1969. Вып. 2. С. 194-201.
16. Корнай Я. Дефицит / Пер. с венг. / Я.Корнай. – М.: Наука, 1990. – 608 с.
17. Ланкастер К. Перемены и новаторство в теории потребления /
К.Ланкастер // Вехи экономической мысли. Теория потребительского
поведения и спроса. Т. 1 / Под ред. В.М.Гальперина. – СПб.:
Экономическая школа, 1999. – С. 326-336.
18. Лебедев
В.В.
Математическое
и
компьютерное
моделирование
экономики / В.В.Лебедев, К.В.Лебедев. – М.: НВТ-Дизайн, 2002. – 256 с.
19. Левина Е.А. Микроэкономика: задачи и решения: учеб. пособие /
Е.А.Левина, Е.В.Покатович. – 2-е изд. – М.: Изд. дом ГУ ВШЭ. – 492 с.
20. Лопатников
Л.И.
Экономико-математический
словарь:
Словарь
современной экономической науки. – 5-е изд., перераб. и доп. /
Л.И.Лопатников. – М.: Дело, 2003. – 520 с.
236
21. Моделирование экономических процессов: Учеб. для студ. вузов, обуч.
по спец. экон. и упр. (060000) / Под ред. М.В.Грачевой, Л.Н.Фадеевой,
Ю.Н.Черемных. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 352 с. – Глава 2.
22. Сюдсетер К. Справочник по математике для экономистов / Пер. с
норвежск. Под ред. Е.Ю.Смирновой / К.Сюдсетер, А.Стрём, П.Берк. –
СПб.: Экономическая школа, 2000. – 229 с. + X c. – Разделы 26, 27.
23. Фишберн П.С. Теория полезности для принятия решений / Пер. с англ. /
П.С.Фишберн. – М.: Наука, 1978. – 352 с.
24. Франк Р.Х. Микроэкономика и поведение / Пер. с англ. / Р.Х.Франк. –
М.: ИНФРА-М, 2000. – XVI с., 695 с. – (Сер. «Университетский
учебник»).
25. Фридман А.А. Лекции по курсу микроэкономики продвинутого уровня:
учеб. пособие / А.А.Фридман. – М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2008. – 375 с.
26. Фридмен М., Сэвидж Л.Дж. Анализ полезности при выборе среди
альтернатив, предполагающих риск / М.Фридмен, Л.Дж.Сэвидж // Вехи
экономической мысли. Теория потребительского поведения и спроса. Т.
1 / Под ред. В.М.Гальперина. – СПб.: Экономическая школа, 1999. – С.
208-249.
27. Черемных Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень: Учеб. /
Ю.Н.Черемных. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 848 с. – (Учеб. экон. фак. МГУ
им. М.В. Ломоносова). – Глава 1.
28. Экономико-математический энциклопедический словарь / Гл. ред.
В.И.Данилов-Данильян. – М.: Большая Российская энциклопедия: Изд.
Дом «Инфра-М», 2003. – 668 с.
29. Afriat S.N. The construction of utility functions from expenditure data /
S.N.Afriat // International Economic Review. 1967. V. 8.
30. Arrow K.J. General competitive analysis / K.J.Arrow, F.H.Hahn. – HoldenDay, San Francisko, CA: Oliver and Boyd, Edinburg, 1971.
31. Coase R.H. The problem of social cost / R.H.Coase // Journal of Law and
Economics. 1960. V. 3. P. 1-44.
237
32. Houthakker H.S. Consumer demand in the United States: Analysis and
projection / H.S.Houthakker, L.D.Taylor. – Cambridge (Mass.), 1966.
33. Lancaster К. A new approach to consumer theory / K.Lancaster // Jour. Polit.
Econ. 1966. V. 74. № 2; Consumer demand : A new approach. New York,
1971.
34. Lancaster К. Consumer demand: A new approach / K.Lancaster. – New
York, 1971.
35. Stone R. Linear expenditure systems and demand analysis: Application to
the pattern of British demand / R.Stone // Econ. Journ. 1954. V. 64. № 255
36. Tversky A. The framing of decisions and the psychology of choice /
A.Tversky, D.Kahneman // Science. 1981. V. 211. P. 453-458.
37. Varian H.R. Microeconomic analysis. Third Edition. / H.R.Varian. – New
York, London: W.W.Norton and Company, 1992. – XV p., 506 p., A42 p.
238