Текстовые алгебраические задачи Содержание 1. Задачи на движение

Текстовые алгебраические задачи
Содержание
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Задачи на движение
Задачи на работу и производительность труда
Задачи на проценты и смеси
Задачи с целочисленными неизвестными
Задачи с практическим содержанием
Задачи экологического содержания
Задачи на составление уравнений или текстовые алгебраические задачи представляют
собой традиционный раздел элементарной математики. Интерес к задачам на составление
уравнений вполне понятен. Решение этих задач способствует развитию логического мышления,
сообразительности и наблюдательности, умения самостоятельно осуществлять небольшие
исследования. В текстовых задачах, как правило, речь идёт о конкретных ситуациях из
практической деятельности. При их решении выписываются соотношения, представляющие
собой математическую модель описанной в задаче практической ситуации. Таким образом, они
позволяют проверить не только навыки в решении уравнений и систем уравнений, но и умение
описывать с помощью математических соотношений реальные события. Этим и объясняется
тот факт, что задачи на составление уравнений являются непременным элементом контрольно
- измерительных материалов ЕГЭ.
Структура умений решать текстовые задачи
Умения
Операционный состав умений
Умение анализировать задачу
-проводить первичный анализ текста (представление
задачной ситуации, выделение условия и требования,
опорных слов);
- выделять известные, неизвестные, искомые величины;
-устанавливать связи между данными и искомыми;
-конструировать
модели
задачной
ситуации
(предметные, схематические, графические) и соотносить
элементы задачи с элементами модели;
-устанавливать полноту данных задачи (достаточность,
недостаточность, избыточность);
-узнавать типы задач
Умение проводить поиск плана - раскладывать составную задачу на простые;
решения задачи
-переводить зависимость данных и искомых на
математический язык;
- выбирать рациональные способы решения задач;
-проводить
рассуждения
аналитическим
и
синтетическим способом;
-активизировать необходимые для решения задачи
теоретические знания
Умение реализовать найденный -устанавливать
адекватность
построенной
план решения задачи
математической модели исходной задаче;
-рационально выбирать математические связи между
величинами;
-устанавливать
соответствие
промежуточных
и
конечного результатов;
- оформлять решение
Умение осуществлять контроль -определять соответствие полученных результатов
и коррекцию решения
исходной задаче;
-выполнять проверку решения разными способами;
- находить другие способы решения задачи;
-оценивать полученные при решении результаты;
-обобщать результаты решения.
Одним из вопросов методики преподавания математики является вопрос формирования у
учащихся умений и навыков решения текстовых задач.
Для решения текстовых задач применяются три основных метода: арифметический,
алгебраический и комбинированный. Рассмотрим каждый из этих методов.
I. Арифметический метод.
Первым этапом решения задач арифметическим методом является разбор условия задачи и
составление плана её решения. Этот этап решения задачи сопровождается максимальной
мыслительной деятельностью.
Вторым этапом является решение задачи по составленному плану. Этот этап решения
проводится учащимися без особых затруднений и в большинстве случаев носит тренировочный
характер.
Третьим важным этапом решения задачи является проверка решения задачи. Она проводится
по условию задачи. Пренебрежение проверкой при решении задачи, замена её проверкой ответов
снижает роль решения задачи в процессе развития логического мышления учащихся.
II. Алгебраический метод.
Под алгебраическим методом решения задач понимается такой метод решения, когда
неизвестные величины находятся в результате решения уравнения или системы уравнений,
решения неравенства или системы неравенств, составленных по условию задачи. Иногда
алгебраическое решение задачи бывает очень сложным.
При решении задач алгебраическим методом основная мыслительная деятельность
сосредотачивается на первом этапе решения задачи: на разборе условия задачи и составлении
уравнений или неравенств по условию задачи.
Вторым этапом является решение составленного уравнения или системы уравнений,
неравенства или системы неравенств.
Третьим важным этапом решения задач является проверка решения задачи, которая
проводится по условию задачи.
III. Комбинированный метод.
Этот метод получается в результате того, что часть неизвестных величин определяется с
помощью решения уравнения или системы уравнений, неравенств или систем неравенств, а
другая часть – арифметическим методом. В этом случае решение текстовых задач значительно
упрощается.
При решении текстовых задач учащимся могут помочь несколько простых и общих советов,
а также приведённые ниже примеры решения задач.
Совет 1. Не просто прочитайте, а тщательно изучите условие задачи. Попытайтесь
полученную информацию представить в другом виде – это может быть рисунок, таблица или
просто краткая запись условия задачи.
Совет 2. Выбор неизвестных.В задачах "на движение" – это обычно скорость, время, путь. В
задачах “на работу” - производительность и т.д.
Не надо бояться большого количества неизвестных или уравнений. Главное, чтобы они
соответствовали условию задачи и можно было составить соответствующую “математическую
модель” (уравнение, неравенство, система уравнений или неравенств).
Совет 3. Составление и решение “математической модели”.При составлении
“математической модели” (уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств) ещё раз
внимательно прочитайте условие задачи. Проследите за тем, что соответствует каждой фразе
текста задачи в полученной математической записи и чему в тексте задачи соответствует каждый
“знак” полученной записи (сами неизвестные, действия над ними, полученные уравнения,
неравенства или их системы).
Очень важно не только составить уравнение, неравенство, систему уравнений или
неравенств, но и решить составленное.
Если решение задачи не получается, то нужно ещё раз прочитать и проанализировать задачу
(заданный текст и полученную запись). Иногда по условию задачи достаточно отыскать не сами
неизвестные, а их комбинации.
Если кажется, что получилось правильное, но очень сложное выражение, то попробуйте
ввести другие неизвестные, может быть, изменив их количество, чтобы получилась более
простая модель.
Иногда неизвестные в задачах выражаются только целыми числами, тогда при решении
задач нужно использовать свойства целых чисел.
Совет 4. Решение сложной текстовой задачи – процесс творческий. Иной раз требуется
вернуться к самому началу задачи, учитывая и анализируя уже полученные результаты.
При решении задач короткую запись задачи можно сделать с помощью рисунка или
таблицы.
Таблица является универсальным средством и позволяет решать большое количество идейно
близких задач.
Можно выделить семь вопросов, которые дают верное направление решению задач разных
типов.
Вопросы к задаче с комментариями к ним:
О каком процессе идёт речь? Какими величинами характеризуется этот процесс?
(Количество величин соответствует числу столбцов таблицы).
Сколько процессов в задаче? (Количество процессов соответствует числу строк в таблице).
Какие величины известны? Что надо найти? (Таблица заполняется данными задачи; ставится
знак вопроса).
Как связаны величины в задаче? (Вписать основные формулы, выяснить связи и
соотношения величин в таблице).
Какую величину (величины) удобно выбрать в качестве неизвестной или неизвестных?
(Клетки в таблице заполняются в соответствии с выбранными неизвестными).
Какие условия используются для составления “модели”? (Выписать полученную “модель”)
Легко ли решить полученное? (Если решить сложно, ввести новые переменные, использовать
другие соотношения).
Задачи на движение.
Обычно в задачах на движение, если не оговорено дополнительно, используются
следующие допущения: движение на отдельных участках считается равномерным, повороты
считаются мгновенными, т. е. без затрат времени, скорость при этом меняется мгновенно.
В качестве переменных принимаются величины S – путь или расстояние, V – скорость, t –
время.
При решении задач на движение полезно сразу переводить все данные в одни и те же
единицы измерения.
Пример 1. На путь между двумя деревнями пешеход затратил на 4 ч 30 мин больше, чем
мотоциклист. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, скорость пешехода составляет 1/10 скорости
мотоциклиста. Найдите расстояние между деревнями.
Решение. Во-первых, найдем скорость пешехода. Она равна 4 км/ч.
Пусть мотоциклист может проехать расстояние между деревнями за х ч, тогда пешеход
может пройти это расстояние за (х + 4,5) ч. Таким образом, пешеход пройдет 4(х + 4,5) км,
мотоциклист проедет 40х км.
Так как по условию задачи эти величины равны, получим уравнение
4(х + 4,5) = 40х, откуда х = 0,5.
Следовательно, расстояние между деревнями равно 0,5 * 40 = 20 (км).
Ответ: 20.
В следующих задачах запланированные параметры движения (расстояние, время и
скорость) сопоставляются с реальными.
Для решения подобных задач необходимо выразить через переменную расстояние, время и
скорость на каждом из запланированных и реальных участков пути с момента отклонения от пла-
на. После этого нужно найти в условии задачи еще не использованный факт и с его помощью
составить уравнение.
Пример 2. Велосипедист должен был проехать весь путь с определенной скоростью за 2 ч.
Но он ехал со скоростью, превышающей намеченную
на 3 км/ч, и поэтому на весь путь затратил 5/3 ч.Найдите длину пути.
Решение. При решении этой задачи полезно рассматривать как бы два участка пути — запланированный и реальный. Они, естественно, равны по длине, но отличаются временем и скоростью их прохождения.
По плану: затраченное время 2 ч, скорость обозначим х км/ч, расстояние равно 2х км.
В реальности: скорость (х + 3) км/ч, время 5/3 ч, значит, расстояние равно 5/3(х + 3) км.
Поскольку в реальности пройдено именно то расстояние, которое и было запланировано,
получаем уравнение 2х=5/3(х+3),откуда х = 15.
Итак, велосипедист должен был за 2 ч со скоростью 15 км/ч проехать расстояние 2 • 15
= 30 км Ответ 30.
Пример 3.Автобус прошел 5/6 пути со скоростью 50 км/ч, а затем задержался на 3 мин.
Чтобы прибыть в конечный путь вовремя, оставшуюся часть пути он шел со скоростью 60 км/ч.
Найдите путь, пройденный автобусом.
Решение. Отклонение от плана началось с момента остановки. Обозначим за х ч — время,
за которое автобус должен был пройти оставшуюся 1/6 часть пути. Тогда запланированное
расстояние равно 50х км.
В реальности 1/20 ч автобус стоял, а оставшуюся часть пути прошел за(х-1/20)ч, то
естьреально пройденный путь равен 60(х-1/20)км.
По условию задачи запланированное расстояние совпадает с реально пройденным,
следовательно, получаем уравнение60(х-1/20) = 50х, откуда х = 0,3. Таким образом, 1/6 часть
пути равна 50 • 0,3 = 15 (км), а весь путь равен 15 • 6 = 90 (км).О т в е т: 90.
Рассмотрим задачи, описывающие движение двух участников. В задачах на совместное
движение участники не всегда одновременно начинают движение и не всегда одновременно его
заканчивают. Поэтому очень важно выделить участок или участки пути, на которых движение
происходит действительно совместно. Кроме этого, в задачах имеются, как правило, такие
участки пути, на которых передвигается один участник, в то время как другой еще не начал или
уже закончил движение.
В некоторых задачах полезно найти скорость сближения (или удаления) участников —
величину, показывающую, на сколько уменьшается (или увеличивается) расстояние между
участниками движения в единицу времени.
Замечания.
Скорость сближения или удаления равна сумме скоростей участников при их движении в
противоположных направлениях (навстречу друг другу или друг от друга).
При движении участников в одном направлении (один убегает, другой его догоняет)
скорость сближения или удаления равна модулю разности их скоростей.
Пример 4. Из Смоленска в Москву вышел поезд со скоростью 70 км/ч. Спустя 1 ч 40 мин из
Москвы в Смоленск отправился поезд, скорость которого равна 60 км/ч. Через сколько часов после выхода поезда из Смоленска произойдет встреча, если расстояние между городами равно 420
км?
Решение. Совместное движение началось в момент выхода из Москвы первого поезда. К
этому времени второй поезд прошел 70 •5/3=350/3(км) и расстояние между поездами сократилось
до
420-350/3=910/3 (км).
Закончилось совместное движение их встречей.
Итак, на расстоянии 910/3 (км) поезда сближались со скоростью
70 + 60 = 130 (км/ч)
и потратили на это
910/3:130=7/3 (ч)
Тогда поезд из Смоленска шел до встречи5/3+ 7/3= 12/3=4 (ч).
О т в е т: 4.
В ряде задач на движение учитываются скорость ветра при движении самолетов, скорость
течения при движении по реке. В задачах такого типа рассматриваются две основные скорости собственная скорость самолета, корабля, лодки, создаваемая двигателем или усилием людей
при работе на веслах, т.е. скорость движения при отсутствии ветра или в стоячей воде, и
скорость ветра или течения. Как правило, если собственная скорость и скорость ветра (или
течения) не даны, то именно их обозначают переменными. Две другие скорости — скорость по
ветру или течению и скорость против ветра или течения — можно выразить через основные
скорости (через их сумму или разность). Далее решаем задачу, как любую другую задачу на
движение.
Пример 6.Самолет пролетит по направлению ветра за 5,5 ч такое же расстояние, какое в обратном направлении за 6 ч при условии, что ни скорость, ни направление ветра не меняются.
Найдите расстояние, которое пролетит самолет туда и обратно, если собственная скорость самолета равна 690 км/ч.
Решение. В данной задаче основные скорости — собственная скорость самолета, равная 690
км/ч, и скорость ветра, которая не дана. Обозначим ее за х км/ч.
Тогда при движении по направлению ветра самолет со скоростью (690 + х) км/ч за 5,5 ч
пролетит 5,5(690 + х) км, а при движении против направления ветра самолет со скоростью (690 х) км/ч за 6 ч пролетит 6(690 - х) км.
Учитывая, что по условию задачи самолет туда и обратно пролетает одно и то же
расстояние, составим уравнение
5,5 • (690 + х) = 6 • (690 - х).
Решая уравнение, находим, что скорость ветра равна 30 км/ч. Далее вычислим расстояние:
6 • (690 - 30) = 3960 (км).
Туда и обратно самолет пролетит 3960 • 2 == 7920 (км).
Ответ: 7920
Пример №7 Из города выехал грузовик со скоростью 60 км/ч. Через 2 часа вдогонку выехал
мотоциклист. В некоторый момент времени расстояние между ними было 80 км. Если бы
скорость мотоциклиста была в 5/4 раза больше, чем в действительности, то это расстояние
оказалось бы в три раза меньше. Найти скорость мотоциклиста.
Решение: Пусть скорость мотоциклиста v км/ч, а t – время до момента, когда расстояние
между ними впервые стало равно 80 км. Тогда за время t ч грузовик прошел расстояние
60t км, а мотоциклист за время t - 2 проехал v(t - 2) км. Откуда получаем уравнение
Аналогично из второго условия вытекает второе уравнение
Таким образом, получаем систему уравнений
Вычитая теперь из первого уравнения второе и умножая затем обе части полученного
уравнения на 4, приходим к соотношению
Теперь из первого уравнения следует t = 44/9, следовательно,
v = 960/13 =
Ответ:
км/ч.
км/ч.
Пример №8 Два самолета вылетели одновременно из пунктов A и B навстречу друг другу и
встретились на расстоянии 100 км от середины AB. Если бы первый самолет вылетел на 20
минут позже второго, то они встретились бы на четверти пути от A, а если бы второй самолет
вылетел на 20 минут позже первого, то они встретились бы на полпути. Определить скорости
самолетов.
Решение:
Пусть скорости первого и второго самолетов равны соответственно V1 и V2 км/ч, а
расстояние между A и В – S км.
Для составления системы уравнений составим таблицу:
Условия задачи
Уравнения
Если бы первый самолет вылетел на 20
минут позже второго, то они встретились бы
на четверти пути от А.
Если бы второй самолет вылетел на 20
минут позже первого, то они встретились бы
на полпути.
Заметим, что как видно из второго уравнения V2 > V1 т.е. первое условие задачи позволяет
заключить:
Самолеты встретились на расстоянии 100
км от середины АВ.
Таким образом, приходим к системе уравнений
Откуда S = 800 км,
км/ч,
км/ч.
Пример№9 Грузовой и легковой автомобили выехали одновременно навстречу друг другу
соответственно из пунктов А и В. После встречи грузовой автомобиль прибывает в В через два
часа, а легковой в А через 9/8 часа. Каждый едет с постоянной скоростью без остановки и,
приехав в конечный пункт, тут же поворачивает обратно, и на обратном пути встречаются в 60
км от В. Найти время затраченное каждым автомобилем на поездку туда и обратно.
Решение: Пусть скорость грузового автомобиля V1 км/ч, скорость легкового автомобиля
V2 км/ч, а расстояние от А до В равно S км.
Тогда имеем:
первая встреча
автомобиля
грузовика
и
легкового
Следовательно, получаем первые два уравнения:
Условия задачи
Уравнения
После встречи грузовой автомобиль
прибывает в B через 2 ч, легковой автомобиль
в А через 9/8 ч.
Для получения второго уравнения рассмотрим второе условие:
вторая встреча грузовика и легкового автомобиля
Приехав в конечный пункт, они тут же
поворачивают обратно, и на обратном пути
Итак,
встречаются в 60 км.
приходим
к
системе
уравнений:
По условию задачи нам необходимо найти величины:
Однако удается определить и остальные переменные
Ответ:
Задачи на работу и производительность труда.
Основными формулами при описании задач на движение были формулы, выражающие
зависимость скорости, времени и пути при равномерном движении. На аналогичных
соотношениях основаны математические модели задач на работу и производительность труда,
перекачивание жидкостей и т.д. Например, если x – производительность труда, А – объем
работы, произведенной за время t, то А=xt.
При этом иногда принимаются следующие соглашения:
в задачах на работу принимают общий объем работы за единицу,
в задачах на перекачивание жидкостей полагают, что наполнение или опустошение
емкостей происходит равномерно с постоянной скоростью.
Пример№1. Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но завод
выпускал ежедневно по 2 машины сверх плана, а поэтому выполнил заказ за 18 дней. Сколько
машин выпустил завод?
Решение. Пусть завод должен был выпускать х машин в день, тогда заказ составляет 20х
машин.
На самом деле завод выпускал (х + 2) машины в день и за 18 дней выпустил 18(х + 2)
машин.
По условию задачи
20х = 18(х + 2),
откуда х = 18. Таким образом, завод выпустил 360 машин.
Ответ: 360.
Пример № 2.Для прокладки траншеи выделено два экскаватора разных типов. Время,
необходимое первому экскаватору для самостоятельной прокладки траншеи, на 3 часа меньше
времени, необходимого второму экскаватору для самостоятельной прокладки траншеи.
Сумма этих времен в
раза больше времени, необходимого для прокладки траншеи
присовместной работе двух экскаваторов. Определить, сколько времени необходимо каждому
экскаватору для самостоятельной прокладки траншеи.
Решение: Примем длину траншеи за 1, производительность (т.е. количество проложенных
за 1 час метров траншеи) первого экскаватора обозначим через x, а второго через y. Тогда
приходим к системе уравнений:
Условия задачи
Уравнения
Время,
необходимое
первому
экскаватору для самостоятельной прокладки
траншеи, на 3 часа меньше времени,
необходимого второму экскаватору для
самостоятельной прокладки траншеи
Сумма этих времен в
раза больше
времени, необходимого для прокладки
траншеи при совместной работе двух
экскаваторов
Обозначим через t отношение
Тогда, как видно из первого уравнения,
следовательно, из второго уравнения получаем:
,т.е.
,
Подставляя теперь это соотношение в первое уравнение системы, после простейших
преобразований находим
часов, а
часов.
Ответ: 7 ч 30 мин; 10 ч 30 мин.
Пример № 3. Токарь и его ученик получили наряд на изготовление деталей. По нему
ученик должен изготовить 35 деталей, а токарь 90 деталей. Токарь и ученик начали работу
одновременно. Сначала токарь сделал 30 деталей, обрабатывая в час вдвое больше ученика.
Затем он перешел на максимальную скорость обработки и стал обрабатывать в час ещё на 2
детали больше и закончил свою работу на 1 час позже ученика. Если бы токарь и первые 30
деталей обрабатывал с максимальной скоростью, то закончил бы работу на 30 мин позже
ученика. Сколько деталей в час обрабатывал ученик?
Решение: Пусть (д/ч) – производительность ученика;
2 (д/ч) – первоначальная производительность токаря;
(2+2) (д/ч) – максимальная производительность токаря.
Согласно условию задачи имеем:
Условия задачи
Уравнения
Токарь и ученик начали работу
одновременно. Сначала токарь сделал 30
деталей, обрабатывая в час вдвое больше
ученика. Затем он перешел на максимальную
скорость обработки и стал обрабатывать в час
ещё на 2 детали больше и закончил свою
работу на 1 час позже ученика
Если бы токарь и первые 30 деталей
обрабатывал с максимальной скоростью, то
закончил бы работу на 30 мин. позже ученика
откуда
.
Ответ: ученик обрабатывал в час 5 деталей.
Задачи на проценты и смеси.
Существуют три основных вида задач «на проценты»:
1. Найти число а, составляющее п процентов от числа Ь.
Решение. а =0.01n*b
2. Обратная задача: найти число b, если п процентов от него
равно а.
Решение. b=a/0,01n.
3. Найти, сколько процентов составляет число а от числа Ь.
Решение. п =а/в*100.
Понятия и формулы, используемые в задачах на проценты.
Пусть S – некоторая величина, зависящая от времени t, в начальный момент равная S0.
Пусть также через время t1 эта величина достигает значение S1. Тогда разность S1 - S0 назовем
абсолютным приростом S за время t1,
отношение
Из
последнего
–
относительным
приростом
за
– процентным приростом.
соотношения
легко
получается
это
время,
следующая
а
число
формула
позволяющая по известным S0 и p находить S1, т.е. значение
S в момент t1. Аналогично, если процентный прирост остается неизменным, то в момент t2 = 2t1
в момент t3 = 3t1
а в момент nt1
Если же на каждом этапе tn - tn-1 = t1 процентный прирост составляет pn %, то последняя
формула приобретает вид
Пример №1. Вкладчику на положенные в банк деньги начислили через месяц 15 тысяч
рублей процентных денег. Не взяв их, а добавив еще 85 тысяч рублей, он оставил все деньги еще
на месяц. По истечении второго срока вклад вместе с процентными начислениями составил 420
тысяч рублей. Какая сумма была положена первоначально?
Решение: Пусть первоначально в банке находилось S тыс. руб. Ясно, что S >15. Тогда
относительный прирост за месяц составил 15 / S. После добавления в банке оказалась сумма
S+100 тысяч рублей.
И по истечению второго срока сумма вклада вместе с процентами составила
тысяч рублей, что по условию задачи равно 420 тыс. руб. Откуда получаем
уравнение
Далее,
после
простейших
преобразований,
имеем
Откуда, т.к. S > 15, получаем S = 300.
Ответ: 300 тыс. руб.
Пример №2. Из полного бака, содержащего 729 литров кислоты, отлили а литров и
добавили воды. После тщательного перемешивания отлили а литров раствора и снова долили
воды. После того как процедура была повторена 6 раз, раствор в баке содержал 64 л кислоты.
Найти величину а.
Решение: Проследим схему изменения содержания кислоты в растворе. Первоначально в
баке находилось
729 л кислоты. Отлили а л кислоты, после чего осталось
добавления воды доля кислоты составила
. При повторении процедуры, отлили
л кислоты, при этом осталось
добавления воды доля кислоты составила
повторения кислоты останется
л кислоты. После
л кислоты.После следующего
, а следовательно, после ещё одного
л.
Аналогично после повторения процедуры 6 раз в баке останется
л
кислоты, что составляет 64 л. Таким образом, приходим к уравнению
Откуда, после очевидных преобразований, получаем a = 243 л.
Ответ: a = 243 л.
Пример №3. Комиссионный магазин продал сданную на продажу вещь со скидкой 12 % от
первоначально назначенной цены и получил при этом
10 % прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально предполагал получить магазин?
Решение: Пусть x рублей – первоначальная цена, y рублей – сумма, подлежащая выплате
клиенту магазина.
Тогда процент предполагаемой прибыли составляет
.
Однако
первоначальная цена была снижена на 12 % и составила 0,88x рублей, при этом магазин получил
прибыль 0,88x-y рублей, т.е.
процентов прибыли, что по условию
задачи равно 10 %. Откуда следует уравнение
Таким
образом, магазин предполагал получить прибыль 25 %.
Ответ: 25 %.
Пример №4. Для того чтобы выплатить зарплату, 38 % от зарплаты в фонд социального
страхования, закупить оборудование и выплатить 20 % от указанных затрат налог государству,
предприятию требуется 20160 рублей. Если бы заработную плату увеличить на 10 %, а затраты
на оборудование увеличить вдвое, то потребуется 25416 рублей. Сколько выплачивается
зарплаты и сколько тратится на оборудование?
Решение: Пусть для выплаты зарплаты требуется x– рублей, а затраты на оборудование
составляют y – рублей, тогда в фонд социального страхования необходимо выплатить 0,38х
рублей.
Условия задачи
Уравнения
Для того чтобы выплатить зарплату,
38% от зарплаты в фонд социального
страхования, закупить оборудование и
выплатить 20% от указанных затрат налог
государству, предприятию требуется
20160 рублей
Если
бы
заработную
плату
увеличить на 10 %, а затраты на
оборудование увеличить вдвое, то
потребуется 25416 рублей
Итак,
приходим
к
системе
уравнений
Ответ: зарплаты выплачивается 10 000 руб., затраты на оборудование 3000 рублей.
Пример №5.
Имеются два сплава меди с разным содержанием меди. Число, выражающее в процентах
содержания меди в первом сплаве, на 40 меньше числа, выражающего в процентах содержания
мели во втором сплаве. Оба эти сплава сплавили вместе, после чего содержание меди составило
36%. Определите процентное содержание меди в первом и во втором сплавах, если известно, что
в первом сплаве меди было 6 кг, а во втором 12кг.
Решение:
масса
масса сплавов в кг
концентрация
(доля меди
меди в кг
в сплаве)
1-й сплав
6
у
(х - 40)% = 0,01 (х - 40)
2-й сплав
12
50 - у
х% = 0,01х
18
18/0,36 = 50
36% = 0,36
смесь
сплавов
1)
18/0,36 = 50 (кг) – масса смеси сплавов
Пусть у кг – масса первого сплава
Х % - процентное содержание меди во втором сплаве
(х – 40) % - процентное содержание меди в первом сплаве.
(50 – у) кг – масса второго сплава
По условию задачи масса меди во втором сплаве 12 кг
Составим уравнение :
12
50-у = 0,01х
Масса меди в первом сплаве равна 6 кг
Составим уравнение:
6
у = 0,01 (х – 40)
Составим систему уравнений:
6
у = 0,01 (х – 40),
12
50 – у = 0,01х;
600 = у (х – 40),
1200 = х * (50 – у),
у = 0, у = 50;
600 = ху – 40у,
1200 = 50х – ху;
600 + 40у,
х=
у
1200
х = 50-у.
600 + 40у
1200
у
= 50-у ;
(600+40у) * (50-у) = 1200у
30 000 – 600у + 2000у – 40у2 - 1200у = 0
- 40у2 + 200у + 30 000 = 0
у2 – 5у – 750 = 0
Д = 52 + 4 * 750 = 25 + 3000 = 3025
5+55
-50
у1 = 2 = 30 или
у2 = 2 = -25 меньше 0
-25 – не удовлетворяет условию задачи.
30кг – масса первого сплава
30= 0,2 = 20% - процентное содержание меди в первом сплаве
20% + 40% = 60% - процентное содержание меди во втором сплаве.
Ответ: 20%; 60%.
Пример №6
Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12кг, содержащей 45% меди. Сколько
чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал
40% меди?
Решение:
масса
масса меди в кг
масса
концентрация
олова в кг
сплава, в кг
меди
1-й
сплав
6,6
12 * 0,45 = 5,4
12
45% = 0,45
2-й
сплав
6,6 + х
у
12+х
40% = 0,4
1)
12 * 0,45 = 5,4 (кг) - масса меди в сплаве.
2)
12 – 5,4 = 6,6 (кг) – масса олова в сплаве.
Пусть х кг – чистого олова надо прибавить к сплаву, чтобы получился новый сплав
у кг – масса меди в новом сплаве
(6,6 + х )кг – масса олова в новом сплаве
(12 + х ) кг – масса нового сплава
По условию задачи, концентрация меди в новом сплаве равна 40% = 0,4.
Составим систему уравнений:
у
12+х
= 0,4 ,
6,6 + х + у = 12 + х;
у = 0,4 (12+х),
у = 12 + х – х – 6,6.
4,8 + 0,4х = 5,4
0,4х = 0,6
х = 1,5
1,5 кг – чистого олова надо прибавить.
Ответ: 1,5 кг.
Пример№7.
Имеются два слитка золота с серебром. Процентное содержание золота в первом слитке в
2,5 раза больше, чем процентное содержание золота во втором слитке. Если сплавить оба слитка
вместе, то получится слиток, в котором будет 40% золота.
Найдите, во сколько раз первый слиток тяжелее второго, если известно, что при сплаве
равных по весу частей первого и второго слитков получается сплав, в котором 35% золота.
Решение:
масса золота
масса
слитков
концентрация
1-й слиток
ху
x
y%
2-й слиток
0,4 хуk
kx
0,4y% = у / 2,5%
ху + 0,4 хуk
x + kx
1й слиток
my
m
y%
2й слиток
0,4my
m
0,4y% = у / 2,5%
my + 0,4 my
2m
35% = my + 0,4my 2m
Первый
сплав
второй
сплав
xy + 0,4xyk _ = 40%
x + kx
Пусть
х кг – масса первого слитка, тогда
kx – масса второго слитка
у % - процентное содержание золота в 1-ом слитке
0,4 у% - процентное содержание золота во втором слитке
ху – масса золота в первом слитке
0,4хуk – масса золота во 2-м слитке
( х + у + 0,4 хуk) – масса золота в первом сплаве,
х + kx – масса первого сплава
По условию задачи, концентрация золота в первом сплаве равна 40 % .
Составим первое уравнение системы
ху + 0,4 хуk
х + kx = 40
Пусть m – масса 1-го и 2-го слитков второго сплава
2m – масса второго сплава
my- масса золота в первом слитке
0,4 my – масса золота во втором слитке
(my + 0.4my) – масса золота во втором сплаве.
По условию задачи концентрация во втором сплаве равна 35%
Составим второе уравнение системы
my + 0,4 my
2m
= 35
составим и решим систему уравнений:
ху + 0,4 хуk
х+ kx
my + 0,4 my
2m
= 40,
= 35;
y + 0.4 yk = 40 + 40k,
1.4 = 70
m = 0, k = 0, x= 0;
у = 50 ,
50 + 0,4 * 50 k = 40 + 40k;
y = 50,
20k = 10;
y = 50,
k = ½.
Итак, 1-й слиток в 2 раза тяжелее второго.
Ответ: в 2 раза.
Пример №8
Смешали 30% соляной кислоты с 10% и получили 600г 15% раствора. Сколько граммов
каждого раствора было взято?
Решение
масса соляной кислоты в г
масса
концентраци
раствора в г я (доля НСI в
растворе)
1- й раствор
2
раствор
смесь
-
й
0,3х
х
30% = 0,3
0,1 * (600 - х)
600 - х
10% = 0,1
0,3 + 0,1 (600 - х) = 0,2х + 60
600
15% = 0,15
Пусть х г – масса 30% раствора соляной кислоты
(600 – х) г – масса 10% раствора соляной кислоты
0,3х – масса соляной кислоты в 30% растворе
0,1 * (600 – х) г – масса соляной кислоты в 10% растворе
0,3х + 0,1 * (600 – х) = 0,2 х + 60 г – масса соляной кислоты в смеси
По условию задачи, концентрация смеси равна 15% = 0,15
Составим уравнение:
60 + 0,2 х
600
= 0,15
0,2х + 60 = 90;
0,2х =30;
х = 150.
150г – масса 30% раствора соляной кислоты
600 – 150 = 450 (г) – масса 10% раствора соляной кислоты.
Ответ: 150г и 450г.
Пример№9.
Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30кг
морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?
Решение:
соль в кг
раствор в кг
концентрация
1,5
30
5% = у / 30, у = 1,5
1,5
30 + х
1,5% = 1,5 / 30+х
Найдем массу соли в 30 кг морской воды
30 * 0,05 = 1,5 (кг)
Пусть х кг – масса пресной воды,
(30 + х) кг – масса морской воды после добавления пресной
1,5
30+х - концентрация соли в морской воде после добавления пресной воды
По условию, концентрация соли в воде после добавления пресной воды стала 1,5% = 0,015
Составим уравнение:
1,5
0,015 * (30 + х) = 1,5;
30+х = 0,015
30 + х = 0.
х=70.
Итак, 70 кг пресной воды надо добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли
составила 1,5%
Ответ: 70кг.
Задачи с целочисленными неизвестными.
Пример №1
Группа студентов решила купить магнитофон ценой от 170 до 195 рублей. Однако в
последний момент двое отказались участвовать в покупке, и каждому пришлось внести на 1
рубль больше. Сколько студентов участвовало в покупке?
Решение: Пусть x рублей – стоимость магнитофона, y – первоначальное число студентов.
Тогда каждому студенту пришлось затратить
рубль меньше. Откуда следует уравнение
рубля, а предполагалось
рублей, что на 1
Выразим из этого уравнения y через x,
решив для этого его как квадратное уравнение,
Второе соотношение по смыслу не
удовлетворяет условию задачи, т.к. число студентов – натуральное число.
С другой стороны, т.к.
,
то
для
y
имеем
соотношение
.В
этих
пределах
находится
лишь
одно
натуральное
число
.
Ответ: первоначальное число студентов составило 20 человек, а участвовали в покупке 18,
при этом магнитофон стоил 180 рублей.
Пример №2
При подведении итогов работы бригады за месяц вычислено, что процент числа членов
бригады перевыполнивших намеченный план, составляет от 92,5 % до 93,5 %. Определить
минимальное возможное число членов бригады.
Решение: Пусть в бригаде работает n – человек, а среди них k – перевыполнивших план.
Тогда по условию задачи имеет место система неравенств
Откуда
получаем
Из последнего неравенства
легко видно, что, начиная с k = 13, выражение n - k больше 1, т.е. наименьшее n, которое
удовлетворяет условиям задачи, равно 14.
Ответ: наименьшее возможное число членов бригады – 14 человек.
Пример №3.
Как набрать сумму 146 руб. из 20 купюр достоинством 1, 3, 5, 10 рублей, если число
“пятирублевок” больше числа “трехрублевок” и не больше “десятирублевок” (предполагается,
что в набираемой сумме должны присутствовать купюры всех достоинств).
Решение: Пусть x, y, z, t – число купюр достоинством 1, 3, 5, 10 рублей соответственно.
Тогда
,
и
имеет
место
система
Вычитая из второго уравнения системы первое, получим
, (2)
откуда видим, что t– четное число. С другой стороны, применяя неравенство системы к
уравнению
(2)
и
учитывая,
что,
получаем
. Таким образом,
целое, четное, то возможны лишь два случая t=10,12. При
Откуда,
также
. И т.к. t–
система (1) принимает вид
как
и
выше,
получаем
Следовательно, y – четное и z > 6, а y < 6, т.е. для y возможны лишь два случая y = 2,
y = 4.
При y = 2 из уравнения y + 2z = 18 вытекает z = 8, что невозможно, т.к. y + z должно быть
меньше 10.
При y = 4 получаем z = 7 , что невозможно, т.к. y + z должно быть меньше 10.
Исследуем
случай
t
=
12
.
Имеем
из
системы
(1)
.
Откуда видно, что y – нечетное, причем
.т.е. y < 3 и, значит, y =
1, но тогда z = 4, а x = 3.
Ответ: купюр по 1 рублю – 3, по 3 рубля – 1,
Пример№4.
Имеется некоторое количество проволоки. Если её намотать на катушки, на которые
помещается 800 метров проволоки, то одна катушка будет намотана не полностью. То же самое
произойдет, если пользоваться только катушками, на которые помещается 900 метров проволоки,
причем таких катушек понадобится на три меньше. Если же проволоку наматывать на катушки,
на которые помещается 1100 метров, то таких катушек понадобится ещё на шесть меньше, но
при этом все такие катушки будут намотаны полностью. Сколько метров проволоки было?
Решение: Обозначим через l искомое число метров проволоки, n – число катушек
вместимостью 800 метров.
Тогда имеем систему:
Откуда
Так как n – натуральное, то n = 32 и l = 25300.
Ответ: 25300 метров.
Пример №5. Подданные привезли в дар шаху 300 драгоценных камней: в маленьких
шкатулках по 15 штук в каждой и в больших – по 40 штук в каждой. Сколько было тех и других
шкатулок. Если известно, что маленьких было меньше, чем больших?
Решение: Решим в целых числах уравнение:
7х – 11у = 36.
Это линейное уравнение с двумя переменными. Выразим из этого уравнения ту
переменную, коэффициент при которой по модулю меньше,
36  11у
т. е. переменную х: х =
7
1 4у
Выделив целую часть, получим: х = 5 + у +
7
Чтобы значение дроби было целым числом, надо, чтобы 1 + 4у было кратно 7, т. е. 1 + 4у =
7z, где z – целое число.
Мы получили новое уравнение с двумя переменными, коэффициенты которого по модулю
меньше коэффициентов первого уравнения. Будем продолжать таким же образом и выразим из
него переменную у:
7z 1
3z  3
у=
=z–1+
.
4
4
Потребуем, чтобы 3z + 3 было кратно 4, т. е. чтобы выполнялось условие 3z + 3 = 4u, где u–
целое число. Отсюда
4u  3
u
z=
=u–1+ .
3
3
Теперь потребуем, чтобы u было кратно 3:
u = 3v,
где v – целое число.
Дробей больших нет. «Спуск» закончен, и надо «подняться вверх», выразив х и у через v.
Итак:
z = 4v – 1,
y = 7v – 2,
x = 11v + 2.
Таким образом, х = 11v + 2, у = 7v – 2. Придавая в этих равенствах переменной v целые
значения, будем получать целые решения нашего уравнения. Очевидно, что их будет
бесконечное множество. Если требуется найти натуральные решения, то надо наложить
дополнительное условие:
11v + 2 > 0 и 7v – 2 > 0.
Ответ: 4 маленьких и 6 больших.
Пример №6Можно ли двухрублевыми и пятирублевыми монетами набрать сумму в 51
рубль. Если да, то сколькими способами.
Решение: Решите в целых числах уравнение:
а) 5х + 12у = 71;
б) 8х – 25у = 11.
Выясните, имеет ли каждое из них натуральные решения.
Выясняем, что и в первом и во втором уравнении целесообразно выразить переменную х
через у, так как коэффициент при этой переменной по модулю меньше, чем коэффициент при
переменной у. Итоговые формулы у разных учащихся могут быть различными – это связано с
тем, что они могут по – разному провести преобразования. Чтобы проверить себя, полезно найти
по полученным формулам какое–нибудь целое решение уравнения (например, при v = 0) и
подставить его в исходное уравнение. Полезно также для демонстрации эффективности
полученных формул предложить учащимся найти по ним несколько целых решений и убедиться,
что они действительно удовлетворяют исходному уравнению.
а) Последовательно выражая переменные из получаемых уравнений и двигаясь затем
«обратным ходом», можем получить выражения для х и у:
х = 12v + 7, у = 3 – 5v, где v – целое число.
Чтобы выяснить, имеет ли уравнение натуральные решения, решим систему неравенств:
7
3
12v + 7 > 0 и 3 – 5v> 0. Получим - <v< . В этом промежутке находится только одно целое
12
5
значение v, равное 0, значит, уравнение имеет единственное решение в натуральных числах. Оно
может быть найдено из полученных формул: при v = 0 имеем х = 7, у = 3.
б) Здесь «спуск» закончится очень быстро – на втором шаге получаем
у = 8z – 3, z - целое число. Отсюда х = 25z – 8, z - целое число. Решив далее систему
3
неравенств 8z – 3 > 0 и 25z – 8 > 0, получим z> , т. е. при целых значениях z, больших или
8
равных 1, мы будем получать натуральные решения. Очевидно, что их бесконечное множество.
Ответ : можно, 5 способов – (23;1),(18;3),(13;5),(8;7),(3;9).
Задачи с практическим содержанием.
1.
Сколько кирпича и раствора требуется для постройки стены длиной 20 м,
толщиной 50 см и высотой 2,5 м, если на 1 м² кладки расходуется 400 кирпичей, а расход
раствора составляет 20% объёма кладки.
Ответ: 10000 кирпичей, 5 м³ раствора.
2.
Рулон обоев имеет ширину 60 см и длину 10м. Необходимо оклеить стены в
комнате, размер которой 3×4×2,5 м. Общая площадь окна и двери 4 м². Сколько рулонов нужно
купить.
Ответ: 6.
3.
Сколько раз придётся пользоваться лифтом для подъёма 15 человек со средней
массой75 кг, если грузоподъёмность лифта 350 кг?
Ответ: 4.
4.
Экспериментально установлено, что расход воды в водопроводной сети от 0 до 8 ч
t  100 13t  20

приближённо описывается формулой Q 
, где t – время (ч), Q- расход воды
t  10
2t  20
(м³). Выясните, как в указанном промежутке времени меняется расход воды Q при целых
значениях t, и по этим точкам постройте график. Упростите выражение для Q.
15
Ответ: возрастает, Q  7,5 
10  t
5.
Мама просит дочь-восьмиклассницу развести уксус. Дала ей мензурку, поллитровую бутылку и флакон уксусной эссенции, на этикетке которого указана концентрация –
70%.
- Мама, а какую тебе крепость надо?
- Ну, процентов так от 3 до 5.
Сколько нужно взять эссенции, чтобы развести пол-литра уксуса?
Ответ: 21-36 мл.
6.
Мама с дочкой 55 мин лепили пельмени. Пока дочь лепила 3 пельменя, мама
успевала сделать не меньше 4 штук, но через каждые 15 мин она отвлекалась на 5 мин, чтобы
раскатать тесто. Кто слепил больше пельменей?
Ответ: мама.
7.
На рисунке изображён проект теплицы. На её покрытие имеется 89 м²
полиэтиленовой плёнки. Заданы размеры теплиц: высота h=2м, длина ℓ=5м, наклон крыши- 45°.
Найдите такую ширину χ теплицу, чтобы оптимально использовать плёнку.
Ответ: Х=5 м.
Задачи экологического содержания.
Каждого человека волнует состояние окружающей среды, поскольку от нее зависят судьбы
человечества. Разумеется, каждый из нас не в состоянии отвратить угрозу человеческой
цивилизации, но мы не можем не видеть надвигающейся беды и не думать об этом. Ведь
экологическая катастрофа - это не умозрительная картина некоего отдаленного будущего, а
последствия того, что есть в настоящий момент и в гуще чего мы живем.
Отреагировать на окружающее учителя могут самым доступным для них способом.
Учителя математики могут предложить своим ученикам задачи, в основу которых положены
данные из литературы о природе. Решение этих задач заставит учащихся проникнуться
проблемами экологии и не допускать в будущем ошибок, связанных с непродуманным натиском
на природу.
Большинство предлагаемых ниже задач относятся к курсу пятых-шестых классов. Решения
их элементарны, но формулируются они так, как возникают на практике, т.е. с недостающими
или с излишними данными. Эти недостатки или излишества могут поставить в тупик ученика,
который сталкивается только с задачами из учебника и с подозрением относится к тому, что
недосказано или «пересказано». Однако в реальности задачи возникают часто или с излишествами, или с недомолвками. Нужно уметь добыть недостающие
сведения или из опыта, или из периодической печати, или сделать правдоподобные
предположения. Не менее трудно отбросить излишества, т.е. решить, что именно лишнее.
Правильный вывод об этом требует «почти решения», т.е. мы часто устанавливаем, что было
лишним, когда уже нашли ответ. Ну что же, окунемся же и в проблемы экологии, и в трудности
поиска простой математической модели. Математические темы, на которых основаны решения,
здесь также не указаны, поскольку в реальности никто не подскажет нам, из какой темы надо
«взять» теорию.
Задача 1. В Москве с 1982 г. работало два завода, на которых перерабатывалось 200 тыс. м3
мусора в год. Сколько мусора утилизировано ими?
Решение. Не хватает сведений о том, какой период времени нас интересует. Естественно предположить, что статистические данные запаздывают лет на 5—10, поэтому мы можем судить о
состоянии промышленности, скорей всего, до 2000 г. За 18 лет (2000-1982) было переработано
200000 • 18 = 3600000 (м3 мусора).
Указанное в задаче число заводов оказалось излишним.
Задача 2. В палаточном лагере на площади в 1 га за 3 месяца отдыхают 10 тыс. туристов. За
сутки один невоспитанный турист может: 1) сжечь 1 м3 древесины; 2) оставить на дереве
автограф площадью 1дм2; 3) сломать до 10 молодых деревьев. Какой вред могут принести лесу
10 тыс. невоспитанных туристов?
Р е ш е н и е. Из текста ясно, что автор задачи считает всех туристов невоспитанными, а все
месяцы одинаковыми по числу дней — 30. За 90 дней 10 тыс. человек могли бы сжечь 900000 м3
леса, «украсить» своими подписями 900 000 дм2 = 9000 м2 коры деревьев, сломать 9000000
молодых деревьев.
И все эти бесчинства будут проделаны только на одном гектаре леса. Впрочем, для решения
данные о площади леса оказались ненужными. Они несут только эмоциональную нагрузку. А
почему говорится только о трех месяцах, почему не о 12 месяцах года? Потому, что
туристический сезон в наших холодных краях длится только 3 месяца.
Задача 3. Из тысячи частей воды, поглощенной деревом, лишь около двух частей усваиваются
им в процессе питания. Береза поглощает в день 75 л воды, липа — 200 л. Сколько воды в день
идет на питание березы, липы? Какие экологические выводы можно сделать по этим данным?
Решение. Если соотношение поглощенной воды к полезной указано в тысячных долях, то лучше
всего литры перевести в граммы, поскольку 1 л = = 1 дм3, что отождествляется с 1 кг воды, т.е.
с 1000 г воды. Итак, 75 л воды - это 75 000 г, а 200 л воды — это 200000 г. Из них березе
понадобится
75 000 : 1000 • 2 = 150 (г),
200 000 : 1000-2 = 400 (г).
Отсюда следует, что для полива дерева совсем не нужно много воды, но она должна поступать
регулярно. Существуют страны, где в засушливом климате выращены целые леса, но к каждому
дереву там подведен маленький кран, из которого неторопливо капает вода.
Задача 4. Аральское море в год недополучает воды: из Амударьи более 60 млрд км3 и из Сырдарьи — более 40 млрд км3. Эта вода направляется из этих рек на орошение земель. В 1986 г.
ученые подсчитали, что сохранись такие темпы расходования воды к 2000 г., от этого
крупнейшего водоема осталась бы только десятая часть. Каков объем воды был в Аральском
море в 1986 г.?
Решение. Из контекста ясно, что Аральское море все же получает какое-то количество воды, но
его недостаточно, чтобы компенсировать в нем ту воду, что уходит на испарение, на другие
технические нужды людей, помимо орошения.
За год Аральское море не получает 40 + 60 = = 100 (млрд км3) воды, за 14 лет — 1400 (млрд км3),
что составляет 0,9 частей объема воды. Значит, объем воды в Аральском море в 1986 г. был равен
1400 : 0,9 ~ 1555 (млрд км3).
Задача 5. На Земле становится обычным рукотворный «лунный пейзаж». В округе Белмонт
(США), площадь которого 137 тыс. га, занято карьерами и отвалами 80 тыс. га. Сколько
пшеницы можно было бы собрать с этой площади при урожайности 30 ц с гектара?
Решение. Выполнив умножение 30 ■ 80000, получим 2400000 ц пшеницы, которую можно было
бы получить на месте «лунного пейзажа».
Но вот данные о площади всего округа Белмонт явно излишни. Они носят эмоциональный характер, показывая, что горно-рудная промышленность округа заняла более половины его площади.
Задача 6. Одна тонна металлолома позволяет сэкономить 2 т руды и 1,3 т угля. В 1987 г. ученики
нашей школы собрали 8 т металлолома. Сколько руды и угля сэкономили ученики нашей
школы?
Решение. Выполнив умножения 2-8 и 1,3 • 8, получим, что сэкономлено 16 т руды и 10,4 т угля.
Задача 7. В знаменитой роще под С.-Петербургом лиственница дает ежегодный прирост
древесины 11 куб. м на каждом гектаре. В соседнем лесном массиве прирост составляет 4,35 куб.
м. В каждой роще запас древесины равен 200 куб. м на 1 га. Деревья какого массива
производительней? Во сколько раз? Какие технические преимущества имеет лиственница перед
другими деревьями?
Решение. Более производительным назовем то дерево, у которого отношение прироста
древесины к общему его запасу больше. Будем считать, что в знаменитой роще одни
лиственницы, а в другом лесном массиве лиственниц нет. Тогда у лиственницы отношение
объема прироста древесины к общему запасу древесины равно 11 : 200 = 0,055, а у других
деревьев это отношение 4,35 : 200 = 0,0217. Выходит, что лиственница производительней других
деревьев в 2,5 раза (0,055 : 0,0217 - 2,5).
Лиственница не только растет быстрей других деревьев, но и имеет древесину, устойчивую против гниения. К тому же эта древесина очень прочная. Так, предел прочности вдоль волокон при
сжатии у лиственницы такой же, как у дуба, около 520 г/см2. Но дуб растет значительно
медленней.
Задача 8. Сегодня в распоряжении человечества находится 11 млрд га пахотной земли, которая
может прокормить 47 млрд человек. Сколько человек кормит 1 га пахотной земли?
Решение. Выполним деление 47 : 11= 4,27. Получается, что на 1 га приходится немногим более 4
человек.
Но вопрос задачи не точен. Не сказано, к какому периоду времени приходятся наши расчеты.
Однако, если учесть, что в большинстве стран мира снимают только один урожай в год, придется
заключить, что 1 га кормит четырех человек 1 год.
Задача 9. По мнению ученых, увеличение жилой площади до 9 кв. м на человека вдвое снижает
количество сердечно-сосудистых и нервных заболеваний. В России примерно 150 млн человек. В
каждой семье приблизительно 3,6 человек. Жилищные условия каждой третьей семьи ниже
нормы. В каждой такой семье есть по 1 больному человеку. Насколько снизилось бы количество
сердечно-сосудистых и нервных заболеваний в этих семьях, если бы их жилая площадь
увеличилась до 9 м2 на человека?
Решение. В России приблизительно 41,6 млн семей (150000000:3,6 = 41600000). В условиях ниже
нормы живут 13,8 млн семей и, значит, столько же больных людей. При улучшении жилищных
условий число больных уменьшилось бы вдвое, т.е. на 6,9 млн человек.
Данные о 9 м2 на человека для решения задачи совершенно излишни. Но они позволяют судить о
том, какие именно условия надо создать каждой отдельной семье.
Задача 10. Образование плодородного гумусового горизонта мощностью 20 см происходит в
течение двухтысячелетий. При ускоренной эрозии (под влиянием деятельности человека)
разрушение это-го слоя, .может произойти за Шлет. Во сколько раз скорость разрушения
гумусового слоя больше скорости его образования?
Решение.В год образуется 20 : 2000 = 0,01 (см) гумусового слоя, а разрушается 20 : 10 = 2 (см).
Скорость разрушения превышает скорость накопления в 200 раз (2 : 0,01 = 200).
Задача 11. В 1966 г. оборотное водоснабжение нашей страны (когда в промышленность
направляется уже ранее использованная и очищенная вода) составляло 65 тыс. м\ а в 1970 г. оно
было доведено до 98,2 тыс. м3. На сколько процентов увеличилось оборотное водоснабжение в
нашей стране?
Решение. Увеличение объема оборотного водоснабжения достигло 33,2 м3, что составляет 51,1%
от уровня 1966 г.
Задача 12. С 1600 г. на Земле вымерло 94 вида птиц. Из них гибель 86% птиц связана с деятельностью человека. Сколько примерно видов птиц погибло по вине человека?
Решение. 94: 100 • 86 = 80,8 » 80 видов птиц.
Округление в меньшую сторону связано с тем, что количество видов птиц выражается целым
числом, причем число видов нельзя увеличить на 0,2.
Задача 13. США ежегодно выбрасывают в атмосферу более 200 млн т вредных веществ. Из них
более 40% происходит по вине транспорта, главным образом автомобилей. Сколько тонн
вредных веществ выбрасывается в атмосферу транспортными средствами США?
Решение. 200 : 100 • 40 = 80 (млн т).
США более других стран загрязняют атмосферу Земли, а вот траты на очистку атмосферы
стремятся разделить поровну между всеми развитыми государствами.
Задача 14. В реку Чусовую и ее притоки поступают промышленные и бытовые сточные воды из
пяти населенных пунктов. В 1993 г. из этих пунктов было сброшено свыше 90 млн куб. м
сточных вод. Из них загрязненных — 47 млн куб. м. Какой процент сточных вод составляли
загрязненные?
Решение. 47 : 90 • 100% = 52%.
Число населенных пунктов, загрязняющих реку, в данной задаче совершенно излишне. Такие
сведения употребляются обычно в газетах и являются попыткой призвать к ответственности
администрацию поселков.
Задача 15. В порах трещин горных пород движутся подземные воды, содержащие почти весь
набор химических элементов таблицы Менделеева. В каждом литре такой воды почти 50 г
железа и более 100 г серы. Ресурсы таких вод на Земле оцениваются в 23,4 км3. Сколько железа в
этой воде?
Решение. Представим сначала данные в литрах; 23,4 км3 = 23,4 • 1012 дм3 = 23,4 • 1012 л воды.
Теперь посчитаем массу железа в этой воде: 50 * 23,4 • 1012 (г) = 117 • 1013 (г) = 1,17 • 1015 (т).
Указание на количество серы для решения поставленного вопроса не имеет значения. Упоминание о таблице Менделеева тоже излишне. Но когда задача рождается, трудно бывает отделить
нужное от ненужного, к тому же упоминание о богатствах горной воды несет большой эмоциональный заряд.
Задача 16. Растительность с помощью фотосинтеза «запасает» 1017 из 1020 килокалорий энергии,
получаемой Землей ежегодно. Какую часть солнечной энергии «запасают» растения?
Решение. 1017 : 1020 = 0,001.
Кажется, что немного. Но уточним, что этот запас сделан только в 1 год. А растительность на
Земле существует уже миллионы лет. И столько же лет растения копят свои запасы. Вот чем и
объясняется энергетическая ценность биологического топлива — дров, угля, нефти, газа.
Задача 17. Город Екатеринбург с населением свыше 1 млн человек занимает площадь около 20
тыс. га. За 1 год такая территория при хорошем озеленении производит в среднем 25 тыс. т
кислорода. Однако для обеспечения здоровья горожан требуется не менее 10 млн т кислорода. Во
сколько раз нужно увеличить площадь зеленых насаждений, чтобы получить для города
необходимый объем кислорода?
Решение. 10 000 000 : 25 000 = 400 (раз).
Указания на площадь города, на число его жителей совершенно бесполезны для решения задачи.
Большое число данных запутывает решающего, ему трудно сразу понять, что именно надо
отбросить, а, следовательно, эта задача — хорошая тренировка в создании полезных
математических моделей.
Задача 18. В окрестностях Тюмени, Омска и Томска уже к 30-м гг. XX в. строевой лес был вырублен в радиусе 30—40 км. Какова площадь вырубленных лесов в окрестности каждого из этих
городов?
Решение. Поскольку данные приблизительные, естественно выбрать их среднее арифметическое,
т.е. считать, что радиус вырубки в каждом случае равен 35 км. По формуле площади находим:
3,14 • 352 = 3846,5 (км2).
Заметим попутно, что в условиях Сибири деревья растут очень медленно, так что спешить там с
вырубками — значит оставлять без свежего воздуха большие массы людей.
Задача 19. «В 79 г. н. э. произошло сильное извержение вулкана Везувий. В результате ближайшие города Помпея и Геркуланум были погребены под пеплом. Только в XVIII в. был раскопан
Геркуланум под 20-метровой толщей наносов. Опустошения вокруг Везувия произошли в
радиусе до 18 км на площади свыше 310 км2». Так писала о древней трагедии одна из газет.
Определите ошибку в расчетах площади.
Решение. Вычислим площадь опустошений как площадь Sкруга радиусом 18 км:
S= 3,14- 182 = 1017,36 км2. Значит, в заметке ошиблись на
1017,36 - 310 = 707,36 (км2).
Как видим, ошибка весьма существенна. Или радиус разрушений указали неверно, или площадь
посчитали неправильно.
Подчеркнем, что эти города в древности были довольно известны, но нашли их очень поздно.
Трудно предположить, что погибшие города никто не искал. Напрашивается предположение, что
еще в древности или ошиблись с ориентирами, или площадь поисков неправильно определяли.