Министерство образования и науки Российской Федерации МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ Утвержден Учебно-методической комиссией МИИГАиК от «____»__________20___ г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ Введение в математический анализ Москва 2014 Авторы – разработчики УМК: Проф. Королева Т.М. Проф. Маркарян Е.Г. Проф. Нейман Ю.М. 2 СОДЕРЖАНИЕ Примерная программа дисциплины ...……………………….…..…… Методическое руководство по изучению дисциплины ……….…….. Модули дисциплины ………………………………….……………….. 1. Модуль 1. «Алгебра»………………………………... …..……….. 1.1. Аннотация модуля (установочный элемент) ..…………………... 1.2. Методические рекомендации по самостоятельному изучению модуля …………………………………………………………….. 1.3. Тестовые задания для контроля знаний по модулю ……………. 2. Модуль 2. «Геометрия»……………………………….................... 2.1. Аннотация модуля (установочный элемент) ..…………………... 2.2. Методические рекомендации по самостоятельному изучению модуля …………………………………………………………….. 3. Тестовые задания для контроля знаний по дисциплине...………. 3 МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «Введение в математический анализ» 1. Общие рекомендации по порядку изучения дисциплины Рекомендуется следующая последовательность изучения модулей: Модуль 1 . Алгебра Модуль 2. Геомерия Виды учебных занятий по каждому модулю и учебному элементу представлены в таблице 1. Таблица 1 Учебный элемент Наименование модулей и учебных элементов Модуль I. Алгебра УЭ-1 Действительные числа и алгебраические преобразования УЭ-2 Алгебраические уравнения, неравенства и системы УЭ-3 Функции и графики УЭ-4 Тригонометрические вычисления, преобразования и уравнения УЭ-5 Логарифмические и показательные вычисления, уравнения и неравенства Модуль 2. Геометрия УЭ-1 Планиметрия УЭ-2 Стереометрия Формы обучения и контроля*) Л, С, СР ПТ ЛС, СР ИТ по дисциплине Примечание: Л – лекция, С – семинар, К – консультация, СР – самостоятельная работа, ИТ –итоговое тестирование (на оценку), ПТпромежуточное тестирование (на оценку) и т.п.). 2. Особенности организации учебного процесса Порядок изучения каждого модуля предполагает аудиторные занятия, самостоятельную работу с теоретическим материалом и консультации преподавателя. Итоговый контроль знаний проводится посредством промежуточного тестирования по модулю 1, а затем посредством итогового тестирования по дисциплине в целом. Студент считается аттестованным по каждому модулю дисциплины, если: 4 он получил положительные оценки по ПТ (более 50% правильно решенных заданий) и по ИТ (более 50% правильно решенных заданий). 1. 2. 3. 4. Список литературы Алгебра и начала анализа. Под ред. А.Н. Колмогорова. Издательство «Просвещение». Геометрия. А.В. Погорелов. Издательство «Просвещение». Математика. Учебно-справочные материалы. Ю.М. Нейман, Т.М. Королева, Е.Г. Маркарян. Издательство «Просвещение». 2011г. Математика. В помощь участникам ЦТ. Ю.М. Нейман, Т.М. Королева, Е.Г. Маркарян. Москва. 2006г. 5 МОДУЛИ ДИСЦИПЛИНЫ «Введение в математический анализ» Модуль 1. «Алгебра» 1. Аннотация модуля. Учебный модуль «Алгебра» является частью дисциплины «Введение в математический анализ» и входит в содержание обучения по направлению подготовки 120100 Геодезия и дистанционное зондирование, 230400 Информационные системы и технологии квалификации (бакалавр). 1.1. Значимость и актуальность модуля в профессиональной подготовке выпускника Значимость и актуальность модуля обусловлена необходимостью знаний программы по математике школьного курса для использования этих знаний при изучении высшей математики. 1.2. Трудоемкость модуля Общая трудоемкость модуля составляет 42 академических часа и равна 3 зачетным единицам. Трудоемкость модуля по учебным элементам приведена в таблице 1. Таблица 1 преобразования УЭ-2 Алгебраические уравнения, неравенства и системы УЭ-3 Функции и графики УЭ-4 Тригонометрические вычисления, преобразования и уравнения 4 2 4 4 2 4 4 2 4 8 4 8 ПТ (промежуточное тестирование) ИТ –итоговое тестирование С (семинары) УЭ-1 Действительные числа и алгебраические Л (лекции) Наименование учебных элементов СР (самостоятельная работа) Трудоемкость (в ак. часах/ в з.е.) 1 6 УЭ-5 Логарифмические и показательные 8 вычисления, уравнения и неравенства ВСЕГО 4 8 71 ак. час 2,5 з.е. 1.3. Критерии оценивания освоения содержания модуля Критерии оценивания освоения содержания модуля, определяющие уровень успеваемости студента, приведены в таблице 2. Таблица 2 профиль подготовки критерий оценивания неудовлетворит удовлетворител хорошо ельно ьно отлично Модуль 1. Алгебра УЭ (1-5) 120100.62 Геодезия и дистанционное зондирование 230400. 62 Информацион ные системы и технологии Менее 50% решенных заданий в ПТ и ИТ 50%-70% правильно решенных заданий в ПТ и ИТ Менее 50% 50%-70% решенных правильно заданий в ПТ и решенных ИТ заданий в ПТ и ИТ 71%-90% правильно решенных заданий в ПТ и ИТ 71%-90% правильно решенных заданий в ПТ и ИТ 91%-100% правильно решенных заданий в ПТ и ИТ 91%-100% правильно решенных заданий в ПТ и ИТ 1.4. Характер межпредметных связей Характер межпредметных связей приведен в таблице 3. Таблица 3 Название модуля Модуль 1. Алгебра Межпредметные связи Перечень дисциплин Перечень дисциплин (или их (модулей), которые разделов), для освоения необходимо изучить до которых необходимо сначала освоения изучить содержание данного содержания данного модуля модуля (или изучать параллельно) Изучение модуля базируется Математический анализ на курсе школьной математики. 2. Методические рекомендации для студентов по самостоятельному изучению модуля Для того чтобы самостоятельно изучить Модуль «Алгебра» необходимо ознакомиться с его подробным содержанием приведенным ниже. 7 Порядок освоения содержания учебных элементов модуля УЭ-1. «Действительные числа и алгебраические преобразования» 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. Натуральные числа, признаки делимости, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Рациональные и иррациональные числа. Свойства арифметического корня и степеней с рациональным показателем. Рациональные и иррациональные алгебраические выражения. Формулы сокращенного умножения. Многочлены и действия с ними. Схема деления многочленов. Теорема Безу. Квадратный трехчлен и его свойства. Разложение многочлена на множители. Правильная и неправильная алгебраическая дробь. Преобразования иррациональных алгебраических выражений УЭ-2. Алгебраические уравнения, неравенства и системы Квадратные уравнения и приложение теоремы Виетта. Основные приемы решения рациональных уравнений. Решение рациональных неравенств методом интервалов. Решение линейных систем и систем рациональных уравнений. Решение уравнений и неравенств содержащих переменную под знаком модуля. Основные приемы решения иррациональных уравнений и неравенств. УЭ-3 Функции и графики Функция, ее способы задания и общие свойства: четность, монотонность, периодичность. Область определения и множества значений функций. Обратная функция. Ее отыскание и график. Степенная функция. Ее свойства и график. Показательная и логарифмическая функции. Свойства и графики. Тригонометрические функции. Свойства и графики. Обратные тригонометрические функции. Свойства и графики. 8 3.7. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. Сложная функция и ее область определения. Основные приемы построения графика сложной функции. УЭ-4 Тригонометрические вычисления, преобразования и уравнения Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы сложения, формулы двойного и половинного аргументов, формулы преобразования сумм в произведение и произведений в сумму тригонометрических функций. Преобразования выражений содержащих обратные тригонометрические функции. Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств. Основные приемы решений тригонометрических уравнений. УЭ-5 Логарифмические и показательные вычисления, уравнения и неравенства 5.1. 5.2. 5.3. Основные свойства логарифмов и применение этих свойств в вычислительных задачах. Основные методы решений логарифмических и показательных уравнений. Основные методы решений логарифмических и показательных неравенств. Методические рекомендации и разбор задач к УЭ-1 «Действительные числа и алгебраические преобразования» Аннотация. В этом учебном элементе рассматривается множество действительных чисел, а также алгебраические выражения и действия с ними. В качестве ознакомления с УЭ- 1 приводится решение типовых задач. Пример 1. Найдите частное от деления наименьшего общего кратного чисел 72 и 128 на их наибольший общий делитель. Решение. Напомним, что для отыскания наименьшего общего кратного (НОК) и наибольшего общего делителя (НОД) необходимо выполнить следующие операции: 1) Разложить каждое из данных чисел на простые множители: 72 = 23 ⋅32 и 128 =27 . 9 2) Найти произведение простых множителей, входящих в разложение хотя бы одного из чисел. Это число и будет НОК. Заметим, что, если какойто множитель входит в эти разложения в разных степенях, то в НОК он входит в наибольшей из степеней. Таким образом, HOK (72,128) =27 ∙ 32 . 3) Найти произведение простых множителей, входящих в каждое изданных чисел. Это число и будет НОД. Заметим, что если множитель входит в эти разложения в разных степенях, то в НОД он входит в наименьшей из степеней. 27 ∙32 3 Таким образом, НОД (72, 128) = 2 . НОК: НОД = 23 =24 ∙ 32 =144 О т в е т: 144. Пример 2. Представьте в виде обыкновенных дробей следующие числа: 1) 0,(47); 2) 2,3(54); 3) –1,41(3); 4) 0,2(345). Решение. 1) Обозначим 0,(47) = х. Умножим равенство на 100. Тогда 47, (47) = 100𝑥. Вычтем из последнего равенства предыдущее и получим 99𝑥 = 47 и 𝑥 = 47 99 . 2) Обозначим 2,3(54) = 𝑥 и умножим равенство на 10 (подведём период (54) к запятой). Тогда 23, (54) = 10𝑥. Умножим последнее равенство на 100 (выведем один период за знак запятой). Тогда 2 354, (54) = 1 000𝑥. Проведём вычитание: 2 331 351 39 2 354, (54)– 23, (54) = 990𝑥 или 2 331 = 990𝑥 и 𝑥 = =2 =2 . 990 990 110 3) – 1, 41(3) = 𝑥 ⇒ – 141, (3) = 100𝑥 ⇒ – 1 413 , (3) = 1 0 0 0𝑥 ⇒ ⇒– 1413, (3) + 141, (3) = 900𝑥 ⇒ 1 272 372 31 ⇒𝑥=− = −1 = −1 . 900 900 75 4) 0 , 2(345) = 𝑥 ⇒ 2, (345) = 10𝑥 ⇒ 2345, (345) = 10000𝑥 ⇒ ⇒ 2345, (345) – 2, (345) = 9990х; 2 343 781 𝑥= = . 9 990 3 330 Ответ: 1) 47 99 ; 2) 2 39 110 3 ; 3) −1 3 Пример 3. Вычислите √81 ∙ √ 16 6 31 75 ; 4) 781 3 330 . . Решение. Воспользуемся свойством корней: 16 3 81 ∙ 16 3 34 ∙ 24 3 3 3 √ =√ =√ = √3 ∙ 2 = 6 . √81 ∙ 6 6 3∙2 3 3 10 Ответ: 6. Пример 4. Найдите числа α, β и γ, если многочлен 𝑥3+ 6𝑥 2 + 𝛼𝑥 + 𝛽 является кубом суммы x + γ. В ответе укажите наибольшее из них. Решение. Составим равенство 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 𝛼𝑥 + 𝛽 = (𝑥 + 𝛾)3 или 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 𝛼𝑥 + 𝛽 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 𝛾 + 3𝑥𝛾 2 + 𝛾 3 . Из условия тождественного равенства двух многочленов имеем 3𝛾 = 6, 3𝛾 2 = 𝛼, 𝛾 3 = 𝛽. Отсюда 𝛾 = 2, 𝛼 = 12, 𝛽 = 8. Ответ: 12. Пример 5. Найдите остаток от деления многочлена − 2𝑥 3 + 10𝑥 2 – 11 на двучлен 𝑥 – 2. Решение. Эту задачу можно решить двумя способами: делением многочлена на двучлен или используя теорему Безу. Остаток 𝑅 равен значению многочлена при 𝑥 = 2. 𝑅 = – 2 ⋅ 8 + 10 ⋅ 4 – 11 = 13. Ответ: 13. Задачи для самостоятельного решения. 1. Найти НОД чисел: 1) 350 и 315; 2) 122 и 305. 2. Найти НОК чисел: 1) 14 и 21; 2) 21 и 70. 3. Решить пропорции: 1) 2) 𝑥 3,28 = 4,15 ; 2,15 12,8 𝑥 0,505 = 0,722. 4. Преобразовать периодическую десятичную дробь в обыкновенную: 1) 0,(45); 2) 3,1(73). Вопросы для самоконтроля. 1. Сформулируйте признаки делимости на 2, 4, 8, 3, 9, 5. 2. Как найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. 11 3. Как разделить число в заданном отношении. 4. Дайте определение алгебраического выражения, одночлена и многочлена. Как проводятся арифметические операции над многочленами? 5. Напишите формулы сокращенного умножения для многочленов. 6. Сформулируйте теорему Безу для многочленов. 7. Сформулируйте свойства квадратного трехчлена и теорему Виета. 8. Как решается задача о разложении многочлена на множители? Методические рекомендации и разбор задач к УЭ-2 Алгебраические уравнения, неравенства и системы Аннотация. В этом учебном элементе рассматриваются понятия уравнений и неравенств и схемы их решений. Рекомендуем подробно ознакомиться с содержанием задач приведенных ниже. Пример 1. Найдите сумму кубов корней уравнения 2 2𝑥 – 13𝑥 – 17 = 0. Решение. Если задачу решать с помощью нахождения корней квадратного уравнения, то это приведёт к громоздким преобразованиям над радикалами. Воспользуемся теоремой Виета, сделав необходимые преобразования формулы суммы кубов: 𝑥13 + 𝑥23 = (𝑥1 + 𝑥2 )(𝑥12 + 𝑥22 − 𝑥1 𝑥2 ) = (𝑥1 + 𝑥2 )((𝑥1 + 𝑥2 )2 − 3𝑥1 𝑥2 ) = = (𝑥1 + 𝑥2 )3 − 3(𝑥1 + 𝑥2 )𝑥1 𝑥2 . Если 𝑥1 и 𝑥2 — корни заданного уравнения, то по теореме Виета 𝑥1 +𝑥2 = 13 2 и 𝑥1 𝑥2 = − 17 полученную выше формулу: 2 . Подставим значения (𝑥1 + 𝑥2 ) и 𝑥1 𝑥2 в 13 3 13 17 3 (𝑥1 + 𝑥2 − 3(𝑥1 + 𝑥2 )𝑥1 𝑥2 = ( ) − 3 ∙ ∙ (− ) = 440 . 2 2 2 8 3 Ответ: 440 . )3 8 Пример 2. Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения 𝑥(𝑥 − 2) 15 = . 2 1 2 1 − + 𝑥−9 𝑥−7 𝑥−9 7−𝑥 Решение. Знаменатели левой и правой частей уравнения одинаковы 1 1 (так как =− ) . Следовательно, числители также равны: 7−𝑥 𝑥−7 𝑥(𝑥 – 2) = 15 ⇒ 𝑥2 – 2𝑥 – 15 = 0 ⇒ 𝑥1 = 5, 𝑥2 = – 3. Однако, исходное уравнение равносильно системе 12 𝑥 2 − 5𝑥 − 15 = 0 , 𝑥 ≠9, 𝑥 ≠7, 2 1 ≠ {𝑥 − 9 𝑥 − 7 . Проверяя полученные корни, убеждаемся, что последнее условие нарушается при 𝑥 = 5, и потому 5 — посторонний корень. Ответ: –3. Пример 3. Решите уравнение 𝑥+1 2 𝑥+1 𝑥−1 2 + 3( ( ) −4 ) =0. 𝑥−1 𝑥 𝑥 В ответе укажите произведение корней. Решение. Это уравнение решается по алгебраического уравнения. Разделим уравнение на ( типу однородного 𝑥−1 2 𝑥 ) ≠ 0 и запишем (𝑥+1)𝑥 𝑥(𝑥+1) 2 ) − 4 +3=0. 2 (𝑥−1) (𝑥−1)2 𝑥(𝑥+1) . Тогда для 𝑡 получим уравнение (𝑥−1)2 полученное уравнение в виде ( Введём переменную 𝑡 = 𝑡 2 – 4𝑡 + 3 = 0 ⇒ 𝑡1 = 1, 𝑡2 = 3. Возвращаясь к 𝑥, имеем два равнения: 𝑥(𝑥 + 1) 1 1) = 1 ⇒ 3𝑥 − 1 = 0 и 𝑥 = ; (𝑥 − 1)2 3 𝑥(𝑥 + 1) 1 2) = 3 ⇒ 2𝑥 2 − 7𝑥 + 3 = 0 и 𝑥 = 3, 𝑥 = . 2 (𝑥 − 1) 2 Так как область допустимых значений 𝑥: 𝑥 ≠ 1 и 𝑥 ≠ 0, то все 1 1 полученные решения 𝑥 = , 𝑥 = , 𝑥 = 3 являются корнями исходного 3 2 уравнения. Ответ: 0,5. Пример 4. Решите неравенство Решение. (𝑥+1)(𝑥−4) + (𝑥+7)2 (𝑥+7)2 ≥0. ≥ 0 ⟺ {(𝑥 + 1)(𝑥 − 4) ≥ 0, 𝑥 ≠ −7 . _ + -7 (𝑥+1)(𝑥−4) -1 + 4 X 13 Рис. 3.2.2: Графическая интерпретация решения примера 3.2.1. Ответ: (– ∞; – 7) ∪ (– 7; – 1] ∪ [4; ∞). Пример 5. Найдите сумму корней уравнения |𝑥 2 – 4𝑥 – 1| = 4. Решение. 2 2 |𝑥 2 − 4𝑥 − 1| = 4 ⟺ [𝑥 2 − 4𝑥 − 1 = 4, ⟹ [𝑥 2 − 4𝑥 − 5 = 0, 𝑥 − 4𝑥 + 3 = 0 𝑥 − 4𝑥 − 1 = −4 ⟹ ⟹ ⟹ 𝑥1 = −1, 𝑥2 = 5, ⟹ 𝑥3 = 1, 𝑥4 = 3. Исходное уравнение имеет 4 корня, сумма которых равна 8. Ответ: 8. 3𝑥+5 Пример 6. Найдите наибольшее целое решение неравенства | |> 4𝑥−1 1. Решение. Данное неравенство равносильно совокупности неравенств 3𝑥 + 5 6−𝑥 1) > 1, 1) > 0, 4𝑥 − 1 4𝑥 − 1 [ ⟺ [ 7𝑥 + 4 3𝑥 + 5 2) < 0. 2) < −1 4𝑥 − 1 4𝑥 − 1 Решением совокупности неравенств является объединение множеств 4 1 1 7 4 4 (− ; ) ∪ ( ; 6). Наибольшее целое число этого множества 5. Ответ: 5. Пример 7. Решите уравнение √5𝑥 + 2 = 3 − √2𝑥 − 1. Решение. Заданное уравнение эквивалентно системе условий: 2 5𝑥 + 2 ≥ 0, 𝑥≥− , 5 2𝑥 − 1 ≥ 0, ⟺ 𝑥 ≥ 0,5 , ⟺ 3 − √2𝑥 − 1 ≥ 0, 𝑥 ≤5, 2 5𝑥 + 2 = − − 1) (3 √2𝑥 { {3𝑥 − 6 = −6√2𝑥 − 1 , 0,5 ≤ 𝑥 ≤ 5 , 0,5 ≤ 𝑥 ≤ 5 , ⟺{ ⟺ {2 − 𝑥 ≥ 0 , ⟺ 2 − 𝑥 = 2√2𝑥 − 1 2 (2 − 𝑥) = 4(2𝑥 − 1) 0,5 ≤ 𝑥 ≤ 5 , 0,5 ≤ 𝑥 ≤ 2 , ⟺ {𝑥 ≤ 2 , ⟺ { 𝑥1 = 6 + 2√7; 𝑥2 = 6 − 2√7 . 𝑥 2 − 12𝑥 + 8 = 0 Последняя система имеет единственное решение: 𝑥 = 6 − 2 √7 . Заметим, что, если бы мы делали проверку значений 𝑥1,2 = 6 ± 2 √7 подстановкой в исходное уравнение, нам бы пришлось делать громоздкие 14 вычисления с радикалами. Ответ: 6 − 2 √7 . Пример 8. Решите неравенство √𝑥 + 1 + √𝑥 + 13 ≤ 6. Решение. ОДЗ заданного неравенства есть множество [– 1; ∞). Возведём обе части неравенства в квадрат и перейдём к равносильной ему системе неравенств: 𝑥 + 1 + 𝑥 + 13 + 2√𝑥 2 + 14𝑥 + 13 ≤ 36, 2 ⟺ {√𝑥 + 14𝑥 + 13 ≤ 11 − 𝑥, ⟺ { 𝑥 ≥ −1, 𝑥 ≥ −1 𝑥 ≥ −13 36𝑥 ≤ 108, 𝑥 2 + 14𝑥 + 13 ≤ (11 − 𝑥)2 , 𝑥 ≤ 3, ⟺ { 𝑥 ≤ 11, ⟺ { 𝑥 ≤ 11, ⟺ { 𝑥 ≥ −1. 𝑥 ≥ −1 𝑥 ≥ −1 Ответ: [– 1; 3]. Задачи для самостоятельного решения. 1. Решите уравнение: 3𝑥 2 + 5𝑥 + 2 5𝑥 2 + 2𝑥 + 3 1) = ; 3 5 2. Решите уравнение: 1) 3𝑥 2 + 𝑥√17 = 0; 4𝑥 2 + 7𝑥 + 3 7𝑥 2 + 3𝑥 + 4 2) = . 4 7 2) 11𝑥 2 + 𝑥√19 = 0. 3. Решите уравнение: 1) |𝑥 2 − 10| = 6; 2) |𝑥 2 − 17| = 8. 4. Решите уравнение: 1) √3𝑥 − 4 = 5; 2) √5𝑥 − 4 = 3. 5. Решите неравенство: 1) (2𝑥 − 3)(5𝑥 + 2) ≥ (2𝑥 − 3)(5𝑥 − 2); 2) (3𝑥 − 1)(4𝑥 + 3) ≤ (3𝑥 − 1)(4𝑥 − 3). 6. Решите неравенство: 1) 3√2𝑥 − 9 > 0 ; 2) 7√3𝑥 − 8 > 0 . Вопросы для самоконтроля. 1. Определите условие существования решения квадратного уравнения. 15 2. Как решаются биквадратные уравнения? 3. В чем состоит суть метода интервалов для решения рациональных неравенств. 4. Каким образом иррациональное уравнение приводится к рациональному виду. 5. Сформулируйте основные приемы решения уравнений и неравенств содержащих переменное под знаком модуля. Методические рекомендации и разбор задач к УЭ-3 Функции и графики Аннотация. В этом учебном элементе рассматривается понятие функции, свойства и графики основных элементарных функций, а также понятие сложной функции. В качестве ознакомления с содержанием УЭ - 3 рассматривается разбор следующих задач. Пример 1. Найдите сумму целых значений 𝑥, принадлежащих области определения функции 1 𝑦= − 2√18 − 𝑥 2 − 3𝑥 . 2 √𝑥 − 7𝑥 + 12 Решение. Так как арифметический корень имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то областью определения данной функции является решение системы: (𝑥 − 3)(𝑥 + 6) ≤ 0 , 18 − 𝑥 2 − 3𝑥 ≥ 0 , ⟺ { (см. рис. 5.1.2). { 2 (𝑥 − 3)(𝑥 − 4) > 0 𝑥 − 7𝑥 + 12 > 0 -6 3 4 X Рис. 5.1.2. Решение системы. Из этой схемы видно, что решением системы является множество 𝑋 = [– 6; 3) , сумма целых значений которого равна – 18. Ответ: – 18. Пример 2. Исследуйте на чётность и нечётность функции: 𝑥 1) 𝑦 = 𝑥 4 – 2𝑥 2 ; 2) 𝑦 = 𝑥|𝑥|; 3) 𝑦 = √𝑥 ; 4) 𝑦 = 2 ; 5) 𝑦 = 𝑥 2 + 2|𝑥|– 3𝑥. 𝑥 −4 Решение. 1) Функция 𝑦 = 𝑥 4 – 2𝑥 2 определена на всей числовой оси (– ∞; +∞) — симметричное множество и 16 4 2 𝑓(– 𝑥) = (– 𝑥) – 2(– 𝑥) = 𝑥 4 – 2𝑥 2 = 𝑓(𝑥). Следовательно, это чётная функция. 2) Функция 𝑦 = 𝑥|𝑥| определена на всей числовой оси (– ∞; +∞) — симметричное множество и 𝑓(– 𝑥) = (– 𝑥)|– 𝑥| = – 𝑥|𝑥| = – 𝑓(𝑥). Следовательно, это нечётная функция. 3) Областью определения функции 𝑦 = 𝑥 является луч [0; +∞) — несимметричное множество. Следовательно, эта функция не является ни чётной, ни нечётной. 𝑥 4) Область определения функции 𝑦 = 2 𝑥 −4 имеет вид (– ∞; – 2) ∪ (– 2; 2) ∪ (2; +∞). Это симметричное множество. (−𝑥) 𝑥 Кроме того, 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)2 = − 2 = −𝑓(𝑥). Следовательно, это нечётная −4 𝑥 −4 функция. 5) Область определения функции 𝑦 = 𝑥 2 + 2|𝑥|– 3𝑥— числовая ось (– ∞; +∞). Далее, 𝑦(– 𝑥) = (– 𝑥)2 + 2|– 𝑥| – 3(– 𝑥) = 𝑥 2 + 2|𝑥| + 3𝑥. Так как 𝑦(– 𝑥) ≠ 𝑦(𝑥) и 𝑦(– 𝑥) ≠ – 𝑦(𝑥), то функция не является ни чётной, ни нечётной. Пример 3. Исследуйте на монотонность функции: 1) 𝑦 = 𝑥 3 ; 2) 𝑦 = 𝑥 2 + |𝑥|. Решение. 1) Функция 𝑦 = 𝑥 3 нечётная, поэтому проведём исследование на промежутке (0; +∞). Пусть 0 < 𝑥1 < 𝑥2 . Тогда, согласно свойствам числовых неравенств, 3 𝑥1 < 𝑥23 , т. е. функция возрастает на множестве (0; +∞) и в силу нечётности следует её возрастание на всей числовой прямой. 2) Функция 𝑦 = 𝑥 2 + |𝑥| — чётная. Проведём исследование на монотонность на промежутке (0; +∞). Пусть 0 < 𝑥1 < 𝑥2 . Тогда 𝑥12 < 𝑥22 и, согласно свойствам числовых неравенств, 𝑥12 + 𝑥1 < 𝑥22 + 𝑥2 (сложение неравенств одинакового смысла), т.е. функция возрастает на множестве (0; +∞). Из чётности функции следует, что на множестве (– ∞; 0) она убывает. Пример 4. Для данных функций найдите обратные, если они существуют: 1−𝑥 1) 𝑦 = 3𝑥– 2; 2) 𝑦 = 3– 𝑥 3 ; 3) 𝑦 = . 1+𝑥 Решение. 1) Функция 𝑦 = 3𝑥– 2 возрастает на всей числовой прямой, значит, она имеет обратную. Из уравнения 𝑦 = 3𝑥– 2 находим 𝑥 = Поменяв местами 𝑦 и 𝑥, получим 𝑦 = 𝑥+2 3 𝑦+2 3 . — обратная функция. 2) Функция 𝑦 = 3 – 𝑥 3 убывает на всей числовой оси. Найдём 𝑥 из уравнения 𝑥 3 = 3 – 𝑦, а именно 𝑥 = 3√3 − 𝑦. Тогда обратная функция имеет 3 вид 𝑦 = √3 − 𝑥 . 17 1−𝑥 определена на множестве (– ∞; – 1) ∪ (– 1; +∞), 1+𝑥 1−𝑥 а область её значений (– ∞; – 1) ∪ (– 1; +∞). Функция 𝑦 = 1+𝑥 1−𝑥 убывает на (– ∞; – 1) и на (– 1; +∞) . Из уравнения 𝑦 = найдём 𝑥, а 1+𝑥 1−𝑦 именно 𝑥 = . Поменяв местами 𝑥 и 𝑦, получим обратную функцию того 1+𝑦 1−𝑥 жевида, т. е. 𝑦 = . 1+𝑥 3) Функция 𝑦 = Пример 5. Найдите наименьший положительный период функции 𝜋𝑥 𝜋𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 + 𝑐𝑡𝑔 . 3 4 Решение. Найдём периоды каждого из слагаемых: 𝜋𝑥 2𝜋 cos имеет период 𝑇1 = = 6, 3 𝜋 ⁄3 𝜋𝑥 𝜋 𝑐𝑡𝑔 имеет период𝑇2 = = 4. 4 𝜋 ⁄4 Периодом суммы является наименьшее общее кратное 𝑇1 = 6 и 𝑇2 = 4, а именно𝑇 = 12. Ответ: 12. Пример 6. Найдите область определения функции 3𝑥 − 1 𝑦 = √1 − 2𝑥 + 3 arcsin . 2 Решение. Первое слагаемое определено при 1 – 2𝑥 ≥ 0, а второе — при 3𝑥 − 1 −1 ≤ ≤ 1. 2 Следовательно, для нахождения области определения данной функции надо решить систему неравенств 1 1 − 2𝑥 ≥ 0 𝑥 ≤ 3𝑥 − 1 2 1 1 ≤1 ⇔ ⇔ − ≤𝑥≤ . 𝑥≤1 2 3 2 3𝑥 − 1 1 ≥ −1 𝑥≥− { 2 { 3 Ответ:[− 1 1 ; ]. 3 2 Пример 7. Постройте график функции 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑥 𝑥 . Решение. Проведём исследование функции: 1) область определения функции 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑥 𝑥 — все действительные числа х; 1 2) область значений: так как – 1 ≤ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ≤ 1, то ≤ 2cos 𝑥 ≤ 2 ; 2 3)функция периодическая с периодом 2𝜋, так как 𝑐𝑜𝑠 𝑥 — функция периодическая с периодом 2𝜋; 4) функция чётная, так как 𝑐𝑜𝑠 (– 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥; 18 5) так как 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 возрастает от –1 до 1 на отрезке [– 𝜋; 0], то функция 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 возрастает на этом промежутке от 1 2 до 2; на отрезке [0; 𝜋] 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 убывает, и функция 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 убывает от 2 до 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 2 . Перечисленные свойства позволяют построить график функции 𝑦 = на отрезке[– 𝜋; 𝜋] и продолжить его периодически(см. рис. 5.5.1). y 2 1 0 -π 0 π x -1 -4 -2 0 2 4 Рис. 5.5.1. График функции 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 (сплошная линия). На рис. 5.5.1 график 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥, 𝑥 ∈ [– 𝜋; 𝜋] изображён пунктиром, а график 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 — сплошной линией. Задачи для самостоятельного решения. 1. Найдите области определения функций: |𝑥 − 1| 2𝑥 + 1 1. 𝑦 = 2 ; 2. 𝑦 = ; 3. 𝑦 = lg(𝑥 2 + 3𝑥 − 4) ; 3𝑥 − 4𝑥 + 1 𝑥−1 2. Определите множество значений 𝑥 , для которых тождественны заданные функции. 1. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2√𝑥 + 3 и 𝜑(𝑥) = √𝑥 2 + 𝑥 − 6; 2. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 и 𝜑(𝑥) = 23 log2 𝑥 . 3. Найдите значения функций в указанных точках. 1. 𝑓(𝑥) = |2 − 𝑥| , 𝑥+2 𝑥 =0, 2. 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 3| − |2𝑥 − 1|, 𝑥 = −1 , 𝑥 =3; 𝑥 = −1 , 𝑥 = −4 , 𝑥 = 5. 4. Исследуйте функции на четность. 19 1. 𝑦 = 3 + 𝑥 2 + 4𝑥 6 ; 2. 𝑦 = tg𝑥 3 + 4𝑥 ; 3. 𝑦 = sin 3𝑥 cos 2𝑥 ; 4. 𝑦 = 𝑥 2 arctg 𝑥 . 5.Даны функции 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 и 𝜑(𝑥) = 2𝑥 . Найдите 𝑓[𝜑(𝑥)], 𝜑[𝜑(𝑥)], 𝑓[𝑓(𝑥)], 𝜑[𝑓(𝑥)]. 6. Постройте графики функций: 1. 𝑦 = (𝑥 + 1)|𝑥 + 3| ; 1. 2. 3. 4. 5. 2. 𝑦 = |𝑥 2 − 𝑥 − 2|. Вопросы для самоконтроля. Дайте определение функции и сформулируйте свойства четности и нечетности функции. Приведите примеры. Дайте определение периода и периодической функции. Приведите примеры. Сформулируйте определение обратной функции. Как строится график обратной функции? Перечислите основные элементарные функции и постройте их графики. Дайте определение сложной функции. Приведите пример. Методические рекомендации и разбор задач к УЭ-4 Тригонометрические вычисления, преобразования и уравнения Аннотация. В этом учебном элементе рассматриваются формулы, связывающие тригонометрические функции одного и разных аргументов, а также формулы связывающие обратные тригонометрические функции. Кроме того, предполагается изучение приемов решения тригонометрических уравнений и простейших неравенств. В качестве ознакомления с содержанием УЭ - 4 предлагаем ознакомиться с решением типовых задач. Пример 1. Укажите количество целых значений, которые может принимать функция 𝑓(𝑥) = 6 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 8 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 4 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥. Решение. Представим 𝑓(𝑥) в виде 𝑓(𝑥) = 6 (𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) + 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = 7 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥. Преобразуем выражение 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 (см. пример 6.1.1): 1 2 cos 2𝑥 + 2 sin 2𝑥 = √5 ( cos 2𝑥 + sin 2𝑥) = √5 sin(2𝑥 + 𝛼) , √5 √5 20 1 . 2 Тогда 𝑓 (𝑥) = 7 + √ 5 𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 𝛼) и 7 − √5 ≤ 𝑓 (𝑥) ≤ 7 + √5 для ∀ 𝑥. На отрезке [7 − √5; 7 + √5] находятся 5 целых значений. Ответ: 5. где tg 𝛼 = Пример 2. Найдите значение выражения 3(cos 20° −sin 20° ) √2∙sin 25° . Решение. По формулам приведения cos 20° = cos (90°– 70°) = sin 70°. Подставляя это значение в выражение, преобразуем разность синусов в произведение: 3(cos 20° − sin 20° ) √2 ∙ sin 25° = 3(sin 70° − sin 20° ) √2 sin 25° = 3 ∙ 2 sin 25° cos 45° √2 sin 25° = 3 ∙ 2 ∙ √2 √2 ∙ 2 = =3. Ответ: 3. Пример 3. Найдите значение выражения 3 − sin 𝛼 ∙ cos 𝛼 , если tg 𝛼 = −2 . 6 cos 2 𝛼 − sin2 𝛼 Решение. В данном выражении число 3 запишем в виде 3 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 3 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 и затем разделим числитель и знаменатель на 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼: 3(sin2 𝛼 + cos 2 𝛼) − sin 𝛼 ∙ cos 𝛼 3 tg 2 𝛼 + 3 − tg 𝛼 = . 6 cos 2 𝛼 − sin2 𝛼 6 − tg 2 𝛼 Подставив в полученное выражение значение tg 𝛼 = – 2, получим: 2 3(−2)2 + 3 + 2 17 = = 8,5 . 6 − (−2)2 2 Ответ: 8,5. 2 Пример 4. Вычислите cos (2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ) . 5 Решение. 2 2 Обозначим 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 = 𝛼 ⟹ 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = . 5 5 2 8 17 Тогда cos (2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ) = cos 2𝛼 = 1 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = 1 − = = 0,68 . 5 25 25 Ответ: 0,68 . Пример 5. Найдите число корней уравнения 𝑐𝑜𝑠𝑥 + √3 𝑠𝑖𝑛𝑥 = √2 на интервале (0; 3𝜋). Решение. Это уравнение решается методом введения вспомогательного аргумента. Разделив обе части уравнения на √𝑎2 + 𝑏 2 = √1 + 3 = 2, получим: 21 1 𝜋 𝜋 𝜋 √2 √2 √3 cos 𝑥 + sin 𝑥 = ⟹ sin cos 𝑥 + cos sin 𝑥 = ⟹ sin ( + 𝑥) = 2 2 2 6 6 2 6 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 √2 = ⟹ + 𝑥 = (−1)𝑘 + 𝜋𝑘 ⟹ 𝑥 = − + (−1)𝑘 + 𝜋𝑘 , 𝑘 ∈ 𝑍 . 2 6 4 6 4 Подсчитаем число корней, принадлежащих интервалу (0; 3𝜋): 𝜋 при 𝑘 = 0 𝑥 = ∈ (0; 3𝜋), 12 𝜋 𝜋 7𝜋 при 𝑘 = 1 𝑥 = − − + 𝜋 = ∈ (0; 3𝜋), 6 4 12 𝜋 𝜋 25𝜋 при 𝑘 = 2 𝑥 = − − + 2𝜋 = ∈ (0; 3𝜋), 6 4 12 𝜋 𝜋 31𝜋 при 𝑘 = 3 𝑥 = − − + 3𝜋 = ∈ (0; 3𝜋). 6 4 12 При 𝑘 < 0 и 𝑘 > 3 корни не принадлежат интервалу (0; 3𝜋). Следовательно, число корней равно 4. Ответ: 4. Пример 6. Решите уравнение 2 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 – 7 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 2 = 0. В ответе укажите в градусах наименьший положительный корень уравнения. Решение. Обозначим 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 𝑦, |𝑦| ≤ 1, и запишем исходное уравнение через 𝑦: 1 2(1 − 𝑦 2 ) − 7𝑦 + 2 = 0 ⟺ 2𝑦 2 + 7𝑦 − 4 = 0 ⟹ 𝑦1 = , 𝑦2 = −4 − 2 посторонний корень. Следовательно, 1 𝜋 cos 2𝑥 = ⟹ 𝑥 = ± + 𝜋𝑘 , 𝑘 ∈ 𝑍 . 2 6 Наименьший положительный корень равен 30°. Ответ: 30. Пример 7. Решите уравнение 𝑐𝑜𝑠 𝑥 – 4 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 – 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 0. Решение. Разделим на 𝑠𝑖𝑛 𝑥 обе части уравнения (𝑠𝑖𝑛 𝑥 ≠ 0). Уравнение принимает вид 𝑐𝑡𝑔 𝑥 – 2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 – 1 = 0. Делаем замену 𝑡 = 𝑡𝑔 𝑥, 1 2𝑡 тогда 𝑐𝑡𝑔 𝑥 = , sin 2𝑥 = . 𝑡 1 + 𝑡2 Уравнение записывается через переменную 𝑡 следующим образом: 𝑡 3 + 3𝑡 2 + 𝑡 − 1 = 0 ⇒ (𝑡 + 1)(𝑡 2 + 2𝑡 − 1) = 0 ⇒ 𝑡1 = −1, 𝑡2,3 = −1 ± √2. Возвращаясь к переменной 𝑡, получим: 𝑡𝑔 𝑥 = −1 , 𝜋 ⟹ 𝑥 = − + 𝜋𝑘 , 𝑘 ∈ 𝑍 , 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−1 ± √2) + 𝜋𝑚, 𝑚 ∈ 𝑍. [ 4 𝑡𝑔 𝑥 = −1 ± √2 𝜋 Ответ: 𝑥 = − + 𝜋𝑘 , 𝑘 ∈ 𝑍 , 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−1 ± √2) + 𝜋𝑚, 𝑚 ∈ 𝑍. 4 1 Пример 8. Решите неравенство sin 𝑥 ≤ . 2 Решение. Построим график функции 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 и проведём прямую 22 𝑦= 1 . 2 Y 1 0,5 𝑦= -π −2𝜋 1 2 0 π/6 -7π/6 y = sin x X 0, 5 -1 1 Рис. 6.4.1. Графики функций 𝑦 = sin 𝑥 и 𝑦 = . 2 Решением указанного неравенства будут те значения 𝑥, которым соответствуют точки графика 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥, лежащие ниже прямой 1 7𝜋 2 6 𝑦 = . Одним из таких промежутков будет [− 𝜋 ; ]. 6 Воспользовавшись периодичностью функции 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥, получим, что 7𝜋 𝜋 𝑥 ∈ [− + 2𝑘𝜋; + 2𝑘𝜋] , 𝑘 ∈ 𝑍 . 6 6 7𝜋 𝜋 Ответ: [− + 2𝑘𝜋; + 2𝑘𝜋] 6 6 Задачи для самостоятельного решения. 1. Найдите значения выражений: 1. sin 150° sin 240° − tg 360° cos 315° + 3tg 2 210°; 2. ctg 225° − cos 240° − sin2 120° + 0,75 ∙ tg 2 210°; 2.Найдите sin 𝛼 и 𝑡𝑔𝛼, если 1 3 cos 𝛼 = − , 𝜋<𝛼< 𝜋. 3 2 3. Вычислите: tg 𝛼 + ctg 𝛼 √6 , если 𝑡𝑔 𝛼 = tg 𝛼 − ctg 𝛼 2 4. Преобразуйте в произведение: 1. cos(𝛼 + 𝛽) − cos(𝛼 − 𝛽) ; 2. 1 + cos 3𝛼 ; 5. Вычислите: 23 3 √3 1. sin (arcsin + arcsin ) ; 5 2 3 3. cos (2 arccos ) ; 5 6. Решите уравнение: 1. sin(9𝑥 − 45°) sin 2𝑥 = 0 ; 2. cos(𝑥 + 120°) sin 4𝑥 = 0 ; 𝑥 3. tg(2𝑥 − 60°) cos = 0 ; 2 √3 4. cos 2 𝑥 − sin2 𝑥 = ; 2 Вопросы для самоконтроля. 1. Дайте определения sin 𝛼 , cos 𝛼 , 𝑡𝑔 𝛼, 𝑐𝑡𝑔 𝛼. 2. Запишите основные тригонометрические тождества. 3. Дайте определение arcsin 𝑎 , arccos 𝑎 и тригонометрические функции этих углов. 4. Запишите формулы корней простейших уравнений. вычислите основные тригонометрических Методические рекомендации и разбор задач к УЭ-5 Логарифмические и показательные вычисления, уравнения и неравенства Аннотация. В этом учебном элементе рассматриваются основные свойства логарифмов, а также уравнения и неравенства связывающие логарифмические и показательные функции. В качестве ознакомления с содержанием УЭ - 5 предлагаем ознакомиться с решением типовых задач. Пример 1. Вычислите значение выражения 4 16𝑙𝑜𝑔813+𝑙𝑜𝑔2 √3 Решение. 4 16𝑙𝑜𝑔813+𝑙𝑜𝑔2 √3 = 16log3 Ответ: 6. 4 3 1 ∙ (24 )1⁄4∙log2 3 = (24 )4 ∙ 2log2 3 = 2 ∙ 3 = 6. Пример 2. Вычислите значение выражения 5𝑙𝑜𝑔1⁄54∙ 𝑙𝑜𝑔1/43 . Решение. 24 Так как 5 𝑙𝑜𝑔1/54 =5 −𝑙𝑜𝑔5 4 1 1 log1⁄4 3 = , то ( ) = 3. 4 4 Ответ: 3. Пример 3. Вычислите значение выражения 𝑙𝑜𝑔1/16 (𝑙𝑜𝑔2 3 ∙ 𝑙𝑜𝑔3 4). Решение. 𝑙𝑜𝑔2 3 ⋅ 𝑙𝑜𝑔3 4 = 𝑙𝑜𝑔2 3 ⋅ 2𝑙𝑜𝑔3 2 = 2. Тогда 1 log 1⁄16 2 = log 2−4 2 = − = −0,25 . 4 Ответ: – 0,25. 2 5 Пример 4. Решите уравнение 5𝒙 −9 𝒙/5 = √25. В ответе укажите сумму корней. 5 Решение. Так как √25 = 52/5 , то на основании вышесказанного 9 2 1 𝑥 2 − 𝑥 = и 5𝑥 2 − 9𝑥 − 2 = 0, откуда 𝑥1 = − , 𝑥2 = 2 и 𝑥1 + 𝑥2 = 1,8. 5 5 5 Ответ: 1,8. Пример 5. Решите уравнение 3(𝑥−7) 1 1 0,2 = (0,25 ∙ 81)𝑥−2 . (4 ) 2 Решение. Приведём обе части уравнения к одному основанию 3(𝑥−7) 0,2 1 9 2(𝑥−2) =( ) . 2 Переходим к равенству показателей степеней: 3(𝑥 − 7) 1 = 2 (𝑥 − ) ⇒ 15(𝑥 − 7) = 2𝑥 − 1 ⇒ 13𝑥 = 104; 𝑥 = 8. 0,2 2 Ответ: 8. 9 ( ) 2 Пример 6. Решите уравнение 5𝒙−3 − 5𝒙−4 − 16 ∙ 5𝒙−5 = 2𝒙−3 . Решение. Вынесем в левой части уравнения 5𝑥–3 : 1 16 4 5 𝑥−3 25 𝑥−3 𝑥−3 𝑥−3 𝑥−3 5 ⟹5 ∙ =2 ⟹( ) = ⟹ (1 − − ) = 2 5 25 25 2 4 ⟹ 𝑥 − 3 = 2 ⟹ 𝑥 = 5. Ответ: 5. Пример 7. Найдите произведение корней уравнения [𝑙𝑜𝑔0,5 (𝑥 + 5) + 𝑙𝑜𝑔0,5 (17– 𝑥)] (𝑥 2 + 2𝑥– 15) = 0. Решение. Область определения уравнения: 𝑥+5>0, ⟺ −5 < 𝑥 < 17 . { 17 − 𝑥 > 0 На области определения исходное уравнение равносильно совокупности уравнений: 𝑥 2 + 2𝑥 − 15 = 0 , [ log 0,5 (𝑥 + 5) + log 0,5 (17 − 𝑥) = 0 . 25 Решая первое уравнение, получим 𝑥1 = 3 и 𝑥2 = – 5. Очевидно, что 𝑥2 не принадлежит интервалу (– 5; 17) и, следовательно, не является корнем исходного уравнения. Из второго уравнения следует (𝑥 + 5)(17 − 𝑥) = 1 ⟺ 𝑥 2 − 12𝑥 − 84 = 0 ⟹ 𝑥1,2 = 6 ± 2√30 . Оба корня принадлежат интервалу (– 5; 17). Действительно, так как 2√30 = √120 < √121 = 11, то 6 + 2√30 < 17 и 6 − 2√30 > −5. Произведение этих корней согласно теореме Виета равно – 84, а произведение всех корней исходного уравнения равно – 84 ⋅ 3 = – 252. Ответ: – 252. Пример 8. Укажите количество целых решений неравенства 2𝑥−1 4 𝑥+1 ≥ 64 . Решение. Представим неравенство в виде 2𝑥−1 4 𝑥+1 ≥ 43 . Так как 4 > 1 , то 2𝑥 − 1 𝑥+4 ≥3 ⟺ ≤ 0 ⟺ −4 ≤ 𝑥 ≤ −1 . 𝑥+1 𝑥+1 Следовательно, число целых решений равно 3. Ответ: 3. Пример 9. Найдите количество целых решений неравенства 1 . 3𝑥 + 10 Решение. Переходя к основанию 2 под знаком логарифма, получим неравенство вида 𝑥 2 − 𝑥 − 2 ≤ 3𝑥 + 10 , log 2 (𝑥 2 − 𝑥 − 2) ≤ log 2 (3𝑥 + 10) ⇔ { 2 ⇔ 𝑥 −𝑥−2>0 log 2 (𝑥 2 − 𝑥 − 2) ≤ log 1⁄2 2<𝑥 ≤6, 𝑥 2 − 4𝑥 − 12 ≤ 0 , ⇔{ 2 ⇔ { −2 ≤ 𝑥 < −1 . 𝑥 −𝑥−2> Целыми решениями являются числа – 2; 3; 4; 5 и 6. Ответ: 5. Задачи для самостоятельного решения. 1. Вычислите: 1. log 6 0,9 + log 6 40 ; 2. Найдите значения выражений: 1. 21+log2 5 ; 2. 5log5 10−1 ; 2. log 5 2,5 − log 5 0,1 3. log 5 √10 − log 5 √2 ; 3. Решите показательные уравнения: 26 1. 2𝑥 2 −5𝑥+1 = 1; 0,25 −𝑥 3. 0,125 ∙ 4 =( ) . √2 4. Решите логарифмические уравнения: 2𝑥−3 1. lg(𝑥 + 2) − lg 5 = lg(𝑥 − 6) ; 2. lg(𝑥 − 1) + lg(𝑥 + 1) = 3 lg 2 + lg(𝑥 − 2). 5. Решите неравенства: 1. 𝑥−3 3𝑥−2 3 < 1 ; 2 𝑥−5 2. lg √ >0. 7𝑥 − 𝑥 2 − 10 Вопросы для самоконтроля. 1. Сформулируйте свойства логарифмов. 2. Сформулируйте основные приемы решений показательных и логарифмических уравнений. 3. Сформулируйте правила решения простейших показательных и логарифмических неравенств. 3. Тестовые задания для контроля знаний по модулю 1 «Алгебра». Вариант 1 Задание 1. 𝑥 1 + можно привести к виду 𝑎2 + 𝑎𝑥 𝑎 + 𝑥 1 𝑥 2) 𝑎 ; 3) ; 4) ; 5) 𝑥 . 𝑎 𝑎 Выражение 1) 1; Задание 2. Вычислите cos 2𝜑 , если sin 𝜑 = 1 4 5 7 5 7 11 ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . 16 16 8 8 16 Задание 3. Корень уравнения 7𝑥−7 = 49 ∙ √7 принадлежит промежутку 1) (9,0; 9,4); 2) (9,4; 9,8); 3) (9,8; 10,2); 4) (10,2; 10,6); 5) (10,6; 11,0). Задание 4. (𝑥 − 6)(𝑥 2 − 9𝑥 + 18) Найдите наибольшее целое решение неравенства ≤0 𝑥 3 − 36𝑥 1) 6 ; 2) 2 ; 3) 3 ; 4) 4 ; 5) 5 . Задание 5. 𝜋 √3 Вычислить cos (2 arcsin (− ) − ) 2 2 1 1 √3 √3 1) − ; 2) ; 3) ; 4) − ; 5) − 1 . 2 2 2 2 1) 27 Задание 6. 𝜋 1 Найдите (в градусах) сумму корней уравнения sin (𝑥 − ) = − , 3 2 принадлежащих промежутку (0°; 360°). Задание 7 Корень уравнения log 1⁄2 (𝑥 + 5) = −2 принадлежит промежутку 1) (−3,5; −2,5); 2)(−2,5; −1,5); 3)(−1,5; −0,5); 4) (−0,5; 0,5); 5) (0,5; 1,5) . Вариант 2 Задание 1. 𝑎 𝑏 1 1 Выражение ( − ) : ( + ) можно привести к виду 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 1) 2𝑎; 2) 2𝑏 ; 3) 𝑎 + 𝑏; 4) 𝑎 − 𝑏; 5) 𝑎𝑏 . Задание 2. 1 Вычислите cos 2𝜑 , если cos 𝜑 = − 3 7 2 5 5 4 1) − ; 2) − ; 3) − ; 4) ; 5) − . 9 3 9 9 9 Задание 3. 16 𝑥+2 3 5 Корень уравнения ( ) = ( ) принадлежит промежутку 9 4 1) (−5,8; −5,4); 2) (−5,4; −5,0); 3) (−5,0; −4,6); 4) (−4,6; −4,2); 5) (−4,2; −3,8). Задание 4. (4 − 𝑥)(𝑥 2 − 5𝑥 + 4) Найдите наибольшее целое решение неравенства ≥0 𝑥 4 − 256 1) 1 ; 2) 2 ; 3) 3 ; 4) 4 ; 5) 5 . Задание 5. 1 𝜋 Вычислить tg (6 arccos − ) 2 4 1)1 ; 2) − 1 ; 3) √3 ; 4) − √3 ; 5) 0 . Задание 6. 𝜋 √3 Найдите (в градусах) сумму корней уравнения cos (𝑥 + ) = , 4 2 принадлежащих промежутку (−90°; 90°). Задание 7 1 Корень уравнения log 9 (4 − 𝑥) = − принадлежит промежутку 2 1) (3,5; 4,0); 2)(3,0; 3,5); 3)(2,5; 3,0); 4) (2,0; 2,5); 5) (1,5; 2,0) . Вариант 3 Задание 1. 𝑎2 + 𝑏2 𝑏 − 2𝑏) : ( − 1) можно привести к виду 𝑎 𝑎 2) 𝑎 + 𝑏 ; 3) 𝑎 − 𝑏; 4) 𝑏 − 𝑎; 5) 2𝑎 . Выражение ( 1) 2𝑏; Задание 2. 1 Вычислите cos 2𝜑 , если sin 𝜑 = − 5 19 21 23 23 1) ; 2) ; 3) ; 4) − ; 25 25 25 25 5) − 19 . 25 28 Задание 3. 3 4−3𝑥 49 3 Корень уравнения ( ) = ( ) принадлежит промежутку 7 9 1) (2,5; 3,0); 2) (3,0; 3,5); 3) (3,5; 4,0); 4) (4,0; 4,5); 5) (4,5; 5,0). Задание 4. (𝑥 + 4)(𝑥 2 + 3𝑥 − 4) Найдите наименьшее целое решение неравенства ≥0 𝑥 4 − 16𝑥 2 1) 1 ; 2) − 3 ; 3) − 4 ; 4) − 1 ; 5) 0 . Задание 5. Вычислить sin(3 arcctg (−1) + 𝜋) √2 √2 √3 1) ; 2) − 1 ; 3) − ; 4) ; 5) 0 . 2 2 2 Задание 6. 𝜋 √3 Найдите (в градусах) сумму корней уравнения sin (𝑥 + ) = − , 6 2 принадлежащих промежутку (−90°; 270°). Задание 7 1 Корень уравнения log 1⁄8 (𝑥 − 3) = принадлежит промежутку 3 1) (3; 4); 2)(4; 5); 3)(5; 6); 4) (6; 7); 5) (7; 8) . Вариант 4 Задание 1. 1 1 + можно привести к виду 𝑥 2 − 𝑥𝑦 𝑦 2 − 𝑥𝑦 1 𝑥 𝑦 𝑥 2) − ; 3) ; 4) ; 5) − . 𝑥𝑦 𝑦 𝑥 𝑦 Выражение 1 ; 𝑥𝑦 Задание 2. 1) 2 Вычислите cos 2𝜑 , если cos 𝜑 = 7 39 41 43 41 43 1) − ; 2) − ; 3) − ; 4) ; 5) . 49 49 49 49 49 Задание 3. 5 √3 2𝑥+1 Корень уравнения 9 = принадлежит промежутку 3 1) (0,1; 0,3); 2) (−0,2; 0); 3) (−0,4; −0,2); 4) (−0,6; −0,4); 5) (−0,8; −0,6). Задание 4. (𝑥 2 − 100)(𝑥 2 − 15𝑥 + 50) Найдите наибольшее целое решение неравенства ≤0 𝑥 3 − 1000 1) 10 ; 2) 9 ; 3) 7 ; 4) 6 ; 5) 5 . Задание 5. 𝜋 Вычислить cos (3 arcctg (−1) + ) 2 1 1 √2 √2 1) − ; 2) ; 3) − ; 4) ; 5) − 1 . 2 2 2 2 Задание 6. 𝜋 √3 Найдите (в градусах) сумму корней уравнения tg (𝑥 − ) = − , 3 3 принадлежащих промежутку (0°; 270°). 29 Задание 7 1 принадлежит промежутку 3 1) (1; 2); 2)(−5; −4); 3)(4; 5); 4) (5; 6); 5) (−2; −1) . Корень уравнения log 8 (6 − 𝑥) = − Вариант 5 Задание 1. 𝑎2 − 𝑏 2 𝑏 𝑎 : ( − ) можно привести к виду 𝑎 𝑎 𝑏 2) 𝑏 ; 3) 𝑎; 4) − 𝑎; 5) 𝑎 − 𝑏 . Выражение 1) − 𝑏; Задание 2. 2 Вычислите cos 2𝜑 , если sin 𝜑 = 3 2 2 1 1 1 1) ; 2) − ; 3) ; 4) − ; 5) . 9 9 9 9 3 Задание 3. 2 2𝑥+3 27 4 Корень уравнения ( ) = ( ) принадлежит промежутку 3 8 1) (−7,6; −7,4); 2) (−7,4; −7,2); 3) (−7,2; −7,0); 4) (−7,0; −6,8); 5) (−6,8; −6,6). Задание 4. (𝑥 + 8)(𝑥 2 + 7𝑥 − 8) Найдите наименьшее целое решение неравенства ≤0 𝑥 3 − 64𝑥 1) − 4 ; 2) − 5 ; 3) − 6 ; 4) − 7 ; 5) − 8 . Задание 5. 𝜋 √3 Вычислить tg (7 arcsin (− ) + ) 2 6 √3 √3 1) − 1 ; 2) √3 ; 3) − ; 4) ; 5) √3 . 3 3 Задание 6. 𝜋 Найдите (в градусах) сумму корней уравнения ctg (𝑥 + ) = −1 , 4 принадлежащих промежутку (0°; 360°). Задание 7 1 Корень уравнения log 27 (5 − 𝑥) = − принадлежит промежутку 3 1) (4,0; 4,5); 2)(4,5; 5,0); 3)(3,0; 3,5); 4) (2,0; 2,5); 5) (1,5; 2,0) . Время выполнения ПТ – 60 минут. Шкала оценивания результатов тестирования: оценка «5» («отлично») выставляется испытуемым за верные ответы, которые составляют 91-100 % от общего количества вопросов; оценка «4» («хорошо») соответствует работе, которая содержит от 71 % до 90 % правильных ответов; оценка «3» («удовлетворительно») соответственно от 50% до 70% правильных ответов; 30 результаты тестирования, содержащие менее 50% правильных ответов, оцениваются как «неудовлетворительно». Модуль 2 «Геометрия» 1. Аннотация модуля. Учебный модуль «Геометрия» является частью дисциплины «Введение в математический анализ» и входит в содержание обучения по направлению подготовки 120100 Геодезия и дистанционное зондирование, 230400 Информационные системы и технологии квалификации (бакалавр). 1.1. Значимость и актуальность модуля в профессиональной подготовке выпускника Значимость и актуальность модуля обусловлена необходимостью знаний программы по математике школьного курса для использования этих знаний при изучении высшей математики. 1.2. Трудоемкость модуля Общая трудоемкость модуля составляет 12 академических часов и равна 1 зачетной единице. Трудоемкость модуля по учебным элементам приведена в таблице 1. Таблица 1 С (семинары) УЭ-1 Планиметрия 4 2 4 УЭ-2 Стереометрия 4 2 4 ВСЕГО ПТ (промежуточное тестирование) ИТ –итоговое тестирование Л (лекции) Наименование учебных элементов СР (самостоятельная работа) Трудоемкость (в ак. часах/ в з.е.) 20 часов 1з.е. 1.3. Критерии оценивания освоения содержания модуля 31 Критерии оценивания освоения содержания модуля, определяющие уровень успеваемости студента, приведены в таблице 2. Таблица 2 профиль подготовки критерий оценивания неудовлетворит удовлетворител хорошо ельно ьно отлично Модуль 2. Геометрия УЭ (1-2) 120100.62 Геодезия и дистанционное зондирование 230400. 62 Информацион ные системы и технологии Менее 50% решенных заданий ИТ Менее 50% решенных заданий ИТ 50%-70% правильно решенных заданий ИТ 50%-70% правильно решенных заданий ИТ 71%-90% правильно решенных заданий ИТ 71%-90% правильно решенных заданий ИТ 91%-100% правильно решенных заданий ИТ 91%-100% правильно решенных заданий ИТ 1.4. Характер межпредметных связей Характер межпредметных связей приведен в таблице 3. Таблица 3 Название модуля Модуль 2. Геометрия Межпредметные связи Перечень дисциплин Перечень дисциплин (или их (модулей), которые разделов), для освоения необходимо изучить до которых необходимо сначала освоения изучить содержание данного содержания данного модуля модуля (или изучать параллельно) Изучение модуля базируется Линейная алгебра на курсе школьной Аналитическая геометрия математики. 2. Методические рекомендации для студентов по самостоятельному изучению модуля Для того чтобы самостоятельно изучить Модуль «Геометрия» необходимо ознакомиться с его подробным содержанием приведенным ниже. Порядок освоения содержания учебных элементов модуля УЭ-1. «Планиметрия» 1.1. 1.2. Треугольники и их замечательные точки. Теорема Пифагора и решение прямоугольного треугольника. 32 1.3. 1.4. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. Четырехугольники. Вычисление параллелограмма, ромба и трапеции. Окружности и круги. площадей прямоугольника, УЭ-2. Стереометрия Многогранники. Вычисление объемов призм, параллепипедов, пирамид. Вычисление площадей поверхностей многогранников. Вычисление объемов тел вращения. Вычисление площадей поверхностей тел вращения. Методические рекомендации и разбор задач к УЭ-1 «Планиметрия» Аннотация. В этом учебном элементе рассматриваются многоугольники, окружности и круги. В качестве ознакомления с УЭ- 1 приводится решение типовых задач. Пример 1. Две хорды окружности 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 (cм. рис. 1) пересекаются в точке М, АМ = МВ, 𝐶𝑀 = 16. Найдите длину отрезка AB, если Решение. 𝐷𝑀 𝑀𝐶 1 =4. C M B A D Рис. 1 Из соотношения 𝐷𝑀 𝑀𝐶 = 1 4 следует, что 𝑀𝐶 = 4𝐷𝑀. Подставляя в это равенство значение MC = 16, получаем, что DM = 4. Так как 𝐶𝑀 ⋅ 𝑀𝐷 = 𝐴𝑀 ⋅ 𝑀𝐵 (свойство пересекающихся в окружности хорд), то, подставляя в это равенство CM и MD и учитывая, что AM = MB, получим 64 = 𝐴𝑀2 ; 𝐴𝑀 = 8. Тогда AB = 16. Ответ: 16. 33 Пример 2. Найдите площадь правильного многоугольника, если его внешний угол равен 30°, а диаметр описанной около него окружности равен 0,8. Решение. Пусть AB и BC — смежные стороны вписанного n-угольника. Так как внешний угол многоугольника равен 30°, то внутренний угол ABC, как смежный ему, равен 150° (см. рис. 2). 30° B C 150° A O Рис. 2 Тогда сумма всех внутренних углов рассматриваемого n-угольника равна 150° ∙ 𝑛 . С другой стороны, по известной формуле эта сумма должна быть равной 180° ∙ 𝑛 − 360° . Из равенства 180° ∙ 𝑛 − 360° = 150° ∙ 𝑛 находим 𝑛 = 12. Очевидно, что угол BOC, опирающийся на сторону вписанного 12угольника, равен 30°, а площадь ∆𝐵𝑂𝐶 находим по формуле 1 1 𝑆∆𝐵𝑂𝐶 = 𝑟 2 sin 30° = ∙ 0,42 . Искомая площадь 12-угольника равна 1 2 4 2 12 ∙ ∙ 0,4 = 0,48 . 4 Ответ: 0,48. Пример3. Дан ромб ABCD с острым углом С. Его сторона равна 6√11 , а косинус угла С равен 5 6 . Высота ВТ пересекает диагональ АС в точке К. Найдите длину отрезка КТ. 34 C T α K D B A Рис. 3 Решение. Из прямоугольного треугольника ВСТ (см. рис. 3) находим СТ. 𝐵𝐶 = 𝐵𝐶 ∙ cos 𝛼 = 6√11∙5 6 = 5√11. Так как диагонали ромба делят углы пополам, то угол 𝐾𝐶𝑇 равен 𝛼 2 . Из треугольника 𝐾𝐶𝑇 можно найти 𝐾𝑇: 5 1− 𝛼 1 − cos 𝛼 6 = 5√11 ∙ √ 1 = 5 . 𝐾𝑇 = 𝐶𝑇 ∙ = 𝐶𝑇 ∙ √ = 5√11 ∙ √ 5 2 1 + cos 𝛼 11 1+ 6 Ответ: 5. Задачи для самостоятельного решения. 1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 24. Найдите длину окружности, описанной около этого треугольника. 2. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝐴𝐶 = 10, sin 𝐴 = 2√6 5 . Найдите 𝐴𝐶. 3. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝐶𝐵 = 12, tg 𝐴 = 3 4 . Найдите 𝐴𝐶. 4. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝐴𝐶 = 12, 𝐵𝐶 = 16. Найдите cos 𝐴. 5. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а основание равно 12. Найдите радиус вписанной окружности. 35 1. 2. 3. 4. 5. Вопросы для самоконтроля. Дайте определения медианы, высоты и биссектрисы и сформулируйте их свойства. Выпишите формулы для вычисления площади треугольника. Выпишите формулы для вычисления площадей параллелограмма, ромба и трапеции. Как найти центры вписанной и описанной окружностей в треугольнике. Как вычисляются вписанные и центральные углы в окружности. Методические рекомендации и разбор задач к УЭ-2 Стереометрия Аннотация. В этом учебном элементе рассматриваются многогранники и тела вращения, а также комбинации этих тел. Пример 4. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 3√2 , а угол между ним и плоскостью основания равен 45°. Найдите объём пирамиды. Решение. Основание пирамиды — квадрат, и вершина пирамиды 𝑆 проектируется в центр квадрата точку О (см. рис. 4). S B A C O D Рис. 4 По условию задачи ∠ 𝑆𝐴𝑂 = 45° и 𝛥 𝑆𝐴𝑂 — равнобедренный и прямоугольный. Следовательно, 𝑆𝑂 = 𝐴𝑂 = ℎ — высота пирамиды. Из 𝛥 𝑆𝐴𝑂: 𝐴𝑂2 + 𝑂𝑆 2 = 𝐴𝑆 2 ⇒ 2ℎ2 = 18 ⇒ ℎ = 3. Из 𝛥 𝐴𝐶𝐷: 𝐴𝐷2 + 𝐷𝐶 2 = 𝐴𝐶 2 ⇒ 2𝐴𝐷2 = 36 ⇒ 𝐴𝐷2 = 18. 36 1 1 Тогда объём пирамиды 𝑉 = ℎ𝑆осн. = ℎ ∙ 𝐴𝐷2 = 18. 3 3 Ответ: 18. Пример 5. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Объём пирамиды равен 40 см3 . Все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом. Найдите этот угол. Решение. Так как боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, то эти рёбра равны, а вершина 𝑆 пирамиды проектируется в точку 𝐾 — середину гипотенузы 𝐴𝐵 (cм. рис. 5). По условию 𝐴𝐵 = √𝐴𝐶 2 + 𝐶𝐵2 = √100 = 10 см и 𝐴𝐾 = 5 см. S K Рис. 5 Так как объём пирамиды 𝑉 = 1 3 ℎ𝑆осн. , где ℎ — высота пирамиды и ℎ = 𝑆𝐾, 1 3𝑉 2 𝑆осн. 𝑆𝑜𝑐н. — площадь основания и 𝑆осн. = 𝐴𝐶 ∙ 𝐶𝐵 = 24см2 , то ℎ = = 120 24 = = 5 см. Следовательно, 𝛥 𝐴𝑆𝐾 — равнобедренный и прямоугольный, а это значит, что 𝐴𝐾 = 𝐾𝑆 = 5 см и ∠𝑆𝐴𝐵 = 45°. Ответ: 45°. Пример 6. Боковое ребро правильной четырёхугольной призмы равно стороне основания. Расстояние между серединами двух непараллельных рёбер, принадлежащих разным основаниям, равно 3√6 . Найдите объём призмы. Решение. На рис. 6 изображена правильная четырёхугольная призма, т. е. в основании её лежит квадрат. Так как боковое ребро равно стороне основания, то заданная призма есть куб, ребро которого обозначим 𝑎. Отрезок 𝐸𝐾 соединяет середины рёбер 𝐷𝐶 и 𝐴1 𝐷1 . Через точку 𝐸 в плоскости 𝐴𝐴1 𝐷𝐷1 проводим прямую 𝐸𝐹 || 𝐴𝐴1 . Следовательно, 𝐸𝐹 перпендикулярна плоскости основания, и потому 𝑎 𝐸𝐹 ⊥ 𝐹𝐾. Из треугольника 𝐹𝐷𝐾 находим 𝐹𝐾 = √2. 2 37 D1 C1 E B1 F D K C A Рис. 6 Из треугольника 𝐸𝐹𝐾 следует 𝐸𝐾 2 = 𝐸𝐹 2 + 𝐹𝐾 2 ⇒ 𝑎 √2 2 2 𝑎2 + ( ) = (3√6) ⟹ 𝑎 = 6 . 2 Тогда объём куба равен 63 = 216. Ответ: 216. 1. 2. 3. 4. Вопросы для самоконтроля. Как вычисляются объемы параллепипедов, пирамид, усеченных пирамид. Как вычисляются площади поверхностей параллепипедов, пирамид, усеченных пирамид. Как определяются объемы тел вращения : цилиндра, шара, конуса и усеченного конуса. Как определяются площади поверхностей тел вращения : цилиндра, шара, конуса и усеченного конуса. 3. Тестовые задания для контроля знаний по дисциплине «Введение в математический анализ». Вариант 1 Задача 1 3𝑚2 − 2𝑚𝑛 − 𝑛2 𝑚 11 Сократив дробь , вычислите ее значение при = 6𝑚2 − 7𝑚𝑛 + 𝑛2 𝑛 3 1) 1 7 2) 3 7 3) 4 7 4) 7 11 5) 9 11 38 Задача 2 Абсцисса точки пересечения графиков функций 𝑦 = 3 и 𝑦 = 2𝑥 принадлежит 𝑥 промежутку 1) (0; 1) 2) (1; 2) 3) (2; 3) 4) (−1; 0) 5) (−2; −1) Задача 3 Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения √2𝑥 − 5 = 𝑥 − 5 принадлежит промежутку 1) (3,5; 4,0) 2) [5,0; 6,0] 3) (8,5; 9,5) 4) (7,5; 8,5) 5) (12,0; 12,5) Задача 4 В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐴 равен 84°, угол 𝐵 равен 76°. Найдите (в градусах) угол между биссектрисой угла 𝐴 и высотой, опущенной на сторону 𝐵𝐶 1) 26 2) 28 3) 30 4) 32 5) 36 Задача 5 В правильной треугольной пирамиде боковое ребро длиной 12 см наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите (в см) радиус вписанной в основание пирамиды окружности 1) 6√2 2) 5√2 3) 4√2 4) 3√2 5) 2√2 Задача 6 Результат вычисления выражения log 5⁄6 (log 1⁄32 1) 1 2) 2 3) − 1 4) − 2 1 ) равен 64 5) 3 Задача 7 Корень уравнения 52𝑥−1 = 6 ∙ 5𝑥−1 − 1 (если он единственный) или произведение корней принадлежит промежутку 1) (−3; 0) 2) (−2; 1) 3) (1; 2) 4) (2; 3) 5) (3; 5) Задача 8 Найдите сумму корней (или корень, если он единственный) уравнения [log 2 (𝑥 2 − 7𝑥 + 13)] ∙ log 𝑥−2 2 = 1 1) 5 2) 8 3) 10 4) 3 5) 6 Задача 9 3 ∙ 2𝑥 − 48 Если 𝑥0 − наибольшее целое решение неравенства 2 < 0, то значение 𝑥 − 6𝑥 + 9 выражения (𝑥0 + 1)(𝑥02 + 2) равно 1) 2 2) 6 3) 18 4) 44 5) 90 39 Задача 10 Найдите сумму целых решений неравенства условию 𝑥 ≤ 4 √𝑥 + 4 ∙ (2𝑥 + 5) ≥ 0, удовлетворяющих Вариант 2 Задача 1 Сократив дробь 1) 0,1 2) 0,2 2𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑏 2 𝑎 7 , вычислите ее значение при = 2 2 4𝑎 + 5𝑎𝑏 + 𝑏 𝑏 2 3) 0,3 4) 0,4 5) 0,5 Задача 2 Абсцисса точки пересечения графиков функций 𝑦 = 𝑥 2 − 3 и 𝑦 = log 1⁄3 𝑥 принадлежит промежутку 1) (0; 1) 2) (2; 3) 3) (1; 2) 4) (3; 4) 5) (4; 5) Задача 3 Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения √3 − 𝑥 = 2𝑥 − 1 принадлежит промежутку 1) [0,5; 1,0] 2) (2,0; 2,5] 3) (1,0; 1,5) 4) [1,5; 2,0] 5) (2,5; 3,0) Задача 4 Периметры подобных треугольников относятся как 2 ∶ 3, сумма их площадей равна 390 см2 . Найдите (в кв.см) площадь меньшего треугольника 1) 80 2) 90 3) 100 4) 120 5) 150 Задача 5 В правильной шестиугольной пирамиде с высотой 24 см боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите (в см) радиус окружности, вписанной в основание пирамиды 1) 32 2) 34 3) 36 4) 38 5) 20 Задача 6 Результат вычисления выражения log 7⁄2 (7 log16 128) равен 1) 2 2) − 2 3) 3 4) − 3 5) 1 Задача 7 Корень уравнения 52𝑥−1 + 22𝑥 = 52𝑥 − 22𝑥+2 (если он единственный) или произведение корней принадлежит промежутку 1) (−3; −2) 2) (−1; 0) 3) (0; 2) 4) (2; 3) 5) (3; 5) Задача 8 Найдите сумму корней (или корень, если он единственный) уравнения [log 3 (𝑥 2 − 5𝑥 + 7)] ∙ log 2𝑥−3 (7 − 𝑥) = 0 40 1) 8 2) 3 3) 6 4) 9 5) 11 Задача 9 Если 𝑥0 − наибольшее целое решение неравенства (2√𝑥−4 − 1) ∙ (7𝑥 − 343) ≥ 0, то значение выражения 𝑥02 (𝑥0 + 2) равно 1) 12 2) 16 3) 45 4) 52 5) 96 Задача 10 Найдите сумму целых решений неравенства √𝑥 + 5 ∙ (−2𝑥 − 5) ≤ 0, удовлетворяющих условию 𝑥 ≤ 5 Вариант 3 Задача 1 Сократив дробь 1) − 2 3 2) − 𝑚2 + 3𝑚𝑛 − 4𝑛2 𝑛 5 , вычислите ее значение при = 2 2 𝑚 − 9𝑚𝑛 + 8𝑛 𝑚 4 1 3 3) 1 3 4) 3 2 5) 5 2 Задача 2 Отличная от нуля абсцисса точки пересечения графиков функций 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1) и 𝑦 = √𝑥 принадлежит промежутку 1) (0; 1) 2) (2; 3) 3) (3; 4) 4) (1; 2) 5) (4; 5) Задача 3 Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения √3𝑥 + 1 = 𝑥 − 2 принадлежит промежутку 1) [7,0; 7,5] 2) (6,5; 7,0) 3) [6,0; 6,5] 4) (5; 6) 5) [0; 4] Задача 4 Периметр ромба равен 68 см, длина одной из диагоналей равна 30 см. Найдите (в см) длину другой диагонали ромба 1) 12 2) 16 3) 18 4) 20 5) 22 Задача 5 В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4 см, а апофема наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите (в см) радиус окружности, описанной около основания 1) 6√3 2) 2√6 3) 4√6 4) 6√6 5) 8√3 Задача 6 Результат вычисления выражения log 2⁄3 (− log 0,04 125) равен 1) 0 2) 1 3) 2 4) − 1 5) − 2 41 Задача 7 Корень уравнения 2𝑥+1 − 22−𝑥 = 7 (если он единственный) или произведение корней принадлежит промежутку 1) (−1; 1) 2) (3; 5) 3) (0; 2) 4) (1; 3) 5) (2; 4) Задача 8 Найдите сумму корней (или корень, если он единственный) уравнения [log 3 (3𝑥 2 + 2𝑥 − 4)] ∙ log 2𝑥−1 3 = 2 1) 1 2) 3 3) 4 4) 5 5) 6 Задача 9 81 − (1⁄3)𝑥 Если 𝑥0 − наибольшее целое решение неравенства 2 < 0, то 𝑥 + 10𝑥 + 25 значение выражения (2𝑥0 + 1)(𝑥0 − 3) равно 1) 49 2) 72 3) 86 4) 99 5) 130 Задача 10 Найдите сумму целых решений неравенства условию 𝑥 ≥ −4 √2 − 𝑥 ∙ (2𝑥 + 3) ≤ 0, удовлетворяющих Вариант 4 Задача 1 Сократив дробь 1) 1 7 2) 3 7 2𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 𝑦 2 𝑦 2 , вычислите ее значение при = 6𝑥 2 − 7𝑥𝑦 + 𝑦 2 𝑥 5 3) 4 7 4) 5 14 5) 9 14 Задача 2 Абсцисса точки пересечения графиков функций 𝑦 = 𝑥 3 и 𝑦 = (𝑥 − 3)2 принадлежит промежутку 1) (0; 1) 2) (2; 3) 3) (1; 2) 4) (3; 4) 5) (4; 5) Задача 3 Сумма корней или корень (если он единственный)уравнения √3 − 𝑥 = 2 − 𝑥 принадлежит промежутку 1) [0; 0,5] 2) (0,5; 1,0) 3) [1; 2] 4) (2,0; 2,5) 5) [2,5; 3,0] Задача 4 Один из внутренних углов правильного 𝑛 −угольника равен 150°. Найдите число сторон многоугольника 1) 9 2) 12 3) 14 4) 15 5) 8 Задача 5 42 В правильной шестиугольной пирамиде апофема длиной 24 см наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите (в см) длину стороны основания пирамиды 1) 9√2 2) 12√2 3) 6√6 4) 8√6 5) 12 Задача 6 Результат вычисления выражения log 0,4 (− 1) − 1 2) 2 3) 3 4) − 2 3 1 log 343 ) равен 5 49 5) 1 Задача 7 1 𝑥 2 −4 ) = 0,125 (если он единственный) или произведение √2 корней принадлежит промежутку 1) (−11; −9) 2) (−10; −8) 3) (−9; −7) 4) (−8; −6) 5) (−7; −5) Корень уравнения ( Задача 8 Найдите сумму корней (или корень, если он единственный) уравнения [log 5 (𝑥 2 − 𝑥 − 11)] ∙ log 𝑥+4 5 = 1 1) − 3 2) 0 3) 2 4) 4 5) 5 Задача 9 Если 𝑥0 − наименьшее целое решение неравенства (3√𝑥−4 − 1) ∙ (6𝑥 − 216) > 0, то значение выражения 𝑥0 (𝑥02 − 1) равно 1) 24 2) 48 3) 60 4) 92 5) 120 Задача 10 Найдите сумму целых решений неравенства √12 − 3𝑥 ∙ (8 − 3𝑥) ≥ 0, удовлетворяющих условию 𝑥 ≥ −3 Вариант 5 Задача 1 Сократив дробь 1) 1 8 2) 1 6 3𝑎2 + 2𝑎𝑏 − 𝑏 2 𝑏 3 , вычислите ее значение при = 2 2 9𝑎 + 10𝑎𝑏 + 𝑏 𝑎 5 3) 1 4 4) 1 2 5) 2 3 Задача 2 Абсцисса точки пересечения графиков функций 𝑦 = log 0,5 𝑥 и 𝑦 = 𝑥 2 − 2 принадлежит промежутку 1) (0; 1) 2) (3; 4) 3) (1; 2) 4) (2; 3) 5) (4; 5) Задача 3 Сумма корней или корень (если он единственный)уравнения √4𝑥 − 3 = 3 − 𝑥 принадлежит промежутку 43 1) [8; 10] 2) (6, 8) 3) [2,5; 3,0] 4) (2,0; 2,5) 5) [(1,0; 2,0)] Задача 4 Длины сторон треугольника равны 3 см, 5 см, и 4 см. Найдите (в см) длину большей высоты треугольника 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5 Задача 5 В правильной треугольной пирамиде боковое ребро длиной 14 см наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите (в см) длину стороны основания пирамиды 1) 12 2) 18 3) 21 4) 24 5) 27 Задача 6 1 log4 5 log 20 Результат вычисления выражения ( ) ∙ 7 4 равен 7 1) 4 2) − 4 3) 7 4) − 7 5) 5 Задача 7 Корень уравнения 3𝑥+1 + 31−𝑥 = 10 (если он единственный) или произведение корней принадлежит промежутку 1) (−4; −2) 2) (−3; −1) 3) (−2; 0) 4) (−1; 1) 5) (0; 2) Задача 8 Найдите сумму корней (или корень, если он единственный) уравнения [log 1⁄3 (𝑥 2 − 6𝑥 + 9)] ∙ log 5−𝑥 (𝑥 + 8) = 0 1) − 1 2) 1 3) − 5 4) 5 5) 7 Задача 9 Если 𝑥0 − наибольшее целое решение неравенства 2 ∙ 5𝑥 − 250 < 0, то значение 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 выражения (𝑥0 + 2)(𝑥02 + 1) равно 1) 3 2) 6 3) 16 4) 20 5) 50 Задача 10 Найдите сумму целых решений неравенства √2𝑥 + 10 ∙ (3𝑥 + 2) ≥ 0, удовлетворяющих условию 𝑥 ≤ 3 Вариант 6 Задача 1 5𝑚2 − 4𝑚𝑛 − 𝑛2 𝑛 5 Сократив дробь , вычислите ее значение при = 10𝑚2 − 11𝑚𝑛 + 𝑛2 𝑚 6 1) 4 11 2) 11 7 3) 5 11 4) 7 11 5) 9 11 44 Задача 2 Сумма ординат точек пересечения графиков функций 𝑦 = 2𝑥 и 𝑦 = 3 − |𝑥| принадлежит промежутку 1) (0; 1) 2) (2; 3) 3) (1; 2) 4) (4; 5) 5) (3; 4) Задача 3 Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения √2 − 𝑥 = 3𝑥 − 1 принадлежит промежутку 1) [0,5; 0,6) 2) [0,6; 0,8] 3) (0,8; 1,0) 4) [1,0; 1,5] 5) (1,5; 2,0) Задача 4 Сумма длин оснований трапеции равна 24 см, расстояния от точки пересечения диагоналей до оснований равны 3 см и 9 см. Найдите (в см) длину большего основания трапеции 1) 16 2) 14 3) 20 4) 18 5) 15 Задача 5 В правильной четырехугольной пирамиде с высотой 18 см боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите (в см) радиус вписанной в основание пирамиды окружности 1) 4√3 2) 3√6 3) 4√6 4) 6√2 5) 8√2 Задача 6 Результат вычисления выражения log 0,4 (5 log 9 √243) равен 1) − 1 2) 1 3) 2 4) − 2 5) 3 Задача 7 144 (если он единственный) или произведение 16 корней принадлежит промежутку Корень уравнения (√3) 1) (−3; −2) 2) (2; 3) 𝑥 2 −2 = 3) (−4; 0) 4) (3; 4) 5) (−7; −5) Задача 8 Найдите сумму корней (или корень, если он единственный) уравнения [log 0,3 (𝑥 2 − 8𝑥 + 17)] ∙ log 𝑥−3 0,3 = 1 1) 5 2) 6 3) 7 4) 8 5) 9 Задача 9 Если 𝑥0 − наименьшее целое решение неравенства (4√𝑥−6 − 1) ∙ (3 ∙ 2𝑥 − 96) > 0, то значение выражения (𝑥0 − 2)(𝑥0 + 1) равно 1) 28 2) 18 3) 54 4) 40 5) 62 Задача 10 45 Найдите сумму целых решений неравенства √2𝑥 + 8 ∙ (−3𝑥 − 2) ≤ 0, удовлетворяющих условию 𝑥 ≤ 4 Вариант 7 Задача 1 Сократив дробь 1) 1 5 2) 1 3 4𝑚2 + 5𝑚𝑛 + 𝑛2 𝑚 7 , вычислите ее значение при = 2 2 8𝑚 + 9𝑚𝑛 + 𝑛 𝑛 4 3) 2 15 4) 7 15 5) 8 15 Задача 2 Абсцисса точки пересечения графиков функций 𝑦 = 8 − 𝑥 2 и 𝑦 = log 3 𝑥 принадлежит промежутку 1) (0; 1) 2) (3; 4) 3) (1; 2) 4) (2; 3) 5) (4; 5) Задача 3 Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения √2𝑥 + 3 = 𝑥 − 1 принадлежит промежутку 1) (4,0; 4,5) 2) [3,5; 4,0] 3) (3,0; 3,5) 4) [2,5; 3,0] 5) (1,0; 2,5) Задача 4 В окружность вписан выпуклый четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, угол 𝐴𝐷𝐶 равен 100°, угол 𝐴𝐶𝐵 равен 40°. Найдите (в градусах) угол 𝐶𝐴𝐵 1) 20 2) 60 3) 30 4) 50 5) 45 Задача 5 В правильной шестиугольной пирамиде с высотой 9 см апофема наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите (в см) радиус окружности, описанной около основания 1) 9√2 2) 8√3 3) 8√2 4) 6√3 5) 3√6 Задача 6 log3 90 Результат вычисления выражения 5 1) 9 2) 5 3) 25 4) 81 1 log3 10 ( ) равен 5 5) 27 Задача 7 1 Корень уравнения 9𝑥 − 0,5 ∙ 22𝑥 = 4𝑥 + ∙ 32𝑥 (если он единственный) или 3 произведение корней принадлежит промежутку 1) (0; 2) 2) (1,5; 3) 3) (2; 5) 4) (4; 6) 5) (5,5; 6,5) Задача 8 Найдите сумму корней (или корень, если он единственный) уравнения [log 5 (𝑥 2 − 8𝑥 + 16)] ∙ log 3𝑥−8(7 − 𝑥) = 0 46 1) 5 2) 6 3) 8 4) 11 5) 14 Задача 9 Если 𝑥0 − наибольшее целое решение неравенства выражения 𝑥02 (𝑥0 + 5) равно 1) − 36 2) − 76 3) − 98 4) − 164 64 − (1⁄2)𝑥 < 0, то значение 𝑥 2 + 14𝑥 + 49 5) − 192 Задача 10 Найдите сумму целых решений неравенства √6 − 2𝑥 ∙ (3𝑥 − 2) ≤ 0, удовлетворяющих условию 𝑥 ≥ −2 Вариант 8 Задача 1 Сократив дробь 1) 2 2) 3 2𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑏 2 𝑎 7 , вычислите ее значение при = 2 2 2𝑎 − 3𝑎𝑏 + 𝑏 𝑏 5 3) 4 4) 5 5) 6 Задача 2 Сумма ординат точек пересечения графиков функций 𝑦 = 3𝑥 и 𝑦 = принадлежит промежутку 1) (0; 1) 2) (4; 5) 3) (2; 3) 4) (1; 2) 4𝑥 + 5 3 5) (3; 4) Задача 3 Сумма корней или корень (если он единственный)уравнения √1 − 𝑥 = 2𝑥 + 2 принадлежит промежутку 1) (−1,0; −0,8) 2) [−0,8; −0,6] 3) (−0,6; −0,3) 4) [−0,3; 0] 5) [−2,5; −1,0] Задача 4 Площадь равнобедренного треугольника равна 25√3 см2, угол при основании равен 30°. Найдите (в см) длину боковой стороны треугольника 1) 4 2) 5 3) 6 4) 8 5) 10 Задача 5 В правильной шестиугольной пирамиде с высотой 18 см апофема наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите (в см) длину стороны основания пирамиды 1) 10 2) 12 3) 14 4) 16 5) 18 Задача 6 1 log5 12 log 60 Результат вычисления выражения ( ) ∙ 3 5 равен 3 1) 3 2) 9 3) 5 4) 25 5) 27 Задача 7 47 2 3 𝑥 −4 91 (если он единственный) или произведение корней Корень уравнения ( ) = 7 39 принадлежит промежутку 1) (−5; −2) 2) (1; 3) 3) (−3; 1) 4) (2; 5) 5) (−2; 0) Задача 8 Найдите сумму корней (или корень, если он единственный) уравнения −1 [log 7 (2𝑥 2 − 15𝑥 + 29)] = 2 log x−3 7 1) 5 2) 7 3) 8 4) 9 5) 10 Задача 9 Если 𝑥0 − наименьшее целое решение неравенства (5√𝑥+2 1 𝑥 − 1) ∙ [( ) − 27] < 0, 3 то значение выражения 𝑥0 (𝑥02 − 10) равно 1) 3 2) 9 3) 12 4) 18 5) 24 Задача 10 Найдите сумму целых решений неравенства √8 − 2𝑥 ∙ (2 − 3𝑥) ≥ 0, удовлетворяющих условию 𝑥 ≥ −3 Вариант 9 Задача 1 Сократив дробь 1) − 1 15 2) − 3𝑥 2 − 4𝑥𝑦 + 𝑦 2 𝑥 7 , вычислите ее значение при = 2 2 3𝑥 + 2𝑥𝑦 − 𝑦 𝑦 8 2 15 3) − 1 5 4) 1 15 5) 1 5 Задача 2 Сумма координат точки пересечения графиков функций 𝑦 = log 0,5 𝑥 и 𝑦 = 𝑥 − 3 равна 1) − 1 2) 2 3) − 2 4) 1 5) 0 Задача 3 Сумма корней или корень (если он единственный)уравнения √2𝑥 + 1 = 3 − 2𝑥 принадлежит промежутку 1) [2,5; 3,5] 2) (2,0; 2,5) 3) [1,0; 2,0] 4) (0,5; 1,0) 5) [−0,5; 0,5] Задача 4 В окружности хорда пересекает диаметр под углом 30° и делит его на два отрезка длиной 4 см и 16 см. Найдите (в см) расстояние от центра окружности до хорды. 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5 Задача 5 48 В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро длиной 20 см наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите (в см) радиус вписанной в основание пирамиды окружности 1) 4√3 2) 6√3 3) 3√6 4) 4√6 5) 5√6 Задача 6 log7 98 Результат вычисления выражения 6 1) 49 2) 36 3) 4 4) 6 1 log7 2 ( ) равен 6 5) 98 Задача 7 2 3 𝑥 +1 153 (если он единственный) или произведение Корень уравнения ( ) = 5 425 корней принадлежит промежутку 1) (−3; −1) 2) (−2; 0) 3) (−1; 1) 4) (0; 2) 5) (1; 3) Задача 8 Найдите сумму корней (или корень, если он единственный) уравнения [log 0,25 (𝑥 2 − 10𝑥 + 10)] ∙ log 2𝑥−1(12 − 𝑥) = 0 1) 10 2) 12 3) 7 4) 20 5) 21 Задача 9 Если 𝑥0 − наибольшее целое решение неравенства 52𝑥 − 625 < 0, то значение 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 выражения (𝑥02 + 4)(𝑥0 + 2) равно 1) 8 2) 15 3) 32 4) 24 5) 5 Задача 10 Найдите сумму целых решений неравенства √3𝑥 + 9 ∙ (3𝑥 + 5) ≥ 0, удовлетворяющих условию 𝑥 ≤ 2 Вариант 10 Задача 1 Сократив дробь 1) − 4 2) − 5 3𝑎2 + 4𝑎𝑏 + 𝑏 2 𝑎 9 , вычислите ее значение при = 3𝑎2 − 2𝑎𝑏 − 𝑏 2 𝑏 11 3) − 6 4) − 10 5) − 12 Задача 2 Сумма координат точки пересечения графиков функций 𝑦 = log 1⁄4 𝑥 и 𝑦 = 𝑥 − 5 равна 1) 1 2) 3 3) − 3 4) − 1,5 5) 2 Задача 3 Сумма корней или корень (если он единственный)уравнения √2 − 3𝑥 = 2𝑥 + 1 49 принадлежит промежутку 1) [0; 0,2] 2) (−0,2; 0) 3) [0,4; 0,6] 4) (0,2; 0,4) 5) [−1,8; −0,2] Задача 4 В выпуклом пятиугольнике величины углов относятся как 2 ∶ 3 ∶ 4 ∶ 5 ∶ 6. Найдите (в градусах) величину большего из углов 1) 142 2) 148 3) 154 4) 158 5) 162 Задача 5 В правильной четырехугольной пирамиде с высотой 12 см боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите (в см) длину стороны основания пирамиды 1) 4√6 2) 6√6 3) 12√3 4) 14√3 5) 16√2 Задача 6 Результат вычисления выражения 11log2 3⁄log4 11 равен 1) 11 2) 4 3) 9 4) 27 5) 121 Задача 7 567 (если он единственный) или произведение 7 корней принадлежит промежутку 1) (−17; −15) 2) (15; 17) 3) (−10; −8) 4) (−16; −14) 5) (14; 16) 4 Корень уравнения ( √3) 𝑥 2 +1 = Задача 8 Найдите сумму корней (или корень, если он единственный) уравнения −1 log 3 (𝑥 2 − 2𝑥 − 7) − log x+3 3=0 1) − 2 2) 3 3) 4 4) 5 5) 7 Задача 9 Если 𝑥0 − наименьшее целое решение неравенства (6√𝑥+3 1 𝑥 − 1) ∙ [( ) − 256] < 0, 4 то значение выражения 𝑥02 (𝑥0 + 5) равно 1) 4 2) 12 3) 16 4) 18 5) 24 Задача 10 Найдите сумму целых решений неравенства √3𝑥 + 15 ∙ (−3𝑥 − 5) ≤ 0, удовлетворяющих условию 𝑥 ≤ 3 Время выполнения ИТ – 130 минут. Шкала оценивания результатов тестирования: оценка «5» («отлично») выставляется испытуемым за верные ответы, которые составляют 91-100 % от общего количества вопросов; 50 оценка «4» («хорошо») соответствует работе, которая содержит от 71 % до 90 % правильных ответов; оценка «3» («удовлетворительно») соответственно от 50% до 70% правильных ответов; результаты тестирования, содержащие менее 50% правильных ответов, оцениваются как «неудовлетворительно». Эксперты: _________________ (занимаемая должность) Председатель Учебно-методической комиссии: _________________ (занимаемая должность) _________________ (подпись) _________________ (подпись) ______________________ (инициалы, фамилия) ______________________ (инициалы, фамилия) 51