Решение прикладных алгебраических задач методом

Министерство образования и науки Красноярского края
КГАОУ СПО «Канский педагогический колледж»
МАТЕМАТИКА.
РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
МЕТОДОМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
Учебное пособие
Специальность 050146 «Преподавание в начальных классах»
Специальность 050144 «Дошкольное образование»
Специальность 050141 «Физическая культура»
Канск 2012
Автор-составитель:
А.М.
Кондрашов,
КГАОУ СПО «Канский педагогический колледж»
преподаватель
Рецензенты: Л.Д. Рашкин, кандидат физико-матем. наук, доцент
ФГБОУ ВПО КГПУ им. В.П. Астафьева
Математика. Решение прикладных алгебраических задач методом математического моделирования: Учебное пособие / авторсост. А.М. Кондрашов, рец Л.Д. Рашкин, КГАОУ СПО «Канский педагогический колледж», Канск, 2012 г. –38 с.
В учебном пособии, опираясь на задачи и упражнения, автор пытается раскрыть сущность метода математического моделирования, который в настоящее время широко применяется в различных областях
наук, промышленности, сельском хозяйстве, экономике. Оно может
быть использовано как в рамках обязательной программы по методике
обучения математике, так и в качестве дисциплины по выбору.
Учебное пособие предназначено для специальностей 050146
«Преподавание в начальных классах», 050144 «Дошкольное образование», 050141 «Физическая культура» по учебной дисциплине ЕН 01.
«Математика».
.
© КГАОУ СПО «Канский
педагогический колледж»
2
Предисловие
Характерной чертой происходящей на планете научно-технической
революции является математизация современной науки. Использование математических методов позволяет решать важнейшие народнохозяйственные
задачи. Внедрение в современном производстве АСУ и ЭВМ заставило человечество пересмотреть традиционные способы анализа, вести поиск новых.
Особую роль стали играть методы формализованных моделей. Метод моделей, сводящий исследование некоторого процесса к математической задаче
или цепочке математических задач, возник ещё в XIX веке. Однако создание
электронной вычислительной техники в ХХ столетии открыло для него более
широкую перспективу и позволило сделаться важнейшим инструментом
научного анализа и научного познания.
Многолетие и трудные поиски привели прикладную математику к
формированию нового научного курса, получившего название математического моделирования.
В настоящее время едва ли найдется такая наука, среди математических средств которой не было бы моделей, созданных на основе математики и
информатики. В зависимости от предмета исследования значение моделей
более или менее велико. Общая для всех последовательность процесса моделирования представлена на рисунке 1.
Реальный мир
абстракция
Логические
аргументы
эксперименты
Выводы о реальном мире
Математическая
система
интерпретация
Математические
выводы
Таким образом, математическое моделирование – это специальный
способ приближенного описания некоторой проблемы, позволяющий при её
анализе применять формально-логический аппарат математики.
Предлагаемое вниманию читателей учебное пособие адресовано студентам факультетов математики, информатики, начальных классов и коррекционной педагогики в образовании ВУЗов и колледжей, учителям и любознательным учащимся общеобразовательных школ.
В учебном пособии излагаются основные теоретические сведения о
методе математического моделирования, приводятся образцы оформления
решений типовых задач озвученным методом, примеры задач для отработки метода математического моделирования и ответы к ним. Эти же
3
задачи при соответствующей обработке могут быть использованы и для изучения компьютерного моделирования.
Приведённые задачи могут быть использованы и при организации тестирования, например, по методике обучения математике.
Все сказанное выше выглядит достаточно убедительным, если помнить гениальные слова Г. Фрейденталя: «Важно, чтобы изучаемая математика была тесно связана с реальной действительностью…То из математики, что изучалось без связи с повседневной жизнью, будет забыто, а потому
неэффективно».
4
§ 1. Сущность метода математического моделирования
При изучении математики школьники, как правило, имеют дело уже
с готовыми математическими моделями. При этом, начав исследовать модель,
они не обращаются к исходным параметрам, не производят в большинстве
случаев преобразований построенной модели к виду, более удобному для
практического использования.
При математическом моделировании мы имеем дело не с объектом,
а с построенной с него теоретической копией, выражающей в математической
форме основные его закономерности. Возможность замены исходного объекта его математической «копией» и дальнейшего «диалога» с нею таит в себе
большие преимущества и означает серьезное изменение методологи и технологии научных исследований.
Условимся называть задачи, возникающие в производственной деятельности, в разных отраслях знаний, в окружающей действительности практическими (производственными) задачами или прикладными задачами.
Эти задачи не являются математическими, но многие из них могут
быть решены средствами математики. Для этой цели необходимо четкое
представление о практической ситуации, в которой ставится задача, поиск
возможности перевода ее на язык математической задачи и применения математических методов для ее решения.
Итак, математическая модель – это описание какого-либо реального процесса на языке математических понятий, формул и отношений.
При применении математики к производственной задаче центральным является перевод задачи на математический язык, иными словами говоря
– построение такой модели, изучение которой может дать правильный ответ
на поставленный вопрос, то есть модель должна быть адекватной исходной
задаче.
Математические модели могут включать в себя арифметические выражения, геометрические фигуры, функции, уравнения, неравенства и другие
абстракции, сформулированные в чисто математических терминах.
Математическая модель должна быть также простой, чтобы полученная математическая задача поддавалась решению.
Эти два требования – адекватности и простоты – находятся в постоянном противоречии друг с другом: чем математическая модель более
адекватна изучаемому реальному объекту или явлению, тем она, вообще говоря, менее проста.
Построение математической модели существенно опирается на гипотезы: о форме рассматриваемого реального тела, о пропорциональности рассматриваемых величин (например, пути и времени, произведенной продукции
и численности рабочих и т.п.).
Выбор гипотезы – весьма ответственное дело, так как именно им
определяется степень адекватности модели. История науки дает немало при5
меров неправильных гипотез, на которых были основаны неадекватные математические модели и, как следствие, получались неправильные выводы.
С определенной мерой условности процесс решения любой практической задачи можно представить в виде следующих этапов:
1. Изучение объекта. Необходимо всесторонне и детально изучить
происходящий процесс, освободившись от «случайного», определить главные
параметры (например, производительность карьеров, грузоподъемность
транспортных средств, схема дорог и т.п.).
2. Описание объекта. Установление и словесная фиксация основных
связей и зависимостей между главными характеристиками процесса с точки
зрения оптимизируемого критерия.
3. Математическое моделирование – перевод описания задачи на
формальный математический язык. Все условия записываются в виде соответствующей системы ограничений (уравнений и неравенств). Любое неотрицательное решение этой системы называют допустимым решением. Критерий представляется в виде целевой функции. Решения задачи оптимизации
состоит в отыскании максимального или минимального значения целевой
функции на множестве допустимых решений системы ограничений.
4. Выбор (или разработка) метода исследования математической
модели, т.е. решение задачи. Как только задача переведена на язык математической модели, исследователя больше не интересует ее конкретное содержание. Дело в том, что совершенно разные по содержанию задачи часто приводятся к одной и той же аналитической записи, т.е. математической модели.
Поэтому при выборе метода решения главное внимание обращается не на
содержание задачи, а на структуру полученной математической модели.
Вполне возможно, что специфика задачи может потребовать определенной
модификации уже известного метода или даже разработки нового.
5. Выбор или составление программы решения задачи на ЭВМ. Подавляющая часть возникающих на практике задач из-за большого числа переменных и зависимостей между ними может быть решена в разумные сроки
только с помощью ЭВМ. Для решения задачи на ЭВМ прежде всего нужно
составить программу (или использовать уже готовую, если аналогичная задача уже решалась на ЭВМ), реализующую выбранный метод решения. Здесь
следует заметить, что к настоящему времени накоплено большое число алгоритмов, предназначенных для решения широких классов задач, которые хранятся в виде проблемно-ориентированных пакетов прикладных задач и составляют математическое обеспечение ЭВМ.
6. Решение задачи на ЭВМ. Вся необходимая информация для решения задачи на ЭВМ вводится в память машины вместе с программой. В соответствии с программой ЭВМ производит необходимую обработку введенной
числовой информации, получает соответствующие результаты, которые выдает исследователю в удобной для него форме.
7. Анализ полученного решения. Анализ бывает двух видов:
6
а) формальный (математический), когда проверяется соответствие
полученного решения построенной математической модели (в случае несоответствия проверяется программа, исходные данные, работа ЭВМ и т.д.);
б) содержательный (экономический, технологический и т.п.), когда
проверяется соответствие полученного математического решения тому объекту или процессу, который моделировался. При этом устанавливается
насколько удачно, были выбраны математическая модель и вычислительный
алгоритм. В результате такого анализа в математическую модель могут быть
внесены изменения или уточнения, после чего весь процесс следует повторить. Математическая модель считается построенной и завершенной, если
она с достаточной полнотой и требуемой точностью характеризует объект по
выбранному критерию. Только после этого математическая модель может
использоваться в массовой практике.
В настоящем пособии мы не будем рассматривать вопросы компьютерного моделирования, а обратим внимание лишь на решение производственных задач математическими средствами. Поэтому решение прикладных задач будем вести по традиционной трехэтапной схеме, сущность которой состоит в следующем.
На первом этапе – этапе формализации – осуществляется переход от
практической задачи, которую предстоит решить, к построению ее математической модели (Составление математической модели).
На втором этапе решается математическая задача, сформулированная на первом этапе (Работа с математической моделью).
На третьем этапе – этапе интерпретации – полученное решение
математической задачи переводится на исходный язык практической задачи
(Ответ на вопрос задачи).
Вполне очевидно, что наиболее ответственным и сложным является
первый этап – построение математической модели. Оно осуществляется логическим путем на основе глубокого анализа изучаемого явления (процесса,
объекта и т.п.) и требует умения описать явление (процесс, объект и т.п.) на
языке математики. В идеале имеет место стремление построить математическую модель, адекватную исходному прототипу. На деле адекватность не достигается, так как не предоставляется возможным учесть и выразить на языке
математики все факторы, влияющие на изучаемое явление (процесс, объект и
т.п.). Поэтому математическая модель лишь приближенно его отражает, и
результаты моделирования будут тем достовернее, чем меньше погрешность,
допущенная при составлении модели. Реализация первого этапа требует многих умений, в числе которых весьма важны умение выделять существенные
факторы, определяющие исследуемое явление (процесс, объект и т.п.), умение указать те факторы, которые вызывают погрешность при составлении
модели, умение выбрать математический аппарат для составления модели.
Существенным на втором этапе является умелое планирование решения сформулированной математической задачи, выделение в нем составляющих задачи, умение анализировать и уточнять составленную модель, пе7
реходить от одной модели к другой и выбирать в каждом конкретном случае
наиболее целесообразное и вместе с тем оптимальное решение задачи. Важную роль играет умение дать качественную оценку количественных результатов, полученных при использовании исходной информации, выявить источники погрешностей, допускаемых при решении математической задачи, и
оценить их.
На третьем этапе главное – умение грамотно перевести результат
решения математической задачи на язык исходной задачи. Важное значение
на этом этапе имеет владение методами проверки решения практической задачи, умение распространить найденное решение на решение других практических задач, оценить итоговую степень точности полученных результатов и
выяснить ее влияние на корректность решения задачи.
Мы остановились здесь лишь на некоторых умениях, имеющих существенную роль на каждом этапе математического моделирования. Хорошо
понимая, что эти умения затруднительно сформировать одночасно в результате изучения нашего курса, полагаем, что в школе имеются возможности
заложить основу таких умений. Для этого нужно вести во всех классах решение простейших практических задач, используя уроки и различные формы
внеклассной работы по математике, проводить практические и лабораторные
работы по всем учебным предметам, где это предусмотрено учебными программами.
Таким образом, исходя из изложенного выше, можно выделить три
этапа математического моделирования.
I этап – этап формализации (составление математической модели)
II этап – исследование математической модели (работа с математической моделью)
III этап – этап интерпретации (ответ на вопрос задачи).
§2. Решение прикладных задач с помощью составления уравнений и систем уравнений
Относительно того, как составлять уравнения, систему уравнений и
т.д. по условию математической задачи с практическим содержанием, нельзя
дать точно каких-либо правил, которые бы позволили решить любую задачу.
Однако при этом можно все-таки использовать некоторые указания общего
характера, которые приводятся ниже.
1. Осуществить выбор неизвестной величины, входящей в условие
задачи, относительно которой будет составляться уравнение (неизвестных
величин может быть и несколько).
2. Все однородные величины, фигурирующие в условии задачи, выразить в одних и тех же единицах.
8
3. Используя условие задачи, определить все взаимосвязи между данными величинами, а затем на этой основе составить уравнение (или систему
уравнений и т.д.).
4. В процессе решения составленного уравнения (или системы уравнений и т.д.) нужно всегда стремиться к отысканию оптимальных методов
преобразований.
5. Полученное решение уравнения (или системы уравнений и т.д.)
следует проверить на предмет соответствия его условию задачи.
6. Перевести полученный результат на язык условия задачи и записать четкий и короткий ответ.
Кроме этих указаний можно привести некоторые рекомендации к решению типовых задач.
Указания к решению типовых задач
1. З а д а ч и н а ч и с л о в ы е з а в и с и м о с т и . При решении этих
задач используются следующие факты:
1) если к натуральному числу х приписать справа n-значное число у,
то в результате получится число 10nх + у;
2) если а и b – натуральные числа, причем а > b и а не кратно b, то
существует, и притом только одна, пара натуральных чисел q и r таких, что а
= bq + r, где r < b (а – делимое, b – делитель, q – частное,
r – остаток).
2. Задачи на прогрессии. Числовая последовательность (аn) называется арифметической прогрессией, если существует число d такое, что для любого n  N выполняется равенство аn+1 = аn + d; число d называется разностью
прогрессии. Последовательность (bn), у которой
b1  0, называется геометрический прогрессией, если существует число q  0 такое, что для любого n 
N выполняется равенство bn+1 = bn  q; число q называется знаменателем прогрессии.
Основные свойства арифметической прогрессии.
1) аn = а1 + d(n – 1).
a  an
2) S n  1
 n, где Sn = a1 + a2 + … + an.
2
3) Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда для любого n  N выполняется равенство
an 1 
an  an  2
(характеристическое свойство арифметической прогрес2
сии).
9
Основные свойства геометрической пр огрессии.
1) bn = b1q n – 1.
b (1  q n ) где S = b + b + … + b .
2) S n  1
n
1
2
n
,
1 q
3) Последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда для любого n  N выполняется равенство
| bn  1 | bn  bn  2 (характеристическое свойство геометрической прогрессии).
На практике вместо равенства
| bn  1 | bn  bn  2 удобнее исполь-
зовать равносильное ему равенство bn 1  bn  bn  2 .
n
4) Если геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей,

т.е. |q| < 1, S  b1 , где S   bn .
1 q
n 1
Задачи на числовые зависимости, связанные с прогрессиями, сводятся, как правило, к решению систем уравнений.
2. З а д а ч и н а д в и ж е н и е . При решении этих задачах принимают следующие допущения:
1) если нет специальных оговорок, то считается равномерным;
2) скорость считается величиной положительной;
3) повороты движущихся тел, переходы на новый режим движения
считаются происходящими мгновенно;
4) если тело с собственной скоростью х движется по реке, скорость
течения которой равна у, то скорость движения тела по течению считается
равной (х + у), а против течения – ( х – у).
3. З а д а ч и н а с о в м е с т н у ю р а б о т у . Содержание задач этого
типа сводится обычно к следующему. Некоторую работу, объем которой не
указывается и не является искомым (например, перепечатка рукописи, рытье
котлована, заполнение резервуара и т.д.), выполняют несколько человек или
механизмов, работающих равномерно (т.е. с постоянной для каждого из них
производительностью). В таких задачах объем всей работы, которая должна
быть выполнена, принимается за единицу (за единицу измерения).
Если производительность труда, т.е. величину работы, выполняемой
за единицу времени, обозначить через v, а время, необходимое для выполне-
1
t
ния всей работы, обозначить через t, то v  .
4. З а д а ч и н а с п л а в ы и с м е с и . В задачах этого типа идет
речь о составлении смесей, сплавов, растворов и т.п. Решение этих задач связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание», «проба»,
«влажность» и т.д. и основано на следующих допущениях:
10
1) все полученные смеси (сплавы, растворы) однородны;
2) не делается различия между литром как единицей емкости и литром как единицы массы.
Если смесь (сплав, раствор) массы m состоит из веществ А, В, С (которые имеют массы соответственно m1, m2, m3), то величина m1 (соответm
m m
ственно 2 , 3 ) называется концентрацией вещества А (соответственно В,
m m
m2
m
С) в смеси. Величина m1  100% (соответственно
 100%, 3  100% )
m
m
m
называется процентным содержанием вещества А (соответственно В, С) в
m m m
смеси. Ясно, что 1  2  3  1 , т.е. от концентрации двух веществ завиm m m
сит концентрация третьего.
§3. Образцы задач, решаемых методом
математического моделирования
Задача 1. Мама дала брату и сестре по некоторой сумме денег на покупки. По дороге в магазин брат сказал сестре: «Если ты дашь мне 50 р., то
наши суммы сравняются». Сестра ответила: «Если ты дашь мне 100 р., то у
меня станет в 2 раза больше денег, чем у тебя». Сколько денег дала мама брату и сестре вместе?
Решение.
I этап. С о с т а в л е н и е м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л и .
Пусть мама дала брату х (руб.), а сестре у (руб.) на покупки. Тогда согласно условия брата мы получаем: (х + 50) руб. стало у брата, а у сестры
осталось (у – 50 ) руб. И тогда получаем, что х + 50 = у – 50  х – у = –100.
Если учитывать ответ сестры, то мы получаем, что (х – 100) руб. осталось у
брата и (у + 100) руб. станет у сестры. И тогда по условию задачи мы получаем уравнение: 2(х – 100) = у + 100  2х – 200 = у + 100  2х – у = 300.
Исходя из сказанного выше, получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
 x  y  100,

2 x  y  300.
Математическая модель задачи составлена.
II этап. Р а б о т а с м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л ь ю .
Решаем эту систему, например, методом алгебраического сложения:
11
 x  y  100,  (1),
 x  y  100,


2 x  y  300.
2 x  y  300.
x  400.
Если х = 400, то 400 – у = –100  у = 500.
Следовательно (400; 500) – единственное решение системы.
III этап. О т в е т н а в о п р о с з а д а ч и .
Решением задачи – согласно ее смыслу – является положительное
число. Найденные нами значения х и у удовлетворяют этому условию. Поэтому можно заключить, что мать дала брату 400 рублей, а сестре 500 рублей.
Опуская этап проверки, заключаем, что 400 (руб.) получил брат от
матери на покупки, а 500 (руб.) получила сестра.
Отсюда находим ответ на вопрос задачи: 500 + 400 = 900 (руб.) – мама дала брату и сестре вместе.
Ответ: 900 рублей.
Задача 2. Два пешехода вышли одновременно из своих сел A и B
навстречу друг другу. После встречи первый шел 25 минут до села B, а второй шел 36 минут до села A. Сколько минут они шли до встречи?
Решение.
I этап. С о с т а в л е н и е м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л и .
Пусть х (км/ч) – скорость первого пешехода, вышедшего из села А в
село В, у (км/ч) – скорость второго пешехода, вышедшего из села В в село А, s
(км) – это расстояние между сёлами А и В. Отсюда получаем, что
время 1-го пешехода на путь АВ и
s
(мин.) –
x
s
(мин.) – время 2-го пешехода на путь
y
s

 25  мин. – время, которое затратил первый
x

АВ. Тогда заключаем, что 
12
s

 25  мин. – время, которое затратил 2-й пешеход
y

пешеход до встречи, а 

до встречи. Поскольку они вышли одновременно, то
8
s
s s
 25   36    11.
x
y
y x
С другой стороны, находим:
25х (км) – прошёл первый пешеход до пункта В с момента встречи
(т.е. после встречи) со вторым пешеходом. Аналогично 36у (км) – прошёл
второй пешеход до пункта А после встречи с первым пешеходом.
Вместе они прошли полное расстояние между сёлами, поэтому получаем уравнение:
25х + 36у = s.
Приходим к системе уравнений:
s s
   11,
y x
25 x  36 y  s.

Второе уравнение делим на s и получаем систему уравнений, равносильную исходной:
s s
 y  x  11,

25  x  36  y  1.

s
s
Математическая модель задачи составлена.
II этап. Р а б о т а с м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л ь ю .
Решаем эту систему. Для этого вводим новые переменные
s
s
 a,  b, приходим к системе:
x
y
b  a  11,

 25 36
 a  b  11.
Применим метод подстановки.
Из первого уравнения получаем: b – a = 11  b = 11 + a.
Подставляем это во второе уравнение:
25
36

 1,
a 11  a
13
2
или 25  36  1  0  275  25a  36a  11a  a  0,
a 11  a
a(11  a)
2
 a 2  50a  275  0,
или  a  50a  275  0  

a(11  a)
a(11  a)  0.
Значит, получаем:
–а2 + 50а + 275 = 0, |(–1),
а2 – 50а – 275 = 0.
По теореме Виета находим:
a1  a2  50,
 a1  55, a2  5.

a1  a 2  275,
Оба значения удовлетворяют условию а (11 + а)  0, поэтому являются корнями уравнения.
Итак, получаем два решения системы: (55; 66) и (–5; 6).
III этап. О т в е т н а в о п р о с з а д а ч и .
По смыслу задачи искомые величины выражаются положительными
числами. Значит, нам подходит первое решение, которое даёт
s
s
 55 и  66.
x
y
Это означает, на весь путь первому пешеходу понадобится 55 минут,
а второму пешеходу потребуется 66 минут. Зная, что после встречи, первый
пешеход шел до пункта В ещё 25 минут, а второй пешеход до пункта А ещё 36
минут, заключаем, что встречи они шли 30 минут.
Ответ: 30 минут.
Задача 3. Имеются два сплава золота и серебра: в одном массы этих
металлов находятся в отношении 2:3, в другом – в отношении 1:4. Сколько
килограммов нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового
сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении 1:3?
Решение.
I этап. С о с т а в л е н и е м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л и .
Пусть нужно взять х (кг) от первого сплава и (8 – х) кг от второго
сплава.
Тогда в новом сплаве золота будет
2
1
2
8 1
1
8
x  (8  x)  x   x  x   0,2 x  1,6 (кг).
5
5
5
5 5
5
5
Выразим теперь массу серебра в новом сплаве:
14
3
4
3
32 4
x  (8  x)  x 
 x  6,4  0,2 x (кг).
5
5
5
5 5
Пользуясь тем, что в новом сплаве отношение этих металлов 1:3, получаем уравнение:
0,2 x  1,6 1
 .
6,4  0,2 x 3
Математическая модель задачи составлена.
II этап. Р а б о т а с м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л ь ю .
Решаем составленное выше уравнение.
3  (0,2х + 1,6) = 6,4 – 0,2х.
0,6х + 4,8 = 6,4 – 0,2х.
0,6х + 0,2х = 6,4 – 4,8.
0,8х = 1,6.
х = 2.
х = 2 – единственный корень нашего уравнения.
III этап. О т в е т н а в о п р о с з а д а ч и .
Искомая величина по смыслу задачи выражается положительным
числом, что мы и получили.
Следовательно, надо взять 2 кг от первого сплава и 8 – 2 = 6 кг от
второго сплава.
Ответ: 2 кг и 6 кг.
Задача 4. Пешеход вышел из пункта А в пункт В. Через 45 минут из А
в В выехал велосипедист. Когда велосипедист прибыл в пункт В, пешеходу
оставалось пройти
3
всего пути. Сколько времени потратил пешеход на весь
8
путь, если известно, что велосипедист догнал пешехода на половине пути из
пункта А в пункт В, а скорости пешехода и велосипедиста постоянны?
Решение.
I этап. С о с т а в л е н и е м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л и .
15
Пусть х (км/ч) – скорость пешехода, у (км/ч) – скорость велосипедиста, z (км) – расстояние между пунктами А и В. Тогда z (час) – время велосиy
педиста на путь АВ. Зная, что пешеходу осталось пройти
что 1 
3
пути, получаем,
8
3 5
5 5z
(км). И отсюда
 пути пешеход прошёл, что составляет z  
8 8
8 8
получаем, что пешеход был в пути
5
8
z
(часов). Зная, что велосипедист выx
ехал на 45 мин = 45 (ч) = 3 (часа) позже, составляем уравнение:
60
4
5
8
z z 3
5 z z 3
      .
x
y 4
8 x y 4
С другой стороны, получаем:
z
2
z
(часа) – время пешехода на половину пути;
x 2x
z
z
2

(часа) – время велосипедиста на половину пути.
y 2y

Отсюда получаем второе уравнение:
z
z
3

 .
2x 2 y 4
Таким образом, мы приходим к системе уравнений:
5 z z 3
8  x  y  4 ,


 z  z  3.
 2 x 2 y 4
Математическая модель задачи составлена.
II этап. Р а б о т а с м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л ь ю .
16
Решим эту систему, введя новые переменные:
z
z
 a,  b. Полуx
y
3
5
 8 a  b  4 ,
чаем 
1 a  1 b  3 .
 2
2
4
Переходим к равносильной системе, умножая первое уравнение на 8,
а второе – на 4:
5a  8b  6,
5a  8b  6,


2a  2b  3, | (4),
 8a  8b  12,
()
 3a  6,
a  2.
Если а = 2, то 2  2 – 2b = 3.
– 2b = –1.
b
1
.
2
a  2,

Таким образом, 
1 – единственное решение системы.
b  2
III этап. О т в е т н а в о п р о с з а д а ч и .
Вспоминая, что
z
z
z 1
z
 a,  b , мы находим:  2 и  . Соx
x
y 2
y
гласно смысла наших обозначений, заключаем, что:
2 (час) – время пешехода на весь путь;
1
(часа) – время велосипедиста на весь путь.
2
Значит, пешеход потратил на весь путь 2 часа.
Ответ: 2 часа.
Задача 5. В реку впадает приток. Катер отходит от пункта А, находящегося на притоке, идет по течению 80 км до впадения притока в реку в
пункте В, а затем идет вверх по реке до пункта С. На путь от А до С он затратил 18 ч, на обратный путь – 15 ч. Найдем расстояние от пункта А до пункта
17
С, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч, а собственная скорость
катера 18 км/ч.
Решение.
I этап. С о с т а в л е н и е м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л и .
Пусть х км/ч – скорость течения притока. Тогда от пункта А до пункта
В катер идет со скоростью (18 + х) км/ч, а от пункта В до пункта А – со скоростью (18 – х) км/ч, затрачивая на путь от А до В 80 ч, а на путь от В до
18  x
А
80
ч.
18  x
Пусть у км – расстояние от В до С. Двигаясь от пункта В к пункту С,
катер идет со скоростью
15 км/ч, а от пункта С до пункта В со скоростью
21 км/ч, затрачивая на путь от В до С
y
ч, а на обратный путь от С до В
15
y
80
y
ч. На весь путь от А до С катер тратит
 ч, что по условию за21
18  x 15
дачи составляет 18 ч, а на обратный путь –
80
y
 ч, что по условию за18  x 21
дачи составляет 15 ч.
Запишем систему уравнений
y
 80
18  x  15  18

 80  y  15.
18  x 21
Математическая модель задачи составлена.
II этап. Р а б о т а с м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л ь ю .
Эта система без труда решается методом подстановки (например,
можно выразить у через х из первого уравнения).
Задание. Решите систему самостоятельно.
Находим: (2; 210) – единственное решение системы.
III этап. О т в е т н а в о п р о с з а д а ч и .
18
По смыслу задачи подходит положительное решение системы, что мы
и получили. Так как расстояние от А до С равно сумме расстояний от А до В
(80 км) и от В до С (210 км), то весь путь от А до С равен 290 км.
Ответ: 290 км.
Задача 6. Из пункта А в пункт В выехал грузовой автомобиль, через
час из А в В выехал легковой автомобиль. В пункт В машины прибыли одновременно. Если бы из пунктов А и В они выехали одновременно навстречу
друг другу, то встреча произошла бы через 1 ч 12 мин после их выезда.
Сколько времени тратит на путь от А до В грузовик?
Решение.
I этап. С о с т а в л е н и е м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л и .
Пусть х км/ч – скорость грузового автомобиля, у км/ч – скорость легкового автомобиля, z км – путь от А до В. Тогда
z
ч тратит грузовик на путь
x
z
ч тратит легковая машина на тот же путь. Из условия задачи
x
z z
следует, что
  1. Двигаясь из А в В навстречу друг другу, машины до
x y
от А до В и
встречи находятся в пути
z ч, что по условию составляет 1 ч 12 мин, т.е.
x y
6 ч. В итоге запишем систему двух уравнений с тремя переменными:
5
z z
x  y 1


 z  6.
 x  y 5
(1)
Математическая модель задачи составлена.
II этап. Р а б о т а с м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л ь ю .
Решаем эту систему уравнений.
19
Несмотря на то, что число неизвестных больше числа уравнений, задачу можно решить, поскольку требуется найти не значения каждой из переменных х, у, z, а отношение
z
(время движения грузовика). Преобразуем втоx
рое уравнение системы к виду: 5z = 6x +6y, и далее запишем: 5  6 
Положив u 
x
y
 6 .
z
z
z
z
, v  , перепишем систему (1):
x
y
u  v  1

6 6
 u  v  5.
Задание. Решите эту систему уравнений самостоятельно.
(3; 2) – единственное решение системы.
III этап. О т в е т н а в о п р о с з а д а ч и .
По смыслу задачи нам подходит положительное решение системы,
что мы и получили. Значит, грузовик тратит на путь от А до В 3 ч.
Ответ: 3 часа.
Задача 7. В резервуар поступает вода из двух труб различных диаметров. В первый день обе трубы, работая одновременно, подали 14 м3 воды.
Во второй день была включена лишь малая труба. Она подала 14 м3 воды,
проработав на 5 ч больше, чем в первый день. В третий день работа продолжалась столько же времени, сколько во второй, но сначала работали обе трубы, подав 21 м3 воды, а затем работала лишь большая труба, подавшая еще 20
м3 воды. Сколько воды подает каждая труба за 1 ч?
Решение.
I этап. С о с т а в л е н и е м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л и .
Пусть х м3/ч – производительность большей трубы, у м3/ч – производительность малой трубы, t ч – время работы обеих труб в первый день. Тогда
в первый день трубы подали (х + у) t м3 воды, что по условию составляет 14
м3. Получим первое уравнение: (х + у) t = 14.
Во второй день малая труба работала (t + 5) ч, подала у(t + 5) м3 воды,
что по условию составляет 14 м3. Получим второе уравнение: у (t + 5) = 14. В
третий день сначала работали обе трубы, подавшие 21 м 3 воды, значит, их
20
совместная работа продолжалась
21 ч. Затем работала одна большая труба,
x y
подавшая 20 м3 воды, значит, ее работа продолжалась 20 ч. Так как работа в
x
третий день длилась столько же времени, сколько во второй день, то получим
третье уравнение:
21
20

 t  5 . Мы пришли к системе уравнений:
x y x

( x  y )t  14

 y (t  5)  14
 21
20


 t  5.
 x  y x
Математическая модель задачи составлена.
II этап. Р а б о т а с м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л ь ю .
Решим эту систему уравнений.
Из второго уравнения системы находим: t  5  14 , тогда первое
y
уравнение системы можно переписать в виде:
де:
14
14
  5 , а третье – в виx y
y
21
20 14

 .
x y x
y
Получим систему из двух уравнений
14
 14
x  y  y 5


 21  20  14 .
x  y x
y

Освободившись в обоих уравнениях от знаменателей, получим:
2

5 xy  5 y  14 x

2
2

14 x  27 xy  20 y  0.
Второе уравнение системы – однородное. Разделив обе его части
почленно на у2 и положив
z
x
, получим квадратное уравнение 14z2 – 27z –
y
21
20 = 0, корни которого z1 
5
4
, z 2   . Второй корень не удовлетворяет
2
7
x 5
условию задачи, значит, z  5 , т.е.
 .
2
y 2
x 5

Осталось решить систему 
y 2
5 xy  5 y 2  14 x.

Откуда получаем: х = 5, у = 2 – единственное решение системы (подробные выкладки сделайте самостоятельно).
III этап. О т в е т н а в о п р о с з а д а ч и .
По смыслу задачи искомые величины выражаются положительными
числами, что нами и получено. Значит, производительность большой трубы 5
м3/ч, а малой – 2 м3/ч.
Ответ: 5 м3/ч, 2 м3/ч.
Задача 8. Первому трактору на вспашку всего поля требуется на 2 ч
меньше, чем третьему, и на 1 ч больше, чем второму. При совместной работе
первого и второго тракторов поле может быть вспахано за 1 ч 12 мин. Какое
время на вспашку поля будет затрачено при совместной работе всех трех
тракторов?
Решение.
I этап. С о с т а в л е н и е м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л и .
Пусть х ч – время, необходимое для вспашки поля первому трактору,
у ч – второму и z ч – третьему трактору. Объем работы (в данном случае это
площадь поля) примем равным 1. Тогда
1
– производительность первого,
x
1
1
– второго и – третьего трактора. По условию задачи z – х = 2 и х – у = 1.
z
y
Кроме того, сказано, что при совместной работе первого и второго тракторов
поле может быть спахано за 1 ч 12 мин, т.е. за
22
6
6
ч. Но за ч первый трактор
5
5
выполнит
6 1
6 1
часть работы, а второй   часть работы. Значит,

5 x
5 y
6
6

 1.
5x 5 y
В итоге приходим к системе трех уравнений с тремя переменными

 z  x  2,

 x  y  1,
6
6
 
 1.
 5 x 5 y
Математическая модель задачи составлена.
II этап. Р а б о т а с м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л ь ю .
Решив систему, что предлагаем сделать самостоятельно, мы получим:
(3; 2; 5), (–0,4; –0,6; 2,4) – три решения системы.
III этап. О т в е т н а в о п р о с з а д а ч и .
Условию задачи удовлетворяет только первое решение, потому что
искомые величины выражаются положительными числами.
Теперь ответим на вопрос задачи. При совместной работе трех трак-
1 1 1
31
. Значит, время
  , т.е.
3 2 5
30
30
на вспашку поля тремя тракторами составляет
ч.
31
30
Ответ:
ч.
31
торов производительность труда составит
Задача 9. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву,
чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?
Решение.
I этап. С о с т а в л е н и е м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л и .
23
Пусть масса олова, которую надо добавить к сплаву, равна х кг. Тогда
получится сплав (12 + х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве
12  x
40 кг меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% ме100
12
ди, т.е. меди в нем было
 45 кг. Так как масса меди и в имевшемся, и в
100
имеется
новом сплаве одна и та же, то можно записать следующее уравнение:
(12  x)40 12

 45 .
100
100
Математическая модель задачи составлена.
II этап. Р а б о т а с м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л ь ю .
Решите это уравнение самостоятельно, убедитесь, что х = 1,5 – единственный корень.
III этап. О т в е т н а в о п р о с з а д а ч и .
Таким образом, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.
Ответ: 1, 5 кг.
Задача 10. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и
40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки
получить 140 т стали с содержанием никеля 30%?
Решение.
I этап. С о с т а в л е н и е м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л и .
Пусть масса стали первого сорта равна х т, тогда стали второго сорта
надо взять (140–х)т. Содержание никеля в стали первого сорта составляет 5%,
значит, в х т стали первого сорта содержится х  0,05 т никеля. Содержание
никеля в стали второго сорта составляет 40%, значит, в (140 – х) т стали второго сорта содержится (140 – х) 0,4 т никеля. По условию после объединения
взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с 30%-ным содержанием
никеля, т.е. после переплавки в полученной стали должно быть 140  0,3 т
никеля. Но это количество никеля складывается из х  0,05 т, содержащихся в
стали первого сорта, и из (140 – х) 0,4 т, содержащихся в стали второго сорта.
Таким образом, запишем уравнение
х  0,005 + (140 – х)0,4 = 140  0,3.
24
Математическая модель задачи составлена.
II этап. Р а б о т а с м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л ь ю .
Решите это уравнение самостоятельно, убедитесь, что х = 40 – единственный корень этого уравнения.
III этап. О т в е т н а в о п р о с з а д а ч и .
Искомые величины выражаются положительными числами. Следовательно, стали с 5%-ным содержанием никеля надо взять 40 т, а стали с 40%ным содержанием – 100 т.
Ответ: 40 т, 100 т.
Задача 11. Из сосуда емкостью 54 л, наполненного кислотой, вылили
несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 л чистой кислоты.
Сколько кислоты вылили в первый раз?
Решение.
I этап. С о с т а в л е н и е м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л и .
Пусть в первый раз было вылито х л кислоты. Тогда в сосуде осталось
(54 – х) л кислоты. Долив сосуд водой, получили 54 л смеси, в которой растворилось (54 – х) л кислоты. Значит, в 1 л смеси содержится
54  x
л кисло54
ты (концентрация раствора). Во второй раз из сосуда вылили х л смеси, в этом
54  x
 x л кислоты. Таким образом, в первый раз
54
54  x
было вылито х л кислоты, во второй –
 x л кислоты, а всего за два
54
количестве содержится
раза вылито 54 – 24 = 20 л кислоты. В результате мы приходим к уравнению
x
54  x
 x  30 .
54
Математическая модель задачи составлена.
II этап. Р а б о т а с м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л ь ю .
25
Решите это уравнение самостоятельно и убедитесь, что оно имеет два
корня: х1 = 90, х2 = 18.
III этап. О т в е т н а в о п р о с з а д а ч и .
Ясно, что значение х1 = 90 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, в первый раз вылито 18 л кислоты.
Ответ: 18 л.
Задача 12. Сосуд емкостью 8 л наполнен смесью кислорода и азота,
причем на долю кислорода приходится 16% емкости сосуда. Из этого сосуда
выпускают некоторое количество смеси, дополняют сосуд азотом и вновь
выпускают такое же количество смеси, после чего опять дополняют сосуд
азотом. В результате кислорода в сосуде стало 9%. Сколько литров смеси
выпускали из сосуда каждый раз?
Решение.
I этап. С о с т а в л е н и е м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л и .
Предположим, что каждый раз выпускали х л смеси и впускали х л
азота. После первого выпуска в сосуде осталось (8 – х) 0,16 л кислорода, которые растворились в 8 л смеси (после первого впуска азота). Концентрация
кислорода на этом этапе равна
(8  x)  0,16
, т.е. (8 – х) 0,02. После второго
8
выпуска смеси в сосуде осталось (8 – х) л смеси с концентрацией кислорода,
равной (8 – х) 0,02, т.е. осталось (8 – х)  (8 – х) 0,02 л кислорода, которые
растворились в 8 л смеси (после второго впуска азота). Концентрация кисло(8  x) 2  0,02 , а процентное содержание
рода на этом этапе равна
8
2
(8  x)  0,02
 100 %. Значит, получаем уравнение
8
(8  x) 2  0,02
100  9.
8
Математическая модель задачи составлена.
II этап. Р а б о т а с м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л ь ю .
Решите это уравнение самостоятельно и убедитесь, что оно имеет два
корня: х1 = 2, х2 = 14.
26
III этап. О т в е т н а в о п р о с з а д а ч и .
Ясно, что 14 л выпустить из сосуда, в котором 8 л, невозможно.
Значит, каждый раз выпускали из сосуда по 2 л смеси.
Ответ: 2 л.
Задача 13. В бригаде было 5 рабочих и 7 учеников. За 5 рабочих дней
бригада изготовила 850 деталей. Но, применив новые технологии, рабочие
повысили производительность труда на 20%, а ученики – на 10%, и поэтому
за следующие 5 рабочих дней бригада изготовила 985 деталей. Найдите дневную производительность труда по старой и по новой технологиям.
Решение.
I этап. С о с т а в л е н и е м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л и .
Пусть х деталей – средняя дневная производительность труда одного
рабочего по старой технологии, а у деталей – ученика. Тогда за 5 дней 5 рабочих изготовили 25х деталей, а 7 учеников изготовили 35у деталей. И, следовательно, из условия задачи следует, что
25х + 35у = 850.
Поскольку после применения новых технологий рабочие повысили
производительность труда на 20%, а ученики – на 10%, то за 5 рабочих дней
рабочие изготовили
25 x


 20  деталей, а ученики изготовили
 25 x 
100


35 y


10  деталей. И, значит, согласно условия задачи, получаем:
 35 y 
100


25 x


 20  +  35 y  35 y 10  = 985.
 25 x 
100
100

 

Упрощаем это уравнение и получаем:
30х + 38,5у = 985.
Полученные уравнения объединяем в систему уравнений, получаем:
25 x  35 y  850,

30 x  38,5 y  985.
Математическая модель задачи составлена.
II этап. Р а б о т а с м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л ь ю .
27
Для решения системы применим метод подстановки. Из первого
уравнения находим:
170  7 y
x
.
5
Подставим это значение х во второе уравнение системы и получим:
30 
170  7 y
 38,5  985,
5
или 1020 – 42у + 38,5у = 985,
или 3,5у = 35  у = 10.
170  7  10
170

7
y
А так как x 
 20.
, то x 
5
5
III этап. О т в е т н а в о п р о с з а д а ч и .
Опираясь на решение системы, заключаем, что первоначальная производительность труда у рабочих и у учеников была, соответственно 20 и 10
деталей, а после применения новых технологий она составила:
10
20
 10  11 (дет.).
20 
 20  24 (дет.), 10 
100
100
Ответ: 1) первоначально: 20 деталей и 10 деталей;
2) после применения новых технологий: 24 детали и
11
деталей.
§4. Задачи для самостоятельного решения
1. Катер прошел по течению 160 км и столько же против течения, потратив на весь путь 26 часов. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную
скорость катера.
2. Один рабочий выполняет работу на 3 дня скорее другого. Совместно они ту же работу выполнили за 3,6 дня. За сколько дней может выполнить эту работу каждый из них в отдельности.
3. В зрительном зале кинотеатра 300 мест. Если число мест в каждом
ряду увеличить на 2, а число рядов уменьшить на 3, то число мест в зрительном зале, уменьшится на 11. Сколько рядов в зрительном зале?
4. Двое рабочих за смену вместе изготовили 72 детали. После того как
первый рабочий повысил производительность на 15%, а второй – на 25%,
вместе за смену они стали изготовлять 86 деталей. Сколько деталей изготовляет каждый рабочий за смену после повышения производительности труда.
5. Две трубы, работая вместе, наполняют бассейн за 8 часов. Первая
из них, работая отдельно, может наполнить бассейн на 12 часов скорее, чем
одна вторая труба. За сколько часов, работая отдельно, каждая труба может
наполнить бассейн?
28
6. Товарный поезд был задержан в пути на 12 минут, а затем на расстоянии 60 км наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/ч.
Найдите первоначальную скорость поезда.
7. От пристани отправился плот. Через 4 часа от той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 15 км. Сколько времени находилась в пути моторная лодка, если ее скорость на 12 км/ч больше
скорости плота?
8. При постройке сооружения требовалось вынуть 8000 м 3 грунта в
определенный срок. Работа была закончена раньше срока на 8 дней, так как
бригада экскаваторщиков ежедневно перевыполняла план на 50 м 3. Найдите,
в какой срок бригада должна была закончить работу и найдите ежедневный
процент перевыполнения плана.
9. Токарь и его ученик должны были за смену вместе изготовить 130
деталей. Рабочий перевыполнил план на 10%, а ученик – на 20%, и они вместе изготовили 148 деталей. Сколько деталей каждый из них должен был изготовить до повышения производительности труда?
10. Нужно огородить участок земли прямоугольной формы площадью
3 га, одна из смежных сторон участка больше другой на 50 м. Сколько столбов и сколько упаковок штакетника будет израсходовано, если столбы ставятся через 3,5 м, а на 1 погонный метр расходуется 7 штакетников (в 1 упаковке содержится 100 штакетников)?
11. Два куска латуни имеют массу 60 кг. В одном куске чистой меди
содержится 10 кг, а в другом – 8 кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок латуни, если второй содержит меди на 15% больше первого?
12. Из заготовки квадратной формы со стороной 60 см рабочий должен сделать деталь, имеющую форму правильного восьмиугольника. Найдите
длины катетов отрезаемых по углам равнобедренных прямоугольных треугольников.
13. Чтобы полностью отремонтировать шоссе два студенческих отряда работали вместе 5,5 дня, а потом второй отряд работал еще 1,5 дня. За
сколько дней мог бы отремонтировать это шоссе каждый отряд в отдельности, если первый отряд может отремонтировать его на 3 дня быстрее, чем
второй?
14. На заводе разработали новый тип деталей для генераторов и из
875 кг металла стали делать деталей нового типа на 20 штук больше, чем делали деталей старого типа из 900 кг металла. Какова масса деталей старого и
нового типов, если две детали нового типа легче одной детали старого типа
на 10 кг?
15. Два студенческих отряда, работая вместе, закончили ремонт
участка шоссе за 6 дней. Одному первому отряду для выполнения 40% всей
работы потребовалось бы на 2 дня больше, чем одному второму отряду для
29
1
3
выполнения 13 % всей работы. Найдите, за сколько дней мог бы отремонтировать весь участок, каждый студенческий отряд, работая отдельно?
16. С пристани на станцию должно быть переведено 690 тонн груза.
Пятью трехтонными и десятью полуторатонными грузовиками. После нескольких часов работы все грузовики вывезли
25
груза. Чтобы выполнить
46
перевозку в срок, времени нужно на 2 часа меньше, чем было затрачено. Перевозка была закончена в срок, так как шоферы стали делать за час на одну
поездку больше, чем раньше. Найдите, за сколько часов был перевезен весь
груз и сколько поездок в час делали машины первоначально, если полуторка
делала на одну поездку в час больше трехтонки.
17. Смешали 24 кг муки одного сорта и 20 кг другого сорта. Килограмм муки первого сорта стоит 16 рублей, а стоимость 1 кг смеси больше 14
руб., но меньше 18 руб. Какова стоимость 1 кг муки другого сорта?
18. По плану токарь должен был ежедневно изготовлять по 24 детали.
Улучшив технологию производства деталей, он повысил дневную производительность труда на 15 деталей и за 6 дней до срока изготовил сверх плана 21
деталь. Определите:
а) сколько деталей изготовил токарь к этому времени;
б) какую дополнительную оплату он получил, если за каждую обработанную деталь по улучшенной технологии ему заплатили на 1 руб. больше.
19. Себестоимость 16 деталей одного вида и 20 деталей другого вида
6200 рублей. Если бы себестоимость деталей одного вида снизилась на 25%, а
1
3
второго – на 33 % , то себестоимость всех деталей снизилась бы на 1800
рублей. Найдите себестоимость одной детали каждого вида до и после снижения себестоимости.
20. К элеватору подано судно с 23000 т пшеницы двух сортов. Первый сорт содержит 5% сорных примесей, а второй их содержит 9%. После
зачистки получено 21130 т чистой пшеницы. Определите, сколько пшеницы
каждого сорта было на судне.
21. Если бы завод производил ежедневно на 20 единиц продукции
больше, чем в настоящее время, то в течение 8 дней он произвел бы более 900
единиц продукции, а если бы он ежедневно производил продукции на 12 единиц меньше, то за 10 дней он произвел бы продукции менее 900 единиц.
Сколько единиц продукции производит завод в настоящее время?
22. В акционерном обществе «Заря» общий удой молока за 1999 год
составлял 3 500 000 л, а в акционерном обществе «Восход» на 750 000 л
меньше, хотя коров на 100 голов больше, чем АО «Заря». Годовой удой молока от одной коровы в АО «Заря» на 1 000 л больше, чем в АО «Восход».
Найдите:
а) поголовье коров в каждом акционерном обществе;
30
б) среднегодовой удой молока на одну корову в каждом акционерном
обществе;
в) себестоимость 1 л молока в каждом акционерном обществе, если
стоимость содержания одной коровы с учетом заработка рабочих и всех других расходов составляет 300 000 руб. в год (расходы по реализации молока не
учитываются).
23. После двух снижений цен на одинаковое число процентов цена 1
м ткани снизилась с 20 у.е. до 16,2 у.е. На сколько процентов снижалась каждый раз цена 1 м ткани и на сколько процентов за все это время снизилась
цена 1 м ткани?
24. Конструкторское бюро завода разработало новый тип детали. Из
136 кг металла деталей нового типа стали делать на 9 штук больше, чем деталей старого типа из 125 кг. Какова масса деталей старого и нового типов, если
4 детали старого типа весят столько, сколько 5 деталей нового типа? Вычислите годовую экономию металла, если за год завод производит 2 500 00 деталей нового типа.
25. На одной откормочной базе акционерного общества «Заря» содержание и откорм поросят ведется традиционным методом и привес за сезон
составил 181,44 т, а на опытной базе АО «Восход» привес поросят 191,88 т. И
количество поросят на опытной базе на 460 голов меньше. Привес одного
поросенка на опытной базе на 30,6 кг больше. Найдите:
а) количество поросят на этих базах;
б) средний привес одного поросенка на каждой базе.
26. В учебных мастерских группа студентов должна выполнить заказ
на стулья за 15 рабочих дней. Если бы студентов в этой группе было на 5 человек больше, и каждый бы из них в день делал на 1 стул больше, то заказ
был бы выполнен за 16 рабочих дней. А если бы в группе студентов было бы
на 8 человек меньше, но каждый бы делал в день на 1 стул больше, то работа
была бы закончена за 20 дней. Сколько заработает один студент за 15 рабочих
дней, если за каждый сделанный им стул заплатят 22,5 руб.?
27. Бригада металлургов дважды усовершенствовала технологию
плавки. В результате каждый раз производительность труда повышалась на
один и тот же процесс и поэтому смежная плавка увеличилась с 10 т до
11,025 т. Найдите, на сколько процентов увеличивалась производительность
труда каждый раз?
28. В учебном цехе бригада студентов должна была к определенному
сроку изготовить 500 изделий. Перевыполняя план на 5 изделий ежедневно,
бригада за 2 дня до срока перевыполнила плановое задание на 8%. Сколько
изделий изготовит бригада студентов к сроку, если будет продолжать работать с той же производительностью труда?
29. На опытной станции с участка пшеницы и с участка овса, пораженных сорняком, собрали вместе 2 230 кг зерна. После применения ядохимикатов, уничтожающих сорняки с таких же по площади участков собрали
3 716 кг, так как урожай пшеницы повысился на 70%, а урожай овса – на 60%.
31
Найдите урожайность пшеницы и овса до и после очистки, если площади
участков были по 1 га.
30. Две бригады студентов, состоящие из 11 и 13 человек, усовершенствовали технологию производства и организацию труда, а потому производительность труда возросла соответственно на 20% и на 12% и обе бригады
вместе вместо 545 деталей изготовили 628 деталей за один рабочий день.
Найдите производительность труда каждого студента первой и второй бригад
за 1 рабочий день до и после повышения производительности труда.
31. Первый станок может за 1 час изготовить 25% всех заказанных в
мастерскую колледжа деталей. Производительность второго станка составляет 2/3 производительности первого, а производительность первого относится
к производительности третьего, как 3:1. За сколько часов будет выполнен
весь заказ, если все три станка будут работать одновременно.
32. За 4 дня совместной работы двух тракторов различной мощности
было вспахано 2/3 колхозного поля. За сколько дней можно было спахать все
поле первым трактором отдельно, если первым трактором можно вспахать
все поле на 5 дней быстрее, чем вторым.
33. В колледже планировали актовый зал на 300 мест. Если мест в
каждом ряду увеличить на 2, а число рядов уменьшить на 3, то число мест в
зале уменьшится на 11. сколько рядов спланировано в актовом зале колледжа?
34. Канцелярский стол двумя студентами собирается за 2 часа 55 минут. Первый студент может собрать этот стол на 2 часа скорее, чем второй
студент. За сколько времени, каждый студент, работая отдельно, мог бы собрать канцелярский стол?
35. Из сосуда емкостью 54 л, наполненного кислотой, вылила несколько литров и долили сосуд водой, потом вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?
36. Двое студентов, работая вместе в столярной мастерской колледжа,
выполнили некоторую работу за 6 часов. Первый студент, работая один, может выполнить всего работу на 5 часов скорее, чем второй студент, работая
один. За сколько часов каждый из студентов, работая отдельно, может выполнить всю работу?
37. Одна тракторная бригада должна была вспахать 240 га, а другая –
на 35% больше, чем первая. Вспахивая ежедневно на 3 га меньше второй бригады, первая все же закончила на 2 дня раньше, чем вторая бригада. Сколько
га вспахивала каждая бригада ежедневно?
38. Две студентки в швейной мастерской колледжа шили маскарадный костюм. После 2-х часов совместной работы одна из студенток получила
другое задание, и вторая, оставшись одна, закончила работу через 1 час 20
минут. За сколько часов могла бы сшить этот костюм каждая студентка, работая одна, если известно, что второй студентке на пошив маскарадного костюма понадобилось бы на 1 час 10 минут больше, чем первой?
32
39. В столярной мастерской колледжа была сделана гужевая повозка.
На расстоянии 80 м передние колеса ее сделали на 8 оборотов больше, чем
задние. Найдите длину окружности каждого колеса, если известно, что длина
окружности передних колес на 0,5 метра меньше длины окружности задних
колес.
40. Два куска электрического кабеля в сумме имели длину 70 м. После того, как от одного из них отрезали 10 м, длина оставшегося куска стала
втрое больше длины второго куска. Найдите первоначальную длину найденного кабеля.
41. Бассейн наполняется через три трубы. Первая и вторая трубы, работая отдельно, могут наполнить бассейн за 54/7 часа, а вторая и третья – за
54/5 часа. За какое время каждая из труб, работая отдельно, может наполнить
бассейн, если известно, что первая труба наполняет его на 13,5 часа быстрее
третьей?
42. В колхозе было собрано 12 000 озимой ржи. Если бы урожайность
была на 25% выше, то такой же урожай можно было бы собрать с площади на
80 га меньшей, чем с фактически засеянной. сколько га было засеяно и какой
урожай был получен с 1 га?
43. В химической лаборатории смешали 30%-ый раствор соляной
кислоты с 10%-ым и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора взято?
44. Кусок меди и цинка массой в 36 кг содержит 45% меди. Какую
массу меди надо добавить в этому куску, чтобы получить новый сплав, содержащий 60% меди.
45. Имеется кусок сплава меди и олова массой 12 кг, содержащий
45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы
получить новый сплав, который содержал бы 40% меди.
46. Земельный участок прямоугольной формы обнесена забором. Если от него отрезать по прямой некоторую часть так, что оставшаяся часть
кажется квадратом, то при этом площадь его уменьшится на 400 м 2, а изгородь уменьшится на 20 м. Найдите первоначальные размеры участка и его
площадь.
47. Две шкурки ценного меха общей стоимости в 22 500 руб. были
проданы на международном аукционе с прибылью в 40%. Какова стоимость
каждой шкурки, если от первой было получено прибыли 25%, а от второй
50%?
48. Одна бригада может убрать все пшеничное поле за 12 дней. Другой бригаде для выполнения той же работы потребуется 75% этого времени.
После того, как в течение 5 дней проработала одна первая бригада, к ней присоединилась и вторая, и обе вместе они закончили работу. Сколько дней бригады работали вместе?
49. Со склада вывозили железные болванки массой по 500 кг и медные болванки массой по 200 кг на грузовике, который может везти не более
33
4-х т. Было погружено 12 болванок. Сколько среди погруженных болванок
было железных?
50. На уборке урожая 2 комбайна работали 3 дня, и сверх того один из
комбайнов работал еще 4,5 дня. За сколько дней каждый комбайн, работая
отдельно, уберет весь урожай, если один первый может провести уборку на 2
дня скорее, чем один второй.
Замечание. Эти задачи могут быть использованы учителями и преподавателями для организации тестирования или же могут быть включены
в тексты контрольных работ, которые предназначены для проверки качества усвоения темы. Поэтому ответы к задачам здесь не приводятся.
34
Послесловие
Ранее было отмечено, что в настоящее время особую роль стали играть методы формализованных моделей. Едва ли найдется такая наука, такая
область человеческой деятельности, среди методических средств которой не
было бы моделей, создаваемых на основе математики и информатики.
В предлагаемом читателю учебно-методическом пособии изложена
лишь толика обширного материала: в нем показаны лишь те прикладные задачи, при решении которых в роли математических моделей выступают уравнения и системы уравнений. Это связано с тем, что материал учебнометодического пособия строго соответствует СПО педагогических колледжей. За рамками учебного пособия остались случаи, когда математическими
моделями реальных жизненных ситуаций являются функции, дифференциальные уравнения, неравенства, системы неравенств, смешанные системы. Не
освещено использование метода математического моделирования в экономике. Составитель пособия надеется, что заинтересованные читатели познакомятся с этими вопросами самостоятельно. Неоценимую помощь им в этой
работе окажут учебные пособия и статьи из журналов, названные в библиографическом списке к этому учебно-методическому пособию.
35
Библиографический список
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Терешкин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики. М.: Просвещение, 1990.
Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в
преподавании математики. М.: Просвещение, 1990.
Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. М.:
Знание, 1991.
Виленкин Н.Я. Функция в природе и технике. М.: Просвещение,
1985.
Апанасов Н.Т., Апанасов Н.П. Сборник математических задач с
практическим содержанием. М.: Просвещение, 1987.
Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Рассказы о прикладной математике.
М.: Наука, 1974.
Петров В.А. Математический анализ в производственных задачах.
М.: Просвещение, 1990.
Журналы «Математика в школе». № 3 – 1982, № 1, 3 – 1986, № 3 –
1984, № 2, 4 – 1989, № 2 – 1988., № 6 – 1990.
Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 1986.
Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. М.: Высшая школа, 1976.
Журнал «Современное образование». № 2 – 2000.
Ларин С.В., Кондрашов А.М.. Системы линейных неравенств. Красноярск: РИО КГПУ им. В.П. Астафьева, 2003.
Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики (5-9
классы). Лекции. М.: педагогический университет «Первое сентября», 2010
Шевкин А.В. Текстовые задачи: 7-11 классы. Учебное пособие по
математике. М.: Русское слово, 2003.
Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ (2004 г.)
М.: изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ,
2005.
Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во
ВТУЗы. Под ред. М.И. Сканави. М.: Высшая школа, 1978.
Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по решению математических задач. М.: Просвещение, 1984.
36
Содержание
Предисловие
3
§ 1. Сущность метода математического моделирования
5
§2. Решение прикладных задач с помощью составления уравнений и
систем уравнений
8
§3. Образцы задач, решаемых методом
11
математического моделирования
11
§4. Задачи для самостоятельного решения
28
Послесловие
35
Библиографический список
36
37
Оригинал-макет и компьютерная верстка:
А.П. Афанасьева, Т.Н. Игошина, Е.Н. Федоров,
методисты отдела информационных технологий
663606, г. Канск, ул. 40 лет Октября, 65
тел. (39161) 2-56-30, факс (39161) 2-55-91
E-mail: kanskcol@rambler.ru