Романов А.Д. История математики

Министерство общего н профессионального образования Р Ф
Филиал С;шкг-Пс
1 с р о \ | > | CKOIо
iocv;uipe 1веппои>
MOpOKHIXl ГСХШГЧССКОГО vnHBcpciircin
СЕВМАШВТУЗ
А.Д. Ром а нон
ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
Учебное пособие
CciJCpiVUlHIlCK
ОгветсIценный редактор, канднда! физико-ма)сматически\ на%к. доцент
Сачышкина Н.Д
Рецензенты: канл. физ.-wai наук. профессор кафедры математического
анализа и геомефии ИГУ им. М.Б.Ломоносова ').(). Зеель. канл. фил. на\к.
доцент. ;аа. кафедрой 1\манигарно[о образования и воспитании Сеамашвгуза I ' l l . MonacibipcKiiv старший прсподав.'педь кафслры математики
Севмашвг.за О.В boi данчикона.
УДК 51 (09)^075 8)
Романов А.Д. История математики.
Учебное пособие. Северодвинск: РИО Ссвмашв1\ ia, 1998,
]]7с.
Подготовлено кафедрой математики.
Учебное подобие предназначено для студентов, обучающихся по
специальности 0101 — математика. П первой i.iaee основное внимание
\де.]ено вопросам становления математики как пачки, накопления матема­
тических знаний в Древнем Нгипте. Вавилоне, Китае. Индии. Греции. Вто­
рая глава посвящена рассмотрению известных ;алач. сыгравших иметную
роль в развитии ма!смагики Третьи п а в а охватывает период времени с
начала XIX века по начало XX. и освещает вопросы математическою об­
разования в России, научной и педагогической деятельности наиболее из­
вестных русских ма/сма[икив В конце каждой ыаны приведены кон1 рольные вопросы.
Методы математических исследований используются в самых раз­
ных ou.iaeux знаний, поэтомv данное пособие, н коюром оевешена исто­
рия paiOHucx некоторых магматических идей, б^дет поле .по н С у д е т а м
др\ гих специальностей, как технических, так и п машиарных.
Цд. 42. биСииотр. 12 наш.
ISBNS-7723-0061-X
Сснчашвтуз. 1998
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение. Предмет и метод истории математики
Главк 1. Развитие математики как науки
1.1. Роль практики в р а з в и т и и математики
1.2. Связь математики с д р у г и м и науками
1.3. Главнейшие периоды в истории математики
J .4. Процесс формирования математических представлений
1.5. Математика Древнего Египта
1.6. Математика Древнего Вавилона
1.7. Математика Древнего Китая
1.8. Математика Древней И н д и и
1.9. Математика Древней Греиии
1.10. Контрольные вопросы
Глава 2. Некоторые математические задачи. Развитие понятия
функции
2.1. Знаменитые з а д а ч и древности
2.2. Квадратура круга
2.3. Трисекция угла
2.4. Удвоение куба
2.5. Теорема П и ф а г о р а
2.6. Некоторые известные математические з а д а ч и
2.7. История теоремы Ферма
2.8. Задачи из «Арифметики» М а г н и ц к о г о
2.9. Возникновение и развитие понятия функции
2.10. Контрольные вопросы
Глава 3. Развитие математических исследований в России
3.1. Математика в России первых трех десятилетий X I X в
3.2. Н а у ч н а я и педагогическая деятельность М и х а и л а
Васильевича Остроградского
3.3. Виктор Яковлевич Буняковский. Ж и з н ь и деятельность
3.4. Николай И в а н о в и ч Лобачевский
3.5. Математика в учебных заведениях России
в 30-50-е г о д ы X I X в
3.6. Творчество П а ф н у т и я Львовича Чебышева
3.7. Математика в России в 60-80-х годах X I X в. Софья
Васильевна Ковалевская
3.8. Развитие математики в академии наук в 1890-1917 г.г
3.9. Ко1ггрольные в о п р о с ы
Пытающиеся математики, годы жизни
Литература
,
4
5
5
6
6
7
10
12
14
16
18
21
22
22
23
27
31
35
41
47
52
57
69
70
70
73
82
87
91
94
96
99
109
ПО
116
ВВЕДЕНИЕ
Предмет и метод истории математики
Все отрасли математики, к а к и м и б ы р а з л и ч н ы м и они ни каза­
лись, объединены общностью предмета. Этим предметом являются ко­
личественные отношения и пространственные формы действительного
мира. Различные математические науки имеют дело с частными, от­
дельными в и д а м и этих количественных о т н о ш е н и й и пространствен­
ных форм, или же выделяются своеобразием своих методов.
Состав математики, как и всякой д р у г о й науки, следующий:
а) ф а к т ы , накопленные в ходе ее р а з в и т и я ;
б) гипотезы, т.е. основанные на фактах научные предложения,
подвергающиеся в дальнейшем проверке о п ы т о м ;
в) результаты обобщения фактического материала, выраженные
в математических теориях и з а к о н а х ;
г) методология математики, т.е. общетеоретические истолкова­
ния математических законов и теорий, характеризующие общий под­
х о д к изучению предмета математики.
Все эти элементы взаимосвязаны и постоянно находятся в р а з ­
витии. Выяснения т о г о , к а к происходит это р а з в и т и е в изучаемый ис­
торический п е р и о д и куда оно ведет, и является предметом истории
математики, о д н о й из математических дисциплин. История математи­
ки есть н а у к а об объективных законах р а з в и т и я математики.
1
#
Развитие математики
к а к науки
1.1. Роль практики
в развитии
математики
Математика - одна из самых древних наук. Математические по­
знания приобретались людьми уже на самой ранней стадии развития под
влиянием даже самой несовершенной трудовой деятельности. По мере ус­
ложнения этой деятельности изменялась и разрасталась совокупность фак­
торов, влияющих на развитие математики.
Со времени возникновения математики как особой науки со своим
собственным предметом исследования наибольшее влияние на формироианис новых понятий и методов математики оказывало математическое ес­
тествознание. Под математическим естествознанием понимается комплекс
наук о природе, для которых на данной ступени развития оказывается воз­
можным приложение математических методов. На прогресс математики
ранее других наук оказали влияние астрономия, механика, физика.
Непосредственное воздействие задач матемажческого естествозна­
ния на развитие математики можно проследить на протяжении всей ее ис­
тории. Так. например, дифференциальное и интегральное исчисление в его
наиболее ранней форме счисления флюксий возникло как наиболее общий
в то время ми юл решения задач механики, в том числе и небесной механи­
ки. Теория полиномов, наименее уклоняющихся or нуля, была разработала
русским академиком 11.Л. Чебышевым в связи с исследованием паровой
машины. Метол наименьших квадратов возник в связи с большими геоде­
зическими рабЧнами, проводившимися под руководством К.Ф. Гаусса.
В настоящее время под непосредственным влиянием запросов но­
вых областей техники получают бурное развитие многие области матема­
тики: комбинаторный анализ, методы приближенного решения дифферен­
циальных и интегральных уравнений, теория конечных групп и т.д.
Выход математики в естествознание происходит в результате при­
ложения существующих математических теорий к практическим пробле­
мам и разработке новых методов их решения.
В свою очередь практика, и в частности техника, входит в матема1ику как неизменное вспомогательное средство научного исследования, во
многом меняющее лицо математики. Гак современные ЭВМ открыли неотрапиченные возможности для решения класса задач, решаемых средствами
математики, и изменили соотношения между методами нахождения точно­
го и приближенного решений.
1.2. Связь математики
с другими
науками
Область приложений математики постоянно расширяется и зто одно
из свидетельств наличия и укрепления связей математики с другими нау­
ками. Математика не только развивается под воздействием других наук.
Она в свою очередь внедряет в д р у ш е науки магматические методы ис­
следования. Применения математических методов в е и е и в о з н а н и и имеет
две стороны:
а) выделение математической задачи, приближенно соответствуюШС.Й явлению или процессу, г. е модели и нахождение метода ее решения;
б) разработку новых математических форм. т.к. неизбежно выявля­
ется несовершенство, приблизительность построенной математической мо­
дели.
История математики изобилует примерами поисков универсальных
математических методов, дающих возможность решать все или большин­
ство задач. Едва ли не каждый крупный успех математики порождал по­
добные стремления. Факты истории убеждают в отсутствии такого универ­
сального метода п учат правильному применению математических методов
в соответствии с качественным своеобразием изучаемых явлений и про­
цессов.
Наиболее полно матемашческие методы применяются в механике и
о небесной механике - пауках, предмет которых и высокой степени абст­
рагирован от совокупности факторов, определяющих изучаемое явление.
Широкие применения пахо,чят математические методы в физике, где не­
редко наибольшие трудности предекш;1яют правильная постановка задачи
и интерпретация полученных результатов. Биологические науки еще сущес!венно oiраничиваю! в о з м о ж н е й приложения машмажческих методов
из-за большого качественною своеобразия объектов изучения. Наимень­
шую приложимость методы мак-матики имеют сейчас в общественных
науках, где в основном кроме >.тементарных употребляются вероягностнос1агисшчсские меюды.
За последние годы достипгуты значительные успехи в развитии ки­
бернетики, вычислительной техники, дискретной математики Вследствие
п о ю возросла роль математики в экономике, с и а с м а х управления, психо­
логии и ряде других наук.
1.3. Главнейшие
периоды и истории
математики
13 истории математики можно различать отдельные периоды, отли­
чающиеся друг от друга рядом характерных особенностей. Периодизация
необходима, чтобы легче разобраться во всем богатстве фактов историче­
ского разни 1ия магемажки. Существуй! много попыюк периодизации ис-
тории математики. Периодизация проводится по странам, ко социальноэкономическим формациям, по выдающимся открытиям, определяющим
на известное время характер развития ма1ематики. и т.д. В частности
Л.И, Колмогоров в истории математики различает следующие периоды:
1. ) Зарождение математики. Этот период продолжается до V I V вн. до нашей эры, т.е. до того времени- когда математика становится са­
мостоятельной наукой, имеющей собственный предмет и методы. Начало
периода геряегся в глубине исюрии первобытного человечества. Харак­
терным для этого периода является накопление фактического материала
математики в рамках общей неразделенной науки.
2. ) Период элементарной математики, продолжается от V I - V вв.
до нашей эры до XVI в. пашей эры включительно. В этот период быта
достишугы успехи в изучении постоянных величин. Некоторое представ­
ление об этих достижениях можег дать математика, изучаемая ныне в
школе. Период заканчивается, когда главным объектом задач математики
делаются процессы, движения и начинает развиваться аналитическая гео­
метрия и анализ бесконечно малых.
Понятие элементарной математики спорно, и в настоящее время не
существует его общепризнанного определения, однако выделение во вре­
мени такого периода представляется вполне оправданным.
3. ) Период создания математики переменных величин. Начало это­
го периода знаменуется введением переменных величин в аналитической
геометрии Декарта и созданием дифференциального и интегрального ис­
числения в трудах И. Ньютона и Г.В. Лейбница. Конец периода относится
к середине XIX в., когда в математике произошли те изменения, которые
привели к современному ее состоянию. В течение этою бурного и богатого
событиями периода сложились почти все научные дисциплины, известные
сейчас как классические основы современной математики.
4. ) Период современной математики. Понятие современности в
математике, очевидно, постоянно смещается. Вероятно, межту периодом
создания математики переменных величин и современностью уже можно
выделить новый период. В XIX и X X вв. объем пространственных форм и
количественных отношений, охватываемых методами математики, чрез­
вычайно расширяется. Появилось много новых математических теорий,
невиданно расширились приложения математики.
1.4. Процесс формирования
представлений
математических
Процесс формирования математических понятий и регулярных
приемов решения определенных классов элементарных задач охватывает
огромный промежуток времени. Его начало, по всей вероятности, относит­
ся к далекому времени, когда человек перешел к использованию орудий
для добывания средств существования, а затем и к обмену продуктов гру­
да.
Материальные свидетельства, по которым можно изучать этот са­
мый ранний период в истории математики, немногочисленны и неполны.
В процессе исследования необходимо привлекать факты общей истории
культуры человечества, по преимуществу археологические материалы и
историю языка. История математики периода ее зарождения практически
неотделима от общей истории человечества.
Формы и пути развития математических знаний у различных наро­
дов весьма разнообразны. Однако при всем своеобразии путей развития
общим для всех народов является то, что все основные понятия математи­
ки: понятие числа, ф ш у р ы , площади, бесконечно продолжающегося нату­
рального ряда и т.д. — возникли из практики и прошли длинный путь со­
вершенствования. Например, понятие числа возникло вследствие практи­
ческой необходимости пересчета предметов. В начале считали с помощью
подручных средств: пальцев, камней, еловых шишек и т.д. Следы этого со­
хранились в названии математических исчислений. Например, calculus в
переводе с латинского означает «счет камешками». Ряд известных и ис­
пользуемых натуральных чисел был конечен и удлинялся лишь постепен­
но. Сознание не*) граничен ной продолжимости натурального ряда является
признаком высокого уровня знаний и культуры.
Наряду с употреблением все больших и больших чисел возникали и
развивались их символы, а сами числа образовывали системы. Для ранних
периодов истории материальной культуры характерно разнообразие чи­
словых систем. Однако они постепенно совершенствовались и унифициро­
вались. Употребляемая ныне во всех странах десятичная позиционная сис­
тема нумерации
итог длительного исторического развития.
Вй предшествовали:
1.) Различные иероглифические непозиционные системы В каждой
из них строится система так называемых узловых чисел (чаще всею 1, 10,
100, 1000. . . . ) . Каждое такое число имеет индивидуальный символиероглиф. Остальные числа (их называют алгоритмическими) образуются
приписыванием с той или другой стороны узлового числа других узловых
чисел и повторением их. Примерами таких систем являются египетская,
финикийская, пальмирская, критская, сирийская, аттическая (или Геродианова), сгарокигайская, сшроиндусская (карошги), ацтекская, римская.
Последняя имейi систему узловых чисел: 1, V, X, 1- С, D. М. построенную
по десятичному признаку с заметным влиянием пятеричной системы
2.) .ифишшшьи- системы счисления. В них системах буквы алфа­
вита, втятые по 9. используются соответственно ;(ля обозначения единиц,
десятков- сотен. В случае если букв алфавита недостаточно, привлекаются
дополни (сльимс буквы и знаки. Типичный пример алфавитной системы
греческая ионическая (древнейшая сохранившаяся запись, сделанная гш
этой системе, относится к V R ДО нашей эры):
*.
с
L
0.
О •
4.
5.
6.
7.
8.
9.
я.
»\
J
5
л.
|/ •
*0. 40.
50.
60.
70.
80.
90.
.
".
//
1.
2.
3.
'\
х.
Д~
10.
20.
_
р.
о-.
г,
.У .
,
100,
200.
300.
400.
500.
%600.
ч
^ •
700.
"> НПО.
*•
900.
Запись числа по ттой системе ясна из примера: QjiS - 444..
Алфавитные системы удобнее из-за краткости записи, однако они
малопригодны для оперирования с большими числами и требуют больших
усилий для запоминания. Примерами алфавишой системы, кроме приве­
денной, являются древнеславянская кириллица (глаголица), еврейская,
арабская, грузинская, армянская и др.
3.) Птиционные недесятичные, а затем десятичная системы. К
позиционным недесятичпым системам относятся вавилонская, индейская
(племени майя на полуострове Юкатане индийская, современная двоич­
ная.
Записи в позиционной десятичной CHCICMC С нулем впервые появи­
лись около 500 г. до нашей эры в Индии.
Также в результате длительного историческою развития из повсе­
дневной практической деятельности людей сформировались другие мате­
матические понятия: площадь, объемы и другие абстракции пространст­
венных свойств предметов.
Накопление линий как численно-арифметического так И геомстрического характера создало предпосылки для формирования магматиче­
ских теорий.
И когда такие предпосылки оказываются действующими в замет­
ных масштабах, а в обществе образуйся прослойка людей, умеющих поль­
зоваться определенной совокупностью математических приемов, тогда по­
являются основания говорить о начале существования математики как
науки, о наличии ее элементов.
Раеемо]\iu\[ копире-ню ранние С 1 л д и и фор.ми/ювапия мшсишиьи ни
примере сохранившихся иалшников м а к ч а ш ч е с к о й кчлмчры древних
ei ишнп. Кишинев и 1 р е к о в .
/.5. Математика Древнего
Египта
Современные шчпапия о древнее! IIHCICKOM мигемашке основаны
| лавпы.м обра ;пм па ДВУХ бо. и.шич папирусах ч а к ч л и ч е с к о т характера и
па пескод|,ки\ небольших офывках. Одни н ; оо.и.шич нанир\сов. напи­
санный около
щ пашей <ры на i i . m a e i c n м;нсча|ическим папиру­
сом ['анида ( R U I I K I ' I \пи .иан n o имени \ ч е и о ю . cm ойпарчжившет). Он
прий ж и п е л ы ю 5.? м длины и о , . С м ширины. Д р ч о й большой папирус,
пи-пи Micoii же .пины и Н ем ширины, пачоднкя в Москве.
Иапирч. I ' u m u a upe,!ctaH.)wei еоГюи собрание НА задач прикладною
хараклера. При решении нич ;адач прол ,иода гея дейеппы с дробями, вы­
числяю! са идо!ил 1н прямо\ /одышка, L pes i одышка, i ранении и крма (по­
следняя равна
^./
). ч ю coi>uieii4it>"ei нрпо жжению я - .i.!f>0S. объемы
имлнпдра. ри-.мери пирами i Пмемнея шкже шдачи на
де юнпс. а при решении и шон ;адачп находиiс» сумма
I e o M c i p m i e c K o f i прщ рееепп.
В московском п а п и р у с еобраиы решения
;адач, Ьолыпинспю их
ы ы ч о ж с 1 и н а . как и в n a i i u p v e e J ' a n n . u Кроме n>io. is одной и; задач
i№ Ы) нранн.илю шлчис-iifeiем 'п'и.сч чеечеппой пирамиды с к в а д р а т ы м
основанием И (рм'ои !;(ддче iH« ' " i en i c p . K i i IC;I самим ранний г. м;немашке пример он реле 1 е м и а площади u p i m o i t иоиерхиосли н и ч и с л я с 1 е я бо­
ковая Н1-исрчмос!Ь k'ip ;цц|.(. i . e . цодч цилиндра. ии».оы к о 1 о р о ю равна
iKipa
иеденипедя
П]'ичюрниомал1>пчс
Дн^мс1р> 'Kii.'ivatiii:;
При и'.учении ео 1ержа))ия ма i e \ i a i ичееких папирусов обнаруживпчле tMoiumi \рокеп!> ма!сма!ически\ шапий древпич ei m u a u .
Ко кремени написания них д о к \ ч е н ю ц уже сДожнлаев определен­
ная сие!ема счисления: десяшчпая иероглифическая ,'[ля хзлоных чисел
вида [0* ( К О 1. 2
7) \с l a i i o i t . юны пи ппшд\ алвные n c p o i шфы. Длjориiмичеекпе числа ; а п и е ы н а д н е 1 . комбинациями \'..юных чисел. С по­
мощью -ной системы егип I я не справились со чесми г . и ч и е к л т я м и у, к о т pi>i4 чвчребляюк'Я целые числа. Ч ю касаелся дробей, ю einimuie создали
специальный a n u a p u i . опиравшийся на понимание дроГш. как доли едини­
цы К сн.|\ м о ю предсктлепия \ i i o i p e f i д я л и с ь лини, дроби аликношые
urn r.i I п) и некоторые индипплмыьные как например. 2 * и 3 4 Все рел л ы а н п . коюрыс до )жпы бы i n n i , i p a > k a i в с я цюбями вида ш и в^^ражалпеь с\ммой адикиошых цтбем Л ля об jei чения о и \ оперении были со-
ciot
ставлены специальные таблицы, например, чисел вида 2' п (п 3, .... 101).
Интересно отметить, что в этой таблице подбор слагаемых неоднозначен.
Таблицы. по-видимом\'. составлялись в течение долгого времени, склады­
вались постепенно и в дошедшем до пас виде иредетвлякм просто сводку
достигнутых резулыа гов.
Сложились также определенные приёмы производства математиче­
ских операций с целыми числами и дробями. Общим для всей вычисли­
тельной техники египтян является ее аддитивный характер, при котором
все процедуры по возможности сводятся к сложению. Совместно с прими1ИННЫМ пониманием дроби только как части единицы эта особенность
обусловила своеобразный характер вычислений.
При умножении, например, преимущественно используется способ
постепенного удвоения одною из сомножителей и складывания подходя­
щих частных произведений (отмечены звёздочкой):
(12-12)
1 12
(21 j
^
1 г 1.1
(
2 24
v 3 5 30
>
3 5 30
V ' ч 5 30 V
1
1
*4
*8
48
96
(44
*2
4
*
2 \±
3 10 30
з' 2 10
J4
U
'
V. 30
1
| 2 2 ±
3'53 15
'
'
'
15'is ' 15 ~ Ю ' 30
+
1
8
2 11 1
. или 9.
3 5 Го 30
При делении пиоке используется процедура удвоения и поеледоеаюлыюго деления пополам. Деление, по-видимому, было самой трудной
м и с т и ч е с к и й операцией д . и ешпгяи. Здесь наблюдается большое раз­
нообразие приёмов.
При сложении дробей, имеющих разные знаменатели, египтяне ис­
пользовали умножение их на вспомогательные числа. Способы подбора
•vnix вспомогательных чисел не дают, однако, права судить об этом приёме
как об единобрачном промессе, адекватном способу приведения к общему
знаменателю.
Материалы, содержащиеся п шпирусах, позволяют утверждать, что
за 20 веков до нашей эры в Кгиптс начали складываться элементы матема­
тики как науки. Эти э л с м е т ы еще только начинают выделяться из практи­
ческих задач, целиком подчинены их содержанию. Техника вычислений
еще примитивна, методы решения задач не единообразны. Однако мате­
риалов, которые позволяли бы вообще судить о развитии математики в
Кгиптс. ещё недостаточно.
1.6. Математика
Древнего
Начи.юнц
Д р ч и м примерим loin же рода м о ж е ч ед\жии> маюмтическос на­
следие Древнею Вавилона. '>ш лашамне обычно paciipocipaijjietcji на со­
вокупное i ь locvmpeiB. расиола! ашннчея it междуречье 1'шра n 1.вфра(а н
сущееiпопивших в моржи of 2000 д о 200 i до пашей >ри. До нас дошло
о к о л о e i a ш е я ч (линямыч габличек с клинописными записями. Од мл к о
табличек с юкешчи м и т е м а ж ч е с к о т содержания и :кесп<о о к о л о 50. а ма­
гматических l a o . w n о с ; t c K i i a
о к о л о 200.
Уже самые древние I C K C J M . OIносящиеся к последнему ш\"чсрском\
периоду (|рец.я динас i ия Ура. 2100 г. д о нашей >ры>. показываю! высокое
В Ы Ч И С Д И 1 С Л Ы Ю С иек\есщо. ')ш
ю к о ы содержаi шблииы для умножения,
в коюрыч х о р о ш о ра ;ви1ая шее i идеей 1ичная сиеiома счисления сочетайся
с б о л е е ранней доопичной сиеюмой, здесь (шеююн клинописные симво­
лы, обозначающие I , ы). .Ш) и шкжо б0"\ ы>~~. £ > д п и к о >ю не было панбоice характерной ич черюп U ю иремя www е з и п ш ю каждую единица по юе
высокою разряда обозначаю! новыми символами, шлморы моль ювадиа.
одним и ie\i же символом, н о \ ка ii.iiia.in его значение еп> положением.
Так. I . ш ко юрой следовала л р м а я I . лапала мнись числа o l , а 5 с после­
дующим о с последующим .1 юбошачнм
5. <к "i i. обошачлди
:
5-60
660
3
ISS6S.
Такая но;нпиопнал с п л е ч а не оыичасюм. ни е м н юла. o i пашен
c H C l O M i . i записи чисел. I |одо<"nuitf еисюма i i M e e i o t p o \ n i o e нреичущеспю
при вычислениях ч ю ложно ера iv \видеи> если п о ц и п и и я выполним,
умножение и в нашей онеюме. и i: спсюме с римскими мшарами. Позици­
онная сне (ома ч'орипя УЛ MHOIHC | р \ и ю с ш в арифмеижо фобе и K I K же.
как ч ю происходит при нашей сиеiоме с виедемнсм десяшчпыч дрооей.
! 1о-видимом\. вся епсюма была нсчюсредс! пенным р с л . и л а ю м р а а ш ш я
техники Управления, ч ю заевидеимьсгвоилпо в п.юячач I C K C I O B мчо же
периода. 1дс речь и iei о шкланкач окюа. ;сриа и i д и о етг.аиных с
мим арнфмешчесьих вычислениях.
При
i. чела емцес i u o u u a
нек'мора.ч меипределепзначение с и м т ч п че иесчда ^ы. ь • т л ю цо а о положению
'1'ак. (5. 0 . } ) М 0 1 . Ю Iакже о;пачам, 5 60' • 6 60" S (>(>'' ЗОо I 20 н ючное
исюлковапие надо бы ю извлечь из кошекекг Др;лая псиПределспп.^л,
i i o i i m i c i a п;-;а г < ч о ч ю незаполненное моею иной раз означало н \ и>. l a i ;
носИ).
клч'ом способе
1ак как
ч и н 11. 5 I мо[ ю о т я I ь в мое ю / 1 64'
5
JM605
Как ш е с ш д с е я т ч п а я UICJOM.I 1 а ь П лощппоппоеи. снеючы счис­
ления ока ;адась прочным дое юяпием че.ювечес! i:a. Паше ci-временное , ioление часа на о0 м и и ч и ло(ККск\ид в о с ч о п п к шу\крам. равно как и
наше деление окружное ш на My(i . каждою i рад>оа lia Ы) мнн\ i и каждой
J
минуты на 60 секунд. Что касается позиционной системы, непреходящее
значение которой сравнивают со значением алфавита, то ее история в зна­
чительной мере еще темна. Есть основания предполагать, что как индейцы,
так и треки познакомились с нею на караванных путях, которые вели через
Вавилон. Известно также, что арабы говорили о ней как об индийском
изобретении. Однако вавилонская традиция могла повлиять на все позд­
нейшие распространение позиционной системы.
Следующая группа клинописных текстов относится по времени к
первой вавилонской династии, когда в Вавилоне правил царь Хаммураии
(около 1950 I . до нашей эры), и семитское население подчинило себе ис­
конных жителей шумеров. В л и х текстах видно, что арифметика разви­
лась в хорошо разработанную алгебру. Нгиптяне того же периода были в
состоянии решать только простые линейные уравнения, а вавилоняне вре­
мен Хаммурапи полностью владели техникой решения квадратных урав­
нений. Они решали линейные и квадратные уравнения с двумя неизвест­
ными, решали даже залачи. сводящиеся к кубическим и биквадратным
уравнениям. Такие адачи они формулировали только при определенных
числовых значениях коэффициентов, но их методы не оставляют никакого
сомнения относительно того, что они знали общие правила.
Резко выраженный арифметико-алгебраический характер вавилон­
ской математики проявляется и в геометрии. Как и в Египте, геометрия
развивается на основе практических задач измерения, но геометрическая
форма задачи обычно является только средством для того, чтобы поставить
алгебраический вопрос. Тексты показывают, что вавилонская геометрия
семитского периода располагала формулами для площадей простых пря­
молинейных фигур и для объемов простых тел. хотя объем усеченной пи­
рамиды еще не был найден. Так называемая теорема Пифагора была из­
вестна не только для частных случаев, но и в полной общности. Основной
чертой этой геометрии был все же алгебраический характер. *>то в равной
мере относится и ко всем позднейшим текстам (от 600 г. до нашей эры до
300 г. нашей эры). Тексты н о ю последнего периода обнаруживают значи­
тельное влияние вавилонской астрономии, которая в это время приобрета­
ет характер настоящей науки. Вычислительная техника математических
Iекстов становится еще совершенней; алгебра справляется с задачами на
уравнения, для которых требуется значительное вычислительное искусст­
во.
От эпохи Селевкидов дошли вычисления, которые доведены до
семнадцатого шестидесятичного знака. Столь сложные вычислительные
работы уже нельзя связать с вычислением налогов или измерением
сти-
МАРКОВ Андреи Андреевич (младший) (1903-1979)
советский матема­
тик С ь ш . т Л Маркова (старшего)'.
МАРКОВ Владимир Андреевич (1871-1897)
русский математик, брат
.1/1 Маркова (старшего);
M l i l l F X M (ок. 360 г. до нашей ?ры)
древнегреческий математик. Уче­
ник ЕаЯокса и его преемник в руководстве школой R Кинике:
МГЛЦГРСКИЙ Иван Вееволодивич (1859-1935)- русский и советский
м л 1 с м а 1 и к и механик;
МКНИУС АВГУСТ Фердинанд 117«0-1Х6Х) - немецкий геометр и астроном;
МИНКОИСКИЙ Герман (1864-1909)
немецкий математик и финик:
МОНЖ Гаспар (1746-1818)
французский г с о м а р и общественный дея­
тель. Творец начертательной геометрии;
МУАВР Абрахам де (1667-1754) - - английский математик:
,ЦК1ШР Джон (1550-1617) - шотландский математик;
ПЫОТОП Исаак (1643-1727)
английский физик, механик, астроном и
математик, заложивший основы естествознания:
ОРКМ (ОР1-ХМ) Никола (1323-1382) - французский машматик, финик и
экономист;
ОС W ЮРСКИЙ Тимофей Федорович (1765-1832) - русский математик и
мыслител 1.-материалист. Один из учителей MR.
Острограоского.
ОСТРОГРАДСКИЙ Михаил Васильевич (1801-1862) — русский ма(емаш к н механик;
НАИН (2-я пол. I l l в.) — древнегреческий математик. Очевидно, работал в
Александрии, |.к. его иногда называю! Пашюм Александрийским;
Г ШАЛО Длсу;е1шс(1858 1932)
шалышский м и ю м а ш к и лот нк;
ПИКАР Шарль '>ммль (1856-1941)
французский математик;
ПИРСОН Карл (Чарльн) (1857-19361
английский математик-статистик.
биоло! и ф и л о е о ф - 1 к н и 1 И В И С 1 ;
ПИФАГОР Са.моеекнй (ок. 580-500 п . до пашен >ры) - древнегреческий
математик. фил«>соф-илеплист:
ПТОЛЕМЕЙ Клавдий (ок. 100-178 гг.)-- - древнегреческий учёный;
ПУАПКАРГ Лири Жюль (1854 1912)
французский магемашк, фшнк,
астроном и (философ;
ПУАССОН Симеон Дени I 1781-1840)
французский механик, физик, ма|сматик;
РААБЕ Жозсф Людвиг (! 801-185°)
швейцарский математик и физик;
РИККЛТИ Якопо Фраичсско (1676-1754)
итальянский математик, инженер-стпотель:
РИМА! 1 Георг Фридрих Берпхард (1826-1866)
немецкий математик;
СОМОН f \ |
i n
(Иосиф) Иванович 0815-1876)
русский математик' и мс-
СОПИ11 Николай Яковлевич ( I 849-191 51
русский ма!ема1ик:
СОХОЦ1СПП Юлиан Васильевич (1842 192?)
р>сскпн математик;
С Т Г К Л ' Ж Итлдпчир Андреевич (1861-1926)
русский и сонетгкий мл(смаипо.
СТИЛТЫ'.С Томас Иоапнее (1856-1894) - нидерландский ма1сматик и ас­
троном;
<' I МР.ЧИ1 И Лжсймг I I о92-1 77(1)
нютщидский математик.
СГОКС Джордж Габриель(181К-1903)
аншийекий физик и ма!ема1ик,
СТРАППОЛЮЬСКНП Александр Иванович (1839 1903)
русский мате­
матик-педагог !>ыч учителем (' Н. К'ог.а'Н'кскпи и .17/ к'рмкюа-,
ТАРТАЛЬЯ Пикколо <ок, 1500-15э7 г г . ) - итальянский матсмагик;
ТКИ ЛОР Ьрук (1085-1731)
аш лийский м а 1 с м а ж к и философ;
ЛТ-ТУСИ Шараф ад-Дин (XIII в.) - иранский математик;
ФЛ.НИ Милетским (ок. о25-54Х IT. ТО нашей эры)
древнегреческий маIсми I ик и at, фоном.
ФЕРМА Пьер (1601-1665)
французский юрист и математик;
fl> Phl', Жан Кятис! Жпюф (17^X-I X
французский математик'.
ФУСС Николай Иванович 0755-1825)
русский математик и педагог.
УЧСНИК И Д р \ | Л. ')lLltf)U.
ФУ С С Павел Николаевич (!7°8-1855)
русский математик. Сын
/7/7. (Рл>сса и правнук.'/, hvicpn:
ХАУСДОРФ Феликс 1IR6X-1942) - немецкий магемажк;
ХКВИСЛЙД Оливер (1850-1925)
английский инженер и физик;
т-ХОРТ'ЧМИ Мухаммад беп-Mycn (730-oic Х5'> i г )
узбекский матема­
тик, астроном и reoi pad);
ЧГ.СЫШГ.В Пафнчшй Львович (1821-1894)
русский ма1сма!ик и меха­
ник;
ШТУРМ Жан Шарль Франсуа (1803-1 855) — французский математик:
'HIJI1.P Леонард (1707-1783)- ма1емашк. физик, механик и асгроном.
Род. в Швейцарии:
*)РМИ'Т Шлрть (|К?2-Юм| > французский математик
ЯК( >ЬИ Карл I ' V C I U B Якоб 11804-185!)
немецкий математик Hpui физи­
ка и >лскфо|схника/>.(*. Яковы.
v
СОМОН Псиц (Иосиф) Иванович 0815-1876)
русский математик и мс-
СОПИ11 Николай Яковлевич ('1849-191 5 I - — русский матсмашк:
СОХОЦКПП Юлиан Васильевич (1842-1927)
р>сский математик;
СТЕКЛОМ Нтадимнр Андреевич (1864-1926)
русский и советский мя1см;ник:
СТПЛ'1БЕС Томас Иоаннес (1 856-1894)
нидерландский математик и астропом;
* ('НРЛИ1II Джеймс! |о02-177<М-- "ютландский математик;
СТОКС Джордж Габриель (181 8-1903)
ан1 лийский ф и ш к и математик;
СТРАППОЛЮБСКИН Александр Иванович (1839-190S)
русский мате­
матик-педагог Б и т учителем ('И к'ог.ялевскои
и .177
Крышка;
ТАРГАЛЬЯ Никколо(ок. 1500-1557 IT.)
итальянский математик;
ТЕИЛОР IJpyК (1085-1731) — ант лийский математик и философ;
AT-ТУ СИ Шараф ад-Дин (XIII в.) — иранский математик;
Ф Л Л И Милетский ток. о2>-548 п . до нашей эры)
древнегреческий маi t - M a i H k и иирином.
ФЕРМА Пьер (1601-1665)
французский юрист и матсмагик:
ФУРЫ ' Ж;П! Нптисг Ж'очеф f 17^Х-|83<>)
французский математик:
ФУСС Николай Иванович (1755-1825)
русский математик и педагог.
Ученик н др\т
liuepa:
ФУСС Навел Николаевич (1798-1855)
русский математик. Сын
////.
</Н>гса и правнук. /
Ычсрч:
ХАУСДОРФ Феликс {1868-1942) — немецкий математик;
ХРЛШСАЙД Оливер (1850-1925)
английский инженер и физик;
ят-ХОРБТМИ Мухяммад бен-Муся (730-ок. 850 I T )
узбекский матема­
тик, астроном и icoipadi:
ЧЕББ1ШЕВ Пафнутий Львович (1821-1894)- русский математик и меха­
ник;
ШТУРМ Жан Шарль Франсуа ( 1803-1855) --• французский математик:
")ИЛЕР Леонард (1707-1783)- математик, физик, механик и астроном.
Род. в Швейцарии;
')РММТ Шярть ( 1 8 2 2 - Р ' 0 | \
французский математик'
ЯК< >ЬИ Карл I устав Якоб (1804-1 851 | - -- немецкий математик. Брат физи­
ка и электротехника П.С. Лкоби.
1
1
1итературя
1. К е ю н - р о и <'. К. Пя'м. знамени г ы х -in мяч чревное ги.
I ' o c i o r c : ITOI-RO
Ростов, v n - i a . I°75.
2. Бородки Л.И., l A i a i i \.C'. Выдающиеся M a i c M a i n k H . Биот рафичеекнй
сдоилрь-f принпчииif
K n e i r Рчдчпьскп нгкоча, | Ж 0
3. Ви.генкин Н.Я. История отечественной математики
Киев Пашкова
думка, 1967
А. Внленкип П.Я. «функции и природе п [ехппке
М : Просвещение.
(
1Ч7К.
5. Кленьскин Щ е п а н . Последам П и ф а т р а
М.. Денич. 1961.
6. Петрим o i c 4 0 c i i i e i i i r o M магемашки. Под ред. П Л . Ш ш к а л о . Киев:
I l a v R o n a думка. 1 Ь7. т 2 .
7. Крысникий Н л о д ш ч е ж . Шеренга великих математиков
Варшава.
1981.
8. Лнгцман Л. Теорема Ппфаюра
М. Л.. 1935.
>. РмГтнкон К.Л. Исюрия математики
М : И-м-ио МГУ 1Ч 4
И), ( л е ф а н о н а И.Л., Томилоиа Л.Г. З н а м е н и ш е 4 а д а ч и математики.
(Мелодические рекомендации)
Лрхаш едьек: ЛИПК работников обрачонання: I Ьпччо-ги-дпгогипсгкий иетттр р.тшигцч ofwneinin «Натежчя"
1993.
И . Ч и о я к о н В.Д. C i a p H i i i i i . i c ;адачн по и с м о т а р п о й математике
1)
L
7
М И Н С К ' ВыПГЧШТПЯ ШК'ХЧГ', i
t , 7
f*.
12 Чнстик'оп Н.Д. I ри чппмепитмс чамачи древности
М
1')пЗ.
Романов Александр Дмитриевич
История математики
Учебное пособие
Редактор
Корпск!ор
Компьютерный
набор и кережа
Самышкина И. Д.
Примакова Т. Л.
Иемыгов А.А.
Лицешия 99 М (СМ). ЛР № 020967 o i 07.03.95
Сдано к щюичвод^во UJ.04.98 1. Подписано в нечшь 17.04.98 i . Фор­
ма! 60x80,16. Ьума[а тпографекая. Г'арпшура Тайме. Усл. псч. л. 7,3. Зактп № inn Тираж SO ж\. Тсмнлпп 1998 г. Изд. №*>9.
Речпкниошю-изллтельский отдел Севчяши'пла
16 |5по, I . Северодвинск, уд. Воронина. 6
мулом для них были астрономические задачи или просто любовь к вычис­
лениям.
Многое в этой вычислительной а р и ф м е ж к е выполнялось с помо­
щью таблиц, в наборе которых есть и npocibie таблицы для умножения, и
таблицы обратных величин, квадратных и кубических корней. В одной из
таблиц имеется ряд чисел вида / / - / г . коюрым. ПО-ВИДИМОМУ, пользова­
лись для решения кубических уравнений вида х -х и. В них содержа гея
.
5
некоторые превосходные приближения: для v'2 даегся 1 ^ (02*1,4142,
5
2
17
1 «1,4167), для ,-=0,7071 дается
0,7083.
3
2
р
Самые сложные задачи относятся к более поздним периодам в ис­
тории древней цивилизации, а именно, к персидской эпохе и нюхе Селевкидив. В (с времена Вавилон уже не был политическим центром, по в гечение ряда столетий он осiавалем интеллектуальной столицей обширной
империи, в ко юрой вавилоняне смешались с персами, греками, евреями,
индусами и MHOIMMH другими народами. По но всех клинописных сектах
видна непрерывность традиций, ч ю , веройiно, указывает на местную не­
прерывность развития.
Можно быть уверенным в том. что л о м у развитию способствовало
взаимно обогащавшее общение с другими цивилизациями. Известно, чго
вавилонская астрономия этою периода оказало влияние на греческую и,
что вавилонская математика повлияла на вычислительную арифметику.
Есть основания политать, что вавилонские школы писцов были посредни­
ками между наукой Греции и наукой Индии. Средневековая арабская и
индийская наука опирались не только па традиции Александрии, но и на
традиции Вавилона.
/. 7. Математика
Древнего
Китам
Развитие научных знаний в Китае имеет богатую многовековую ис­
торию, >етановлено 1 а к ж е и оригинальное раннее развитие китайской ма­
тематики. Однако до сих пор не преодолена разрозненность и скудность
достоверной научной информации о математических познаниях китайцев в
дрсиносш.
По утверждению китайскою историка Ли Япя. математические по­
знания китайцев воехо;*ят К XIV в. до пашей эры В истории математики
Древнего Китая имеются сведения о десятичной системе с ч е т , специаль­
ной иероглифической символике чисел, об оперировании большими чис­
лами, наличии вспомогательных счетных устройств (узелки, счетная дос­
ка), об оперировании циркулем, линейкой и угольником и т . д . Самым
ранним математическим сочинением, если не считать трактата о чжоу-би
(солнечных часах), является ''Математика в девяти книгах» (иногда «в гла­
вах»». Эил сочинение появилось как своеобразный итог математических
достижений Кшая к пачал> нашей эры. Есть сведения, что оно было со­
ставлено выдающимся государственным деятелем и ученым Чжон IДаном
(152 т. до нашей эры), собравшим и систематизировавшим все известные к
е ю времени математические знания. «Математика в девяти книгах» неод­
нократно подвергалась переработкам и дополнениям.
В результате этих переработок «Математика в девяти книгах» при­
обрела вид своеобразной математической энциклопедии со сравни 1ельно
неоднородным содержанием. П V I I - - X вв. нашей эры она сделалась ос­
новным учебником для поступающих на государственную службу и клас­
сическим сочинением, от которого отправлялись ученые-математики в
своих исследованиях. Текст его стал у пас известен сравнительно недавно;
в 1957 г, Э.И. Березкина сделала первый перевод «Математики в девяти
книгах» на русский язык с обстоятельными комментариями.
Книги, составляющие это сочинение, имеют вид отдельных свитков.
Они посвящены различным темам, преимущественно практического ха­
рактера. Различие обусловлено, по-видимому, тем, что различные книги
предназначались для чиновников различных ведомств: землемеров, инже­
неров, астрономов, сборщиков налогов и т.д. Позднейшие дополнения вно­
сились в книги по признаку не математической общности, а единства те­
мы.
Изложение догматическое: формулируются условия задачи (всего
246 задач) и даются ответы к ним. После группы однотипных задач фор­
мулируется алгоритм их решения. '>гот алгоритм состоит иэ общей форму­
лировки правила или из указаний последовательных операций над кон­
кретными числами. Выводов этих правил, объяснений, определений, дока­
зательств нет.
В этих книгах правильно вычисляются площади прямоугольных
фигур, при вычислении площадей круга, сектора, кольца принимается, что
к
3. Рассматривание* задачи на пропорциональное деление, деление
пропорционально обратным значением чисел, задачи, приводящие к ли­
нейным уравнениям и их системам (правило ДВУХ ложных положений). В
частности в седьмой книге решаются системы пяти линейных уравнений.
Для всех систем установлен единый алгоритм вычисления корней — «фанЧ1И». который фактически представляет собой процесс составления матри­
цы из коэффициентов и се тикледующего преобразования. Но при этом
оперируют только со столбцами, столбцы и строки матрицы здесь еще не­
равноправны.
В процессе преобразований матрицы системы китайские ученые
ввели отрицательные числа. Для их сложения и вычитания было введено
специальное правило «чжэн-фу», которое можно перевести, как правило
«плюс-минус». Гак как все вычисления, в том числе и преобразования мат­
рицы, проводились на счетной доске, то для обозначения отрицательных
чисел применялись с ч с ж ы е палочки другого цвета или формы, а в случае
записи применялись иероглифы разных цветов. Приоритет китайских ма­
тематиков «фан-чэн» бесспорен. Достаточно указать, что в Европе идея
создания подобного детерминанта впервые была высказана только Лейб­
ницем в конце X V I I в. Отрицательные числа в явном виде появились не­
сколько раньше - в конце X V в. в сочинениях Н. Шюке.
В древней книге помимо элементарных способов применения тео­
ремы Пифагора имеется способ нахождения пифагорейских троек, т.е. це­
лочисленных решений уравнения:
\
. у - z . л а-р,
у = — , —.
-=—
•—.
Некоторые задачи приводят к полным квадратным уравнениям, а
правила их решения эквивалентны общеупотребительным и сейчас форму­
лам.
Вс.тед за решением квадратных уравнений встречается (VII в.) све­
дение задачи к кубическому уравнению.
В рукописи математика XIII в. Цинь Цзю-шао подробно рассматри­
вается метод «небесною элемента» (гак называлось неизвестное) для на­
хождения корней алгебраических уравнений высших степеней (на пример
уравнения 4-ой степени). Этот метод по своей математической сущности
жвивалентен методу Руффини-Горнера, о б р ы т о м у в Европе на рубеже
XIX в.
Другим крупным достижением математиков средневекового Китая
было ретулярно применяемое суммирование прогрессий:
Все известные нам источники утверждают, что с XIV в. в Китае на­
чинается длительный период застоя в развитии наук.
1.Н. Математика
Древней
Индии
В древней и средневековой математике народов Индии много обще­
го с китайской математикой. В Индии математика также является очень
древней наукой, издавна составляющей часть культуры. В ней тоже преоб-
.падали вычислительно-алгоритмические методы и отсутствовали попытки
построения делуктмтшмх систем; геометрия индийцев
также практиче­
ская.
Самыми ранними памятниками математической культуры индий­
цев являются религиозные книги, их происхождение относят к VIII - VII вв.
до нашей эры. В них мы находим геометрические построения, составляю­
щие важную час!Ь ригуалон при постройке культовых сооружений; хра­
мов, алтарей и т. д. В них можно найти первые способы квадрирования
кругов, применение теоремы Пифагора Видимо, вследствие требований
архитек[уры решалась и арифмежчеокая задача о нахождении пифасоровых троек натуральных чисел.
Числовая система с древних времен определялась склонностью к
оперированию большими числами, нашедшая отражение в легендах, Буд­
да, например, отличался феноменальным умением считать; он строил чи­
словые десятичные системы до 10' . давал наименования каждому разряду.
Наиболее яркий период развития, оставивший самые значительные
образцы математической литературы. — это V - X I I вв. нашей эры. В это
время трудились выдающиеся индийские ученые математики и астрономы.
Ариабхатта (конец V п.). Брахмапмтп (род.
г.). Маганира (IX в.). Ьхаскара Лкарья (род 1114 г.).
Например, значи тельное математическое содержание имеют две
книги Бхаскары: «Лизавати» («прекрасная»): 1) метрология; 2) действия
над целыми числами и дробями и извлечение корней: 3) способ обраще­
ния, способ ложного положения и другие частные приемы решения аддач;
4) задачи на бассейны и смеси, 5) суммирование рядов; 6) планиметрия;
7-11) вычисление различных объемов; 12) задачи неопределенного анали­
за: 13) задачи комбинаторики. «Виджаганита»— состоит из восьми отде­
лов: 1) действия над отршшсльными и положительными числами; 2-3) не­
определенные уравнения 1-й и 2-й степени; 4) линейные алгебраические
уравнения: 5) квадратные уравнения; 6) системы линейных уравнений; 78) неопределенные уравнения 2-й степени.
В истории Индии имеется достаточно фактов, свидетельствующих о
наличии -жономических и политических связей с греческими, египетскими,
арабскими государствами и с Китаем. В математике считается бесспорным
индийское происхождение десятичной системы счисления с нулем и пра­
вил счета. Можно прсч: делить заимствование индусами у грекоп некоторых
|«ометри чески х сведений, и т.д. Но количество этих фактов невелико. Во­
прос о связях и взаимных влияниях магематики Индии. Греции. Китая и
арабских с граи еще остается педоскночио выясненным.
1.9. Математика
Древней
Грении
1еоре!ичсская час!Ь м а к - м а т к и и.чес! ИСЮКИ В научных и фило­
софских школах Древней 1 рации. J к л а л них школ и ра;ви!ие науки нас т л ь к о шачшсдеи. ч т даже is паше время «георешчеекое есюелвозиание.
сели оно \ о ч с 1 11 (к 1С леди 1и исгорик) возникновения и р а т и ш я своих teiieрешннх общих положений, вынуждено возврата п.ся к грекам» (Ф. ) н I ельс).
В период VI - IV вв до нашей H'bi Греция предиап.ыда собой сово­
купное и, рабовладельческих ЮСУ даре т-полисов Оородои), ведущих
оживленную т р ю в л ю как между собой. ;ак и с другими юо\дарс(вами
Среди ;емпоморско| о бассейна. В ю с у д а р а в а х ашичной Греции юхника.
наука и кудыура д о с ж и и высокою уровня, о чем свидсчельелкмо! с
большой убеди ic.ii.Moo i ью сохранившиеся прекрасные метрические па\ [ > 1 1 н и к н . Дошедшие до пае есюсгнешюнаушыо и фи теофекио 1р\ды ап|ИЧШ.1Х ученых и сведения о них покапли. 4 i o в Древней Греции сложи­
лись основные пшы мирово, т е н и й . д с н е 1 н о н а д и различные C C I C C I B C H H O научные школы. Ведущее м о с т среди греческих п а п р ф и л о с о ф с к н х шкод
последовательно занимали: ионийская ! VII-V1 вв ..м пашей зры*. иифаюрская ( VI- V вв. до пашей ) р ы I и афинская (со вюрой половины V в. до па­
шей >ры) В лих т к . л л \ v большой подныой и о б е т я 1 с л ь н о с и л о pa i p u o a швалиеь и чциемашчсчкпе «опросы.
г
В ча 1 омаiикс м о ю времени праиичеекис задачи, связанные с не­
обходимое IBIO a p m J A i e i и ч е е к н . х вычислений и юоморнческих и 1 м е р е н и й
и i i o c i p o c i i H U . продолжали ш р а и , большую роль. Однако ловым было пк
ч т ми задачи нос iсменно выделялись в oiдельную область матсмагики.
МОЛУ ЧИВЩУ ю наименование :ioi и с т к и . К . i o i пешке были о i несены: оиерапни с целыми числами, численное и з л е ч е н и е корней, счет с помощью
nctKAioi аюльных у с ф о и с т . вроде абака, вычисления с дробями, числен­
ное решение 1 а д а ч . сводящихся к уравнениям 1-й и 2-й степени, практиче­
ские вычмелшельпые и к о м с 1 р \ к { и в и ы е шдачи ар.чшеюуры, юмлсмерия
и I л
В lo же время уже в и (коде Пифаюра
;UMCICH
процесс накопления
л б е ф а м м ы х маюмажческих ф а к т в и соединения их в ю о р с т ч е с к и е сис1еч1Ы
1еория
Jик. например, i n арифмешкн была выделена в о1делы(>в> обдасп.
чисел, i.e
СОВОКУПМОСП.
маючаишеских
шаиий. ошосищихся к
общим свомешам операций с Tiaiy[)ajibin.iMH числами. В н о время уже ста­
ли и ш е с т ы м и способы суммирования просюйши.х арифме(ических про­
фессий и р е л л ы а ю » вроде
дичоеш чисел введены
И я ' . Р а с с м а i р и и а л и с ь вопроси (е-
арифутсiпческая
[еочечпическая и iаруюиические
пропорции и различные средние. Наряду с геометрическим доказательст­
вом теоремы Пифагора был найлен способ отыскания неограниченного ря­
да троек «пифагоровых чисел». Выло о т к р ы т много математических зако­
номерностей теории муз ЕЛКИ.
И тот же период происходили абстрагирование и систематизация
геометрических сведений. В геометрических работах вводились и совершенс! винились приемы геометрического доказательства. Рассматривались,
в частности, теорема Пифагора, задачи о квадратуре круга, трисекции уг­
ла, удвоение ю/ба. квадрирование ряда площадей, в том числе ограничен­
ных кривыми линиями.
Одной из причин создания математических теорий явилось откры­
тие иррациональности, вначале в виде установления геометрического фак­
та несоизмеримости двух отрезков. Значение этого шага в развитии мате­
матики трудно переоценить. В математику вошло такое понятие, которое
представляет собой по существу сложную ма тематическую абстракцию, не
имеющую достаточно прочной опоры в донаучном общечеловеческом
опыте.
Едва ли не первой открытой иррациональностью явился Jl. Можно
предполагать, что исходным пунктом -УГОГО открытия были попытки найти
общую меру с помошью алгоритма последовательного вычитания, извест­
ного сейчас как алгоритм Евклида. Возможно, что некоторую роль сыграла
задача математической теории музыки: деление октавы, приводящей к ре­
шению прогрессии 1: п - п/2. Не последнюю роль, по-видимому, сыграл и
характерный для иифагорской школы общий интерес к проблемам теории
чисел. Древним грекам c i x i o известно очень рано логически строгое дока­
зательство иррациональности V2 путем сведения к противоречию. Пусть
2
2
•Ji - — . где ш и п взаимно-простые числа. Тогда т ^ 2п . откуда следует,
п
что т
четное, следовательно, m - четное. Тогда и - является нечет­
ным. Однако если m
четное, то пг делится на 4 и следовательно, и —
чежое. Четно. следови!ельно. и п. Получившееся формальное противоре­
чие указывай на неверность посылки о рациональности
.
С появлением иррациональностей в неокрепшей греческой матема­
тике возникли серьезные трудности как в теоретико-числовом, так и гео­
метрическом плане. Была фактически поставлена под удар вся теория ма­
тематической геометрии и теория подобия. Необходимость научного ос­
мысления сущности открытого явления и его сочетания со сложившимися
представлениями вызвала дальнейшее развитие математической теории.
Этот следующий этап ознаменован попыткой создать для нужд на­
учного исследования общую математическую теорию, пригодную как для
л
2
рациональных чисел, так и для иррациональных величин. Коль скоро по­
сле открытия иррациональности оказалось, что совокупность геометриче­
ских величин (например, отрезков) более полна, чем множество рацио­
нальных чисел, то представилось целесообразным это более общее исчис­
ление строить в геометрической форме. Это исчисление было создано. Оно
получило название геометрической алгебры.
Первичными элементами геометрической алгебры явились отрезки
прямой. С ними были определены все операции исчисления.
Абстрактность предмета математики и установившиеся приемы ма­
тематического доказательства были основными причинами того, что мате­
матика стала излагаться как дедуктивная наука, представляющая логиче­
скую последовательность теорем и задач на построение и использующая
минимум исходных положений. Сочинения, в которых в го время излага­
лись первые системы математики, назывались «началами».
Первые «Начала», о которых дошли до нас сведения, были написа­
ны Гиппократом Хиосским (2-я половина V в. до нашей эры). Встречаются
упоминания и о «Началах», принадлежащих другим авторам. Однако все
эти сочинения забыты и утеряны практически с тех пор, как появились
«Начала» Евклида. Последние получили всеобщее признание как система
магматических знаний, логическая строгость которой оставалась непре­
взойденной в течение свыше двадцати веков. Все это время люди изучали
геометрию по Евклид)' Fro «Начала» до сих пор лежат в основе всех сис­
тематических школьных курсов геометрии. Научные исследования по ма­
тематике, в особенности элементарной, а очень большой степени опирают­
ся на систему Евклида, иногда подражая даже форме его изложения.
Об авторе «Начал» Евклиде сохранилось очень мало сведений Из­
вестно, чти он жил около 300 г. до нашей эры в Александрии, входившей в
то время в состав египетского царства.
Выгодное положение Александрии как торгового центра и центра
технических усовершенствований побудило правителей Египта Птолемеев
к организации научно-учебною центра— «Музея» («Муэейон»). В музее
было собрано свыше 500 тысяч рукописей научного характера. Научную
работу в Музее на условиях государственною обеспечения постоянно или
временно вели почти все крупнейшие ученые эллин йети ческой эпохи (Ш в.
до нашей эры), в том числе Еаклид, Архимед, Эратосфсп и др. Благопри­
ятное влияние Музея на развитие науки сохранялось около 700 лет; оно
стало падать в начале нашей эры в результате завоевательных войн рим­
лян, а затем прекратилось, когда под влиянием реакционного христиане гва
«языческие» ученые были изгнаны или убиты, а сам Музей разорен.
При написании «Начал» Евклид, по-видимому, не руководствовался
целью составить энциклопедию математических знаний своего времени.
Он. вероятно, стремился изложить только основы математики в виде логи­
чески совершенной математической теории, исходящей из минимума ис­
ходных положений. В этом смысле «Начала» являются ранним предшест­
венником современного способа аксиоматического построения математи­
ческих наук.
Математика Древней Греции представляет собой один из самых
ранних примеров становления математики как науки и образования в ней
ее составных частей.
Среди античных математиков следует назвать еще целый ряд заме­
чательных имен Архимед, Герои, Диофант и др. Главными особенностями
античной математики являются возникновение, бурный рост и приоста­
новка развития ряда математических теорий.
1,10, Контрольные
вопросы
1. Назовите различные системы исчисления.
2. Какие документы позволяют судить о развитии математики в Древнем
Египте?
3. Каковы особенности развития математики в Древнем Вавилоне?
А. Каково основное содержание математического сочинения «Математика в
девяти книгах»?
5. Назовите основные достижения древней и средневековой математики
народов Индии
6. Назовите особенности развития математики в Древней Греции.
у Некоторые математические задачи.
~ •Развитие понятия функции
2.1. Знаменитые
задачи
древности
Математические задачи, возникающие в жизни и в практической
деятельности людей, в технике и в науке, в том числе и в математике,
весьма многочисленны и многообразны.
Среди математических задач есть такие, которые пользуются осо­
бой популярностью: им со временем присваивают чпитеты: «знаменитые»,
«коварные», «неподдающиеся» и т.н.
Особенно большое внимание привлекали к себе в течение многих
веков задачи, которые с давних времен известны как «знаменитые задачи
древности». Под этим названием обычно формулировали гри знаменитые
задачи: 1) квадратура крчта; 2) трисекция угла; 3) удвоение куба. Некото­
рые авторы причисляют к ним еще две задачи эпохи античности: деление
окружности на равные части (построение правильных многоугольников) и
квадратуры луночек.
Все эти задачи возникли в глубокой древности из практических по­
требностей людей. На первом -папе своего существования они выступали
как вычислительные задачи; по некоторым правилам вычислялись при­
ближенные значения искомых пели чип. В Древней Греции ним задачам
придали классические формулировки- 1) разделить данный угол на три
равные части; 2) построить квадрат, равновеликий данному кругу; 3) по­
строить ребро ноною кчба, обьем к о ю р о ю был Оы в 2 раза больше объема
данного куба; 4) построить нривидьный n-уголытик (разделить окружность
на п равных частей); 5) построить прямо линейную фигуру, равновеликую
данной круговой ЛУНОЧКС
Опт задачи пытались решшь меюдамн геометрической алгебры, а
именно- с помощью циркуля и линейки. Простота формулировок этих за­
дач и непреодолимые трудности, возникшие на пути их решения, способ­
ствовали puciv их популярности. Над ними бились ;Гучшие геометрические
умы. За1ем им 01 дали силы арабские математики. В течение столетий
лучшие европейские математики трудились пал решением задач античнос(и. Пьнаясь най(и строгие решения указанных дедач, ученые получили
«попутно.» многие важные результаты для математики.
Но уже в умах древнетреческич математиков зародилась мысль о
том, ч ю средствами геометрической алгебры эти задачи не разрешить. И
лишь в XIX веке было строго доказано, что все эти задачи неразрешимы с
помощью циркуля и линейки.
2.2. Квадратура
круга
Задача о квадратуре круга пользовалась исключительной изиесгносп,ю с древнейших времен и привлекала к себе внимание прежде всего
простотой формулировки: построить квадрат, площадь которого была бы
равна площади круга.
Долгое время не возникало сомнений в возможности осуществить
квадратуру круга. 'Эта уверенность подкреплялась, по-видимому, тем, что
еще в V в. до нашей эры греческому геометру Гиппократу удалось превра1 И 1 ь в к в а д р а ш нскоюрыс «круговые луночки» (часть плоскости, ограни­
ченной датами двух окружностей).
Популярность задачи о квадратуре круга росла вместе с числом не­
удачных попыток ее решения. В X V веке были высказаны предположения
о невозможности решить эту задачу циркулем и линейкой (Леонардо да
Винчи и др ). В XVII и XVIII вв. Ньютон, 'Эйлер Руффини и другие иссле­
дователи пытались доказать разрешимость задачи о квадратуре круга, но
без успеха. Исследования этого вопроса вызвали к жизни и привели к ре­
шению некоторые проблемы из области алгебры и теории чисел.
Как известно, площадь крута радиуса г равна я-г' = | - ( 2 л г ) - г , т.е.
равна площади треугольника, имеющего основанием отрезок, равный дли­
не окружности, а в ы с т о ю —• радиус данного круга. Если бы можно было,
зная радиус круга г. n o c i p o H i b отрезок длиною 2лг. ю легко можно было
бы построить такой треугольник. Этот треугольник можно легко преобра­
зовать в равновеликий квадрат со стороной г е-т .
Итак, задача о квадратуре круга равносильна задаче о «спрямлении
окружности», т.е. о построении отрезка длиной 2лг. При г = / длина ок­
ружности равна 2к. Поэтому :*адача о спрямлении окружности привела к
изучению свойств числа я.
В 1766 году известным швейцарским математиком Иоганном Лам­
бертом было дано первое доказательство иррациональности числа я впо­
следствии усовершенствованное Лежандром. Доказательство иррацио­
нальности числа л дали также Эйлер. Гаусс, Эрмит и др. Но этим лишь на­
метился путь для дальнейших исследований: ирраттональность числа п
еще не решила вопроса о возможности квадратуры крута.
-
Наконец, в 1882 году Ф. Линдеманном было доказано, ч ю число л
является трансцендентным, т.е. оно не может служить корнем какого-либо
алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Отсюда
следовало, что невозможно решить с помощью циркуля и линейки знаме­
нитую задачу о квадратуре крута.
Несмотря на то, что задача о квадратуре круга с помощью циркуля
и линейки теоретически не разрешима, можно указать различные простые
приемы приближенного решения этой задачи с достаточно большой точно­
стью, а также приемы с использованием вспомогательных средств.
Известно, что еще в III веке до нашей эры Архимед нашел, что
1
я-
J
^ . При
1аком
допущении отрезок длиною встроился как 3 целых чис­
ла и одна седьмая диаметра окружности. '>го построение дает приближен­
ное решение задачи с избытком, причем относительная ншрешность не
превышает 0,13%.
Один из современников Сократа
софист Антифон ошибочно
считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом:
вписать в круг квадрат, разделить пополам дуги, соответствующие е ю с ш ронам, построить правильный восьмиугольник и 1.д. По так как можно по­
строить квадрат, равновеликий любому многоугольнику, то и круг можно
квадрировать.
Оригинальный прием приближенного спрямления окружности был
предложен в 1685 году польским математиком Кохпнским Сущность этого
приема ясна из рис. 1.
Па этом рисунке АВС
ВС AD=--DE ^ТК=К11=Н\1=1.
М~
X
с
(
\ / •' f
Г
\
жу
N
4
i
,
7
ч
!
.У
А
к
у\
Рис.
женного спрямления окружности
X X веке предложен Г. Мюллером.
С
ИО
Рис.:
3
"3,141531,
т.е. отрезок СМ дает прибли­
жеино величину длины полуокружности радиуса / Способ Коханского интересен тем. что поц
сIроение осуществляется линей­
кой и циркулем постоянного
размаха.
Простой способ приблипосредством циркуля и линейки и
Ход построения по этому способу легко
проследить но рис. 2:
где ОЕ-1, ЛО-ОВ
l ^ВЕС
45°,CD±\B,
тогда ad
А
40~
J" "
у(7 + у
= 6,2840...~
In.
Продолжавшиеся в течение тысячеле­
тий попытки найти квадратуру круга неизмен-
но оканчивались неудачей. И все-таки древним грекам удалось решить за­
дачу о квадратуре круга, но с помощью механической кривой — квадратрисы. Это сделал в IV веке до нашей эры Диносграг. Квадршрису строяt
следующим образом. Пусть дан квадрат ОАВС со стороной а (см. рис. 3).
_В
Отрезки OA и АВ начинают двигаться
одновременно, причем OA равномерно вра\
.1 м
щается по часовой стрелке вокруг точки О, а
У^
I
отрезок АВ равномерно спускается вниз па• К,
раллельно самому себе. Движение происхо\
j
дит так. что оба отрезка OA и АВ достигают
I/
I
|
положения ОС одновременно. Множество
|i
1 .. -.
J
точек пересечения этих отрезков образуют
О
NI ^
С
кривую линию
квадратрису
Изучая квадратрису, Диносграг докага
зал, что ON ~ — С помощью этого равенства можно решить задачу о
IT
4
1
квадратуре круга. Пусть дан квадрат ОАВС со стороной а. Построив квад­
ратрису, получим отрезок ON, равный — . Составим пропорцию:
к
2 а
ON
х
- - ,
2а
или 2д - 2 • Счч-юда находим, что х=-2ак. Значит, получив отрезок ON с
а
к
помощью кпадрафисы, можно затем посгроить отрезок, длина которого
равна длине окружности радиуса а.
В задаче о квадратуре круга требуется решить уравнение х - n-d'.
2
?
Перепишем его в виде х = 2ая-^,
отрезки 2аян
у построены. В древне­
греческой геометрической алгебре была решена задача о построении квад­
рата, равновеликого данному прямоугольнику
Таким образом, в античной м а 1 е м а ш к е было получено решение за­
дачи и квадратуры круга, основанное на использовании квадратрисы.
У многих ученых, занимавшихся проблемой квадратуры круга, воз­
никло сомнение, возможно ли построить прямолинейную фшуру, равнове­
ликую криволинейной. Эга проблема была решена Гиппократом Хиос­
ским, построившим лунообразные фигуры, известные под названием
«гиппократовых луночек». Для этих луночек оказалось возможным по­
строить равновеликие им фигуры, ограниченные прямыми.
Это укрепляло надежду, что удастся решить и задачу квадратуры
круга. Простейшая квадрируемая луночка строится так. В полуокружность
.{ВС впишем прямоугольный равнобедренный треугольник ЛС7? и опишем
над его катетами равные полуокружности А/Я' и ('ПН (см рис 4).
- — - С"
Фигуры-мениски ADCM и СЕВТ,
D/
. ^ vlv"
,\н
ограниченные круговыми дугами, назы[
. ' I
, \
ваются луночками. Используя открытое
\ / /
I
\ '
Гиппократом предложение о пропорцио^
i
\''
нальноети площадей круюв квадратом их
Рис 4
^
диаметров, получаем что площадь полу­
круга А( 'Н в 2 раза больше, чем площадь
каждого из полукругов А/Х' и СЕВ. а следовательно. S --+S,-p =S _M,-TBОтнимая от обеих частей равные площади еегменюв AA-iC и СТВ, получа­
ем, что
-V .
Разновидностью тгого результата является теорема о том. что если на сторонах
/
- ..—,
, прямоугольною греут ольника, как на диаметf-".y''
'v
pax построить окружности, то сумма площа'!
'
\ I дей луночек, опирающихся на катеты, будет
\<^:.:
равна площади ipcyiольника. i.e. квадрируер
ма(см. рис. 5).
Можно привести другие примеры лу­
ночек эшго же вили. Гиппократ иока:шл также, что имеются луночки,
площади которых вместо с площадью никоторою полукруга дают квадри^
руем>то площадь В полукруг с
\
диаметром AIJ вписывают тра^_----• ^ --.
пению
ЛВС!)
так,
что
4
4
ч
А
Arx
B
A
wfir
ч
4
и с
5
у
7
В
С
С
'
^
I/
л
..
'
_..
Рис.6
\
\t
- л
Я
АН- НС^СП=\
|
AD. Затем на
г
хордах АН, ВС и СО строят по­
луокружности.
Тогда
сумма
площадей грех разных луночек
вместе с площадью одной из
трех полуокружностей
будет
равна площади трапеции (см. рис. 6).
Так Гиппократ Хиосский впервые в истории науки показал воз­
можность квадратуры криволинейных фигур циркулем и линейкий. В
дальнейшем, считая, что у квадрируемых луночек сектора дуг, ограничи­
вающих луночки, должны быть равны, т.е. ^
„
^ - . . ^ ^ математи­
ки установили, что в этом случае справед;швы равенства:
Т п и 1
и
7
R
1дс R . r— радиусы о к р у ж и в гей; a, /?— соответствующие центральные
углы (рис. 7).
С этой точки зрения можно скатать, что Гиппократ Хиосский поло­
жил начало теории квадратур круговых замкну­
тых луночек, получив три вида квадрирусмьгх
луночек циркулем и линейкой, для которых т:п
равно 2:1. 3:1. 3:2. Кроме луночек Гиппократа
существует еще два случая (с отношением 5:1,
5:3), которые были найдены в X V I I I веке фин­
ским математиком из Ныборга Унквистом.
Отечественные математики Чеботарев и
Дороднов доказали, что эти пять случаев явля­
ются единственными квадрируемыми луночками
с рациональным отношением квадратов радиу­
сов внешней и внутренней дуги луночек.
Рис. 7
23, Трисекция
угла
Слово «трисекция» происходит от латинского «thri» — в сложных
словах означает «три» — и «sektio» — «разрезание», «рассечение». С этой
задачей в древности были тесно связаны задачи деления окружности на
равные части и построения правильных многоугольников. Происхождение
этих задач связано с практической деятельностью, потребностями архитек­
туры и строительной техники. Делить угол пополам ученые античности
умели, а вот разделить угол на три равные части оказывалось не нсегда
возможным.
Известно, что еще древние египтяне и вавилоняне умели делить
прямой утол на три равные части. Для этого они могли поступать так:
взять на одной стороне прямого угла отрезок ОЕ, построить на ОЕ равно­
сторонний треугольник ODE. dCOD будет 60°, а zAOD^lQ .
Остается
разделить угол DOE пополам, и тогда прямой угол АОС будет разделен на
три равные части с помощью циркуля и линейки (рис. 8).
0
д
D
/
/
/
\
\
V
\\
Таким же образом легко можно разде­
лить на три равные части и угол в 45 °.
В дальнейшем было доказано, что все
Я"
утлы
где
1, 2, ... можно разделить
на 1 р и равные часги с помощью циркуля и
линейки. Но оказалось, что не все углы можно
Q
j,.J~
~ ~ разделить на три рапные части с помощью
Рис. 8
циркуля и линейки. Доказано, например, что
углы 120°, 60°, 40°, 20° не поддаются трисек­
ции угла с помощью циркуля и линейки, и таких углов бесконечно много.
В течение многих столетий ученые пытались решить эту задачу, затрачено
было много труда, при этом были получены многие результаты, важные
для математики.
Задачу о трисекции угла можно свести к кубическому уравнению.
Обозначим данный угол, который требуется разделить на три равные час­
ги, через За.
сояЗа = 4соя*а • Зсояа, ичи 2cns3a = Hens* а - бспяа.
3
Пусть теперь 2cos3a - а и 2cosa = х, тогда а =- х - Зх, или
х*-3х-а=0.
Чтобы доказать, что задача о трисекции угла неразрешима в общем
виде, достаточно указать хотя бы один угол, который нельзя разделить при
помощи циркуля и линейки. Покажем, что угол в 60° нельзя разделить на
три равные части с помощью циркуля и линейки, Пусть За = 60°, тогда
ах За -
3
и уравнение примет вид: х - Зх — 1 - 0. В алгебре доказано, что
рациональными корнями данного уравнения мотуг быть -1 и 1 (делители
свободного члена), но ни то. ни другое число указанному уравнению не
удовле гвиряет.
Первую попытку доказать неразрешимость кубического уравнения
методами геометрической алгебры предпринял в XV веке Леонардо Пизанский. Прошло четыре столетия, и Декарт сформулировал общее утвер­
ждение: корни кубическою уравнения с рациональными коэффициентами
могут быть построены циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда
это уравнение приводимо, т. е. имеет хотя бы один рациональный корень.
Первые доказательства были даны в 1837 году французским ученым Пье­
ром Вашцелем. Он доказал невозможность удвоения куба и трисекции уг­
ла с помощью циркуля и линейки.
Рассмотрим некоторые частные случаи, когда задача о трисекции
угла разрешима циркулем и линейкой.
Древним ученым, как \кнэывалось выше, была известна трисекция
прямого угла при помощи циркуля и линейки. Возможность этой трисек­
ции можно подтвердить и теоретически. Пусть За = 90°, тогда cos За
0.
а^О, и уравнение примет вил: х - Зх = 0. 'Это уравнение имеет корни 0.
v3, - v3 . Таким образом, ненулевые корни выражены н радикалах. Следо­
вательно, угол в 90° можно разделить циркулем и линейкой на гри равные
части.
г
3
Аналогично можно показать, что и угол в 45° можно разделить на
зри равные части.
Ученые античности не сводили задачу о трисекции угла к кубиче­
скому уравнению. Для ее решения они ввели «метод вставок» и использо­
вали различные трансцендентные кривые.
В методе вставок требовалось поместить отрезок длины / между
двумя линиями так, чтобы его концы находились па этих линиях, а сам от­
резок или его продолжение проходили через данную точку. Обычно рас­
сматривали вставки между прямыми и окружностями.
Метод вставок использовал Архимед при решении задачи трисек­
ции угла 1то решение изложено в его книге «Леммы» В тгпй книге он
указывает, что если продолжить хорду АВ окружности радиуса г на отрезок
ВС. — г и провес! и через С диаметр EF, то дут а Ш'буде! В1(>«>с меньше дуги
/1£(рис. 91.
Ясно, что обычным способом,
/
^--Т'х
т.е. с помощью циркуля и линейки, это
^/т,•
\
решение осуществить невозможно. Как
с
д , -...
,
же Архимед осуществил свое решение?
^
О
!с
Описав окружность с центром О
/
и радиусом ОЕ = OA. проводим диа­
метр ЕЕ. Линейку, на которую нанесены
Рис 9^~^
длина СВ радиуса г (с помощью двух
штрихов», прикладываем и двигаем так,
чтобы точка С скользила по продолжению д и а м е ф а ЕЕ. а край линейки
все время проходил бы через точку Л окружности, пока точка В линейки не
окажется на окружности (рис. 10).
, ^
_ _.--г ••'
/ \
/
\
Тогда ^BCF и будет искомой
третьей частью SA(>F
'..
Задача о трисекции \тла в об^ ['J*--'
Щ^м случае неразрешима при помощи
;,j'
__
Р >-"шейки, но это вовсе не знаГ\
О
чит. что данную задачу нельзя решить
\
/
дру! ими непомот а тельными среде (ва­
ми. Первый из древнегреческих уче"~—""""
ных, кто дал строгое решение задачи о
Р' - '0
трисекции любого острого угла при по­
мощи дополнительных вспомогатель­
ных средств, был Гшший Элидский. Он применил для решения задачи о
трисекции любого острого угла трансцендентную кривую, которую позже
Лейбниц назвал квадрагрисой.
Из построения квадратрисы (см. задачу о квадратуре крута) ясно,
что ординаты кривой пропорциональны соответствующим углам. Поэтому
с помощью квадратрисы можно разделить ушл на любое число равных
частей. Задача в рсз>лышс сводится к делению отрезка на равные части.
Вспомогательные средства использовали и другие ученые Древней
Греции. Так. например. Никомед во II веке до нашей эры открыл кривую
кинхииОу и применял ее при решении шдач трисекции угла и удвоения ку­
ба.
А|
\
Конхоиду строят следующим образом
^ -V"
(рис. 11).
^
j ^Пусть имеется некоторая прямая АВ и
^
|
точка О. В плоскости, определяемой ими, через
... j
точку (). проведем пучок лучей и на каждом луО
'
че отложим равные отрезки в обе стороны от em
Гточки пересечения с данной прямой. Геометри{
^
ческое место концов >тих отрезков и представ}) |
/
ляет КОНХОИДУ Никомеда. На рисунке изображе­
на только правая часть конхоиды.
^ " '
Как же с помощью конхоиды разделить
данный угол на три равные части? Задачу о делении данного угла ЛОВ
можно решить гак (рис. 12): проведем прямую ( 7) /ОН.
(
в
Ц И
ч
1
1С
I
11
v
и с
1
К
Ш
11
Построим одну ветвь конхоиды
(правую), приняв точку О за полюс, пря­
мую CD за базис, а отрезок 20С за пара­
\
метр. Эта конхоида пересечет стороны дан­
ного утла в точках М и N. Через С прово­
K \ F.
С
дим прямую, параллельную DB, которая
/1
пересечет конхоиду в точке К. Тогда у т л
\
KON
искомый.
Но построить конхоиду Никомеда
В было достаточно сложно. Поэтому для ре­
О
iD
N
шения задачи трисекции угла использовали
Рис. 12
метод вставок, положив в основу идеи Ни­
комеда. '.>го решение заключается в следующем: чтобы разделить острый
у т л ЛОВ на ф и равные части, из произвольной точки С луча OA опускаем
перпендикуляр CD на прямую ОВ. Через точку С проводим прямую, па­
раллельную ОВ. Па линейку наносим метки Р и К так, чтобы выполнялось
равенство РК - 2(Х'. Затем вращаем линейку вокруг точки О до тех пор,
пока точка Р не попадет на CD. а точка Л*— на СЕ. В результате греческие
MV A
ученые получили равенство лков
- ' SAOB
/ д
(рис.13).
Таким образом ученым Древней Гре­
ции удалось найти строгое решение задачи
К
Е
С
трисекции острого утла, но только с помощью
дополнительных BCHOMOI а тельных средств:
-Ж
14,
Другие весьма оригинальные, но довольно
сложные способы решения задачи о трисек­
ции угла дали ученые Декарт. Ньютон, Клеро.
О
В
Все эти решения основаны на отыскании то­
Рис. 13
чек пересечения конического сечения с ок­
ружностью. А впервые использовал конические сечения для решения зада­
чи о трисекпии утла Папп Александрийский.
/
2.4. Удвоение
куба
Задача состоит в построении ребра куба, имеющего объем, вдвое
больший обьема данного куба. Если обозначить через а ребро данного ку­
ба, то длина ребра х искомого куба, должна удовлетворять уравнению
х = 2а , или г - а\}1 •
3
3
Происхождение этой задачи, по-видимому, связано с желанием
древних ученых обобщить легко решаемую задачу о построении квадрата,
площадь ко ю р о ю превосходила бы в два раза площадь данною к в а д р а т .
Из древности к нам пришло несколько легенд о происхождении за­
дачи об удвоении куба.
Лет еида первая
На острове Делос, который находится в Эгейском море, вспыхнула
эпидемия чумы. Жители острова просили оракула помочь им избавиться от
этого бедствия. Оракул потребовал удвоить золотой жертвенник богу
солнца Аполлону, имевший форму куба. Жители поставили куб на куб, но
чума не прекратилась. Нужно было удвоить обьем жертвенника, не меняя
его форму. В греческих легендах боги были знатоками геометрии.
Не в состоянии решить задачу так, как требовал оракул, делосцы
обратились за помощью к знаменитому философу и математику Платону.
Но он уклончиво ответил им: «Боги, вероятно, недовольны вами за то, что
вы мало занимаетесь геометрией».
Однако сам Платой не сумел решить указанной задачи циркулем и
линейкой. С того времени эта задача и стала называться «делосской».
Легенда вторая
Царь Ми нос повелел воздвигнуть намяшик своему сыну Главку.
Архитекторы дали памятнику форму куба, ребро которого равнялось
100 локтям. Но Минос нашел этот памятник слишком малым и приказал
е ю удвоить. Чувствуя свое бессилие в решении поставленной задачи, ар­
хитекторы обратились за помощью к ученым-гсомстрам, но и они не могли
решить ее.
Задачей удвоения куба занималось большое число ученых. Гак Апполоний решил указанную задачу путем построения двух средних геомет­
рических «вставок», рассматривая для этой цели прямоугольник со сторо­
нами а и 2а, где а — ребро данного куба.
Никомед и Диоклес решили задачу путем изобретенных ими меха­
низмов, вычерчивающих трансцендентные кривые, например, конхоиду.
Оригинальные, но достаточно сложные решения задачи об удвое­
нии куба дали Ф. Вист, К Декарт и И. Ньютон.
Дальнейшая судьба этой задачи связана со следующей проблемой:
возможно ли принципиально решить ее построением с помощью циркуля и
линейки. Вместе с развитием алгебры постановка задачи приобрела ариф­
метическую форму. Она выглядит гак: можно ли операцию извлечения ку­
бического корня из рациональною числа свести к конечному числу извле­
чений квлдрнпого корня Сомнения в возможности такого решения выска-
зал впервые в 1637 г. Р. Декарт. Но лишь через 200 лет задача удвоения
куба получила окончательное решение И IS.s7i. французский математик
Пьер Нанщель доказал, что кубические иррациональжчли не принадлежа!
пи нолю рациональных чисел, пн его расширению посредством присоеди­
нения квадратичных иррациональностей.
Вот одно из решений. Гиппократ Хиосский впервые дал новую
формулировку эюй задачи. Он свел ее к задаче о построении двух средних
пропорциональных отрезков, а именно: «Найти два средних пропорцио­
нальных отрезка .г и у между двумя данными отрезками а. Ь. т.е. найти х и
у, которые чуюнлеторнли Ом непрерывности пропорции: ах
х:у = у:Ь.
Конечно. Гиппократу не >далось решить задачу с помощью циркуля и ли­
нейки, но ему вполне удалое!» свести стереометрическую задачу к плоской
задаче на отыскание ДВУХ «вставок» х и v между а и h •= 2а. причем а —
ребро данною куба, ах — искомое ребро удвоенно! о куба.
Эти «вставки» нужно искать «негеометрическим» построением.
Суть одного механического метода решения задачи об удвоении ку­
ба, относящеюся к IV в. до нашей эры и приписываемою Платону, осно­
вана на методе двух средних пропорциональных (рис. 14). Отложим па
стороне прямого угла отрезок АО =• а, где а — длина ребра куба, а на дру­
гой е ю стороне
отрезок ОВ=2а. На продолжениях сторон прямого угла
стараемся н а ш и |акие ю ч к и Л / и N, чтобы AM и А/Убыли перпендикуляр­
ны к Л/Л/. Тогда ОМ - х и ON
у будут средними пропорциональными
между отрезками АО и ВО. Для этого используются два прямоугольных
плотничьих наугольника (заштрихованы). Располагаем их так. как показа­
но на рис. 14. i.e.:
I
) ) чтобы Kaier первого наугольника
проходил через точку А, которая считается
f-:' .'^:х
данной, а вершина его прямого угла находи/••/
vx\
лась на прямой т\ 2) чтобы катет второю на/••/
^.у''
J
_ Ч угольника проходил через точку В. которая
^/"А
|
^/у N '
считается данной, а вершина находилась бы
I /V
на прямой п. 3) остальные два катета того и
'
другого наугольников должны соприкасаться.
[у
При таком расположении наугольников имер
ем: АО-ОМ--- ОМ:ON
ON.OB. или а:х
XV у.2а, отсюда х
ау. у ^ 2ах, следова­
тельно, х' 2а\т.е. оiрезок ON
искомый.
Значительный вклад в решение делосской задачи внес знаменитый
ученый Древней Греции Менехм. Изучение Koiivca и его свойств привело
Мснехма к открытию так называемых «конических сечений».
!
l )
/
и с
] 4
2
2
Конические сечения- это кривые, получаемые путем пересечения
конуса секущей плоскостью, перпендикулярной образующей конуса
(рис. 15).
90°
.'
а)
'.
90°
б)
в)
Рис. 15
Конусы в зависимости от величины угла при вершине он делил на
(а) тупоугольные, (о) прямоутльные и (в) остроугольные. Тогда кониче­
ское сечение тупоуылыюго конуса даст гиперболу, прямоугольного
па­
раболу, остроугольного - - эллипс.
v2-~, • »
Задачу об удвоении куба Менехм решает
* ~y i > ,
I
[
двумя способами.
'|
|
J
Рассмотрим ; равнения двух парабол:
\
, yj=2ax
у-'
, уг = 2ах (рис. Ну) Решая эти уравне^\
^
ния, как систему, получим решение Xj=0 и
d
t
( П
J
4
и
Путем построения (рафиков обоих иарабол искомое ребро удвоенного куба получается
как ненулевая абсцисса точки пересечения па­
1
1,с
^ рабол.
2
Рассмотрим уравнение параболы х
ау и гиперболы ху (они
могут быть получены ит равенств а х ^ х:у у:2а).
*
Решая эти уравнения как систему, полуx-av I V
"
|
| |
ЧИМ A,
U\l .
\
J \/
Путем построения графиков искомое
\
[ ^. у
ребро удвоенного куба находится как абсцисса
j /
точки пересечения гиперболы с параболой
• "J" ™ ,
х " Р '
] "
Простое приближенное решение задачи
р
[7
об удвоении куба при помощи циркуля и ли­
нейки дал Ьуонафальче (рис.
При помощи
циркуля и линейки строим прямоугольный" равнобедренный ф е у т л ы ш к
ABC с боковой стороной, равной а. Затем сторон; Л(' ,i '2 делим на
7
1
7
?
(
И С
1 7 )
v
и с
%
шесть равных час гей и находим на катете ВС от точки С точку' D так, что
CD
- А Г
6
6
В
Длина отрезка AD (но геореме Пифагора) бу-
и(м
/ '
д е т Л О - ---N/37-6V2 , или, обозначив Л О
.2-х
0
^ Ф - Ч — . . . 4 —
.т, получаем
6
х
^ ° _ ~
Рис. 18
.
2
byJ
~
а
.
1,25X63 (V'2
Г.2599 ). Т.е. если ребро
6
данного куба а, то найденное значение ребра искомого
куба отличается от истинного значения меньше, чем на ^ Q Q Q . Следует от­
мстить, что воздействие этой задачи было одной из причин тою, что кони­
ческие сечения вошли в математику, что они стали в античной математике
средством решения таких задач, которые невозможно решить с помощью
циркуля и линейки.
2.5. Теорема
Пифагора
Теорема Пифагора имеет богатую историю. Задолго до Пифагора
она была известна египтянам вавилонянам, китайцам и индийцам.
В египетских текстах ист никаких сведений о теореме, которую мы
сейчас называем теоремой Пифагора. Однако в Египте имелось правило
построения прямого угла. Использовалась веревка, разделенная на 12 рав­
ных частей. Ее натягивали в виде треугольника со сторонами 3, 4, 5.
Эти сведения относятся к середине первого тысячелетия до нашей
эры. А задолго до этого времени теорема о связи между сторонами прямо­
угольного треугольника была известна в Древнем Вавилоне. В Вавилоне
знали много так называемых «пифагоровых троек». До нас дошла таблица,
содержащая тройки 60, 45, 75; 72, 65, 97. а также еще более сложные, на­
пример: 3456. 3367. 4825. Ясно, что эта таблица не могла быть составлена
с помощью простого подбора. Наверняка вавилоняне знали какой-нибудь
общий прием для отыскания «пифагоровых троек».
За восемь веков до нашей эры теорема Пифагора была хорошо из­
вестна индийцам под названием «правила веревки» и использовалась ими
для построения алтарей, которые по священному предписанию должны
имел, строгую геометрическую форму, ориентированную относительно че­
тырех с т р о и горизонта.
Доказательство самого Пифагора до нас не дошло. В настоящее
время имеется свыше двухсот различных доказательств теоремы Пифаго­
ра. Возможно, что одно из них принадлежит ему или его ученику (по то-
гдашним обычаям, вес открываемое учениками, предписывалось главе
школы — учителю).
Существует множество способов доказательства теоремы Пифатора.
Выделим основные:
1. Целый ряд доказательств основан на том, что квадраты, постро­
енные на катетах и гипотенузе, разрезаются на части так. что каждой части
квадрата на гипотенузе соответствует равная часть одного ит квадратов на
катетах. Во всех этих случаях достаточно посмотреть на фигуру, чтобы по­
нять доказательство: последнее может ограничиться словом «смотри!», ко­
торое часто встречается в сочинениях индийских математиков. Однако до­
казательство не будет действительно полным, пока не доказано равенство
соответствующих частей. Такие доказательства иногда называют доказа­
тельствами с помощью складывания (аддитивными).
2. Существуют доказательства с помощью вычитания. Основная их
мысль заключается в следующем: от двух равных площадей мы отнимаем
равновеликие части так, чтобы в одном случае остались два квадрата кате­
тов, а в другом — квадрат i инотенузы.
3. Встречаются также доказательства, основанные на вычислениях.
Однако перечисленные различные приемы основываются на одной
идее - равновсликости равнооктавленных фигур.
Примеры доказательств теоремы Пифагора:
1. Багдадский ученый Анариций (X век до нашей эры) (рис. 19).
^В данном случае достаточно посмот/ 4
"
реть на чертеж, чтобы понять все доказаJ
']
тельсгво. Выбирая другое расположение
/•
/
,
/
квадратов относительно треугольника, по/ 1 12
/
лучаем новые доказательства теоремы Пи|/
/
фагора.
—
2. «Стул невесты» — так индийские
I
' I
ученые называли фигуру, когда квадраты
|
5
'3|
катетов расположены один рядом с другим в
^ ^
J
виде ступеней (рис. 20).
/ ^ - ^ 1 I
Из рисунка видно, как строится
.
.
J
квадрат, соответствующий типоген>че. Обр
|у
щую часть как этою последнею, так и пер­
вых двух квадратов составляет заштрихо­
ванный неправильный пятиугольник 5.
1
л
/
/
/
и с
Если к последнему приложим треугольники I и 4,
то получим два квадрата катетов, если же вместо тре­
угольников / и 4 приставим равновеликие им треугольни­
/
/ 2
ки 2 и 3 . то получим квадрат гипотенузы.
3. Доказательство Евклида
одно из первых из­
7 A
I
вестных доказательств т. Пифагора дал в IV веке до нашей
Рис. 20
эры Евклил в своих началах (рис. 21)
'Это доказательство (ниже) в средние века счита­
О/
I
лось сложным и теорема получила название «тео­
, . с //
/ к рема ослов». Однако по мнению Евклида, она явля­
й с я проегой. т.к. для него простейшим доказатель­
4U
ством является такое, при котором приходится воз­
Л М
!Н
можно меньшее число раз применять предыдущие
коремы.
н
Действительно, в доказательстве использу­
ется
первый
признак равенства треугольников и
Рис. 21
теорема о row, что параллелшрамм. основание и
высота которого соответственно равны основанию и высоте треугольника,
имеет вдвое большую щптцадь.
Локашпкльсгто:
D
1. AFAB ACAD (AF - АС, АВ - AD, ^ВАВ
взаимно перпендикулярными сторонами).
2. s,
s^
rin
З.МВК
4.
s.
(FA • - общее основание. СА
Л'АП — углы между
общая высота]
ЛЕВС.
1
t
5. 5
6. S.
1
Следовательно:
7. Snap-MaACHF
вр-маАО! _М
8. S
9 ^iijp-ii;iACtF •'•нду-маСБКО ~ ^пар-маЛВШ,. или а~ +• Ь' = С.
+
4. Ту же самую идею, что и Евклид, реал и зовывал в своем доказа­
тельстве Насир-зддии-ат-Туси (1201-1224, Ирак) (рис. 22).
Указания:
1) Продолжите стороны
и Л//*'до пересе­
чения в точке /.. Из т. С опустим перпендикуляр на
н
DE\
/
2) Докажите, что точки L и С лежат на од­
ной
прямой:
M
В
3) Выразите площади прямоугольников
ASiKD и KfBEK через площади ранновеликих им
Dl К
параллелограммов AD '1С и CLE'B;
Рис. 22
4) Выразите площади параллелограммов че­
рез площади квадратов, построенных на катетах;
5) Сделай! с общий вывод.
5. В XIX веке оригинальные доказательства теоремы Пифагора бы­
ли даны Гофманом.
L
N
/----
Первое аокаихтелъство
N ; 1_
:
0
К
,Г
/
Snap-MoPCLN " Smtp-MOACLD ~~ &пар-мвАСНТ~ Ь \
в
Т
Гофмана
Построение; на сторонах прямоугольного
треугольника ABC построим квадраты. Отрезок
AD продолжим до пересечения с прямой OF в
точке N. Получим фигуры с равными площадя­
ми:
$пир-ми> Bki. ~ *5'пир-мм:Ы-0 ' &~• НО
Рис. 23
^нир-маЛВЕО
=
Snap-MoPBEN '"' ^пир-я^'СШ
7
?
¥
^пир-маСВЕЬ 3
2
следовательно, с -- Ь ^ а .
Второе доказательство
Гофмана
Построение и общая идея доказательства:
< F
Проведем КАЛАС, гак что КА - АС,
• -Т/
/
КBF1CB и BF ~ ВС, ВЕМ\В и BE АВ,
А
- v . В
Далее доказываем, что точки F, С и А" ле­
.\
жат на одной прямой и. используя тот факт, что
Рис. 24
четырехугольники KJ-ЪА и СВЕА равновелики.
получаем требуемое равенство:
7
«Метод вычитания площадей» применили Темпельгоф (1769г.) и
Мере (1887..).
6. Доказательство Темпельгофа (рис. 25).
Используя факт равновеликости шести­
N
угольников KABFMN и CADLEB и вычитая из
/Г
/ площадей этих фигур площадь общего тре­
угольника ABC и площадь соответственно рав­
ных треугольников K4CN и IDE. получаем, что
А
оставшиеся фигуры равновелики.
7. Доказательство Мерс (1835-1911,
D!
французский математик) (рис. 26).
Вычитая из пятиугольника BADLF один
раз ААВС и APDA, другой раз равные им ALED
Рис. 25
и ABEF, получаем, что с
Ь + а.
8. Очень многие виды разложений можно
L
К
весьма просто представить в арифметической фор­
/
Е
Df-.Ж
ме. Следующий пример встречается со стереотипом
«смотри» у индийских математиков, в геометрии
Вхаскары (1114-1185. индийский математик). Рас­
/ь сматриваемый прямоугольный треугольник четыре
раза вмещается в квадрате гипотенузы, причем в
Рис. 26
середине остается еще малый квадрат, сторона ко­
торого равна а-b, где а — длина большего катета, Ь — меньшего катета
(рис. 27).
2
2
2
а
7
i
1
/
/-
V
Рис. 27
1
i
Тогда с
4-
2
2
-На -Ь)*, или с ™- b~ f а .
9. Оригинальный вычислительный MCI ОД доказатель­
ства дал Мельманн (рис. 28).
Впишем в прямоугольный треугольник ABC окруж„
a-b
(a I b I с)-г
«ость радиуса г. Тогда 5 ^ =
, или
3
Выразим г через длины сторон треугольника (2г •= а + Ъ - с) и. приравняв
площади, получим: с - Ь + а .
Рассмотрим некоторые обобщения
,С
теоремы Пифагора, которые встречаются
/Г ^
1
в «Началах Евклида». Две теоремы мож­
но соединить в следующее предложение:
Л О
Во всяком треугольнике квадрат,
с
А
В
построенный на стороне, лежащей про­
Рис. 28
тив острого или тупого угла, равен сумме
2
/
2
2
квадратов, построенных на двух других сторонах, минус или плюс удвоен­
ная площадь прямоугольника, построенного на одной из этих сторон и
проекции на нее друиш.
Эта геометрическая формулировка есть не что иное, как известная
теорема косинусов.
Следукш1ая теорема отсутствует у Евклида и впервые встречается
лишь в «Математическом собрании» у Панна Александрийского (2-я поло­
вина III века, древнегреческий математик), по имени которого она и назва­
на теоремой Паппа:
Во всяком треугольнике параллелограмм, который построен на од­
ной из его сторон внутри треугольника, так что две его вершины лежат вне
треугольника, равновелик сумме параллелограммов, построенных на двух
других сторонах треугольника гак, что стороны их параллельные сторонам
треугольника, проходят через вершины первого параллелограмма.
Доказательство:
Пусть дан произвольный ААВС и пусть
на стороне АВ этого треутльника построен
параллелограмм ABB'А' с таким расчегом,
чтобы вершины А' и В' были вне треугольника. Затем на других сторонах треугольника
построим еще два параллелограмма ACED и
BFIIC так, чтобы их стороны проходили через
вершины параллелограмма ABB 'А'. Надо до­
казать.
и с
Р - 29
Продолжим стороны DE и ¥11 до пересечения
в т . С ' и соединим С и С. ААВС
М'В'С (по стороне и двум прилежа­
щим углам), а = > / Г С - АС и четырехугольник АС.С.'А'— параллело­
грамм. S,icBD ^ $лсс'л- и аналогично S phc = Sggrr- Если теперь от фигуры
ABB С А' отнять ЛАВ'С,
то в результате останется параллелограмм
ABB 'А'. Если от той же ф ш у р ы ABB 'С 'А' от ня гь ААВС=АА Ъ 'Сто в ито­
ге останется сумма параллелограммов АСС'А' и НИ'С'С (или равновеликая
ей сумма параллелограммов ACED и BFHC), что и требовалось доказать
B
Эта теорема являс|ся обобщением (соремы Пифагора. Действи­
тельно, если в теореме Паппа за исходный треугольник взять прямоуголь­
ный, то в этом частном случае получим теорему Пифагора.
Предложение, аналогичное теореме Пифагора, существует в про­
странстве.
Его впервые нашел в 1662 г. Иоганн Фульгабер из Ульма:
Если OA, OB, ОС - три взаимно простые перпендикулярные пря­
мые, образующие трехгранный угол с вершиной в точке (), а А. Я. С, —
произвольные точки этих прямых, то У \ - - У \
>У
+ У ювг
Указания к доказательству:
A[V.
Чтобы доказать написанное равенство, мож[ '
но выразить все плошади через длины катетов а, Ь.
с. В прямоугольных треугольниках m i делается
\
п р о с т , а в ААВС можно по теореме Пифагора найО*
, p ти все стороны, а затем найти его площадь по фор­
муле Герона.
Таким образом, основные идеи, в направле­
Рис. 30
нии которых возможны обобщения, связаны преж­
де всего, с равнойеликостью фигур, построенных на сторонах произволь­
ного треугольника на плоскости и в пространстве.
Задача. Восстановить доказательства г. Пи<|>агора по рис. 31.
ш
л о к
х
s
К
"
/
N-дЛ,
Е
: •
>
Н
К
D,
: /
N.
/
t
/
/
г/.
Dt
И
А Ч/
/
!ь
а)
б)
к
К
В
А
В
М
в)
г)
Рис. 31
2.6. Некоторые
известные
математические
задачи
Многие ученые были авторами постановки и решения известных в
математике задач, которые стали носить их имена. Boi некоторые из них.
1. ( ' а л ч н о м Архимеда
ABE, А КС, ChD, DMB- - полуок­
ружности. Заштрихованную фигуру Ар­
химед назвал салиномом. Доказать; пло­
щадь S салинома равна площади круга,
для которого ЕЕ' — диаметр.
Доказательство:
1
ЛГ
8
1
ЯП )
1
- • 8 - АС
я
=
7
л - АС ^
\ A C ^ E F
4
что и требовалось доказать.
2. Теорема Птолемея
Доказать, что в четырехугольнике, вписанном
в окружность, сумма произведений противоположных
сторон равняется произведению диагоналей.
Доказательство:
Проведем BP так, что Z.iBP
^DBC, тогда
4И
АР
ЛАВР <*М)ВС=> J - - => ABDC - BDAP.
ЛРВС JCЛЮВ ^ АВВС
PCBD.
Складывая (1) и ( 2 ) получим: АВ DC + А1)В(' = АС 'ВО.
(1)
;
3. Задача Герои а
Найти треугольники с целочисленными площадями (треугольники
Герона), длины сторон которых являются последовательными числами.
Решение:
Обозначим стороны искомого треугольника через x-L х, х+1. Тогда
площадь SA найдется по формуле Герона: 5 . ур(р - и^р - ЬКр-с).
Д
fix А
ЗА-
Г 1
В данном случае
^ ^2^
4'
S
: г
'>
Тогда й' ^ т^3(т
2
(т ~1)-=3н
и ггГ-Зп
2
е
Д
е
*j "
m
'
х х
Т у <
О;
т
Нелос число.
\ ) , где
2
2
2
д
'
1
= , , A =f
Р
целое число, S =3mn
целое число
или [т->пу/3)(т
иУз>^1.
A
(1)
Последнее равенство выполняется при m = 2 и п = Г
(2i v'3)-(2- V 3 ) - 1, следова1ельно
a + vW-il-iif
= \ </>W. 2, ...).
(2)
Из равенств (1) и (2) ььпекае]: т + п '3 - (2 +
р
откуда х = 2т , = (2 +
р
г v
,
+ (2 - • / } > •
;
Из полученной формулы будем иметь при р^ /, Xj 4 S 6\ при р -2,
.г, / - / Я * при р-3, х =52 S ^117Q\ при р=4> х =94, 6 > 16296 и т.д.
A
3
A
4
4. Задача Эйлера
Доказать, что во всяком четырехугол1.нике сумма квадратов сторон
равна сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетверенным квадра­
том отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Доказательство:
Пусть точки А/, N, Р, S — середины
сторон четырехугольника, точки О, К — се­
редины д и а т н а л е й
Тогда K4NPS— парал­
X
лелограмм, т.к .VP =-- MS = BD и NP\\MS и
MN = PS = |.1C как средние линии соответ­
ствующих треугольников.
Аналогично
KS = IAB,
грамм и ON
OMKP
ONKS —
NK - OS = -j CD\
параллелограмм и MK = OP = -AD; ОМ - KP ~
2
2
2
2
параллело­
\вС.
2
2
В пар-ме ONKS: OK + NS - 2(NK + ON ) = | (AB + CD ).
2
2
2
2
2
В пар-ме MKPO: OK + MP - 2(MK + KP ) - j (ВС +
Складывая (1) и (2), получим:
2
2
2
2
2
2
(I)
Arf).(2)
2
20K + NS + MP - ~ (AB + ВС 4 CO + AD ).
2
2
2
2
2
В пар-ме MNPS: NS 4 MP - 2(MN 4 ,VP^ - j (AC + BD ).
2
2
2
Следовательно: 20K + \ (AC +
2
2
2
2
2
2
= \ (AB + ВС + CD + AD ),
2
2
2
или: AB + ВС + CD*+ AD = AC + BD * 40K .
5. Задача Ферма
Па диаметре AB полукруга AKiB построен прямоугольник ABCD,
высота которого АС равна стороне вписанного в круг квадрата. Если со­
единить вершины С и D с произвольной точкой М полукруга прямыми СМ
и DM, пересекающим диаметр в точках Е и Р, то АР -) BE = AB , доказать
(рис.35).
2
2
2
Решение:
Через точки М, А и В прове­
дем прямые МК и MQ (
=
~).
ААКС со ABQD (прямоугольные и
^КАС = ZPiQD - как углы между
взаимно перпендикулярными пря­
мыми), следовательно,
ас?
АС
—
—,
и т.к.
AC=BD, ГО
BD
HQ
Рис.35
2
KCDQ-AC .
1
Т.К. лс = -AB {
1
l
,4C = Rjl ), TO 2KCDQ
КС
Ш AKMC oo AAESi-
АЕ
'
Из
ME
или
КС
CD
АЕ
ЕР
~-
ME
ЕР
BP
аналогично —
"
DQ
BP
АЕ
кс
(1)
МС
CD
МС
АСШжАЕМР
= С1Г.
(2)
РВ
CD
™' >
D
Q~-^-CD
ЕР
= > и з ( 1 ) получаем: 2-AE-BR
ЕР*,
(3)
КР
Т.к. АВ + ЕР = АР +
то, возводя в квадрат, получим:
+ 2(АВЕР I Л£-ДР; - АР г В£* + 2 4 Р Ж
АВ-ЕР + ЛЕ-ЯР
I ЯР + £ Р ) £ Р и -1£ BP
- ЛЯ-£Р •+ £Р^ t ВРЕР + А £ Й Р .
ЛР-SE = (АЕ + ЕР)-(ЕР + BP) = АЕ-ЕР + ЕР +• ЙР-ЕР > ЛА'ЯР =>
=> /Ш' = Л Р +
.
6. Задачи Д и о ф а н т а
1. Найти три числа, если дано, что произведение суммы первых
двух на третье есть 35. суммы первого с третьим на второе --- 27, а суммы
второго с третьим на первое — 32.
Решение:
Задача сводится к системе:
2
2
7
(xt>)z^35
(x+z)-y-- 27.
Вычитая 2-е уравнение, получим из 1-го: xz - ху
8.
Складывая полученное с третьим, имеем: xz ^ 20.
Но тогда ху 12, yz ~ 15, перемножая, получим:
-,,1 . ^ 20-15
,
"
.
xyz2015 =>
- - 25 => jr 4. у - 3,z = 5.
2. Найти два числа, произведение которых, сложенное с каждым ш
данных чисел, составит куб некоторого числа.
Решение.
Представим первое число в виде произведения х на куб некоторого
числа, например на 2* --8, т.е. первое число будет 8х. Положим второе чис­
ло равным (У-1). Ясно, что одно из условий задачи выполнено:
8х(хГ - 1) + Нх = 8х\
Далее, по 2-му условию должно быть, чтобы (Sxfx - 1) • (х - 1))
было кубом некоторого числа. Полагая, что куб этого числа равняется
/2х-1)~
(чтобы
пропали
члены
с
кубом
х!).
получим:
8х(х -1Н(х -1)--(2х-1)-.
или 8х -8х + х - 1 - 8х - Пх \ 6х- 1.
2
2
2
3
2
3
2
2
1 4
г
1
4
1
1
2
а
/Хг
14х\ \:
следовательно, первое число будет
уу»
14 ,
27
второе ( - ) - 1 '
13'
169
3. Найти три числа так. MTO6I.I сумма всех трех и каждых двух были
квадратами.
Решение:
Положим, что сумма трех чисел а, Ь, с есть
а + h ч с = лг + 2х + I - fx + //.
Положим, что я •+ b х , тогда с ^ 2х + 1. Пусть теперь
Ъ \- с У-2_* ^ 1 (х - if.
Тогда получим, что а =• 4х, Ь — х - 4х. Далее, (a i с) fix + 1 долж­
но быть квадратом некоторого числа, например. И - 121. Тогда для оп­
ределения х получим: fix \ 1 - 11 => х ^ 20 => а - 80. b - 320. с = 41.
2
2
2
2
(бхл
1 ~f=>x
8=>а
32, b --- 32 с
17).
t
Задачи Б х а с к а р ы
1. Показать, что \/ю ч V24 \- >/40 i '60
Решение:
v
?
• ^3 л V5.
?
yjlO t v'24 i JW ' V60 - ^( '2)'-r (V3) * (J5)
v
н 2^2 - /3 i 2>jl • & 4 2^3 • V5 -
i ^3 i *5 .
2. Найти прямоугтым.тй треугольник, н котором гипотенуза выра­
жалась бы тем же числом, что и площадь.
= yfl
Решение:
Напишем тождество: ((не + п')х) --• ((nf - п'')xf + (2mnxf и примем
за гипотенузу (т + п")х, а катеты (т - п )х и 2тпх
Тогда но условию задачи: (т i «*)jr
mixfdtf - п~), или
J „7
т + л
, следовательно, катеты искомого треугольника есть
. V - •— - 2
2
2
:
2
т -п
1
Цт
[25
V4
1
л
100
9
1
п)
(например.
,'225 + 400
v 6-2
1
т=2.
1 5 10
2'2' 3
25
6
3
25
(адача Карда но (1501-1576)
Найти
построением
тельный корень уравнения х
Решение:
х ^ 6т == (х + if - У;
Ст -г 5 / - 100.
х I бх 1 9 - 10 .
положи­
те =9/.
2
S=x
2
х
= 10 =^х=7
_3_
2
3 S=9
I
S=3x
2
2
Залачи Галилея (1564-1642)
На отвесной стене начерчен круг от верхней его точки А вдоль хорд
АВ и АС идуз желобки. Из гочки А одновременно пущены |ри дробинки:
одна свободно падает вниз, две другие скользят без трения по гладким же­
лобкам Которая из трех дробинок раньше достигнет окружности? (Сопро­
тивление воздуха не учитываем).
Решение:
А
'
/И*
-
V
При равноускоренном движении S
тогда f,
12 -
аГ
2
А( •
V «
АЕ
Известно, ч ю
D
Рис. 36
Я
АС
АС
.
iar-gcosa).
.К 7
• 2 Ж,*- ДО
а,
2 AD
g
/,
I .е. время движении по произ­
вольной хорде равно времени свободного падения (до i . D).
Задача, предложенная Л. Монде
Вычислить в уме, какие два числа нужно взять, чтобы разность их
квадратов равнялась 133.
ег-Ь = (a f ЬНа - Ь) = 1331 - (62 + 61X62 - 61).
(Анри Монде — феноменальный вычислитель, француз по проис­
хождению. 1830-18...?).
2
2.7. История теоремы
Ферма
В X V I I веке жил один из величайших математиков Пьер Ферма
(1601-1665). Он заложил основы аналитической геометрии одновременно с
Декартом и нашел общий метод разыскания максимумов и минимумов
(впоследствии развившийся в исчисление бесконечно малых). Однако бо­
лее всего известны результаты Ферма в области теории чисел.
Свои теоретико-числовые результаты Ферма не публиковал. Они
известны из его писем, а также из бумаг, оставшихся после его смерти. Как
правило, доказательства Ферма до нас не дошли. Эти доказательства были
восстановлены последующими математиками, в основном Эйлером.
Некоторые свои утверждения Ферма сопровождал пометкой, что он
не располагает удовлетворите.1гьным их доказательством. Впоследствии
выяснилось, что часть этих утверждений была ошибочна. Например, Фер­
ма ошибался, утверждая, что все числа вида 2~"+1 простые; уже при п — 5,
как показал Эйлер, получается составное число.
Однако во всех случаях, когда Ферма определенно утверждал, что
он доказал то или иное предложение, впоследствии удавалось это предло­
жение доказать.
Замечательным исключением является так называемая «Большая
теорема Ферма» (она же «Великая», или «Последняя»), утверждающая, что
не существует отличных от нуля целых чисел х, у и z, для которых
y+y"=z". где п '2. В бумагах Ферма было найдено доказательство этой
георсмы при п ~ 4 (любопытно, что это единственное полное доказатель­
ство теоретико-числового результата, сохранившееся от Ферма. Относи­
тельно же общего случая любого и Ферма лишь написал на полях «Ариф­
метики» Диофанта), что он нашел «поистине замечательное доказательст­
во» этого факта, но «поля слишком малы, чтобы его уместить».
Несмотря на усилия многих математиков (в «Истории теории чисел
Диксона» прореферировано более трехсот работ на эту тему), это доказа­
тельство найдено не было, и можно сомневаться, существовало ли оно во­
обще.
Колее того, кроме показателя 4, нет ни одного показателя п, для ко­
торого теорему Ферма удалось бы доказать элементарными средствами.
Этим объясняется, почему в настоящее время все специалшсты
твердо уверены в невозможности доказать теорему Ферма элементарными
методами.
В 1906 г. немецкий любитель математики Вольфскель завещал
100000 марок тому, кго докажет теорему Ферма. Только в Геттинген (ма­
тематическое общество) за первые три года пришло более тысячи реше­
ний.
(Рассказывают, что то ли в Геттинген, то ли в нашу Академию наук
однажды поступила следующая телеграмма: «Решил проблему Ферма: икс
степени эн плюс игрек степени эн не равно зег степени эн гчк. Доказатель­
ство: переносим ш р е к степени эн правую часть тчк подробности письмом
тчк.», что характеризует уровень доказательств). В период инфляции после
первой мировой войны премия Вольфскеля обесценилась и поток «ферматистеких доказательств» ослаб, но, к сожалению, не прекратился.
Значение теоремы Ферма для математики в том, что при попытках
ее доказательства (серьезными математиками) были выкованы новые
мощные средства, приведшие к. созданию обширного отдела математи­
ки — так называемой «теории алгебраических чисел». Тот факт, что до сих
пор теорема Ферма не доказана, по-видимому, означает необходимость в
еще более мощных и ушнченных м е т д а х . Элементарное же доказател1>етво теоремы Ферма (или же доказательство, не вводящее новых идей и ос­
тающееся в рамках уже известных методов), хотя и закроет проблему, но
большого значения для математики иметь заведомо не будет. (Следует со
всей решительностью предостеречь всякого от попыток искать элементар­
ное доказательство теоремы Ферма. Можно быть уверенным, что это будет
лишь ненужная потеря труда и времени).
Можно отметить, что пытаться «вслепую» искать контрпример к
теореме Ферма также безнадежно. Еще в 1856 г. Грюнерт заметил, что на­
туральные числа х, y z, удовлетворяющие соотношению х" t у"- z" (если та­
кие существуют), должны удовлетворять неравенствам дг>и, у>и, z>n.
Действительно,
пусть
z^xta,
где
а£1.
Тогда
х" f у ^ У f /IX 'at...шли"" н а" и поэтому y"^rix"~ . Аналогично доказыва­
ется, что х >ну -'.
Следовательно, ( у>п -хп^ >гГ-п - (}Г Г\
т.е.
у "-' V " " ' , значит у-п.
t
я
1
}
у
п
п
п
,)
я 1
1
у
2
По симметрии х>п. и потому z>n. К настоящему времени теорема
Ферма докатана для всех показателей
100000. Поэтому в опровергаю­
щем ее примере мы должны были бы иметь дело с числами, прсвосходя• г, 500000
щими | 0
.
Как уже было отмечено, элементарного доказательства теоремы
Ферма нет ни для одного показателя и W . Даже в случае п - 3, который
J W U W
был рассмотрен Эйлером в 1768 году, оказались необходимы соображения,
использующие числа вила а * К' 3. п с a. h
пелые числа Такого рода
методы были полностью ЧУЖДЫ Ферма, и он их заведомо использовать не
мог.
В доказательстве Эйлера были неточности (он перенес на новые
числа рассуждения, применявшиеся лишь в области целых чисел) Пер­
вым, кто подвел под рассуждения Эйлера надежный фундамент, был, повидимому, Гаусс.
Доказательство теоремы Ферма для случая п-5 предложили п
1825 г. почти одновременно Лежен Дирихле и Лежанлр Свое доказатель­
ство Дирихле опубликовал в 1828 г. Оно было очень сложным. В 1912 г.
его упростил Пленсль.
Для следующего простого показателя
7 георема Ферма была до­
казана лишь в 1839 г. Ламе. Доказательство Ламе было почти сразу суще­
ственно усовершенствовано и упрощено Лебегом.
В 1847 г. Ламе объявил, что ему удалось найти доказательство тео­
ремы Ферма для всех простых показателей п>3. Метод Ламе основывался
на развитии идей Эйлера и на арифметических свойствах чисел вида
а I a|(i...'a„ х " ' . тле а о. ftj
(
о,,.?
пелые числа, a f-cos — + i'sin----
(первообразный корень н-ой степени из / ) . Однако в сто рассуждениях
Лиувилль обнаружил серьезный пробел и Ламе признал свою ошибку.
В I ермапии примерно в это же время молодой математик Куммср
упорно занимался теоремой Ферма. Он добавил к рассмотренным числам
еще некие новые, несуществующие числа, которые он называл «идеальны­
ми». 'Ути идеи позволили ему достичь замечательных результатов и поро­
дили целый ряд разделов современной алгебры. Свои идеи он развивал в
работах 1847 I . , 1851 г. и в очень грудной работе 1858 тода он доказал
георему Ферма для некоторого класса простых чисел и тем самым теорема
Ферма оказалась доказанной для всех простых показателей п< 100.
(Правда, позднее в рассуждениях Куммера были обнаружены не­
точности, по они оказались вполне исправимыми).
Около 1850 года Французская академия наук учредила награду в
3 тыс. франков за доказательство теоремы Ферма. Присуждение несколько
раз откладывалось, пока, наконец, в 1857 году премия не была присуждена
Куммеру.
После Куммера серьезных сдвигов в доказательстве теоремы Ферма
не произошло до 1929 года, когда Вандивер получил новые результаты,
что позволило утверждать, что теорема Ферма справедлива для всех про­
стых показателей п- /00000.
О доказательстве теоремы Ферма
В первую очередь следует заметить, что если тройка
у, z) целых
чисел удовлетворяет уравнению (1) х" + у" = г", то ему будет удовлетворять
и любая тройка вила (Х-х. Ху. Я-г), где Я — произвольное целое число. Об­
ратно, если гройка {Л-х, Ху, X-z) является решением уравнения (1), го ре­
шением буде! и тройка [х. у, z). Поэшму, чтобы найти все решения (-г, у, z),
достаточно найти решения (х, у, z), для которых числа .г, у, z взаимно про­
сты (не имеют общего множителя, отличного от единицы), а чтобы дока­
тать, что уравнение ( I ) неразрешимо в целых числах, достаточно привести
к противоречию предположения о существовании решения {х, y z), со­
стоящего из взаимно простых чисел.
Более того, ясно, что если в каком-нибудь решении (д:, у, z) уравне­
ния ( I ) два из чисел х, у, z имеют общий множитель Я * ±1, то третье чис­
ло также будет делиться на X. Поэтому можно ограничиться лишь реше­
ниями, состоящими из попарно взаимно простых чисел. Такие решения на­
зывают примитивными.
t
Теорема Ферма д л я показателя 4
Случай
— это единственный случай теоремы Ферма, допус­
кающий вполне элементарное доказательство. 'Зто доказательство было
придумано еще самим Ферма. Оно использует формулы общего решения
уравнения: (l)x
i у* z , которые были известны еще индусам.
Докажем эти формулы.
Как показано выше, достаточно искать примитивные решения
уравнения (1). Ясно, ч ю если (дг, у, z) — решение, то (у, х, z) также будет
решением. С другой стороны, для любого решения (х, у, z) хотя бы одно из
чисел .г или у четно. Действ ительно, если .г и у нечетны, то л ^ + у имеет вид
2к \ 2 и потому не может быть равно квадрату никакого целого числа (ибо
каждый квадрат имеет вид либо 4к либо 4к + 1). Кроме того, очевидно, что
вместе с решениями (х, у, z) и (±х, ±у, ±z) также будут решениями.
Из птих замечаний непосредственно следует, что нам достаточно
найти лишь состоящие из положительных чисел примитивные решения ( х
у, z) уравнения (1), для которых число х четно.
Лемма. Для любых взаимно простых положительных целых чисел m
и п m разной четности формулы: x^=2mt, y=nf-rf. z^ni+rf
(2)
доставляю! состоящие из положительных целых чисел примитивное реше­
ние уравнения (1) с четным х. Обратно, любое состоящее из положитель­
ных чисел примитивное решение {х, у, z) уравнения (1), для которого .г
чегно, выражается формулами (2). где m и w m — взаимно простые числа
разной четности.
_ _ _ _
2
2
7
1
?
2
2
Доказательство: Тождество (2тп) i (т п ) ~-(т -> п ) показыва­
ет, что числа (2) (очевидно, положительные) составляют решения, для ко­
торого х
четно. Ксли зти числа имеют общий множитель Л>2. то Я будет
делить и числа 2т ={т ь п ) 4 (т п ). 2п' г- {т +- / г ) - (т - / г ) , значит
Л=2. ибо но условию тип взаимно простые. Но если Л~2. го у " т~ - п~
четно и следовательно, числа т и п одновременно либо четны, либо не­
четны, что невозможно, ибо но условию числа тип имеют разную чет­
ность. Это доказывает, что решение (2) примитивно. Обратно, пусть (х, у,
z) — произвольное состоящее из положительных чисел примитивное ре­
шение с четным х 2а- Т.к. у и z нечетны, ю числа (z\y) и (z-y) четны.
Пусть z •+ у = 2b, z у = 2с, где а b и с — положительные числа. Каждый
общий делитель чисел hue делит z - Ь + с и у •-- b - с.
2
:
1
2
2
2
2
1
2
2
у
Поэтому Л=±1 (т.к. z и у взаимно простые), так что числа b и с вза­
имно простые. С другой стороны 4а = х = z" • у = 4Ьс, т.е.
- be, тогда
справедливо Ъ~п? и с п . (Лемма: пусть а, Ь, с - такие натуральные це­
лые положительные числа, что: I ) ab=c"\ 2) а » b взаимно просты. Тогда
существуют такие натуральные числа х и у, что а=х", Ь~у" (т.е., если про­
изведение двух взаимно простых натуральных чисел является и-ой степе­
нью, то каждый из сомножителей также будет я-ой степенью)).
Следовательно, сг=т*п~. т.е. а=тп и х=2а 2тп, y-h-c-m
п.
Для завершения доказательства остается отметить, ч т о г
b ; с ^ т + п.
Перейдем к доказательству георемы Ферма при п=4.
Докажем более общее утверждение:
Уравнение х у ^ z не имеет решения в целых отличных от нуля
числах.
(Действительно: если х" + у* = г, , т.е. Х/. у,, z, — решение уравнения
х +у
, тогда х,, у,, z\ будет целочисленным решением уравнения
х-\у ---~
но если уравнение x'+y'-^z не имеет решений, то и уравнение
. r ^ / V не будет иметь целочисленных решений).
2
2
2
2
l
1
2
4 4
4
2
2
4
2
4
2
у
Проведем доказательство от противного.
Пусть (л-, у. z)~ взаимно простые числа— решения уравнения
x +y z , причем пусть - - минимально возможное. Одно из чисел х, у
должно быть четным, пусть х. Т.к. (х ) *-(У) -z и т.к. числа х , у , z поло­
жительны и взаимно просты, а число х четно, то согласно лемме, сущест­
вую! 1акис взаимно простые числа т и п<т разной четности, что х =2тп.
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Если т 2k w п 21+ L ту • 4(1?-?-1-1)+3, что невозможно, ибо лю­
бой нечетный квадрат должен иметь вид (4k+j). Следовательно, число т
нечетно, а число н четно. Пуеть п 2q. То1да х
2
4mq и поэтому пщ - у J .
;
Поскольку числя т и q взаимно просты, отсюда вытекает, что т z / , q-~-t,
где z . / — некоторые целые (очевидно, взаимно простые) положительные
числа.
В частности, мы видим, что у ^(z/) -(21 ) , т.е., что (2t ) +y
(z ) .
Т.к. числа z и Г/ взаимно просты, к этому равенству снова применима до­
казанная выше лемма. Следовательно, существуют такие положительные
взаимно простые числа а и Ь<а различной чемюсти, что 2? - 2ab. т.е.
I ab, у-а - b , Zi а -* Ь .
Так как я и Л взаимно просты, из первого равенства по лемме выте­
кает, что существуют целые числа дг/ и V;, для которых a=x \ b=y .
Поэтому третье равенство может быть переписано следующим об­
разом: х \у
z . Это означает, что числа Xj, y z составляют примитив­
ное решение уравнения x +y =z . состоящее из положительных чисел. Сле­
довательно, в силу выбора решений (jr. у, z) должно выполнятся неравенст­
во Z) £ z, а пот-ому и неравенспзо z £ z, т.е. абсурдное неравенство
т £ т п . Следовательно, предположение о существовании у уравнения
x +y -z целочисленных решений приводит к противоречию Поэтому это
уравнение не имеег решений в целых отличных oj нуля числах.
f
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
t
4
4
4
h
4
4
t
s
2
21
4
4
2
b
2.8. Задачи т «Арифметики»
Магницкого
Первое печатное руководство по арифметике на русском языке бы­
ло издано за [раницей. В 1700 году Петр I дал голландцу Я. Тессингу пра­
во печатать и ввозить в Россию книги светского характера, reoi-рафические
карты и т.д. 1 [о математике Тессинг выпустил «Краткое и полезное руковеление про аритметочку» (Амстердам) Ильи Федоровича Копиевского. Од­
нако арифметике в нем отведено лишь 16 страниц с весьма краткими све­
дениями о первых четырех действиях над целыми числами.
В январе 1703 г. в Москве была издана «Арифметика» Леонтия Фи­
липповича Магницкого (1669-1739). очень большим для того времени ти­
ражом
2400 экземпляров, и эта книга сыграла в истории русского мате­
матического образования чрезвычайную роль. На титульном листе Маг­
ницкий дал определение: «Арифметика сиречь наука числительная. С раз­
ных диалектов на славянский язык переведенная, и воедино собрана и на
две книги разделена». Популярность сочинения была необыкновенной, и
около 50 лет оно не имело конкурентов как в школах, так и в более широ­
ких читательских кругах. «Арифметику» Магницкого и «Грамматику»
Смотрицкою назвал «вратами своей учености» M B . Ломоносов.
«Арифметика» представ.тяег собой большой том в 662 сгр. Магниц­
кий снабдил все правила действий и решения задач очень большим числом
подробно решенных примеров. Учитывая нужды практики. Магницкий
придал своему «руду полуэпциклопедичеекий характер, включив в пего,
помимо собственно математического материала, многочисленные сведения
по естествознанию и технике.
«Арифметика» делится на две книги. Первая из н и х — большая (в
ней 218 листов) - состоит из 5-ти частей и посвящена преимущественно
арифметике в собственном смысле слова. Во второй книге три части,
включающие алгебру с геометрическими приложениями, начала |рнтоно­
метрии, космографию, географию и навигацию.
Главттую роль в первой книге «Арифметике» играют тройное пра­
вило и правило двух ложных положений. Эти правила были основными
методами решения арифметических задач в XVtf-XVHI веках.
Тройное правило применялось при решении задач, в которых ищет­
ся величина х . находящаяся в геометрической пропорции с тремя данными
х b
величинами:
а
с
Отсюда и наименование правило трех величин. ')тим методом ре­
шали задачи в Китае и Индии, в сiранах Средней А ш и и Востока, н Евр(ь
пе с тройным правилом познакомились в X I I веке но сочинениям на араб­
ском языке. И еще в Индии к простому тройному правилу были добавлены
обратное, а также правила пяти. семи, девяти и т.д. величин.
Так. по правилу пяти величин находят величину х, удовлетворяюх d
v b
a-d -Ь
шую ДВУМ пропорциям: — -- - и *- - - сразу в виде частного х - - —
у
Р
а
г
г •е
Правило двух ложных положений применялось для решения урав­
нений вида ах i Ь с. Ранее всею оно встречается в китайской литературе,
не позднее начала нашей >ры. Из Китая правило было перенесено много
веков спустя в страны ислама и оттуда пришло в Европу. Искомой величи­
не ,t даются послсдова1ельно какие-либо два значения X/ и х . При
OX] t- Ь c и ах < b с из данного уравнения и только что написанных раx,d, - x d
,
венств следует х— . где c-c,=«? и c-c =d .
d -d,
2
t
2
2
t
2
л
2
2
}
В старинных рукописях давалось только словесное предписание без
вывода. При этом авторы, не знавшие еще отрицательных чисел форму­
лировали правило двух ложных положений отдельно для случая, когда с, и
с оба больше или меньше, чем с (т.е. ошибки d, и d одинакового знака) и
для случая. ко!да одно из чисел с и с больше с а другое меньше с (di.
2
2
}
2
d,
разных знаков)- В первом случае неизвестное находится путем деле­
ния разностей, во втором
n v r ^ f деления СУММ
Рассмотрим более подробно, как решаются в «Арифметике» Маг­
ницкого задачи по правилу' «двух ложных положений».
2
Задача № 1 3 9
Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников,
так как я хочу отдать в учение своего сына». Учитель отвечает: «Пели при­
дет учеников столько же. сколько имею, и полстолька, и четвертая часть и
твой сын, тогда у меня учеников будет 100». Спрашивается, сколько было
у у ч т е л я учеников?
Задача в «Арифметике» решается следующим образом. Предполо­
жим, во-первых, что учеников было 24 (первое предположение). Тогда, со­
гласно условию задачи, получим: 24*24+J2 + 6+J^67.
По условию задачи учеников должно быть 100. следовательно, их
недостает 100-67 33 (первая погрешность
«меньше»).
Предположим теперь, что учеников было 32 (второе предположе­
ние). Тогда 32 * 32 * /6+8*-1=89. а до 100 недостает 11 (вторая погреш­
ность
«меньше»). Т.к. обе HOIрешностн «меньше», m число учеников
находится путем деления разностей:
Конечно, в настоящее время линейное уравнение решается просто.
Но такое общее решение оперирует как с положительными, так и с отрица­
тельными числами. Именно желание не пользоваться средствами алгебры,
в частности, недоверие к отрицательным числам, непризнание их и жела­
ние избегать их. привело к тому, что еще в XVIII веке простые задачи тоже
решались громоздкими и искусственными методами с использованием
«ложного» или «фальшивого» правила. «Правило двух ложных положе­
ний» Магницкий применяет и к задачам, которые сейчас обычно решаются
с помощью систем линейных уравнений.
Рассмотрим одну из таких задач.
Два купца, Петр и Иван желают приобрести двор ценой 38 руб. У
I lerpa недостает до суммы 2/3 наличных денег Ивана, а у Ивана 3/4 налич­
ности Петра. Сколько денег у каждого купца?
На современном языке задача сводится к решению системы уравне­
ний:
v
. где х ~ наличность I lerpa, у
~ х - 38
наличность Ивана.
Магницкий решает эту задачу так:
В качестве первого предположения берем Х] = 20, тогда по первому
условию у/ =27.
Подставляем xi и у/ во второе условие, получим 42, т.е. погреш­
ность равна 4 - погрешность «больше».
Пусть х\=24
второе предположение, тогда находим уг^21.
Подставляя хг, Уг во второе условие, получим 39, значит Ыг=-1. По­
грешность «больше», поэтому неизвестные находим путем деления разно­
стей:
24-4-20-1
I
21-4-27-1
>
, ,
»«•'
4 ,
»
Авторы рукописей применяли правило ложных положений и к за­
дачам, которые мы бы выразили системами трех уравнений с тремя неиз­
вестными.
Упрамснение:
7
1. Доказать формулу х-----
-—-почему
в одном случае мы
делим разности, а в другом суммы?
Решение:
ах-У Ь - с
, .
а(х-
.
Jox - ах, -
,
~d
с - с,
i
rf,xj
,
>ЯЛ(ЛГ 2
x )~a x
x
l
i
rf x,
-- 2
-d^x, => x
По «Магницкому» числа d и ^ считаются положительными (это
ошибки либо «больше», либо '«меньше»), если d и d одного знака, то
формула справедлива, если разного, то надо взять суммы в числителе и
знаменателе, если мы считаем d, и d >0.
2. Дать математическое обоснование «правила двух ложных поло­
жений» при решении систем двух уравнений с двумя неизвестными.
Решение:
Система уравнений имеет вид:
j imx-^ny-c
I ах i Ьу = г '
Задавая произвольно значения дт/, х , значения у,, у находим из ус­
ловий
Г/их, + лу, - с
И.
t
t
2
2
2
[гпх
2
) яу = с
?
г
Подставляя найденные значения во второе уравнение, приходим к
системе
i
,
. югда <.
\ax, -r bvj - с у
л,) ^ M y - y>)'- rf
\a(\ -
(<i/ = o t ^ :
?
г-с?л
Вычшая одно уравнение H I другого, постучим:
а(х~х,)'
b(y y,)-d <t:Умножая первое на .г- и второе на х, и. вычитая, ПОЛУЧИМ:
ах-Ах
х-) 4 bx.i v- v, I ахЛх
х , ) - Ьх,(у -у.)- rf,jc, •• d x ,
axix, - лi) + /<v(y, - у,) Itxi v, у,) i- Av ( i' у,) - Ax,( v - y,) rf, v, - e/,.v,;
r
r
?
t
;
л<(/, -1/ > + b(\y, - xy, t X^ v
?
x y, - x,y+ x,y )?
2
d,x
?
- Ux .
1
i
Имеем:
y, - y,
v - V,
V-
V,
(ИТ
I. II)
*.v - v, i ' - v v, i
- xy - *r,y, ~ XV I j j ^ .
XV -• Xl'j 4 y,y - V,V - V.V4 x y - 0 .
v. -djX,
d. Vj - t/» v,
x ~; , аналогично v
'
' .
(
(
л
a
t
d
d
1
t
d,
3. Решить с помощью «правила двух ложных положений» следую­
щие задачи:
\ ) Найги число такгю. что если к нему прибавить его третью часть и
от полученной суммы отпять ее шестую часть, то Пудсг 100.
Решение:
I (усть х, 60.
1
200
200 100
7 иг д а 60 - 20 - (60 + 20) ,
- 100 «меньше».
6
3
3
3
Пусть -т>= 75I
250
250 50
1оГДа 7ST 25 ( ? i - l b ) , U 100
з з
«меньше».
6
100
Значит, х
7
50
100 50
3 3
Современное решение:
1
и
50
Г
^
'
^ т | - 100.
.V I- -- X I •
^
3 J ft
4
2
10
- x ^x-100, -х- 100, x-9(7.
!
(2500 1000)= 90
2) Некто купил 64 рулона сукна. Из них 20 рулонов белого сукна,
13 рулонов черного. 5 красного. I 9 зеленого. 7 л а з о р е в о т и уплатил за них
486 рублей. Цена же их была неравная: за черный он платил на 4 рубля
больше, чем за белый, за красный
на 3 рубля меньше, чем за черный, за
зеленый — на 2 рубля меньше, чем за красный и за лазоревый на один
рубль больше, чем за зеленый. Сколько денег он платил за каждый рулон?
Решение:
Пусть рулон черного сукна стоил:
черный
13
6 руб.
10 руб.
белый
20
2 руб.
6 руб.
_ красный
5
3 руб.
7 руб.
' ~ "
зеленый
19
1 руб.
5 руб.
^газоревый
7"
2 руб.
6руб.
13-6\20-2+5-3*, 191 -\ 7-2Ч66, dr-320, «меньше».
13-10* 20-6+5-7-1 19-51 7-6-422, d - 64, «меньше».
320-10 - 64-6
.
...
х=
———— -11 (руб.) (стоимость черного рулона сукна).
320 - 64
2
Современное решение:
13х + 20(х-4) + 5(х-3)+19(х-5)
64х 704;х 11 (руб.).
2.9. Возникновение
т- 7<х-4)-4Н6.
и развитие
понятия
функции
1. Функции
Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, ко­
гда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны.
Они еще не умели считать, но уже знали, что чем больше оленей удается
убить на охоте, гем дольше племя будет избавлено от голода, чем сильнее
натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела, чем дольше горит костер,
тем теплее будет в пещере.
Высокого уровня достигла математика в Древнем Вавилоне. Чтобы
облегчить вычисления, вавилоняне составили таблицы обратных значений
чисел, таблицы квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квад­
ратов чисел и их кубов. Ьыли у вавилонян и таблицы функций двух пере­
менных, например, таблицы сложения и умножения.
Разумеется, путь от появления таблиц до создания общего понятия
функциональной зависимости был еще очень долог, но первые шаги по
этому пути уже были сделаны.
В Древней Греции наука приняла иной характер, чем в Египте и
Вавилоне. Появились профессиональные ученые, которые изучали саму
математическую науку, занимались строгим логическим выводом одних
утверждений из других. Многое из того, что делали древнегреческие мате­
матики, тоже могло привести к возникновению понятия функции. Они ре­
шали задачи на построение и смотрели, при каких УСЛОВИЯХ данная задача
имеет решение, изучали зависимости между отрезками диаметров и хорд н
круге, эллипсе и других линиях. Но все же древнегреческие математики не
создали общего понятия функции. Возможно, здесь оказало влияние то.
ч ю к практическим приложениям математики они относились свысока.
Одна из дошедших до нас легенд гласит, что когда какой-то человек по­
просил Евклида обучить его геометрии и задал вопрос: «Л какую практи­
ческую пользу я ПОЛУЧУ, выучив все чти теоремы?», тот сказал, обращаясь
к своему рабу: «Дай ему обол (мелкую греческую монету), бедняжка при­
шел искать пользу».
Н 529 г. византийский император Юстиниан запретил под страхом
смертной казни математические исследования (он видел в них наследие
языческой пауки, противостоящей христианской религии), центр научных
исследований переместился в арабские страны.
Арабские ученые ввели новые тригонометрические функции и усо­
вершенствовали таблицы хорд, составленные Птолемеем. Работая с триго­
нометрическими таблицами, они прибегали к итгтерполяции. Чаще всего
применяли линейную интерполяцию, но живший в X I веке хорезмиец АльЬируни разработал более точный способ интерполяции, основанный на за­
мене данной функции квадратичной. Он применил свой способ только к
таблицам синусов и тангенсов, но н одном месте указал, что тгот способ
«применим ко веем таблицам». Здесь впервые встречается мысль о «всех
таблицах», т.е. о всевозможных зависимостях между величинами.
2. Графическое изображение зависимостей
Исследование общих зависимостей началось в XIX веке. Средневе­
ковая паука была схоластической. Для доказательства своей правоты уче­
ные прибегали не к опыту, а к цитатам из Аристотеля и Платона или к
ссылкам на библейские сказания, поэтому количественные зависимости не
изучались, речь шла лишь о качествах предметов. Но среди схоластов воз­
никла школа, утверждавшая, что качества могут быть более или менее ин­
тенсивными (платье человека, свалившегося в реку, мокрее, чем у того кто
лишь попал под дождь).
Французский ученый Николай Оресм стал изображать интенсив­
ность длинами отрезков. Когда он располагал эти отрезки перпендикуляр:
но некоторой прямой, их. концы образовывали линию, названную им ли­
нией интенсивностей или «линией верхнего края». Мы сразу узнаем в ней
I рафик соответствующей функциональной зависимости. Оресм изучал да­
же «плоскостные» и «телесные» качества, т.е. функции, зависящие от двух
или грех переменных.
Важным достоинством Оресма была попытка классифицировать
графики. Он выделил три типа качеств: равномерные (т.е. с постоянной
интенсивностью), равномерно-равномерные (скорость интенсивности по­
стоянна) и неравномерно-неравномерные (все остальные), а также указал
характерные свойства графиков таких качеств.
Идеи Оресма намного обошали тогдашний уровень науки. Чтобы
развивать их дальше, нужно было уметь выражать зависимость между ве­
личинами не только графически, но и с помощью формул, а буквенной ал­
гебры тогда не существовало. Лишь после того, как в течение X V I века бы­
ла постепенно создана буквенная алгебра, удалось сделать следующий шаг'
в развитии понятия функции.
3. Переменные величины
На протяжении X V I и X V I I веков в естествознании произошла ре­
волюция, приведшая к глубочайшим изменениям не только в технике, но и
в мировоззрении людей. После того, как Коперник создал гелиоцентриче­
скую систему, «остановив Солнце и двинув Землю», нельзя уже было ве­
рить, что Земля - центр мироздания, а библейские сказания непогреши­
мы.
Астрономия стала чуть не каждый день приносить новые сведения о
мире
люди узнали о спутниках Юпитера, фазах Венеры, пятнах на
Солнце и т.д. Инженеры придумывали новые механизмы, мореплаватели
открывали новые континенты и таинственные страны.
И перед математикой возникли новые задачи, нужны были новые
математические методы, которые позволили бы описывать мир, полный
движения и перемен.
Одним из первых задумался над такими задачами основатель дина­
мики Галилсо Галилей (1564-1642). Он рассматривал задачи о скорости
падающего тела, движении точки на ободе колеса, качаниях маятника, но
решить ему удалось эти задачи лишь в простейших случаях. Чтобы создать
математический аппарат для изучения движений, понадобилось понятие
переменной величины.
Это понятие было введено в науку фрашгузским философом и ма­
тематиком Рене Декартом (1596-1650). Декарту удалось уничгожигь про­
пасть, лежавшую со времен древнегреческой математики, между геометри-
ей и арифметикой. После и н о как г, школе Пифагора открыли существова­
ние несоизмеримых отрсзкоц. был наложен запрет на использование чисел
и геомефии. Нмесю т ч о чреческие мшематики применяли ошошения
офезков. плоских фигур и п р о с ф а п с т е н н ы х тел. не выражая их числами.
Чтобы освободить алгебру от несвойственного ей геометрического
языка. Декагп ввел фиксировапньтй елиничный огрекж и стал рассматри­
вать отношения дрм их о i резкой к нем v. По сути дела, н и отношения были
не чем иным, как положительными действительными числами
Декарт считал, что в основе познания лежит сравнение между собой
предметов единого рода, их измерения, а главная роль «человеческого ис­
кусства» состоит в установлении равенства между искомыми и данными
вентами. При тгом о т и т пени ч м е ж т у вешами выражались через отношения
их мер. т.е. благодаря ноной точке зрения, через действительные числа.
Тем самым зависимости между величинами стали выражаться как зависи­
мости между числами. По сути дела. ?го была неявно выраженная идея чи­
словой функции числового аргумента.
При записи зависимости между величинами Декар! стал применять
буквы. При этом операциям над ислпчшшш соответствовали операции
над буквами. 1'енерь уже ч т ч преобразования одной зависимости в другую
не надо было писать фомоздких пропорций, изучать подобные треуголь­
ники, и преобразовывав i еомефические фигуры. Достаточно было по
твердо установленным правилам делать алгебраические преобразования,
причем все ни преобразования производились в обшем виде.
4. Крипые н уравнения
Отношения между известными и неизвестными величинами Декарт
выражал в виде уравнений. Чтобы наглядно изображать уравнения, он за­
менял все величины длинами отрезков. По сути дела здесь была заложена
идея метода коордишп.
Греческие ученые зпдавали понижения звезд на небесной сфере
долготой и широтой, но только Декарт начал геометрически изображать не
только пары чисел, а и уравнения, связыкаюшис два числа. Одновременно
с Декартом к мысли о соответствии между линиями и уравнениями пришел
другой французский математик
Пьер Ферма (1601-1665).
После работ Декар(а и Ферма возникла аналитическая геометрия —
новая ветвь математики, в которой линии изучались не геометрическими
методами, а путем исследования их уравнений.
5. .Алгебраические и трансцендентные крипые
К началу X V I ! иска м а ! с м а 1 и к и шали такие кривые линии, как эл­
липс, гиперболу и т д. Однако 1! i n время еще не было общего метода изу-
чения линий, и п о к ш у исследование каждой кривой превращалось в
сложную научную работу.
Открытие Декарта и Ферма дало в руки
/ ^ \
Т
V математиков метод для получения и изучения
новых кривых — надо было написать уравне—
ние кривой и делать выводы, исследуя это
\
У ^
уравнение. Сам Декарт в 1638 году придумал
новую кривую, уравнение которой имеет вид
.
x + y - 3 a x v - 0 . ее сейчас называют дскарто/
~ •
\
вым листом (см. рис. 37).
Любопытно, чго хотя Декарт применял
^ - 37
ужу в своей алгебре не только отрицательные,
но даже мнимые числа, он не рассматривал отрицательных значений координа1. Первоначально декар! ов лист считали
симметричным относительно осей координат, т.е.
изображали линию \х\ ь \у\* За\ху\- 0, рис. 38.
1
i
J
нс
г
Окончательно форма кривой была установ­
лена лишь через полстолетия X. Гюйгенсом (1629/
/\
\
1695) и Иоганном Еернулли (1667-1748).
Декартов лист, эллипс, гипербола, парабо­
( .
Кла являются алгебраическими кривыми. Так назыРнс. 38
ваются кривые, уравнения которых имеют вид
Р(х, у)=0, где Р(х, у) — многочлен от х и у. Но уже
Галилей и Декарт изучали циклоиду
кривую, описываемую точкой обо­
да колеся, катящегося бет скольжения по прямой дороге. !)та кривая состо­
ит из бесконечного числа арок, каждая из которых соответствует полному
обороту колеса, рис. 39.
yt
Т.к. в это уравнение
^
^
входит обратная тригономет--^О, ^
tJ
рическая функция, циклоида
| I
не
является алгебраической
^'1
кривой.
О
пг -К
неалгебраическим
' - ^
кривым нельзя было приме­
нять алгебраические методы, разработанные Декартом. Поэтому их назва­
ли трансцендентными кривыми [от латинского «транспендента»
выхо­
дящий за пределы). Некоторые трансцендентные кривые были известны
ещё древнегреческим математикам. Например, Архимед построил особую
спираль, определив ее на языке механики как траекторию точки, соверм
> и с
шающей равномерное и посту нагельное движение по лучу (см. рис.40
который в тго же время равномерно вращается вокруг своего начала.
Замечание. Архимедова спираль in
зволяет преобразовать равномерное вращ;
тельное движение в равномерное возврат
но-поступательное движение.
£
Для этого надо изготовить эксцег
трик, профиль которого состоит из двух д>
архимедовой спирали. При равномерновращении этого эксцентрика стержень Л7А
r=a(p (г>0)
скользящий концом по его профилю, pai
Рис. 40
номерно движется то вверх, то вниз (у аг
химедовой спирали расстояние (<9А/) пропорционально величине угла пс
ворота), рис. 4 1 .
Предпочтительнее
гладкие
эксцентрик»
очерченные по так называемой улитке Паскаля. Он
получается, если из т. О, лежащей внутри окружи*
сти, опустить перпендикуляры на каждую касател1
ную к окружности и взять кривую, состоящую и
оснований этих перпендикуляров.
ГЗ этом случае равномерное вращательтдвижение эксцентрика преобразуется в гармонич*
ские колебания стержня, рис. 42.
После т г о , как были открыты логарифм ь
Рис.41
стали изучать свойства графиков логарифмичееко
н показательной зависимости. Задачи механики требовали отыскани
формы провисшего каната (так называемой цепной линии). Поиски к р |
вой. длина дут и ко юрой пропорциональна радиус-вектору, привели Д1
карта к открытию логарифмической спирали.
•Л
М
О
Рис. 42
В течение XVII столетия было открыто бол!
ше кривых, чем за век» предшествующую истори>
математики, и понадобились общие понятия, кои
рые позволили бы единым образом трактовать
изучать как алгебраические, так и трансцендентнь
кривые, как тригонометрические, так и логарифм»
ческие зависимости. Выработка этих общих поп:
тий. а именно понятий производной, интеграла
бесконечного ряда, ознаменовала новый этап мат»
матики
открытие дифференциального и ннъ
грального исчислений.
6. Рождение термина
После того как в науку вошли переменные величины, внимание
ученых обратилось к изучению соответствий между величинами. С помо­
щью координат удалось изобразить -ми соответствия графически. Матема­
тика стала языком естествознания, причем в формулировке законов при­
роды использовали не только алгебраические, но и тригонометрические
функции.
.13 «Геометрии» Декарта уже была ясно выражена идея функцио­
нальной зависимости, а точнее идея геометрического выражения этой за­
висимости. Т е . у Декарта и его современников, понятие функции было из­
ложено на языке геометрии или механики. Это объясняется тем. что запас
функций, которые использовали в то время математики д,тя выражения
физических законов, был очень узок. Даже логарифмы воспринимались
лишь как средство вычислений, а не как значения логарифмической функ­
ции. Чтобы охватить с единой точки зрения различные случаи зависимо­
сти величин друг от друга, понадобилось новое, весьма общее понятие.
В науке часто бывает так. что ученые длительное время применяют
в неявном виде некоторое понятие. Однако из-за отсутствия названия оно
встречается под различными личинами, а одни и те же рассуждения по­
вторяются каждый раз заново И лишь когда оно получает имя, все заме­
чают, что давно уже работали с ним. Введение нового термина приводит к
уточнению соответствующею понятия, освобождению его от всего случай­
ного.
Так случилось и после т о т . как в конце XVII века Лейбниц (16461716) и его ученики стали применять термин «функция». Сам Лейбниц ис­
пользовал его в своих рукописях, начиная с 1673 года. В то время он упот­
реблял его еще в очень узком смысле слова, связывая лишь с геометриче­
скими образами. Речь шла об отрезках касательных к кривым, их проекци­
ях на оси координат и «о другого рода линиях», выполняющих для данной
фигуры некоторую функцию (от латинского «фуиктус» — выполнять). Та­
ким образом, в этих рукописях понятие функции еще не было освобождено
от геометрической формы.
Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геомет­
рического языка: «Функцией переменной величины называется количест­
во, образованное каким угодно способом ш этой переменной величины и
постоянных». Оно привело в восторг престарелого Лейбница, увидевнтего,
что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении
функций.
Определение Ьернулли опиралось не только на работы Лейбница и
е ю школы, но и на исследования великого математика и физика Исаака
Ньютона (1643-1727), который изучил колоссальный запас различных
функциональных зависимостей и их свойств. Вместо слова «функция»
Ньютон применил термин «ирдитша», и сами «ординаты» он опиеынал
различными аналитическими выражениями.
Чтобы определение функции, данное И Нернулли, стало полноцен­
ным, надо было условиться, какие способы задания количества следует
считать допустимыми. Обычно считали, что допускаются арифметические
операции, извлечения корней, тригонометрические и обратные тригоно­
метрические, показательные и логарифмические функции. Такие функции
называли элементарными. Однако вскоре пришлось добавить новые функ­
ции, получающиеся при вычислении интегралов от некоторых элементар­
ных функций, при решении дифференциальных уравнений и т.д. Поэтому
Леонард Эйлер (1707-1783), вводя в своем учебнике понятие функции, го­
ворил лишь, что «когда некоторые количества зависят от других таким об­
разом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению,
го первые называются функциями других».
Книги Эйлера содержат результаты исследований Лейбница и его
учеников, а также многочисленные результаты самого автора (несколько
десятков громадных томов). Они сыграли важную роль в освобождении
математического анализа от языка геометрии и механики. В них впервые
теория тригонометрических функций была иыожена без ссылки па гео­
метрию, а показательная и логарифмическая функции стали равноправны­
ми с алгебраическими. Вес книги Эйлера пронизывает идея, что математи­
ческий анализ есть наука о функциях, что «весь анализ бесконечно малых
вращается вокруг переменных количеств и их функций».
7. Спор о функции
К середине XVIII века ученые решили многие задачи механики,
связанные с движением отдельных точек. В центре внимания математиков
оказались проблемы механики сплошных сред: колебания струп, мембран
и стержней, распространение волн в жидкостях и газах и т.д.
Простейшей из этих проблем было изучение колебаний струны. Их
закон определяется функцией двух переменных U~ f(x, t), показывающей
отклонение точки с координатой х в момент времени /. Решая эту задачу,
Эйлер доказал, что если вначале все точки струны находились в состоянии
покоя, и колебания вызваны отклонением струны от положения равнове­
сия, то решение имеет вид:
;
U - ' [tpix-r 4t) ±ч>(х-
Здесь (р(х)
м)\.
отклонение струны в точке т при / Я , (fix)- U(x, 0).
За iод до Эйлера такое же решение другим способом получил Даламбер (171 7-1783). Между Эйлером и Далачберпм вспыхнул спор о том.
как п и к о в а я найденное ими решение. Например, если приподнял» cipyHV
:iu середину, ю функция <р('х/ будск
Эйлер считал эту форму задания начального условия законной и
полагал, что найденное им решение относится и к таким случаям. Даламбер же фебовал. чтобы начальные условия задавалось лишь одним выра­
жением для всех значений х.
Спор Эйлера с Даламбером был в самом разгаре, когда еще один
математик Иоганн 1эернулли (1700-1782) дал решение задачи о колебании
струны в виде бесконечной суммы фигономсфических функций:
/'(v.f) - а t
р-чхп
-
( у -sin •--+....
| д е а, Д у,.. — функции or времени.
Сам Д. Берну дли был убежден, что его решение охватывает самый
общий случай, но с ним не согласились ни Эйлер, ни Даламбер. Эйлер
ошибочно считал, что н о решение не может быть общим, так как считал,
что одна функция не может выражаЕься несколькими формулами. Ни Эй­
лер, ни Д. Ьернулли не сумели доказать справедливость своей точки зре­
ния. ПОЭТОМУ в конце X V I I I века математики, давая определение функции,
уклонялись oi ответа на вопрос, как же она выражаеюя. Например, фран­
цузский математик Лакруа (1765-1843) писал: «Всякое количество, значе­
ние которого зависит от одного или многих количеств, называется функци­
ей здих последних, независимо от гого. и з в е с т и или нет, какие операции
нужно применить, чтобы перейти от них к первому». Таким образом, Лак­
руа уже не отождествлял понятие функции и ее аналитического выраже­
ния.
К. Сущность и кажимость функции
Окончательный разрыв между понятиями функции и се аналитиче­
ского выражения произошел в начале XIX века. Французскому математику
Фурье (1768-1830) удалось доказать, что функции, заданные несколькими
выражениями, при определенных условиях можно представить в виде
суммы бесконечного ряда тригонометрических функций (ряда Фурье). По­
сле работы Фурье стало ясно, что несущественно, каким аналитическим
выражением задана функция, что >го только, кажимость (от слова казать­
ся), как говорят философы Л существо дела в том, какие значения прини-
мае г функция при заданных значениях артумспта. После длительно!
уточнения этой идеи, н котором приняли участие Фурье. Н И . Лобачевски
< 1792-1 8561. немецкий математик Дирихле (1805-1859) и другие ученьи
общепризнанным стало следующее определение:
Переменная величина у начы/шется функцией переменной величин
г. если каж-оому точению величины х соответствует единственное ah
реОелетше точение величины у.
1
1
*). Тератологии функций
1
Указанное выше определение функции было очень общим и охв;
ibiBUJio гораздо больше обьектов. чем н о ю xoiелось его авторам.
Например, иод это определение попадает и введенная Дирихл
функция"
MV
/.**>--
г
х
л\у\>аиипна "-нпр
,
II.
х-
рационально/-
С точки зрения ма1ематика XVIII века, такое равенство не задае
никакой функции, поскольку не указана формула, но которой ее можн
вычислить.
Разумеется, такие функции, как y^Dfxf, очень непохожи по свои'
свойствам на обычные. Дирихле не удалось ни докатать, ни опровергнут!
что такие функции можно разложить в рад Фурье.
В течение 25 лет после появления работы Дирихле изучение стол
«наголо!ических» функций не вызывало особого интереса. Изучением w
добпых функций вновь занялся немецкий математик Бернгардт Рима
(1826-1866), он писал: «11ри всем несовершенстве наших знаний о том, ко
изменяются в бесконечно малом силы и состояния материи в зависимост
от места и времени, все же мы можем с уверенностью сказать, что э(
функции па которые не распространяются условия Дирихле, в природе и
встречаются. 1см не менее, нужно думать, что случаи, не рассмотренны
Дирихле, заслуживаю! внимания по двум причинам. Во-первых, как ук:
зыкает сам Дирихле в заключение своей работы, этот вопрос стоит в TCI
нейшей связи с основными принципами исчисления бесконечно чалых
может стужи'п, для того, чтобы придан, этим принципам большую ясност
и определенность. С этой ючки зрения исследование упомяну >ых случае
представляет непосредственный интерес.
Во-вторых, область применения рядов Фурье не ограничивается о;
ними лишь физическими задачами; эти ряды применяются теперь с уем»
хом шкже в области чистой математики, а именно в теории чисел, и можн
думать, что здесь как раз те функции, представимость которых с помощы
тригонометрических рядов не была выяснена Дирихле, должны играть
важную роль».
Научный авторитет Римана был очень велик, поэтому после появ­
ления его работы возник интерес к функциям со столь необычным поведе­
нием. Однако многие математики классического направления весьма не­
одобрительно относились к исследованиям функций подобных D(x). т.е.
функций, нигде не имеющих проичводной. Например. Анрн Пуанкаре
(1854-1912) сказал: «Раньше, когда изобретали новую функцию, то имели
в виду какую-нибудь пракгическую цель. Теперь их изобретают, не итвлекая из них никакой пользы, а только для тою. чтобы обнаружить недостат­
ки в рассуждениях наших отцов».
А руководитель французской математики конца X I X века Шарль
Эрмит (1822-1901) написал своему другу голландскому математику Стилтьссу (1856-1894), ч ю он «с ужасом и отвращением отворачивается от этой
разрастающейся язвы функций, не имеющих производной». Новую мате­
матику, математику разрывных функций, классики называли «тератоло­
гией» функций (HOVKOU об уродствах функций).
По молодежь тянулась к новым областям науки. Во Франции их
вдохновляли лекции Жюля Таннери (1848-1910) и Камила Жордапа (18381922). строивших курс математическою анализа на твердой основе точных
определений, безупречных доказательств и железной логики. Из этих кур­
сов следовало, что разрывные функции надо изучать, как это требуют пра­
вильно понимаемые интересы математики. Эти идеи накапливались, пере­
ходили н убеждения, с т ановились с т имулом к научной работе. И в
1898 году молодой французский ученый Рейс Бэр (1874-1932) защитил
диссертацию, в которой дал глубокую классификацию разрывных функ­
ций. В этом же году появилась книга одного из самых ярких лидеров мо­
лодежи двадпатисемилетнего математика Эмиля Бореля (1871-1956), по­
священная повой теории функций. Замечательные работы по интегрирова­
нию разрывных функций написал Анри Лебег (1875-1941). начинавший в
го время свою научную деятельность. Глубокие свойства разрывных
функций открыли Д.Ф. Егоров (1869-1931) и Н.Н. Лузин (1883-1950). Лу­
зин стал основателем московской школы теории функций действительного
переменного.
Ю. функции, отображения и соответствия
Но н определение функции, восходящее к Лакруа и Фурье, Лоба­
чевскому и Дирихле, стало казаться математикам второй половины
XIX века недостаточно строгим и общим. И:ющренные в исследовании
функций, не заданных никаким аналитическим выражением, функций ни-
-
^
глс не имеющих прои людной, опп подперт ли сомнению слова «переменная
величина», HVO.IUHIDHC Н ->ГО определение. Игль
понятие переменной
величины было не е т л ь к о математическим, сколько фи!ическим, е ю
трудно было пояснить, не прибе!ая к наглядным образам. Л тлшиюе. что
определение говорило лишь о ч и с т , о стчиотегпиях между числами. Но
если oiкататься от аналитического наличия (функций, то можно рассматри­
вать coo 1 не 1С 1 вия между любыми обьсктами.
С голь общий подход к понятию функции, при коюром отождеств­
ляется понятия функции, отображения, оператора. м<и ВОЗНИКНУТЬ ЛИШЬ
после тою. как ко в юрой половине XIX века было со м а л о общее поняже
множества. I I именно творцы icopun множеств Г. Кантор (1845-1918) и
Р. Дсдскипд ( I 831 -1916) /тали обмтес определеми'.' отображения. Кто можно
сформулировать IBK:
Пусть Л' и }
два множеыва; говоря и что задано отображение
множества Л' во множество I', если для каждого элемента Л" из множества Л'
указан соответствующий ем\' элементу из i, ' J T O T элементу называют об­
разом элемента jr. при отображении «/» и обозпачают/Ьтл '1'аким образом,
числовые функции числового apivMcnia являю)ся отображениями одного
числового множества в другое. Введение в математик; общею понятия об
отображении множеств позволило прояснить и ряд вопросов, относящихся
к функциям.
По н точка зрения на функции как па отображения оказалась недос­
таточно общей !1<>скольк\' мы часто имеем л е ю с более с южными связя­
ми. ко!да каждому хлемешу г соответствует не только один ччемеш множесгва У. Чтобы охватшь t-лучаи. коьта каждому элементу соответствует
некоторое подмножество цементов, ввели понятие «бинарное соответст­
вие». Отображения выделяются из множества бинарных соответствий тре­
бованием, чюбы каждому >лемеш\ из .V с о о 1 В С 1 с ( в о в а л один и только
один элемент из У. Таким образом, теория отображений стала лишь ч а о ным стучась» общей теории бинарных соответствий.
Н начале XX пека на базе теории функций возникла новая ветвь маг е м а ж к н - функциональный анализ в нем р у ч а ю т с я множества, со­
стоящие из функций, последовательностей, линий, в которых определены
операции стожепия и умножения на число, изучаемые н функциональном
анализе п р о о р а н о в а MOIVI бьпь бесконечномерными.
И хотя функциональный анализ кажоел очень абстрактной наукой,
он находит многочисленные приложения п вычислительном математике,
<|)изике и других разделах науки
Л. JIe6ei говорил.
«Те люди, которым мы обязаны отвлеченной научной мыслью, MOIли. занимаясь абстрактными вещами, делать, тем не менее, полезное дело,
именно IHII ом v. что они имели особенно onociрепное 4 V K C I B O дейс!ВИ1ельПОС1Ц».
2.10. Контрольные
1.
2.
3.
4.
вопросы
В чем заключается задача «квадратура крута»?
Укажите способы приближенного спрямления окружности.
В чем заключается задача «трисекция утла»?
В каких случаях задача о трисекции угла разрешима с помощью циркуля
и линейки?
5. Каково происхождение задачи об удвоении куба?
6. Укажите возможные способы решения задачи об удвоении куба.
7. Назовите основные способы доказаюльепш теоремы Пифа1 ора.
8. Приведите пример доказательства теоремы Пифагора с помощью скла­
дывания.
9. Приведите пример доказательства теоремы Пифагора с помощью вычи­
тания.
10. Сформулируйте и докажите теорему Птолемея.
11 Сформулируйте и решите задачу Герои а.
12.Задачи Диофанта, к какому разделу ма!емагики они относятся?
13. Сформулируй[е «Великую 1еорсму Ферма», в каком случае возможно
элементарное доказательство теоремы Ферма?
14. Каково содержание «Арифметики» Л.Ф. Мат н и к о г о и ее значение в
истории русского математического образования'.'
1 5.Назовите основные этапы в развитии понятия «функция".
16.СформулирУйте определение функции, которое стало общепринятым к
середине XIX века.
^
9
Развитие математических исследований
в России
3. L Математика
XIX века
в России первых трех
десятилетии
И связи с раэпитием городок, промышленности и торговли стране
требовалось все большее количество образованных людей. Поэтому цар­
ское правительство вынуждено было обратить внимание на вопросы обра­
зования. Была проведена реформа образования и расширена сеть учебных
заведений. Ныло создано шесть учебных округов и установлено четыре ти­
на УЧИЛИЩ: приходские, уездные, тубернские (гимназии) и университеты.
Прежние четырехклассные главные народные училища преобразовались в
гимназии, двухклассные малые народные училища - в уездные училища.
«Для преподавании наук в высшей степени» учреждались университеты. В
их недснне входили все учебные заведения данного округа. Были открыты
университеты в Дерпте (1802 г.), Вильно (1803 г.), Харькове и Казани
(1 805 г.). Петербурге (1819г.).
О росте образования в Госсии в известной степени свидетельствуют
следующие данные: в коште 1796 г. в стране было около 250 общеобразо­
вательных учреждении, более 500 преподавателей и около 12000 учащих­
ся, в конце же первой четверти XIX в - соответственно около 1200, около
3500, около 60000.
Университетскому образовании! Министерство просвещения уделя­
ло особое внимание Университеты готовили преподавателей для расши­
ряющейся cei и учебных заведений, а также чиновников государственного
аппарата. По устану предоставлялись формально довольно широкие права
самоуправления, в том числе автономия, выборность ректоров и деканов,
свобода в преподавании. Однако с усилением реакции эти права урезыва­
лись и отрапичииллись.
Университеты учреждались в составе четырех отдельных факульте­
тов: нравственных и политических, физических и математических, врачеб­
ных, или медицинских и словесных наук.
Организация в университетах самостоятельных отделений физиче­
ских и математических наук (физико-математических факультетов) была
обусловлена возросшим значением для производительных сил страны фи­
зико-математических и естественнонаучных знаний.
В 1X1 ( г. при Московском университете было организовано первое
в России математическое общество (существовало до 1816 г.). чго также
свидетельствует о возросшем значении математики.
Несмотря на немногочисленность университетских выпусков, в
стране росло число математически образованных людей, среди которых
было немало видных деятелей математического просвещения. I(осле
1811т. в университетах отмечается преобладание русских ученых, в ос­
новном университетских воспитанников. Русский язык постепенно стано­
виться основным языком преподавания. Это естественно способствовало
рашертыванию научной деятельности и в облай и математики.
В течение трех лет университетского курса студентам читали так
натываемую чистую математику, включавшую арифметику, алгебру, гео­
метрию и тригонометрию, (повторительный курс), аналитическую геомет­
рию и высшую алгебру, дифференциальное и интегральное исчисления, а
со временем и другие собственно математические предметы и прикладную
математику, включавшую механику, оптику. астрономин> и др. Первые два
года от водились для чистой математики, третий год
для прикладной ма­
тематики; в неделю читалось от трех до шести часов лекций.
В качестве учебных пособий широко использовались руководства
Эйлера и е ю учен икон и последователей в России, а также пособия зару­
бежных авторов. Со временем появились и руководства по математиче­
ским наукам для высших, а также для средних учебных заведений, напи­
санные профессорами и преподавателями университетов. Большой извест­
ностью пользовались «Курс математики» Т.Ф. Осиповского и «Ручная ма­
тематическая энциклопедия» Д.Н Псренощикова.
В последние годы X V I I I в. и первые годы XIX в. царское прави­
тельство уделяло большое внимание военным, морским и другим специ­
альным учебным заведениям. В этих учебных заведениях было расширено
и упгублено преподавание математики.
В Институте корпуса инженеров путей сообщения, открытом в
1810 г., программа но математике пе уступала университетской. Значи­
тельное место математическим вопросам уделяли военные журналы, в том
числе «Артиллерийский журнал».
С течением времени научная деятельность университетов и других
учебных заведений все более дополняла деятельность Петербургской ака­
демии наук, продолжающей играть главенству юн гую роль в развитии нау­
ки в России. Состав Академии наук был расширен до 18 ординарных ака­
демиков и 20 адъюнктов (число экстраординарных академиков не регла­
ментировалось) Бюджет увеличен с 53000 до 120004) руб. Работы ученых
академии составляли основную научную продукцию в России в начале
XIX в. Они печатались в изданиях академии.
Первым научным журналом по физико-математическим и естест­
венным наукам на русском языке Пыли «Умозрительные исследования
Императорской Академии Наук», издававшиеся в 1808-1819 it.
Академические ж> риалы к в первые десятилетия X I X п. оставались
чуть ли не единственными периодическими изданиями R России, н кото­
рых печатались работы но математике
13 них непрерывно до 1830 г. печатались МНОТочислеппые работы
Эйлера, идеи которого продолжали оказывать большое влияние на разви­
тие математики в России, статьи его учеников и последователей. Матема­
тические пауки и основные научные р е з у л ы а 1 ы по математике в Академии
наук в это время были представлены грудами академиков 11.1L Фусса,
Ф И . Шуберта,
СИ. Гурьева.
В.И. Висковагова,
')./(. Ко.1лннса,
и
11.11. Фусеа.
Связь развития математики в университетах и других высших и
специальных учебных заведениях, с исследованиями по математике, про­
водившимися в Академии наук, стала более тесной лишь после прихода в
конце 20-х годов в Академию наук академиков Остроградскою Михаила
Васильевича, п Бупяковского Виктора Яковлевича, впеептих в русскую ма­
тематику новые идеи, перекликавшиеся с идеями ученых Парижской поли­
технической школы. С именами Oerpoi раде кого Н М и Нуияковского В.Я.
связап новый, пс прекращавшийся впоследствии подъем отсчсствсппоп
математики. Это же время ознаменовано открытием неевклидовой геомет­
рии Лобачевским Николаем Ивановичем. Подготовка этих знаменательных
явлении в исюрии O I C M C C I B C H H O U ма|смагики и сосшвляла основное со­
держание рассматриваемою периода.
Преподавание математики
литература
в средней школе и учебная
Основным средним учебным заведением в России с начала X I X в.
была гимназия. Согласно У Ч И Л И Щ Н О М У уставу 1804 г.. в гимназиях следо­
вало кроме «арифметики и начальной (прямолинейной) геометрии с пло­
ской тригонометрией» преподавать также «алгебру до уравнений третьей
степени, с приложениями к геометрии и коническим сечениям». Однако
большей частью преподавали дополнительно только «начальную алгебру».
В связи с этим в университетах приходилось доучивать поступающих и
пополнять их знания по началам математики.
В качестве руководства но математике для гимназий первоначально
были одобрены «Начальные основания математики» А.Г. Ксстиера, издан­
ные в русском переводе (1792-1794 гг.) для главных народных училищ.
Они охватывали все части математики, преподававшиеся в гимназии. В
1805 г. взамен переводного руководства Кестнера был одобрен «Курс
математики» Осиповского Тимофея Федоровича (1765-1832). Высокие
научные и методические достоинства этого курса позволили исполь­
зовать его не только в университетах, но и гимназиях, где он изучался
в сокращенном виде. Курс математики «Осиповского» оставался ос­
новным руководством по математике для гимназий до 1812 г.. хотя по
объему он значительно превышал их потребности.
Подготовка специально приспособленного к гимназическому
курсу руководства была поручена Фуссу Николаю Ивановичу (17551825). Как член ученого комитета Министерства народного просвеще­
ния со времени его основания Фусс Н.И. постоянно оказывал значи­
тельное влияние на постановку преподавания математики. Перерабо­
тав ранее опубликованные им пособия по отдельным разделам мате­
матики, он издал «Начальные основания чистой математики», став­
шие с 1814 г. основным руководством для гимназий. Соответственно
руководству Фусса. содержавшему изложение начальных оснований
алгебры и геометрии, приложений алгебры к геометрии, плоской три­
гонометрии, конических сечений и оснований дифференциального и
интегрального исчислений, был определен объем и характер гимнази­
ческого курса математики, В этот курс входила также арифметика, в
качестве пособия по которой для гимназий в 1812 г. была одобрена
«Арифметика» Лакруа в переводе Ф.И. Пструшсвского. С 1819 г. из
курса математики для гимназий были исключены основания диффе­
ренциального и интегрального исчислений (добавлено изучение язы­
ков). РУКОВОДСТВО Ф\сса. небольшое по объему, отличающееся сжато­
стью и доступностью изложения материала, с объяснениями и доказа­
тельствами, приспособленными к возрасту учащихся, широко исполь­
зовалось в практике преподавания.
3.2. Научная и педагогическая
деятельность
Михаила
Васил ьевича
Остроградского
М.В. Остроградский родился 24 (12) сентября 1801 г. в деревне
Пашенной на Полтавщине. в небогатой украинской дворянской семье.
Первоначальное образование получил в Полтавской гимназии. Летом
1816 г. был определен вольнослушателем в Харьковский университет.
В начале 1818 г. на математические способности Остроградского об­
ратил внимание Андрей Федорович Павловский (в то время адъюнкт.
40лет преподавал в Харьковском университете). По его свидетельству,
через три месяца занятий «Остроградский был уже в состоянии упро­
щать самые трудные и сложные математические формулы». Благодаря
усиленным занятиям он в этом же году успешно сдал экзамены уни­
верситетского курса.
Большое внимание на научное образование Остроградского, разви­
тие его блестящего математического таланта и выработку его общего ми­
ровоззрения оказал Тимофей Федорович Осиповский . Расправа реакцион­
ных сил с Осиповским офазнлась и на его лучшем ученике. Остроград­
ский б и л обвинен в «проявлении признаков безбожия» и ему, несмотря на
представление к производству в степень кандидата, а также на то, что он
дважды сдал с успехом нее положенные экзамены, было отказано даже в
выдаче свидетельства об окончании университета. Летом 1822 г. он уехал
в Париж для совершенствования в полюбившейся ему науке, слушал по
математическим предмешм лекции в университете и College de France. Не­
посредственное общение Остроградскою с крупными французскими уче­
ными - Коши. Пуассоном. Пуаисо, Фурье и другими
намного расши­
рило его математический кругозор. Выдающиеся французские математики
высоко оценили первые шаги Остроградского в науке. О его результатах
Коши несколько раз упоминал в своих трудах. Доложенная в ноябре
(826 г. Парижской академии наук работа Острогралского была со време­
нем напечатана в специальном академическом издании. Работа посвящена
изучению распространения воли в цилиндрическом сосуде. Остроградский
дал свой вывод основных уравнений задачи и впервые исследовал вопрос
о колебаниях жидкости конечной глубины и ограниченной стенками сосу­
да.
В Петербурге Остроградский сразу получил зослужеиттую извест­
ность. 17 декабря 1828 г. он был избран адъюнктом Академии наук по
прикладной математике. Гак началась деятельность Остроградского в Пе­
тербургской академии наук. В это же время он начал преподавательскую
деятельность, сначала, с осени 1828 г.. в офицерских классах Морскою ка­
детскою корпуса, затем в Институте корпуса инженеров путей сообщения.
Главном педагогическом институте и других учебных заведениях. Большой
успех имели также публичные курсы лекций Остроградскою. Широкую
известность получили его курс небесной механики, а также учебные посо­
бия но аналитической механике (1836 г.) и высшей алгебре (1837 г.).
Всей своей деятельностью Остроградский способствовал подъему
математическою просвещения в стране.
Значительное количество важных научных работ, представленных
Ос гроградским Петербургской академии наук в 1823-1830 гг., и блестяще
прочитанный курс лекций по небесной механике упрочили его положение
как крупного математика и механика. I I августа 1830 г. он был избран
экстраординарным, а 21 декабря того же года
ординарным академиком.
Благодаря ему установились научные связи отечественных математиков с
учеными Франции, в то время мирового центра математического творчест­
ва.
В работах но математической физике, математическому анализу,
аналитической механике Оетроградский досшг результатов первостепен­
ной важности. Научные таслуги Опроградского получают широкое при­
знание за рубежом Fro избирают членом Американской (в Ьостоне,
1834 г.), Туринской (1841г.) и Римской (1853 г.) академий, членомкорреспондентом Парижской академии наук (1856 г.). В Петербургской
академии наук Остроградский был академиком по прикладной (до 1855 г.).
а затем чистой математике. В 50-е годы его внимание все больше привле­
кают вопросы преподавания.
Умер М.В Остроградский 1 января 1862 года (20 декабря 1861 г.) у
себя на родине.
Исследования
М. Я.
Остроградского
Математическая физика
В работе представлен!той Парижской академии наук в 1826 г. и
опубликованной ею в 1832 г., Остроградский вывел систему уравнений
теории волн малой амплитуды на поверхности тяжелой идеальной несжи­
маемой жидкости, ироишечрировал ее для случая прямою кругового ци­
линдрического сосуда при соответствующих краевых и нулевом начальном
условиях.
Первой работой 1 >с грот раде кого, представленной Пегербургокой
академии паук, была «Заметка об интеграле, который встречается при ис­
числении притяжения сфероидов» (1828 г , 1831 г.). Ке. а также вторую
заметку по теории потенциала выгодно отличаег от соответствующих ра­
бот Пуассона новизна в подходе к рассмаIриваемому вопросу, простота
рассуждении.
Особенно богаты важными для математической физики идеями две
заметки Ост роградского по теории теплоты, разработка которой связана с
основополагающим трудом Фурье «Аналитическая теория теплоты», и
прежде всего первая из них
«Заметка о теории теплоты». В самом нача­
ле Остроградский устанавливает важнейшую в теории кратных интегралов
формулу преобразования объемного интеграла в интеграл по поверхности,
ограничивающий з-roi объем:
f dp do dr
r
d
И t — i — ) a > ^ Hp cos A\ + qcmu+ rcmv)S;
(частные произdx
водные).
ay
dz.
dx
Как частный случай он получил формулу, которую обычно на­
з ы в а ю т формулой Грина для произвольных сопряженных линейных
дифференциальных операторов, хотя Грин вывел такую формулу липть
д л я оператора Лапласа.
Остроградский впервые ставит в трехмерном пространстве
краевую задачу математической физики на собственные значения и
собственные функции, особо отмечая ортогональность собственных
функций исходной и сопряженной краевых з а д а ч .
Он придает должную обидность методу разделения переменных,
к о т о р ы й был введен Фурье и применялся им, а затем Пуассоном л и ш ь
при рассмотрении конкретных отдельных з а д а ч .
О н раньше Лобачевского (1834 г.) и з а д о л г о д о Римана (1853 г.)
п р и в о д и т принцип локализации тригонометрических рядов, связы­
в а е м ы й ныне часто лишь с именем Римана. Подробнее этот принцип
О с т р о г р а д с к и й изложил в девятой лекции курса небесной механики,
где отметил свой приоритет в этом вопросе.
В двух других работах по теории теплоты Остро1радский в ы в о ­
д и т уравнения распространения тепла в жидкостях (1831 г., 1838 г.) и,
используя свою интегральную формулу, в ы в о д и т уравнение, которое в
ч а с т н о м случае превращается в уравнение Фурье для распространения
т е п л а в жидкости.
Остроградским получено также уточненное, по сравнению с
д а н н ы м Фурье, уравнение распространения тепла в твердом теле. Ус­
пешно выступил Остро1радский и в решении з а д а ч теории упругости.
В двух работах он гтроводит интегрирование уравнений в частных
производных, относящихся к малым колебаниям упругих тел (1831 г.,
1833 г.). Обобщив метод, предложенный К о ш и на случай систем ли­
нейных уравнений, Остроградский получил решение в виде интегра­
л о в Ф у р ь е . Этим же вопросом занимался и Пуассон.
Исследования Остроградского и Пуассона способствовали р а з ­
в и т и ю общей теории уравнений в частных производных и, как отме­
т и л В.А. Стсклов, наряду с другими привели К о ш и (1839 г.) «к замеча­
тельному обобщению задачи, известному теперь под именем Коши».
Т а к и м образом, математическая физика обязана Остроградско­
му решением новых и важных для т о г о времени з а д а ч , новыми идеями
и методами исследования. Остроградский к а к один из создателей ма­
тематической физики получил мировое признание.
М а т е м а т и ч е с к и й анализ
Первой по времени опубликования являемся «Заметка о различных
вопросах аначиза» f l S . ^ l r I -- в ней установлены свойства сферических
многочленов и предложен метод разложения функций двух переменных по
сферическим
функциям. «Заметка об определенных
интегралах»
(18*1 1 )
и рабою получены новые результаты, касающиеся установлен­
ного К о т и факта изменения результата интегрирования при изменении
порядка интегрирования в несобственных двойных интегралах.
В 1833 ). появились работы Остроградского по интегрированию ал­
d
гебраических функций. Подробно рассмотрен случай \ - ' • *. . где R. L ,
М — многочлены, а затем рассмотрены и более сложные случаи:
где
L ...J.„-i
2r
— многочлены, у"=-/Л и — целое, К — многочлен от
х.
«Мемуар об исчислении в а р и а ц и й к р а т н ы х ш и с г р а л о н »
В згой работе (1834 г.), в частности. Остроградский получил фор­
мул)', обобщающую на случай любого числа переменных полученную им
ранее формулу преобразования тройного интетрала по объему в интеграл
по поверхности.
«О преобразовании переменных в кратных интстралах.» (доложено в
1836 т.. опубликовано в 1838 г.). В ней он ограничивается случаем двойно­
го интеграла. Выясняет причины неточности, допущенной Лагранжем. ко­
торый следовал Эйлеру, и повторенной затем самим Остроградским в
1834 т. при формальном выводе формулы замены переменных в много­
кратных интегралах. Впервые встав на правильную геометрическую точку
зрения и используя координатные линии по новым переменным, Осгроградский дает четкую трактовку тгого вопроса, в основном раскрывающую
сущность преобразования переменных. Эта трактовка в дальнейшем во­
шла, и сохранилась поныне, в учебной литературе по интегральному ис­
числению.
Особое внимание привлекают две небольшие заметки Острогралското по обыкновенным ди<)»фе|>енпиальным уравнениям.
В первой Остроградский усовершенствует метод последовательных
приближений, широко применявшийся I (ьютопом и Фурье для нахожде­
ния корней алгебраических уравнений.
Во в юрой
получил фундаментальную формулу ,\--. t>e
(для
линейного дифференциального уравнения), которую иногда называют
t
формулой Лнувилля, хотя в работе Лиувилля, относящейся к 1838 г., такой
<|юрмулы нет. он даже не отмечает, что ее можно получить из найденного
им более сложною соог ношения,
Н 1839 г. Oeipoi радекий применил математический анализ к двум
конкретным прикладным задачам И задаче о взаимном намагничивании
брусков Осгроградский. указан на возможность решения задачи с помо­
щью степенных рядов, свел ее к линейному разностному уравнению второ­
го порядка с постоянными коэффициентами и получил решение в общем
виде в элементарных функциях.
Па мною более важной и несравнимо более сложной была задача,
связанная с движением неоднородных вращающихся сферических снаря­
дов. Для теоретического исследования этого злободневного в то время во­
проса Петроградскому потребовалось около полутора лег плодотворной
рабо!ы. Она изложена в е ю статьях по внешней баллистике, сыгравших
определенную роль в развитии русской школы баллистики.
Ьаллиетическая задача потребовала серьезного исследования во­
проса приближенного вычисления H H i e i p a j i o B . Результатом исследования
явилась одна из лучших pa6oi Ос i роградского
«Мемуар об определен­
ных квадратурах» (доложен в I 834 г.. опубликован в I 840 г.).
Возможными практическими применениями было обусловлено
также появление работы Остроградекого «Об одном вопросе, касающемся
вероятностей» (1848 г.) (об оттенке качества продукции по данным выбор­
ки).
Популяризации теории вероятностей и се применениям посвящены
появившиеся в 1847 г. статьи Остроградского «О страховании» и «Игра в
кости».
В начале 40-х годов Остроградский снова заинтересовался 1еорией
интегрирования алгебраических функций. В одной работе дан другой вы­
вод и дополнение теории, доказанной им в 1833 г.
теоремы АбеляОстроградского. Эти теорема и дополнения к ней широко обобщают ре­
зультаты Лапласа. Абс^тя и Лиунилля. Во в юрой работе «Об интегрирова­
нии рациональных дробей» (1845 г.) он излагает свой метод выделения с
помощью рациональных действий алгебраической (рациональной) части
интеграла от рациональной функции. Метод основан на известной его
формуле
-
У
N v V
правильные рациональные дроби:
И есть ПОД многочленов М и
. М = QP
Таким образом, вклад Остроградского M.R. в математический ана­
лиз весьма значителен. Его результаты по теории интегрирования функций
и вариационному исчислению являются важнейшей составной частью анали ta.
Т р у т ы по а н а л и т и ч е с к о й м е х а н и к е
После блестящего дебюта в области механики
«Курса небесной
механики»
Ос гротрадский занялся изучением, в порядке широкого
обобщения, принципа виртуальных скоростей при условии наличия иде­
альных связей, удерживающих и пеудерживающих, стационарных и не­
стационарных, неголономных и голономных с применениями к исследова­
нию равновесия веревочного многоугольника и гибкой нерастяжимой ни­
ти, а также других вопросов. В своих исследованиях, особенно в богатом
по содержанию и оригинальном по изложению курсе «Лекции по аналити­
ческой механике», занимающем промежуточное положение между «Анали­
тической механикой» Лаграпжа и «Трактатом по механике» Пуассона, с
одной стороны, и «Лекциями по динамике» Якоби с другой, Остротрадский существенно пополнил знаменитый труд Лагранжа, углубил и в от­
дельных случаях уточнил его. Как и у Лагранжа, у Остроградского подход
к задачам механики сугубо математический, в основе его лежит использо­
вание вариационного исчисления. Основные положения механики Остро]радский выводит из единого начала возможных перемещений. Он посто­
янно стремится к общности и цельности изложения.
В конце 40-х годов механика становится основной областью науч­
ных исследований Оетроградского. Он искусно применяет к исследованию
задач механики методы анализа, особенно вариационного исчисления. К
этому времени относятся его работы «О вариации произвольных постоян­
ных в задачах динамики». «Об интегралах общих уравнений динамики»
(доложено в 1848 г.. опубликовано в 1850 г.) и «Мемуар о дифференци­
альных уравнениях, относящихся к изоиеримстрической задаче» (доложе­
но и 1848 г.. опубликовано в 1850 г.). Последние две имели принципиаль­
н а теоретическое значение: в них тесно увязывалась теория обыкновен­
ных дифференциальных уравнений (динамики и более общих) с теорией
уравнений в частных производных. Они появились после известных ис­
следований Гамильтона, в частности его труда «Об общей методе в дина­
мике» (1834-1835 11.), где впервые уравнениям движения была придана
каноническая форма.
Многие результаты работ Остроградского, впервые им опубликованные. связывают часто с именем Якоби. который независимо от Остро-
_jto
градского рассматривал подобные иипросы. По исследования Якиби (18421 84Л гг.) долгое время оставались неопубликованными и были освещены в
лекциях по динамике, изданных его учениками и последова(елями в
1 866 г.
И «Мемуаре по общей теории удара» (доложил и 1854 г.. опублико­
вал в 1857 г.) Петроградский уточняет применительно к механике вариа­
ционный принцип Ос троградекого-l "амиды она. Исследования приводя! к
обобщению георемы Карпо, связанной с неупругим ударом двух тел, на
случай произвольною числа г ел. !>гог результат привлек особое внимание
ученых и вы шал в Парижской академии наук дискуссию о приоритет.
В 1856 г. Ocipoi радский был избран члеп-корреспопдентм Париж­
ской академии наук. ">го явилось одним из свидетельств самого высокого
признания научных заслуг Петроградскою.
М а т е м а т и ч е с к и е работы 5И-х годов
Г
>П1 статьи, холя и не с^держпг резуч.тлтов ттерчостспеннечо значе­
ния, но представляют определенный интерес.
Статьи алтебраической тематики «О равных корнях целых полино­
мов», «О производных алгебраических функций». «Заметка о равных мно­
жителях целых многочленов»
примыкают к его исследованиям по ин­
тегрированию алгебраических функций.
«Новый способ интегрирования четырех дифференциальных урав­
нений» (1856 г ), «Способ вариаций» (1858 г., добавление в книге по диф­
ференциальному исчислению его ближайшего ученика В. Нернса).
Деятельное участие принимал Петроградский вместе с академиками
Буняковским и Веселовским в работе специальною комитета по гюпросам
организации эмеритальной (пенсионной) кассы. 3та касса была создана
при Морском ведоме же для облегчения материальною положения служа­
щих, уволенных в связи с лишением России права иметь военный флот на
Черном море (после поражения в Крымской войне 1853-1855 гг.). Выплату
пенсий следовало начать с 185') г Методика расчетов на основе начал
страхования была разработана и изложена Остроградским в «Записке об
эмеритальной кассе» (1859 г.). Составленные под е ю руководством для об­
легчения расчетов таблицы роста капитала от I до 9 руб.. в зависимости от
числа лет при 4"о годовых, давали значения с 13 десятичными знаками ко­
пейки так, что могли быть использованы не юлько при расчетах в эмери­
тальной кассе, но и при самых значительных финансовых операциях. В
связи с успешной деятельностью эмеритальной кассы при Мо|кком ведом­
стве, такие кассы были созданы и при друз их ведомствах.
г
Последние гри научные ciaibn Ocipoi радскою «О вероятности ги­
потез по событиям» 11854 г Л '<<> кривизне поверхностей» (I860 г.). «Об
одном определенном HHICI рале» (1860 i \ ---- в основном MCIодическою ха­
рактера
Математическое наследие ( ) с ф п | р а д с к о ю не исчерпывается на­
званными работами Он докладывал Петербургской академии наук и о
MHOI их друз их своих исследованиях. Часть из них известна лишь по назва­
ниям либо по кратким извлечениям, некоторые же сохранились в рукопи­
сях.
Учебные пособия
Благодаря Остроградскому во всех учебных заведениях, где он пре­
подавал, значительно, улучшилась математическая подготовка слушателей
существенно повысился ее научный уровень. Осгро[радский был превос­
ходным лектором. Своими лекциями, оиичавшимися общностью и eiporoCTF.IO рассуждений, краткостью, нр*хч от"й и яен'Чгтью, изяществом изло­
жения, увлекательной и живой формой, он оказывал глубокое воздействие
на слушателей. Курсы Осфоградекою по математике и механике печата­
лись, литографировались, распространялись в рукописном виде. Они спо­
собствовали повышению уровня преподавания математических наук в
России. Особенно широкую и з в е с ш о о ь ПОЛУЧИЛИ е ю «Лекции алгебраи­
ческою и 1 рапецепден 11юго апали :а». чшаппые им па русском языке зи­
мой 1X16-18^7 гг в Мирском кадетском корпусе н изданные М837 г.) слу­
шателями
капитаном С. Бура чеком и лейтенантом С, Зеленым по их за­
писям. Остроградский принимал участие в обработке записей при подго­
товке их к изданию.
В опубликопанных двух частях курса лекций Осгрофадскою изло­
жена высшая ал)ебра н соответствии с достигнутым к тому времени уров­
нем развития этой науки. Они отличались новизной содержания, обширно­
стью материала, и. по-видимому, были первым в мире учебным пособием,
в котором излагались, причем в интересной и доступной <|н>рме. результа­
ты Лагршгжа. Фурье, Штурма. Лбсля, Гаусса, имеющие ишвное значение в
алгебре тою времени Лекции использовались также п университетском
преподавании. Они существенным образом изменили содержание курса
алгебры и постановку его преподавания, послужили образном для авюров
руководств по алгебре последующего времени.
В этих лекциях также впервые на русском языке полно изложены
начала 1еории чисел. Третья часть лекций. вклк>чавшая дифференциальное
исчисление и начали трансцендентного анализа, а именно интегрирование
алгебраических функций, не была издана. Из читанных в последнее время
публичных лекций Ост pot раде кого по трансцендентном;' анализ; были
опубликованы в (841 г извлечения В этих лекциях он. в частности, вво­
дит ноняше симметричной производной, получившей большое значение
при исследовании в X X в. вопросов метрической теории функций.
Петроградский активно участвовал к пересмотре и разработке про­
грамм и учебных планов по матема1ике: «Программа и конспект тригоно­
метрии для руководства военно-учебных заведений» (1851 г.) и «Руково­
дство начальной геометрии» в трех частях (1855 г., 1857 г., 1860 г.).
Большое значение в общематематической подготовке учащихся
Ocipoi раде кий придавал началам высшей математики. Он считал необхо­
димым ввести их в протрамму для старших классов средней школы. И в
1850 г. они были введены в программу четвертого общего класса кадет­
ских корпусов.
Ш858-1859 I T . в помещении инженерной академии Ос1ротрадский
читал курс по некоторым особенно важным разделам интегрального ис­
числения. По существу, тто был («дин из первых в России специальный
курс по определенным ижегралам.
Публичный курс лекций по теории вероятностей Остроградский чи­
тал в 1858 г. в помещении Артиллерийской академии. В следующем году
здесь же он читал публичные лекции но дифференциальному исчислению,
записанные и изданные прапорщиком Борткевичсм. Ьоржсвич составил
также по лекциям Ост рот радского записки о приложении дифференциаль­
ного исчисления к аналитической геометрии.
Обшспеда! oi и чес кие взгляды Ост роградского наиболее полно от­
ражены в блестяще написанной им совместно с французским математиком
И.А. Ьлуном работе «Размышления о преподавании» (1860 г.).
О а р о ф а д с к и й подготовил мною видных преподавателей матема­
тики, ученых, в совершенстве владевших математическими методами.
Ученики Остротрадекого использовали и развивали е ю педагогические
взгляды.
3.3. Виктор Яковлевич
деятельность
Буняковский.
Жизнь и
Важтюе место в математической жизни России занимал коллега
M B . Остроградского по Академии наук Виктор Яковлевич Буняковский.
Он родился 16/4 декабря 1804 г. в г. Баре Могилевского уезда По­
дольской |убернии в семье подполковника уланского полка. Образование
получил вначале домашнее, в Москве, затем за границей, где брал частные
уроки » Германии, cjryinaji лекции в Лозанне и Париже. Его ближайшим
наставником был Коши. В 1824 г. он был удостоен младших ученых сте-
испей во Франции
бакалавра и лиценциата, а в следующем году, вто­
рым ит русских после харьковчанина Затеп лине кого,
степени локтора
математических наук. Докторская диссертация, защищенная Бу ни конским
в мае 1825 г. в Парижском университет, как было п р и н я т во Франции в
го время, состояла из двух работ. Обе относились к прикладной математи­
ке: к аналитической механике (об одном случае вращательного движения в
сонрогнв^ыющейся среде) и к математической физике (о распространении
тепла вну|ри твердых тел).
В 1826 г. БУНЯКОВСКИЙ вернулся на родину и вскоре начал преподаB a i h матемашку в старших классах Петербургского первого кадетского
корпуса, а в следующем году
математику и механику в офицерских
классах Морского кадетского корпуса. Летом IXЮг. он получил долж­
ность профессора математики в Институте корпуса инженеров путей со­
общения и несколько позже
в торцом институте. В этот период своей
педагогической деятельности Буняковский издал на русском языке ранее
выполненные им переволы известных книг Копти по анализу и тем самым
способствовал ознакомлению русских математиков с предложенным Копти
построением математического анализа на основе теории пределов.
В мая 1X28 г Буняковский был избран адъюнктом Петербургской
академии наук, а в марте 1830 г. экстраординарным академиком.
Буняковский постоянно заботился об умножении математической
литературы на русском языке. Он проделал длительную и трудоемкую ра­
боту над словарем «Лексикон чистой и прикладной математики», целью
которой было, с одной стороны, дать русским читателям «достаточные
сведения о всех важнейших теориях, как старых гак и новейших», с дру­
гой
обогатить русскую математическую терминологию, весьма непол­
ную тогда во многих отношениях. Первый том словаря вышел в 1839 г.
Оригинально написанные статьи словаря в ясной форме давали изложен­
ный прекрасным языком большой материал для изучения различных во­
просов математики.
Значительное внимание в словаре уделено понятиям теории чисел и
теории вероятностей, основным направлениям научной деятельности Бу­
ндовского. В работе над словарем Ьуняковскому помогал советами ОстротрадскиЙ. несколько раз упомяну 1ЫЙ в словаре как «наш знаменитый гео­
метр». Обширные статьи о математической теории распространения тепло­
ты в твердых телах, криволинейном движении, динамике написаны с уче­
том соответствующих работ' Оетроградского. Словарь ПОЛУЧИЛ восторжен­
ные оценки и был воспринят как 'замечательный вклад в русскую матема­
тическую литературу.
В январе 1841 г. Ьупяковского избрали ординарным академиком. К
этому времени он уже был широко известен, как видный ученый, опубли­
ковавший значительное число исследований, особенно но (еории чисел.
В формировании русской школы теории вероятностей ашчитсльную роль сыграло руководство Нуниковского «Основания математической
теории вероятностей» 0 8 4 6 г.). I M V принадлежа! также работы по геомет­
рии и прикладным вопросам.
Бупяковский совмещал научную деятельность с преподаванием ма­
тематики и механики в нескольких учебных заведениях. Особенно плодо­
творна была его четырналпашлемнш (с 1846 i . ) педаюгическая деятель­
ность в Петербургском университете. Широкую известность как учебное
руководство получила «Арифметика* Кунякомгкого (I844 г.. 184 ) г..
1852 г.). Книга использовалась в большинстве учебных округов России.
;
(
После Ocipoiрадского Нупиковский был самым аиюритстным чле­
ном комиссии по пересмотру программ преподавания математических
предметов в военно-учебных заведениях
С 1864i. Вуняковский--- нице-нрезидент Петербургской академии
наук. В течение всего 25 летнею пребывания на посту вице-президента он
продолжал заниматься и научными исследованиями. Оказывал ПОСТОЯН­
НУЮ поддержку П Л . Чебьииеву с первых его шагов в Петербурге, был для
него сначала внимательным н а е м н и к о м , а затем его ближайшим собра­
том по науке В ДО-50-с годы Ьупяковский был одним из ведущих матема­
тиков России. Остро!далекий и он своей деятельностью подготовили соз­
дание Чсбышсиым в последующие юды ма1сма|ической школы.
Исслетопании по теории чисел
В исследованиях ^уняковского в области теории чисел видны непосредс1 венная преемственность с фудами Эйлера. прекрасное шание работ
Лежапдра п Гаусса.
11ервой его работой в этой области является стап.я «Исследования о
числах» (она была также первой работой представленной им Петербург­
ской академии паук, опубликована 1831 г,.). В ней уже дано повое простое
доказательство важнейшей в теории делимости целых чисел теоремы "Эй­
лера, утверждающей, что а* '" / делится на п. если а взаимно просто с п. а
1акже получено решение неопределенною уравнения ax-^.by-v
с целыми
взаимно простыми положительными коэффициентами а и Ь. Все целочис­
ленные решения згою уравнения определяются формулами х - а-Ы,
у--, р i a t . где (х и fi
одно из решений, a t - любое пелое число. Пайти
общую форму TV для а и /? тмим по пьпатись Лпгранж и Гаусс. ' h o удалось
сделать Г. Либри | 1826 i д. в громоздкие формулы которою входили три1
гонометрнчсскис величины. Полученные Буняковским (и
значительно
•+ с
позже, в 1841 г. Кош и) формулы а
с-а*' ' и
ri
— ~(a
'
И благодаря их
простоте. сразу же вытеснили формулы Либри.
Гри работы начала 30-х годов посвящены сравнениям второй и
ipeibett о е п е н и .
«Краткий исторический обзор успехов теории чисел» (1835 г.) Бу­
няковского содержи! ряд интересных сведений по истории математики.
В ДВУХ других работах, относящихся к концу 30-х годов. Буняков­
ский исслсдус! простые числа.
Буняковский стремится расширить область применения теории чи­
сел. В этом направлении он выполнил две работы: в одной из них теория
чисел применена к вопросам элементарной геометрии, в другой к вопросам
алгебры (в частности Буняковский доказал, чго из всех описанных около
круга правильных многоугольников, один только квадрат имеет периметр
соизмеримый с радиусом).
К началу 40-х годов относится статья Буняковского о решении од­
ной задачи диофапговл анализа и заметка о применении факторна л ыюго
бинома к решению неопределенных уравнений первой степени.
Несколько лет снуем Буняковский предложил метод решения неоп­
ределенных уравнений первой степени со мнотими неизвестными вида
ах* by < с:\ ...1 ft - 0.
Буняковский заметил также, что неопределенное уравнение с ше­
стью неизвестными х"X"•-t i<"V - г"/С при взаимно простых in и п имеет
сколько \годно решений в целых числах.
Все эти работы Буняковского относятся к алгебраической теории
чисел, которую и в дальнейшем он продолжал пополнять важными резуль­
татами. В конце 40-х годов он занялся также исследованием аналитических
методов в теории чисел, изучением сумм делителей чисел.
(тсновной аналитический метод в теории чисел - разложение
функций в ряды - ведет свое начало от дилера < 1748 i . ) . >йлер применял
диафанов анализ для освобождения от иррациональное)ей при неопреде­
ленном интегрировании. Буняковский показал, что и. наоборот, с помо­
щью неопределенного интегрирования можно получить результаты, полез­
ные при рассмотрении задач диофантова анализа.
Учение о многочленах Буняковский пополнил интересными резуль­
татами теоретико-числового характера. Например, разработал метод для
нахождения наибольшего общего делителя N всех значений многочлена
f(x) с целочисленными ко>ффициентами, принимаемые им при целочис­
ленных значениях л
13 конце 60-х годов появились работы Буняковского по теории вы­
четов. Одним из наиболее интересных результатов, полученных им в этой
области, является доказательство закона нэаимжкли простых чисел.
Ряд теоретико-числовых работ Буняковского. опубликованных в
80-е годы, связан с рассмотрением различных свойств числовой функции
Elx). как использованных ранее Буняковским при решении ряда вопросов
теории делимости, так и некоторых новых.
В теоретико-числовых работах Буняковский затрагивал различные
вопроси В них он решал некоторые.новые задачи, предлагал новые реше­
ния задач, рассмотренных друтими учеными. Буняковский пополнил тео­
рию чисел многими результатами, однако эти результаты большей частью
носили частный характер и потому не оказывали ощутимого влияния на
научные интересы петербургских математиков. Они оставались в стороне
от основного направления теоретико-числовых исследований Петербург­
ской математической школы, сложившегося в трудах Чсбышева и его уче­
ников.
Работы по теории вероятностей и математическому анализу
Первые работы Буняковского по теории вероятностей относятся к
середине 30-х годов В них рассмотрено прнчеиепис теории вероятностей к
решению задач. Например, рассмотрена задача Бто<|)фона (1777 г.) и раз­
личные ее случаи (плоскость разграфлена па треугольники, окружности и
др линии). Буняковский получает формулы дшг приближенной оценки (на
основании опыта) числа п. длины дуги по се синусу, эллиптического инте1рала Лежандра 2-го рода, значение логарифмической функции.
Первостепенное значение для развития теории вероятностей в Рос­
сии имело обширное содержательное руководство Буняковского «(Снова­
ния математической теории вероятностей» (1846 г.). Книга была первым
сочинением на русском языке, в котором подробно изложены математиче­
ские начала теории вероятностей и важнейшие ее приложения, она полно­
стью отражала уровень, достиптутый наукой о случайных явлениях.
В области математического анализа Буняковского привлекли от­
дельные вопросы дифференциального и интегрального исчислений. В ча­
стности исследование вопроса о max и min функции двух переменных
(1831 т.}. работа «Об алгебраических интегралах в разностях рациональ­
ных дробей» (1838 г.) сия тана с исследованиями Оетроградского.
Он изучал также вопросы о max н min функции многих переменных
11859 т )
Наиболее существенные новые результаты получены Буняковским в
работе о некоторых неравенствах, касающихся обыкновенных интегралов
и инте! ралон в конечных разностях (1859 т.).
Он получил
1
1
jp{x)Ac-^ (x)de>(^xy^{x)dx) .
Особо отмечены
1
/
частные случаи при 0 K . Y ) - - - ^ Jfix) " также yl v> 1 »ю неравенство
БУНЯКОВСКОГО применяется при изучении многих вопросов математики.
Долгое время его приписывали Г. Шварцу (1843-1920. который опубли­
ковал такое же неравенство 16 лет спустя после Буняковского (1875 г.).
Работы по геометрии н прикладным вопросам
В начале 40-х годов Буняковский занялся исследованием теории
параллельных линий. В своих работах высказынал отрицательное отноше­
ние к идеям Лобачевского Однако исследования Буняковского по теории
параллельных линий с принципиальной точки зрения несостоятельны.
БУНЯКОВСКИЙ постоянно занимался прикладными вопросами, на­
пример, в статье по механике показал, что число положений равновесия
однородной треугольной призмы, потруженной в жидкость, не может быть
больше 15 (по оке было доказано - 12)- В 1842 I . Буняковский решил
предложенную ему Б . С . Якоби задачу об определении числа особого вида
сочетаний. К тгой задаче Якоби пришел в работах по электромагнитному
телеграфу. Позднее внимание БУНЯКОВСКОГО привлек вопрос о наивыгод­
нейшем размещении громоотводов (1863 г.). Постоянно интересовался Бу­
няковский средствами вычислений и математическими приборами. В
1858 г предложил специальный прибор — суммарный ->кер. который в ча­
стности позволял вычислять суммы квадратов. 1857 г. - изобретение са­
мосчетов
операция, связанная с перенесением десяти единиц одного
разряда в качестве единицы следующего, выполнялось автоматически.
Работы Буняковского но прикладным вопросам, особенно изобре­
тения различных вычислительных приборов, представляли значительный
интерес в свое время.
3.4. Николай Иванович
Лобачевский
Николай Иванович Лобачевский родился 1 декабря (20 ноября)
1792 г. в Нижнем Новгороде в семье мелкого чиновника. С 1802 г. по
1806 г. Лобачевский учился в Казани в гимназии на казенном содержании.
В январе 1807 т. Лобачевский был допущен к слушанию лекций в Казан­
ском университете. В научной подготовке на него наибольшее влияние
оказали профессор чистой математики М.Ф. Ьартельс и профессор астро-
помии И.Л. Литров, который привлек сто к астрономическим наблюдени­
ям. Пол руководством Бартельса Лобачевский глубоко итучил сочинения
Эйлера. Лагранжа. Моижа. Лапласа. Га\ееа.
При окончании университета, в июле 1811 г. Лобачевский был удо­
стоен степени магистра. В апреле 1814 г он был утвержден в звании адъ­
юнкта чистой математики и начал мрсподнвагь математика в университете.
Первоначально читал прямолинейную тригонометрию и теории} чисел. В
июле он был утвержден в звании экстраординарного профессора. В 1818 г.
Лобачевский начал читать дифференпиалыюе и интегральное исчисление,
а в 1819 I . с | а л преподавать асгрономию и заведовав астрономической
обсерваторией университета. Он читал также физику, в ю м числе для же­
лающих
математическую физику
После отьезда Баргельса в Дерпгский университет в конце 1820 т.
Лобачевский становится ординарным профессором чистой математики «с
препоручением кафедры физики». Он заменил Бартельса на посту декана
отделения физических и математических наук. В эти годы Лобачевский
ведет активную и полезную административную деятельность, совмещая ее
с разносторонним преподаванием, с подготовкой, особенно с середины
20-х годов, учебных пособий но геометрии и алгебре и напряженной науч­
ной работой.
О своем о I к р ы ш и поной геометрии Лобачевский сообщил в работе
«Краткое изложение основ геометрии со строгим док.т'.агетьемюм георемы
о параллельных». Доклад об этой pa6oie Лобачевский
прочел
23 (1 Г)февраля 1826 г. на заседании отделения физических и математиче­
ских наук Казанского университета. Однако Лобачевский встретил непо­
нимание со стороны своих коллег На свою работу, переданную профессо­
рам СИМОНОВУ. Кунферу и адьюнюу Ьрашману. он не пол\чил oi (ыва.
Больше того, она была утеряна. О ее содержании можно судии, лишь по
научной работе Лобачевского « О началах геометрии", нппечлтгниюи Р.
1829-1830 I T . в журнале «Казанский вестник» Появление этой работы за­
крепило приоритет Лобачевского в открытии неевклидовой геометрии.
Разработка и развитие основных ее положений составили главное содер­
жание-дальнейшей жизни Лобачевского,
Выс1\плеиие Лобачевского с новой 1Сомсфией от носится ко време­
ни, козла в Казанском университете наступили большие перемены к „гучшему. И мае 1827 г Лобачевского избирают ректором университета. На
этом посту он был почти 20 лег и всегда пользовался уважением и довери­
ем профессорской коллегии. Он положил начало процветанию и славе
университета. Вместе с тем научная деятельность Лобачевского в области
неевклидовой геометрии не пяхочича признания Fro работа «О начале
гсомефми» получила в 1832 г. офпцательпын отзыв
академика
М.Н. O c i p o r p m c K o r o . И 1*34 т. в пггсрбургскоч журнале «Сын Отечества»
появилась оскорбительная л ля Лобачевском» репей шя на это сочинение
Лобачевский м\жсс1веппо ггерепес несправедливую и жестокую критику.
Убежденный в прянизыюсти своих идей, он публикует следующие работы
по неевклидовой геометрии, давая в них развернутое изложение своей гео­
метрической сисюмы. Наряду с этим Лобачевский ;анимае1ся исследова­
ниями в области математического анализа, алгебры, механики, физики и
астрономии. |) частжчгти. к середине 30-х годов относится работа по меха­
нике «Условные уравнения для движения и положения игавных (»сей в
твердой системе» (1835 г.). Большинство работ Лобачевского опубликова­
но в «Ученых записках Казанского университета», основанных в (834 г.
при em непосредс!венном участии. Некоторые работы Лобачевского но
неевклидовой (.еомсфин были напечатаны за границей.
Наиболее подробно свои геометрические идеи Лобачевский изло­
жил в работе «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных»,
напечатанной в «Ученых записках Казанского университета» за 18351838 I T . , и хотя она была намного доступнее для понимания, чем ранее на­
писанные работы Лобачевского, все же представляла значительные труд­
ности для первоначальною ознакомления с новой 1еометрией. к тому же
она была большой по объему. И Лобачевский как геометр продолжал оста­
ваться непонятым. Он подготовил небольшое сочинение на немецком язы­
ке «Геометрические исследования по теории параллельных линий», издан­
ное в Берлине в 1840 г. В нем с большим искусством изложены начала но­
вой геометрии, сущность исследований. Однако и оно не изменило сло­
жившегося v соотечественников Лобачевского отношения к новой геомет­
рии. Издававшийся в Берлине библжн рафический журнал уже в 1840 т.
сообщил о выходе сочинения Лобачевско!о, рецензия была огрица|елыта п
язвительна. Однако нашелся читатель, который но достоинству оценил ра­
боту Лобачевского. Это был Гаусс. Им «овладело большое желание по­
больше прочесть об этом остроумном математике». Сравнивая другие гео­
метрические работы Лобачевского с сочинением 1840 г.. Гаусс писал в на­
чале 1844 г. своему ученику Герлшн-v: «С тех пор, как мне представилась
возможноеib самому познакомшься с этим маленьким сочинением, я дол­
жен произнести весьма выгодное суждение о нем. Л именно, оно заключа­
ет в себе гораздо бочыпе сжатости и точности, чем более крупные сочине­
ния Лобачевского, коюрые напоминают' скорее запушнпый лес. через ко­
торый I руд но проЙ1и и который трудно обозреть, не познакомившись
предварительно с каждым 0|дсльпым деревом». В другом письме Гаусс
отмечает, что Лобачевский дает изложение «мастерски, в истинно геочет-
рическом духе». Эти в ы с к а з ы в а н и я Гаусса не б ы л и известны Лобачев­
скому. Он не знал также, что его р а б о т а д о ш л а в 1846 г. д о Я . Бойяи
(также признанный венгерский математик, самостоятельно пришед­
ший к открытию неевклидовой геометрии, но п у б л и к о в а в ш и й р а б о т у
в 1832 г.. уже после появления в печати работы Лобачевского).
Обширные примечания Бойяи к сочинению Лобачевского сви­
детельствуют о том. что он изучил его с чрезвычайной тщательностью.
П о словам Бойяи, сочинение «Геометрические исследования по теории
параллельных линии» отмечено печатью гения. О н о служило первоис­
точником в изучении великого творения Лобачевского не только д л я
Гаусса и Бойяи. П о этому сочинению, по его н е о д н о к р а т н ы м переиз­
даниям на нескольких языках впервые знакомились впоследствии уче­
ные с новой геометрией. П о нему в основном строится синтетическое
изложение н а ч а л неевклидовой геометрии и в настоящее время.
По предложению Гаусса, Лобачевский, к а к один «из превосход­
нейших математиков русского государства, был и з б р а н в 1842 г. чле­
ном-корреспондентом Геттингенского общества наук. Это, пожалуй,
единственное официальное признание при жизни Лобачевского его
научных заслуг по созданию неевклидовой геометрии. Современникам
Лобачевского она оставалась недоступной.
Тяжелыми б ы л и последние годы жизни Л о б а ч е в с к о г о . В 1846 г.
его уволили с поста ректора университета и н а з н а ч и л и помощником
попечителя Казанского учебного округа. Ему, ректору и профессору
университета, пришлось выполнять обязанности чиновника при попе­
чителе. Однако он пользовался большим авторитетом у своих коллег
по университету, студентов, д о р о ж и л связями с университетом и, к а к
заслуженный профессор университета, часто присутствовал на испы­
таниях, на диспутах по защите диссертаций, ч и т а л публичные лекции.
В январе 1852 г. умер старший сын Лобачевского, студент университе­
та, ухудшилось материальное положение семьи, здоровье. За г о д д о
смерти Лобачевский ослеп. У ж е слепой он п р о д и к т о в а л свою послед­
нюю работу «Пангеометрия», подготовленную им к пятидесятилетию
Казанского
университета.
Умер
Лобачевский
24 (12) февраля
1856 года. Д о конца своей жизни он был твердо убежден в правильно­
сти своих новых математических идей. Открытием неевклидовой гео­
метрии он способствовал коренным преобразованиям, происшедшим в
математике во второй половине X I X века.
3.5. Математика
годы XIX века
в учебных
заведениях
России в 30-50-е
Начавший формироваться в этот период капиталистический уклад
вступил в антагонистические противоречия с помещичье-крепостной сис­
темой. Борясь с распространением революционных идей, царское прави­
тельство предприняло реакционные меры в области просвещения. В
1827 г. было категорически запрещено принимать в средние и высшие
учебные заведения крепостных крестьян. Правительство всячески стреми­
лось увеличить число студентов-дворян и закрыть двери университетов
для разночинцев, которые все же составляли около четверти всех студен­
тов. Существовавшая с 1803 г. преемственная связь между начальной,
средней и высшей школой была прервана. Начальные и средние школы
были изъяты из ведения университетов и подчинены непосредственно по­
печителям учебных округов.
По новому уставу 1835 г. университеты полностью зависели от Ми­
нистерства народного просвещения и попечителей учебных округов.
Министру народного просвещения предоставлялось право назна­
чать по собственному усмотрению на вакантные кафедры лиц, угодных
правящим кругам. В 1842 г. университеты ПОЛУЧИЛИ право избирать рек­
тора на четырехлетний срок. С 1849 т. он снова ciaji назначаться прави­
тельством, право CIXJ выборности было восстановлено в 1861 г.
Попавшие в тяжелое положение университеты не могли обеспечить
учебные заведения преподавателями. В связи с этим, «чтобы умножить
число достойных наставников юношества», в 1828 г. в Петербурге был
снова открыт Главный педагогический институт. В нем. а также в Инсти­
туте корпуса инженеров iТУТ ей сообщения, трехгодичных офицерских клас­
сах Морского кадетского корпуса. Артиллерийском и Инженерном учили­
щах, офицерские классы которых были преобразованы в 1855 г. соответст­
венно в Артиллерийскую и Инженерную Академии, под руководством
Петроградского М.В. было подготовлено значительное количество препо­
давателей математических наук, в том числе для высших учебных заведе­
ний.
Благодаря передовой части профессоров и студентов, университеты
оставались центрами науки и прогресса России.
По уставу 1835 г. обучение было четырехлетним с семестровым
распределением предметов и приемом студентов по результатам вступи­
тельных экзаменов два раза в год.
К разряд} маюмашмсских паук относились чистая и прикладная
магематикм. астрономия, физика и физическая геот рафия, химия, техполо1 ия и архитектура.
Чистая математика первоначально читалась на первом и и юром
курсах, ирпктлдиая математика (механика и. некоторое время, оптика)
па i p e i b e M a '.aiCM и на четвергом. На первом курсе преподавались алгеб­
ра и сферическая тригонометрия, на первом и втором
апалшическая
геометрия, па втором
дифференциальное и интегральное исчисления,
дополненные со временем, большей частью на третьем курсе, дифферен­
циальными \равнениями и вариационным исчислением. Па с и р ш и х кур­
сах в дальнейшем чшллись теория вероятностей, теория чисел, исчисление
конечных разностей, эллиптические функции и другие специальные курсы,
в зависимости от возможностей каждою MiHBepcurcia. Расширилось пре­
подавание начертательной тсомегрии. некоторое время преподавалось ис­
числение на счетах по способу генерал-майора Ф.М Свободского. Уровень
преподавания математики в университетах и других учебных заведениях
повысился. Пс1срб\ртскин университет, в котором к нот период препода­
вали П.Я. Ьуияковекий. О И. Сомов, а также молодой П.Л. Чебышсв. и Ка­
занский,
с которым
в
ми
годы
быда
связана
деятельность
П.И. Лобачевского, в постановке математических курсов не УСiупали зару­
бежным университетам. УЛУЧШИЛОСЬ положение и и других университетах.
Преподавание в основном велось на русском языке Учебная литература по
математике пополнилась руководствами Петроградскою
по алгебре и
аналитической механике. Лобачевского
но алгебре. 1 БУНЯКОВСКОГО
НО
теории вероятностей. Чебышевл
по теории чисел. Сомова
по алгебре
и эллиптическим функциям. Ьряшмлна
по аналитической теометрии и
другими Особое месю таиимал «Лексикон чистой и прикладной матема­
тики» Буняковского. Значительным поподпепием учебной математической
литературы являлись руководств» но мементлрн'" н пыс|ггсй математике
для поспно-учебных ''.аведепий. составленные в 40-5П-\ годах под руково­
дством Ос1ро1радского Появились новые руководства для гимнашй. За­
метную роль продолжали играть лучшие пособия тару Нежных акторов.
1
Наряду с существовавшими академическими периодическими из­
даниями, в которых научные работы печатались большей ч а о ы о на ино­
странных языках, появились мптиерситстские научные периодические и iдапия. в основном на русском языке. С 1X33 г. начали выходить при непо­
средственном участии Псревощикова «Ученые записки Московского уни­
верситета». М 1X31 | Лооачеискнй основал «Ученые ;аписки Казанскотч>
университета^.
Ведмцим цепiром научных исследований в России и 30-50-е годы
оставалась Петербургская академия НЛУК. Деятельность се намного расши­
рилась после присоединения к пси м 18-41 i Российской академии (учеиолшераг.рпого оГипсстпа русскою ялыка и русской словесности).
Начиная с 1832 i Лка темня нау к с ж с 1 -одно присуждала премии, у лвержденные на средства Уральскою горнопромышленника К Н Демидова
для насаждения ча лучшие сочинения по различным отраслям знаний.
Демидовских премий были удостоены, и частности, в 1833т.
Я.А. Севастьянов ча сочинение «Приложение начертательной геометрии к
воздмшюй перспективе, к проекции к а р 1 и к тномопикс» (1832 i . l : в
1836i.
П.Д. Ьрашман ia «КЧрс аналитической геометрии» (1836 т.) и
Ф И ] 1стр\шевский за п е р е т п и издание па русском языке сочинения
«Гнклидокы начала», в 1838 i .
О.И. Сомов та работу «Теория опреде­
ленных а.небраическич уравнении высших степеней» (1838 i д. а также
С. Бурачск и С. Зеленый ча запись н издание «Лекций алгебраическою и
трансцендентного
анализа»
М В. Петроградского;
в
1834 г.
П. Таратипон за к п ш \ «Начальные основания теометрии» |1842 i . ) . в
18 JO т
11.Л. Чсбышев за сочинение « 1 сорня сравнений» (1849 г.) и дру­
гие.
И научной деятельности Петербургской академии наук в области
матсмашки и конце 20-х тодоь произошел передом. Он связан с приходом
и академию М В. Остро|радского и \\.*•) !лпяковт.кого. С п о ю времени
растет число математических исследований в России.
Авторами математических работ, в основном но различным вопро­
сам анализа и геометрии, печатавшихся в академических изданиях, были
также преподаватели \ ч е б п ы \ заведений (в частности профессора универ­
ситетов: Дерн ( с к о т
Ф, М индиш и Ф. Кла\ sen. HetepovpicKoio
О.И. Симов. Казанскою
Л.И. Попои, профессор чныоп и прикладной
математики в Решсдьеткком лицее 1! Одессе
I Ьрлуп, профессор
И Г . ПКльтсп).
В связях с зарубежными учеными основное м е с т продолжали за­
нимать обмен научными изданиями и научная переписка. Последняя зна­
чительно расширилась в холе работы, которую проводила 11е1србургская
академия наук по ииишию трудов ')йлера. ()eipotрадекий и Ьуняковский
установили некоторые личные коптактьт с ведущими зарубежными \чепыми. Систематически такие контакты с начала 50-х годов поддерживал Чс­
бышев. М.В. Остроградский. И.Я. 1лняконский. П Л . Чсбышев. П.Н.Фусе
и Э.Д. Коллинс были избраны членами иностранных академий. Пстербуртская академия наук удостоила избрания своими почетными иностранными
членами О.Л. Коши < 1831 т.). К. Я к о б и ( 1 8 3 3 ! ). иностранными членами-
- J>4_
корреспондентами были избраны также Ч. Бэббндж{1832 г.). Л.Л. Креллс
(1834 т.). Ж. Штурм (1836 т.). У.Р. Гамильтон и 1 I I . Л Дирихле (1837 г.).
Ж. Лиувиддь (1840 т.). I I I . Эрмит и Ж.В. Понседе (1857 г.). Ж. Бертран и
Ж. Дюамель (1859 т.).
3.6. Творчество
Пафнутия
Львовича
Чебышева
С середины XIX и. ведущая роль в развитии отечественной матемаiикн принадлежиi великому русскому ученому Пафпугию Львовичу ЧсПытеву.
Чебытев П Л . родился 1 6 ( 4 ) м а я 1821 г. в с. Окатово Воровского
уезда Калужской «убернии в дворянской семье. Грамоте, французскому
языку и арифметике учился дома. В 1832 г. Чсбышев вместе с родителями
переехал в Москву, где продолжил домашнее образование. Математике его
обучал преподаватель московского университета П.Н. Погорельский. В
1837 т. Чсбышев поступил на математическое отделение философского фа­
культета Московского университета. При переходе на второй курс написал
работу «Вычисление корней уравнений», которая была удостоена серебряпой медали. Окончил университет в 1841 i . «отличнейшим кандидатом». В
184? г. защитил мат нсгерскую диссертацию «Опыт элементарною анализа
теории вероят нос гей». В мае I 847 г. защитил в 11егсрбургском университе­
те диссертацию «Об интегрировании помощью логарифмов» на право пре­
подавания и был утвержден адъюнктом злого уни вереи (ста.
Сразу по приезде Чебышева в Петербург Буняковский привлек е ю к
работе по подготовке и изданию Академией наук неопубликованных тео­
ретико-числовых работ Эйлера. В 1849 г. Чсбышев защитил диссертацию
«Теория сравнений» и был удостоен степени доктора математики и астро­
номии. Через два года он экстраординарный, а с 1860 г.
ординарный
профессор Петербургского университета.
В 1853 г. Чебышева избирают адъюнктом Петербургской академии
наук, в 1856 г.
экстраординарным и в 1859 г
ординарным академи­
ком. К ЭТОМУ времени вышли его знаменитые работы о простых числах
(1849 т.. 1852 I . ) . об интегрировании иррациональных дифференциалов
(1853 т.). о функциях, наименее уклоняющихся от нуля (1854 г.. 1859 г.).
по теории интерполирования (1855 г . 1859 г.). В I860 г. Чебытев был из­
бран член-корреспондентом Парижской академии паук. В связи с ним
Эрмит писал ему; «Это должная и вполне заслуженная дань уважения, воз­
даваемая Нам как за Ваши прекрасные открытия п арифметике, так и На­
ши важные работы по теории интерполирования».
В Петербургском университете Чсбышев читал высшую алгебру,
теорию чисел, аналитическую геометрию и сферическую тригонометрию.
теорию эллиптических функций, интегрирование дифференциальных
уравнений, практическую механику, интегральные исчисления, теорию ве­
роятностей и изредка некоторые другие математические курсы. Нго курсы
Пыли небольшими но объему, доступными, попятными и бот изыми по со­
держанию. 11реподаватсльекую деятельность Чебышев сочетал с научными
исследованиями, а также организаторской работой, имевшей большое зна­
чение для русской науки и техники, образования и просвещения. С 1855 г.
он член Артиллерийского отделения военно-ученого комитета (и в зто вре­
мя проводит исследования по устойчивости цилиндроконических снаря­
дов).
С 1856 по 1873 годы
член ученою комитета Министерства на­
родного просвещения, где представляет математические науки. Своей дея­
тельностью Чебышев оказал значительное влияние на постановку' и уро­
вень преподавания математики в начальных и средних учебных заведени­
ях. 13 1859 I . его назначают «правителем дел комиссии по математическим
артиллерийским вопросам и опытам, относящихся до теории стрельбы», в
1867 т.
членом техпическот о комитета Главною артиллерийскою
управления. Важную роль сыграл Чебышев в становлении и дальнейшей
деятельности Московского математического общества.
Чебышев был активным участником сьездов русских естествоиспы|атслей и врачей. Г го выступления в 1 873-1 882 гг. па сессиях Французской
ассоциации содействия преуспеванию паук, а также научные поездки за
границу способствовали ознакомлению зарубежных ученых с достижения­
ми русской математики и механики.
В 1882 т. Чебышев оставил преподавание в Петербургском универ­
ситете и всецело посвятил себя научной деятельности в Академии наук, ко­
торую не прекращал до самой кончины
8 декабря (26 ноября) 1894 г.
Научные интересы Чебьпиева с начала 60-х юдов значительно рас­
ширились. Из чн'ч очислепиых е ю работ иогп периода особенно широкую
известность ПОЛУЧИЛИ работы: «Об интерполировании» (1864 т.). «Об од­
ном арифметическом вопросе» (1866 г.), «О средних величинах» (1867 т.).
«О параллелограммах» (1869 т.). «О предельных величинах интегралов»
(1874 г.). Исследования Чсбышева в области интегрирования функций,
теории вероятностей, теории чисел, теории наилучшею приближения
функций, теории интерполирования охватывали мною новых важных во­
просов. Видтюе место в е ю научном творчестве занимали прикладные во­
просы, оIносящиеся прежде всею к теории механизмов.
Чебышев становится почетным членом почти всех университетов
России, ряда русских и зарубежных ученых обществ, избирается членом
Берлинской (1871 т.). Болонской (1873 г.). Парижской (1874 г.) академий
наук, Лопдонско!о Королевского общества f 1877 т.). Итальянской Kopoленской пк.ччечич (IХХО т ) Францу дского математического общества
(1X82 1.1. Шпелской академии ма\к(1Х »1 , I. Mo ходатайству Парижской
академии возбужденному ')рми юм. в I89-0 i президент Франции nai рад и л
Чебышсва Командорским крестом Почетною зет нона. ''ip^Tifi иисач. чго
Чсбышсв является « гордостью нау ки в России олним из первых геометров
Ьнропы. одним ит величайших i соме i ров всех времен». Слава Чебышсва
ширилась по мерс выхода с ю блестящих работ, по мерс появления вокруг
него псе ботьшего числа учеников нродо гнавших м развивавших е ю ис­
следования, по мере становления н poeia созданной и возглавляемой им
петербургский м а 1 е м а 1 и ч е с к о й школы. Под е ю руководством обьедипиласт, творческая деятельность акллемнков Петербурга прежде всего ученых
Пек'рбургской академии ШТУК И Петербургского университета.
(
Характерной чертой дсятелт.ности представителей петербургской
математической шкоты является тесная связь пауки с практикой С течени­
ем времени эта школа стала оказывать большое в зияние па развитие мате­
матики во всей с I ране.
7. Математика в России в (Ш-ttO-x годах XIX века.
Софья Васильевна
Ковалевская
Возросло ко чипсет во печатных pafioi отечественных математиков
как в русских, так и в зарубежных изданиях. Расширилось преподавание
математики в университетах: увеличилось число общих курсов, появились
новые специальные курсы. Паря ТУ С чсгциоипыми проводились в неболь­
шом объеме практические занятия, были сделаны первые попытки прове­
дения семинарских занятий Университетский устав 1863 т. формально
провозглашал носе танов л-пне ав юог-ччц юп ipn ^зч-П'-р'. и MV'>V. Гц 4 0
управление дотжно бычо ог'уптс'-гпдчться советами университетов и фа­
культетов, которые избирали рек юра (на четыре года) и деканов (па ф и
года). Университеты подучили право присвоения ученых степенен канди­
дата, магистра и доктора Избранные советом профессора утверждались
министром, друт не преподаватели - попечителем. Запяшя в университете
могдп посещать кроме студен юн посторонние слушатели. Женщины в
университеты не З О Т Р Ч ка.тчт,
Гимназический устав 186*1 г. предусматривал два типа гимназий
классические с преподаванием латинского и греческого языков, и реаль­
ные, учебные планы которых не включали древние языки, что подзо.тд.ю
расширить курс математики и естествознания После окончания классиче­
ской тимназии можно было без ж замена ПОСТУПИТЬ В университет, а после
окончания реальной гимназии
только в высшее техническое учебное УЛ~
всление.
bo Hiinoe ;иачение для прогресса на\ки и проскешения н России
имели с ь с 1 д ы ученых, одно и ; проявлений общеешепно-демократического
движения Ы)-\ годов. Особую ропь играли всероссийские съезды естествоиспытателей и врачей Подготовка съездов и их проведение осуществля­
лись физико-математическими факультетами унивсрежегов. Первый съезд
русских естествоиспытателей состоялся в Петербурге (1867-1868 гг.). вто­
рой
в М< к к не- (1864 г ). третий - в Киеве (1871 г Л четвертый
в Ка­
зани (1873 f.). мямли
в Варшаве (1876 т.). ш е с т и - в iletepOvpie
(1879 I.). седьмой
в Одессе (1883 г.). восьмой
в IIeicp6;,pie (18891890 п ) На каждом съезде работала математическая секция, т.те рассмат­
ривались также вопросы механики и астрономии. Съезды способствовали
pa тми Iию и распространению научных шапий.
К началу 80-х нутов с нош. УСИЛИЛОСЬ подавление свободы. Универ­
ситетский уста» 1 SH4 г воскрешал и лаже усиливал хутитие с т р о п ы уни­
верситетскою устава николаевского времени. Замещение должностей по
\ставу 1884 т. стало проводиться по назначению, а не путем избрания.
Несмотря на реакционное давление властей (>0-70-е годы были
весьма плодотворными для российской математической школы. Следует
oiMciHib деятельность 1акнх ученых, как Осип Иванович Сомов (18151876). Он iipopa6oi;i:i ii Петербургским уппиерсикче 35 лет. ему припадлежит около 50 научных трудов, главным образом в области аналитиче­
ской механики
Василий Григорьевич Имшспецкий (1832-1892). преподавал в Ка­
занском университете. Харьковском университете, затем работал в Петерovpie и Москве, научные исследования посвящены в основном теории ни­
т р и р о в а н и я дифференциальных уравнений механики и математической
физики: Юлиан Васнтъсвич Спхоцкин (1812-102*) работал в Петербург­
ском университете научные интересы в области теории аналитических
функций, им впервые были изучены траттичньте значения и ш е ф а л о в типа
Кошм и при весьма общих условиях выведены формулы, подучившие ши­
рокое применение в XX веке в работах по теории упругости; Александр
Николаевич Коркин (1837-1908)
ученик Чебышева, почти 50 лет рабо­
та;! в Петербургском университете, ряд ишчительных работ в области тео­
рии обыкновенных дифференпшпып.тх уравнений и уравнений в частных
произвол! 1ых; 1,гор Иванович З п л о т р е в (1847-1878)
один из наиболее
(алашлнвых Учеников П Л . Чебышева. е ю докторская диссертация «Тео­
рия целых комплексных чисел с приложением к интегральному нечисле-
9Х
пню» представляла собой выдающее.::! исслсдоваипе. па*, ч:юе значение ко­
торого Гц,) то выченено ют».ко мною д п смлггм.
Среди выдающихся отечественных ма(ематиков и механиков XIX
(;ска видное м е с т занимает. Софья Васильевна Ковалевская. Она родилась
1 М) янк.-трч I XV) I . г- Москве I с ок'н 6I.LT п'перал-деп гепаптом арiи тле­
нии
К'.ч'и.'нш Иаеи.'и.свич корнии-КруКовский Мач> (лизавеги Фсдороина
дочь I еисрала-ionoi рифа Ф.Ф. HK6cpia и вн\чка и ш е с т о г о астринома академика Ф.Ф. Ш у б е р т . Она получила хорошее образование у
домами кто учителя В четырнадцатилетием возрасте С В . Ковалевская, со­
вершенно не шая i p i n o i i o M e i p H H . сvмела самосюя 1 е л в н о разобраться в
смысле | р и 1 ' о н о м с 1 р п ч е с к и х форм\л. встретившихся ей в учебнике физи­
ки, а также в<чтоп:мь иростейнчю теоремы тригонометрии, с 15 лет ей
было разрешено брам, уроки но ныенгеп математике v извесшого препода­
вателя математики Александра Николаевича Ьтранподюбского. во время
зпчпих ириегдов семьи в Петсрбур!
В IX пет она вышла замуж за Ичадимирп < >нуфрисвичя Ковалевско­
го, впоследствии известного падеонгодота. В 1869 i . для продолжения об­
разования она уехала за траниц>' (в России доступ женщин в университеты
был закрыт). Н 18?н ( она переехп.п i' Корчим и стала ученицей знамени­
тою Нейерпмpacta (занималась частным образом! Вейерштрясс был очень
высокого мнения о м а 1 с \ ш и ч с с к о м талашс своей ученицы.
И период учебы у Всперпп p a c t a (1870-1X71 i i ) С В . Ковалевская
не только | ЛУГМЧГИ изучила некоторые высшие разделы теоретической и
прикладной математики, но и сама выполнила iри важные научные рабо­
ты.
По ходатайству Нсйерппрасса ученый совет Геттингенского уни­
верситета и р и с ^ и л Ковалевской i:i ни рабои.1 без экзаменов с высшей
похвалой степень доктора философии. Первая работа «К юории диф<||ерепциазьиых уравнений в ч а с т ы х производных» (1X7? г ) и<ч:вяшепа доказатсльспзу существования аналитического решения задачи К о т и для
с и о с м дифференциальных уравнений в частных производных. Вторая ра­
бота ''Дополнения и замечания к исследованию Лапласа о форме ко;и>ца
Сатурна»', в пей Ковалевская решает задачу о равновесии кольца Сатурна с
большой ю ч н о с 1 ь ю . В третьей paooic
«О приведении некоторого класса
абс левых j i n i e i радов i p c i b c i o ранта к ылши нческим нн тетрадам» (1884
| ) она р е ш и т птачу предложенную ей Венерпмрасеом о приведении гипер эллинiическото HHICIрала к > пиитическому.
В I К74 I . Ковалевская вернулась в Петербург Однако у себя на ро­
дине она не мог.'п МОГУЧИЙ- рпбоп пи специальности. Гн было отказано в
с;т|аче мат иетерских жзаметюн Н | K7-J-1880 т i . Кора тевская отошла от ис-
следований no магемашке. В 1 8 8 1 i . Ковалевская уехала та границу, по­
бивала в Берлине у Нейсрмпрассл. и и Париже, где французские ученые
инешо пытались устроить ей профессуру на высших женских курсах в
Севре. В апреле 1883 т. грашчески погиб муж Ковалевской, покончил с
собгчт п ожидании суда. Ковалевская вернулась в Россию и добилась уста­
новления его невиновности. Осенью 1883 г. Ковалевском переехала в Сток­
гольм, а с 1884 I'. и до конца жизни она профессор \ннверси1сга. первая в
мире женщнна-профессор. В С ю к ю л ь ч с к о м университет в течение вось­
ми лет Ковалевская прочла 12 курсов: теорию уравнений в частных произ­
водных, лдемепlapnvio алгебру, теорию потенциала, георик» движения
твердого тела, icopmo алгебраических, ллдиптических. абелевых и якобиеных функций по Мемерштрассу. приюжепие анализа к теории целых чисел
и др
В >ю время Ковалевская интенсивно шпимаегся научными исследовапиями, готовит к публикации четыре работы: три по механике твердо­
го тела, относящиеся к задаче о вращении твердого тела вокруг неподвиж­
ной точки, и одну
но теории потенциала.
За открытие нового случая разрешимости задач о вращении твердото теза нокрут неподвижной точки в 1888 г. С В . Ковалевская получила
премию Парижской академии наук. Через год она получила премию Стоктольмской академии паук за вторую работу па Ч У тему.
1 [ос.тедпял работа С В Ковалевской
«Об одной
теореме
т. крутка» (опубликована в )8*>0 г. | - относится к вопросу об аналитиче­
ском продолжении потенциала.
Исследования С В . Ковалевской о вращении твердою тела принесли
ей мировую слпп\' О ней писали в газетах и журналах. Петербургская ака­
демия наук по предложению академиков Чебышева. Имшенецкого и Ьунякоискою 7 ноября 18S9 г. избрала ее членом-корреспондентом, приняв не­
сколькими днями раньше специальное решение о допуске женщин к из­
бранию
в члены-корреспонденты.
К) февраля (29 января!
1891г.
С В . Ковалевская умерла от воспаления легких. Похоронена она в Сток­
гольме.
З.Н. Развитие математики
1917гг.
в академии наук в 1890-
Петербургская академия паук была ведущим центром математиче­
ской школы, созданной Чебышсвым. Наиболее выдающимися представи­
телями згой школы являются академики Андрей Андреевич Марков (18561922). Александр Михайлович ЛЯПУНОВ (1857-1918V Владимир Андреевич
Cie.-K.-Km (18(:34'.':<•>. HAL, лап Пычме.пгт С. пин |!Г>!" !<Ч.Ч
колаевич Крылов I I S ' ^ - i ' U ^ )
Л.Л. Маркой
родичем \4I2\HH>HH
I >v>o г н семье
n o i v i u i K a и 14i uiivKnii r.r^piim.. \'i f) .. годи LCML>I переехала
H I S 4 i M-ip|,- ,f миссии i г М'Ч <"рб\'ргсгно \ т т п в е р с п к ч п n
1
7
(
ми 'i
с ю
c<>
с H'TKMM.II >
i.-.-iii 'in ei г.ч
(in i\ • i и 'i
з о д щ vto
Алексей Ни­
мелкою чив Петербург
l x 7 4 t . oi-ччг
t
M e ' i n U.
физико-
математического факультета .а сочинение «Об им ICT рированни лж|х|>ерсмциадьных ypamicinii'i п р и помогли непрерывных дробен» и был оставлен
при у и н в е р с и l e i e для подготовки к пр<к|>еесорскомл' званию. Через два ю да Марков MIIIIHIMJI \ U H M e i e p t k v i o диссертацию, a e r n e через четыре ю да
;touiopfc,u;.iu. /{пхссрмцип. a также др\ гпе работы пц):;ыл „;сд n a \ ' i i 4 " i ' « . I V ?ir4ii'4'">t- M"(4I> cpfpi оггчесп'ени ы \ ма l e v a n i u i ' H Ja iv-..чи. вч >>u проше t вес |ри t i v i u - п м академической
лестницы в I 8<Чо i .
. ы ь ю н м Лыдсмпп H.IV к. с I X ' X u .
жыраордипармьш. п с 1^ ' I
'4'V"i':p"!! ! г ^ м е ч ш ; .
I [рсиоданакмччь^'ю теятезитосп. Марков начал в I КХи г. в I jcrep6vpi ском > ниверси I C I C и не 11|х.'кращад до последнею i о д а *и т и . даже то­
гда, когда здоровье каиетрофичееии ухудштьим, is он <па.1 ши:адпдом. 13у-.
дучи в огсгавке. он продолжал на правах академика читать в у и ив ере т е г е
I сори (о вероятостей и некоторые другие Kvpehi. i.ro сын. выдающийся со­
ветский M U i c M a n i K Л.Л. Маркоь. вспоминает «13 1920-21 учебном ГОДУ я
в о д и д его па лекции п о д р м у . ' ч т о раньше никогда не требовалось
"но
были лекции по т е о р и и вероятностей, соответствовавшие сто известной
книге. Как один из слушателей, я MOI \ засвидетельствовать, ч ю они чита­
лись б е ;\ кори т е п л о , псс.м<чр;; на го. ч ю д е т : ю р е д в а держалсл на ногах».
1
i i o i i . I C ' I T C т ы 1С"') ' (T'> "• ' > " ' i
r
|>г
;
I [аучиучо зечельность Марков начал исследор/ншями по теории
Основная его проблематика в мой об.тасш
нахождение ж с 1 р с мадьпых квадратичных форм данного определителя. ('Занимались ')нлер.
I а\ се. Лат ранж. Че^ышев ' )рчнт Корзин, Чозотцрев) Маркин; ч<> т\-мп т
окомчатен.ные резу T M U I ы по пахожаепию ">кстремальны\ двойничных
квадратичных форм положительно!о определи 1 с л я . < >к.а .адоек ч ю определепие минимумов форм сел : г ш о с решение?! i: цел:лх числа : п.-л:р-\ идей­
ного уравнении \ с
Марков, по"<"аз:»а гак пауо'ипгч вес реше­
ния п о г о уравнения в ч и п а х , не нревосхоччших л ю б о г о наперол за таштоl o числа. Затем он перешел к проблеме МИНИМУМОВ квадратичных <|юрм с
чисел.
1
1
ЧИСЛОМ MCpCMCimUX. I ) рСШСННП '"Ч 11 П р о б . 1 С М 1 Л I'.'.' '.ППКЛИ ^оДЬ
трудности J/ипп. гюезе М " о т ' о ЧТИЦУ* п с е 'едовлннП в 1 п ! г п работе
«О неопределенных 1 р о и ч н ы \ квадраiичш.тх | | м р м а \ - > Марков полечим две
первые же тремальпие формы с т р е м я переменными ( о д ш и ; ц л \ б ь ь и п ;весгна Коркмму Л И ) и ч м " п ' р о п . н . > к 1 / 1 р " ч а п л ю щ . i:<-'o^ni'i !мгт*л з
боДЬШИМ
1ПИС
( )
mi
позднее. Маркин ПОЛУЧИЛ мерные дне экстремальные формы и для неопре­
деленных квадратичных форм с четырьмя переменными.
Кроме 1 е о р и и чисел. Маркой пиши с самого начала самоеимпельnoii па\чпий дел i елиюе! и занимался leopiieii вероятностей, славшей с
конца o(i-v юзе»» гдчнпым предметом его нгпедон'мшм Н области георнн
вероятностей работал I I Л Чсбышев Но ПОСКОЛЬКУ некоторые свои утвер­
ждения Чсбышев высказывал 5с j полного и достаточно cipororo доки iaгельства, Марков, ПОСВЯТИВШИЙ теории вероятностей свыше 25 научных
работ, R том числе классический курс «Исчисление вероятностей», довел
разработку ной теории в д\хе идей Чебышева до высокой степени совер­
шенства.
В свое время, вполне обосновано (1924 т.) был сделан вывод, что
«научная дечледыюсть А Л Маркова привела к ПОЛНОМУ И завершенному
решеншо основных вопросов исчисления вероятностей: предельных теорем
вероятностей, закона больших чисел и способа наименьших квадратов, во­
просов,
тру зное и. КОТОРЫХ не мог та быть преодолена в науке до
Л.А. Маркова в течение мпотих десятилетий». \ ) I O I вывод следует допол­
нить: содержание работ Маркова оказалось еще более глубоким, и многое в
них. что претстпв тятоеь завершенным, подучило дальнейшее развитие:
работы, в которых Мирков не «закрывал» прежние разделы теории вероят­
ностей, а оифына.т новые, прежде всего работы о распространении пре­
дельных теоргм и." зависимые вечнчипм. связанные в пень (знаменитые
«пени Маркова») приобрети oi помное значение в математике и физике.
В работе Маркова над теорией вероятностей немалую роль сьирало
своеобразное соревнование мсжд>. ним и A . M . Ляпуновым. Марков так
развил метод моментов Чебышева (метод Чебышева-Мпркова). обосновы­
вая f лавные р е з у л м а ш своего учителя, что с мот с полной строгостью из­
ложить относящиеся к нему вопрос))! в первом издании «Исчисления веро­
ятностей» По. как рпсеказываср И.А Г ^ к л о р . год СПУСТЯ другой ученик
Чебышева. A.M. ЛЯПУНОВ, при помощи совершенно другого метода дока­
зал теорему о пределе вероятности с такой степенью общности, которую,
по-видимому, не мог дать метод моментов, использовавшийся Чсбышевым
и Марковым. Марков часто ШУТИЛ В присутствии Ляпунова, что он, Ляпу­
нов, сделал ему «большую накоси.».
Однако через семь лсд Марков нашел способ обобщить метод мо­
ментов и таким ПУЗОМ н е только ПОДУЧИЛ результаты Ляпунова зля ведичин не зависимых ч е ж л у собой, но и распространил основные положения
теории иерояIпоеicii на многие случаи величин, известным образом свя­
занных дру! с другом. Таким нуте" Марков подверг анализу новый об­
ширный класс вопросов, которые до него почти не затрагивались.
Последние годы научной деятельности Марков посвятил главны'
о(Яр;пом изучению нового рпзлепл исчисления вероятностей
«нероятне
cien событий, связанных в цепи». Он ПОЛУЧИЛ ряд д о с г а т ч н ы х УСЛОВИприменимости -.акотта больших чисел к зависимым и независимым pat
гмлтрикаечым в е т ч и н а м Распространил центральную предельную тег
IX!МУ па СУММЫ стучайпых ветичин. связанных в простую однороднут
цепь и принимающих иыько жачения 0 и I с а с р о я ж о о я м н перехода, от
личными от in лл и единицы, затем рассмотрел сложные однородные цеп
величин, мцсло 'нг'можпых значений которых может быть тюбым. неоди*
родные цепи, и (.д.
Большой цикл работ Л.А. Марков посвятил вопросам о напбольшп
и наименьших величинах В них работах Марков обобщит задачу, ностгн
л е п т ю П Л . Чебышепым: извеситы [ / (
vyiy,jj
i
v)-vrfv
f/(v>-y'rfv, ipe6*
егея определить max и ttiin при х?уа:Ь) значений f/'ivirfv. и нашел ря
важных решений.
Л.Л Мирков продолжил исследования Чебышева и по теории фунг
пин наименее у г о н я ю щ и х с я от нуля. т.е. теории н пи туш пего приближ<
ния. Значительный вклад внес Марков в теорию д и ( | н р е р с н н и а л ы 1 ы х урат
нений, а 1 а к ж е в решение вопросов, связанных с приближенными вычи*
.1СНПЯМИ.
Меси своей тсятелыюетью Андрей Андреевич Марков вписал в и<
юрию отечественной и мировой науки яркие незабываемые страницы.
.Члексапдр М и х а й л о н н ч .Ляпунов (1857-1918)
один из наиб(
лее выдающихся отечественных математиков и механиков, родился 6 июг
125 мая) 1 857 i . в г. Ярославле. Кто о ген был астрономом, работал в Клзат
еком университете, а кием директором Демидовскою лицея. Иачалыв
образование Ляпунов ппдучнд у отца и после сто счерти в семье своего д*
ли Р.М Сеченова, брата известного физиолога И М . Сеченова. В 1876 г. о
поступил на магемашческос отделение физико-математического фа культга Петербургского университета. Профессора университета П.Л. Чсбышс:
A l l . Коркин и !• И. Чолтарсв. а также К.А. Поссе и Д. К. Бобытев оказав
сильное влияние не р а з н и т е яркого магемшического шланга Ляпунова.
1885 I . Ляпунов защитил матиасрекую диссертацию «Об устойчивое!
тзлипсоидалытых <|ч->рм равновесия рращающейся жидкости» и получт
звание приват-доцента, в >том же году занял кафедру механики в Харько'
еком университете. Сначала мною времени ему пришлось уделиih подг>
товкс курсов лекций, по уже с 1888 г. начинают появляться в печати ei
работы но теории устойчивости движения механических систем с конеч­
ным числом степеней свободы. И I892 г он публикует спою блестящую
работу «Общая млача об УСТОЙЧИВОСТИ движения».
которую в этом же
ю д \ защищает как доки»р<-ку то диссертацию. 1С харьковскому периоду дсяг,.\"м.мости Ччт'ткч'.г! о п т о т ' я также п о научные пселедопания по теории
потенциала и 1с<>рии вероятностей, R когорьтх он ПОЛУЧИТ результаты пер­
востепенною шачения.
В Харьковском университете Л.М. Ляпунову было присвоено зва­
ние ординарною профессора (1893 т.). Он читат различные математиче­
ские курсы: механику, математическую физику, теорию вероятное!ей и др.
В конце XIX и начале XX в. имя Л.М. Ляпунова как ученою приоб­
ретет известность В 1900 г. е ю избирают членом-корреспондентом, а в
1901 I
ординарным академиком Российской академии наук но кафедре
прикладном малсмашкн. Весной 1902*. он переезжает и Петербург. Рабо­
ты Ляпунова второю петербургского периода относятся в основном к тео­
рии ф н п р небесных тел. т.е. к вопросу о формах равновесия равномерно
вращающейся жидкой массы, частицы которой взаимно притягиваются но
закону Ньютона. В ттот период он ведет постоянную переписку по науч­
ным вопросам с Пуанкаре. Пнкаром. Корном. Коссспом и другими видны­
ми зарубежными учеными. В 1908 г. принимает участие в I V Междуна­
родном магемашческом конгрессе, проходившем в Риме. Заедут и Ляпуно­
ва получают широкое признание I'm избираю-' членом Академии наук и
Риме, членом-корреспондентом Парижской академии НЭУК. почетным чле­
ном Петербургскою и Казанскою университетов. Харьковскою математи­
ческого общества и членом ряда других научных обществ.
Умер ЛЯПУНОВ трагически в ноябре 19)8 г. в Одессе.
Ближайший ученик П.Л. Чебышева. A.M. ЛЯПУНОВ является вы­
дающимся представителем петербуртскои математической шкоды. Тот
большой вклад, который он внес в мировую науку, ярче всего может быть
охарактеризован слонами, высеченными на его надгробном памятнике:
«Создатель теории устойчивою движения, учения о фигурах равновесия
вращающейся жидкости, методов качественной теории дифференциальных
уравнений, автор центральной прсчедыюй теоремы теории вероятностей и
друтих 1 л у б о к и х исследований в области механики и математическою
анализа».
Владимир Андреевич Стеклов (1863-1926)
родился 9 января
1863 I . (28 декабря )8h2 i . ) в Нижнем Новгороде. Он в 1874 г. поступил в
Пнжсюродский Александровский институт, где увлекся математикой и
физикой. В 1882 г. Стеклов поступил па физико-математический факуль­
тет Московскою университета, а в следующем юлу перешел в Харьков-
скип ymnscpcjiic!. }X ]KR7 r. успешно окончил университет., был назначен
ассистентом кягЬезры механики. (' 1Н Ч г. он привят-чопенч. а с I 8 б г. экстраординарный профессор н о ю ,кс мтивереинла
У'нпслсм
и
па\ лпим
руководителем
И Л . Сгеклона
был
A.M. Ляпунов, ' ) ю в значительной степени определило проблематику на­
учных исследований талантливого ученика, в частности его диссертацией
ма) неicpcKoii
«О лвиженни твердою тела в жидкости» i 1
i j и док­
торской
"Общие методы решения задач математической фнзикн"
(1902 г ) Всего же из потного количества 'около | М)\ ТТЯУЧНЫХ работ (.'чеклона, почти 70 было п о ; н о 1 о в л е м о им н Харьковский период деятельности.
Наряду с научной и педагогической дел тельное тью в нот период он зани­
мался также организаторской и общественной работой.
1002 г по 1006 г
был председателем Харьковского математического общества, а 19051906 IT .
деканом фи шко-ма тема i и ческою факчлыста.
1
и
1
г,
Р> 1°0б с С'.еклов занял кафедру ч ш е м а т к п 1* П.'тер ур1екот уни­
верситете (после ухода в отставку Л Л Маркова) И Петербурге он работал
до конца св!>ей жизни. Здесь сначала в университете, a s a i e M и в Академии
наук он воспитал M I V I I I X учеиш.ов. стлтддт::: внос.тедс идти крупными y i e пымн. со-.да \ н'ко'п- м'( гемч i ическон физики.
1а научные частот и его \же » I o . i i
избираюi чиетюмкорреспондепюм. в 1910 i .
а д ы о н ы о м . а чере; два года ординарным
академиком Российской академии щу к
Кроме научной деитетч.гюсчи. В А. Стеклов вет общую педагогиче­
скую работу: чины различные курсы, тлавным образом но механике и ма­
тематической физике. Тли лекции всегда отличались iдубиной мысли, без­
укоризненной строгостью и в то же время ДОСТУПН'ЧТЫО изложении мате­
риала
С 1919 т. Стеклон был вице-президентом Академии паук и предсе­
дателем хозяйственною комитета, он СУЧ^Ч налчдить печатание научных
трудов и поставку из-за фянипы литературы и приборов Ньп организатором и первым директором Физнко-математическою инститма. ра^дсленпого впоследствии па три института, одни из которых
математический
ИНСТИТУТ Л11 РФ-- носит ныне его имя.
Важнейшие (руды ПА. Стеклова относятся к математической фи­
зике. Они посвящены решению основных задач теории потенциала и тео­
рии теплопроводности 'ттн работы обобщены и подыто-.^тпл в его ДВУХ­
ТОМНОЙ монографии «Основные за чачи математической физики». *)ia мопография является зпачителтлн.тм вкладом в отечественную фишкочатематичеекую литературу.
u
Часть исследоваимй П.A. Ci'-T-i'V-j о"!:юснтсп V. теории 'ттруюеш и
ГИДроЧИНЯЧИКС Им Г>Ы 'Н m-H'i'H'-T ТЧЧЯ'МГ I \ цб щипЧСЧГМНЦ rhopMl.1 pnnновееия С1СРЖНЯ с сечением, т а ч о м е т а инстшии которою .чтя ДВУХ I танпых iK^ii равны дрм др'.г, (icpvi. правильный мпш ОУЮТЬППК) ' ) ICMCIIII.I.
\"Г1р'Н<""'ОЦ'Ц'ШГНИГ ЧСг|"1рЧ'Птмм c'Vp'f-'ttlf РМрЯЖ**»Ч,т I* l-nt'HTtMi'Vf-itv r|ivt ге­
ниях Якоми • J i ;а'1ачп о нахождении чег|юрчмиий и напряжении R иилипчрическом и е р ж п е с «нереп 1 с п н о й ючкой одною и; конченых сечении и
пол действием сил. приложенных к незакрепленному крайнему сечению,
исслеловгщ чякжг civnruT. когда сизы чейстмуюг пя Р О К О П У Ю поверхнопк
цилиндра. д р \ | и е шдачи.
Jc;joi;na;i
-лдача
J пдродппампче-ских
песдедог.аппй
НА.
Оекюва
мо лячаия о чпиж'чпти тверчого тс-та в жидкости Он т.жоднг
\равнения движения твердою ieaa в жидмкли методом Дирихле Мри ми­
г р и р о в а н и и уравнении движения C J C K J I O B пользуосм методом последо­
вательных прп м]1>геннГ]. рассматривает случаи полной ппкл рирусчосш
уравнении движения при чюбых няпачьных УСЧОВПЯХ Подробно метод
приближенною и т е р и р о в а н и и Стеклов и>ло*ил В работе «Мемуар о
движении т е р д о ю села в определенной жидкости*/ {\*Ю2
в коюрои
|-ктмо|рсн также Hoorw-v- i> периодических решениях задачи
Несколько piinoi Н/\. (' о'к.юва посвящено (сории вихрей, движе­
нию жидкою идипсоида и движению т е одою тела с илнпсоидадмюЙ
ПОЛОСТЬЮ 1НПП"Ч'ЧМ!0|"' -•!'!' и.-г»т. ю
Ньппс указаны типп. основные направления научных исследований
И,А. С|скдова. L\\x принадлежит ыкже н*.ма.||и работ и в ,tpviH\ oбJlaclяx
математики. (Вопросы с водимое! и механических квадратур, разложение
функции одной дейспшн'Д'.ной нерешенной п ряды без применения теории
замкнУЮС1И- 1 с о р и я ишермолировамия. оыидение дейсжи 1 е д ь н ы \ корней
алгебраических \paisneniiii. проблема моментов, задача колебания стерж­
ней Зд<.'"1 и к ж с Hoiv'ieip.i чГ^рще и весьма R W U M P резу чьглзт.И
г
1
Кроме ' ш е ю научных ра'нн. i fCK'ioBv мришепежат также статьи н
некрол.и и. посланииib.c па.мл in кришы.ч математиков н физиков В Томсми.. Л. Пуанкаре. Л М. Лд'г, ""пл, А.Л. Маркова. Л.Л. Фридмана
н бод|,(иис ТХ100ГЫ Гяднк'о I •>.•'( «7С и М И Ломоносове Н |*'2'J т'. в 1 ерjiHue была издана е ю можн рафия «Митсм.иика и ее шачение для челове­
чества::. 1} neii i: числе , ipy i
вопросов Стеклов imaiaei свои млериилиетнпеегие им'1я*".' чч пг*е'1м,->1 и МРТЛП \ID I
t мгн H"V> л.тяст се сияя, г
npaKi икон 11 обт.ек! Ниной реальностью выясняет ма 1ериальную ОСНОВУ
математических абефалини 1 т . пожалуй, одна и; нервы* в совоской ли­
тератур'.' р ^ " " ч'.'Г'.уо "д мч?с'_:п^ ч фн'»н;офекич ! ю н р к а ч матсмаптки.
;
1
г
4
I <к> Николай Яковлевич Соннн (1819-1915) родился 10 февраля
(24 января) 1844 г. в |улс в дворянской семье. Вскоре семья переекала в
M O C K H V . uie Сонин и ПОЛУЧИЛ образование. Окончив в 1865 г. с голоiой
медалью тимпанно, он поступил на физико-математический факультет
Московского университета. По окончании университета (1864 г.) Сонин
пыл оставлен в нем и в )871 г. защитил магистерскую диссертацию «О
разложении функций в бесконечные ряды». В 1872 г. Сонин был назначен
доцешом Варшавского университета.
Вскоре он получил заграничную командировку, большую часть кот р о й провел в Париже, | д е слушал лекции Лиувилля. Эрмита, 1>ер1рана,
Ссррс, Дарбу. В 1874 i . Сошш защитил и Московском университете док­
торскую диссертацию «Об интегрировании уравнений с частными произ­
водными вюрого порядка».
В 1877 I . Сонин был утвержден в должности профессора Варшав­
ского университета. Более 20 лет он работал в этом университете. Читал
различные математические курсы, был деканом физико-математического
факультета, неоднократно исполнял должность рек юра. был редактором
«Варшавских университетских и з в е с т и » , одним из организаторов и ак­
тивных деятелей ()бшеетва естествоиспытателей при университете.
Научные труды, написанные им в Варшаве, ПОЛУЧИЛИ ВЫСОКУЮ
оценку; в 1890 т. ему были присуждена премия имени В.Я. Буттяковекою.
После ухода па пенсию, в 184] г Соцнп некоторое время
до
1 844 г. продолжал вести лекционные курсы в Варшавском университете. В
1893 т. он был избран академиком i 1с1срб\ргской академии наук и в
1894 г. переехал в Петербург. В Петербурге Сонин с 1894 г. по 1899 г.
преподавал на высших женских курсах и в университете. В 1844-1901 гг.
он попечитель Не гербу pi скиго учебною окру lit. а с 1901 i .
председа1ель
ученою комитета Министерства народною просвещения. Как академик,
( ' • ч т и р р н н и м а т дечтетыюг у ч г к ч и е в работе Академии НЛУК. В частности
он в м е с т е с А.А. Марковым подготовил и отредактировал двухтомное соб­
рание сочинений 11.Л. Чебышева (1899-1907 и.). Умер Сонин П.Я.
14 (1) февраля 1915 г.
5
Среди научных трудов Сонина особое место занимает замечатель­
ная серия е ю работ пи специальным функциям, среди них: «Исследования
о цилиндрических функциях и о рахтожешти непрерывных функций в ря­
ды» (18КП г.). «(> цилиндрических функциях» (1904 г.).
Большой вклад инее Сонин и .теорию ортогональных мноючленов.
I» част нос I и ему принадлежит метод ортоюпализацин функций, из которо­
го, как следствие, по,ту чается так называемый метод Шмидта, предложен­
ный последним в 1407 г. Большое внимание он уделил задачам, относя-
_nv7__-
щимся к приближенному вычислению определенных интегралов, и в святи
с их решением почуди i свои результаты касающиеся теории ортогональ­
ных мноючленон. Им получено замечательное, по словам А.А. Маркова,
пераг.епепк» Coining, которое Марион применил для доказательства пре".- члг'ч»* i c p c v M 'еорнн иероягноеютг
1
/ ( К)ЫЛ
> •
- г V
i
• \ A
<
d.
/1
Кроме цилиндрических функций и орт от опальных многочленов,
(..'он и на интересовали и другие специальные функции
нотитюмы ЬерH v j L i H . функция Гамма, а 1 а к ж е родственные ей функции. Он дал новое
определение поли помов Бернудли, как ч а с т о ю решения разностного
уравнения- F'l * " • ! , ) - F<v)-iy"-' (п - 1.? \ . . ) . обращающегося и нуль при х О
1акое определение позволило СМУ не только бочее просто получить уже из­
вестные, но и открыть новые свойства полиномов Кернудли.
Сопнп получил также некоторые результаты в области классическо­
го математического анализа, его имя связано и с зарождением теории инте­
гральных уравнений
Сонин превосходно знал историю математики. Каждый с ю мемуар
6orai цепными историческими сведениями, анализом работ сто предшест№М1ик"в. Исторической тематике он поевмжч олтю из своих сочинений
«Ряд Иотанна 1лсрн\ лли» 11 897 i . ) . t дс показал роль И. ВернуJUTH в истории
создания ряда Тейлора.
Сонин был одним из выдающихся математиков коннл XIX лека начала XX века, он пользовался, по словам 11 Л Чебышева. большой из­
вестностью (i ученом мире.
Алексей Н и к о л а е в и ч К р ы л о в — вьщающинея математик, меха­
ник и кораблестроитель ( i 863-19451
А 11. Крылов родился 15(3) августа 1863 т. в с. Висяте Ардатского
уезда Сибнрс:;оп lyOepnnii. В 188) т. он блестяще окончил в Петербурге
Морское ; 'Mctunie. n R 18 >0Т.
Морскую академию. В дальнейшем вся
научная и пелаго! ическая деятельность Крылова была связана с Морской
академией. Здесь он воспитал блестящую плеяду видных отечественных
vMenux. особенно в области кораблестроении
А Н Крылов был выдающимся педагогом. Pro педагогическое кре­
до
<ош\чить \ - ч и 1 ь с н » . По представлению М.К. Жуковскою н 1914 т.
Московский университет присудил Крылову ученую степень почетного
доктора прикладной математики В I T O M голу он был избран членомкорреспондентом, а в 1916 I . — академиком Российской академии ТТЭУК.
Перед самой Октябрьской революцией Крылов был генерал-лейтенантом
(
морскою флота и состоял членом Правления Российского общества паро­
ходства и торговли. Умер А Н . Крылов 26 октября 1945 г.
Пер\ А Н . Крылова принадлежи! 285 рабо| но математике, механи­
ке, астрономии, физике, технике, истории пауки и те-лики и особенно
M H o m по теории корабтя
Он по праву считается выдающимся ученым по теории приближен­
ных методов аналиш. имеющих первостепенное значение как для матема­
тики, 1 а к п для решения технических задач.
Решение практических задач в е ю излюбленной области
кораб­
лестроении
требовало не только применения математических меюдов.
по и их усовершенствования.
Огромным вкладом в сокровищницу математики является работа
Крылова «О некоторых дифференциальных уравнениях математической
физики, имеющих приложения в технических вопросах» (лекции, прочи­
танные им в Морской академии в 1912 т.). Впервые кнша была издана в
1913 г.. вторично в 1932 г.. н частности в тгой работе изложен метод Кры­
лова улучшения сходи мое i и рядов Фчрье.
«Лекции о приближенных вычислениях,-.» Крылова
первый в ми­
ровой литературе i c v p c приближенных вычислений
Фундаментальным произведением Крылова, содержащим интерес­
ные математические результаты, является работа Л) расчете балок, лежа­
щих па упругом оенпцапшг' 'де рг'ссм^'р'ч'-гогсл ' ' п и т с постоянным и
переменным сечениями.
Проблемы конструирования корабельных установок, проблемы ме­
ханики, приводящие к днфферепцна.тгным уравнения:.!, обусловили появ­
ление работы Крылова "Приближенное ч м е т е н н о е ни парирование обык­
новенных дифферешшальных уравнений» (1923 i . ) .
Значительный научный и практический интерес представляет рабо­
та Крылова, посвященная нелинейным колебаниям «т > применении гппепба последовательных прибпижеттий к нахождению решения некоторых
дифференциальных уравнений колебательного движения».
Ряд работ Крылова посвящен вопросам баллистики.
Применение методов механики и математической физики в иссле­
довании движения корабля ношолило Крылову сотдать теорию K o p a o j w . в
которой наряду с вопросами качки корабля на волнах глубоко изучается
вопрос прочности конструкции всего корабля и отдельных е ю частей Тео­
рии корабля шнзвящепы е ю «Теория корабля». «Качка корабдя». «Об УСИ­
ЛИЯХ, испытываемых кораблем па волне», «Общая теория качки корабдя».
Глубоким по сод'.'рж;ич!'о ."идчетсл исследование "Вибрация судор« со5
держащее резулыа!ы. широки накхтьзхемые также специалистами н в
теории у пруч^сги
А.П. Крыдош принадлежа! 1 а к ж е р а б о т по |еории к о м п а с о в и го­
роскопов. In )П1 р а б о т и 1011 I . о н был \ д о е ю е п Гио даре т е м пой аре
мин
3.9. Контрольные
вопросы
I . Кима п г. каких I -'.родах оыди открыты первые удшнерс'иемл п IVccnn.
1. Назовите т т м vnii •ниц кюорме бьгпт М"гачоит«*"м
t'^ccnii •> пама к'
XIX в
.». Н а м е т е основные направления научной д с я 1 е л ы в к , , и M.I). (Хлроградского.
4 Начотпе оснош'ые направления ШТУЧНОЙ леятетьности И М. I.VMHKORCVO1 о.
5. Какие разделы математики входили в учебные профаммы российских
у н и в е р с и т е т о в в с е р е т и н е XIX
в
6. 1 laюви 1 с основные направления научном деяlejihnoein П Л . Чебышевл
7. Назовите наиболее выдающихся математиков Петербургской академии
паук конца XI.X в
начал: . X X в.
1
j^^w
»;)н)11иичн м и г е м а г и к и , и м ы
ж и ж и
ЛЫ'.ЛЬ Пи.тье Хснрик (1 802-1 829)
норвежский математик;
АШН l III (А (U -'< С т Ы \ 8 - 1 Ч ~ )
фидософ-естсчдвоиснииттслъ. «рам.
математик, i n " ! I ' a o o i a ' t в Хорезме и Иране:
A.< i/vfviVw /Как I I Ко5-| 9(> >)
ф р а н т «екни M a i e M a t ик.
Л Л Г К С Л И Д ^ М ! Иван Иванович П«56-]919)
русский матсмапис:
A 11 A I-' (• \\ (ip
к чтимей n М Азии <ок >п<|-428 I T цп илтсЙ ''ры)
древне! речеекий фи дософ. м а | е ч а | и к и ас громом:
АПЛКСПМАПДР Мнлс-скип (ок. 610-546 г*. до нашей i p i . i l
древне! ре­
чеекий фн гософ-\!лк*армал!1С1. представитель милетской школы, ученик
1
r
()
(,
(
(
Л11ЛКЧЛ1МК!) М м л с 1 с к и й (ок. 585-525 п . до нашей .ры) - древне! рече­
екий философ. у ".спик. IttuKatuaiulpa, предегашпедь милетской школы;
АН I.I
M-ip.-i I •> 4i-.it;. ' « T I V - | 7 O O >
-па тмнекмГ. мяч-матнк. М I 7 S 0 г
возглавила кафедру мшечгиики в Колоиъс;
АПОЛЛОНИИ ;1<-р1ч.кий 1 о к 262-100 н . до нашей >ры)— древнегрече­
ским '!:I!C>!:IIMI:;
ЛРИ< I М'Х С.дмоеский сок 126-25Й гт до нашей чры)
древнегреческий
астроном и ма!смалик. пифагореец:
АРИСТОТЕЛЬ f .181022 п . до пашен )ры)
древне! речеллсий философ и
логик:
АРХИМКД юк 287-212 п . до нашей nihil
древне! речеекий математик,
фи ;ик и механик:
T A ' A ' i n v (ЬДр.ПО) Нигер ( 1 7 7 6 - 1 а н г л и й с к и й физик и математик;
1 \Л\*Р< >У Исаак i I о *п-| о77 )
английский математик, филолог и богослов:
1»АГTI'JIIJC I li.i анп М а р ш и Христиан ( М а р ж и Федорович) (1769-1 836) —
Maie-млши. друт К.Ф. Гаусса п учитель/?.//.
JIOCXVICGCKU.'U;
Ы-'W ' )т!,ени ' П tO-i 78 \ )
французский математик:
ЬЬ ИКС I КАМЫ. ) Гомас (1 702-1 7о 1 •
английский математик.
Kill ! 1УЛЛИ
- [Hi lac i им швейцарских ученых.
ЬКРИУЧЛИ ЯгоЛ I (165-4-17П<)
математик:
1
ККРНУЛЛИ
Ы Г'ИУЛЛП
Иоганна 1
П-ПГ'ЛЛ!!
Иоганн 1f 1б(.7-(74Х|
математик, брат Hepuvntn И копа I:
Николай! I 1687-1759)
математик, племянник Я копа / и
Hcpitwuiu;
!!::• г""' '!
^У-}
чзтем-нчг. сын 11->лтпа1 AV/v/n-
•nr.
оКГПУЛЛН Д ^ ' и и л ( 1700-1782)
один из наиболее выдающихся физи­
ков л математиков своею времени, сын IIo.:aiwa 1 Иерпулш,
Ml
ШЧ1УЛЛИ
Met aim II
(1710-1790)
Иоганн 111 (1744-1
lli>/aiuui П Перидии,
ЬГ.РНУЛЛН Якоб I I (1759-1789)
Ь Ы ' Н У Л Л Н
ниила
КО
магемашк.
7>
астроном,
брат
Даптиа
магечарик.
п
сын
математик, механик, племянник Да­
hepmvur.
ЬЬССГЛЬ Фридрих Вильгельм (1784-1840) - немецкий астроном:
1Л1РУ11И (ад-ЬГРУПИ) Аб> Рейха» Мухаммед иСш Ахмед (973 1048)
среднеазиатский ученый, пшпгклопедисд Р<уд. в Хорезме Писал на араб
я з If'-ско.чько л е 1 провел в Индии:
Ш Л Ь Ц А И О Сернард (1781-1848)— чешский макматик. философ и ло­
гик:
Ы )ЛЬЯИ (1>( >ЯИ. а также Ы>Й.АИ> Я н о т < 1802-1 Хм >)
венгерский матема(ик и военный инженер.
ГОРГ.ЛЬ Феликс ')дуард Жюсгси 'Эмиль (1871-1956)
франку ккнЙ ма­
тематик:
СРАМЛГУНТА (Г'АХМАГУПТЛ) юк. 598-660)— индийский математик и
ас ф о н о м .
Ь'УПМКОВСКИИ Виктор Яковдсшш ( 1 1 р у с с к и й математик;
К К >ФФ< 41 Жорж Луи Лсклерк ( I 7п7-1 788)
французский естествоиспыiaicjiu.
НАЛ ЛИС 1УОЛЛИС) Джон (1616-1703)
английский математик;
HI H I I ' l l l 11'ЛС(' Карт 1еодор Вильгельм (181*-18 7)
немецкий матеM a i ик:
В И 1 Л ( I J I J I Л ' А ) Ф р а н с а ( I 540-1603)
французский математик:
ГАЛИЛЕИ Галилео (1564-1642)
итальянский физик, механик, астроном
и математик:
ГАЛУА ' ) в а р и с 1 (181 1-1832)
франил гский математик:
!"ЛМИЛЫ'ОП Уильям Рслам (1805-1865)
ирландский .\кпематпк:
I AV( ( К арл Фриарих ( I 777-18551 - немецкий мл тема гик. астроном, фи­
зик и Iеолезис!.
ГИЛЫЛТТ Давид (1862-1943) немецкий MUICMUTHK,
1 3 0 И 1 Ц М "Индским ( V B Д О нашей p u )
.древнегреческий философ и
математик:
ГИШЮ1СРАТ Хиосский (2-я полонипа V в. до нашей цш)
древнегрече­
ский математик и астроном:
I ОРННР Вильяме Джордж! t7Xh-|837) - английский математик:
ГОСТ"!' Уильям Сит I исевд Ci ьюдси i ) (1876-19371
английский матема­
тик:
и
i
ПОИП'11С I ЧЛИ!'!.!!'-'] Христа»! | К О " - ! б ° 5 »
шгдердандскнй механик.
фИЗИК. М;|1СМПТШС И ЛСТроНОМ'
/Г АЛАМЫ Р /К'аи jl(.-|inH i I 7 I 7-i 783 i
чциппо -.скин ма ICMUI ик. че\анмк
И философ.
ДАРНУ Жан I астон (1Х42-! 9! 7т
фрппиу лекий матемл тик:
Д Р Д Р К П П Д i nxap,i Юли\с Иильгсльм ( 1 Х ч - 1 0 | 6 |
немецкий мягемаJ
1ИК.
ДГ.ЗЛРГЖ!!р:ф(15°! " 4 0 )
фрэмт/^и»»' ч ш - г - а ш к :
ДККЛРТ Репе, латинизированное имя • 1<лп'езпн ( I soo-|(->yii
франП> ЮКИЙ г (in Юсиф. M;I Т е м а ) ик. фи ;ик. Фи !ИоЛО| .
Д 1 - М О К П П " u.if. 160 370 гг. до пашей >ры)
дрештегрел^кш", фх;..а;ф
материалист:
ДИОКЛ (ДИ< tRjii-.t, и li к. до нашей чип i - - дреннет реческии геометр:
ДИОФАП Т (вероятно. 11! ь )
,^bi. » ре i^vtviui >.I.J
i .п. н . Александ­
рии;
ДИРИХЛК Петер i vera и Лежеп I f X ' i S I X ^ i
немецкий математик.
ДЮГАМГ.ЛЬ |ДИ lAMI'.Jl!'/ Жан Мари Кинчлн i l 797-1 872 i
фраппч sекпп математик.
КНД( Ж(. Кипрский 0>к Д О Х - ^ гг. до или им"! -<ры)
лреннет реческнн м >
гематик и астроном.
КНКЛПД ОРЖЛПДт (о|,. 3 5 О - 3 ( А ! П . ДО iianieii >ры')
дреннет реческии
математик;
Ж< 1РДАП Камин. Мапи )змоц <I 8*8-t')?2i
(^РЛННУЧСКИЙ математик:
31ЛЮП ')ЛСЙУЫТЙ (*>к. 490-430 п . до пашей »рьп
дрснист реческии фи­
лософ;
3< )Д( П'АРНН I г о р Иванович (|Х47-187Х» - русский математик:
ИЬН АЛ-ХАПГАМ а г-Ьасрн f \ i u a ; e t i i i 0 f > | ( i 3 0 )
арабский матема1 И К , u c i p o i i o M . фн ;пк и врач.
ИМ1НКНКЦКИМ Нлснзпн Григорьевич (1Х32-18"2)
русский м.тгемагик
и механик:
КОИ AJU'.ИСКАМ Софья 'Лкидьетша П Я ' - О - Ш П
русский математик.
писатель тр'блинис!;
КАВАЛЬМ'И l--onaiU'iuvp:i i I -^»X-i м / )
итальянский математик'
КЛИТОР 1 сорт i i 8 4 > i v i f t j
мемепкии \ы ic\ia i ик. тнореп теории множес г в;
КЛРДЛН() Дчптро'нмо < Джсрпннмо итч Иеронт-ует f I S(i|-1
итальянский математик, механик и ипач:
КР.И ЛГЛ' Иоганн f 1 ?72-НоО)
немецкий ас троном и математик.
Ю1РРО Алексис !*'"."\ • ( 1 3 -' т***t
фрпнну'с'Л''"' i : n м и ; н астромо\;-_
J(
t
4
)
1 7
v
_пз_
KOI ШИП IK !!ш;(\!ай (1 I73-1543)
по.!ье::пп а а р о н о м , математик, срач.
гос деятель: создатель гелиоцентрическом системы мира:
К< >1 КИ11 Александр Иванович < 1 S > 7 - 1 )
рчеекий ма|ема1ик.
К<
Oi к 1С I еп J I M I 0780-1857)
францу .ский м а т е м а т к .
С|»ЛММ' I '.збррсм, (! 7П4-1
\ швейцарский математик hi.г л учеником
и другом Полита I iu'piivntr,
КРОПККХГ Леопольд OS23-I 891)
немецкий липемашк:
КРЫЛОВ Алексей Николаевич (1803-19-15)
советский- матсмашк, меха
ник и кораблестроитель:
КУММ1 ' Jptiei Эдуард i i 8i 9-1893 I - немецкий M a i e M a i ик.
Ю Л И (КЕИЛН) Apiyp (1S21 1895)
ашлинекнй х ш е м а ш ь .
ЛАГРАНЖ' Ж"о-юф Луи (17^п-(81 *) - французский математик, механик и
астроном:
ЛАМ К Габриель (1795-1870)-— французский инженер, матемашк и фи­
зик:
ЛАПЛАС l l i . e p t . H M o n ( 174,4-1827)
франпузский математик. Физик и ас(роном:
Л11БГГ Апрп Луи 0875-1910
французский маюмашк:
ЛЬ'ЖАНДР Лндрирн Мари ( | 7 S ? . | X H i
фргнюу ч-кин математик:
ЛКЙЬНИЦ Гшфрид Вилыельм ( 1о46-171о')
нгченкий матемашк. шизик
и философ.
ЛЕОНАРДО Ш13АНСПШ ( Ф И О М I V I 4 H ) 0 1* -124П)
итальянским
математик:
ЛИУГШЛЛЬ Жозеф (1809-1882) - - францу зский ма(ема(ик:
ЛОПАЧГВСКИП Николай Иванович (1792-1856)
русский математик.
создатель неевклидовой геометрииJlOl 1И J АЛЬ де i ином Франсуа ) 1о(>1 -1 704 ) -- французский ма|ема1ик:
ЛОРАН Пьер Альфонс (1813-1854)
французский маюматпк и военный
инженер:
ЛОРКПП Хнедрик Антон (1К53-Н*2М- - нидерландский физик и матема­
шк;
Л У З И Н Николай Н::^п.чн:ч 0<?S3-1 °59j
cocciскнй м а к - ч а ш г .
ЛЯПУНОВ Лчект.тнлр Мнх.тй'мчи" O X W - I 9 I X )
русский математик и
механик.
МЛП1ПЦКПП Л е т н и й Фнлишюнпч (1669 1739)
русский мшемашкнеддгог.
МЛКЛ< >РКН К'олин ( 1698-1 74(>»
шотландский математик;
МАРКОЙ Андреи Андреевич ( и а р ш и й ) O850-PJ22) - русский Ш1емап IK.
>
П