Аналитическая геометрия - Учебно
advertisement
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных
технологий
Кафедра математического моделирования
САЛОВА Е.В.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 011800.62 «Радиофизика»
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
Салова Е.В. Аналитическая геометрия
Учебно-методический
комплекс. Рабочая программа для студентов направления 011800.62
«Радиофизика», очная форма обучения. Тюмень, 2011 г., 21 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями
ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и
профилю подготовки.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Аналитическая
геометрия
[электронный
ресурс]
/
Режим
доступа:
http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского
государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и.о. зав. кафедрой математического
моделирования, д.ф.-м.н., доцент Татосов А.В.
© Тюменский государственный университет, 2011
© Е.В. Салова, 2011
1. Пояснительная записка
Целью курса является усвоение основных разделов аналитической геометрии, создание базы для изучения других дисциплин физических специальностей. Привитие навыков самостоятельной работы со
специальной литературой.
Основной задачей курса является обучение студентов методам
решения задач аналитической геометрии.
1.1. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Аналитическая геометрия » – это дисциплина, которая входит в базовую часть профессионального цикла.
Освоение дисциплины «Аналитическая геометрия» необходимо
для написания выпускной квалификационной работы.
1.2.
Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируе-
мые в результате освоения данной ООП ВПО
Выпускник должен обладать следующими общекультурными компетенциями (ОК):
способность к овладению базовыми знаниями в области математики и естественных наук, их использованию в профессиональной деятельности (ОК-8);
способность самостоятельно приобретать новые знания, используя современные образовательные и информационные технологии (ОК10);
способность к правильному использованию общенаучной и специальной терминологии (ОК-12).
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими профессиональными компетенциями:
способность использовать базовые теоретические знания (в том
числе по дисциплинам профилизации ) для решения профессиональных задач (ПК-1);
способность применять на практике базовые профессиональные
навыки (ПК-2).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
Знать теоретические основы и практические приложения разделов аналитической геометрии: системы координат; определители
второго и третьего порядка; линейные операции над векторами, скалярное, векторное, смешанное и двойное векторное произведения векторов; линейные образы; линии и поверхности второго порядка.
●
Уметь применять полученные знания при решении приклад-
ных задач.
●
Владеть основными методами методам решения задач ана-
литической геометрии.
2. Структура и трудоемкость дисциплины
Дисциплина «Аналитическая геометрия» читается в первом семестре. Форма промежуточной аттестации – экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы (108 часов).
4
3. Тематический план
Виды учебной
Таблица 1.
Из
работы и са-
них в
мостоятельная
ин-
1
2
часов
терак-
количе-
Лекции
Семинарские
(практические)
занятия
Самостоятельная работа
№ Тема
Итого
недели семестра
работа, в час.
Итого
3
4
5
6
7
8
9
1-2
2
4
6
12
4
0-10
3-6
4
8
10
22
8
0-20
6
12
16
34
12
0-30
по
теме
тивной
фор-
ство
баллов
ме
Модуль 1
Системы координат.
Простейшие задачи
1
аналитической геометрии
Определители второ-
2 го и третьего порядка.
Векторная алгебра
Всего
Модуль 2
Преобразование ко3 ординат на плоскости
и в пространстве
7-8
2
4
8
14
4
0-15
4 Линейные образы
Всего
9-13
5
10
10
25
8
0-25
7
14
18
39
12
0-40
5
Модуль 3
Кривые второго по5
рядка
Поверхности второго
6
порядка
14-16
3
6
10
19
8
0-15
17-18
2
4
10
16
4
0-15
5
10
20
35
12
0-30
18
36
54
108
16
20
Всего
Итого (часов, баллов):
из них в интерактивной форме
0-100
36
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
контрольная
работа
2
3
4
0-1
0-1
0-3
0-3
Итого количество
баллов
ответ на практическом занятии
1
решение задач
на практическом
занятии
выполнение
домашнего задания
собеседование
Письменные работы
№ темы
Устный
опрос
5
6
7
0-5
0-3
0-10
0-6
0-3
0-20
Модуль 1
Системы координат. Простейшие задачи аналитической геометрии
Определители второго и
третьего порядка. Векторная
0-5
алгебра
Всего
0-4
0-4
6
0-5
0-11
0-6
0-30
Модуль 2
Преобразование координат
на плоскости и в простран-
0-2
0-3
0
0-5
0-5
0-15
Линейные образы
0-3
0-3
0-6
0-8
0-5
0-25
Всего
0-5
0-6
0-6
0-13
0-10
0-40
стве
Модуль 3
Кривые второго порядка
0-2
0-3
0-4
0-3
0-3
0-15
0-2
0-3
0-4
0-3
0-3
0-15
Всего
0-4
0-6
0-8
0-6
0-6
0-30
Итого
0-13
0-16
0-19
0-30
0-22
0-100
Поверхности второго порядка
Таблица 3.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Виды СРС
Не-
Объ
Кол-
обяза-
дополни-
деля
ем
во
тельные
тельные
се-
ча-
бал
мест-
сов
лов
6
0-2
ра
Модуль 1
1. Системы
нат.
коорди- работа
с
Простейшие литерату-
задачи аналитиче- рой,
ской геометрии
ре-
шение
дом.
за-
дания
7
1-2
2
Определители вто- работа
с подготовка
рого и третьего по- литературядка.
Векторная рой,
алгебра
ре-
шение
дом.
3-6
10
0-7
16
0-9
7-8
8
0-2
9-13
10
0-8
18
0-10
10
0-7
к контрольной
работе
за-
дания
Всего по модулю 1
Модуль 2
3. Преобразование
работа
с
координат на плос- литератукости и в простран- рой,
стве
ре-
шение
дом.
за-
дания
4. Линейные образы
работа
с подготовка
литературой,
ре-
шение
дом.
к контрольной
работе
за-
дания
Всего по модулю 2
Модуль 3
5.
Кривые второго по- работа
рядка
с подготовка 14-16
литературой,
ре-
шение
дом.
к контрольной
работе
за-
дания
8
Поверхности второ- работа
6.
с
10
0-4
Всего по модулю 3
20
0-11
ИТОГО
54
0-30
го порядка
17-18
литературой,
ре-
шение
дом.
за-
дания
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
Наименование обеспечи-
Темы
п/п
ваемых (последующих)
мые для изучения обеспечива-
дисциплин
емых (последующих) дисциплин
1
Выпускная квалификационная работа
дисциплины
необходи-
1
2
3
+
+
+
5. Содержание курса
Тема 1. Системы координат. Простейшие задачи аналитической
геометрии
Декартовы координаты на плоскости и в пространстве.
Направленный отрезок, проекция его на ось. Расстояние между
двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Координаты центра тяжести системы материальных точек. Барицентрические координаты.
Полярные, цилиндрические и сферические координаты.
9
Тема 2. Определители второго и третьего порядка. Векторная алгебра
Определители второго и третьего порядка. Свойства определителей.
Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Линейная
зависимость векторов. Понятие базиса. Разложение вектора по базисным векторам. Модуль вектора. Проекция вектора на ось, ее свойства.
Действия над векторами, заданными своими координатами. Направляющие косинусы.
Скалярное произведение векторов, его механический смысл. Геометрические и алгебраические свойства скалярного произведения. Выражение
скалярного произведения в декартовых координатах. Угол
между двумя векторами.
Векторное произведение векторов, его физический смысл. Геометрические и алгебраические свойства векторного произведения. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых
векторов.
Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл.
Выражение смешанного произведения в декартовых координатах.
Условия коллинеарности и компланарности векторов. Двойное векторное произведение векторов.
Тема 3. Преобразование координат на плоскости и в пространстве
Тема 4. Линейные образы
Линия на плоскости как геометрическое место точек, координаты
которых удовлетворяют определенному соотношению. Параметрические уравнения линий на плоскости. Уравнение окружности и циклоиды.
Алгебраические и трансцендентные линии на плоскости. Два типа задач, связанных с аналитическим представлением линии.
10
Общее уравнение прямой. Неполные уравнения прямой. Уравнение прямой в отрезках. Каноническое уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Прямая с угловым коэффициентом. Угол между
двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух
прямых. Нормальное уравнение прямой. Отклонение точки от прямой.
Пучок прямых, его уравнение. Условие пересечения трех прямых в одной точке.
Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Общее
уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой. Нормальное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости. Нахождение биссектральных плоскостей двугранного угла, образованного
двумя данными плоскостями. Пучки и связки плоскостей.
Прямая линия в пространстве. Канонические и общие уравнения
прямой. Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду.
Уравнения прямой, проходящей через две различные точки. Параметрические уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми в
пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Связка прямых.
Прямая линия и плоскость в пространстве. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Условия принадлежности прямой к плоскости.
Тема 5. Кривые второго порядка
Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. Исследование формы
кривых второго порядка. Директрисы и эксцентриситет эллипса и гипер-
11
болы. Полярные уравнения. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы.
Тема 6. Поверхности второго порядка
Эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, конус и цилиндры второго порядка, их канонические уравнения. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
Планы практических занятий
Тема 1. Системы координат. Простейшие задачи аналитической
геометрии
Тема 2. Определители второго и третьего порядка. Векторная алгебра
1)
Определители второго и третьего порядка.
2)
Вектор. Линейные операции над векторами.
3)
Скалярное произведение векторов.
4)
Векторное произведение векторов.
5)
Смешанное и двойное векторное произведение векторов.
Тема 3. Преобразование координат на плоскости и в пространстве
Тема 4. Линейные образы
1)
Различные виды уравнения прямой на плоскости. Основные
задачи
2)
Уравнение плоскости в пространстве.
3)
Прямая линия в пространстве.
4)
Смешанные задачи на прямую и плоскость в пространстве.
Тема 5. Кривые второго порядка
1)
Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы.
Исследование формы кривых.
2)
Директрисы и касательные к кривым второго порядка.
12
3)
Полярные уравнения.
4)
Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе.
Тема 6. Поверхности второго порядка
6.
Учебно-методическое обеспечение самостоятельной ра-
боты студентов. Оценочные средства для текущего контроля
успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения
дисциплины (модуля)
6.1. Примерные задания для контрольной работы
1. Из векторов: а = {-1, -3, 5 }, b = { -3, 8, 2 }, с ={ 2, 5, 1,} и d = { 0, 5,- 2}
выделить аффинный базис и разложить по этому базису вектор
г ={-1,-3,5}.
2.
Найти двойное векторное произведение векторов [[ а Ь]с],
где а = {-2,3,5},b = {- 3,5,2}, с = {1,6,-1} и определить длину полученного вектора.
3.
Найти углы между векторами: а = { 0,-2,5} и b = {- 3,4, - 2}.
4.
Найти векторное произведение векторов а = {- 3,- 7,5} и
b ={ 3,4,2} и вычислить площадь параллелограмма, построенного на
векторах-сомножителях.
5.
Найти смешанное произведение векторов а = { 9,3, - 5},
b = { - 3,9,- 2 } и с = {1,3,9 } и определить объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.
6.
Составить уравнение плоскости, которая делит пополам ост-
рый двугранный угол, образованный плоскостями x 4 y z 1 0 и
3x y z 1 0 .
7.
Составить уравнение плоскости, проецирующей прямую
x 1 y 2
z
на плоскость x y 2 z 3 0 .
3
1
1
13
8.
Составить уравнение проекции прямой x 5 y z 6 0 ,
2 x 3 y 4 z 1 0 на плоскость x 2 y 3 0 .
9.
Даны вершины треугольника A 1;0 ; 4 , B4 ; 3 ;1, C2 ;4 ;5 .
Составить параметрические уравнения: 1) серединных перпендикуляров сторон треугольника; 2) медиан треугольника; 3) высот треугольника.
10.
Составить канонические уравнения прямой, проходящей че-
рез точку P 2 ; 1;3 и параллельно прямой x 1 0 , y 3 z 0 .
11.
Найти косинус угла между прямыми:
x y 1 z 5
1
3
2
и
6 x y 1 0 , x 22 z 3 0.
12.
Вычислить
расстояние
x y 3 0, y z 5 0 и
и
между
прямыми:
1)
x y 1 z 2
2) x 1 4t , y 2t , z 1 t
1
5
2
x 1 y z 1
.
1
2
1
13.
При каких значениях B и C прямая
x 1 y 2 z 5
ле1
3
1
жит на плоскости 2 x By Cz 1 0 ?
14.
Найти синус угла между прямой x 3t 7 , y 2t 2, z 1 2t
и плоскостью x 2 y 0 .
15.
x2 y 2
Убедившись, что точка M 2;3 лежит на эллипсе
1,
16 12
определить фокальные радиусы точки M .
16.
x2 y 2
1, расстояние которых
Определить точки эллипса
20
4
до правого фокуса равно
14
5
.
14
17.
Эксцентриситет эллипса e
2
, расстояние от точки М эл3
липса до директрисы равно 15. Вычислить расстояние от точки М до
фокуса, одностороннего с этой директрисой.
18.
x2 y 2
3
5 на гиперболе
Дана точка M 5;
1. Составить
16 20
2
уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки M .
19.
Эксцентриситет гиперболы е=3, фокальный радиус ее точки
М, проведенный из некоторого фокуса, равен 15. Вычислить расстояние
от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.
20.
Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в
x2 y 2
вершинах эллипса
1, а директрисы проходят через фокусы
25 9
этого эллипса.
21.
Провести касательную к параболе y 2 4 x параллельно
прямой x y 7 0 и вычислить расстояние между этой прямой и касательной.
22.
Из фокуса параболы y 2 4 x под тупым углом к оси Ox
направлен луч света. Дойдя до параболы, луч от нее отразился. Написать уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч, зная, что 1)
4
tg ; 2) tg 1.
3
23.
Составить уравнение прямой, которая касается параболы
x 2 2y и перпендикулярна к прямой 3 x 6y 7 0 .
6.2. Примерные вопросы для подготовки к экзамену
1. Системы координат на плоскости: аффинные, декартовы и полярные системы координат, их связь. Примеры.
15
2. Системы координат в пространстве: аффинные, цилиндрические и
сферические системы координат, их связь. Примеры.
3. Простейшие задачи аналитической геометрии: расстояние между
точками, деление отрезка в заданном отношении, координаты
центра тяжести системы материальных точек. Примеры.
4. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Примеры.
5. Понятие линейной зависимости и линейной независимости векторов. Теоремы о линейной зависимости векторов.
6. Базис. Разложение вектора по базисным векторам. Примеры.
7. Вектор, его модуль. Проекция вектора на ось, ее свойства. Действия над векторами, заданными своими координатами. Направляющие косинусы.
8. Скалярное произведение векторов, его механический смысл.
Геометрические и алгебраические свойства скалярного произведения. Примеры.
9. Скалярное произведение векторов, его выражение в декартовых
координатах. Угол между двумя векторами.
10.
Векторное произведение векторов, его физический смысл.
Геометрические и алгебраические свойства векторного произведения. Примеры.
11.
Векторное произведение векторов. Выражение векторного
произведения через координаты перемножаемых векторов.
12.
Смешанное произведение векторов, его геометрический
смысл. Выражение смешанного произведения в декартовых координатах.
13.
Вектор. Условия коллинеарности и компланарности векто-
ров. Примеры.
14.
Двойное векторное произведение, формула для его вычис-
ления. Примеры.
16
15.
Преобразование координат на плоскости при переходе от
одной декартовой системы координат к другой. Примеры.
16.
Преобразование координат в пространстве при переходе от
одной декартовой системы координат к
другой. Углы Эйлера.
Примеры.
17.
Прямая линия на плоскости и её уравнения. Общее и кано-
ническое уравнение прямой. Примеры.
18.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия па-
раллельности и перпендикулярности двух прямых. Примеры.
19.
Нормальное уравнение прямой. Отклонение точки от прямой.
Примеры.
20.
Пучок прямых, его уравнение. Условие пересечения трех
прямых в одной точке.
21.
Общее уравнение плоскости в пространстве. Уравнение
плоскости в отрезках. Примеры.
22.
Неполные уравнения плоскости, расположение плоскости в
пространстве. Примеры.
23.
Плоскость в пространстве. Угол между двумя плоскостями.
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
24.
Нормальное уравнение плоскости. Отклонение точки от
плоскости. Примеры.
25.
Пучки и связки плоскостей, их уравнения. Примеры.
26.
Прямая линия в пространстве, ее канонические и общие
уравнения. Приведение общих уравнений прямой к каноническому
виду. Примеры.
27.
Прямая линия в пространстве. Угол между прямыми в про-
странстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
17
Прямая линия и плоскость в пространстве. Условие принад-
28.
лежности двух прямых к одной плоскости. Примеры.
Прямая линия и плоскость в пространстве. Угол между пря-
29.
мой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности
прямой и плоскости.
Эллипс, его каноническое уравнение (вывод). Исследование
30.
формы эллипса. Примеры.
Гипербола, ее каноническое уравнение (вывод). Исследова-
31.
ние формы гиперболы. Примеры.
Парабола, ее каноническое уравнение (вывод). Исследова-
32.
ние формы параболы. Примеры.
Директрисы и эксцентриситет эллипса и гиперболы. Приме-
33.
ры.
34.
Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы. При-
меры.
35.
Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. Примеры.
36.
Поверхности второго порядка, их канонические уравнения.
Эллипсоид, исследование его формы. Примеры.
37.
Поверхности второго порядка, их канонические уравнения.
Гиперболоиды, исследование их форм. Примеры.
38.
Поверхности второго порядка, их канонические уравнения.
Параболоиды, исследование их форм. Примеры.
39.
Поверхности второго порядка, их канонические уравнения.
Конус и цилиндры второго порядка, исследование их форм. Примеры.
7. Образовательные технологии
При изучении дисциплины «Аналитическая геометрия» используются следующие образовательные технологии:
18
– аудиторные занятия (лекционные и практические занятия);
– внеаудиторные занятия (самостоятельная работа, индивидуальные консультации).
В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных
видов учебной работы в процессе изучения дисциплины «Аналитическая геометрия» предусматривается использование в учебном процессе
следующих активных и интерактивных форм проведения занятий:
– практические занятия в диалоговом режиме;
– научные дискуссии;
– работа в малых группах по темам, изучаемым на практических
занятиях.
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение
дисциплины (модуля)
8.1. Литература
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука,
1988, 223 с.
2. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – СПб.: Изд-во ″Лань″, 2009, 512 с.
3. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
- М.: Изд.- во МГУ, 1990, 326 с.
4. Постников М.М. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1986, 414 с.
5. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии.- М.: Наука
1975, 272 с.
6. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: - М.: Высш. шк, 1998. 320 с.
7. Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1988, 22 с.
19
8. Виноградов И.М. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1986, 172
с.
9. Аналитическая геометрия: Метод. указ. для студ. физич. фак-та.
Часть 1. / Няшин А.Ф., Салова Е.В. – Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2002,
50 с.
10.
Няшин А.Ф., Салова Е.В. Аналитическая геометрия Часть 2.:
Учебно-метод. пособие для студ. физич. спец. университетов –
Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2006, 111 с.
11.
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. –
СПб: Спец. Литература, 1998, 200с.
8.2. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы
Интернет – ресурсы:
1.
Электронная библиотека Попечительского совета механико-
математического факультета Московского государственного университета http://lib.mexmat.ru
2.
eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва)
http://elibrary.ru
9. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Лекционная аудитория с мультимедийным оборудованием
20