1.Определители. Матрицы. Системы линейных уравнений

Министерство образования и науки Российской Федерации
Владивостокский государственный университет
экономики и сервиса
Г.И. Шуман
Н.Ю. Голодная
О.А. Волгина
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Учебное пособие
Владивосток
Издательство ВГУЭС
2015
ББК
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: учебное пособие сост.
Г.И. Шуман, О.А. Волгина, Н.Ю. Голодная.
Учебное пособие предназначено для студентов – бакалавров
I курса всех направлений и форм обучения. По каждой теме
приводится необходимая теоретическая часть, в которой
рассматриваются основные понятия и формулы, необходимые для
решения задач, рассмотрены решения типовых задач. В пособии
содержится большое количество задач для самостоятельной работы
студентов, контрольные работы и индивидуальные домашние
задания.
© Издательство Владивостокский
государственный университет
экономики и сервиса, 2015
ВВЕДЕНИЕ
Дисциплина «Алгебры и геометрии» является основой
экономического образования. Знания, приобретаемые студентами в
результате изучения этой дисциплины, играют важную роль в процессе
их обучения в университете. Они необходимы для успешного усвоения
общетеоретических и специальных дисциплин, предусмотренных
учебными планами направлений..
В пособии предлагаемого объема невозможно полностью осветить
весь изучаемый теоретический материал, поэтому в каждом разделе
приведены лишь необходимые теоретические сведения и формулы,
отражающие количественную сторону или пространственные свойства
реальных объектов и процессов, которые сопровождаются подробными
решениями типовых задач, без чего невозможно успешное изучение
математики.
Достоинство пособия состоит в том, что при наличии такого
количества задач оно может быть использовано как задачник, как
раздаточный материал для выполнения контрольных работ по
соответствующему разделу дисциплины «Алгебры и геометрии», а так
же содержит 30 различных вариантов индивидуальных домашних
заданий по всем разделам.
3
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
1.1.Определители
1.1.1 Определители второго порядка
Определение. Определителем второго порядка, соответствующим
a12 
a
 , называется число
квадратной таблице элементов  11
 a 21 a 22 
a11  a 22  a 21  a12 . Таким образом,

a11 a12
 a11  a 22  a 21  a12 .
a 21 a 22
(1)
Числа a11 , a12 , a21 , a22 называются элементами определителя.
Определитель второго порядка имеет две строки и два столбца.
Индексы, стоящие внизу соответствующего элемента, означают номер
строки и номер столбца определителя, на пересечении которых стоит
указанный элемент. Например, a 21 стоит во второй строке и первом
столбце определителя и читается «а два один». Элементы a11 , a 22
называют элементами главной диагонали определителя, а элементы
a12 , a 21 - соответственно элементами побочной диагонали.
Пример 1. Вычислим определитель
1 3

 1  7  2  (3)  7  6  13
2 7
Пример 2. Вычислим определитель.
3
0

 3  (7)  (6)  0  21  0  21
6 7
Пример 3. Вычислим определитель.
3 2

 3  4  6  2  12  12  0 .
6 4
1.1.2. Определители третьего порядка
Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим
квадратной таблице элементов
4
 a11 a12 a13 


 a 21 a 22 a 23  ,
a

 31 a32 a33 
называется число, определяемое равенством
a11 a12 a13
a
a 23
a
a 23
  a 21 a 22 a 23  a11  22
 a12  21

a 32 a 33
a 31 a 33
a 31 a 32 a 33
 a13 
a 21
a 22
a 31
a 32
(2)
Пример 4. Вычислить определитель
1 3 2
  4 1
1 5
Решение.
1 3
4
  1
 3
5 1
1
3.
1
По
определению
3
4 1
 2
 1 (1  15)  3  (4  3) 
1
1 5
получим:
 2  (20  1)  1 (16 )  3 1  2  21  16  3  42  23
Если в формуле (2) раскрыть определители второго порядка и
собрать слагаемые с одинаковыми знаками, то получим:
  a11  a 22  a 33  a 21  a 32  a13  a12  a 23  a 31  a11  a 23  a 32 
(3)
 a12  a 21  a 33  a13  a 22  a 31
Этот способ вычисления определителя третьего порядка называется
правилом треугольника.
  
  
  
  
  
  
Первые три слагаемых для вычисления определителя есть сумма
произведений
элементов
главной
диагонали
и
элементов,
расположенных в вершинах треугольников, как они показаны линиями
на первом рисунке; оставшиеся слагаемые есть сумма произведений,
взятых со знаком минус, элементов побочной диагонали и элементов,
расположенных в вершинах треугольников, как они показаны линиями
на втором рисунке.
5
2 1 3
Пример 5. Вычислить определитель   0  3 4 по правилу
1 2 1
треугольника.
Решение. Перемножим элементы главной диагонали определителя
2  (3) 1 , затем – элементы, лежащие на параллелях к этой диагонали, и
элементы из противоположного угла определителя согласно правилу
треугольника 0  2  3 , (1)  4 1 . Элементы, входящие в формулу (3) со
знаком минус, вычисляем аналогично, но относительно побочной
диагонали: 1 (3)  3 , 0  (1) 1 , 2  2  4 .
Таким образом
  2  (3) 1  0  2  3  (1)  4 1  1 (3)  3  0  (1) 1  2  2  4 
 6  0  4  9  0  16  17
Определение. Определитель, в котором под главной диагональю
(над главной диагональю) стоят нули, называется определителем
треугольного вида.
Определитель треугольного вида равен произведению элементов
главной диагонали.
2 3 1
Пример 6. Вычислить определитель   0 5  6 .
0 0 8
Решение. По условию дан определитель треугольного вида, т.к.
под главной диагональю этого определителя стоят нули, значит
значение данного определителя равно произведению элементов главной
диагонали, то есть   2  5  8  80 .
Определение. Минором элемента определителя третьего порядка
называется определитель второго порядка, полученный из данного
определителя путем вычеркивания строки и столба, на пересечении
которых стоит данный элемент.
Минор элемента a ij , стоящего на пересечении i-ой строки и j-го
столбца определителя, обозначают M ij .
Например, для определителя
2 5 3
  1 7 11
4 2 8
6
1 7
5 3
 2  28  26 , M 21 
 40  6  46 .
4 2
2 8
Определение. Алгебраическим дополнением данного элемента
определителя 3-го порядка называется минор этого элемента ,
умноженный на (1) k , где k равно сумме номера строки и номера
столбца, на пересечении которых находится этот элемент.
Алгебраическое дополнение элемента
обозначают Aij .
a ij
миноры M 13 
Согласно определению Aij  (1) k  M ij , k  i  j .
Для определителя третьего порядка знак, который при этом
приписывается минору соответствующего определителя, определяется
  
следующей таблицей:    .
  
Из определения определителя третьего порядка следует, что
  a11  A11  a12  A12  a13  A13 .
Верна общая теорема разложения: определитель третьего порядка
равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на
соответствующие этим элементам алгебраические дополнения.
Таким образом, имеют место шесть разложений:
  a11  A11  a12  A12  a13  A13 ,
  a 21  A21  a 22  A22  a 23  A23 ,
  a 31  A31  a 32  A32  a 33  A33 ,
(5)
  a11  A11  a 21  A21  a 31  A31 ,
  a12  A12  a 22  A22  a 32  A32 ,
  a13  A13  a 23  A23  a 33  A33 .
Отметим, что сумма произведений элементов какого-либо ряда
(строки или столбца) на алгебраические дополнения элементов
параллельного ряда равна нулю.
5 3 2
Пример 7. Вычислить определитель    1 2 4 ,
7 3 6
разлагая его по элементам третьего столбца.
Решение. Согласно теореме разложения имеем:
7
  2 A13  4 A23  6 A33  2  (1)1 3
 6   133
5
3
1 2
1 2
5 3
 4  (1) 2  3

7 3
7 3
 2(1) 4  (( 1)  3  7  2)  4(1) 5 (5  3  7  3) 
 6(1) 6 (5  2  (1)  3)  2  (3  14 )  4(15  21)  6(10  3) 
 34  24  78  68 .
1.1.3. Свойства определителей
Следующие свойства справедливы для определителей любого
порядка, позволяют упростить вычисления определителей.
Свойство 1. Определитель не меняет своего значения, если его
строки заменить столбцами с теми же номерами, а столбцы строками, то
есть
a11 a12 a13 a11 a 21 a 31
a 21 a 22 a 23  a12 a 22 a 32 .
a 31 a 32 a 33 a13 a 23 a 33
Введенное действие называется транспонированием строк и
столбцов.
Свойство 2. Если переставить две строки (столбца) определителя,
то знак значения определителя изменится на противоположный:
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
a 21 a 22 a 23   a11 a12 a13 .
a 31 a 32 a 33
a 31 a 32 a 33
Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковых строки или
два одинаковых столбца, то он равен нулю:
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23  0 .
a11 a12 a13
Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда
определителя можно выносить за знак определителя:
k  a11 a12 a13
a11 a12 a13
k  a 21 a 22 a 23  k  a 21 a 22 a 23 .
k  a 31 a 32 a 33
a 31 a 32 a 33
Свойство 5. Если все элементы какого-либо ряда определителя
равны нулю, то определитель равен нулю:
8
a11 a12 0
a 21 a 22 0  0 .
a 31 a 32 0
Свойство 6. Если две строки (столбца) определителя
пропорциональны, то определитель равен нулю:
a11 a12 k  a11
a 21 a 22 k  a 21  0 .
a 31 a 32 k  a 31
Свойство 7. Если элементы какого-либо ряда определителя
представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель можно
представить в виде суммы двух определителей, у которых все ряды,
кроме данного, прежние, а в данном ряду в первом определителе стоят
первые слагаемые, а во втором определителе – вторые:
a11  b11 a12 a13
a11 a 21 a 31 b11 a12 a13
a 21  b21 a 22 a 23  a12 a 22 a 32  b21 a 22 a 23 .
a 31  b31 a 32 a 33
a13 a 23 a 33 b31 a 32 a 33
Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к
элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить
элементы параллельной строки (столбца), умноженные на одно и то же
число:
a11 a12 a13
a11  k  a13 a12 a13
a 21 a 22 a 23  a 21  k  a 23 a 22 a 23 .
a 31 a 32 a 33 a 31  k  a 33 a 32 a 33
Пример 8. Вычислить определитель
`1 2 4
 3
6 1 , используя свойства определителей.
1  2 5
Решение. Элементы первого и второго столбцов данного
1 3 1 1
определителя пропорциональны
 
 , поэтому, согласно
2 6 2 2
свойству 6, данный определитель равен нулю, то есть   0 .
Пример 9. Вычислить определитель
`1 1 2
  1 3 1 , используя свойства определителей.
4 0 1
9
Решение. Используя свойство 8, приведем данный определитель к
треугольному виду. Для этого элементы первой строки умножим на (-1)
и прибавим к элементам второй строки:
`1 1 2
1
1
2
1 1 2
  1 3 1  1  (1) 3  (1) 1  (2)  0 2  1 .
4 0 1
4
0
1
4 0 1
Элементы первой строки умножим на (-4) и прибавим к элементам
третьей строки:
`1
1
2
1 1
2

0
2
1  0 2 1 .
4  (4) 0  (4) 1  (8) 0  4  7
Элементы второй строки умножим на 2 и прибавим к элементам
третьей строки:
`1
1
2
1 1 2
 0
2
1
 0 2 1 .
0 4  (4)  2  (7) 0 0  9
Получили определитель треугольного вида (под главной
диагональю определителя все элементы равны нулю), и поэтому
значение определителя будет равно произведению элементов главной
диагонали преобразованного определителя:
1 1 2 1 1 2
  1 3 1  0 2  1  1 2  (9)  18 .
4 0 1 0 0 9
Пример 10. Вычислить определитель
`1 1  1
  3 2 1 , используя свойства определителей.
4 2 4
Решение.
`1
1
1
1 1 1 1 1 1
  1  2 1 1 1  2  1 1 1  2 1 2 .
4
2
4
4 2 4 4 2 4
10
Воспользовались свойством 7, а так как в первом полученном
определителе первые две строки одинаковые, то по свойству 3 этот
определитель равен нулю, поэтому
`1 1  1
 2 1 2 .
4 2 4
Элементы третьей строки содержат общий множитель 2, который,
согласно свойства 4, можно вынести за знак определителя:
`1 1  1
  2 2 1 2 .
2 1 2
Полученный определитель содержит две одинаковые строки
вторую и третью, поэтому по свойству 3 этот определитель, а значит и
данный, равен нулю:
`1 1  1
  2 1 2  20  0 .
4 2 4
1.1.4. Определители четвертого порядка.
Методы их вычисления
Определение. Выражение
a11 a12 a13 a14
a 22
a 21 a 22 a 23 a 24

 a11  a 32
a 31 a 32 a 33 a 34
a 42
a 41 a 42 a 43 a 44
a 21
 a13  a 31
a 41
a 22
a 32
a 42
a 24
a 21
a 34  a14  a 31
a 44
a 41
a 23
a 33
a 43
a 22
a 32
a 42
a 24
a 21
a 34  a12  a 31
a 44
a 41
a 23
a 33
a 43
a 24
a 34 
a 44
a 23
a 33
a 43
называется определителем четвертого порядка. Этот определитель
можно записать в виде:
(6)
  a11  A11  a12  A12  a13  A13  a14  A14 ,
где Aij  (1) i  j  M ij , i  1,2,3,4, j  1,2,3,4,
M ij - минор
элемента,
стоящего на пересечении i-ой строки и j-го столбца, Aij -алгебраическое
дополнение этого элемента.
11

Формулу (6) можно записать с помощью значка суммирования
:
4

a
ij
 Aij ,
(7)
j 1
где i=1,2,3,4.
Формула (7) называется разложением определителя по элементам
i-ой строки. Можно записать и разложение определителя по элементам
j-го столбца:
4

a
ij
 Aij ,
(8)
i 1
где j=1,2,3,4.
Метод понижения порядка определителя основан на обращении
всех, кроме одного, элементов строки или столбца определителя в нуль
с помощью свойств определителей.
Пример 11. Вычислить определитель
1 5 2 2
1 7  3 4

.
2 9 5 7
1 6 4 2
Решение. Прибавим элементы первой строки к элементам второй
строки:
1 5 2 2
0 2 1 6

.
2 9 5 7
1 6 4 2
Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам
третьей строки:
1 5 2 2
0 2 1 6

.
0 1
1 3
1 6 4 2
Элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам
четвертой строки:
12
1 5 2 2
0 2 1 6

.
0 1
1 3
0 1 2 0
Разложим полученный определитель по элементам первого столбца
2 1 6
5 2 2
5 2 2
5 2 2
  1 1
1
2
 1
2
1
3  0 1
2
0
1 3  0 2
1 2 0
1
1 6  0  2
1 6 
2
1
0
1
3
1 6
1
3.
2
0
Переставим первые две строки, при этом знак определителя
изменится на противоположный, одновременно вынесем общий
множитель 3 элементов третьего столбца за знак определителя:
1 1 1
  3  2  1 2 .
1 2 0
Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к элементам
второй строки:
1
1 1
  3  0  3 0 .
1 2 0
Полученный определитель разложим по элементам второй строки

1 1
1 1
1 1
1 1
  3  (3)
  3  0 
 (3)
0


2
0

1
0

1
2

1 0


 9  1  0  (1) 1  9(0  1)  9
2 1 0 3
1 1 2 0
Пример 12. Вычислить определитель  
.
3 3 2 3
2 3 1 2
Решение. Поменяем местами первую и вторую строки, при этом по
свойству 2 знак определителя изменится на противоположный:
13
1
2

3
2
1
1
3
3
2
0
2
1
0
3
.
3
2
Сначала элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к
элементам второй и четвертой строк, а затем элементы первой строки
умножим на (-3) и прибавим к элементам третьей строки, получим:
1 1
2 0
0 1  4 3

.
0 0 4 3
0 1
0 2
Элементы второй строки прибавим к элементам четвертой строки:
1 1
2 0
0 1  4 3

.
0 0 4 3
0 0 4 5
Элементы третьей строки умножим на (-1) и прибавим к элементам
четвертой строки:
1 1
2 0
0 1  4 3

.
0 0 4 3
0 0
0 2
Получим определитель треугольного вида, значение которого
равно
произведению
элементов
главной
диагонали
  1 (1)  (4)  2  8 .
Пример 13. Вычислить определитель
2 3 4 5
3 7 10 13

.
5 11 16 21
4 5 3 10
Решение. Разложим определитель по элементам третьей строки
14
  5  (1)
 16  (1)
31
3 3
3 4 5
2 4 5
3 2
 7 10 13  11  (1)
 3 10 13 
5 3 10
4 3 10
2 3 5
2 3 4
3 4 5
3 4
 3 7 13  21  (1)
 3 7 10  5  7 10 13 
4 5 10
4 5 3
5 3 10
2 4 5
2 3 5
2 3 4
 11  3 10 13  16  3 7 13  21  3 7 10 .
4 3 10
4 5 10
4 5 3
Полученные определители третьего порядка вычислим по правилу
треугольника
  5  (3 10 10  7  3  5  4 13  5  5 10  5  7  4 10  3 13  3) 
 11(2 10 10  3  3  5  4 13  4  4 10  5  3 13  2  3  4 10 ) 
 16 (2  7 10  3  5  5  3 13  4  4  7  5  5 13  2  3  3 10 ) 
 21(2  7  3  3  5  4  3 10  4  4  7  4  5 10  2  3  3  3) 
 5(300  105  260  250  280  117 )  11(200  45  208  200  78 
 120 )  16 (140  75  156  140  130  90 )  21(42  60  120  112 
 100  27 )  5 18  11  55  16 11  21  (17 )  90  605 
 176  357  18 .
1.4.5. Задания для самостоятельного решения.
1.Вычислить определители:
a)
2 5
5 7
4 8
3 6
2 4
; б)
; в)
; г)
; д)
.
3 4
3 1
 5 10
5 10
3 9
2. Решить уравнения:
x3
1
 0; б )
4
3x
a)
2
1
г)
4 sin x
1
 0.
1
cos x
4
x 2  4 1
 0; в)
 0;
x  22
x2 x2
3. Решить неравенства:
3x  3 2
1 x5
2x  2 1
x 3x
a)
 0; б )
 0; в )
 5; г )
 14 .
x
1
2
x
7x
2
4 2x
15
4. Вычислить определители:
2
1 3
3 0
3
3 2 5
4 2 1
a)  1  2 1 ; б ) 2  3  2 ; в)  1  3 0 ; г ) 0  3 6 ;
5
4
1
0 6 1
1 4 2
8 8
2
3 2 1
д) 2 5 3 ;
1 4 2
1 1 1
е) 1 2 3 ;
1 3 6
4 2 1
ж) 5 3  2 ;
3 2 1
2 2 1
з) 0 5 0 ;
7 3 2
2 1 7
4
2 3 3 4
0 3 9 5
2 1 1 2
и)
; к)
;
0 0 1 8
6 2 1
0
0 0
0
5
2 3 0 5
2 1 1 0
6 5
0 1 2 1
9 7
л)
; м)
3 1 2 3
7 5
3 1 6 1
4 8
8 4
7 3 2
5 2
8 9 4
; н)
3 7
7 2 7
8 3
5 3 3
6
9
.
3
4
Ответы: 1. а)7; б)26; в)0; г)0; д)30. 2. а)5; б)2; в)2;
 n
, n  z. 3. а) (3;); б) 10; ; в) (;3]; г)[-1;7].
г) (1) n  
12 2
4. а)-24; б)-40; в)-9; г)57; д)-5; е)1; ж)1; з)55; и)30; к)48; л)0; м)-1004;
н)150.
1.2. Матрицы
1.2.1 Основные понятия
Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел,
содержащая m строк одинаковой длины и n столбцов одинаковой
длины, которая записывается в виде
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
A
(9)
...
... ... ... 


a

 m1 a m 2 ... a mn 
16
или, сокращенно, A  (aij ) , где i  1, m , (т.е. i  1,2,..., m ) – номер
строки,
j  1, n
(т.е.
j  1,2,...,n ) – номер столбца, числа
a ij
называются элементами матрицы. Матрицу A называют матрицей
3 2  5 7
 , A24 .
размера m  n и пишут Amn . Например. A  
6 1 0 8
Определение. Две матрицы A  (aij ) и B  (bij ) равны между
собой, если их размеры совпадают, а их соответствующие элементы
равны, т.е. A  B , если a ij  bij , где i  1, m, j  1, n .
 3 1 4
 3 1 4
, A23 , B  
, B 23 . Так
A  
как
2 5 7
2 5 7
размеры матриц совпадают (2  3) и соответствующие элементы равны,
поэтому матрицы A и B равны, т.е. A  B
Определение. Матрица, у которой число строк равно числу
столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера n  n
называют матрицей n-го порядка.
2 7
, A22 , т.е. дана матрица второго порядка.
Например. A  
 0 4
Определение. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме
элементов главной диагонали, равны нулю, называются диагональной.
 3 0 0


Матрица A   0  1 0  - диагональная.
0 0 7


Определение. Диагональная матрица, у которой каждый элемент
главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается
буквой E .
1 0 0 0


1 0 0


0 1 0 0
E 33   0 1 0  или E 44  
.
0 0 1 0
0 0 1




0 0 0 1


Определение. Квадратная матрица называется треугольной, если
все элементы, расположенные над главной диагональю (или под
главной диагональю), равны нулю.
Например.
17
1 2  7
 4 0 0




A33   0 3 5  или A33    3 1 0  - треугольные матрицы.
0 0 8 
 8 5 0




Важной характеристикой квадратной матрицы порядка n является
ее определитель (или детерминант), который обозначается det A или
A . det E  1. .
Определение. Квадратная матрица, у которой определитель
отличен от нуля, т.е. A  0 , называется невырожденной. В противном
случае матрица называется вырожденной.
2 3
 2 3
, A 
 12  12  0.
Например, A  
4
6
4 6


Матрица А – вырожденная.
3 1
 3  1
, B 
B  
 21  4  25  0.
4 7
4 7 
Матрица В – невырожденная.
Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю,
называется нулевой и обозначается буквой О.
 0 0 ... 0 


 0 0 ... 0 
O
.
... ... ... ... 


 0 0 ... 0 


В матричном исчисление матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в
арифметике.
Определение. Матрица, содержащая одну строку, называется
матрицей-строкой
A  (a1 a 2 ...a n ).
Матрица, содержащая один столбец, называется матрицейстолбцом
 a1 
 
a 
A   2 .
...
 
a 
 m
Матрица размера
11 , состоящая из
отождествляется с этим числом, т.е. (3)11 есть 3.
18
одного
числа,
Определение. Матрица, полученная из данной заменой каждой ее
строки столбцом с тем же номером, называется матрицей
транспонированной к данной. Обозначается AT .
 2 3
2 1
1
 , то A T  
 , если A  1 2 , то A T    .
Если A  
1
4
3
4




 2
Транспонированная матрица обладает следующим свойством:
A 
T T
 A.
1.2.2. Действия над матрицами
 
Определение. Суммой двух матриц Amn  aij
одинаковых размеров называется матрица того же размера
такая, что cij  aij  bij :

 
C mn  cij 
и Bmn  bij

С  A  B  a ij  bij , i  1, m, j  1, n.
(10)
Пример 14. Найти сумму матриц A и B , если
1 4 5 8
 0 2  3 1
, B  
.
A  
2
3
6
7


 1 9 1 7 
1  0 4  2 5  3 8  1  1 6 2 9 
  
.
Решение. A  B  
 2  1 3  9 6  1 7  7  1 12 7 14 
Для любых матриц A, B и C одинакового размера справедливы
следующие свойства:
1. A  B  B  A;
2. A  ( B  C )  ( A  B)  C  ( A  C )  B;
3. A  0  A. .
Определение. Произведением матрицы A  aij на число 
 
 
называется матрица B  bij такая, что bij  aij :


B    A    a ij , i  1, m, j  1, n.
 1 4 0 


Пример 15. A    2 3 1  ,   2 . Найти B    A .
 5 7  8


19
(11)
0 
 1 4 0   2 8

 

Решение. B  2    2 3 1     4 6
2 .
 5 7  8   10 14  16 

 

Матрица  A  (1)  A называется противоположной матрице A .
Для любых матриц A и B одинакового размера и любых
действительных чисел  и  справедливы следующие свойства:
1. A  A  0;
2. 1  A  A;
3.    A  B   A  B;
4.    A  A  B;
5.  A      A .
Операция умножения двух матриц вводится только для случая,
когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй
матрицы.
Оределение. Произведением матрицы Amn  aij на матрицу
 
 
Bn p  b jk называется матрица C m p  cik  такая, что
cik  ai1  b1k  ai 2  b2k  ...  ain  bnk ,
(12)
где i  1, m , k  1, p .
Формулу (12) для нахождения элемента c ik полезно помнить в
виде правила:
в матрице A выделяем i - ю строку, в матрице B выделяем k -й
столбец.
,
.
Тогда для того, чтобы получить элемент c ik матрицы C ,
расположенный на пересечении i-й строки и k-го столбца, надо каждый
элемент i-й строки матрицы A умножить на соответствующий элемент
k-го столбца матрицы B и все полученные произведения сложить.
20
Если матрицы A и B квадратные одного размера, то произведения
AB и BA всегда существуют.
Пример 16. Найти произведение матриц A и B , если
 2 0
1 4 7
, B  
 .
A  
 1 3
5  3 2
Решение. Для получения первой строки новой матрицы фиксируем
в матрице A первую строку (2 0), а в матрице B выделяем поочередно
1  4   7
первый, второй и третий столбцы:  ,  ,   .
 5    3  2 
Элемент c11 находим как сумму произведений элементов первой
строки матрицы A на соответствующие элементы первого столбца
матрицы B по правилу: «произведение первого элемента строки на
первый элемент столбца плюс произведение второго элемента строки на
второй элемент столбца».
1
Пользуясь этим правилом, находим: c11  (2 0)     2 1  0  5  2,
 5
 4 
7
c12  2 0    2  4  0  (3)  8, c13  2 0    2  7  0  2  14 .
  3
 2
Для вычисления элементов c 21 , c 22 , c 23 фиксируем вторую строку
матрицы A (-1 3) и умножаем её поочередно на первый, второй и
третий столбцы матрицы B :
1
c 21  (1 3)     (1) 1  3  5  1  15  14,
 5
 4 
c 22   1 3   (1)  4  3  (3)  4  9  13,
  3
7
c 23  - 1 3   (1)  7  3  2  7  6  1.
 2
 2 0  1 4 7 

 
C  AB  
  1 3  5  3 2 
2  4  0  (3)
27  02   2
8 14 
 2 1  0  5
  
.
 
(

1
)

1

3

5
(

1
)

4

3

(

3
)
(

1
)

7

3

2
14

13  1

 
Пример 17. Даны матрицы
1 2 1
1 3 
, B 22  
. Найти AB и BA .
A23  
3 1 0
1 2 
21
Решение. Произведение AB не определено, так как число
столбцов матрицы A (3) не совпадает с числом строк матрицы B (2).
Произведение BA определено, так как число столбцов матрицы B (2)
совпадает с числом строк матрицы A (2).
Используя правило, рассмотренное в предыдущем примере, найдем
произведение BA :
1 3  1 2 1   1 1  3  3 1  2  3 1 1 1  3  0  10 5 1

  
  
.
B  A  
1 2  3 1 0  1 1  2  3 1  2  2 1 1 1  2  0   7 4 1
Матрицы A и B называются перестановочными, если AB  BA .
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1. A  (B  C)  (A B)  C;
2. AB  C   AB  AC;
3.  A  B  C  AC  BC;
4.  ( AB)  (A) B  A(B);
5. det( AB)  det A  det B, если указанные суммы и произведения
матриц имеют смысл.
6. Если A квадратная матрица n-го порядка, Е-единичная матрица
того же порядка, то AE  EA  A .
7. Для операции транспонирования верны следующие равенства:
( A  B) T  AT  B T ,
( AB ) T  B T  AT .
 2 3
 1 0
, B  
.
Пример 18. Даны матрицы A  
 5 4
 3 2
Проверить справедливость равенства 5.
Решение. Найдем произведение AB :
 2 3   1 0   2  (1)  3  3 2  0  3  2   7 6 

  
  
,
A  B  
 5 4  3 2   5  (1)  4  3 5  0  4  2   7 8 
det( AB ) 
7 6
7 8
 7  8  7  6  56  42  14 .
det A 
2 3
 2  4  5  3  8  15  7,
5 4
det B 
1 0
 (1)  2  3  0  2.
3 2
det A  det B  (7)( 2)  14.
22
Таким образом, det( AB)  det A  det B  14.
1 1
1 0 
, B  
.
Пример 19. Даны матрицы A  
0 0
1 1 
Показать, что ( AB) T  B T  AT .
Решение. Найдем произведение матриц АВ:
 1 1 1 0   1 1  1 1 1  0  1 1   2 1 

  
  
.
A  B  
 0 0 1 1   0 1  0 1 0  0  0 1  0 0 
 2 0
.
( AB ) T  
1 0
 1 1 T 1 0 
, A  
.
B T  
 0 1
1 0 
 1 11 0   1 1  1 1 1  0  1  0   2 0 

  
  
.
Найдем B T  A T  
 0 11 0   0 1  1 1 0  0  1  0   1 0 
 2 0
.
Получим ( AB ) T  B T  A T  
1 0
 0
 
 1 1  1
, B31   5 .
Пример 20. Даны две матрицы A23  
3 2 1 
 3
 
Найти АВ.
Решение.
 0
 1 1  1   1 0  1 5  1 3   2 
 5   
    .
A  B  
 3 2 1  3   3  0  2  5  1 3  13  21
 
Пример 21.
Найти
значение
матричного
многочлена
 1 2 1


2
2 A  3 A  5 E , если A   1 3 1 , Е - единичная матрица третьего
 4 1 1


порядка.
Решение. A 2  A  A . Найдем A 2 :
23
 1 2 1 1


A   1 3 1 1
 4 1 1 4


7 9 4


=  8 12 5  , 2  A 2
 9 12 6 


2
2 1 11  2 1  1 4
 
3 1   11  3 1  1 4
1 1  4 1  11  1 4
 7 9 4  14

 
 2   8 12 5   16
 9 12 6  18

 
1 2  2  3  11 11  2 1  11

1  2  3  3  1 1 1 1  3 1  1 1
4  2  1 3  11 4 1  11  11
18 8 

24 10 ,
24 12 
 1 2 1  3 6 3 
1 0 0  5 0 0

 


 

3 A  3 1 3 1   3 9 3 , 5  E  5   0 1 0    0 5 0 ,
 4 1 1 12 3 3 
 0 0 1  0 0 5

 


 

14 18 8   3 6 3   17 24 11 

 
 

2 A  3 A  16 24 10    3 9 3    19 33 13 ,
18 24 12  12 3 3   30 27 10 

 
 

2
17 24 11   5 0 0   12 24 11 

 
 

2 A  3 A  5E   19 33 13    0 5 0    19 28 13 .
 30 27 15   0 0 5   30 27 10 

 
 

2
Пример 22. Найти произведение матриц A  B  C , если оно
 6
 
 2 3 4
, B   1 , C  3  2 1 8.
определено, где A  
 1 5 0 
7
 
Решение. Рассмотрим матрицы A и В. Размер матрицы A 2 3 ,
размер матрицы B 31 . Так как число столбцов матрицы A (3) равно
числу строк матрицы B (3), то произведение A B определено, в
результате получим матрицу размера 21 .
Число столбцов матрицы A B (1) совпадает с числом строк
матрицы C (1), таким образом, произведение A  B  C определено,
получаемая матрица будет размера 2 4 .
Найдем произведение A B :
 6
 2 3 4    2  6  3 1  4  7   43 
 1   
    .
A  B  
  1 5 0  7    1 6  5 1  0  7    1 21
 
Найдем произведение A  B  C :
24
43  (2)
43 1
43  8 
 43 
 43  3

A  B  C   3  2 1 8  

1
(

1
)

3
(

1
)

(

2
)
(

1
)

1
(
1)  8 
 

129  86 43 344 
 .
 
2
 1  8  24
 3
1.2.3. Обратная матрица
Пусть А-квадратная матрица n-го порядка
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
.
A
...
... ... ... 


a

 n1 a n 2 ... a nn 
Определение. Матрица
 A11 A21 ... An1 


 A12 A22 ... An 2 
A
,
...
... ... ... 


A

 1n A2 n ... Ann 
составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы А,
называется присоединенной к матрице А.
Алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы
находятся так же, как к элементам ее определителя. В присоединенной
матрице алгебраические дополнения элементов строки стоят в столбце с
таким же номером.
Пример 23. Дана матрица
2 0 1


A   3  1 4 .
 5 8 6


Найти матрицу, присоединенную к матрице А.
Решение. Найдем алгебраические дополнения к элементам
матрицы А:
1 4
A11  (1)11 
 (1)  6  8  4  6  32  38,
8 6
A12  (1)1 2 
3 4
 (3  6  5  4)  (48  20 )  2,
5 6
25
A13  (1)13 
3 1
 (3  8  5  (1))  24  5  29 ,
5 8
A21  (1) 2 1 
0 1
 (0  6  8 1)  8,
8 6
A22  (1) 2  2 
2 1
 2  6  5 1  12  5  7,
5 6
A23  (1) 2 3 
2 0
 (2  8  5  0)  16 ,
5 8
A31  (1) 31 
0 1
 0  4  (1) 1  1,
1 4
A32  (1) 3 2 
2 1
 (2  4  3 1)  (8  3)  5,
3 4
A33  (1) 33 
2 0
 2  (1)  3  0  2.
3 1
~
Составим матрицу A , присоединенную к матрице А
1 
  38 8

~ 
A 2
7
 5 .
 29  16  2 


Определение. Матрица A 1 называется обратной матрице А, если
выполняется условие
(14)
A  A1  A1  A  E ,
где E – единичная матрица того же порядка, что и матрица A .
Матрица A 1 имеет те же размеры, что и матрица A .
Теорема. Для того, чтобы матрица A имела обратную матрицу,
необходимо и достаточно, чтобы det A  0, то есть чтобы матрица была
невырожденной.
Обратная матрица находится по формуле:
 A11
1 
A 
  A12
det A 
 A13
для матрицы А третьего порядка.
Свойства обратной матрицы:
1
A21
A22
A23
26
A31 

A32 
A33 
(15)
1. det( A 1 ) 
1
;
det A
2. ( A  B) 1  B 1  A 1 ;
3. ( A1 ) T  ( AT ) 1 .
 3 5
.
Пример 24. Найти A 1 , если A  
1 8
Решение. Проверим, является ли данная матрица невырожденной.
Вычислим определитель, соответствующий матрице A :
det A 
3 5
 3  8  1  5  24  5  19  0, следовательно, матрица A
1 8
невырожденная и для нее существует обратная матрица A 1 .
Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A :
A11  (1)11  8  8,
A12  (1)12 1  1,
A21  (1) 21  5  5,
A22  (1) 22  3  3.
Составим матрицу A 1 по формуле (15)
A
1
 8
1  8  5   19

  
19   1 3    1

 19
5

19 .
3 

19 

Проверка:
A  A 1
 24  5

 19
 88

 19
 8
 3 5   19
  
 
 1 8    1
 19
5   3  8  5    1  3    5   5  3 

19 
 19 
 19 
19    19

3   8
3 
 1
 5
  1  8     1     8  
19   19
19 
 19 
 19 

 15  15   19
 
19    19
 5  24  
  0
19  

0  1 0

  E.
19   0 1 

19 
Следовательно, обратная матрица A 1 найдена верно.
27
Пример 25. Показать, что матрица A является обратной для B ,
если
1 1 1 
 3 3 1 




A  1 2 3 , B    3 5  2 .
1 3 6 
 1 2 1 




Решение. Найдем произведение матриц A и B :
1 1 1  3


A  B  1 2 3   3
1 3 6  1


1

3

1

(

3
)

1 1


 1  3  2  (3)  3 1
1  3  3  (3)  6 1

3 1 

5  2 
 2 1 
1  (3)  1  5  1  (2)
1 1  1  (2)  1 1 

1  (3)  2  5  3  (2) 1 1  2  (2)  3 1 
1  (3)  3  5  6  (2) 1 1  3  (2)  6 1
1 0 0


  0 1 0   E.
0 0 1


Следовательно, матрица A является обратной для матрицы B .
Пример 26. Найти матрицу, обратную для матрицы
 3 1 4


A   5 2 5 .
2 3 1


Решение. Найдем определитель матрицы A :
3 1 4
A  5 2 5  3  2 1  5  3  4  (1)  5  2  2  2  4  5  (1) 1 
2 3 1
 3  5  3  6  60  10  16  5  45  0.
Матрица A – вырожденная, значит обратная для нее матрица не
существует.
Пример 27. Найти матрицу, обратную для данной матрицы
28
 2 1 3


A    1 0 4 .
 3 1 2


Решение. Найдем определитель матрицы A :
2 1 3
A   1 0 4  2  0  2  (1) 1 3  1 4  3  3  0  3  (1) 1 2 
3 1 2
1  4  2  0  3  12  0  2  8  3  0,
значит матрица A невырожденная и для нее существует обратная
матрица A 1 .
Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A :
0 4
A11  (1)11 
 0  2  1  4  4,
1 2
A12  (1)1 2 
1 4
 (( 1)  2  3  4)  (2  12 )  14 ,
3 2
A13  (1)13 
1 0
 (1) 1  3  0  1,
3 1
A21  (1) 21 
1 3
 (1  2  1  3)  (2  3)  1,
1 2
A22  (1) 2  2 
2 3
 2  2  3  3  4  9  5,
3 2
A23  (1) 2 3 
2 1
 (2 1  3 1)  (2  3)  1,
3 1
A31  (1) 31 
1 3
 1  4  0  3  4  0  4,
0 4
A32  (1) 3 2 
2 3
 (2  4  (1)  3)  (8  3)  11,
1 4
A33  (1) 33 
2 1
 2  0  (1) 1  0  1  1.
1 0
Используя формулу (15), составим матрицу A 1 :
29
A 1
 4

4   3
 4 1

1
14
  14  5  11   

3
3
1   1
 1 1

 3
4 

3 
11
 .
3
1 

3 
1
3
5

3
1
3
Проверка:
4 
 4 1


3   2 1 3
 3 3

14
5
11 
A1  A  

    1 0 4 
 3

3
3 

 1 1
1   3 1 2


3 
 3 3
4
1
4
4
1
4
4
1
4


 1   0  1
 3 4 2
   2   ( 1)   3

3
3
3
3
3
3
3
3
3


14
 5
 11  14  5 
 11  14
 5
 11  
   2      ( 1)      3
1      0     1
 3     4     2 
3
3
3
 3
 3
 3
 3
 3
 3 


1
1
1
1
1
1
1
1
1
   2    1   3

 1   0  1
 3 4 2
3
3
3
3
3
3
3
3
3


  8  1  12  4  0  4

3
3

28  5  33 14  0  11



3
3
  2 1 3 1 0 1

3
3

 12  4  8 

3
  1 0 0

42  20  22  
  0 1 0   E.

3


 3  4  2  0 0 1

3

Значит обратная матрица A 1 найдена верно.
1.2.4. Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу A размера m  n
 a11

a
A   21
...

a
 m1
a12
a 22
...
a m2
30
... a1n 

... a 2 n 
.
... ... 

... a mn 
Выделим в ней k строк и k столбцов (k  min( m; n)) . Из элементов,
стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим
определитель k-го порядка. Все такие определители называются
минорами этой матрицы.
Определение. Рангом матрицы A называется наибольший из
порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля.
Обозначают ранг матрицы rA , r ( A) или rangA .
Пример 28. Найти ранг матрицы:
 2 0 3 0


A   4 0 5 0 .
 1 0 7 0


Решение. Дана матрица размера 3  4 . Возможный ранг матрицы
равен трем, т.к. (k  min( 3;4)) . Но матрица содержит два нулевых
столбца, поэтому все определители третьего порядка, составленные из
элементов данной матрицы равны нулю:
2 0 3
2 0 0
0 3 0
4 0 5 0, 4 0 0 0, 0 5 0 0.
1 0 7
1 0 0
0 7 0
Составим минор второго порядка, например
2 3
 2  5  4  3  10  12  2  0 . Значит, r ( A)  2.
4 5
Ранг матрицы удобно вычислять, используя элементарные
преобразования над матрицей. К элементарным относятся следующие
преобразования:
1) перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;
2) умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от
нуля;
3) прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих
элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.
Определение. Две матрицы A и B называются эквивалентными,
если одна из них получается из другой с помощью элементарных
преобразований. Записывается A ~В.
Свойства ранга матрицы:
1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
2. Ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть из матрицы
нулевой ряд.
31
3. При элементарных преобразованиях
изменяется, т.е. если A ~В, то r ( A)  r ( B).
Пример 29. Найти ранг матрицы
ранг
матрицы
не
 2 3 1 2


A   0 2  1 1 .
 4 0 5 1


Решение. Умножим элементы первой
элементам третьей строки
 2 3 1 2  2

 
A   0 2 1 1  ~  0
4 0 5 1 0

 
строки на (-2) и прибавим к
3
1
2

2  1 1 .
 6 3  3 
Элементы второй строки умножим на 3 и прибавим к элементам
третьей строки
1
2   2 3 1 2
2 3

 

 0 2  1 1  ~  0 2  1 1 .
 0  6 3  3  0 0 0 0 

 

Вычеркнем третью строку полученной матрицы, т.к. все ее
элементы равны нулю:
 2 3 1 2

  2 3 1 2
 .
 0 2  1 1  ~ 
 0 0 0 0  0 2 1 1 


Составим минор второго порядка:
2 3
 2 2  03  4  0 .
0 2
Таким образом, r ( A)  2.
В преобразованной матрице получилось две ненулевые строки.
Пример 30. Найти ранг матрицы
1 2 3 6 1 


A   2 3 1 6  1 .
3 1 2 6 0 

 35
Решение. Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к
элементам второй строки данной матрицы:
32
1 2 3 6 1  1

 
A   2 3 1 6  1 ~  0
3 1 2 6 0  3

 
Умножим элементы первой строки
третьей строки:
2
3
6
1 

 1  5  6  3 .
1
2
6
0 
на (-3) и прибавим к элементам
3
6
1  1 2
3
6
1 
1 2

 

 0  1  5  6  3 ~  0  1  5  6  3 .
3 1
2
6
0   0  5  7  12  3 

Элементы второй строки полученной матрицы умножим на (-5) и
прибавим к элементам третьей строки:
3
6
1  1 2
3
6
1 
1 2

 

 0  1  5  6  3  ~  0  1  5  6  3 .
 0  5  7  12  3   0 0 18 18 12 

 

Из элементов полученной матрицы составим определитель третьего
порядка. Для этого возьмем первые три столбца:
1 2
3
  0 1  5 .
0 0 18
Получили определитель треугольного вида, значение которого
равно произведению элементов главной диагонали
  1 (1) 18  18  0 .
Ранг последней матрицы равен 3, следовательно, ранг данной
матрицы тоже равен 3.
В последней матрице содержится три ненулевые строки.
Можно сделать следующий вывод:
ранг матрицы равен количеству ненулевых строк преобразованной к
треугольному виду матрицы.
1.2.5. Задания для самостоятельного решения.
1. Даны матрицы A23 , B31 , C 33 . Существуют ли а) AB , б) BA ,
в) AC , г) CA , д) ABC , е) ACB , ж) CB , з) CBA ?
2. Найдите m и n , если известно, что а) A34  B45  C mn ;
б) A23  Bmn  C 26 ; в) A2m  Bn3  C 23 .
33
2 
 1
 2  4
 , B  
 .
3. Даны матрицы: A  
  3  4
5  6
Найдите а) A  B ; б) B  A ; в) 2 A  3B ; г) A  B  AT  BT ;
д) A B ; е) B A ; ж) A 1 ; з) B 1 .
 1 2 
1 0 1




3 0 1
 , B   3
4. Даны матрицы: A  
1  , C   3 1  2 .
 2 1  2
 0  2
0 1 1




Найдите а) AB ; б) BA ; в) AC ; г) CB ; д) 2C  BA ; е) C 1 ;
ж) CC 1 ; з) 3C  2E ; и) CE ; к) AE .
5. Найти:
 2 1 1 
  2 1 0
, B  
;
a) 3A+2B, если A  
0
1

4


  3 2 2
 3  2  3 4 

 ; в)
б) 
 5  4  2 5 
 2  3  9  6 


 ; г)
 4  6  6  4 
93  7 3 
 4 3   28



;
 7 5  38  126  2 1 
 6 
 5 8  4  3 2 5 
 5 0 2 3  




  2 
д)  6 9  5  4  1 3  ; е)  4 1 5 3   ;
 3 1  1 2  7 
 4 7  3  9 6 5 

 4 



 
3
 
0 0

1
1 1


ж) 4 0  2 3 1  1 ; з) 
 
2 2

5
3 3
 

2
1
  1  1
3
 4 
2 
1  2




2
2
;
и)

 
3  4 ;
3 
1




 1
1
4 
n
 1 1
 .
к) 
 0 1
6. Найти значение многочлена f (A) , если:
34
 2 1
 ;
а) f ( X )  3X 2  4 , где A  
 0 3
1
б) f ( X )  X 2  3 X  1 , где A  
 1
1

2
в) f ( X )  3 X  2 X  5 , где A   2
3

2
;
3 
 2 3

 4 1 .
 5 2 
7. Найти матрицы, обратные для данных и сделать проверку:
1 2
 ; б)
а) 
3 4
7 
2 5


3 4

 ; в)  6 3
4  ; г)
5 7
 5  2  3


3  4 5 


2 3 1  .
 3  5  1


8. Найти ранг матрицы:
 2 1 3  2 4
 1 2 3 6




а)  4  2 5 1 7  ; б)  2 3 1 6  ;
 2 1 1 8 2
 3 1 2 6




1 2 1 3 4


г)  3 4 2 6 8  ;
1 2 1 3 4


 1 2 5 1 


д)  2 4 10  2  ;
 3 6 15  3 


0 2 0 0


в)  1 0 0 4  ;
0 0 3 0


3 2 


1  4
е) 
.
7 10 


5 6 


Ответы: 1. а), в), е), ж) да; б), г), д), з) нет.
2. а) 3;5, б) 3;6, в) m  n — любые натуральные числа.
3  2 
1  6
 , б) 
 ,
3. а) 
2

10


8  2
0 
  4 16 
6
 12
 , г) 
 , д) 
в) 

21
10
0

20




  26
  4  2
  6 4
 , з) 
 .
ж) 
1 
 3
  5 2
2  3
 1


  3 8
 , б)  11
1  5  , в)
4. а) 
 1 9
 4  2 4 


 16 
 , е)
36 
 14 20 

 ,
 23 34 
1 5 


3 1  2

 , г)  0 11  ,
5 1  2
 3 3


35
1 1 1 
 1 2 1 



1
д)   5 1
1  , е)   3  1  1 , ж) E, з)
2

 4
4  6 
3 1 1 

 2
5.а) 
 6
 56 
 
е)  69  ;
 17 
 
 1 0  3


 9 1  6  , и) C, к) A.
 0 3  5


11  22 29 


5  3
 5 2
0 0
 2 0
 ; б) 
 ; в) 
 ; г) 
 ; д)  9  27 32  ;
7  8
7 0
0 0
 0 3
13  17 26 


5
 
 13  14 
1 n
 15 
 ; к) 
.
ж) 3 1 ; з)   ; и) 
21

22
0 1 
25



 
 35 
 
 21  23 15 


3 2 

 ; в)   13 34 10  .
  1  1
  9 22 25 


1

1
1 

 2 1 


 7  4


1 ; б) 
 ; в)   38 41  34  ;
7. а) 3
 

5 3 
 27  29 24 
2
 2


  8 29  11 


г)   5 18  7  .
 1 3 1 


 8 15 
 ; б)
6. а) 
 0 23 
8. а)2; б)3;
в)3;
г)2;
д)1;
е)2.
1.3. Системы линейных уравнений
1.3.1. Основные понятия
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m
уравнений и n неизвестных, называется система вида:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 ,

a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  b2 ,

.......... .......... .......... .......... .......... ...
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
36
(1.16)
где числа a ij , i  1, m, j  1, n называются коэффициентами системы,
числа b i - свободными членами.
Матрица, составленная из коэффициентов системы, называется
основной матрицей и обозначается:
 a11

a
A   21
...

a
 m1
a12
a 22
...
a m2
... a1n 

... a 2 n 
.
... ... 

... a mn 
(1.17)
Расширенной матрицей системы называется матрица A ,
полученная из основной матрицы A , дополненная столбцом свободных
членов:
 a11

a

A   21
...

a
 m1
a12
a 22
...
a m2
... a1n
... a 2 n
... ...
... a mn
b1 

b2 
.
... 

bm 
(1.18)
Решение системы (1.16) называется n значений неизвестных
x1  c1 , x 2  c 2 ,..., x n  c n , при подстановке которых все уравнения
системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы
можно записать в виде матрицы-столбца
 c1 
 
c 
C  2.
...
 
c 
 n
Определение. Система уравнений называется совместной, если она
имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни
одного решения.
Определение. Совместная система называется определенной, если
она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет
более одного решения. В последнем случае каждое ее решение
называется частным решением системы. Совокупность всех частных
решений называется общим решением.
Решить систему – это значит выяснить, совместна она или
несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.
37
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если
каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.
Эквивалентные системы получаются, в частности, при
элементарных преобразованиях системы
при
условии,
что
преобразования выполняются лишь над строками матрицы.
Система линейных уравнений (1.16) называется однородной, если
все свободные члены равны нулю.
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  0,

a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  0,

.......... .......... .......... .......... .......... ...
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  0.
(1.19)
Однородная система всегда совместна, так как x1  x 2  ...  x n  0
является решением системы. Это решение называется нулевым или
тривиальным.
1.3.2. Теорема Кронекера-Капелли
Система линейных алгебраических уравнений (1.16) совместна
тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы (1.18) равен
рангу основной матрицы (1.17), то есть r ( A )  r ( A) .
Если система (1.16) совместна и
1) ранг системы равен числу неизвестных (r(A)=n), то
система имеет единственное решение;
2) ранг системы меньше числа неизвестных (r(A)<n), то
система имеет бесчисленное множество решений.
Рассмотрим второй случай. Пусть r(A)=r<n.Возьмем первые r
уравнений системы (1.16) и оставим в левых частях этих уравнений
первые r неизвестных, а остальные неизвестные перенесем вправо:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1r x r  b1  a1r 1 x r 1  ...  a1n x n ,

a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 r x r  b2  a 2 r 1 x r 1  ...  a 2 n x n ,

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......
a r1 x1  a r 2 x 2  ...  a rr x r  br  a rr 1 x r 1  ...  a rn x n .
“Свободным” неизвестным x r 1 , x r  2 ,..., x n можно придать любые
значения. Тогда соответствующие значения получают неизвестные
x1 , x 2 ,..., x r . Таким образом можно найти частные и общее решения
исходной системы уравнений.
Пример 31. Исследовать на совместность систему
38
 x1  5 x 2  4 x 3  1,

2 x1  10 x 2  8 x 3  3,
3x  15 x  12 x  5.
2
3
 1
Решение. Определим ранги основной матрицы системы и
расширенной матрицы системы. Для этого выпишем расширенную
матрицу системы
 1 5 4 1



A   2 10 8 3 .


 3 15 12 5 
Вертикальной чертой отделим элементы основной матрицы от
свободных членов системы. Умножим элементы первой строки на (-2) и
прибавим к элементам второй строки
1 5 4 1



A ~  0 0 0 1 .


 3 15 12 5 
Элементы первой строки, умноженные на (-3), прибавим к
элементам третьей строки
1 5 4 1


A ~ 0 0 0 1 .


0 0 0 2

Умножим элементы второй строки на (-2) и прибавим к элементам
третьей строки
1 5 4 1


A ~ 0 0 0 1 .


0 0 0 0

Основная матрица системы А эквивалентна матрице
1 5 4


~
A 0 0 0 .
0 0 0


39
В полученной матрице одна ненулевая строка, значит ранг матрицы
A равен 1, то есть r(A)=1. Расширенная матрица системы A
1 5 4 1



эквивалентна матрице A ~  0 0 0 1  .


0 0 0 0
В полученной матрице две ненулевые строки, поэтому r ( A )  2 .
Так как r ( A)  r ( A ) , тогда согласно теореме Кронекера-Капелли
данная система уравнений несовместна.
Пример 32. Исследовать на совместность систему
3 x1  2 x 2  4,

 x1  4 x 2  1,
7 x1  10 x 2  12 ,
5 x  6 x  8,
2
 1
3 x1  16 x 2  5.
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы
3
2 4 


 1  4 1
A    7 10 12 .
5
6 8 


 3  16  5 
Поменяем местами первую и вторую строки
 1  4 1


2 4 
3
A ~  7 10 12 .
5
6 8 


 3  16  5 
Умножим элементы первой строки на (-3) и прибавим к элементам
второй строки
40
1  4

 0 14
 
A ~  7 10
5
6

 3  16
1

7 

12 .
8 

 5 
Элементы первой строки, умноженные на (-7), (-5), (-3) прибавим
соответственно к элементам третьей, четвертой и пятой строк:
1  4

 0 14
 
A ~  0 38
 0 26

0  4
1 

7

19 .
13 

 2 
Поменяем местами строки
1

0
 
A ~ 0
0

0
4
4
14
38
26
1 

- 2

7 .
19 

13 
 1
Умножим элементы второй строки на   
 2
1

0
A ~  0
0

0
 4 1 

2 1

14 7 .
38 19 

26 13 
Элементы второй строки умножим на 7, 19, 13 и прибавим
соответственно к элементам третьей, четвертой и пятой строк:
41
 1  4  1


2 1
0
A ~  0 0 0 .
0
0 0


0 0 
0
Основная матрица системы эквивалентна матрице
1

0
A ~ 0

0

0
4

2
0 ,

0

0
в которой две ненулевые строки, поэтому r(A)=2.
Расширенная матрица системы эквивалентна матрице
 1  4  1


2 1
0

0 0,
A ~  0
0
0 0


0 0 
0
в которой также две ненулевые строки, поэтому r ( A )  2 .
Так как r ( A)  r ( A ) , система совместна. В данной системе
уравнений две неизвестные, то есть r  n , поэтому система уравнений
является определенной.
Найдем единственное решение данной системы. Для этого
восстановим систему по последней матрице
 x1  4 x 2  1,

2 x 2  1.

Из второго уравнения найдем x 2 и полученное значение подставим
1

x  ,
 2 2
в первое уравнение 
 x  4  1  1;
1
2

 x1  2  1,


1
x2  2 ;

Пример 33. Исследовать систему уравнений
42
 x1  1,


1
x2  2 .

 x1  3x 2  2 x 3  1,

 x1  9 x 2  6 x 3  3,
 x  3x  4 x  1.
2
3
 1
Решение. Определим ранг основной матрицы системы и ранг
расширенной матрицы данной системы. Выпишем расширенную
матрицу
 1  3 2  1


A  1 9 6 3  .


1 3 4 1 

Умножим элементы первой строки на (-1) и прибавим сначала к
элементам второй строки, а затем к элементам третьей строки. В
результате получим матрицу, эквивалентную матрице A
 1  3 2  1


A ~  0 12 4 4 .


0 6 2 2 
Элементы второй строки умножим на
строки на
1
, а элементы третьей
4
1
2
 1  3 2  1


A ~  0 3 1 1 .


0 3 1 1 
Элементы второй строки умножим на (-1) и прибавим к элементам
третьей строки
 1  3 2  1



A ~  0 3 1 1 .


0 0 0 0 

Отбросим третью строку, все элементы которой равны нулю
 1  3 2  1
.
(1.20)
A ~ 

0 3 1 1 
43
В результате элементарных преобразований получили две
ненулевые строки.
Ранг основной матрицы системы равен двум r(A)=2.
Ранг расширенной матрицы системы тоже равен двум r ( A )  2 .
Значит, данная система уравнений совместна, а так как число
неизвестных, равное трем, больше, чем ранг, то система уравнений
является неопределенной.
Найдем общее решение системы уравнений.
Воспользуемся матрицей (1.20) для получения системы уравнений,
равносильной данной системе
 x1  3x 2  2 x 3  1,

3x 2  x 3  1.

За базисные неизвестные примем x1 и x 2 , а x3 - свободная
переменная.
 x1  3x 2  2 x 3  1,

3x 2   x 3  1.

Выразим из этой системы x1 и x 2 через x3 :
 x1  1  x 3  1  2 x 3 ,
 x1  3 x 3 ,




1 1
1 1
x 2   x3 .
x


x
;
2
3


3 3
3 3


Пусть x3  С , где С – любое действительное число, получаем
общее решение данной системы уравнений
 x1  3С ,

1 1

x2   С,
3 3

 x 3  С.
Если необходимо найти какое-либо частное решение системы, то
константе С придают любое значение, например: пусть С=1, тогда
получим  3;0;1 .
1.3.3. Матричный метод решения систем
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными
44
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 ,

a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  b2 ,

.......... .......... .......... .......... .......... ...
a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn
 a11

a
Основная матрица системы A   21
...

a
 n1
a12
a 22
...
a n2
(21)
... a1n 

... a 2 n 
.
... ... 

... a nn 
 b1 
 x1 
 
 
x
b 
 2
Обозначим X    , B   2  . Пусть A  0 , то есть матрица А
...
...
 
 
b 
x 
 3
 n
невырожденная. Тогда систему (21) можно представить в виде
уравнения
A  X  B,
(22)
которое называется матричным уравнением. Решим матричное
уравнение. Умножим обе части уравнения (22) слева на A 1 . Получим
A 1  A  X  A 1  B , а так как A1  A  E , E  X  X , тогда
X  A 1  B.
(23)
Равенство (23) называется решением матричного уравнения (22).
Таким образом, чтобы решить систему уравнений (21) матричным
методом, где A  0 , надо найти матрицу, обратную матрице А, и
умножить ее на матрицу-столбец В, состоящую из свободных членов
системы (21).
Пример 34. Решить систему уравнений матричным методом
3x1  2 x 2  2 x 3  13,

 x1  3x 2  x 3  10,
5 x  3x  4 x  23 .
2
3
 1
Решение. Выпишем основную матрицу системы
45
3 2 2


A   1 3 1 .
5 3 4


Проверим, является ли матрица А невырожденной:
3 2 2
A  1 3 1  3  3  4  1  3  2  2 1  5  (5  3  2  1  2  4  3  3 1) 
5 3 4
 36  6  10  30  8  9  5  0,
значит матрица A является невырожденной, поэтому обратная матрица
A 1 к матрице A существует и данную систему уравнений можно
решить матричным методом.
Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A :
A11  (1)11 
3 1
 3  4  3 1  12  3  9,
3 4
A12  (1)1 2 
1 1
 (1  4  5 1)  (4  5)  1,
5 4
A13  (1)13 
1 3
 1  3  5  3  3  15  12 ,
5 3
A21  (1) 21 
2 2
 (2  4  3  2)  (8  6)  2,
3 4
A22  (1) 2 2 
3 2
 3  4  5  2  12  10  2,
5 4
A23  (1) 23 
3 2
 (3  3  2  2)  (9  10 )  1,
5 3
A31  (1) 31 
2 2
 2 1  3  2  2  6  4,
3 1
A32  (1) 3 2 
3 2
 (3 1  1  2)  1,
1 1
A33  (1) 33 
2 1
 3  3  1  2  9  2  7.
1 0
~
Составим матрицу A , присоединенную к матрице А:
46
 9  2  4

~ 
A 1
2  1 .
  12 1
7 

По формуле (15) получим матрицу A 1 , обратную к матрице А:
A
1
 9  2  4

1
  1
2  1 .
5
7 
  12 1
Найдем решение данной системы уравнений по формуле (23)
 x1 
 9  2  4  13 
 9 13  2 10  4  23 
  1
  1 

X   x2    1
2  1  10    113  2 10  1 23  
5
 x  5   12 1

7  23 
 3

  12 13  110  7  23 
 5  1
1   
 10    2 , то есть x1  1, x 2  2, x3  3.
5   
15   3 
Пример 35. Матричным методом решить систему уравнений
 x1  2 x 2  x 3  1,

2 x1  4 x 2  2 x 3  2,
5 x  x  3x  0.
2
3
 1
Решение. Запишем основную матрицу системы A :
 1 2 1 


A   2 4  2
 5 1 3 


1 2 1
и вычислим определитель этой матрицы A  2 4  2 .
5 1 3
В
полученном
определителе
элементы
первой
строки
пропорциональны соответствующим элементам второй строки, тогда по
свойству 6 определителей A  0.
47
Матрица A является вырожденной, а значит решить матричным
методом данную систему невозможно.
1.3.4. Решение систем линейных уравнений
по формулам Крамера
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 ,

a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  b2 ,

.......... .......... .......... .......... .......... ...
a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn ,
определитель основной матрицы которой отличен от нуля, то есть
система уравнений невырожденная.
Обозначим A  . . Определитель  1 получается из определителя
 путем замены элементов первого столбца столбцом из свободных
членов:
b1 a12 ... a1n
1 
Тогда x1 
b2
...
bn
a 22
...
a n2
... a 2n
.
... ...
... a nn
1
.

2
, где  2 получен из  путем замены

элементов второго столбца столбцом из свободных членов;


x 3  3 , и так далее, x n  n .


Формулы

x i  i , i  1, n
(24)

называются формулами Крамера.
Таким образом, невырожденная система n линейных уравнений с n
неизвестными имеет единственное решение, которое может быть
найдено матричным методом (23) или по формулам Крамера (24).
Аналогично
x2 
Пример 36. Решить систему уравнений по формулам Крамера
48
2 x1  3x 2  2 x 3  9,

 x1  2 x 2  3x 3  14,
3x  4 x  x  16 .
2
3
 1
Решение. Составим и вычислим определитель  данной системы
уравнений
2 3 2
  1 2  3  2  2 1  1  4  2  3  (3)  3  (3  2  2  1  3 1  2  4  (3)) 
3 4 1
 4  8  27  12  3  24  6  0.
Данная система является невырожденной, поэтому ее решение
можно найти по формулам Крамера (24).
Вычислим  1 ,  2 и  3 :
9 3 2
 1  14 2  3  9  2 1  14  4  2  16  (3)  3  (16  2  2  14  3 1 
16 4 1
 9  4  (3))  18  112  144  64  42  108  12;
2 9 2
 2  1 14  3  2 14 1  1 16  2  3  9  (3)  (3 14  2  1  9 1  16  (3)  2) 
3 16 1
 28  32  81  84  9  96  18;
2 3 9
 3  1 2 14  2  2 16  1  4  9  3  3 14  (3  2  9  1  3 16  2  4 14 ) 
3 4 16
 64  36  126  54  48  112  12 .
12
18
12
Значит, x1 
 2 , x2 
 3 , x3 
 2 .
6
6
6
1.3.5. Решение систем методом Гаусса
Одним из наиболее универсальных и эффективных методов
решений систем линейных уравнений является метод Гаусса, состоящий
в последовательном исключении неизвестных.
Пусть дана система уравнений
49
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 ,

a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  b2 ,

.......... .......... .......... .......... .......... ...
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bn .
(25)
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На
первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому
(треугольному или трапециевидному) виду. Для этого над строками
расширенной матрицы системы A проводятся элементарные
преобразования, приводящие эту матрицу к ступенчатому виду.
Полученная матрица будет эквивалентной матрице A , значит и
система уравнений, полученная с помощью новой матрицы будет
равносильной данной системе уравнений.
Если в процессе приведения системы (25) к ступенчатому виду
появятся нулевые уравнения, то есть равенства вида 0=0, их
отбрасывают. Если же появится уравнение вида 0  bi , а bi  0, то это
говорит о том, что данная система уравнений несовместна.
Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой
системы. Если в последнем уравнении новой системы содержится одно
неизвестное, то исходная система имеет единственное решение. Из
последнего уравнения находим x n , из предпоследнего уравнения x n 1 ,
далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные
x n  2 , ( x n3 ,..., x 2 , x1 ) . Если в последнем уравнении преобразованной
системы более чем одно неизвестное, то данная система имеет
множество решений (система является неопределенной). Из последнего
уравнения выражаем первое неизвестное x k через остальные
неизвестные
( x k 1 ,..., x n ) . Затем подставляем значение x k в
предпоследнее уравнение системы и выражаем x k 1 через ( x k 1 ,..., x n )
и так далее. Придавая свободным неизвестным ( x k 1 ,..., x n )
произвольные значения, получим бесчисленное множество решений
системы. На практике удобно, чтобы коэффициент a11 был равен 1
(уравнения переставить местами, либо разделить обе части первого
уравнения на a11  1 ).
Пример 37. Решить систему уравнений методом Гаусса:
50
2 x1  x 2  x 3  5,

 x1  2 x 2  2 x 3  5,
7 x  x  x  10 .
2
3
 1
Решение. Составим расширенную матрицу A данной системы
 2 1 1 5 



A   1  2 2  5 .


 7 1  1 10 
Так как a11  2  1 , a 21  1 , поменяем местами первую и вторую
строки матрицы A местами:
 1  2 2  5


A ~  2 1 1 5  .


 7 1  1 10 

Сначала элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к
соответствующим элементам второй строки, а затем элементы первой
строки умножим на (-7) и прибавим к элементам третьей строки:
1  2
2 5


A ~  0 5  5 15  .


 0 15  15 45 

Элементы второй строки умножим на  3 и прибавим к элементам
третьей строки:
1  2
2 5


0
5

5
15  .
~
A 


0
0 0
0

Восстановим систему по последней матрице
 x1  2 x 2  2 x 3  5

5 x 2  5 x 3  15 .

Получили систему, состоящую из двух уравнений и содержащую
три неизвестных, то есть с помощью элементарных преобразований
данную систему уравнений привели к ступенчатому виду, в которой нет
уравнений вида 0  bi , где bi  0 . Поэтому система уравнений имеет
51
бесчисленное множество решений. Выразим x 2 через x3 из второго
уравнения:
 x1  2 x 2  2 x 3  5

x 2  x 3  3.

Подставим полученное выражение x 2 в первое уравнение:
 x1  5  2 x 3  2(3  x 3 ),

x 2  x 3  3;

 x1  5  2 x 3  6  2 x 3 ,  x1  1,


x 2  x 3  3;
 x 2  x 3  3.

Пусть x3  С , где С – любое действительное число, тогда
полученное решение будет называться общим решением
 x1  1,

x2  3  С,
 x  С.
 3
Пусть x 3  2 , тогда получаем решение, которое будет называться
 x1  1,

частным решением системы:  x 2  5,
x  2
 3
Пример 38. Решить систему уравнений методом Гаусса
 x1  2 x 2  2 x 3  5,

2 x1  x 2  x 3  9,
7 x  x  x  14 .
2
3
 1
Решение. Составим расширенную матрицу A данной системы
уравнений
 1  2 2  5



A   2 1 1 9 .


 7 1 1 14 
Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам
второй строки, затем элементы первой строки умножим на (-7) и
прибавим к элементам третьей строки:
52
 1  2 2  5


5  3 19  .


 0 15 13 49 
A ~  0
Элементы второй строки умножим на (-3) и прибавим к элементам
третьей строки:
1  2 2  5 



A ~  0 5  3 19  .


0 0  4  8 
 1
Элементы третьей строки умножим на    :
 4
 1  2 2  5


A ~  0 5  3 19  .


1 2 
0 0

С помощью элементарных преобразований получили матрицу
треугольного вида, значит, данная система уравнений имеет
единственное решение.
С помощью полученной преобразованной расширенной матрицы
запишем соответствующую систему уравнений
 x1  2 x 2  2 x 3  5,

5 x 2  3x 3  19,


x 3  2.

Зная значение x 3  2 , из второго уравнения находим x 2 :
 x1  2 x 2  2 x 3  5,
 x1  2 x 2  2 x 3  5,


5 x 2  19  3  2, или 
x 2  5,



x 3  2.
x 3  2.


Используя значения
x3  2 и
x 2  5 , из первого уравнения
находим x1 :
 x1  5  2  2  2  5,

x 2  5, или окончательно


x 3  2.

53
 x1  1,

 x 2  5,
 x  2.
 3
1.3.6. Однородные системы уравнений
Рассмотрим однородную систему линейных уравнений
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  0,

a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  0,

.......... .......... .......... .......... .......... ...
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  0.
(26)
Однородная система всегда совместна ( r ( A)  r ( A* ) ), она имеет
нулевое (тривиальное) решение x1  x 2  ...  x n  0 .
Для того, чтобы однородная система линейных уравнений имела
ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной
матрицы был меньше числа n неизвестных, то есть r<n.
Если число уравнений m системы совпадают с числом неизвестных
n, то есть m  n , основная матрица системы является квадратной, в
этом случае условие r<n означает, что определитель основной матрицы
системы A  0.
Пример 39. Решить систему уравнений
 x1  2 x 2  x 3  0,

2 x1  9 x 2  3x 3  0.
Решение. Составим основную матрицу системы
 1 2 1
 .
A  
 2 9  3
Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам
второй строки.
 1 2  1   1 2  1
 ~ 
 .
A  
 2 9  3   0 5  1
Получили матрицу ступенчатого вида, в которой две ненулевые
строки, поэтому ранг матрицы A , а значит и расширенной матрицы
A равен 2, то есть r ( A)  r ( A* )  2.
Число неизвестных в системе уравнений равно 3, r<n, поэтому
данная система имеет ненулевые решения.
54
Для составления системы, равносильной данной, воспользуемся
преобразованной матрицей
 x1  2 x 2  x 3  0,

5 x 2  x 3  0.

Из второго уравнения выразим x 2 через x3 , при этом x3 будет
1
x3 .
5
Полученную правую часть равенства подставим в первое уравнение
1
3
и выразим x1 через x3 : x1  x 3  2  x 3 , x1  x 3 .
5
5
Пусть x3  C , тогда общее решение системы можно записать в
виде матрицы-столбца
3 
 C
5 
1
X  X (C )   C .
(27)
5 
 C 




является свободной переменной: x 2 
Пример 40. Решить систему уравнений
3x1  2 x 2  x 3  0,

2 x1  5 x 2  3x 3  0,
3x  4 x  2 x  0.
2
3
 1
Решение. Выпишем основную матрицу системы
3 2 1


A   2 5 3 .
 3 4 2


Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к
соответствующим элементам второй строки умноженным на 3:
3 2 1 3 2 1

 

A   2 5 3  ~  0 11 7  .
 3 4 2  3 4 2

 

Элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам
третьей строки
55
3 2 1 3 2 1 3 2 1

 
 

A   2 5 3  ~  0 11 7  ~  0 11 7  .
 3 4 2  3 4 2  0 2 1 

 
 

Элементы второй строки умножим на (-2) , элементы третьей
строки на 11 и полученные строки сложим
3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 

 
 
 

A   2 5 3  ~  0 11 7  ~  0 11 7  ~  0 2 1  .
 3 4 2   3 4 2   0 2 1   0 0  3

 
 
 

Получили три ненулевые строки, значит ранг матрицы A равен 3,
число неизвестных в системе уравнений тоже равно 3, то есть r ( A)  n ,
значит данная система уравнений имеет единственное решение –
нулевое, то есть
x1  x 2  x3  0 .
Пример 41. Решить систему уравнений
 x1  2 x 2  4 x 3  3 x 4  0,

3 x1  5 x 2  6 x 3  4 x 4  0,

4 x1  5 x 2  2 x 3  3 x 4  0,
3 x1  8 x 2  24 x 3  19 x 4  0.
Решение. Выпишем основную матрицу системы
1

3
A
4

3

2 4  3

5 6  4
5 2 3 

8 24 19 
и найдем ранг этой матрицы.
Элементы первой строки умножим на (-3) и прибавим к элементам
второй и четвертой строк, затем элементы первой строки умножим на
(-4) и прибавим к третьей строке:
2
4 3
1


5
 0 1  6
.
A ~
0  3  18
15 


0
2
12  10 

56
Элементы второй строки умножим на  3 и прибавим к элементам
третьей строки, затем
элементы второй строки умножим на 2 и
прибавим к элементам четвертой строки:
2
4  3
1


5
 0 1  6
.
A ~
0
0
0
0


0
0
0
0 

В преобразованной матрице ступенчатого вида получилось две
ненулевые строки, поэтому ранг матрицы A равен двум, то есть
r ( A)  2 , а число неизвестных в системе уравнений равно 4 ( n  4 ).
Получили, что r  n , поэтому данная система уравнений имеет
ненулевые решения. Укороченная система имеет вид:
 x1  2 x 2  4 x 3  3x 4  0,

 x 2  6 x 3  5 x 4  0.

Выразим
x1
и
x2
через
x3
 x1  3x 4  4 x 3  2(5 x 4  6 x 3 ),
или

 x 2  5x 4  6 x3 ;
 x1  2 x 2  3x 4  4 x 3 ,

x 2  5x 4  6 x3 ;

 x1  8 x 3  7 x 4 ,

 x 2  5x 4  6 x3 .
и
x4 :
Неизвестные x1 и x 2 - базисные, а x3 и x 4 - свободные. Полагая
x3  c1 , x 4  c 2 , получим общее решение системы, записанное в виде
матрицы-столбца (1.27)
 8c1  7c 2 


 5c  6c1 
X  X (c1 ; c 2 )   2
.
c1


 c

2


(28)
Назовем фундаментальной системой решений систему матрицстолбцов, полученную из общего решения при условии, что свободным
неизвестным дают последовательно значения
c1  1, c 2  c 3  ...  c n  0,
c1  0, c 2  1, c 3  ...  c n  0,
.......... .......... .......... .......... .........
c1  c 2  ...  c n 1  0, c n  1.
57
Матрицы-столбцы, то есть фундаментальную систему решений
обозначают E1 , E 2 ,...,E n . Общее решение будет представлено в виде
(29)
X  c1 E1  c 2 E 2  ...  c n E n .
В примере 41 найдем фундаментальную систему решений и
выразим с ее помощью общее решение этой системы.
Из общего решения (28) системы найдем E1 и E 2 :
 8 
 7
 
 
  6
 5 
E1  X (1;0)    , E 2  X (0;1)    .
1
0
 
 
 0 
 1 
 
 
(30)
С использованием фундаментальной системы (30) общее решение
(28) может быть записано в виде (29)
X (c1 ; c 2 )  c1 E1  c 2 E 2 .
1.3.7. Задания для самостоятельного решения.
1. Исследовать совместность следующих систем.
2 x1  x 2  x 3  2,

а)  x1  2 x 2  3x 3  1,
 x  3x  2 x  3;
2
3
 1
 x1  2 x 2  4 x 3  1,

б) 2 x1  x 2  5 x 3  1,
 x  x  x  2;
2
3
 1
2 x1  7 x 2  3x 3  x 4  6,

в) 3x1  5 x 2  2 x 3  2 x 4  4,
9 x  4 x  x  7 x  2;
2
3
4
 1
3x1  2 x 2  5 x 3  x 4  3,

2 x1  3x 2  x 3  5 x 4  3,
д) 
 4 x 4  3,
 x1  2 x 2
 x1  x 2  4 x 3  9 x 4  22;
3x1  5 x 2  2 x 3  4 x 4  2,

г) 7 x1  4 x 2  x 3  3x 4  5,
5 x  74 x  4 x  6 x  3;
2
3
4
 1
 x1  x 2  6 x 3  x 4  6,

3x1  x 2  6 x 3  4 x 4  2,
е) 
2 x1  3x 2  9x 3  2 x 4  6,
3x1  2 x 2  3x 3  8 x 4  7.
2. Решить системы уравнений матричным методом:
 x1  2 x 2  x 3  4,

а) 3x1  5 x 2  3x 3  1,
2 x  7 x  x  8;
2
3
 1
3x1  2 x 2  x3  4,

б)  x1  x 2  x3  2,
4 x  2 x  3x  13;
2
3
 1
58
 x1  x 2  x 3  2,

в) 4 x1  3x 2  3x 3  9,
5 x  6 x  2 x  13;
2
3
 1
4 x1  3x 2  2 x 3  8,

г) 2 x1  5 x 2  3x 3  11,
5 x  6 x  2 x  13;
2
3
 1
 x1  2 x 2  3x 3  6,

д) 2 x1  3x 2  4 x 3  20,
3x  2 x  5 x  6;
2
3
 1
 x1  x 2  x 3  1,

е) 8 x1  3x 2  6 x 3  2,
 4 x  x  3x  3.
1
2
3

3. Решить системы уравнений по формулам Крамера:
7 x1  2 x 2  3x 3  15,
3x1  5 x 2  13,

а) 
б) 5 x1  3x 2  2 x 3  15,
2 x1  7 x 2  81;
10 x  11x  5 x  36;
2
3
 1
 5,
2 x1  x 2

 3x 3  16,
в)  x1

5 x 2  3x 3  0;

 x1  x 2  2 x 3  6,

г) 2 x1  3x 2  7 x 3  16,
5 x  2 x  x  16;
2
3
 1
5 x1  8 x 2  x 3  2,

д) 3x1  2 x 2  6 x 3  7,
2 x  x  x  5;
2
3
 1
2 x1  3x 2  x 3  7,

е)  x1  4 x 2  2 x 3  1,
x  4x
 5.
2
 1
4. Исследуйте системы и в случае совместности решите их методом
Гаусса или Жордана-Гаусса:
6 x1  3x2  4 x3  3,
а) 
3x1  x2  2 x3  5;
3x1  2 x2  3x3  5,

б)  x1  3x2  4 x3  1,
7 x  7 x  2 x  0;
2
3
 1
3x1  2 x 2  x 3  5,

в)  x1  x 2  x 3  0,
4 x  x  5 x  3;
2
3
 1
x

x

x

0,
 1
2
3

д)  x1  x 2  x 3  4,
 x  x  x  2;
2
3
 1
2 x1  3x 2  3x3  2,

г) 2 x1  x 2  x 3  2,
 x  x  x  6;
2
3
 1
2
x

3
x

 1
2 3x 3  3,

е) 2 x1  x 2  7 x 3  5,
 x  x  x  6;
2
3
 1
59
3x1  2 x2  3x3  3,

 x1  2 x2  4 x3  9,
ж) 
2 x1  7 x2  x3  0,
3x1  8 x2  x3  1;
2 x1  x 2  x 3  x 4  1,

 x1  3x 2  x 3  x 4  0,
и) 
3x1  2 x 2  2 x 3  2 x 4  1,
 x1  x 2  x 3  x 4  2;
 x1  x2  2 x3  2 x4  2,

3 x1  2 x2  x3  x4  1,
з) 
5 x1  3 x2  4 x3  2 x4  4,
7 x1  4 x2  7 x3  5 x4  7;
 x1  x 2  2 x 3  x 4  3,

 x1  x 2  x 3  x 4  0,
к) 
 x1  x 2  x 3  x 4  6,
3 x1  x 2  2 x 3  x 4  7.
2 x1  3 x2  x3  x4  2,

7 x1  2 x2  x4  3,
л) 
3 x1  x2  x3  2 x4  7,
3 x1  8 x2  2 x3  x4  5;
4 x1  3 x2  x3  5,

2 x1  x2  2 x3  3,

н) 3 x1  4 x2  3 x3  10 ,
8 x  9 x  4 x  17 .
2
3
 1
7 x1  x2  2 x3  5;
2 x1  3x2  5 x3  x4  x5  0,

 x1  2 x2  3x3  2 x4  2 x5  3,
м) 
4 x1  7 x2  x3  5 x4  3x5  1,
5 x1  9 x2  4 x3  7 x4  5 x5  8;
 x1  2 x2  x3  x4  x5  1,

2 x1  5 x2  6 x3  5 x4  x5  0,

оо)  x1  2 x2  x3  x4  x5  3,
 x  3 x  2 x  2 x  x  1,
2
3
4
5
 1
 x1  4 x2  x3  x4  x5  3.
5. Найти фундаментальную систему решений и общее решение
следующих систем:
3x1  2 x 2  x 3  0,

а) 5 x1  4 x 2  3x 3  0,
4 x  3x  2 x  0;
2
3
 1
2 x1  3x 2  x 3  0,

б)  x1  x 2  x 3  0,
5 x  5  x  0;
2
3
 1
3x1  2 x 2  x 3  0,

в) 2 x1  5 x 2  3x 3  0,
3x  4 x  2 x  0;
2
3
 1
2 x1  x 2  x 3  3x 4  0,

г) 5 x1  4 x 2  x 3  8 x 4  0,
 x  x  2 x  x  0;
2
3
4
 1
 x1  x 2  x 3  x 4  0,

 x 3  5 x 4  0,
д)  x1
 x  2 x  x  3x  0;
2
3
4
 1
 x1  3x 2  x 3  x 4  0,

7 x1  5 x 2  x 3  5 x 4  0,
е) 
3x1  x 2  x 3  2 x 4  0,
5 x1  7 x 2  x 3  4 x 4  0.
60
Ответы. 1.а) система несовместна; б) система совместна;
в) система совместна; г) система несовместна; д) система совместна;
е) система совместна.
2. а) 1;1;1 ; б) (-3;2;1); в) (3;0;1); г) (3;-2;-5); д) (8;4;2); е) (-8;-4;-13).
3. а) (16;7); б) (2;-1;1); в) (1;3;5); г) (3;1;-1); д) (-3;2;1); е) (-1;1;-2).
7 9 3
 51 19 4 
4. а) (с;­ ; - с); б) Ø; в) (-1;3;2); г) (2;3;1); д) (2;1;3); е)  ; ; 
5 5 2
 11 11 11 
; ж) (1; 0; 2); з) (5с-5;7с-7;с;0); и) ( 1; x 4  1;2 x 4  2; x 4 ); к) ( 2;3  x 4 ;1; x 4
);
c
c
c
л) Ø; м) Ø; н) (0; ­1; 2); о) (  ;1  ;0;1  ; c ).
2
2
2
1
3 

5. а) ( c;2c; c ); б) (0;0;0); в) (0;0;0); г)  c; c;0; c  ;
4
4 

5
1 

д)  c1 ; c 2 ; c1  c 2 ; c 2  ; е)
4
4 

c  5c 2  4(c1  c 2 ) 

;
 c1 ; c 2 ; 1
 .
3
3


61