А -1

Государственное бюджетное профессиональное
образовательное учреждение
«Курганский технологический колледж
имени Героя Советского Союза Н.Я. Анфиногенова»
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
по теме «Матрицы и определители»
для студентов специальностей
120714 Земельно-имущественные отношения
230111 Компьютерные сети
230401 Информационные системы (по отраслям)
230701 Прикладная информатика (по отраслям)
210414 Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по
отраслям)
Курган, 2014
Составитель: Сапожникова Е.В., преподаватель ГБПОУ КТК
Рецензенты:
1. Колотовкина Е.Ю., преподаватель первой категории ГБПОУ КТК
2. Папулова Е.В., преподаватель высшей категории ГБПОУ КТК
Сборник теоретических основ и заданий по организации работы студентов
преподавателями
дисциплины
математика
в
учреждениях
среднего
профессионального образования.
ВВЕДЕНИЕ
Основной трудностью при изучении данной темы в средних
специальных учебных заведениях является большой объем изучаемого
материала при ограниченном количестве времени. Поэтому основная
цель создания этой рабочей тетради – существенно сэкономить время
урока и личное время каждого учащегося.
В этой тетради уже проделана вся рутинная работа по записи
определений, формулировок и теорем. Кроме того, многие решения уже
выполнены полностью или частично, что помогает усвоению и легкому
запоминанию пройденного.
В тетради предоставлены типовые задачи, решение которых
облегчит подготовку к письменным работам и зачетам.
3
Тема 1: Матрицы, действия над матрицами
Матрицей называется множество чисел образующих прямоугольную таблицу,
которая содержит m строк и n столбцов. Для записи матрицы используют
 а11

а
следующее обозначение  21
...

a
 m1
а12
а 22
...
am2
... а1n 

... а 2 n 
... ... 

... a mn 
Для любого элемента первый индекс- номер строки, второй- номер столбца.
Виды матриц: 1. Прямоугольная:
а
 а11 а12

А=  а21 а22


а13 

а 23 


а 
2. Квадратная: В=  11 12 
 а 21 а 22 
Число строк квадратной матрицы называется ее порядком.
Диагональ а11-а22 –главная, а12-а21 – побочная.
Матрица, у которой отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной
диагонали, называется диагональной.
2
0 
 - Диагональная матрица 2-го порядка
Пример: А= 
 0  4
 3 0 0


В=  0  9 0  -Диагональная матрица 3-го порядка
 0 0 4


1 0 0


Е=  0 1 0  - Единичная матрица 3-го порядка
0 0 1


0 0
 - Нулевая матрица
0 0
О= 
4
Два матрицы называются равными, если имеют одинаковое число строк m и
одинаковое число столбцов n и их соответствующие элементы равны.
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой.
Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом.
Треугольной называется квадратная матрица, все элементы которой,
расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.
Различают соответственно верхнюю и нижнюю треугольные матрицы:
2
Пример: А=(0
0
6 9
7
5 −9) – верхняя; В=( 4
0 5
−9
0 0
−6 0)-нижняя.
1 9
Квадратная матрица называется симметрической, если равны элементы,
симметричные относительно главной диагонали.
1 5 7
−2
Пример: А=(5 2 3) ; В=(
8
7 3 0
8
).
−2
Линейные операции над матрицами
Суммой матриц А и В называют такую матрицу М, элементы которой равны
сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только
матрицы, имеющие одинаковое строение.
7 
 42 12 10    100 8
  58 20 17 

 



Найти суммы матриц: 1.   5 0 4  и  0 68 8  Ответ:   5 68 12 
  7 10 50   7
 0 10 10 
0  40 

 


 18 32 4    17  32  4 

 

2.   7 15  12  и  7  14 12 
 31 14  3    31  14 4 

 

Ответ: Е
Можно ли сложить две матрицы размерами 2х3 и 3х2?
5
Свойства сложения матриц:
1. А+В=В+А (переместительный закон)
2. (А+В)+С=А+(В+С) (сочетательный закон)
3. А+0=А (0-нулевая матрица)
4. Для любой матрицы А существует матрица –А, такая, что А+(-А)=0.
Произведением матрицы А на число К называется такая матрица КА, каждый
элемент которой равен КАij , т.е. умножение матриц на число сводится к
умножению на это число всех элементом матрицы.
 2 1 4 
 6  3 12 




Умножить матрицу А=  0 5  3  на К=3. Ответ: 3А=  0 15  9 
 2 1
 6 3
0 
0 


Найти линейные комбинации матриц:
 2 4 0 
 4 1  2




1. 3А-2В, если А=   1 5 1  , В=  0  3 5  .
0
 2 0  4
3  7 



Подсказка: 1. Найти матрицу 3А;
3. Найти разность 3А-2В.
2. Найти матрицу 2В;
  2  10 4 


Ответ:   3 21  7 
  4 9  13 


3 
2  6 1
 5 2
 9  14  1






2. 2А-В, если А=  3 0 4  , В=  0  1  2  . Ответ:  6 1 10 












Умножение матриц
Рассмотрим умножение квадратных матриц 2-го порядка:
6
 а11
 а 21
Пусть А= 
а12 
в 
а11в12  а12 в 22 
в
а в а в

 , В=  11 12  , тогда АВ=  11 11 12 21
а 22 
 в 21 в 22 
 а 21в11  а 22 в 21 а 21в12  а 22 в 22 
Найти произведение матриц, сверить с ответом:
 4 3
5 2 
 и В= 
 .
8 0
 1 1
1. А= 
Решение: а11=
а12=
а21=
а22=
 23 5 

 40 16 
Ответ: АВ= 
1 2 1

1 3  
  3 1 0 
2. 
1 2  



Решение: а11=
а12=
а21=
а22=
а13=
а23=
10 5 1 


Ответ:  7 4 1 




 3 1 1   1 1  1



3.  2 1 2   2  1 1 
 1 2 3  1 0 1 



Решение: а11=
а12=
а13=
а21=
а22=
а23=
а31=
а32=
а33=
 6 2  1


Ответ:  6 1 1 
8 1 4 


0   12 1
4 3


4.  5 2 1   4  1
 0  2  1   2 0







Решение: а11=
а21=
7
а12=
а22=
а31=
 60 1

Ответ:  66 3
 6 2






Найти произведение матриц:
1 2 3
1 2 1
5.(
) (2 0 1) Решение:
3 1 0
3 5 4
Ответ:
5
3 −7 4 −1
6.(−1 6 −3) (4 −2
2 0
2 −4 1
3
−6) Решение:
3
Ответ:
0
 7 8

12 1  2
7. 
4 3 1

 1 1 2

4  1 1 0 3


0  10 1  3 4 
Решение:
1  0
5  2 3


5   1  2 0 0 
Ответ:
8
а32=
Свойства произведения матриц:
1. А(ВС)=АВ(С)
2. А(В+С)=АВ+АС
3. (А+В)С=АС+ВС
4. к(АВ)=(кА)В
Тема 2: Определители
Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число detA (или А , или  ),
называемое ее определителем, следующим образом:
1. n=1; А=(а1); detA=а1
 а11
 а 21
а12 
а
а12
 ; detA= 11
=а11а22 - а12а21
а 22 
а 21 а 22
  3  3
 ;  = -18- (-6)=-12
А= 
6 
 2
2. n=2; А= 
Пример:
 а11 а12

3. n=3; А=  а21 а22
а
 31 а32
а13 

а 23  ;
а33 
detA=а11 а22 а33 + а12 а23 а31 +а21 а32 а13 –а31 а22 а13 –а21 а12 а33 –а32 а23 а11
Пример:
 2 1 1 


А=   3 1  4  ;
 2
0  3 

 =2∙1∙(-3)+(-1)∙(-4)∙2+(-3)∙0∙1-1∙1∙2-(-3)∙(-1)∙(-3)-0∙(-4)∙2=
-6+8-0-2+9-0=9.
Для удобства вычисления и более легкого запоминания формулы применяют
графическое правило:
* * * * * * * * *
* * *=* * *-* * *
* * * * * * * * *
Правило Сарруса
Вычислить определители матриц и сверить с ответом:
 2  3
 ;  =
5 6 
1. 
=27
9
а  в а  в
 ;  =
а

в
а

в


2. 
=2ав-2в2
5  2 1 


3.  3 1  4  ;  =
 6 0  3


=9
Вычислить определители:
3 2 1
4. 2 5 3
3 4 3
Решение:
3 4 5
5. 8 7  2
2 1 8
5 0 0
6. 3 2 0
0 7 1
Решение:
Решение:
Основные свойства определителей:
1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с
соответствующими столбцами (т.е. транспонировать)
а11
а12
а 21 а 22
=
а11
а 21
а12
а 22
Примеры: 1.
(свойство равноправности строк и столбцов)
3 2
=
5 4
3 5
=
2 4
3 4 2
2. 0 1 5 =
2 1 4
3 0 2
4 1 1 =
2 5 4
2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель изменит свой знак на
противоположный.
а11
а12
а 21 а 22
=-
а 21 а 22
а11
а12
10
1 2 3
Пример: 2  4 1 =
3 5 2
2 1 3
поменяем местами 1-й и 2-й столбцы:  4 2 1 =
5 3 2
3. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за
знак определителя:
Пример:
3 2
=
7 6
а11 ка12
а
а
=к 11 12
а 21 ка 22
а 21 а 22
-2
3 1
=
7 3
4. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен 0.
1 1 3
Пример: 1 1 3 =
2 1 4
5. Из свойств 3 и 4: Если все элементы двух строк (столбцов) определителя
пропорциональны, то определитель равен 0.
3 7 1
Пример: 2 3  1 =
4 6 2
6. Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить
соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на
одно и то же число, то определитель не изменится.
а11
а12
а 21 а 22
=
Пример:
а11  ка12
а11
а 21  ка 22
а 22
3 4
=
5 6
Умножим 1-й столбец на 2 и сложим со вторым:
3 10
=
5 16
7. Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (ниже)
главной диагонали,- нули, равен произведению элементов главной
диагонали.
11
а11
а 21
а31
0
а 22
а32
0
а11
0 = 0
а33
0
а12
а 22
а32
а13
а 23 =а11 а22 а33
а33
5 10  10
Пример: 0  2 4 =
0 0
1
8.Если какая-либо строка (столбец) определителя состоит из одних нулей, то
определитель=0.
9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их
определителей.
Тема 3: Миноры и алгебраические дополнения элементов
определителя
Минором Мij определителя ∆, где I и j меняются от 1 до n, называется такой
новый определитель, который получается из ∆ вычеркиванием строки и
столбца, содержащих данный элемент.
а11
Пример: Из ∆= а 21
а31
а12
а 22
а32
а13
а
а 23
а 23 можно получить М12= 21
а31 а33
а33
1 2
3
0 1 5
Задание: Записать и вычислить М32 и М24 определителя ∆=
3 2 1
1 4 3
1 3 4
Решение: М32= 0 5 2 =
1 3 2
4
2
4
2
М24=
Алгебраическим дополнением элемента Аij называется минор этого
элемента, взятый со знаком (-1)i+j. Аij=(-1)i+j Мij.
Примеры: 1. Найти алгебраические дополнения элементов а13 , а21 , а31
1 2 3
определителя ∆= 2 0  3 .
3 2 5
12
Решение: А13=(-1)1+3∙
2 0
=
3 2
А21=(-1)1+2∙
2 3
=
2 5
А31=
2. Найти алгебраические дополнения элементов а12 , а22 , а32 определителя ∆=
2 0 4
 1 7 0 . Решение: А12=
0 5 2
А22=
А32=
Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца:
Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя ∆
на их алгебраические дополнения равна этому определителю.
∆=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin
или
∆= a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj
Эти соотношения называются разложением определителя по элементам i –той
строки или j-го столбца.
3
1 2
Пример: Определитель ∆=  1 2 5
0 4 2
а) разложить по элементам 1 строки
б) по элементам 2-го столбца
Решение: а) ∆=3
2 5
1 5
1 2
-1
+2
=
0 2
4 2
0 4
б) ∆ =
Вычислить определители любым способом:
3 5
0
1. 4 7  10 =
10 11 3
1 2 3
2. 2 0 6 =
3 8 12
13
3
2
3.
0
5
0 2
3 1
4 2
2 0
0
4
=
3
1
2 1 1 0
0 1 2 1
4.
=
3 1 2 3
3 1 6 1
2 9 0
8
 4 20 10 1
7.
=
1 1 1 2
0 5 5 3
14
1 2 3 4
5 6 7 8
9.

9  10 11  12
13  14 15  16
1 2  3 4
5 6 7 8
10.
=
 9 10  11 12
 13 14  15 16
1 2
3
4
4 3 2
1
11.
=
5
6 7 8
8
7
6 5
15
Практическое занятие №1
8 −6 1
2) (
)0 4 −6
−9 0
Определите тип матриц: 1) (
)1 2
3) (2 1
12)
4
4) (−8)
0
 6 4

6) Найти 3А+2В, если А=  3  2
1 5

2
5
7
5) (−9 8 44)
12 −5 6

 0 1


 , В=   2 5

 4
0




 . Ответ:


Решение:
 2  1
 1 2
  7  4
 , В= 
 , С= 
 . Ответ:
  4 0
 18  8 
 3 4 
7) Найти 2А+3В-С, если А= 
Решение:
−1
8) Найти А2- 3А+5Е, если А=(
2
−3
). Ответ:
4
Решение:
16
Найти произведение матриц:
2
3
1 −1 0
1) А=( 0 −2) и В= (
2 1 −2
−1 4
3
)
−4
Решение:
8
1
Ответ: (−4 −2
7
5
2) А=(
−6 − 6
4
8 )
−8 − 19
1 2 0 −1
1 2 −3
и
В=
)
(2 1 1 − 2 )
6 0 2
3 1 0
2
Решение:
−4 1 2 − 11
Ответ: (
)
12 14 0 − 2
0 1
2
1 4
3) А=(
) и В= (−2 5)
−4 0,5 3
−1 9
Решение:
Ответ:
Убедитесь, что АВ ≠ ВА, если:
17
1) А=(
3 4
8 1
), В=(
)
5 1
2 3
Решение:
32 15
Ответ: АВ=(
) , ВА=
42 8
1
2
2) А=(−1 0
0 −2
−1
−1 0
1
2 ), В=( 2 −1 1 )
1
1
0 −2
Решение:
2 −2 5
Ответ: АВ=( 3
0 −5)
−3 2 −4
1
3) А=(3
2
,
ВА=
−3 2
2 5 6
−4 1), В=(1 2 5)
−5 3
1 3 2
Решение:
Ответ: АВ=
, ВА=
18
Вычислить определители:
1) |
4 −5
|=
3 −3
2) |
cosx sinx
| =
−sinx cosx
а+в
а
3) |
|=
а
а−в
2
4) |а ав2 | =
ав в
1 2 3
5)|4 5 6| =
7 8 9
2 0 0
6)|0 5 0 | =
0 0 −4
2 3 −4
7)|5 6 7 |=
8 0 3
2
2
8)|
6
2
3 −3 4
1 −1 2
|=
2 1 0
3 0 5
3 −1
5
2
9)|
0
2
6 −2
4
2
0
1
|=
1 −3
9
8
19
Домашнее задание
5
Найти произведение матриц: А = (6
4
8 −4
3
9 −5) и В=(4
7 −3
9
1
2
5
6
Вычислить определитель: |
9 10
13 14
3
4
7
8
|
11 12
15 16
2 5
−1 3)
6 5
Тема 4: Транспонирование матриц. Обратная матрица
Матрица АТ, полученная из данной матрицы А заменой каждой ее строки
столбцом с тем же номером, называется транспонированной относительно
матрицы А.
1
А=( 2
−2
0 3
4 6)
1 3
1
АТ=(0
3
2 −2
4 1)
6 3
Обратная матрица
Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен о.
Если А-квадратная матрица, то обратной по отношению к ней называется
20
матрица А-1: АА-1=А-1А=Е
Если обратная матрица А-1 существует, то матрица А называется обратимой.
Теорема: Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и
достаточно, чтобы матрица А было невырожденной.
А11 А21 … А𝑛1
А22 А𝑛2 )
А = (А12
∆
А1𝑛 А2𝑛 А𝑚𝑛
-1
1
Найти обратную матрицу для матрицы А:
1) А=(
1 4
)
6 −2
−2 −6
Решение: D=-26≠0 A11= -2, A12=-6, A21= -4, A22=1, В=(
)
−4 1
1
−2 −4
ВТ=(
) А-1= −
−6 1
−2
(
26 −6
2
−4
) = (13
3
1
1
13
13
1
−
)
26
Проверка: АА-1=Е
2 3
2) А=(
)
−1 1
Решение: D=5≠0, A11=
ВТ=
A12=
A21=
A22=
В=
0,2 −0,6
= (
)
0,2 0,4
А-1=
Проверка: АА-1=Е
1
3) А=(0
3
2 3
−1 2)
0 7
Решение: D=
A21=
≠0
A11=
A12=
A22=
A13=
A23=
21
A31=
A32=
A33=
−
Т
В=
В=
А =
-1
1
2
3
7
3
( 14
Проверка: АА-1=Е (самостоятельно)
3 −3 1
4) А=(−3 5 −2)
1 −2 1
1
А = (1
1
1 1
2 3)
3 6
4
5) А=(0
3
0 5
1 −6)
0 4
-1
4
0
А = (−18 1
−3 0
-1
D=1≠0
D=1≠0
−5
24 )
4
22
−1
−
3
7
1
7
1
2
−
−
1
7
1
14)
3
6)А=(4
3
1 −2
2
1)
−1 5
D=36≠0
11 −3
5
А = (−17 21 −11)
36
−10 6
2
-1
1
2
7)А=(3
2
1 −1
−2 1 )
0 −1
D=5≠0
0,4 0,2 −0,2
0
−1 )
А =( 1
0,8 0,4 −1,4
-1
Практическое занятие №2
Транспонировать матрицы:
0
А=(
1
−2
)
4
15 −3 1
2) В=(−1 −1 0)
0
7 1
Вычислить обратную матрицу, выполнить проверку:
23
1) А=(
1 2
)
3 4
2 −3
2) В=(3 −1
1 1
1
0)
1
3 −4 5
3) D=(2 −3 1 )
3 −5 −1
4 1
4) F=(1 3
1 1
1
1)
2
2 1 −1
5) F=(3 2 −2)
1 −1 2
24
Домашнее задание
Вычислить обратную матрицу, выполнить проверку:
−1 2
1)А=(
)
−3 4
2 −1
2) В=(3 2
2 0
1
−1)
−1
25
Тема 5: Решение систем линейных уравнений методом
Крамера
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:
А11х1+а12х2+а13х3+...+а1nxn=в1
А21х1+а22х2+а23х3+...+а2nxn=в2
......
Аn1х1+аn2х2+аn3х3+...+аnnxn=вn
Система n линейных уравнений с N неизвестными, определитель которой не
равен 0, всегда имеет решение и притом единственное.
Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных
равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель
получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при
искомом неизвестном на столбец свободных членов.
5 х  3 у  12;
2 х  у  7.
Примеры: 1.Решить систему линейных уравнений 
5 3 12
Решение: (
) − расширеная матрица,
2 −1 7
∆=
5 3
12 3
=-11,  х=
=-33,
2 1
7 1
 у=
5 12
=11
2 7
Найдем х и у по формулам Крамера: х=
х + 2у + 3𝑧 = −5;
2. { −3х + 𝑧 = −3;
2х + у − 𝑧 = 5
∆=-12,
1
(−3
2

х
=3, у= у =-1


Ответ: (3;-1)
2 3 −5
0 1 − 3 ) − расширеная матрица,
1 −1
5
−5 2 3
0 1 |=
5 1 −1
 х=|−3
 у=
26
 z=
Найдем х,у и z по формулам Крамера:
х=
х
=

у=
у

=
z=
Ответ: (0;2;-3)
3х  2 у  z  3;
3. 5 х  2 у  2 z  3;
 x  y  z  2.

Ответ: (1;-1;2)
Практическое занятие №3
Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
1) {
3х − 2у = 5;
6х − 4у = 11
5х + 8у + 𝑧 = 2;
2){3х − 2у + 6𝑧 = −7;
2х + у − 𝑧 = −5
27
z
=

2х − 3у + 𝑧 = −7;
3) {х + 4у + 2𝑧 = −1;
х − 4у = −5
2х + 5у + 4𝑧 + 𝑡 = 20;
х + 3у + 2𝑧 + 𝑡 = 11;
4*){
2х + 10у + 9𝑧 + 9𝑡 = 40;
3х + 8у + 9𝑧 + 2𝑡 = 37
Домашнее задание
2х − 7у + 𝑧 = −4;
{ 3х + у − 𝑧 = 17;
х − у + 3𝑧 = 3
28
Тема 6. Решение систем линейных уравнений методом
Гаусса
Метод Крамера –для СЛУ из 3 уравнений, Гаусс-если больше!
Метод состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной
(т.е. имеющей такое же решение) с треугольной матрицей. Для этого используют
следующие преобразования:
1. Умножение или деление коэффициентов и свободных членов на одно и
то же число.
2. сложение и вычитание уравнений.
3. Перестановку уравнений системы.
4. Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при
неизвестных и свободные члены равны 0.
Т.о. для нахождения всех решений СЛУ надо:
1) Выписать расширенную матрицу этой системы
2) привести матрицу к ступенчатому виду
3)выписать соответствующую ступенчатую СЛУ
4) Решить СЛУ, двигаясь снизу вверх
Решить системы линейных уравнений:
 х  4 у  2 z  0;

1. 3х  5 у  6 z  21;
3x  y  z  4.

29
Ответ: (-2;-3;5)
5 х  5 у  4 z  3;
2.  х  у  5 z  11;
4 x  3 y  6 z  9.

Ответ: (-
120 43 58
;- ;- )
7
3 21
 х  2 у  3z  4t
2 х  3 у  4 z  t
3. 
3x  4 y  z  2t
4 x  y  2 z  3t
 11;
 12;
 13;
 14.
Ответ: (2;1;1;1)
30
3х  2 у  3z  5t  10;
2 х  у  5 z  t  5;
4. 
 x  y  3z  2t  2;
2 x  2 y  z  t  1.
Ответ: (1;0;1;2)
3 х  7 у 7 z  2t  22;
 х  8 у  10 z  3t  35;
5. 
4 x  7 y14 z  5t  48;
 x  2 y  3 z  t  12.
Ответ: (1;0;-3;-2)
31
Практическое занятие №4
2х + у − 𝑧 = 1;
1) { х + у + 𝑧 = 1;
3х − у + 𝑧 = 4
2х + у − 3𝑧 = −5;
2) { х − 2у + 2𝑧 = 17;
х + у + 3𝑧 = 4
3х − 5у + 𝑧 = −1;
3) {12х + 3у − 15𝑧 = 42;
−3х + 4у + 2𝑧 = −1
х − 3у + 4𝑧 + 5𝑡 = 6;
2х + у + 3𝑡 = −4;
4) {
3х − 5у + 2𝑧 = 20;
2х + 4у − 10𝑧 + 𝑡 = −26
32
3х − у + 2𝑧 + 𝑡 = 5;
5у − 2𝑧 − 3𝑡 = 0;
5) {
−10у + 𝑧 − 𝑡 = −10;
х + 2у − 𝑧 = 2
Домашнее задание
х + у + 4𝑧 + 3𝑡 = 2;
х − у + 12𝑧 + 6𝑡 = 6;
{
4х + 4у − 4𝑧 + 3𝑡 = 0;
2х + 2у + 8𝑧 − 3𝑡 = 1
33
Примерный вариант контрольной работы
Задание 1.
1 0
Даны матрицы: А= (
4 5
Найти а) А+В;
1
3
−1
) и В= (
1 −1
4
0 5 12
).
−2 1 2
б) 4А-2В; в) ВТ.
Задание 2.
0 1 −3
4 −1
Даны матрицы А= ( 5 6 4 ) и В=(5 2
−1 0 2
0 1
0
−2).
3
Найти А∙В и В∙А.
Задание 3.
−3
Вычислить определители: а) |
10
1 3
−1
| ; б) |−1 2
−6
0 3
Задание 4.
1
Найти А , если А=| 5
−1
-1
−2 6
4 0|.
0 1
Задание 5.
3х + 2𝑦 + 𝑧 = 5
Решить СЛУ методом Крамера: : { 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 + у + 2𝑧 = 11
Задание 6.
3х − 𝑦 = 5
Решить СЛУ методом Гаусса: : { −2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 15
34
2
4 |.
−2