гебра в Ð

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»
В. Д. Бочкарева
Алгебра в примерах и задачах.
Фактор-кольца. Поле расширения многочлена f над полем K
Учебно-методическое пособие
Саранск 2012
Фактор–кольцо
Пусть K –произвольное кольцо, J – его двусторонний идеал. Тогда
можно построить фактор–группу аддитивной группы кольца K по
подгруппе, состоящей из всех элементов идеала J . Если в этой фактор–
группе K   |   r  J , r  K  ввести еще операцию умножения по
J
правилу r1  J   r2  J   r1  r2  J , где r1 , r2  K , то получится кольцо,
называемое фактор–кольцом кольца K по двустороннему идеалу J . Это
фактор–кольцо обозначается символом K .
J
Задача 77. Построить фактор–кольцо  .
2
Решение. Фактор–кольцо 
состоит всего из двух элементов: класса
2
J и класса 1  J , где J  2. Сложение и умножение в 
2
осуществляется согласно следующих таблиц Кэли:
J
1 J
J
1 J


J
J
1 J
J
J
J
1 J
1 J
J
1 J
J
1 J
Задача 78. Построить фактор–кольцо 12 по идеалу J  6 .
Решение. 12  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 , J  0, 6. Найдем фактор–
12 . Она состоит из классов J  0, 6, A  1  J  1; 7,
J
B  2  J  2; 8 , C  3  J  3; 9 , Д  4  J  4; 10 , H  5  J  5;11 .
12
Сложение и умножение в
осуществляется по следующим
группу
таблицам Кэли:
J

A B
J
J
A B
A A B С
B B С D
С С D H
D D H J
H H J
A
J
С
С
D
H
J
A
B
D
D
H
J
A
B
С
H
H
J
A
B
С
D

J
J
J
J
J
J
J
A
J
A
B
С
D
H
B
J
B
D
J
B
D
С
J
С
J
С
J
С
D
J
D
B
J
D
B
H
J
J
A
H
B
D
С
С
D
B
H
A
12 есть кольцо с единицей J и
Из таблицы умножения видно, что
J
делителями нуля, которыми являются классы A, B, C , D
Кольцо классов вычетов по mod f  x , где f  x  –многочлен
истинной степени n , заданный над полем K
Пусть f  x   a 0 x n  a1 x n 1    a n , a 0  0 .
Разделим каждый многочлен из кольца K x  на f  x  и отметим множество
остатков, получающихся при этом делении:
R  r | r  c 0 x n 1  c1 x n 1    c n  2 x  c n , c 0 , c1 ,  , c n 1  K .
Построим множество классов K x
  |   Clr  x  , r  x   R .
f x
Сложение и умножение в K x
производим по правилам:
f x
Clr1  x   Clr2  x   Clr1  x  r2  x  ,
Clr1  x   Clr2  x   Cl r1  x r2  x  .




В итоге получается фактор-кольцо кольца K x  по mod f  x .

Задача 79. Построить фактор–кольцо 2 x 2
.
x 1
Решение. Рассмотрим все остатки, которые получаются при делении
многочленов из 2 x  на x 2  1 : r  x   a 0 x  a1 , a 0 , a1  2 . Множество
остатков R  0, 1, x, x  1.
 x 
 Cl0 , Cl1 , Cl x , Cl x 1 . Таблицы сложения и
Следовательно, 2
x2  1
умножения выглядят следующим образом:
Cl x 1
Cl 0
Cl1
Cl x
Cl 0
Cl1
Cl x Cl x 1


Cl x 1
Cl 0
Cl 0
Cl1
Cl x
Cl1
Cl1
Cl 0
Cl x 1 Cl x
Cl x
Cl x
Cl x 1 Cl 0
Cl x 1 Cl x 1 Cl x
Cl1
Cl 0
Cl 0
Cl 0
Cl 0
Cl 0
Cl1
Cl 0
Cl1
Cl x
Cl x 1
Cl1
Cl x
Cl 0
Cl x
Cl1
Cl x 1
Cl 0
Cl x 1
Cl 0
Cl x 1
Cl x 1 Cl 0
Построение поля расширения многочлена f  x  над полем K
Если многочлен f  x   a 0 x n  a1 x n 1    a n  K x , где K – поле, не
имеет в этом поле ни одного корня, то всегда можно построить новое поле 
, которое содержит в себе как часть поле K и имеет хотя бы один корень
многочлена f  x  (причем это поле минимальное). Такое поле  называется
полем расширения многочлена f  x  .
Задача 80. Построить поле расширения многочлена
f  x   x 2  1  3 x  .
Решение.
3  0, 1, 2 . Для многочлена f  x 2  1 ни один из элементов поля 3
3 x
 Cl0 , Cl1 ,
корнем не является. Построим фактор–кольцо
x2 1
Cl 2 , Cl x , Cl x 1 , Cl x  2 , Cl 2 x 1 , Cl 2 x  2  . Сложение и умножение в этом кольце
осуществляется по таблицам:
Cl x 1 Cl x  2 Cl 2 x 1 Cl 2 x  2 Cl 2 x
Cl 0
Cl1
Cl 2
Cl x

Cl x 1 Cl x  2 Cl 2 x 1 Cl 2 x  2 Cl 2 x
Cl 0
Cl 0
Cl1
Cl 2
Cl x
Cl 2 x  2 Cl 2 x Cl 2 x 1
Cl x 1 Cl x  2 Cl x
Cl1
Cl1
Cl 2
Cl 0
Cl x  2 Cl x
Cl x 1 Cl 2 x Cl 2 x 1 Cl 2 x  2
Cl 2
Cl 2
Cl 0
Cl1
Cl x 1 Cl x  2 Cl 2 x Cl 2 x 1 Cl 2 x  2 Cl1
Cl x
Cl x
Cl 2
Cl 0
Cl x 1 Cl x 1 Cl x  2 Cl x
Cl 2 x 1 Cl 2 x  2 Cl 2 x
Cl 2
Cl 0
Cl1
Cl x  2 Cl x  2 Cl x
Cl x 1 Cl 2 x  2 Cl 2 x Cl 2 x 1 Cl 0
Cl1
Cl 2
Cl 2 x 1 Cl 2 x 1 Cl 2 x  2 Cl 2 x
Cl x  2 Cl x
Cl x 1
Cl1
Cl 2
Cl 0
Cl 2 x  2 Cl 2 x  2 Cl 2 x Cl 2 x 1 Cl 2
Cl x 1 Cl x  2
Cl 0
Cl1
Cl x
Cl x 1 Cl x  2 Cl x
Cl 2 x
Cl 2 x Cl 2 x 1 Cl 2 x  2 Cl 0
Cl1
Cl 2

Cl 0
Cl1
Cl 2
Cl x
Cl x 1
Cl x  2
Cl 2 x 1
Cl 2 x  2
Cl 2 x
Cl 0
Cl 0
Cl 0
Cl 0
Cl 0
Cl 0
Cl 0
Cl 0
Cl 0
Cl 0
Cl x 1 Cl x  2 Cl 2 x 1 Cl 2 x  2 Cl 2 x
Cl1
Cl 2
Cl x
Cl 0
Cl 0
Cl 0
Cl 0
Cl 0
Cl 0
Cl 0
Cl 0
Cl x 1 Cl x  2 Cl 2 x 1 Cl 2 x  2 Cl 2 x
Cl1
Cl 2
Cl x
Cl 2
Cl1
Cl 2 x Cl 2 x  2 Cl 2 x 1 Cl x  2 Cl x 1 Cl x
Cl x  2 Cl 2 x  2 Cl x 1 Cl 2 x 1 Cl1
Cl x
Cl 2 x
Cl 2
Cl x 1 Cl 2 x  2 Cl x  2 Cl 2 x
Cl 2 x 1
Cl1
Cl 2
Cl x
Cl x  2 Cl 2 x 1 Cl 2 x  2 Cl1
Cl x 1
Cl x
Cl 2 x
Cl 2
Cl 2 x  2
Cl 2 x 1 Cl x  2 Cl x 1 Cl 2
Cl 2 x
Cl x
Cl1
Cl 2 x  2 Cl x 1 Cl 2 x 1 Cl x
Cl x  2
Cl 2
Cl1
Cl 2 x
Cl 2 x 1 Cl x 1 Cl 2 x  2 Cl x  2 Cl 2
Cl 2 x
Cl x
Cl1
Заметим, например, надо умножить Cl x 1 на Cl x  2 :
x  1x  2  x 2  2 ;
делим x 2  2 на x 2  1 ; в остатке получаем 1; Cl x 1  Cl x  2  Cl1 .
3 x
Фактор–кольцо
является полем, т. к. в нем каждый
x2  1
отличный от Cl 0 элемент обратим: Cl1 1  Cl1 , Cl2 1  Cl2 , Cl x 1  Cl2 x
, Cl x1 1  Cl x2 , Cl x2 1  Cl x1 , Cl2 x1 1  Cl2 x2 , Cl2 x2 1  Cl2 x1 ,
Cl2 x 1  Cl x .
Рассмотрим M  Cl 0 , Cl1 , Cl 2  . Структура M изоморфна полю
3 :
h : M  3
Cl0  0
.
Cl1  1
Cl 2  2
Условия изоморфизма выполнены, т. к. Cl  Cl      , Cl  Cl  
    , при любых  ,   M .
Мы построили поле, в которое как часть входит поле 3 .
 x 
Найдем в 3
корень многочлена f  x 2  1 . Им является класс
2
x 1
Cl x . Проверим это:
f Cl x   Cl x 2  Cl1   Cl x 2  Cl1  Cl x 2 1  Cl0 , т. к. при делении x 2  1 на
себя в остатке получается 0. По определению, Cl x –корень многочлена f  x 
 x 
над полем 3
.
f x
Это поле и является полем расширения многочлена x 2  1  3 x .
ЛИТЕРАТУРА
1. Бочкарева В.Д. Алгебра. Саранск: СВМО, 2002. – 40 с.
2. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960 – 376 с.
3. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1974. –
160 с.
4. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре.
Ч.1. М.: Просвещение, 1982. – 79 с.
5. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1978. –
144 с.
6. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. М.: Просвещение, 1980. – 176с.
7. Виноградов И.А. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. – 168 с.
8. Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. М.:
Просвещение, 1969. – 276 с.
9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. – 495 с.
10.Куликов Л.Я Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. – 559 с.
11.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959. – 431 с.
12.Окунев Л.Я. Высшая алгебра. Ч.2. Методические указания. М.: Изд-во
МГУ, 1965. – 40 с.
13.Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1964. –
183 с.
14.Практические занятия по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1986. –
302 с.
15.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1962. –
332 с.
16.Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. – 416 с.
17.Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.:
Наука, 1977. – 228 с.
18.Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш.
шк., 1982. – 223 с.