КРАЕВОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «КАНСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

КРАЕВОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«КАНСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
ЦМК общеобразовательных, математических и общих естественнонаучных
дисциплин
Дисциплина: Математика
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ПРАКТИЧЕСКИМ РАБОТАМ
для специальности
Земельно-имущественные отношения
(по программе углубленной подготовки)
1
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 1
Действия над комплексными числами
Цель: закрепить умения и навыки действий над комплексными
числами
записанными
в
алгебраической,
геометрической,
тригонометрической и показательной форме.
Теоретическая часть
Формы комплексных чисел:
1. алгебраическая z  a  bi
2. геометрическая z  ( a; b)
3. тригонометрическая z  r  (cos   i sin  )
i
4. показательная z  r  e
z  a  bi  (a; b)  r  (cos   i sin  )  r  ei , где
r  a2  b2
cos  
a
b
, sin  
r
r
Геометрическая форма
1. Сложение
1. Сложение
(a  bi )  (c  di )  a  c  (b  d )i
(a; b)  (c; d )  (a  c; b  d )
2. Вычитание
2. Вычитание
(a  bi )  (c  di )  (a  c)  (b  d )i
(a; b)  (c; d )  (a  c; b  d )
3. Умножение
3. Умножение
(a  bi )  (c  di )  (ac  bd )  (bc  ad )i
(a; b)  (c; d )  (ac  bd ; ad  bc)
4. Деление
(a  bi) (a  bi)  (c  di)

(c  di)
c2  d 2
Алгебраическая форма
Тригонометрическая форма
2
1. Умножение
Показательная форма
z1  z 2  r1  r2  cos(1  2 )  i sin( 1   2 )
1. Умножение
2. Деление
z1  z 2  r1  r2  e i (1 2 )
z1  z 2 
2. Деление
r1
 cos(1   2 )  i sin( 1   2 ) 
r2
z1  z 2 
3. Возведение в степень
n
r1 i (1 2 )
e
r2
z n  r n  (cos n  i sin n )
3. Возведение в степень
4. Корень n-ой степени
z n  r n  e in
4. Корень n-ой степени
  2k
  2k 

z  U k  n r   cos
 i sin

n
n 

  2k
, где k=0,1,2…n-1
n
z  Uk  r e
n
n
i
, где k=0,1,2…n-1
Значения некоторых тригонометрических
функций некоторых углов
аргумент
функция
sin 
cos 
0( 2 )
0
1

15  
 12 
3 1
3 1
2 2
2 2
 
18   
 10 
5 1
4
 
30   
6
1
2
3
2
 
36   
5
5 5
5 1
4
 
45   
4
1
2

2
2
5 1
4
 
60   
3
3
2
 
90   
2
2 2
2 2
 3 
54  

 10 
 5 
75  

 12 
5 5
3 1
1
2

2
2
5 5
2 2
1
2
3 1
2 2
2 2
1
0
3
Формулы приведения




Х
 
 
2  
2  
cos x
 cos 
 cos 
cos 
cos 
 sin 
sin 
sin 
 sin 
sin x
 sin 
sin 
sin 
 sin 
cos 
cos 
 cos 
 cos 

2

2
3
2
3
2
Практическая часть
Вариант 1:
1. Даны комплексные числа в геометрической форме z1=(2;3) и z2=(-5;1).
Выполните действия: 𝑧1 + 𝑧2 .
2. Даны комплексные числа в геометрической форме z1=(2;3) и z2=(-5;1),
записать эти числа в алгебраическом виде и выполните действия: 𝑧1 − 𝑧2 ,
𝑧1 : 𝑧2 .
3. Представить комплексное число 2 в тригонометрической форме.
4. Вычислите произведение (ответ записать в алгебраической форме):
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
2 (𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ) ∙ 3 (𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ).
6
6
12
12
5.Запишите число 2 (𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ) в показательной форме.
6
6
𝜋
𝜋
6.Даны комплексные числа в показательной форме 𝑧1 = 2𝑒 𝑖 2 и 𝑧2 = 𝑒 𝑖 6 .
Выполните действия: 𝑧1 ∙ 𝑧2 , (z1)3,
4
z2
7.Возведите в степень (ответ записать в алгебраической форме):
(3 (𝑐𝑜𝑠
3𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛
3𝜋
25
)) .
4
8. Извлеките корень из комплексного числа
i
(ответ записать в
алгебраической форме).
Вариант 2:
1. Даны комплексные числа в геометрической форме z1=(2;3) и z2=(-5;1).
Выполните действия: 𝑧1 − 𝑧2 .
4
2. Даны комплексные числа в геометрической форме z1=(2;3) и z2=(-5;1),
записать эти числа в алгебраическом виде и выполните действия: 𝑧1 + 𝑧2 ,
𝑧1 ∙ 𝑧2 .
3. Представить комплексное число 6i в тригонометрической форме.
4. Вычислите частное (ответ записать в алгебраической форме):
3 (𝑐𝑜𝑠
3𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛
𝜋
3𝜋
𝜋
𝜋
) : (𝑐𝑜𝑠 2 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 2 ).
4
𝜋
5. Запишите число 7 (𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ) в показательной форме.
2
2
𝜋
𝜋
6. Даны комплексные числа в показательной форме 𝑧1 = 2𝑒 𝑖 2 и 𝑧2 = 𝑒 𝑖 6 .
Выполните действия: 𝑧1 ∙ 𝑧2 , , (z1)3,
4
z2 .
7.Возведите в степень (ответ записать в алгебраической форме):
(3 (𝑐𝑜𝑠
3𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛
3𝜋
4
25
)) .
8. Извлеките корень из комплексного числа
i
(ответ записать в
алгебраической форме).
5
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 2
Вычисление производных
Цель: закрепить навыки вычисления производных элементарных и
сложных функций.
Теоретическая часть
Таблица производных некоторых функций
Элементарные функции
1. C  0
2. ( x )  n  x
n
3. ( x ) 

Сложные функции
1.
2. (u n )x  n  u n 1  ux
ux
3. ( u )x 
2 u
n 1
1
2 x
4.  1    1
2
x
u
4.  1     x2
u
u
5. (sin x)  cos x
6. (cos x)   sin x
5. (sin u)x  cos u  ux
6. (cos u )x   sin u  ux
ux

7. tgu x 
cos2 u


x


7. tgx  
1
cos 2 x
1

8. ctgx   
sin 2 x
   a
x
9. a
x
 ln a
   e
10. e
x

1
1 x2
1
1 x2
1

16. arcctgx   
1 x2
ux
sin 2 u
9. au x  au  ln a  ux , a  0, a  1

 1
11. ln x  
x
1

12. log a x  
x  ln a
1

13. arcsin x  
1 x2

15. arctgx 

8. ctgu x  
10. е u 
x
14. arccos x   
x
x
 е u  u x
ux

11. ln u  x 
u

12. log a u

x

ux
, a  0, a  1
u  ln a

13. arcsin u  x 
u x
1 u2
u x

14. arccos u  x  
1 u2

15. arctgu  x 
ux
1 u2
u

16. arcctgu  x   x 2
1 u
6
Правила дифференцирования
U  V   U   V 
U  V   U   V  U  V 

 U  U  V  U V 
  
V2
V 
Практическая часть
I Применив формулы средней школы найти производную функции:
1
2х 2 / 3
1) у 
2) у  3х  х
2
3) у 
2х
3
3
2
х
4) у  4х1/ 3
6) f ( x)  ( x 3  x 2  x  1)( x  1)
7) f ( x)  (2 x  1)( x 2  3x  1)
8) y 
x2
2  x2
x2  x 1
9) y  2
x  x 1
5) f ( x)  (3x 2  1)(2 x 2  3)
II Найти производную сложной функции:
1. y  3(5x 2  x  4) 6
9. y  ln
2. y  (2 x  x 5 ) 4
1  sin x
1  sin x
2x
3. y  3 x 3  3x 2  1
10. y  5 x 4 
4. y  3 x 2  5
11. y  sin 3 x  cos x
5. y  x 2 4 x  3
12. y 
1  cos x
1  cos x
13. y 
( x 3  1) 4
( x 3  1) 3
6. y 
2x  1
x2 1
7. y  ln( x  x 2  1 )
e 2 x  e 2 x
8. y  2 x 2 x
e e
x
 3x3 x  7
14. y  ln 2 x  1
3
8
1
4
15. y  x  sin 2 x 
1
sin 4 x
32
7
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 3
Вычисление интегралов
Цель:
закрепить
навыки
и
умения
вычисления
интегралов
различными методами.
Теоретическая часть
Определение: Функция F (x) называется первообразной для функции
f (x ) , если F ( x)  f ( x) .
Определение:
Совокупность
F ( x)  C
всех
первообразных
для
функции f (x) называется неопределённым интегралом от этой функции и

обозначается
f ( x ) dx . Таким
образом
 f ( x)dx  F ( x)  C
Основные свойства неопределенных интегралов:
1. (  f ( x)dx)  f ( x)
4.  df ( x)  f ( x)  C
2. d (  f ( x)dx)  f ( x)dx
5.  af ( x)dx  a  f ( x)dx, где a  0
3.
 f ( x)dx 
f ( x)  C
6.  ( f ( x)  g ( x)) dx   f ( x)dx   g ( x)dx
Таблица неопределенных интегралов:
1.
 0dx  C
2.
 dx  x  C
6. а)  dx  2 x  C
x
б)
n 1
3. а)  x n dx  x  C (n  -1)
n 1
б)  хdx 
х2
 C , при n=1
2
1
4.  dx  
C
n
x
(n -1) x n - 1
5.  dx  ln x  C
x

х dx 
2 х3
C
3
7.  sin x dx  -cos x  C
8.  cos x dx  sin x  C
9.  dx  tg x  C
cos2 x
10.  dx  ctg x  C
sin 2 x
8
11. 
19.  dx  1 arctg x  C , а  0
а
а2  x2 а
dx  arcsin x  C
1 x 2
12.  dx  arctg x  C
1 x 2
13.  а x dx  a x  C, а  0, a  1
ln a
20.  dx  1 ln a  x  C , a  0
a-x
a 2  x 2 2a
14.  e x dx  e x  C
22.
15.  tg x dx  -ln cos x  C
21.
23.
16.  ctg x dx  ln sin x  C
24.
17.  dx  ln tg x  С
2
sin x
1
x-a
dx
 x 2  a 2  2a ln x  a  C , a  0

dx
 arcsin x  C , x  a, a  0
a
2
a x

2
dx
 ln x  x 2  а 2  C
2
а
x2
2
2
 x  a dx 
x
2
x a 
2
2
a
2
ln x  x  a  C
2
2
2
x

dx
 cos x  ln tg     C
4
2
18.
Формула интегрирования по частям:
 udv  uv   vdu
Формула Ньютона-Лейбница:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
Практическая часть
I Найти следующие интегралы непосредственным интегрированием
1. (3х  2 х 6  х  8)dx
х6
dx
х
1
3. ( х  18) dx
x
2
х 6
4.
dx
х2
 1

5. 
 9 sin x  5 x  35 dx
2
 cos х

2.
6. (5 х  2 х 9  sin х  8)dx
7. 4 4 x  2 x dx
II Найти следующие интегралы методом замены переменной:
1.  е 3 х 1 хdх
2
9
2.  х 2 (2 х 3  1)dх
3. 
хdх
( х 2  1)
4. 
х 2 dх
5х 3  1
3
5.  35 х хdх
2
III Найти следующие интегралы методом интегрирования по частям:
1.  (1  x ) sin x

2.
ln xdx
x2
3.  (5  x)соsxdx
4.  ln 2 xdx
IV Вычислить следующие определённые интегралы:
1
1. (2 х  2 х 6  8) dx
0
2
2.
1
2 х
dx
х
3
x2
3.
dx
3
0 5  3x
3
4. 5 x  3 2 x dx
0
х3  4
dx
х3
1
2
5. 
4
6. e 5 x dx
0
10
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 4
Решение дифференциальных уравнений 1-ого порядка с
разделяющимися переменными
Цель: сформировать умения и навыки решения дифференциальных
уравнений 1-ого порядка с разделяющимися переменными.
Теоретическая часть
Определение: Уравнения, содержащие не только сами функции, но и
их производные называют дифференциальными уравнениями. Решением
таких уравнений являются функции.
Определение: Дифференциальные уравнения вида у   f ( x) g ( x) , где
f ( x), g ( x ) -заданные функции, называются уравнениями с разделяющимися
переменными.
Правило решения дифференциальных уравнений 1-ого порядка с
разделяющимися переменным:
1. разделить переменные
2. проинтегрировать обе части уравнения
3. решить полученное уравнение относительно у.
Практическая часть
I Найдите общее решение дифференциальных уравнений 1-ого
порядка с разделяющимися переменными:
1. x 5 dу  у 2 dх
2.
dy
 2х  x 2
dx
3. dy  5 xdx  7dx
1
8
4. 3x 2 dу  у 3 dх  0
5.
dy
 3dx  0
y
11
6. (3  2 y )dx  (1  6 x)dy  0
II Найдите частное решение дифференциальных уравнений 1-ого
порядка с разделяющимися переменными:
1. x 3 dу  у 3 dх , если х= 3 , у= 2
2.
2dy
 1  x 2 , если х=0, у=0
dx
3. dy  xdx  2dx , если х=1, у=1,5
1
2
4. x 2 dу  у 3 dх  0 , если х=-1, у=1
5. xdy  y dx  0 , если х=0, у=0
6.
dy
 dx  0 , если х=0, у=3
2y
7. (1  y )dx  (1  x)dy  0 , если х=0, у=1
8.
2 x  1 dx
, если х=5, у=0

y  1 dy
9. (1  x 2 )
dy
 xy  0 , если х=0, у=4
dx
12
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5
Решение дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными
коэффициентами
Цель:
сформировать
умения
и
навыки
решения
линейных
однородных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными
коэффициентами.
Теоретическая часть
Определение: Уравнения, содержащие не только сами функции, но и
их производные называют дифференциальными уравнениями. Решением
таких уравнений являются функции.
Определение:
Линейными
однородными
дифференциальными
уравнениями 2-ого порядка с постоянными коэффициентами называют
уравнения вида у   pу   qy  0 .
Правило
решения
линейных
однородных
дифференциальных
уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами:
1. записываем характеристическое уравнение k 2  pk  q  0
2. находим корни характеристического уравнения k1 и k 2
если k1  k 2 , то общее решение
y  C1e k1x  C 2 e k2 x
если k1 = k 2 , то общее решение y  e k x (С1  С 2 х)
если k1  а  bi , k 2  a  bi , т.е. комплексные, то общее решение
y  e аx (С1 cos bx  С2 sin bх)
Практическая часть
I Найдите общее решение дифференциальных уравнений 2-ого
порядка:
1. у   3 у   4 y  0
2. у   9 у   14 y  0
13
3. у   8 у   16 y  0
1
4
4. у   у   y  0
5. у   6 у   45 y  0
6. у   4 у   8 y  0
7. 𝑦" + 4𝑦 = 0
8. 𝑦" − 16𝑦′ = 0
II Найдите частное решение дифференциальных уравнений 2-ого
порядка:
d2y
dy
dy
 1 при х=0
7. 2  8  16 y  0, если у=1 и
dx
dx
dx
8.
d2y
dy
dy
 1 при х=0
 5  0, если у=1 и
2
dx
dx
dx
14
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 6
Решение линейных однородных дифференциальных уравнений 2-ого
порядка вида 𝒚" = 𝒇(𝒙)
Цель:
cформировать
умения
и
навыки
решения
линейных
однородных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными
коэффициентами.
Теоретическая часть
Определение: Уравнения, содержащие не только сами функции, но и
их производные называют дифференциальными уравнениями. Решением
таких уравнений являются функции.
Практическая часть
I Найдите частное решение дифференциальных уравнений 2-ого
порядка:
d2y
1. 2  0 , при х=0 у=1 и при х=1 у=0
dx
2.
d2y
 5 , при х=2 у=5 и при х=4 у=11
dx 2
3. у   х , при х=1 у=0 и при х=2 у=2
d2y
dy
 10 при х=0
4. 2  6 x , если у=0 и
dx
dx
II Найдите общее решение дифференциальных уравнений 2-ого
порядка:
5. у   cos х
6.
d2y
 1  sin x
dx 2
d2y
7. 2  12 x 2  6 x  2
dx
8. у  
3
x
15
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 7
Операции над множествами
Цель: научиться выполнять операции над множествами.
Теоретическая часть
Определение: Множеством называется совокупность некоторых
элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами
множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.
Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множества
строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.
Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ —
принадлежит). Если множество А является частью множества В, то
записывают А ⊂ В (говорят, что множество А является подмножеством
множества В).
Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением
и с помощью определяющего свойства.
Например, перечислением заданы следующие множества:
А={1,2,3,5,7} — множество чисел
N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел
Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел
С помощью определяющего свойства:
М={х є R| 2х>3} – множество действительных чисел ,удовлетворяющих
условию 2х>3.
16
Определение: Множество С, состоящее из всех тех и только тех
элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств А и В,
называется пересечением множеств Аи В.
А∩В
Определение: Множество С, состоящее из всех элементов, множеств
А и В, называется суммой или объединением множеств Аи В.
А∪В
Определение: Множество С, состоящее из элементов множества А, не
принадлежащих множеству В, называется разностью множеств Аи В.
А\В
Определение: Множество С, состоящее из всех тех и только тех
элементов, которые принадлежат одному из множеств: А либо В, но не
являются общими элементами, называется симметрической разностью
множеств Аи В.
17
А∆В
Определение: Множество С, состоящее из всех тех и только тех
элементов, которые не принадлежат В, но принадлежит А , при условии, что
В является подмножеством А, называется дополнением множества В до
множества А.
В
Практическая часть
1.
Возьмите две различные точки А и В и проведите два луча [АХ) и
[ВY) так , чтобы В є [АХ), А є [ВY). Назовите и покажите фигуру, которая
является объединением и пересечением лучей:
А) [АХ) и [АY)
Ж) [АВ] и [АY)
Б) [ВХ) и [ВY)
З) [ВХ) и [ВА]
В) [ВХ) и [АY)
И) [АХ) и (ХY)
Г) [АХ) и [ВY)
К) (АY) и (ХY)
Д) [АY) и [ВY)
Л) [АВ] и (ХY)
Е) [ВХ) и [АХ)
2. Пусть А={-4;-3;-2;-1;0;1;2}, В={4;3;2;1;0;-1;-2} и С={-4;-3;…;3;4}.
Найдите А  В, А  С, В  С; А  В, А  С, А\В, В\С, А  В, А  С, С  В,
дополнение С и В до А ( т.е. С и В )
18
3. Пусть М-множество значений выражения 3,5-9а при а=-1; 0,35.
Запишите все подмножества М (собственные и несобственные).
4. Пусть М={х є R| 2х=3}, Р={ х є N| х:3} и Е={ х є N | х-3‹5}
Задайте каждое из этих множеств (кроме Р) перечислением его элементов.
Почему множество Р этим способом задать не удается? Назовите первые 4
элемента множества Р.
5. Укажите пустые множества среди следующих:
А) множество целых корней уравнения х2-9=0
Б) множество целых корней уравнения х2+9=0
В) множество действительных корней уравнения 1:х=0
6. Пусть А={7;8;9} и В={8;9}. Найдите А  В, А  В, А\В, В\А, А  В, А 
В, В . Сделайте тоже самое для множеств А1={1;2},В1={1;2}, а также для
множеств А2={1;2} и В2={3;4}
7. Отрезки АВ и СХ пересекаются в точке О.
К- множество точек треугольника АОС
М- множество точек треугольника ВОС
Р- множество точек треугольника ВОХ
Е- множество точек треугольника АВХ
Назовите и покажите фигуру, которая является объединением и пересечением:
К и М; К и Р; К, М и Е; К, М и Р
19
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 8
Построение графов
Цель: выработать умение, навыки решения задач с использованием
графов, отработать навык выполнения операций над графами.
Практическая часть
Решите задачи
1.
Пусть орграф задан матрицей смежности (смотри . Постройте
изображение этого графа, укажите степени вершин графа. По матрице
смежности постройте матрицу инцидентности этого графа:
А)
В)
V
V1
V1
V2
V2
V3
V4
1
1
V3
1
1
V5
V6
V
1
1
V1
V2
1
2
V4
2
V5
1
V6
1
1
V1
2
V3
1
V4
1
V3
V4
1
1
V6
1
V5
1
1
V6
1
1
1
V5
1
Б)
V2
1
1
1
1
1
1
Г)
V
V1
V2
V1
V3
V4
1
1
V2
1
V4
1
1
1
V5
1
1
1
1
V6
V
V1
1
V3
V6
V5
1
V2
1
V3
1
V4
2
V5
V6
V1 V2 V3 V4 V5 V6
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
20
Д)
V
V1
V2
V3
V4
V1
V2
V5
V6
1
1
2
1
V3
1
V4
1
V5
1
V6
1
1
1
1
1
1
2. Орграф задан матрицей смежности. Постройте его рисунок (схему,
диаграмму), определите степени вершин графа и найдите маршрут длины 5.
Есть ли среди них изоморфные?
3. Составьте все возможные планы маршрута путешествия по
историческим местам, если автотуристам надо проехать из пункта М в пункт
Т, осмотрев все памятники архитектуры не более одного раза. Как называется
такой маршрут?
21
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 9
Элементы математической логики
Цель: выработать умение построения таблиц истинности для
сложных логических формул.
Теоретическая часть
Сводная таблица истинности логических операций
p
q
p
р ∙q
p q
pq
p→q
p~q
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
Определение: Формула называется тавтологией (или тождественно
истинной), если она истинна при любых значениях своих переменных.
Определение: Формула называется тождественно ложной, если она
принимает значение 0 на всех наборах входящих в неё переменных.
Практическая часть
1.
Пусть р={Гале нравится вязать}, а q ={ Гале нравится вышивать}.
Выразите следующие формулы на естественном языке:
а) p  q
д) p  q
и) p  q
б) p  q
е) p  q
к) p  q
в) p  q
ж) p  q
л) p  q
г) p  q
з) p  q
м) p  q
2. Какие из следующих формул являются тавтологиями (проверить с
помощью таблиц истинности):
22
а) ( а  а )
б) a  (b  a)
в) (a  b)  a
3. Докажите, что формула a  (a  b)  (a  b) является тождественно
ложной.
4. В следующих высказываниях выделите простые, обозначив каждое из
них буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций
составное высказывание:
а) Если вчера было воскресенье, то Дима вчера не был в школе и весь
день гулял.
б) Если сумма цифр натурального числа делится на 3, то число делится
на 3.
в) Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа
делится на 3.
5.
Формализуйте
истинности
для
следующие
каждой
из
высказывания,
полученных
формул
постройте
и
таблицы
убедитесь,
что
результирующие столбцы совпадают.
F1 = {если все стороны четырёхугольника равны и один из его углов
прямой, то этот четырёхугольник является квадратом}
F2 = {если все стороны четырёхугольника равны, а он не является
квадратом, то один из его углов не является прямым}.
Докажите следующие соотношения:
6.
а) a  b  a  b
б)
a ~ b  a b  a b
г) a  b  b  a
д)
a ~ b  (a  b)  (b  a)
в) a  b  a  b  a  b
7. Доказать с помощью таблиц истинности законы алгебры логики: 2б,
4б, 9б, 10б.
23
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 10
Решение задач по теории вероятностей
Цель: отработать навыки решения задач по теории вероятностей.
Теоретическая часть
Формула
полной
вероятности
позволяет
вычислить
вероятность
интересующего события через условные вероятности этого события в
предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.
Предположим, что в результате опыта может произойти одно из n
несовместных событий (гипотез) 𝐻1 , 𝐻2 , 𝐻3 , … , 𝐻𝑛 . Пусть также имеется
некоторое событие А и известны 𝑃(𝐻𝑖 ) - вероятность гипотезы, 𝑃(𝐴|𝐻𝑖 ) условная вероятность события А при этой гипотезе. Тогда вероятность события
А вычисляется по формуле полной вероятности:
𝑛
𝑃(𝐴) = ∑ 𝑃(𝐻𝑖 )𝑃(𝐴|𝐻𝑖 )
𝑖=1
Пример. Из 40 деталей 10 изготовлены в первом цехе, 25 - во втором, а
остальные - в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного
качества с вероятностью 0,9, второй цех - с вероятностью 0,7. Какова
вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?
Решение: обозначим событие А={выбрана деталь отличного качества},
𝐻𝑖 ={выбранная деталь изготовлена в i цехе}, i=1, 2, 3. Тогда
𝑃(𝐻1 ) =
10
40
1
25
4
40
= ; 𝑃(𝐻2 ) =
5
5
8
40
= ; 𝑃(𝐻3 ) =
=
1
8
По условию задачи
𝑃(𝐴|𝐻1 ) = 𝑃(𝐴|𝐻3 ) = 0,9,
𝑃(𝐴|𝐻2 ) = 0,7
По формуле полной вероятности находим1 искомую вероятность:
3
𝑃(𝐴) = ∑ 𝑃(𝐻𝑖 )𝑃(𝐴|𝐻𝑖 ) =
𝑖=1
1
5
1
∙ 0,9 + ∙ 0,7 + ∙ 0,9 = 0,775
4
8
8
24
Случайной величиной, связанной
с данным опытом называется
величина, которая при данном осуществлении данного опыта принимает то или
иное числовое значение, заранее не известное какое именно. Случайные
величины обозначаются Х, Y и т.д.
Примеры.
1) Опыт - бросается игральная кость один раз. Случайная величина Х число
выпавших
очков.
Множество
значений
случайной
величины
Х={1,2,3,4,5,6}.
2) Опыт стрельба по цели до первого попадания. Случайная величина Y число израсходованных патронов – имеет множество значений {1,2,3,…}=N.
Чтобы полностью охарактеризовать случайную величину,
кроме
множества значений необходимо указать, с какой вероятностью случайная
величина принимает то или иное своё значение.
Любое правило, устанавливающее связь между возможными значениями
случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения
случайной величины.
Для дискретной случайной величины Х закон распределения может быть задан
виде таблицы.
В верхней строке перечисляются все возможные значения xi случайной
величины Х (обычно в порядке возрастания), а в нижней строке указываются
вероятности pi соответствующих значений: pi = P (X = xi ) - это вероятность
того, что случайная величина Х принимает значение xi .
X
x1
x2
…
xn
(…)
P
p1
p2
…
pn
(…)
Зная закон распределения случайной величины можно найти дисперсию
и математическое ожидание случайной величины.
n
МХ   х к  р к
k 1
DX=M(X2)-(MX)2
25
Практическая часть
1.
Из 50 деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 - во втором,
остальные в третьем. Первый и третий цех дают продукцию отличного качества
с вероятностью 0,9, 2-ой с вероятностью 0,6. Какова вероятность того, что
взятая на удачу деталь будет отличного качества?
2.
Прибор
работает
в
2-х
режимах
:в
благоприятном
и
в
неблагоприятном, причем в благоприятном режиме работа прибора происходит
в 80% всех случаев. Вероятность выхода прибора из строя в течение часа при
благоприятном режиме работы равна 0,1, при неблагоприятном-0,7. Определить
вероятность безотказной работы прибора в течение часа.
3.
Три станка производят соответственно50%, 30%, 20% всех изделий.
В их продукции брак составляет соответственно1%, 2%, 1,5%. Какова
вероятность того, что выбранное наугад изделие окажется бракованным?
4.
Радиолампа поступила с одного из трех заводов соответственно с
вероятностями 0,25, 0,50 и 0,25. Вероятность выйти из строя в течение года для
ламп, изготовленных первым заводом, равна 0,1, вторым-0,2, третьим-0,4.
Определить вероятность того, что лампа проработает год.
5.
станке,
В ящике находятся детали, из которых 12 изготовлены на первом
20-на
втором,16-
на третьем.
Вероятность
того,
что
детали
изготовленные на первом, втором и третьем станках, отличного качества,
соответственно равна 0,9, 0,8 и 0,6. Какова вероятность того, что взятая на
удачу деталь будет отличного качества?
6.
На склад поступили детали с трех станков. На первом станке
изготовлено 40% деталей от их общего количества, на втором-35% и на третьем
25%, причем на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на
втором-80% и на третьем-70%. Какова вероятность того, что взятая на удачу
деталь будет первого сорта?
7.
18 деталей изготовлены в первом цехе, 20 - во втором, 21- в
третьем, 15- в четвертом. Первый и третий цех дают не бракованную
26
продукцию с вероятностью 0,9; 2-ой и 4-ый с вероятностью 0,6. Какова
вероятность того, что взятая на удачу деталь будет бракованной?
8.
Прибор
работает
в
2-х
режимах
:в
благоприятном
и
в
неблагоприятном, причем в благоприятном режиме работа прибора происходит
в 32% всех случаев. Вероятность выхода прибора из строя в течение часа при
благоприятном режиме работы равна 0,2, при неблагоприятном-0,6. Определить
вероятность поломки прибора в течение часа.
9.
Четыре станка производят соответственно 25%, 25%, 30%, 20%
всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 2%, 1%, 2%,
1,5%. Какова вероятность того, что выбранное наугад изделие окажется
отличного качества?
10. Радиолампа поступила с одного из трех заводов соответственно с
вероятностями 0,35, 0,50 и 0,15. Вероятность выйти из строя в течение года для
ламп, изготовленных первым заводом, равна 0,15, вторым-0,12, третьим-0,41.
Определить вероятность того, что лампа выйдет из строя в течение года.
11. Случайная величина Х имеет следующий закон распределения:
2
1/4
4
6
8
10
1/8
1/4
1/8
1/4
Найти MX и DX .
12. Производится 4 выстрела.
Вероятность поподания в цель, при
каждом выстреле равна 0,6. Найти закон распределения случайной величины
Х(число попаданий в мишень), MX и DX.
13. Монета подбрасывается 5раз. Рассматривается случайная величина
Х –число появлений герба. Найти закон распределения случайной величины Х,
MX и DX.
14. Игральная кость подбрасывается 3 раза. Рассматривается случайная
величина Х –число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости.
Найти закон распределения случайной величины Х, MX и DX.
27
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 11
Решение простейших задач по математической статистике
Цель: отработать навыки решения простейших задач по математической
статистике.
Теоретическая часть
Математическая статистика – раздел математики, посвящённый методам
сбора, анализа и обработки результатов статистических данных наблюдений
для научных и практических целей. Математическая статистика тесно связана с
теорией вероятности и опирается на её выводы.
Практическая часть
1. Записать вариационный ряд и статистическое распределение
элементов выборки 5, 0, 3, 7, 0, 10, 5, 0, 5, 2, 10, 2, 0, 7, 2, 0, 4, 7, 7, 4 – из числа
рабочих дней в году, пропущенных по болезни работниками магазина.
Определить размах выборки.
2. Дано время недельной загрузки электрических духовых шкафов 50
обследованных предприятий общественного питания в часах:
38 60 41 51 33 42 45 21 53 60
60 52 47 46 49 49 14 57 54 59
77 47 28 48 58 32 42 58 61 30
61 35 47 72 41 45 44 56 30 40
67 65 39 48 43 60 54 42 59 50
Найти размах выборки, число и длину интервалов, а также составить
таблицу частот (записать групированное статистическое распределение)
Первый интервал 14-23.
3. Построить полигон и гистограмму частот и относительных частот по
группированной выборке задачи 2.
28
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12
Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядка
Цель: сформировать умения и навыки вычисления определителей 2-ого
и 3-его порядка.
Теоретическая часть
определители 2-ого порядка вычисляются по формуле:
а1 в1
а 2 в2
 a1  в2  a 2  в1
определители 3-ого порядка вычисляются по схеме (метод треугольников):
определители 3-ого порядка можно вычислить, разложив по 1-ой строке:
а 1 в1 с1
а 2 в 2 с 2  а1 
а 3 в3 с3
в2 с2
в3 с3
- в1 
а 2 с2
а 3 с3
 с1 
а 2 в2
а 3 в3
Знаки перед множителями а1, в1, с1 определяются по схеме:
 - 
-   - 
Практическая часть
1 Вычислить определители 2-ого порядка:
4 3
21 25
,
,
30 40
5 8
8 4
,
12 2
01
,
4 2
28 46
,
31 12
28 32
64 19
2 Вычислить определители 3-ого порядка методом треугольников, либо
расширением:
29
32 33 4
80 30 55 ,
40 45 82
2 8 7
15 31 18 ,
10 12 20
2 12 14
11 4 15 ,
13 16 6
31 28 11
25 0 36 .
18 22 43
3 Вычислить определители 3-ого порядка:
А) разложив определитель по 1-ой строке
0 8 25
4 3 2
5 8 16
25 31 62
Б) разложив определитель по 2-ой строке 0 21 0
44 33 22
31 28 11
В) разложив определитель по 2-му столбцу 25 0 36
18 0 43
61 23 35
54 85 77
Г) наиболее удобным способом 55 64 23 и 54 65 0 .
56 0 0
55 12 0
4 Проверьте правильность вычислений с помощью электронных таблиц.
30
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 13
Действия над матрицами
Цель: Сформировать навыки и умения действий над матрицами.
Теоретическая часть
Сложение матриц: результатом сложения двух матриц является
матрица, каждый элемент которой представляет собой сумму соответствующих
элементов матриц.
А+В=С, где сij  aij  bij
Умножение матриц: результатом умножения двух матриц является
матрица, каждый элемент которой является результатом перемножения
соответствующей строки первой матрицы на соответствующий столбец второй
матрицы.
n
АВ=С, где сij   ail  blj
l 1
Умножение матрицы на число: результатом умножения матрицы на
число является матрица, каждый элемент которой умножен на это число.
dА=С, где сij  d  aij
Определение: Единичной матрицей называется такая квадратная
матрица, диагональные элементы которой равны единицам, а остальные равны
нулю.
1 0 0 


Е  0 1 0
 0 0 1


Практическая часть
Даны матрицы А и В (смотри ниже).
1 Выполните действия: АВ, ВА, А2, В2
2 Найти значение матричного многочлена:
31
А) 4(2А+3В)
Г) (Е+А)6+В
Б) А2+В+3Е
Д) (В+5А)10+ А2+4В2
В) 4В2+Е+2А
Е) 2 А2 +3(Е+4 В2)
3 Какую матрицу С нужно прибавить к матрице А, чтобы получить
единичную?
4 Какую матрицу D нужно прибавить к матрице В, чтобы получить
единичную?
5 Проверьте правильность вычислений с помощью электронных таблиц.
Вариант 1:
Вариант 6:
 2 2 3
1 2 2 




A   1  1 0 , B   2 1 - 2 
  1 2 1
 2 - 2 1




1 2 2 
 2 2 3




A   2 1 - 2 , B   1  1 0 
 2 - 2 1
  1 2 1




Вариант 2:
Вариант 7:
1 1 2 
 3 2 - 1




A   2 - 1 2 , B  1 - 1 3 
 4 1 4
2 - 3 4




 - 2 - 2 3
1 - 2 2 




A   - 1 1 0 , B   2 1 2 
 1 2 -1
 2 2 - 1




Вариант 3:
Вариант 8:
 3 2 - 1
1 1 2 




A  1 - 1 3 , B   2 - 1 2 
2 - 3 4
 4 1 4




1 1 - 2 
3 - 2 -1 




A   2 1 2 , B  1 1 3 
4 1 4 
 2 3 - 4




Вариант 4:
Вариант 9:
1 - 2 3 
1 2 2 




A   2 - 4 1 , B   2 1 - 2 
3 - 3 2
 2 - 2 1




- 3 2 1 
1 1 2 




A   - 1 1 3 , B   2 1 2 
 2 3 - 4
 4 -1 4




Вариант 5:
Вариант 10:
1 1 2 
1 - 2 3 




A   2 - 1 2 , B   2 - 4 1 
 4 1 4
3 - 3 2




1 2 3 
 -1 2 2




A   2 - 4 - 1 , B   - 2 1 2 
3 3 - 2
 2 - 2 1




32
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 14
Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Цель: закрепить умения и навыки решения систем 2-х и 3-х линейных
уравнений методом Крамера.
Теоретическая часть
Определение1: Совокупность чисел называется решением системы,
если она обращает все уравнения в тождества.
Определение2: Система совместна, если имеет хотя бы одно решение,
и несовместна если не имеет ни одного решения.
Определение3: Система определённая и совместная, если обладает
единственным решением; неопределённая совместная, если решений больше
одного (бесконечно много).
Формулы см. в лекциях.
Практическая часть
Решить системы уравнений методом Крамера:
x  2 y  z  0
3x  5 y  2 z  0
А) 
2 x  y  1 5
4 x  2 y  1 3
Б) 
3x  2 y  1 6
9 x  6 y  1 2
В) 
3x  2 y  z  8
Г)  x  3 y  z  1
2 x  13 y  5 z  13

x  y  z  0
Д) 3x  6 y  5 z  0
 x  4 y  3z  0

 5 х  y  z  0
Е)  x  6 y  z  0
x  y  7 z  0

 х  3 y  6 z  12
Ж) 3x  2 y  5 z  10
2 x  5 y  3z  6

(a  b) x  (a  b) y  4ab
З) 
2
2
(a  b) x  (a  b) y  2(a  b )
ax  by  (a  b) z  0
И) bx  ay  (a  b) z  0
x  y  2z  0

Проверьте
правильность
помощью
(где
возможно)
вычислений
электронных
с
таблиц.
33
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 15
Решение систем линейных уравнений матричным методом
Цель: закрепить умения и навыки решения
систем линейных
уравнений матричным методом.
Теоретическая часть
Алгоритм решения систем
линейных уравнений матричным
методом:
1) Записать систему уравнений в матричном виде : АХ=В, где Аматрица коэффициентов перед неизвестными, Х
– матрица-столбец
неизвестных, В- матрица-столбец свободных членов.
2) Вычислить А−1 (обратную матрицу)
3) Х = А−1 ∙ В
Практическая часть
Решить системы уравнений матричным методом
2 х  y  2 z  1
А) 3x  y  2 z  1
4 x  y  5 z  3

4 x  3 y  2 z  1  0
Д) 2 x  5 y  3z  16  0
3x  2 y  4 z  4  0

3x  3 y  2 z  7  0
Б)  x  2 y  3z  4  0
2 x  e  z  3  0

3x  y  z  1  0
Е)  x  2 y  3z  4  0
2 x  4 y  5 z  3  0

2 x  4 y  3 z  1
В) 3x  y  5 z  2
x  2 y  4z  3

3x  2 y  z  3
Ж) 2 x  y  3z  21
 x  y  z  5

2 х  у  3z  0
Г)  x  3 y  4 z  11
3x  2 y  z  7

Проверьте
вычислений
правильность
с
помощью
электронных таблиц.
34
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 16
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Цель: закрепить умения и навыки решения
систем линейных
уравнений методом Гаусса.
Теоретическая часть
Определение1: Совокупность чисел называется решением системы,
если она обращает все уравнения в тождества.
Определение2: Система совместна, если имеет хотя бы одно решение,
и несовместна, если не имеет ни одного решения.
Определение3: Система определённая и совместная, если обладает
единственным решением; неопределённая совместная, если решений больше
одного (бесконечно много).
Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса:
1 Записать расширенную матрицу системы линейных уравнений
2 Привести матрицу к ступенчатому виду
3 СЛУ определённая и совместная (имеет одно решение), если
матрица принимает треугольный вид (решение находят подстановкой)
СЛУ неопределённая и совместная (имеет бесконечно много
решений), если матрица принимает трапецеидальный вид.
Практическая часть
Решить системы уравнений методом Гаусса:
x  y  z  2
А)  2 x  y  z  3
x  y  z  6

2 x  2 y  z  4
В) 3x  y  3z  7
x  y  2z  3

3x  y  5
Б)  2 x  y  z  0
2 x  y  4 z  15

4 x  2 y  3z  2
Г) 2 x  8 y  z  8
9 x  y  8 z  0

35
2 x  3 y  5 z  0
Д) 3x  y  9 z  33  0
5 x  3 y  2 z  21  0

5 x  y  7 z  15  0
Е) 3x  4 y  2 z  26  0
7 x  2 y  5 z  24  0

Проверьте правильность вычислений с помощью электронных таблиц.
36
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ
1 Пехлецкий И.Д. Математика, М. Издательский дом «Академия», 2007
2 Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика, М. Издательский дом
«Академия», 2010
3 Григорьев С.Г., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики, М.
Издательский дом «Академия», 2008
4 Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая
статистика, М. Издательский дом «Академия», 2007
5 Спирина М.С., Спирин П.А. Дискретная математика, М. Издательский
дом «Академия», 2010
6 Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа, ч2, М. «Наука», 1978
5 Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах, М. «Оникс», 2006
37