«Алгебра логики» Исполнитель: гр. 43 Долженко И.С.

ГОУ ВПО «Магнитогорский государственный университет»
Факультет информатики
Кафедра информатики
«Алгебра логики»
Исполнитель: гр. 43
Долженко И.С.
Руководитель: ст. преподаватель
кафедры информатики
Лактионова Ю.С.
Магнитогорск 2009 г.
Содержание
Введение ................................................................................................................... 4
1. Элементарные логические функции ................................................................. 6
1.1. Функция отрицания ...................................................................................... 6
1.2. Функция логического умножения (конъюнкция) ..................................... 7
1.3. Функция логического сложения (дизъюнкция) ......................................... 8
1.4. Равнозначность (эквиваленция) .................................................................. 9
1.5. Логическое следование (импликация) ...................................................... 10
1.6. Элемент (штрих) Шеффера........................................................................ 10
1.7. Элемент Вебба (стрелка Пирса) ................................................................ 11
1.8. Сложение по модулю 2 .............................................................................. 11
1.9. Коимпликация ............................................................................................. 12
2. Формы логических функций ............................................................................ 13
3. Законы и формулы алгебры логики ................................................................ 17
4. Решение логических задач ............................................................................... 18
4.1. Решение логических задач с помощью составления логических
выражений .......................................................................................................... 18
4.2. Табличный способ решения логических задач ........................................ 20
Задачи для самостоятельного решения ........................................................... 21
5. Разбор типовых заданий ................................................................................... 22
5.1. Упрощение логических функций, заданных различным образом ......... 22
Задания для самостоятельного решения ......................................................... 24
5.2. Построение таблиц истинности функций ................................................ 25
Задания для самостоятельного решения ......................................................... 25
5.3. Вычисление значения логического выражения ....................................... 26
Задания для самостоятельного решения ......................................................... 26
5.4. Определение тождественности логических функций ............................. 27
Задания для самостоятельного решения ......................................................... 32
5.5. Решение задач с помощью кругов Эйлера .............................................. 32
Задачи для самостоятельного решения ........................................................... 35
2
6. Варианты тестовых заданий ............................................................................. 37
Вариант 1 ............................................................................................................ 37
Вариант 2 ............................................................................................................ 47
Вариант 3 ............................................................................................................ 56
Вариант 4 ............................................................................................................ 65
Вариант 5 ............................................................................................................ 73
Литература ............................................................................................................. 84
3
Введение
Алгебра логики – раздел математической
логики, изучающий
высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений
(истинности или ложности), и логические операции над ними. Алгебра
логики возникла в середине 19 века в трудах Дж. Буля и развивалась затем в
работах Ч. Пирса, П. С. Порецкого, Б. Рассела, Д. Гильберта и др. Создание
алгебры логики представляло собой попытку решать традиционные
логические задачи алгебраическими методами. С появлением теории
множеств (70-е гг. 19 в.) и дальнейшим развитием математической логики
(последняя четверть 19 в. — 1-я половина 20 в.), предмет алгебры логики
значительно изменился. Основным предметом алгебры логики стали
высказывания. Под высказыванием понимается каждое предложение,
относительно которого имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно.
Примеры высказываний: «кит — животное», «все углы — прямые» и т.п.
Первое из этих высказываний является, очевидно, истинным, а второе —
ложным. Употребляемые в обычной речи логические связки «и», «или»,
«если..., то...», «эквивалентно», частица «не» и т. д. позволяют из уже
заданных высказываний строить новые, более «сложные» высказывания. Так,
из высказываний «х > 2», «х  3» при помощи связки «и» можно получить
высказывание «x > 2 и х  3», при помощи связки «или» — высказывание «x
> 2 или х  3», при помощи связки «если..., то...» — высказывание «если x >
2, то х  3» и т. д. Истинность или ложность получаемых таким образом
высказываний зависит от истинности и ложности исходных высказываний и
соответствующей трактовки связок как операций над высказываниями.
В отличие от обычной алгебры, изучающей математические функции,
алгебра логики изучает логические функции. Известно, что функция — это
закон соответствия между переменными. Следовательно, логическая
функция — это закон соответствия между логическими переменными.
Логическая переменная — это такая переменная, которая может принимать
одно из двух возможных значений: 0 («ложь») и 1 («истина»).
4
Логическим выражением называется выражение, о котором можно
сказать истинно оно или ложно.
Примеры.
«5>8» - логическое выражение, т.к. о нем можно сказать, что оно
ложно.
«Эту девочку зовут Юля» - логическое выражение.
«Подайте книгу» - это не логическое выражение, т.к. о нем нельзя
сказать, истинно оно или ложно.
Логическая функция может также принимать два значения.
Таким образом, логические переменные и функции определены на
множестве двух значений — {0,1}.
ЭВМ строятся из компонентов с двумя устойчивыми состояниями.
Одно состояние обозначается нулем, другое — единицей. На такие
компоненты воздействуют двоичные сигналы. Под воздействием сигналов
компоненты изменяют свои состояния, т. е. состояние компонентов или
значения их выходных сигналов зависят от значений воздействующих
сигналов. Очевидно, что функционирование компонентов ЭВМ следует
описывать логическими функциями. По этой причине алгебра логики
находит непосредственное и широкое применение при разработке и
использовании средств электронной вычислительной техники.
Логические функции характеризуются (задаются) так называемыми
таблицами истинности, или соответствия. Таблица истинности — это
таблица, устанавливающая соответствие между возможными наборами
значений логических переменных и значениями функций.
5
1. Элементарные логические функции
1.1. Функция отрицания
Отрицание – это логическая функция от одной переменной, которая
принимает единичное значение при нулевом значении переменной и
наоборот. Запись этой функции: F = x .
Конъюнкция может быть обозначена следующими символами:
¬,¯, не, not.
Черта над переменной x является признаком отрицания (инверсии).
Таблица истинности этой функции представлена на рис. 1а. Функция
логического отрицания описывает функционирование логического элемента
НЕ (рис. 1б).
Условно-графическое обозначение элемента НЕ приведено на рис. 1в.
Единичный сигнал на выходе элемента НЕ появляется при нулевом сигнале
на входе (x=0, F=1) и, наоборот, нулевой сигнал на выходе появляется при
единичном сигнале на входе (x=1, F=0). Элемент НЕ реализует функция
отрицания. Графически отрицание можно представить с помощью кругов
Эйлера (рис. 2).
а)
б)
x
F
0
1
1
0
в)
Рис. 1. Элемент НЕ
Рис. 2. Графическое представление отрицания на множестве
6
1.2. Функция логического умножения (конъюнкция)
Логическое умножение – это логическая функция, по крайней мере, от
двух переменных, которая принимает единичное значение при единичных
значениях всех переменных. Эта функция называется также конъюнкцией.
Элементарная конъюнкция зависит от двух переменных. Она принимает
единичное значение только тогда, когда и первая переменная и вторая
переменная равны единице. Возможны различные варианты записи
конъюнкции:
F= x1
x 2 ; F= x1 • x 2 ; F= x1 x 2 ; F= x1 & x 2 .
Конъюнкция может быть обозначена следующими символами:
, &, •, ∩, and, и.
Конъюнкция характеризуется таблицей истинности, представленной на
рис. 3а. Из рассмотрения таблицы следует, что эта функция принимает
единичное значение на наборе 4. Логическое умножение описывает работу
элемента И (рис. 3б). Графически конъюнкцию можно представить с
помощью кругов Эйлера (рис. 4).
а)
б)
x1
x2 F
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
в)
Рис. 3. Элемент И
7
Рис. 4. Графическое представление конъюнкции на множествах
Конъюнкция на числовых множествах (операция пересечения): {a,b,c}
{b,c,d,e}={b,c}.
Единичный сигнал появляется на выходе этого элемента только при
наличии единичного сигнала и на входе 1, и на входе 2. Элемент И реализует
функцию логического умножения.
В общем случае элемент И может иметь n входов (рис. 3в). При этом он
реализует конъюнкцию от n переменных, т.е.:
F= x1 • x 2 • x3 •…• x n .
1.3. Функция логического сложения (дизъюнкция)
Логическое сложение – это логическая функция, по крайней мере, от
двух переменных, которая принимает нулевое значение при нулевых
значениях всех переменных. Эта функция называется также дизъюнкцией.
Таблица истинности элементарной дизъюнкции представлена на рис. 3а.
Элементарная дизъюнкция принимает единичное значение на наборах 1, 2, 3
и нулевое значение – только на наборе 0. Функция записывается в одном из
двух видов:
F= x1 x 2 или F= x1 + x 2 .
Знак «плюс» не является алгебраическим, т.к. при x1 =1, x 2 =1
дизъюнкциях F= x1 + x 2 =1, т.е. она может быть равной 2.
Дизъюнкция может быть обозначена следующими символами:
, +,  , or, или.
Дизъюнкция описывает функционирование элемента ИЛИ (рис. 5б).
Единичный сигнал на выходе этого элемента возникает тогда, когда или на
входе 1, или на входе 2, или на двух входах единичные сигналы. И только в
том случае, когда на оба входа поступают нулевые сигналы, на выходе
элементов появляется нулевой сигнал. Функционирование элемента ИЛИ
полностью соответствует таблице истинности для дизъюнкции.
8
В общем случае элемент ИЛИ может иметь n входов (рис. 5в). При
этом он реализует дизъюнкцию от n переменных.
а)
б)
x1
x2
F
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
в)
Рис. 5. Элемент ИЛИ
Рис. 6. Графическое представление дизъюнкции на множествах
Дизъюнкция на числовых множествах (операция объединения):
{a,b,c} {b,c,d,e}={a,b,c,d,e}.
1.4. Равнозначность (эквиваленция)
Равнозначность – это логическая функция от двух переменных, которая
принимает единичное
значение при одинаковых значениях переменных.
Одинаковые по значению переменные называются равнозначными, поэтому
функция носит название «равнозначность».
Запись функции:
F= x1 x 2 + x1 x 2 .
Таблица истинности функции равнозначности представлена на рис. 7а.
Эта функция реализуется элементом равнозначности (сравнения), который
показан на рис. 7б.
Эквиваленция может быть обозначена следующими символами:
, ,  .
~,
Элемент используется для сравнения двоичных сигналов.
9
а)
б)
x1
x2
F
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Рис. 7. Элемент равнозначности
1.5. Логическое следование (импликация)
Обозначение логического следования: F= x1 → x 2 .
Высказывание F= x1 → x 2 будем считать истинным во всех случаях,
кроме случая, когда
x1 истинно, а x 2 ложно. Таблица истинности
представлена на рис. 8.
x1
x2
F= x1 → x 2
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Рис. 8. Элемент импликации
Импликация может быть обозначена следующими символами:→, , .
1.6. Элемент (штрих) Шеффера
Обозначение:
F  x1  x 2 ; F  x1 & x 2 .
Другое название этой функции: «И-НЕ».
Высказывание F  x1  x 2 будем считать ложным, когда x1 и x 2 равны
единице. Таблица истинности представлена на рис. 9.
10
x1 x2
F  x1  x 2
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Рис. 9. Элемент (штрих) Шеффера
1.7. Элемент Вебба (стрелка Пирса)
Обозначение:
F  x1  x2 ; F  x1  x 2 .
Высказывание F  x1  x2 будем считать истинным только тогда, когда
оба операнда x1 и x 2 равны нулю. Таблица истинности представлена на
рис.10.
Другое название этой функции: «ИЛИ-НЕ».
x1
x2
F  x1  x2
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
Рис. 10. Элемент Вебба (стрелка Пирса)
1.8. Сложение по модулю 2
Обозначение:
F  x1  x2 ; F  x1  x2 ; F  x1 XOR x2 .
Высказывание F  x1  x2 будем считать истинным, если первый
операнд
x1 не равен второму операнду
представлена на рис. 11.
11
x 2 . Таблица истинности
Другие названия этой функции: «исключающее ИЛИ», «логическое
ЛИБО», «неравносильность», «неэквивалентность», «логическое сложение»,
«булево сложение».
x1
x2
F  x1  x2
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Рис. 11. Сложение по модулю 2
1.9. Коимпликация
Обозначение:
F  x1  x 2 ; F  x1 * x 2 .
Высказывание F  x1  x 2
будем считать истинным, если первый
операнд x1 равен 1, а второй операнд x 2 равен 0. Таблица истинности
представлена на рис. 12.
x1
x2
F  x1  x 2
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
Рис. 12. Коимпликация
Приоритет операций в логическом выражении, не содержащем
скобок:
1. Отрицание.
2. Конъюнкция, *, /, div, mod.
3. Дизъюнкция, +, -.
4. Операция отношения.
Для усиления операции используются скобки.
12
2. Формы логических функций
Одна и та же логическая функция может быть записана различным
образом. Например, функция F( x1 , x 2 ) может быть записана следующими
эквивалентными выражениями:
F ( x1 , x 2 ) = x1 x 2 + x1 x 2 + x1 x 2
(1)
F ( x1 , x 2 ) = x1 + x1 x 2 + x1 x 2
(2)
F ( x1 , x 2 ) = x1 ( x1 + x 2 ).
(3)
Эквивалентность выражения легко проверить подстановкой в них
значений x1 и
x 2 . Для исключения неоднозначности записи логические
функции представляют в унифицированных формах. Такими формами
являются:
дизъюнктивная
и
конъюнктивная.
В
них
используются
элементарные дизъюнкции и конъюнкции.
Элементарной называется конъюнкция, в которую входят только
переменные и их отрицания.
Например: x1 x 2 ; x1 x 2 ; x1 x 2 ; x1 x 2 x3 ; x1 x 2 x3 .
Элементарной
называется
дизъюнкция,
представляющая
собой
логическую сумму переменных и их отрицаний.
Например: x1 + x 2 ; x1 + x 2 ; x1 + x 2 + x3 .
В элементарные конъюнкции (дизъюнкции) не могут входить
одинаковые переменные, а также переменные с их отрицаниями. Такие
дизъюнкции (конъюнкции) должны преобразовываться. При этом они
упрощаются, а также превращаются в 0 или 1.
Например: x1 x1 x1 = x1 ; x1 x1 =0; x1 + x1 + x1 = x1 ; x 2 + x 2 =1.
Правильность преобразований может быть проверена подстановкой
значений переменных. Элементарная конъюнкция (дизъюнкция) может
характеризоваться рангом, равным количеству переменных в конъюнкции
(дизъюнкции). Понятия элементарной конъюнкции и дизъюнкции позволяют
13
достаточно просто определить дизъюнктивную и конъюнктивную формы
записи логических функций.
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – это форма, в которой
логическая функция представляется в виде дизъюнкции элементарных
конъюнкций, например: F= x1 x 2 + x1 x3 + x1 x 2 x3 . (4)
Функции выражений (1) и (2) записаны также в ДНФ.
Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется такая
форма, в которой функция представляется в виде конъюнкции элементарных
дизъюнкций, например: F = ( x1 + x 2 ) ( x1 + x 2 + x3 ).
Использование
нормальных
форм
не
устраняет
полностью
неоднозначности записи логических функций. Например, функция (4) может
быть записана также выражениями:
F= x1 x 2 + x1 x3 + x 2 x3
(5)
F= x1 x 2 + x1 x3 .
(6)
Поэтому среди нормальных форм выделяются такие, в которых
функции записываются единственным образом. Их называют совершенными.
Применяются
совершенная
дизъюнктивная
и
совершенная
конъюнктивная нормальные формы (СДНФ и СКНФ). Формы СДНФ и
СКНФ имеют две отличительные особенности:

все
элементарные
конъюнкции
и
дизъюнкции
имеют
одинаковый ранг;

в элементарные конъюнкции (дизъюнкции) входят все те
переменные или их отрицания, от которых зависит функция.
Функция (5) содержит конъюнкции одинакового ранга, но записана в
ДНФ, а не в СДНФ. Это объясняется тем, что элементарные конъюнкции не
содержат всех тех переменных или их отрицаний, от которых зависит
функция.
Функция F( x1 , x 2 , x3 ) = x1 x 2 x3 + x1 x 2 x3 + x1 x 2 x3 + x1 x 2 x3 записана в СДНФ.
14
Функция в СДНФ и СКНФ обычно записываются по таблицам
истинности по определенным правилам.
1. Правило записи СДНФ функции по таблице истинности:
Для всех наборов переменных, на которых функция принимает
единичные значения, записать конъюнкции, инвертируя те переменные,
которым соответствуют нулевые значения. Затем конъюнкции соединить
знаками дизъюнкции.
Например,
логическая
функция
задана
таблицей
истинности,
представленной на рис. 9а. Для наборов 3, 5, 6, 7 записываем конъюнкции
через пробел: x1 x 2 x3 , x1 x 2 x3 , x1 x 2 x3 , x1 x 2 x3 .
В пробелы ставим знак дизъюнкции и получаем функцию в СДНФ, т.е.:
F( x1 , x 2 , x3 ) = x1 x 2 x3 + x1 x 2 x3 + x1 x 2 x3 + x1 x 2 x3 .
а)
б)
x1
x2
x3
F
x1
x2
x3
F
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 9. Таблицы истинности логических функций
Для задания функции не обязательно всегда вычерчивать таблицу
истинности. Можно указать, что функция F( x1 , x 2 , x3 ) равна единице,
например, на наборах 3, 5, 6, 7.
2. Правило записи СКНФ функции по таблице истинности:
15
Для всех наборов переменных, на которых функция принимает
нулевые значения, записать дизъюнкции, инвертируя те переменные,
которым соответствуют единичные значения. Затем дизъюнкции соединить
знаками конъюнкции.
Например, пусть логическая функция задана прежней таблицей
истинности, представленной на рис. 9а. Для наборов 0, 1, 2, 4 записываем
элементарные дизъюнкции:
( x1 + x 2 + x3 ) ( x1 + x 2 + x3 ) ( x1 + x 2 + x3 ) ( x1 + x 2 + x3 ).
Дизъюнкции соединяем знаками конъюнкции и получаем функцию в
СКНФ:
F( x1 , x 2 , x3 )=( x1 + x 2 + x3 )( x1 + x 2 + x3 )( x1 + x 2 + x3 )( x1 + x 2 + x3 ).
При построении ЭВМ широко используются компоненты, работа
которых описывается функциями, представленными в дизъюнктивных
формах. Поэтому целесообразно в дальнейшем рассматривать эти формы
логических функций.
16
3. Законы и формулы алгебры логики
1. Закон двойного отрицания: A  A .
2. Первый закон де Моргана: ( A & B)  A  B .
3. Второй закон де Моргана: ( A  B)  A & B .
4. Выражение коимпликации через конъюнкцию: ( A  B)  A & B .
5. Выражение импликации через дизъюнкцию: A  B  A  B .
6. Выражение эквивалентности через дизъюнкцию и конъюнкцию:
A  B  ( A & B)  ( A & B)  ( A  B) & ( A  B) .
7. Первый закон поглощения: A & ( A  B)  A .
8. Второй закон поглощения: A  A & B  A .
9. A & ( A  B)  A & B .
10. A  A & B  A  B .
11. Законы коммутативности:
A& B  B & A;
A B  B  A.
12. Законы ассоциативности:
( A  B)  C  A  ( B  C ) ;
( A & B) & C  A & ( B & C ) .
13. Законы идемпотентности:
A A  A;
A & A  A.
14. Законы дистрибутивности:
A & ( B  C )  ( A & B)  ( A & C ) ;
A  ( B & C )  ( A  B) & ( A  C ) .
15. A  1  1 , A &1  A , A  A  1 .
16. A & 0  0 , A & A  0 .
17
4. Решение логических задач
4.1. Решение логических задач с помощью составления
логических выражений
Логические задачи обычно формулируются на естественном языке. В
первую очередь их необходимо формализовать, т.е. записать на языке
алгебры высказываний. Полученные логические выражения необходимо
упростить и проанализировать. Для этого иногда бывает необходимо
построить таблицу истинности полученного логического выражения.
При формализации необходимо учитывать следующее соответствие
между логическими операциями и правилами русского языка:

Отрицание – частица «не»;

Дизъюнкция – союз «или»;

Конъюнкция – союзы «и», «а», «но», «хотя», «однако»;

Эквиваленция – слова «в том и только в том случае», «тогда и
только тогда» и другие;

Импликация – слова «если, то».
Рассмотрим пример. В школе-новостройке в каждой из двух аудиторий
может находиться либо кабинет информатики, либо кабинет физики. На
аудиториях повесили шутливые таблички. На первой аудитории повесили
табличку «По крайней мере, в одной из этих аудиторий размещается кабинет
информатики», а на второй аудитории – табличку с надписью «Кабинет
физики находится в другой аудитории». Проверяющему, который пришел в
школу, известно только, что надписи на табличках или обе истинны, либо
обе ложны. Помогите проверяющему найти кабинет информатики.
Решение.
Переведем условие на язык логики высказываний. Так как в каждой из
аудиторий может находиться кабинет информатики, то пусть:
A – «В первой аудитории находится кабинет информатики»;
B – «Во второй аудитории находится кабинет информатики».
Тогда отрицаниям этих высказываний будут соответствовать:
18
- Высказывание, содержащееся на табличке первой аудитории,
соответствует логическому выражению: X=A B.
A - «В первой аудитории находится кабинет физики»,
B - «Во второй аудитории находится кабинет физики»,
- Высказывание, содержащееся на табличке второй аудитории,
соответствует логическому выражению: Y= A .
Содержащееся в условии задачи утверждение о том, что надписи на
табличках либо одновременно истинные, либо одновременно ложные, в
соответствии с законом исключенного третьего записываются следующим
образом: ( X & Y )  ( X & Y ) =1.
Подставим вместо X и Y соответствующие формулы:
( X & Y )  ( X & Y ) = (( A  B) & A )  ( A  B) & A .
Упростим сначала первое слагаемое. В соответствии с законом
дистрибутивности
умножения
относительно
сложения:
(( A  B) & A ) = ( A & A  B & A ) .
В соответствии с законом непротиворечия: ( A & A  B & A ) = (0  B & A ) .
Упростим теперь второе слагаемое. В соответствии с законом де
Моргана
и
законом
двойного
отрицания:
(( A  B) & A ) = ( A & B & A)  ( A & A & B ) .
В соответствии с законом непротиворечия: ( A & A & B )  (0 & B )  0 .
В результате получаем: (0  B & A )  0  B & A .
Полученное логическое выражение оказалось простым и поэтому его
можно проанализировать без построения таблицы истинности. Для того
чтобы выполнялось равенство B & A  1 , обе логические переменные должны
быть равны 1, а соответствующие им высказывания истинны.
Ответ: В первой аудитории находится кабинет физики, а во второй –
кабинет информатики.
19
4.2. Табличный способ решения логических задач
Задача «Летние каникулы». Четверо друзей — Алик, Володя, Миша
и Юра — собрались в доме у Миши. Мальчики оживленно беседовали о том,
как они провели лето.
— Ну, Балашов, ты, наконец, научился плавать? — спросил Володя.
— О, еще как, — ответил Балашов, — могу теперь потягаться в
плавании с тобой и Аликом.
— Посмотрите, какой я гербарий собрал, — сказал Петров, прерывая
разговор друзей, и достал из шкафа большую папку.
Всем, особенно Лунину и Алику, гербарий очень понравился. А
Симонов обещал показать товарищам собранную им коллекцию минералов.
Назовите имя и фамилию каждого мальчика.
Решение. Составим таблицу, где заголовки строк – это фамилии
друзей, а заголовки граф – их имена.
Балашов
Петров
Лунин
Симонов
Алик
-
-
-
+
Володя
-
-
+
-
Миша
-
+
-
-
Юра
+
-
-
-
То, что Балашов разговаривает с Володей, позволяет поставить минус в
ячейке, расположенной на пересечении строки «Балашов» и графы «Алик».
Из того, что ребята собрались в
доме у Миши, а Петров стал им
демонстрировать свой гербарий, находящийся в шкафу, следует, что Миша и
есть Петров. Это позволяет поставить плюс в ячейке, расположенной на
пересечении строки «Петров» и графы «Миша», а также заполнить минусами
все пустые клетки в строке «Петров» и графе «Миша». Гербарий понравился
Лунину и Алику, значит, это два разных человека, следовательно, можно
поставить минус в ячейке, расположенной на пересечении строки «Лунин» и
20
графы «Алик». Из первой строки таблицы следует, что фамилия Юры –
Балашов. Из первой графы таблицы следует, что фамилия Алика – Симонов.
Единственная пустая ячейка на пересечении строки «Лунин» и графы
«Володя» говорит о том, что фамилия Володи – Лунин. Таким образом,
фамилия Алика – Симонов, Володи – Лунин, Миши – Петров и Юры –
Балашов.
Задачи для самостоятельного решения
1. В процессе составления расписания уроков учителя высказывали
свои пожелания. Учитель математики хочет иметь первый или второй урок,
учитель информатики – первый и третий, а учитель физики – второй или
третий уроки. Сколько существует возможных вариантов расписания, и
каковы они?
2. В чашке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас
и вода. Известно, что вода и молоко не в чашке, сосуд с лимонадом стоит
между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан
стоит между банкой и сосудом с молоком. В чем находится вода?
3. Четыре юных филателиста: Митя, Толя, Петя и Саша – купили
почтовые марки. Каждый из них покупал марки только одной страны,
причем двое из них купили российские марки, один – болгарские и один –
чешские. Известно, что Митя и Толя купили марки двух разных стран. Марки
разных стран купили Митя с Сашей, Петя с Сашей, Петя с Митей и Толя с
Сашей. Кроме того, известно, что Митя купил не болгарские марки. Кто
купил чешские марки?
4. В пионерский лагерь приехали три друга: Миша, Володя и Петя.
Известно, что каждый из них имеет одну из фамилий: Иванов, Семенов,
Герасимов. Миша не Герасимов, отец Володи инженер. Володя учится в 6
классе. Герасимов учится в 5 классе. Отец Иванова слесарь. Какая фамилия у
Володи?
21
5. Разбор типовых заданий
Задачи по преобразованию логических функций весьма разнообразны.
Однако их можно подразделить на следующие типовые группы:
1. Упрощение логических функций, заданных различным образом.
2. Построение таблиц истинности функций.
3. Вычисление значения логического выражения для заданного набора
значений переменных.
4. Определение тождественности логических функций.
5.1. Упрощение логических функций, заданных различным
образом
1. Функция задана в произвольной форме.
Пример 1. Упростить логическую функцию, заданную выражением:
F  ( x  y  z )( x  y  z ) .
Решение.
А. Приведение функции к ДНФ путем использования законов и правил,
т.е. F  ( x  y  z ) xyz  x xyz  xyyz  xyzz .
Б. Вычерчивание конъюнкций, равных нулю.
Конъюнкция xyyz  xyz , конъюнкции x xyz , xyzz равны нулю, поэтому
получаем упрощенную функцию F  xyz .
Пример 2. Упростить логическую функцию, заданную выражением:
F  ( x1  x 2  x3 x1 )( x1 x 2  x3 ) .
Решение.
А. Применение закона отрицания с целью последующего перехода к
ДНФ, т.е. F  ( x1  x 2  x3  x1 )( x1 x2 ) x3  ( x1  x 2  x3  x1 )( x1 x2 x3 ) .
Б. Анализ промежуточного результата. Устанавливаем. Что первая
скобка равна единице, т.к. ( x1  x1 )  1 и ( x1  x1  x2  x3 )  (1  f )  1 , где
f  x2  x3 . Окончательно получаем F  x1 x2 x3 .
Пример 3. Упростить логическую функцию, заданную выражением:
22
F  ( xy  xz)( x  yz ) .
Решение.
А. Упрощение функции путем использования закона отрицания и
перенесения скобок:
F  ( x  y  x  z )( x  y  z )  ( x  y  z )( x  y  z )  0  xy  xz  x y  0  yz  x z  yz  0 .
Б. Применение правила расширения:

из группы конъюнкций xy  xz  yz исключаем yz ;

из группы конъюнкций xy  xz  yz исключаем xz ;

из группы конъюнкций xy  yz  xz исключаем xy .
Окончательно получаем: F  xy  yz  x z .
Покажем, что если применять другую последовательность исключения
лишних конъюнкций, можно получить другой вид функции, которая не
поддается дальнейшему упрощению.
Применяем правило расширения в следующей последовательности:

из группы конъюнкций xz  xy  yz исключаем yz ;

из группы конъюнкций xy  xz  yz исключаем yz .
В результате получаем: F  xy  xz  xy  x z .
Эта функция по рассмотренным правилам и законам упрощению не
поддается.
Заметим, что если имеется несколько форм одной функции, которые не
поддаются дальнейшим упрощениям, то они называются тупиковыми. Одна
из них является минимальной.
2. Функция задана таблицей истинности.
Пример 4. Упростить функцию F( x1 , x 2 , x3 ) равную единице на наборах
3, 5, 6, 7 (011, 101, 110, 111).
Решение.
А. Построение таблицы истинности (рис. 9а).
23
В первых трех столбцах записываются возможные наборы. В столбце F
на наборах 011, 101, 110 и 111 проставляются единицы; на остальных
наборах проставляются нули.
Б. Запись функции в СДНФ (см. правило записи).
Наборам 011, 101, 110, 111 соответствуют конъюнкциям x1 x2 x3 , x1 x2 x3 ,
x1 x2 x3 , x1 x2 x3 , поэтому функция будет записана в следующем виде:
F  x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3 .
В. Упрощение функции.
Функции, записанные в СДНФ, первоначально упрощаются по правилу
склеивания.
Затем
применяются
другие
правила
и
тождественные
соотношения.
В данной функции первые три конъюнкции являются соседними с
четвертой. Функция не изменится, если к ней подписать еще две конъюнкции
x1 x2 x3 , т.е. F  x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3 .
После склеивания пар соседних конъюнкций окончательно получим:
F  x2 x3  x1 x3  x1 x2 .
Можно было не подписывать конъюнкцию x1 x2 x3 , а просто склеить
поочередно три первые конъюнкции с четвертой конъюнкцией.
Задания для самостоятельного решения
1. Заданы логические функции: F1, истинная на наборах 0, 1, 3, 7 и
F 2  ( x1 & x3  x2 & x3 ) & ( x1 & x2  x2 & x3  x1 & x3 ) .
Требуется путем преобразований получить минимальную форму
записи функции F2 (упростить).
2. Заданы логические функции F1  x1 & x2  x1 & x2  x2 & x3 и
F 2  ( x3 & x1  x3 & x2 ) & ( x1 & x2  x2 & x3  x1 & x3 ) .
Требуется
кратчайшую форму записи функций F1 и F2 (упростить).
3. Заданы логические функции F1  x1  x2  x3 и
24
получить
F 2  ( x2 & x3  x1 & x3 ) & ( x1 & x2  x3 & x1  x2 & x3 ) .
Требуется
получить
Требуется
получить
кратчайшую форму записи функций F1 и F2.
4. Заданы логические функции F1  x1  x2  x3 и
F 2  ( x 2 & x3  x1 & x3 ) & ( x1 & x 2  x3 & x1  x 2 & x3 ) .
кратчайшую форму записи функций F1 и F2. проверить, являются ли они
тождественными.
5.2. Построение таблиц истинности функций
Пример 5. Построить таблицу истинности функции: F  x1 x2  x1 x3 .
Решение.
А. Запись заданной функции в СДНФ.
Данная функция зависит от трех переменных и записана в ДНФ. Для
записи функции в СДНФ первая конъюнкция умножается на выражение
( x3  x3 )  1 , вторая – на выражение ( x2  x2 )  1 . В скобках используются те
переменные и их отрицания, которые отсутствуют в конъюнкциях:
F  x1 x2 ( x3  x3 )  x1 x3 ( x2  x2 )  x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3 .
Б. Определение наборов, на которых функция принимает единичное
значение.
Так как по правилу записи конъюнкций в СДНФ единице в наборе
соответствует переменная, а нулю – ее отрицание, то конъюнкциям x1 x2 x3 ,
x1 x2 x3 , x1 x2 x3 , x1 x2 x3 соответствуют наборы 111, 110, 011, 001, т.е. 7,6,3,1.
В. Непосредственное построение таблицы.
В столбце F таблицы (рис. 9б) на наборах 111, 110, 011, 001
проставляются единицы, а на остальных наборах ставятся нули.
Задания для самостоятельного решения
1. Построить таблицу истинности функции: F  x1 x2  x1 x2 .
2. Построить таблицу истинности функции: F  x1 x2 x3  x1 x2 x3 .
3. Построить таблицу истинности функции: F  x1 x3  x1 x2 .
25
4. Построить таблицу истинности функции: F  x1 x2  x1 x2  x2 x3 .
5.3. Вычисление значения логического выражения
Для вычисления значения логического выражения на заданном наборе
значений переменных можно применять два способа: способ использования
СДНФ и способ подстановки.
Пример 6. Вычислить значение логического выражения.
V  y z  x y при x=1, y=1, z=0, т.е. на наборе 6, или 110.
Решение.
Первый способ.
А. Получение СДНФ заданной функции (см. выше пример 4):
V  yz ( x  x )  xy ( z  z )  xyz  x yz  xyz  xyz .
После
исключения
повторяющейся
конъюнкции
получим:
V  xyz  x yz  xyz .
Б. Определение значения выражения.
Выражение V принимает единичное значение только на наборах 100,
000 и 101, или 4, 0, 5. Так как задан набор 6, то логическое выражение
принимает нулевое значение (V=0).
Второй способ не нуждается в особых пояснениях. При заданных
значениях x=1, y=1 и z=0 имеем y =0, z =1. Подставляем эти значения в
выражение и получаем: V=0•1+1•0=0+0=0.
В случае вычисления значений сложных логических выражений второй
способ не исключает ошибок.
Задания для самостоятельного решения
1. Вычислить значение логического выражения V  y z  x yz при
x=0, y=1, z=1, т.е. на наборе 3, или 011.
2. Вычислить значение логического выражения V  x y z  x y z при
x=1, y=0, z=0, т.е. на наборе 4, или 100.
26
3. Определите значение логического выражения не (X > Z) и не (X=Y),
если:
1) X=3, Y=5, Z=2;
2) X=0, Y=1, Z=19;
3) X=5, Y=0, Z= -8;
4) X=9, Y= -9, Z=9.
5.4. Определение тождественности логических функций
Тождественными являются те логические функции, которые имеют
одинаковые СДНФ, т.е. одинаковые таблицы истинности. Поэтому при
определении тождественности для логических функций должны быть
построены таблицы истинности или получены СДНФ. Таблицы или СДНФ
сравниваются, и делается вывод о тождественности функций.
Тождественно истинными (тавталогиями) называются логические
формулы, которые истинны на всех наборах переменных. Тождественно
ложными (противоречиями) называются логические формулы, которые
ложны на всех наборах переменных.
Пример 7. Проверить тождественность логических функций:
F  ( x1 x2  x2 x3 )( x1 x2  x2 x3  x1 x3 )
f  x2 ( x1 x3  x1 x3 )
P  x2 ( x1 x3  x1 x3 ) .
Решение.
А. Упрощение функции F.
Применяем
закон
отрицания
и
перемножаем
скобки,
т.е.
F  ( x1 x2  x2 x3 )(( x1  x2 )( x2  x3 )  x1 x3 )  ( x1 x2  x2 x3 )( x1 x2  0  x1 x3  x2 x3  x1 x3 ) .
Во второй скобке конъюнкции x1 x3 и x1 x3 склеиваются, поэтому
получаем:
F  ( x1 x2  x2 x3 )( x1  x1 x2  x2 x3 ) .
Переменная x1 поглощает конъюнкцию x1 x2 , что дает
27
F  ( x1 x2  x2 x3 )( x1  x2 x3 ) или F  0  x1 x2 x3  x1 x2 x3  0 .
Функция F оказалась записанной в СДНФ, так как содержит
конъюнкции одинакового ранга, и в них входят все переменные, от которых
она зависит.
Б. Преобразование функции f .
f  x2 ( x1 x3  x1 x3 )  x1 x2 x3  x1 x2 x3 . Функция f также записана в СДНФ.
Так как СДНФ функций F и f не совпадают, то они не являются
тождественными.
В. Преобразование функции P.
P  x2 ( x1 x3  x1 x3 )  x1 x2 x3  x1 x2 x3 . Получена СДНФ функции P.
Функции F и P являются тождественными, так как имеют одинаковые
СДНФ.
Пример 8. Проверить тождественность логических функций F и f.
F  ( x1 x2  x2 x3 )( x1 x2  x1 x3  x2 x3 ) .
f ( x1 , x2 , x3 ) принимает единичные значения на наборах 2, 3.
Решение.
А. Упрощение функции F.
Применяется закон отрицания: F  ( x1 x2  x2 x3 )( x1 x2  x1 x3  x2  x3 ) .
Во второй скобке переменная x 2 поглощает конъюнкцию x1 x2 , что
приводит к следующему результату: F  ( x1 x2  x2 x3 )( x1 x3  x2  x3 ) .
Во второй скобке используется правило свертки, и затем скобки
перемножаются:
F  ( x1 x2  x2 x3 )( x1  x2  x3 )  x1 x2  x1 x2 x3  x1 x2 x3  0  0  0  x1 x2  x1 x2 x3  x1 x2 x3 ) 
 x1 x2 (1  x3  x3 )  x1 x2 .
Б. Получение СДНФ функции F.
F  x1 x2 ( x3  x3 )  x1 x2 x3  x1 x2 x3 .
В. Получение СДНФ функции f.
Так как функции f принимает единичные значения на наборах 2 и 3, то
ее СДНФ будет иметь вид f  x1 x2 x3  x1 x2 x3 .
28
Функции F и f имеют одинаковые СДНФ, следовательно, они
тождественны.
Пример 9. Проверить тождественность логических функций:
F  ( x  y  z )( x  y  z ) и f ( x1 , x 2 , x3 ) .
Решение.
Функция f имеет следующую минимальную форму: f  xy  yz  x z .
А. Упрощение функции F:

перемножение скобок
F  ( x  y  z )( x  y  z )  0  xy  xz  x y  0  yz  x z  yz  0 ;

исключение лишней конъюнкции yz из группы xz  xy  yz ;

исключение лишней конъюнкции yz из группы xy  xz  yz .
В результате получаем: F  xy  xz  x y  x z .
Упрощенная форма функции F и минимальная форма функции f не
совпадают. Однако это не значит, что функции не тождественны. Для
окончательного вывода нужно получить СДНФ обеих функций.
Б. Получение СДНФ функции F.
F  xy  xz  x y  x z  xy( z  z )  xz ( y  y )  x y ( z  z )  x z ( y  y ) 
 xyz  xyz  xyz  xyz  xyz  xyz  xyz .
После удаления повторяющихся конъюнкций получаем:
F  xyz  xyz  xyz  x yz  x yz  x yz .
В. Получение СДНФ функции f.
f  xy  yz  x z  xy( z  z )  yz ( x  x )  x z ( y  y ) 
 xyz  xyz  xyz  xyz  xyz  xyz .
Функции F и f имеют одинаковые СДНФ и принимают единичные
значения на одних и тех же наборах 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Эти функции
тождественны. Так как минимальные формы функций не совпадают, то
можно сделать вывод, что для функции F была получена тупиковая форма.
29
Пример 10. Три множества A={a, b, c}, B={0, 1}, C={1, 5, c} заданы
перечислением элементов. Определить множество D, являющееся решением
D=(A
B)
C.
1) {c, 1};
2) {a, b, 1};
3) {c, 1, 5};
4) {1};
5) {Ø}.
Решение.
Построим множество D = (A
B)
C. Выполним операции по шагам.
А. A
B = {a, b, c} {0, 1} = {Ø}, т.к. нет общих элементов.
Б. (A
B)
C = {Ø}
{1, 5, c} = {Ø}, т. к. нет общих элементов.
Ответ: 5).
Пример 11. Укажите, при каких значениях x, y, p истинно следующее
выражение:
(p и (x-1 < y) или не (x >= y)).
1) x=7, y=6, p=нет;
2) x=7, y=6, p=да;
3) x=7, y=7, p=нет;
4) x=4, y=6, p=да;
5) x=6, y=4, p=да.
Решение.
А. Проставим порядок действий и будем последовательно определять
значение каждого логического выражения.
2
1
5 4
3
(p и (x-1 < y) или не (x >= y)).
Б. Составим таблицу истинности для каждого варианта ответа.
30
№
вар.
1.
x
y
p
x>=y
7
6
Нет
2.
7
6
Да
3.
7
7
Нет
4.
4
6
Да
5.
6
4
Да
7>=6
да
7>=6
да
7>=7
да
4>=6
нет
6>=4
да
Не
(x>=y)
Нет
Нет
Нет
Да
Нет
(x-1)<y
P и (x-1)<y
(7-1)<6
нет
(7-1)<6
нет
(7-1)<7
да
(4-1)<6
да
(6-1)<4
нет
Нет и нет
=нет
Да и нет
=нет
Нет и да
=нет
Да и да = да
(p и (x-1)<y)
или не (x>=y))
Нет или нет
=нет
Нет или нет
=нет
Нет или нет
=нет
Да или да = да
Да и нет
=нет
Нет или нет
=нет
Ответ: 4).
Пример 12. Укажите, при каких значениях x, y, z, ложно следующее
выражение: (не z или (y и x)) и (не x или y).
1) x=1, y=1, z=1;
2) x=0, y=1, z=0;
3) x=1, y=0, z=1;
4) x=0, y=0, z=0;
5) x=1, y=1, z=0.
Решение.
А. Проставим порядок действий и будем последовательно определять
значение каждого логического выражения.
2
3
1 6 4
5
(не z или (y и x)) и (не x или y).
Б. Составим таблицу истинности для каждого варианта ответа.
№
x
y
z
y и x не z
вар.
не z или (y
не x
не x или y
и x)
(не z или
(y и x)) и
(не x или y)
1.
1
1
1
1
0
0 или 1 = 1
0
0 или 1 = 1
1и1=1
2.
0
1
0
0
1
1 или 0 = 1
1
1 или 1 = 1
1и1=1
3.
1
0
1
0
0
0 или 0 = 0
0
0 или 0 = 0
0и0=0
4.
0
0
0
0
1
1 или 0 = 1
1
1 или 0 = 1
1и1=1
5.
1 1
0
1
1
1 или 1 = 1
0
0 или 1 = 1
1и1=1
31
Ответ: 3).
Задания для самостоятельного решения
1. Заданы логические функции: F1, истинная на наборах 0, 1, 3, 7 и
F 2  ( x1 & x3  x2 & x3 ) & ( x1 & x2  x2 & x3  x1 & x3 ) .
Требуется
проверить,
является ли функция F2 тождественной функции F1.
2.
Заданы
логические
функции
F1  x1 & x2  x1 & x2  x2 & x3
и
F 2  ( x3 & x1  x3 & x2 ) & ( x1 & x2  x2 & x3  x1 & x3 ) . Требуется проверить, являются
ли они тождественными.
3. Заданы логические функции F1  x1  x2  x3 и
F 2  ( x2 & x3  x1 & x3 ) & ( x1 & x2  x3 & x1  x2 & x3 ) .
Требуется
проверить,
являются ли они тождественными.
4. Заданы логические функции F1  x1  x2  x3 и
F 2  ( x 2 & x3  x1 & x3 ) & ( x1 & x 2  x3 & x1  x 2 & x3 ) .
Требуется проверить,
являются ли они тождественными.
5. Выражение ( X 2  Y 2  9) и не ((( X  2) 2  Y 2 ) или
(( X  Y ) 2  2 X ))
ложно при следующих значениях набора переменных:
1) X = -2, Y = 0;
2)X = 0, Y = l;
3)X = 2, У = 0;
4) X = -l, Y = -l;
5)X = l, Y = 2.
5.5. Решение задач с помощью кругов Эйлера
Пример 13. В таблице приведены запросы к поисковому серверу.
Расположите обозначения запросов в порядке возрастания количества
страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
32
Для обозначения логической операции «ИЛИ» в запросе используется
символ , а для логической операции «И» - &.
А
волейбол  баскетбол  подача
Б
волейбол  баскетбол  подача  блок
В
волейбол  баскетбол
Г
волейбол & баскетбол & подача
Решение.
Способ 1. Связка И между двумя словами в поисковом запросе
означает, что требуется найти web-страницы, содержащие одновременно и
первое, и второе слово. Связка ИЛИ – что ищутся страницы, включающие
хотя
бы одно из указанных слов. Поэтому больше всего страниц будет
найдено по запросу Б, т.к. в искомое множество страниц попадут все
страницы, каждая из которых содержит хотя бы одно (любое) слово из
поискового запроса.
Меньше всего
страниц будет найдено по запросу Г, поскольку он
требует присутствия на искомой странице всех трех слов одновременно.
По запросу А будет найдено больше страниц, чем по запросу В, из-за
этого в результате запроса А войдут страницы, содержащие слово «подача»,
которые не попадут в результате выполнения запроса В, если в них не будет
слов «волейбол» и «баскетбол». Так, например, если на странице есть
словосочетание «подача в теннисе», но нет ни слова про волейбол и
баскетбол, то она будет найдена по запросам А и Б, но не будет найдена по
запросам В и Г.
Ответ: ГВАБ.
Способ 2. Рассмотрим множества web-страниц, содержащие каждое из
искомых слов. Запросу X&X будет соответствовать пересечение множеств X
и Y, а запросу X  Y – их объединение. Воспользуемся графическим
представлением действий над множествами (кругами Эйлера). Множество
33
страниц,
содержащих
некоторое
слово,
будем
обозначать
кругом.
Множество, получившееся в результате запроса, будем закрашивать серым
цветом.
Диаграмма для запроса А будет выглядеть следующим образом:
Диаграмма для запроса Б будет выглядеть следующим образом:
Диаграмма для запроса В будет выглядеть следующим образом:
Диаграмма для запроса Г будет выглядеть следующим образом:
34
Получается, что результаты запроса возрастают в порядке ГВАБ.
Ответ: ГВАБ.
Задачи для самостоятельного решения
1. База данных "Олимпиада", наряду с другими, имеет поля с
названиями "страна" и "медаль". В базе данных находятся записи о
награждении спортсменов России и США золотыми, серебряными и
бронзовыми медалями. Количество записей N, удовлетворяющих различным
запросам, приведено в следующей таблице:
Запрос
N
страна = США или медаль ≠ бронзовая
39
медаль = серебряная или медаль = золотая
30
неверно, что (страна = Россия или медаль = серебряная) 14
Количество записей, удовлетворяющих запросу "медаль = золотая и
страна = США", равно _?
2. База данных "Студенты", наряду с другими, имеет поля с названиями
"пол" и "специальность". В базе данных находятся записи о студентах
первого курса трех специальностей: ИС - информационные системы, ИТ информационные технологии и ПМ - прикладная математика. Количество
записей N, удовлетворяющих различным запросам, приведено в следующей
таблице:
35
Запрос
N
пол = ж и специальность = ИТ
10
Специальность = ИТ или специальность = ПМ
36
неверно, что (специальность = ПМ или пол = м)
16
Количество записей, удовлетворяющих запросу "специальность ≠ ИС
или пол = ж", равно _?
3. База данных «Микрорайон», наряду с другими, имеет поля с
названиями «тип дома» и «этажность». В базе данных находятся 38 записей о
панельных и кирпичных домах высотой в 9, 12 и 16 этажей. Количество
записей N, удовлетворяющих различным запросам, приведено в следующей
таблице:
Запрос
N
Этажность = 9 или тип дома = панельный
23
Неверно, что (этажность = 12 и тип дома = панельный)
31
Этажность = 16 и тип дома = кирпичный
9
Количество записей, удовлетворяющих запросу «этажность ≠ 12»,
равно _?
36
6. Варианты тестовых заданий
Вариант 1
1. Для какого из указанных значений X истинно высказывание
¬ ((X>2) –> (X>3))?
1) 1
2) 2
3)3
4) 4
Ответ: 3)
2. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению
A /\ ¬ (¬B \/ C).
1) ¬A \/ ¬B \/ ¬C
2) A /\ ¬B /\ ¬C
3) A /\ B /\ ¬C
4) A /\ ¬B /\ C
Ответ: 3)
3. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических
выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности
выражения F:
X
Y
Z
F
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
Какое выражение соответствует F?
1) ¬X /\ ¬Y /\ ¬Z
2) X /\ Y /\ Z
3) X \/ Y \/ Z
4) ¬X \/ ¬Y \/ ¬Z
Ответ: 4)
4. Цепочка из трех бусин, помеченных латинскими буквами,
формируется по следующему правилу. В конце цепочки стоит одна из бусин
A, B, C. На первом месте – одна из бусин B, D, C, которой нет на третьем
месте. В середине – одна из бусин А, C, E, B, не стоящая на первом месте.
Какая из перечисленных цепочек создана по этому правилу?
1) CBB 2) EAC 3) BCD 4) BCB
Ответ: 1)
5. Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе
появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду,
другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор
37
знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а
кто – нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает,
что никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию. Он вызвал всех
троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: "Я всегда
прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша". Саша сказал:
"Это был мой первый прогул этого предмета". Миша сказал: "Все, что
говорит Коля, – правда". Директор понял, кто из них кто. Расположите
первые буквы имен мальчиков в порядке: "говорит всегда правду", "всегда
лжет", "говорит правду через раз". (Пример: если бы имена мальчиков были
Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть: РТВ)
Ответ: СКМ.
6. В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите
номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет
поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции “ИЛИ” в запросе используется
символ |, а для логической операции “И” – &.
1
принтеры & сканеры & продажа
2
принтеры & продажа
3
принтеры | продажа
4
принтеры | сканеры | продажа
Ответ: 1234.
7. В понедельник в одном из классов должно быть проведено 4 урока –
по математике, физике, информатике и биологии. Учителя высказали свои
пожелания для составления расписания. Учитель математики хочет иметь
первый или второй урок, учитель физики - второй или третий урок, учитель
информатики – первый или четвертый, учитель биологии – третий или
четвертый. Какой вариант расписания устроит всех учителей школы?
(Обозначения: М – математика, Ф – физика, И – информатика, Б – биология)
1) ИМБФ
2) МФБИ
3) МИФБ
Ответ: 2).
38
4) МБФИ
8. Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание
((X < 5) –> (X < 3)) /\ ((X < 2) –> (X < 1))?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Ответ: 2).
9. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению
¬(A \/ ¬ B \/ C)?
1) ¬A \/ B \/ ¬C
2) A /\ ¬B /\ C
3) ¬A \/ ¬B \/ ¬C 4) ¬A /\ B /\ ¬C
Ответ: 4).
10. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических
выражений от трех аргументов X, Y, Z.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
X
Y
Z
F
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
Какое выражение соответствует F?
1) X \/ ¬Y \/ Z
2) X /\ Y /\ Z
3) X /\ Y /\ ¬ Z
4) ¬X /\ Y /\ ¬Z
Ответ: 1).
11. В формировании цепочки из четырех бусин используются
некоторые правила. В конце цепочки стоит одна из бусин Р, N, Т, O. На
первом – одна из бусин P, R, T, O, которой нет на третьем месте. На третьем
месте – одна из бусин O, P, T, не стоящая в цепочке последней. Какая из
перечисленных цепочек могла быть создана с учетом этих правил?
1) PORT
2) TTTO
3) TTOO
4) OOPO
Ответ: 4).
12. Из правил соревнования по тяжелой атлетике:
39
Тяжелая атлетика это прямое соревнование, когда каждый атлет имеет
три попытки в рывке и три попытки в толчке. Самый тяжелый вес поднятой
штанги в каждом упражнении суммируется в общем зачете. Если спортсмен
потерпел неудачу во всех трех попытках в рывке, он может продолжить
соревнование в толчке, но уже не сможет занять какое-либо место по сумме
2-х упражнений. Если два спортсмена заканчивают состязание с одинаковым
итоговым результатом, высшее место присуждается спортсмену с меньшим
весом. Если же вес спортсменов одинаков, преимущество отдается тому, кто
первым поднял победный вес.
Таблица результатов соревнований по тяжелой атлетике:
Фамилия, И.О.
Вес
Взято в
спортсмена рывке
Рывок с
Взято в
Толчок
попытки
толчке
с
попытки
Айвазян Г.С.
77,1
150,0
3
200,0
2
Викторов М.П.
79,1
147,5
1
202,5
1
Гордезиани Б.Ш. 78,2
147,5
2
200,0
1
Михальчук М.С. 78,2
147,5
2
202,5
3
Пай С.В.
79,5
150,0
1
200,0
1
Шапсугов М.Х.
77,1
147,5
1
200,0
1
Кто победил в общем зачете (сумме двух упражнений)?
1) Айвазян Г.С.
2) Викторов М.П.
3) Михальчук М.С.
4) Пай С.В.
Ответ: 1).
13. Сколько различных решений имеет уравнение
((K \/ L) –> (L /\ M /\ N)) = 0
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно
перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых
40
выполнено данное равенство. В качестве ответа Вам нужно указать
количество таких наборов.
Ответ: 10.
14. В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите
обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые
найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции “ИЛИ” в запросе используется
символ |, а для логической операции “И” – &.
А Физкультура
Б
Физкультура & подтягивания & отжимания
В Физкультура & подтягивания
Г
Физкультура | фитнес
Ответ: БВАГ.
15. Какое из следующих предложений является высказыванием?
1) Ура, скоро Новый Год!
2) Светает.
3) 3+4*56.
4) Первый зимний месяц – декабрь.
Ответ: 4).
16. Имеются логические переменные A, B и F, связанные следующей
таблицей истинности:
A
B
F
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Какова зависимость F от A и B?
1. От A не зависит, F = ¬ B.
2. От A не зависит, F = B.
41
3. F не зависит от A и B.
4. F = A /\ B.
Ответ: 2.
17. Имеются две логические переменные: A и В. Составьте и упростите
логическое выражение F, соответствующее следующей таблице истинности:
A
B
F
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
Результат запишите в виде: F=_ _ _ _.
Ответ: F= ¬ A.
18. Имеются две логические переменные A и B. Упростите логическое
выражение F, составленное из этих переменных:
F  ( A  B)  (A  B)  ( A  B)  (A  B) .
Определите, как зависит упрощенное выражение F от значений А и В?
1. F зависит только от значения А.
2. F зависит только от значения В.
3. F не зависит от значений А и В, выражение всегда ложно.
4. F не зависит от значений А и В, выражение всегда истинно.
Ответ: 4.
19. Имеются логические переменные: А и В. Упростите логическое
выражение F, составленное из этих переменных:
F  ( A  B)  (A  B) .
Приоритет операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Ответ
запишите в формате F = _ _ _ _.
Ответ: F=1.
20. Дана таблица истинности:
42
X
Y
?
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
Какому логическому выражению она соответствует?
1. X  Y .
2.  Y .
3. X .
4. X  Y .
Ответ: 3.
21. Районный отдел трудоустройства осуществляет начальное обучение
(1 группа) или повышение квалификации (2 группа) людей, которые по
каким либо причинам ищут работу. Особое внимание уделяется слушателям,
входящим «в группу риска». Это люди, которым «за 40», и они или не имеют
в настоящее время работы, или пришли в группу начального обучения.
Какая логическая формула отражает отбор в «группу риска»?
1. И (Возраст>40) ИЛИ (Работа = « - » ; Группа = 1).
2. ИЛИ (Возраст>40; Работа = « - » ; Группа = 1).
3. И (Возраст>40; ИЛИ (Работа = « - » ; Группа = 1)).
4. И (Возраст>40; Работа = « - » ; Группа = 1).
Ответ: 3.
22. В таблице истинности указаны значения трех логических
переменных: А, В и С. Запишите в столбце F значения, соответствующие
логическому выражению F  A  B  C .
A
B
C
0
0
0
0
0
1
0
1
0
F
43
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
Содержимое столбца запишите в виде строки без пробелов.
Ответ: 00000010.
23. Имеются три логические переменные: А, В и С, из которых
составлено логическое выражение:
F  ( A  B  C )  (A  B  C )  ( B  C ) .
Упростите логическое выражение F и определите, значения каких
переменных влияют на значение F.
1. А и В.
2. В.
3. С.
4. В и С.
Ответ: 2.
24. Какое из выражений эквивалентно логической формуле
( A  B) & ( A  (B)) ?
1. A & B .
2. A .
3. A  B .
4. B & ( A  B) .
Ответ: 2.
25. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно
высказывание:
(50 < X*X) -> (50 > (X+1) * (X+1))?
Ответ: 7.
26. Сколько различных решений имеет уравнение
((К \/ L) /\ (M \/ N)) = 1, где K, L, M, N – логические переменные?
44
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M
и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно
указать количество таких наборов.
Ответ: 9.
27. X, Y, Z – целые числа, для которых истинно высказывание
((Z<X) \/ (Z<Y)) /\ ¬ ((Z+1)<Y).
Чему равно Z, если X=20, Y=10?
Ответ: 19.
28. Упростите выражение (( X  Y ) .
Ответ: X  Y .
29. А, В, С – целые числа, для которых истинно высказывание
¬ (А=В) /\ ((А>В) -> (B>C)) /\ ((B>A) -> (C>B)).
Чему равно B, если А=45, С=43?
Ответ: 44.
30. Множество точек выделенной на рисунке области равно (несколько
вариантов ответа):
1) B  (C  A  D)
2) (C  B)  ( D  B)  (C  D  A)
3) ( A  B)  (C  D)  (C  B)
4) (C  B)  ( B  D)  ( A  B)
45
5) ( B  ( A  D))  (C  ( B  A))
Ответ: 1), 4), 5).
46
Вариант 2
1. Для какого числа X истинно высказывание
((X>3) \/(X<3)) –> (X<1)?
1)1
2) 2
3) 3
4) 4
Ответ: 3)
2. Какое логическое выражение равносильно выражению
¬ (A /\ B) /\ ¬C?
1) ¬A \/ B \/ ¬C
2) (¬A \/ ¬B) /\ ¬C
3) (¬A \/ ¬B) /\ C
4) ¬A /\ ¬B /\ ¬C
Ответ: 2)
3. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических
выражений от трех аргументов: X, Y, Z.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
X
Y
Z
F
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
Какое выражение соответствует F?
1) ¬X \/ Y \/ ¬Z
2) X /\ Y /\ ¬Z
3) ¬X /\ ¬Y /\ Z
4) X \/ ¬Y \/ Z
Ответ: 2)
4. Для составления цепочек разрешается использовать бусины 5 типов,
обозначаемых буквами А, Б, В, Е, И. Каждая цепочка должна состоять из
трех бусин, при этом должны соблюдаться следующие правила:
1) на первом месте стоит одна из букв: А, Е, И,
47
2) после гласной буквы в цепочке не может снова идти гласная, а после
согласной – согласная,
3) последней буквой не может быть А.
Какая из цепочек построена по этим правилам?
1)АИБ
2) ЕВА
3) БИВ
4) ИБИ
Ответ: 4)
5. В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших
вошли девушки: Наташа, Маша, Люда и Рита. Самые горячие болельщики
высказали свои предположения о распределении мест в дальнейших
состязаниях.
Один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет второй. Другой
болельщик на второе место прочит Люду, а Рита, по его мнению, займет
четвертое место. Третий любитель тенниса с ними не согласился. Он считает,
что Рита займет третье место, а Наташа будет второй. Когда соревнования
закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в
одном из своих прогнозов.
Какое место на чемпионате заняли Наташа, Маша, Люда, Рита? (В
ответе перечислите подряд без пробелов числа, соответствующие местам
девочек в указанном порядке имен.)
Ответ: 1423.
6. В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите
обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые
найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции “ИЛИ” в запросе используется
символ |, а для логической операции “И” – &.
А
волейбол | баскетбол | подача
Б
волейбол | баскетбол | подача | блок
В
волейбол | баскетбол
Г
волейбол & баскетбол & подача
Ответ: ГВАБ.
48
7. Сколько различных решений имеет уравнение
((K \/ L) –> (L /\ M /\ N)) = 0, где K, L, M, N – логические переменные?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L,
M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа Вам
нужно указать количество таких наборов.
Ответ: 10.
8. Для какого из указанных значений X истинно высказывание
¬ ((X>2) –> (X>3))?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Ответ: 3).
9. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению
A /\ ¬ (¬B \/ C).
1) ¬A \/ ¬B \/ ¬C
2) A /\ ¬B /\ ¬C
3) A /\ B /\ ¬C
4) A /\ ¬B /\ C
Ответ: 3).
10. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических
выражений от трех аргументов: X, Y, Z.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
X
Y
Z
F
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
Какое выражение соответствует F?
1) ¬X /\ ¬Y /\ ¬Z
2) X /\ Y /\ Z
3) X \/ Y \/ Z
4) ¬X \/ ¬Y \/ ¬Z
Ответ: 4).
11. Цепочка из трех бусин, помеченных латинскими буквами,
формируется по следующему правилу. В конце цепочки стоит одна из бусин
A, B, C. На первом месте – одна из бусин B, D, C, которой нет на третьем
49
месте. В середине – одна из бусин А, C, E, B, не стоящая на первом месте.
Какая из перечисленных цепочек создана по этому правилу?
1) CBB
2) EAC
3) BCD
4) BCB
Ответ: 1).
12. Результаты тестирования представлены в таблице:
Фамилия
Пол Математ Русский Химия Информа
ика
язык
Биология
тика
Аганян
ж
82
56
46
32
70
Воронин
м
43
62
45
74
23
Григорчук
м
54
74
68
75
83
Роднина
ж
71
63
56
82
79
Сергеенко
ж
33
25
74
38
46
Черепанова
ж
18
92
83
28
61
Сколько записей в ней удовлетворяют условию
«Пол=’ж’ ИЛИ Химия>Биология»?
1) 5
2) 3
3) 4
4) 4
Ответ: 1).
13. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно
высказывание (50<X·X)–>(50>(X+1)·(X+1))?
Ответ: 7.
14. Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе
появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду,
другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор
знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а
кто – нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает,
что никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию. Он вызвал всех
троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: "Я всегда
прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша". Саша сказал:
"Это был мой первый прогул этого предмета". Миша сказал: "Все, что
говорит Коля, – правда". Директор понял, кто из них кто. Расположите
50
первые буквы имен мальчиков в порядке: "говорит всегда правду", "всегда
лжет", "говорит правду через раз". (Пример: если бы имена мальчиков были
Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть: РТВ)
Ответ: СКМ.
15. Из нижеприведенных фраз выберите ту, которая является истинным
высказыванием:
1. Все кошки серы.
2. Познай самого себя.
3. Талант всегда пробьет себе дорогу.
4. Число 7 – простое.
Ответ: 4).
16. Упростите выражение (X  Y )  X .
Ответ: X  Y .
17. Имеются две логические переменные: A и В. Составьте и упростите
логическое выражение F, соответствующее следующей таблице истинности:
A
B
F
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
Результат запишите в виде: F=_ _ _ _.
Ответ: F= ¬ A.
18. Имеются две логические переменные A и B. Упростите логическое
выражение F, составленное из этих переменных:
F  ( A  B)  (A  B)  ( A  B)  (A  B) .
Определите, как зависит упрощенное выражение F от значений А и В?
5. F зависит только от значения А.
6. F зависит только от значения В.
7. F не зависит от значений А и В, выражение всегда ложно.
51
8. F не зависит от значений А и В, выражение всегда истинно.
Ответ: 4.
19. Имеются логические переменные: А и В. Упростите логическое
выражение F, составленное из этих переменных:
F  ( A  B)  (A  B) .
Приоритет операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Ответ
запишите в формате F = _ _ _ _.
Ответ: F=1.
20. Дана таблица истинности:
X
Y
?
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
Какому логическому выражению она соответствует?
1. X  Y .
2.  Y .
3. X .
4. X  Y .
Ответ: 3.
21. Районный отдел трудоустройства осуществляет начальное обучение
(1 группа) или повышение квалификации (2 группа) людей, которые по
каким либо причинам ищут работу. Особое внимание уделяется слушателям,
входящим «в группу риска». Это люди, которым «за 40», и они или не имеют
в настоящее время работы, или пришли в группу начального обучения.
Какая логическая формула отражает отбор в «группу риска»?
5. И (Возраст>40) ИЛИ (Работа = « - » ; Группа = 1).
6. ИЛИ (Возраст>40; Работа = « - » ; Группа = 1).
7. И (Возраст>40; ИЛИ (Работа = « - » ; Группа = 1)).
8. И (Возраст>40; Работа = « - » ; Группа = 1).
52
Ответ: 3.
22. В таблице истинности указаны значения трех логических
переменных: А, В и С. Запишите в столбце F значения, соответствующие
логическому выражению F  A  B  C .
A
B
C
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
F
Содержимое столбца запишите в виде строки без пробелов.
Ответ: 00000010.
23. Имеются три логические переменные: А, В и С, из которых
составлено логическое выражение:
F  ( A  B  C )  (A  B  C )  ( B  C ) .
Упростите логическое выражение F и определите, значения каких
переменных влияют на значение F.
5. А и В.
6. В.
7. С.
8. В и С.
Ответ: 2.
24. Какое из выражений эквивалентно логической формуле
( A  B) & ( A  (B)) ?
1. A & B .
2. A .
3. A  B .
53
4. B & ( A  B) .
Ответ: 2.
25. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно
высказывание:
(50 < X*X) -> (50 > (X+1) * (X+1))?
Ответ: 7.
26. Сколько различных решений имеет уравнение
((К \/ L) /\ (M \/ N)) = 1, где K, L, M, N – логические переменные?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M
и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно
указать количество таких наборов.
Ответ: 9.
27. X, Y, Z – целые числа, для которых истинно высказывание
((Z<X) \/ (Z<Y)) /\ ¬ ((Z+1)<Y).
Чему равно Z, если X=20, Y=10?
Ответ: 19.
28. А, В, С – целые числа, для которых истинно высказывание
¬ (А=В) /\ ((А>В) -> (B>C)) /\ ((B>A) -> (C>B)).
Чему равно B, если А=45, С=43?
Ответ: 44.
29. Множество точек выделенной на рисунке области равно (несколько
вариантов ответа):
54
1) B  (C  A  D)
2) (C  B)  ( D  B)  (C  D  A)
3) ( A  B)  (C  D)  (C  B)
4) (C  B)  ( B  D)  ( A  B)
5) ( B  ( A  D))  (C  ( B  A))
Ответ: 1), 4), 5).
30. Имеются логические переменные A, B и F, связанные следующей
таблицей истинности:
A
B
F
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Какова зависимость F от A и B?
5. От A не зависит, F = ¬ B.
6. От A не зависит, F = B.
7. F не зависит от A и B.
8. F = A /\ B.
Ответ: 2.
55
Вариант 3
1. Для какого имени истинно высказывание:
¬ (Первая буква имени гласная -> Четвертая буква имени согласная)?
1) ЕЛЕНА
2) ВАДИМ
3) АНТОН
4) ФЕДОР
Ответ: 3).
2. Какое логическое выражение равносильно выражению ¬ (А \/ ¬B)?
1) A \/ B
2) A /\ B
3) ¬A \/ ¬B
4) ¬A /\ B
Ответ: 4).
3. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических
выражений от трех аргументов: X, Y, Z.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
X
Y
Z
F
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
Какое выражение соответствует F?
1) ¬X/\¬Y/\Z
2) ¬X\/¬Y\/Z
3) X\/Y\/¬Z
4) X\/Y\/Z
Ответ: 3).
4. Цепочка из трех бусин формируется по следующему правилу:
На первом месте в цепочке стоит одна из бусин А, Б, В. На втором – одна из
бусин Б, В, Г. На третьем месте – одна из бусин А, В, Г, не стоящая в цепочке
на первом или втором месте.
Какая из следующих цепочек создана по этому правилу:
1) АГБ
2) ВАГ
3) БГГ
4) ББГ
Ответ: 4).
5. Каким условием нужно воспользоваться для поиска в сети Интернет
информации о цветах, растущих на острове Тайвань или Хонсю (для
обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ |, а для
операции «И» - символ &)?
56
1) Цветы & (Тайвань | Хонсю)
2) Цветы & Тайвань & Хонсю
3) Цветы | Тайвань | Хонсю
4) Цветы & (остров |Тайвань | Хонсю)
Ответ: 1).
6. Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое
выражение (¬K \/ M)->(¬L \/ M \/ N) ложно. Ответ запишите в виде строки из
четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в указанном порядке).
Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.
Ответ: 0100.
7. Перед началом Турнира Четырех болельщики высказали следующие
предположения по поводу своих кумиров:
А) Макс победит, Билл – второй;
В) Билл – третий, Ник – первый;
С) Макс – последний, а первый – Джон.
Когда
соревнования
закончились,
оказалось,
что
каждый
из
болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов.
Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл, Макс?
(В ответе перечислите подряд без пробелов места участников в
указанном порядке имен.)
Ответ: 3124.
8. Сколько записей в нижеследующем фрагменте турнирной таблицы
удовлетворяют условию «Место <=5 И (В>4 ИЛИ MЗ>12)» (символ <=
означает «меньше или равно»)?
Место Команда
В
Н
П
О
МЗ
МП
1
Боец
5
3
1
18
9
5
2
Авангард 6
0
3
18
13
7
3
Опушка
4
1
4
16
13
7
4
Звезда
3
6
0
15
5
2
5
Химик
3
3
3
12
14
17
57
6
Пират
1) 5
2) 2
3
3) 3
2
4
11
13
7
4) 4
Ответ: 4).
9. Из предложенных высказываний выберите логическую сумму.
1) Хорошо, когда утро начинается с зарядки и обливания холодной
водой.
2) В салат можно положить или консервированные овощи, или сырые,
или те и другие.
3) В холодный и пасмурный день хорошо сидеть дома.
4) Мне предложили купить билеты в театр: или в партер, или в
бельэтаж.
Ответ: 2).
10. Известно, что Единорог лжет по понедельникам, вторникам и
средам и говорит правду во все остальные дни недели. Он может сказать:
«Вчера я лгал. После завтрашнего дня я буду лгать два дня подряд»:
1) в понедельник; 2) во вторник; 3) в воскресенье; 4) в четверг; 5) в
среду.
Ответ: понедельник.
11. Упростите выражение (X  Y )  X .
Ответ: X  Y .
12. Для какого из указанных значений X истинно высказывание
¬ ((X>2) –> (X>3))?
1) 1
2) 2
3)3
4) 4
Ответ: 3)
13. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению
A /\ ¬ (¬B \/ C).
1) ¬A \/ ¬B \/ ¬C
2) A /\ ¬B /\ ¬C
Ответ: 3)
58
3) A /\ B /\ ¬C
4) A /\ ¬B /\ C
14. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических
выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности
выражения F:
X
Y
Z
F
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
Какое выражение соответствует F?
1) ¬X /\ ¬Y /\ ¬Z
2) X /\ Y /\ Z
3) X \/ Y \/ Z
4) ¬X \/ ¬Y \/ ¬Z
Ответ: 4)
15. Цепочка из трех бусин, помеченных латинскими буквами,
формируется по следующему правилу. В конце цепочки стоит одна из бусин
A, B, C. На первом месте – одна из бусин B, D, C, которой нет на третьем
месте. В середине – одна из бусин А, C, E, B, не стоящая на первом месте.
Какая из перечисленных цепочек создана по этому правилу?
2) CBB 2) EAC 3) BCD 4) BCB
Ответ: 1)
16. Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе
появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду,
другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор
знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а
кто – нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает,
что никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию. Он вызвал всех
троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: "Я всегда
прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша". Саша сказал:
"Это был мой первый прогул этого предмета". Миша сказал: "Все, что
говорит Коля, – правда". Директор понял, кто из них кто. Расположите
первые буквы имен мальчиков в порядке: "говорит всегда правду", "всегда
лжет", "говорит правду через раз". (Пример: если бы имена мальчиков были
Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть: РТВ)
59
Ответ: СКМ.
17. Имеются логические переменные A, B и F, связанные следующей
таблицей истинности:
A
B
F
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Какова зависимость F от A и B?
9. От A не зависит, F = ¬ B.
10.От A не зависит, F = B.
11.F не зависит от A и B.
12.F = A /\ B.
Ответ: 2.
18. Имеются две логические переменные: A и В. Составьте и упростите
логическое выражение F, соответствующее следующей таблице истинности:
A
B
F
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
Результат запишите в виде: F=_ _ _ _.
Ответ: F= ¬ A.
19. Имеются две логические переменные A и B. Упростите логическое
выражение F, составленное из этих переменных:
F  ( A  B)  (A  B)  ( A  B)  (A  B) .
Определите, как зависит упрощенное выражение F от значений А и В?
9. F зависит только от значения А.
60
10.F зависит только от значения В.
11.F не зависит от значений А и В, выражение всегда ложно.
12.F не зависит от значений А и В, выражение всегда истинно.
Ответ: 4.
20. Имеются логические переменные: А и В. Упростите логическое
выражение F, составленное из этих переменных:
F  ( A  B)  (A  B) .
Приоритет операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Ответ
запишите в формате F = _ _ _ _.
Ответ: F=1.
21. Дана таблица истинности:
X
Y
?
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
Какому логическому выражению она соответствует?
1. X  Y .
2.  Y .
3. X .
4. X  Y .
Ответ: 3.
22. Районный отдел трудоустройства осуществляет начальное обучение
(1 группа) или повышение квалификации (2 группа) людей, которые по
каким либо причинам ищут работу. Особое внимание уделяется слушателям,
входящим «в группу риска». Это люди, которым «за 40», и они или не имеют
в настоящее время работы, или пришли в группу начального обучения.
Какая логическая формула отражает отбор в «группу риска»?
9. И (Возраст>40) ИЛИ (Работа = « - » ; Группа = 1).
10.ИЛИ (Возраст>40; Работа = « - » ; Группа = 1).
61
11.И (Возраст>40; ИЛИ (Работа = « - » ; Группа = 1)).
12.И (Возраст>40; Работа = « - » ; Группа = 1).
Ответ: 3.
23. В таблице истинности указаны значения трех логических
переменных: А, В и С. Запишите в столбце F значения, соответствующие
логическому выражению F  A  B  C .
A
B
C
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
F
Содержимое столбца запишите в виде строки без пробелов.
Ответ: 00000010.
24. Имеются три логические переменные: А, В и С, из которых
составлено логическое выражение:
F  ( A  B  C )  (A  B  C )  ( B  C ) .
Упростите логическое выражение F и определите, значения каких
переменных влияют на значение F.
9. А и В.
10.В.
11.С.
12.В и С.
Ответ: 2.
25. Какое из выражений эквивалентно логической формуле
( A  B) & ( A  (B)) ?
1. A & B .
62
2. A .
3. A  B .
4. B & ( A  B) .
Ответ: 2.
26. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно
высказывание:
(50 < X*X) -> (50 > (X+1) * (X+1))?
Ответ: 7.
27. Сколько различных решений имеет уравнение
((К \/ L) /\ (M \/ N)) = 1, где K, L, M, N – логические переменные?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M
и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно
указать количество таких наборов.
Ответ: 9.
28. X, Y, Z – целые числа, для которых истинно высказывание
((Z<X) \/ (Z<Y)) /\ ¬ ((Z+1)<Y).
Чему равно Z, если X=20, Y=10?
Ответ: 19.
29. А, В, С – целые числа, для которых истинно высказывание
¬ (А=В) /\ ((А>В) -> (B>C)) /\ ((B>A) -> (C>B)).
Чему равно B, если А=45, С=43?
Ответ: 44.
30. Множество точек выделенной на рисунке области равно (несколько
вариантов ответа):
63
1) B  (C  A  D)
2) (C  B)  ( D  B)  (C  D  A)
3) (C  B)  ( B  D)  ( A  B)
4) ( A  B)  (C  D)  (C  B)
5) ( B  ( A  D))  (C  ( B  A))
Ответ: 1), 3), 5).
64
Вариант 4
1. Для какого числа X истинно высказывание
X>1 /\ ((X<5) -> (X<3))?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Ответ: 2).
2. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению
¬ (¬А /\ B)
1) A \/ ¬B
2) ¬A \/ B
3) B /\ ¬A
4) A /\ ¬B
Ответ: 1).
3. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических
выражений от трех аргументов: X, Y, Z.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
X
Y
Z
F
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
Чему равно F?
1) X/\Y/\Z
2) ¬X\/¬Y\/Z
3) X/\Y/\¬Z
4) ¬X/\¬Y/\¬Z
Ответ: 4).
4. Для составления цепочек используются бусины, помеченные
буквами: A, B, C, D, E. На первом месте в цепочке стоит одна из бусин A, C,
E. На втором – любая гласная, если первая буква согласная, и любая
согласная, если первая гласная. На третьем месте – одна из бусин C, D, E, не
стоящая в цепочке на первом месте.
Какая из перечисленных цепочек создана по этому правилу?
1) CBE
2) ADD
3) ECE
4) EAD
Ответ: 2).
5. Сколько различных решений имеет уравнение
(K/\L/\M)\/(¬L/\¬M/\N) = 1, где K, L, M, N - логические переменные?
65
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L,
M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам
нужно указать только количество таких наборов.
Ответ: 4.
6. Мама, прибежавшая на звон разбившейся вазы, застала всех трех
своих сыновей в совершенно невинных позах: Саша, Ваня и Коля делали вид,
что происшедшее к ним не относится. Однако футбольный мяч среди
осколков явно говорил об обратном.
- Кто это сделал? - спросила мама.
- Коля не бил по мячу, - сказал Саша. - Это сделал Ваня.
Ваня ответил: - Разбил Коля, Саша не играл в футбол дома.
- Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будете, - рассердилась
мама. - Ну, а ты что скажешь? - спросила она Колю.
- Не сердись, мамочка! Я знаю, что Ваня не мог этого сделать. А я
сегодня еще не сделал уроки, - сказал Коля.
Оказалось, что один из мальчиков оба раза солгал, а двое в каждом из
своих заявлений говорили правду.
Кто разбил вазу?
Ответ: Коля.
7. В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите
обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые
найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции “ИЛИ” в запросе используется
символ |, а для логической операции “И” - &.
A чемпионы | (бег & плавание)
Б
чемпионы & плавание
В чемпионы | бег | плавание
Г
чемпионы & Европа & бег & плавание
Ответ: ГБАВ.
66
8. Сколько записей в нижеследующем фрагменте турнирной таблицы
удовлетворяют условию «Место <=4 И (Н>2 ИЛИ О>6)»?
Место Участник
В
Н
П
О
1
Силин
5
3
1
6½
2
Клеменс
6
0
3
6
3
Холево
5
1
4
5½
4
Яшвили
3
5
1
5½
5
Бергер
3
3
3
4½
6
Численко
3
2
4
4
1) 5
2) 2
3) 3
4)4
9. Из предложенных высказываний выберите логическое произведение.
1) За завтраком я выпиваю чашку кофе или чая.
2) Без труда не выловишь и рыбку из пруда.
3) На столе в беспорядке лежали книжки и тетрадки.
4) Числа, кратные 4, кратны 2.
Ответ: 3).
10. На столе лежат в четыре ряда фигуры: треугольник, ромб, круг и
квадрат. Цвета этих фигур - зеленый, желтый, синий, красный. Фигура
красного цвета лежит между зеленой и синей, справа от желтой фигуры
лежит ромб, круг лежит правее треугольника и ромба, причем треугольник
лежит не с краю и, наконец, фигура синего цвета не лежит рядом с фигурой
желтого цвета. Какого цвета круг?
1) зеленый; 2) желтый; 3) синий; 4) красный; 5) синий или красный.
Ответ: 3).
11. Упростите выражение (( X  Y ) .
Ответ: X  Y .
12. Результаты тестирования представлены в таблице:
Фамилия
Пол Математ Русский Химия Информа
ика
язык
67
тика
Биология
Аганян
ж
82
56
46
32
70
Воронин
м
43
62
45
74
23
Григорчук
м
54
74
68
75
83
Роднина
ж
71
63
56
82
79
Сергеенко
ж
33
25
74
38
46
Черепанова
ж
18
92
83
28
61
Сколько записей в ней удовлетворяют условию
«Пол=’ж’ ИЛИ Химия>Биология»?
1) 5
2) 3
3) 4
4) 4
Ответ: 1).
13. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно
высказывание (50<X·X)–>(50>(X+1)·(X+1))?
Ответ: 7.
14. Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе
появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду,
другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор
знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а
кто – нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает,
что никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию. Он вызвал всех
троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: "Я всегда
прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша". Саша сказал:
"Это был мой первый прогул этого предмета". Миша сказал: "Все, что
говорит Коля, – правда". Директор понял, кто из них кто. Расположите
первые буквы имен мальчиков в порядке: "говорит всегда правду", "всегда
лжет", "говорит правду через раз". (Пример: если бы имена мальчиков были
Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть: РТВ)
Ответ: СКМ.
15. Из нижеприведенных фраз выберите ту, которая является истинным
высказыванием:
1. Все кошки серы.
68
2. Познай самого себя.
3. Талант всегда пробьет себе дорогу.
4. Число 7 – простое.
Ответ: 4).
16. Упростите выражение (X  Y )  X .
Ответ: X  Y .
17. Имеются две логические переменные: A и В. Составьте и упростите
логическое выражение F, соответствующее следующей таблице истинности:
A
B
F
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
Результат запишите в виде: F=_ _ _ _.
Ответ: F= ¬ A.
18. Имеются две логические переменные A и B. Упростите логическое
выражение F, составленное из этих переменных:
F  ( A  B)  (A  B)  ( A  B)  (A  B) .
Определите, как зависит упрощенное выражение F от значений А и В?
13.F зависит только от значения А.
14.F зависит только от значения В.
15.F не зависит от значений А и В, выражение всегда ложно.
16.F не зависит от значений А и В, выражение всегда истинно.
Ответ: 4.
19. Имеются логические переменные: А и В. Упростите логическое
выражение F, составленное из этих переменных:
F  ( A  B)  (A  B) .
69
Приоритет операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Ответ
запишите в формате F = _ _ _ _.
Ответ: F=1.
20. Дана таблица истинности:
X
Y
?
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
Какому логическому выражению она соответствует?
1. X  Y .
2.  Y .
3. X .
4. X  Y .
Ответ: 3.
21. Районный отдел трудоустройства осуществляет начальное обучение
(1 группа) или повышение квалификации (2 группа) людей, которые по
каким либо причинам ищут работу. Особое внимание уделяется слушателям,
входящим «в группу риска». Это люди, которым «за 40», и они или не имеют
в настоящее время работы, или пришли в группу начального обучения.
Какая логическая формула отражает отбор в «группу риска»?
13.И (Возраст>40) ИЛИ (Работа = « - » ; Группа = 1).
14.ИЛИ (Возраст>40; Работа = « - » ; Группа = 1).
15.И (Возраст>40; ИЛИ (Работа = « - » ; Группа = 1)).
16.И (Возраст>40; Работа = « - » ; Группа = 1).
Ответ: 3.
22. В таблице истинности указаны значения трех логических
переменных: А, В и С. Запишите в столбце F значения, соответствующие
логическому выражению F  A  B  C .
A
B
C
F
70
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
Содержимое столбца запишите в виде строки без пробелов.
Ответ: 00000010.
23. Имеются три логические переменные: А, В и С, из которых
составлено логическое выражение:
F  ( A  B  C )  (A  B  C )  ( B  C ) .
Упростите логическое выражение F и определите, значения каких
переменных влияют на значение F.
13.А и В.
14.В.
15.С.
16.В и С.
Ответ: 2.
24. Какое из выражений эквивалентно логической формуле
( A  B) & ( A  (B)) ?
1. A & B .
2. A .
3. A  B .
4. B & ( A  B) .
Ответ: 2.
25. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно
высказывание:
(50 < X*X) -> (50 > (X+1) * (X+1))?
71
Ответ: 7.
26. Сколько различных решений имеет уравнение
((К \/ L) /\ (M \/ N)) = 1, где K, L, M, N – логические переменные?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M
и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно
указать количество таких наборов.
Ответ: 9.
27. X, Y, Z – целые числа, для которых истинно высказывание
((Z<X) \/ (Z<Y)) /\ ¬ ((Z+1)<Y).
Чему равно Z, если X=20, Y=10?
Ответ: 19.
28. А, В, С – целые числа, для которых истинно высказывание
¬ (А=В) /\ ((А>В) -> (B>C)) /\ ((B>A) -> (C>B)).
Чему равно B, если А=45, С=43?
Ответ: 44.
29. Множество точек выделенной на рисунке области равно (несколько
вариантов ответа):
1) B  (C  A  D)
2) (C  B)  ( D  B)  (C  D  A)
3) ( A  B)  (C  D)  (C  B)
4) (C  B)  ( B  D)  ( A  B)
72
5) ( B  ( A  D))  (C  ( B  A))
Ответ: 1), 4), 5).
30. Имеются логические переменные A, B и F, связанные следующей
таблицей истинности:
A
B
F
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Какова зависимость F от A и B?
13.От A не зависит, F = ¬ B.
14.От A не зависит, F = B.
15.F не зависит от A и B.
16.F = A /\ B.
Ответ: 2.
Вариант 5
1. Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание:
(X>4) \/ ((X>1) ->(X>4))?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Ответ: 1).
2. Какое логическое выражение равносильно выражению
¬ (¬ A \/ B) \/ ¬ C?
1) (A /\ ¬B) \/ ¬C
2) ¬A \/ B \/ ¬C
3) A \/ ¬B \/ ¬C
4) (¬A /\ B) \/ ¬C
Ответ: 1).
73
3. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических
выражений от трех аргументов: X, Y, Z.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
X
Y
Z
F
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
Какое выражение соответствует F?
1) ¬X \/ ¬Y \/ ¬Z
2) X /\ ¬Y /\ ¬Z
3) X \/ Y \/ Z
4) X /\ Y /\ Z
Ответ: 3).
4. Для составления цепочек используются бусины, помеченные
буквами: M, N, O, P, S. В середине цепочки стоит одна из бусин M, O, S. На
третьем – любая гласная, если первая буква согласная, и любая согласная,
если первая гласная. На первом месте – одна из бусин O, P, S, не стоящая в
цепочке в середине.
Какая из перечисленных цепочек создана по этому правилу?
1) SMP
2) MSO
3) SNO
4) OSN
Ответ: 4).
5. Укажите значения логических переменных K, L, M, N, при которых
логическое выражение (K \/ M)->(M \/ ¬L \/ N) ложно.
Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений
переменных K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 0101
соответствует тому, что K=0, L=1, M=0, N=1.
Ответ: 1010.
6. Три школьника, Миша (М), Коля (К) и Сергей (С), остававшиеся в
классе на перемене, были вызваны к директору по поводу разбитого в это
74
время окна в кабинете. На вопрос директора о том, кто это сделал, мальчики
ответили следующее:
Миша: «Я не бил окно, и Коля тоже…»
Коля: «Миша не разбивал окно, это Сергей разбил футбольным
мячом!»
Сергей: «Я не делал этого, стекло разбил Миша».
Стало известно, что один из ребят сказал чистую правду, второй в
одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, а третий
оба факта исказил. Зная это, директор смог докопаться до истины.
Кто разбил стекло в классе? В ответе запишите только первую букву
имени.
Ответ: М.
7. В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите
обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые
найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции “ИЛИ” в запросе используется
символ |, а для логической операции “И” – символ &.
А разведение & содержание & меченосцы & сомики
Б содержание & меченосцы
В (содержание & меченосцы) | сомики
Г содержание & меченосцы & сомики
Ответ: АГБВ.
8. Ниже в табличной форме представлен фрагмент базы данных о
результатах тестирования учащихся (используется стобалльная шкала):
Фамилия
Пол Матема Русский язык Химия Информатика Биолог
тика
ия
Аганян
ж
82
56
46
32
70
Воронин
м
43
62
45
74
23
Григорчук м
54
74
68
75
83
75
Роднина
ж
71
63
56
82
79
Сергеенко ж
33
25
74
38
46
Черепанова ж
18
92
83
28
61
Сколько записей в данном фрагменте удовлетворяют условию
«Пол=’м’ ИЛИ Химия>Биология»?
1)5
2) 2
3) 3
4) 4
Ответ: 4).
9. Дана таблица истинности:
X
Y
?
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Какой логической операции она соответствует?
1) Дизъюнкция.
2) Отрицание.
3) Конъюнкция.
4) Эквивалентность.
Ответ: 4).
10. В чашке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад,
квас и вода. Известно, что вода и молоко не в чашке; сосуд с лимонадом
стоит между кувшином и сосудом с квасом; в банке не лимонад и не вода; а
стакан стоит между банкой и сосудом с молоком. Вода находится в
1) чашке; 2) стакане; 3) кувшине; 4) банке; 5) в чашке или в кувшине.
Ответ: 4).
11. Упростите выражение (X  Y )  X .
Ответ: X  Y .
12. Для какого числа X истинно высказывание
76
((X>3) \/(X<3)) –> (X<1)?
1)1
2)
2
3)
3
4)
4
Ответ: 3)
13. Какое логическое выражение равносильно выражению
¬ (A /\ B) /\ ¬C?
1) ¬A \/ B \/ ¬C
2) (¬A \/ ¬B) /\ ¬C
3) (¬A \/ ¬B) /\ C
4) ¬A /\ ¬B /\ ¬C
Ответ: 2)
14. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических
выражений от трех аргументов: X, Y, Z.
77
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
X
Y
Z
F
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
Какое выражение соответствует F?
1) ¬X \/ Y \/ ¬Z
2) X /\ Y /\ ¬Z
3) ¬X /\ ¬Y /\ Z
4) X \/ ¬Y \/ Z
Ответ: 2)
15. Для составления цепочек разрешается использовать бусины 5
типов, обозначаемых буквами
А, Б, В, Е, И. Каждая цепочка должна
состоять из трех бусин, при этом должны соблюдаться следующие правила:
1) на первом месте стоит одна из букв: А, Е, И,
2) после гласной буквы в цепочке не может снова идти гласная, а после
согласной – согласная,
3) последней буквой не может быть А.
Какая из цепочек построена по этим правилам?
1)АИБ
2) ЕВА
3) БИВ
4) ИБИ
Ответ: 4)
16. В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших
вошли девушки: Наташа, Маша, Люда и Рита. Самые горячие болельщики
высказали свои предположения о распределении мест в дальнейших
состязаниях.
Один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет второй. Другой
болельщик на второе место прочит Люду, а Рита, по его мнению, займет
четвертое место. Третий любитель тенниса с ними не согласился. Он считает,
что Рита займет третье место, а Наташа будет второй. Когда соревнования
78
закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в
одном из своих прогнозов.
Какое место на чемпионате заняли Наташа, Маша, Люда, Рита? (В
ответе перечислите подряд без пробелов числа, соответствующие местам
девочек в указанном порядке имен.)
Ответ: 1423.
17. В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите
обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые
найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции “ИЛИ” в запросе используется
символ |, а для логической операции “И” – &.
А
волейбол | баскетбол | подача
Б
волейбол | баскетбол | подача | блок
В
волейбол | баскетбол
Г
волейбол & баскетбол & подача
Ответ: ГВАБ.
18. Сколько различных решений имеет уравнение
((K \/ L) –> (L /\ M /\ N)) = 0, где K, L, M, N – логические переменные?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L,
M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа Вам
нужно указать количество таких наборов.
Ответ: 10.
19. Для какого из указанных значений X истинно высказывание
¬ ((X>2) –> (X>3))?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Ответ: 3).
20. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению
A /\ ¬ (¬B \/ C).
1) ¬A \/ ¬B \/ ¬C
2) A /\ ¬B /\ ¬C
79
3) A /\ B /\ ¬C
4) A /\ ¬B /\ C
Ответ: 3).
21. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических
выражений от трех аргументов: X, Y, Z.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
X
Y
Z
F
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
Какое выражение соответствует F?
1) ¬X /\ ¬Y /\ ¬Z
2) X /\ Y /\ Z
3) X \/ Y \/ Z
4) ¬X \/ ¬Y \/ ¬Z
Ответ: 4).
22. Районный отдел трудоустройства осуществляет начальное обучение
(1 группа) или повышение квалификации (2 группа) людей, которые по
каким либо причинам ищут работу. Особое внимание уделяется слушателям,
входящим «в группу риска». Это люди, которым «за 40», и они или не имеют
в настоящее время работы, или пришли в группу начального обучения.
Какая логическая формула отражает отбор в «группу риска»?
17.И (Возраст>40) ИЛИ (Работа = « - » ; Группа = 1).
18.ИЛИ (Возраст>40; Работа = « - » ; Группа = 1).
19.И (Возраст>40; ИЛИ (Работа = « - » ; Группа = 1)).
20.И (Возраст>40; Работа = « - » ; Группа = 1).
Ответ: 3.
23. В таблице истинности указаны значения трех логических
переменных: А, В и С. Запишите в столбце F значения, соответствующие
логическому выражению F  A  B  C .
A
B
C
0
0
0
F
80
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
Содержимое столбца запишите в виде строки без пробелов.
Ответ: 00000010.
24. Имеются три логические переменные: А, В и С, из которых
составлено логическое выражение:
F  ( A  B  C )  (A  B  C )  ( B  C ) .
Упростите логическое выражение F и определите, значения каких
переменных влияют на значение F.
17.А и В.
18.В.
19.С.
20.В и С.
Ответ: 2.
25. Какое из выражений эквивалентно логической формуле
( A  B) & ( A  (B)) ?
1. A & B .
2. A .
3. A  B .
4. B & ( A  B) .
Ответ: 2.
26. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно
высказывание:
(50 < X*X) -> (50 > (X+1) * (X+1))?
Ответ: 7.
81
27. Сколько различных решений имеет уравнение
((К \/ L) /\ (M \/ N)) = 1, где K, L, M, N – логические переменные?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M
и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно
указать количество таких наборов.
Ответ: 9.
28. X, Y, Z – целые числа, для которых истинно высказывание
((Z<X) \/ (Z<Y)) /\ ¬ ((Z+1)<Y).
Чему равно Z, если X=20, Y=10?
Ответ: 19.
29. А, В, С – целые числа, для которых истинно высказывание
¬ (А=В) /\ ((А>В) -> (B>C)) /\ ((B>A) -> (C>B)).
Чему равно B, если А=45, С=43?
Ответ: 44.
30. Множество точек выделенной на рисунке области равно (несколько
вариантов ответа):
1) (C  B)  ( D  B)  (C  D  A)
2) B  (C  A  D)
3) ( A  B)  (C  D)  (C  B)
4) (C  B)  ( B  D)  ( A  B)
82
5) ( B  ( A  D))  (C  ( B  A))
Ответ: 2), 4), 5).
83
Литература
1. Гильберт Д. и Аккерман Б. Основы теоретической логики, пер. с нем.,
М., 1947;
2. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с
англ., М., 1948;
3. Клини С. К. Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957;
4. Новиков П. С. Элементы математической логики, М., 1959.
5. Овчинникова И.Г., Сахнова Т.Н., Гусева Е.Н. Учебно-методическое
пособие для подготовки к вступительным экзаменам по информатике:
Учеб. Пособие. – Магнитогорск: МаГУ, 2004.-119 с.
6. Информатика 7-8 кл. /Под ред. Н. В. Макаровой. – СПБ.: Питер Ком,
1999. – 304 с.: ил.
7. Информатика. Задачник-практикум в 2т. / Под ред. И.Г. Семакина, Е.
К. Хеннера: Том 1. – М.: Бином. Лаборатория Знаний, 2002. – 304 с.:
ил.
84