МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
Физический факультет
УТВЕРЖДАЮ
Проректор СГУ по учебнометодической работе
____________________Е.Г. Елина
"____" __________________2011 г.
Рабочая программа дисциплины
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Направление подготовки
Физика живых систем
Профили подготовки
Биофизика
Медицинская фотоника
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Саратов 2011
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Аналитическая геометрия и линейная
алгебра» являются:
- познакомить студентов с основными понятиями и методами линейной
алгебры и аналитической геометрии и их приложениями;
- сформировать правильный научный подход к решению различных задач;
- развить навыки абстрактного логического мышления;
- расширить научный кругозор и научить студентов свободно оперировать
современными математическими терминами.
Курс «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» позволяет
студентам овладеть фундаментальными понятиями и методами современной
математики, без знания которых невозможна дальнейшая профессиональная
подготовка. При освоении данного курса у студентов формируются навыки
грамотной постановки научных задач, решения задач с применением
математического аппарата, систематизации полученных знаний.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» входит
модуль «Математика». Является базовой частью математического и
естественнонаучного цикла и служит основой фундаментальных
математических знаний. «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
имеет тесную взаимосвязь с остальными дисциплинами этого модуля. Она
необходима для освоения таких дисциплин модуля, как «Математический
анализ», «Векторный и тензорный анализ», «Уравнения математической
физики», « Физика».
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
Процесс изучения
следующих компетенций:
дисциплины
направлен
на
формирование
- способность использовать в познавательной и профессиональной
деятельности базовые знания в области математики и естественных наук
(ОК-1);
- способность использовать в познавательной и профессиональной
деятельности навыки работы с информацией из различных источников (ОК16);
- способность использовать базовые теоретические знания для решения
профессиональных задач (ПК-1);
- способность применять на практике базовые профессиональные навыки
(ПК-2).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
•Знать:
- основные термины и понятия линейной алгебры и аналитической
геометрии,
- наиболее важные приложения линейной алгебры и аналитической
геометрии в различных областях других естественнонаучных дисциплин.
•Уметь:
- производить основные операции над матрицами,
- вычислять определители,
- исследовать и решать системы линейных уравнений,
- проводить основные операции над векторами в координатах,
- применять формулы для вычисления расстояний, углов, площадей и
объемов различных фигур,
- составлять уравнения фигур 1-го и 2-го порядка на плоскости и в
пространстве.
•Владеть:
- методом приведения определителя к треугольному виду,
- методом Крамера и методом Гаусса для решения систем линейных
уравнений,
- координатным методом изучения фигур на плоскости и в пространстве.
4. Структура и содержание дисциплины (модуля)
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы, 144 часа.
Из них 64 часа отводится на аудиторные занятия (32 ч. лекций, 32 ч.
практических занятий), 26 часов – на самостоятельное изучение дисциплины.
№
п/п
Раздел дисциплины
Семес
тр
Неде
ля
семес
тра
Виды учебной работы,
включая
самостоятельную работу
студентов и
трудоемкость (в часах)
Формы текущего
контроля
успеваемости (по
неделям
семестра)
Формы
Сам. промежуточной
аттестации (по
р.
семестрам)
всего
лек
ц
Пра
кт.
12
10
10
2
2
8
6
1
Раздел 1.
Линейное
пространство
матриц
2
1-6
32
2
Контрольная
работа №1
2
6
4
3
2
Раздел 2.
Векторная алгебра
7-9
22
8
Форма текущего
контроля - опрос,
проверка
домашнего
задания
Контрольная
работа по разделу
1.
Форма текущего
контроля - опрос,
проверка
домашнего
4
Раздел 3.
Аналитическая
геометрия
2
1016
5
Контрольная
работа №2
2
16
6
Итоговая
аттестация
ИТОГО
2
28
12
10
6
2
2
задания
Форма текущего
контроля - опрос,
проверка
домашнего
задания
Контрольная
работа
по
разделам 2-3.
Экзамен
90
32
32
26
экзамен
Раздел 1. Линейное пространство матриц
Тема 1.1. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения матриц и
произведения матриц на число, их свойства. Транспонирование. Линейная
комбинация матриц. Линейная зависимость. Признак линейной зависимости
и следствия из него. Произведение матриц и его свойства.
Тема 1.2. Определитель квадратной матрицы. Определители и их
свойства. Инвариантность определителя при элементарных преобразованиях
строк или столбцов матрицы. Теорема о разложении определителя по строке
(столбцу). Теорема Коши – Бине об определителе произведения квадратных
матриц.
Тема 1.3. Обратная матрица. Обратная матрица и её элементы. Признак
существования обратной матрицы. Матричные уравнения.
Тема 1.4. Системы линейных уравнений. Понятие системы линейных
уравнений. Теорема Крамера о квадратной системе линейных уравнений.
Метод Гаусса. Однородная система линейных уравнений, признак ее
нетривиального решения.
Тема 1.5. Ранг матрицы. Миноры матрицы. Ранг матрицы. Теорема о
базисном миноре.
Раздел 2. Векторная алгебра
Тема 2.1. Пространство свободных векторов. Свободные векторы,
простейшие операции над ними и их свойства. Признаки коллинеарности и
компланарности векторов.
Тема 2.2. Базис и координаты. Базисы на плоскости и в пространстве.
Теоремы о разложении вектора по базису на плоскости и в пространстве.
Действия с векторами в координатах.
Тема 2.3. Скалярное произведение. Ортогональная проекция вектора.
Координаты вектора в ортонормированном базисе. Скалярное произведение
векторов, его свойства и применение.
Тема 2.4. Векторное и смешанное произведение. Положительная и
отрицательная ориентация базиса. Векторное произведение, его простейшие
свойства. Смешанное произведение, свойства, формула вычисления в
координатах. Вычисление векторного произведения в координатах, его
свойства. Двойное векторное произведение. Применение векторного и
смешанного произведений.
Раздел 3. Аналитическая геометрия
Тема 3.1. Аффинные системы координат.
Аффинная и декартова
система координат на плоскости и в пространстве. Формулы преобразования
этих координатных систем. Криволинейные системы координат: полярная на
плоскости, сферическая и цилиндрическая - в пространстве. Формулы
преобразования криволинейных координат в декартовы и обратно.
Основные формулы аналитической геометрии: координаты вектора,
определяемого парой точек; расстояние между двумя точками; формулы
деления отрезка в заданном отношении; косинус
угла; площадь
треугольника; объем параллелепипеда и тетраэдра.
Тема 3.2. Аналитическое задание фигур. Уравнения, параметрические
уравнения, неравенства, системы и совокупности, их графики. Основные
теоремы о графиках. Уравнение фигуры. Общий метод нахождения
уравнений фигур. Фигуры в пространстве: цилиндры, фигуры вращения и
конусы. Их определение и основные теоремы об уравнениях цилиндров,
конусов и фигур вращения. Достаточные признаки цилиндра, фигуры
вращения и конуса. Примеры уравнений цилиндров, фигур вращения и
конусов. Уравнение окружности и сферы.
Сохранение степени многочлена при невырожденном линейном
преобразовании переменных. Классификация фигур на алгебраические и
трансцендентные. Порядок алгебраической фигуры. Примеры.
Тема 3.3. Прямая линия на плоскости. Основная теорема о прямой на
плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Основные
задачи для прямой: взаимное расположение прямых, прямой и точки.
Тема 3.4. Плоскости. Основная теорема о плоскости в пространстве.
Различные способы задания плоскости. Основные задачи о плоскости:
взаимное расположение двух плоскостей, точки и плоскости.
Тема 3.5. Прямая линия в пространстве. Различные способы задания
прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в
пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости: угол между
двумя прямыми в пространстве, угол между прямой и плоскостью.
Расстояние от точки до прямой.
Тема 4.6. Фигуры второго порядка на плоскости. Конические сечения:
эллипс, гипербола, парабола. Их определение, вывод канонических
уравнений и исследование свойств. Эксцентриситет и директрисы эллипса и
гиперболы. Сопряженная гипербола, ее уравнение. Равносторонняя
гипербола и ее уравнение относительно асимптот. Директориальное свойство
конического сечения. Общее определение конического сечения.
Тема 4.7. Фигуры второго прядка в пространстве. Классификация
фигур 2-го порядка в пространстве.
Эллипсоиды, гиперболоиды,
параболоиды и конусы второго порядка. Их канонические уравнения и
свойства. Понятие о методе сечений для определения формы фигуры в
пространстве и его применение при установлении формы фигур второго
порядка.
Темы практических занятий
Практическое занятие 1. Операции над матрицами: сложение,
умножение матрицы на число, произведение матриц, транспонирование, их
свойства.
Практическое занятие 2. Определители второго и третьего порядка,
их приложения. Методы вычисления определителей высших порядков.
Практическое занятие 3. Обратная матрица. Матричные уравнения.
Практическое занятие 4. Метод Крамера решения систем линейных
уравнений.
Практическое занятие 5. Приведение матрицы к упрощенному виду
методом элементарных преобразований. Метод Гаусса. Ранг матрицы.
Практическое занятие 6. Контрольная работа №1.
Практическое занятие 7. Линейное пространство
свободных
векторов. Действия с векторами. Базисы. Действия с векторами в
координатах.
Практическое занятие 8. Скалярное произведение векторов, его
свойства и применение.
Практическое занятие 9. Векторное произведение. Смешанное
произведение.
Практическое занятие 10. Основные формулы аналитической
геометрии.
Практическое занятие 11. Прямая на плоскости. Задачи для прямой.
Практическое занятие 12. Плоскость в пространстве.
Практическое занятие 13. Прямая в пространстве.
Практическое занятие 14. Уравнения основных конических сечений в
декартовой системе координат на плоскости.
Практическое занятие 15. Метод сечений при изучении фигур
второго порядка в пространстве. Фигуры вращения, конусы, цилиндры.
Практическое занятие 16. Контрольная работа № 2.
Темы самостоятельных работ.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
Операции на множестве однотипных матриц.
Группы перестановок. Определение четности перестановок.
Вычисление определителей различными методами.
Вычисление обратных матриц различными методами. Решение
матричных уравнений.
Исследование и решение систем линейных уравнений.
Вычисление ранга матриц.
Отношение эквивалентности. Примеры.
Вычисление сумм и разностей векторов построением. Применение
векторной алгебры к решению задач элементарной геометрии.
Разложение векторов по базису. Переход к новому базису на
плоскости и в пространстве.
Вычисление и применение скалярного произведения векторов.
2.5.
2.6.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
Векторное и смешанное произведение в геометрических задачах.
Подготовка к контрольной работе.
Составление уравнений прямой на плоскости. Точка и прямая.
Задачи для прямой и плоскости в пространстве.
Эллипс. Его каноническое уравнение. Параметрическое уравнение
эллипса.
Гипербола. Составление канонического уравнения гиперболы по
различным параметрам. Парабола.
Составление уравнений конусов, цилиндров, фигур вращения.
Различные виды криволинейных систем координат в плоскости и
пространстве.
5. Образовательные технологии
При
проведении
лекционных
и
практических
занятий
предусматривается
использование
информационных
технологий,
включающих пакеты программ Classic Worksheet Maple 10, Мathematica 8 и
др. Данные программы, в частности, используются для иллюстрации
конических сечений, метода сечений при изучении различных фигур в
пространстве.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
Студентам требуется самостоятельно изучить некоторые разделы
математики, необходимые для усвоения основного материала. На первой
лекции вводятся основные понятия, после чего обширный теоретический
материал выносится на самостоятельную подготовку(4-6 час.)
В основном в качестве
самостоятельной работы студентам
предлагается решение задач по различным темам линейной алгебры и
аналитической геометрии. Например, после демонстрации на практическом
занятии решения системы линейных уравнений по методу Гаусса, студентам
предлагается ряд задач по этой теме для самостоятельного решения.
Примерный вариант контрольной работы №1
1. Вычислить
 1 5 2   1 5 2  1 0 0 

 


3 2 1 3   2 2 1 3  4 1 0 
  1 2  2    1 2  2   1 0  2 

 


2. Проверить совместность и решить систему:
x1+2x2+3x3-2x4+x5=4
3x1+6x2+5x3-4x4+3x5=5
x1+2x2+7x3-4x4+x5=11
2x1+4x2+2x3-3x4+3x5=6
3. Решить матричное уравнение:
1 1 1
3


 
 2 3 4  X    1 .
1 2 0
1


 
4. Решить систему методом Крамера:
2x - y -6z + 3t + 1=0
7x -4y-2z+15t+32=0
x -2y-4z + 9t - 5 =0
x - y +2z - 6t + 8=0
5. Найти методом элементарных преобразований:
1

3
rank 
1

2
2
6
2
4
3
5
7
2
2
4
4
3
1

3
1

3 
Примерный вариант контрольной работы № 2 :
1. Проверить, что векторы a 4,1,1 , b 1,8,5 , c  1,1,1 образуют базис в
пространстве.
2. Векторы a и b образуют угол  
5.
6.
7.
8.
3
. Зная, что a  3 , b  4 ,
вычислить: a  b  ;
Даны векторы u 1,0,  4, v  1,2,  3, w 3,6,1 . Найти : 1) u v w , 2) u v , w .
На векторах AB 3,2,  2, AC 1,4, 0, AD3,5, 4 построен тетраэдр найти:
площадь грани ABC, объём тетраэдра ABCD.
На плоскости относительно декартовой системы координат даны
координаты трех точек: A3;1, В6; 4, С 3; 7 .
Найти: координаты вектора CA ; длину отрезка AB; площадь
треугольника ABC; угол B.
В пространстве относительно декартовой системы координат даны
координаты четырех точек: A0;3;3, В 3;5;1, С 6;7;3; D3;2;1.
Найти объем тетраэдра ABCD.
Относительно декартовой системы координат даны координаты
вершин треугольника: A5; 7 , В 3;1, С 0;  3. Составить уравнения:
стороны AB; медианы, проведенной из вершины С; высоты,
опущенной из вершины А на сторону ВС.
2
3.
4.


9. Относительно декартовой системы координат даны координаты
четырех точек: A2;3;2, В 1;5;1, С 8;7;3; D5;2;1. Составить
уравнения плоскостей:  1 , проходящей через точки А,В,D,  2 ,
проходящей через точки A,С,D. Найти: отрезки, отсекаемые
плоскостью  1 на осях координат; косинус угла между плоскостями
 1 и  2 ; каноническое уравнение прямой  1 , проходящей через точку
А параллельно вектору BC ; каноническое уравнение прямой  2 ,
проходящей через начало координат О и точку А; косинус угла
между прямыми  1 и  2 .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К КУРСУ
1. Операции сложения и умножения матриц, их свойства.
2. Линейная комбинация матриц. Линейная зависимость. Признак
линейной зависимости.
3. Определители и их свойства.
4. Разложение определителей по строке (столбцу). Вычисление
определителей.
5. Обратная матрица, её вычисление.
6. Ранг матрицы, его свойства и его вычисление.
7. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных
уравнений.
8. Теорема Крамера о решении системы линейных уравнений.
9. Связные и свободные векторы.
10. Координаты вектора относительно базиса.
11. Признаки коллинеарности и компланарности векторов.
12. Скалярное произведение векторов, его свойства и приложения.
13. Выражение скалярного произведения в произвольных координатах.
14. Ориентированное пространство. Векторное и смешанное произведения
векторов. Их свойства и выражения в координатах. Приложения.
15. Аффинные, декартовы, полярные системы координат на плоскости. Их
преобразования.
16. Аналитические задания фигур. Основные теоремы об уравнениях
фигур. Параметрические уравнения.
17. Алгебраические фигуры и их порядок.
18. Основная теорема о прямой на плоскости.
19. Специальные виды уравнений прямой на плоскости.
20. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
21. Расстояние от точки до прямой.
22. Основная теорема о плоскости в пространстве.
23. Специальные уравнения плоскости.
24. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
25. Расстояние от точки до плоскости.
26. Общие и канонические уравнения прямой в пространстве.
27. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
28. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
29. Эллипс, гипербола, парабола. Их канонические уравнения.
Директориальные свойства этих фигур.
30. Теоремы об уравнениях цилиндра и фигуры вращения.
31. Достаточные признаки цилиндра, конуса и фигуры вращения.
32. Фигуры 2-го порядка в пространстве. Их канонические уравнения.
33. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и
гиперболического параболоида.
7.
Учебно-методическое
дисциплины
а) основная литература:
и
информационное
обеспечение
1. Д. В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры 9-е изд., - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. –374 с. 833127–833222 (96 экз.) Учеб.
отд. ЗНб СГУ.
2. Беклемишев, Дмитрий Владимирович. Курс аналитической геометрии и
линейной алгебры. 11-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006, – 307 с. 846272–846295
(24 экз.) Учеб. отд. ЗНб СГУ.
3. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре : учеб.
пособие / Л. А. Беклемишева, А. Ю. Петрович, И. А. Чубаров ; под ред. Д. В.
Беклемишева. - 2-е изд., перераб. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 494с.
ОУОЕН(50 экз.)
б) дополнительная литература:
1. В. А. Ильин, Г. Д. Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.- 3-е
изд., перераб. и доп. - М. : Проспект, 2007. – 392с.
2. О. Н. Цубербиллер. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. 31-е изд., стер. - СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2003. - 336 с.
3. В. Б. Поплавский. Линейная алгебра и геометрия: лекции, Ч. 1. - Саратов :
Сигма-плюс, 2001. – 109с.
4. В. Б. Поплавский. Линейная алгебра и геометрия: лекции, Ч. 2. - Саратов :
Сигма-плюс, 2001. – 104с.
5. И.В.Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре : учеб. пособ. для
студентов физ.-мат. спец. вузов /. - 8-е изд. - М. ; СПб. : Физматлит, 2001. –
382 с.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Лекционные занятия проводятся в аудиториях на 60-80 посадочных мест,
практические занятия – на 20-30 посадочных мест. В отведенных для занятий
аудиториях имеются учебные доски (большого размера) для визуализации
информации.
Также в ходе лекционных и практических занятий применяются учебнодемонстрационные мультимедийные презентации, которые обеспечиваются
следующим техническим оснащением:
1. Компьютеры (в комплекте с колонками)
2. Мультимедийный проектор
3. Экран.
Программа составлена в соответствии с требованиями ОС ВПО по
направлению Физика живых систем и ООП по профилям подготовки
Биофизика и Медицинская фотоника.
Автор:
Доцент кафедры геометрии
В.Б. Поплавский
Программа одобрена на заседании кафедры геометрии
от 15 февраля 2011 года, протокол № _9_.
Подписи:
Зав. кафедрой геометрии
профессор
В.В.Розен
Декан механико-математического
факультета
А.М.Захаров
Декан физического факультета
В.М. Аникин