Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
РОССИЙСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА
ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛЕНИЯ
КАФЕДРА МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ И УПРАВЛЕНИИ
Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии,
математический анализ
Учебно-методический комплекс
для специальностей:
№080102 – «мировая экономика»
№080105 – «финансы и кредит»
(для дневной формы обучения)
Москва 2009
2
Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии,
математический анализ
Учебно-методический комплекс
Авторы–составители:
С.А. Краснова, доктор технических наук, профессор
В.А. Уткин, доктор технических наук, профессор
Ответственный редактор
В.В.Муромцев, кандидат технических наук, доцент
Учебно-методический комплекс
утвержден на заседании
кафедры моделирования в экономике и управлении
протокол № 19 от 13.01.2009
Российский государственный
гуманитарный университет, 2009
3
Содержание
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ...............................................................................................4
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА.............................................................................................................6
ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН КУРСА .........................................................................................12
ПЛАН СЕМИНАРСКИЙ ЗАНЯТИЙ КУРСА........................................................................14
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К КУРСУ ................................................................................54
СИСТЕМА ТЕКУЩЕГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ ............69
4
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Курс
«Линейная
алгебра
с
элементами
аналитической
геометрии,
математический анализ» относится к циклу естественнонаучных дисциплин,
читается студентам дневной формы обучения первого курса экономического
факультета (для специальностей №080102 – «мировая экономика», №080105 –
«финансы и кредит») в течение первого и второго семестров. Курс состоит из
двух частей: первая часть - «Линейная алгебра с элементами аналитической
геометрии»; вторая – «Математический анализ». На него опираются такие курсы,
как
«Теория
вероятностей
и
математическая
статистика»,
«Экономико-
математические методы», «Экономико-математические модели», «Эконометрика»
и ряд других экономико-математических дисциплин.
Предмет курса – основы математического анализа и линейной алгебры в
объеме, необходимом для понимания методов, используемых в анализе
экономических процессов и управлении, для их применения
при решении
практических задач.
Цель курса – общематематическая подготовка студентов Института
экономики, управления и права, необходимая в дальнейшем для освоения
математических и статистических методов в управлении и экономике; воспитание
у студентов навыков логического мышления и формального обоснования
принимаемых решений.
Задачи курса:

изучение студентами основ математического аппарата;

закрепить у студентов навыки решения типовых математических задач;

привить студентам умение самостоятельно изучать литературу по
математическому анализу;

развить логическое и алгоритмическое мышление, умение строго излагать
свои мысли;

воспитать абстрактное мышление;

выработать у студентов навыки к математическому исследованию
теоретических и практических задач экономики и управления.
В
результате
изучения
курса
студенты
должны
знать
основы
математического анализа и линейной алгебры, уметь применять полученные
знания к решению прикладных задач экономики и управления.
5
Особенностью курса является его прикладная экономическая направленность:
рассматриваются простейшие приложения математики в экономике и управлении
–
балансовые
модели,
производственные
предельный
функции,
модели
анализ,
эластичность
экономической
динамики
функции,
и
др.
Многообразие тем с примерами и задачами экономического содержания, взятых
из разных сфер бизнеса и управления – важнейшая черта курса, т.е. содержание
курса адаптировано для студентов Института экономики, управления и права. К
особенности курса также можно отнести то, что рассмотрение большинства тем
начинается
с
постановки
практической
задачи,
затем
рассматривается
соответствующий математический аппарат, затем решается поставленная задача.
Объем курса. Курс «Линейная алгебра с элементами аналитической
геометрии, математический анализ»
читается в первом и втором семестрах.
Общий объем курса – 130 часов, из них лекций – 66 часа, практические занятия –
64 часов.
В каждом семестре проводится по 3 промежуточных и по одной итоговой
контрольных работы. Итоговая аттестация студентов проводится по рейтинговой
системе. Первый семестр – дифференцированный зачет, второй семестр – экзамен.
Содержание, характер и объем изложения данного курса соответствует
государственным
стандартам
высшего
профессионального
предназначенным для студентов экономических специальностей.
образования,
6
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Тема 1. ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ. МАТРИЦЫ И ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ
НАД МАТРИЦАМИ
Введение в курс. Основные этапы становления современной математики и ее
структура. Значение математических знаний в современном образовании
экономиста и менеджера. Понятие матрицы и вектора. Виды матриц. Действия
над матрицами и их свойства: сложение, умножение на число, произведение,
возведение в целую степень, матричные многочлены, транспонирование.
Элементарные преобразования матриц, эквивалентные матрицы.
Тема 2.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
Основные понятия. Схема вычисления определителей 1-3 порядка. Свойства
определителей. Дополнительный минор, алгебраическое дополнение. Разложение
определителей по элементам некоторого ряда. Собственные значения матриц.
Тема 3.
РАНГ МАТРИЦЫ
Основные понятия: линейно независимые строки, минор k-го порядка, ранг
матрицы, базисный минор. Свойства ранга матрицы. Метод окаймляющих
миноров, метод элементарных преобразований для нахождения ранга матрицы.
Тема 4.
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Невырожденная
матрица.
Обратная
матрица.
Метод
присоединенной
матрицы, метод элементарных преобразований (метод Гаусса) для вычисления
обратной матрицы. Матричные уравнения. Формулы Крамера.
Тема 5.
Типы
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
систем
линейных
неоднородные/однородные;
алгебраических
совместные/несовместные.
уравнений
Теорема
(СЛАУ):
Кронекера–
Капелли. Метод Гаусса для исследования типа СЛАУ. Представление решения
неопределенной СЛАУ в покоординатной и векторной формах. Фундаментальная
система решений.
7
Тема 6. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНТСВЕ
Основные понятия. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в
пространстве.
Прямая
и
плоскость
в
пространстве.
Основные
задачи.
Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
Тема 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Основные понятия. Операции над множествами. Элементы логической
символики. Числовые множества. Числовые промежутки. Абсолютная величина
вещественного числа. Окрестность точки.
Тема 8. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Понятие функции одной переменной: область определения, область значений,
способы задания. Производственные функции. Основные характеристики:
четность/нечетность, монотонность, ограниченность. Обратная функция. Сложная
функция. Основные элементарные функции и их графики. Преобразование
графиков.
Тема 9. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
Понятие
числовой
характеристики:
последовательности,
монотонность,
способы
ограниченность,
задания.
Основные
сходимость.
Предел
последовательности: определение, геометрический смысл. Число е как предел
последовательности. Экономический смысл числа е и показательной функции,
связь с формулой вычисления сложных процентов.
Тема 10. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Предел функции на бесконечности. Предел функции в точке (по Коши, по
Гейне). Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие
функции. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.
Арифметические свойства пределов. Теоремы о переходе к пределу в
неравенствах.
Признаки
существования
пределов.
Вычисление
пределов
алгебраических выражений. Замечательные пределы и их следствия. Сравнение
бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции.
8
Тема 11. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции в интервале и на
отрезке. Точки разрыва и их классификации. Основные теоремы о непрерывных
функциях.
Непрерывность
непрерывных
на
отрезке:
элементарных
функций.
ограниченность,
Свойства
достижение
функций,
наибольшего
и
наименьшего значений, промежуточного значения.
Тема 12. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Понятие
производной
геометрический
смысл.
функции
Уравнения
одной
переменной,
касательной
и
механический
нормали
к
и
кривой.
Дифференцируемость функции в точке и на множестве. Связь между
непрерывностью
и дифференцируемостью
функции. Производная суммы,
разности, произведения, частного двух функций. Производная сложной и
обратной функции. Производные основных элементарных функций. Таблица
производных.
Дифференцирование
неявных
функций.
Логарифмическое
дифференцирование. Производные высших порядков. Дифференциал функции,
геометрический
смысл.
Инвариантность
формы
полного
дифференциала.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Теоремы о средних
значениях дифференцируемых функций: Ролля (о корнях производной), Лагранжа
(о конечных приращениях), Коши (об отношении приращений двух функций).
Правило Лопиталя–Бернулли. Формула Тейлора для многочлена. Формула
Тейлора для произвольной функции. Степенные ряды. Разложение элементарных
функций по формуле Маклорена.
Тема 13. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРИ
ПОМОЩИ ПРОИЗВОДНЫХ. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
Условия возрастания и убывания функции. Необходимые и достаточные
признаки экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на
отрезке. Условия выпуклости и вогнутости функции. Точки перегиба. Асимптоты
графика функции. Общая схема исследования функции и построения графика.
Экономический смысл производной. Общие, средние и предельные показатели в
экономике. Постановка и решение простейших оптимизационных экономических
задач. Эластичность и ее применение в экономическом анализе. Свойства
9
эластичности и эластичность элементарных функций. Виды эластичностей в
экономике: эластичность по цене, по доходу, эластичность замещения ресурсов и
т.п. Простейшие экономические модели, использующие понятие эластичности,
связь эластичности с выручкой продавцов и расходами покупателей, связь цены и
издержек в условиях монополии, эластичность и налоговая политика.
Тема 14. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ.
Понятие о метрическом пространстве. Понятие функции нескольких
переменных: область определения, способы задания. Линия и поверхности
уровня. Предел и непрерывность функции двух переменных. Свойства функций,
непрерывных в ограниченной замкнутой области. Выпуклые множества.
Тема 15. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Частные производные и их геометрический смысл. Частные производные
высших
порядков.
Теорема
Шварца.
Дифференцируемость
и
полный
дифференциал функции. Применение полного дифференциала к приближенным
вычислениям. Производная сложной функции. Полная производная. Производная
по направлению. Градиент.
Тема 16. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Основные понятия. Необходимые и достаточные условия локального
экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Метод наименьших
квадратов. Однородные функции. Производственные функции и их исследование
с помощью производных. Предельные и средние экономические показатели на
базе производственных функций. Постановки экономических оптимизационных
задач и обзор методов их решения. Задача максимизации прибыли фирмы. Задача
максимизации объема выпускаемой продукции при ограничении затрат на
приобретение ресурсов.
10
Тема 17. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Понятие
первообразной
и
неопределенного
интеграла.
Свойства
неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов.
Основные методы интегрирования: метод непосредственного интегрирования,
метод замены переменной, метод интегрирования по частям, интегрирование
рациональных дробей.
Тема 18. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Геометрический
смысл определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула
Ньютона-Лейбница. Интеграл с переменным верхним пределом. Методы
вычисления определенного интеграла. Приложения определенного интеграла,
вычисление площади плоской фигуры.
Тема 19. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (первого рода).
Интеграл от разрывной функции (второго рода). Определения, геометрический
смысл, признаки сравнения.
Тема 20. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема
о существовании и единственности решения. Дифференциальные уравнения с
разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения
первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами. Использование дифференциальных уравнений в экономической
динамике.
Тема 21. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Основные понятия. Ряд геометрической прогрессии. Свойства рядов.
Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд. Ряды с положительными
членами. Признаки сходимости (критерий, сравнения, Даламбера, Коши).
Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Знакопеременные ряды. Свойства
абсолютно сходящихся рядов.
11
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Учебная литература
обязательная
1.
Краснова С.А., Уткин В.А. Основы математического анализа. М.:
Издательский центр РГГУ, 2009.
2.
Краснова С.А. Уткин В.А. Сборник задач по математике. М.:
Издательский центр РГГУ, 2009.
дополнительная
1.
Красс М.С., Чупрынов Б.Л. Основы математики и ее приложения в
экономическом образовании. М.: Издательство «ДЕЛО», 2007.
2.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г.
Математика в экономике. В 2-х ч. М.: Финансы и статистика, 2007.
3.
Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник
задач по высшей математике. 1 курс. М.: Рольф, 2007.
12
ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН КУРСА
«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» (в часах)
для студентов дневной формы обучения первого курса экономического
факультета
специальности №080102 – «мировая экономика», №080105 – «финансы и
кредит»
Тема
1. Матрицы и векторы.
Действия над матрицами
2. Определители
3. Ранг матрицы
4. Обратная матрица
5. Системы линейных
алгебраических уравнений
6. Уравнения
поверхности и линии в
пространстве
7. Элементы теории
множеств
8. Функция одной
переменной. Основные
понятия.
9. Числовые
последовательности
10. Предел функции
одной переменной
11. Непрерывность
функции одной
переменной
12. Производная и
дифференциал функции
одной переменной
ИТОГО (первый
семестр)
13. Исследование
функции одной
переменной при помощи
производных. Построение
графиков
14. Функции
нескольких переменных.
Основные понятия.
15. Производные и
Лекции
Семинарски
е занятия
Всего
2
2
4
2
2
2
1
1
2
3
3
4
4
4
8
1
–
1
1
–
1
4
2
6
2
2
4
4
5
9
2
2
4
8
11
19
34
32
66
4
4
8
2
2
4
6
5
11
13
дифференциалы функции
нескольких переменных
16. Экстремумы
функции двух переменных
17. Первообразная и
неопределенный интеграл
18. Определенный
интеграл
19. Несобственные
интегралы
20. Дифференциальные
уравнения
21. Числовые ряды
ИТОГО (второй
семестр)
ИТОГО
4
5
9
4
4
8
4
4
8
2
2
4
4
4
8
2
2
4
32
32
64
66
64
130
14
ПЛАН СЕМИНАРСКИЙ ЗАНЯТИЙ КУРСА
«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
1. Действия над матрицами: сложение, умножение, матричные
многочлены, транспонирование, элементарные преобразования (2 ч.).
Рекомендуемая литература: §§ 1–2 [1], § 1 [2].
Задания для аудиторной работы
1.1. Выполнить допустимые действия
1) A3  B ; 2) AT  2 B ; 3) 2B  3A ; 4) 3E  BT ; 5) AB ; 6) BA ;
7) AT B ; 8) ABT ; 9) B T AT ; 10) AAT ; 11) AT A ,
2
если: а) A  
1
 4 1 3 


 3
 4  2
 1 2 0 
 , B  
 ; б) A   1 0
 .
2  , B  
4
3 1 
3 2 4 
 2

5  2

1.2. Найти значение матричного многочлена f ( A) :
2

  3 1
2
 ; б) f ( x)  x  2 x  8 , A  1
а) f ( x)  2 x  3x  7 , A  
 1 0
0

3
0
4
1
 3

5 .
 2 
1.3. Привести матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных
преобразований над строками; указать базисные строки и столбцы исходной
матрицы; привести полученную ступенчатую матрицу к виду Гаусса:
 5 7  1


а)  7 1  3  ; б)
 1  3 5 


 2 3 1


 10 11 3  ; в)
  6  7  2


3 2  4 8 


 2 4  5 1 .
5 6  9 2 


Задания для домашней работы
1.4. Выполнить допустимые действия
1) B  A 2 ; 2) 2 A  3B ; 3) 3E  A ; 4) 2BT  3AT ; 5) AB ; 6) BA ;
7) AT B ; 8) B T A ; 9) AT B T ; 10) B T B ; 11) BB T ; 12) AE ; 13) EA ,
  2 5  4
 1 2 4 




 2 1 5 
 ,
если: а) A    1 1 6  , B   3  5 0  ; б) A  
3
0

2


 0 3 2 
 7 6 1 




 3 1 


B   2 4 .
 0 2 


15
1.5. Найти значение матричного многочлена f (A) , если
2
а) f ( x)  2 x 3  x 2  3x  1 , A  
0
 1 5

A 2 2
 3 3

 3
 ; б) f ( x)  3x 2  2 x  5 ,
1 
1

0 .
4 
1.6. Привести матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных
преобразований над строками; указать базисные строки и столбцы исходной
матрицы; привести полученную ступенчатую матрицу к виду Гаусса:
2

а)  3
4

 5 1

0
1  ; б)
1
2 
2  2 3  4


1 3  1 11  ; в)
1  2 2  7 


 3  2  1  1


4 1 4 6 
1 3 5 7  .


 7 1 3 5 


2. Определители. Ранг матрицы (2 ч.). Рекомендуемая литература: § 3, 5
[1], § 2, 4 [2].
Задания для аудиторной работы
1 5 6
2 0 0
3 0 0
0 0 2
2.1. Вычислить: а) 0 2 4 ; б) 2 3 0 ; в) 0  2 0 ; г) 0 4 0 .
0 0 3
5 6 4
0 0 5
5 0 0
3
2.2. Известно, что 2
3
3 2 3
2
а) 2 5 4 ; б) 3
3
1 3 2
2 1
5 3  3 . Не производя вычислений, найти:
4 2
5 3
3 3
2 1 ; в) 2 4
4 2
1 2
2
3
5 ; г) 3
3
2
4 2
3 2 1
2 1 ; д) 2  5 3 ;
5 3
3 4 2
3 4 1
3 2 3
3 2 1
3 2 1
3 2
е) 2 10 3 ; ж) 2 5 2 ; з) 6 4 2 ; и) 2 5 3 ; к) 2 5
3 4 3
3 8 2
3 4 2
0 0 0
3 4
2.3. Вычислить определители различными способами:
3
а)
2
4
2
1
2 1 3
2 1 8
3 2 2
2  3 ; б)  2 5 1 ; в) 8 7  2 ; г) 1  5  8 .
3 4 5
4 2 1
2 3
3 2 4
1 53
3  5 2 .
2  53
16
4 1
1 7
2.4. Вычислить определитель методом понижения порядка:
2 5
8 5
 1

2.5. Сколько миноров различных порядков имеет матрица  0
 1

7 1
0 1
.
3 0
7 3
6

3 ?
 3 
2
1
1
2.6. Определить ранг матрицы, указать один из базисных миноров:
 3 16 6 


 1 2 1
а) 
; б)
3 4 4 


 1 8 2 


2
2

 3 1
1  1

1 1 

1 6  ; в)
 1 4 
3
3

 1 1
 4 2

 5 1

0
1
1
2
4
3
1
2



.



Задания для домашней работы
2.7. Вычислить определители: а)
x
x
2.8. Решить уравнения: а)
6 1
3  4/3
; б)
.
3
2
1/ 8  5 / 6
x5
x 3
 1 ; б)
 8.
3
2 x
2.9. Вычислить определители различными способами:
5 0 2
6 3 2
3 2 1
7 3 5
а)  16 3 1 ; б)
3 2 2 ; в) 2 1 0 ; г) 5 2 1 .
3 2 8
2 1 3
 10  1 0
4 5 1
2.10.
8
3
5
3
8
4
7
5
Вычислить
5
5
7
2
определитель
методом
понижения
порядка:
6
3
.
5
4
2.11. Сколько миноров различных порядков имеет матрица: а) A44 ; б) A53 ?
2.12. Определить ранг матрицы в зависимости от чисел ai :
 a1 0 0 


а)  0 a2 0  ; б)
0 0 a 
3

 a1

0
0

a2
0
0
a3 

a4  ; в)
a5 
0

0
0

a1
a2
a3
0 

0 .
a4 
2.13. Как может измениться ранг матрицы при вычеркивании из нее какойлибо строки/стролбца? Проиллюстрируйте ответ примерами.
2.14. Найти ранг матрицы, указать один из базисных миноров:
17
 7 8 3


а) 1 2 1  ; б)
 5 7 3


  2 0 3  1


 1  2 1 5  ; в)
 1 4 3 1


  2 2 1 


 1 3 5
 3 4 2 .


 1 3 4


3. Обратная матрица, матричные уравнения, метод Крамера (2 ч.).
Рекомендуемая литература: § 4 [1], § 3 [2].
Задания для аудиторной работы
3.1. Найти матрицы, обратные заданным, и сделать проверку:
  1  1 1


а)   2 0 1 ; б)
  2  1 1


2 7 3 


 3 9 4  ; в)
1 5 3 


1

4
7

2
5
8
3

6 .
9 
3.2. Решить матричные уравнения и сделать проверку:
 1 1  3 5

 ; б)
а) X  
3   5 9 
 2
3 1
 2

  X  
 2 4
 18
7 1
.
 2 4 
3.3. Решить уравнения: а) методом Крамера; б) с помощью обратной матрицы:
2 x  x  4,
а)  1 2
9 x1  5 x2  20;
3x1  5 x2  3x3  1,
 x1  x2  x3  2,


б) 2 x1  7 x2  x3  8, в)  x1  x3  5,
 x  2 x  x  4;
3x  x  3.
2
3
 1
 1 2
Задания для домашней работы
3.4. Найти матрицы, обратные заданным, сделать проверку:
1
1 2


  3 2
 ; б)  3  5 3  ; в)
а) 
 2 1 
 2 7 1


 4 0 1 


 1 1 1  .
  3 0 1


3.5. Решить матричные уравнения и сделать проверку:
3  2
 1 2 
  X  
 ; б)
а) 
5  4 
  5 6
 2 1 
4 / 7

  X  
 ;
3  2
5 / 7 
1 0 0   0 0 1 

 

в) X   0 2 0    0 2 0  ; г)
 0 0 3  3 0 0 

 

 3  1
 5 6  14 16 

  X  
  
 .
5  2
 7 8   9 10 
3.6. Решить уравнения: а) методом Крамера; б) с помощью обратной матрицы:
2 x1  x2  3x3  5,
2 x1  2 x2  3x3  2,
 2 x1  2 x  1,


а) 
б)  x1  2 x2  x3  1, в)  x1  x2  2 x3  2,
6 x1  3x2  4;
 x  2 x  x  1.
3x  x  4 x  6;
2
3
3
 1
 1 2
18
4. Системы линейных алгебраических уравнений: метод Гаусса (2 ч.).
Рекомендуемая литература: § 6 [1], § 5 [2].
Задания для аудиторной работы
4.1. Для неоднородной СЛАУ из трех уравнений с тремя неизвестными
возможны следующие соотношения:
1) r ( A)  3, r ( A | B)  3 ; 2) r ( A)  2, r ( A | B)  2 ; 3) r ( A)  1, r ( A | B)  1 ;
4) r ( A)  2 , r ( A | B)  3 ; 5) r ( A)  1 , r ( A | B)  2 ; 6) det A  2 .
При каких из них система: а) имеет единственное решение; б) имеет
бесчисленное множество решений; в) несовместная; г) совместная? Возможна ли
ситуация: д) r ( A)  1 и r ( A | B)  3 ; е) r ( A)  3 и r ( A | B )  2 ?
4.2. Исследовать и решить систему методом Гаусса:
4 x1  5 x2  2 x3  3x4  2,

а) 3x1  4 x2  x3  7 x4  5,
 6 x  7 x  4 x  5 x  3;
1
2
3
4

3x1  2 x2  x3  x4  2,
 x  x  x  x  7,
 1 2 3 4
б) 
 x2  2 x3  2 x4  23,
5 x1  4 x2  3x3  3x4  12;
 x2  2 x3  3x4  0,

в) 2 x1  x2  3x3  4 x5  0,
2 x  5 x  3x  4 x  0;
3
4
5
 1
5 x1  6 x2  7 x3  2 x4  0,
 x  2 x  3x  4 x  0,
 1
2
3
4
г) 
 x1  x3  2 x4  0,
3x1  4 x2  5 x3  6 x4  0.
Задания для домашней работы
4.3. Даны соотношения:
1) r ( A)  5, r ( A | B)  5 ; 2) r ( A)  4, r ( A | B)  4 ; 3) r ( A)  3, r ( A | B)  3 ;
4) r ( A)  2, r ( A | B)  2 ; 5) r ( A)  1, r ( A | B)  1 ; 6) r ( A)  4 , r ( A | B)  5 ;
7) r ( A)  3 , r ( A | B)  4 ; 8) r ( A)  2 , r ( A | B)  4 ; 9) r ( A)  4 , r ( A | B)  5 ;
10) r ( A)  2 , r ( A | B)  3 ; 11) r ( A)  1 , r ( A | B)  2 ; 12) det A  0 .
При каких из них неоднородная СЛАУ с матрицей A45 : а) имеет
единственное решение; б) неопределенная; в) не имеет ни одного решения; г)
совместная? д) какие соотношения невозможны?
4.4. Даны соотношения: 1) r ( A)  3 ; 2) r ( A)  3 ; 3) r ( A)  1 ; 4) r ( A)  0 ; 5)
det A  1 ;
6) det A  0 ; 7) r ( A)  4 . При каких из них однородная СЛАУ с матрицей
A33 : а) имеет только нулевое решение; б) имеет бесконечное множество
решений; в) не имеет ни одного решения?
19
4.5. Исследовать и решить СЛАУ методом Гаусса:
6 x1  3x2  3x3  x4  9,
3x1  x2  6 x3  4 x4  2,
 x  2 x  3x  3x  1,
 x  x  6 x  4 x  6,
 1
 1 2
2
3
4
3
4
а) 
б) 
 7 x1  x2  x3  2 x4  8,
2 x1  3x2  9 x3  2 x4  6,
 3x1  9 x2  9 x3  10 x4  12;
3x1  2 x2  3x3  8 x4  7;
3x1  4 x2  x3  2 x4  3x5  0,
5 x  7 x  x  3x  4 x  0,
 1
2
3
4
5
г) 
4 x1  5 x2  2 x3  x4  5 x5  0,
7 x1  10 x2  x3  6 x4  5 x5  0;
 3x1  2 x2  x3  0,

в) 4 x1  x2  2 x3  0,
 x  x  3x  0;
3
 1 2
4. Контрольная работа № 1 (2 ч.). Рекомендуемая литература: § 1–6 [1], § 1–
5.
Контрольная работа № 1 (образец).
1.
Выполнить допустимые действия: 1) 3 A  2BT ; 2) BA ; 3) AT B ; 4) ABT ; 5)
2 AE ; 6) AT B T ; 7) B T AT ,
 1 2 


5 1 1 
 , B    4  1 .
A  
4
3  2
 4 3


2
Решить систему уравнений: а) методом Крамера; б) с помощью обратной
6 x1  4 x2  x3  18,

матрицы. Сделать проверку:  x1  x2  2 x3  1,
 5 x  2 x  4 x  10.
1
2
3

3
Исследовать и решить систему уравнений методом Гаусса:
 2 x2  8 x3  x4  5,
 x  19 x  7 x  2 x  4,
 1
2
3
4

 x1  3x2  7 x3  2 x4  4,
 2 x1  8 x2  6 x3  3x4  13.
6. Функция одной переменной: область определения,
четность/нечетность, обратная функция, построение графиков методом
преобразования (2 ч.). Рекомендуемая литература: § 8–9 [1], § 7 [2].
Задания для аудиторной работы
6.1. Найти область определения функции:
20
а) y 
7x
6
x  x  30
2
2 x
; б) y 
2
x 7
г) y  arccos(5  2 x) ; д) y  arcsin
; в) y  log ( x 7) ( x 2  x  30) ;
2x
x2
; е) y  4
.
1 x
3  2x  x2
6.2. Определить, является функция четной, нечетной или общего вида:
а) f ( x) 1  x ; б) f ( x) 
3 x  3 x
; в) f (x)  ln x 2 ;
x
x
3 3
г) f ( x)  lg cos 2 x ; д) f ( x)  2tgx  sin 2 x  3 arcsin 3 5 x .
6.3. Найти область значений функции:
а) y  x 2  1 ; б) y   x 2  8 x  13 ; в) y 
x2
; г) y  3 1  x 2 ; д) y  32 x 1  2 .
x2
6.4. Построить график функции методом преобразования графиков:
а) y 
2x  4
4 x 1
; б) y  log 0,3 (2  x) ; в) y  4 x  x 2  3 ; г) y  2
1.
x3
Задания для домашней работы
6.5. Найти область определения функции:
а) y  ln
x 2  11x  30
x 2  2 x  15
x 5
6
y

;
б)
;
в)
;
y

(11x  x 2  28)( x  5) 2
x2  x  2
3  5x  2 x 2
г) y  arccos( 3  x) ; д) y  arccos
x 1
; е) y  log (8 x ) ( x 2  x  20) .
x2
6.6. Определить, является функция четной, нечетной или общего вида:
x
1
а) f ( x)     5 x ; б) f ( x)  x  2 ; в) f ( x)  3 ( x  1) 2  3 ( x  1) 2 ;
5
г) f ( x)  lg
1 x
9 x 1
; д) f ( x)  5 log 2 ( x  1) ; е) f ( x)  x
1 x
3
6.7. Найти область значений функции:
а) y 
2x
x 
; б) y  x 2  6 x  7 ; в) y  2 x 3 ; г) y  lg   1 .
x3
2 
6.8. Построить график функции методом преобразования графиков:
а) y 
д) y 
9x  4
1
; б) y  x 2  6 x  11 ; в) y | 6 | x | 2 x 2  1 | ; г) y   
3x  2
4

2
 2arctg( x  1) ; е) y  arccos | x | 

2
; ж) y  ln( 1  x) .
3 x 1
;
21
7. Числовые последовательности. Пределы алгебраических выражений (2
ч.). Рекомендуемая литература: § 10–13 [1], § 8 [2].
Задания для аудиторной работы
7.1. Записать первые четыре члена, охарактеризовать последовательность и
дать графическую иллюстрацию: а) xn  2  n 2 ; б) xn  (1) n (n 1)! .
7.2. Найти формулу общего члена, охарактеризовать последовательность и
дать графическую иллюстрацию: а) 2, 5 / 2, 10 / 3, 17 / 4, 26 / 5, ...; б)
1, 1/ 3, 1/ 5, 1/ 7, 1/ 9, ....
7.3. Пользуясь определением предела последовательности доказать, что
последовательность xn  1/ n 2 является бесконечно малой. С какого номера члены
последовательности станут меньше: а)   0,1 ; б)   0,01 ; в)   0,001 ?
7.4. Используя определение предела последовательности, доказать:
3 n
1
 .
n  2n  7
2
lim
7.5.
Используя
определение
предела
функции
по
Коши,
доказать:
lim (5x  2)  7 .
x 1
7.6. Раскрыть неопределенность  /  :
4n 2  7 n
4n3  7n
4n3  7n
(4n  1)(3n  2)(n  3)
а) lim
; б) lim
; в) lim
; г) lim
;
3
2
3
n  3n  5
n  3n  5
n  3n  5
n
2n3  7
д) lim
2  9n 2  16n  4 n 4  5n 3  1
n 
3
8n 3  2n  1
(3 x  2) 27
;
x  (3 x 5  1) 5 ( 2 x  2) 2
; е) lim
(5 x  12) 44  (3 x  2)15
(3x 2  1) 2
ж) lim
; з) lim
; и)
x  ( 2 x  1) 27  ( 4 x  3) 32
x  2 4
x  16 x 5  x 3  1
lim
(2 x  5) 2  3x
x  3
x 6  2 x  1  2  4 x 4  5x
.
7.7. Раскрыть неопределенность    :
а) lim
n 


2n  3  n ; б) lim
n 
 9n
2



 2n  4  3n ; в) lim x  x 2  3x  5 .
7.8. Раскрыть неопределенность 0 / 0:
x 
22
x2  4
 x2  4x  5
1 x
;
б)
; в) lim 2
;
lim
2
2
x 2 x  3 x  2
x 5 x  8 x  15
x 1 2 x  3x  1
а) lim
г) lim
x 7
x 2  49
2 x 3
; д) lim
x 0
1  3x  1  2 x
3  x 1
; е) lim
.
x 2 6  x  2
4x
Задания для домашней работы
7.9. Записать первые пять членов, охарактеризовать последовательность и
дать графическую иллюстрацию: а) xn  n!n 2 ; б) xn  
3
n
; в) xn  
.
4n  3
2n  1
7.10. Найти формулу общего члена, охарактеризовать последовательность и
дать графическую иллюстрацию: а) 0,  1/ 2,  4 / 3,  9 / 4,  16 / 5, ... ; б)
1/ 2, 2 / 3, 1, 8 / 5,  8 / 3, ....
7.11. Пользуясь определением предела последовательности доказать, что
данные последовательности являются бесконечно малыми: а) xn  5 n ; б)
(1) n
xn 
. Начиная с какого номера будет выполняться условие xn  0,001 ?
2n  1
7.12. Используя определение предела последовательности, доказать:
4n  1 4
2n 2  1
 ; б) lim 2
2
n   3n  5
n  n  2
3
а) lim
7.13. Даны последовательности:
1) xn  n / 2 ; 2) xn 
3
(1) n1
; 3) xn  (1) n  3 n ; 4) xn  n
;
n!
e 1
5) xn  cos n ; 6) xn 
5n  1
3n 3
4n  1
; 7) xn 
; 8) xn  3 ; 9) xn  ln n .
3
n
5n
n
Какие из них являются: а) монотонными; б) ограниченными, в) сходящимися;
г) б.м.; д) б.б.?
7.14. Используя определение предела функции по Коши, доказать:
а) lim ( x / 3  2)  1; б) lim (2  x)  2 .
x 3
x 0
7.15. Раскрыть неопределенность  /  :
(1  3n) 99  n10  3n
(9n  1) 2 (0.5n  1)(5  2n)
lim
;
б)
;
96
3
n 
(2n 2  1)(3n  8) 2
n (3n  2) ( n  2)
а) lim
23
(3n  1) 2 (4n  3)  n 2
(2n  5)(3  2n) 98
(5n  1) 4  n 3  2
;
г)
;
д)
;
lim
lim
n 
n   ( 2n  1) 96 ( n  2) 3
(n  1)( 2n 3  n 2  5)
2n 3  4 n 5  1
в) lim
n 
n 2  7n
е) lim
n  3
8n 2  n  1
; ж) lim
( x  1)(3x  2) 2
x 
4 x 6  3x  x 2
; з) lim
x   3
9 x 4  3x  1
8x 6  2x5  x 2 1
.
7.16. Раскрыть неопределенность    :
а) lim ( n  1  3n  1) ; б) lim ( n 2  2n  n 2  4n ) ; в)
n
n
lim x( x 2  1  x) ;
x 
г) lim x( x 2  1  x) ; д) lim
x
x 


x
е) lim 4 x  3 64 x 3  8 x 2 ; ж) lim
x 
x 
2

 4x  3  x 2  2x  2 ;
 2x
2

 3x  2 x .
7.17. Раскрыть неопределенность 0 / 0:
а) lim
x2  2x
x 2  x  12
 x 2  x  12
;
б)
;
в)
;
lim
lim
x 4  x 2  3 x  4
x 3
x2  4x  4
x2  x  6
г) lim
x2  x  6
6  x  x2
;
д)
; е) lim
lim
x 8
x 3 3x 2  8 x  3
x 2  5x  6
x 2
x 2
ж) lim
x 4
3 5 x
1 5  x
; з) lim
x 3
x 8
3
x 2
;
x2  2x  6  x2  2x  6
.
x2  4x  3
8. Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые.
Вычисление сложных процентов (4 ч.). Рекомендуемая литература: § 14, 15 [1],
§ 9, 10 [2].
Задания для аудиторной работы
8.1. Найти пределы:
2
x
sin 5 x
sin 2 x
sin 2 x
3
lim
а) lim
; б)
; в) lim
; г) lim
;
x 
x
x 0
x 0 lg3  tg 5 x
x  / 4 3  e x  / 4
x
7 x  arcctg
2
arcsin
24
5 x  tg 2 2 x
arccos 2 x  (32 x  1)
lim
;
е)
; ж)
x 0
x 0 ln 2 (1  7 x )
lg( 1  5 x)
д) lim
x
 7x 
cos  log 4 1  
3
9 

;
lim
2x
x 0
arctg
3


x 2  arcsin 0,1
1  cos 2 x
lim
;
к)
.
x 0 cos 3 x  1
x 0 sin 2 x  (e 3 x  1)
з) lim ctg 5 x  (3 (1  4 x) 5  1) ; и) lim
x 0
8.2. Найти пределы:
x
2 
 2

а) lim 1   ; б) lim 1  
x  
x 
5x 
x
x 3
 x 1 
; в) lim 

x   x  1 
2x
 3x  5 
 5x  1 
г) lim 
 ; д) lim 

x   3 x  1 
x   5 x  2 
 x 3
ж) lim 

x  x  4 
x 1
x 2 3
x/3
;
 5x 2 1 

; е) lim  2
x  5 x  2 


x2 / 2
;
1 2 x
 3 x 
; з) lim 

x  7  x 
; и) lim (1  5 x)1/ x .
x 0
8.3. Начальный вклад равен 2500 руб. Рассчитать будущую стоимость вклада
через n лет при начислении r простых годовых процентов:
а) r  10%, n  3 , б) r  5%, n  3 / 4 , в) r  5%, n  1,75 .
8.4. Депозит был открыт на n лет, начальная сумма составляла P руб.,
наращенная сумма составила S руб., r – годовая процентная ставка. Условия
вклада – сложные проценты с поквартальными начислениями. Найти неизвестную
величину по трем известным:
а) P  3000, S  5000, n  3, r  ? б) P  3000, S  5000, r  5%, n  ?
в) S  5000, n  3, r  3%, P  ?
8.5. Предполагается в течение пяти лет в конце каждого года получать
фиксированный
доход
с
вклада
в
размере
P0  800 000 руб.
Какую
первоначальную сумму P следует положить на счет при условии, что 6 %
годовых начисляются по схеме сложных процентов раз в год?
8.6. Фирма планирует через три года закупить новое оборудование на сумму
S3  60 000
руб.
Предполагается ежеквартальное инвестирование средств
равными долями в течение этих трех полных лет. Условия размещения
инвестиций: сложные проценты с ежеквартальными начислениями под 12%
годовых. Определить R – размер ежеквартальных отчислений фирмы.
25
8.7. Определить рыночную цену акции номинальной стоимости 2000 руб. с
ежегодной ставкой начисления в размере r процентов при заданной годовой
инфляции g  4% :
а) r  6% ; б) r  3% .
Задания для домашней работы
8.8. Найти пределы:
3x
7 x  cos 5x
(1  10 2 x )  arccos x
5
lim
а) lim
;
б)
;
в)
;
lim
3x
x 0 arcctg2 x  arctg 2 x
x 0
x 0
sin 2 3x
tg
4
arcsin
2
г) lim
x 0
ж) lim
x 0
5
e x  sin 5 x 2
1  2x 1
tg 2 3 x
lim
lim
;
д)
;
е)
;
x  0 (1  cos 4 x )
x 0 (1  tg 4 x ) 3  1
arctg 2 3x
e3x  1
lg (1  2 x)
log 32 (1  10 x)
lim
; з) lim
;
и)
.
2x
x 0
x 0
cos 2 x  1
 2x 
1

4
ln 1  
5 

8.9. Найти пределы:
x
2 

 x 
а) lim 1   ; б) lim 

x  
x   x  1 
3x 
 3x 2  1 

г) lim  2

x 
3
x

2


ж) lim 1  3x 
5/ x
x 0
x2 / 3
; з)
5 x 6
7x
; в) lim 

x   3  x 
 4x 1 
; д) lim 

x  4 x  7 
3x2
x 2
;
 x 1 
; е) lim 

x   x  2 
2x
lim 5  2 x  x  2 ; и)
4 x 1
lim
x 0
1 x
(1  4 x) x
3
2x
;
.
8.10. Депозит был открыт на n лет, начальная сумма составляла P руб.,
наращенная сумма составила S n руб., r – годовая процентная ставка. Условия
вклада: сложные проценты с поквартальными начислениями. Найти неизвестную
величину по трем известным:
а) P  1000, S  2000, n  3, r  ? б) P  1000, S  2000, r  5%, n  ?
в) S  2000, n  3, r  3%, P  ?
8.11. В течение n лет на вновь открытый счет в начале каждого квартала (в
течение первого квартала счет пуст, а на последний взнос проценты не
начисляются) перечисляется одна и та же сумма P0 . Условия вклада: сложные
проценты из расчета r процентов годовых с ежеквартальными начислениями.
Найти будущую стоимость вклада, если:
26
а) n  3, P0  100, r  8% ; б) n  2, P0  100, r  4% .
8.12. Банк предлагает два вида депозитов: первый – под 9% годовых по схеме
простых процентов с ежегодными начислениями, второй – под 8,7% годовых по
схеме сложных процентов с ежеквартальными начислениями. Какой вариант
является более доходным:
а) при указанных условиях; б) в случае непрерывных сложных процентов?
8.13. Частным лицом взят потребительский кредит в банке в размере 5000
руб. сроком на три года. Кредит выдан под 12% годовых по схеме сложных
процентов с ежегодными начислениями. Правила возврат средств: равными
долями ежеквартально. Определить:
а) R – размер ежеквартальных платежей;
б) S – общую сумму возвращаемых средств.
9. Непрерывность функции одной переменной (2 ч.). Рекомендуемая
литература: § 16 [1], § 11 [2].
Задания для аудиторной работы
9.1. Пользуясь определением непрерывности функции в точке доказать, что
данные функции непрерывны в произвольной точке x0  D( y) : а) y  x 2  2 x  3 ;
б) у  0,5 2 x .
9.2. Исследовать на непрерывность и построить график функции:


 1
x,
если x   ,

4
,
если
x

0
,

 3x
4





а) f ( x)   x 2  4 x  3, если 0  x  3, б) f ( x)   sin 2 x, если   x  ,
4
2


1



,
если x  3;
 3  x
 cos x, если x  2 .

9.3. Для данных функций установить точки разрыва и их тип:
а) f ( x) 
1
2x
x3
; б) f ( x) 
; в) f ( x)  arctg
;
5 2
x2
x  2x  3
x 4
2
г) f ( x)  arcctg
1
; д) f ( x) 
x3
3 x
4
2

5  (0,7) x
; е) f ( x) 
x
3
Задания для домашней работы
4x
1
.
27
9.4. Пользуясь определением непрерывности функции в точке доказать, что
данные функции непрерывны в произвольной точке x0  D( y) : а) y  5  x 2 ; б)
у  5 x 1 ; в) y 
1
.
3  2x
9.5. Исследовать на непрерывность и построить график функции:
если x  1,
   / 2,

а) f ( x)  arccos | x |  / 2, если  1  x  1, б)
 1 /( x  1),
если x  1;

x  5,
если x  2,


f ( x)  | arcsin( x  1) |, если  2  x  0,
  / 2  x,
если x  0.

11.6. Для данных функций установить точки разрыва и их тип:
1
1  x3
x 2  4x  3
 1   x2  x2
а) f ( x) 
; б) f ( x)  2
; в) f ( x)   
;
1 x
x  2x  3
 3
г) f ( x) 
1
1 x
1 x
; д) f ( x) 
; е) f ( x) 
.
3
x 3
1
1 4
arcctg
2  6 x 3
x2
10. Контрольная работа № 2 (1 ч.). Рекомендуемая литература: § 10–15 [1], §
8–10 [2].
Контрольная работа № 2 (образец).
Найти пределы:
(5 x  1) 43 (5 x  3) 28 ( x  3) 3
1. lim
;
x 
(5 x  11) 74  (5 x 3  1) 6
2x 2  x 1
2. lim 2
;
x 1 x  x  2
3. lim
x 0
6x
9  2x  3
;
2x
4x
2x /3
 tg
3
5 ; 5. lim  7  x 
.
x   6  x 
arccos 2 x
ctg
4. lim
x 0
11. Производные элементарных функций, правила дифференцирования,
производная сложной функции, логарифмическая производная, касательная
28
и нормаль, производная неявно заданной функции (3 ч.). Рекомендуемая
литература: § 17–20 [1], § 13–14 [2].
Задания для аудиторной работы
11.1. Пользуясь определением, найти производные данных функций,
вычислить их значения в указанных точках x0 : а) y  1  2 x 2 , x0  2 ; б) y 
x0 
x
,
2
1
.
2
11.2. Найти производную функции:
а) у  2 x 3 
5
6
 3 3 x2 
 x  x  lg 7 ;
4
8 9
x
x
2
б) y  2 sin x  3 cos x  4tg x  ctgx  cos( / 7) ;
5
в) y  2e 4  3e x  2 x  4 ln x  lg x  log 2 7 ; г) y  ln 5  x 4  arctg x ;
д) y  (5 / x  2 x  2)  3 x ; е) y 
e5  x 2
e x  arcsin x
; ж) y 
.
log 3 x
3
11.3. Найти производную сложной функции, используя цепное правило:
а) y  arccos 5 x ; б) y  (sin(  / 8)  2arcctg2 x) 5 ; в) y  3  4  x ;
2
г) y  sin 5 x  cos 3
ж) y  3 5cos
к) y 
4x
x
; д) y  sin cos 4 4 x ; e) y  lg sin 3 (1  x) ;
4
arc cos 0,3
; з) y 
log 4 tg8 x
; и) y  сtg ( / 7)  7 arcsin 3 2 x ;
3 2
x
2sin 2 x
3
y

log
arctg
 e sin x  3 ctg 4 x ;
;
л)
4
3
2
5 x
cos 2 x
м) y  5
 1 x 

arcsin3 
4 
 2x 
 5 ctg2 x  log 4 x 3 .
11.4. Найти производную функции, используя прием логарифмического
дифференцирования:

а) y  x sin x ; б) y  ctg 5 x 2
 63 x
2

г) y  
 7 x3
x2  7 x4





arcsin
3
x

lg 3 x
; в) y 
( x  1) 3  x  2
3
( x  1)
;
2
arcctg
 1

 2x5 
; д) y  
 3 2

 x x

3
x2
.
29
11.5. Найти производную третьего порядка функции: а) y  sin 3 x ; б) y  7 x / 2 ;
в) y  ln( 1  x) .
11.6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
y  f (x) в точке с абсциссой x0 , дать графическую иллюстрацию:
а) y  x 3  2 x , x0  1 ; б) y  x 2  x  1 , x0  1 ; в) y  32  4 x  x .
11.7. Найти производную функции y (x) , заданную неявно выражением:
а) x 3  y 3  sin( x  2 y )  ctg
в) 5 xy  cos( x 2  y 2 )  ln

14
; б) e y  e 4  xy , y( x; y )  ? ;
3y  3 y
x
 ln 5 ; г) ctg ( x 3 y ) 
 log 6 9 .
y
2x
Задания для домашней работы
11.8. Пользуясь определением, найти производные данных функций,
вычислить их значения в указанных точках x0 :
а) y  x 2  2 x  3 , x0  1 ; б) y  3 1  x , x0  1 ; в) y 
1
3
, x0   .
2
2
x
11.9. Найти производную функции:
а) y  2 x  3 x 2 
б) у 
3
x

1
4
x3
 8;
x
2
x
lg 8
;
 5x 4  5  7  7 x 5 
 x2  4 x  5 3 
2
x
3x
5  4 x5
в) y  2 x ln 5  (lg x  e ) ; г) y  5 x  arccos x 
д) y  arctg ( x  2) 
log 6 x
2  x2
;
x 3
; е) y  2  arccos 3 x ; ж) y  arcctgx 3 .
x  4x  5
2
11.10. Найти производную функции, используя прием логарифмического
дифференцирования:
а) y  ( tg2 x)
д) y 
cos 2 x
2

; б) y  2 x ; в) y   arccos 
x

(1  3 x 3 ) 2  5 x 2  е
(2 x  lg e) 3  (1  x ) 3
 2
1 
y

 5 3 sin 3x 
 3x

arcsin
lg 2 x
x
4
x2
.
; е) y  (2 x  5)
3
ctg
1
x
( x 3  2)  3 x  1
; г) y 
;
( x  5) 4
; ж)
30
11.11. Найти производную третьего порядка функции:
x
1
а) y  2 x 4  3x 3  3x  e 5 ; б) y  cos ; в) y  0,2 3 x ; г) y  2 .
2
2x
11.12. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
y  f (x) в точке с абсциссой x0 , дать графическую иллюстрацию:
а) y  x  x  1, x0  1; б) y  arctg
2
x 
 , x0  0 ;
2 2
в) y  2 cos x , x0   / 6 ; г) y  3 ( x  3) , x 0  3 .
2
11.13. Найти производную функции y (x) , заданную неявно выражением:
а) x 4  y 4  4  x 2 y 2 ; б) ye x  3 e  xe y ; в) cos( xy)  e xy  xy2  1 ;
г) 3 y
x

y
1  3x
 lg 8 ; д) x 3 y y  2 
 3.
6x
4y
12. Дифференциал. Применение дифференциала для приближенных
вычислений (1 ч.).
Рекомендуемая литература: § 21 [1], § 15 [2].
Задания для аудиторной работы
12.1. Найти дифференциал функции:
(lg x) ctg5 x
x2
3
а) y  5 ; б) y  2
; в) y  cos 2 x  arccos(1  3x) ; г) y 
.
5
x 1
(1  2 x) 3
x3
12.2. Найти полное приращение функции и ее дифференциал, сравнить их
значения при x  1 :
а) y  2 x 2  3x  1 ; б) y  ln( 2 x  1) ; в) y  cos(1  x) .
12.3. Вычислить приближенно:
а) ln 1,04 ; б)
24 ; в) 16,81 / 4 ; г) ln 3 0,901 .
Задания для домашней работы
12.4. Найти дифференциал функции:
1  x3
2
2 3 x 2
а) y  atcctg 3 ; б) y  x e
; в) y 
; г)
2  5x 2
x
arcsin
 5
4 
y
 4
 8 3 7x 
 7 x

2
x2
.
31
12.5. Найти полное приращение функции и ее дифференциал, сравнить их
значения при x  1 :
а) y  2 x 3  3x 2  6 x  1 ; б) y  2  5 x ; в) y  5 x 2 .
12.6. Вычислить приближенно: а) ln 0,97 ; б)
3
26 ; в) 8,81 / 2 ; г) arctg 0,98 .
13. Правило Лопиталя (3 ч.). Рекомендуемая литература: § 23 [1], § 16 [2].
Задания для аудиторной работы
13.1. Вычислить пределы, раскрыв неопределенность [0 / 0] или [ /  ] :
1  32 x
x3  2x 2  x  2
7 x 2  3x
lim
;
б)
;
в)
; г)
lim
x 0 arcsin( 3 x / 2)
x 1
x 
x3  7 x  6
e2x
а) lim
log 5 (2 x   / 2)
.
tg 2 x
0
lim
x

4
13.2. Вычислить пределы, раскрыв неопределенность 0   :
а) lim
x 0 

5





x
2 x  lg x 2 ; б) lim tg 2 4 x  ln x ; в) lim  1  cos   ctg2 x  ; г)
x 0
x  0 
2

2

lim  x sin  .
x  
x
13.3. Вычислить пределы, раскрыв неопределенность [   ] :
1 
1 
1 
 x
 1
1

 2 .
а) lim   x  ; б) lim 
 ; в) lim 
x 1 x  1 ln x 
x 0 x sin x
x  0 x
x 
e 1 
13.4. Вычислить пределы, раскрыв неопределенности [1 ] , [ 0 ] или [0 0 ] :

3/ x
а) lim cos 2 x 
; б) lim x  5 x
2
x 0
x  

г) lim 1  sin 2 x
x 0

1 / ln cos x

1
2x
; в) lim tgx 2 cos x ;
x  / 2
x
 sin x 
sin
; д) lim ctg 3 x  2 ; е) lim 

x 0
x  0 x 
3/ x
.
Задания для домашней работы
13.5. Вычислить пределы, раскрыв неопределенность [0 / 0] или [ /  ] :
x3  x 2  x 1
ex  x 1
1  cos 2 x
;
б)
; в) lim x
;
lim
2
3
x 1 x  3x  2
x 0 sin 3x
x 0 e  e  x  2
а) lim
г)
arcsin 3 x
tg x
1  cos x
; д) lim
; е) lim
;
2
x  0 ln( e  3 x )  1
x  / 2  0 lg(  / 2  x )
x 0 sin x
lim
32
log 2 sin 3x
2 6 x
4sin x  1
tgx  tg 3
; з) lim
; и) lim 3
; к) lim
.
x2
x 0 sin x
x 0 ln arctg 6 x
x 3 x  27
sin x
ж) lim
13.6. Вычислить пределы, раскрыв неопределенность 0   :


x 

а) lim  (1  x) tg  ; б) lim (sin( 2 x  1)  tgx  ; в) lim ctg x  ln( x  e x ) ;
x 0
x 1
x 1/ 2
2


г) lim tg3x  ctg5x  ; д) lim 2 x 2  lg x 2 ; е) lim lg( x  1)  log 3 x  .
x  / 2
x 0 
x 1 0
13.7. Вычислить пределы, раскрыв неопределенность [   ] :
 1
5
1 
 1

 1
2 
.
 2
а) lim 

 ; б) lim  2  ctg x  ; в) lim 
x 3 x  3
x  0 x
x 2  0 ln( x  1)
x  2 
x  x6


13.8. Вычислить пределы, раскрыв неопределенности [1 ] , [ 0 ] или [0 0 ] :

а) lim 1  x 2
x 0
д) lim x

1/ x

; б) lim x1 / x ; в) lim ( x  8 x ) 2 / x ; г) lim e 2 x  x
x  
1 /(1 2 ln x )
x 0 
; е) lim (cos x)
x 0
x 0
x  
ctg2 x
; ж) lim (2  x)
tg

1/ x
;
x
2
x 1
; з) lim x sin x .
x 0
14. Контрольная работа №3 (2 ч.). Рекомендуемая литература: § 17–23 [1], §
13–16 [2].
Контрольная работа № 3 (образец).
1. Найти производную функции
 x2 2x 

tg4 
 3x 


y3
 cos 2 x  lg
 2

2. Найти дифференциал функции y  
 3x 3 
3 7
 x

3. Найти y(x) , если cos( 2 x 2 y ) 
2y
 e4 ;
1 x
Найти пределы, используя правило Лопиталя:

4. lim 3 x  2
x  
2
3 x
;
1 /( 2 x )
2

5. lim  arccos x 
x  0 

.
arcsin
1
4x
;
2x
;
5
33
15. Формула Тейлора. Степенные ряды (2 ч.). Рекомендуемая литература:
§ 24 [1], § 17 [2].
Задания для аудиторной работы
15.1. Разложить многочлен P (x ) по степеням ( x  x0 ) :
а) P( x)  3x 3  x 2  5 x  2 , ( x  1) ;
б) P( x)  x 4  5 x 3  7 x 2  6 x  2 , ( x  2) .
15.2. Представить функцию
f (x )
в виде многочлена
n -й степени
относительно ( x  x0 ) :
а) f ( x)  cos 3 x , n  3 , x0  0 ; б) f ( x)  sin x , n  4 , x0   / 3 ;
в) f ( x)  0,2 x , n  4 , x0  0 ; г) f ( x)  e x / 2 , n  3 , x0  0 ;
д) f ( x)  ln( 3x  1) , n  2 , x0  1 ; е) f ( x) 
1
, n  4 , x0  3 .
x2
15.3. Вычислить заданное значение с точностью до   0,0001 : а)
3
37 ; б)
e ; в) ln 1,2 .
Задания для домашней работы
15.4. Разложить многочлен P (x ) по степеням ( x  x0 ) :
а) P( x)  3x 4  5 x 3  3x  4 , ( x  1) ;
б) P( x)  2 x 3  3x 2  x  2 , ( x  1 / 3) .
15.5. Представить функцию
f (x )
в виде многочлена
n -й степени
относительно ( x  x0 ) :
а) f ( x)  sin 2 x , n  4 , x0  0 ; б) f ( x)  cos 2 x , n  3 , x0   / 6 ;
в) f ( x )  2 x , n  3 , x0  0 ; г) f ( x)  e x / 3 , n  3 , x0  0 ;
д) f ( x)  lg( 1  2 x) , n  3 , x0  1 / 2 ; е) f ( x) 
x
, n  4 , x0  0 ;
3 x
ж) f ( x)  4 x  2 , n  3 , x0  1 .
15.6. Вычислить заданное значение с точностью до   0,0001 : а) sin 1; б)
4
65 ; в)
5
e 2 .
16. Исследование функции одной переменной: возрастание/убывание,
точки экстремума, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке,
34
выпуклость/вогнутость, точки перегиба, асимптоты (2 ч.). Рекомендуемая
литература: § 25–28 [1], § 20–22 [2].
Задания для аудиторной работы
16.1. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы:
а) y  1  x 3  6 x 2  15 x ; б) y  x 2 
16
x
; в) y  3 x 3  6x 2 ; г) y 
.
x
ln x
16.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном
отрезке:
1 1
а) y  x 3  3x  3 на [1 ; 2 ] ; б) y  x  2 x на [0; 4] .
2 2
16.3. Найти интервалы выпуклости вверх и вниз, точки перегиба графика
функции:
а) y  1  3x 5  5 x 4  2 x ; б) y 
1
; в) y  4 ln x  2 x 2  x  1 ; г) y  e1/(1 x ) .
x 1
2
16.4. Найти асимптоты графика функции:
1  3x
y
; б)
2 x
а)
y
ln x
3
x 1
16  x 2
; в)
y 2
x  2x  8
x2
y
2
 3 4 x
; г)
y  ln
x2
; д)
x2
.
Задания для домашней работы
16.5. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы:
а) y  2  x 3  3x 2  9 x ; б) y 
x2
; в) y  x 2  e  x ; г) y  x 2  4 x  3 .
x2
16.6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном
отрезке:
а) y  2 x 3  3x 2  12 x  1 на [1; 5] ; б) y  x  2 ln x на [1; e] ;
в) y 
4x2
на [1; 1] ; г) y  4  x 2 на [1; 1] .
2
3 x
16.7. Найти интервалы выпуклости вверх и вниз, точки перегиба графика
функции:
а) y  6 x 5  5 x 4  5 x ; б) y 
2
x2
; в) y  x 2  3x  2 ln( 2  x) ; г) y  x  e  x .
2
x 1
16.8. Найти асимптоты графика функции:
2
3  x2
5x3  x
2
а) y 
; б) y  2
; в) y  0,1 x 1 ; г) y  x 2 e 2 / x ; д) y  x ln( 1  x) .
x3
x  2x
35
17. Полное исследование и построение графика функции (2 ч.). Выдача
вариантов контрольной работы № 4 на дом. Рекомендуемая литература: § 29
[1], § 23 [2].
Задания для аудиторной работы
17.1. Провести полное исследование и построить график функции:
а) y 
x2  3
x2
y

;
б)
; в) y  x 2 e1 / x ; г) y  3 x 3  x 2 .
3
x

1
x 1
Задания для домашней работы
17.2. Провести полное исследование и построить график функции:
а) y 
3x 2  7 x  2
x
2x3
; б) y  ( x  2)e  x ; в) y  2
; г) y 
.
ln x
( x  1) 2
x 1
Контрольная работа № 4 (образец).
Провести полное исследование и построить график функции y 
x2  2x  2
.
1 x
18. Функции двух переменных: область определения, линии уровня,
предел, непрерывность. (2 ч.). Рекомендуемая литература: § 30–32 [1], § 26–27
[2].
Задания для аудиторной работы
18.1. Найти область определения функции z  f ( x; y ) , дать графическую
иллюстрацию:
а) z 
г) z 
lg( 4 x  x 2  4)
1
z

;
б)
; в) z  6 ( y  3)( 2  x  x 2 ) ;
2
2y  x  4
2 y  xy  x y
4 2
x  2x  y 2  4 y  4
2 x
2
2
; д) z  lg( x  y  2 y  3) ; е) z 
;
20  x 2  2 x  y 2  4 y
y2  2y  3
ln( 1 e 2  x )
ж) z 
; з) z 
ln( x  3)  y
y  x 1
; и) z  lg( x  2)  ( y  x 2  4 x  1) .
xy  1
18.2. Построить семейство линий уровня функции:
а) z  y  x 2  4 x  1 ; б) z  3 ( x  1)  y ;
в) z  2 x  x  y  2 y ; г) z  ( y  1)  2  x .
2
2
36
Привести
18.3.
z  f ( x; y )
пример функции
с
указанной
областью
определения:
а) плоскость за исключением точек M1 (2; 2) , M 2 (2;  2) ;
б) внутренние точки круга;
в) плоскость за исключением точек прямой y  3 и гиперболы y  1 / x ;
г) внутренние точки параболы y  x 2  1 , включая граничные точки.
18.4. Найти двойные пределы:
x
arcsin x 2 y
 y

 x  2y 3
lim
а) lim x y ; б)
; в) lim  tg  ctg( 2 x y )  ; г) lim 
 .
xy
x 0
x  2
x  2
x  
x
x 

1
y 0
y 3 cos
y 1
y 3
2
2
18.5. Исследовать на непрерывность функцию:
а)
z  arctg
xy
z 2
;
x  2x  y 2  2 y  2
б)
1
z
y  x3 1
1
;
в)
z  0,5
y x2  x
;
г)
5
.
xy  x 2
Задания для домашней работы
18.6. Найти область определения функции z  f ( x; y ) , дать графическую
иллюстрацию:
7 x  x 2  12
y2
а) z 
; б) z  ln
; в) z 
y2
7 xy  x 2 y  12 y
г) z 
3 x
;
y  y 6
2
xy
; д) z  log 5 [ y 2 (6  x  x 2 )] ;
( x  2)( y  2)  1
е) z  lg(  x 2  2 x  y 2  6 y  1) ; ж) z 
2
.
( x  y  4 y )( x 2  2 x  y 2  1)
2
2
18.7. Построить семейство линий уровня функции:
а) z  y  x 2  2 x  1 ; б) z  2(1  x)( y  1) ;
в) z  x 2  y 2  4 y  1 ; г) z  2 x  y  1 ; д) z  lg( 1  x)  y  2 .
18.8.
Привести
пример функции
z  f ( x; y )
с
указанной
областью
определения:
а) плоскость за исключением точек M1 (0; 0) , M 2 (2;  2) ;
б) часть плоскости выше экспоненты, включая граничные точки;
в) плоскость за исключением точек прямой
y  x  2
и единичной
37
окружности;
г) внутренние точки параболы y  1  ( x  1) 4 .
18.9. Найти двойные пределы:
arctgx 2 y
arccos y 2  ( x 3  27)
x  2y
;
б)
;
в)
.
lim
lim
x 2 1  3 yx
x  3 0,2 2 y  ( 2 x 2  5 x  4)
x  e yx
y 0
y 0
y 
а) lim
18.10. Исследовать на непрерывность функции:
1
3
а) z 
3
; б) z  ln( 2 y  4 x  1) ; в) z  2
2
x 2  2 x  y 2  6 y  10
x2  y 2 4 y
;
2
1

x y 
1
 1  2 y  arctgx
 ; д) z  arcctg
г) z   arctg
; е) z   
.
3
x  y 5
y  x 1
2

19. Частные производные. Частный и полный дифференциалы.
Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.
Производная сложной функции. Полная производная (2 ч.). Рекомендуемая
литература: § 33–37 [1], § 28–29 [2].
Задания для аудиторной работы
19.1. Найти частные и полное приращения функции z  f ( x; y ) в точке
M ( x; y ) при заданных приращениях аргументов x и  y :
а) z  y 2  2 x , M (2;  1) , x  0,1 , y  0,2 .
19.2. Пользуясь определением, найти частные производные данной функции и
вычислить их значения в точке M : z 
1 x2
, M (1; 1) .
y 1
19.3. Найти частные производные первого порядка функции:
а) z  y 3  3 x 
5
4
2 xy
 x ln 10  lg e ; б) z 
в) z  3 x 2 y  ctg (1  2 y ) ; г) z 
z  x 2 cos 3 xy  y 2 sin( 2 x  y ) 3  tg
е) u  x
3y


x5
y

1/ z
x
1


 cos 3 y  ;
sin 2 y 6 xy
2
x 2  2 xy
; д)
y 2  2 xy  1
3
;
y
z
3
x y
 x 
2
  3   xz3 log 2  e 4 .
z
 6y 
19.4. Найти частные производные второго порядка функции:
38
а) z 
1 2
 ; б) z  x  2 y 3  ( x  3 y ) 2 .
2
y
x
19.5. Найти частные и полный дифференциалы данной функции и их значения
в точке M 0 : z  tg x 2 y , M 0 (2;  / 6) .


19.6. Вычислить приближенно: а) 1,05 2,95 ; б) ln 3 1,03  4 0,98  1 .
19.7. Найти полную производную функции:
а) z  xy  x 2 y , где x  (2  3t ) 3 y  (3t  2) 4 ;
б) u  x 2 y 3 z 4 , где y  sin 2 x , z  ctg 2 x .
19.8. Найти частные производные функции по независимым аргументам:
а) z 
x
, где x  u v , y  uv ; б) z  e xy , где x  ln u , y  ln v .
y
Задания для домашней работы
19.9. Найти частные и полное приращения функции в указанной точке M при
заданных приращениях аргументов:
а) z  y 2 x , M (2; 1) , x  0,2 , y  0,1 ;
б) z  x 2 y 
y
, M (2; 3) , x  0,05 , y  0,1 .
x
19.10. Пользуясь определением, найти частные производные данной функции
и вычислить их значения в точке M :
а) z 
3
1 x
(2 y  1) 2
, M (2;  1) ; б) z 
, M (1;  2) .
1 x
y2
19.11. Найти частные производные первого порядка функции:
z  2 x 3 y  4 xy2 
а)
5
x2
y 2y

1 y
x y e ;
x5
z  x 4 cos 3 5 y  6 y 5 sin x 3  x 2 ;
в) z  lg


3 arccos 3 y
y sin( x / y )
y
e
; г) z 
; д) z  ln x  x 2  y 2  arctg ;
3
x
x
y  6x
 2 
е) u  ctg
; ж) u   2 
5
z  4y
x z
3 yx
y
4
1 2 y 
 ln  3
  2 x 3 / z  cos 2 z  5 z / x  2 y .
 z 
19.12. Найти частные производные второго порядка функции:
б)
39
а) z  5 x 2 y 3  x 4  (2 y 2  3 x) 2 ; б) z 
cos 4 x
.
1 y2
19.13. Найти частные и полный дифференциалы данной функции и их
значения в точке M 0 :
x2
а) z  ctg
, M 0 (  ;  5) ; б) z  arccos y x  arcsin z y , M 0 (0; 2; 0,2) .
1 y
19.14. Вычислить приближенно: а) 0,933, 05 ; б) 1,02 4  1,983 .
19.15. Найти полную производную функции:
а) z  xy 2  x 2 y , где x  (2t  1) 3 , y  (1  2t ) 2 ; б) z  e x
y  sin
2 3
/
y
, где x  cos
2
,
t
3
.
t2
19.16. Найти частные производные функции по независимым аргументам:
а) z  x 3  yx 2  y 2 , где x  sin 2vu , y  cos 3u ;
б) z  ln( x 2  y 2 ) , где x  uv , y  u / v ..
20. Производная по направлению. Градиент (2 ч.). Рекомендуемая
литература: § 38 [1], § 30 [2].
Задания для аудиторной работы
20.1. Найти производную данной функции в точке M 0 по направлению к
точке M :
а) z  atcctg 5  arctg
y
y 2  2x
, M 0 (1; 3) , M (2; 1) ; б) z 
, M 0 (0;  2) ,
x
e3 x
M (2; 1) ;
в) u  y 2 cos
x
, M 0  ( / 6;  1;  1) ; M ( / 3; 2;  2) .
z2
20.2. Найти градиент данной функции в точке M 0 :
а) z  x 2  2 y 2  2e 2 , M 0 (2;  1) ; б) z  arcsin
в) z  x 2 y 2 ln( 3x  2 y ) , M 0 (1;  2) ; г) u 
x
, M 0 (3; 4) ;
x y
1  x  xyz
, M 0 (4; 3;  1) .
z
20.3. Найти производную функции в точке M 0 по направлению ее градиента
40
в точке M 0 :
а) z  1  x 2  y 2 , M 0  (1; 1) ; б) z 
xy
, M 0 (3; 0) ;
x  y2 1
2
в) u  x 2  y 2  z 2  2 , M 0 (1; 0; 2) .
20.4. Построить линию уровня функции z  f ( x; y ) , проходящую через точку
M 0 ( x0 ; y0 ) , указать направление и величину наибольшего роста функции в
данной точке:
а) z  x 2  2 x  y 2  6 y  4 , M 0 (2; 2) ; б) z 
4x
, M 0 (1;  1) ;
x  y2
2
в) z  xy  y  4 , M 0 (2;  1) ; г) z  x 2  y  4 x  1 , M 0 (3; 2) .
Задания для домашней работы
20.5. Найти производную функции в точке M 0 по направлению к точке M :
а) z  x 2  y 2 x , M 0 (1; 2) , M (3; 0) ; б) z 
ey
, M 0 (1; 0) ,
x 2  sin 2 y
M (2;  3) ;
в) u  x 2 y  xy  z 2 , M 0 (1; 5;  2) , M (1; 7;  4) .
20.6. Найти градиент данной функции в точке M 0 :
а) z  3x 4  xy  y 3 , M 0 (1; 2) ; б) z 
x y
, M 0 (3;  2) ;
x y
в) z  ln( x  ln y ) , M 0 (1; e 2 ) ; г) u    x 2  arcctg ( y  z ) , M 0 (2; 1; 1) .
20.7. Найти производную функции в точке M 0 по направлению ее градиента
в точке M 0 :
а) z  lg 5  ln
e2 y
y
1 1
, M 0  ;  ; б) z  2
, M 0 (1; 0) ;
x
3x  y
3 4
в) z  у 2  x y / 2 , M 0 (1;  2) ; г) u  cos 2 xy  2 z 2 , M 0 (0;  2;1) .
20.8. Построить линию уровня функции z  f ( x; y ) , проходящую через точку
M 0 ( x0 ; y0 ) , указать направление и величину наибольшего роста функции в
данной точке:
а) z  4 x  4 y  x 2  y 2  8 , M 0 (1; 3) ; б) z 
5
, M 0 (2;  3) ;
x  y2  6y
2
в) z  xy  2 y  3x , M 0 (1; 2) ; г) z  y  x 2  6 x , M 0 (4; 2) .
41
21. Локальные экстремумы функции двух переменных. Метод
наименьших квадратов (2 ч.). Рекомендуемая литература: § 39–40 [1], § 31 [2].
Задания для аудиторной работы
21.1. Исследовать на локальные экстремумы функцию:
а) z  x 4  y 4 ; б) z  x 3  y 3 ; в) z  2 x 2  y 2  x  3 y  1 ;
г) z 
3 2 1 2
y  x  2 xy  x  5 y  2 ; д) z  4 xy2  x 2  24 xy  32 x  6 ;
2
2
е) z  2 x 3  xy2  5 x 2  y 2  1 ; ж) z  x 3  y 3  x 2  2 xy  y 2 ;
з) z 
y 1
  x  3 ; и) z  x y  x 2  y  6 x  1 .
x y
21.2. Определить параметры линейной зависимости y  ax  b по следующим
данным:
x
а
–
)
0
1
2
3
б
4
1
)
y
0
2
3
3
3
4
,5
,5
Задания для домашней работы
21.3. Исследовать на локальные экстремумы функцию:
а) z  y  4 x 2  y 2  2 x ; б) z  2 xy  4 y  2 y 2 ;
в) z  x 2  xy  y 2  2 x  3 y ; г) z  xy  ln( x  y ) ;
д) z  x 3  3xy2  15 x  3 ; е) z  x 3  8 y 3  6 xy  2 ; ж) z 
x 8
  y.
y x
Упражнения 21.4–21.6 рекомендуется выполнить с использованием
Microsoft Excel.
21.4. Определить параметры линейной зависимости y  ax  b по следующим
данным:
а
)
x
1
2
3
4
5
6
y
1
1
2
3
4
5
2
б
x
4
0
3
0
7
0
4,5
1
7
1
5,5
1
42
)
,1
,2
y
,5
3
3
,1
,2
3
,2
,4
4
4
,5
,9
4
,2
,4
,9
21.5. Определить параметры квадратичной зависимости y  ax 2  bx  c по
следующим данным:
а
x
1
2
3
4
5
y
2
8
1
3
5
)
9
x
б
9
–
)
–
2
y
91
0
4
3
a
 b по следующим данным:
x
3
4
5
6
y
6
5
4
4
4
4
0
0
,2
y
5
4
0
,4
9
–
5
2
)
–
9
1
x
2
6
x
0
б
–
2
21.6. Определить параметры зависимости y 
)
–
1,
1
,5
–
0
а
1
,5
–
1
08
0
1
–
32
7
0
,6
3
,3
3
0
1
,8
,2
–
1
1
–
–
0,
0,
1,
1
7
1
22. Условные экстремумы функции двух переменных (2 ч.).
Рекомендуемая литература: § 41 [1], § 32 [2].
Задания для аудиторной работы
22.1. Найти условные экстремумы функции:
а) z  x 2 y при 2 x  y  1 ; б) z  y 2  x 2 при 2 y  3  x ;
43
в) z  x 2  y 2  xy  x  y  4 при x  y  3 ; г) z  x  2 y при x 2  y 2  1 ;
д) z  x 2  y 2  6 x  9 при y 2  x 2  9 ; е) z  x  2 y при
1
2 1
 2  ;
2
3
x
y
ж) z  ln( x  y ) при x 2  y 2  6  4 x  4 y ; з) z  4 x 2  y 2  2 при xy  18 .
22.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z  f ( x; y ) в
замкнутой области D , ограниченной указанными линиями:
а) z  x 2  y 2  xy  x  y , D : x  0 , y  0 , x  y  3  0 ;
б) z  x 3  y 2 , D : x 2  y 2  1 ;
в) z  x 2 y  xy2  xy  1 , D : y  1 / x , x  1 , x  2 , y  1 .
Задания для домашней работы
22.3. Найти условные экстремумы функции:
а) z  xy при 3 x  2 y  5 ; б) z  2 x 2  3 y 2  xy  6 x  4 y  20 при x  y  5 ;
в) z  xy при x 2  y 2  18 ; г) z  3 x  y при
3
1 1
 2  ;
2
4
x
y
д) z  ( x  2) 2  y 2 при y 2  x 2  4 ; е) z  e x  y при
x 2  y 2  6 x  6 y  10  0 ;
ж) z  x 2  9 y 2  8 при xy  12 .
22.4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z  f ( x; y ) в
замкнутой области D , ограниченной указанными линиями:
а) z  x 3  3x 2  y 2 , D : x  1, y  4 , y  x  1  0 ;
б) z  1  x 2  y 2 , D : x 2  2 x  y 2  2 y  1  0 ;
в) z  2 x 3  6 xy  3 y 2 , D : y  x 2 / 2 , y  2 при x  0 .
23. Контрольная работа №5 (2 ч.). Рекомендуемая литература: § 30–41 [1], §
26–32 [2].
44
Контрольная работа № 5 (образец).
1. Найти область определения функции и изобразить ее на плоскости:
z
ex2  y
.
x2  4x  y2  2 y  5
2. Найти частные производные первого порядка функции
x
 4 z3 
  3x  y / z  4 x
u 
 y 5


y
 4 sin z  lg( 3x 2 z 3 ) .
3. Исследовать на локальные экстремумы функцию z  y x  y 2  x  6 y .
4. Найти условные экстремумы функции z  4 x  3 y  10 при x 2  y 2  1 .
5. Построить линию уровня функции z  y  x 2  4 x  5 , проходящую через точку
M 0 (1; 3) . Указать направление и величину наибольшего роста функции в данной
точке.
24. Неопределенный интеграл: табличные интегралы, подведение под
знак дифференциала, замена переменных. Интегрирование рациональных
дробей. Интегрирование по частям (4 ч.). Рекомендуемая литература: § 42–43
[1], § 35–36 [2].
Задания для аудиторной работы
24.1. Найти первообразную функции f (x ) , проходящую через точку M ,
сделать чертеж:
а) f ( x)  2 x  3 , M (1; 2) ; б) f ( x ) 
2
, M (e;  1) .
x
24.2. Найти интегралы:
5x
6 1
 

а)   3x 4  3  7 x 2 x  2   cos  1dx ; б)
x
5 
x
x

в)
 x dx ; г)  t
3
3
dt ; д)
3
x

з)   2   dx ; и)
5

 (5x  2)
3

3x 2  4 x  e3
3
x
dx ;
d (5 x  2) ; е)  ( x  2) 3 dx ; ж)  (5 x  2) 3 dx ;
 2  5 x ; к)  cos(4  3x)  5dx ; л)  6
3dx
2x  3
dx .
x 1
dx ; м)

6
dx
72 x
24.3. Найти интегралы:
а)
dx
 x2  3 ;
б)
5dx
 x2  x  3 ;
в)
4dx
 1  9 x2  6 x ;
г)
3  4x  x2
; д)
45

dx
x  6 x  11
2
.
24.4. Найти интегралы, используя метод подведения под знак дифференциала
или замену переменных:
а)
xdx
2
3
10
 x 2  7 ; б)  2 x (5x  1) dx ; в)
д)
cos(2 / x2 )  3
dx ; е)

x3
з)
e2x  e x
 e x 1 dx ; и)


  sin 2 x
2 x
8 ln 2 6 x
 x dx ; к)
x 2dx
25  x 6
dx
 31/ x x 2 ;
; г)
dx ; ж)  e 2 x  (3e 2 x  1) 3 dx ;
5dx
 x(lg x  1)3 ; л)

3
ctg 2 x  4
dx .
3 sin 2 2 x
24.5. Найти интегралы, используя подходящую подстановку:
 x( x  2)
100
а)
д)
dx
; е)
3x
 1
dx ; б)
x
x
 2 (2  3x)
10
dx
; ж)
4x 1

dx ; в)
xdx
3  4x  4x
2
xdx
 (2 x  3)2 ; г)  x
; з)
x  3 dx ;
3x  2
 x 2  4 x  3dx .
24.6. Найти интегралы, используя формулу интегрирования по частям:
а)  (3 x  1) sin 4 xdx ; б)  (3  x 2 )e x / 2 dx ; в)
г)

ln 3xdx
; д)  lg 2 xdx ; е)
2
x
 x ln( x  3)dx ;
 x arctgx dx ; ж)  arcctg 2 xdx .
24.7. Не вычисляя коэффициентов, разложить дробь на сумму простейших
дробей:
а)
x4
x
;
б)
.
( x 4  2 x 2  8)( x 2  4 x  4)
( x 3  8)(3 x 2  4 x  4)
24.8. Найти интегралы:
7x  4
8x
3x  7
а)
 x 2  2 x  3 dx ; б)  6  x 2  x dx ; в)  x 2  4 x  4 dx ;
г)
7 x 2 1
 x 2  x  6 dx ; д)
2  3x 2
 x 2  4 x  5 dx ; е)
x4  2
 x 3  x 2 dx .
Задания для домашней работы
24.9. Найти первообразную функции f (x ) , проходящую через точку M ,
сделать чертеж:
1
1 
а) f ( x)  1  2 x , M  ; 1 ; б) f ( x) 
, M (4; 4) .
x
2 
24.10. Найти интегралы:
46
1
1


а)   6 x 5  4 x  5   e 2  3 dx ; б)
x
3x


г)  (8  x / 2)9 dx ; д)
 3 (3x  1)
5

x  23 x  3
5
x4
7 dx
 3x  4 ;
dx ; в)
dx ; е)  ( 2  e 3 x 1 ) dx .
24.11. Найти интегралы:
а)
д)
e dx

x 2  6 x  12
Найти
24.12.
dx
2dx
dx
 5x 2  4 ; б)  7  x2 / 16 ; в)  3
; е)
9  25 x 2
интегралы,
используя
dx

x  2x  7
2
3dx
dx
 2( x 2  3x  3) ; ж) 
; г)
5  x 2  4x
метод
;
.
подведения
под
знак
дифференциала или замену переменных:
а)
д)

5 x 2 dx
 4  x 3 ; б)
1  sin
x2

1
2 x dx ; е)
xdx
; в)
9  x4
x3
 7 x 2  6x 1
dx ; г)

5
3x
x
dx ;
( tgx   ) 4
x 3
x
 cos 2 x dx ; ж)  e  2e  ln 2 dx ; з)
e x dx
 e 2x  2 .
24.13. Найти интегралы, используя подходящую подстановку:
а)
д)
 x(5  3x)
15
 x(2 x  1)
24
dx ; б)
dx ; е)

x
2  x dx ; в)
xdx
1 x
; ж)

xdx
xdx
; з)
 3x 2  2 x  5 .
 4 (3x  4)3 ; г)  (2  5 x)6 ;
(2 x  3)dx
x 2  4x  5
(4 x  8)dx
24.14. Найти интегралы, используя формулу интегрирования по частям:
а)
x
 x  4 dx ; б)
x
д)
 x ln( x
2
3
x 2 dx
x
2
 e x / 2 ; в)  ( x  3x  5) cos 2 xdx ; г)  (2 x  7) sin 3 dx ;
sin( 2 x  3)dx ; е)
 xarcctg (1  x)dx ;
ж)
 x ln
2
xdx ; з)

ln x
dx ; и)
x3
 5)dx .
24.15. Не вычисляя коэффициентов, разложить дробь на сумму простейших
дробей:
а)
x3
x 1
; б) 4
.
3
2
2
( x  1)(5 x  8 x  3)
( x  4 x  3)( x 3  x 2  10 x) 2
24.16. Найти интегралы:
а)
8x  1
4 x  57
3x  7
 x 2  x  6 dx ; б)  30  x 2  x dx ; в)  x 2  4 x  4 dx ;
47
г)
2 x 2  11
 x 2  x  6 dx ; д)
1  3x 2
12 x 2  19 x  32
;
е)
dx
 x2  2x  3
 4 x 2  5x  6 dx .
25. Определенный интеграл. Приложения определенного интеграла
(площадь криволинейной трапеции) (4 ч.). Рекомендуемая литература: § 44–45
[1], § 37–38 [2].
Задания для аудиторной работы
25.1. Вычислить интегралы:
2
а)
5
2
 2 x dx ; б)  e
2
1
x/2
0
1 
 1
dx ; в)   2 
dx ; г)
2x  3 
x
2
4

2
dx
6x  x2  5
; д)
 / 8
 cos 2 xdx .
 / 4
25.2.
Вычислить
интегралы,
используя
метод
подведения
под
знак
дифференциала или замену переменных:
4
4x  6
dx ; б)  4 x x 3 dx ; в)
а)  2
0 x  3x  2
0
1
1
ln 2
г)
x
x
 e e  1 dx ; д)
0
1/ 2
sin( 1 / x 2 )
 x 3 dx ;
1/ 3
e
0
2 5
3
 x  1  x dx ; е)
dx
x
1
2  ln 2 x
1
.
25.3. Вычислить интегралы, используя подходящую подстановку:
3
а)
7
 x(3  x) dx ; б)
2
3/ 2

1 / 2
9
x
4x  3
dx ; в)
dx
 52
1
x
.
25.4. Вычислить интегралы, используя формулу интегрирования по частям:
а)
1
 /4
 /3
0
0
 /4
2 x
 xe dx ; б)
2
 x sin 2 xdx ; в)

xdx
;
cos 2 x
e
e2
2
 ln xdx ; е)
 arctg xdx .
1
1
0
г)  ( x  1) ln x dx ; д)
3
25.5. Найти среднее значение функции y  f (x) на отрезке a; b:
а) y  x , [0; 1] ; б) y  x 
2
1
x
, [1; 4] .
 /2
5
25.6. Оценить интегралы: а)

1
8  x dx ; б)
3

2
e sin x dx .
0
25.7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
48
а) y  4  x 2 , y  0 ; б) y  x 2  1 , y  0 , x  0 , x  3 ;
в) x  y  2 , y  x 3 , y  0 ; г) y  e x 1 , y  0 , x  0 , x  1;
д) y 2  4  2 x , y  2  x ; е) x  y 2 , x 
3 2
y 1.
4
Задания для домашней работы
25.8. Вычислить интегралы:
x x
 x x dx ; в)
1
3
а)
e
 x dx ; б)
3
1
2
д)

25.9.
2

4 x  2dx ; г)
1/ 2
2x 1
 2 x  1 dx ;
0

3
dx
; е)  2
; ж)  sin 2 xdx .
x  6x  10
2  3x  x 2
0
1
dx
3/ 4
1
Вычислить
интегралы,
используя
метод
подведения
под
знак
дифференциала или замену переменных:
5
x
dx ; б)
а) 
2
1

x
1
1
dx
е)  x
; ж)
x
0 e e
e
ln 2 x
 x dx ; в)
1
 /4
 tg
e
dx
; г)
x(1  ln 2 x)

1
1/ 2
3
xdx ; з)
0

 /2
4 arcsin x  2 x
1 x2
0
2
2
e1/ x
cos
x
dx
;
д)
 x 3 dx ;

1
0
3
dx .
25.10. Вычислить интегралы, используя подходящую подстановку:
2
а)  3x(1  x) dx ; б)
17
1
9
xdx
; в)
2x  7

1
1

1
7
x
5  4x
dx ; г)

3
dx
5x  1  4
.
25.11. Вычислить интегралы, используя формулу интегрирования по частям:
1
а)
 2 xe
x
0
1
dx ; 15.
x2 x
 3 3 dx ; в)
0
 /4

0
x2
cos 2 xdx ; г)
2
1
 2 x arctg xdx ;
0
2
 (2 x  1) ln xdx .
1
25.12. Найти среднее значение функции y  f (x) на отрезке a; b:
а) y  cos 3 x , [0;  / 2] ; б) y 
2
, [0; 2] .
1 ex
3
e
2
1
25.13. Оценить интегралы: а)  (3x  x 3 )dx ; б)  ( x  2 ln x)dx .
25.14. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y  x 2  1 , y  0 , x  0 ; x  4 ; б) y  x  x 2 , y  0 , x  2 ;
в) y  x , y  1 / x , x  16 ; г) y  ln x , y  0 , x  2 , x  4 ;
д)
49
д) y 2  9 x , y  x  4 ; е) y 2  4  x ; y 2  2 x  1 .
26. Несобственные интегралы I и II рода (2 ч.). Рекомендуемая литература:
§ 47 [1], § 39 [2].
Задания для аудиторной работы
26.1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

а)
e
3 x
1
2
dx ; б)
5 x / 3

0

dx
; г)
dx ; в)  2
 x  2 x  3
9
д)

0
з)

dx
 ( x  1) lg 3 (1  x) ; е)

x
 (1  2 x) cos 2 dx ; и)


1
2
x
 x  4 dx ; ж)
2dx
; к)
x2  x
0



4
0
dx
x5
2 log 2 x
;
dx
 (3x  1)5 ;
3
0


x 1
dx ; л)
x2 1
0


arcctg2 x
dx .
1  4 x2
26.2. Установить сходимость или расходимость несобственных интегралов:

а)

dx
; б)
5
( x  2)(1  2 x )

3

1
4 x 2  3 dx
.
(3x  1)( x  3) 2
26.3. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
3
а)
6
0
1
1
dx
dx
; б) 
; в)
2
(x  3) 5
1 / 5 (5 x  1)
2
dx
е)  2
; ж)
0 x  3x  4
e 1

2
dx
; г)
x2

1
2
dx
( x  1) 4
ln( x  1)

; з)
5
4
dx

25  x 2
0
; д)
sin( x   / 2)
x
0
2dx

6x  x2  8
2
;
dx .
26.4. Установить сходимость или расходимость несобственных интегралов:
5
а)
dx
 sin 3 2 x 3 ( x  5) 7
1
; б)
e x dx

x 1
0
1
2
; в)

0
arcctg2 xdx
3
4 x
2
.
Задания для домашней работы
26.5. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

а)
e
1 x / 5
1
dx ; б)
5

1
  6 

3 x 1

dx ; в)
8dx
 4  x 2 ; г)



0
dx
; д)
x  6x  11
2
dx
 ( x 2  2 x  1) 2 ;
1
1
е)
dx
 1  2 x dx ; ж)



e3
dx
; з)
x ln 3 x


0
e arcct gx
dx ; и)
1 x 2


1
x3
dx .
2x4 1
26.6. Установить сходимость или расходимость несобственных интегралов:
50


dx

а)
x  2 1  3x
4
1
2
(4 x 2  1) 2 dx

; б)
( x  3)
1
35
1  3x
6
.
26.7. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
1 / 4

а)
1
0

д)
5
dx
; б)
1 4x
5
2
dx

8 x  x  15
2
3
dx
; е)
2
x  5x  4
4
; в)
1
2
xdx
 3 x 2  9 ; ж) 
2

1
dx
3
x
2
1
г)
dx
; з)
x ln x

0
0

1 / 2
dx
4
(1  3x)
4 arcsin2x
1 4x2
6
;
dx .
26.8. Установить сходимость или расходимость несобственных интегралов:
1
а)
3
0
dx
; б)
x  44 x
1

0
1
2 x dx
( x  1)
3
; в)
dx
.
arctg x( x  1)
1/ 2

27. Контрольная работа № 6 (2 ч.). Рекомендуемая литература: § 42–45 [1],
§ 35–38 [2].
Контрольная работа № 6 (образец).
1
ex
dx ;
1. 
2x
9

e
0
4.
3
2.  3 log 5 ( x  2)dx ; 3.
1
2x 2  3
 x 2  7 x  12 dx ;
 x2

 31 4 x
7
dx .
 

5.  
6 5 9

2
2
2
x
3

x

4
x


7
 x(3x  2) dx ;
28. Дифференциальные уравнения 1-го порядка: с разделяемыми
переменными, однородные, линейные. Дифференциальные уравнения 2-го
порядка: допускающие понижение порядка; линейные с постоянными
коэффициентами. (2 ч.). Рекомендуемая литература: § 48–50 [1], § 41–42 [2].
Задания для аудиторной работы
28.1. Определить тип и найти общий (если заданы н.у., то и частный) интеграл
дифференциального уравнения:
а)
xdx
ydy

 0 ; б) y   y 2 ; в) ( x 2  1) y   2 xy 2  0 , y (0)  1 ;
2
x 1 y 1
г) y ln ydx  xdy  0 , y (1)  1 ; д) ctgx  y   tgy ; е)
y2
y  1 .
x
28.2 Определить тип и найти общий (если заданы н.у., то и частный) интеграл
51
дифференциального уравнения:
а) xy   y  xe y / x , y (1)  0 ; б) y  
в) xdy  ( x  y )dx ; г) y  
y
(1  ln y  ln x) , y (1)  e ;
x
x y
, y (1)  0 .
x y
28.3. Определить тип и найти общий (если заданы н.у., то и частный) интеграл
дифференциального уравнения:
а) y  
y
1
sin x
2
 x 2 ; б) y   y 
; в) y   y  2 x 3 , y (1)  2 ;
x 1
x
x
x
г) xy   y  e x , y ( 2)  1 ; д) y   y cos x  e  sin x , y (0)  0 .
28.4. Определить тип и найти общее решение дифференциального уравнения:
а) y   5  3 x / 2 ; б) y  
1
; в) y   1 2 x ; г) y   sin( x / 2  3)   .
cos 2 x
28.5. Определить тип и найти общее (если заданы н.у., то и частное) решение
дифференциального уравнения:
а) y   y   2 y  0 ; б) y   4 y   4 y  0 ; в) y   4 y   13 y  0 ; г) y   y  0 ; д)
y   y  0 ; е) y   5 y   4 y  0 , y (0)  5 , y (0)  8 ; ж) y   10 y   25 y  0 , y (0)  0 ,
y (0)  1 .
Задания для домашней работы
28.6. Определить тип и найти общий (если заданы н.у., то и частный) интеграл
дифференциального уравнения:
а) yy   x  1 ; б) (1  y 2 )dx  xydy , y (1)  0 ;
в) y tg3 x  y , y ( / 2)  3 ; г) y   5 x  y ; д) 2 x 2 yy   y 2  2 .
28.7. Определить тип и найти общий (если заданы н.у., то и частный) интеграл
дифференциального уравнения:
а) xy   y ln
y x
y
, y (1)  1 ; б) y    ;
x
x y
в) 2 xydy  ( x 2  y 2 )dx  0 , y (1)  2 ; г) ( x  y ) 2 y   2 ; д) x 2 y   xy  y 2 e  x / y .
28.8. Определить тип и найти общий (если заданы н.у., то и частный) интеграл
дифференциального уравнения:
а) y   (1  y ) cos x , y (0)  2 ; б) (2e y  x) y   1 ;
в) ( xy  1) y  
y
y
 x ln x , y (e)  e 2 / 2 .
; г) y  
x
x ln x
28.9. Определить тип и найти общее решение дифференциального уравнения:
52
а) y 
x
1
; б) y   cos  1 ; в) y   31 x  2 x ; г) y 
 ex   .
2
2
1 x
2x  3
2
4
28.10. Определить тип и найти общее (если заданы н.у., то и частное) решение
дифференциального уравнения:
а) y   7 y   12 y  0 ; б) y   8 y   16 y  0 ; в) y   4 y   5 y  0 ;
г) y   4 y  0 ; д) 3 y   2 y   5 y  0 ; е) y   3 y  0 , y (0)  1, y (0)  2 ;
ж) y   2 y   y  0, y (2)  1, y (2)  2 ; з) y   2 y   0 , y (0)  0, y (ln 2)  3 .
29. Числовые ряды. Ряд геометрической прогрессии. Свойства рядов.
Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд. Ряды с
положительными членами. Признаки сходимости (критерий, сравнения,
Даламбера, Коши) (2 ч.). Рекомендуемая литература: § 51–52 [1], § 45 [2].
Задания для аудиторной работы
29.1. Исследовать сходимость ряда по определению и найти его сумму:
1 1
1
1
1



 ... ; б)
а) 1  
8 1 3 2  4 3  5 4  6


n 1
1
; в)
(2n  1)( 2n  1)

7  3n
 4n .
n 1
29.2. Проверить выполнение необходимого признака сходимости:

а)
3
n 1
3n 2  1
n 6  2n

; б)

2n  1
 arcctg
4n 4  1
n 1
; в)
n2  3
 4 2n1  n .
n 1
29.3. Исследовать сходимость рядов с помощью признаков сравнения:

а)

cos 2n
n 1
n5

; б)
n3 ln n
 4 ; в)
n2 n  1

3
n 1
4
n5  3

; г)
5n
 4arcctg n .
n 1
29.4. Исследовать сходимость рядов с помощью признака Даламбера:

а)
4n
 6 n  2 ; б)
n 1

32 n
 (n  2)! ; в)
n 1

(2n  1)!
 3  en ; г)
n 1

5n n!
 (2n)! .
n 1
29.5. Исследовать сходимость рядов с помощью интегрального признака
Коши:


ln 2 3n
а) 
; б) 
; в)
5
n  2 n  lg n
n 1 2n
1

1
e
3n
4
.
n 1
Задания для домашней работы
53
29.6. Исследовать сходимость ряда по определению и найти его сумму:
а)

15
; б)
2
25n  5n  6

n 1


n 1
1
; в)
(4n  3)( 4n  1)

2  4n
 7n .
n 1
29.7. Проверить выполнение необходимого признака сходимости:
  9n

а)
2

 2  3n ; б)
n 1


16n5  1
; в)
1  n2
 arcctg
n 1
3
 (n  1)
n2
ln n
.
29.8. Исследовать сходимость рядов с помощью признаков сравнения:

а)
3
 sin 3n  n ; б)
n 1


n  2 ln

2
n  4 n7
; в)

4

n 1 n 
3n
; г)
1
 4 n 1  n ; д)
n 1

3n 3  2n 2
 5n 4  n 3 .
n 1
29.9. Исследовать сходимость рядов с помощью признака Даламбера:

а)
7n 1
 3n ; б)
n 1
2 3n 1
 n! ; в)
n 1


(2n  1)!
 5n  2 ; г)
n 1


n  6 (2n  1) 5
n 1
7 n 1
.
29.10. Исследовать ряды на сходимость с помощью интегрального признака
Коши:

а)

n 1 ( n  1) 

1
3
ln (n  1)
7
; б)
1
 n ln 4 n ; в)
n 2

lg( 2n  1)
.
2
n

1
n 1

54
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К КУРСУ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
«Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии» (темы 1–6)
1. Виды матриц: диагональная, единичная, нулевая, ступенчатая, Гаусса.
2. Операции над матрицами и их свойства: транспонирование, сложение,
умножение на число, произведение матриц, возведение в натуральную степень.
Примеры. Если матрицу A можно умножить на матрицу B , следует ли из
этого, что данные матрицы можно сложить?
Можно ли умножить квадратную матрицу на неквадратную?
Может ли произведение неквадратных матриц быть квадратной матрицей?
Может ли произведение матриц быть числом?
Может ли произведение двух ненулевых матриц быть нулевой матрицей?
Верны
ли
матричные
равенства:
а)
( A  E ) 2  A2  2 A  E ;
б)
( A  B)( A  B)  A 2  B 2 ?
Какова размерность матрицы: а) B T AT A ; б) A3 B ; в) 2 A  E 2 ; г) A  B , если
1 2 3 
3


 
A   4 5 6 , B   4 ?
7 8 9
1 


 
3. Элементарные преобразования матриц.
1 2 
 ;
Примеры. Указать базисные строки и базисные столбцы матрицы: а) 
 2 4
7 8 9


б)  4 5 6  .
1 2 3 


5 2 1 6 


Привести матрицу к виду Гаусса: 1 1  5  3  .
3 1 1
5 

4. Свойства определителей.
4 5 1
Примеры. Вычислить определитель различными способами:  1 2  3 .
2 0 3
55
Чему равен det A , если det AB  3 , det B  5 ?
Как изменится определитель 4-го порядка, если: а) у каждого элемента
изменить знак на противоположный; б) элементы одной строки умножить на 3, а
элементы одного столбца разделить на 3?
5. Доказать теорему «Всякая невырожденная матрица имеет обратную».
6. Схема нахождения обратной матрицы.
Примеры. Чему равен определитель матрицы A , если det( A 1 )  5 ?
 a a2 
 .
Получить равенство ( A 1 )T  ( AT ) 1 для матрицы A   1
 a3 a4 
2
Решить матричное уравнение и сделать проверку: X  
3
1
Какие из матриц имеют обратные: а) 
3
2
 ; б)
4 
2
3 
  3
4  
2
3

0 .
4 
0 0 1 


2
 1

 ; в)  0 2 0  ?
 1  2
3 0 0


7. Определение ранга матрицы, его свойства.
Примеры. Может ли ранг матрицы A45 быть равен: а)  1 ; б) 0; в) 1; г) 2,5; д)
2; е) 4; ж) 4; з) 5?
Расположите матрицы в порядке
убывания их
рангов:
0 0 
 ;
A  
0 5 
 1 2 5
 ; E33 ; O44 . Найти ранг матрицы, указать один из базисных
B  
 0 1 4 
 1 3

миноров:   2 5
 1 1

2
1
8
4

7 .
2 
Сколько у матрицы A53 миноров: а) 1-го порядка; б) 2-го порядка; в) 3-го
порядка; г) 4-го порядка; д) 5-го порядка?
Как может измениться ранг матрицы при добавлении к ней произвольной
строки? Проиллюстрируйте ответ примерами.
Как может измениться ранг матрицы при вычеркивании из нее произвольного
столбца? Проиллюстрируйте ответ примерами.
8. Классификация СЛАУ.
56
Примеры.
Однородная
СЛАУ
из
четырех
уравнений
с
четырьмя
неизвестными определена, если: 1) r ( A)  3 ; 2) r ( A)  3 ; 3) r ( A)  1 ; 4) r ( A)  0 ;
5) det A  5 ; 6) det A  0 ; 7) r ( A)  4 ; 8) r ( A)  5 .
Неоднородная СЛАУ из четырех уравнений с четырьмя неизвестными
несовместна, если: 1) r ( A)  r ( A | B)  3 ; 2) r ( A)  r ( A | B)  4 ; 3) r ( A)  2 ,
r ( A | B)  3 ; 4)
r ( A)  1 ,
r ( A | B)  2 ; 5)
r ( A)  2 , r ( A | B)  4 ; 6) r ( A)  1 ,
r ( A | B)  2 . Выберите верные варианты ответов.
Математический анализ
«Функции одной переменной. Пределы. Непрерывность» (темы 7–11)
1. Основные числовые множества. Свойства множества действительных
чисел.
2. Окрестность точки на числовой прямой.
Примеры. Записать в виде неравенства и указать на числовой прямой
множество чисел x U 0,7 (1 / 2) .
Указать центр x0 и радиус  интервала (1,2; 3,4 ) .
3.
Определение
функции
одной
переменной.
Графики
основных
элементарных функций.
Примеры. Найти область определения функции: а) y  4
5 x
; б)
3  x 2  2x
y  ln( 3  x 2 ) ; в) y  arcsin( 1  5 x) .
Найти область значений функции: а)
y  x 2  3 x  5 ; б)
y  1 32 x ; в)
y   / 2  arccos x .
Привести примеры функций, для которых: а) D ( f )  E ( f ) ; б) D( f )  E ( f ) ;
в) D( f )  E ( f ) ; г) область значений состоит из двух точек; д) область
определения является замкнутым интервалом.
4. Основные характеристики функции: четность/нечетность, монотонность,
ограниченность.
Примеры. Определить, является функция четной, нечетной или общего вида:
3
а) f ( x)  arctg 2 x  2 cos 3x ; б) f ( x)  arccos x 2 ; в) f ( x)  1  2 x ; г) f ( x)  4 x .
Укажите функцию, которая является четной и нечетной одновременно.
57
Какая функция получится в результате: а) произведения двух четных
функций; двух нечетных функций; четной и нечетной функции; б) суммы двух
четных функций; двух нечетных функций; четной и нечетной функций? Ответ
доказать.
Какие из данных функций являются монотонными: а) y  3 x 2 ; б) y  2ctgx ;
в) y  x 7 ; г) y 
1
x
; д) y  arcsin ; е) y  x  2 ?
2
2
( x  2)
Какие из данных функций являются ограниченными: а) y  100 cos x ; б)
y  ln( 1  x) ; в) y  e x / 2  1 ; г) y  arcctg 2 x ; д) y  x 2  5 x ?
Начертить чертеж и охарактеризовать функцию: а) y   arccos( x  1) ; б)
y  ln( x 1) ; в) y  x 2  2 x ; г) y  0,32 x 5 .
5. Определение обратной функции.
Примеры. Какие из данных функций имеют обратные: а) y  5 x ; б) y 
2
;
x4
в) y  x 3 ; г) y   x 2  5 x ; д) y  3 x 5  2 ?
Для данных функций найти обратные, указать их области определения и
значений: а) y  log 0,1 (3x  1) , б) y 
3x  2
; в) y  e1 2 x .
x 1
6. Определение сложной функции.
Примеры. Какие из данных функций являются сложными: а) у  lg 2 ( x  1) ; б)
y  ctg 2 x ;
y2
sin(3 x 1)
в)
y  arcsin x  5 cos x ;
; ж) y 
2x 2 1
5 3 x4  2
г)
y  1  2 x8  2 x ;
д)
y  x 2 cos x ;
е)
?
7. Определение числовой последовательности и ее характеристики.
Примеры. Даны последовательности:
xn 
(1) n1
2n
; 4) xn  sin
1) xn  n / 5 ; 2) x n   n ; 3)
(1) n  3
n
2n  1
; 5) x n  5 ; 6) xn 
; 7) xn 
; 8)
2
n
5
xn  arctgn . Какие из них являются: а) монотонными; б) ограниченными, в)
сходящимися?
Найти формулу общего члена и охарактеризовать последовательность: а)
0, 1,  4, 9, 16, ... ; б) 1,  3 / 5,  3 / 7, 1/ 3,  3 /11, ....
58
8. Определение предела числовой последовательности, его геометрический
смысл.
1  2n
 2 ; б)
n  n  3
Пример. Пользуясь данным определением, доказать: а) lim
n2 1 1
 .
n 2n 2  1
2
lim
9. Доказать теорему о предельном переходе в неравенствах.
Пример. Привести пример таких сходящихся последовательностей y n и z n ,
что y n  z n n и lim yn  lim zn .
n
n
10. Сформулировать определение предела функции при
x   , его
геометрический смысл.
1
 0.
x  x  3
Пример. Пользуясь данным определением, доказать lim
2
11. Сформулировать определения предела функции в точке: а) по Коши; б) по
Гейне.
Примеры. Пользуясь определением по Коши, доказать и дать графическую
иллюстрацию следующих утверждений: а) lim (2 x  3)  5 ; б) lim (1  3x)  0 .
x 1
x 1/ 3
12. Односторонние пределы функции в точке. Связь между ними и пределом
функции в точке.
13. Определение и свойства бесконечно больших и бесконечно малых, связь
между ними.
Примеры. Привести пример функции, б.б. при x  1 и x  3 , но не
являющейся бесконечно большой в окрестности других точек.
Привести пример функции, б.м. при x  2 , x  2 , но не являющейся
бесконечно малой в окрестности других точек.
Привести пример функции, которая является б.б. при x  1 и б.м. при x   .
Привести пример функции, которая является б.м. при x  2 и б.б. при
x .
Привести пример б.м. последовательности, у которой существует бесконечно
много как положительных, так и отрицательных членов.
Привести пример такой б.м. последовательности, что первые сто ее членов
больше 200. Пусть  n и  n – б.м., а x n и y n – б.б. последовательности.
59
Что можно сказать о следующих последовательностях: а)  n  xn ; б) xn  yn ;
в)  n  xn ; г) xn  y n ; д)
n
x

x
; е) n ; ж) n ; з) n ; и) ( n )  n ; к) ( n ) xn ; л) ( yn ) n ;
xn
n
n
yn
м) ( xn ) yn ; н) 1 y n ; о) 1 n ; п) 2 yn ; р) 0,2 yn ?
14. Доказать теорему о связи между функцией, имеющей предел, и
бесконечно малой функцией.
15. Доказать теоремы об арифметических свойствах пределов.
16. Сформулировать основные теоремы о переходу к пределу в неравенствах.
Доказать теорему о пределе промежуточной функции.
17. Доказать теорему о первом замечательном пределе.
18. Сравнение б.м.ф. Эквивалентные б.м..
Примеры. Определить, при каких x данные функции будут б.м., и сравнить
их:
а) y  2  x и y  x 2  4 ; б) y  ( x  3) 3 и y  1  e x  3 ; в) y   x и y  arctgx ;
г)
y
1
x2
и
y  3 x ; д)
y  3x  3 и
y  x  3 ; е)
y  ln( 1  x 2 )
и
y  arcsin 2 x .
Данные функции являются б.м. при x  0 . Указать для них эквивалентные
б.м. и дать графическую иллюстрацию: а) y  1 cos 4 x ; б) y  lg( 1  x) ; в)
y  1 0,5 x ; г) y  3 1  2 x  1 .
19. Сформулировать три определения непрерывности функции в точке.
Примеры. Пользуясь определением непрерывности функции в точке доказать,
что данные функции непрерывны в произвольной точке x0  D( y) : а) y  x 2  2 x ;
б) у  e 2 x 1 .
20. Классификация точек разрыва.
Примеры. Исследовать на непрерывность и построить график функции:
 x 2  2 x, если x  1,
 1 /( x  1), если x  1,


а) f ( x)  arccos | x |, если  1  x  1, б) f ( x)   x  2, если 1  x  3,
ln( x  3), если x  3.
 1  x, если x  1;


x 1
Определить точки разрыва и их характер для функции: а) f ( x)
f ( x)  arcctg
ln 4
1
; в) y 
.
1 2x
arctg(1/ x)
2
 5 x 2 x 1 ;
б)
60
21. Определение непрерывности функции в интервале и на отрезке.
Сформулировать теоремы Вейерштрасса и Больцано–Коши о свойствах функции,
непрерывной на отрезке.
Примеры. Проверить, выполняется ли теорема Вейерштрасса для данных
функций на указанных отрезках, дать геометрическую иллюстрацию: а)
y   x 2  2 x  3 на [1; 2] ; б) y  1 ln x на [0; e] .
Проверить, выполняется ли теорема Больцано–Коши для данных функций на
указанных отрезках, дать геометрическую иллюстрацию: а) y 
[1; 3] ; б) y 
1 x2
на [2; 2] ,
x 1
1
 3 на [3; 0] , [1,8;  1] .
x2
«Производная и дифференциал функции одной переменной» (тема 12)
1. Определение производной функции в точке.
Примеры. Пользуясь определением, найти производные данных функций,
вычислить их значения в указанных точках x0 : а) y  (2 x  1) 2 , x0  2 ; б)
y
1
x
, x0  3 ; в) y 
, x0  2 / 3 ; г) y  e 2 x , x0  ln 2 ; д) y  ln( x / 2) ,
3
x

1
2
x0  5 / 6 .
2. Геометрический смысл производной функции в точке. Определение
касательной и нормали к плоской кривой, вывод их уравнений.
Примеры. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
y  f (x)
в точке с абсциссой
иллюстрацию: а) y 
1
2x 1
x0 , по возможности дать графическую
, x0  1 ; б) y 
3x  1
, x0  1 ; в) y  3 3  x , x0  3 .
2x  3
3. Определение односторонних производных функции в точке, их связь с
производной функции в этой точке.
4. Доказать теорему о связи между непрерывностью и дифференцируемостью.
Пример. Показать, что функция y  x  3 не имеет производной в точке
x  3 .
5. Производные высших порядков.
61
Примеры. Найти производную 3-го порядка функции: а) y  2 3 x ; б)
y  4 (1  x) 3 ; в) y  cos 2 x .
6. Доказать теоремы о производных: сложной функции; обратной функции;
суммы; произведения; частного. Вывести формулы производных функций: y  x n ;
y  a x ; y  log a x ; y  sin x ; y  arcsin x ; y  arctgx .
7. Дифференциал функции: определение, геометрический смысл. Доказать
теорему об инвариантности формы первого дифференциала.
Примеры. Вычислить приближенно: а) ln 0,9 ; б)
50 ; в)
3
26,4 .
8. Доказать теорему Ролля. В чем ее геометрический смысл?
Пример. Проверить, выполняется ли теорема Ролля для функции y  f (x) на
отрезке [ a; b ] и, если выполняется, то для каких значений c . Сделать чертеж: а)
y  ( x  2) 2 , [3;  1] ; б) y  1  3 x 2 , [8; 8] .
9. Доказать теорему Коши.
Пример. Проверить, выполняется ли теорема Коши для функций f (x ) ,  (x )
на отрезке [ a; b ] и, если выполняется, то для каких значений
c : а)
f ( x)  3 x 2  6 x ,  ( x)  x  1 , [0; 3] ; б) f ( x)  sin 2 x ,  ( x)  cos 2 x , [0;  / 4] .
10. Доказать теорему Лагранжа. В чем ее геометрический смысл?
Сформулировать следствия из теоремы.
Пример. Проверить, выполняется ли теорема Лагранжа для функции y  f (x)
на отрезке [ a; b ] и, если выполняется, то для каких значений c . Сделать чертеж:
а) y  x 3  1 на отрезке [2;  1] ; б) y  ln( 1  x) , [5; 0] .
11. Доказать правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0 / 0 .
12. Вывести формулу Тейлора для многочлена Pn (x) . Написать формулы
Тейлора и Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа для функции
y  f (x) .
Примеры. Разложить многочлен P( x)  2 x 3  x 2  3x  4 по степеням x  1 .
Представить функцию f ( x)  arctg (2 x) в виде многочлена третьей степени
относительно x .
«Исследование функции одной переменной при помощи производных.
62
Построение графиков» (тема 13)
1. Доказать теорему о необходимых условиях монотонности. Доказать
теорему о достаточных условиях монотонности.
Пример. Определить интервалы монотонности функции y  ln( x 2  2 x  4) .
2. Дать определение экстремумов. Доказать теорему Ферма (о необходимых
условиях существования экстремумов). Сформулировать теоремы о достаточных
условиях существования экстремумов.
Примеры. Найти экстремумы функций а) y  e x
2
 4 x 5
, б) y  x3  3x  1 .
3. План нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на
отрезке.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y  x3  2 x на
отрезке [0;2] .
4. Дать определение выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика
функции. Доказать теорему о достаточных условиях выпуклости (вогнутости).
Доказать теорему о достаточных условиях существования точки перегиба.
Пример. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функций а) y  e x ,
2
б) y  x 5  10 x 2  7 x  9 .
5. Определение вертикальной асимптоты. Сформулировать достаточные
условия ее существования. Определение наклонной (горизонтальной) асимптоты.
Доказать теорему о существовании наклонной асимптоты.
Пример. Найти асимптоты графиков функций а) y  1 /( x 2  5 x  6) , б)
y  x  arctg x .
6. Общая схема исследования функции (написать план).
«Функции нескольких переменных» (темы 14–16)
1. Определение  -окрестности точек: а) M 0 ( x0 ; y0 ) ; б) M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) .
Пример.
Записать
в
виде
неравенства
и
изобразить
графически
U 0.5 ( M 0 (1;2)) .
2. Определение внутренней и граничной точек множества.
Примеры. Написать аналитические выражения, которые задают на плоскости
область: а) неограниченную; б) замкнутую; в) ограниченную и открытую.
Проиллюстрировать графически свойство связности.
63
Охарактеризовать
области,
заданные
неравенствами:
2  y  5,
;

 1  x  3.
( x  1) 2  y 2  1  0 .
3.
Определение
функции
нескольких
переменных.
Что
графически
представляет собой область определения функции: а) одной переменной; б) двух;
в) трех?
Примеры.
Найдите
область
определения
функции
z  arcsin( x / y )
и
изобразите ее графически.
Подберите аналитическое выражение функции двух переменных z  f ( x, y )
так, чтобы областью определения такой функции были следующие множества: а)
вся плоскость, за исключением точек M1(2,  4) , M 2 (1, 3) ; б) вся плоскость, за
исключением точек, лежащих на параболе 2 y  x 2 и прямой x  2 .
4. Определение линий уровня.
Пример. Построить семейство линий уровня функции z  y  ( x  2) 2 .
5.
Определение предела функции нескольких переменных
Сформулировать
два
определения
непрерывности
функции
в точке.
нескольких
переменных.
Примеры.
f ( x, y ) 
Исследовать
на
непрерывность
функцию
y 1
.
x  2x  y 2  4 y  4
2
1
Функция
f ( x, y)  y x
2
 y2
не определена в точке (0; 2) . Можно ли ее
доопределить в этой точке так, чтобы она стала непрерывной?
Приведите примеры функций двух переменных, которые имеют разрыв: а) в
одной точке; б) вдоль прямой; в) вдоль гиперболы.
6. Полное и частные приращения функции двух переменных.
Пример. Найти частные и полное приращение функции z  x 2 y  y / x в точке
M 0 (2;3) при x  0.05 , y  0.1 .
7. Определение частных производных функции двух переменных. В чем их
геометрический смысл?
Примеры. Пользуясь определением найти zx , zy
z x/y.
8. Сформулировать теорему Шварца.
функций: z  ( x  2 y ) 2 ,
64
Примеры. Сколько у функции u  f ( x, y, z ) частных производных второго
порядка а) всего; б) разных?
 , z yx
 для функции z  x 2sin y / y .
Найдите z xy
9. Определение градиента.
Пример. Найти величину и направление наибольшего роста функции
u  x 2  y 2  yz  x в точке M (1; 0; 1) .
10. Определение дифференцируемости функции двух переменных. Доказать
теорему о связи дифференцируемости и непрерывности. Доказать теорему о связи
дифференцируемости с существованием частных производных. Верны ли
обратные теоремы?
11. Дать определение полного и частных дифференциалов функции
нескольких переменных.
Пример. Найти полный дифференциал функции z  2 x1 / y  3
x
.
Вычислить приближенно 1.022.04 .
12. Доказать теорему о производной сложной функции. Привести частный и
общий случаи.
Пример. Найти zt для функции z  tg (2 x y ) , если x  cost 2 , y  arcctg (2  3t ) .
13. Определение локальных экстремумов функции двух переменных.
Доказать теорему о необходимых условиях экстремумов. Сформулировать
теорему о достаточных условиях экстремумов.
Пример. Исследуйте на экстремумы функцию z  y 2  (1  x) 2 .
14. Вывести формулы для определения параметров линейной зависимости
y  ax  b (метод наименьших квадратов).
Пример. Построить по методу наименьших квадратов прямую y  ax  b для
данной системы точек (–1;1), (0;2), (3;4) и оценить ее среднеквадратическое
отклонение
15. Дать определение условного экстремума функции двух переменных.
Сформулировать теорему о необходимых условиях условного экстремума.
16. Привести план нахождения наибольшего и наименьшего значений
функции двух переменных в замкнутой области.
65
Пример.
Найти
наибольшее
z  5 x 2  3xy  y 2  4 x
в
и
наименьшее
замкнутой
области,
значения
функции
ограниченной
линиями
x  0, y  0, x  1, y  1 .
Интегральное исчисление (темы 17–20)
1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Доказать
теорему об общем виде первообразных.
Пример.
Найти
первообразную
F (x )
для
f ( x)  1 / х 3 ,
функции
удовлетворяющую условию F ( 2 )  1 .
2. Сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла.
Примеры. Свойство №3 (неопределенный интеграл от дифференциала)
проиллюстрируйте на примере

 cos xdx .
Найти неопределенный интеграл
x3  2 x 2  1
dx .
x2  2x  3
3. Написать формулы замены переменных в неопределенных интегралах.
Пример.
(1 x )
 x  2 dx .
2
4. Вывести формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
5. Привести порядок интегрирования дробно-рациональных функций. Виды
простейших дробей.
Примеры.
Разложить
на
x 1
x ( x  3) ( x  2 x  1)( x 2  2 x  10) 2
3
2
2
простейшие
(не
дроби
определяя
функции
коэффициентов);
3x  1
(с определением коэффициентов).
( x  2)( x 2  x  1)
6. Определение определенного интеграла. Его геометрический смысл.
Вывести формулу Ньютона-Лейбница.
7. Сформулировать и доказать свойства определенного интеграла.
3
Пример.
Оценить
интеграл
?   ( x  2) 2 dx  ? ,
дать
графическую
0
иллюстрацию.
Найти среднее значение функции
f ( x)  3 x
на отрезке [0;1] , дать
графическую иллюстрацию.
8. Вычисление площади плоской фигуры в прямоугольной системе координат.
66
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y   x 2  6 x  8 ,
y  0 , x  1, x  3 .
9. Несобственный интеграл первого рода: определение, геометрический
смысл, признаки сравнения.

Примеры.
Вычислить
или
установить
 x sin 3xdx ,
расходимость:
0

dx
 x 2  6 x  12 ,



3 5 x dx .
0
10. Несобственный интеграл второго рода: определение, геометрический
смысл, признаки сравнения.
3
Примеры. Вычислить или установить расходимость

1
11.
Общее
решение
дифференциального
e
dx
9 x
2
уравнения
,
dx
 x ln 2 x .
0
n -го
порядка.
Сформулировать теорему Коши о существовании и единственности ДУ.
12. ДУ с разделяющимися переменными: вид, схема решения.
Пример: ( x 2  1) y '2 xy2  0, y (0)  1
13. Однородные ДУ: вид, схема решения.
Пример: 2 x 2 y '4 xy  y 2  0 .
14. Линейные ДУ первого порядка: вид, метод Бернулли.
Пример: y '2 y   x 2 , y (0)  1 / 4 .
15. ДУ 2-го порядка, не содержащие явно y , y ' : вид, общее решение.
Пример: y ' '  cos( x / 2) .
16. Линейные однородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами:
вид, схема решения.
Пример: y ' '4 y  0, y (0)  1, y ' (0)  4 .
Образцы итоговых контрольных работ
Итоговая контрольная работа № 1 (темы 1-12)
1.
Решить
матричное
уравнение
и
сделать
проверку:
67
  2 3
 6

  X  
 1  5
9
2.
 1
  2E .
7 
Доказать свойства определителей. Как изменится определитель 6-го порядка,
если у каждого элемента изменить знак на противоположный?
3.
Доказать первый замечательный предел.
4.
Используя определение предела, доказать, что lim
1 n
1
  . Найти N ,
n  3n  1
3
соответствующий   0,2 .
5.
Используя
определение,
найти
производную
функции
y  2x  x2 .
Составить уравнения касательной и нормали к графику функции при x0  2 . Сделать
чертеж.
6.
Проверить, выполняется ли теорема Лагранжа для функции y  lg 2 x на
отрезке [1 / 2; 5] и, если выполняется, то для каких значений c . Сделать чертеж.
2 x
.
6x  x2  8
7.
Найти точки разрыва и установить их тип для функции y  arctg
8.
Используя формулу Маклорена, представить функцию f ( x)  sin 3x в виде
многочлена пятой степени.
68
Итоговая контрольная работа № 2 (темы (13–20)
1. Дать определение дифференцируемости функции двух переменных. Доказать
теорему о связи дифференцируемости с существованием частных производных.
2. Дать определения первообразной и неопределенного интеграла.
3. Найти асимптоты графика функции y 
1
.
x  7 x  12
2
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y 
x 4 2 x 3 3x 2


4
3
2
на
отрезке [2; 4] .
5. Исследовать на непрерывность функцию z 
2
.
1  e y  2 x 1
6. Найти значение несобственного интеграла или установить его расходимость:

dx
.
  x  8 x  17

2
7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y  ( x 1)3 , y  0 , x  0 , x  2 .
8. Определить тип ДУ и найти общее решение: y ' '  sin( x / 2  1) .
69
СИСТЕМА ТЕКУЩЕГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ
СТУДЕНТОВ
Итоговая аттестация знаний проводится по принятой на кафедре шкале:
Набранные баллы
0–59
60–74
75–90
91–100
Оценка
неудовлетворительно
(незачет)
удовлетворительно
хорошо
отлично
В ходе изучения курса проводится внутрисеместровый контроль знаний.
Темы 1–12 – дифференцированный зачет, темы 13–20 – экзамен.
Вид контроля
Контрольная работа № 1
(аудиторная).
Контрольная работа № 2
(аудиторная).
Контрольная работа № 3
(аудиторная).
Итоговая контрольная
работа № 1 (аудиторная).
Контроль посещаемости
и выполнения типовых
домашних заданий (в
течение семестра).
Тема
Действия над матрицами.
СЛАУ (темы 1–5)
20
Вычисление пределов (темы
9–10).
15
Производная функции одной
переменной. Правило Лопиталя.
(тема 12)
20
Теоретические и практические
вопросы по темам (1–12).
40
Темы первого семестра 1–12.
Итого (дифференцированный зачет)
Контрольная работа № 4
(выдается на дом).
Контрольная работа № 5
(аудиторная).
Контрольная работа № 6
(аудиторная).
М
акси
маль
ный
балл
5
100
Исследование и построение
графика функции (тема 13).
10
Функции нескольких
переменных: область определения,
частные производные, градиент,
локальный и условный экстремум
(темы 14–16)
25
Неопределенные и
определенные интегралы (темы
17–18).
20
70
Итоговая контрольная
работа № 2 (аудиторная).
Контроль посещаемости
и выполнения типовых
домашних заданий (в
течение семестра).
Теоретические и практические
вопросы по темам (13–20).
40
Темы второго семестра 13–20.
Итого (экзамен)
5
100