Гильбертово пространство

§ 15. Гильбертовы пространства
Гильбертово пространство – линейное нормированное пространство, со
скалярным произведением из  или  , полное относительно нормы,
порожденным скалярным произведением.
Рассмотрим случай действительного (вещественного) поля  .
Определение. Пусть X – ЛП над полем  , говорят, что на этом ЛП
введено скалярное (внутреннее) произведение, если каждым двум элементам
этого пространства x , y  X ставится в соответствие вещественное число
( x , y )  , этот закон должен обладать свойствами:
1) для любого x  X : ( x, x )  0, и, кроме того, ( x, x ) =0, тогда и только
тогда, x =0;
2) для любых x, y  X : ( x, y ) = ( y , x) – коммутативность скалярного
произведения;
3) для
любых
x, y , z  X :
( x  y, z ) = ( x, z ) + ( y , z )
–
аддитивность
скалярного произведения;
4) для любых x, y  X и любого    : ( x, y ) =  ( x, y ) – однородность
скалярного произведения.
Исходя из 3 и 4, скалярное произведение является линейной функцией
каждого аргумента.
Получили евклидово пространство.
Рассмотрим случай комплексного поля  .
Определение. X – ЛП над полем  . Каждой паре элементов X ставится
в соответствие число  , то есть, для любых x , y  X соответствие число
( x , y )  . При этом для любых x , y  X и любых    выполнены свойства:
1) ( x, x )  0, и, кроме того, ( x, x ) = 0, тогда и только тогда, x = 0;
2) ( x, y ) = ( y , x) – антикоммутативность скалярного произведения;
3) ( x  y, z ) = ( x, z ) + ( y , z ) – аддитивность скалярного произведения;
4) ( , x, y ) =  ( x, y ) , но ( x, y ) =  ( x, y ) – однородность по первому
131
аргументу скалярного произведения, антиоднородность по второму аргументу
скалярного произведения.
Получим унитарное пространство.
Эти пространства являются пространствами со скалярным произведением
и называются предгильбертовыми, то есть, пространствами без полноты. Будем
рассматривать
только
пространства,
то
есть,
действительные
(вещественные)
предгильбертовы
пространства
гильбертовы
со
скалярным
произведением и полнотой.
Норма в пространстве со скалярным произведением
Берем
( x, x ) ,
положим
|| x || = ( x, x) .
Проверим,
выполняется
ли
неравенство треугольника для ( x, x ) , то есть, для любых x, y  X выполняется
|| x  y ||  || x || + || y || .
Распишем:
( x  y, x  y ) = ( x, x ) + ( x, y ) + ( y, y ) + ( y , x) = ( x, x ) +2 ( x, y ) + ( y, y ) .
Используем коммутативность, то есть: || x  y ||2 = || x ||2 + || y ||2 +2 ( x, y ) . Далее
докажем: | ( x, y ) |  || x || || y || , то есть, докажем || x  y ||  || x || + || y || .
Можно ли утверждать, что: | ( x, y ) |  || x || || y || – это называет неравенство
Коши-Буняковского-Шварца.

y 
Случай y =0 – неинтересен. Пусть y  0, рассмотрим  x,
 = | ( x, z ) | ,
 || y || 
где z =
y
, || z || = 1. Итак, надо доказать неравенство | ( x, z ) |  || x || для
|| y ||
любого z : || z || = 1.
Видим, что  x  ( x, z )  z, x  ( x, z )  z  = ( x, x ) – 2 ( x, z )2 + ( x, z )2 = ( x, x ) – –
( x, z )2  0, то есть, | ( x, z ) |  || x || , что и требовалось доказать. То есть, верно,
| ( x, y ) |  || x || || y || .
Пусть далее, H – гильбертово пространство.
132
Примеры.
1. Пусть H =  3 . Каждому вектору ставится в соответствие координаты в
3
базисе i , j , k : x = ( x1 , x2 , x3 ) , ( x, y ) =  xi yi .
i 1
n
2. Пусть X   , скалярное произведение ( x, y ) =  xi yi .
n
 X (, )  = H
–
i 1
предгильбертово пространство, но оно в конечном счете должно быть полным и
соответственно гильбертовым.
Можно
описать
все
возможные
скалярные
произведения
в
n .
Оказывается, что всякая симметричная положительно определенная матрица
n
A  {aij }in, j 1 , где aij  a ji , задает по формуле ( x, y ) A   aij xi y j скалярное
i , j 1
произведение в пространстве  n . Необходимыми и достаточными условиями
положительной определенности данной симметричной матрицы A  {aij }in, j 1
служат неравенства
a11 a12
a11 a12
a11  0 ,
 0 , a21 a22
a21 a22
a31 a32
a11  a1n
a13
a23  0 ,…, det A      0
an1  ann
a33
(критерий Сильвестра).
X  l2 ,
3. Пусть
x  ( x1 ,..., xn ,...) ,
последовательности
  2

удовлетворять условию:  x :  xi    , причем || x ||2 =
 i 1

должны

2
i
x
. Значит, ( x, y ) =
i 1

 x y . Значит, l
i
i
2
H.
i 1
1
4. Пусть X
= C[0,1] , ( x, y ) =
 x(t ) y(t )dt .
Введя такое скалярное
0
произведение, получили неполное пространство. В случае C[0,1] норма
1
|| x || =
x
2
(t )dt такова, что полноты нет.
0
133
Свойства скалярного произведения
1. Скалярное произведение является непрерывной функцией своих
аргументов, но такое, что непрерывность (, ) : {xn } , xn  x , { yn } , yn  y , это
значит, что числовая последовательность ( xn , yn ) сходится к ( x, y ) , значению в
предельной точке.
Непрерывность скалярного произведения (, ) означает, что значение
последовательности в предельной точке сходится. Оценим:
| ( x, y )  ( xn , yn ) | = | [( x, y )  ( xn , y )] + [( xn , y )  ( xn , yn )] |  | ( x  xn , y ) | + | ( xn , y  yn ) | ,
| ( x  xn , y ) |  || x  xn ||  || y || 0 при n   ,
| ( xn , y  yn ) |  || xn ||  || y  yn || 0 при n   .
Всякая
сходящаяся
последовательность
ограничена,
значит
( x, y )  ( xn , yn )  0 при n   .
2. Угол между x, y  H   X , (, )  . Рассмотрим только вещественные
пространства. Определим: cos( x
, y)
=
( x, y )
|| x ||  || y ||
(
( x, y )
 1 в силу
|| x ||  || y ||
неравенства Коши-Буняковского-Шварца).
3. Ортогональность: x  y означает, что ( x, y ) = 0.
4. Ортогональное дополнение множества. Возьмем любое подмножество
M  X , определим M  = {x  X : ( x, z ) = 0 для любого z  M } .
z
k
элемент ортогонального дополнения
y
x
M
134
Пусть M  H , M – произвольное множество гильбертова пространства.
M  – множество всех элементов, ортогональных множеству M . Пусть
x  M  , y  M  , образуем новый элемент: для любых  ,   
h x   y.
Проверим, что h  M  . Знаем, ( x, z ) = 0 для z  M , ( y, z ) = 0 для любого
z  M . Вычислим: ( h, z ) = (  x   y, z ) =  ( x, z )   ( y, z ) = 0 для любого
z  M . То есть h  M  .
Докажем
замкнутость
M.
Возьмем
последовательность
xn  M  :
( xn , z )=0 для любого z  M при n   , ( x, z ) = 0, поскольку скалярное
произведение непрерывно, то x  M  . Каково бы ни было M , все M  –
замкнуто.
5. Справедливо тождество || x  y ||2  || x  y ||2 = ( x  y, x  y )  ( x  y, x  y ) =
… = 2 || x ||2 2 || y ||2 (тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей
= сумме квадратов всех сторон параллелограмма).
x+y
y
x–y
x
Теорема о ближайшем элементе
Пусть дано гильбертово пространство H со скалярным произведением
(, ) . В этом случае можно определить расстояние между двумя элементами:
 ( x, z ) = || x  z || =
( x  z, x  z ) . Можно также определить расстояние между
элементами x и множеством M :  ( x, M ) = inf  ( x, z ) .
zM
Здесь d = inf – число положительное, если x  M , она существует, это
135
точная нижняя граница:
а) || x  z || d ,
б) для любого   0 существует z  M : || x  z || d   .
«Ближайший» элемент – элемент, который реализует расстояние от M , до
множества (но он не всегда существует).
Это y  M :  ( x, y )   ( x, M ) = inf  ( x, z ) .
zM
z
M
M
y1
y
y2
x
x
Теорема. Пусть H гильбертово пространство, M  H , M – замкнутое и
выпуклое, x  M . Тогда в множестве M
существует и единственный
ближайший к x элемент y  M : || x  y || inf  ( x, z ) .
zM
Доказательство. Пусть 1) d = inf || x  z || .
zM
2) Возьмем { yn } , n   , yn : inf || x  yn ||  d .
n
x
y
H
136
Покажем, что последовательность { yn } есть фундаментальная. Вычислим:
|| yn  ym ||2 = || ( yn  x) – ( ym  x) ||2 = 2 || yn  x ||2 + 2 || ym  x ||2 – || ( yn  x) +
+ ( ym  x) ||2 = 2 || yn  x ||2 + 2 || ym  x ||2 – || yn  ym  2 x ||2 = (два выносим из-под
2
y  ym
знака нормы) = 2 || yn  x || + 2 || ym  x || – 4 n
x  …
2
2
2
Так как, справедливо:
a)
y n  ym
 M , так как, M – выпуклое;
2
2
b)
yn  ym
 x  d по определению d ( d = inf).
2
…
 2 || yn  x ||2 + 2 || ym  x ||2 – 4 d 2  2d 2 + 2d 2 – 4d 2 = 0 при n, m   ,
lim || yn  ym ||  0, || yn  ym || 
0, то есть, { yn } – фундаментальная.
n , m 
n , m 
3) yn  y (в силу полноты), y  M – так как, это предельная точка
замкнутого множества M .
4) Доказательство
единственности:
допустим,
что
существует
два
элемента y1 и y2 , y1  y2 – «ближайшее» к x :
 ( x, M )   ( x, y1 )   ( x, y2 )  d .
Найдем расстояние между ними: || y1  y2 ||2 = || ( y1  x)  ( y2  x ) ||2 =
y  y2
= 2 || y1  x || + 2 || y2  x || – 4 1
x
2
2
2
2
 0, значит || y1  y2 || = 0 и, поэтому,
y1  y2 , что противоречит допущению, что и требовалось доказать.
Наряду с термином «ближайший» элемент, используют термин элемент
«наилучшего приближения».
Теорема об ортогональном разложении гильбертова пространства
Теорема. Пусть дано гильбертово пространство H , M – замкнутое
137
линейное подпространство, M  H . Тогда: H  M  M  , то есть, для любого
xH
справедливо равенство
x  g  h,
g M ,
hM 
– определены
единственным образом.
1)
Доказательство.
M
–
удовлетворяет
условиям
теоремы
о
«ближайшем» элементе (выпуклое и замкнутое), возьмем в качестве g –
ближайший элемент (однозначно):
g  ПpH x (проекция x на H ).
2) Докажем: h  x  g  M  , то есть, ( x  g , z ) = 0 для любого z  M .
Справедливо равенство:
|| x  g   z ||2  || x  g ||2 ,
так как g – «ближайший» элемент z  M ,    . Оценим:
( x  g   z , x  g   z )  ( x  g , x  g ),
( x  g , x  g ) – 2  ( x  g , z) +  2 ( z, z )  ( x  g , x  g ) ,
 2 ( z , z ) – 2  ( x  g , z )  0, 2  ( x  g , z )   2 ( z , z ) .
а) Пусть   0 , тогда 2 ( x  g , z )   ( z, z ) .
б) Пусть   0 , тогда 2 ( x  g , z )   ( z, z ) .
В каждом случае перехода к пределу, получим:
а) ( x  g , z )  0, б) ( x  g , z )  0, значит ( x  g , z ) = 0, для любого z  M .
Таким образом, элемент h  M  , h  x  g .
Итак, разложение доказано, докажем единственность.
3) Единственность (доказательство от противного). Пусть x = g1 + h1 ,
x  g 2  h2 g i  M , hi  M  , i  1, 2 . Далее очевидно.
Ортонормированные системы в гильбертовом пространстве
Пусть дано гильбертово пространство Н и дана счетная система
{k }k1  H .
138
Определение. Будем называть систему
{k }k1
ортонормированной
0, i  k ,
системой, если (i , k ) = 
 1, i  k .
Рассмотрим вопрос о нахождении коэффициентов разложения элемента x
по элементам ортонормированной системы { n } .
Предполагаем, что такое разложение существует: разложение x по { n } –

по ортонормированной системе. Допустим, что разложение x    nn имеет
n 1
место. Как найти коэффициенты разложения  n ?

Возьмем формулу
x    n n
будем умножать последовательно на
n 1
1 ,...,  n ,… Умножаем на
1 :
( x, 1 )  1
(коэффициент = 1 в силу
ортонормированной системы). Умножаем на  2 : ( x, 2 )   2 и так далее.
Умножим на  k : ( x, k )   k Получаем формулу нахождения коэффициентов

Фурье. Здесь  k – k -й коэффициент Фурье элемента x . Получаем, что
 
n
n
n 1
– ряд Фурье элемента по ортонормированном системе { n } .

Сходимость ряда Фурье, это значит, что ряд
 
n
n
– сходится, это
n 1
N
означает, что последовательность RN    nn , {RN } – сходится, то есть,
n 1
lim RN  R : || RN  R ||  0 при N   .
N 
Некоторые свойства ряда Фурье
Теорема. Пусть { n } – ортонормированная система в гильбертовом
пространстве Н,
 n  ( x,  n )
– коэффициент Фурье. Тогда выполнено
следующее:
139
m
m
1) x    n   n
 x    n  n для любого x  H для любого { n } и
n 1
n 1
для любого m   ;

2)

2
n
 || x ||2 – неравенство Бесселя.
n 1
Теорема. Пусть { n } – ортонормированная система в сепарабельном
гильбертовом пространстве Н.
Следующие утверждения эквивалентны:
1) Sp{n } = H (замыкание линейной оболочки = Н);

2) Sp{ n }  {0} ;
3) { n } – ортонормированный базис в Н;

4)
 ( x,  )
n
2
= || x ||2 для любого x  H .
n 1
Комментарии к утверждениям 1-4. Свойство 2 называют полнотой
системы { n } . Свойство 3: для любого x  H существует единственный набор

{ n } , такой, что x    nn . Свойство 4: равенство Парсеваля-Стеклова
n 1
(аналог теоремы Пифагора).
Примеры ортонормированных систем – базис тригонометрических и
полиномиальных функций.
Ортогонализация Грама-Шмидта
Пусть Н – гильбертово пространство (а также может быть и в
предгильбертовом пространство). Пусть { n } – линейно независимая система,
нужно из нее получить { n } – ортонормированную систему, и при этом
Sp{ n } = Sp{ n } . Предложить алгоритм:
1) возьмем: h1   1 , 1 =
h1
– нормировка элемента;
|| h1 ||
140
2) затем возьмем: h2   2  1  1 , 1  ( 2 , 1 ) ,
2 
h2   2  ( 2 ,1 )  1 ,
h2
.
|| h2 ||
Выполняем эти действия:
k ) hk   k  11 –  2 2 – … –  k 1 k 1 , где  i  ( k , i ) ,
k 1
hk   k   ( k , i )  i , k 
(*)
i 1
hk
, k  2,3,...
|| hk ||
Совпадение линейной оболочек систем  n и  n вытекает из формулы (*),
связывающей элементы этих систем.
Теорема. Во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве Н,
существует ортонормированный базис (см. п. 3 предыдущей теоремы).
Пространство называется сепарабельным, если в нем существует счетное,
всюду плотное множество.
Доказательство. Пусть { n } – счетная, всюду плотная система в Н. После
ортонормировки
Грама-Шмидта
получится
{ n } ,
замыкание
линейной
оболочки этой системы: Sp{n } = Н, смотри п. 1 теоремы об эквивалентности в
силу сепарабельности Н. Значит, { n } – это ортонормированный базис в
гильбертовом пространстве H.
Пример.

l2   x  ( x1 ,..., xn ,...),


2
i
x
i 1

 

–
линейное
пространство,

( x, y )   xi  yi определим скалярное произведение. Тогда H = l2 .
i 1
Теорема. Всякое сепарабельное гильбертово пространство изоморфно
пространству l2 .
Доказательство вытекает непосредственно из предыдущей теоремы.
Соответствующий
элемент
пространства
l2
представляет
собой
последовательность коэффициентов Фурье элемента x пространства Н.
Обозначение:
H  l2 ,
то
есть,
изоморфно,
xH
соответствует
{1 ,...,  n ,...}  l2 , y  H соответствует {1 ,...,  n ,...}  l2 . Тогда  x +  y  H , и,
141
соответственно {1 ,...,  n ,...} + {1 ,...,  n ,...}  l2 .
Примеры.
1. Пространство L2 [a, b]  L2[a, b] классов действительнозначных функций
является гильбертовым пространством, если положить
b
( x, y )   x(t ) y (t ) dt .
a
2. Вещественное
L2 [a, b]  L2, [a, b]
пространство
классов
функций,
измеримых на отрезке [a, b] и имеющих на этом отрезке суммируемый с весом
 (t ) (  (t )  0 п.в.) квадрат модуля, является гильбертовым пространством,
если положить
b
( x, y )     (t ) x(t ) y (t ) dt .
a
Пространство  n , l2 и пространства из примеров 1, 2 называются
классическими вещественными пространствами Гильберта. Заметим, что эти
пространства сепарабельны.
142
Задачи к § 15
1. Доказать, что в вещественном линейном пространстве со скалярным
произведением:
а) для любых элементов x, y , z имеет место тождество Аполлония:
|| z  x ||2  || z  y ||2 =
1
x y 2
|| x  y ||2 2 || z 
|| ;
2
2
б) для любых элементов x, y , z, t имеет место неравенство Птолемея:
|| x  z ||  || y  t || ≤ || x  y ||  || z  t ||  || y  z ||  || x  t || ;
когда в нем реализуется равенство.
2. Доказать, что в гильбертовом пространстве имеет место тождество
параллелограмма:
|| x  y ||2  || x  y ||2 = 2 || x ||2 2 || y ||2 .
2. В гильбертовом пространстве  , ( x, y ) =
3
3
 x y , для данного элемента
i
i
i 1
f
найти в подпространстве M   3 ближайший элемент и вычислить
( f ,M ) :
а) f = (1,1,1), M – линейная оболочка, натянутая на элементы (1,0,1) и
(0,1,1);
б) f = (2,3,1), M – линейная оболочка, натянутая на элементы (1,1,1) и
(0,0,0);
в) f = (– 4,1,2), M – линейная оболочка, натянутая на элементы (1,1,0) и
(2,0,3);
г) f = (2,1,2), M – множество решений однородного уравнения x1 – x2 +
2 x3 = 0.
Указание: воспользоваться тем, что ближайшим элементом для f в
подпространстве M является первое слагаемое в ортогональном расположении
f = g  h, g M , hM  .
3. Пусть элементы  1 ,  2 предгильбертова пространства H линейно
143
независимы. Среди линейных комбинаций элементов  1 и  2 найти элемент  ,
ортогональный к  1 и имеющий единичную норму:
а) H =  3 ,  1 = (1,1,0),  2 = (1,1,1);
1
б) H = C[0,1] , ( x, y ) =
 x(t ) y(t )dt ,  (t )  t , 
1
2
(t ) = t 2 ;
0
в) предположить алгоритм нахождения  в общем случае.
4. Убедиться в том. что функции 1, sin t , cos t образуют ортогональную
систему
в
предгильбертовом
пространстве
C[ ,  ]
со
скалярным

произведением ( x, y ) =
 x(t ) y (t )dt .

5. Найти угол между элементами x(t ) = sin t и y (t ) = t в пространстве
L2 [0,1] .
6. Найти углы треугольника, образованного в пространстве L2 [1,1]
элементами x1 (t ) = 0, x2 (t ) = t , x3 (t ) = t 2 .
7. Доказать, что в пространстве L2 [0,1] множество
1


M =  x  L2 [0,1]:  x(t )dt  0 

0

является подпространством. Описать подпространство M  .
8. В пространстве L2 [0,1] найти расстояние от элемента x (t )  t 2 до
1


подпространства M =  x  L2 [0,1]:  x(t )dt  0  .

0

9. В пространстве L2 [0,1] найти расстояние от элемента x (t )  t 2 до
подпространства многочленов степени не выше первой.
10. В пространстве
L2 [0,1] найти проекцию элемента
подпространство многочленов степени m  n :
а) n = 0, б) n = 1, в) n = 2.
144
x (t )  t 3
на
Список литературы к § 15
1.
Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа.
Учеб. пособие для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1988.
2.
Колмогоров А.Н.,
Фомин С.В.
Элементы
теории
функций
и
функционального анализа. 7-е изд. Серия «Классический университетский
учебник». М: Физматлит, 2004.
3.
Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. 2-е
изд. Учеб. пособие. М.: Лань, 2009.
4.
Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. 2-е
изд., перераб. М.: Наука, 1965.
5.
Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1.
Функциональный анализ / Пер. с англ. М.: Мир, 1977.
6.
Треногин В.А. Функциональный анализ: Учеб. пособие. 3-е изд., испр. М.:
Физматлит, 2002.
7.
Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по
функциональному анализу. Учеб. пособие. 2-е изд., испр. и доп. М.:
Физматлит, 2002.
8.
Функциональный анализ / Под общей ред. С.Г. Крейна. 2-е изд., перераб. и
доп. М.: Наука, 1972.
9.
Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории
операторов. Пер. с англ. М.: Мир, 1983.
10. Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного). Ч. 3.
М.: Науки, 1970.
145