Три эссе на физические темы

!
Ê ÂÀÀ ÍÂ
T «
2 0Ê
0 8Â
/¹
ØÊÎË
À1 Í Ò Å »
Òðè ýññå
íà ôèçè÷åñêèå
òåìû
Ð.ÂÈÍÎÊÓÐ
Òðàãè÷åñêèé ìèã íåâåñîìîñòè
 èçâåñòíîì ðîìàíå Æþëÿ Âåðíà «Èç ïóøêè íà Ëóíó»
êîñìè÷åñêèå ïóòåøåñòâåííèêè, ëåòÿùèå â îãðîìíîì àðòèëëåðèéñêîì ñíàðÿäå, ÿêîáû îùóòèëè ñîñòîÿíèå íåâåñîìîñòè â ìîìåíò, êîãäà ñíàðÿä ïåðåñåêàë öåíòð ïðèòÿæåíèÿ
ìåæäó Ëóíîé è Çåìëåé. (Ðå÷ü øëà î òî÷êå, ãäå ñèëû
ïðèòÿæåíèÿ, ñîçäàâàåìûå Ëóíîé è Çåìëåé, îäèíàêîâû è
ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíû.) Èçâåñòíûé àìåðèêàíñêèé
ôèçèê-ýêñïåðèìåíòàòîð Ðîáåðò Âóä óêàçàë, ÷òî íà ñàìîì
äåëå ñîñòîÿíèå íåâåñîìîñòè äîëæíî áûëî óñòàíîâèòüñÿ ïðè
âûõîäå ñíàðÿäà èç àòìîñôåðû Çåìëè. Ýòîò æå âûâîä ñäåëàí
è â êíèãå «Çàíèìàòåëüíàÿ ôèçèêà» çàìå÷àòåëüíîãî ïîïóëÿðèçàòîðà íàóêè ßêîâà Ïåðåëüìàíà.
Ðîìàí Âèíîêóð áûë àâòîðîì èíòåðåñíûõ ïóáëèêàöèé â íàøåì
æóðíàëå â 80-å ãîäû ïðîøëîãî âåêà. Ñåé÷àñ îí æèâåò â ÑØÀ, íî
êîíòàêòà ñ æóðíàëîì íå òåðÿåò. (Ïðèì. ðåä.)
Æþëü Âåðí óïóñòèë èç âèäó, ÷òî åñëè òåëî è åãî îïîðà
äâèæóòñÿ â ïðîñòðàíñòâå ñ îäèíàêîâûìè óñêîðåíèÿìè, ñîîáùàåìûìè òîëüêî ãðàâèòàöèîííûìè ñèëàìè, òî äàâèòü äðóã
íà äðóãà îíè íå ìîãóò. (Èìååòñÿ â âèäó óñêîðåíèå âî âíåøíåé
ñèñòåìå îòñ÷åòà, íàïðèìåð îòíîñèòåëüíî öåíòðà Çåìëè èëè
Ñîëíöà.) Ïîýòîìó êàê òîëüêî íà ñíàðÿä ïåðåñòàëè äåéñòâîâàòü ïîðîõîâûå ãàçû, âûòàëêèâàþùèå åãî èç îðóäèéíîãî
ñòâîëà, è ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà (ïîñëå âûõîäà èç çåìíîé
àòìîñôåðû), âñå ïðåäìåòû âíóòðè ñíàðÿäà äîëæíû ñòàòü
íåâåñîìûìè. Ýòè íåãðàâèòàöèîííûå ñèëû äàâëåíèÿ ïîðîõîâûõ ãàçîâ è ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà äåéñòâîâàëè òîëüêî íà
ñíàðÿä, òàê ÷òî ïîêà âñå îíè èëè èõ ðàâíîäåéñòâóþùàÿ íå
ðàâíû íóëþ, óñêîðåíèå ñíàðÿäà îòëè÷íî îò óñêîðåíèÿ íàõîäÿùèõñÿ â íåì ïðåäìåòîâ.
Îäíàêî ñîñòîÿíèå íåâåñîìîñòè ìîãëî âîçíèêíóòü âíóòðè
ñíàðÿäà åùå ðàíüøå. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì íåãðàâèòàöèîííûå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ñíàðÿä äî è ïîñëå åãî âûëåòà
èç ïóøêè. Âíóòðè ñòâîëà íà äâèæóùèéñÿ ñíàðÿä äåéñòâóåò
ñèëà äàâëåíèÿ ïîðîõîâûõ ãàçîâ, êîòîðîé ïðîòèâîäåéñòâóþò
ñèëà òðåíèÿ ñíàðÿäà î ñòåíêè ñòâîëà è ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ
âîçäóõà. Ïðè ýòîì ñèëà äàâëåíèÿ ïîðîõîâûõ ãàçîâ ñóùåñòâåííî ïðåâîñõîäèò ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà, áëàãîäàðÿ ÷åìó ñíàðÿä óñêîðÿåòñÿ â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ. Ïîñëå
âûëåòà èç ñòâîëà íà ñíàðÿä äåéñòâóåò ëèøü îäíà íåãðàâèòàöèîííàÿ ñèëà – ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà, íàïðàâëåííàÿ
ïðîòèâ äâèæåíèÿ ñíàðÿäà. Çíà÷èò, ðàâíîäåéñòâóþùàÿ íåãðàâèòàöèîííûõ ñèë èçìåíèëà ñâîå íàïðàâëåíèå ïîñëå âûõîäà ñíàðÿäà èç ñòâîëà. Ïîýòîìó â êàêîé-òî ìîìåíò, êîãäà
ñíàðÿä åùå íàõîäèëñÿ â ïóøêå, ýòà ðàâíîäåéñòâóþùàÿ áûëà
ðàâíà íóëþ è íà ñíàðÿä äåéñòâîâàëà òîëüêî ñèëà òÿæåñòè,
÷òî è ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèþ íåâåñîìîñòè.
Ê ñîæàëåíèþ, êîñìè÷åñêèå ïóòåøåñòâåííèêè íå ñìîãëè áû
îùóòèòü ñîñòîÿíèå íåâåñîìîñòè ïî ïðè÷èíå ãèáåëè èç-çà
ãèãàíòñêèõ ïåðåãðóçîê ïðè ðàçãîíå ñíàðÿäà
â îðóäèéíîì ñòâîëå…
Âïðî÷åì, ïî ìíåíèþ ïîýòà Èãîðÿ Ñåâåðÿíèíà, òâîð÷åñòâî Æþëÿ Âåðíà íå ïîäëåæèò
êðèòè÷åñêîìó íàó÷íîìó àíàëèçó:
…Îí ïðåäñêàçàë ïîäâîäíûå ñóäà
È êîðàáëè, ïëûâóùèå â ýôèðå.
Îí ôàíòàñòè÷íåé âñåõ ôàíòàñòîâ
â ìèðå
È ïîòîìó – âíå íàøåãî ñóäà.
 êîíöå êîíöîâ, íèêòî íå áûâàåò âñåãäà è
àáñîëþòíî ïðàâ, è ýòî ìîæíî ïîêàçàòü íà
ïðèìåðå âñå òîé æå ôèçè÷åñêîé çàäà÷è.
Ïîìèìî ãðàâèòàöèîííûõ ñèë ñî ñòîðîíû
Ñîëíöà, Ëóíû è äðóãèõ êîñìè÷åñêèõ ãèãàíòîâ íà ñíàðÿä è ïðåäìåò âíóòðè íåãî äåéñòâóåò âçàèìíàÿ ñèëà ïðèòÿæåíèÿ, êîòîðàÿ
ìàëà èç-çà ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøèõ ìàññ
ýòèõ òåë è ïðàêòè÷åñêè íåîùóòèìà. Îäíàêî
èç-çà ýòîãî ýôôåêòà àáñîëþòíîå ñîñòîÿíèå
íåâåñîìîñòè íå ìîãëî áûòü äîñòèãíóòî.
Ìèíóñ äâå ðûáû è îòêðûòèå ïîçèòðîíà
Íàñ áûëî òðîå íà ðûáàëêå – Äæîí, Ïîë
è ÿ, Ãàððèñ. Òåìçà çäåñü èçîáèëóåò ùóêàìè,
ïëîòâîé, óãðÿìè è óêëåéêîé. Ãóëÿÿ ïî
áåðåãó, âû ìîæåòå âèäåòü èõ öåëûå ñòàè, íî
ïîéìàòü èõ íà êðþ÷îê íå òàê ïðîñòî. Âðåìÿ
øëî, à ðûáà íå ëîâèëàñü. È òîãäà Ïîë
ðàññêàçàë íàì ñ Äæîíîì îá îäíîé ìàòåìàòè÷åñêîé çàäà÷å, êîòîðóþ îí ðåøàë â ðîæ-
!
ØÎÊÐÎÀËÒÀÎ ÐÂÈ ß
«ÊÂ
ÀÍ
ÒÅ
ËÀÁ
«Ê
ÂÀ
Í »Ò À »
äåñòâåíñêîì êîíêóðñå, îðãàíèçîâàííîì Êåìáðèäæñêèì ñòóäåí÷åñêèì îáùåñòâîì:
Òðè ðûáàêà óëåãëèñü ñïàòü, íå ïîäåëèâ óëîâà.  ÷àñ íî÷è
ïðîñíóëñÿ îäèí èç íèõ è óåõàë äîìîé, âçÿâ ñ ñîáîé òðåòü
óëîâà. Ïðè äåëåæêå íà òðè ðàâíûå ÷àñòè ó íåãî îêàçàëàñü
ëèøíÿÿ ðûáà, êîòîðóþ îí âûáðîñèë â ðåêó.  äâà ÷àñà íî÷è
ïðîñíóëñÿ âòîðîé ðûáàê è, íå çíàÿ, ÷òî îäèí èç åãî êîìïàíüîíîâ óæå óåõàë, ñíîâà ðàçäåëèë óëîâ íà òðè ðàâíûå ÷àñòè.
Ó íåãî òîæå îñòàëàñü ëèøíÿÿ ðûáà, êîòîðóþ îí âûáðîñèë â
ðåêó.  òðè íî÷è ïðîñíóëñÿ òðåòèé ðûáàê è ïðîäåëàë òó æå
îïåðàöèþ, ïîäåëèâ óëîâ íà òðîèõ è âûáðîñèâ «ëèøíþþ»
ðûáó. Ñêîëüêî ðûá âûëîâèëè ðûáàêè?
Ìû ñ Äæîíîì äîñòàëè êàðàíäàø è áóìàãó è ïîëó÷èëè
îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è: ðûáàêè ïîéìàëè (27N – 2) ðûáû, ãäå
N – öåëîå ÷èñëî. Ïðè N = 1 ýòà ôîðìóëà äàåò 25 ðûá, à ïðè
N = 2 ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ðûáàêè ïîéìàëè 52 ðûáû. Ìû ðåøèëè,
÷òî 25 ðûá – íàèáîëåå ðåàëüíîå ÷èñëî, íî îêàçàëîñü, ÷òî Ïîë
ïðåäëîæèë äðóãîå ðåøåíèå: ìèíóñ äâå ðûáû (ïðè N = 0). Ìû
ñ Äæîíîì äðóæíî ðàññìåÿëèñü. Â ñâîå âðåìÿ ñìåÿëèñü è
÷ëåíû æþðè êîíêóðñà, óâèäåâ òàêîå íåîáû÷íîå ðåøåíèå.
Ìåæäó òåì, ìû ïîéìàëè ëèøü îäíó ðûáó íà òðîèõ, áîëüøå
êëåâà íå áûëî, è ìû ðàçáðåëèñü ïî áåðåãó, èùà õîðîøåå
ìåñòî êàæäûé â îòäåëüíîñòè. Âïðî÷åì, óäà÷à íàì íå ñîïóòñòâîâàëà. Ïåðâûì âåðíóëñÿ Äæîí, âñïîìíèâ, ÷òî åìó íàäî
âîçâðàùàòüñÿ äîìîé ðàíüøå äðóãèõ. Ðåøèâ âçãëÿíóòü íàïîñëåäîê íà ðàíåå ïîéìàííóþ ðûáó, îí âûòàùèë åå èç âåäðà.
Íåîæèäàííî ðûáà âûðâàëàñü èç åãî ðóê è íûðíóëà â ðåêó.
Îãîð÷åííûé Äæîí ðåøèë âîçìåñòèòü ýòó îáùóþ ïîòåðþ. Îí
ñáåãàë â ñîñåäíèé òðàêòèð, çàíÿë ó òðàêòèðùèêà ïîõîæóþ
ðûáó èç ñâåæåãî óëîâà, áðîñèë åå â íàøå âåäðî è óåõàë äîìîé
íå ïðîùàÿñü (êàê èñòèííûé àíãëè÷àíèí). Ñëåäóåò çàìåòèòü,
÷òî òðàêòèðùèê ïîñòàâèë óñëîâèå, ÷òîáû åìó âïîñëåäñòâèè
âåðíóëè íå äåíüãè, à ðûáó. Çàòåì ïîÿâèëñÿ Ïîë, è ñ íèì
ïðîèçîøëà òàêàÿ æå èñòîðèÿ – îí òîæå çàäîëæàë òðàêòèðùèêó îäíó ðûáó. Ïîòîì ýòî ñëó÷èëîñü ñî ìíîé, êîãäà Äæîí è
Ïîë óæå óåõàëè.
Âñòðåòèâøèñü íà ñëåäóþùèé äåíü, ìû âûÿñíèëè, ÷òî
ïðîèçîøëî, è äîëãî ñìåÿëèñü, òàê êàê â ðåçóëüòàòå ìû
ïîéìàëè ðîâíî ìèíóñ äâå ðûáû: îäíó âûëîâèëè â ñàìîì
íà÷àëå ðûáàëêè, à òðè ðûáû íàì ïðåäñòîÿëî ïîéìàòü, ÷òîáû
âåðíóòü äîëã òðàêòèðùèêó. Íåïðèâû÷íîå ìàòåìàòè÷åñêîå
ðåøåíèå îêàçàëîñü âïîëíå ðåàëüíûì…
Ôàìèëèÿ Ïîëà áûëà Äèðàê, à åãî ñïåöèàëüíîñòüþ áûëà
òåîðåòè÷åñêàÿ ôèçèêà. Îäíàæäû Äèðàê, ðåøàÿ óðàâíåíèÿ,
îïèñûâàþùèå äâèæåíèå ýëåêòðîíà, îáíàðóæèë îòðèöàòåëüíûå ðåøåíèÿ òàì, ãäå îáû÷íî ðàññìàòðèâàëèñü òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Âñïîìíèâ çàäà÷ó «î ìèíóñ äâóõ ðûáàõ», îí íå ïðåíåáðåã ýòèì ñëó÷àåì, à ïðåäïîëîæèë, ÷òî ó
ýëåêòðîíà åñòü äâîéíèê, âî âñåì ïîäîáíûé ýëåêòðîíó, íî ñ
ïîëîæèòåëüíûì ýëåêòðè÷åñêèì çàðÿäîì âìåñòî îòðèöàòåëüíîãî.
Òàêàÿ ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà áûëà âñêîðå îáíàðóæåíà
ýêñïåðèìåíòàëüíî, è åå íàçâàëè ïîçèòðîíîì. Âïîñëåäñòâèè
äâîéíèêè-àíòè÷àñòèöû áûëè îòêðûòû ïî÷òè ó âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö.
Îáúåìíûé âçðûâ íàä Òóíãóññêîé òàéãîé
 èíòåðåñíîé ñòàòüå Ëüâà Äûõíî «Òóíãóññêàÿ êàòàñòðîôà:
íîâàÿ ãèïîòåçà», íàïå÷àòàííîé â æóðíàëå «Âåñòíèê» â 1997
ãîäó, ÿ óâèäåë çíàêîìîå èìÿ – Ìèõàèë Öèêóëèí, ÷ëåí
êîìèññèè ïî èçó÷åíèþ Òóíãóññêîãî ìåòåîðèòà ïðè Àêàäåìèè
íàóê ÑÑÑÐ.
Êîãäà-òî â áûâøåé ñòðàíå Ñîâåòîâ íàóêà àññîöèèðîâàëàñü
ñ ðîìàíòèêîé, à ôèçèêè ñ÷èòàëèñü âåñüìà óâàæàåìûì ñîñëîâèåì. Ìîëîäåæü çà÷èòûâàëàñü ðîìàíîì Äàíèèëà Ãðàíèíà
«Èäó íà ãðîçó», à ôîòîãðàôèè Ýéíøòåéíà ñòàëè îáÿçàòåëü-
íûì àòðèáóòîì äîìà è íà ðàáîòå.
Êà÷àåò, êà÷àåò, êà÷àåò çàäèðà âåòåð
ôîíàðè íàä ãîëîâîé.
Øàãàåò, øàãàåò, øàãàåò âåñåëûé ïàðåíü
ïî âåñåííåé ìîñòîâîé.
Ëèñòàåò, ëèñòàåò, ëèñòàåò, ó÷åáíèê ôèçèêè
ëèñòàåò íà õîäó.
Íå çíàåò, íå çíàåò, íå çíàåò, ÷òî ÿ
ïî óëèöå âñëåä çà íèì èäó,
– çâó÷àëà ïåñíÿ ïî ðàäèî èç ðåïðîäóêòîðîâ…
Çèìîé 1969 ãîäà ÿ, òîãäà òðåòüåêóðñíèê Ìîñêîâñêîãî
ôèçèêî-òåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà, ïîïàë íà ïðàêòèêó â Èíñòèòóò ôèçèêè Çåìëè, ãäå Ìèõàèë Öèêóëèí çàâåäîâàë ëàáîðàòîðèåé. ß óæå óñïåë ïðî÷èòàòü åãî ñ ñîàâòîðàìè ñòàòüþ î
ìîäåëèðîâàíèè Òóíãóññêîãî âçðûâà. Ïî ìíåíèþ Öèêóëèíà,
îãðîìíîå êîñìè÷åñêîå òåëî âîøëî â àòìîñôåðó Çåìëè è,
ïðîëåòàÿ íàä òàéãîé ñ áîëüøîé ñêîðîñòüþ, ñîçäàëî óäàðíóþ
âîçäóøíóþ âîëíó, ïîâàëèâøóþ äåðåâüÿ. Â ýêñïåðèìåíòå,
ïîñòàâëåííûì äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû, ðîëü äåðåâüåâ èãðàëè
ïëàñòìàññîâûå ìîäåëè, âîòêíóòûå â ïåñîê, à äëÿ ñîçäàíèÿ
óäàðíîé âîëíû èñïîëüçîâàëñÿ øíóðîâîé âçðûâíîé çàðÿä,
ïîëîãî íàòÿíóòûé íàä íèìè – âäîëü ïðåäïîëàãàåìîé òðàåêòîðèè êîñìè÷åñêîãî ïðèøåëüöà.  êîíöå øíóðîâîãî çàðÿäà
áûë ïðèêðåïëåí íåáîëüøîé ñôåðè÷åñêèé çàðÿä, èìèòèðóþùèé âçðûâ ìåòåîðèòà â êîíå÷íîé òî÷êå ïîëåòà. Ýêñïåðèìåíò
ïîêàçàë, ÷òî ôîðìà çîíû, ãäå ïëàñòìàññîâûå ìîäåëè áûëè
ïîâàëåíû, ñîîòâåòñòâóþò ðåàëüíîé êàðòèíå â Òóíãóññêîé
òàéãå.
Îäíàêî ñàì Öèêóëèí áûë íå î÷åíü óäîâëåòâîðåí ýòèì
íàó÷íûì óñïåõîì. «Åñòü è äðóãèå ãèïîòåçû, – ñêàçàë îí. –
Åñëè õîòèòå, ïðèõîäèòå äåëàòü äèïëîì ïî ýòîé òåìå. À ïîêà
÷èòàéòå è äóìàéòå – ìîæåò ïîÿâèòñÿ ñâîÿ èäåÿ. Òîëüêî
ïîìíèòå ïðèíöèï Îêêàìà: ÷åì ïðîùå ãèïîòåçà, òåì îíà
íàäåæíåé. Êîå-êòî, íàïðèìåð, ïðåäïîëàãàåò, ÷òî â 1908 ãîäó
íàä òàéãîé âçîðâàëñÿ èíîïëàíåòíûé êîñìè÷åñêèé êîðàáëü».
Ïîòîì Öèêóëèí ÷èòàë íàøåé ãðóïïå êóðñ ïî òåîðèè âçðûâà.
 èþíå 1969 ãîäà îí ïîïðîñèë íàøåãî ñîãëàñèÿ, ÷òîáû
ïåðåíåñòè ýêçàìåí íà íåäåëþ ðàíüøå. «Ðàäè áîãà, èçâèíèòå
çà íåóäîáñòâî, – ãîâîðèë îí ñìóùåííî, – îäíàêî ó ìåíÿ
äåéñòâèòåëüíî âàæíàÿ ïðè÷èíà». Ïðè÷èíîé îêàçàëàñü òðóäíàÿ îïåðàöèÿ, ñðàçó ïîñëå êîòîðîé Öèêóëèí ñêîí÷àëñÿ. Åìó
áûëî òîãäà 42 ãîäà.
Ìû óñïåëè îáñóäèòü ñ íèì íåñêîëüêî íîâûõ ãèïîòåç è
îñòàíîâèëèñü íà èäåå îáúåìíîãî âçðûâà ïûëè â âîçäóõå.
Äàâíî èçâåñòíî, ÷òî ïðè ðàñïûëåíèè â âîçäóõå áûñòðî
ñãîðàþùèõ ìåëêèõ ÷àñòèö – óãîëüíîé ïûëè â øàõòàõ,
ìó÷íîé ïûëè íà ìåëüíèöàõ, ñàõàðíîé ïóäðû íà êîíôåòíûõ
ôàáðèêàõ è äàæå êàìåííîé ïûëè â êàìåíîëîìíÿõ è ñòðîÿùèõñÿ ãîðíûõ òóííåëÿõ – íåðåäêî ñëó÷àëèñü òàê íàçûâàåìûå îáúåìíûå âçðûâû. Ôèçè÷åñêèé ýôôåêò ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.
Ïîñêîëüêó îòíîøåíèå ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè ê îáúåìó ó
ïûëèíîê íàìíîãî áîëüøå, ÷åì ó òîãî æå âåùåñòâà, ñæàòîãî
â êîìîê, ïûëèíêè ìîãóò áûñòðî ïðîãðåòüñÿ ýëåêòðè÷åñêèì
ðàçðÿäîì èëè âñïûøêîé ïëàìåíè äî òåìïåðàòóðû âîñïëàìåíåíèÿ. Ïðè äîñòàòî÷íîì êîëè÷åñòâå êèñëîðîäà ñãîðàíèå
ïðîèñõîäèò ïî÷òè ìãíîâåííî è ïîýòîìó ïîäîáíî âçðûâó. Ñ
äðóãîé ñòîðîíû, áëàãîäàðÿ áîëüøîé ñóììàðíîé ïîâåðõíîñòè
äâèæóùàÿñÿ ïûëü ñðàâíèòåëüíî ëåãêî ýëåêòðèçóåòñÿ òðåíèåì ÷àñòèö î âîçäóõ è ìåæäó ñîáîé, ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü
ýëåêòðè÷åñêèõ ðàçðÿäîâ äîâîëüíî âåëèêà.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî Òóíãóññêèé ìåòåîðèò áûë ñðàâíèòåëüíî ìàëîé êîìåòîé, ïðîñìîòðåííîé àñòðîíîìàìè è ñîñòî(Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ.34)
!
…ÿ èññëåäîâàë îñòðîóìíî íàéäåííóþ…ôîðìóëó äëÿ êîëè÷åñòâà, èëè ãðàäóñà, òåïëîòû â æèäêèõ ñìåñÿõ…
Ãåîðã Ðèõìàí
Ñ ïîêîéíûì ïðîô. Ðèõìàíîì äåëàë ôèçèêî-õèìè÷åñêèå
îïûòû äëÿ èññëåäîâàíèÿ ãðàäóñà òåïëîòû, êîòîðûé íà ñåáÿ
âîäà ïðèíèìàåò îò ïîãàøåííûõ â íåé ìèíåðàëîâ, ïðåæäå
ðàñêàëåííûõ.
Ìèõàèë Ëîìîíîñîâ
Íè÷åãî íå çíàÿ î ïðèðîäå òåïëîòû, ìîæíî ïîñòðîèòü
ïîëíóþ ñèñòåìó òåðìîìåòðèè, åñëè ñìåøèâàòü ãîðÿ÷óþ è
õîëîäíóþ âîäó è â êà÷åñòâå òåðìîñêîïà ïîëüçîâàòüñÿ
íàøèìè òåïëîâûìè îùóùåíèÿìè.
Óèëüÿì Òîìñîí (Êåëüâèí)
…äàæå áåç ïîìîùè òåðìîìåòðîâ ìû ìîæåì óëîâèòü
ñòðåìëåíèå òåïëîòû ïåðåäàâàòüñÿ îò êàêîãî-ëèáî áîëåå
ãîðÿ÷åãî òåëà ê áîëåå õîëîäíûì îêðóæàþùèì òåëàì äî òåõ
ïîð, ïîêà îíà íå áóäåò ðàñïðåäåëåíà ìåæäó íèìè òàê, ÷òî
íè îäíî èç íèõ íå áóäåò áîëåå ñêëîííî çàáèðàòü òåïëîòó
îò îñòàëüíûõ.
Äæîçåô Áëýê
Âíåøíåå âîçäåéñòâèå, âûâîäÿùåå ñèñòåìó èç òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ, âûçûâàåò â íåé ïðîöåññû, ñòðåìÿùèåñÿ îñëàáèòü ðåçóëüòàòû ýòîãî âîçäåéñòâèÿ.
Àíðè Ëå Øàòåëüå
À òàê ëè õîðîøî çíàêîìî âàì
?
òåïëîâîå ðàâíîâåñèå
Ðàçóìååòñÿ, õîðîøî! Âåäü òåïëîâûå ÿâëåíèÿ íà÷èíàþò
èçó÷àòüñÿ â øêîëå îäíèìè èç ïåðâûõ. È çà ïîìåùåííûìè
çäåñü ôðàãìåíòàìè èç íàó÷íûõ òðóäîâ ñðàçó óãàäûâàþòñÿ
çàäà÷è íà èñïîëüçîâàíèå óðàâíåíèÿ òåïëîâîãî áàëàíñà
èëè ëàáîðàòîðíûå ðàáîòû ïî íàõîæäåíèþ òåìïåðàòóðû
ñìåøèâàåìûõ æèäêîñòåé. Äà è â îáèõîäå ìû ïîñòîÿííî
ñòàëêèâàåìñÿ ëèáî ñ îïðåäåëåíèåì òåìïåðàòóðû íàøåãî
òåëà ñ ïîìîùüþ ãðàäóñíèêà, ëèáî ñ ïðèãîòîâëåíèåì
âàííû êîìôîðòíîé òåìïåðàòóðû – äëÿ ÷åãî ìåøàåì
ãîðÿ÷óþ âîäó ñ õîëîäíîé, ëèáî ñ äîáàâëåíèåì â îáæèãàþùèé ÷àé èëè êîôå ìîëîêà – íå äîæèäàÿñü èõ îñòûâàíèÿ.
 îáùåì, òåïëîâîå ðàâíîâåñèå – ýòî òàê íàãëÿäíî è
ïðîñòî!
Îäíàêî óæå â ñòàðøèõ êëàññàõ, ïðè çíàêîìñòâå ñ çàêîíàìè òåðìîäèíàìèêè, ýòà ïðîñòîòà ïåðåñòàåò êàçàòüñÿ
ñòîëü î÷åâèäíîé. Êàê âû îòíåñåòåñü, íàïðèìåð, ê èäåå
«òåïëîâîé ñìåðòè Âñåëåííîé», ê êîòîðîé äîëæíî áûëî áû
ïðèâåñòè âñåîáùåå ñòðåìëåíèå ê âûðàâíèâàíèþ òåìïåðàòóðû? Îêàçûâàåòñÿ, âñå ïîïûòêè îáúÿñíèòü, ïî÷åìó ýòîãî
íå ïðîèçîøëî çà íåâîîáðàçèìî äîëãóþ èñòîðèþ íàøåãî
ìèðîçäàíèÿ, áûëè òùåòíûìè äî ñîçäàíèÿ îáùåé òåîðèè
îòíîñèòåëüíîñòè.
Åùå îäíèì ïðèìåðîì íåòðèâèàëüíîñòè ïîíÿòèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ è åãî ãëóáîêîé ñâÿçè ñ äðóãèìè ðàçäåëàìè íàóêè ñëóæèò ïðèâåäåííûé â ýïèãðàôå
ïðèíöèï Ëå Øàòåëüå. Ñ èíîé åãî ôîðìóëèðîâêîé âû
âñòðåòèòåñü, íàïðèìåð, ïðè èçó÷åíèè ýëåêòðîìàãíèòíîé
èíäóêöèè èëè õèìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ÷òî ïîäòâåðäèò åãî
ñïðàâåäëèâîñòü è çà ðàìêàìè òåïëîâûõ ÿâëåíèé.
Íåëüçÿ îáîéòè âíèìàíèåì è ïðîáëåìû, âîçíèêøèå ó
êëàññè÷åñêîé òåðìîäèíàìèêè ïðè ïåðåõîäå ê èññëåäîâàíèþ îòêðûòûõ ñèñòåì è íåðàâíîâåñíûõ ïðîöåññîâ, ïðîòåêàþùèõ êàê â æèâîé, òàê è â íåæèâîé ïðèðîäå. Âåäü
âîçíèêíîâåíèå ðàçíîîáðàçíåéøèõ ñòðóêòóð, èõ «ñàìîîðãàíèçàöèÿ», â êîíå÷íîì ñ÷åòå ñàìî ïîÿâëåíèå æèçíè íå
ñîãëàñóþòñÿ ñ óñòîÿâøèìèñÿ ïðåäñòàâëåíèÿìè î ðàçðóøåíèè âñåãî ñòðîéíîãî è óïîðÿäî÷åííîãî ïðè ýâîëþöèè ê
ðàâíîâåñíûì, õàîòè÷åñêèì ñîñòîÿíèÿì.
Âîò êàê äàëåêî ìîãóò ïðèâåñòè íàñ ðàçìûøëåíèÿ íàä
âðîäå áû íåõèòðûìè âîïðîñàìè. Ïîýòîìó, îáäóìûâàÿ èõ,
íå óïóñòèòå çà âíåøíåé íåçàìûñëîâàòîñòüþ ãëóáîêîãî èõ
ñîäåðæàíèÿ.
Âîïðîñû è çàäà÷è
1. Ïî÷åìó êàëîðèìåòðû äåëàþò èç ìåòàëëà, à íå èç
ñòåêëà?
2. Âåðíî ëè, ÷òî ïðè òåïëîîáìåíå ýíåðãèÿ âñåãäà ïåðåõîäèò îò òåë ñ áîëüøåé âíóòðåííåé ýíåðãèåé ê òåëàì ñ
ìåíüøåé âíóòðåííåé ýíåðãèåé?
3. Íîðìàëüíàÿ òåìïåðàòóðà ÷åëîâå÷åñêîãî òåëà îêîëî
!% o + . Îò÷åãî æå íàì íå õîëîäíî ïðè òåìïåðàòóðå âîçäóõà # o + è î÷åíü æàðêî ïðè !% o + ?
4. Ïî÷åìó â î÷åíü æàðêóþ ïîãîäó íåò ñìûñëà îáìàõèâàòüñÿ âååðîì?
5. Êàê âëèÿåò âåòåð íà ïîêàçàíèÿ òåðìîìåòðà â ìîðîçíûé äåíü? Ðàññìîòðèòå äâà ñëó÷àÿ: à) òåðìîìåòð íàõîäèòñÿ â òåíè; á) òåðìîìåòð îñâåùåí ñîëíå÷íûìè ëó÷àìè.
6. Åñëè ó âàñ èìåþòñÿ äâà íåïðîãðàäóèðîâàííûõ òåðìîìåòðà, òî êàê îïðåäåëèòü, êàêîé èç íèõ íàãðåò áîëüøå?
7. Â æàðêóþ ïîãîäó â òåíè îäèí òåðìîìåòð êëàäóò â ëóæó,
à äðóãîé êëàäóò íà ñêàìåéêó è ïîëèâàþò âîäîé èç òîé æå
ëóæè. Êàêîé èç òåðìîìåòðîâ ïîêàçûâàåò áîëåå âûñîêóþ
òåìïåðàòóðó?
8. Ìîæíî ëè äîâåñòè âîäó äî êèïåíèÿ, ïîäîãðåâàÿ åå
ñòîãðàäóñíûì ïàðîì ïðè íîðìàëüíîì àòìîñôåðíîì äàâëåíèè?
9. Áîëüøîé ñîñóä ñ êèïÿ÷åíîé âîäîé, â êîòîðîì ïëàâàåò
ñòàêàí ñ ñûðîé âîäîé, ñòàâÿò íà íàãðåâàòåëü. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ âîäà â ñòàêàíå çàêèïàåò ðàíüøå, ÷åì â ñîñóäå.
Êàê ýòî îáúÿñíèòü?
10. Ìîæíî ëè âñêèïÿòèòü âîäó â áóìàæíîì ñòàêàí÷èêå?
11. Îòêóäà áåðåòñÿ ýíåðãèÿ, ïîääåðæèâàþùàÿ êèïåíèå
âîäû â ÷àéíèêå â òå÷åíèå íåñêîëüêèõ ñåêóíä ïîñëå ñíÿòèÿ
÷àéíèêà ñ ãàçîâîé ïëèòû?
12. Íà îäèíàêîâûå ïëèòêè ïîñòàâèëè äâå îäèíàêîâûå
êàñòðþëè ñ ðàâíûìè êîëè÷åñòâàìè âîäû ïðè îäíîé è òîé
æå òåìïåðàòóðå. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ â ïåðâóþ êàñòðþëþ äîëèëè íåìíîãî âîäû èç êèïÿùåãî ÷àéíèêà.  êàêîé èç
êàñòðþëü âîäà çàêèïèò áûñòðåå?
13. Â õîëîäíóþ âîäó îïóñêàþò íàãðåòûé â êèïÿùåé âîäå
ìåòàëëè÷åñêèé áðóñîê.  êàêîì ñëó÷àå âîäà íàãðååòñÿ
áîëüøå: åñëè áðóñîê àëþìèíèåâûé èëè ñâèíöîâûé? Îáúåìû áðóñêîâ îäèíàêîâû.
14. Ìåäíûé êóáèê À èìååò òåìïåðàòóðó o + , òàêèå
æå ìåäíûå êóáèêè Â è Ñ èìåþò òåìïåðàòóðó o + . Ïóòåì
òåïëîîáìåíà ìåæäó íèìè íóæíî îõëàäèòü êóáèê À äî
òåìïåðàòóðû # o + è íàãðåòü çà ñ÷åò ýòîãî êóáèêè  è Ñ
äî òåìïåðàòóðû %# o + . Âîçìîæíî ëè ýòî? Òåïëîîáìåíîì
ìåæäó êóáèêàìè è âîçäóõîì ïðåíåáðå÷ü.
15. Ïî÷åìó ëåä äîëüøå íå òàåò, åñëè åãî çàâåðíóòü â
ìîêðóþ ãàçåòó?
16. Çà÷åì â ïîãðåáàõ â õîëîäíóþ ïîãîäó ðÿäîì ñ
îâîùàìè ñòàâÿò áîëüøèå åìêîñòè ñ âîäîé?
17. Åñëè â âîäó ïðè òåìïåðàòóðå o + áðîñèòü êóñîê
o
ëüäà ïðè òåìïåðàòóðå + , ïðîèçîéäåò çàìåòíîå óâåëè÷åíèå ìàññû ëüäà. Êðèñòàëëèçàöèÿ âîäû ñîïðîâîæäàåòñÿ âûäåëåíèåì çíà÷èòåëüíîãî êîëè÷åñòâà òåïëîòû, ïî÷åìó
æå ïðè ýòîì âîäà íå íàãðåâàåòñÿ?
18. Ïðè ïîìåùåíèè â ïåðåîõëàæäåííóþ âîäó íåáîëüøîãî êðèñòàëëèêà ëüäà âîäà íåìåäëåííî íà÷èíàåò çàìåðçàòü. Êàêóþ òåìïåðàòóðó äîëæíà áûëà áû èìåòü ïåðåîõëàæäåííàÿ âîäà, ÷òîáû öåëèêîì ïðåâðàòèòüñÿ â ëåä?
Òåïëîåìêîñòü âîäû ñ÷èòàòü íå çàâèñÿùåé îò òåìïåðàòóðû.
19. Â ñîñóäå íàõîäÿòñÿ â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè ëåä è âîäà
îäíîé è òîé æå ìàññû. ×åðåç ñîñóä ïðîïóñêàþò ïàð ïðè
òåìïåðàòóðå o + è â òîì æå êîëè÷åñòâå. Êàêàÿ óñòàíîâèòñÿ êîíå÷íàÿ òåìïåðàòóðà? Ïîòåðÿìè òåïëà ïðåíåáðå÷ü.
Ìèêðîîïûò
Ïîñòàâüòå ðÿäîì òðè âìåñòèòåëüíûõ ñîñóäà: ñ ãîðÿ÷åé
âîäîé – ñëåâà, ñ õîëîäíîé âîäîé – ñïðàâà è ñî ñìåñüþ
ãîðÿ÷åé è õîëîäíîé âîäû – â öåíòðå. Ïîäåðæàâ ïðàâóþ è
ëåâóþ ðóêè â ñîîòâåòñòâóþùèõ åìêîñòÿõ íåñêîëüêî ìèíóò,
îäíîâðåìåííî îïóñòèòå èõ â öåíòðàëüíûé ñîñóä. Îïèøèòå
âàøè îùóùåíèÿ è ïîñòàðàéòåñü èõ îáúÿñíèòü.
Ëþáîïûòíî, ÷òî…
…òåïëîì Ïëàòîí ñ÷èòàë òî, ÷òî îñòàåòñÿ îò îãíÿ â íàêàëåííûõ òåëàõ, êîãäà ïëàìÿ ïîòóøåíî; Áýêîí ïîëàãàë òåïëîòó
«ðàñøèðÿþùèìñÿ äâèæåíèåì»; ïî ìíåíèþ Ãàññåíäè, òåïëî è õîëîä – ðàçíûå ìàòåðèè, ïðè÷åì õîëîä ñîñòîèò èç
«îñòðûõ» àòîìîâ â ôîðìå òåòðàýäðà; Ãàëèëåé æå ó÷èë, ÷òî
õîëîä íå ÿâëÿåòñÿ «ïîëîæèòåëüíûì êà÷åñòâîì», à åñòü
âñåãî ëèøü îòñóòñòâèå òåïëà.
…ýêñïåðèìåíò, îïèñàííûé â «Ìèêðîîïûòå», áûë ïðîâåäåí åùå â XVII âåêå àíãëèéñêèì ôèëîñîôîì Äæîíîì
Ëîêêîì äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñóáúåêòèâíîñòè ÷åëîâå÷åñêèõ
îùóùåíèé. Íî, ïîìèìî ôèëîñîôñêîãî çíà÷åíèÿ, îïûò
íàâñåãäà çàêðûë âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü íàøå òåëî â
êà÷åñòâå òåðìîìåòðè÷åñêîãî ïðèáîðà è äàòü ñ åãî ïîìîùüþ îïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû.
…ðàáîòà Ðèõìàíà «Ðàçìûøëåíèå î êîëè÷åñòâå òåïëîòû,
êîòîðîå äîëæíî ïîëó÷àòüñÿ ïðè ñìåøèâàíèè æèäêîñòåé,
èìåþùèõ îïðåäåëåííûå ãðàäóñû òåïëîòû», äîëîæåííàÿ
èì â 1744 ãîäó â Ïåòåðáóðãñêîé Àêàäåìèè íàóê, ïîëîæèëà
íà÷àëî òî÷íûì êîëè÷åñòâåííûì ðàñ÷åòàì â îáëàñòè òåïëîòåõíèêè. Õîòÿ ñàì Ðèõìàí íå ðàçãðàíè÷èâàë ïîíÿòèÿ
«òåìïåðàòóðà» è «òåïëîòà», åìó óäàëîñü âûâåñòè ôîðìóëó
äëÿ îïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû ñìåñè îäíîðîäíûõ æèäêîñòåé è ýêñïåðèìåíòàëüíî èññëåäîâàòü âëèÿíèå íà òåïëîîáìåí òåìïåðàòóðû, ôîðìû è ïîâåðõíîñòè òåë, à òàêæå
ñêîðîñòè äâèæåíèÿ îõëàæäàþùåé ñðåäû.
…îïûòû Ðèõìàíà ïîâòîðèë â 1772 ãîäó øâåäñêèé ôèçèê
Èîãàíí Âèëüêå, ââåäøèé çàòåì åäèíèöó èçìåðåíèÿ êîëè÷åñòâà òåïëîòû. Îíà ëåãëà â îñíîâó ñîâðåìåííîãî îïðåäå-
ëåíèÿ êàëîðèè, ïðàâäà ýòî íàçâàíèå âîçíèêëî ëèøü â 1852
ãîäó âî Ôðàíöèè. Ñ ïîÿâëåíèåì äæîóëÿ êàëîðèÿ ñòàëà
âûòåñíÿòüñÿ èç íàó÷íîãî óïîòðåáëåíèÿ, îäíàêî îíà äî ñèõ
ïîð â õîäó, íàïðèìåð, ïðè îöåíêå ýíåðãåòè÷åñêîé öåííîñòè ïðîäóêòîâ ïèòàíèÿ.
…íåñìîòðÿ íà äîëãóþ ïóòàíèöó â îïðåäåëåíèè òåïëîâûõ
ïîíÿòèé è èñïîëüçîâàíèå ìèôè÷åñêîé ìàòåðèàëüíîé ñóùíîñòè – òåïëîðîäà, ê XIX âåêó áûë çàëîæåí ôóíäàìåíò
òåðìîìåòðèè – ðàçäåëà ôèçèêè, èçó÷àþùåãî ñïîñîáû
èçìåðåíèÿ òåìïåðàòóðû, è êàëîðèìåòðèè – ñóììû ìåòîäîâ èçìåðåíèÿ ðàçëè÷íûõ òåïëîâûõ ýôôåêòîâ.
…äàâíî èçâåñòíûå òåïëîâûå ÿâëåíèÿ äëèòåëüíîå âðåìÿ
ïðåäñòàâàëè îáëàñòüþ, ñîâåðøåííî îáîñîáëåííîé îò ÿâëåíèé ìåõàíè÷åñêèõ. Íåóäèâèòåëüíû ïîýòîìó ïîïûòêè
ó÷åíûõ íàéòè ñâÿçü òåïëîòû ñ ìåõàíèêîé, òðàêòóÿ, ñêàæåì,
òåìïåðàòóðó êàê àíàëîã äàâëåíèÿ â ñïëîøíîé ñðåäå.
Ïîäîáíî òîìó êàê ìåõàíè÷åñêîå ðàâíîâåñèå â òàêîé ñðåäå
îáðàçóåòñÿ ïðè âûðàâíèâàíèè äàâëåíèé, òåïëîâîå ðàâíîâåñèå òðåáóåò ðàâåíñòâà òåìïåðàòóð.
…ïîíÿòèå òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ, ÷åðåç êîòîðîå â ôèçèêå
ïðèõîäÿò ê ïîíÿòèþ òåìïåðàòóðû, ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü
êàê äèíàìè÷åñêîå ðàâíîâåñèå, êîãäà ïðîöåññû ìîëåêóëÿðíîãî ìàñøòàáà èäóò âåñüìà èíòåíñèâíî, íî âñå ìàêðîñêîïè÷åñêèå ïðîöåññû ïðåêðàùàþòñÿ.
…ïåðâûì ïðèìåðîì ïðîöåññà óñòàíîâëåíèÿ òåïëîâîãî
ðàâíîâåñèÿ, êîãäà òåïëî ïåðåäàåòñÿ îò áîëåå õàîòè÷åñêîé
ñèñòåìû ê áîëåå óïîðÿäî÷åííîé, áûëî áðîóíîâñêîå äâèæåíèå. Ìàëåíüêèå ÷àñòèöû ïðèìåñè â æèäêîñòè îáðàçóþò
ñèñòåìó, ñõîæóþ ñ èäåàëüíûì ãàçîì ÷àñòèö, õîòÿ è íå
âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìåæäó ñîáîé, íî èñïûòûâàþùèõ äåéñòâèå ìîëåêóë æèäêîñòè, â êîòîðîé îíè ïëàâàþò.
…â íàãðåòîé ïëàçìå â îäíîì ìåñòå ìîãóò áûòü äâå
òåìïåðàòóðû. Êàæäàÿ èç âõîäÿùèõ â ñîñòàâ ïëàçìû ñèñòåì
– ýëåêòðîíû è èîíû – íàõîäèòñÿ ñàìà ïî ñåáå â òåïëîâîì
ðàâíîâåñèè. Ïîòîê òåïëà ìåæäó èîíàìè è ýëåêòðîíàìè
òåì íå ìåíåå ñóùåñòâóåò, íî îí î÷åíü ñëàá, è òåìïåðàòóðû
âûðàâíèâàþòñÿ ñðàâíèòåëüíî ìåäëåííî.
…îïûòíàÿ ïðîâåðêà ïåðâîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè íå
îäèí ðàç ïðîâîäèëàñü â ñïåöèàëüíûõ êàëîðèìåòðàõ, ãäå
èçìåðÿëàñü òåïëîòà, âûäåëÿåìàÿ â ïðîöåññàõ æèçíåäåÿòåëüíîñòè ðàçëè÷íûìè ñóùåñòâàìè – îò ìûøè äî ÷åëîâåêà. Êàê îêàçàëîñü, îíà ïîëíîñòüþ ñîîòâåòñòâîâàëà ýíåðãèè,
ïîãëîùåííîé âìåñòå ñ ïèòàòåëüíûìè âåùåñòâàìè. Ýòî
îòðèöàëî èäåþ î òîì, ÷òî îðãàíèçìû ìîãóò ÿâëÿòüñÿ
íåçàâèñèìûìè èñòî÷íèêàìè êàêîãî-ëèáî íîâîãî âèäà
ýíåðãèè, à â êîíå÷íîì èòîãå ïðèâåëî ê ïðåäñòàâëåíèþ î
æèâûõ îðãàíèçìàõ êàê îá îòêðûòûõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ
ñèñòåìàõ, äàëåêèõ îò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
×òî ÷èòàòü â «Êâàíòå» î òåïëîâîì ðàâíîâåñèè
(ïóáëèêàöèè ïîñëåäíèõ ëåò)
1. «Êîñòðû â ïîëå è ðóññêàÿ áàíÿ» – 2002, ¹ 1, ñ. 31;
2. «Òåïëîâûå ñâîéñòâà âîäû» – 2002, ¹ 3, ñ. 10;
3. «Îáðàòèìûå è íåîáðàòèìûå ïðîöåññû â òåðìîäèíàìèêå» –
2003, Ïðèëîæåíèå ¹ 4, ñ. 44;
4. «Ãäå íàéòè ïðîøëîãîäíþþ çèìó?» – 2004, Ïðèëîæåíèå
¹ 4, ñ. 69;
5. «Òåïëîåìêîñòü ðàâíîâåñíûõ òåïëîâûõ ïðîöåññîâ» – 2005,
¹ 3, ñ. 44;
6. «Òåïëî è õîëîä: ôèçèêà è áèîëîãèÿ» – 2006, Ïðèëîæåíèå
¹ 6, ñ. 100;
7. «Êàëåéäîñêîï «Êâàíòà» – 2004, ¹ 3, ñ. 32; 2007, ¹ 1, ñ. 32;
8. «Ðàáîòà ãàçà ïðè ïåðåõîäå èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â
êîíå÷íîå» – 2007, ¹ 3, ñ. 43;
9. «Òåìïåðàòóðà» – 2007, Ïðèëîæåíèå ¹5.
Ìàòåðèàë ïîäãîòîâèë À.Ëåîíîâè÷
!"
ÊÂÀÍT 2008/¹1
(Íà÷àëî ñì. íà ñ. 30)
ÿâøåé â îñíîâíîì èç óãëèñòîãî õîíäðèòà. Ìîãëî ïðîèçîéòè
âîò ÷òî. Êîìåòà, ñ åå íåáîëüøèì òâåðäûì ÿäðîì è îáúåìèñòûì ïûëåâûì øëåéôîì, ïîëîãî âîøëà â çåìíóþ àòìîñôåðó
è âûçâàëà ïîíà÷àëó ñâå÷åíèå îáëàêîâ â çîíå äëèíîé îêîëî
òûñÿ÷è êèëîìåòðîâ, íàáëþäàåìîå ðÿäîì ñâèäåòåëåé. Îáëàêî
óãëèñòîé ïûëè, âûòÿíóâøååñÿ âäîëü òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ,
ïîä äåéñòâèåì çåìíîãî òÿãîòåíèÿ îïóñêàëîñü âñå íèæå è
íèæå, ïîêà íå äîñòèãëî ïëîòíûõ ñëîåâ àòìîñôåðû, ãäå
êèñëîðîäà óæå áûëî äîñòàòî÷íî äëÿ áûñòðîãî ñãîðàíèÿ.
Ðîëü äåòîíàòîðà ìîã ñûãðàòü ýëåêòðè÷åñêèé ðàçðÿä â àòìîñôåðå (íàïðèìåð, ìîëíèÿ). Ïîñëå âçðûâà îñòàòêè íåáåñíîãî
òåëà óïàëè íà çåìëþ â âèäå ÷åðíîé ïûëè, ñîäåðæàùåé
óãëèñòûé õîíäðèò.
Òåìà ñ
âàðèàöèÿìè
Îáúåìíàÿ, èëè âàêóóìíàÿ, áîìáà äàâíî èìååòñÿ â âîåííûõ
àðñåíàëàõ, íî øèðîêî íå ïðèìåíÿåòñÿ (ñóùåñòâóþò îïðåäåëåííûå ìåæäóíàðîäíûå ñîãëàøåíèÿ íà ýòîò ñ÷åò).Ïðè åå
ïåðâè÷íîé äåòîíàöèè âûäåëÿåòñÿ îáëàêî âçðûâ÷àòîãî ãåëÿ,
çàòåêàþùåå â ùåëè, îêîïû è óáåæèùà. Ïîòîì (ñåêóíä ÷åðåç
äâàäöàòü) ñðàáàòûâàåò âòîðîé äåòîíàòîð, è îáëàêî âçðûâàåòñÿ ïî âñåìó ñâîåìó îáúåìó.
Èíòåðåñíî, ÷òî ãèïîòåçà Ëüâà Äûõíî ïî ñóùåñòâó òîæå
áàçèðóåòñÿ íà èäåå îáúåìíîãî âçðûâà. Îäíàêî â åãî ìîäåëè íåîáõîäèìî îäíîâðåìåííîå íàëè÷èå äâóõ ðåäêèõ ÿâëåíèé – íåáåñíîãî òåëà, ïðèíåñøåãî êîñìè÷åñêèå ÷àñòèöû, è
áîëüøîãî ãàçîâîãî âûáðîñà èç íåäð Çåìëè. Âåðîÿòíîñòü
òàêîãî ñîâïàäåíèÿ êðàéíå ìàëà. Òàê ÷òî ãèïîòåçà ïûëåâîãî
âçðûâà â íèæíèõ ñëîÿõ àòìîñôåðû ïðåäñòàâëÿåòñÿ áîëåå
íàäåæíîé.
Ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî è ïðè äðóãèõ çíà÷åíèÿõ ñêîðîñòåé âðåìÿ äâèæåíèÿ â ðåêå áóäåò áîëüøå, ÷åì â îçåðå.
2) Ñðàâíèì âðåìåíà âîçäåéñòâèÿ ðàçëè÷íûõ ôàêòîðîâ.
 íàøåé çàäà÷å âðåìÿ äâèæåíèÿ ïðîòèâ òå÷åíèÿ çàâåäîìî
áîëüøå, ÷åì ïî òå÷åíèþ. Òàêèì îáðàçîì, ôàêòîð, ìåøàþùèé
äâèæåíèþ, äåéñòâóåò äîëüøå, ÷åì ôàêòîð ïîìîãàþùèé.
Ñëåäóåò, î÷åâèäíî, îæèäàòü, ÷òî ìåøàþùèé ôàêòîð áóäåò
ïðåâàëèðîâàòü íàä ïîìîãàþùèì.
Â.ÝÏØÒÅÉÍ
Ðåøåíèå çàäà÷è
Âðåìÿ äâèæåíèÿ â îçåðå ðàâíî
Ñ
ÒÐÓÊÒÓÐÀ ÊÓÐÑÀ ÔÈÇÈÊÈ ÈÍÎÃÄÀ ÍÀÏÎÌÈÍÀÅÒ ÌÓ-
çûêàëüíûå ôîðìû. Ïðîñòûå òåìû (íàðîäíûå ìîòèâû)
êîìïîçèòîð ðàçâîðà÷èâàåò âàðèàöèÿìè, è â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ, ê ïðèìåðó, îðêåñòðîâàÿ ñèìôîíèÿ. Ïðîñòûå øêîëüíûå çàäà÷è (ïîó÷èòåëüíûå ñàìè ïî ñåáå) äåìîíñòðèðóþò
èäåè, ëåæàùèå â îñíîâå ôóíäàìåíòàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ òåîðèé. Âîò ïðèìåð òàêîãî ðîäà.
Òåìà – çàäà÷à 35
(«Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ôèçèêå» À.Ï.Ðûìêåâè÷à, 1992 ã.)
Ðàññòîÿíèå s íåîáõîäèìî ïðîåõàòü íà ëîäêå òóäà è
îáðàòíî îäèí ðàç ïî ðåêå, ñêîðîñòü òå÷åíèÿ êîòîðîé vp , à
äðóãîé ðàç ïî îçåðó. Ñêîðîñòü ëîäêè îòíîñèòåëüíî âîäû
îáà ðàçà vë . Äîêàæèòå, ÷òî ïîåçäêà òóäà è îáðàòíî ïî
ðåêå âñåãäà çàíèìàåò áîëüøå âðåìåíè, ÷åì ïî îçåðó.
Ïðåäâàðèòåëüíûé àíàëèç
Ïåðâàÿ (è âïîëíå åñòåñòâåííàÿ) ðåàêöèÿ íà óñëîâèå çàäà÷è
– âðåìåíà ðàâíû: âûèãðûø âðåìåíè ïðè äâèæåíèè ïî
òå÷åíèþ êîìïåíñèðóåòñÿ ïîòåðåé âðåìåíè íà îáðàòíîì ïóòè.
Áîëåå ãëóáîêèé àíàëèç (èëè, äëÿ ôèçèîíîìèñòîâ, âûðàæåíèå ëèöà ïðåïîäàâàòåëÿ) ïîêàçûâàåò, ÷òî âñå íå òàê ïðîñòî.
Êîìïåíñàöèÿ, êîíå÷íî, èìååòñÿ, íî íå ïîëíàÿ. Ê ýòîìó
âûâîäó ìîæíî ïðèéòè, èñõîäÿ èç êà÷åñòâåííûõ ñîîáðàæåíèé, êîòîðûå ñòîèò çàïîìíèòü: èõ ìîæíî áóäåò ïðèìåíèòü
ïðè ðåøåíèè äðóãèõ çàäà÷.
1) Ïðèäàäèì ïàðàìåòðàì çàäà÷è äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ,
ïðè êîòîðûõ îòâåò
ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì.
 íàøåì ñëó÷àå ïðè
vp > vë êàòåð, äâèæóùèéñÿ ïî ðåêå, íèêîãäà íå âåðíåòñÿ â èñõîäíûé ïóíêò (ðèñ.1).
Ðèñ. 1
t1 =
2s
.
vë
Âðåìÿ äâèæåíèÿ â ðåêå ñîñòàâëÿåò
t2 =
2vë s
s
s
+
=
=
vë + vp vë - vp vë2 - vp2
2s
vë -
vp2
.
vë
Âèäíî, ÷òî âðåìÿ äâèæåíèÿ â ðåêå áîëüøå, òàê êàê ÷èñëèòåëè
îáåèõ ôîðìóë îäèíàêîâû, â òî âðåìÿ êàê çíàìåíàòåëü âòîðîé
çàâåäîìî ìåíüøå çíàìåíàòåëÿ ïåðâîé.
Âàðèàöèè íà òåìó çàäà÷è 35
Ðàññìîòðèì êîíñòðóêöèþ ïðèáîðà äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ëîäêè îòíîñèòåëüíî âîäû. Ïðèáîð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé æåñòêîå îñíîâàíèå,
íà êîòîðîì ðàñïîëàãàþòñÿ èñòî÷íèê çâóêà è îòðàæàòåëü
(ðèñ.2). Äëÿ èçìåðåíèé ïðèáîð çàêðåïëÿþò íà êîðïóñå
Ðèñ. 2
ëîäêè ñíàðóæè òàê, ÷òîáû âî
âðåìÿ äâèæåíèÿ ïðèáîð íå óâëåêàë âîäó.
Èçìåðÿåòñÿ âðåìÿ, çà êîòîðîå çâóêîâîé èìïóëüñ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ îò èñòî÷íèêà äî îòðàæàòåëÿ è âîçâðàùàåòñÿ ê
èñòî÷íèêó. Ïî ýòîìó âðåìåíè ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ ñêîðîñòü
äâèæåíèÿ ëîäêè îòíîñèòåëüíî âîäû. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî
ó÷èòûâàòü ñëåäóþùåå îáñòîÿòåëüñòâî. Äåëî â òîì, ÷òî ðàñïðîñòðàíåíèå çâóêà èìååò âàæíóþ îñîáåííîñòü: ñêîðîñòü
çâóêà îòíîñèòåëüíî ñðåäû, â êîòîðîé îí ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ,
íå çàâèñèò îò ñêîðîñòè èñòî÷íèêà çâóêà. (Ýòèì ðàñïðîñòðàíåíèå çâóêà ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ, íàïðèìåð, îò äâèæåíèÿ
îñêîëêîâ ðàçîðâàâøåéñÿ ãðàíàòû: åñëè â ìîìåíò âçðûâà
ãðàíàòà äâèãàëàñü, ñêîðîñòü îñêîëêîâ îòíîñèòåëüíî ãðàíàòû
ñóììèðóåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ ãðàíàòû.) Ñ ó÷åòîì ýòîãî îáñòîÿòåëüñòâà â ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ ïðèáîðîì, ñêîðîñòü
!#
ÀÂ
ÍÀÒ Í
ÅÒ
»À»
Ë À ÁØÎÊÐÎÀ Ë
ÒÀ
Î ÐÂÈ ß« Ê «Â Ê
çâóêà áóäåò ðàâíà vçâ - vë ( vç⠖ ñêîðîñòü çâóêà îòíîñèòåëüíî âîäû), êîãäà çâóê ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ îò èñòî÷íèêà ê
îòðàæàòåëþ, è vçâ + vë ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè â îáðàòíîì
íàïðàâëåíèè. Íî òîãäà ñîâåðøåííî ÿñíî, ÷òî âðåìÿ ìåæäó
èçëó÷åíèåì è ïðèåìîì çâóêîâîãî èìïóëüñà îïðåäåëÿåòñÿ
ôîðìóëîé äëÿ âðåìåíè äâèæåíèÿ ëîäêè â ðåêå ñ çàìåíîé vë
íà vçâ è vp íà vë :
2s
t2 =
vçâ
v2
- ë
vçâ
.
Çíàÿ ðàññòîÿíèå s ìåæäó èñòî÷íèêîì çâóêà è îòðàæàòåëåì è
îïðåäåëèâ âðåìÿ t2 , ìû ëåãêî îïðåäåëÿåì èñêîìîå çíà÷åíèå
ñêîðîñòè ëîäêè:
æ
2s ö
vë = vçâ ç vçâ - ÷ .
t2 ø
è
Óñëîæíèì çàäà÷ó. Ïîïðîáóåì îïðåäåëèòü ñêîðîñòü ëîäêè,
åñëè âåëè÷èíà s íå èçâåñòíà (èëè èçìåíÿåòñÿ). Ðåøåíèå
ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè ïðîèçâåñòè èçìåðåíèå âðåìåíè äî
òîãî, êàê ëîäêà íà÷àëà äâèãàòüñÿ. Ýòî âðåìÿ îïðåäåëÿåòñÿ
ôîðìóëîé äëÿ âðåìåíè äâèæåíèÿ ëîäêè â îçåðå ñ ñîîòâåòñòâóþùåé çàìåíîé:
2s
t1 =
.
vçâ
Èç äâóõ ïîñëåäíèõ ôîðìóë ìîæíî èñêëþ÷èòü s è, òàêèì
îáðàçîì, ðåøèòü ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó:
vë = vçâ 1 -
t1
.
t2
À ìîæíî ëè íàéòè ñêîðîñòü ëîäêè, åñëè èçìåðåíèÿ â
óñëîâèÿõ íåïîäâèæíîé ëîäêè
íå ïðîâåäåíû? Ïðåäïîëîæèì
òàêæå, ÷òî îïóñòèòü ïðèáîð,
ñêàæåì, â äâèæóùóþñÿ âìåñòå
ñ ëîäêîé âàííó è îïðåäåëèòü
t2 òîæå íåëüçÿ. (Íàïðèìåð,
åñëè âîäà ïðîòåêàåò ñêâîçü
ëîäêó è âàííó, êàê ñêâîçü ðåøåòî, – ñòðàííàÿ êîíñòðóêöèÿ, íå ïðàâäà ëè?) Îêàçûâàåòñÿ, è òàêóþ çàäà÷ó ìîæíî
ðåøèòü. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ðàçâåðíóòü ïðèáîð ïåðïåíäèêóëÿðíî äâèæåíèþ ëîäêè è
Ðèñ. 3
ïðîèçâåñòè âòîðîå èçìåðåíèå
âðåìåíè ðàñïðîñòðàíåíèÿ çâóêà. ßñíî, ÷òî ïðèíÿòûé çâóêîâîé èìïóëüñ ðàñïðîñòðàíÿëñÿ
âäîëü ðàâíûõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, êàê ýòî ïîêàçàíî íà
ðèñóíêå 3. Ëåãêî ðàññ÷èòàòü âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ t3 . Êàê
âèäíî èç ðèñóíêà,
2
2
t3 ö
æ t3 ö
æ
2
çè vë 2 ÷ø + s = çè vçâ 2 ÷ø ,
îòêóäà ïîëó÷àåì
t3 =
2s
2
vçâ
- vë2
.
Ñðàâíèâàÿ âðåìåíà t2 è t3 , íàõîäèì
t2
=
t3
vçâ
2
vçâ
- vë2
.
Îòñþäà è îïðåäåëÿåòñÿ ñêîðîñòü ëîäêè:
vë = vçâ 1 -
t32 .
t22
«Èíäèêàòîðîì» äâèæåíèÿ, òàêèì îáðàçîì, ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèå âðåìåí t2 è t3 .
Âðÿä ëè ðàññìîòðåííûé ïðèáîð ìîæåò áûòü äåéñòâèòåëüíî èñïîëüçîâàí äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè êîðàáëÿ èëè
ñàìîëåòà. Ñóùåñòâóþò áîëåå ïðîñòûå è íàäåæíûå ñðåäñòâà
äëÿ ðåøåíèÿ òîé æå çàäà÷è. È òåì íå ìåíåå, èäåÿ óñòðîéñòâà îêàçûâàåòñÿ ïëîäîòâîðíîé. Îíà èìååò ïðÿìîå îòíîøåíèå ê ðåâîëþöèîííîìó ïðåîáðàçîâàíèþ êëàññè÷åñêîé ôèçèêè – ñîçäàíèþ òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Âïðî÷åì, ðå÷ü
ïðè ýòîì ïîéäåò î íåîáû÷íîé ëîäêå, ïëûâóùåé ïî íåîáû÷íîìó îçåðó.
Òåîðèÿ Ìàêñâåëëà. Ïëàâàíèå Çåìëè â ýôèðå
Âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà â èñòîðèè íàóêè ïðîèçîøëî çíàìåíàòåëüíîå ñîáûòèå.  ðåçóëüòàòå ñîçäàíèÿ Ìàêñâåëëîì òåîðèè ýëåêòðîìàãíåòèçìà áûëà òåîðåòè÷åñêè ïðåäñêàçàíà âîçìîæíîñòü èçëó÷åíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí,
ïðè ýòîì áûëè óêàçàíû èõ ñâîéñòâà è óñëîâèÿ èçëó÷åíèÿ.
Òàêæå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ÷àñòíûì ñëó÷àåì èçëó÷åíèÿ
ÿâëÿåòñÿ âèäèìûé ñâåò. Ðàñ÷åòû Ìàêñâåëëà áûëè ïîäòâåðæäåíû îïûòàìè Ãåðöà.  ÷àñòíîñòè, âûÿñíèëîñü, ÷òî, â
ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñ îáùèìè ñâîéñòâàìè âîëíîâûõ ïðîöåññîâ, ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû (ñâåòà) íå çàâèñèò îò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ èñòî÷íèêà
èçëó÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî ñðåäû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, è ðàñ÷åòû è ýêñïåðèìåíòû ïîêàçàëè, ÷òî ñâåò ìîæåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ â âàêóóìå. Èñõîäÿ èç ýòîãî, Ìàêñâåëë ïðèõîäèò ê
çàêëþ÷åíèþ (åäèíñòâåííî âîçìîæíîìó, ñ åãî òî÷êè çðåíèÿ): òî, ÷òî ìû ñ÷èòàåì ïóñòîòîé, íà ñàìîì äåëå óïðóãàÿ
ñðåäà. Ìàêñâåëë íàçûâàåò åå ýôèðîì. Ýôèð çàïîëíÿåò âñþ
Âñåëåííóþ. Îí èãðàåò äëÿ ñâåòà òó æå ðîëü, ÷òî è âîäà
äëÿ çâóêà: çâóê – ðàñïðîñòðàíåíèå êîëåáàíèé âîäû, à ñâåò
– ýôèðà.
Íî ïî÷åìó æå ìû íå çàìå÷àåì ïðèñóòñòâèÿ ýòîé ñðåäû?
Îòâåò ïðîñò: ÷àñòèöû, èç êîòîðûõ ñîñòîèò ýôèð, íàñòîëüêî
ìàëû, ÷òî îíè ñâîáîäíî ïðîõîäÿò ñêâîçü ëþáîå òåëî, à
ñëåäîâàòåëüíî, è ñêâîçü äàò÷èê èçìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà. À
êàê æå òîãäà óñòàíîâèòü ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ ýôèðà? Ìàêñâåëë ïðåäëàãàåò èäåþ, ñóòü êîòîðîé ðàññìàòðèâàëàñü íàìè
â ðåøåíèè çàäà÷è 35 è â âàðèàöèÿõ íà òåìó ýòîé çàäà÷è.
Èñòî÷íèê çâóêà çàìåíÿåòñÿ èñòî÷íèêîì ñâåòà, à â êà÷åñòâå
ëîäêè èñïîëüçóåòñÿ íàøà ïëàíåòà Çåìëÿ, êîòîðàÿ íåñåòñÿ
ïî ñâîåé îðáèòå âîêðóã Ñîëíöà, ò.å. ñêâîçü ýôèð, ñî ñêîðîñòüþ 30 êì/ñ.
Èäåÿ ýòîãî îïûòà áûëà ðåàëèçîâàíà Ìàéêåëüñîíîì è
Ìîðëè â 1887 ãîäó. Óâû, ðåçóëüòàò ýêñïåðèìåíòà îêàçàëñÿ
îòðèöàòåëüíûì – äâèæåíèå Çåìëè îòíîñèòåëüíî ýôèðà îáíàðóæåíî íå áûëî ( t3 = t2 ). Èìåííî îòðèöàòåëüíûé ðåçóëüòàò îïûòà Ìàéêåëüñîíà è Ìîðëè áûë îäíîé èç îñíîâíûõ ïðåäïîñûëîê äëÿ ïåðåñìîòðà îñíîâ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè è çíà÷èòåëüíî ñïîñîáñòâîâàë ïðèçíàíèþ ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè.
Âïðî÷åì, ýòî óæå ñîâñåì äðóãàÿ èñòîðèÿ.
!$
À ÍÉ
T Ô
2 0 0À
8 /Ê
¹Ó
1 Ë Ü Ò À Ò È Â
Ô È Ç È × Å ÑÊÊÂ È
Íå ïðåíåáðåæåì
òðåíèåì
êà÷åíèÿ…
À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ
Â
ÒÅ×ÅÍÈÅ ÒÛÑß× ËÅÒ ÒÐÅÍÈÅ ÁÛËÎ ÑÀÌÛÌ ÇÍÀÊÎ-
ìûì è âìåñòå ñ òåì âåñüìà çàãàäî÷íûì ÿâëåíèåì. Îò
äîáûâàíèÿ îãíÿ (æåëàííûé ýôôåêò) äî çàìåíû âîëî÷åíèÿ
ãðóçîâ (ãäå òðåíèå âûñòóïàåò êàê âðåäíûé ôàêòîð) êà÷åíèåì
ïðîøëî, âåðîÿòíî, ìíîãî âðåìåíè. Âî âñÿêîì ñëó÷àå, èçîáðåòåíèå êîëåñà ïðèçíàåòñÿ âåëè÷àéøåé òåõíè÷åñêîé ðåâîëþöèåé ÷åëîâå÷åñòâà.
Êîëè÷åñòâåííîå îïèñàíèå òðåíèÿ (êàê è âñå íàó÷íûå
òåîðèè) íà÷àëîñü ïðèáëèçèòåëüíî òðè âåêà òîìó íàçàä,
ïðîéäÿ ïóòü îò ôåíîìåíîëîãè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé äî ñîâðåìåííîé ìîëåêóëÿðíî-ìåõàíè÷åñêîé òåîðèè.
 1699 ãîäó Ãèëüîì Àìîíòîí îïóáëèêîâàë ðåçóëüòàòû
ñâîèõ ýêñïåðèìåíòîâ è ñôîðìóëèðîâàë çàêîí òðåíèÿ â âèäå
ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ìåæäó òàíãåíöèàëüíîé Fτ è íîðìàëüíîé Fn ñèëàìè âçàèìîäåéñòâèÿ ñîïðèêàñàþùèõñÿ
òâåðäûõ òåë:
Fτ = kFn .
(1)
Ïðîøëî áîëåå âîñüìèäåñÿòè ëåò, è Øàðëü Êóëîí ïîäòâåðäèë
(1781 ã.) çàêîí Àìîíòîíà, íî ââåë â íåãî äîïîëíèòåëüíîå
ñëàãàåìîå:
Fτ = kFn + Fa .
(2)
Ýòî áûë ñóùåñòâåííûé øàã â ïîíèìàíèè ÿâëåíèÿ: íîâîå
ñëàãàåìîå Fa ïîä÷åðêèâàëî, ÷òî ïðèòÿæåíèå ñîïðèêàñàþùèõñÿ òåë ñóùåñòâóåò äàæå áåç âíåøíåé ïðèæèìàþùåé
ñèëû: òåëà êàê áû «ïðèëèïàþò» äðóã ê äðóãó, íå áóäó÷è
ñìàçàíû êàêèì-ëèáî êëååì. Ýòà äîïîëíèòåëüíàÿ ñèëà ñòàëà
íàçûâàòüñÿ ñèëîé àäãåçèè (îò ëàòèíñêîãî «ïðèëèïàíèå»), à
íîâîå âûðàæåíèå äëÿ Fτ íàçâàëè çàêîíîì Àìîíòîíà–Êóëîíà.
Ñåé÷àñ ëþáîé øêîëüíèê çíàåò ýòîò çàêîí, ïî êðàéíåé ìåðå
â âèäå (1), è êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè k óâåðåííî
íàçûâàåò «êîýôôèöèåíòîì òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ». Íî îïûò
ïîêàçûâàåò, ÷òî íóæíî ïðèëîæèòü êàñàòåëüíóþ ê ïëîñêîñòè
ñîïðèêîñíîâåíèÿ ñèëó íå òîëüêî äëÿ òîãî, ÷òîáû ñäâèíóòü ñ
ìåñòà êèðïè÷, ëåæàùèé íà ñòîëå. Äëÿ êà÷åíèÿ öèëèíäðà ïî
ñòîëó òîæå íóæíà ñèëà – ïðàâäà, ñóùåñòâåííî ìåíüøàÿ, ÷åì
â ñëó÷àå êèðïè÷à. Ýòó ñèëó ïî àíàëîãèè íàçâàëè «ñèëîé
òðåíèÿ êà÷åíèÿ». Êóëîí ïðåäëîæèë âûðàæåíèå è äëÿ ýòîé
ñèëû:
Fê =
λ
Fn .
a
(3)
Çäåñü à – ðàäèóñ öèëèíäðà, à êîýôôèöèåíò λ , àíàëîãè÷íî
ñëó÷àþ òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ, áûë íàçâàí «êîýôôèöèåíòîì
òðåíèÿ êà÷åíèÿ». Íî åñëè k â âûðàæåíèÿõ (1) è (2) ÿâëÿåòñÿ
áåçðàçìåðíûì, òî λ â âûðàæåíèè (3), êàê ëåãêî âèäåòü,
èìååò òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è ðàäèóñ à, ò.å. ðàçìåðíîñòü
äëèíû.
Ïîíèìàíèå ôèçè÷åñêîé ïðè÷èíû âçàèìîäåéñòâèÿ ñîïðè-
êàñàþùèõñÿ òåë ïðèõîäèëî ïîñòåïåííî ñ ðàçâèòèåì ïðåäñòàâëåíèé î ìîëåêóëÿðíîì ñòðîåíèè âåùåñòâà. Âûÿñíèëîñü,
÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðèòÿæåíèÿ äâóõ ýëåêòðîíåéòðàëüíûõ ìîëåêóë äðóã ê äðóãó ðàñòåò ñ óìåíüøåíèåì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî øåñòîé ñòåïåíè
ýòîãî ðàññòîÿíèÿ. Çíà÷èò, ñèëà ïðèòÿæåíèÿ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ñåäüìîé ñòåïåíè ýòîãî æå ðàññòîÿíèÿ. Êîíå÷íî, â
êîíäåíñèðîâàííîì ñîñòîÿíèè êàæäàÿ ìîëåêóëà âçàèìîäåéñòâóåò ñî ìíîãèìè äðóãèìè, ïðè÷åì ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà ñî
ñòîðîíû ýòèõ äðóãèõ ìîëåêóë ðàçëè÷íà â ãëóáèíå âåùåñòâà
è ó ïîâåðõíîñòè. Èíòóèòèâíî ÿñíî, ÷òî âáëèçè ïîâåðõíîñòè
äîëæíî ñóùåñòâîâàòü íåíàñûùåííîå ïîëå ïðèòÿæåíèÿ – êòî
íå íàáëþäàë, êàê äàæå íà âåðòèêàëüíûõ ïîëèðîâàííûõ
ïîâåðõíîñòÿõ øêàôîâ ñî âðåìåíåì îáðàçóåòñÿ ñëîé òîíêîé
ïûëè.
Ïðÿìûå èçìåðåíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ
(ïðèòÿæåíèÿ) äâóõ äèýëåêòðè÷åñêèõ òåë äåéñòâèòåëüíî îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ñåäüìîé ñòåïåíè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó
íèìè. Ýòî î÷åíü ðåçêàÿ çàâèñèìîñòü: ñòîèò óìåíüøèòü çàçîð
ìåæäó òåëàìè äî ðàçìåðà äèàìåòðà àòîìà, êàê ñèëà ïðèòÿæåíèÿ óìåíüøèòñÿ íà äâà ïîðÿäêà! Èíûìè ñëîâàìè, «áåñêîíå÷íîñòü» íàñòóïàåò óæå íà ðàññòîÿíèè ïîðÿäêà ðàçìåðîâ
ìîëåêóë.
Òàêèì îáðàçîì áûëî ïîíÿòî, ÷òî è òðåíèå ñêîëüæåíèÿ è
òðåíèå êà÷åíèÿ èìåþò îäíó è òó æå ôèçè÷åñêóþ ïðèðîäó –
ýëåêòðîìàãíèòíîå âçàèìîäåéñòâèå ýëåìåíòîâ, ñîñòàâëÿþùèõ
òâåðäîå òåëî. Ïðàâäà, ëþáîïûòíî, ÷òî ñîïóòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòû, íåñìîòðÿ íà ïî÷òè îäèíàêîâóþ ñëîâåñíóþ ôîðìóëèðîâêó, èìåþò ðàçíûå ðàçìåðíîñòè.
Îäíàêî ïîðà ïîãîâîðèòü î ôèçè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ñîïðèêàñàþùèõñÿ òâåðäûõ òåë è î ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èíàõ, èõ õàðàêòåðèçóþùèõ. Ïðåæäå âñåãî ðàññìîòðèì ìîäóëü óïðóãîñòè.
Îí îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âîçüìåì öèëèíäð
äëèíîé l è ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S è ðàñòÿíåì åãî
(èëè ñîæìåì) îñåâîé ñèëîé F, ïðè ýòîì åãî äëèíà óâåëè÷èòñÿ
(èëè óìåíüøèòñÿ) íà ∆l . Åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî
ýòî èçìåíåíèå äëèíû ïðîïîðöèîíàëüíî ñèëå F è îáðàòíî
ïðîïîðöèîíàëüíî ïëîùàäè ñå÷åíèÿ S, à êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè è åñòü (îáðàòíûé) ìîäóëü óïðóãîñòè:
∆l
1 F
=
.
l
E S
Ýòîò ìîäóëü E ââåë äâåñòè ëåò íàçàä (1807 ã.) àíãëèéñêèé
ó÷åíûé Òîìàñ Þíã. Èç ôîðìóëû âèäíî, ÷òî åñëè ôîðìàëüíî
F
. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìîäóëü
ïîëîæèòü ∆l = l , òî E =
S
óïðóãîñòè åñòü ìåõàíè÷åñêîå íàïðÿæåíèå (ñèëà íà åäèíèöó
ïëîùàäè), êîòîðîå äîëæíî óâåëè÷èòü (óìåíüøèòü) äëèíó
ñòåðæíÿ â äâà ðàçà. Îòñþäà æå âèäíà è ðàçìåðíîñòü ìîäóëÿ
óïðóãîñòè:
[F ] Í
[ E] = S = 2 = Ïà .
[ ] ì
Ýêñïåðèìåíòû ñî ñòåðæíÿìè ïîäòâåðæäàþò ëèíåéíóþ
çàâèñèìîñòü ìåæäó îòíîñèòåëüíîé äåôîðìàöèåé è íàïðÿæåíèåì. Íî ðàñòÿíóòü ñòåðæåíü âäâîå íå ïîëó÷èòñÿ – ðàçâå ÷òî
åñëè îí áóäåò ðåçèíîâûé. Åùå ðàíüøå ñòåðæåíü «ïîòå÷åò» –
íà÷íóòñÿ íåîáðàòèìûå äåôîðìàöèè. Ñîîòâåòñòâóþùåå íàïðÿæåíèå òàê è íàçûâàåòñÿ – ïðåäåë òåêó÷åñòè σ è,
êîíå÷íî, òîæå èçìåðÿåòñÿ â ïàñêàëÿõ.  òàáëèöå ïðèâåäåíû
çíà÷åíèÿ Å è σ äëÿ íåñêîëüêèõ ìåòàëëîâ. Ïóñòü âàñ íå
óäèâëÿåò ðàçáðîñ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé: ðàçíûå ñïîñîáû
îáðàáîòêè, ðàçíûå ñïðàâî÷íèêè… È ýòîò ðàçáðîñ âïîëíå
îïðàâäûâàåò ïðèáëèæåííûå ñîîòíîøåíèÿ, ê ïîèñêó êîòîðûõ
ìû è ïðèñòóïèì.
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ
Òàáëèöà
Äëÿ íà÷àëà îáñóäèì òàêîé âîïðîñ: êàê îöåíèòü ïîâåðõíîñòíóþ ïëîòíîñòü ýíåðãèè àäãåçèè γ , ò.å. ýíåðãèþ, ïðèõîäÿùóþñÿ íà åäèíèöó ïëîùàäè. Ïðèìåì, ÷òî îíà äîëæíà êàêòî çàâèñåòü îò êîýôôèöèåíòà óïðóãîñòè Å, îò «êîýôôèöèåíòà ìÿãêîñòè» σ (ïðåäåë òåêó÷åñòè) è îò õàðàêòåðíîãî
ðàññòîÿíèÿ ïîðÿäêà äèàìåòðà ìîëåêóëû dì (ñìåùåíèå íà
ýòî ðàññòîÿíèå âñåõ ñëîåâ ñòåðæíÿ è ïðèâîäèò ê óäâîåíèþ åãî
äëèíû). Èç ñîîáðàæåíèé ðàçìåðíîñòè ìîæíî ïðåäëîæèòü
çàâèñèìîñòü âèäà
γ : dì Eσ .
Âèäíî, ÷òî çäåñü îáà êîýôôèöèåíòà Å è σ ïðåäñòàâëåíû
ðàâíîïðàâíî, ÷åðåç èõ ñðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå çíà÷åíèå.
Ñðàâíèì ïðåäëîæåííóþ ôîðìóëó ñ áîëåå ïðîñòîé òåîðåòè÷åñêîé çàâèñèìîñòüþ, ïðèíÿòîé ïî÷òè ïîëâåêà íàçàä:
2
γ òåîð =
E æ 1,3Å ö
= 0,856 × 10 -11 E .
2Å çè π ÷ø
Çäåñü 2Å – õàðàêòåðíûé ïåðèîä ðåøåòêè òâåðäîãî òåëà,
1,3Å – õàðàêòåðíîå ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîì äåéñòâóþò ñèëû
ïðèòÿæåíèÿ, íó à ÷èñëî «ïè» ïîÿâèëîñü, êîíå÷íî, èç-çà òîãî,
÷òî â ðàññìîòðåííîé ìîäåëè ìîëåêóëû ñ÷èòàþòñÿ øàðèêàìè,
à ãäå êðóãëî, òàì è «ïè».
 òàáëèöå äàíû ðàññ÷èòàííûå ïî ñîîòâåòñòâóþùèì ôîðìóëàì çíà÷åíèÿ γ è γ òåîð , à òàêæå ýêñïåðèìåíòàëüíî èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ γ ýêñï (êîòîðûå óäàëîñü îáíàðóæèòü â ëèòåðàòóðå). Âèäíî, ÷òî íàøà îöåíêà γ äîâîëüíî áëèçêà è ê
òåîðåòè÷åñêèì è ê ýêñïåðèìåíòàëüíûì çíà÷åíèÿì.
Èòàê, ìû ïîëó÷èëè ïðàâäîïîäîáíóþ îöåíêó äëÿ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè àäãåçèè γ è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîâåðγ
: Eσ . À êàêîõíîñòíîé ïëîòíîñòè ñèëû àäãåçèè fa :
dì
âû ñàìè ýíåðãèÿ è ñèëà?
Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ýòîãî âåëè÷èíû γ è fa íóæíî óìíîæèòü
íà íåêîòîðóþ ïëîùàäü êîíòàêòà ñîïðèêàñàþùèõñÿ òåë. Íî
êàê åå íàéòè? Âåäü, íàïðèìåð, äëÿ êèðïè÷à, ëåæàùåãî íà
ñòîëå, âèäèìàÿ ïëîùàäü êîíòàêòà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî
äëèíû íà øèðèíó, à íà ñàìîì îí ñîïðèêàñàåòñÿ ñî ñòîëîì
âñåãî ëèøü â íåñêîëüêèõ «ïÿòíàõ» (äîñòàòî÷íî òðåõ) – â òåõ
ìåñòàõ, ãäå áûëè ñàìûå áîëüøèå áóãîðêè øåðîõîâàòîñòè.
Ýòè ïÿòíà è ïðèíÿëè íà ñåáÿ âñþ íàãðóçêó. È òóò îïÿòü
ïðèõîäèò íà ïîìîùü ïðåäåë òåêó÷åñòè: ïðèæèìàþùàÿ ñèëà
áóäåò óðàâíîâåøåíà ñèëîé óïðóãîñòè äåôîðìèðîâàííûõ áóãîðêîâ, ïëîùàäü êîíòàêòà s êîòîðûõ ìîæíî îöåíèòü èç
ñîîòíîøåíèÿ
Fn = mg : sσ .
Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãèÿ è ñèëà ïðèëèïàíèÿ ñîïðèêàñàþùèõñÿ òåë áóäóò ïîðÿäêà
γs : Fn
E
E
.
dì è Fa : Fn
σ
σ
Ïîëó÷àåòñÿ ÷óäîâèùíàÿ ñèëà, íà 1–2 ïîðÿäêà áîëüøå ïðèæèìàþùåé?! Íî ÷åìó æå òóò óäèâëÿòüñÿ: âåäü ÷òîáû ðàñòÿíóòü ñòåðæåíü â äâà ðàçà, ò.å. ñìåñòèòü ñîñåäíèå ñëîè äðóã
îòíîñèòåëüíî äðóãà íà ìåæàòîìíîå ðàññòîÿíèå, íóæíà áûëà
!%
ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
áû ïëîòíîñòü ñèëû ïîðÿäêà
ìîäóëÿ
Þíãà
E : 1011 Í ì2 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ óäâîåíèÿ äëèíû ïðîâîëîêè ñå÷åíèåì
1 ìì2 = 10 -6 ì 2 ïîòðåáîâàëàñü áû ñèëà ïîðÿäêà
1011 × 10 -6 H = 105 H .
Ïî÷åìó æå âîçìîæíî êà÷åíèå öèëèíäðà ïî ïëîñêîñòè, ñ êîòîðîé îí, êàçàëîñü
áû, ñðîññÿ? À âñå äåëî â
ïðàâèëå ðû÷àãà – âåäü øèðèíà êîíòàêòíîé ïîëîñêè
2ac (ñì. ðèñóíîê) ìíîãî
ìåíüøå ðàäèóñà öèëèíäðà. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíà ñèëüíî
ïðåóâåëè÷åííàÿ ïîëîñà êîíòàêòà, îáðàçîâàâøàÿñÿ â ðåçóëüòàòå äåôîðìàöèè öèëèíäðà ïîä äåéñòâèåì ïðèæèìàþùåé
ñèëû, íàïðèìåð åãî âåñà Fn = mg . Òàì æå óñëîâíî ïîêàçàíû
ïÿòíà êîíòàêòà, ñóììàðíàÿ ïëîùàäü êîòîðûõ ìíîãî ìåíüøå
âèäèìîé ïëîùàäè 2acl , è ëîêàëüíûå ñèëû àäãåçèè â ýòèõ
ïÿòíàõ. Ïîä äåéñòâèåì ñèëû Fê , ïðèëîæåííîé ê îñè öèëèíäðà, âîçíèêàåò ìîìåíò îòíîñèòåëüíî òî÷êè À, ñòðåìÿùèéñÿ
ðàçîðâàòü ëîêàëüíûå ñïàéêè. Â ìîìåíò îòðûâà èìååì
a
Fê a = Fa ac , èëè Fê = Fa c .
a
À ïîñêîëüêó añ a = 1 , ñèëà òðåíèÿ êà÷åíèÿ Fê ìíîãî
ìåíüøå ðåçóëüòèðóþùåé Fa ñèë àäãåçèè â ëîêàëüíûõ ïÿòíàõ.
Èòàê, îñòàëîñü îöåíèòü îòíîøåíèå ac a . Òåïåðü ó íàñ
äîñòàòî÷íî îñíîâàíèé ïðåäïîëàãàòü, ÷òî çäåñü äîëæíû èãðàòü ðîëü ìîäóëü Þíãà Å, âåñ öèëèíäðà mg = πa2 aρg (ìû
ïðèíÿëè åãî äëèíó ðàâíîé ðàäèóñó). Áîëåå òîãî, ÿñíî, ÷òî
÷åì áîëüøå âåñ è ÷åì ìåíüøå ìîäóëü Þíãà, òåì áîëüøåé
áóäåò øèðèíà âèäèìîé êîíòàêòíîé ïîëîñû. Çíà÷èò, ìîäóëü
Þíãà äîëæåí ñòîÿòü ãäå-òî â çíàìåíàòåëå, à âåñ – â ÷èñëèòåëå:
ac :
πa2 aρg
.
E
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ äëÿ Fa è ac â ôîðìóëó äëÿ Fê , èç
ñîîòíîøåíèÿ (3) íàéäåì êîýôôèöèåíò òðåíèÿ êà÷åíèÿ:
λ=
Fê a
:
Fn
E πa 3ρg
=
σ
E
πa 3ρg
.
σ
Ïðèìåì ñëåäóþùèå õàðàêòåðíûå çíà÷åíèÿ: ρ : 103 êã ì 3 ,
g = 10 ì ñ2 , σ : 100 ÌÏà = 108 Ïà . Äëÿ ðàäèóñà öèëèíäðà âûáåðåì çíà÷åíèÿ èç «÷åëîâå÷åñêîé ïðàêòèêè»:
a : 10 -2 - 1 ì . Òîãäà ïîëó÷èì
(
)
λ:
3
π 10 -2 - 1 × 103 × 10
108
ì : 10 -5 - 10 -2 ì .
 ëèòåðàòóðå óêàçûâàþòñÿ òàêèå çíà÷åíèÿ: äëÿ ìåòàëëîâ
(íàïðèìåð, ñòàëüíîé öèëèíäð êàòèòñÿ ïî ñòàëüíîé ïîäëîæêå) λ = ( 1 - 2) × 10 -5 ì ; ïðè äâèæåíèè àâòîìîáèëÿ (íàïðèìåð, ñî ñêîðîñòüþ 80 êì ÷ ) ïî àñôàëüòó λ = 2 × 10 -4 ì ; äëÿ
äåðåâà ïî äåðåâó λ = ( 5 - 6) × 10 -4 ì .
Òàêèì îáðàçîì, íàøà îöåíî÷íàÿ òåîðèÿ íå òàê óæ ïëîõà.
Òåì áîëåå ÷òî âíåøíèå óñëîâèÿ âëèÿþò íà âåëè÷èíó òðåíèÿ
êà÷åíèÿ íè÷óòü íå ìåíüøå, ÷åì ïðèðîäà òðóùèõñÿ òåë.
!&
ÊÂÀÍT 2008/¹1
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ
Îðèãàìè
è ïîñòðîåíèÿ
1. Ïóñòü çàäàíû äâå òî÷êè À è Â, òîãäà ëèñò ìîæíî ñëîæèòü
òàê, ÷òî äàííûå äâå òî÷êè áóäóò íà ñêëàäêå (ðèñ.2).
2. Ïóñòü çàäàíû äâå òî÷êè, òîãäà ëèñò ìîæíî ñëîæèòü òàê,
÷òî îäíà òî÷êà ïåðåéäåò â äðóãóþ
(ðèñ.3).
À.ÏÅÒÐÓÍÈÍ
Ìîåìó ñûíó Íèêîäèìó
Ï
ÐÅÄÑÒÀÂÜÒÅ ÑÅÁÅ, ×ÒÎ ÂÛ ÑÈÄÈÒÅ ÍÀ ÓÐÎÊÅ È ÂÀÌ
ñêó÷íî-ñêó÷íî è î÷åíü õî÷åòñÿ çàíÿòüñÿ ãåîìåòðè÷åñêèìè ïîñòðîåíèÿìè: íà÷åðòèòü, íàïðèìåð, òðåóãîëüíèê, íàéòè
â íåì öåíòðû âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé è îðòîöåíòð, ïðîâåñòè ïðÿìóþ Ýéëåðà è âñå òàêîå. Íî âîò áåäà:
öèðêóëü è ëèíåéêà îñòàâëåíû äîìà.
Âîò â òàêîé ñèòóàöèè, íàâåðíîå, îêàçàëèñü 15 ëåò íàçàä äâà
îðèãàìèñòà, èòàëüÿíåö Áåíåäåòòî Ñêèìåìè è ÿïîíåö Õàìÿêè
Õóäçèòà. (Îðèãàìèñòàìè íàçûâàþò ëþäåé, óâëåêàþùèõñÿ
äðåâíèì ÿïîíñêèì èñêóññòâîì îðèãàìè – ñêëàäûâàíèåì èç
ëèñòà áóìàãè ðàçëè÷íûõ çâåðóøåê, ïòè÷åê, ôîíàðèêîâ è
ò.ä.) Âäðóã èõ îñåíÿåò: «À âåäü ñêëàäêà ëèñòà áóìàãè – ýòî
ïðÿìàÿ». Íàïðèìåð, åñëè âçÿòü íà ëèñòêå îòðåçîê è ñîãíóòü
ëèñò òàê, ÷òîáû êîíöû îòðåçêà ñîåäèíèëèñü, à ïîòîì ðàçãëàäèòü ëèñò àêêóðàòíåíüêî íà ïàðòå, òî ïåðåãèá îáðàçóåò
ñðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê èñõîäíîìó îòðåçêó (ðèñ.1,à).
Îáû÷íîå ïîñòðîåíèå ñðåäèííîãî ïåðïåíäèêóëÿðà (ðèñ.1,á)
äëèííåå. Äëÿ íåãî òðåáóåòñÿ è öèðêóëü è ëèíåéêà (îäíîé
Ðèñ. 2
3. Ïóñòü çàäàíû äâå ïðÿìûå l è m, òîãäà ëèñò ìîæíî
ñëîæèòü òàê, ÷òî îäíà ïðÿìàÿ ïåðåéäåò â äðóãóþ (ðèñ.4).
Ðèñ. 4
4. Ïóñòü çàäàíû ïðÿìàÿ l è òî÷êà À, òîãäà ëèñò ìîæíî
ñëîæèòü òàê, ÷òî òî÷êà ïîïàäåò íà ñêëàäêó, à ïðÿìàÿ
ïåðåéäåò â ñåáÿ (ò.å. ëèíèÿ ñêëàäêè áóäåò åé ïåðïåíäèêóëÿðíà) (ðèñ.5).
Ðèñ. 5
Ðèñ. 1
ëèíåéêîé íå îáîéäåøüñÿ), à òóò íèêàêèõ èíñòðóìåíòîâ íå
íàäî.
×òîáû ïðîäîëæèòü, èì ïðèøëîñü ïðèäóìàòü íàáîð ïðàâèë
äëÿ ýòîãî íîâîãî òèïà ïîñòðîåíèé. Íàïðèìåð, ïðè îáû÷íûõ
ïîñòðîåíèÿõ ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè ðàçðåøàåòñÿ
äåëàòü òàêèå îïåðàöèè:
1. Ïðîâåñòè ïðÿìóþ ÷åðåç äâå äàííûå òî÷êè.
2. Ïîñòðîèòü îêðóæíîñòü ñ äàííûì öåíòðîì è ðàäèóñîì.
3. Íàéòè òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ äàííûõ ïðÿìûõ, òî÷êó
ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé ñ îêðóæíîñòüþ èëè äâóõ îêðóæíîñòåé. 1
×òî-òî ïîäîáíîå íóæíî áûëî è Áåíåäåòòî ñ Õàìÿêè. Äëÿ
ýòîãî îíè ìàòåìàòè÷åñêè îïèñàëè ïðèåìû, êîòîðûìè äàâíî
ïîëüçîâàëèñü îðèãàìèñòû. Âîò ýòè ïðàâèëà.
Ïðàâèëà ñêëàäûâàíèÿ
Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïðÿìàÿ çàäàíà, åñëè íà ëèñòå
èìååòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñêëàäêà. Íà ðèñóíêàõ äàëåå ñêëàäêè ïîêàçàíû ïóíêòèðîì.
1 Òàêèå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñóùåñòâóþò íå âñåãäà, ïðàâèëî
óòâåðæäàåò òîëüêî, ÷òî åñëè òàêàÿ òî÷êà åñòü, òî åå «ìîæíî»
íàéòè.
Ðèñ. 3
Ðèñ. 6
5. Ïóñòü çàäàíû ïðÿìàÿ ð è äâå òî÷êè À è Â, òîãäà ëèñò
ìîæíî 2 ñëîæèòü òàê, ÷òî òî÷êà À ïîïàäåò íà ñêëàäêó, à  –
íà ïðÿìóþ ð (ðèñ.6).
6. Ïóñòü çàäàíû äâå ïðÿìûå ð è q è äâå òî÷êè À è Â, òîãäà
ëèñò ìîæíî 2 ñëîæèòü òàê, ÷òî òî÷êà À ïîïàäåò íà ïðÿìóþ ð,
à òî÷êà  ïîïàäåò íà ïðÿìóþ q (ðèñ.7).
Ðèñ. 7
Ðèñ. 8
7. Ïóñòü çàäàíû äâå ïðÿìûå ð è q è òî÷êà À, òîãäà ëèñò
ìîæíî ñëîæèòü òàê, ÷òî òî÷êà À ïîïàäåò íà ïðÿìóþ ð, à
ïðÿìàÿ q ïðåéäåò â ñåáÿ (ò.å. ëèíèÿ ñêëàäêè áóäåò åé
ïåðïåíäèêóëÿðíà) (ðèñ.8).
2 Òàêàÿ ñêëàäêà ñóùåñòâóåò íå âñåãäà, ïðàâèëî óòâåðæäàåò
òîëüêî, ÷òî åñëè òàêàÿ ñêëàäêà åñòü, òî åå «ìîæíî» íàéòè.
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
Ïîñëåäíåå – ñåäüìîå – ïðàâèëî äîáàâèë ïîçæå äðóãîé
ÿïîíñêèé îðèãàìèñò Êîñèðî Õàòîðè, çàìåòèâ, ÷òî Áåíåäåòòî
ñ Õàìÿêè çàáûëè åãî âêëþ÷èòü. Ýòó ïîñëåäíþþ ñêëàäêó, êàê
è íåêîòîðûå äðóãèå èç ýòîãî íàáîðà, ìîæíî ïîëó÷èòü êàê
ðåçóëüòàò ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðèìåíåíèÿ îñòàëüíûõ, ò.å.
äëÿ ìàòåìàòèêà îíà íè÷åãî íå äîáàâëÿåò, íî îðèãàìèñòû íå
ìíóò áóìàãó çðÿ.
Óïðàæíåíèÿ
1. Êàêèå ïîñòðîåíèÿ öèðêóëåì è ëèíåéêîé ñîîòâåòñòâóþò
ñêëàäêàì 1—5 è 7?
2. ×åðåç òî÷êó À âíå ïðÿìîé l ïðîâåäèòå ïðÿìóþ l¢ , ïàðàëëåëüíóþ äàííîé, ñ ïîìîùüþ ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ïðàâèë.
3. Ñ ïîìîùüþ ïðàâèë îðèãàìè ïîñòðîéòå êâàäðàò.
4. Ðàçäåëèòå äàííûé îòðåçîê ÀÂ: à) íà 2 ðàâíûå ÷àñòè; á) íà
3 ðàâíûå ÷àñòè; â) íà n ðàâíûõ ÷àñòåé.
Ïîñòðîåíèå ñãèáàíèåì
Òåïåðü ìîæíî íàñëàæäàòüñÿ è çàíèìàòüñÿ ëþáûìè ïîñòðîåíèÿìè. Íàïðèìåð, òàêèìè:
Åñëè çàäàí ïðîèçâîëüíûé òðåóãîëüíèê, òî åãî áèññåêòðèñû, à ñòàëî áûòü, è öåíòð åãî âïèñàííîé îêðóæíîñòè ìîæíî
íàéòè, ïðèìåíèâ ïðàâèëî 3 êî âñåì ïàðàì åãî ñòîðîí.
Ñðåäèííûå ïåðïåíäèêóëÿðû è öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè ìîæíî íàéòè, ïðèìåíèâ ïðàâèëî 2 êî âñåì ïàðàì åãî
âåðøèí. Ïîñëå ýòîãî ìîæíî íàéòè ìåäèàíû è öåíòð òÿæåñòè, ïðèìåíèâ ïðàâèëî 1 ê êàæäîé âåðøèíå â ïàðå ñ óæå
íàéäåííîé âûøå ñåðåäèíîé ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû.
Âûñîòû è îðòîöåíòð ëåã÷å âñåãî íàéòè, ïðèìåíèâ ïðàâèëî 4 ê êàæäîé âåðøèíå â ïàðå ñ ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíîé.
Äàëåå ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî îðòîöåíòð, öåíòð òÿæåñòè è
öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè äåéñòâèòåëüíî ëåæàò íà îäíîé
ïðÿìîé, ïðèìåíèâ ïðàâèëî 1 ê ëþáîé ïàðå èç ýòèõ òî÷åê. Ýòà
ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé Ýéëåðà òðåóãîëüíèêà.
Êîíå÷íî, ñãèáàÿ ëèñòîê, íåâîçìîæíî ïîñòðîèòü îêðóæíîñòü, íî, îêàçûâàåòñÿ, âåðíî ñëåäóþùåå: ëþáóþ òî÷êó,
êîòîðóþ óäàåòñÿ ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè,
ìîæíî ïîñòðîèòü ñãèáàíèÿìè. ×òîáû äîêàçàòü ýòî, äîñòàòî÷íî ïðåäúÿâèòü ïîñòðîåíèå äâóõ òèïîâ òî÷åê:
1) Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòè ñ ïðÿìîé, åñëè ïðî
îêðóæíîñòü èçâåñòíî òîëüêî ìåñòîïîëîæåíèå öåíòðà è îäíà
òî÷êà íà íåé.
2) Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ îêðóæíîñòåé, åñëè ïðî êàæäóþ
îêðóæíîñòü èçâåñòíî òîëüêî ìåñòîïîëîæåíèå öåíòðà è îäíà
òî÷êà íà íåé.
Ïåðâîå ìîæíî ñäåëàòü, ïðèìåíèâ ïðàâèëî 5, âçÿâ çà À
öåíòð îêðóæíîñòè, çà  – òî÷êó íà îêðóæíîñòè, à çà ð –
äàííóþ ïðÿìóþ. Âòîðîå ñäåëàòü ñëîæíåå, êîðîòêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñãèáàíèé ìíå íàéòè íå óäàëîñü. Íî òàêóþ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîæíî ïîëó÷èòü, ïîêàçàâ, ÷òî ñ ïîìîùüþ ñãèáàíèé ìîæíî ïîñòðîèòü èíâåðñèþ òî÷êè îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè, åñëè ïðî îêðóæíîñòü èçâåñòíî òîëüêî
ìåñòîïîëîæåíèå öåíòðà è ïîëîæåíèå îäíîé òî÷êè íà íåé.
Ïîòîì, ïðèìåíèâ èíâåðñèþ, êîòîðàÿ ïåðåâîäèò îäíó èç
äâóõ äàííûõ îêðóæíîñòåé â ïðÿìóþ, ñâåñòè çàäà÷ó ê ïðåäûäóùåé.
Óïðàæíåíèå 5. Ïîñòðîéòå èíâåðñèþ òî÷êè îòíîñèòåëüíî
îêðóæíîñòè, çàäàííîé ìåñòîïîëîæåíèÿìè öåíòðà è îäíîé òî÷êè
íà íåé.
Òàêèì îáðàçîì, âñå ïîñòðîåíèÿ òî÷åê öèðêóëåì è ëèíåéêîé
ìîæíî îñóùåñòâèòü ñ ïîìîùüþ ñãèáàíèé. Îêàçûâàåòñÿ ïðè
ýòîì, ÷òî ñãèáàíèÿìè ìîæíî ïîñòðîèòü òî÷êè, êîòîðûå
íåâîçìîæíî ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè. Äëÿ
ïðèìåðà ïðèâåäåì äâå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå, êîòîðûå èçâåñòíû óæå áîëåå äâóõ òûñÿ÷ ëåò, íî òîëüêî â ïåðâîé ïîëîâèíå
!'
ÊÐÓÆÎÊ
XIX âåêà áûëà äîêàçàíà íåâîçìîæíîñòü ðåøåíèÿ êàæäîé èç
íèõ ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè.
Òðèñåêöèÿ óãëà
Çàäà÷à 1. Ðàçäåëèòå äàííûé óãîë íà òðè ðàâíûå ÷àñòè.
Âîò ðåøåíèå, ïðåäëîæåííîå Õèñàñè Àáý.
Ïóñòü óãîë çàäàí äâóìÿ ñêëàäêàìè ð è q, îáîçíà÷èì ÷åðåç
À âåðøèíó óãëà (ðèñ.9). Ñíà÷àëà ïðîâåäåì ïîäãîòîâèòåëüíîå ïîñòðîåíèå. Íàì íóæíî: 1) âîññòàâèòü ïåðïåíäèêóëÿð l
ê q ÷åðåç À (ïðàâèëî 4); 2) îòìåòèòü íà l ïðîèçâîëüíî òî÷êó
 è âîññòàâèòü ñðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð q¢ ê îòðåçêó ÀÂ
(ïðàâèëî 2).
Òåïåðü âñå ãîòîâî äëÿ
ãëàâíîé ñêëàäêè. Ñëîæèì ëèñò òàê, ÷òîáû À
ïîïàëà íà q¢ , à  – íà ð
(ïðàâèëî 6). Ïðè ýòîì
îáðàç A¢ âåðøèíû À
ëÿæåò íà ïåðâóþ òðèñåêòðèñó íàøåãî óãëà, à òî÷êà Ñ íà ïåðåñå÷åíèè q¢ ñ
íîâîé ñêëàäêîé áóäåò
ëåæàòü íà âòîðîé. Òàêèì
îáðàçîì, ëó÷è AA¢ è ÀÑ
áóäóò äåëèòü óãîë íà òðè
Ðèñ. 9
ðàâíûå ÷àñòè.
Äîêàæåì ýòî. Ïî ñâîéñòâàì âûïîëíåííûõ ñêëàäîê,
BC = AC = CA¢ = CB¢ , à òàêæå A¢B = AA¢ = AB¢ . Ïîýòîìó
ðàâíû òðåóãîëüíèêè AB¢C è ACA¢ , íî òîãäà ðàâíû è óãëû,
îòìå÷åííûå äóæêàìè íà ðèñóíêå 9.
Óäâîåíèå êóáà
Ìû íå áóäåì âäàâàòüñÿ â ëåãåíäàðíûå ïîäðîáíîñòè èñòîðèè ýòîé çàäà÷è. Íàïîìíèì ëèøü, ÷òî ðå÷ü èäåò î ïîñòðîåíèè
ðåáðà êóáà, îáúåì êîòîðîãî âäâîå áîëüøå îáúåìà äàííîãî
êóáà ñ ðåáðîì à, ò.å. îòðåçêà a 3 2 .
Çàäà÷à 2. Ïîñòðîéòå äâà îòðåçêà ñ îòíîøåíèåì äëèí
3
2.
Âîò ðåøåíèå, êîòîðîå
ïðåäëîæèë Ïåòåð Ìåññåð.
Ñíà÷àëà ïîñòðîèì êâàäðàò ABCD (ðèñ.10), ðàçäåëåííûé íà 3 ðàâíûå ÷àñòè
ñêëàäêàìè ð è q, ïàðàëëåëüíûìè ñòîðîíå ÀÂ (ñì.
óïðàæíåíèÿ 3 è 4). Òåïåðü
ñëîæèì ëèñò òàê, ÷òîáû
òî÷êà  ïîïàëà â òî÷êó B¢
íà ñòîðîíå ÀD, à òî÷êà Õ –
â òî÷êó X¢ íà îòðåçêå EF.
Âîçìîæíîñòü îñóùåñòâèòü
òàêóþ ñêëàäêó ïðåäóñìîòðåíà ïðàâèëîì 6. Òîãäà
Ðèñ. 10
DB¢ 3
= 2.
B¢ A
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ÐB¢BA = α , à ÂÕ = 1. Òîãäà (ïîπ
π
ñêîëüêó ÐAB¢B = - α = ÐGB¢B = - α ) ÐEB¢X ¢ = 2α .
2
2
Òàê êàê q P p , à X ¢X P B¢B , òî ÐXX ¢F = α .Ïîýòîìó
EX ¢ = sin 2α , FX ¢ = ctg α . Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî
sin 2α + ctg α = EF = 3 .
Ïîëîæèì t = ctg α . Òîãäà sin 2α =
2t
, è ìû ïîëó÷àåì
1 + t2
"
ÊÂÀÍT 2008/¹1
óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî t:
2t
+t = 3,
1 + t2
3
îòêóäà t 3 - 3t 2 + 3t - 3 = 0 , ( t - 1) = 2 , t = 3 2 + 1 . Äàëåå,
AB¢ = 3tg α , DB¢ = 3 - 3tg α , è
DB¢ 3 - 3tg α
=
= ctg α - 1 = 3 2 .
3tg α
AB¢
Íà ýòîì ñïèñîê «íåâîçìîæíûõ ïîñòðîåíèé» íå êîí÷àåòñÿ.
Ïðè ïîìîùè ñêëàäûâàíèé ìîæíî òàêæå ïîñòðîèòü íåêîòîðûå äðóãèå îáúåêòû, êîòîðûå íå ïîääàþòñÿ ïîñòðîåíèþ
öèðêóëåì è ëèíåéêîé. Íàïðèìåð, ïðàâèëüíûé ñåìèóãîëüíèê.
 ÷åì æå ïðè÷èíà? Êàêîå èç îïèñàííûõ ïðàâèë äîáàâëÿåò
íîâûå âîçìîæíîñòè? ×òîáû ýòî ïîíÿòü, äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü ñêëàäêó â êàæäîì èç ïðàâèë 1—7 ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è
ëèíåéêè. Ðåøèâ óïðàæíåíèå 1, âû óâèäèòå, ÷òî äîâîëüíî
ëåãêî ïîñòðîèòü âñå ïðÿìûå ñêëàäîê â ïðàâèëàõ 1—5 è 7.
Ñòàëî áûòü, äîïîëíèòåëüíûå âîçìîæíîñòè ñêðûòû â ïðàâèëå íîìåð 6. Íå óäèâèòåëüíî, ÷òî îñíîâíîé øàã â ïîñòðîåíèÿõ
òðèñåêöèè óãëà è óäâîåíèè êóáà áûë ñäåëàí ñ ïðèìåíåíèåì
èìåííî ýòîãî ïðàâèëà.
Ïðè÷èíà, îêàçûâàåòñÿ, â ñëåäóþùåì: ÷òîáû íàéòè ïðÿìóþ
ñãèáà â ïðàâèëå 6, òðåáóåòñÿ ðåøèòü óðàâíåíèå òðåòüåé
ñòåïåíè, òîãäà êàê â êàæäîì èç ïîñòðîåíèé ñ ïîìîùüþ
öèðêóëÿ è ëèíåéêè ðåøàþòñÿ óðàâíåíèÿ òîëüêî 1 è 2
ñòåïåíåé. Ëþáèòåëÿì ãåîìåòðèè ìû ðåêîìåíäóåì óáåäèòüñÿ
â ýòîì.
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Ýòà
«ïðîñòåíüêàÿ»
êèíåìàòèêà
Â.ÒÐÎßÍÎÂÑÊÈÉ
Â
ÑÀÌÎÌ ÄÅËÅ, ÅÑËÈ ÏÎÆÅÐÒÂÎÂÀÒÜ ÎÁÑÓÆÄÅÍÈÅÌ
íåîáõîäèìûõ ïåðâîíà÷àëüíûõ ïîíÿòèé è ðåçóëüòàòîâ, òî
â êèíåìàòèêå âñå ÿñíî è ïîíÿòíî: ñêîðîñòü v, âðåìÿ äâèæåíèÿ t è ïðîéäåííûé ïóòü s ñâÿçàíû èçâåñòíûì ñîîòíîøåíèåì
v = s/t. Íàñêîëüêî âñå ïðîñòî, âû ñìîæåòå îöåíèòü, ðåøèâ
äëÿ ðàçìèíêè òàêóþ çàäà÷ó.
Çàäà÷à 1. Êîëüöî ðàäèóñîì R ñîñòîèò èç äâóõ ïîëîâèíîê,
â êîòîðûõ ñêîðîñòè çâóêà v1 è v2 ( v2 < v1 , äëÿ îïðåäåëåííîñòè). Ïî îäíîìó èç ñòûêîâ ïîëîâèíîê êîëüöà óäàðèëè
ìîëîòî÷êîì. Íàéäèòå âðåìÿ Ò îò ìîìåíòà óäàðà äî
ìîìåíòà âñòðå÷è çâóêîâûõ âîëí.
Ïðåæäå ÷åì ÷èòàòü ïðåäëàãàåìîå ðåøåíèå, ïîïûòàéòåñü
ðåøèòü çàäà÷ó ñàìîñòîÿòåëüíî.  ÷àñòíîñòè, ïîäóìàéòå,
ïî÷åìó ñêîðîñòü çâóêà â ðàçíûõ âåùåñòâàõ ðàçíàÿ, ÷òî áóäåò
ñ «áûñòðîé» âîëíîé ïîñëå òîãî, êàê îíà ïåðåñå÷åò ãðàíèöó
ïîëîâèíîê ïîëóêîëåö, ãäå (ïðèìåðíî) ïðîèçîéäåò âñòðå÷à
çâóêîâûõ âîëí.  ñëó÷àå óñïåøíîãî ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è âñå-òàêè âçãëÿíèòå íà ïðåäëàãàåìîå ðåøåíèå.
Âîçìîæíî, îáñóæäåíèå íåêîòîðûõ âîïðîñîâ âàì ïðèãîäèòñÿ
â áóäóùåì.
Ðåøåíèå. ßñíî, ÷òî âñòðå÷à âîëí ïðîèçîéäåò ãäå-òî íà òîé
èç ïîëîâèíîê êîëüöà, â êîòîðîé ñêîðîñòü çâóêà ìåíüøå. Ïðè
ïåðåõîäå âîëíû èç îäíîé ñðåäû â äðóãóþ äîëæíà èçìåíèòüñÿ
ñêîðîñòü âîëíû, â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâàìè íîâîé ñðåäû
(ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû â ñðåäå – ýòî ñêîðîñòü
ðàñïðîñòðàíåíèÿ óïðóãèõ äåôîðìàöèé).
Äëÿ çàïèñè óðàâíåíèé íàäî, ïðåæäå âñåãî, ââåñòè îáîçíà÷åíèÿ. Âîñïîëüçóåìñÿ ðèñóíêîì 1. Êðîìå ñêîðîñòåé íà íåì
ïîêàçàíû âðåìÿ äâèæåíèÿ t «áûñòðîé» âîëíû îò òî÷êè
ñòàðòà äî ñåðåäèíû êîëüöà (äî ãðàíèöû ðàçäåëà ñðåä ñ
ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè
âîëí), âðåìÿ äâèæåíèÿ Ò
«ìåäëåííîé » âîëíû äî
âñòðå÷è âîëí (ò.å. èñêîìîå âðåìÿ) è âðåìÿ äâèæåíèÿ T – t áûâøåé «áûñòðîé» âîëíû â äðóãîé
ñðåäå, êóäà ïîïàäàåò âîëíà ïîñëå ïåðåñå÷åíèÿ ãðàíèöû ñðåä.
Íåðåäêî çàäà÷ó óäàåòñÿ íà÷àòü ðåøàòü, äåëàÿ
íå òî, ÷òî íóæíî, à òî,
Ðèñ. 1
÷òî âèäíî ñðàçó. Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì ñïîñîáîì ðåøåíèÿ. Ëåãêî íàéòè ïóòü «áûñòðîé» âîëíû îò òî÷êè ñòàðòà äî ñåðåäèíû êîëüöà: äëèíà
ïîëóêîëüöà ðàâíà πR . Ïðîñòî íàõîäèòñÿ è âðåìÿ t, çàòðà÷åííîå íà ïðîõîæäåíèå ýòîãî ïóòè: t = πR v1 . Äëÿ òîãî
÷òîáû ïðèáëèçèòüñÿ ê îòâåòó íà âîïðîñ çàäà÷è, íàäî õîòÿ
áû «âñòàâèòü» èñêîìóþ âåëè÷èíó â êàêîå-íèáóäü óðàâíåíèå. Ìîæíî, íàïðèìåð, çàïèñàòü âåëè÷èíó ïóòè äâóõ
âîëí â ïðàâîì ïîëóêîëüöå, âûðàçèâ åå ÷åðåç ñêîðîñòè è
âðåìåíà äâèæåíèé êàæäîé èç âîëí («ìåäëåííîé» è áûâøåé «áûñòðîé»): πR = v2T + v2 ( T - t ) . Â èòîãå èìååì ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè:
πR
, πR = v2T + v2 ( T - t ) .
t=
v1
Íå ñîìíåâàþñü, ÷òî âû áûñòðåíüêî ðåøèòå ýòó ñèñòåìó è
ïîëó÷èòå êàêîé-íèáóäü îäèí èç ïðèâåäåííûõ îòâåòîâ èëè èì
ïîäîáíûé îòâåò:
π R(v2 - v1)
π R(v1 + v2 )
; á) T =
;
à) T =
v1v2
2v1
â) T =
πR ( v1 - v2 )
4v1v2
; ã) T =
πR ( v1 + v2 )
v1v2
.
Íà ýêçàìåíå îòâåòîâ äëÿ ñàìîïðîâåðêè îáû÷íî íå äàþò,
ïîýòîìó íàäî óæå ïðè ïîäãîòîâêå ê ýêçàìåíó íàó÷èòüñÿ
ïðîâåðÿòü ñåáÿ õîòÿ áû êîñâåííî.
Êîíå÷íî, âû çíàåòå î òîì, ÷òî ïðåæäå âñåãî îòâåò äîëæåí
áûòü âåðåí ïî ðàçìåðíîñòè. Íà÷èíàåì ïðîâåðÿòü îòâåòû
òàêèì îáðàçîì è â ïåðâîì æå èç íèõ (à) íàõîäèì:
ì×ì ñ
c=
= ì,
ìñ
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
÷åãî íå ìîæåò áûòü. Âåðíàÿ ðàçìåðíîñòü íå ãàðàíòèðóåò
ïðàâèëüíîñòü îòâåòà, à âîò íåâåðíàÿ ðàçìåðíîñòü ãàðàíòèðóåò íåïðàâèëüíîñòü îòâåòà. Òàê ÷òî ïåðâûé èç îòâåòîâ çàâåäîìî íåâåðåí.
Äóìàþ, äëÿ âàñ íå ñîñòàâèò òðóäà ïðîâåðèòü îñòàëüíûå
îòâåòû è óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî îíè ïî ðàçìåðíîñòè âåðíû.
Îäíàêî íèêàêèõ ãàðàíòèé âåðíîñòè îòâåòà âû åùå íå ïîëó÷èëè. Âîçüìåì, íàïðèìåð, âòîðîé îòâåò (á). Õîòÿ îí âåðåí ïî
ðàçìåðíîñòè, íî ïðè v2 < v1 ïîëó÷àåòñÿ îòðèöàòåëüíîå âðåìÿ, ÷åãî áûòü íå äîëæíî. È, ïîæàëóéñòà, íå íàäî âûïèñûâàòü ïîäîáíûé îòâåò ïî ìîäóëþ, òàê êàê ìîäóëü ñóùåñòâóåò
íå äëÿ òîãî, ÷òîáû ñúåäàòü íåæåëàòåëüíûé ìèíóñ è îáëàãîðàæèâàòü êîå-÷òî íåáëàãîðîäíîå. Òàê ÷òî è âòîðîé îòâåò
íåâåðåí.
Òðåòèé îòâåò «ïðîõîäèò» ïî ðàçìåðíîñòè è ïî çíàêó, íî
âñå-òàêè âûçûâàåò ñîìíåíèÿ: ïðè ðàâåíñòâå ñêîðîñòåé âðåìÿ
äî âñòðå÷è îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì íóëþ. ßñíî, ÷òî ýòîãî áûòü
íå ìîæåò – âîëíû ìãíîâåííî âñòðåòèòüñÿ íå ñìîãóò. Óâû, è
òðåòèé îòâåò íåâåðåí, ïîñêîëüêó îí íåâåðåí â ïðîâåðÿåìîì
÷àñòíîì ñëó÷àå. Òàêàÿ ïðîâåðêà – äëÿ êàêîãî-ëèáî èçâåñòíîãî ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ – òàêæå äîëæíà áûòü â âàøåì àðñåíàëå.
Íàêîíåö, ÷åòâåðòûé îòâåò âåðåí ïî ðàçìåðíîñòè, ïîëîæèòåëåí è ïðè ðàâåíñòâå ñêîðîñòåé äàåò âïîëíå ðàçóìíûé îòâåò:
2πR v . À íàñêîëüêî âåðåí ýòîò îòâåò? Êàê ëåãêî ïîíÿòü, ïðè
ðàâåíñòâå ñêîðîñòåé âîëíû äîëæíû âñòðåòèòüñÿ ó ïðîòèâîïîëîæíîãî ñòûêà è êàæäàÿ èç íèõ ïðîéäåò äî âñòðå÷è ïóòü
πR ñî ñêîðîñòüþ v. Òàêîå äâèæåíèå òðåáóåò âðåìÿ πR v ,
÷òî âäâîå ìåíüøå ïîëó÷èâøåãîñÿ. Çíà÷èò, è ÷åòâåðòûé îòâåò
íåâåðåí (îí íå äàåò â ÷àñòíîì ñëó÷àå òî, ÷òî äîëæíî áûòü â
ýòîì ñëó÷àå î÷åâèäíî).
Ðàññìîòðèì åùå îäèí îòâåò:
T=
πR v1 + v2 2v1v2
.
Ýòîò îòâåò âåðåí ïî ðàçìåðíîñòè, ïîëîæèòåëåí, â ÷àñòíîì
ñëó÷àå ðàâåíñòâà ñêîðîñòåé äàåò ïðàâèëüíûé ðåçóëüòàò.
Áîëåå òîãî, ìû ìîæåì ñäåëàòü åùå îäíó ïðîâåðêó: äëÿ
ïðåäåëüíîãî ñëó÷àÿ. Ïðåäñòàâüòå, ÷òî ñêîðîñòü v1 î÷åíü
âåëèêà. Òîãäà ëåâîå ïîëóêîëüöî âîëíà ïðîñêàêèâàåò ìãíîâåííî, âðåìåíåì t ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, à âðåìÿ äî âñòðå÷è
äîëæíî ðàâíÿòüñÿ πR ( 2v2 ) . Ïîëó÷èòñÿ ëè òàêîé ðåçóëüòàò
èç ïîñëåäíåãî îòâåòà? Ïðîâåðèì. Ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèñõîäèò, êîãäà v1 ñòàíîâèòüñÿ ìíîãî áîëüøå v2 (ò.å. v1 ? v2 ):
T=
πR ( v1 + v2 ) πR (1 + ( v2 v1 ) ) πR
,
=
»
2v1v2
2v2
2v2
êàê è äîëæíî áûòü.
Âûâîä, êîòîðûé íàïðàøèâàåòñÿ ïîñëå âñåõ ïðîâåðîê,
ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñòü îñíîâàíèÿ
íàäåÿòüñÿ íà òî, ÷òî ïîñëåäíèé èç îòâåòîâ ÿâëÿåòñÿ âåðíûì.
Çàêîí÷èâ ðàçìèíêó, ïåðåéäåì ê îñíîâíîé ÷àñòè òðåíèðîâêè. Ðàññìîòðèì âàæíûé âîïðîñ – ïðàâèëî ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé è ñâÿçàííûé ñ íèì ðåçóëüòàòèâíûé ñïîñîá ðåøåíèÿ
äîñòàòî÷íî ñëîæíûõ çàäà÷.
Íà÷íåì ñ ïðèìåðà, êîòîðûé èëëþñòðèðóåò ðèñóíîê 2. Íà
ðèñóíêå óêàçàíû ñêîðîñòè òðåõ òåë – äåâóøêè, þíîøè è
âàãîíà. Êàê âû äóìàåòå, îòíîñèòåëüíî êàêèõ ñèñòåì îòñ÷åòà
óêàçàíà êàæäàÿ èç ñêîðîñòåé? Ìîæåòå ëè âû íàéòè ñêî-
Ðèñ. 2
"
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
ðîñòü êàæäîãî èç òåë îòíîñèòåëüíî çåìëè? Ïðàâèëüíûå
îòâåòû íà çàäàííûå âîïðîñû î÷åâèäíû. Ñêîðîñòè ëþäåé
çàäàíû îòíîñèòåëüíî âàãîíà, ñêîðîñòü âàãîíà óêàçàíà îòíîñèòåëüíî çåìëè. Ñêîðîñòü äåâóøêè îòíîñèòåëüíî çåìëè
ðàâíà 65 êì/÷, ñêîðîñòü þíîøè ñîñòàâëÿåò 50 êì/÷.
Ýòîò ïðèìåð – íàïîìèíàíèå î òîì, ÷òî ñêîðîñòè (âåêòîðíûå âåëè÷èíû) ñêëàäûâàþòñÿ ïî ïðàâèëó ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ (ïî ïàðàëëåëîãðàììó
èëè òðåóãîëüíèêó). Â îáùåì âèäå ðåçóëüòàò ìîæíî
ôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì
îáðàçîì. Ïóñòü åñòü íåïîäâèæíàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà,
ïðåäñòàâëåííàÿ íà ðèñóíêå 3 ñèñòåìîé êîîðäèíàò
áåç øòðèõîâ, è ïîäâèæíàÿ
Ðèñ. 3
ñèñòåìà, ïîìå÷åííàÿ øòðèõàìè, ñêîðîñòü òåëà â ïîäâèæíîé ñèñòåìå v¢ , ñêîðîñòü
òåëà â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå v, ñêîðîñòü ïîäâèæíîé ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé u. Ïðàâèëî ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé è åãî ñëåäñòâèå – ôîðìóëà äëÿ ðàñ÷åòà ñêîðîñòè
òåëà â ïîäâèæíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà – òàêîâû:
r r r
r
r r
v = u + v¢, v¢ = v - u .
Çàäà÷à 2. Ýëåêòðè÷êà åäåò ïðÿìîëèíåéíî ñî ñêîðîñòüþ
0,4 ì/ñ îòíîñèòåëüíî çåìëè. ×åëîâåê èäåò ïîïåðåê âàãîíà
ñî ñêîðîñòüþ 0,3 ì/ñ îòíîñèòåëüíî âàãîíà. Íàéäèòå ñêîðîñòü ÷åëîâåêà îòíîñèòåëüíî çåìëè.
Ðåøåíèå. Çàäà÷à, êîíå÷íî, «ìå÷òà äâîå÷íèêà», íî è â íåé
åñòü ïîäâîäíûé êàìåíü.
Ðàññìîòðèì ðèñóíîê 4 (âèä âàãîíà ñâåðõó). Íà ýòîì
ðèñóíêå âèäíî, ÷òî èñêîìàÿ ñêîðîñòü ÿâëÿåòñÿ ãèïîòåíóçîé
òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè, îäèí èç êîòîðûõ ýòî ñêîðîñòü
÷åëîâåêà îòíîñèòåëüíî ïîåçäà v÷ï = v÷ = 0,3 ì ñ (ýòà
ñêîðîñòü èãðàåò ðîëü
ñêîðîñòè òåëà v¢ îòíîñèòåëüíî ïîäâèæíîé
ñèñòåìû îòñ÷åòà), âòîðîé – ñêîðîñòü ïîåçäà
îòíîñèòåëüíî çåìëè
vïç = vï = 0,4 ì ñ (ýòà Ðèñ. 4
ñêîðîñòü èãðàåò ðîëü ñêîðîñòè u ïîäâèæíîé ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû). Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà
ñêîðîñòè ÷åëîâåêà îòíîñèòåëüíî çåìëè ðàâíà v÷ç = 0,5 ì ñ
(îíà èãðàåò ðîëü ñêîðîñòè òåëà îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé
ñèñòåìû v).
Îáû÷íî àáèòóðèåíòû îãðàíè÷èâàþòñÿ íàõîæäåíèåì âåëè÷èíû ñêîðîñòè, â äàííîì ñëó÷àå v÷ç . Íî ñêîðîñòü – âåêòîð,
è íàäî îõàðàêòåðèçîâàòü íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè. Êàê ïðàâèëî, äîñòàòî÷íî íàéòè êàêóþ-ëèáî òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ôóíêöèþ îäíîãî èç óäîáíûõ óãëîâ.  ýòîé çàäà÷å ìîæíî íàéòè
òàíãåíñ óãëà ìåæäó èñêîìîé ñêîðîñòüþ è ñêîðîñòüþ ïîåçäà:
v÷
= 0,75 .
vï
Âîò íà ýòîò ïîäâîäíûé êàìåíü (íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè) è íå
íàäî íàëåòàòü. Ïðè÷åì, äàæå åñëè â óñëîâèè çàäà÷è íè÷åãî
íå ãîâîðèòñÿ î íàõîæäåíèè íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè (è â îòâåòå
íåò ýòîãî), âàì âñå ðàâíî íàäî íàéòè ýòó õàðàêòåðèñòèêó
âåêòîðíîé âåëè÷èíû, òàê êàê èíà÷å âû, êàê ìèíèìóì,
îñòàâëÿåòå îñíîâàíèå äëÿ ïðèäèðêè.
tg β =
Òåïåðü ðàññìîòðèì âàæíóþ çàäà÷ó, èäåÿ ðåøåíèÿ êîòîðîé
(êàê è ðåçóëüòàò ðåøåíèÿ) èñïîëüçóåòñÿ äîñòàòî÷íî ÷àñòî.
Çàäà÷à 3. Ìÿ÷ ëåòèò ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ vì
è íàëåòàåò ïî íîðìàëè íà ìàññèâíóþ ñòåíêó, êîòîðàÿ
"
ÊÂÀÍT 2008/¹1
äâèæåòñÿ åìó íàâñòðå÷ó ñî ñêîðîñòüþ vñ . Íàéäèòå ñêîðîñòü ìÿ÷à ïîñëå îòñêîêà, åñëè íèêàêèõ ïîòåðü íåò.
(Òðàåêòîðèÿ ìÿ÷à â ýòîé çàäà÷å ñ÷èòàåòñÿ âñå âðåìÿ
ïðÿìîëèíåéíîé.)
Ðåøåíèå. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî âñòðå÷àþùååñÿ â
óñëîâèè çàäà÷è ïîíÿòèå «íîðìàëü» îçíà÷àåò ïåðïåíäèêóëÿð
ê ïëîñêîñòè â äàííîé òî÷êå èëè ïåðïåíäèêóëÿð ê êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè â äàííîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè.  ýòîé çàäà÷å
ñêàçàíî, ÷òî ñòåíà – ìàññèâíàÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åå ñêîðîñòü
ïðè ñîóäàðåíèè ïðàêòè÷åñêè íå ìåíÿåòñÿ. Äàëåå. Íà ïåðâûé
âçãëÿä, èç-çà âñòðå÷íîãî äâèæåíèÿ òåë ðåçóëüòèðóþùàÿ
ñêîðîñòü ìÿ÷à äîëæíà áûòü ðàâíà ñóììå ñêîðîñòåé, íî ýòî,
êàê ìû ñåé÷àñ óáåäèìñÿ, íå òàê. Ïðè÷åì ýòî íå ñâÿçàíî ñ
ïîòåðÿìè (èõ, ïî óñëîâèþ, è íåò).
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íóæíû èäåè. Âû ìîæåòå îñòàíîâèòüñÿ
è ïîäóìàòü, ïðåæäå ÷åì ÷èòàòü äàëüøå.
Ïåðâàÿ èäåÿ ïðîñòà: öåëåñîîáðàçíî ïåðåéòè â äâèæóùóþñÿ
ñèñòåìó êîîðäèíàò. Ìû íåîäíîêðàòíî áóäåì ïîñòóïàòü òàêèì îáðàçîì, ýòîò ïðèåì äëÿ âàñ äîëæåí ñòàòü ñòàíäàðòíûì.
Âòîðàÿ èäåÿ, êîòîðàÿ îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíîé â äàííîé çàäà÷å
è áëàãîäàðÿ êîòîðîé óäîáíî ïåðåéòè â ïîäâèæíóþ ñèñòåìó
êîîðäèíàò, ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïðåäñòàâüòå ñåáå, ÷òî
ñòåíà íåïîäâèæíà.  ýòîì ñëó÷àå ñêîðîñòü ìÿ÷à îòíîñèòåëüíî ñòåíû äî è ïîñëå óäàðà ïî âåëè÷èíå îäíà è òà æå (âåêòîðû
ñêîðîñòåé äî è ïîñëå óäàðà îòëè÷àþòñÿ ëèøü çíàêîì). Â
îòñóòñòâèå ïîòåðü íå ìåíÿåòñÿ ïî âåëè÷èíå ñêîðîñòü ìÿ÷à è
îòíîñèòåëüíî äâèæóùåéñÿ ñòåíû. Òåïåðü íàäî âûáðàòü óäîáíóþ ïîäâèæíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Ñâÿçûâàòü åå ñ ìÿ÷îì íå
ñòîèò, òàê êàê ìÿ÷ ìåíÿåò íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ, à âîò ñâÿçàòü åå ñî ñòåíîé, êîòîðàÿ íå
ìåíÿåò íè íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ, íè âåëè÷èíû ñêîðîñòè,
óäîáíî.
Ðàññìîòðèì ðèñóíîê 5 è âîñïîëüçóåìñÿ äâóìÿ óêàçàííûìè èäåÿìè, à òàêæå ïðàâèëîì
ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé è ñëåäñòâèåì èç íåãî. Íàéäåì ñêîÐèñ. 5
ðîñòü ìÿ÷à îòíîñèòåëüíî ñòåíû (ò.å. ñêîðîñòü â ïîäâèæíîé ñèñòåìå) äî óäàðà (íà÷àëüíóþ
ñêîðîñòü):
èñêîìûé îòâåò:
vìê = 0 + 2vô = 2vô .
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîóïðàæíÿòüñÿ â ðåøåíèè çàäà÷ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïåðåõîäà â ïîäâèæíóþ ñèñòåìó, ìîæåòå íàéòè
ñòàðòîâóþ ñêîðîñòü ìÿ÷à «÷åñòíî», íå èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàò
ðåøåíèÿ ïðåäûäóùåé çàäà÷è.
Êîíå÷íî, èäåÿ ïåðåõîäà â ïîäâèæíóþ ñèñòåìó îòñ÷åòà
ïðèìåíèìà íå òîëüêî ïðè äâèæåíèè òåë âäîëü îäíîé ïðÿìîé,
íî è â áîëåå ñëîæíûõ ñëó÷àÿõ.
Çàäà÷à 5. Òî÷êà 1 äâèæåòñÿ âäîëü îñè 0õ ê íà÷àëó
êîîðäèíàò èç ïîëîæåíèÿ xí = 10 ñì ñî ñêîðîñòüþ v1 =
= 2 ñì/ñ . Òî÷êà 2 äâèæåòñÿ âäîëü îñè 0ó ê íà÷àëó
êîîðäèíàò èç ïîëîæåíèÿ yí = 5 ñì ñî ñêîðîñòüþ v2 =
= 4 ñì/ñ. Âñòðåòÿòñÿ ëè òî÷êè? Åñëè íåò, òî êàêîâî
ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè?
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì äâà ñïîñîáà ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è.
Ïåðâûé ñïîñîá. Êàæäàÿ èç òî÷åê äâèæåòñÿ ñòðîãî ïî
ñâîåé îñè, ïîýòîìó âñòðåòèòüñÿ îíè ìîãóò òîëüêî â íà÷àëå
êîîðäèíàò. «Âñòðåòèòüñÿ» â äàííîì ñëó÷àå ôîðìàëüíî îçíà÷àåò îäíîâðåìåííîå ïîïàäàíèå òî÷åê â íà÷àëî êîîðäèíàò.
Íàéäåì âðåìÿ äâèæåíèÿ êàæäîé èç òî÷åê. Äëÿ ýòîãî íàì
íàäî çàïèñàòü èçìåíåíèå âî âðåìåíè òåêóùåé êîîðäèíàòû êàæäîé èç òî÷åê, à çàòåì ïðèðàâíÿòü ýòî çíà÷åíèå íóëþ, òàê êàê
â èíòåðåñóþùèé íàñ ìîìåíò òî÷êè ïîïàäàþò â íà÷àëî êîîðäèíàò.
Êîîðäèíàòà ïåðâîé òî÷êè
(ðèñ.6) ðàâíîìåðíî óáûâàåò âî
âðåìåíè îò xí äî íóëÿ, ïîýòîìó
ìîæíî çàïèñàòü x = xí - v1t .
Èñïîëüçóÿ óñëîâèå õ = 0, íàé- Ðèñ. 6
äåì t1 = 5 c . Àíàëîãè÷íî, èç óðàâíåíèÿ y = yí - v2t è óñëîâèÿ y = 0 ïîëó÷àåì t2 = 1,25 c . Èòàê, òî÷êè äâèæóòñÿ äî
íà÷àëà êîîðäèíàò ðàçíîå âðåìÿ è âñòðåòèòüñÿ íå ìîãóò.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ìèíèìàëüíîãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè çàïèøåì çíà÷åíèå ýòîãî ðàññòîÿíèÿ â îáùåì âèäå (ðàññòîÿíèå s ìåæäó òî÷êàìè ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 6 ïóíêòèðîì):
vìí
¢ = + ( -vì ) - ( +vc ) .
 ýòîé ôîðìóëå çíàêè â ñêîáêàõ ñâÿçàíû ñ îðèåíòàöèåé
âåêòîðîâ îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò,
çíàêè ïåðåä ñêîáêàìè – ýòî çíàêè, ñòîÿùèå â èñïîëüçóåìîé
ôîðìóëå ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé. Äàëåå íàéäåì ñêîðîñòü ìÿ÷à
îòíîñèòåëüíî ñòåíû ïîñëå óäàðà (êîíå÷íóþ ñêîðîñòü):
vìê
¢ = -vìí
¢ = vì + vc .
Íàêîíåö, ïî ïðàâèëó ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé ïîëó÷èì èñêîìûé
ðåçóëüòàò, ò.å. êîíå÷íóþ ñêîðîñòü ìÿ÷à â íåïîäâèæíîé
ñèñòåìå îòñ÷åòà:
vìê = vc + ( vì + vc ) = vì + 2vc .
Èñïîëüçóåì ðàññìîòðåííûå èäåè íà ïðèìåðå åùå îäíîé
çàäà÷è.
Çàäà÷à 4. Ôóòáîëèñò óäàðèë ïî ïîêîèâøåìóñÿ ìÿ÷ó.
Ñêîðîñòü íîãè âî âðåìÿ óäàðà ïðàêòè÷åñêè ïîñòîÿííà
è ðàâíà vô . Íàéäèòå âåëè÷èíó ñòàðòîâîé ñêîðîñòè ìÿ÷à.
Ðåøåíèå. Íàäåþñü, âû óçíàëè â ýòîé çàäà÷å òîëüêî ÷òî
ðåøåííóþ çàäà÷ó 3 ñ íóëåâîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ ìÿ÷à è
ñêîðîñòüþ íîãè ôóòáîëèñòà â êà÷åñòâå ñêîðîñòè ñòåíû.
Ïîëüçóÿñü ïîëó÷åííûì ðàíåå ðåçóëüòàòîì, ñðàçó ïèøåì
x 2 + y2 =
s=
( xí - v1t) 2 + ( yí - v2t) 2
.
Ìèíèìóì ýòîãî âûðàæåíèÿ ìîæíî íàéòè, èñïîëüçóÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå, íî ìîæíî è ýëåìåíòàðíûì ñïîñîáîì, êàê ìû
è ñäåëàåì. Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå äëÿ ðàññòîÿíèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
s=
(x
2
í
)
(
)
+ yí2 - 2t ( v1xí + v2 yí ) + v12 + v22 t 2 =
2
2
= v1 + v2
xí2 + yí2
v x + v2 yí
- 2t 1 í2
+ t2 .
v12 + v22
v1 + v22
Ïîä êîðíåì ïðèáàâèì è âû÷òåì îäíó è òó æå âåëè÷èíó
æ v x + v2 yí ö
A = ç 1 í2
÷
è v1 + v22 ø
2
è âûäåëèì ïîëíûé êâàäðàò ðàçíîñòè
äâóõ âåëè÷èí (âðåìåíè è âñïîìîãàòåëüíîé âåëè÷èíû À):
s = v12 + v22
xí2 + yí2
v x + v2 yí
- A + A - 2t 1 í2
+ t2 =
v12 + v22
v1 + v22
2
2
æ
æ v x + v2 yí ö
v x + v2 yí ö
x2 + yí2
= v12 + v22 ç t - 1 í2
- ç 1 í2
+ í2
.
÷
÷
2
2
v1 + v2 ø
v1 + v22
è
è v1 + v2 ø
"!
Ê ÏÎÐËÀËÊÅÒÊÈÖÊÈÓßÌ Ã À
ÎÁ
ËÈ
Î ÒÂÓÎÐËÈÎÅÌÍÎÒ Ê
À
Ïåðâàÿ èç ñêîáîê ïîä áîëüøèì êîðíåì – íåîòðèöàòåëüíîå
âûðàæåíèå, âñå îñòàëüíîå – ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû, ïîýòîìó
ìèíèìóì ðàññòîÿíèÿ äîñòèãàåòñÿ â òîò ìîìåíò, êîãäà èìååò
ìåñòî ðàâåíñòâî
t-
v x + v2 yí
v1xí + v2 yí
.
= 0 , ò.å. t = 1 í2
v1 + v22
v12 + v22
Ïî ýòîìó âðåìåíè ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî íàéòè ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè. Íî ïðîùå çàìåòèòü, ÷òî äëÿ íàéäåííîãî ìîìåíòà ïîñëåäíåå ïðîèçâåäåíèå
êîðíåé äàåò
s=
v y - v2 xí
v12 yí2 - 2v1v2 xí yí + v22 xí2
= 1 í
» 6,7 ñì .
v12 + v22
v12 + v22
Îáðàòèòå âíèìàíèå íà ñëåäóþùåå îáñòîÿòåëüñòâî. Íàéäåííîå ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè ðàâíî íóëþ
òîëüêî òîãäà, êîãäà v1yí - v2 xí = 0 .  óñëîâèÿõ çàäà÷è ýòî íå
òàê, çíà÷èò, òî÷êè íå âñòðåòÿòñÿ (îòâåò íà ïåðâûé âîïðîñ
çàäà÷è ìîæíî áûëî áû ïîëó÷èòü è òàêèì îáðàçîì).
Âòîðîé ñïîñîá. Âûáåðåì â êà÷åñòâå íåïîäâèæíîé ñèñòåìû
îòñ÷åòà çàäàííóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò õ0ó, à â êà÷åñòâå
ïîäâèæíîé ñèñòåìû X0Y –
ñèñòåìó, ñâÿçàííóþ ñ ïåðâûì
òåëîì, êîòîðîå äâèãàåòñÿ âäîëü
îñè 0õ.  ýòîé ñèñòåìå íà÷àëî
êîîðäèíàò ñîâìåñòèì ñ ïåðâûì òåëîì, îñü 0Õ ïîäâèæíîé
ñèñòåìû íàïðàâèì ïî ñêîðîñòè ïåðâîãî òåëà, ò.å. íàâñòðå÷ó îñè 0õ, îñü 0Y ïîäâèæíîé
ñèñòåìû íàïðàâèì ïî îñè 0ó
íåïîäâèæíîé ñèñòåìû (ðèñ.7).
Ïåðåéäåì â ñèñòåìó îòñ÷åòà,
ñâÿçàííóþ ñ ïåðâûì òåëîì. Â
ýòîé ñèñòåìå ïåðâîå òåëî ïîÐèñ. 7
êîèòñÿ, à âòîðîå òåëî ïðèáëèæàåòñÿ ê íåìó ñî ñêîðîñòÿìè v1 è v2 . Èñêîìîå ìèíèìàëüíîå
ðàññòîÿíèå s – ýòî ðàññòîÿíèå îò ïåðâîãî òåëà äî òî÷êè À. Êàê
ìîæíî óâèäåòü íà ðèñóíêå,
v2
v
s
.
l=
, L = yí tg α, tg α = 1 , cos α =
cos α
v2
v12 + v22
Ñîáèðàåì âñå è íàõîäèì
s=
xív2 - yív1
v12 + v22
,
êàê è â ïðåäûäóùåì ñïîñîáå ðåøåíèÿ. Ïîëó÷àþùåéñÿ çíàê
ïîçâîëÿåò óâèäåòü «ïåðåä» èëè «çà» ïåðâîé òî÷êîé ïðîéäåò
âòîðàÿ òî÷êà.
Óïðàæíåíèÿ
1. Êëèí ñ óãëîì β ó îñíîâàíèÿ åäåò ãîðèçîíòàëüíî ñî
ñêîðîñòüþ vê , ñòåðæåíü ìîæåò (ñâîáîäíî) ïåðåìåùàòüñÿ òîëüêî
âåðòèêàëüíî (ðèñ.8). Íàéäèòå ñêîðîñòü ñòåðæíÿ.
2. ×åëîâåê èäåò âäîëü òðàìâàéíûõ ïóòåé. Êàæäûå ñåìü ìèíóò
åãî îáãîíÿåò òðàìâàé, êàæäûå ïÿòü ìèíóò åìó íàâñòðå÷ó ïðîõîäèò òðàìâàé. Íàéäèòå èíòåðâàë äâèæåíèÿ ìåæäó
òðàìâàÿìè.
3. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ãðåáíÿìè âîëí â ìîðå λ = 5 ì . Ðèñ. 8
Ïðè âñòðå÷íîì äâèæåíèè êàòåðà çà âðåìÿ τ = 1 c âîëíû óäàðÿþòñÿ î êîðïóñ k1 = 4 ðàçà, à
ïðè ïîïóòíîì äâèæåíèè çà òî æå âðåìÿ – k2 = 2 ðàçà. Íàéäèòå
ñêîðîñòè êàòåðà è âîëí, ñ÷èòàÿ èõ ïîñòîÿííûìè îòíîñèòåëüíî
áåðåãà.
4. Øàðèê íàëåòàåò íà ìàññèâíóþ ñòåíêó ñî ñêîðîñòüþ vøí ïîä
óãëîì α ê íîðìàëè. Ñòåíêà åäåò íàâñòðå÷ó øàðèêó ñî ñêîðîñòüþ
vc . Íàéäèòå âåëè÷èíó ñêîðîñòè øàðèêà vøê è óãîë β ýòîé
ñêîðîñòè ñ íîðìàëüþ ê
ñòåíêå ïîñëå îòñêîêà.
Ïîòåðü íåò.
5. Òîðïåäó, èìåþùóþ
ñêîðîñòü vò = 100 êì ÷ ,
âûïóñêàþò èç òî÷êè À â
ìîìåíò, êîãäà êîðàáëü Ðèñ. 9
ïðîòèâíèêà íàõîäèòñÿ â
òî÷êå  è äâèãàåòñÿ íåèçìåííûì êóðñîì ñî ñêîðîñòüþ
vê = 50 êì ÷ ïîä óãëîì β = 30° (ðèñ.9). Íàéäèòå óãîë α , ïðè
êîòîðîì òîðïåäà ïîðàçèò öåëü.
Ñòàòüÿ íàïèñàíà ïî ìàòåðèàëàì êíèãè «Êèíåìàòèêà. Ïðàêòè÷åñêîå ïîñîáèå ïî ðåøåíèþ çàäà÷ äëÿ ñòàðøåêëàññíèêîâ è
àáèòóðèåíòîâ». (Àâòîð-ñîñòàâèòåëü Â.Ì.Òðîÿíîâñêèé. Ì.: Èçäàòåëüñòâî ÐÄË, 2007.)
ÊÎËËÅÊÖÈß ÃÎËÎÂÎËÎÌÎÊ
Ïåíòî-ïåíòî-ïèðàìèäà
(Íà÷àëî ñì. íà 4-é ñ. îáëîæêè)
Ãîëîâîëîìêà «Ïåíòî-ïåíòî-ïèðàìèäà» çàêëþ÷àåòñÿ â òîì,
÷òîáû ñîáðàòü ïèðàìèäó èç øàðèêîâ, îáúåäèíåííûõ â ãðóïïû. Êîíå÷íî, îáúåäèíÿòü øàðèêè â ãðóïïû ìîæíî òûñÿ÷àìè ñïîñîáîâ, è êàæäûé ðàç áóäåò ïîëó÷àòüñÿ íîâàÿ ãîëîâîëîìêà. Íî èçîáðåòàòåëè èãðóøåê ñòðåìÿòñÿ ïðèäóìûâàòü
ãîëîâîëîìêè ñ êàêèìè-íèáóäü îñîáåííîñòÿìè, êîòîðûå âûäåëÿëè áû èõ èç ïðîèçâîëüíî ñîñòàâëåííûõ âàðèàíòîâ.
Êàê ðàç ýòèìè êà÷åñòâàìè õîðîøî ïðîäóìàííîé êîíñòðóêöèè îáëàäàåò ãîëîâîëîìêà Äèàíû Ïàñõèíîé, âûïóñêíèöû Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî èíñòèòóòà ñòàëè è ñïëàâîâ. Íàçâàíèå ãîëîâîëîìêè ãîâîðèò î òîì, ÷òî â ïèðàìèäå
äîëæíî áûòü ïÿòü ñëîåâ è ÷òî êàæäàÿ äåòàëü êîíñòðóêöèè
ñîñòîèò èç ïÿòè øàðèêîâ. Ïðè ýòîì äåòàëè ðàçíûå è îòëè÷àþòñÿ âçàèìíûì ðàñïîëîæåíèåì øàðèêîâ. Ýòî íå ïåðâàÿ
èãðóøêà Äèàíû, åþ ïðèäóìàíî áîëåå äåñÿòêà ðàçëè÷íûõ
ãîëîâîëîìîê èç øàðèêîâ. Òî ÷òî îíà ïðåäïî÷èòàåò êîíñòðóêöèè èç øàðèêîâ, îáúÿñíÿåòñÿ î÷åíü ïðîñòî. Øàðèêè
ìîæíî êóïèòü ãîòîâûìè, ñêëåèâàòü èõ â ãðóïïû íåòðóäíî, à
èãðóøêè ïîëó÷àþòñÿ î÷åíü êðàñèâûìè. Ëó÷øå âñåãî äëÿ
ýòèõ öåëåé ïîäõîäÿò øàðèêè îò ïëàñòìàññîâûõ áóñ, êîòîðûìè óêðàøàþò íîâîãîäíèå åëêè. Äëÿ ñåìè äåòàëåé âàì
ïîíàäîáèòñÿ 35 øàðèêîâ.
Ãîëîâîëîìêà «Ïåíòî-ïåíòî-ïèðàìèäà» òðóäíà â ðåøåíèè,
ïîýòîìó íà ðèñóíêå (ñì. 4-þ ñ. îáëîæêè) äàíà ïîäñêàçêà –
îòìå÷åíî ðàñïîëîæåíèå äåòàëè íîìåð 7. Ñ íåå è íà÷èíàéòå
ïîñòðîåíèå ïèðàìèäû.
Æåëàåì óñïåõà!
À.Êàëèíèí