В в е д е н и е в актуарную математику

Библиотека актуария
Касимов Ю.Ф.
Введение
в актуарную математику
(для страхования жизни и пенсионных схем)
Ю.Ф.Касимов,. Введение в актуарную математику (страхования жизни и пенсионных схем)..
Книга представляет собой элементарное введение в основы актуарной математики. В ней
рассмотрены основные модели страхования жизни и методы актуарных расчетов, основанные
на них. Книга рассчитана на широкий круг читателей: от студентов, изучающих финансовое и
страховое дело, до практических работников страховых компаний и пенсионных фондов.
Стр. ....................... 183, Рис. ....................... 22, Табл. ........................ 8
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга представляет собой простое, но достаточно полное введение в основы
актуарной математики. В традиционном понимании актуарная математика это теория расчетов,
связанных с различными видами страхования жизни. Хотя современное понимание актуарной
математики значительно шире и включает в себя теорию расчетов любых финансовых
контрактов в условиях неопределенности и риска, страхование жизни остается одной из самых
важных областей применения актуарной математики. Это объясняется прежде всего тем, что в
страховании жизни наличие устойчивых статистических закономерностей демографических
событий позволяет поставить расчеты в этой области на твердую основу теории вероятностей и
математической статистики. С формальной точки зрения большинство актуарных расчетов по
страхованию жизни представляет собой вычисление основных характеристик (математического
ожидания и дисперсии) соответствующих случайных величин. Основная трудность состоит
лишь в построении адекватной теоретиковероятностной модели того или иного вида
страхования и нахождении статистических оценок параметров этих моделей на основе анализа
эмпирических наблюдений.
Темы, рассмотренные в книге, примерно соответствуют курсу "Life Contingencies"
одному из основных курсов для будущих актуариев, который читается в университетах США,
Канады и Великобритании. В нашей стране практика актуарного образования еще не
сложилась, но ясно, что аналогичный курс в том или ином объеме необходим и при подготовке
отечественных специалистов в области страхования и пенсионного обеспечения.
Настоящая книга рассчитана на широкий круг читателей и не требует какойлибо
значительной математической подготовки. В принципе ничего, кроме знания элементарной
математики и некоторых (очень скромных) представлений о вероятностях и случайных
величинах, не требуется. Конечно, подготовка собственно актуариев, т.е. математиков
специалистов, предполагает для такого курса более существенное использование теоретиковероятностных и статистических методов. Однако учитывая недостаток специалистов такого
рода, книга призвана помочь практическим работникам страховых компаний и пенсионных
фондов в овладении основами актуарных методов.
1
Основы демографической статистики
Введение
Страхование жизни связано с выплатами денежных сумм в зависимости от наступления
определенных событий в жизни застрахованного. К таким событиям относятся: болезнь,
инвалидность, смерть или наоборот дожитие до определенного возраста. События такого рода
носят название демографических, поскольку они оказывают непосредственное влияние на
состояние и численность населения и его отдельных групп. Ясно, что успешная деятельность
страховой компании или пенсионного фонда невозможна без количественного учета
демографических событий. Наблюдения показывают, что в больших группах населения частоты
наступления различных демографических событий обладают устойчивостью, т.е. мало
изменяются со временем и поэтому могут быть предсказаны с достаточной для практических
целей точностью. Методы получения оценок этих частот, а также других характеристик,
описывающих состояние и динамику групп населения, изучаются в демографической
статистике. Демографическая статистика позволяет получить оценку параметров для
вероятностных моделей страховых контрактов и пенсионных схем, на основе которых
рассчитываются такие основные финансовые показатели, как величина страховых премий,
пенсионных взносов, страховых резервов и т.п. Тем самым страховые, или как еще говорят,
актуарные расчеты получают прочную основу в современных теоретико-вероятностных
методах. Изучение демографической статистики - необходимая предпосылка для использования
количественных (математических) методов в страховании жизни и пенсий.
1.1. Таблицы смертности и вероятности демографических событий
Таблицы смертности представляют собой систематизированный набор статистических
данных о продолжительности жизни населения данной страны или выделенной его группы.
Выделение групп может проводиться по разным признакам: по полу, региону, профессии и т.п.
Во всех случаях таблицы смертности содержат "упорядоченный ряд взаимосвязных величин,
показывающих уменьшение с возрастом вследствие смертности некоторой совокупности
родившихся, а также показателей, характеризующих уровень смертности для различных
периодов жизни данной совокупности" (Демографический энциклопедический словарь. М.,
1985г.). Таблицы смертности называют также таблицами продолжительности жизни.
В общих таблицах возраст является единственным определяющим параметром (входом
таблицы). Общие таблицы дают представление о динамике демографических процессов для
всего населения в целом. В специальных таблицах кроме возраста учитывается ряд других
параметров, обычно связанных с принципом отбора (селекции) данной группы населения.
Такие таблицы называются таблицами с отбором или селективными.
В полных таблицах смертности показатели даны по возрастам с интервалом в 1 год, в
кратких таблицах - с интервалом 5 или 10 лет. Таблицы смертности могут начинаться с
нулевого возраста (момента рождения) или же с некоторого данного возраста. Существует
множество способов представления таблиц смертности. Фрагмент типичной таблицы
смертности представлен таблице 1.1.
Табл. 1.1
ex
x
lx
dx
qx
0
100000
984
0.009840
76.51
1
99016
71
0.000717
76.27
2
98945
45
0.000455
75.32
3
98900
31
0.000313
74.35
4
98869
25
0.000253
73.38
5
...
10
...
15
...
20
...
40
98844
...
98746
...
98653
...
98497
...
97346
22
...
18
...
25
...
35
...
123
0.000223
...
0.000182
...
0.000253
...
0.000355
...
0.001264
72.40
...
67.47
...
62.53
...
57.62
...
38.17
Таблица смертности представляет собой набор столбцов, соответствующих различным
демографическим показателям. Элементы столбцов упорядочены по возрасту. Первым в
таблице смертности, как правило, приводится число людей, доживающих до возраста x: l x
l0 и
Это число относится к фиксированному числу родившихся, обозначаемому
называемому корнем таблицы смертности. Обычные значения для l 0 : 1 млн., 10 или 100 тыс.,
но оно может быть и произвольным числом. Таким образом, если
l0  100000
число родившихся, то
l1  98729
означает, что лишь 98729 из них доживут до своего первого дня рождения, а число
l 2  98645
означает, что лишь 98645 доживут до своего второго дня рождения и т.д.
Таблицы смертности заканчиваются строкой, соответствующей предельному возрасту, в
демографической статистике обозначаемому символом

В разных таблицах этот возраст может быть различным. Типичные значения : 90, 100,
110 лет.
Наконец отметим, что вследствие существенного различия в средней продолжительности
жизни для мужчин и женщин соответствующие показатели для них в таблицах обычно даются
раздельно (см. табл. П.1.). Однако в последнее время по ряду социально-политических причин
Страховыми компаниями употребляются и унитарные (не зависящие от пола) таблицы
смертности.
Другой важной характеристикой, встречающейся в таблицах смертности, является
величина
dx
представляющая число умерших в промежутке между годами x и x +1 своей жизни. Таким
образом d x - это число умерших в течение одного года после достижения ими возраста x или,
коротко, умерших в возрасте x.
Совершенно очевидно, что
l x  l x1  d x
(1.1)
так как среди достигших возраста x, каждый из них либо достигнет возраста x+1, либо умрет в
течение одного года. Эта формула может быть переписана в виде
(1.2)
l x1  l x  d x
или
d x  l x  l x1
(1.3)
Очевидный смысл последней формулы состоит в том, что число умерших в возрасте x есть
разность между числом доживших до возраста x и числом доживших до возраста x+1.
Приведенные соотношения касались двух смежных возрастов. Рассмотрим связи между
ними для более продолжительных периодов.
Ясно, что
l x  l x2  d x  d x1
и
l x  l x3  d x  d x1  d x2
Более общим образом можно записать
l x  l xn  d x  d x1    d xn1
(1.4)
Это соотношение наглядно изображается следующей диаграммой (см. рис. 1.1.).
dx
0
dx+1
lx
lx+1
lx+2
x
x+1
x+2
…

Рис. 1.1.
На этой диаграмме весь отрезок представляет всю совокупность родившихся, т.е. l 0 .
Часть отрезка от точки x до правого конца соответствует совокупности доживших до возраста x.
Соответственно отрезок от x до x+1 соответствует умершим в этом отрезке, т.е. представляет
величину d x и т.д.
Формула (1.4) в предельном случае дает равенство
l x  d x  d x1    d
(1.5)
которое означает, что каждый из достигших возраста x умрет в каком-либо возрасте от x до
предельного. Формулы 1.4 и 1.5 можно записать в сокращенной форме, используя знак
суммирования:
n d x : l x  l x  n 
x  n 1
d
tx
(1.6)
t
и

lx   dt
(1.7)
tx
Одним из важнейших показателей таблицы смертности является величина q x означающая
долю тех из числа достигших возраста x, кто умрет в течение одного года, т.е. в промежутке
между x и x+1. Таким образом
qx 
dx
lx
(1.8)
Число q x можно рассматривать как вероятность умереть в течение одного года (после дня
рождения) для человека, достигшего возраста x. Более точно следовало бы говорить, что число
q x (из таблицы смертности) является статистической оценкой этой вероятности, но в данном
курсе мы не будем входить в подобного рода тонкости. Число q x называют также уровнем
смертности в возрасте x.
Дополнение q x до 1 , т.е. число
px  1  qx
(1.9)
равно доле тех из l x , достигших возраста x, что доживут до возраста x+1. Эта величина
представляет собой условную вероятность прожить еще один год по достижении возраста x.
Поскольку
d
qx  x ,
lx
то
px  1  qx  1 
d x l x  d x l x 1


lx
lx
lx
т.е.
px 
l x 1
(1.10)
lx
Так, согласно таблице П.1,
p60 
l 61 81666

 0,98157
l60 83199
q60 
d 60
1533

 0,01843
l60 83199
Соответственно:
Формулы (1.10), (1.8) можно переписать в виде
l x1  l x  px
или
lx 
l x1
.
px
(1.11)
Аналогично
d x  l x  qx
lx 
или
dx
qx
(1.12)
Введем еще ряд вероятностных характеристик, относящихся к более продолжительным
периодам.
Число
l xn
(1.13)
n px 
lx
равно вероятности прожить еще n лет для лица, достигшего возраста x.
Соответственно число
l x  l xn n d x

(1.14)
n q x  1 n p x 
lx
lx
равно вероятности умереть в течение следующих n лет для лица, достигшего возраста x.
Для вероятностей n p x выполнены очевидные соотношения
2
px 
l x  2 l x 1 l x  2


 p x  p x 1
lx
l x l x 1
Аналогично
3
px 
l x 3 l x 1 l x  2 l x 3




lx
l x l x 1 l x  2
 p x  p x 1  p x  2
и вообще,
n
px 
l x  n l x 1 l x  2
l


   xn 
lx
l x l x 1
l x  n1
 p x  p x 1    p x  n1
Пример.
1.1. Найти вероятность для двадцатилетнего мужчины достигнуть
пятидесятилетнего возраста и вероятность умереть не достигнув 50 лет.
Решение:
Вероятность
для
двадцатилетнего
мужчины
достигнуть
пятидесятилетнего возраста согласно табл. П.1. равна
l50
 0,947971 .
30 p 20 
l 20
Соответственно, вероятность умереть, не достигнув 50 лет, равна
30 q 20  1 30 p 20  0,052029 .
Для вероятности n q x очевидно выполняется соотношение
d x  d x1    d x n1
n qx 
lx
или в сокращенной форме
(1.15)
n
qx 
1 x  n 1
  dt
lx tx
(1.16)
mn
qx 
l x  m  l x  m n
.
lx
(1.17)
Наконец величина
означает вероятность для лица, достигшего возраста x, умереть в промежутке между x+m и
x+m+n .
Очевидно, что
(1.18)
q  p  p .
m n x m x m n x
Можно привести еще одно соотношение для
mn
mn
qx :
q x  m p x n q xm .
(1.19)
Рассмотрим теперь следующую задачу. Пусть известна вероятность умереть в течение
года для лица, достигшего возраста x. Если N - число лиц в возрасте x, то сколько в среднем лиц
умрет в течение года? Если считать эту группу статистически однородной, т.е. считать, что
каждый из этой группы имеет одинаковые шансы дожить (или умереть) в течение года, то,
обозначив через D x число лиц из этой группы, умерших в течение года, можно в соответствии
с обычными правилами теории вероятностей написать
D
qx  x
N
(1.20)
или
(1.21)
Dx  qx  N .
Формула (1.20) выражает эмпирическую оценку вероятности q x . Для достаточно большой
группы людей (т.е. если N велико) равенство (1.20) будет выполняться с большей степенью
вероятности (закон больших чисел), поэтому число
qx  N
можно считать хорошей оценкой для ожидаемого числа тех достигших возраста x, кто умрет в
течение года. Аналогично число
n qx  N
есть ожидаемое число лиц из совокупности N достигших возраста x , которые умрут в течение n
лет, а число
n
px  N
есть ожидаемое число тех из N лиц, что доживут до возраста x+n.
Примеры.
1.2. Какова вероятность для двадцатилетнего человека умереть, не дожив до
50 лет? Сколько в среднем из 1000 двадцатилетних людей доживут до 50 лет?
Решение:
Вероятность умереть в промежутке между 20 и 50 годами равна
(согласно табл. П.1)
30
q20 
l 20  l50
 0,052029 .
l 20
Ожидаемое число тех из 1000 двадцатилетних людей, что доживут до 50 лет,
есть
l
100030 p20  1000  50  1000  0,947971  948 .
l 20
1.3. Пользуясь таблицей П.2, найти:
а). вероятность для новорожденного дожить до 5 лет;
b). вероятность для новорожденного умереть между 1 и 3 годами жизни.
Решение:
а). Эта вероятность равна
l5 97175

 0,97175 .
l0 100000
b). Число смертей в возрасте между 1 и 3 годами равно
l1  l3  97551  97302  249 .
Искомая вероятность равна
l1  l3
249

 0,000249 .
l0
100000
Выразить через функцию l x следующие вероятности:
12
1.4.
q0 
a). вероятность для 18-летнего дожить до 65 лет;
b). вероятность того, что 30-летний умрет в возрасте между 40 и 45 годами;
с). вероятность того, что 30-летний не умрет в возрасте между 40 и 45 годами;
d). вероятность для 40-летнего умереть не достигнув 60 лет. Решение:
a). Эта вероятность есть, очевидно,
l 65
.
l18
b). Поскольку число умерших между 40 и 45 годами есть l40  l45 , то искомая
вероятность равна
l40  l45
.
l30
c). Эта вероятность события, дополнительного к событию из п. b, поэтому она
равна
l l
1  40 45 .
l30
С другой стороны эта вероятность равна сумме вероятности для 30летнего умереть до 40 лет, т.е.
l30  l40
l30
и вероятности дожить до 45 лет, т.е.
l 45
.
l30
d). Эта вероятность равна
l40  l60
.
l40
Полученные выше формулы вероятностей демографических событий относились к
отдельным лицам. В страховании часто приходится рассматривать вероятности событий,
которые относятся к группе лиц. Систематически этот вопрос будет рассмотрен ниже. Здесь же
мы коснемся самых элементарных случаев, когда события, относящиеся к различным
представителям группы, независимы, что позволяет применять правило умножения
вероятностей для независимых событий. Более точно это означает, что в случае независимых
событий A и B вероятность их совместного появления, т.е. вероятность события, AB равна
произведению вероятностей этих событий, т.е.
Pr A  B  Pr A  PrB .
Пример.
1.5. Рассмотрим два лица. Одно в возрасте 40 лет, а другое - 50 лет. Чему
равна вероятность того, что:
a). оба лица проживут не менее 10 лет,
b). первое лицо достигнет 50-летнего возраста, а второе умрет до 55 лет.
Решение:
Поскольку дожитие или смерть для разных лиц в общем случае независимые
события, то можно применить правило умножения.
a). Вероятность для 40-летнего прожить еще 10 лет есть
l50
.
l 40
Соответственно вероятность для 50-летнего прожить 10 лет есть
l 60
.
l50
Поэтому вероятность прожить 10 лет обоим лицам есть
l50 l60

.
l40 l50
b). Вероятность для 40-летнего дожить до 50 лет есть
l50
.
l 40
Вероятность для 50-летнего умереть до 55 лет есть
l
1  55 .
l50
Поэтому вероятность совместного события есть
l50
l 40
1.2
 l 
 1  55  .
 l50 
Функции дожития
Как указывалось ранее, шаг в возрастном диапазоне таблиц смертности обычно равен 1
году. Конечно, люди редко умирают точно в свой день рождения. Человек, доживший до
возраста x, может умереть в любой день следующего года. Поэтому можно, по крайней мере
гипотетически, рассматривать показатели таблиц смертности для меньших промежутков
времени, чем год: скажем, месяц, а для очень больших совокупностей - даже день. Ясно,
например, что число людей, умирающих ежедневно в таком городе, как Москва, может быть
весьма значительным. Переходя ко все более мелким временным интервалам, в пределе можно
считать, что процесс вымирания данной совокупности людей, или в других терминах, дожитие
описывается непрерывной функцией возраста
s x 
означающей долю лиц из некоторой условной совокупности, доживающих до возраста x.
График функции sx часто называют кривой
дожития, а саму функцию sx - функцией
s(x)
1
дожития. Типичная кривая дожития изображена
на рис. 2.1.
Конечно, sx - не что иное, как вероятность
для наугад выбранного лица из данной
совокупности родившихся дожить до возраста x.
Продолжительность жизни
T для такого

x
Рис. 2.1.
произвольно выбранного лица есть случайная
величина. Факт дожития им до возраста x можно записать в виде неравенства
(2.1)
Tx ,
а вероятность sx , используя стандартные обозначения, в виде
(2.2)
sx   PrT  x .
Дополнение до1, т.е. функция
Gx  1  sx
(2.3)
называется функцией распределения продолжительности жизни. Вероятностный смысл ее
описывается равенством
(2.4)
Gx  PrT  x
т.е. это вероятность того, что данное родившееся лицо не доживет до возраста x.
Вероятности sx и G x  представляют так называемые безусловные вероятности. В
демографии и страховании часто используют
соответствующие распределения. Если через
Tx
условные
случайные
величины
и
обозначить остаточную продолжительность жизни для наугад выбранного лица возраста x, т.е.
время, которое это лицо еще проживет, достигнув возраста x, то число
(2.5)
sx t   PrTx  t 
будет обозначать условную вероятность
t p x  PrT  x  t T  x
достижения возраста x+ t для лица, дожившего до x лет. Используя элементарные тождества
теории вероятностей, можно показать, что
s x  t 
.
(2.6)
t p x  s x t  
s x 
Соответственно условная вероятность того, что лицо, достигшее возраста x, умрет в
промежутке x, x  t  есть
s x   s x  t 
.
(2.7)
t q x  1 t p x 
s x 
Тогда доля лиц, умирающих в единицу времени в этом промежутке, есть
s x   s x  t 
t qx
(2.8)

t x 
t
s x   t
Величина t  x характеризует среднюю скорость (интенсивность) вымирания лиц,
достигших возраста x. Переходя к пределу, получают величину
q
1
s x   s x  t 
 x  lim t x 
 lim

t 0 t
t

0
s x 
t
1
s x  t   s x 
s x 

 lim

s x  t 0
t
s x 
(2.9)
поскольку, как известно, предел
s x  t   s x 
 s x 
t
называют производной функции sx в точке x.
Величина  x называется в демографии силой (интенсивностью) смертности в возрасте x.
lim
t 0
Эта важная характеристика процесса вымирания данной группы населения. Величины
и
x ,
s x 
взаимно определяют друг друга, поскольку согласно определению
s  x 
.
x  
s x 
С другой стороны это равенство означает, что
ln sx x   x
(2.10)
(2.11)
или
x
x
0
0
ln s x    t dt
(2.12)
и, наконец,
x
s x   exp   t dt ,
0
т.к.
(2.13)
s0  1 .
Точно так же можно вывести уравнение для условной функции дожития
s x  t 
.
(2.14)
s x t  t p x 
s x 
В самом деле, из данного равенства следует:
d
sx  t 
,
sx t  
dt
s x 
а так как на основании (2.9)
s x  t    xt  sx  t  ,
то
d
s x  t 
sx t     xt 

dt
s x 
  xt  s x t  .
Отсюда получаем, что
d
ln s x t     xt
dt
или
t
s x t   exp    xu du .
0
Поскольку
t
p x  s x t 
и
t
q x  1t p x
то
t
t
p x  exp    xu du
(2.15)
0
и
t
t q x  1  exp    x u du
(2.16)
0
Вышеприведенные формулы относятся к вероятностным функциям дожития
и
s x t  .
s x 
Часто вместо них рассматриваются функции
lx
l x t  ,
и
где
l x  l0  s x 
и
lx t   lx  sx t  ,
(2.17)
относящиеся к некоторым исходным совокупностям
l0
lx .
и
В отличие от таблиц смертности, в которых x рассматриваются лишь для целых возрастов,
функции дожития считаются заданными для любых возрастов. Точный смысл величины l x
состоит в том, что это ожидаемое (среднее) значение для числа лиц, доживших до возраста
(точного) x.
Для l x имеют место те же соотношения, что и для sx . В частности
dl x
 l x   x .
dx
(2.18)
Интегрируя это уравнение от некоторого начального возраста  до предельного  ,
получим

l  l   l x   x dx ,

а так как l  0 , то получаем

l   l x   x dx .

Если проинтегрировать (2.18) по промежутку x, x  1 ,то получим
x1
lx1  lx    lt  t dt
x
или
x 1
d x  l x  l x1   lt  t dt .
(2.19)
x
Вариант этой формулы получается, если выполнить замену переменных
t  xu .
Тогда получим
1
d x   l xu   xu du
(2.20)
0
Интегрирование по промежутку x, x  n дает
n
l x  l xn   l xu   xu du
(2.21)
0
или, деля на l x ,
l x  l xn 1
   l xu   xu du
n qx 
lx
lx 0
n
Наконец для
mn
(2.22)
q x получаем выражение
mn
1
 
lx
qx 
m n
l
l x  m  l x  m n

lx
  xu du
(2.23)
p x   xu du
(2.24)
x u
m
или
m n
q 
mn x

u
m
Заметим, что из уравнения
или аналогичного
следует, что функции
sx   sx    x
l x  l x   x
s x     x 
или
lx   x 
4000
3000
2000
1000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Рис. 2.2.
задают плотность распределения для случайной величины T. Типичный график для функции
l x    x  изображен на рис. 2.2.
Величина l x   x  x приблизительно равна среднему числу умерших в малом промежутке
x, x  x. Из графика видно, что плотность имеет ярко выраженный максимум в диапазоне 70-
75 лет. Большие значения в диапазоне 0-5 лет соответствуют повышенной младенческой
смертности.
Примеры.
2.1.
Пусть функция дожития sx имеет вид
1
s  x 
100  x , 0  x  100 .
10
Найти:
а). вероятность
28
p36 ,
b). силу смертности для возраста 20 лет.
Решение:
s64
100  64 6

  0,75 .
a).
28 p36 
s36
100  36 8
b). Согласно определению
x  
Дифференцируя sx по x, получим
1 ds x 
.

s x  dx

ds  x   1
1
1


100  x    
.
dx
20 100  x
 10

Следовательно,
1
1
.
2 100  x 
x  
Для x = 20 получаем
1
1
1

 0,00625 .
2 100  20 160
 20  
2.2.
Пусть сила смертности имеет вид
 x  1  cos
Найти выражение для sx .

200
x.
Решение:
Согласно (2.13)
x
s x   exp   t dt .
0
Подставляя в эту формулу выражение для  t , получим
 

s x   exp   1  cos
t  dt 
200


0
x
x
 
 200
 exp  t 
 sin
t 

200  0


200
 
 200


 exp   x 
 sin
x   exp 
 sin
x  x

200 
200

 

1.3
Построение таблиц смертности
Имеется много методов построения таблиц смертности. Основное различие этих методов
состоит в выборе базового показателя, на основании которого вычисляются все остальные.
Чаще всего в качестве базового показателя берется q x , т.е. вероятность смерти в течение года
после достижения возраста x. Этот показатель оценивается исходя из имеющихся
статистических данных. Это далеко не тривиальная задача, и о некоторых связанных с ней
трудностях будет сказано ниже. Оценив q x , можно получить все остальные показатели.
Покажем, как это делается.
Задавшись определенным начальным возрастом  и соответствующим значением корня
таблицы l , последовательно вычисляют
d x  l x  qx
(3.1)
(3.2)
l x1  l x  d x
для
x = , +1, … , .
Если же исходными являются не вероятности смерти q x , а вероятности дожития p x , то
ряд значений для l x можно получить по формулам
l x1  l x  px
(3.3)
d x  lx  lx1
(3.4)
для
  x  .
Можно, конечно, сначала вычислить q x по формуле
qx  1  px ,
а потом применить формулы (3.1) и (3.2).
Вычисленные значения округляются, как правило, до ближайшего целого числа. Для
достижения необходимой точности в качестве корня таблицы берут достаточно большое число.
Таблицы, строящиеся на основании переписи, как правило, полные и охватывают весь
диапазон возрастов, начиная с 0. Таблицы, основанные на специальном статистическом учете,
например, в страховых компаниях, пенсионных фондах, могут иметь и другие значения
начального возраста  .
Иногда, особенно при построении специальных таблиц, корень таблицы помещается в
"середину", то есть значения  и l относятся к "промежуточным". В этом случае процесс
вычисления идет в двух направлениях: к младшим и старшим возрастам. При этом значения l x
и d x для старших возрастов получаются по формулам, приведенным выше, а для младших
возрастов применяются формулы
l x1 
lx
,
p x1
(3.5)
d x1  lx1  lx ,
(3.6)
если исходный показатель p x . Если же в качестве исходного взят q x , то, получив сначала
px  1  qx
применяют формулы (3.5) и (3.6).
Пример.
3.1. Статистик, изучающий смертность в некоторой популяции с исходной
величиной l0  1000 , получил следующую оценку вероятностей q x для
последовательных возрастов:
q0  0,4 , q1  0,2 , q2  0,3 , q3  0,7 , q4  1,0 .
На основании этих данных необходимо построить таблицу смертности.
Решение:
Начиная с нулевого возраста последовательно находим число умерших в
каждом очередном году по формуле
d x  l x  qx
и число доживших по формуле
l x1  l x  d x .
Результаты этих вычислений приведены в таблице 3.1.
Таблица 3.1
dx
qx
Возраст x
lx
0
1000
400
0,4
1
600
120
0,2
2
480
144
0,3
3
336
235
0,7
4
101
101
1,0
Таким образом, центральным моментом при построении таблиц смертности на основе
показателей q x или p x является получение их оценки на основании статистических данных.
При использовании прямого метода эта оценка строится непосредственно на определении этих
вероятностей, например, для q x по формуле:
d
qx  x .
lx
Однако, непосредственное применение прямого метода наталкивается на значительные
трудности. Дело в том, что по самому смыслу этих и других показателей таблицы смертности
они относятся к некоторой заданной совокупности лиц, родившихся в одном и том же году.
Такие совокупности, образование которых связано с некоторым демографическим событием
(рождением, браком и т.п.), в демографии называют когортами. Более точно когортой
называется совокупность лиц, одновременно (или в некоторый заданный период времени)
вступивших в данное демографическое состояние. Так группа ровесников, то есть лиц,
родившихся в одном и том же году, образует когорту по году рождения или поколение. Таким
образом, таблица смертности характеризует процесс вымирания некоторого поколения.
Получение демографических показателей для реального поколения получило в демографии
название когортного метода или продольного анализа.
Совершенно ясно, что наблюдение над реальным поколением в течение
продолжительного времени чрезвычайно трудно. Построение полной таблицы смертности
требует около сотни лет непрерывных наблюдений. Для больших совокупностей это
практически невозможно. Дело не только в огромном объеме статистических данных, но и в
том, что они будут значительно искажены в результате миграции, то есть выбытия лиц,
принадлежащих когорте и ее наполнению, за счет лиц, первоначально к ней не принадлежащих.
К тому же, такое полное наблюдение имело бы скорее исторический интерес, нежели
практическое значение, поскольку за десятилетия демографическое состояние населения
(рождаемость, смертность и т.п.) существенно изменяется. Поэтому на практике статистические
данные и получаемые на их основе оценки относятся не к совокупности ровесников, а к
совокупности современников, включающей лица различных возрастов. Так показатели
смертности оцениваются для различных возрастных групп, составляющих наблюдаемую
совокупность. Поскольку в населении в любой момент есть лица любого возраста, то можно
получить показатели для полного диапазона возрастов (от нулевого до предельного). При этом
полученные данные интерпретируются так, как если бы они относились к некоторому
поколению. Такое поколение называется в демографии условным или гипотетическим, а
основанный на описанной выше интерпретации метод изучения демографических процессов
называют поперечным анализом.
Реальное поколение может только убывать по численности, для него не существенна ни
возрастная структура населения, ни рождаемость. Единственный учитываемый фактор при
продольном анализе это смертность. При поперечном анализе факторы, о которых говорилось
выше, оказывают существенное влияние на оценку показателей смертности. Так при
наблюдении в течение нескольких лет изменения в составе возрастных групп наблюдаемой
совокупности (гипотетического населения) происходят не только из-за смертности, но и за счет
передвижки по возрастам и рождаемости. В самом деле, через пять лет наблюдения группа 30летних будет состоять из тех, кому в начале наблюдения было 25 лет, начальная (нулевая)
группа будет состоять из вновь родившихся, а те, кто родились в начале наблюдения, составят
(за вычетом умерших) 5-летнюю группу.
Поперечный и продольный анализ различаются и по способу вычисления показателей.
При поперечном анализе основной показатель - возрастной коэффициент смертности вычисляется как отношение числа умерших в возрасте x в течение календарного года к
среднему числу лиц этого возраста. Оговорка насчет среднего числа лиц существенна, так как
за счет непрерывной передвижки по возрастам численность группы возраста x изменяется. При
продольном анализе соответствующий показатель получается как отношение числа умерших в
возрасте x к начальному числу лиц этого возраста данной когорты.
Источником данных для поперечного анализа служат данные текущего демографического
учета, а для продольного анализа - ретроспективные данные, получаемые, например, при
переписи населения или данные непрерывного наблюдения. Последнее возможно лишь для
небольших групп в специальных условиях (наблюдения больных при диспансерном учете,
данные страховых компаний и т.п.).
При построении таблиц смертности на основе вероятностей q x оценка этих величин
получается с помощью преобразования возрастных коэффициентов смертностей, о которых
говорилось выше. Эти коэффициенты получают непосредственно по статистическим данным.
Таким образом, данные поперечного анализа "переносятся" на реальное поколение.
Корректность такого переноса зависит от ряда условий, относящихся к состоянию и динамике
демографических процессов. Обычно эти условия формулируются в виде соответствующих
гипотез, выполняющихся в реальности лишь частично.
Одной из таких гипотез, при которой поперечный анализ обеспечивает адекватность
полученных показателей таблиц смертности, является гипотеза стационарного населения.
Согласно этой гипотезе возрастная структура, смертность и рождаемость данного населения
постоянны и не меняются со временем. При этом рождаемость и смертность взаимно
уравновешены так, что численность населения постоянна, исключаются и миграционные
процессы. Стационарное население - статическое, самовоспроизводящееся население. Такое
население есть, конечно, идеализация или, точнее, математическая модель реального населения.
Реальное население не является стационарным, однако, при достаточно устойчивых в течение
долгого времени социально-экономических условиях, при которых рождаемость и смертность
сбалансированы, реальное население можно считать приближенно стационарным.
Гипотеза стационарного населения позволяет существенно упростить получение
надежных оценок для показателей таблиц смертности, поскольку демографические
характеристики населения не изменяются со временем. Однако некоторые показатели в
условиях этой гипотезы получают несколько иную интерпретацию.
Так для стационарного населения l x есть число лиц, достигающих ежегодно возраста x.
Число d x есть число лиц, умирающих ежегодно в возрасте между x и x+1. Наконец число L x
равно числу лиц, имеющих в данный момент возраст из промежутка
x, x  1 .
Совокупность чисел L x характеризует возрастную структуру населения в данный момент
времени. Согласно гипотезе стационарного населения эти числа не меняются со временем.
Как связаны указанные параметры? Рассмотрим, например, совокупность из L30 лиц,
которые на 31 декабря 1990 года достигли 30-летнего возраста. Эта совокупность состоит из тех
l30 лиц, достигших в течение 1990 года точного возраста 30 лет, которые дожили до конца года.
В 1991 году те из L30 лиц, которые доживут до 31 года, составят l31 лиц, достигших в этом году
возраста .31 год.
Если считать, что смерти равномерно распределены в возрастном промежутке [30,31], то
1
1
L30   l30  l31   l30   d 30 .
2
2
Аналогичные рассуждения для других возрастных групп позволяют сделать общий вывод,
что
Lx 
1
1
 l x  l x 1   l x   d x
2
2
(3.7)
или
1
 dx
(3.8)
2
Обозначим теперь через mx отношение числа умерших за год в возрасте между x и x+1 к
l x  Lx 
числу живых лиц этой возрастной группы. Тогда
mx 
dx
Lx
Коэффициент mx называется центральным коэффициентом смертности.
Отметим, что q x измеряется по возрастному промежутку, а mx по календарному году.
Поскольку
mx 
dx
,
Lx
а
то
1
Lx  l x   d x ,
2
dx
mx 
.
1
lx   d x
2
Деля числитель и знаменатель правой части на l x получим
qx
mx 
1
1   qx
2
или
mx 
2q x
2  qx
(3.9)
Аналогично подстановкой в равенство
qx 
dx
lx
выражения
l x  Lx 
1
 dx
2
получим
qx 
2mx
.
2  mx
(3.10)
Последнее равенство и является исходным при вычислении по статистическим данным.
На практике сначала вычисляется mx , затем по формуле (3.10) q x , и, наконец, методом,
описанным в начале параграфа, получают остальные показатели таблицы.
Формула (3.10) получена для гипотезы стационарного населения и при условии
равномерного распределения смертей в возрастном промежутке от x до x+1. В более общих
условиях эта формула играет роль приближенной оценки q x по mx . При этом для
нестационарного населения само определение
mx 
dx
Lx
нуждается в уточнении, т.к. L x будет зависеть от времени. Обычно L x считается равным
среднему числу живущих в течение года в возрастном промежутке между x и x+1.
Следует учесть также, что мы не учитывали миграцию, т.е. выбытие части лиц за пределы
наблюдаемого региона. В этом случае в формулу для коэффициента смертности вносятся
различные поправки. Так, если ежегодно наблюдаемую возрастную группу покидают v x лиц, то
интенсивность этого процесса можно оценить возрастным коэффициентом миграции (по
выбытию):
x 
x
Lx
.
Учет миграции приводит к соотношению
lx1  l x  d x  vx
и, если положить снова
Lx 
l x  l x1
,
2
то получим
1
1
Lx  l x   d x   vx
2
2
(3.11)
и значит
1
1
l x  Lx   d x   vx ,
2
2
а тогда
dx
qx 
1
1
Lx   d x   v x
2
2
Деля числитель и знаменатель на L x получим
mx
qx 
1
1
1   mx    x
2
2
или
qx 
.
2  mx
2  mx   x
(3.12)
В заключение введем еще одну величину, часто используемую в теории стационарного
населения. Эта величина обозначается Tx и равна числу всех лиц возраста x и старше в данный
момент времени для рассматриваемой группы лиц. Таким образом, согласно определению

Tx   Lxk .
(3.13)
k 0
Подчеркнем, что как и L x величина Tx относится к данному моменту времени, тогда как
l x и d x относятся к промежутку (периоду) времени в один календарный год.
При условии равномерности распределения из (3.13) и равенства
1
L x  k   l x  k  l x  k 1 
2
получим

1
Tx    l x  k  l x  k 1 
k 0 2
и, следовательно,
Tx 

1
 l x   l xk .
2
k 1
(3.14)
Для стационарного населения очевидным образом выполняется равенство

l0   d x
(3.15)
x 0
т.к. левая часть этого равенства дает родившихся за год, а правая - общее число смертей во всех
возрастных группах за тот же год. При неизменности общей численности населения эти числа
должны быть равны.
Теория стационарного населения применима не только к населению какой-либо страны
или региона, но и к любой совокупности лиц, например, штату сотрудников предприятия. Это
справедливо при условии неизменной численности этой совокупности как в целом, так и по
всем возрастным группам, входящим в эту совокупность. Конечно, возрастной диапазон в этом
случае существенно уже, чем для населения в целом, и, кроме того, смерть не является, вообще
говоря, единственной причиной выбытия лица из данной совокупности. В частности причиной
выбытия может быть увольнение, уход на пенсию и т.п. При неизменной численности
совокупности процесс выбытия должен быть сбалансирован притоком новых членов.
В простейшем случае можно считать, что пополнение совокупности осуществляется за
счет лиц точного возраста  (возраст вступления), а выбытие (помимо смерти) происходит
только в точном возрасте     n . Например,  может быть возрастом выхода на пенсию.
Модель такой совокупности можно изобразить диаграммой, приведенной на рис. 3.1.
Вход

+1
x
…
x+1
…

Выход
Рис. 3.1.
На рис. 3.1 кружком с меткой x обозначена возрастная группа совокупности,
соответствующая возрасту x. Ее численность мы обозначим через L x . Ясно, что за год каждый
член этой группы либо умрет, либо перейдет в следующую возрастную группу. Таким образом
"жизнь" совокупности можно представить как "возрастной поток".
В каждый момент времени полное число лиц совокупности равно
n 1
L  T  T   L  k
(3.16)
k 0
Снова используя гипотезу о равномерном распределении смертей, получим
1
L  k   l  k  l  k 1 
2
и значит
 1
1
(3.17)
L   l  l     l  k .
2
k 1
Формула (3.17), как и аналогичная ей (3.14), получена при условии стационарности и
равномерности распределения смертей на промежутках k , k  1. В общем, стационарном
случае без условия равномерности связь между функциями L x и l x задается соотношением
1
L x   l x t dt
(3.18)
0
Отсюда немедленно следует, что


Tx   Lx  k   l x t dt
k 0
(3.19)
0
Полное число лиц в совокупности с возрастом x из промежутка x, x  n будет равно
n
Tx  Txn   l xt dt .
0
(3.20)
Функции L x и Tx редко задаются таблично. При известной функции дожития они могут
быть вычислены по формулам (3.18) и (3.19). Отметим, что используя понятие о средней
(остаточной) продолжительности жизни в возрасте x- e x (см. раздел 5), можно получить еще
одно выражение, связывающее Tx и l x , а именно
Tx  l x  ex .
Значения функции e x обычно приводятся в таблицах смертности (см. табл. П.1)
Выше мы использовали обозначения l x , d x и т.д., подразумевая табличные значения. В
этом случае динамика совокупности моделировалась просто столбцом некоторой таблицы.
Если же значения численности наблюдаемой совокупности отличаются от табличных, то для
использования таблиц смертности необходимо произвести масштабирование, т.е. умножение
табличных значений на масштабный множитель (множитель приведения) или непосредственно
оперировать с вероятностями. Поясним сказанное следующим примером.
Пример.
3.2. Пусть рассматривается группа из 500 человек, в которой 200 человек
имеют возраст 20 лет, а остальные 300 человек имеют возраст 40 лет. Какова
ожидаемая численность группы через 5 лет?
Решение:
Для решения задачи необходимо использовать данные таблицы П.1
(мужчины).
Рассмотрим каждую из возрастных групп в отдельности. Для 20-летних
масштабный множитель k 20 определяется из равенства
200
k20  l20  200 , т.е. k 20 
,
l20
а масштабный множитель для 40-летних из равенства
300
k40  l40  300 , или k 40 
.
l40
Поскольку из l20 20-летнего возраста до 25 лет доживут l25 лиц, а из l 40 лиц 40летнего возраста до 45 лет доживут l45 , лиц, то для исходной группы из 200 20летних до 25 лет доживут
k 20  l25  200 
l25
97432
 200 
 199 ,
l20
97849
а из 300 40-летних до 45 лет доживут
l
94787
k 40  l45  300  45  300 
 296 .
l40
95907
Таким образом, средняя численность исходной группы через 5 лет составит
k20  l25  k40  l45  199  296  495 .
Другой способ решения этой задачи состоит в умножении численностей
групп на соответствующие вероятности дожития. Поскольку для 20-летних
вероятность дожить до 25 лет есть
5
l25
,
l20
p20 
а для 40-летних вероятность дожить до 45 лет есть
l45
,
5 p 40 
l40
то ожидаемая через 5 лет численность группы из 500 человек, в которой 200 20летних и 300 40-летних есть
2005 p20  3005 p40  495 .
Рассмотрим теперь более сложный пример на определение численности возрастных групп
в стационарной совокупности.
Пример.
3.3. Пусть штат большой компании представляет собой стационарную
совокупность. При этом ежегодно компания принимает на работу 500 лиц в
точном возрасте 20 лет. Считая, что пенсионный возраст равен 60 годам,
найти:
a). численность штата компании,
b). число ежегодно выходящих на пенсию,
c). число пенсионеров.
Решение:
Для решения исходной задачи необходимо воспользоваться данными из
таблицы П.2.
Масштабный множитель для нашего примера можно найти из равенства
k  l20  500 .
a). Численность штата компании есть
N  k  T20  T60  

500
 T20  T60  
l 20
  l60  
500


 l 20  e20
 l 60  e60
 500   e20
  e60  
l 20
l 20




78924


 500   50,57 
15,06   19115 .
96293


b). Число ежегодно выходящих на пенсию есть
l
78924
k  l60  500  60  500 
 410 .
l20
96293
c). Число пенсионеров равно
k  T60  500 
l60 
 e60 
l20
 500 
78924
15,06  6172
96293
В приведенном выше примере сотрудники компании покидают ее лишь в случае смерти
до пенсионного возраста или при выходе на пенсию. Во многих случаях выбытие из штата
может происходить и по другим причинам, например, при увольнении. Если известны
показатели, указывающие долю лиц, покидающих ту или иную возрастную группу, то при
условии стационарности можно рассчитать численность этих групп в любой момент времени.
Схема расчета примерно совпадает со схемой, рассмотренной в примере 3.3. Рассмотрим еще
один пример.
Пример.
3.4. Пусть штат компании представляет стационарную совокупность.
Ежегодно на работу принимается 500 новых сотрудников в точном возрасте 20
лет. Двадцать процентов из них покидают компанию спустя 10 лет, десять
процентов оставшихся покидают ее спустя 20 лет, и наконец все остальные
уходят на пенсию в возрасте 65 лет. Выразить через функцию l x следующие
величины:
a). число сотрудников компании, покидающих ее ежегодно в возрасте 40 лет,
b). численность штата компании,
c). число пенсионеров,
d). число ежегодно умирающих сотрудников компании.
Решение:
a). Масштабный множитель для этого примера находится из равенства
500
k  l20  500 или k 
l20
Из 500 вновь поступивших сотрудников лишь
l
k  l30  500  30
l20
доживут до 30 лет и согласно условию 20% из них покинут компанию в этом
возрасте.
Таким образом, лишь
l
l
0,8  k  l30  0,8  500  30  400  30
l20
l20
сотрудников в возрасте 30 лет останутся в компании. Из этого числа до 40 лет
доживут
l
l
0,8  k  l40  0,8  500  40  400  40
l20
l20
и 10% из них покинут ее в этом возрасте, т.е.
l
l
0,1  400  40  40  40 .
l20
l20
b). Если бы l20 человек ежегодно вновь поступали на работу в компанию и
покидали ее лишь по причине смерти, то общее число сотрудников было бы равно
T20 . Однако, учитывая выбытие в 30-летнем, 40-летнем и 65-летнем возрасте,
получим, что для стационарной совокупности численность компании в этом
случае должна быть равной
T20  0,2  T30  0,08  T40  0,72  T65 .
Умножая это выражение на масштабный множитель
500
k
l20
получим, что штат компании состоит из
500
 T20  0,2  T30  0,08  T40  0,72  T65 
l20
человек.
В самом деле, из общей численности T20 человек старше 20 лет, когда-то (в
возрасте 20 лет) поступивших в компанию, 20% покинуло ее в возрасте 30 лет.
Так что в компании будет не более T20  0,2  T30 человек, причем, не более 0,8  T30
из них старше 30 лет. Из этих последних до 40 лет дожило 0,8  T40 и 10%
покинуло ее в этом возрасте, так что численность компании не превышает
T20  0,2  T30  0,08  T40
при этом старше 40 лет в компании не более 0,72  T40 человек. Из них до 65 лет
дожило 0,72  T65 , и все они ушли на пенсию. Таким образом, всего в компании
T20  0,2  T30  0,08  T40  0,72  T65 .
с). Число пенсионеров данной компании равно
500
T
k  0,72  T65 
 0,72  T65  360  65 .
l20
l20
d). Поскольку штат компании представляет собой стационарную совокупность,
то ежегодное число смертей среди сотрудников всех возрастов равно
500
 l20  0,2  l30  0,08  l40  0,72  l65  .
l20
Это число есть разность между числом вновь поступивших сотрудников и
числом живых сотрудников, покинувших за год компанию во всех возрастных
группах. Таким образом, выбытие учитывалось не по случаю смерти. Поскольку
численность сотрудников постоянна, то эта разность необходимо должна
быть равна общему числу умерших за год сотрудников.
1.4. Интерполяция таблиц смертностиозрастов для дробных возрастов
для дробных ............................................................................................................... возрастов
Таблицы смертности дают значения вероятностей дожития
l
sx   x
l0
для целых значений возрастов x. Часто, однако, требуется знать эти вероятности для дробных
возрастов, т.е. возрастов с точностью до полугода, месяца и т.д.
Пусть x - любое, не обязательно целое, значение возраста. Тогда его можно представить в
виде суммы
x  k u ,
где
k  x
целая, а
u  x, 0  u  1
дробная часть возраста. Тогда
sx  sk  u  ,
где
k  x  k  u  k 1 .
Значения
s k  
lk
l0
и
s k  1 
lk 1
l0
задаются таблицами смертности, поэтому нахождение sx можно рассматривать как задачу
интерполяции таблицы смертности для промежуточных возрастов относительно смежных
значений в целых точках k и k+1. Для выполнения интерполяции необходимо делать некоторые
гипотезы о характере распределения l x или sx на отрезке k , k  1.
Наиболее часто на практике встречаются три метода интерполяции, основанные
соответственно на трех гипотезах (условиях).
1. Линейность.
Согласно этому условию l x и sx считаются линейными на k , k  1, т.е.
l k u  l k  u  l k 1  l k  
 lk  u  d k
sk  u   sk   u  sk  1  sk  
 sk   u  qk  sk 
Дифференцируя эти равенства по u, получим
l k u  d k , s k  u   sk   qk
Из этих выражений следует, что
s(k )  q k
s (k  u)


s(k  u) s(k )[1  u  qk ]
qk

1  u  qk
(4.1)
(4.2)
(4.3)
 k u  
(4.4)
Таким образом, сила смертности  не постоянна и возрастает на промежутке k , k  1.
Заметим, что условие линейности влечет равенство
l k  l k u  u  d k ,
(4.5)
которое можно интерпретировать как равномерное распределение смертей между возрастами k
и k+1. Другая запись этого условия получается делением равенства (4.5) на l k :
1u pk  u  qk  u  1  pk 
или
u
qk  u  qk , 0  u  1 .
(4.6)
2. Условие постоянства силы смертности.
При этом условии
 x   k u   k , 0  u  1 .
Поскольку
ln sx   k
(4.7)
,
то это условие равносильно экспоненциальному закону распределения sx на k , k  1, т.е.
s  x   ak  e  bk x .
(4.8)
Подставляя в это равенство значения sx из таблицы смертности, получим
sk   ak  e  bk k ,
sk  1  a k  e bk k 1 
 a k  e bk k  e bk .
Откуда следует, что
e bk 
и
sk  1
 pk
sk 
bk   ln p k , a k  s k   p k k .
Тогда выражение для sx имеет вид
sx  sk  u  
 a k  e  bk k u   sk   p ku ,
т.е.
sk  u   sk   p ku .
(4.9)
3. Условие Балдуччи.
Это условие предполагает линейность (равномерность) распределения на
функции
1
,
sx 
т.е.
 1
1 
1
1


 u
 .
sk  u  sk 
 sk  1 sk  
После несложных преобразований получим
s k  1
s k  u  
pk  u  qk
(4.10)
(4.11)
k , k  1
или, деля обе части равенства на sk  , получим
pk
.
u pk 
pk  u  qk
(4.12)
Условие Балдуччи можно переписать и несколько в другом виде. Из (4.11) следует, что
sk  1
.
pk  u  qk 
sk  u 
Правая часть этого равенства есть
1u
p k u .
Так, что
1u
p k u  p k  u  q k
или переходя к дополнительным вероятностям
11u pk u  1  pk  u  qk
откуда
1u
q k u  qk  u  qk  1  u   qk ,
т.е.
1u
qk u  1  u   qk .
(4.13)
Для силы смертности условие Балдуччи дает выражение
qk
s k  u 
.
 k u  

sk  u  p k  u  qk
(4.14)
Заметим, что в отличие от условия линейности функции sx условие Балдуччи влечет
убывание интенсивности смертности между узлами интерполяции.
Пример.
4.1. Найти вероятность того, что 30-летний мужчина проживет еще три
месяца после своего дня рождения. Интерполяцию для дробных возрастов
выполнить при условии:
a). линейности,
b). Балдуччи.
При решении воспользоваться данными таблицы П.2.
Решение:
Искомая вероятность есть
1
4
p30 
l30 14
l30
.
Таким образом, требуется интерполировать данные таблицы П.2 для
нахождения
lx  l3014  l30 14 .
В нашем случае
x  k  u , где k  30 и u  1 4 .
Для случая a) получим
1
 l31  l30  
4
 95265  0,25  95155  95265  95237,5
l30 14  l30 14  l30 
и, следовательно,
1
4
p30 
95237,5
 0,9997113 .
95265
В случае b) на основании (4.12) получаем
p30

p30  14  q30
0,99885

 0,9997122 .
0,99885  14  0,00115
1
p30 
4
В этом примере оба метода интерполяции дают весьма близкие значения для вероятностей
дожития.
1.5
Средняя продолжительность жизни жизни
В актуарных расчетах большую роль играет еще один важный демографический
показатель - средняя продолжительность жизни. Рассмотрим совокупность из l x лиц в возрасте
x. Хотя продолжительность жизни после вступления в возраст x для разных лиц из этой
совокупности различна, тем не менее, можно говорить о средней величине этой
продолжительности. Эта величина определяется вероятностными характеристиками процесса
вымирания данной совокупности. С количественной точки зрения этот процесс описывается
либо теоретической функцией (кривой) дожития
s x t  ,
либо таблицей смертности, содержащей дискретный ряд значений, соответствующий
различным возрастам x. Эти два способа описания процесса вымирания приводят к несколько
различающимся оценкам средней продолжительности жизни.
В первом случае продолжительность жизни конкретного лица в возрасте x может
принимать любые значения в диапазоне от 0 до   x (  - предельный возраст). В этом случае
средняя продолжительность жизни есть математическое ожидание (ожидаемое значение)
случайной величины Tx , представляющей оставшееся время жизни для лица в возрасте x. Эта
величина обозначается как
e x
и называется полной средней продолжительностью оставшейся жизни в возрасте x. Можно
показать, что

1
(5.1)
ex 
  su du .
s x  x
При практических расчетах рассматривают "дискретный аналог" этой величины,
связанный с тем, что продолжительность жизни конкретного лица измеряется с точностью до
года, т.е. округленно. Это особенно удобно при работе с таблицами смертности, в которых
показатели
относятся
к
целым
значениям
возраста
x.
Соответствующая
средняя
продолжительность жизни называется округленной продолжительностью жизни в возрасте x и
обозначается ex .
Рассмотрим теперь схему расчета ex . Пусть l x - число лиц, доживших до возраста x. Тогда
d x из них не проживет и года, d x1 проживут 1 год и умрут, не дожив до x+2 лет, d x2 проживут
2 года и умрут, не дожив до x+3 лет, и т.д. Полное целое число лет, которое проживут лица из
l x совокупности, будет равно
d x1  2  d x2   3  d x3   
и, следовательно, среднее число лет, которое проживут лица из l x , есть
1
ex   d x1  2  d x2  3  d x3  
(5.2)
lx
или
ex 
1  x
  k  d xk .
l x k 1
(5.3)
Заметим, что формулу (5.3) можно переписать в другом виде. В самом деле, выше мы
показали, что выполняются соотношения:
lx1  d x1  d x2  d x3  d x4  
l x2 
d x  2  d x 3  d x  4  
l x3 
d x 3  d x  4  
и т.д.
Складывая эти равенства, мы получим
l x1  l x2  l x3   
 d x1  2  d x2  3  d x3  
и, следовательно,
ex 
1
 l x1  l x2    l 
lx
или коротко
ex 
1 
  ly
l x y x1
(5.4)
Есть ли связь между приведенными двумя характеристиками средней продолжительности
жизни? Без каких-либо теоретических предположений о функции sx об этом сказать ничего
нельзя. Если, например, считать, что она линейна в промежутке между любыми двумя целыми
точками x  k и x  k  1, то можно установить, что
1
e x  e x 
(5.5)
2
В общем случае также пользуются этим равенством, но следует помнить, что тогда оно
является лишь приближенным.
Для того чтобы показать, как работает формула (5.4), найдем среднюю
продолжительность жизни для 95-летнего мужчины, пользуясь таблицей П.1. Из этой таблицы
находим, что:
l96  821 , l97  571 , l98  388 , l99  257 , l100  165 , l101  102 ,
l102  61 , l103  34 , l104  19 , l105  9 , l106  4 , l107  2 , l108  1 ,
Суммируя эти числа, получим
108
l
k  96
k
 2434
и, следовательно,
e95 
1 108
2434
  lk 
 2,106 .
l95 k 96
1156
Заметим, что в этой таблице приводится значение полной средней продолжительности
жизни 95-летнего возраста:

e95
 2,574 .
Разность между полным и округленным значением в нашем случае

e95
e 95  2,574  2,106  0,468 ,
что очень близко к поправке 0,5 из формулы (5.5).
Пример.
5.1.
Пусть функция дожития имеет вид
lx  A  e x .
Найти для этой функции точное и округленное значение средней остаточной
продолжительности жизни в возрасте a, где
1). a=0,
2). a=40.
Решение:
Поскольку
lx  A  e x ,
то
s x  
lx
 e x
l0
Согласно формуле (5.1) имеем

ea 

1
 s x  dx  e a   e  x dx 
sa  a
a

 e a   e  x   1 .

a 

Таким образом, точная средняя продолжительность жизни не зависит от
возраста и равна 1.
Для округленной средней продолжительности получаем, согласно формуле (5.4)
1 
ea    l y .
la ya1
Поскольку в данном случае предельный возраст  равен бесконечности, то
выписанная выше сумма есть ряд
ea 

1 
 l y   ey ,
l a y a 1
y 1
сумма которого
ea 
1
e 1
также не зависит от возраста.
Итак, в обоих случаях
ea  1 и ea 
1
 0,581967 .
e 1
Заметим, что разность между этими значениями приближенно равна 0,4180233,
что достаточно близко к поправке 0,5 из формулы (5.5).
Нет нужды говорить, что функция дожития, использованная в примере,
нереалистична. Данный пример лишь иллюстрирует технику нахождения
средней продолжительности жизни.
1.6
Законы смертности
Поскольку функции sx и l x дают общую характеристику процесса вымирания
населения, попыткам найти адекватную аналитическую формулу для этих функций
придавалось большое значение. Обычно вид этих функций постулировался на основании
некоторых демографических гипотез, а затем на основании статистических данных
производилась оценка параметров, входящих в эти формулы. Трудность состояла в достижении
"достаточно хорошего" соответствия эмпирически получаемым таблицам смертности.
Одна из первых попыток получить аналитическое выражение для sx принадлежит де
Муавру (1725 г.). Он предположил линейный характер убывания sx , т.е.
x
sx  
,
(6.1) ,

где
0  x  ,
а  - заданный предельный возраст. У де Муавра   86 годам.
Предположение де Муавра дает для интенсивности смертности выражение
1
x 
(6.2)
x
и, как легко показать, дает постоянную плотность распределения G x  , что противоречит
опытным данным (см. рис. 2.2.).
В 1825 г. Гомпертц предложил экспоненциальную формулу для силы смертности
x  B  cx .
(6.3)
Закон Гомпертца дает для функции дожития выражение вида
x
l x k  g c ,
(6.4)
где
ln g  
Отсюда, в частности, следует, что
px  g c c 1 .
x
t
B
l
и k 0 .
ln c
g
t
В 1860 г. Мейкем уточнил формулу (6.3) в виде
x  A  B  cx .
(6.5)
(6.6)
Это уточнение вводило два фактора, влияющих на смертность. Первый, представленный
константой A, соответствовал смертности от внешних, не связанных со старением, причин,
например, от несчастных случаев и т.п. Второй, экспоненциальный член соответствовал, как и в
законе Гомпертца, фактору, связанному с "естественной" смертностью.
В дальнейшем (1869 г.) Мейкем ввел еще один линейный член так, что закон смертности
принял вид
x  A  H  x  B  cx .
Наконец в 1931 году Перкс предложил формулу
A  B cx
.
x 
K  c x  D  c x  1
Попытки построить одну универсальную формулу смертности, дающую хорошее
приближение для всего диапазона возрастов, не увенчались успехом. Различные законы дают
разную степень точности для различных возрастных групп. Поэтому на практике используют
кусочные комбинации этих выражений.
Пример.
Найти вероятность
6.1.
5
q30 , исходя из закона Де Муавра, с предельным
возрастом 100 лет.
Решение:
Поскольку в этом примере   100 , то функция дожития будет иметь
вид
100  x
s x  
.
100
Искомая вероятность выражается через sx следующим образом
s30  s35
.
5 q30 
s30
Тогда
5
1.7
q30 
100  30  100  35  70  65  0,07143 .
70
100  30
Общие декрементные таблицы Общие декрементные таблицы
В предыдущем анализе основным фактором, влияющим на численность наблюдаемой
группы, была смертность. В параграфе, посвященном построению таблиц смертности, мы
указывали на влияние и других факторов, таких, как миграция, однако там учет миграции был
необходим лишь для уточнения оценки вероятности q x и не играл самостоятельной роли.
Однако во многих практических случаях уменьшение численности данной группы происходит
вследствие многообразных и одинаково важных причин.
Так состав участников производственного пенсионного фонда неоднороден. Часть его
членов находится в активном (работоспособном) состоянии; часть участников - пенсионеры по
возрасту, часть - пенсионеры по выслуге лет, наконец, еще одна часть получает пенсию по
инвалидности. Ежегодно в каждой из этих групп происходят изменения. Часть людей умирает,
другая часть переходит из активного состояния в одно из перечисленных выше, часть просто
покидает фонд добровольно, например, меняя место работы. Таким образом, изменение
численности той или иной группы может обусловливаться различными причинами и
количественный учет их действия может быть очень важным в практическом отношении. В
этом разделе мы рассмотрим, как такой учет может быть осуществлен.
Начнем с рассмотрения простых примеров. Пусть имеется группа лиц одного и того же
возраста. Пусть, как и раньше единственной причиной убывания числа лиц этой группы смертность. Однако теперь мы будем различать 4 причины смерти: так, например, возможна
смерть от несчастного случая, смерть от инфаркта и т.п. При этом для определенности будем
считать, что в каждом случае возможна смерть только по одной причине, т.е. различные
факторы смерти будем считать взаимоисключающими. Обозначим число живых членов
наблюдаемой совокупности в возрасте x через l x , а число смертей в этом возрасте по каждой
отдельной причине через
d x1 , d x2  , d x3  , d x4  .
Тогда общее число смертей будет равно
d x  d x1  d x 2   d x3  d x4  ,
(7.1)
а число лиц, достигших возраста x, будет равно
(7.2)
l x1  l x  d x .
Данные по численности l x и отдельным видам смертей можно свести в таблицу, во
многом аналогичную обычной таблице смертности. Фрагмент такой гипотетической таблицы
представлен таблицей 7.1.
Возраст
x
1
2 
Таблица 7.1
d x3 
d x 4 
lx
dx
dx
30
100000
1500
2500
2000
4000
31
90000
1800
2600
1900
3800
32
79900
1700
2600
1600
3600
33
70400
1500
1900
1500
3100
34

В общем случае, как было сказано, причина уменьшения группы не обязательно смерть.
Это может быть уход на пенсию, болезнь, переезд в другой город или просто добровольный
уход из группы и т.п. Принцип описания численности группы будет один и тот же. Каждый
фактор уменьшения называют декрементом, а таблицу, описывающую процесс изменения
численности группы под действием этих факторов, декрементной.
Так же, как и в случае обычных таблиц смертности, с декрементами связаны
соответствующие вероятности. Так вероятность для члена группы возраста x достичь возраста
x  n в качестве члена этой группы есть
l xn
(7.3)
n px 
lx
и соответственно вероятность противоположного события
l l
n dx
 x xn .
n qx 
lx
lx
(7.4)
Вероятность для члена группы возраста x покинуть группу по j-ой причине в течение года
есть
q x j  
а в течение n лет:
 j
n qx 
d x j 
,
lx
d x j   d x j 1    d x j n 1
.
lx
(7.5)
(7.6)
Выше базовый период, в течение которого происходил "переход" наблюдаемой группы от
одной численности к другой, был равен году. Конечно, можно было бы выбрать любой другой
промежуток. В пределе возможно описание "процесса выбытия" в терминах непрерывного
времени. В этом случае для каждого участника группы возраста x оставшееся время его
пребывания в группе есть случайная величина Tx . Поскольку выбытие из состава группы члена
возраста x определяется одной из взаимно исключающих причин, то вероятностные
характеристики описываются m-функциями, которые задаются плотностями распределения
g x j  , т.е.
g x j  t   Prt  Tx  t  dt ; J  j  ,
(7.7)
где J- случайная величина, представляющая "номер" причины выбытия.
Следует отметить, что равенство (7.7) задает не условное, а совместное распределение
двух случайных величин
Tx
и
J,
т.е. указывает на вероятность того, что выбытие произойдет в бесконечно малом промежутке
t, t  dt  благодаря фактору (декременту) j.
Поскольку декременты взаимно исключающие и описывают все учитываемые в данном
контексте факторы, то вероятность выбытия по какой-либо причине в бесконечно малом
промежутке t , t  dt  равна
g x t   g x1 t   g x2  t     g x m  t  .
(7.8)
Функция g x t  есть просто плотность распределения случайной величины Tx . Если
выбытие происходит в момент времени t
Tx  t ,
то условная вероятность того, что она произошла по причине j, есть
g  j  t 
.
PrJ  j Tx  t   x
g x t 
Плотность g x t  определяет функцию распределения
(7.9)
x
G x t    g x u du ,
(7.10)
0
и функцию "сохранения"
s x t   1 G x t 
(7.11)
аналогичную функции дожития.
Величина s x t  , обозначаемая также
t
px ,
равна условной вероятности того, что член группы, достигший возраста x, останется в ней до
возраста x  t .
Введем теперь возрастную интенсивность выбытия по данному декременту или просто
силу декремента соотношением
1
 x j t 
 g x j  t 
(7.12)
1  G x t 
или
g x j  t 
.
p
t
x
 x j t 
(7.13)
Общая интенсивность выбытия (по совокупности всех декрементов) есть
g t 
 x t  x
(7.14)
t px
и очевидно равна сумме сил декрементов
 x t   x1t   x2t     xmt
Из уравнения (7.13) следует, что
(7.15)
g x j  t  t p x   x j t
и, следовательно,
 j
1
d x  l x   t p x   x j t dt ,
(7.16)
0
где l x - число лиц группы, достигших возраста x, а, d x j  , как и выше, число лиц группы,
покинувших ее в течение года по причине j.
Построение декрементных таблиц основано на тех же принципах и сопряжено с теми же
трудностями, что и построение обычных таблиц смертности. Поэтому мы не будем входить в
детали и отметим лишь, что оценка вероятностей
d x j 
 j
qx 
lx
также основана на предварительном вычислении соответствующих центральных возрастных
декрементных коэффициентов
d x j 
,
Lx
где L x - среднегодовое число лиц группы между возрастами x и x  1.
m x j  
Предполагая равномерность выбытия, можно считать, что
l l
1
Lx  x x 1  l x   d x ,
2
2
откуда
1
l x  Lx   d x
2
и значит
d x j 
d x j 
 j
(7.17)
qx 

1
lx
Lx   d x
2
Но поскольку
d x  d x1  d x2     d xm  ,
то, подставляя это выражение в (7.17) и деля числитель и знаменатель на L x , получим
q x j  
2  m x j 
2  m x1  m x2     m xm 
Например, для двух декрементов получим систему уравнений
 1
2  m x1
q

 x
2  m x1  m x 2 


2  m x 2 
q  2  
 x
2  m x1  m x2 

(7.18)
(7.19)
Конечно, можно и коэффициенты выразить через вероятности. Для случая двух
декрементов соответствующие формулы имеют вид
 1
2  q x1
m

 x
2  q x1  q x2 

(7.20)

2  q x 2 
m  2  
 x
2  q x1  q x 2 

2
Основные типы контрактов по страхованию
жизни
Введение
Страхование жизни обычно осуществляется в двух видах: страхование сумм (капитала) и
страхование рент (аннуитетов). В первом случае при наступлении страхового события (смерти,
дожития и т.п.) выплачивается единовременно определенная сумма денег. Во втором страховая компания производит регулярные платежи застрахованному, причем начало выплат и
их продолжительность зависят, как и в первом случае, от событий в жизни застрахованного.
Таким образом, в отличие от обычных регулярных платежей с известными суммами и сроками,
которые в финансовой практике называются определенными аннуитетами или рентами,
платежи страховой компании относятся к классу условных или страховых аннуитетов (рент).
Условные аннуитеты составляют также основу пенсионных схем, т.к. пенсии представляют
собой регулярные платежи, начало и конец которых непосредственно связаны с событиями в
жизни участника пенсионной схемы (болезнь, инвалидность, смерть и т. п.)
В этой главе мы рассмотрим лишь простейшие виды страховых контрактов и страховых
аннуитетов, однако принципы расчетов для них являются универсальными и легко переносятся
на более сложные случаи.
Страховые контракты относятся к специальному виду финансовых контрактов и
представляют собой в простейшем случае сделку между двумя субъектами (лицами):
страхователем - лицом, которое страхуется, и страховщиком - лицом, которое страхует
страхователя от определенного риска. В страховании жизни риск, который страхуется,
относится к жизнедеятельности страхователя и определяется такими событиями, как смерть,
болезнь, инвалидность, дожитие и т. п. В большинстве случаев как сами события, так и сроки
их наступления являются случайными.
Заметим, что, хотя смерть является достоверным событием, случайным является ее срок
наступления
Финансовый аспект страхового контракта заключается во взаимных финансовых
обязательствах. Со стороны страхователя это уплата определенной суммы, называемой
премией, со стороны страховщика - выплаты застрахованной суммы или ренты. Обязательство
выплаты премии, как правило, безусловное и осуществляется либо в виде одноразовой уплаты
при заключении контракта, либо в виде серии выплат (срочные премии). Со стороны
страховщика обязательство выплаты условное и связано с наступлением (или не наступлением)
определенных страховых событий. Эти страховые события относятся к классу случайных, и
сроки их наступления являются случайными величинами. Поскольку в финансовой практике
данные суммы в разные моменты времени имеют разную текущую стоимость, то стоимость
обязательств страховщика является случайной величиной, и заранее ничего нельзя сказать о
точном ее значении. Однако страховые события в страховании жизни относятся к событиям,
для которых характерна статистическая устойчивость, т.е. частоты их наступления, при
большом числе страховых контрактов изменяются в малом диапазоне (закон больших чисел).
Это позволяет применять вероятностные и статистические методы для оценки премий и
резервов по большой группе однородных страховых контрактов. Поэтому баланс между
поступлениями (премиями) и выплатами (страховыми суммами) осуществляется не точным его
достижением для каждого отдельного контракта, а по всей совокупности контрактов в целом.
Это достигается тем, что расчет премий осуществляется исходя из средней (ожидаемой)
величины обязательств по контрактам одного вида.
В этой главе речь пойдет о расчете чистых премий или, как еще говорят, нетто-премий.
Нетто-премии вычисляются исходя из равенства (баланса) обязательств страхователя и
страховщика. Реальные или брутто-премии, назначаемые по данному виду контрактов,
содержат так называемую нагрузку (надбавку, накидку), цель которой состоит в компенсации
расходов компании по осуществлению страховой деятельности, создании дополнительных
резервов, получении прибыли и т.п. Финансовое обеспечение контрактов по страхованию
жизни определяется в основном двумя факторами.
Первый связан с возможностью извлечения прибыли на инвестированный капитал,
образованный резервами страховой компании. Эти резервы создаются из премий
страхователей, собственного капитала, нераспределенной прибыли и т.д. В расчетах, связанных
с премиями и резервами, этот фактор учитывается в виде так называемой технической
(ожидаемой) процентной ставки. Реальное ее значение связано с положением на финансовом
рынке и подвержено колебаниям, связанным с изменением конъюнктуры, инфляцией и другими
причинами. Как правило, выбранное значение процентной ставки является более или менее
правдоподобной оценкой будущей реальной процентной ставки.
Другим фактором, играющим важнейшую роль в обеспечении страховых контрактов,
является статистическая оценка страховых событий, которые в страховании жизни относятся к
демографическим событиям. Эта оценка представлена в основном в различных типах таблиц
смертности, о которых говорилось выше. Два эти фактора в реальности всегда действуют
совместно и в актуарных расчетах всегда учитываются.
Роль процентной ставки достаточно очевидна по крайней мере для долгосрочных
контрактов. Схемы расчетов, связанных с нею, составляют содержание финансовой
математики. Роль демографических факторов не менее важна, причем как в краткосрочном, так
и в долгосрочном масштабе времени. Чтобы прояснить роль этих факторов отдельно от влияния
процентной ставки, рассмотрим в иллюстративных целях следующие примеры.
Примеры.
Пусть имеется группа из N лиц в возрасте тридцати лет. Будем считать,
что к ним применима таблица смертности П.1. Рассмотрим ряд простейших
расчетов, связанных со страховыми контрактами различных типов.
1.1. Пусть каждое из N лиц застраховало свою жизнь на 5 лет на сумму
$1000. По условию эта сумма выплачивается наследникам лица, умершего в
возрасте до 35 лет. Дожившим ничего не выплачивается, и премия не
возвращается. Какова теоретическая (чистая) единовременная премия по
каждому из этих контрактов?
Решение:
Согласно таблице смертности (см. табл. П.1) из l30 лиц в возрасте 30 лет
в течение ближайших 5 лет умрут
5
d30  l30  l35
лиц. Вероятность для тридцатилетнего умереть до достижения 35 лет
составит
l30  l35
96564
 1
 0,004772.
5 q30 
l30
97027
Следовательно, из группы в N лиц в среднем умрет
D  N 5 q30
лиц и на каждого из них будет выплачено $1000. Общие расходы компании
составят
s  1000  D  1000  N 5 q30 .
Для обеспечения этих выплат необходимо при заключении контракта с каждого
из страхуемых лиц получить премию в размере
N q
s
p   1000  5 30  10005 q30  4,77 или $4,77.
N
N
1.2. Пусть каждое из N лиц застраховало свою жизнь на $1000 сроком на 5
лет на условиях из предыдущего примера. Какую ежегодную премию должен
вносить каждый из застрахованных в начале каждого страхового года?
Решение:
Различие между условиями контрактов этого и предыдущего примеров
лишь в способе выплаты премий. В предыдущем примере каждое из N лиц внесет
единовременно премию в размере $4,77. В данном же случае премия вносится
ежегодно: первый раз всеми застрахованными при заключении контракта, в
начале следующего года - дожившими до 31 года, в начале второго года дожившими до 32 лет и т.д. Общий размер обязательств компании не изменился
и составляет как и в предыдущем примере
s 1000  D ($),
где
D  N 5 q30
число лиц, не доживших до 35-летнего возраста. Первую премию выплатят все N
лиц, вторую, согласно таблице смертности, выплатят
l31
N
l30
лиц, третью
l32
N
l30
и, далее, четвертую, и пятую соответственно
l33
l34
и
N
N.
l30
l30
Если премия постоянна и равна p, то общие поступления составят
l  l  l  l  l 
p   30 31 32 33 34   N .
l30


Приравняв их к общим обязательствам, получим
l  l  l  l  l 
p   30 31 32 33 34   N  10005 q30  N
l30


или
l  l  l  l  l 
 l 
p   30 31 32 33 34   1000  1  35  .
l30


 l30 
Подставляя значения из таблиц, получим
484249
p
 4,77 ($)
97027
или
p  0,96 ($) ,
т.е. величина премии составляет менее доллара!
Из разобранных выше примеров видно, что конкретное число лиц, заключивших контракт,
несущественно для определения величины премии. Оно играет роль в оценке суммарных
резервов и в финансовой устойчивости страховой компании, но не в оценке премии по балансу
в среднем. В этой оценке важна лишь вероятность наступления страховых событий.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Примеры.
1.3.
Пусть снова группа из N тридцатилетних заключила контракты на
дожитие сроком на 5 лет. По условию контракта каждый из доживших до 35
лет получает сумму в $1000. В случае смерти до достижения 35 лет ничего не
выплачивается и премия не возвращается. Какова единовременная чистая
премия по этому виду контрактов?
Решение:
Согласно таблице смертности из l30 лиц до 35 лет доживут l35 .
Следовательно, для премии размера p уравнение баланса будет иметь вид
p  l30  1000  l35
или
p  1000 
l35
 10005 p30 ,
l30
т.е.
p  1000 
96564
 995,23 ($).
97027
1.4. Пусть условия контракта на дожитие те же, что и в предыдущем
примере, но премия выплачивается в начале каждого года из срока контракта.
Какова величина ежегодной премии при условии, что она постоянна?
Решение:
Обозначив ежегодную премию через p и рассуждая точно так же, как в
примере 1.2, получим
l  l  l  l  l 
l
p   30 31 32 33 34   1000  35
l30
l30


или
p  11 p30  2 p30  3 p30  4 p30   10005 p30
Подставляя значения из таблиц смертности, получим
96564
 484249 
p

1000

97027
 97027 
или
p  1000 
96564
 199,41 ($),
484249
т.е. премия составляет почти $200.
Полученные в примерах (1.2) и (1.4) ежегодные премии сильно отличаются, хотя величина
застрахованной суммы одна и та же, срок и условия выплат одинаковы. Различие между
результатами примеров (1.2) и (1.4) обусловливается, конечно, существенной разницей в
вероятностях дожить или умереть до 35 лет для лица в возрасте 30 лет. Согласно таблицам
смертности вероятность дожития
96564
 0,99523 ,
5 p30 
97027
а вероятность смерти
5
q30  15 p30  0,00477 .
Их отношение равно
208,64.
т.е. равно отношению ежегодных премий для этих контрактов.
Как отмечалось выше, в реальных расчетах приходится учитывать оба фактора:
процентную ставку и вероятность событий. Все актуарные (страховые) расчеты по существу
представляют собой вычисление характеристик случайных величин, представляющих
различные финансовые аспекты страховых контрактов. В первую очередь это вычисление
математического ожидания (ожидаемого значения, среднего значения) случайных величин. Для
характеристики вариации (разброса) значений случайной величины вычисляется дисперсия или
стандартное отклонение. Вычисление этих показателей требует владения по крайней мере
элементарными сведениями из теории вероятностей. В нашем изложении мы не будем
прибегать к систематическому применению методов этой теории. Изложение будет строиться
так, чтобы избежать прямого задания распределения случайной величины и вычисления
ожидаемых значений на основании стандартных приемов. Вместо этого будет последовательно
применяться принцип эквивалентности обязательств в виде "балансовых" рассуждений,
подобных тем, что были использованы в предыдущих примерах. Смысл таких рассуждений
почти всегда очевиден и позволит, во многих случаях, избежать прямого использования
теоретико-вероятностных методов.
2.1. Страхование на дожитие
(pure endowment)
Страхование на дожитие заключается в страховании заданной суммы денег на заданный
срок. Страховое событие, влекущее выплату страховой суммы состоит в дожитии
застрахованного до конца указанного срока. В случае смерти застрахованного в период
действия контракта сумма не выплачивается и премия не возвращается. Нашей целью будет
расчет единовременной чистой премии по такому контракту.
Как обычно принято в актуарной практике, страхуемую сумму условно принимают за 1.
Тогда вычисленная премия будет указывать относительную долю, которую она составляет в
страховой сумме, а значит для любой конкретной суммы величина соответствующей премии
получается умножением этой суммы на "единичную" премию.
Пусть имеется группа из l x страхователей возраста x. Если n - срок контракта, то по
условию каждый из доживших до возраста x  n получит сумму 1. В среднем до возраста x  n
доживут согласно таблицам смертности l xn человек. Суммарные обязательства компании в
этом случае составят сумму l xn . Однако эта сумма относится к моменту времени, отстоящему
от момента заключения контракта на n лет. Текущая стоимость этих обязательств при
выбранной технической процентной ставке будет равна
v n  l xn ,
где
v
1
1 i
дисконтный множитель, соответствующий процентной ставке i. Так как исходное число
застрахованных равно l x , то, обозначая величину единичной премии через n E x , получим, что
общая стоимость премий составит
l x n E x .
Уравнивая обязательства и активы получим
l x n E x  v n  l x  n .
Из этого уравнения имеем
n Ex 
Заметим, что величина
v n  l xn
lx
(1.1)
l xn
lx
представляет собой условную вероятность
n
p x дожития до возраста x  n лица, достигшего
возраста x. Тогда формулу для премий (1.1) можно переписать в виде
n
n E x  v n p x
(1.2)
Формула 1.2 представляет собой формулу для математического ожидания случайной величины
z, которая равна текущей стоимости суммы контракта при факте дожития и нулю в противном
случае. Временная диаграмма страхования на дожитие изображена на рис. 1.1.
Выплаты 1 каждому
из lx+n доживших
x
x+1
x+k
x+n
…
…
l x n E x
lx+n
Сумма премий
Сумма обязательств
Рис. 1.1.
Для упрощения вычислительной работы при актуарных расчетах были введены так
называемые коммутационные функции, для которых составлены таблицы. Важнейшие из них
приведены ниже вместе с определениями
 Dx  v x  l x

 N x  Dx  Dx1    D
(1.3)

x 1
C x  v  d x
M  C  C   C
x
x 1

 x
Как видно из определения, коммутационные функции строятся исходя из заданной
таблицы смертности и при заданных значениях процентной ставки. Коммутационные функции
и их таблицы играли большую роль в докомпьютерную эпоху, поскольку значительно
сокращали объем вычислительной работы. Ныне их роль заметно меньше, т.к. их
непосредственное вычисление на компьютере занимает намного меньше времени, чем поиск в
таблице. К тому же таблицы этих функций приводились лишь для ограниченного диапазона
процентных ставок, поскольку для каждой процентной ставки требуется своя таблица. Для
компьютера этой проблемы не существует. Тем не менее, знакомство с коммутационными
функциями по-прежнему является необходимым элементом актуарного образования.
В приложении приведена таблица коммутационных функций (см. табл. П.4),
соответствующая таблице смертности (см. табл. П.3).
Замечание. В отечественной литературе вместо термина коммутационные функции
используют устаревший термин - коммутационные числа. Мы будем использовать эти термины
как синонимы, хотя термин коммутационные функции более точен.
Вернемся теперь к формуле единовременной премии для чистого дожития
v n  l xn
E

.
n
x
lx
Умножив числитель и знаменатель этой формулы на v x , получим
v xn  l xn
(1.4)
E

n
x
v x  lx
или, используя первую из коммутационных функций,
Dx  n
(1.5)
n Ex 
Dx
Замечания.1. Величина n E x имеет и другое, более сложное, обозначение
Ax:
1
n
Хотя это обозначение более сложное, оно лучше согласуется с общей системой актуарных
обозначений, со многими элементами которой мы впоследствии познакомимся более подробно.
2. Во всех приводимых ниже примерах мы будем пользоваться таблицами
коммутационных функций, приведенными в приложении (см. табл. П.4). Эти таблицы
соответствуют таблице смертности П.3 и процентной ставке равной 4,5%.
Примеры.
1.1. Найти единовременную чистую премию контракта на дожитие для 18летнего мужчины сроком на 20 лет и на сумму $10000.
Решение:
Единичная премия равна
D38 32904,2
 0,399311 .

n E x  20 E18 
D18 82402,5
Следовательно,
p  10000  0,399311  3993,1 .($)
1.2. Вычислить премию для контракта из предыдущего примера для 18-летней
женщины.
Решение:
p  10000 
D38
11723,3
 10000 
 4039,36 ($).
D18
29022,7
Таким образом, стоимость контракта на дожитие для женщин выше, чем для
мужчин, поскольку вероятность дожития для женщин так же выше, и тем
самым для женщин более вероятна выплата страховой суммы.
1.3. Найти единовременную премию страхования 10000$ на дожитие 18летнего мужчины до 60-летнего возраста.
Решение:
В этом примере
x  18, x  n  60 .
Таким образом,
p  10000 
D60
10713,4
 10000 
 1300,13 ($) .
D18
82402,5
Меньшая
величина
премии
в
данном
примере
связана
с
большей
продолжительностью контракта и, следовательно, с меньшей вероятностью
дожития страхователя до требуемого контрактом возраста.
Страхование на дожитие редко используется изолированно, но часто является составной
частью других контрактов. Этот вид страхования делает страховой полис относительно
дорогим, если срок страхования не очень большой.
Пример страхования на дожитие показывает взаимодействие обоих факторов: процентной
ставки и смертности. При этом смертность приводит к тому, что доля взносов (премий)
умерших перераспределяется между дожившими в момент окончания срока действия
контракта, создавая для них дополнительную прибыль помимо той, что обеспечивается
процентами. Так в последнем примере, премия
p= $1300,13 ,
помещенная под 4,5% годовых, через
60-18=42
года даст накопленную стоимость в размере
42
1300,13  1,045  8257,10 ($) .
Фактор смертности увеличивает эту сумму до $10000.
2.2. Пожизненная рента
Во многих случаях люди предпочитают получать не отдельную сумму, а регулярный
доход. В случае, когда такие регулярные выплаты осуществляются в течение всей жизни
застрахованного, говорят о пожизненной ренте. Периодичность выплат ренты может быть
произвольной: годовой, ежемесячной, ежеквартальной и т.д. Для простоты мы будем иметь
ввиду годовой период.
Более точно мы будем говорить об обыкновенной пожизненной ренте. Если рента
покупается лицом в возрасте x в момент заключения контракта, то она выплачивается в конце
каждого года дожития, т.е. в моменты:
x  1, x  2, x  3, ,
т.е. рента выплачивается в конце x  k года, если страхуемый достиг возраста x  k , в
противном случае, т.е. в случае смерти, выплата ренты прекращается.
Нашей целью, как и в случае страхования на дожитие, будет нахождение актуарной
стоимости пожизненной ренты, т.е. величины единовременной чистой премии, которую должен
заплатить страхователь для того, чтобы страховая компания могла обеспечить выплату
пожизненной ренты. Величину ежегодной выплаты будем считать единичной (например в $1).
Пусть l x лиц в возрасте x заключат контракт на пожизненную ренту годовыми выплатами
в $1. Актуарную стоимость такой ренты обозначим через a x . Тогда в момент заключения
контрактов суммарные поступления страховой компании составят
lx  ax .
Эта сумма должна обеспечить пожизненные ежегодные выплаты для всех участников.
Спустя год после заключения контракта оставшиеся в живых
l x 1 участников получат общую сумму
lx 1  1 lx 1 ,
текущая стоимость, которой составит
Спустя два года l x2
v  lx1 .
оставшиеся в живых участники получат общую сумму
l x2  1  l x2 ,
текущая стоимость, которой будет равна
v 2  l x2 .
Продолжая аналогичные рассуждения, получим, что текущая стоимость всех выплат
будет равна
v  l x1  v 2  l x2    v k  l xk 
   v  x  l ,
где  - предельный возраст в таблице смертности.
Баланс между поступлениями и выплатами будет выполнен при условии, что
l x  a x  v  l x1    v k  l xk 
   v  x  l
(2.1)
или в сокращенной форме
 x
l x  a x   v k  l xk .
(2.2)
k 1
Из этого равенства получим выражение для a x :
l
l
l
a x  v  x1  v 2  x2    v  x  
lx
lx
lx
(2.3)
Учтя, что
l xn
 n px ,
lx
получим
a x  v1 p x  v 2 2 p x    v  x   x p x
(2.4)
Умножая числитель и знаменатель каждого слагаемого в правой части формулы (2.3) на
v , получим
D
D
D
a x  x1  x 2     ,
Dx
Dx
Dx
x
или
ax 
Dx1  Dx 2    D
.
Dx
Поскольку согласно определению коммутационных функций
Dx1  Dx2    D  N x1 ,
то получим сокращенное выражение для a x :
(2.5)
ax 
N x1
.
Dx
(2.6)
Временная диаграмма для обыкновенной пожизненной ренты приведена на рис. 2.1.
Обыкновенная пожизненная рента
Выплаты суммы 1 в конце года
lx+1
lx+2
x+1
x+2
lx+k
l
…
x
lx  ax
…

x+k
Сумма премий
Рис. 2.1.
2.3. Приведенная пожизненная рента
Рента этого вида отличается от предыдущей лишь сроками выплат. По этой ренте каждая
выплата осуществляется в начале каждого года контракта, начиная с момента его заключения.
Временная диаграмма для этой ренты приведена на рис. 3.1.
Выплаты суммы 1 в начале каждого года
lx
lx+1
lx+2
lx+k
…
x
x+1
x+2
…
x+k
l x  ax
l-1
l
-1

Сумма премий
Рис. 3.1.
Актуарная стоимость приведенной (единичной) ренты обозначается
ax .
Уравнения для этой величины получаются на основе точно таких же, как в предыдущем
параграфе, рассуждений. Единственным отличием будет то, что первые выплаты будут
произведены сразу после заключения контракта и, следовательно, общая их величина составит
l x  l x 1 .
Текущая стоимость этой суммы будет также l x  ax , т. к. момент выплаты совпадает с
моментом заключения контракта.
Итак
l x  ax  l x  v  l x1  v 2  l x2    v  x  l ,
откуда
ax  1  v 
или
ax 
l x1
l
l
 v 2  x  2    v  x  
lx
lx
lx
Dx  Dx1    D
Dx
(3.1)
(3.2)
Наконец, используя коммутационные функции, можно записать
N
ax  x
(3.3)
Dx
Значения для ax часто указываются вместе с коммутационными. Между стоимостями
двух типов пожизненных рент имеется простое соотношение
a x  ax  1
(3.4)
Примеры.
3.1. Найти стоимость пожизненной ренты с годовыми выплатами в $10000
для лица в возрасте 50 лет. Рассмотреть случаи обыкновенной и приведенной
ренты.
Решение:
В таблице П.4 находим, что
a50  14,895933
Следовательно, стоимость приведенной ренты с $10000 годовыми выплатами
равна
10000  a50  148959,33
Тогда стоимость обыкновенной ренты будет
10000  a50  1  138959,33
3.2. Лицо, застраховавшее свою жизнь на $200000, умирает. Его 60-летняя
вдова решает на деньги, полученные от страховки, обеспечить себе
пожизненную приведенную ренту. Какова величина годовых выплат по этой
ренте?
Решение:
В этом примере известна текущая стоимость всей ренты. Если R величина годовых выплат, то
R  a60  200000 .
Откуда
R
200000
200000

 14757 ($)
a60
13,552888
3.3. При страховании от несчастных случаев, его жертвы получают
страховую сумму в качестве возмещения. По желанию часть или вся сумма
может быть обращена (конвертирована) в ренту. Какова величина ежегодного
дохода от пожизненной приведенной ренты, если она составляет 2 3 суммы
страховки в $696000 от несчастного случая для 28-летнего строителя?
Решение:
2
 696000  464000 .
3
464000
464000
R

 23916,94 ($) .
a28
19,400475
R  a28 
Замечание о терминологии.
В этой главе речь идет об условных или страховых рентах. К ним применяется
терминология, используемая и для определенных рент. Термин рента и аннуитет, как
указывалось, синонимы. Приведенную ренту называют также авансированной или
пренумерандо. Обыкновенную ренту называют рентой постнумерандо.
2.4. Отложенная пожизненная рента
Этот вид ренты отличается от рассмотренных выше тем, что выплаты по ней
осуществляются не в год заключения контракта, а спустя указанное в контракте число лет. Так
если контракт заключается лицом в возрасте x, а величина отсрочки составляет m лет, то первая
выплата будет сделана в возрасте x  m  1 для обыкновенной ренты и в возрасте x+m -для
авансированной (приведенной) ренты.
Актуарная стоимость единичной отложенной ренты обозначается символом
a .
m x
Стоимость приведенной (единичной) отложенной ренты обозначается
a .
m x
Временная диаграмма для отсроченной ренты изображена на рис. 4.1.
Отсроченная пожизненная рента (постнумерандо)
Ежегодные выплаты суммы 1 ,
начиная с x+m+1 возраста
lx+m+1
…
x
l x m a x
x+1
lx+m+2
l
…
x+m
x+m+1

Сумма премий
Рис. 4.1.
Дисконтируя общие суммы выплат, составим уравнение баланса
(4.1)
l x m ax  v m1  l xm1    v  x  l .
Из этой формулы немедленно следует, что
D
   D
a  x m1
m x
Dx
или
(4.2)
m
ax 
N x m1
Dx
(4.3)
Между стоимостями отложенной и немедленной рент существует простая связь
D
a  xm  a xm ,
(4.4)
m x
Dx
т.е. стоимость отложенной на
"дисконтированная" множителем
m
лет
пожизненной
ренты
для
возраста
x
Dxm
Dx
стоимость немедленной ренты для возраста x  m .
Аналогичным образом получается стоимость приведенной отложенной ренты
v m  l xm  v m1  l xm1    v  x  l


a

(4.5)
m x
lx
или
m
ax 
Dx m    D
,
Dx
(4.6)
т.е.
m
ax 
N xm
Dx
При этом очевидно следующее соотношение
a  v m  m a x
m x
(4.7)
(4.8)
Примеры.
4.1. Мужчина в возрасте 40 лет покупает пожизненную ренту (пенсию),
выплаты которой начинаются с 65 лет. Если пенсия составляет $15000 в год,
то какова ее стоимость p?
Решение:
Поскольку x  40 и x  m  1  65 , то m  24 и, следовательно
N
p  1500024 a40  15000  65 
D40
80048,6
 15000 
 40064,63 .
29969,8
Замечание о терминологии.
Отложенную ренту называют также отсроченной, а не отложенную
ренту - немедленной.
4.2. Пятнадцатилетняя девушка получает наследство в $30000. Она
предполагает поступить в университет в возрасте 21 года и покупает ренту с
выплатами, начиная с этого возраста, для обеспечения образования и
последующего трудоустройства. Какова величина R ежегодных выплат?
Решение:
В данном случае
есть
R
N 21
 30000
D15
или
R  30000 
D15
33209,6
 30000 
 1895,49 ($)
N 21
525608,5
Выражения для пожизненных рент указывают общую схему нахождения их стоимостей,
т.е.
a  R
NT
,
Dx
где
a - стоимость ренты,
R - ежегодные выплаты,
x - возраст заключения контракта,
T - возраст, с которого начинаются выплаты,
NT , D x - соответствующие коммутационные числа.
2.5. Срочная страховая рента
Срочная страховая рента представляет собой контракт, по которому выплаты
производятся в течение n лет при условии жизни застрахованного. Выплаты прекращаются,
если застрахованный умирает. Таким образом, если контракт заключается в возрасте x лет на
срок n лет, то рента выплачивается ежегодно при достижении возрастов x+1, x+2, x+3, ..., x+n.
Стоимость ренты такого вида обозначается
a x:n .
Диаграмма ренты изображена на рис. 5.1.
Срочная страховая рента
Ежегодные выплаты 1
lx+1
lx+2
lx+k
…
x
l x  a x:n
x+1
x+2
lx+n-1
lx+n
x+n-1
x+n
…
x+k
Сумма премий
Рис. 5.1.
Балансовое уравнение для срочной ренты имеет вид
l x  ax:n  v  l x1  v 2  l x2    v n  l xn ,
откуда
(5.1)
a x:n 
Dx1  Dx 2    Dxn
,
Dx
(5.2)
а поскольку
N x1  Dx1    Dxn  Dxn1    D ,
а
Dxn1    D ,
N xn1 
то
Dx1  Dx2    Dxn 
 N x1  N xn1
и значит
a x:n 
N x1  N xn1
Dx
(5.3)
(5.4)
Пример.
5.1. Какова стоимость 5-летней страховой ренты с ежегодными выплатами
в $10000 для 18-летнего юноши?
Решение:
10000  a18:5 
N  N 24
N181  N1851
 10000  19

D18
D18
1604568,9  1244767,8
 10000 
 43663,86
82402,5
 10000 
Замечание. Срочную ренту называют также временной рентой.
2.6. Срочная приведенная страховая рента
Если первая выплата по срочной ренте осуществляется сразу после заключения контракта,
т.е. в возрасте x, то такая рента называется срочной приведенной рентой. Стоимость единичной
ренты такого вида для возраста x на срок n лет обозначается
ax:n
Обычные балансовые рассуждения приводят к следующему выражению для ax:n :
ax:n 
N x  N xn
Dx
(6.1)
Пример.
6.1. Какова стоимость пятилетней приведенной ренты в $10000 ежегодно для
18-летнего юноши?
Решение:
N18  N 23

D18
1686971,4  1310276,3
 10000 
 45714,04($) .
82402,5
10000  a18:5  10000 
Очевидно, что для стоимостей введенных выше рент выполнены соотношения
ax  ax:n  n ax ,
ax  ax:n  n ax ,
n
ax  n1 ax
2.7. Срочные отложенные страховые ренты
Если выплаты срочной ренты по контракту отложены на заданное число лет, то такая
рента называется отложенной срочной рентой. Более точно, если x - возраст страхователя, n срок ренты, а m - число лет отсрочки, то для:
обыкновенной ренты выплаты начинаются в возрасте x  m  1 и продолжаются в течение
n следующих лет при дожитии, т.е. при достижении x  m  1, x  m  2,, x  m  n лет;
авансированной (приведенной) ренты первая выплата осуществляется в возрасте x  m
лет, затем по достижении очередного возраста в течение n лет, т.е. по достижении
x  m, x  m  1,, x  m  n  1 лет.
Стоимости срочных отложенных страховых рент обозначаются
и
a
a
mn x
mn x
для обыкновенной и приведенной соответственно.
Имеют место равенства
N
 N xmn1
a  xm1
mn x
Dx
и
mn
(7.1)
N x  m  N x m n
Dx
ax 
(7.2)
Кроме того, выполнены очевидные соотношения
a  a  a .
m n x m x mn x
(7.3)
Точно так же
mn
ax m ax  mn ax
(7.4)
Заметим, что обозначения
mn
ax
и
ax
и
m
a x:n
и соответственно
mn
взаимно эквивалентны.
m
ax:n
Пример.
7.1. Какова стоимость 5-летней страховой ренты в $10000 для 18-летнего
человека, если первую выплату он желает получить при достижении 28 лет?
Решение:
В этом примере x  18, n  5, m  9 . Тогда
N  N 33
100009 5 a18  10000  28

D18
1010797,3  772562,7
= 28911,09
 10000 
82402,5
Очевидно, что стоимость p срочных отложенных рент можно находить по схеме
N  Nz
p  R y
,
Dx
где:
R - величина ежегодных выплат,
x - возраст заключения контракта,
y - возраст первой выплаты,
z - условный возраст последней выплаты, при этом z  y  n ,
n - срок ренты,
N y , Dx - соответствующие коммутационные числа.
Пример.
7.2. Найти стоимость 10-летней ренты для $20000 для 50-летней женщины,
если первая выплата приходится на возраст
a). 50 лет; b). 51 год; c). 62 года?
Решение:
a).
b).
с).
N 50  N 60

D50
107776,5  54147,3
 20000 
 161332,07
6648,3
p  20000 
N 51  N 61

D50
101128,1  50152,0
 20000 
 153350,78
6648,3
p  20000 
N 62  N 72

D50
46365,0  18373,9
 20000 
 84205,29
6648,3
p  20000 
2.8. Схема дисконтирования в актуарных расчетах
Операция дисконтирования, т.е. нахождение текущей (настоящей) стоимости будущих
платежей, является важнейшей операцией в финансовой математике. Она позволяет сравнивать
результаты финансовых контрактов, выплаты по которым отличаются как по величине, так и по
срокам, приводя их к "начальному" моменту времени. Так, если
C : c1 , t1 , c2 , t2 ,, cn , tn 
последовательность (поток) платежей (см. рис. 8.1.) и
v - дисконтный множитель,
соответствующий процентной ставке i , то текущая стоимость потока C равна
PV C  c1  vt  c2  vt    cn  vt
(8.1.)
1
n
2
Сумма ck в момент tk
Текущая стоимость потока C
PV(C)
c1
c2
ck
cn
…
t=0
t1
…
t2
tk
tn
Рис. 8.1.
В формуле (8.1) процентная и соответствующая ей дисконтная ставки постоянны, т.е. не
зависят от времени. В реальности это, конечно, не всегда выполняется и, в общем случае,
множитель v может зависеть от времени, но вид формулы (8.1) от этого не изменится. Если
теперь предположить, что выплаты C смещены (отсрочены) на период T (см. рис. 8.2), т.е. поток
имеет вид
CT : c1 , t1  T ,, cn , tn  T  ,
то текущая стоимость отсроченного контракта будет равна
PV CT   c1  v t1 T  c2  v t2 T    cn  v tn T
или
PV CT   v T  PV C ,
т.е. текущая стоимость отсроченного контракта есть дисконтированная стоимость исходного
контракта.
Отсроченные платежи
PV(CT)
PV(C)
c1
c2
ck
…
0
T
t1+T
t2+T
cn
…
tk+T
Рис. 8.2
tn+T
В актуарных расчетах, как уже отмечалось, существенна не только процентная ставка, но
и демографические параметры, представляющие вероятность различных событий, таких как,
смерть, дожитие и т.п. Совместное действие этих факторов приводит к специальной процедуре
вычисления текущей стоимости страховых контрактов. Тем не менее по форме эта процедура
ничем не отличается от обычного дисконтирования. Разница лишь в том, что "дисконтный
множитель" имеет более сложную структуру и зависит не только от процентной ставки, но и от
вероятностей страховых событий. Для того чтобы разобраться в этом, вернемся к полученным
ранее результатам для страховых аннуитетов.
Рассмотрим совместно следующие формулы текущих стоимостей немедленных и
отложенных рент
N
N
a x  x1 ,
a  xm1 ,
а).
m x
Dx
Dx
N
N
ax  x
a  x  m ,
b).
m x
Dx
Dx
N
 N xmn1
N  N xn1
a x:n  x1
a  xm1
c).
,
mn x
Dx
Dx
N  N xn
N  N x m n
ax:n  x
a  xm
d).
.
mn x
Dx
Dx
Формулы для отсроченных рент имеют знаменатель "сдвинутый относительно" числителя
на срок задержки. Если знаменатель D x записать в виде
Dx  m
1

,
Dx Dx  m
то получим, что формула для отсроченной ренты получается по схеме
D
 x  xm   xm ,
m
Dx
где  x - стоимость какой-либо немедленной ренты.
Так, например
m
ax 
Dx  m
 a xm
Dx
или
m
ax:n 
Dx  m
 axm:n
Dx
и т.д.
В соответствии с (8.1) в случае определенных (а не страховых) рент имеют место
аналогичные соотношения. Так
a  v m  an ,
m n
m
an  v m  an
Таким образом для определенных рент отложенная рента "дисконтируется" на время
отсрочки по сравнению с немедленной. Точно так же в случае страховых рент (т.е. рент,
учитывающих смертность) стоимость отсроченной ренты получается умножением на
множитель
Dx  m
 v m m p x :m E x ,
Dx
(8.2)
который играет роль дисконтирующего. Единственное различие состоит в том, что множитель
m E x зависит не только от длительности отсрочки m, но и от возраста x. С формальной точки
зрения вычисления, как для определенных, так и для условных рент совпадают. Коэффициент
m E x называют иногда "жизненным дисконтным множителем".
Замечание. Для обычных дисконтных множителей справедливо соотношение
v m n  v m  v n .
Аналогичное равенство справедливо и для m E x :
(8.3)
m n E x  m E x  n E x  m
Использование жизненного дисконта можно сформулировать в виде некоторого" правила
отсрочки":
Стоимость отсроченного обязательства для застрахованного возраста x равна
произведению жизненного дисконтного множителя, соответствующего периоду
отсрочки T, и стоимости этого обязательства для застрахованного в возрасте
x  T при условии, что застрахованный дожил до этого возраста, т.е.
(8.4)
Vx T E x  VxT .
В заключение заметим, что, с точки зрения теории вероятностей, процедура
дисконтирования, о которой говорилось выше, заключается просто в нахождении
математического ожидания текущей стоимости обычного финансового контракта, параметры
которого являются случайными величинами. Так пожизненная рента для возраста x
представляет собой обычный аннуитет, если срок жизни застрахованного известен. Но
поскольку он не известен в момент подписания контракта, то его текущая стоимость есть
случайная величина z, значения которой как раз и есть текущая стоимость соответствующих
аннуитетов, т.е.
z : aT ,
где T - округленная продолжительность жизни застрахованного.
Вероятность того, что она будет равна конкретному значению n, есть
PrT  n  n p x  q xn
(8.5)
Тем самым мы имеем дискретную случайную величину z со значениями
an , n = 1, 2, …
причем эти значения она принимает с вероятностями:
n = 1, 2, …
n p x  q xn ,
Согласно определению математическое ожидание этой случайной величины есть сумма
по парных произведений значений этой величины на вероятность, с которой они принимаются,
т.е.
 x
E  z    an  n p x  q x  n
n 1
(8.6)
Хотя это выражение не совпадает, на первый взгляд, с результатом, полученным нами
выше, а именно
ax 
N x1   x n
  v  n px ,
Dx
n1
но после несложных преобразований можно показать, что обе формулы эквивалентны (см.ф-лы
3.1-3.3).
Пример.
8.1
.Какую часть стоимости полиса немедленной пожизненной ренты
должен заплатить страхуемый в возрасте 30 лет, если он желает отложить
выплаты до 50-летнего возраста?
Решение:
Согласно правилу дисконтирования стоимости A немедленной и A
отложенной ренты связаны соотношением
D
A  50  A
D30
Таким образом
A D50 18453,3


 0,388  0,4
A D30 47548,5
2.9. Рекуррентные формулы для вычисления
стоимости страховых рент
Рассмотрим пожизненные ренты для двух смежных возрастов x и
определенности рассмотрим сначала приведенную ренту. Тогда
N
N
ax  x
ax1  x1
и
Dx1
Dx
Поскольку
N x  Dx  N x1 ,
то
ax 
D
Dx  N x1
N
 1  x1  1  x 1  ax 1
Dx
Dx
Dx
и
ax  1 
Dx1
 ax1 .
Dx
(9.1)
Учитывая, что
Dx1
l
 v  x1  v  p x ,
Dx
lx
получаем также
ax  1  v  px  ax1
(9.2)
x  1. Для
Поскольку a  0 , то формулы (9.1-9.2) позволяют последовательно находить ax для
убывающих возрастов
a 1, a 2,
Рассмотрим теперь случай обыкновенной ренты. Так как
ax  a x  1 ,
то, подставляя это выражение в (9.1), получим
ax  1  1 
Dx1
 a x1  1 .
Dx
Вычитая 1 из обеих частей, получим
ax 
Dx1
 a x1  1
Dx
(9.3)
или
(9.4)
ax  v  px  ax1  1 .
Снова начиная с предельного возраста  , для которого a  0 , можно найти значения
a 1, a 2, для остальных возрастов.
2.10. Контракты по страхованию жизни
В предыдущих параграфах основным страховым событием, обусловливавшим выплаты
страховых сумм, являлось дожитие застрахованного до определенного возраста, как в случае
страхования на дожитие, или же сам факт жизни при выплате страховых рент. В этом параграфе
мы начнем изучение контрактов, в которых страховым событием является смерть
застрахованного.
Страхование жизни позволяет за относительно небольшую плату (премию) обеспечить
наследникам значительный доход на случай смерти застрахованного. Рассмотрим следующий
пример.
Пусть 10000 лиц в возрасте 18 лет покупают страховой полис сроком на год. По условиям
страхования в случае смерти застрахованного в течение года его бенефициарий (получатель
страховой суммы) получит $1000. Согласно таблице смертности вероятность для 18-летнего не
дожить до 19 лет составляет 0,00178. Таким образом из 10000 застрахованных около 18 не
доживут до 19 лет и, следовательно, компания выплатит $18000 в среднем по этим полисам.
Это означает, что для обеспечения выплат достаточно взноса в $1,8 с каждого застрахованного.
Величина этой суммы составляет разительный контраст со стоимостью полиса на дожитие.
Стоимость такого полиса на ту же сумму $1000 и на тот же срок в один год составит
1000  1  0,00178  998,22 .
Конечно, это связано с тем, что вероятность прожить 1 год для 18-лет-него намного
больше, чем вероятность умереть. В этом расчете мы не учитывали возможности получения
дополнительной прибыли за счет инвестирования полученных премий. В страховых расчетах
по страхованию жизни, особенно на большой срок, процентная ставка учитывается так же, как
и для страховых рент.
Нашей целью будет определение чистых премий или нетто-премий для различных
контрактов. Рассуждения будут строиться на тех же принципах, что и для страховых рент, т.е.
на сопоставлении суммарных средних выплат и взносов.
Заметим, что для страхования жизни мы будем рассматривать два вида оценок, полную
актуарную стоимость контракта, которая представляет величину одноразовой премии, а также
оценку периодически выплачиваемых сумм - регулярных премий. Естественно, что текущая
стоимость (в среднем) такой последовательности регулярно выплачиваемых премий совпадает
с полной актуарной стоимостью контракта или с одноразовой премией.
Страхование жизни имеет две основные формы: пожизненное и на срок. При этом
страхование на срок часто комбинируют со страхованием на дожитие. Такого рода страхование
называют смешанным. Конкретные типы контрактов различаются еще схемой выплат премий.
Так пожизненное страхование на значительную сумму имеет большую полную стоимость, и
оно редко предусматривает оплату в виде единовременной премии. Как правило, премии
выплачиваются или в течение всей жизни (straight life), или в течение определенного срока
после заключения контракта (limited pay life).
2.11. Пожизненное страхование
Пожизненное страхование на случай смерти предусматривает выплату страховой суммы
после смерти застрахованного лицу, указанному в контракте - бенефициарию. Как правило,
выплата осуществляется сразу же после установления факта смерти. Для упрощения изложения
мы рассмотрим этот вид страхования при условии, что выплата страховой суммы
осуществляется в конце года смерти застрахованного. Найдем сначала актуарную стоимость Ax
контракта такого вида, при условии, что страховая сумма равна 1. Как уже говорилось, это
средняя текущая стоимость страховой суммы, срок выплаты которой неизвестен.
Пусть l x лиц возраста x заключили контракт на пожизненное страхование. Если Ax
стоимость страхового полиса, то суммарные премии страховой компании составят Ax  l x . Эта
сумма должна обеспечить выплаты всех страховых сумм. Спустя год после заключения
контракта лишь l x 1 лиц достигнет следующего возраста, а d x , заключивших контракт, умрут, и
по их полисам будет выплачена сумма d x  d x 1 . Еще через год останутся в живых l x2
человек, а d x1 умрут, и выплаты компании составят d x1  d x1 1 и т.д. Таким образом
ежегодные выплаты компании будут равны
d x , d x1 , , d .
Текущие стоимости этих сумм будут соответственно
v  d x , v 2  d x1 , , v  x1  d ,
и, следовательно, текущая стоимость выплат по всем полисам будет равна
v  d x  v 2  d x1    v  x1  d .
Уравнение баланса примет вид
l x  Ax  v  d x  v 2  d x1    v  x1  d ,
откуда, разрешая относительно Ax , получаем
Ax 
v  d x  v 2  d x1    v  x1  d
lx
или
Ax  v 
dx
d
d
 v 2  x1    v  x1   .
lx
lx
lx
(11.1)
Учтя, что
d xk

lx
k
qx 
k
p x  q xk ,
получим
 x
Ax   v k 1  k p x  q xk
(11.2)
k 0
Это выражение является формулой математического ожидания случайной величины
Z= vTx 
равной множителю дисконтирования для округленной сверху продолжительности жизни
возраста x, т.е.
Ax  E  Z  ,
где
Z  Tx   k  1 , если k  Tx  k  1 .
Поступая точно так же, как при рассмотрении рент, мы можем получить "упрощенную
формулу" для Ax , если воспользуемся коммутационными функциями
C x  v x1  d x
и
M x  C x  C x1    C .
Действительно, умножая числитель и знаменатель каждого слагаемого в (11.1) на v x ,мы
получим
Ax 
v x1  d x  v x2  d x1    v 1  d
v x  lx
или
Ax 
C x  C x 1    C
.
Dx
(11.3)
Наконец
Ax 
Mx
.
Dx
(11.4)
Временная диаграмма пожизненного страхования изображена на рис. 11.1.
Пожизненное страхование
Выплаты суммы 1 при смерти каждого застрахованного
dx
dx+1
x+1
x+2
dx+k-1
…
x
…
x+k
d-2
d-1
-1

Рис. 11.1.
Значения Ax приводятся в таблицах коммутационных функций. Обычно в них
указываются значения Ax для страховых сумм, являющихся "стандартными" значениями,
например, 1000. Таким образом, 1000  Ax указывает величину премии на 1000 единиц
страховой суммы.
Пример.
11.1. Найти стоимость единовременной премии P
страхованию на $10000 для 18-летнего застрахованного.
по
пожизненному
Решене:
Из таблицы П.4 находим, что
P  10000  A18  10  118,41638  1184,16 ($).
Как уже отмечалось, очень мало полисов страхования жизни оплачивается одноразовой
премией. Чаще оплата полиса производится регулярными, например, ежегодными выплатами в
течение всей жизни застрахованного. Найдем величину этих выплат для пожизненного
страхования. Пусть Px - величина ежегодных премий для страхования жизни, причем, будем
считать, что премия выплачивается в начале страхового года. Применим снова балансовые
рассуждения.
Пусть l x - число лиц возраста x, застраховавших свою жизнь. Первую годовую премию
уплатят l x из них, и общая сумма этих премий составит Px  l x . Спустя год l x 1 доживших до
возраста x  1 уплатят второй взнос. В сумме это составит Px  lx1 . Текущая стоимость этих
выплат будет равна v  l x1  Px . Рассуждая подобным образом, получим, что последовательные
поступления в виде уплаченных премий составят
Px  lx , Px  lx1 ,, Px  l ,
а их текущие стоимости
Px  l x , v  P  l x 1 ,..., v  x  Px  l .
Общая текущая сумма премий по всем контрактам составит
Px  l x  v  l x1    v k  l xk    v  x  l  .
Выражение в
застрахованных, т.е.
скобках
есть
текущая
стоимость
пожизненных
рент
для
всех
l x  ax .
Таким образом текущая стоимость всех премий будет равна
Px  ax  l x .
С другой стороны полная стоимость одноразовых премий есть Ax  l x . Таким образом
получаем равенство
Px  ax  Ax
или
Px 
Ax
,
ax
(11.5)
представляющее величину чистой годовой премии для пожизненного страхования на
единичную страховую сумму.
Учтя, что
N
M
ax  x
Ax  x ,
и
Dx
Dx
получим еще одно выражение для Px .
M
Px  x .
(11.6)
Nx
Пример.
11.2. Какова ежегодная (чистая) премия по страхованию жизни на $10000 для
30-летнего мужчины?
Решение:
10000  P30  10000 
 10000 
M 30

N 30
8408,291
 92,51 ($)
908922,4
Вычисление величины ежегодной премии выполнялось при условии ее постоянства в
течение всей жизни. Таким образом Px зависит только от возраста заключения контракта, но не
от времени выплаты.
2.12. Страхование жизни на срок
В контрактах этого рода фиксируется срок n его действия, так что для страхуемого
возраста x, страховая сумма выплачивается только в том случае, если застрахованный умрет, не
дожив до возраста x  n . При этом, как и выше, будем считать, что страховая сумма
выплачивается в конце года смерти застрахованного.
Рассчитаем одноразовую премию
A1x:n
для контрактов этого вида, исходя из единичной суммы контракта. Дословно повторяя
рассуждения, подобные тем, что были сделаны в предыдущих параграфах, получим балансовое
уравнение вида
l x  A1x:n  v  d x  v 2  d x1    v n  d xn1 ,
откуда после умножения обеих частей равенства на v x , получим
Dx  A1x:n  Cx  Cx1    Cxn1
и значит
A1x:n 
C x  C x1    C xn1
.
Dx
(12.1)
M x  M xn
.
Dx
(12.2)
Наконец,
A1x:n 
Если премии выплачиваются ежегодно в начале каждого года, то последовательность их
выплат образует срочный страховой аннуитет
Px1:n  ax:n ,
где Px1:n - величина ежегодной премии.
Таким образом, выполнено равенство
Px1:n  ax:n  A1x:n ,
откуда
Px1:n 
A1x:n
ax:n
Поскольку
ax:n 
.
(12.3)
N x  N xn
,
Dx
то получаем еще одно выражение для Px1:n :
Px1:n 
M x  M xn
.
N x  N xn
(12.4)
Пример.
12.1. Найти одноразовую и годовую премию 5-летнего полиса страхования
жизни на сумму $10000 для 30-летней женщины.
Решение:
1)
2)
M 30  M 35

D30
2507,669  2400,887
 10000 
 63,25 ($) .
16882,4
M  M 35
10000  P301 :5  10000  30

N 30  N 35
2507,669  2400,887
 10000 
 13,83 ($) .
333813,9  256571,4
1
10000  A30
 10000 
:5
Рассмотрим частный случай страхования жизни на срок, а именно, на один год. В этом
случае нет различия между одноразовой и годовой премиями. Их общее значение
C
A1x:1  x  v  q x
(12.5)
Dx
называется часто естественной или базовой премиями для возраста x и обозначается символом
c x . Естественная премия показывает стоимость одного года страхования жизни для возраста x.
Естественно, эта величина меняется с возрастом, причем, как правило, в сторону возрастания,
т.е., чем больше возраст, тем дороже премия. В самом деле, поскольку для возрастов, больших
20,
q y  qx
yx ,
при
то
c y  cx .
Естественно, что стоимость Ax пожизненного страхования есть "дисконтированная
стоимость" одно-годовых контрактов, т.е.
Ax  cx 1Ex  cx1  2 Ex  cx2    x Ex  c ,
(12.6)
где
k
Ex 
Dx  k
 v k k p x
Dx
- жизненный дисконтный множитель.
2.13. Страхование жизни с ограниченным сроком выплат
(limited payment life insurance)
В том случае, когда премии по страхованию жизни выплачиваются периодически, срок
(период) этих выплат может быть либо пожизненным (этот случай был рассмотрен ранее), либо
ограниченным. Таким образом в этом, последнем случае указывается период t, в течение
которого должна быть уплачена полная стоимость страховки. Для возраста x величина
ежегодной премии, уплачиваемой в начале страхового года, обозначается t Px . Для единичной
страховой суммы выплаты премий в течение срока составляют срочную (авансированную)
ренту
ax:t .
Так что общие премиальные выплаты составят в среднем

t Px  a x:t .
Поскольку актуарная стоимость контракта есть Ax , то балансовое уравнение имеет вид

(13.1) ,
t Px  a x:t  Ax ,
откуда
t
Px 
Ax
.
ax:t
(13.2)
Так как
Ax 
Mx
Dx
и
то, подставляя эти выражения в (13.2), получим
Mx
.
t Px 
N x  N x t
ax:t 
N x  N x t
,
Dx
(13.3)
Полисы по контрактам с ограниченным сроком оплаты обычно содержат указание
возраста застрахованного, по достижении которого контракт должен быть полностью оплачен.
Так указание
"оплачен к 65 годам"
означает, что застрахованный должен оплатить полностью контракт к этому возрасту. В
частности, последняя ежегодная премия вносится по достижении 64 лет. Для 20-летнего
застрахованного это означает, что период оплаты контракта составляет 45 лет: от 20 до 65летнего возраста включительно.
Примеры.
13.1. Найти
ежегодные
премии
для
суммы
$10000,
если
возраст
застрахованного 18 лет (муж.), а период оплаты контракта - 20 лет.
Решение:
P  1000020 P18  10000 
 10000 
M 18

N18  N 38
9757,801
 88,4 .($)
1686971,4  583163,0
13.2. Найти годовую премию контракта на
застрахованного с оплатой до 65-летнего возраста.
$10000
для
18-летнего
Решение:
P  1000047 P18  10000 
 10000 
M 18

N18  N 65
9757,801
 60,72 ($).
1686971,4  80048,6
2.14. Смешанное страхование жизни
Это страхование представляет собой комбинацию срочного страхования жизни и
страхования на дожитие с тем же сроком. Более точно в контрактах этого вида указан срок n,
так что страховая сумма выплачивается в двух случаях:
1. Бенефициарию, если застрахованный возраста x не доживет до x  n лет.
2. Застрахованному, если он дожил до возраста x  n .
Актуарная стоимость контракта по страхованию жизни на n лет есть
M  M xn
A1x:n  x
.
Dx
Соответственно актуарная стоимость контракта на дожитие с этим же сроком есть
D
Ax: n1  n E x  x n .
Dx
Ясно, что стоимость смешанного контракта Ax:n есть сумма этих величин, т.е.
Ax:n  A1x:n  Ax: n1 .
(14.1)
Используя коммутационные числа, получим выражение
M  M x  n Dx  n
Ax:n  x

Dx
Dx
или
Ax:n 
M x  M x  n  Dx  n
.
Dx
(14.2)
Пример.
14.1. Найти одноразовую премию смешанного страхования в $10000 для 30летнего мужчины и сроком в 20 лет.
Решение:
A  10000  A30:20  10000 
 10000 
M 30  M 50  D50

D30
8408,291  6616,417  18453,3
 4257,78($).
47548,5
В случае оплаты смешанного страхования ежегодными премиями в начале года величину
такой премии Px:n можно найти из равенства
Px:n  ax:n  Ax:n .
(14.3)
Таким образом
Px:n 
Ax:n
ax:n
или, используя коммутационные функции,
M  M x  n  Dx  n
Px:n  x
.
N x  N xn
(14.4)
(14.5)
Вместо срока страхования в полисах смешанного страхования часто указывают конечный
возраст, например,
"смешанное страхование до 65 лет".
Для застрахованного в 40 лет это означает, что период действия контракта есть возрастной
промежуток 40 - 65 лет. При ежегодных взносах последняя премия вносится по достижении 64
лет.
Пример.
14.2. Найти ежегодную премию по смешанному страхованию суммы $50000
для 40-летнего мужчины со сроком до 65-летнего возраста.
Решение:
M 40  M 65  D65

N 40  N 65
7626,856  4347,424  7794,5
 50000 
 1261,83 ($).
518852,7  80048,6
P  50000  P40:25  50000 
2.15. Страховые резервы
Выше мы упомянули о так называемых естественных премиях
C
cx  x
Dx
для годовых контрактов по страхованию жизни. Их стоимость, как было указано, растет с
возрастом, поскольку растет годовая смертность (после 20-летнего возраста). Рассмотрим
теперь пожизненное страхование с ежегодной постоянной премией. Тогда в первые годы после
покупки полиса ежегодная премия будет выше естественной, и наоборот, в последние годы эта
премия будет ниже естественной. Соотношение между стоимостями этих премий для 20летнего возраста застрахованного изображено на рис. 15.1.
Страховая сумма 1000$
$ 40
$ 35
$ 30
$ 25
$ 20
$ 15
$ 10
$5
20
Естественная
годовая премия
Годовая премия
пожизненного страхования
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
Рис. 15.1.
Если смотреть на пожизненное страхование как на постоянно возобновляемый годовой
контракт, то можно считать, что превышение годовой премии над естественной для ранних
сроков контракта позволяет создать резерв, обеспечивающий выплаты в более поздние сроки.
Рассмотрим следующий пример. Пусть лицо в возрасте 20 лет застраховало свою жизнь на
$1000. Сведем в таблицу 15.1 данные, указывающие стоимость годового контракта
(естественная премия) в диапазоне от 20 до 70 лет, и разность между естественной и
постоянной годовой премией всего контракта.
Таблица 15.1
Возраст
Естественная
Постоянная
Превышение
премия
годовая премия
постоянной
премии над
естественной
20
1,82
6,21
4,39
25
1,69
6,21
4,52
30
1,66
6,21
4,55
35
2,01
6,21
4,20
40
2,89
6,21
3,32
45
4,35
6,21
1,86
50
6,42
6,21
-0,21
55
10,02
6,21
-3,81
60
15,39
6,21
-9,18
65
24,33
6,21
-18,12
70
37,81
6,21
-31,60
Рассмотрим теперь, как формируются резервы страховой компании, продавшей полисы
пожизненного страхования для некоторого возраста, например 20 лет. Пусть все контракты
имеют стоимость $1000 и число застрахованных l20  181322 . Это значение взято из таблицы
П.3. Как указано в таблице 15.1, годовая премия для этого вида контракта равна
1000  P20  6,21 ($).
После продажи полисов компания получила
S20  l20 1000  P20 
 181322  6,21  1126009,62 ($).
В конце года эта сумма с учетом процентной ставки i  0,045 станет равной
S21  S20  1  i  
 1126009,62 1,045  1176680 ($).
В то же время компания зарегистрирует d 2  345 смертей и выплатит по этим полисам
345000$ так, что остаток премий после выплаты страховых сумм составит

S 21
 1176680  345000  831680 ($).
Последняя сумма принадлежит l21  180977 оставшимся в живых, так что на каждого
приходится
V21 
831680
 4,60 ($).
180977
В начале следующего года эти лица внесут премии на сумму
6,21l21  1123867,17 ($)
и резервный фонд составит
831680  1123867,17  1955547,17 ($).
К концу второго года благодаря выплаченным процентам резерв увеличится до
2043546($). Поскольку в конце второго года будет зарегистрировано d21  346 смертей, то
выплаты страховых сумм составят 346000$, а резервы уменьшатся до 1697546,80$ и составят
9,40$ на каждого из l22  180631 , доживших до 22 лет.
Продолжая рассуждения подобным образом, мы можем найти величину резервного фонда
как общего, так и на каждого застрахованного для каждого года. Расчет по такой схеме дает
значение конечных (terminal) резервов на конец каждого страхового года, т.е. после выплаты
страховых сумм и до получения премий за следующий год. Метод расчета резервов, исходя из
полученных премий за вычетом уплаченных страховых сумм, называется ретроспективным
методом, поскольку он основывается на уже полученных премиях и выплаченных страховых
суммах. Существует еще один метод, называемый проспективным, основанный на учете
будущих поступлений и выплат. Конечно, оба метода дают одно и то же значение, если речь
идет о чистых премиях. Проспективный метод основан на общем определении резерва как
разности между текущими стоимостями будущих выплат и будущих премий.
Обозначим символом
величину конечных резервов для пожизненного
t Vx
страхования единичной суммы в конце t-го года после продажи полиса.
В конце t-го года текущее значение предстоящих выплат есть очевидно Axt .
Соответственно текущая стоимость ежегодных премий по этому контракту есть Px  axt .
Следовательно, согласно определению проспективного резерва получаем

(15.1)
t Vx  Axt  Px  axt .
Это равенство может быть переписано в виде
M x t
N
 Px  xt 
t Vx 
Dx t
Dx t
1

 Px   N x  N xt   M x  M xt  ,
Dxt
т.к.
Px  N x  M x .
Замечание. Следует отчетливо понимать, что, говоря о текущей стоимости, мы имеем в
виду год оценки резерва, т.е. t лет спустя после заключения контракта.
При вычислении по ретроспективному методу мы в качестве оценки резервов должны
рассмотреть разницу между полученными премиями и уже выплаченными страховыми
суммами. Если x - возраст заключения контракта, а t - число лет после его заключения, то
оценка резервов относится к возрасту x  t . Если Px - величина ежегодной премии, текущая
стоимость к моменту заключения контракта всех премиальных взносов за t лет для l x
застрахованных составит


Px  l x  v  l x 1  ...  v t 1  l x  t 1  Px  l x  ax:t ,
а текущая стоимость всех выплат (единичной суммы!) v  d x  v 2  d x1    vt  d xt  l x  A1x:t .
Разность между этими суммами в расчете на l x t доживших до возраста x  t составит
lx
 Px  ax:t  A1x:t 
l x t


lx 
N  N xt M x  M xt 
  Px  x

 .
lx1 
Dx
Dx

Так как
lx
v x  lx
D
t
 v  x t
 vt  x ,
l x t
v  l x t
Dxt
то получим, что оценка резервов на дату подписания контракта равна

N  N x t M x  M x t 
vt   Px  x

.
Dx t
Dx t 

Но это значит, что текущее значение этой суммы спустя t лет, т.е. в момент, к которому
относится оценка, будет равна
N x  N x t M x  M x t

.
(15.2)
t Vx  Px 
Dx  t
Dx  t
Таким образом мы доказали, что вычисления резервов по обоим методам дает одинаковый
результат для контрактов страхования жизни.
Этот результат верен и для других контрактов (срочного, смешанного и т.д.). Резервы для
этих контрактов имеют ту же схему индексного обозначения, что и актуарные стоимости этих
контрактов. Так
-величина резервов для смешанного страхования жизни,
t Vx:n
t
Vx:
t
Vx1:n
1
n
-резерв для страхования на дожитие, а
-резерв для страхования жизни на срок.
При этом, конечно,
t
Vx:n  tVx1:n  tVx: n1 .
Проспективный метод позволяет быстро получить выражения для этих резервов:
1
1
1

(15.3),
t Vx:n  A x  t : n  t  P x:n  ax  t : n  t ,
t
Vx: n1  Axt: n11  Px: n1  axt: nt
(15.4)
и, наконец,
t
Vx:n  Axt: nt  Px:n  axt: nt .
(15.5)
Пример.
15.1. Найти величину резерва на конец 5-го страхового года для 10-летнего
смешанного страхования жизни на $1000, если в момент заключения контракта
застрахованному 20 лет.
Решение:
В конце 5 года застрахованному будет 25 лет. К этому моменту времени
текущая стоимость будущих (ожидаемых) выплат равна одноразовой премии
для смешанного страхования $1000 на 5 лет. Тогда
M  M 30  D30
1000  A25:5  1000  25

D25
8859,475  8408,291  47548,5
 1000 
 803,11 ($).
59767,4
Ежегодная премия для исходного 10-летнего контракта равна
M  M 30  D30
1000  P20: 10  1000  20

N 20  N 30
9477,262  8408,291  47548,5
1000 
 78,80($).
1525855,4  908922,4
Ежегодные выплаты этой суммы в течение последних 5 лет образуют
страховую ренту с текущей стоимостью (на момент оценки резерва!)
N  N 30
78,80  a25:5  78,80  25

D25
1182196,8  908922,4
78,80 
 360,297 ($)
59767,4
и, следовательно, резерв на 5 год контракта составит
V  803,11  360,297  442,816 ($).
Замечание. Следует обратить внимание на некоторое отличие в определении резерва по
ретроспективному и проспективному методам. При ретроспективном методе резерв
определяется как разность между накопленными вместе с процентами премиями и
произведенными выплатами в расчете на каждого живого к моменту оценки резервов. При
проспективном методе разность рассматривается между текущими оценками будущих выплат
(обязательств, пассивов) и будущих поступлений (активов). Перестановка мест активов и
пассивов при переходе от одного метода к другому естественна. В начальном периоде
поступления превышают расходы и их разность (положительная) формирует резерв. Этот
резерв обеспечивает возможность выплат страховых сумм в будущем, когда годовые
поступления станут меньше естественной премии. Поэтому будущие обязательства больше
будущих выплат как раз на величину резерва. Условно соотношение между ретроспективным и
проспективным подходом можно изобразить схемой на рис. 15.2.
Полученные премии
Будущие выплаты
страховых сумм
V
t x
Выплаченные
страховые суммы
Будущие премии
x

x+t
Рис. 15.2
Величину резерва называют также стоимостью полиса на момент оценки. Именно на
такую сумму может претендовать застрахованный, если он решает расторгнуть контракт в
период его действия.
Вычисление резервов без помощи компьютера предполагает наличие специальных
таблиц, содержащих значения не только стандартных коммутационных чисел, но и значения
для Ax , Px и ax .
Существует еще один довольно быстрый метод вычисления резерва, известный как метод
Фэклера. Чтобы вывести формулу для вычисления резервов по этому методу, рассмотрим l x
лиц возраста x, покупающих полис на единичную страховую сумму для какого-нибудь
контракта. Спустя t лет каждый l x t из доживших обладает "накопленным резервом" t V . В
начале следующего t  1 года каждый из них уплатит ежегодную премию P. Это дает сумму
 t V  P   l x t .
В конце года эта сумма увеличится благодаря начислениям процентов до величины,
равной
 t V  P  lxt  1  i  .
Из этой суммы компания выплатит общую страховую сумму d xt . Остаток составляет
суммарный резерв для l xt 1 доживших до x  t  1 лет, т.е.
 t V  P  lxt  1  i   d xt t 1V  lxt1 .
Разделив это равенство на l xt 1 и полагая
d x t
1 i
 k x t
l x t 
 u x t ,
и
l xt 1
l xt 1
получим
V   t V  P   u xt  k xt .
(15.6)
t 1
Эта формула называется формулой Фэклера. С ее помощью можно рассчитать
последовательно резервы для любого страхового года. Так как очевидно, что 0 V  0 , то для
первого года
V  P  ux  k x .
1
Подставляя 1V в формулу Фэклера, можно найти
2
V и т.д. Коэффициенты u x и k x легко
затабулировать, и тем самым быстро вычислить последовательные резервы. Формула Фэклера
относится к классу рекуррентных. Ниже мы получим еще ряд формул этого типа, но сначала
выясним, какая связь существует между различными видами актуарных оценок.
2.16. Связь между актуарными оценками
страховых рент и страховых полисов
Выше мы получили значения текущих стоимостей для страховых рент: пожизненной
N

1   x
ax  x 
  Dxk  ,
Dx Dx  k 0

срочной
ax:n 
N x  N xn
1

Dx
Dx
 n1

  Dxk  ,
 k 0

а также для текущих стоимостей одноразовых премий: пожизненного страхования жизни
M
1   x

Ax  x 
  C x k  ,
Dx Dx  k 0

срочного
A1x:n 
и на дожитие
M x  M xn
1 n1

  C xk ,
Dx
Dx k 0
Ax:
1
n

Dx  n
.
Dx
Наконец для ежегодных премий по эти контрактам были получены выражения
M
Px  x ,
Nx
M  M xn
Px1:n  x
,
N x  N xn
Dx  n
Px: n1 
.
N x  N xn
Покажем, что между этими величинами существует связь. Начнем с преобразования
выражения для
C x  v x1  d x .
Поскольку
d x  l x  l x1 ,
то
C x  v x1  l x  l x1   v  Dx  Dx1 
 1  d   Dx  Dx1  Dx  Dx1  d  Dx .
Здесь
d  1 v 
i
1 i
-дисконтная ставка, соответствующая годовой процентной ставке. Последовательно выписывая
полученные выражения для C x , получим
Cx  Dx  Dx1  d  Dx ,
Cx1  Dx1  Dx2  d  Dx1 ,
Cx2  Dx2  Dx3  d  Dx2 ,

Cxk  Dxk  Dxk 1  d  Dxk ,

Складывая эти равенства, получим
C x  C x1    
Dx  d  Dx  Dx 1  
или
M x  Dx  d  N x ,
откуда делением обеих частей на D x получим
Ax  1  d  ax .
(16.1)
(16.2)
Разделив (16.1) на N x , получим
Px 
1
d .
ax
(16.3)
Если суммировать выражение для C x не до предельного возраста, а до x  n  1 , получим
равенство
M x  M xn  Dx  Dxn  d  N x  N xn  .
Из (16.4) следуют соотношения для срочных контрактов:
(16.4)
A1x:n  1  Ax: n1  d  ax:n ,
(16.5)
Ax:n  1  d  ax:n ,
(16.6)
1
d .
ax:n
(16.7)
Px:n 
Используя полученные соотношения, можно получить новые выражения для резервов.
Так для резервов по страхованию жизни имеем

t Vx  Axt  Px  a xt 
 1  d  axt  Px  axt 
 1  Px  d   axt
и т.к.
Px  d 
1
,
ax
то получаем равенство
t
Vx  1 
axt
.
ax
(16.8)
Подставляя вместо ax равносильное выражение
1  Ax
,
d
получим
t
Vx  1 
A  Ax
1  Axt
 x t
.
1  Ax
1  Ax
Наконец
t
 P  a 
Vx  Axt  Px  axt  Ax t  1  x x t  
Ax t 


P 
 Axt  1  x   Pxt  Px   axt 
 Pxt 
P  Px
 x t
.
Pxt  d
Итак, мы получили два выражения для резервов через полные и годовые премии. т.е.
Axt  Ax
(16.9)
t Vx 
1  Ax
и
t
Vx 
Pxt  Px
.
Pxt  d
(16.10)
Аналогичные формулы можно получить и для других контрактов.
2.17. Рекуррентные формулы для резервов
В этом параграфе мы найдем соотношения для резервов в два последовательных года.
Поскольку
ax  a x  1 ,
то подставляя это выражение в формулу

t Vx  Axt  Px  a xt ,
получим равенство
t
Vx  Px  Axt  Px  axt .
Используя рекуррентные соотношения для премий и рент, т.е.
Axt  v  qxt  v  pxt  Axt 1 ,
axt  v  pxt  axt 1 ,
после несложных преобразований получим
 t Vx  Px   1  i   qxt  pxt t 1Vx .
(17.1)
Эта формула показывает, что сумма резерва и премии на начало года вместе с процентами
за этот год равна сумме годовых выплат и резервов на конец года. Если заменить p xt на
1  q xt , то получим
 t Vx  Px   1  i   tVx  q xt  1 t 1Vx  .
(17.2)
Эта формула показывает, что сумма резерва и премии вместе с процентами за год равна
резерву следующего года и превышению страхуемой суммы (единичной!) над стоимостью
полиса (см. замечание в конце п.15). Если рассматривается не единичная сумма контракта, а
произвольная, скажем, S, то последовательные резервы, рассчитанные для этой суммы, связаны
равенством
 t V  P   1  i   t 1V  q  S t 1V .
(17.3)
Здесь через t V и P обозначены резерв и годовая премия для контрактов любого вида.
Легко заметить, что формулы (17.1) и (17.2) являются вариантами формулы Фэклера,
приведенной в конце п. 15.
2.18. Монотонные страховые ренты
До сих пор ренты, связанные с выплатами страховых сумм или премий были
постоянными, т.е. не изменялись во времени. В этом параграфе мы рассмотрим переменные,
например, возрастающие или убывающие ренты.
Начнем с пожизненной возрастающей ренты. Это означает, что в первый год
выплачивается единичная сумма -1, во второй год -2, и т.д. Пусть сначала рента является
авансированной (пренумерандо). Диаграмма ее выплат изображена на рис. 18.1. Текущая
стоимость этой ренты обозначается Iax .
Возрастающая авансированная авансированной рента
Годовые возрастающие выплаты
1
2
3
x
x+1
-x+1
k+1
…
…
x+2
x+k

Рис. 18.1
Применяя дисконтирование с помощью жизненного дисконтного множителя
Dx  k
,
k Ex 
Dx
получим, что
Iax  Dx  2  Dx1  3  Dx2   
Dx
Dx
Dx
Dx  2  Dx 1  3  Dx  2  
.
Dx
Но
Dx  2  Dx1  3  Dx2   
 Dx  Dx1  Dx2  
 Dx1  Dx2  
 Dx2  

или
Dx  2  Dx1  3  Dx2    N x  N x 1  N x  2  
Итак
Iax  N x  N x1  N x2  
Dx
.
(18.1)
Сумма коммутационных чисел есть также коммутационное число, обозначаемое S x и
S x  N x  N x1    N  x .
Таким образом
Iax 
Sx
.
Dx
(18.2)
Рассмотрим теперь случай срочной авансированной возрастающей ренты. Схема ее
платежей изображена на рис. 18.2.
Возрастающая авансированная срочная рента
Годовые возрастающие выплаты
1
2
3
n
…
x
x+1
x+2
…
x+n-1

Рис. 18.2
Ясно, что текущая стоимость такой ренты есть
Iax:n  Dx  2  Dx1    n  Dxn1 .
Dx
Несложные преобразования показывают, что
Dx  2  Dx1  3  Dx2    n  Dxn1 
 N x  N xn  N x1  N xn    N xn1  N xn 
 S x  S x n  n  N xn .
(18.3)
Таким образом
Iax:n

S x  S xn  n  N xn
.
Dx
(18.4)
Обыкновенная возрастающая рента (постнумерандо) отличается от авансированной
отсрочкой на один год, таким образом
Ia x  Dx1  Iax1
(18.5)
Dx
или
Ia x  S x1
Dx
.
(18.6)
Соответственно для срочной возрастающей ренты постнумерандо имеем
Ia x:n  Dx1  Iax1:n
Dx
или
Ia x:n

S x 1  S x  n 1  n  N x  n 1
.
Dx
(18.7)
Перейдем теперь к убывающим рентам. Естественно, что можно говорить лишь о срочных
убывающих рентах. Схема такой авансированной ренты изображена на рис. 18.3.
Убывающая рента
Убывающие годовые выплаты
n
n-1
n-2
1
x
x+1
x+2
…
…
x+n-1

Рис. 18.3.
Текущее значение стоимости убывающей ренты равно
Dax:n  1  n  Dx  (n  1)  Dx1    Dxn1 
Dx
или после несложных преобразований
n  N x  S x 1  S x  n1
Dax:n 
.
Dx
(18.8)
Для убывающей ренты постнумерандо из соотношения
Da x:n  Dx1  Dax1:n
Dx
получим
Da x:n

n  N x 1  S x  2  S x  n 2
.
Dx
(18.9)
2.19. Общая схема страхования жизни
(variable life)
Рассмотрим одну общую схему контрактов по страхованию жизни. Схема задается
последовательностью страховых сумм
c1 , c2 ,, cn ,
причем сумма cn выплачивается в конце n-го года после заключения контракта, если
застрахованный умер в этом году. Временная диаграмма для контрактов такого вида
изображена на рис. 19.1.
Общее страхование жизни
Страховые суммы
c1
c2
cn
c-x
…
x
x+1
…
x+2
x+n

Рис. 19.1.
Если Tx - время оставшейся продолжительности жизни, то сумма cn будет выплачена,
если
n 1  Tx  n .
Вероятность этого события есть
Prn  1  Tx  n 
n1
p x  qxn1 .
Если через z обозначить текущую стоимость выплаченной страховой суммы, то она
представляет собой случайную дискретную величину, причем значение z  v n  cn эта величина
принимает с вероятностью n1 px  qxn1 .
Таким образом, актуарная стоимость контракта, равная математическому ожиданию этой
величины, есть
 x
A  E  z    v n  cn 
n 1
n 1
p x  q xn1
или
A
  x 1
c
n 0
n1
 v n1 n p x  q xn .
(19.1)
Поскольку
n
px 
l xn
lx
q xn 
и
то
n
и значит
p x  q xn 
d xn
lx
d xn
,
l xn
 x
A   cn1  v n1 
n0
d xn
.
lx
Наконец, используя коммутационные числа, можно записать
 x
C
A   cn1  xn .
Dx
n0
(19.2)
(19.3)
Стоимость A можно выразить через стоимость отсроченных годовых контрактов
A A
n 1 x n x:1 .
Тогда имеем
 x
A   cn1 
n 0
n1
Ax .
(19.4)
В общем случае, т.е. для произвольных выплат, выражение для A упростить невозможно.
Рассмотрим, однако, два частных случая возрастающих и убывающих выплат. Для
стандартного возрастающего пожизненного страхования
k  1,2,,   x
ck  k ,
и формула (19.3) примет вид
IAx 
1  x
  k  1  Cxk .
Dx k 0
(19.5)
Поскольку
 x
 k  1  C
k 0
kx
 C x  2  C x1  3  C x2  
 Cx  Cx1  Cx2  Cx3   
 Cx1  Cx2  Cx3   
 C x  2  C x 3   
 C x 3   
 M x  M x1  M x2    M  ,
то, используя еще одну коммутационную функцию
Rx : M x  M x1    M  ,
получим
IAx 
Rx
.
Dx
(19.6)
Для срочного страхования с возрастающими выплатами
k  1,2,, n .
ck  k ,
Аналогичными рассуждениями из выражения
n1
IA1x:n   k  1  Cxk
D
k 0
получим формулу
IA1x:n

(19.7)
x
Rx  Rx  n  n  M x  n
.
Dx
(19.8)
Наконец, для смешанного страхования с возрастающими страховыми суммами и
выплатой при дожитии страховой суммы n имеем очевидную формулу
IAx:n  IA1x:n
 n  Ax: n1 ,
(19.9)
которую можно переписать в виде
R  R x  n  n  M x  n  n  Dx  n
( IA) x:n  x
.
Dx
(19.10)
Рассмотрим теперь случай убывающих страховых сумм для чистого страхования жизни на
срок. В этом случае
k  0,1,, n  1 .
ck 1  n  k ,
Стоимость контракта такого вида будет равна
n1
DA1x:n   n  k   Cxk
D
k 0
x
или, после несложных преобразований,
DA 1x:n  n  M x  Rx1  Rxn1 .
Dx
(19.11)
Между монотонными рентами и монотонными контрактами страхования жизни есть
связь, аналогичная той, что была установлена для постоянных рент и контрактов (level life
policy). Начнем с соотношения между коммутационными функциями. Так как
M x  Dx  d  N x ,
то, суммируя по x, получаем
Rx  N x  d  S x .
Поэтому
IAx 

Rx N x  d  S x


Dx
Dx
Nx
S
N
 d  x  x  d  Ia x ,
Dx
Dx Dx
но
Nx
 ax
Dx
и, следовательно,
IAx  ax  d  Iax
.
(19.12)
2.20. Специальные виды контрактов, часто
встречающиеся в практике страхования жизни
Выше мы рассмотрели подробно основные типы страховых контрактов и рент. В этом
параграфе мы рассмотрим некоторые специальные виды контрактов, встречающиеся в практике
страхования жизни.
Начнем с контрактов, к которым непосредственно применимы формулы, полученные в
предыдущем параграфе. Это так называемые контракты с бонусом. Например, пожизненное
страхование с бонусом означает ежегодное возрастание страховой суммы на заданную
величину (бонус), которую мы обозначим b. Если начальная величина страховой суммы равна S,
то значения этих сумм образуют возрастающую арифметическую прогрессию
S1 , S 2 ,, Sk , ,
где
Sk  S  k  1  b .
Страховая сумма выплачивается в конце k-го страхового года при условии, что застрахованный
умер в этом году.
Контракт такого рода можно считать состоящим из обычного контракта пожизненного
страхования на сумму S и отсроченного на год стандартного возрастающего контракта на
сумму b. Диаграмма контракта изображена на рис. 20.1.
Пожизненное страхование с бонусом
Страховые суммы
S
S+(k-1)b
S+b
…
x
x+1
…
x+2
x+k

Рис. 20.1.
Таким образом, его стоимость равна
Ax S , b   S  Ax 
Dx 1
 b  IA x 1 ,
Dx
(20.1)
где
IAx1 
Mx
Dx
и
Ax S , b  
S  M x  b  Rx1
.
Dx
Ax 
Следовательно,
Rx1
.
Dx1
(20.2)
Если контракт оплачивается ежегодными премиями, то их величина составляет
A S , b  S  M x  b  Rx1
Px S , b   x

.
(20.3)
ax
Nx
Для срочных контрактов страхования жизни с бонусом временная диаграмма изображена
на рис. 20.2.
Срочное страхование жизни с бонусом
Страховые суммы
S
S+(n-1)b
S+b
…
x
x+1
x+2
…
x+n
Рис. 20.2.

Величина одноразовой премии такого контракта будет равна
D
1
A1x:n S , b   S  A1x:n  x 1  b  IA x 1: n 1
Dx
или
(20.4)
A1x:n S , b  

S  M x M xn   b  Rx1  Rxn  n  1  M xn 
.
Dx
(20.5)
Величина ежегодной премии по этому контракту составит
A1x:n S , b 
1
Px:n S , b  
ax:n
или
Px1:n S , b 

S  M x  M xn   b  Rx1  Rxn  n  1  M xn 
.
N x  N xn
Наконец, для смешанного страхования эти формулы имеют вид
D
Ax:n S , b   S  Ax:n  x1  b  IAx1: n1
Dx
и
Px:n S , b  
Ax:n S , b 
ax:n
.
(20.6)
(20.7)
(20.8)
Мы не будем выписывать выражения для этих премий через коммутационные функции.
Они получаются простой подстановкой соответствующих формул из предыдущего раздела.
Перейдем к рассмотрению так называемых возвратных контрактов. В обычных
контрактах страховщик выплачивает страховую сумму в обмен на полученные премии. Сами
же премии не возвращаются. В возвратных контрактах выплачиваются не только страховые
суммы, но и премии. При этом возврату подлежат либо нетто-премии, либо брутто-премии.
В этом разделе мы рассмотрим случай возврата нетто-премии. Начнем с расчета
одноразовой премии для пожизненного страхования. Обозначим эту премию через A.
Итак, по возвратному контракту в случае смерти застрахованного будет выплачена
страховая сумма S и уплаченная премия A, так что общие выплаты составят S  A . Актуарная
стоимость этой суммы для возраста x есть
S  A  Ax .
С другой стороны, одноразовая премия совпадает по определению с актуарной
стоимостью, так что A удовлетворяет уравнению
A  S  A  Ax .
Решая это уравнение относительно A, получим
1  Ax   A  S  Ax
или
AS
Ax
.
1  Ax
(20.9)
Для единичной страховой суммы получим
Ax
Axrev 
.
1  Ax
Подставляя выражение для Ax , т.е.
M
Ax  x ,
Dx
(20.10)
и упрощая, получим
Axrev 
Mx
.
Dx  M x
(20.11)
Совершенно аналогично рассматривается случай возвратного контракта на дожитие. Если
S есть величина страховой суммы, A - пока неизвестная величина единовременной премии, то
уравнение для A имеет вид
A  S  A   n E x .
(20.12)
Ex
1 n E x
(20.13)
Откуда
AS
n
или для единичной страховой суммы
Ex
.
1 n E x
Подставляя в эту формулу выражение для n E x , т.е.
Dx n
,
n Ex 
Dx
Axrev
:
n
Axrev
:
n
1

n
(20.14)
получим
1

Dx  n
.
Dx  Dx  n
(20.15)
Для срочного контракта страхования жизни с возвратом премии получим выражение
A1x:n
1rev
(20.16)
Ax:n 
1  A1x:n
или
A1x:rev

n
M x  M xn
.
Dx  M x  M x  n
(20.17)
Наконец, для смешанного страхования жизни с возвратом премии как в случае смерти, так
и дожития получаем выражение
Ax:n
Axrev

(20.18)
:n
1 Ax:n
или, используя коммутационные числа,
M x  M x  n  Dx  n
Axrev

.
:n
Dx  Dx  n  M x  M x  n
(20.19)
Заметим, что единовременная премия для возвратного смешанного страхования не равна
сумме единовременных премий для возвратных контрактов на дожитие и на случай смерти.
Формулы для возвратных контрактов относительно просты и имеют общую схему
A
A rev 
,
1 A
где A - стоимость обычного контракта.
Замечание. Отметим, что выше были рассмотрены возвратные контракты, в которых
возвращалась лишь нетто-премия, хотя на практике выплачивается, конечно, брутто-премия.
Расчеты контрактов, при которых возвращается брутто-премия, проводятся по той же схеме с
учетом нагрузок (см. ниже). Наконец, отметим, что в отечественной литературе возвратное
страхование, т.е. страхование с возвратом выплаченных премий, называется накопительным.
Коснемся теперь некоторых видов смешанного страхования, в которых страховые суммы
на дожитие и на случай смерти не обязательно равны. В отечественной практике одним из
наиболее распространенных видов смешанного страхования является контракт, при котором в
случае смерти выплачивалась сумма в два или три раза большая страховой суммы на дожитие.
Схема тарифных расчетов смешанного страхования с неравными страховыми суммами
очевидна.
Пусть S1 - страховая сумма на дожитие, а S 2 - страховая сумма на случай смерти. Тогда
единовременная премия такого контракта есть, очевидно,
A  S1  Ax: n1  S 2  A1x:n .
(20.20)
Например, в случае S1  S , S2  2  S1  2  S получим
A  Ax: n1  2  A1x:n  S
(20.21)


или на единицу страховой суммы
Ax:
1
n
 2  A1x:n
(20.22)
соответствующая страховая премия равна
A
P
.
ax:n
(20.23)
Коснемся еще одной разновидности смешанного страхования жизни. Рассматривая выше
тип страхования с возвратом премии, мы подразумевали, что она возвращается как в случае
смерти, так и в случае дожития. На практике используются и альтернативные схемы возврата
премий. Например, только в случае смерти или, напротив, только при дожитии. Расчет премий
для таких контрактов несложен и проводится с использованием рассуждений, аналогичных тем,
что были приведены выше. Так, если A - единовременная премия для смешанного страхования
на сумму S и с возвратом премии только в случае смерти, то очевидно, что уравнение,
определяющее A, имеет вид
A  S  Ax: n1  S  A  A1x:n
(20.24)
или
A  S  Ax:n  A  A1x:n ,
откуда получаем
AS
Ax:n
1  A1x:n
.
(20.25)
Совершенно аналогично в случае возврата премии только при дожитии получаем
уравнение
A  S  A1x:n  S  A  Ax: n1 .
(20.26)
Решая это уравнение относительно A, получим
A1x:n
.
A S
1 Ax: n1
(20.27)
2.21. Ренты, выплачиваемые несколько раз в год
Многие ренты выплачиваются чаще, чем раз в год. Например, пенсии выплачиваются
ежемесячно. Премии по страховым контрактам также часто вносятся ежемесячно или раз в
квартал. В этом параграфе мы получим оценки актуарной стоимости таких рент.
Хотя принцип получения оценок остается абсолютно тем же, что и в случае годовых рент,
вывод окончательных формул, выражающих эти оценки через стандартные параметры
(коммутационные числа) затруднителен. Трудность состоит в том, что приходится
использовать значения функции дожития для дробных возрастов. Если функция дожития не
задана аналитическим выражением, определенным для всего диапазона возрастов, то
приходится прибегать к интерполяции.
Рассмотрим, например, обыкновенную пожизненную ренту, выплачиваемую m раз в год,
причем общие годовые выплаты составляют единичную сумму. Таким образом величина
однократной выплаты равна 1 m . Поскольку рента обыкновенная, то она выплачивается в конце
каждого периода, и диаграмма ее выплат имеет вид, изображенный на рис. 21.1.
m-кратная обыкновенная пожизненная рента
Регулярные выплаты m раз в год
1
x
1
m
x 1
m
… x
m
m 1
m
1
m
x+1
1
m
… x+k
1
1
m
xk 1
m
m
… 
a (m)
x
Рис. 21.1.
Текущая актуарная стоимость такой ренты для возраста x обозначается через
a x m  .
Общая формула стоимости для такой ренты получится актуарным дисконтированием
отдельных выплат так же, как и в случае годовых рент. Таким образом
m  x 
1 tm
(21.1)
axm   
 v  t px .
m
t 1 m
В случае авансированной пожизненной ренты, выплачиваемой m раз в год с одноразовой
выплатой суммы 1 m в начале каждого периода, диаграмма выплат будет иметь вид,
изображенный на рис. 21.2.
Пожизненная авансированная m-кратная рента
Регулярные выплаты m раз в год
1
x
1
m
x 1
m
… x
1
m
m 1
m
m
x+1
1
1
m
xk 1
… x+k
1
m
m
m
… 
a (m)
x
Рис. 21.2.
Текущая стоимость этой ренты обозначается через
ax m  .
По определению выполняется равенство
axm  
m  x 

t 0
1 tm
v 
m
t
m
px .
Легко видеть, что стоимости этих рент связаны соотношением
1
ax m   a xm 
.
m
(21.2)
(21.3)
Из приведенных выше выражений следует, что для нахождения стоимостей кратных рент
необходимо уметь вычислять значения вероятностей
t px
m
, t  0,1,... .
m
Если известно аналитическое выражение для
S x t   t p x ,
для дробных возрастов t
то особых проблем для вычисления стоимостей нет. Однако даже в этом случае нет
возможности получить "компактные формулы" для стоимостей, подобные тем, что были
получены выше для ежегодных рент.
Если закон дожития задается таблично, то
l x t
.
t px 
lx
Здесь также приходится рассматривать значения l x для дробных возрастов. В этом случае
можно использовать интерполяцию для вычисления значения
j
t p x для t  k  m
так, что значение
l x t  l x  k  j
m
будет вычисляться по значениям для двух смежных целых возрастов x  k и x  k  1.
Ранее мы получили выражения для трех видов интерполяции таблиц смертности.
Наиболее прост случай равномерного распределения, т.е. случай линейной интерполяции. Для
него
j
l xk  j  l xk   l xk 1  l xk  
m
m
j
j

 1    l xk   l xk 1
m
 m
и, следовательно, деля это равенство на l x , получим
1  i  l x  k  i  l x  k 1
m
m
.
p

p

t
x k i
m
lx
Используя последнее выражение, можно приближенно вычислить стоимости a x m  и ax m  .


Однако мы поступим другим образом. Введя коммутационные функции для дробных возрастов,
получим приближенное значение для стоимостей кратных рент в виде простой формулы.
Примем по определению
Dx : l x  v x
для всех возрастов, а не только для целых. Тогда для слагаемого в суммах (21.1) и (21.2)
получим
l x t
Dx  t
t
t
m
m
v m  t px  v m 

m
lx
Dx
и, следовательно, для обыкновенной ренты получим выражение
m  x 
1
axm  
  Dx t .
m
m  Dx t 1
Будем теперь интерполировать значения не функции дожития, а непосредственно
функцию D x .
D j  Dxk  j  Dxk 1  Dxk  .
m
xk 
m
Тогда
axm  
1  x

m  Dx k 0
m
D
j 1
xk  j

m
  x m

   Dxk  j  Dxk 1  Dxk  
m

 k 0 j 1 
m


1
1
  x


 m  Dx   j  Dx  
  m  Dxk  
m
m  Dx 
j 1

 m  Dx  k 1
m
1
 1  ax  2   j 
m j 1
m  m  1
m 1
 ax  1 
 ax 
.
2
2m
2m

1
m  Dx
Итак,
a x m   a x 
m 1
.
2m
(21.5)
Таким образом мы получили приближенную оценку стоимости кратной ренты в виде
суммы стоимости ренты с годовыми выплатами и "поправки", зависящей от частоты выплат.
Важно помнить, что эта оценка получена с помощью линейной интерполяции функции D x , а не
l x , как это предполагалось в предыдущем пункте.
Учитывая соотношения
ax m   a x m  
1
m
и
ax  a x  1 ,
легко получить выражение для стоимости m-кратной авансированной пожизненной ренты:
1
m 1 1
ax m   a x m    a x 
 
m
2m m
m 1 1
m 1
 ax  1 
  ax 
,
2m m
2m
т.е.
ax m   ax 
m 1
.
2m
(21.6)
Пример.
21.1. Найти стоимость ежемесячной пенсии в $300, выплачиваемой в начале
каждого месяца, начиная с 60 лет. Оценка производится в момент достижения
этого возраста. Для решения задачи использовать данные таблицы П.4.
Решение:
Поскольку в месяц выплачивается $300, то годовая пенсия равна
12  300  3600 ($).
Таким образом стоимость пенсии по достижении 60 лет будет равна
11 

12 
3600  a60
 3600   a60    41217,66 .
24 

Рассмотрим теперь отложенную пожизненную ренту, выплачиваемую m раз в год. Если x конкретный возраст, а n - величина отсрочки, то, следуя общему правилу дисконтирования,
получим для авансированной отложенной ренты
D
a m   xn  axmn .
n x
Dx
Подставляя в эту формулу выражение для axm n
ax mn  axn 
получим
n
ax m  
N x  n Dx  n m  1


.
Dx
Dx 2  m
или
n
ax m  
n
m 1
,
2m
ax  n E x 
m 1
.
2m
(21.7)
Совершенно аналогичным образом можно получить выражение для обыкновенной ренты.
Оно имеет следующий вид:
n
a x m  
n
ax  n Ex 
m 1
2m
(21.8)
Наконец учитывая, что срочную ренту можно представить в виде разности немедленной и
отложенной рент, т.е.
axm:n   axm   n axm 
и
axm:n   axm  
n
axm  ,
получим оценки для срочных m-кратных рент.
m 1 
m  1
a xm:n   a x 
  n ax  n Ex 

2m 
2  m 
m 1
 a x  n a x  1  n E x 

2m
m 1
 a x:n  1  n E x 
,
2m
т.е.
a x m:n   a x:n  1  n E x 
m 1
.
2m
Соответственно для авансированной срочной ренты получим
m 1
axm:n   ax:n  1  n E x 
.
2m
(21.9)
(21.10)
Пример.
21.2. Найти стоимость ежемесячной стипендии в $100, выплачиваемой в
течение 5 лет студенту по достижении им 20-летнего возраста. Выплаты
осуществляются в конце каждого месяца. Для решения задачи необходимо
использовать данные таблицы П.4.
Решение:
Данная стипендия представляет собой обычную срочную ежемесячную
страховую ренту. Ее стоимость в момент достижения 20-летнего возраста
равна
12
12 100  a20

:5

 D  11 
 1200   a20:5  1  25    
 D20  24 

 N  N 26  D25  11 
   
 1200   21
 1 

D
D
20
20  24 


 1450671,6  1122429,3 11  59767,4  
1200  

 1 
   5351,81 .
75183,9
24  75183,9  

Ранее было получено выражение для стандартной ежегодной пожизненной ренты
ax 
Nx
.
Dx
axm  
N xm 
,
Dx
Если положить по определению, что
то получим выражение для N x m  в виде
N x m   Dx  ax m  .
Используя приближение (21.6) для ax m  , получим оценку
m 1
N x m   N x 
 Dx
2m
(21.11)
Параметр m во всех приведенных выше формулах - частота выплаты ренты в год. При
этом, как отмечалось, суммарные годовые выплаты равны единице, т.е. за один период
выплачивается сумма, равная 1 m . Если m устремить к бесконечности, то в пределе получим так
называемую непрерывную ренту, стоимость которой в бессрочном случае есть
ax  lim axm  .
m
Точное выражение для стоимости такой ренты имеет вид

ax   v t  t px dt .
(21.12)
0
Для вычисления по этой формуле нужно знать аналитическое выражение для
известна функция дожития l x , то
l x t
t px 
lx
t
p x . Если
и
v t  l xt Dxt
v  t px 

.
lx
Dx
Используя D x , формулу (21.12) можно переписать в виде
t

ax 
1
 Dxt dt .
Dx 0
(21.13)
Интеграл

D
x t
dt
0
обозначается через N x . Таким образом получаем
Nx
.
(21.14)
Dx
В общем случае, при отсутствии аналитического закона для l x или его сложности,
ax 
формулу (21.12) непосредственно использовать невозможно. Однако при условии равномерного
распределения D x в промежутках x, x  1, x  0,1,2, , т.е. при условиях, для которых были
получены приближенные оценки для кратных рент, мы можем использовать предельный
переход
ax  lim axm  .
m 
m
Используя полученное выражение для a x , имеем
m 1
1

a x  lim  a x 
 ax  .

m
2m 
2

Аналогично для авансированной ренты получим
m 1
1

a x  lim  ax 
 ax  .

m
2m 
2

Таким образом
ax  ax 
1
1
 ax  .
2
2
(21.15)
Эта формула позволяет получить оценку для введенной выше коммутационной функции

N x   Dxt dt .
0
Поскольку
ax 
Nx
Dx
и
ax 
Nx
,
Dx
то из формулы (21.15) следует, что
1
N x  N x   Dx .
2
Полученные выше выражения для кратных рент позволяют получить выражение для
величины регулярных премий по страховым контрактам в том случае, когда они вносятся чаще,
чем раз в год. Принцип получения величин таких премий тот же, что и в случае годовых
выплат. Просто вместо годовой ренты рассматривается m-кратная рента того же типа, т.е.
пожизненная, срочная, отложенная и т.п. Пусть, например, Ax - актуарная стоимость
пожизненного страхования на единичную сумму для возраста x. Если этот контракт
оплачивается регулярными платежами по m раз в год в начале каждого периода, то выплаты
премий представляют собой m-кратную пожизненную авансированную ренту. Если Px m  величина премии за период, то необходимо, чтобы
Px m   ax m   Ax .
Откуда
Px m  
Ax
.
ax m 
(21.16)
При вычислении по этой формуле можно использовать приближение, полученное для mкратной пожизненной ренты, т.е.
Ax
Mx
Px m  

.
(21.17)
m 1
 m 1 
ax 
Nx  
  Dx
2m
 2m 
Пример.
21.3. Найти величину ежемесячных премий для пожизненного страхования для
лица в возрасте 30 лет, если страховая сумма составляет $10000.
Решение:
Величина премии равна
10000  M 30

N 30  11
24  D30
10000  8408,291

 94,78 ($).
908922,4  11
24  47548,5
10000  P3012 
2.22. Контракты с точным временем выплат
Рассмотрим снова контракты по страхованию жизни. Ранее предполагалось, что выплаты
страховых сумм производятся в конце года смерти застрахованного. На практике, конечно, это
не обязательно. Страховая компания может выплатить страховую сумму сразу же после
установления факта смерти. Для простоты будем считать, что выплата страховой суммы
производится точно в момент смерти. Актуарная стоимость такого контракта с точным
временем выплат для единичной суммы и возраста x обозначается Ax . Если Tx - случайная
величина, равная остаточной продолжительности жизни в возрасте x , то текущая стоимость
выплаченной по контракту страховой суммы будет также случайной величиной, равной
Z  v Tx .
По определению Ax есть просто среднее значение или математическое ожидание этой
величины, т.е.
Ax  EZ  .
Если известна функция распределения величины Tx
Fx t   PrTx  t ,
то среднее значение Ax дается выражением

Ax   v t d Fx t  .
0
(22.1)
Пусть известна функция дожития sx или l x . Тогда
s x  t 
Fx t   1  sx t   1 

s x 
s x   s x  t 

s x 
или в терминах l x
l l
Fx t   x xt .
lx
Если sx или l x дифференцируемы, то случайная величина Z имеет плотность распределения
d
s x  t 
f x t   Fx t   
dt
s x 
и значит

Ax   v t  f x t dt .
(22.2)
0
Поскольку
Fx t  
s x   s x  t 
,
s x 
то
f x t   
s x  t 
.
s x 
следовательно, формулу (22.2) можно переписать в виде

1
Ax  
  s x  t   vt dt .
s x  0
(22.3)
Пример.
22.1. Пусть смертность описывается законом де Муавра
x
sx  
, 0  x  .

Тогда на промежутке 0, 
s x  t  1 
1
f x t   
 

s x 
 x x
и


1
1  vt 
t

Ax 
 v dt 

  x 0
  x  ln v 0 



1 1 v


,
x 
где
  ln 1  i  .
В общем случае закон смертности задается таблично, а не в виде аналитического
выражения. Для вычисления Ax с помощью таблиц преобразуем выражение (22.3).

1
Ax  
sx  t   vt dt 

s x  0
n 1

1 
  s  x  t   v t dt 
s x  n0 n
1  n

  v  s x  n  u   v u du .
s x  n0 0
1
Допустим теперь, что sx равномерно распределена между целыми возрастами k и k  1 .
Тогда
Откуда
sx  n  u   sx  n  u  sx  n  sx  n  1 .
sx  n  u   sx  n  sx  n  1 .
Поскольку

s x  n  u  s  x  n   s  x  n  1 d xn


,
sx 
s x 
lx
то

1
d
Ax   v  xn   v u du 
lx 0
n0
n
1

0
n 0
  v u du   v n 
d xn
.
lx
Но

v
n

n0
d xn 1
  Ax
lx
v
и
1
 v du 
u
0
1 v

.
Таким образом, при сделанном предположении,
1 v 1
Ax 
  Ax .
v 
Здесь
v
1
,   ln 1  i  .
1 i
Итак, мы получили связь для стоимостей "точного" и стандартного контрактов
пожизненного страхования в виде
i
Ax   Ax .
(22.4)

Можно показать, что это соотношение выполнено и для общей схемы страхования,
рассмотренной в разделе 19. гл.2, при условии постоянства процентной ставки и равномерного
распределения функции дожития между соседними значениями целых возрастов.
2.23. Групповые страховые контракты
Выше мы рассматривали исключительно индивидуальное страхование, т.к. страховые
события связывались с одним лицом - застрахованным. В этом разделе мы обобщим
полученные ранее результаты на случай нескольких лиц. Таким образом страховые события
(смерть, дожитие), а следовательно и выплаты страховых сумм будут связаны с группой лиц.
При страховании группы лиц возникает значительно больше различных ситуаций, чем в
индивидуальном страховании. Это проявляется в разнообразии возможных демографических
состояний для группы лиц. С анализа этих возможных состояний и вычисления
соответствующих вероятностей мы и начнем рассмотрение группового страхования.
Пусть имеется группа G, стоящая из m лиц различных возрастов:
x1 , x2 ,, xm ,
где xi - возраст i-го лица. Мы будем считать, что каждое лицо в группе имеет индивидуальный
номер, так что кортеж (вектор, набор)
x1 , x2 ,, xm 
полностью описывает возрастную структуру группы. Этот факт записывается в виде равенства
G   x1 , x2 ,, xm  .
Спустя несколько лет некоторые члены группы могут умереть и численность группы
уменьшится. Заранее обычно невозможно сказать, кто умрет в данной группе. В этой ситуации
можно лишь говорить о вероятности того или иного распределения смертей. Если для i-го члена
группы обозначить через  i его индикатор демографического статуса, который в произвольный
момент времени принимает значение 1 (  i  1 ), если i-ый член группы жив, и значение 0
(  i  0 ), если он не жив, то распределение смертей, описываемое двоичным кортежем
   1 ,  2 ,,  m  ,
полностью определяет демографическое состояние (статус) всей группы в данный момент
времени. Естественно, что в начальный момент времени все лица группы живы и ее начальное
состояние описывается кортежем, состоящим из одних единиц, т.е.
 0  1,1,,1 .
Ниже нас будут интересовать вероятности различных демографических состояний
группы. При вычислении этих вероятностей мы будем считать выполненным условие
независимости, означающее, что демографические события для различных лиц в группе
попарно независимы. Из этого условия следует, что вероятность для всех лиц в группе прожить
n лет, обозначаемая
n
p x1 x2 xm ,
равна произведению вероятностей дожития каждого лица в отдельности, т.е.
n p x1x2xm  n p x1  n p x2  n p xm
В свою очередь вероятность того, что за n лет умрет хотя бы одно лицо из группы,
обозначаемая
n q x1x2xm ,
очевидно равна
n
q x1x2xm  1 n p x1x2xm .
Заметим, что равенство
n
q x1x2xm  n q x1  n q x2  n q xm
неверно. Однако эту вероятность можно выразить через вероятности смертей.
Пример.
23.1.Покажем, что
n
q x1x2  n q x1  n q x2  n q x1  n q x2 .
В самом деле
n
q x1x2  1 
 1

n
n

p x1 
p x1x2 
n

p x2 



 1  1 n qx1  1  n qx2 


 1  1 n qx1  n qx2  n qx1  n qx2 
n qx1  n qx2  n qx1  n qx2 .
Используя введенные выше вероятности, мы можем определить актуарную стоимость
групповой пожизненной ренты. Подразумевается, что эта рента выплачивается до тех пор, пока
не умрет хотя бы один член группы. Имея в виду, как обычно, единичную ренту,
выплачиваемую в конце каждого года при условии, что все члены группы живы, и обозначая ее
текущую стоимость символом a x1x2x m , можно записать

a x1x2x m   v t  t p x1x2x m .
(23.1)
t 1
Учитывая условие независимости, это равенство можно переписать в виде






a x1x2x m   v t  t p x1  t p x2    t p xm .
(23.2)
t 1
Совершенно аналогично, рассматривая пожизненное страхование группы на единичную
страховую сумму, выплачиваемую в конце года, в котором произойдет первая смерть какоголибо лица из группы, можно получить актуарную стоимость такого контракта, т.е.


Ax1x2x m   v t 1 t p x1x2xm 
t 0
t 1

p x1x2xm .
Заметим, что хотя обозначения вероятностей дожития
t
(23.3)
p xi или смерти t q xi для всех членов
группы одинаковы, мы, однако, не предполагаем априори, что законы смертности для всех лиц
в группе одинаковы.
Пример.
23.2. Пусть группа состоит из двух лиц, функции дожития которых
описываются формулами
 20  x 
,0  x  20

s1  x    20
0, x  20
для первого лица и
 10  x 
,0  x  10

s2  x    10
0, x  10
для второго.
Найти стоимость обыкновенной пожизненной ренты в $100 для этой группы,
если возраст первого лица равен 17 годам, а второго - 6 годам. Процентную
ставку принять равной 10%.
Решение:

a17, 6   v t  t p17, 6 
t 1

  v t  t p17  t p6 .
t 1
При этом для первого лица
s1 17  t  3  t

,
t p17 
s1 17 
3
0t 3
и
t
p17  0,
t 3 .
Аналогично для второго лица
s2 6  t  4  t

,
t p6 
s2 6 
4
0t 4
и
t
Таким образом
p6  0,
t  4.
a17,6  1,1  1 p17  1 p6  1,1 
1
2
2
p17 
2
p6 
1 2 3
2 1 2
 1,1    1,1   
3 4
3 4
1
2 1
 1,1  0,5  1,1   0,59.
6
И учитывая, что выплаты по ренте равны $100, окончательно получим
100  a17, 6  59 ($).
Рассмотрим теперь случай однородной группы, т.е. группы, для которой закон смертности
для всех лиц один и тот же. В этом случае можно определить "многомерный" аналог
коммутационных функций. Как мы уже видели раньше
n p x1x2xm   n p x1    n p x2      n p xm  ,
а поскольку
n
то
n
px1x2xm 
pxi 
l xi n
l xi
,
l x1n  l x2 n    l xm n
l x1  l x2    l xm
.
(23.4)
Примем по определению, что
lx1x2x m  k  lx1  lx2   lxm ,
(23.5)
где k-некоторая константа, обычно равная степени числа 10 1 . Тогда будет справедливо
равенство
n
px1x2x m 
l x1n, x2 n,, xm n
l x1x2xm
(23.6)
Определим также
d x1x2xm  l x1x2xm  l x11, x2 1,, xm 1 .
Тогда
(23.7)
qx1x2x m  1  px1x2xm 
 1
lx11, x2 1,,xm 1
lx1x2xm
d x1x2xm

lx1x2xm
.
(23.8)
Мы можем теперь ввести групповую силу смертности, исходя из равенства
d
 xt   log l xt  .
dt
Таким образом полагаем по определению, что
d
 x1t , x2 t ,, xm t   log l x1t , x2 t ,, xm t .
dt
(23.9)
Из этой формулы немедленно следуют равенства
d
 x1 t , x2 t ,, xm t   log k  l x1 t  l x2 t    l xm t 
dt
d

log k  log l x1 t  log l x2 t    log l xm t 
dt
d
 d

 d

  log l x1 t     log l x2 t       log l xm t  
dt
 dt

 dt

  x1 t   x2 t     xm t .




Таким образом мы получили равенство
 x1 t , x2 t ,, xm t   x1 t   x2 t     xm t
(23.10)
Перейдем к определению групповых коммутационных функций. Приводимые ниже
определения отличаются прежде всего особым видом дисконтного множителя, т.е.
(23.11)
Dx1x2xm : v x1x2 xm  / m  lx1x2xm
и
Cx1x2xm : v x1 x2  xm  / m 1  d x1x2xm .
(23.12)
Остальные коммутационные функции получаются так же, как и в индивидуальном случае суммированием по возрастной шкале, т.е.

N x1x2x m :  Dx1 t , x2 t ,, xm t
t 0
и

M x1x2xm :  C x1 t , x2 t ,, xm t .
t 0
Теперь можно доказать основные тождества:
N x 1, x 1,, xm 1
ax1 x2 xm  1 2
Dx1 x2 xm
(23.15)
и
Ax1x2xm 
M x1x2x m
Dx1x2xm
.
Докажем, например, первое равенство.

a x1x2x m   v t  t p x1x2x m 
t 1
(23.16)

lx1t , x2 t ,, xm t
t 1
lx1x2xm
  vt 


v  x1 x2  xm  / m  v t  l x1t , x2 t ,, xm t
t 1



v  x1 x2  xm  / m  l x1x2xm

v  x1  t   x2  t   xm  t  / m  lx1  t , x2  t ,, xm  t
v  x1  x2  x m  / m  lx1 x2 xm
t 1

Dx1t ,x2 t ,,xm t
t 1
Dx1x2xm


N x11,x2 1,,xm 1
Dx1x2xm

.
На практике наиболее часто встречается случай группы из двух лиц. Возраст членов такой
группы обозначают обычно x и y.
Пример.
23.3. Показать, что
Решение:
Dxy  k  1  i 
 x y  / 2
k  1  i 
 x y  / 2
 Dx  Dy .
 Dx  Dy  k  1  i 
 x y  / 2
 v x  lx  v y  l y 
 v x y  x y  / 2   k  lx  l y  v  x y  / 2  l xy  Dxy .
Мы рассмотрели лишь два типа групповых контрактов: обыкновенную пожизненную
групповую ренту и пожизненное групповое страхование. Другие типы контрактов
определяются аналогичным образом. При этом сохраняется та же система обозначений, что и в
случае индивидуальных контрактов. Так ax1x2x m - стоимость единичной авансированной
пожизненной ренты,
n
E x1x2xm - стоимость контракта на дожитие сроком в n лет и единичной
страховой суммой. Дожитие здесь понимается в том смысле, что все члены группы проживут
весь срок контракта.
Рассмотренные выше схемы группового страхования касались двух основных страховых
случаев: дожитие всех членов группы до указанного срока либо случай хотя бы одной смерти.
Есть еще один, часто встречающийся на практике случай, когда страховым событием считается
смерть всех членов группы. Заметим, что в принципе можно рассматривать страховые случаи,
касающиеся произвольного состояния группы. Так рента по условию может выплачиваться до
тех пор, пока живы не менее половины членов группы и т.п. Расчет стоимостей контрактов
такого вида производится по общим правилам, и важнейшей частью таких расчетов является
нахождение соответствующих вероятностей. Рассмотрим следующий пример.
Пример.
23.4. Пусть группа состоит из трех лиц возраста x, y и z. Найти выражение
для стоимости единичной ренты, выплачиваемой до тех пор, пока по крайней
мере двое из членов группы живы.
Решение:
Согласно определению a xy есть стоимость ренты, выплачиваемой до тех
пор, пока лица x и y живы. Аналогичный смысл имеют величины a xz и a yz . Ясно,
что сумма
a xy  a xz  a yz
включает стоимость ренты, выплачиваемой при условии, что по крайней мере
два лица из группы живы. Однако здесь трижды учтена стоимость ренты,
выплачиваемой до тех пор, пока все три лица живы. Поэтому для того, чтобы
учесть эту стоимость лишь один раз, необходимо вычесть двукратную
стоимость последней ренты. Итак искомая стоимость равна
a xy  a yz  a xz  2  a xyz .
Рассмотрим теперь общую схему контрактов, относящуюся к случаю смерти всех членов
группы. Нас будет интересовать стоимость рент, выплачиваемых вплоть до наступления этого
события, т.е. до тех пор, пока хотя бы один член группы жив. Введем соответствующие
обозначения. Через
n p x x x
1 2
m
обозначим вероятность того, что в течение n лет будет живо хотя бы одно лицо из группы
G   x1 , x2 ,, xm  .
Очевидно, что поскольку для лица xi вероятность умереть в течение этого срока равна
1  n p xi ,
то в силу независимости вероятность вымирания всей группы за этот срок есть
1  n px1  1  n px2   1  n pxm  .
Следовательно, вероятность противоположного события равна
n p x x x  1  1  n p x1  1  n p x2    1  n p xm .
1 2

n




Раскрывая скобки в правой части равенства, получим
n p x x x  n p x1  n p x2   


n
p x1x2 x3 




1 2
m
n
p x1x2 
n

pxm 

p x1x3   
n
p xm1xm 
p x1x2 x4   
n
p xm2 xm1xm 
n
  1
m1

 n px1x2x m 
m
  n pxi   n pxi x j     1
m1
i 1
n
(23.17)
i j
 n px1x2xm .
(23.18)
Введем также обозначение
n
qx x x  1 n px x x
1 2
m
1 2
m
для вероятности смерти всех членов группы в течение n лет. Ясно, что
n
 


qx x x  n qx1  n qx2   n qxm
1 2
m

(23.19)
Для наиболее распространенного случая группы из двух лиц формулы (23.18) и (23.19)
будут иметь вид:
n
p xy 
n
px 
n
n
py 
n
(23.20)
p xy
qxy   n qx    n q y  .
(23.21)
Полученные выражения позволяют написать формулы для вычисления соответствующих
рент. Так обыкновенная единичная пожизненная рента, выплачиваемая до тех пор, пока хотя бы
один член группы остается в живых, имеет текущую стоимость

a x x x :  v t  t p x x x
1 2
m
1 2
t 1
(23.22)
m
Для авансированной ренты изменяется лишь нижний предел суммирования, т.е.

ax x x :  v t  t p x x x .
1 2
m
1 2
t 0
(23.23)
m
Подставляя в правую часть (23.22) выражение (23.18) для вероятности t p x x x , получим
1 2
m
ax x x   axi   axi x j     1
1 2
m
m1
i 1
i j
 ax1x2xm .
m
(23.24)
Для случая двух лиц имеем
axy  ax  a y  axy .
(23.25)
axy  ax  ay  axy .
(23.26)
Аналогично
Для пожизненного страхования группы, при котором единичная страховая сумма
выплачивается в конце года смерти последнего члена группы, легко получить формулу
актуарной стоимости


Ax x x   v t 1  t p x x x 
1 2
m
t 0
1 2
m
t 1
p x x x
1 2
m
.
(23.27)
Пример.
23.5. Рассмотрим группу из примера (23.2). Найти для нее стоимость ренты в
$100, выплачиваемой до тех пор, пока хотя бы один из членов группы остается в
живых.
Решение:
В нашем случае стоимость ренты равна
100  a17,6  100  a17  100  a6  100  a17,6 .
В примере (23.2) мы нашли, что
100  a17,6  59 $.
Кроме того,

1 2
2 1 
100  a17  100  1,1   1,1    88 $
3
3

и

1 3
2 1
3 1 
100  a6  100  1,1   1,1   1,1    128 $ .
4
2
4

Таким образом
100  a17,6  88  128  59  157 $ .
В заключение рассмотрим применение групповых схем страхования к очень важному
случаю, так называемых посмертных (наследственных) рент или рент по случаю смерти одного
из членов группы. Как правило, эти схемы применяются к супружеским парам, когда рента,
например, пенсия выплачивается в случае смерти одного из супругов до тех пор, пока другой
жив. Итак, пусть группа состоит из двух лиц, т.е.
G  x, y  .
Через
ax y
обозначим стоимость единичной ренты для y по случаю смерти x, т.е. ренты, выплачиваемой y
ежегодно, начиная с конца года, в котором умер x, и до тех пор, пока y жив. Таким образом
рента выплачивается в конце t-го года всякий раз, когда y жив, а x - мертв. Поэтому можно
написать

a x y   v t  t p y  1  t p x  .
(23.28)
t 1
Преобразуя правую часть этой формулы, получим

v
t 1
t
 t p y  1  t p x  


t 1
t 1
  v t  t p y   v t  t p xy  a y  a xy .
Таким образом
ax y  a y  axy .
(23.29)
Пример.
23.6. Пенсионер 65 лет покупает наследственную ренту для своей 60-летней
жены. Рента в размере $1000 выплачивается в конце каждого года, начиная с
года смерти супруга.
Найти стоимость ренты , если
N 61  1350 , D60  300 , N 66, 61  620 , D65, 60  370 .
Решение:
Здесь x  65 и y  60 . Стоимость искомой ренты будет равна
1000  a65 60  1000  a60  1000  a65,60 .
Но
N 61
1350
 4500 .
 1000 
300
D60
N
620
 1675,7 .
 1000  66, 61 = 1000 
370
D65, 60
1000  a60  1000 
1000  a65, 60
Следовательно,
1000  a65 60  4500  1675,7  2824,3 $.
Рассмотренный выше случай несимметричен, т.к. по контракту ренту получает лишь один
определенный супруг (бенефициарий) в случае смерти другого. Симметричный контракт
предусматривал бы выплату ренты любому из оставшихся в живых супругов в случае смерти
другого. Легко видеть, что стоимость такого симметричного контракта есть сумма двух
возможных несимметричных, т.е.
ax y   ax y  a y x  axy  axy 
 a x  a y  2  a xy .
Замечание. Если рассматриваются m-кратные ренты, т.е. ренты, выплаты по которым
производятся m раз в году, то этот факт отмечается во всех выражениях верхним индексом в
скобках. Например,
m 
a x m  , axy
, a x my и т.п.
При этом все полученные равенства сохраняются. Они получаются из вышеприведенных с
помощью m  -индексной разметки всех членов, входящих в эти выражения. Так, например,
(23.30)
a ymx  axm   axym  .
Интересно отметить, что если использовать приближения к выражениям для a x m  и axym  с
помощью поправочного члена
m 1
,
2m
то в разности, стоящей в правой части последней формулы, он просто исчезнет, т.е.
(23.31)
a ymx  ax  axy .
2.24. Брутто-премии
Рассмотренные выше схемы страховых расчетов относились к нетто-премиям, т.е.
премиям, обеспечивающим лишь покрытие страхового риска. Балансовые уравнения, на
основании которых получались оценки для нетто-премий, выражали факт равенства
финансовых обязательств страховщика и страхователя по страховому контракту. Условие
равенства обязательств было единственным определяющим фактором в оценке стоимости
страхования. Однако на практике взимание лишь нетто-премий привело бы страховую
компанию к постоянным убыткам и в итоге - к банкротству. Страховая компания в своей
деятельности несет расходы не только по обязательствам контрактов, но и ряд других,
например, административных. Все эти расходы страховая компания должна возмещать, и такое
возмещение учитывается при расчете тарифов или реальной стоимости страховых полисов.
Добавочные расходы по конкретному контракту сверх тех, что идут собственно на покрытие
риска, называются нагрузками. Сумма нетто-премий и нагрузок называется брутто-премией.
Обычно состав нагрузки зависит от конкретной страховой компании, но в целом можно
выделить следующие ее компоненты.
1. Начальные расходы, относящиеся к моменту заключения контракта (вознаграждение
страховых агентов, расходы по изготовлению, оформлению и регистрации полиса, оплата
консультаций, например, медицинских при страховании жизни и т.п.).
2. Комиссионные расходы по инкассации страховых платежей.
3. Административные расходы по управлению страховой компанией (оплата труда
персонала, арендная плата, плата за коммунальные услуги и т.п.)
Кроме того к дополнительным расходам относятся расходы на создание специальных
фондов. В первую очередь это относится к резервным фондам, обеспечивающим надежную
(безубыточную) деятельность страховой компании в неблагополучных условиях, например, при
колебаниях смертности, понижении нормы прибыли на инвестиции и др. Наконец, если
деятельность страховой компании предусматривает получение прибыли, например, для уплаты
дивидендов акционерам компании, то необходим специальный фонд прибыли.
С количественной точки зрения при расчете брутто-премий важна прежде всего связь
величины различных нагрузок с величиной страховой суммы, длительностью (сроками)
контрактов и периодичностью выплат по ним.
Так первоначальные расходы начисляются, как правило, пропорционально страховым
суммам. Комиссионные расходы начисляются пропорционально брутто-премиям. Заметим, что
в обоих случаях единовременная плата взимается редко, а обычно распределяется по всему
сроку действия контракта. Наконец, административные расходы непосредственно не связаны с
размерами страховых сумм или премий. Однако этот вид расходов зависит, вообще говоря, от
общего числа заключенных контрактов и их сроков.
Тарифные ставки указывают обычно на фиксированную величину страховой суммы, если
они от нее зависят. Например, на $100 или $1000. Это равносильно заданию их в процентах (%)
или промилле (0 00 ). В случае надбавок, не зависящих от величин страховых сумм или премий,
они указываются в абсолютных величинах (рублях, долларах и т.д.)
Вычисление брутто-премий осуществляется примерно так же, как и вычисление неттопремий. Поскольку нагрузки, как и обязательства компании, распределены во времени, то при
тарифных расчетах необходимо их дисконтирование, т.е. приведение к текущему моменту
времени. Таким образом схема расчетов описывается формулой
Брутто-премия
Текущая стоимость
полных расходов
страхования
=
Нетто-премия
Текущая стоимость
страховых выплат
+
Нагрузка
Текущая стоимость
дополнительных
расходов
Введем обозначения, которые позволяют нам получить балансовые уравнения для бруттопремий. Символом I мы обозначим начальные расходы, которые не зависят от величины
страховых сумм и премий. Символ A, как и раньше, будет обозначать актуарную стоимость
контракта, т.е. единовременную нетто-премию. Если контракт оплачивается регулярными
годовыми премиями, то P обозначает величину этой премии, а a -стоимость соответствующей
данному сроку единичной ренты. Как мы знаем,
A  P  a .
Замечание. Мы не выписываем индексов, конкретизирующих тип и сроки контрактов. В
каждом конкретном случае их легко проставить.
Через П обозначим стоимость годовой брутто-премии. Естественно, что полная
единовременная брутто-премия будет равна
  a .
Пусть теперь  обозначает относительную величину комиссионных расходов на единицу
брутто-премии. Тогда текущая стоимость этих расходов составит
    a .
Наконец, если величина ежегодных административных расходов составляет  , то текущая
стоимость этих расходов за контрактный период составит величину
  a .
Если другие расходы не учитываются, то балансовое уравнение для брутто-премий имеет
вид
  a  A      a    a  I .
(24.1)
Так как
A  P  a ,
то подставляя это выражение в (24.1) и преобразовывая его, получим
1      a  P  a    a  I
или

1 
I
 P    .
1  
a 
(24.2)
Замечание. Во избежание недоразумений подчеркнем, что формула (24.1) допускает две
интерпретации. Если величины A и P относятся к некоторой фиксированной страховой сумме,
например, 1 , 100 или1000, то соответственно  ,   a и I также относятся к этой же величине
страховой суммы. Если же A и P относятся к номинальной страховой сумме, то  означает
реальную (полную) годовую премию, а нагрузки   a и I не зависят от величины страховой
премии. Наконец отметим, что выше была приведена лишь общая схема расчета брутто-премий.
В конкретных случаях иногда необходимы ее дополнительные модификации, учитывающие
возможные другие виды расходов, сроки их покрытия и т.д.
Пример.
24.1. Рассмотрим смешанное страхование с 20-летним сроком для лица в
возрасте 50 лет. Пусть начальные расходы составляют 50% тарифа за первый
год, текущие расходы составляют $2 в год на каждые $100 страховой суммы и
комиссионные расходы составляют 10% годового тарифа. Найти величину
годовой брутто-премии (тарифа). Для решения задачи необходимо
воспользоваться данными таблицы П.4 (мужчины).
Решение:
Пусть  - величина годовой брутто-премии на $100 страховой суммы.
Тогда уравнение для вычисления  будет иметь вид:
  a50:20  100  A50:20  0,1   a50:20  2  a50:20  0,5   .
Откуда

Поскольку
100  A50:20  2  a50:20
0,9  a50:20  0,5
.
M 50  M 70  D70

D50
6616,417  3366,870  5353,9

 0,4662
18453,3
A50:20 
и
a50:20 

N 50  N 70

D50
274879,5  46143,4
 12,4 ,
18453,3
то

46,62  24,8
 6,69 .
0,9  12,4  0,5
Таким образом брутто-премия составляет 6,69% страховой суммы.
24.2 .Найти единовременную брутто-премию для страхования жизни на 10
лет в возрасте 30 лет, если страховая сумма составляет $500. По условиям
контракта премия возвращается в случае смерти застрахованного. Начальные
расходы составляют 5% страховой суммы, а текущие расходы - $1 в год на весь
период контракта. Для решения задачи необходимо воспользоваться данными
таблицы П.4 (мужчины).
Решение:
Пусть  - величина единовременной брутто-премии. Тогда уравнение для
вычисления брутто-премии будет иметь вид:
1
  500     A30
 0,05  500  1 a30:10 .
:10
Откуда

Поскольку
1
A30

:10
и
1
500  A30
 a30:10  25
:10
1
1  A30
:10
.
M 30  M 40 8408,29  7626,86

 0,016
D30
47548,5
a30:10 
N 30  N 40 908922,4  518852,7

 8,2 ,
D30
47548,5
то

5  25  8,2
 38,82 $.
1  0,016
24.3. Пенсионер 60 лет покупает пожизненную ренту за $1000. Первая
выплата по ренте осуществляется спустя год после заключения контракта.
Если расходы по обеспечению ренты составляют 2% стоимости ее покупки, $2
ежегодно, то каковы ежегодные выплаты этой ренты? Для решения задачи
необходимо использовать данные таблицы П.4 (мужчины).
Решение:
Пусть годовые выплаты составляют $A. Тогда балансовое уравнение
имеет вид:
1000  A  a60  2  a60  0,02 1000 .
Следовательно
A
980  2  a60 980  2  10,9

 87,9 .
a60
10,9
ПРИЛОЖЕНИЕ
Английская таблица смертности №14 1980-82
(English Life Tables №14)
Таблица П.1
Возраст
x
lx
Мужчины
qx
0
100000
.01271
71.043
100000
.00984
77.002
1
98729
.00085
70.956
99016
.00072
76.766
2
98645
.00051
70.016
98945
.00045
75.820
3
98594
.00038
69.051
98900
.00031
74.855
4
98557
.00035
68.077
98869
.00025
73.878
5
98522
.00032
67.101
98844
.00022
72.896
6
98490
.00030
66.123
98822
.00020
71.913
7
98461
.00027
65.142
98802
.00019
70.927
8
98434
.00025
64.160
98783
.00019
69.941
9
98409
.00024
63.176
98764
.00018
68.954
10
98385
.00024
62.191
98746
.00018
67.966
11
98362
.00024
61.206
98728
.00018
66.979
12
98338
.00026
60.221
98710
.00018
65.991
13
98312
.00029
59.237
98693
.00019
65.002
14
98283
.00034
58.254
98675
.00022
64.014
15
98250
.00041
57.274
98653
.00026
63.028
16
98210
.00053
56.297
98628
.00030
62.044
17
98158
.00102
55.326
98598
.00033
61.062
18
98057
.00111
54.382
98566
.00035
60.082
19
97948
.00102
53.442
98531
.00035
59.103
20
97849
.00093
52.496
98497
.00035
58.124
21
97757
.00087
51.545
98462
.00036
57.144
22
97672
.00083
50.589
98427
.00036
56.164
23
97591
.00081
49.631
98392
.00037
55.184
24
97511
.00081
48.671
98356
.00038
54.204
25
97432
.00081
47.710
98318
.00039
53.225
26
97353
.00082
46.749
98280
.00041
52.245
27
97273
.00083
45.787
98239
.00043
51.267
28
97192
.00084
44.824
98197
.00045
50.288
29
97110
.00086
43.862
98153
.00048
49.311
30
97027
.00088
42.899
98105
.00052
48.335
31
96941
.00091
41.936
98054
.00056
47.359
e

x
lx
Женщины
qx
e x
Продолжение таблицы П.1
Возраст
Мужчины
Женщины
x
lx
qx
e x
lx
qx
e x
32
96853
.00094
40.974
98000
.00060
46.385
33
96762
.00099
40.012
97941
.00065
45.413
34
96666
.00105
39.051
97877
.00071
44.442
35
96564
.00113
38.092
97807
.00078
43.474
36
96455
.00123
37.134
97732
.00085
42.507
37
96337
.00134
36.179
97649
.00093
41.543
38
96208
.00148
35.227
97557
.00103
40.581
39
96065
.00165
34.279
97457
.00114
39.622
40
95907
.00184
33.335
97346
.00127
38.667
41
95731
.00206
32.395
97223
.00141
37.715
42
95534
.00231
31.461
97086
.00157
36.768
43
95313
.00260
30.532
96933
.00176
35.825
44
95066
.00293
29.611
96763
.00196
34.887
45
94787
.00332
28.696
96573
.00219
33.955
46
94472
.00376
27.790
96361
.00245
33.028
47
94117
.00425
26.893
96125
.00274
32.108
48
93717
.00481
26.006
95862
.00305
31.195
49
93266
.00545
25.129
95569
.00340
30.289
50
92758
.00615
24.264
95244
.00378
29.390
51
92187
.00694
23.411
94884
.00419
28.500
52
91548
.00781
22.571
94486
.00465
27.618
53
90833
.00877
21.744
94047
.00514
26.744
54
90037
.00982
20.932
93564
.00567
25.580
55
89152
.01098
20.135
93034
.00624
25.025
56
88173
.01224
19.353
92453
.00686
24.178
57
87094
.01361
18.586
91819
.00752
23.342
58
85909
.01509
17.836
91129
.00824
22.515
59
84612
.01670
17.101
90379
.00901
21.698
60
83199
.01843
16.383
89564
.00986
20.890
61
81666
.02028
15.681
88681
.01077
20.093
62
80010
.02229
14.995
87726
.01176
19.307
63
78226
.02448
14.326
86695
.01284
18.530
64
76312
.02687
13.672
85582
.01400
17.765
65
74261
.02949
13.036
84384
0.1528
17.010
66
72071
.03238
12.417
83095
.01669
16.266
Продолжение таблицы П.1
Возраст
Мужчины
Женщины
x
lx
qx
e x
lx
qx
e x
67
69738
.03555
11.815
81708
.01828
15.533
68
67259
.03903
11.232
80214
.02008
14.813
69
64634
.04285
10.668
78603
.02212
14.106
70
61864
.04703
10.123
76864
.02443
13.414
71
58955
.05160
9.597
74987
.02704
12.737
72
55913
.05658
9.092
72959
.02998
12.077
73
52749
.06198
8.607
70772
.03329
11.435
74
49480
.06783
8.143
68416
.03698
10.811
75
46123
.07416
7.699
65886
.04110
10.207
76
42703
.08096
7.275
63178
.04566
9.622
77
39246
.08827
6.872
60294
.05072
9.059
78
35781
.09610
6.489
57236
.05637
8.516
79
32343
.10445
6.126
54010
.06271
7.994
80
28965
.11334
5.782
50623
.06982
7.495
81
25682
.12278
5.458
47089
.07779
7.020
82
22528
.13278
5.152
43426
.08669
6.570
83
19537
.14333
4.865
39661
.09661
6.146
84
16737
.15440
4.596
35829
.10750
5.749
85
14153
.16591
4.345
31978
.11922
5.381
86
11805
.17776
4.112
28165
.13160
5.042
87
9706
.18986
3.895
24459
.14448
4.731
88
7863
.20215
3.693
20925
.15772
4.446
89
6274
.21453
3.506
17625
.17116
4.186
90
4928
.22693
3.331
14608
.18468
3.949
91
3810
.23929
3.167
11910
.19814
3.733
92
2898
.25153
3.012
9550
.21143
3.534
93
2169
.26374
2.863
7531
.22442
3.352
94
1597
.27632
2.718
5841
.23703
3.182
95
1156
.28971
2.574
4457
.24914
3.020
96
821
.30430
2.431
3346
.26096
2.864
97
571
.32044
2.288
2473
.27331
2.706
98
388
.33844
2.145
1797
.28715
2.545
99
257
.35853
2.004
1281
.30330
2.380
100
165
.38087
1.865
893
.32252
2.210
101
102
.40551
1.729
605
.34538
2.038
Продолжение таблицы П.1
lx
Мужчины
qx
Возраст
x
e

x
lx
Женщины
qx
e x
102
61
.43241
1.597
396
.37231
1.866
103
34
.46140
1.471
248
.40349
1.698
104
19
.49214
1.350
148
.43881
1.535
105
9
.52414
1.236
83
.47780
1.380
106
4
.55667
1.129
43
.51960
1.234
107
2
.58874
1.029
21
.56277
1.100
108
1
.61896
.935
9
.60521
.976
109
4
.64382
.862
110
1
.67391
.755
Английская таблица смертности №12. Мужчины.
(Population Life Table №12)
Таблица П.2
lx
dx
px
x
qx
x
e x
0
100000
2449
.97551
.02449
68.09
1
97551
153
.99843
.00157
.00210
68.80
2
97398
96
.99901
.00099
.00134
67.90
3
97302
67
.99931
.00069
.00079
66.97
4
97235
60
.99938
.00062
.00063
66.02
5
97175
55
.99943
.00057
.00059
65.06
6
97120
51
.99948
.00052
.00054
64.09
7
97069
47
.99952
.00048
.00050
63.13
8
97022
43
.99956
.00044
.00046
62.16
9
96979
40
.99959
.00041
.00043
61.18
10
96939
38
.99961
.00039
.00040
60.21
11
96901
37
.99962
.00038
.00039
59.23
12
96864
37
.99962
.00038
.00038
58.25
13
96827
40
.99959
.00041
.00039
57.28
14
96787
45
.99953
.00047
.00043
56.30
15
96742
57
.99941
.00059
.00052
55.33
16
96685
75
.99922
.00078
.00067
54.36
17
96610
96
.99901
.00099
.00089
53.40
18
96514
108
.99888
.00112
.00107
52.45
19
96406
113
.99883
.00117
.00115
51.51
20
96293
115
.99881
.00119
.00119
50.57
21
96178
113
.99882
.00118
.00119
49.63
22
96065
110
.99886
.00114
.00116
48.69
23
95955
104
.99892
.00108
.00112
47.74
24
95851
98
.99898
.00102
.00105
46.80
25
95753
95
.99901
.00099
.00100
45.84
26
95658
94
.99902
.00098
.00098
44.89
27
95564
96
.99900
.00100
.00099
43.93
28
95468
99
.99896
.00104
.00102
42.98
29
95369
104
.99891
.00109
.00106
42.02
30
95265
110
.99885
.00115
.00112
41.06
31
95155
115
.99879
.00121
.00118
40.11
32
95040
122
.99872
.00128
.00125
39.16
33
94918
129
.99864
.00136
.00132
38.21
Продолжение таблицы П.2
x
e x
x
lx
dx
px
qx
34
94789
137
.99855
.00145
.00140
37.26
35
94652
147
.99845
.00155
.00150
36.31
36
94505
158
.99833
.00167
.00161
35.37
37
94347
171
.99819
.00181
.00174
34.43
38
94176
185
.99804
.00196
.00189
33.49
39
93991
201
.99786
.00214
.00205
32.55
40
93790
220
.99765
.00235
.00224
31.62
41
93570
242
.99741
.00259
.00246
30.70
42
93328
268
.99713
.00287
.00273
29.77
43
93060
297
.99681
.00319
.00303
28.86
44
92763
330
.99644
.00356
.00337
27.95
45
92433
369
.99601
.00399
.00377
27.05
46
92064
412
.99552
.00448
.00423
26.15
47
91652
463
.99495
.00505
.00476
25.27
48
91189
520
.99430
.00570
.00538
24.40
49
90669
584
.99356
.00644
.00607
23.53
50
90085
656
.99272
.00728
.00687
22.68
51
89429
736
.99177
.00823
.00777
21.84
52
88693
825
.99070
.00930
.00878
21.02
53
87868
923
.98949
.01051
.00993
20.21
54
86945
1029
.98816
.01184
.01121
19.42
55
85916
1144
.98669
.01331
.01263
18.65
56
84772
1265
.98508
.01492
.01420
17.89
57
83507
1393
.98332
.01668
.01590
17.16
58
82114
1526
.98141
.01859
.01776
16.44
59
80588
1664
.97935
.0265
.01978
15.74
60
78924
1805
.97713
.02287
.02197
15.06
61
77119
1947
.97475
.02525
.02433
14.40
62
75172
2088
.97222
.02778
.02684
13.76
63
73084
2228
.96951
.03049
.02953
13.14
64
70856
2366
.96661
.03339
.03243
12.54
65
68490
2499
.96352
.03648
.03553
11.95
66
65991
2625
.96022
.03978
.03884
11.39
67
63366
2745
.95668
.04332
.04239
10.84
68
60621
2856
.95288
.04712
.04622
10.31
Продолжение таблицы П.2
x
e x
x
lx
dx
px
qx
69
57765
2959
.94878
.05122
.05036
9.79
70
54806
3051
.94434
.05566
.05487
9.29
71
51755
3130
.93953
.06047
.05976
8.81
72
48625
3195
.93430
.06570
.06509
8.35
73
45430
3243
.92861
.07139
.07092
7.90
74
42187
3273
.92241
.07759
.07730
7.47
75
38914
3282
.91566
.08434
.08432
7.05
76
35632
3266
.90833
.09167
.09200
6.66
77
32366
3225
.90037
.09963
.10042
6.28
78
29141
3154
.89176
.10824
.10962
5.92
79
25987
3054
.88248
.11752
.11964
5.57
80
22933
2923
.87253
.12747
.13053
5.25
81
20010
2763
.86192
.13808
.14231
4.94
82
17247
2576
.85066
.14934
.15503
4.66
83
14671
2365
.83878
.16122
.16863
4.39
84
12306
2137
.82634
.17366
.18311
4.14
85
10169
1897.4
.81341
.18659
.19849
3.90
86
8271.6
1654.1
.80003
.19997
.21468
3.68
87
6617.5
1414.1
.78631
.21369
.23165
3.48
88
5203.4
1184.6
.77235
.22765
.24928
3.30
89
4018.8
971.6
.75823
.24177
.26748
3.13
90
3047.2
779.9
.74407
.25593
.28616
2.97
91
2267.3
612.2
.72997
.27003
.30518
2.83
92
1655.1
470.0
.71604
.28396
.32429
2.70
93
1185.1
352.73
.70236
.29764
.34372
2.58
94
832.37
258.83
.68904
.31096
.36294
2.47
95
573.54
185.74
.67615
.32385
.38197
2.38
96
387.80
130.39
.66377
.33623
.40066
2.29
97
257.41
89.59
.65194
.34806
.41886
2.21
98
167.82
60.30
.64071
.35929
.43651
2.14
99
107.52
39.771
.63011
.36989
.45354
2.07
100
67.749
25.733
.62017
.37983
.46972
2.00
101
42.016
16.349
.61088
.38912
.48512
Продолжение таблицы П.2
x
e x
x
lx
dx
px
qx
102
25.667
10.209
.60224
.39776
.49967
103
15.458
6.2721
.59425
.40575
.51335
104
9.1859
3.7949
.58688
.41312
105
5.3910
Стандартная таблица смертности. 1980.
Таблица П.3
(1980 Commissioners Standard Ordinary (CSO) )
Возраст
x
lx
Мужчины
dx
1000  qx
Женщины
1000  qx
dx
lx
0
185890
777
4.18
65135
188
2.89
1
185113
200
1.08
64947
57
0.88
2
184913
181
0.98
64890
53
0.82
3
184732
181
0.98
64837
51
0.79
4
184551
175
0.95
64786
50
0.77
5
184376
166
0.90
64736
49
0.76
6
184210
158
0.86
64687
47
0.73
7
184052
147
0.80
64640
47
0.73
8
183905
140
0.76
64593
45
0.70
9
183765
136
0.74
64548
45
0.70
10
183629
134
0.73
64503
44
0.68
11
183495
141
0.77
64459
44
0.68
12
183354
156
0.85
64415
46
0.71
13
183198
181
0.99
64369
48
0.75
14
183017
210
1.15
64321
51
0.79
15
182807
243
1.33
64270
55
0.86
16
182564
276
1.51
64215
58
0.90
17
182288
304
1.67
64157
61
0.95
18
181984
324
1.78
64096
63
0.98
19
181660
338
1.86
64033
65
1.02
20
181322
345
1.90
63968
67
1.05
21
180977
346
1.91
63901
68
1.06
22
180631
341
1.89
63833
70
1.10
23
180290
335
1.86
63763
71
1.11
24
179955
328
1.82
63692
73
1.15
25
179627
318
1.77
63619
74
1.16
26
179309
310
1.73
63545
76
1.20
27
178999
306
1.71
63469
77
1.21
28
178693
304
1.70
63392
80
1.26
29
178389
305
1.71
63312
82
1.30
30
178084
308
1.73
63230
85
1.34
31
177776
316
1.78
63145
88
1.39
Продолжение таблицы П.3
Возраст
x
lx
Мужчины
dx
1000  qx
lx
Женщины
1000  qx
dx
32
177460
325
1.83
63057
91
1.44
33
177135
338
1.91
62966
94
1.49
34
176797
354
2.00
62872
99
1.57
35
176443
372
2.11
62773
104
1.66
36
176071
394
2.24
62669
110
1.76
37
175677
422
2.40
62559
118
1.89
38
175255
452
2.58
62441
127
2.03
39
174803
488
2.79
62314
138
2.21
40
174315
526
3.02
62176
150
2.41
41
173789
572
3.29
62026
164
2.64
42
173217
617
3.56
61862
178
2.88
43
172600
668
3.87
61684
191
3.10
44
171932
720
4.19
61493
204
3.32
45
171212
779
4.55
61289
218
3.56
46
170433
839
4.92
61071
232
3.80
47
169594
902
5.32
60839
246
4.04
48
168692
968
5.74
60593
262
4.32
49
167724
1042
6.21
60331
279
4.62
50
166682
1118
6.71
60052
298
4.96
51
165564
1209
7.30
59754
317
5.31
52
164355
1308
7.96
59437
339
5.70
53
163047
1420
8.71
59098
363
6.14
54
161627
1545
9.56
58735
388
6.61
55
160082
1676
10.47
58347
414
7.10
56
158406
1815
11.46
57933
439
7.58
57
156591
1956
12.49
57494
462
8.04
58
154635
2101
13.59
57032
483
8.47
59
152534
2253
14.77
56549
506
8.95
60
150281
2417
16.08
56043
531
9.47
61
147864
2594
17.54
55512
562
10.12
62
145270
2788
19.19
54950
602
10.96
63
142482
3001
21.06
54348
653
12.02
64
139481
3228
23.14
53695
711
13.24
65
136253
3464
25.42
52984
773
14.59
Продолжение таблицы П.3
Возраст
Мужчины
Женщины
x
lx
dx
1000  qx
lx
dx
1000  qx
66
132789
3698
27.85
52211
835
15.99
67
129091
3930
30.44
51376
895
17.42
68
125161
4154
33.19
50481
951
18.84
69
121007
4377
36.17
49530
1008
20.35
70
116630
4608
39.51
48522
1073
22.11
71
112022
4851
43.30
47449
1150
24.24
72
107171
5107
47.65
46299
1244
26.87
73
102064
5373
52.64
45055
1357
30.12
74
96691
5626
58.19
43698
1483
33.94
75
91065
5845
64.18
42215
1614
38.23
76
85220
6011
70.54
40601
1745
42.98
77
79209
6109
77.13
38856
1867
48.05
78
73100
6133
83.90
36989
1977
53.45
79
66967
6097
91.04
35012
2078
59.35
80
60870
6016
98.83
32934
2173
65.98
81
54854
5896
107.49
30761
2264
73.60
82
48958
5740
117.24
28497
2348
82.39
83
43218
5543
128.26
26149
2420
92.55
84
37675
5284
140.25
23729
2463
103.80
85
32391
4954
152.94
21266
2469
116.10
86
27437
4557
166.09
18797
2430
129.28
87
22880
4108
179.55
16367
2346
143.34
88
18772
3628
193.27
14021
2218
158.19
89
15144
3139
207.28
11803
2053
173.94
90
12005
2662
221.74
9750
1860
190.77
91
9343
2214
236.97
7890
1648
208.87
92
7129
1807
253.47
6242
1428
228.77
93
5322
1448
272.08
4814
1211
251.56
94
3874
1146
295.82
3603
1006
279.21
95
2728
900
329.91
2597
824
317.29
96
1828
703
384.57
1773
666
375.63
97
1125
540
480.00
1107
526
475.16
98
585
385
658.12
581
381
655.77
99
200
200
1000.00
200
200
1000.00
Коммутационные числа к табл. П.3
Годовая процентная ставка 4.5%.
Таблица П.4
Возраст
Мужчины
Mx
Cx
ax
1000  Ax
12512.420
21.659132
67.31088
183.146
11768.878
21.679409
66.43767
3663184.3
158.610
11585.732
21.633356
68.42087
161880.0
3493853.5
151.780
11427.122
21.582978
70.59006
4
154757.3
3331973.8
140.429
11275.342
21.530311
72.85820
5
147952.7
3177216.3
127.471
11134.912
21.474536
75.25993
6
141454.1
3029263.5
116.103
11007.441
21.415170
77.81635
7
135246.7
2887809.3
103.368
10891.339
21.352165
80.52944
8
129319.3
2752562.5
94.207
10787.971
21.285011
83.42121
9
123656.3
2623243.3
87.574
10693.765
21.213986
86.47973
10
118243.8
2499587.0
82.571
10606.190
21.139260
89.69762
11
113069.4
2381343.0
83.143
10523.620
21.060892
93.07219
12
108117.3
2268273.8
88.026
10440.478
20.979757
96.56625
13
103373.5
2160156.0
97.735
10352.451
20.896618
100.14610
14
98824.3
2056782.4
108.511
10254.716
20.812527
103.76720
15
94460.1
1957958.3
120.156
10146.205
20.727876
107.41255
16
90272.3
1863498.0
130.597
10026.049
20.643068
111.06447
17
86254.4
1773225.8
137.651
9895.452
20.558087
114.72401
18
82402.5
1686971.4
140.390
9757.801
20.472342
118.41638
19
78713.6
1604568.9
140.149
9617.411
20.384890
122.18227
20
75183.9
1525855.4
136.892
9477.262
20.294973
126.05440
21
71809.4
1450671.6
131.377
9340.370
20.201685
130.07162
22
68585.8
1378862.1
123.902
9208.994
20.104196
134.26971
23
65508.4
1310276.3
116.481
9085.092
20.001641
138.68583
24
62571.0
1244767.8
109.136
8968.610
19.893679
143.33489
25
59767.4
1182196.8
101.252
8859.475
19.779946
148.23246
26
57092.5
1122429.3
94.454
8758.222
19.659849
153.40417
27
54539.5
1065337.0
89.221
8663.768
19.533315
158.85312
28
52101.7
1010797.3
84.821
8574.547
19.400475
164.57333
29
49773.3
958695.6
81.435
8489.726
19.261262
170.56805
30
47548.5
908922.4
78.695
8408.291
19.115702
176.83621
31
45422.2
861373.9
77.262
8329.596
18.963707
183.38147
x
Dx
Nx
0
185890.0
4026216.0
743.541
1
177141.6
3840326.0
2
169330.4
3
Продолжение табл.П.4
Возраст
Мужчины
Mx
Cx
x
Dx
Nx
32
43389.0
815951.6
76.041
33
41444.5
772562.7
75.677
ax
1000  Ax
8252.334
18.805498
190.19418
8176.293
18.640885
197.28281
34
39584.2
731118.1
75.846
8100.616
18.469969
204.64289
35
37803.7
691534.0
76.271
8024.770
18.292745
212.27455
36
36099.5
653730.2
77.303
7948.500
18.109097
220.18281
37
34467.7
617630.7
79.231
7871.196
17.919103
228.36429
38
32904.2
583163.0
81.209
7791.966
17.723038
236.80741
39
31406.1
550258.8
83.901
7710.757
17.520759
245.51782
40
29969.8
518852.7
86.540
7626.856
17.312527
254.48486
41
28592.7
488882.9
90.056
7540.315
17.098185
263.71491
42
27271.4
460290.2
92.958
7450.260
16.878156
273.18992
43
26004.0
433018.9
96.308
7357.302
16.651984
282.92918
44
24787.9
407014.8
99.334
7260.995
16.419874
292.92449
45
23621.2
382226.9
102.846
7161.660
16.181529
303.18802
46
22501.2
358605.7
105.998
7058.813
15.937210
313.70890
47
21426.2
336104.5
109.050
6952.816
15.686606
324.50049
48
20394.5
314678.3
11.990
6843.767
15.429567
335.56922
49
19404.3
294283.8
115.360
6731.777
15.165925
346.92232
50
18453.3
274879.5
118.444
6616.417
14.895933
358.54874
51
17540.2
256426.2
122.569
6497.974
14.619306
370.46084
52
16662.4
238886.0
126.895
6375.405
14.336866
382.62327
53
15817.9
222223.6
131.828
6248.509
14.048831
395.02667
54
15005.0
206405.7
137.257
6116.681
13.755829
407.64394
55
14221.6
191400.7
142.483
5979.425
13.458490
420.44797
56
13466.7
177179.1
147.655
5836.942
13.156869
433.43640
57
12739.1
163712.5
152.274
5689.287
12851176
446.60023
58
12038.3
150973.4
156.518
5537.013
12.541132
459.95143
59
11363.3
138935.1
160.614
5380.495
12.226603
473.49567
60
10713.4
127571.8
164.886
5219.880
11.907684
487.22915
61
10087.2
116858.4
169.340
5054.995
11584851
501.13100
62
9483.5
106771.2
174.168
4885.654
11.258681
515.17658
63
8900.9
97287.8
179.401
4711.486
10.930092
529.32643
64
8338.2
88386.9
184.661
4532.086
10.600212
543.53187
65
7794.5
80048.6
189.628
4347.424
10.269896
557.75589
Продолжение табл.П.4
Возраст
Мужчины
Mx
Cx
ax
1000  Ax
4157.795
9.939741
571.97293
197.009
3964.075
9.609646
586.18763
58222.5
199.271
3767.067
9.279584
600.40089
51948.2
200.926
3567.796
8.949182
614.62870
x
Dx
Nx
66
7269.2
72254.1
193.721
67
6762.5
64984.9
68
6274.3
69
5804.8
70
5353.9
46143.4
202.421
3366.870
8.618643
628.86235
71
4920.9
40789.5
203.920
3164.448
8.288977
643.05858
72
4505.1
35868.6
205.436
2960.529
7.961756
657.14937
73
4105.7
31363.5
206.829
2755.092
7.639057
671.04542
74
3722.0
27257.8
207.242
2548.263
7.323340
684.64099
75
3354.5
23535.7
206.038
2341.021
7.016127
697.87028
76
3004.0
20181.2
202.765
2134.983
6.718050
710.70628
77
2671.9
17177.2
197.197
1932.218
6.428819
723.16106
78
2359.6
14505.3
189.447
1735.021
6.147220
735.28731
79
2068.6
12145.6
180.224
1545.574
5.871453
747.16248
80
1799.3
10077.0
170.172
1365.349
5.600572
758.82731
81
1551.6
8277.8
159.596
1195.177
5.334860
770.26916
82
1325.2
6726.1
148.683
1035.581
5.075467
781.43923
83
1119.5
5400.9
137.397
886.898
4.824505
792.24638
84
933.9
4281.4
125.337
749.501
4.584615
802.57663
85
768.3
3347.6
112.449
624.164
4.357000
812.37811
86
622.8
2579.2
98.983
511.715
4.141478
821.65896
87
497.0
1956.5
85.388
412.732
3.936687
830.47760
88
390.2
1459.5
72.164
327.343
3.740412
838.92963
89
301.2
1069.3
59.748
255.180
3.549785
847.13838
90
228.5
768.1
48.487
195.431
3.361231
855.25802
91
170.2
539.6
38.590
146.944
3.170520
863.47039
92
124.3
369.4
30.140
108.354
2.972609
871.99295
93
88.8
245.1
23.112
78.214
2.761284
881.09319
94
61.8
156.3
17.504
55.102
2.528488
891.11786
95
41.7
94.5
13.155
37.598
2.268264
902.32348
96
26.7
52.8
9.833
24.443
1.977854
914.82941
97
15.7
26.1
7.228
14.610
1.660404
928.49942
98
7.8
10.4
4.931
7.382
1.327158
942.84966
99
2.6
2.6
2.451
2.451
1.000000
956.93780
Продолжение табл.П.4
Возраст
Женщины
Mx
Cx
ax
1000  Ax
3541.571
21.959574
54.37277
52.197
3361.666
21.966155
54.08934
1303051.6
46.444
3309.469
21.928878
55.69461
56816.4
1243630.0
42.767
3263.026
21.888555
57.43101
4
54327.0
1186813.4
40.123
3220.259
21.845722
59.27544
5
51947.5
1132486.5
37.627
3180.137
21.800605
61.21831
x
Dx
Nx
0
65135.0
1430336.9
179.904
1
62150.2
1365201.9
2
59421.7
3
6
49672.9
1080539.1
34.537
3142.510
21.753100
63.26410
7
47499.3
1030866.4
33.050
3107.973
21.702761
65.43195
8
45420.8
983367.1
30.281
3074.923
21.650128
67.69850
9
43434.6
937946.3
28.977
3044.642
21.594425
70.09709
10
41535.3
894511.6
27.113
3015.666
21.536186
72.60491
11
39719.6
852976.3
25.945
2988.553
21.474962
75.24132
12
37983.2
813256.8
25.957
2962.607
21.410953
77.99782
13
36321.6
775273.5
25.919
2936.651
21.344686
80.85133
14
34731.6
738951.8
26.353
2910.732
21.276060
83.80643
15
33209.6
704220.3
27.196
2884.380
21.205298
86.85370
16
31752.4
671010.6
27.444
2857.184
21.132621
89.98335
17
30357.6
639258.3
27.621
2829.740
21.057609
93.21357
18
29022.7
608900.6
27.298
2802.119
20.980147
96.54919
19
27745.6
579877.9
26.952
2774.821
20.899792
100.00928
20
26523.9
552132.3
26.585
2747.869
20.816416
103.59979
21
25355.1
525608.5
25.820
2721.284
20.729871
107.32678
22
24237.5
500253.3
25.435
2695.464
20.639675
111.21067
23
23168.3
476015.8
24.687
2670.030
20.545990
115.24493
24
22145.9
452847.6
24.289
2645.343
20.448330
119.45045
25
21168.0
430701.6
23.562
2621.054
20.346823
123.82150
26
20232.9
409533.6
23.157
2597.492
20.240975
128.37963
27
19338.5
389300.7
22.451
2574.335
20.130893
133.11991
28
18483.3
369962.2
22.321
2551.885
20.016068
138.06462
29
17665.0
351479.0
21.894
2529.563
19.896898
143.19622
30
16882.4
333813.9
21.718
2507.669
19.772868
148.53729
31
16133.7
316931.5
21.516
2485.952
19.644055
154.08430
32
15417.4
300797.8
21.291
2464.436
19.510225
159.84722
33
14732.2
285380.3
21.046
2443.144
19.371137
165.83653
Продолжение табл.П.4
Возраст
Женщины
Mx
Cx
ax
1000  Ax
2422.098
19.226542
172.06319
21.323
2400.887
19.076781
178.51247
243122.0
21.582
2379.564
18.921586
185.19562
12274.0
230273.0
22.155
2357.982
18.760985
192.11135
38
11723.3
217999.0
22.818
2335.872
18.595306
199.24598
39
11195.7
206275.7
23.726
2313.010
18.424565
206.59828
40
10689.9
195080.0
24.679
2289.283
18.249084
214.15486
41
10204.8
184390.1
25.820
2264.605
18.068886
221.91471
x
Dx
Nx
34
14076.8
270648.1
21.211
35
13449.4
256571.4
36
12848.9
37
42
9739.6
174185.3
26.818
2238.784
17.884275
229.86460
43
9293.4
164445.7
27.537
2211.967
17.694978
238.01592
44
8865.6
155152.4
28.145
2184.430
17.500444
246.39320
45
8455.7
146286.7
28.781
2156.285
17.300353
255.00940
46
8062.8
137831.0
29.310
2127.504
17.094669
263.86645
47
7686.3
129768.1
29.741
2098.193
16.883058
272.97855
48
7325.6
122081.8
30.311
2068.453
16.665182
282.36091
49
6979.8
114756.3
30.888
2038.141
16.441206
292.00583
50
6648.3
107776.5
31.571
2007.253
16.211028
301.91779
51
6330.5
101128.1
32.138
1975.683
15.974796
312.09045
52
6025.7
94797.7
32.888
1943.545
15.732121
322.54053
53
5733.4
88771.9
33.700
1910.657
15.483375
333.25201
54
5452.8
83038.6
34.470
1876.957
15.228667
344.22032
55
5183.5
77585.8
35.196
1842.488
14.967832
355.45233
56
4925.1
72420.3
35.714
1807.292
14.700695
366.95597
57
4677.3
67477.2
35.966
1771.578
14.426547
378.76141
58
4439.9
62799.9
35.982
1735.612
14.144403
390.91131
59
4212.7
58360.0
36.072
1699.630
13.853223
403.45013
60
3995.3
54147.3
36.224
1663.557
13.552888
416.38319
61
3787.0
50152.0
36.688
1627.333
13.243246
429.71707
62
3587.2
46365.0
37.607
1590.645
12.925044
443.41948
63
3395.1
42777.8
39.037
1553.037
12.599705
457.42931
64
3209.9
39382.6
40.673
1514.001
12.269107
471.66564
65
3031.0
36172.7
42.316
1473.327
11.934243
486.08553
66
2858.2
33141.7
43.742
1431.011
11.595454
500.67456
67
2691.3
30283.6
44.866
1387.270
11.252202
515.45566
Продолжение табл.П.4
Возраст
Женщины
Mx
Cx
ax
1000  Ax
1342.404
10.903498
530.47177
46.272
1296.784
10.547861
545.78609
22685.6
47.135
1250.511
10.184790
561.42086
2084.4
20458.2
48.342
1203.376
9.815154
577.33822
72
1946.3
18373.9
50.042
1155.034
9.440645
593.46532
73
1812.4
16427.6
52.237
1104.993
9.064013
609.68388
74
1682.1
14615.2
54.629
1052.756
8.688582
625.85075
75
1555.1
12933.1
56.894
998.127
8.316820
641.85961
76
1431.2
11378.1
58.863
941.233
7.950028
657.65445
77
1310.7
9946.9
60.266
882.370
7.588946
673.20353
x
Dx
Nx
68
2530.6
27592.2
45.620
69
2376.0
25061.6
70
2227.4
71
78
1194.0
8636.2
61.069
822.104
7.232987
688.53183
79
1081.5
7442.2
61.425
761.035
6.881263
703.67782
80
973.5
6360.6
61.467
699.610
6.533703
718.64470
81
870.1
5387.1
61.283
638.144
6.191218
733.39272
82
771.4
4517.0
60.820
576.860
5.855809
747.83619
83
677.3
3745.6
59.986
516.040
5.529959
761.86795
84
588.2
3068.3
58.423
456.055
5.216584
775.36257
85
504.4
2480.1
56.043
397.632
4.916666
788.27768
86
426.7
1975.7
52.783
341.589
4.630524
800.59962
87
355.5
1549.0
48.764
288.806
4.357175
812.37051
88
291.4
1193.5
44.118
240.043
4.095249
823.64959
89
234.8
902.1
39.077
195.925
3.842362
834.53933
90
185.6
667.3
33.879
156.848
3.595701
845.16115
91
143.7
481.7
28.725
122.969
3.351958
855.65730
92
108.8
338.0
23.818
94.244
3.106699
866.21877
93
80.3
229.2
19.329
70.425
2.854542
877.07735
94
57.5
148.9
15.366
51.096
2.589374
888.49590
95
39.7
91.4
12.044
35.731
2.304276
900.77273
96
25.9
51.7
9.315
23.687
1.996407
914.03051
97
15.5
25.8
7.040
14.372
1.667685
928.18579
98
7.8
10.3
4.880
7.331
1.329411
942.75266
99
2.6
2.6
2.451
2.451
1.000000
956.93780
СОДЕРЖАНИЕ
с.
ПРЕДИСЛОВИЕ ........................................................................... 3
1.Основы демографической статистики .................................. 5
Введение .................................................................................... 5
1.1 Таблицы смертности и вероятности демографических
событий ............................................................................. 5
1.2 Функции дожития ............................................................ 14
1.3 Построение таблиц смертности ...................................... 19
1.4 Интерполяция таблиц смертности для дробных
возрастов ........................................................................... 33
1.5 Средняя продолжительность жизни ............................... 36
1.6 Законы смертности .......................................................... 40
1.7 Общие декрементные таблицы ....................................... 41
2.Основные типы контрактов по страхованию жизни ........... 46
Введение .................................................................................... 46
2.1 Страхование на дожитие ................................................. 52
2.2 Пожизненная рента .......................................................... 54
2.3 Приведенная пожизненная рента ................................... 57
2.4 Отложенная пожизненная рента ..................................... 59
2.5 Срочная страховая рента ................................................. 62
2.6 Срочная приведенная страховая рента .......................... 63
2.7 Срочные отложенные страховые ренты ........................ 64
2.8 Схема дисконтирования в актуарных расчетах ............ 66
2.9 Рекуррентные формулы для вычисления
стоимости страховых рент .............................................. 70
2.10 Контракты по страхованию жизни ................................. 71
2.11 Пожизненное страхование .............................................. 72
2.12 Страхование жизни на срок ............................................ 75
2.13 Страхование жизни с ограниченным
сроком выплат .................................................................. 77
2.14 Смешанное страхование жизни ...................................... 78
2.15 Страховые резервы .......................................................... 80
2.16 Связь между актуарными оценками страховых
рент и страховых полисов ............................................... 86
2.17 Рекуррентные формулы для резервов ............................ 89
2.18 Монотонные страховые ренты ....................................... 90
2.19 Общая схема страхования жизни ................................... 92
2.20 Специальные виды контрактов, часто встречающиеся
в практике страхования жизни ....................................... 95
2.21 Ренты, выплачиваемые несколько раз в год .................. 100
2.22 Контракты с точным временем выплат ......................... 108
2.23 Групповые страховые контракты ................................... 111
2.24 Брутто-премии .................................................................. 120
Приложение .................................................................................... 126
Таблица П.1 ............................................................................... 126
Таблица П.2 ............................................................................... 128
Таблица П.3 ............................................................................... 132
Таблица П.4 ............................................................................... 135