Решения и критерии - Олимпиады и конкурсы Высшей школы

Олимпиада для студентов и выпускников вузов – 2014 г.
Профиль «Экономика»
Время выполнения задания – 180 мин.
Микроэкономика
Задание 1. (20 баллов) Рассмотрите отрасль, спрос на продукцию которой является линейной
функцией цены этой продукции,
p( x)  64  x (для цен, при которых объем спроса
положительный). В отрасли действуют две фирмы с линейными функциями издержек,
c1 ( x)  8x, c2 ( x)  12 x . Спрос и функции издержек известны обеим фирмам (общеизвестны).
Фирмы взаимодействуют в течение одного периода в соответствии с моделью Курно
(одновременно и независимо друг от друга определяют объемы выпуска и продаж).
(а) Предположим, что у второй фирмы имеется возможность инвестировать сумму F в научноисследовательские разработки, что позволит снизить издержки производства каждой единицы
продукции вдвое. Первая фирма знает о такой возможности, но сама не располагает
возможностью изменить свою технологию. После принятия решения об инвестициях обе фирмы
конкурируют по Курно. При каких значениях F эта фирма будет осуществлять такие
инвестиции?
(б) Предположим, что менеджмент фирм планирует осуществить слияние, и объединенная
фирма может осуществить те же разработки (снижающие предельные издержки второй фирмы
вдвое). По-прежнему, не существуют возможности изменить технологию первой фирмы. Как
изменится Ваш ответ на вопрос предыдущего пункта в этом случае?
Решение и критерии оценивания:
(а) При условии, что обе фирмы активны (выпускают продукцию), выпуск фирмы i
xi 
a  2ci  c j
3
, а ее прибыль составляет  i ( xi , x j )  (
a  2ci  c j
3
равен
) 2 (4 балла)
Поэтому прибыль второй фирмы, если она не осуществляет инновации (не инвестирует в
научно-исследовательские разработки) равна  2 ( x2 , x1 )  (
Если же инновации осуществляются, то  2 ( x2 , x1 )  (
64  24  8 2
)  256 (2 балла)
3
64  12  8 2
)  400 (2 балла)
3
Поэтому фирме выгодно осуществлять инновации, если F  144 (2 балла).
1
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Примечание: Конечно, каждый раз нужно проверять, что и до, и после осуществления
инноваций обе фирмы активны. Отсутствие проверки не штрафуется.
За арифметические ошибки снижалось оценка на 1-2 балла, в зависимости от места, в
котором была сделана ошибка.
(б) При слиянии в производстве будет использоваться только технология первой фирмы, если
инновация не осуществляется, и технология второй, если осуществляется. В любом случае
фирма окажется монополистом (4 балла).
Поэтому ее выпуск и прибыль составят: x 
a  c1 64  8
64  8 2

 28,   (
)  28 2  784 ,
2
2
2
если инновации не осуществляются (2 балла),
и соответственно,
x
a  c 2 / 2 64  6
64  6 2

 29,   (
)  29 2  841 , если осуществляются
2
2
2
(2 балла).
Поэтому F  57 (2 балла).
Задание 2. (30 баллов) В совершенно конкурентной отрасли действуют N фирм с
одинаковыми технологиями производства. Функция спроса на продукцию отрасли p(Q)
убывает по отраслевому выпуску Q . Типичная фирма имеет функцию издержек C (q) , где q выпуск данной фирмы. Известно, что некоторая доля произведенной продукции  , где
0    0.5 , является бракованной, а потому подлежит не продаже, а обязательной утилизации,
что сопряжено с дополнительными издержками в размере b на единицу утилизируемой
продукции.
100  Q, Q  100
, C (q)  50q 2 , b  50 и N  100 . Найдите равновесную цену.
0, Q  100
(а) Пусть p(Q)  
(б) Определите, как предельно малое (дифферениально малое) снижение доли бракованной
продукции повлияет на равновесную цену, найденную в пункте (a). Будет ли этот результат (в
терминах больше/меньше) справедлив в случае произвольной функции спроса p(Q) ,
произвольной функции издержек C (q) и произвольной величины издержек утилизации b
таких, что P(Q)  0 , C (q)  0 , C (q)  0 и P(0)  C 0  b / 1  ?
Решение и критерии оценивания
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
(а) Предложение фирмы находим как решение задачи максимизации прибыли


max p1  q  50q 2  50q , (4 балла)
 p1   2  501   
 p1     50
, p  50 / 1    и

, p  50 / 1    (2 балла)
q p   
1   q p   
100
100

0, p  50 / 1   
0, p  50 / 1   

Найдем совокупное предложение
 p1   2  501   , p  50 / 1   
(2 балла)
Q s  p   1001   q p   


0
,
p

50

/
1



В равновесии спрос должен быть равен предложению:
2    2
. (2 балла) Заметим, что при введенном
2  2   2
ограничении на  эта цена превышает пороговое значение, при котором выпуск фирм
100  p  p1    501  , откуда p  50
2
положителен: p  50
2    2

при 0    0.5 . (1 балла).
 50  50
2
2  2  
1 
2    2
возрастает по  , так как при 0    0.5 числитель растет, а
2  2   2
знаменатель уменьшается. Тогда снижение доли бракованной продукции приведет к снижению
рыночной цены. (3 балла)
(б) p  50
Результат справедлив в общем виде.
Предложение фирмы находим как решение задачи максимизации прибыли
max  p1  q  Cq   bq  , (2 балла)
FOC p1    C q   b  0 и p1    C q   b  0 при q  0 . (2 балла)
Поскольку при q  0 имеем p1    C 0  b  p1    P01    1  P0  p   0 , то
нарушается FOC, т.е. решение внутреннее. (3 балла)
Тогда выпуск фирмы q p  описывается неявной функцией C q   p1    b .
В равновесии Q p  N 1  q p,  . (2 балла)
3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
dp
 dp

 N 1    qp
 q   Nq , причем согласно теореме о дифференцировании
d
 d

pb
1 
неявной функции q  
 0 (2 балла) и q p 
 0 . (2 балла). Тогда
C q
C q
Тогда Qp
dp  N 1   q  Nq

 0 . (2 балла). Поскольку d  0 , то dP  0 . (1 балл).
d
N 1   qp  Qp
Макроэкономика
Задание 3. (20 баллов) Рассмотрим малую открытую экономику с совершенной мобильностью
капитала и плавающим валютным курсом. Функция потребления задана уравнением
С  5  0,75Y , где Y - реальный ВВП. Функция инвестиций имеет вид I  15  0,7i , где i номинальная ставка процента, выраженная в процентных пунктах. Государственные закупки
G  20 . Функция чистого экспорта имеет вид Xn  20  5E  0,1Y , где E - номинальный
валютный курс (в обратной котировке). Номинальное предложение денег M s  225 , уровень
цен P  5 . Функция спроса на реальные денежные остатки имеет вид LY , r   0,5Y  10i .
Зарубежная ставка процента i f  5 . Инфляционные ожидания и ожидания изменения валютного
курса отсутствуют.
а) (6 баллов) Определите равновесный ВВП, номинальный валютный курс (в обратной
котировке) и номинальную ставку процента в модели IS-LM-BP.
б) (7 баллов) Возможно ли достижение равновесного ВВП Y  210 за счёт проведения
монетарной политики? Если нет, то докажите, почему, если да, то определите соответствующее
изменение денежной массы. Решение проиллюстрируйте на диаграмме IS-LM-BP.
в) (7 баллов) Возможно ли достижение равновесного ВВП Y  210 за счёт проведения
фискальной политики? Если нет, то докажите, почему, если да, то определите соответствующее
изменение государственных закупок. Решение проиллюстрируйте на диаграмме IS-LM-BP.
Решение и критерии оценивания
а) Уравнение кривой IS имеет вид
Y  C  I  G  Xn  5  0,75Y  15  0,7i  20  20  5E  0,1Y  60  0,65Y  0,7i  5E , откуда
получаем Y 
60  5E
 2i
0,35
Ms
225
 LY , i  
 0,5Y  10i ,
Уравнение кривой LM имеет вид
P
5
откуда получаем Y  90  20i
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Кривая BP в данной экономике горизонтальна, т.к. рассматривается малая открытая экономика с
совершенной мобильностью капитала. Поскольку ожидания изменения номинального
валютного курса отсутствуют, в равновесии ставка процента будет равна зарубежной, т.е.
уравнение кривой BP имеет вид i  5 .
Подставив i  5 в уравнение LM, находим Y  190 . Подставив найденные Y и i в уравнение IS,
получим значение равновесного валютного курса E  2 .
Уравнение IS – 1 балл;
уравнение LM – 1 балл;
уравнение BP – 2 балла;
нахождение равновесия – 2 балла.
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
б) Проанализируем графически, возможно ли в данной экономике увеличение равновесного
ВВП за счёт увеличения денежной массы (очевидно, что если и можно добиться увеличения
ВВП за счёт проведения монетарной политики, то это возможно только с помощью увеличения
предложения денег):
i
LM
LM’
1
5
BP
3
2
IS’
IS
0
190
Y
210
Рост номинального предложения денег уменьшает равновесное значение ставки процента на
рынке денег, что ведёт к сдвигу кривой LM вниз до LM’. Равновесие на товарном и денежном
рынках переходит в точку 2, в которой отечественная ставка процента оказывается ниже
иностранной, что вызывает отток капитала и рост спроса на иностранную валюту. Удорожание
иностранной валюты соответствует росту номинального валютного курса (в обратной
котировке) и приводит к увеличению чистого экспорта и сдвигу кривой IS вправо. Новое
равновесие устанавливается в точке 3 при большем выпуске, чем в первоначальном равновесии,
т.е. ЦБ действительно может достичь Y  210 благодаря увеличению денежной массы.
В
новом
равновесии
Y  210, i  5 .
Подставив
данные
значения
в
уравнение
LM:
Ms
 0,5Y  10i , получим, что достижение данного равновесия возможно при M s  275 , т.е. ЦБ
5
должен увеличить номинальное предложение денег на 50.
График + цепочка рассуждений – 5 баллов;
Определение денежной массы – 2 балла.
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
в) Проанализируем графически, возможно ли в данной экономике увеличение равновесного
ВВП за счёт увеличения государственных закупок (очевидно, что если и можно добиться
увеличения ВВП за счёт проведения фискальной политики, то это возможно только с помощью
увеличения государственных закупок):
i
LM
2
5
BP
1
IS’
IS
0
190
0
Y
Рост государственных закупок вызывает сдвиг кривой IS вправо. Равновесие на товарном и
денежном рынках переходит в точку 2, в которой отечественная ставка процента оказывается
выше иностранной, что вызывает приток капитала и рост спроса на отечественную валюту. Рост
спроса на отечественную валюту приводит при плавающем валютном курсе к удорожанию
отечественной валюты, т.е. к снижению номинального валютного курса (в обратной котировке)
и снижению чистого экспорта. Сокращение чистого экспорта приводит к сдвигу кривой IS влево
до первоначального положения.
Таким образом, равновесие в итоге устанавливается при том же выпуске Y  190 , т.е.
увеличение выпуска в данной экономике невозможно за счёт увеличения государственных
закупок.
График + цепочка рассуждений – 5 баллов;
вывод о невозможности достижения Y  210 (возможно через аналитическое
доказательство без графического анализа) - 2 балла.
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Задание 4. (30 баллов) Рассмотрим следующую вариацию модели Солоу. Производственная
функция задается следующим образом:
где
– физический капитал,
– труд, равный населению,
. Население растет с темпом прироста
сбережений
и
– параметры модели, и
, норма амортизации составляет
, а норма
, то есть:
Задания:
(а) (5 баллов) Выпишите производственную функцию в интенсивной форме.
(б) (5 баллов) Проверьте, выполняются ли условия Инады.
(в) (5 баллов) Запишите основное уравнение динамики в модели Солоу (то есть уравнение
для , где
– капиталовооруженность труда,
, а точка над переменной означает
производную по времени).
(г) (5 баллов) При каком ограничении на параметры экономика стремится к постоянному и
ограниченному значению производительности труда (производительность труда
определяется как
)? Выразите значение производительности труда и потребление на
душу населения через параметры модели в стационарной точке.
(д) (5 баллов) При каком ограничении на параметры существует траектория
сбалансированного роста с положительным темпом прироста производительности труда?
Выразите темпы прироста выпуска и темпы прироста производительности труда на
траектории сбалансированного роста.
(е) (5 баллов) Что происходит с производительностью труда и с темпом прироста
производительности труда в долгосрочном периоде в случае, не описанном в
предыдущих двух пунктах задания?
Решение:
1. Во-первых, разделим производственную функцию слева и справа на труд (2 балла):
а затем сделаем замену переменных
и
. Получаем (3 балла):
8
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
2. Выпишем условия Инады (по 1 баллу за каждое условие):
Чтобы проверить, выполняются ли условия Инады, найдем производную производственной
функции в интенсивной форме (1 балл):
Замечание 1: по теореме Эйлера, производные производственных функций в интенсивной и
экстенсивной форме совпадают, поэтому проверять условия Инады можно как для
производственной функции в интенсивной форме, так и в экстенсивной.
Замечание 2: Условия Инады накладываются только на предельную производительность
капитала, но не на предельную производительность труда.
Наконец, проверим выполнение условий Инады для заданной производственной функции (по 1
баллу за каждое условие):
(выполняется)
(выполняется только при
)
Замечание 3: Если производная найдена неверно, последние два ответа не засчитываются, даже
если ответы верные.
Замечание 4: Ответ «правое условие Инады нарушено» засчитывается в качестве верного, то
есть необязательно упоминать о том, что существует одно значение параметра
правое условие Инады выполнено.
3. Продифференцировав по времени определение
уравнение накопление капитала
производственную функцию, получаем (5 баллов):
, при котором
и подставив в полученное выражение
и
полученную
в
первом
задании
9
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Замечание 5: Ключевым действием для решения последующих пунктов является подстановка
производственной функции в основное уравнение динамики. Поэтому если производственная
функция не подставлена не в данном пункте, не в последующих, за выполнение данного пункта
ставится оценка 4 балла.
Замечание 6: За каждую арифметическую ошибку, такую, как потеря множителя
перед ,
снимается 1 балл. Такая ошибка приводит к неправильным результатам в последующих
заданиях, однако повторно баллы за неё не снимаются.
4. Так как правое условие Инады нарушено, стационарная точка может не существовать. Чтобы
гарантировать её существование, нужно убедиться, что при больших значениях
линия
фактических инвестиций проходит ниже линии восстанавливающих инвестиций (1 балл):
В этом случае стационарная существует, и значение капиталовооруженности труда в этой точке
может быть найдено из условия
, откуда (1 балл):
Получаем (2 балла):
Откуда можем найти (1 балл):
5. Траектория сбалансированного роста с положительным темпом прироста производительности
труда будет существовать в следующем случае (1 балл):
Откуда получаем (1 балл):
10
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
В этом случае экономика асимптотически стремиться к траектории сбалансированного роста,
вдоль которой выпуск и производительность труда растут со следующими темпами (3 балла):
6. Случай: не рассмотренный в пунктах 5 и 6, соответствует значению параметров,
удовлетворяющих следующему условию (2 балла):
При таких значениях параметров выпуск асимптотически растет затухающими темпами (3
балла):
11
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»