9. Кривые с самопересечениями

9. Кривые с самопересечениями
На прошлой лекции мы выяснили, что существуют негиперэллиптические римановы поверхности рода g > 3, если только g является треугольным числом. Сейчас мы установим, что тоже верно и для (по крайней мере некоторых) числе, не являющихся треугольными. По-прежнему
построение негиперэллиптических римановых поверхностей будет не
самоцелью, но поводом познакомиться с различными интересными и
полезными конструкциями.
Начнем с важного технического утверждения, являющегося частным случаем (одной из версий) леммы Морса.
Предложение 9.1
(лемма Морса). Пусть f | голоморфная функция
p∈
двух переменных, определенная в некоторой окрестности точки
C2 . Предположим, что
@f
@f
(p) =
(p) = 0;
@z1
@z2
но при этом
2
@ f
det (p)
6= 0:
@zi @zj (9.1)
U 3 p и голоморфные функции
f | = g1 g2 , g1 (p) = g2 (p) = 0, а дифференциалы
Тогда существует такая окрестность
g1 ; g2 : U → C, что
dg1 (p) и dg2 (p) линейно
U
независимы (в частности, отличны от нуля).
Матрица в левой части формулы (9.1) (а также ее определитель)
называется гессианом. На геометрическом языке предложение 9.1 означает, что если кривая, заданная уравнением f = 0, имеет особую точку
(условие равенства нулю обеих частных производных), в которой гессиан невырожден, то в окрестности этой точки кривая представляется
в виде объединения двух трансверсально пересекающихся гладких кривых (с уравнениями g1 = 0 и g2 = 0).
Не ограничивая общности, можно считать, что p |
начало координат. Далее, нетрудно
что при невырожденной лиP видеть,
нейной замене координат zi =
aij zj0 гессиан преобразуется как квадратичная форма. Так как гессиан невырожден, линейной заменой можно привести его к виду ( 01 10 ); поскольку условие независимости dg1 (p)
и dg2 (p) при линейной замене координат также сохраняется, будем считать, что он уже имеет такой вид. Тогда степенной ряд для f в начале
Доказательство.
1
координат имеет вид
f (z1 ; z2 ) = z1 z2 + F3 (z1 ; z2 ) + F4 (z1 ; z2 ) + : : : =
∞
X
i;j
=0
a z1 z2 ;
i
j
ij
(9.2)
где Fj | однородный многочлен степени j .
Покажем, что существуют степенные ряды
z1 + A2 (z1 ; z2 ) + A3 (z1 ; z2 ) + : : : ;
z2 + B2 (z1 ; z2 ) + B3 (z1 ; z2 ) + : : :
(Aj и Bj | однородные многочлены степени j ), сходящиеся в некоторой
окрестности точки p, что
z1 z2 + F3 (z1 ; z2 ) + F4 (z1 ; z2 ) + : : : = (z1 + A2 (z1 ; z2 ) + A3 (z1 ; z2 ) + : : :) ×
× (z1 + B2 (z1 ; z2 ) + B3 (z1 ; z2 ) + : : :);
это докажет предложение, если обозначить суммы этих рядов через g1
и g2 .
Будем строить Aj и Bj индукцией по степени. Начнем со степени 2.
Должно выполняться равенство z1 B2 + z2 A2 = F3 . Многочлен A3 можно
единственным образом представить в виде z1 F~3 + z23 , где F~3 | однородный многочлен степени 2; положим B2 = F~3 , A2 = z22 . Пусть уже
построены Aj и Bj при всех j ∈ [2; n − 1]. Должно выполняться равенство
z1 B + A2 B −1 + : : : + A −1 B2 + z2 A = F +1 ;
n
n
n
n
n
или
z1 B + z2 A = F +1 − (A2 B −1 + A3 B −2 + : : : + A −1 B2 ):
n
n
n
n
n
n
(9.3)
Правую часть этого равенства можно единственным образом представить в виде z1 F~n+1 + z2n+1 , где F~n+1 | однородный многочлен степени n; положим Bn = F~n+1 , An = z2nP
Напомним, что степенной ряд ∞
aij z1i z2j сходится в некоторой
i;j =0
окрестности начала координат
тогда и только тогда, когда существуют
P
такое число M > 0, что i+j =k |aij | 6 M k для всех k . Выберем такое
M , что эти неравенства выполнены для aij из формулы (9.2).
Лемма 9.2.
и
B
n
Каждый коэффициент построенных нами многочленов
не превосходит по модулю
C ·M +1 , где числа C
n
n
n
A
n
удовлетворяют
условиям
C2 = 1;
C = 1 + C2 C − 1 + C3 C − 2 + : : : + C − 1 C2 ;
n
n
n
n
2
при
n > 2. (9.4)
По построению. каждый коэффициент многочленов An и Bn является одним из коэффициентов многочлена из правой
части (9.3). С учетом этого замечания, результат получается очевидной
индукцией.
Доказательство леммы.
Лемма 9.3.
всех
n > 2.
Существует такая константа
Доказательство леммы.
R > 0,
что
C 6R
n
n
при
Рассмотрим производящую функцию
'(t) = C2 t2 + C3 t3 + : : : :
Рекуррентное соотношение (9.4) равносильно тождеству
'(t)2 = t'(t) −
t3
1−t
:
Решая это квадратное уравнение на ', получаем, что
p
1 − 1 − 4t(1 − t)
:
'(t) = t ·
2(1 − t)
Стало быть, ряд для '(t) имеет положительный радиус сходимости,
откуда все и следует.
Сопоставляя две леммы, получаем, что каждый коэффициент многоn+1
членов An и BP
Rn ; следовательn не превосходит по модулю числа M
P
но, ряды z1 + j>1 Aj (z1 ; z2 ) и z2 + j>1 Bj (z1 ; z2 ) сходятся в некоторой
окрестности начала координат. Обозначим их суммы через g1 и g2 соответственно. Это и есть две искомые функции.
Пусть V | двумерное комплексное многообразие,
f : V → C | голоморфная функция, X ⊂ V | множество нулей функции f и p ∈ X . Если в окрестности точки p существуют локальные
координаты, в которых f удовлетворяет условиям предложения 9.1, то
говорят, что p является точкой самопересечения для X (английский
Определение 9.4.
термин: node).
Аналогично определяются точки самопересечения в случае, когда
X ⊂ V задается одним уравнением локально, а не глобально.1
p ∈ C существуp, U ⊂ V и голоморфная функция f : U → C с тем свойством,
что X ∩ U = {x ∈ U | f (x) = 0}; условия «df (q ) 6= 0 для всех q ∈ C » мы на сей раз не
1
Как и в предыдущей лекции, это означает, что для всякой точки
ет окрестность
U
3
накладываем.
3
Теперь мы готовы описать еще один способ построения компактных
римановых поверхностей.
Определение 9.5.
менных, и пусть
Пусть F | однородный многочлен от трех пере-
X = V (F ) = {(z0 : z1 : z2 ) ∈ P2 | F (z0 ; z1 ; z2 ) = 0}:
Предположим, что для всякой точки p ∈ V (F ) выполнено одно из двух:
либо существует локальное уравнение f для V (F ) в окрестности p, для
которого df (p) 6= 0, либо p является точкой самопересечения для X .
Тогда X ⊂ P2 называется плоской кривой с самопересечениями.
Нетрудно проверить (и еще проще поверить), что точек самопересечения может быть лишь конечное число.
Существует канонический способ построить, исходя из кривой с самопересечениями, компактную риманову поверхность. Сейчас мы его
опишем.
Пусть S ⊂ X | множество точек самопересечения. Множество
X0 := X \ S является по построению одномерным комплексным подмногообразием в P2 \ S и тем самым римановой поверхностью (некомпактной). Мы превратим ее в компактную, добавив к ней конечное число
точек следующим образом.
Для всякой точки p ∈ S пусть f | локальное уравнение X в окрестности U 3 p; зафиксируем разложение f = g1 g2 , существование которого утверждается предложением 9.1; положим
X 1 = {x ∈ U | g1 (x) = 0};
X 2 = {x ∈ U | g2 (x) = 0};
p
p
и каждой точке p ∈ S поставим в соответствие два новых символа p1 и
p2 . Положим теперь
[
X~ = X0 ∪ {p1 ; p2 };
p
∈S
~ , на котором мы сейчас введем топологию и локальные
множество X
координаты, и будет искомой компактной римановой поверхностью.
~ будет совпадать с топологией, индуцированТопология на X0 ⊂ X
2
ной с P ; остается описать базу окрестностей для всевозможных точек
p1 и p2 , где p ∈ S . Для этого отождествим Xp1 с подмножеством в X~ ,
~.
отождествив p1 с точкой p ∈ Xp1 ; тогда получим вложение Xp1 ,→ X
Имея в виду это отождествление, объявим базой окрестностей точки
p1 базу окрестностей точки p ∈ X 1 (в топологии, индуцированной с
4
~ возьмем
P2 ); в качестве же координатной окрестности точки p1 ∈ X
1
~.
образ координатной окрестности точки p ∈ Xp при вложении Xp1 ,→ X
~ действиАналогично поступим и с точками p2 . Легко видеть, что X
тельно удовлетворяет определению римановой поверхности и что эта
поверхность компактна.
~ получается из X «расклеиванием» точек саНеформально говоря, X
~ → X , тождественное на X0 и перемопересечения. Отображение : X
1
2
водящее как p , так и p в p для всякой p ∈ S , называется отображением
нормализации.
~ связной быть, вообще
Построенная нами риманова поверхность X
говоря, не обязана. Например, если X | объединение d прямых на P2 ,
~ | несвязникакие три из которых не проходят через одну точку, то X
ное объединение d экземпляров сферы Римана.
Объясним теперь, как, слегка модифицировав конструкцию из предыдущей лекции, строить мероморфные, а то и голоморфные, формы
~ . Пусть ! | мероморфная форма на P2 , имеющая полюс первого
на X
порядка вдоль X . Ограничим ее на P2 \ S (это ограничение также будем
обозначать ! ); тогда можно рассмотреть вычет Пуанкаре ResX0 (! ); это
~ . Выясним, как устроены особенности
голоморфная форма на X0 ⊂ X
~ \ X0 .
этой формы в точках из X
p ∈ X | точка самопересечения, и пусть
! | мероморфная 2-форма на P2 с простым полюсом вдоль X . Пусть
f | локальное уравнение X в окрестности p. Если форма f! не обращается в нуль в точке p, тогда форма Res 0 (! ), рассматриваемая как
~ , имеет простые полюсы в точках p1 и p2 ,
мероморфная форма на X
причем вычеты в этих полюсах противоположны. Если же f! обращается в нуль в точке p, то Res 0 (! ) продолжается до голоморфной
~.
формы на X
Предложение 9.6.
Пусть
X
X
Из леммы Морса вытекает, что в
окрестности точки p можно выбрать локальные координаты z1 ; z2 таким образом, чтобы выполнялось равенство f = z1 z2 = 0. Следовательно, в окрестности p можно записать равенство
Доказательство предложения.
dz1 ∧ dz2
;
z1 z2
где (p) = 0 тогда и только тогда, когда f! обращается в нуль в точке p. Из предложения 8.7 следует, что
!=
ResX0 (! ) =
dz = − dz1 ;
z2 2
z1
5
причем первое из этих равенств выполнено там, где z2 не является тождественным нулем (т. е. на ветви, заданной уравнением z1 = 0), а второе | там, z1 не является тождественным нулем (т. е. на ветви, задан~ получается
ной уравнением z2 = 0). Стало быть, если (p) 6= 0, то на X
1
мероморфная форма с простыми полюсами в p (с вычетом (p)) и p2
(с вычетом − (p)); если же (p) = 0, то форма будет голоморфной.
Из доказанного локального результата сразу вытекает интересующий нас глобальный.
⊂ P2 | плоская кривая степени d > 3
с самопересечениями, заданная уравнением F = 0. Обозначим через S
~ → X | отображемножество точек самопересечения, а через : X
Предложение 9.7.
ПустьX
ние нормализации. Тогда всякому однородному многочлену
G
степени
d − 3, не обращающемуся в нуль ни в одной точке самопересечения кри~ , имеющая простой
вой X , соответствует мероморфная форма на X
полюс в каждой из точек множества −1 (S ) и не имеющая полюсов
вне −1 (S ).
Доказательство. Как и в предыдущей лекции, рассмотрим на P2 мероморфную форму ! = z03 G(d(z1 =z0 ) ∧ d(z2 =z0 ))=F . Она имеет простой
полюс вдоль X ; в силу предложения 9.6 форма Res 0 (! ), рассматрива~ , обладает всем требуемыми свойемая как мероморфная форма на X
X
ствами.
Следствие 9.8.
Пусть ПустьX
⊂ P2 | плоская кривая степени d > 3
с самопересечениями, и пусть количество самопересечений равно
~ связна, то ее род равен
Если риманова поверхность X
.
(d − 1)(d − 2)
− :
2
Очевидно, что всегда можно найти однородный многочлен G степени d, не обращающийся в нуль в точках самопересече~ , соответствующая G согласно
ния. Пусть | мероморфная форма на X
предложению 9.7. Тогда у нее имеется 2 простых полюсов, а нули ее
совпадают с нулями формы G на X (так что количество нулей с учетом
кратности равно d(d − 3). Следовательно,
Доказательство.
g (X~ ) =
1 + d(d − 3) − 2
(d − 1)(d − 2)
1 + deg()
=
=
− :
2
2
2
6
Предложение 9.9.
Если, в условиях предложения 9.7,
ный многочлен степени
d − 3,
G
| однород-
обращающийся в нуль во всех точках
самопересечения, то форма
ResX0 (z03 G(d(z1 =z0 ) ∧ d(z2 =z0 ))=F )
продолжается до голоморфной формы на
G
дают с нулями
на
X \ S.
X ; вне −1 (S ) ее нули совпа-
Полностью аналогично доказательству предложе-
Доказательство.
ния 9.7.
Как и в случае гладкой кривой, на самом деле все
голоморфные формы на X получаются конструкцией из этого предложения.
Замечание 9.10.
Теперь мы можем продвинуться на пути построения негиперэллиптических римановых поверхностей.
Предложение 9.11.
степени
d > 4,
Пусть
X
| плоская кривая с самопересечениями
у которой точка самопересечения ровно одна. Тогда
риманова поверхность
верхностью рода
X~
связна и является негиперэллиптической по-
(d − 1)(d − 2)=2 − 1.
Дадим сначала набросок доказательства связности
~
X . Пусть p | точка самопересечения и : X~ → X | отображение
~ = X1 t X2 , где X1 и X2 открыты, то X =
нормализации. Если X
(X1 ) ∪ (X2 ), и при этом один из элементов −1 (p) лежит в X1 , а другой | в X2 (в противном случае получилось бы, что (X1 ) ∩ (X2 ) = ∅
и несвязна уже кривая X , что, как известно, невозможно). Возьмем теперь однородный многочлен степени d − 3, не обращающийся в нуль
в точке p, и построим по нему, как в предложении 9.7, мероморфную
форму на X , имеющую простые полюсы в обеих точках из −1 (p) и
голоморфную в остальных точках. Ограничивая ее на X1 , получаем на
компактной римановой поверхности мероморфную форму с одним простым полюсом, что невозможно ввиду теоремы о вычетах.
~ , нам достаточно покаЧтобы установить негиперэллиптичность X
зать, что линейная система |KX~ | разделяет точки. Достаточно даже
более слабого утверждения.
Доказательство.
Лемма 9.12.
Пусть
Y
| компактная и связная риманова поверх-
Z⊂
x; y ∈ Y \ R и x 6= y , то существует
x, но не y . Тогда Y негиперэллиптична.
ность. Предположим, что существует конечное подмножество
Y
со следующим свойством: если
дивизор из
K
Y
, содержащий
7
Рассуждая от противного, пусть Y гиперэллиптична, Тогда, как мы знаем, отображение, задаваемое канонической линейной системой на гиперэллиптической римановой поверхно— ; пусть
сти, является двулистным разветвленным накрытием : Y → C
R ⊂ Y | множество точек ветвления. Для всякой x ∈ Y , в которой
неразветвлено, имеется точка y 6= x, для которой (y ) = (x); это
означает, что всякий дивизор из KY либо содержит и y , и x, либо не
содержит ни y , ни x. Если x ∈
= −1 ( (Z )) ∪ R и y 6= x | такая точка,
что (y ) = (x), получаем противоречие.
Доказательство леммы.
~ и Z = −1 (p). Пусть x; y ∈
Применим эту лемму, полагая Y = X
= Z;
отождествим эти точки с соответствующими точками на X . Нам надо
~ , обращающуюся в нуль в точке
построить голоморфную форму на X
x, но не y . В свете предложения 9.9 для этого достаточно построить
однородный многочлен степени d − 3, обращающийся в нуль в p и x, но
не в y . Вместо самого многочлена будем строить множество его нулей.
Случай 1. Точки p, x и y не лежат на одной прямой. Пусть `1 |
прямая, соединяющая p и x (через y она по условию не проходит), и
пусть
S `2 ; : : : ; `d−3 | произвольные прямые, не проходящие через y . Тогда j `j | множество нулей искомого многочлена (более формально:
если Q
Lj | линейный однородный многочлен, задающий прямую `j , то
G = j Lj ).
Случай 2. Точки p, x и y лежат на одной прямой. Это | единственное место, где мы используем условие d > 3. Пусть `1 | прямая,
проходящая через p, но не содержащая ни x, ни y , `2 | прямая, проходящая через x, но не содержащая y , и пусть
S `3 ; : : : ; `d−3 | произвольные
прямые, не проходящие через y . Тогда j `j | множество нулей искомого многочлена.
Нам остается установить, что кривые, удовлетворяющие условиям
предложения 9.11, действительно существуют.
Зафиксируем точку p ∈ P2 и обозначим через L векторное пространство однородных многочленов F степени d от z0 , z1 и z2 , для которых
F (p) =
Предложение 9.13.
F
(обозначим его
@F
@F
@F
(p) =
(p) =
(p) = 0:
@z0
@z1
@z2
Для общего
V (F ))является
F ∈L
множество нулей многочлена
кривой с самопересечениями, един-
ственное самопересечение которой | точка
8
p.
Достаточно установить следующие два факта.
(1) Для общего F ∈ L гессиан в точке p невырожден.
(2) Для общего F ∈ L множество V (F ) не имеет особых точек, отличных от p.
Доказательство утверждения (1). Не ограничивая общности, можно считать, что p = (1 : 0 : 0), и заменить однородные многочлены от
z0 , z1 и z2 на произвольные многочлены степени 6 d от x = z1 =z0 и
y = z2 =z0 ; тогда имеем
Доказательство.
L = {F | det F 6 d; f (0; 0) =
@F
@F
(0; 0) =
(0; 0) = 0}:
@x
@y
Пусть C3 | пространство симметрических 2 × 2-матриц и H : L → C3 |
линейное отображение, ставящее в соответствие многочлену его гессиан в нуле. Множество симметрических 2 × 2-матриц с нулевым определителем является, очевидно, квадратичным конусом в K ⊂ C3 ; тем
самым если линейное подпространство H (L) ⊂ C3 не содержится в K ,
то его общий элемент является невырожденной матрицей. Поэтому для
доказательства утверждения (1) достаточно проверить, что L содержит
хотя бы многочлен F с невырожденным гессианом, а это очевидно: достаточно взять в качестве множества нулей F пару различных прямых,
проходящих через p, полюс d − 2 прямые, не проходящие через p.
Доказательство утверждения (2). Введем следующую терминологию. Всякое векторное подпространство L в пространстве однородных
многочленов степени d будем называть линейной системой на проективной плоскости.2 Точку p ∈ P2 называют базисной для линейной системы L, если F (p) = 0 для всякого F ∈ L.
Предложение 9.14
(теорема Бертини). Пусть L | линейная систе-
B | множество ее базисных точек.
V (F ) не имеет особых точек вне B .
ма на проективной плоскости и
Тогда для общего
F ∈L
кривая
Набросок доказательства теоремы Бертини.
Положим
T = {(p; F ) ∈ (P2 \ B ) × L | F (p) = 0}:
Покажем, что T | комплексное подмногообразие в (P2 \ B ) × L. В самом
деле, пусть F1 ; : : : ; Fr | базис в L. Тогда в окрестности точки (p; T )
2
Вместе с известным нам понятием линейной системы на римановой поверхности,
это частный случай общего понятия линейной системы на алгебраическом многообразии.
9
можно записать
T = {(1 ; : : : ; ) | 1 F1 (p) + : : : + F (p) = 0}:
r
r
r
P
Заметим, что у выражения
j Fj уже все честные производные по j
не могут одновременно обращаться в нуль в точке p: в противном случае
было бы F1 (p) = : : : = Fr (p) = 0, но тогда p была бы базисной точкой,
вопреки условию. Теперь рассмотрим проекцию : T → L. По теореме
Сарда общий многочлен F ∈ L не является критическим значением
для L, так что −1 (F ) | гладкое комплексное подмногообразие в T .
Однако же −1 (F ) = V (F ) \ B .
Для завершения доказательства утверждения (2) достаточно теперь
заметить, что точка p является единственной базисной точкой линейной
системы L из условия предложения; чтобы формально проверить это
утверждение, для всякой точки q 6= p можно рассмотреть объединение
d прямых, по крайней мере две из которых проходят через p и ни одна
не проходит через q .
Итак, мы установили существование негиперэллиптических римановых поверхностей еще и во всяком роде g > 2, на единицу меньшем треугольного числа. На тех же путях (без привлечения существенно новых
идей, но технически более муторно) можно установить существование
негиперэллиптических римановых поверхностей в любом роде g > 2.
10