1. Динамические паутинообразные и непрерывные

§ 1. Динамические паутинообразные и непрерывные модели
1.1. Простейшие динамические паутинообразные модели рынка одного
товара с запаздыванием цены предложения
Для иллюстрации стабилизирующего действия рыночного механизма
создана паутинообразная модель. В этой модели в отдельные моменты времени
факторами воздействия на рыночную динамику являются дефицит или избыток
товара, а также текущее значение цены.
В явном виде функции спроса и предложения от изменения времени
зависят, фактор времени в паутинообразной модели присутствует. Рассмотрим
модель, где предложение ориентируется на цену предыдущего периода. Эта
модель разработана голландским экономистом Я. Тинбергеном1 (Tinbergen J.)
на основе анализа экономического цикла в свиноводстве, в 1930 г. Теорему о
паутинообразной модели доказал М. Езекиел2 (Ezekiel M.). Затем различные
случаи исследовал Р.М. Гудвин3 (Goodwin R.M.). Таким образом, здесь
проявляется концептуальный подход Л. Вальраса (Walras L.).
По версии Л. Вальраса в условиях дефицита (избытка) активной стороной
являются покупатели. Рыночные цены совершенно гибки и мгновенно
реагируют на любые изменения конъюнктуры. Интерпретация процесса
установление рыночного равновесия по Вальрасу соответствует условиям
совершенной конкуренции.
Однако эти воздействия пошаговые и возникают последовательно: избыток
 цена  дефицит  цена и т. д. На основании этой информации определяется
1
Tinbergen J. Bestimmung und Deutung von Angebtkuven, Eien Beispiel // Zeitschrift für Nationalökonomic. – 1930.
2
Ezekiel M. The cobweb theorem // Quaterly J. of Economics. – 1938. – № 52. – Р. 255-280.
3
Goodwin R.M. Dynamical coupling with especial reference to markets having production lags // Econometrica. –
1947. – № 15. – P. 181-204.
39
тенденция рыночного изменения цены. Установлено, что при определенных
условиях рынок стремится к равновесию и цена стабилизируется. Рынок, на
котором создается тенденция стабилизации цены на равновесном уровне
(стремления к равновесной цене), является асимптотически устойчивым.
Необходимыми
условиями
устойчивого
движения
рынка
являются
растущее предложение и убывающий спрос при увеличении цены. При этом
крутизна
падения
спроса
должна
быть больше
крутизны увеличения
предложения, т.е. при условии что, D(P) = α – a P, S(P) = – β + b P, должно
выполняться неравенство | a || b | где a  0 , b  0 .
В случае | a || b | на модели можно доказать устойчивость движения рынка
к равновесию. Рассмотрим процесс ценообразования при помощи рис. 1.
Отметим, что на рис. 1 эластичность спроса по модулю в точке равновесия
больше эластичности предложения. Действительно, в случае линейных
зависимостей спроса и предложения от цены имеем dD/dP = – a и dS/dP = b.
Отсюда следует EPD = – a  P/( – aP) и EPS = b  P/(–  + bP). В точке
равновесия PQ = ( + )/(a + b) (здесь предполагаем, что PQ  0 ). Значит в этой
точке (при условии, что Qe =
 b  a
> 0)
ab
EPD = – a  PQ /( – a PQ) = – a  ( + )/(b – a),
EPS = b  PQ /(–  + bPQ) = b  ( + )/(b – a).
Следовательно, при | a || b | в точке равновесия получим следующее
соотношение величин эластичности: | EPD | > | EPS | .
По рис. 1 движение цены можно объяснить следующим образом. В
результате действия неценовых факторов цена товара не равна равновесной
цене. Пусть в начальный момент времени цена равна P0. Это исходное
состояние модели. Далее движение рынка можно описать по шагам.
Первый шаг. В начальном состоянии цена P0 низка и сложился дефицит
товара (предложение меньше спроса, т. е. S < D). При дефиците товара на рынке
40
возникает конкуренция покупателей, цена возрастает до уровня P1. На рынке
создается новая ситуация.
Второй шаг. Продавцы увеличивают поставки товара, предложение при
новой цене P1 высокое. Возникает избыток товара (предложение больше спроса,
т. е. S > D). При избытке товара обостряется конкуренция продавцов, цена
падает до уровня P2. Ситуация на рынке опять изменяется. Теперь она
аналогична положению, сложившемуся на рынке в начале первого шага.
Далее процесс продолжается так, как описано в первом шаге, цена снова
возрастает до значения P3. Изменение цены продолжается до достижения точки
равновесия. В данном случае рынок является асимптотически устойчивым.
В явном виде фактор времени в модели отсутствует, но можно изобразить
график изменения цены по шагам t, как показано на рис. 2. Рынок в данном
случае оказывает стабилизирующее влияние на цену, цена стремится к
равновесному уровню.
При наличии внешних дестабилизирующих, неценовых факторов под
влиянием рыночного механизма цена на товар стремится занять новое
равновесное положение.
Однако ценовая динамика коренным образом изменится, если крутизна
падения спроса от роста цены будет меньше крутизны роста предложения, т.е. в
случае | a || b | . При незначительном отклонении от точки равновесия на рынке
начнут происходить такие изменения, которые приведут к возрастанию размаха
колебания цены (рис. 1 и 2). Очевидно, что такой рынок является
неустойчивым. Цена имеет тенденцию к увеличению отклонения от точки
равновесия.
41
P
P
P1
P3
PQ
P2
P0
S
P1
P3
P2
P0
D
Qe
Рис. 1
P
P3
P1
PQ
P0
P2
t
t
0
D, S
Рис. 2
P
P3
S
P1
P0
P2
D
Qe
Рис. 3
t
0
D, S
Рис. 4
Заметим, что при a = b «паутина» замыкается в цикл, т.е. получается, что
P0 = P2 = P4 =…, P1 = P3 = P5 = … В этом случае последовательности цен не
сходятся к равновесной цене PQ и не отдаляются от нее. Такая устойчивость не
является асимптотической. Заметим, что в этом случае возникает ситуация так
называемого «свиного цикла», при котором состояние равновесие оказывается
недостижимым.
В паутинообразной модели предполагается дискретное течение времени.
Анализ модели рынка с явной зависимостью от непрерывного времени дает
другие результаты.
Приведем основные недостатки паутинообразной модели.
1. Модель отражает рынок в отдельные моменты времени, разделенные
шагами перехода от зависимости D(P) к S(P) и обратно. В действительности
сделки купли-продажи на рынке происходят непрерывно.
2. На рынке одновременно действует множество неценовых факторов, не
42
учтенных в модели. Кроме указанных ранее неценовых факторов существенное
воздействие на рынок оказывают различные экономические прогнозы, большое
значение имеют скорости падения или роста рыночных показателей, например,
скорость изменения цены Pt / t , скорость изменения товарного запаса
 ( St  Dt ) / t и т. д.
3. Рыночное предложение складывается из многочисленных частных
предложений конкурирующих продавцов, производящих товар с различной
производительностью
ресурсов.
У
одного
производителя
возникает
предложение среднесрочного периода, у других – предложение долгосрочного
периода. На рынке они действуют одновременно. У разных продавцов цены
предложения не одинаковы.
Далее описываются модели, в которых устранена часть из указанных
недостатков.
1.2. Имитация процесса рыночного ценообразования с запаздыванием
цены предложения
Рассмотрим имитацию рыночной динамики на примере паутинообразной
модели. Известны имитационные модели с учетом возможного влияния
случайных факторов на переменные модели и с учетом запаздывания цены
предложения и текущего запаса товара у «коммерсантов».
Далее будет рассмотрена модель с запаздыванием цены предложения по
отношению к цене спроса. Имитация проводится по шагам t –1, t. Это время
необходимо, чтобы при формировании предложения производители товара
успели отреагировать на очередное изменение цены. На предложение и спрос
возможно
воздействие
случайных
помех.
В
паутинообразной модели принимают следующий вид:
спрос –
Dt =  – aPt + ut,
43
этом
случае
формулы
предложение –
St = –  + bPt–1 + vt,
условие равновесия –
Dt = St + wt,
где , , a, b – постоянные параметры модели и при каждом t = 1, 2, …; ut, vt и
wt – случайные величины с заданными законами распределения. Обычно для
определенности принимают нормальные законы распределения с постоянными
математическими ожиданиями Mut = 0, Mvt = 0, Mwt = 0 и с дисперсиями
2 ut  = 2 vt  = 2 wt   2 при всех t = 0, 1, 2, …
Пошаговая имитация состоит в том, что на основании данных о состоянии
модели в момент времени t – 1 вычисляют значения переменных модели в
следующий момент времени t.
Рассмотрим динамику изменения всех показателей от момента t – 1 до
момента t.
Для осуществления имитации из модели необходимо вывести формулу для
вычисления цены в текущий момент времени. Поэтому в формулу Dt = St + wt
подставим значение Dt =  – aPt + ut (здесь a ≠ 0) и решим полученное
уравнение относительно цены Pt. Получим
 – aPt + ut = St + wt,
Pt = (– 1/a) St –  – ut + wt.
Теперь процесс имитации можно представить в виде блок-схемы,
изображенной на рис. 5.
44
Ввод исходных данных:
, , a, b, 2, начальное
значение P0, число
циклов моделирования N
Организация
цикла по t = 1, N
Генерация случайных величин
Rand vt, Rand ut, Rand wt
Вычисление St
Вычисление Pt и Dt
нет
Проверка окончания цикла, t > N
да
Рис. 5
Приведем пример имитации по этому алгоритму. Для простоты примем
следующие значения параметров модели: a = 1,  = 100, b = 0,5,  = 0.
Предположим отсутствие в модели случайных воздействий, т.е. пусть ut  0,
vt  0, wt  0. Начальное значение цены P0 = 50. Тогда расчетные формулы
Pt = –  + bPt–1 + vt, Pt = (– 1/a) St –  – ut + wt, Dt =  – aPt + ut примут
соответственно следующий вид:
St = 0,5 Pt – 1, Pt = – (St – 100), Dt = 100 – Pt.
Результаты вычислений (с округлением до двух знаков после запятой) на
каждом шаге имитации приведены в табл. 1, динамика изменения цены
показана на рис. 6,а, рыночное равновесие изображено на рис. 6,б.
Теперь процесс имитации можно представить в виде блок-схемы,
изображенной на рис. 5.
45
Таблица 1
t=0
P0 = 50
t=1
S1 = 25
P1 = 75
D1 = 25
t=2
S2 = 37,5
P2 = 62,5
D2 = 37,5
t=3
S3 = 31,25
P3 = 68,75
D3 = 31,25
t=4
S4 = 34,38
P4 = 65,63
D4 = 34,38
t=5
S5 = 32,81
P5 = 67,19
D5 = 32,81
P
P
80
70
60
50
40
75
68,75
67,19 66,67
…
65,63
62,5
0
1
2
3
4
5
t
a
80
70
60
50
40
30
20
10
66,67
S
D
33,33
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 D, S
б
Рис. 6
1.2.1. Модель Гудвина рынка одного товара с запаздыванием цены
предложения1
Рассмотренная в разделах 1.1 - 1.2 паутинообразная модель в обычном
случае (кривая спроса направлена вниз, кривая предложения – вверх) дает
решение, при котором цена в последовательные периоды времени попеременно
принимает значения, лежащие выше и ниже точки равновесия. Скорость
приспособления
к
изменившейся
обстановке
убывает
пропорционально
увеличению продолжительности запаздывания.
Продавцы ожидают, что сохранится цена предшествующего периода, но то
1
Аллен Р. Математическая экономия / Пер. с англ. Под ред. и со вступит. статьей Альб.Л. Вайнштейна. – М.:
Изд-во Иностранной лит-ры, 1963. – Глава 1, 1.6.
46
и дело разочаровываются в такого рода ожиданиях. Поставщики ожидают, что
если цена в течение одного периода находилась выше точки равновесия, то и в
следующий период она будет в аналогичном положении. В действительности
же в следующий период она может оказаться ниже точки равновесия. И модель
исходит из предпосылки, что продавцы ничему не научились. Однако ее можно
распространить и на случай, когда под влиянием опыта ожидания продавцов
меняются. Гудвин1 исследовал такого рода модель.
Цена в период t  1 равна Pt1 . Пусть в период t цена, на которую
рассчитывают поставщики, будет
Pt 1  Pt 2 ,
где Pt 2 – увеличение цена по сравнению с периодом t  2 , то есть
Pt 2  Pt 1  Pt 2 , а  – заданная постоянная. Обычно в такого рода ситуациях
можно принять, что  является положительной дробью ( 0    1 ), то есть в
этом случае ожидается, что цена движется в направлении, противоположном
тому, в котором она изменялась в предыдущий период. Поставщики ожидают
изменения направления движения цены. Реже  может быть отрицательным, и
поставщики будут тогда рассчитывать, что движение цены будет продолжаться
в
прежнем
направлении.
Величина

означает
вес
(взвешивающий
коэффициент), который продавцы придают возможности поворота или
сохранения направления движения цены. Если   0 , то какого-либо изменения
цены не ожидается; если   1 , ожидается полный поворот в движении цены.
Уравнение паутинообразный модели с линейными функциями имеем вид
D ( Pt )  S ( Pt1 ) =   a Pt =    b ( Pt 1  Pt 2 ) ,
Или, подставляя выражение Pt 2 , имеем
  a Pt     b(1   ) Pt 1  b Pt 2 .
1
Goodwin R.M. Dynamical coupling with especial reference to markets having production lags // Econometrica. –
1947. – № 15. – P. 181-204.
47
Отсюда находим:
aPt  b(1   ) Pt 1  b Pt 2     .
Для
ЛРУ
второго
порядка
найдем
условия
асимптотической
устойчивости:
a0  a1  a2 = a  b(1   )  b  a  b  0 ,
a0  a1  a2 = a  b(1   )  b  a  b  2b  0 ,
a0  a2 = a  b  0 .
1.3. Динамические паутинообразные модели в случае нелинейных
функций спроса и предложения и с запаздыванием цены предложения
Пусть нелинейная функция предложения D  D ( Pt ) и нелинейная функция
спроса S  S ( Pt1 ) удовлетворяют равновесию D ( Pt )  S ( Pt1 ) , где S  S ( P ) ,
D  D ( P ) – непрерывно дифференцируемые функции для всех P > 0.
Справедливы следующие достаточные условия локальной сходимости
(асимптотическая устойчивость положения равновесия).
I. Точка ( P , Q  ) – единственное положение равновесия и неравенство
S ( P )  D( P ) выполнено для всех P  0 из некоторой окрестности этой точки
P . Это утверждение докажем в предположении обратимости функции D 1 .
Пусть
функция
D 1
существует,
тогда
равенство
D ( Pt )  S ( Pt1 )
эквивалентно равенству Pt  D 1  S ( Pt 1 ) . Это равенство можно записать как
Pt  f ( Pt 1 ) , где f  D 1  S . Сходимость последовательности {Pt }t 1  P  может
гарантировать условие | f ( P ) | 1 для всех P  0 из некоторой окрестности
точки P . Равенство f ( P )  ( D 1  S )( P ) 
S ( P )
позволяет утверждать, что
D ( P )
условие | f ( P ) | 1 эквивалентно условию S ( P )  D( P ) .
II. Точка ( P , Q  )
– единственное положение равновесия и выполнено
48
условие для эластичности: EPS ( P  )  EPD ( P ) .
Действительно, распишем:
точке
равновесия
S
P

E (P ) 
S ( P  )  D( P ) ,
S ( P )

S(P )

D
P

P  E (P ) 
D ( P )

D( P )
S ( P )  D ( P ) .
поэтому
В
P , в
силу
непрерывности это неравенство выполнено в некоторой окрестности точки P .
P
D
S
P*
P0
Q*=Qe
Q
Пример. Пусть функция спроса такова: S  bP m , m  0 , b  0 , а функция
предложения – D  aP  n , n  0 , a  0 . Точку равновесия найдем из условия D =
1
S:
bP m  aP  n ,
a
S ( P )  bm  
b
m1
m n
тогда
 a  m n
P    .
b
получим
a
 D( P )  an  
b

n 1
m n
Условие
сходимости:
или EPS ( P )  m  E PD ( P  )  n .
1.4. Динамические паутинообразные модели с учетом изменения запаса
товара и с учетом зависимости скорости изменения цены товара от
отклонения его текущего запаса от фиксированного запаса1
В рассмотренных выше моделях цена устанавливалась так, чтобы
1
Аллен Р. Математическая экономия / Пер. с англ. Под ред. и со вступит. статьей Альб.Л. Вайнштейна. – М.:
Изд-во Иностранной лит-ры, 1963. – Глава 1, 1.7.
49
полностью поглотить предложение. Наличие запасов товаров (например, не
поддающихся
хранению)
либо
не
предполагалось
вообще,
либо
же
предполагалось неизменным. Эти модели могут быть расширены за счет учета
изменения запасов.
Для дискретного случая обозначим запасы в конце интервала t через Qt .
Тогда
Qt  Qt 1  Qt  Qt 1  St  Dt
представляет собой увеличение запасов на протяжении интервала t . В
нижеследующем анализе мы должны рассматривать запасы лишь в смысле
фактически существующих величин (подобно реализованным покупкампродажам). Ожидаемые St и Dt , или планируемые предложение и спрос,
равно как и фактические значение St и Dt , могут быть различными.
Фактически реализуемые поставки вливаются в общую массу запасов, а
фактический спрос удовлетворяется за счет запасов. По определению, на
рынке все еще соблюдается равенство покупок и продаж, а реализованный
спрос является их общей стоимостью, то есть Xt равняется фактическому Dt.
Намерения покупателей реализуются в покупках (объем последних равен
продажам), намерения поставщиков — в продажах торговцам, которые, как
предполагается, имеют запасы товаров и продают последние покупателям.
Поэтому в анализ придется ввести третью группу — торговцев, имеющих
запасы и производящих продажи. Их функции следует отличать от функций
покупателей и поставщиков. (При совпадении торговцев и поставщиков в
одном лице эта группа приобретает двойные функции.) Действие модели
начинается с продаж торговцев и с установления цен в соответствии с
запасами. Рассмотрим два случая. В первом случае цены устанавливаются в
зависимости от изменения запасов; во втором — в соответствии с уровнем
запасов. В обоих случаях берутся линейные функции спроса и предложения
50
без запаздываний и для простоты предполагается, что торговцы всегда
покупают и продают по одной и той же цене.
Модель 1. В период t торговцы устанавливают цену Pt согласно
следующему условию: цена будет выше, если в предшествующий период
запасы уменьшились, и ее повышение пропорционально сокращению запасов.
Имеем
Pt  Pt 1  Qt 2 ,
где  – заданная положительная величина. Далее
Dt    aPt , St     bPt
и
Qt 1  Qt 2  Qt 1  Qt 2  St 1  Dt 1  (   )  ( a  b) Pt 1 .
Уравнение Pt  Pt 1  Qt 2 сводится к следующему:
Pt  Pt 1   (   )   (a  b) Pt 1 ,
то есть
Pt  [1   ( a  b)]Pt 1   (   ) .
Полученное ЛРУ первого порядка будет асимптотически устойчивым,
если корень  его характеристического уравнения   [1   (a  b)]  0 будет
|  | 1 . Решаем неравенство |1   (a  b) | 1 , получаем 0  a  b 
2
.

Модель 2. Торговцы устанавливают цену Pt в период t следующим
образом: цена повышается, если в предшествующий период уровень запасов
упал ниже данного объема Q , и это повышение цен пропорционально нехватке
запасов до объема Q . Таким образом
Pt  Pt 1   (Q  Qt 1 ) ,
где  – заданная положительная величина.
Как и раньше,
Dt    aPt , St     bPt .
51
Для определения величины запасов Qt произведем суммирование назад вплоть
до начального момента ( t  0 ):
t 1
t2
t 1
Qt1  Q0   Qk  Q0   Qk  Q0    St  Dt  
k 1
k 0
k 1
t 1
 Q0   [  (   )  (a  b) Pt ] .
k 1
Уравнение Pt  Pt 1   (Q  Qt 1 ) тогда позволит определить цены на все
периоды вплоть до начального. Но эту зависимость от движения цен в
предшествующие периоды можно выразить и иначе:
Pt  Pt 1   (Q  Qt 1 )
и
Pt 1  Pt 2   (Q  Qt 2 ) .
Произведем вычитание:
Pt  Pt 1  Pt 1  Pt 2   (Qt 2  Qt 1 ) .
Преобразовывая полученное уравнение, можно затем переписать уравнение
следующим образом:
Pt  2 Pt1  Pt 2   ( St 1  Dt 1 ) ,
то есть
Pt  [2   (a  b)]Pt 1  Pt 2   (   ) .
Для ЛРУ второго порядка найдем условия асимптотической устойчивости:
a0  a1  a2 = 1  [2   ( a  b)]  1   (a  b)  0 ,
a0  a1  a2 = 1  [2   (a  b)]  1  4   (a  b)  0 ,
a0  a2 = 1  1  0 .
Видно что, условия асимптотической устойчивости не выполнено, но
неравенства 0  a  b 
4
гарантируют просто устойчивость.

52
1.5. Паутинообразная модель с запаздыванием уровня предложения1
Согласно А. Маршаллу доминирующей силой в формировании рыночной
конъюнктуры всегда являются предприниматели. Рыночные цены недостаточно
гибки и при возникновении диспропорций между спросом и предложением
объемы сделок быстрее реагируют на них, чем цены. Интерпретация процесса
установления рыночного равновесия по Маршаллу соответствует условиям
несовершенной конкуренции в коротком периоде.
Рассмотрим описанный итерационный процесс более подробно. На первом
шаге, при цене P1 , имеем место избыточной спрос, вследствие чего потребление
равно предложению. Так как в этом случае реализован товар в объеме S ( P1 ) что
меньше равновесного значения Qe , то товаропроизводитель теряет часть
прибыли, поскольку и цена, как оказалось, занижена, и предложено товара
меньше, чем могло бы быть продано.
Упущенная выгода заставляет товаропроизводителя увеличить цену товара
и объем его предложения. Предполагая при этом, что спрос не изменится, он
принимает решение увеличить выпуск до объема D ( P1 ) . Предложение в таком
объеме является, как надеется товаропроизводитель, оптимальным в случае,
когда цена P2 удовлетворяет уравнению S(P2) = D1. Это значит, что на втором
шаге продавец (он же товаропроизводитель) устанавливает цены, используя
кривую предложения.
Так как цене Р2 соответствует спрос D2, то в силу D2 < S2 потребление на
втором шаге равно D2 (теперь часть предложенного товара не находит
покупателя из-за высокой цены). В результате такого дисбаланса предприятие
вновь оказывается в проигрыше, недополучая часть прибыли.
Для улучшения ситуации на рынке в этом случае фирма должна сократить
1
Лебедев В.В., Лебедев К.В. Математическое и компьютерное моделирование экономики: учеб. пособие для
студ. экон. спец. вузов – М.: НВТ-Дизайн, 2002. – Глава 5, 5.3.
53
предложение и снизить цену. В соответствии с используемыми здесь
допущениями, предложение должно снизиться до уровня спроса D2, а цена – до
уровня Р3, который определяется из условия S(P3) = D2. Далее процесс
повторяется.
Отметим, что в модели с запаздыванием уровня предложения, в отличие от
модели
с
запаздыванием
цены
предложения,
динамическая
спираль
«наматывается» уже против часовой стрелки. Таким образом, изменение
гипотез о поведении потребителя и товаропроизводителя привело к изменению
направления движения по спирали на противоположное. Поэтому в модели с
запаздыванием уровня предложения при линейных функциях спроса и
предложения: D ( P) =   aP , S ( P) =    bP , колебания цен затухают и на
рынке достигается равновесие при | a || b | .
Если же | a || b | , то в этом случае амплитуда колебаний цен увеличивается,
а при a  b происходит колебание цен с постоянной амплитудой. Как видим,
введение модели с запаздыванием предложения, привело не только к смене
направления «наматывания» спирали, но, следовательно, и к изменению
условия сходимости итерационного процесса на противоположное.
1.5.1. Паутинообразная модель с обучением и с запаздыванием уровня
предложения
Рассмотрим модификацию модели с запаздывающим уровня предложением, в
54
которой текущее предложение определяется уравнением
S ( Pt 1 )  (1  r ) D( Pt )  rS ( Pt ) ,
где
0  r  1 . Это соотношение означает, что товаропроизводитель при
установлении цен и объемов предложения теперь уже ориентируется не на уровень
спроса предшествующего периода, а на некоторое среднее значение между
спросом и предложением в этот же период. Тем самым он учитывает в своих
ожиданиях колебания цен, которые «обучают» его делать более адекватный
прогноз предложения.
В случае линейных функций спроса и предложения D ( P)    aP ,
S ( P)     bP , из уравнения S ( Pt 1 ) = (1  r ) D ( Pt ) + rS ( Pt ) получаем
   bPt 1 = (1  r )(  aPt ) + r (   bPt ) ,
откуда следует
bPt 1  (a  r (a  b)) Pt  (1  r )(   ) .
Последнее уравнение асимптотически устойчиво тогда и только тогда (при
b  0 и a  b  0 ), когда
ab
r.
ab
1.6. Динамическая непрерывная модель Вальраса-Эванса-Самуэльсона
рынка одного товара: простейшая модель
В начале XX в. швейцарский экономист Л. Вальрас создал и исследовал
ряд динамических моделей с учетом фактора непрерывного времени. Затем
впервые непрерывную динамическую модель предложил в 1930 г. Г.С. Эванс1.
Затем в 40-ые годы XX в. схожую идею предложил П.Э. Самульсон (Samuelson
P.A). Рассмотрим наиболее простую из моделей в соответствии с концепцией
1
Evans G.C. Mathematical introduction to economics. – McGraw-Hill. – 1930. – Ch. IV.
55
Л. Вальраса и приведем результаты ее исследования.
Особенность моделей Вальраса состоит в том, что рынок рассматривается
автономно, без влияния экзогенных процессов. Это дает возможность
проанализировать
модель
рынка
методом
непосредственного
интегрирования, без применения специального математического аппарата.
При моделировании предполагается, что переменные P, D и S –
непрерывные функции времени t. Линии спроса и предложения заданы
следующими формулами:
D(P) =  – aP, где , а – постоянные коэффициенты,
S(P) = –  + bP, где , b – постоянные коэффициенты.
Скорость роста цены пропорциональна дефициту товара на рынке с
постоянным коэффициентом пропорциональности . Этот коэффициент
отражает степень реакции, чувствительность покупателей на избыточный спрос,
на дефицит. С увеличением дефицита скорость роста цены увеличивается.
Модель имеет вид линейного обыкновенного дифференциального уравнения
dP/dt =  (D – S),
где dP/dt
– скорость изменения цены, разность D – S составляет дефицит
товара,  – коэффициент скорости реакции покупателей на дефицит товара.
Для решения уравнения dP/dt =  (D – S) подставим в него формулы D(P)
и S(P) и получим иную запись дифференциального уравнения:
dP(t)/dt =  ( + ) –  (a + b)P(t).
В точке равновесия скорость изменения цены равна нулю, поэтому
дифференциальное уравнение приобретет следующий вид:
0 =  ( + ) –  (a + b)P*,
где P* – равновесная цена.
Из уравнений dP(t)/dt =  ( + ) –  (a + b)P(t) и 0 =  ( + ) –  (a + b)P*
составим систему
dP(t)/dt =  ( + ) –  (a + b)P(t),
0 =  ( + ) –  (a + b) P* .
56
Вычтем из первого уравнения системы второе, получим
dP(t)/dt = –  (a + b)(P(t) – P*) .
Для решения этого уравнения введем обозначение R(t) = P(t) – P*, тогда
dR(t)/dt = dP(t)/dt. Введенная переменная R(t) является отклонением цены от
равновесного значения P* = ( + )/(a + b), превышением цены P(t) над
равновесным значением P* в случае дефицита или занижением цены в случае
избытка товаров. Подставив R(t) и dR(t)/dt в дифференциальное уравнение
dP(t)/dt = –  (a + b)(P(t) – P*), получим
dR(t)/dt = – (a + b)R.
Уравнение имеет решение
R(t) = R0 e - (a + b) t.
Таким образом, отклонение от равновесной цены изменяется по
экспоненциальному закону. При t = 0 отклонение от цены равновесия равно
начальному отклонению цены R0 от равновесного значения P*. В зависимости от
знака показателя степени процесс R(t) будет либо монотонно приближаться к
равновесной цене, либо монотонно удаляться в бесконечность. Если знак
отрицательный, лин. 1 на рис. 7,а, если положительный – лин. 2 на рис. 7,а. Эти
два графика отражают динамику двух качественно разных рынков: первый –
асимптотически устойчивого рынка, второй – неустойчивого рынка. В этой
модели не возникают колебания цены, в частности, не возникают циклы.
R
R0
P
2
P
D
P
D
D
S
S
D, S
1
t
0
a
D, S
б
в
Рис. 7
Рассмотрим возможные варианты ценовой динамики.
57
S
D, S
г
1. Случай обратной зависимости D от P и прямой зависимости S от P (рис.
7,б).
При таком условии параметры модели а и b положительны (а > 0 и b > 0).
Поэтому знак показателя степени независимо от крутизны наклона кривых
спроса и предложения в формуле экспоненты R(t) = R0 e
отрицательным.
Отклонение
текущей
цены
от
- (a + b) t
равновесного
будет
значения
монотонно уменьшается по экспоненциальной кривой и стремится к нулю (см.
лин. 1 на рис. 7,а). Из этого следует сделать вывод, что рыночная система
всегда асимптотически устойчива. Напомним, что при а < b анализ
паутинообразной модели запаздывания спроса приводит к противоположному
выводу – рыночная система неустойчива.
2. Случай обратной зависимости D от P и S от P.
Обратная зависимость S от P означает, что производители товара с ростом
цены сокращают, а не увеличивают предложение т.е.  < 0, b < 0. Такая
ситуация возможна, если продавцом является один монополист. Этот случай
следует рассматривать в двух вариантах, которые приводят к принципиально
разным выводам.
В первом варианте (рис. 7,в) значение коэффициента а меньше значения –
b, где b < 0. Следовательно, показатель степени экспоненциальной функции R(t)
= R0 e - (a + b) t имеет положительное значение. Отсюда вытекает, что отклонение
текущей цены от равновесной монотонно возрастает (см. лин. 2 на рис. 7,а)
Рыночная система неустойчива.
Во втором варианте (рис. 7,г) соотношение коэффициентов а > – b, где b <
0, крутизна падения спроса от цены больше крутизны падения предложения от
цены. Показатель степени экспоненциальной функции R(t) = R0 e - (a + b) t имеет
отрицательное значение. Значит, отклонение текущей цены от равновесной
монотонно уменьшается и стремится к нулю (см. лин. 1 на рис. 7,а). Рыночная
система асимптотически устойчива.
58
Сопоставление
ценовой
динамики
по
результатам
исследования
паутинообразной модели с динамической моделью Вальраса приведено в табл.
2, в которой всегда а > 0.
Таблица 2
Модель
Рынка
Модель
Вальраса
Предложение возрастает (b > 0)
b<а
b>а
Равновесие
Равновесие
асимптотически
асимптотически
Устойчиво
устойчиво
Равновесие
Равновесие
асимптотически
неустойчиво
устойчиво
Паутинообразная
Предложение снижается (b < 0)
а>–b
а<–b
Равновесие
Равновесие
асимптотически
Неустойчиво
устойчиво
Равновесие
Равновесие
асимптотически
Неустойчиво
устойчиво
1.7. Динамические модели рынка потребительских товаров
Особенность динамических моделей товарного рынка состоит в том, что в
них обязательно отражаются две его основные части – покупатели и продавцы.
Одна часть (продавцы) намерена продать, другая часть (покупатели) стремится
получить то или иное количество товара в зависимости от цены. Эти
зависимости моделируются соответственно функцией предложения и функцией
спроса. Продавцы и покупатели строят свое рыночное поведение следующим
образом. На конкурентном рынке в случае роста цены продавцы стремятся
увеличить производство и предложение товара, а покупатели сокращают спрос.
Происходит
«затоваривание»
рынка
и
уменьшение
объемов
сделок.
Возникающие излишки товара побуждают продавцов снижать его цену. Эта
тенденция вызывает увеличение спроса покупателей, может возникать дефицит
товара. Затем в надежде на возможность увеличения дохода продавцы снова
повышают цену. Таким образом, рынок действует по принципу отрицательной
обратной
связи,
как
замкнутая
система,
состоящая
из
двух
групп
хозяйствующих субъектов – продавцов и покупателей. В простейших случаях
динамика рынка в целом может быть отражена одним дифференциальным
уравнением. Так строятся модели Л. Вальраса. В данной главе синтезированы и
59
исследованы более сложные модели.
В первой модели рыночные спрос и предложение на товар зависят не
только от цены, но и от скорости ее изменения. Во второй модели продавцы
реагируют на изменение цены равновесия не мгновенно, а с некоторым
запаздыванием.
Вместе с тем обе модели являются замкнутыми системами и не
испытывают внешнего воздействия. Вынужденное движение в этом случае
отсутствует. Поэтому исследованию подлежит свободное движение. Главный
вопрос исследования моделей рынка состоит в выяснении устойчивости
рыночной системы. Если цена стремится к некоторому постоянному значению,
то
рыночная
система
асимптотически
устойчива,
поддерживает
асимптотически устойчивое движение; если повторяются неограниченно
растущие колебания цены или цена монотонно стремится к бесконечности –
система неустойчива.
Анализ устойчивости рыночной системы осуществляют по корням
характеристического уравнения. Если все корни действительные, то цена
изменяется монотонно. Если хотя бы один корень имеет положительное
значение, то соответствующее слагаемое процесса изменения цены отражается
экспоненциальной функцией, значение которой стремится к бесконечности.
Если корни характеристического уравнения чисто мнимые, то процесс
изменения цены имеет синусоидальный вид с незатухающими колебаниями.
Если корни произвольные комплексные, то цена изменяется колебательно, с
уменьшающейся или растущей амплитудой. С уменьшающейся амплитудой
изменения цены рынок асимптотически устойчив, а с увеличивающейся –
неустойчив.
В асимптотически устойчивой системе величина цены приближается к
постоянному значению и в точке равновесия становится постоянной. В
состоянии равновесия спрос будет поглощать все предложенное количество
товара. В неустойчивой системе в силу воздействия неценовых факторов цена
60
отклоняется от равновесного значения, после чего происходят непрерывные
изменения цены, могут возникнуть периоды времени, в которые на рынке
ощущается либо дефицит товара, либо его излишек.
1.7.1. Динамическая непрерывная модель Вальраса-ЭвансаСамуэльсона рынка одного товара: модель с учетом инерции цены
продавца
Теперь рассматривается модель конкурентного рынка, в котором продавцы
реагируют на изменение цены равновесия не мгновенно, а с некоторым
запаздыванием. Цена спроса P(t) и цена предложения y(t) не совпадают.
Рассмотрим случай, когда цена y(t) запаздывает относительно цены P(t).
Запаздывание
будем
моделировать
с
помощью
введения
в
инерционного звена первого порядка: P(t) – входной процесс звена,
систему
y(t) –
реакция звена. Модель звена имеет вид
T y'(t) + y(t) = P(t),
где T – временной лаг (среднее запаздывание).
Предложение S с учетом ценовой динамики имеет следующий вид:
S(y(t)) = – β + b y(t),
где β, b – постоянные коэффициенты.
Динамика спроса D без дополнения, введенного в предыдущем пункте,
описывается равенством
D(P(t)) = α – a P(t),
где α, а – постоянные коэффициенты.
Скорость
изменения
цены
спроса
на
рынке
пропорциональна
рассогласованию между спросом и предложением товара с коэффициентом
пропорциональности λ > 0:
P'(t) = λD(P(t)) – S(y(t)).
Таким образом, моделируемый объект описывается системой уравнений
61
P'(t) = λ(D(P(t)) – S(y(t)),
T y'(t) + y(t) = P(t),
где S(y(t)) и D(P(t)) определяются равенствами S(y(t)) = – β + b y(t) и D(P(t)) = α
– a P(t) соответственно. При нулевых начальных условиях P0 = 0 и y0 = 0
система уравнений в форме изображений примет следующий вид:
p P(p) = λα /p – а P(p) + β/p – bY(p),
Tp Y(p) + Y(p) = P(p).
Подставим выражение P(p) из второго уравнения в первое и после
преобразования получим
Tp2 Y(p) + (1 + λ аT)p Y(p) + λ(а + b)Y(p) = λ(α + β)/p.
Выражению соответствует модель цены предложения в форме ЛОДУ
второго порядка:
T y'' (t) + (1 + λаT) y'(t) + λ(а + b) y(t) = λ(α + β).
По виду процесса y(t) определим, является ли рынок устойчивой системой.
Характеристическое уравнение системы имеет вид
T p2 + (1 + λаT)p + λ(а + b) = 0.
Анализ движения цены предложения будем проводить на основании
корней характеристического уравнения
1,2  
1   aT
1

(1   aT ) 2  4 (a  b)T ,
2T
2T
которые дают возможность сделать ряд выводов относительно динамических
свойств рассматриваемой рыночной системы. Если корни действительные, то
процесс изменения цены монотонный; если корни комплексно сопряженные, то
процесс циклический с изменяющейся амплитудой; если корни чисто мнимые,
то процесс циклический с постоянной амплитудой. В нашем случае процесс
изменения цены зависит от значений коэффициентов a, b, λ > 0 и T > 0.
Рассмотрим подкоренное выражение в формуле Λ1, 2 : (1  aT ) 2  4 ( a  b)T .
1. Если подкоренное выражение в формуле Λ1, 2 имеет отрицательное
62
значение, то процесс изменения цены предложения будет иметь циклическую
форму с изменяющейся амплитудой. Очевидно, что в этом случае соблюдается
неравенство a + b > (1 + λaT)2/(4λT). Кроме того, в нашем случае 1 + λаT > 0,
которое выполняется при a  
1
1
, поэтому при a  
действительная часть
T
T
комплексных корней имеет отрицательное значение. Значит, процесс изменения
цены предложения будет иметь вид затухающих колебаний. Рыночная система
асимптотически устойчива.
2. Если подкоренное выражение в формуле Λ1, 2 имеет неотрицательное
значение, то процесс изменения цены предложения будет монотонным.
Очевидно, что в этом случае соблюдается неравенство a + b ≤ (1 + λаT)2/(4λT).
a
Возьмем
1
T
и
рассмотрим
 (1  aT )  (1  aT ) 2  4 ( a  b)T
Λ1 
.
2T
1   aT  (1   aT ) 2  4  ( a  b )T
корень
Λ1
Домножим
и
разделим:
на
Λ1 
 (1  aT ) 2  (1  aT ) 2  4 ( a  b )T

2T (1  aT  (1  aT ) 2  4 (a  b)T )
 4 (a  b)T

. Ясно, что Λ1  0 при a  b  0 . Кроме
2T (1  aT  (1  aT ) 2  4 (a  b)T )
того, очевидно, что Λ2  0 . При a  
1
корень Λ1  0 .
T
В связи с тем, что оба корня характеристического уравнения имеют
отрицательные
значения,
цена
предложения
монотонно
стремится
к
постоянному значению. Рыночная система асимптотически устойчива.
Следует отметить, что в случае несовершенной конкуренции возможны
другие
значения
постоянных
параметров
модели.
Это
требует
соответствующего исследования устойчивости рынков. Например, если два
корня мнимые, т.е. а = – 1/(λT) и b > 1/(λT), то процесс изменения цены
63
предложения колебательный, амплитуда отклонений цены от равновесного
состояния постоянна.
Таким образом, область асимптотической устойчивости определяется
неравенствами: a  
1
, a  b  0 . Этот результат мы получили бы, анализируя
T
коэффициенты характеристического уравнения
T p2 + (1 + λаT)p + λ(а + b) = 0.
Модель рынка с запаздыванием предложения асимптотически устойчива
тогда и только тогда, когда a  
1
и a b  0.
T
1.7.2. Динамическая непрерывная модель Вальраса-ЭвансаСамуэльсона рынка одного товара: модель с учетом зависимости спроса и
предложения от скорости изменения цены
Предлагаемая для изучения модель не имеет столь простого решения, как
модель, рассмотренная ранее. Однако, несмотря на различие этих двух моделей,
результаты исследования приводят к одинаковым выводам относительно
устойчивости рыночной системы.
В формулу предположения дополнительно введем слагаемое учета
скорости изменения цены. Скорость изменения цены выражается производной
P'(t). Формулу предложения запишем в динамическом виде равенством
S(P(t)) = – β + bP(t) + k1 × P'(t),
где β, b, k1 > 0 – постоянные коэффициенты.
В формулу спроса дополнительно введем слагаемое учета скорости
изменения цены. Скорость изменения цены выражается производной P'(t).
Тогда спрос описывается выражением
D(P(t)) = α – aP(t) – k2  P'(t),
где α, а, k2 > 0 – постоянные коэффициенты. Коэффициент k2 имеет
64
положительное значение, т. к. при увеличении цены спрос уменьшается.
Введенное выражение отражает спрос, реагирующий на изменение рыночной
цены. Вместе с тем скорость роста цены пропорциональна дефициту товара на
рынке. Поэтому модель рынка записывается в виде уравнения
P'(t) = λD(P(t)) – S(P(t)),
где λ – коэффициент пропорциональности, имеющий положительное значение,
D и S определяются равенствами S(P(t)) = – β + bP(t) + k1 × P'(t) и D(P(t)) = α –
aP(t) – k2  P'(t) соответственно.
Подставив в P'(t) = λD(P(t)) – S(P(t)) выражения для D(P(t)) и S(P(t)),
запишем дифференциальное уравнение рыночной системы в виде
P'(t)= λ α – a P(t) – k2  P'(t) + β – bP(t) – k1 × P'(t) 
или, k = k1 + k2, в виде
(1 + λk) P'(t)= λ(α + β) – λ(a + b)P(t).
Постоянные
коэффициенты для упрощения записи формул будем
обозначать: А = λ(α + β)/(1 + k λ), В = λ(а + b)/(1 + k λ), k = k1 + k2. Теперь
дифференциальное уравнение можно переписать в следующем виде:
P'(t) + B P(t) = A.
Выведенное
дифференциальное
уравнение
решим
операционного исчисления:
P'(t) + BP(t) = A ↔ pP(p) – P0 + ВP(p) =А/p.
Решим полученное уравнение относительно P(p):
(p + B) P(p) = А/p + P0,
P(p) = А/[p (p + B)] + P0/(p + B).
Разложим это изображение на простейшие слагаемые:
P(p) = (А/B) [1/p – 1/(p + B)] + P0/(p + B),
P (p) = (P0 – А/B)  1/(p + B) – (А/B)  1/p.
Оригинал этого изображения
P(t) = (P0 – А/B) exp (– Bt) – А/В
65
с
помощью
является решением данной задачи
Таким образом, цена изменяется по экспоненциальному закону. При
больших значениях t темп изменения цены можно считать равным
B = – λ(а + b)/(1 + k λ),
где а, b, k > 0 и λ > 0 – постоянные коэффициенты.
На основании решения дифференциального уравнения P'(t) + B P(t) = A
можно сделать выводы относительно динамических свойств рассматриваемой
рыночной системы совершенной конкуренции.
1. Характер изменения цены на рынке монотонный. Рыночная цена
изменяется по экспоненциальному закону.
2. Устойчивость зависит только от знака показателя степени экспоненты B
= – λ(а + b)/(1 + k λ), т.е. от значений постоянных параметров модели а, b, k > 0
и λ > 0. В стандартом случае, то есть, когда а > 0, b > 0, будет B > 0, поэтому
система с учетом скорости изменения цены всегда асимптотически
устойчива. Цена P(t) будет монотонно приближаться к равновесному значению.
В случае произвольных параметров α, β, а и b при k > 0 и λ > 0 рыночная
система будет асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда а +
b > 0.
1.7.3. Динамическая непрерывная модель Вальраса-ЭвансаСамуэльсона с учетом дискретного запаздывания цены продавца
Теперь рассматривается модель конкурентного рынка, в котором продавцы
реагируют на изменение цены равновесия не мгновенно, а с некоторым
дискретным запаздыванием.
Предложение задано формулой D(P) =  – aP, где , а – постоянные
коэффициенты, предложение S с учетом ценовой динамики имеет следующий
вид:
S(P(t – τ)) = – β + b P(t – τ),
66
где β, b – постоянные коэффициенты. Скорость изменения цены спроса на
рынке пропорциональна рассогласованию между спросом и предложением
товара с коэффициентом пропорциональности λ > 0:
P'(t) = λ D(P(t)) – S(P(t – τ)).
Подставим выражения для D(P(t)) и для S(P(t – τ)), получим
P'(t) + λ a P(t) +λ b P(t – τ) = λ (a + b).
Будем рассматривать это уравнение при t ≥ 0, зададим P(ξ) = P0(ξ) при ξ < 0.
Если обозначим a1 = λ a, b1 = λ b, f(t) = λ (a + b), тогда возникает ЛДРУ первого
порядка
P'(t) + a1 P(t) + b1 P(t – τ) = f(t),
P(ξ) = P0(ξ) при ξ < 0.
b 1= λ b
b 1= a 1
/(2τ)
1/τ
-1/τ
a 1= λ a
0
Δ1
b 1= – a 1
67
Уравнение асимптотически устойчиво эквивалентно тому, что точка с
координатами (a1, b1)  Δ1. При этом граница b1= – a1 до точки a1 = – 1/τ (не
включая эту точку) означает простую устойчивость. Точка (0, /(2τ)) означает
также простую устойчивость.
1.8. Динамическая непрерывная модель Вальраса-Эванса-Самуэльсона
одного товара с учетом зависимости скорости изменения цены товара от
отклонения его текущего запаса от фиксированного запаса
В случае непрерывного анализа запасы, подобно другим переменным D ,
S и P , непрерывно изменяются во времени. По определению, если запасы в
момент t составляют Q (t ) , то
dQ
SD
dt
и
t
Q  Q0   ( S  D ) ds .
0
В каждый момент времени торговцы устанавливают цену P так, что
скорость возрастания цены пропорциональна разности запасов по сравнению
с заданным уровнем Q :
t
dP
  (Q  Q )    [Q0  Q   ( S  D ) ds ] ,
dt
0
где  — заданная положительная величина. Имеем
d 2P
dQ
 
  ( S  D ) ,
2
dt
dt
и ускорение возрастания цен пропорционально скорости уменьшения
68
запасов. При линейности функций и отсутствии запаздываний;
d 2P
  ( S  D )   ( a  b) P   (    ) .
dt 2
Характеристическое уравнение модели имеет вид
 2   ( a  b)  0 .
Если a  b  0 , то  1,2  i  ( a  b) , и уравнение просто устойчиво. При
a  b  0 , получаем
 1,2    (a  b) , то есть уравнение неустойчиво.
Невероятный случай a  b  0 приводить к неустойчивому уравнению.
1.9. Динамические непрерывные модели Аллена и Маршалла рынка
одного товара
Модель, предложенная в книге Р. Аллена1, которую он цитирует по работе
Г.С. Эванса2. Эту модель можно назвать либо моделью Аллена, либо моделью
Эванса – Аллена.
Модель именно так, чтобы в каждый момент времени t цена P
устанавливается так, чтобы спрос полностью поглощал предложение, с одной
стороны, и чтобы предложение полностью поглощал спрос, с другой, то есть
функции D(t) и S(t) удовлетворяли уравнению:
 dP 
 dP 
D  P,   S  P,  .
 dt 
 dt 
Если функции линейны, то
S (t )     bP (t )  k1 P(t ) , k1  0 ,
D (t )    aP(t )  k2 P(t ) , k2  0 ,
и мы получаем
1
Аллен Р. Математическая экономия / Пер. с англ. Под ред. и со вступит. статьей Альб.Л. Вайнштейна. – М.:
Изд-во Иностранной лит-ры, 1963. – Глава 1, 1.3.
2
Evans G.C. Mathematical introduction to economics. New York: McGraw-Hill, 1930.
69
dP(t ) a  b
 

P (t ) 
,
dt
k
k
где k  k1  k2  0 .
Модель рынка асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда
a b  0.
Аргументация Маршалла1 иная. Если в какой-либо момент времени объем
предложения отличается от уровня его, обеспечивающего равновесие, то
ожидаемые цены, которые покупатель готов заплатить, будут отличны от цен,
приемлемых для продавца. Согласно А. Маршаллу доминирующей силой в
формировании рыночной конъюнктуры всегда являются предприниматели.
Рыночные цены недостаточно гибки и при возникновении диспропорций между
спросом и предложением объемы сделок быстрее реагируют на них, чем цены.
Интерпретация процесса установления рыночного равновесия по Маршаллу
соответствует условиям несовершенной конкуренции в коротком периоде.
Построим
динамическую
модель,
в
которой
объем
предложения
увеличивается, если цены продавцов ниже тех, которые предлагают покупатели.
Пусть скорость этого увеличения пропорциональна размерам дефицита.
Получаем: цена покупателя – PD 
 Q
 Q
, цена продавца – PS 
и
a
b
dQ
dQ (t )
  Q(t )   Q(t )
  ( PS  PD ) ,
  (

)
dt
dt
b
a

dQ (t )
 b  a
1 1
     Q (t )  
dt
ab
a b
,
где  по-прежнему означает скорость реакции.
Характеристическое
уравнение
модели
имеет
вид
1 1
  (  )  0 .
a b
Асимптотическая устойчивость будет иметь место тогда и только тогда, тогда
1
Аллен Р. Математическая экономия / Пер. с англ. Под ред. и со вступит. статьей Альб.Л. Вайнштейна. – М.:
Изд-во Иностранной лит-ры, 1963. – Глава 1, 1.8.
70
1 1
  0 , это будет возможно, если a  b  0 , ab  0 или, если a  b  0 , ab  0 .
a b
71