Модель совместной оптимизации закупок и сбыта товаров В

Модель совместной оптимизации закупок и сбыта товаров
В своей повседневной деятельности коммерческие организации
постоянно сталкиваются с проблемой планирования объема закупок товаров. С
одной стороны, чем больше объем закупки – тем меньше удельные затраты на
единицу приобретаемого для перепродажи товара, поскольку при больших
партиях закупки поставщики могут предоставить большие скидки. Кроме того,
при закупке больших партий товара в значительном числе случаев возникает
дополнительная экономия затрат по транспортировке, хранению и
документальному оформлению сделок. С другой стороны, при больших
объемах закупки и невысоких темпах продаж на продолжительный срок
замораживаются значительные оборотные средства, что повышает
возникновение рисков разрыва ликвидности. Кроме того, повышается риск
порчи или утери товара вследствие различных обстоятельств, затоваривания
складов из-за снижения спроса, что особенно характерно для товаров с
ограниченным сроком годности и/или товаров сезонного спроса. В этой связи
весьма актуальной является задача определения оптимальных партий закупки
товара минимально достаточных для того, чтобы полностью удовлетворить
платежеспособный спрос покупателей.
В экономической литературе предлагается широкий набор инструментов,
позволяющих рассчитать величину оптимальной партии закупки с учетом
существующих темпов продаж, наличия складских площадей, стоимости
транспортировки и хранения товаров, затрат на документальное оформление
сделок и других факторов. Разработаны алгоритмы и поддерживающие их
информационные технологии, обеспечивающие составление детальных
календарных планов поставок по принципу "точно-в-срок" для обеспечения
отгрузки размещенных потребителями заказов. Однако эти инструменты
рассчитаны, главным образом, на минимизацию затрат, связанных с
обеспечением поставок. В них главным является то, что существуют прогнозы
сбыта, а объемы закупок должны строго увязываться с ними.
С другой стороны, существует множество маркетинговых инструментов,
ориентированных на стимулирование сбыта. Они предполагают наличие
необходимого объема товаров и предлагают механизмы, направленные на
увеличение массы прибыли за счет интенсификации оборота, увеличения
присутствия на рынке, регулирования цен и т.д. В них ключевыми элементами
являются объемы сбыта и цены, по которым товары продаются потребителям, а
удельные затраты на единицу приобретения и реализации товара считаются
относительно постоянными.
Таким образом, с точки зрения управления прибылью компании вопросы
оптимизации закупок и сбыта до сих пор рассматривались как относительно
независимые задачи. Однако нам представляется, что их следует рассматривать
в комплексе. Для этого может быть предложен следующий подход.
Пусть v – переменные затраты на приобретение и реализацию единицы
товара, а Q – объем закупки партии данного товара у поставщика. В общем
1
случае, v не является постоянной величиной, поскольку чем больше объем
закупки – тем больше скидка поставщика и меньше удельные затраты на
транспортировку и документальное оформление сделки. Поэтому можно
считать, что v является функцией Q.
Чем больше объем закупки Q – тем меньше удельные затраты на
приобретение и реализацию товара v. Однако это верно только до
определенного предела, поскольку чрезмерно большой объем заказа на закупку
товара может взвинтить цену на этот товар. Кроме того, у предприятия может
не оказаться должных складских площадей и их придется арендовать, что
увеличит удельные затраты на хранение единицы товара. Могут возрасти также
удельные затраты, связанные с порчей и хищениями товара.
Таким образом, в общем случае, удельные переменные затраты на
закупку и реализацию единицы товара следует считать функцией, которая
сначала убывает с ростом величины объема закупки, а после некоторого
момента начинает возрастать. То есть, в общем случае, существует Q opt такое,
что:
v Q 1 ≥v Q 2  при Q 1 Q 2 , если Q 2 Q opt
(1)
v Q 1 ≤v Q 2  при Q 1 Q 2 , если Q 1 Q opt
(2)
Таким образом, с точки зрения оптимизации затрат на приобретение
товара, задача сводится к формированию функции v Q и отысканию ее
минимума – величины Q opt . Однако закупка в таком объеме еще не означает
того, что фирма получит максимальную маржинальную прибыль.
Пусть p – средняя цена, по которой товар продается потребителям. Тогда
маржинальная прибыль от продажи единицы товара составит p−v .
Величина спроса на товар зависит от многих факторов, среди которых
одним из важнейших является цена. В первом приближении будем считать, что
спрос на товар – D – полностью определяется ценой, то есть D=D p , где
D p – величина спроса на товар при цене p. Поскольку для большинства
товаров спрос является убывающей функцией цены, то D p является
невозрастающей по p на всей области определения p≥0 .
Величина маржинальной прибыли компании при продаже товара по цене
p составит M = p−v D p . Поскольку v является функцией Q, то задача
совместной оптимизации планов закупки и сбыта может быть поставлена в
виде:
M = p−v Q D p max
(3)
Функционал (3) является функцией двух переменных – p и Q, а для своего
решения задача требует определения вида зависимостей v Q и D p .
Поскольку для большинства товаров спрос тем меньше, чем больше цена,
то, в общем случае, D p является невозрастающей по p на всей области
определения p0 . При этом существует некоторый порог цены pmax ,
после достижения которого спрос практически равен нулю. Если же цена
приближается к нулю, то спрос существенно возрастает. Но не до
бесконечности, поскольку даже, если товар раздается бесплатно, покупатели
2
возьмут его много, но все-таки в ограниченном количестве.
Пусть D max - величина спроса на товар при нулевой цене.
Если считать, что даже при очень высоких ценах спрос на товар, пусть и
небольшой, но все-таки остается, то в качестве модели функции спроса можно
предложить зависимость:
D=D max e−ap
(4)
В соответствии с экономическим смыслом зависимости (4) должно
выполняться условие a0 .
При существовании порога цены, выше которого спрос становится
нулевым, можно использовать зависимость вида:
D=g  pmax − pa , при p≤ p max
(5)
D=0 , при p p max
(6)
где pmax – упомянутый ранее порог цены, выше которого спрос на
данный товар становится нулевым. По экономическому смыслу зависимости
(5) должно выполняться условие a0 .
Поскольку при нулевой цене спрос на товар равен D max , то параметр g
может быть определен из уравнения:
D max = g pamax
(7)
Откуда
D
g= amax
(8)
p max
Как уже указывалось ранее, удельные переменные затраты на закупку и
реализацию единицы товара следует считать функцией, которая сначала
убывает с ростом величины объема закупки, а после некоторого момента
начинает возрастать. Поэтому подбор вида функции v Q существенно
сложнее. Если считать, что должны выполняться оба условия (1) и (2), то в
простейшем случае можно использовать функцию вида:
v=b2 Q 2 b1 Qb 0
(9)
При этом b2 должно быть больше нуля, поскольку только в этом случае
существует Q opt , при котором функция (9) достигает глобального минимума.
Кроме того, должно выполняться условие b0 0 . Это следует из того, что
удельные переменные затраты на закупку, хранение и реализацию единицы
товара при закупке минимальной партии больше нуля.
По экономическому смыслу задачи v Q всегда больше нуля. Поэтому
b2 Q 2 b1 Qb0 =0 не должно иметь вещественных корней.
уравнение
Поскольку в точке Q opt достигается экстремум функции (9), то, в силу ее
свойств, коэффициенты b2 и b1 должны быть связаны соотношением:
−b1
=Q opt
(10)
2 b2
Можно предложить и другие формы зависимости v Q , при которых
можно добиться более гибкого удовлетворения условий (1) и (2). Однако нам
3
представляется, что это практически нецелесообразно, поскольку построить
такую зависимость на практике крайне сложно. Более того, при решении
задачи совместной оптимизации объема закупок и продажной цены товара в
большинстве случаев можно считать условие (2) излишним, поскольку
решение задачи (3), скорее всего, будет достигаться при таких парах {Q, p},
при которых Q незначительно отличается от Q opt в ту или иную сторону.
Исключение составляют только те случаи, когда выполняются условия:
V1: спрос покупателей на товар обладает очень высокой ценовой
эластичностью;
V2: переменные затраты на единицу товара при закупке партии
оптимального объема существенно (более, чем на 50%) ниже отпускной цены;
V3: удельные переменные затраты при осуществлении закупок в объеме,
большем размера оптимальной партии закупки, увеличиваются достаточно
быстро.
QQ opt
v Q
Невыполнение условия V3 означает, что
при
уменьшается существенно быстрее, чем растет при QQ opt , что характерно
для большинства торговых предприятий. Вследствие этого, при моделировании
зависимости v Q можно отказаться от условия (2), что делает задачу
существенно проще.
В простейшем случае, скидки устанавливаются в зависимости от объема
закупаемого товара в виде ступенчатой функции, убывающей по Q:
v=v i , если Q i ≤QQ i1 , i =0,1 , , n−1
(11)
При этом v i v i1
i=0,1 , , n−1 .
Это означает, что если товар закупается в объеме Q i ≤QQ i1 , то
действует цена v i . При покупке товара в объеме Q i1 уже начинает
действовать цена v i1 .
Однако, в общем случае, ориентироваться на ступенчатую зависимость
нельзя, поскольку:
а) кроме скидок по количеству применяются и другие скидки, например,
накопительные – по общей сумме закупки совокупности товаров, статусу
покупателя, определяемому по различным признакам, и т.д., которые должны
быть распределены по всем товарам;
б) переменные затраты на единицу товара определяются не только
закупочными ценами, но включают еще затраты на транспортировку, хранение,
предпродажную подготовку и т.д., которые также распределяются на всю
закупаемую партию данного товара.
Поэтому в общем случае целесообразно использовать "гладкую"
зависимость, монотонно убывающую при росте объема закупок Q вплоть до
величины Q opt .
По аналогии с моделями функции спроса здесь также можно предложить
две модели.
4
Первая предполагает монотонное убывание удельных переменных затрат
до его теоретически достижимого крайнего нижнего предела – v min :
v=v minv max −v mine−b Q
(12)
Чем меньше партия закупаемого товара – тем выше переменные затраты
на его единицу. Чем больше партия – тем удельные переменные затраты ближе
к теоретически достижимому минимуму.
Вторая модель предполагает, что сначала удельные переменные затраты
монотонно убывают до величины v min , который достигается при объеме
партии закупки Q opt и далее уже не могут быть снижены. Для описания
такого поведения функции v Q может быть использована зависимость:
v=v minhQ opt – Qb при Q≤Q opt
(13)
v=v min при QQ opt
(14)
Очевидно, что при таком задании функции v Q должно выполняться
условие b0 .
Параметр h может быть определен из условия v 0=v max , откуда:
v –v
h= max b min
(15)
Q opt
Подставляя в функционал (3) различные формы зависимостей D p и
v Q можно получать разные модели совместной оптимизации объема
закупок и цены продажи товара. Однако они будут незавершенными,
поскольку при неравенстве величин объема закупленного товара и спроса на
него необходимо вводить в рассмотрение дополнительные переменные,
характеризующие объем запаса товара и его изменения.
Для упрощения задачи введем дополнительное условие, состоящее в том,
что фирма осуществляет планирование исходя из того, что величина остатка
товара на начало периода и на его конец остается неизменной. Это означает,
что предполагается закупить такой объем товара, который планируется
полностью распродать в течении планового периода. В этом случае можно
игнорировать величину начального и конечного остатков товара и считать, что
объем закупок равен объему продаж, то есть потребовать выполнение условия:
(16)
D=Q
Условие (16) в наибольшей степени характерно для продаж
скоропортящихся или сезонных товаров, продажи которых должны быть
осуществлены в сжатые сроки.
Таким образом, общая постановка задачи совместной оптимизации
объема закупок и отпускной цены товара при условии неизменности запасов на
конец периода может быть представлена в следующем виде:
M = p−v Q D p max
(17)
D=D p
(18)
v=v Q
(19)
(20)
D=Q
5
Комбинируя различные способы описания зависимостей v Q и
D p можно получать конкретные формы представления модели (17)-(20).
Например, если в качестве зависимости D p выбрать функцию (4), а
для v Q – функцию (12), то задача совместной оптимизации объема закупок
и цены товара с учетом условия (16) может быть поставлена в виде:
M = p−v Q D p max
(21)
−ap
D=D max e
(22)
−b Q
v=v minv max −v mine
(23)
(24)
D=Q
Выполнив подстановки зависимостей (22)-(24) в функционал (21)
получим выражение M как зависимость от одной переменной.
Можно показать, что для большинства комбинаций рассмотренных выше
форм зависимостей v Q и D p получить решение задачи (17)-(20) в
общем виде невозможно. Получить общее решение можно только выбрав
кусочно-линейное представление функций v Q и D p , то есть используя
для v Q форму представления (13)-(14) при b=1 , а для D p - форму
представления (5)-(6), положив a=1 . Однако его получение не представляет
практической ценности, вследствие существенных ограничений модели.
В этой связи наибольший интерес представляет создание инструментов
численного решения задачи (17)-(20) с возможностью проведения
многовариантных расчетов и использования различных форм представления
функций спроса и зависимости переменных затрат от объема закупки. Это
требует использования современных информационных технологий и
встраивания соответствующих инструментов в существующее или вновь
создаваемое программное обеспечение решения задач управления продажами.
В общем случае для решения задачи совместной оптимизации объемов
закупок и отпускных цен товара в программных продуктах должны быть
реализованы следующие инструменты.
1) Механизмы моделирования форм представления функции зависимости
переменных затрат на единицу товара от объемов партии закупки и функции
спроса на товар от цены и других факторов, включая средства аналитического
и табличного задания соответствующих функций.
2) Средства идентификации моделей указанных в пункте 1 функций по
статистическим данным о закупках и продажах или на основе экспертных
оценок.
3) Алгоритмы численного решения задачи (17)-(20) и средства
представления полученных результатов в удобном пользователю виде.
4) Механизмы анализа устойчивости решения задачи (17)-(20) к
возможным вариациям параметров функций зависимости переменных затрат
на единицу товара от объемов партии закупки и спроса на товар от цены и
других факторов.
Наряду с перечисленными механизмами, ориентированными на точное
решение оптимизационной задачи (17)-(20), пользователю соответствующего
6
программного продукта целесообразно дать инструмент, обеспечивающий
выполнение многовариантных расчетов по последовательному приближению к
оптимальному решению на основе следующего алгоритма.
Шаг 1. Пользователь в диалоговом режиме задает форму представления
функций v Q и D p и вводит данные, необходимые для численной
идентификации их параметров.
Шаг 2. Программа выполняет расчеты, необходимые для формирования
параметров функций v Q и D p .
Шаг 3. Пользователь задает значения Q min – минимальной начальной
величины партии закупки; s – шага приращения величины объема партии; n –
числа точек вычисления функционала (17).
Шаг 4. Программа вычисляет значения Q i для всех i =0,1,2 , , n−1
по следующим правилам: Q 0 =Q min ; Q i =Q i−1 s для i=1,2 , , n−1 .
Qi
i =0,1,2 , , n−1
Шаг 5. Для каждого значения
программа
вычисляет значения v i =v Q i  , а также решает уравнение D p=Q i , из
которого определяется значение pi – цены, обеспечивающей продажу всей
партии товара объемом Q i .
Шаг 6. Для данных значений Q i , pi и v i программа вычисляет
значение функционала M i = pi – v i Q i .
Qi ,
vi ,
pi ,
Mi
Шаг 7. Полученные значения
для всех
i =0,1,2 , , n−1 выводятся программой для анализа пользователем.
Шаг 8. На основе анализа характера изменения величины маржинальной
M i на данном отрезке изменения объема партии закупки
прибыли
пользователь принимает решение об изменении параметров Q min , s и n и
инициирует повторение указанных действий, начиная с Шага 3. Если по
экспертной оценке пользователя поведение функций v Q и/или D p ,
построенных в результате выполнения Шагов 1 и 2, не адекватно отражает
действительный характер изменения описываемых ими показателей, то он
может инициировать повторение выполнения предполагаемых алгоритмом
действий, начиная с Шага 1.
В результате выполнения указанной последовательности действий
пользователь может сколь угодно точно приблизиться к решению задачи (17)(20), оценить характер изменения маржинальной прибыли при изменении
объемов партии закупки товара, а также сделать выводы об адекватности
сформированных функций v Q и D p действительному характеру
изменения описываемых ими показателей и провести оценку устойчивости
решения к возможным изменениям параметров данных функций.
7