Лекции Вместо предисловия Говоря о назначении тех приемов и

Лекции
Вместо предисловия
Говоря о назначении тех приемов и методик, которые изучаются обычно в
рамках дисциплины с названием "Экономико-математические методы", наиболее
уместно, на наш взгляд, процитировать автора одной из книг...
"Пестрый конгломерат очень различных и применяемых по очень различным
поводам методик ... довольно непрочно цементируется немногочисленными
понятиями и идеями. Среди таких идей первое место занимает "принятие
решения". Собственно существо заключается именно в том, что вместо
интуитивных глазомерных решений принимаются расчетные, объективно
обоснованные решения".1
 1. Модели и моделирование
 2. Линейное программирование
 3. Матричные (межотраслевые, балансовые) модели
 4. Модели управления запасами
 5.Элементы теории игр
 6.Эконометрические модели
 7.Методы экспертных оценок
 Сетевое планирование и управление
 Элементы теории массового обслуживания
1
Календарное планирование: Пер. с англ. - М.: Прогресс, 1966. - 466 с.
1. Модели и моделирование
1. Моделирование как метод научного познания.
2. Экономико-математические методы и модели. Их классификация.
3. Принципы построения экономико-математических моделей.
4. Этапы экономико-математического моделирования.
1. Моделирование как метод научного познания
Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой
деятельности и имеет немало смысловых значений. Соответственно этому,
существует значительное число различных определений данного понятия. Мы в
рамках нашей дисциплины будем рассматривать лишь те модели, которые
являются инструментом получения новых знаний.
Под моделью будем понимать такой материальный или мысленно
представляемый объект, который в процессе исследования заменяет собой
объект-оригинал таким образом, что его непосредственное изучение дает новые
сведения об объекте-оригинале.
Моделирование, в таком случае, представляет собой процесс построения,
изучения и применения моделей. Главная особенность моделирования состоит в
том, что это метод опосредованного познания при помощи объектов-заменителей.
Модель выступает как инструмент познания, который исследователь ставит
между собой и объектом с целью изучения последнего, т.е. объект
рассматривается как бы через "призму" его модельного представления. Процесс
моделирования, таким образом, включает в себя три элемента: субъект
исследования (исследователь), объект исследования, модель. Ситуацию
иллюстрирует рисунок 1.1.
Рисунок 1.1 - Роль модели в процессе исследования
Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что
многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно
исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует слишком
высоких затрат времени и средств.
Сущность процесса моделирования иллюстрирует схема, представленная на
рисунке 1.2
Рисунок 1.2 - Сущность процесса моделирования
Пусть имеется или необходимо создать некоторый объект А. Мы
конструируем (материально или мысленно) или находим в реальном мире другой
объект (B) - модель объекта А. Этап построения модели предполагает наличие
некоторых первоначальных знаний об объекте-оригинале. Модель отображает
какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Важнейшим является вопрос
о необходимой и достаточной степени сходства оригинала и модели. Этот вопрос
требует детального анализа и решения в зависимости от конкретной ситуации.
Очевидно, что модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с
оригиналом (тогда она перестает быть моделью), так и в случае чрезмерного во
всех существенных отношениях отличия от оригинала.
На втором этапе процесса моделирования модель выступает уже как
самостоятельный объект изучения. Конечным результатом этого этапа является
совокупность знаний о модели. Однако знания о модели - это еще не есть знания
о самом объекте-оригинале.
На третьем этапе происходит интерпретация полученных знаний, т.е. перенос
знаний с модели на оригинал. Происходит формирование множества знаний об
объекте А.
Четвертый этап - практическая проверка полученных знаний, их
использование для выработки суждений об объекте, для его преобразования или
управления им.
Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что
моделирование – не единственный источник знаний об объекте. Процесс
моделирования "погружен" в более общий процесс познания. Это обстоятельство
должно учитываться не только на этапе построения модели, но и на
завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов
исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.
Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым
четырехшаговым циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом
знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель
постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла
моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в
построении модели, можно исправить на последующих циклах. Таким образом, в
методологии моделирования заложены большие возможности саморазвития.
2. Экономико-математические методы и модели. Их классификация
Очевидно, что все существующие модели могут быть условно разделены на
два класса - модели материальные, т.е. объективно существующие (которые
можно "потрогать руками"), и модели абстрактные, существующие в сознании
человека. Одним из подклассов абстрактных моделей являются модели
математические.
Предметом нашего изучения в рамках курса будут математические модели,
применяемые для анализа различных явления и процессов, имеющих
экономическую природу.
Применение математических методов существенно расширяет возможности
экономического анализа, позволяет сформулировать новые постановки
экономических задач, повышает качество принимаемых управленческих решений.
Математические модели экономики, отражая с помощью математических
соотношений основные свойства экономических процессов и явлений,
представляют собой эффективный инструмент исследования сложных
экономических проблем.
В современной научно-технической деятельности математические модели
являются важнейшей формой моделирования, а в экономических исследованиях
и практике планирования и управления – доминирующей формой.
Математические модели экономических процессов и явлений называют
экономико-математическими моделями (ЭММ).
На базе использования ЭММ реализуются прикладные программы,
предназначенные для решения задач экономического анализа, планирования и
управления.
Математические модели являются важнейшим компонентом (наряду с базами
данных, техническими средствами, человеко-машинным интерфейсом) так
называемых систем поддержки решений.
Система поддержки решений (CПР) - это человеко-машинная система,
позволяющая использовать данные, знания, объективные и субъективные модели
для анализа и решения слабоструктурированных и неструктурированных
проблем.
Классифицировать экономико-математические модели можно по различным
основаниям.
1. По целевому назначению модели можно делить на:
 теоретико-аналитические, применяемые для исследования наиболее общих
свойств и закономерностей развития экономических процессов;
 прикладные, используемые для решения конкретных задач.
2. По уровням исследуемых экономических процессов:
 производственно-технологические;
 социально-экономические.
3. По характеру отражения причинно-следственных связей:
 детерминированные;

недетерминированные (вероятностные, стохастические), учитывающие
фактор неопределённости.
4. По способу отражения фактора времени:
 статические. Здесь все зависимости относятся к одному моменту или
периоду времени);
 динамические, характеризующие изменения процессов во времени.
5. По форме математических зависимостей:
 линейные. Наиболее удобны для анализа и вычислений, вследствие чего
получили большое распространение;
 нелинейные.
6. По степени детализации (степени огрубления структуры):
 агрегированные ("макромодели");
 детализированные ("микромодели").
Для понимания структуры нашего курса важное значение имеет схема,
представленная на рисунке 1.3. В правой части рисунка показаны основные
классы экономико-математических методов (классификация по используемому
математическому аппарату), а в левой части - важнейшие направления
применения методов.
Следует помнить также, что каждый из методов может быть применен для
решения различных по специфике задач. И наоборот, одна и та же задача может
решаться различными методами.
Рисунок 1.3 - Важнейшие области применения основных классов ЭММ
На схеме экономико-математические методы представлены в виде некоторых
укрупненных группировок. В двух словах опишем их.
1. Линейное программирование - линейное преобразование переменных в
системах линейных уравнений. Сюда можно отнести: симплекс-метод,
распределительный метод, статический матричный метод решения материальных
балансов.
2. Дискретное программирование представлено двумя классами методов:
локализационные и комбинаторные методы. К локализационным относятся
методы линейного целочисленного программирования. К комбинаторным, относят
метод ветвей и границ.
3.
Математическая
статистика используется
для
корреляционного,
регрессионного и дисперсионного анализа экономических процессов и явлений.
Корреляционный анализ применяется для установления тесноты связи между
двумя или более стохастически независимыми процессами или явлениями.
Регрессионный анализ устанавливает зависимость случайной величины от
неслучайного аргумента. Дисперсионный анализ - установление зависимости
результатов наблюдений от одного или нескольких факторов в целях выявления
важнейших.
4. Динамическое программирование используется для планирования и
анализа экономических процессов во времени. Динамическое программирование
представляется в виде многошагового вычислительного процесса с
последовательной оптимизацией целевой функции. Некоторые авторы относят
сюда же имитационное моделирование.
5. Теория игр представляется совокупностью методов, используемых для
определения стратегии поведения конфликтующих сторон.
6. Теория массового обслуживания - большой класс методов, где на основе
теории
вероятностей
оцениваются
различные
параметры
систем,
характеризуемых как системы массового обслуживания.
7. Теория управления запасами объединяет в себе методы решения задач,
в общей формулировке сводящихся к определению рационального размера
запаса какой-либо продукции при неопределенном спросе на нее.
8. Стохастическое программирование. Здесь исследуемые параметры
являются случайными величинами.
9. Нелинейное программирование относится к наименее изученному,
применительно к экономическим явлениям и процессам, математическому
направлению.
10. Теория графов - направление математики, где на основе определенной
символики представляется формальное описание взаимосвязанности и
взаимообусловленности множества элементов (работ, ресурсов, затрат и т.п.). До
настоящего времени наибольшее практическое применение получили так
называемые сетевые графики.
3. Принципы построения экономико-математических моделей
1. Принцип достаточности исходной информации. В каждой модели
должна использоваться только та информация, которая известна с точностью,
требуемой для получения результатов моделирования.
2. Принцип инвариантности (однозначности) информации требует, чтобы
входная информация, используемая в модели, была независима от тех
параметров моделируемой системы, которые еще неизвестны на данной стадии
исследования.
3. Принцип преемственности. Сводится к тому, что каждая последующая
модель не должна нарушать свойств объекта, установленных или отраженных в
предыдущих моделях.
4. Принцип эффективной реализуемости. Необходимо, чтобы модель
могла быть реализована при помощи современных вычислительных средств.
4.Этапы экономико-математического моделирования
Основные этапы процесса моделирования были рассмотрены нами выше
(рисунок 1.2). В различных отраслях знаний они приобретают свои специфические
черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла
экономико-математического моделирования (рисунок 1.4).
Рисунок 1.4 - Этапы экономико-математического моделирования
1. Постановка проблемы и её качественный анализ. Главное на этом этапе
- чётко сформулировать сущность проблемы, определить принимаемые
допущения, а также определить те вопросы, на которые требуется получить ответ.
Этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта,
основных зависимостей, связывающих его элементы. Здесь же происходит
формулирование гипотез, хотя бы предварительно объясняющих поведение
объекта.
2. Построение математической модели. Это этап формализации задачи,
т.е. выражения ее в виде математических зависимостей и отношений (функций,
уравнений, неравенств, схем). Как правило, сначала определяется тип
математической модели, а затем уточняются детали.
Неправильно полагать, что, чем больше факторов учитывает модель, тем
лучше она работает и дает лучшие результаты. Излишняя сложность модели
затрудняет процесс исследования. При этом нужно учитывать не только реальные
возможности информационного и математического обеспечения, но и
сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при
возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост
эффекта).
3. Математический анализ модели. Цель - выявление общих свойств и
характеристик
модели.
Применяются
чисто
математические
приёмы
исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования
решений в сформулированной модели. Если удастся доказать, что задача не
имеет решения, то необходимость в последующей работе по данному варианту
модели отпадает; следует скорректировать либо постановку задачи, либо
способы ее математической формализации.
Однако модели сложных экономических объектов с большим трудом
поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда не удается
выяснить общих свойств модели аналитическими методами, а упрощение модели
приводит к недопустимым результатам, прибегают к численным методам
исследования.
4.
Подготовка
исходной
информации. Численное
моделирование
предъявляет жесткие требования к исходной информации. В то же время
реальные возможности получения информации существенно ограничивают выбор
используемых моделей. При этом принимается во внимание не только
возможность подготовки информации (за определенный срок), но и затраты на
подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны
превышать эффекта от использования данной информации.
5. Численное решение. Это составление алгоритмов, разработка программ и
непосредственное проведение расчётов на ЭВМ.
6. Анализ результатов и их применение. На заключительной стадии
проверяются правильность, полнота и степень практической применимости
полученных результатов.
Естественно, что после каждой из перечисленных стадий возможен возврат к
одной из предыдущих в случае необходимости уточнения информации,
пересмотра результатов выполнения отдельных этапов. Например, если на этапе
2 формализовать задачу не удается, то необходимо вернуться к постановке
проблемы (этап 1). Соответствующие связи на рисунке 1.4 не показаны, чтобы не
загромождать схему.
Наконец, выясним, как соотносятся между собой общая схема процесса
моделирования (рисунок 1.2) и этапы экономико-математического моделирования
(рисунок 1.4).
Первые пять стадий более дифференцированно характеризуют процесс
экономико-математического исследования, чем общая схема: стадии 1 и 2
соответствуют этапу I общей схемы, стадии 3, 4 и 5 - этапу II. Напротив, стадия 6
включает этапы III и IV общей схемы.
Линейное программирование
1. Общая постановка задачи линейного программирования (ЗЛП). Примеры ЗЛП.
2. Геометрическое решение ЗЛП.
3. Основные теоремы линейного программирования.
4. Симплексный метод решения ЗЛП.
5. Двойственность в линейном программировании.
1. Общая постановка задачи линейного программирования (ЗЛП).
Примеры ЗЛП
Линейное программирование – направление математики, изучающее методы
решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью
между переменными и линейным критерием оптимальности.
Несколько слов о самом термине линейное программирование. Он требует
правильного понимания. В данном случае программирование - это, конечно, не
составление
программ
для
ЭВМ.
Программирование
здесь
должно
интерпретироваться как планирование, формирование планов, разработка
программы действий.
К математическим задачам линейного программирования относят
исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в
том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании
ограниченных ресурсов.
Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования
достаточно широк. Это, например:
 задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном
планировании;
 задача о смесях (планирование состава продукции);
 задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции
для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или
"задача о рюкзаке");
 транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение
грузов).
Линейное программирование – наиболее разработанный и широко
применяемый раздел математического программирования (кроме того, сюда
относят:
целочисленное,
динамическое,
нелинейное,
параметрическое
программирование). Это объясняется следующим:
 математические модели большого числа экономических задач линейны
относительно искомых переменных;

данный тип задач в настоящее время наиболее изучен. Для него
разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и
соответствующие программы для ЭВМ;
 многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли
широкое применение;
 некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются
линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать
линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать
методами линейного программирования.
Экономико-математическая
модель
любой
задачи
линейного
программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой
(максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы
линейных
уравнений
или
неравенств; требование
неотрицательности
переменных.
В общем виде модель записывается следующим образом:
 целевая функция:
= c1x1 + c2x2 + ... + cnxn → max(min);
(2.1)
 ограничения:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn {≤ = ≥} b1,
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn {≤ = ≥} b2,
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn {≤ = ≥} bm;
 требование неотрицательности:
xj ≥ 0,
(2.2)
(2.3)
При этом aij, bi, cj (
) - заданные постоянные величины.
Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (2.1) при
соблюдении ограничений (2.2) и (2.3).
Систему ограничений (2.2) называют функциональными ограничениями
задачи, а ограничения (2.3) - прямыми.
Вектор
, удовлетворяющий ограничениям (2.2) и (2.3),
называется допустимым
решением
(планом) задачи
линейного
программирования. План
, при котором функция (2.1) достигает
своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным.
Далее приведем примеры некоторых типовых задач, решаемых при помощи
методов линейного программирования. Такие задачи имеют реальное
экономическое содержание. Сейчас лишь сформулируем их в терминах ЗЛП, а
методы решения подобных задач рассмотрим ниже.
1. Задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном
планировании.
Общий смысл задач этого класса сводится к следующему.
Предприятие выпускает n различных изделий. Для их производства требуется
m различных видов ресурсов (сырья, материалов, рабочего времени и т.п.).
Ресурсы ограничены, их запасы в планируемый период составляют,
соответственно, b1, b2,..., bm условных единиц.
Известны также технологические коэффициенты aij, которые показывают,
сколько единиц i-го ресурса требуется для производства единицы изделия j-го
вида (
).
Прибыль, получаемая предприятием при реализации изделия j-го вида, равна
cj.
В планируемом периоде значения величин aij, bi и cj остаются постоянными.
Требуется составить такой план выпуска продукции, при реализации которого
прибыль преприятия была бы наибольшей.
Далее приведем простой пример задачи такого класса.
Компания специализируется на выпуске хоккейных клюшек и наборов шахмат.
Каждая клюшка приносит компании прибыль в размере $2, а каждый шахматный
набор - в размере $4. На изготовление одной клюшки требуется четыре часа
работы на участке A и два часа работы на участке B. Шахматный набор
изготавливается с затратами шести часов на участке A, шести часов на участке B
и одного часа на участке C. Доступная производственная мощность участка A
составляет 120 н-часов в день, участка В - 72 н-часа и участка С - 10 н-часов.
Сколько клюшек и шахматных наборов должна выпускать компания
ежедневно, чтобы получать максимальную прибыль?
Условия задач указанного класса часто представляют в табличной форме (см.
таблицу 2.1).
Таблица 2.1 - Исходные данные задачи об использовании производственных
ресурсов
производственные
участки
затраты времени на единицу продукции, н-час
клюшки
наборы шахмат
А
В
С
4
2
-
6
6
1
прибыль на единицу
продукции, $
2
4
доступный фонд
времени, н-час
120
72
10
По данному условию сформулируем задачу линейного программирования.
Обозначим: x1 - количество выпускаемых ежедневно хоккейных клюшек, x2 количество выпускаемых ежедневно шахматных наборов.
Формулировка ЗЛП:
= 2x1 + 4x2 → max;
4x1 + 6x2≤ 120,
2x1 + 6x2 ≤ 72,
x2 ≤ 10;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Подчеркнем, что каждое неравенство в системе функциональных ограничений
соответствует в данном случае тому или иному производственному участку, а
именно: первое - участку А, второе - участку В, третье - участку С.
Повторимся, методы решения ЗЛП мы будем рассматривать чуть позднее, а
сейчас - пример задачи другого типа.
2. Задача о смесях (планирование состава продукции).
К группе задач о смесях относят задачи по отысканию наиболее дешевого
набора из определенных исходных материалов, обеспечивающих получение
смеси с заданными свойствами. Иными словами, получаемые смеси должны
иметь в своем составе m различных компонентов в определенных количествах, а
сами компоненты являются составными частями n исходных материалов.
На птицеферме употребляются два вида кормов - I и II. В единице массы
корма I содержатся единица вещества A, единица вещества В и единица
вещества С. В единице массы корма II содержатся четыре единицы вещества А,
две единицы вещества В и не содержится вещество C. В дневной рацион каждой
птицы надо включить не менее единицы вещества А, не менее четырех единиц
вещества В и не менее единицы вещества С. Цена единицы массы корма I
составляет 3 рубля, корма II - 2 рубля.
Составьте ежедневный рацион кормления птицы так, чтобы обеспечить
наиболее дешевый рацион.
Представим условие задачи в таблице 2.2.
Таблица 2.2 - Исходные данные задачи о смесях
питательные
вещества
содержание веществ в единице массы корма, ед.
корм I
корм II
А
В
С
1
1
1
4
2
-
цена единицы
массы корма, р
2
4
требуемое количество
в смеси, ед.
1
4
1
Сформулируем задачу линейного программирования.
Обозначим: x1 - количество корма I в дневном рационе птицы, x2 - количество
корма II в дневном рационе птицы.
Формулировка ЗЛП:
= 3x1 + 2x2 → min;
x1 + 4x2 ≥ 1,
x1 + 2x2 ≥ 4,
x1 ≥ 1;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
3. Транспортная задача.
Под транспортной задачей понимают целый ряд задач, имеющих
определенную специфическую структуру. Наиболее простыми транспортными
задачами являются задачи о перевозках некоторого продукта из пунктов
отправления в пункты назначения при минимальных затратах на перевозку.
Три поставщика одного и того же продукта располагают в планируемый
период следующими его запасами: первый – 120 условных единиц, второй – 100
условных единиц, третий – 80 условных единиц. Этот продукт должен быть
перевезен к трем потребителям, потребности которых равны 90, 90 и 120
условных единиц, соответственно.
Обычно начальные условия транспортной задачи записывают в так
называемую транспортную таблицу (см. таблицу 2.3). В ячейках таблицы в
левом верхнем углу записывают показатели затрат (расходы по доставке единицы
продукта между соответствующими пунктами), под диагональю каждой ячейки
размещается величина поставки xij (т.е. xij - количество единиц груза, которое
будет перевезено от i-го поставщика j-му потребителю).
Таблица 2.3 - Исходные данные транспортной задачи
Необходимо определить наиболее дешевый вариант перевозок, при этом
каждый поставщик должен отправить столько груза, сколько имеется у него в
запасе, а каждый потребитель должен получить нужное ему количество
продукции.
Сформулируем ЗЛП:
= 7x11 + 6x12 + 4x13 + 3x21 + 8x22 + 5x23 + 2x31 + 3x32 + 7x33 → min;
x11 + x12 + x13 = 120,
x21 + x22 + x23 = 100,
x31 + x32 + x33 = 80,
x11 + x21 + x31 = 90,
x12 + x22 + x32 = 90,
x13 + x23 + x33 = 120;
xij ≥ 0, (
,
).
2. Геометрическое решение ЗЛП
Если
система
ограничений
задачи
линейного
программирования
представлена в виде системы линейных неравенств с двумя переменными, то
такая задача может быть решена геометрически. Таким образом, данный метод
решения ЗЛП имеет очень узкие рамки применения.
Однако метод представляет большой интерес с точки зрения выработки
наглядных представлений о сущности задач линейного программирования.
Геометрический (или графический) метод предполагает последовательное
выполнение ряда шагов. Ниже представлен порядок решения задачи линейного
программирования на основе ее геометрической интерпретации.
1. Сформулировать ЗЛП.
2. Построить на плоскости {х1, х2} прямые, уравнения которых получаются в
результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств.
3. Найти полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.
4. Найти область допустимых решений.
5. Построить прямую c1x1 + c2x2 = h, где h - любое положительное число,
желательно такое, чтобы проведенная прямая проходила через многоугольник
решений.
6. Перемещать найденную прямую параллельно самой себе в направлении
увеличения (при поиске максимума) или уменьшения (при поиске минимума)
целевой функции. В результате, либо отыщется точка, в которой целевая функция
принимает максимальное (минимальное) значение, либо будет установлена
неограниченность функции на множестве решений.
7. Определить координаты точки максимума (минимума) функции и вычислить
значение функции в этой точке.
Далее рассмотрим пример решения ЗЛП графическим методом. Для этого
воспользуемся представленной выше задачей о хоккейных клюшках и шахматных
наборах.
1. Выше уже приводилась формулировка задачи, здесь нам остается лишь
повторить ее:
= 2x1 + 4x2 → max;
4x1 +6x2 ≤ 120,
2x1 +6x2 ≤ 72,
x2 ≤ 10;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
2. Теперь построим прямые, соответствующие каждому из функциональных
ограничений задачи (см. рисунок 2.1). Эти прямые обозначены на рисунке (1), (2) и
(3).
Рисунок 2.1 - Геометрическое решение ЗЛП
3. Штрихи на прямых указывают полуплоскости, определяемые
ограничениями задачи.
4. Область допустимых решений включает в себя точки, для которых
выполняются все ограничения задачи. В нашем случае область представляет
собой пятиугольник (на рисунке обозначен ABCDO и окрашен синим цветом).
5. Прямая, соответствующая целевой функции, на рисунке представлена
пунктирной линией.
6. Прямую передвигаем параллельно самой себе вверх (направление указано
стрелкой), поскольку именно при движении в этом направлении значение целевой
функции увеличивается. Последней точкой многоугольника решений, с которой
соприкоснется передвигаемая прямая, прежде чем покинет его, является точка C.
Это и есть точка, соответствующая оптимальному решению задачи.
7. Осталось вычислить координаты точки С. Она является точкой пересечения
прямых (1) и (2). Решив совместно уравнения этих прямых, найдем:
,
.
Подставляя найденные величины в целевую функцию, найдем ее значение в
оптимальной точке
.
Таким образом, для максимизации прибыли компании следует ежедневно
выпускать 24 клюшки и 4 набора. Реализация такого плана обеспечит ежедневную
прибыль в размере $64.
3. Основные теоремы линейного программирования
Для обоснования методов решения задач линейного программирования
сформулируем ряд важнейших теорем, опуская их аналитические доказательства.
Уяснить смысл каждой из теорем поможет понятие о геометрической
интерпретации решения ЗЛП, данное в предыдущем подразделе.
Однако сначала напомним о некоторых понятиях, важных с точки зрения
дальнейшего разговора.
Любые m переменных системы m линейных уравнений с n переменными (m <
n) называются основными, если определитель матрицы коэффициентов при них
отличен от нуля. Тогда остальные m-n переменных называются неосновными
(или свободными).
Базисным решением системы m линейных уравнений c n переменными (m <
n) называется всякое ее решение, в котором все неосновные переменные имеют
нулевые значения.
Теорема 1. Множество всех допустимых решений системы ограничений
задачи линейного программирования является выпуклым.
В частном случае, когда в систему ограничений входят только две
переменные x1 и x2, это множество можно изобразить на плоскости. Так как речь
идет о допустимых решениях (x1, x2 ≥ 0), то соответствующее множество будет
располагаться в первой четверти декартовой системы координат. Это множество
может быть замкнутым (многоугольник), незамкнутым (неограниченная
многогранная область), состоять из единственной точки и, наконец, система
ограничений-неравенств может быть противоречивой.
Теорема 2. Если задача линейного программирования имеет оптимальное
решение, то оно совпадает с одной (двумя) из угловых точек множества
допустимых решений.
Из теоремы 2 можно сделать вывод о том, что единственность оптимального
решения может нарушаться, причем, если решение не единственное, то таких
оптимальных решений будет бесчисленное множество (все точки отрезка,
соединяющего соответствующие угловые точки).
Теорема 3. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного
программирования соответствует угловая точка области допустимых
решений, и наоборот.
Следствием из теорем 2 и 3 является утверждение о том, что оптимальное
решение (оптимальные решения) задачи линейного программирования,
заданной (или приведенной) ограничениями-уравнениями, совпадает с
допустимым базисным решением (допустимыми базисными решениями)
системы ограничений.
Таким образом, оптимальное решение ЗЛП следует искать среди конечного
числа допустимых базисных решений.
Линейное программирование
1. Общая постановка задачи линейного программирования (ЗЛП). Примеры ЗЛП.
2. Геометрическое решение ЗЛП.
3. Основные теоремы линейного программирования.
4. Симплексный метод решения ЗЛП.
5. Двойственность в линейном программировании.
4. Симплексный метод решения ЗЛП
Симплекс-метод был разработан и впервые применен для решения задач в
1947 г. американским математиком Дж. Данцигом.
Симплексный метод в отличие от геометрического универсален. С его
помощью можно решить любую задачу линейного программирования.
В основу симплексного метода положена идея последовательного улучшения
получаемого решения.
Геометрический смысл симплексного метода состоит в последовательном
переходе от одной вершины многогранника ограничений к соседней, в которой
целевая функция принимает лучшее (или, по крайней мере, не худшее) значение
до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение - вершина, где
достигается оптимальное значение функции цели (если задача имеет конечный
оптимум).
Таким образом, имея систему ограничений, приведенную к канонической
форме (все функциональные ограничения имеют вид равенств), находят любое
базисное решение этой системы, заботясь только о том, чтобы найти его как
можно проще. Если первое же найденное базисное решение оказалось
допустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то
осуществляется переход к другому, обязательно допустимому базисному
решению. Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решении целевая
функция, если и не достигнет оптимума, то приблизится к нему (или, по крайней
мере, не удалится от него). С новым допустимым базисным решением поступают
так же, пока не отыщется решение, которое является оптимальным.
Процесс применения симплексного метода предполагает реализацию трех его
основных элементов:
1) способ определения какого-либо первоначального допустимого базисного
решения задачи;
2) правило перехода к лучшему (точнее, не худшему) решению;
3) критерий проверки оптимальности найденного решения.
Симплексный метод включает в себя ряд этапов и может быть
сформулирован в виде четкого алгоритма (четкого предписания о выполнении
последовательных операций). Это позволяет успешно программировать и
реализовывать его на ЭВМ. Задачи с небольшим числом переменных и
ограничений могут быть решены симплексным методом вручную.
Далее рассмотрим симплексный алгоритм, не углубляясь в его обоснование.
Реализация симплекс-алгоритма включает восемь шагов. Опишем их,
параллельно рассматривая пример выполнения каждого шага в применении
к задаче о хоккейных клюках и шахматных наборах.
Шаг 1. Формулировка ЗЛП (формирование целевой функции и системы
ограничений).
Для определенности будем считать, что решается задача на отыскание
максимума. Ниже приведем общую постановку такой задачи.
= c1x1 + c2x2 + ... + cnxn max;
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1,
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2,
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm;
xj ≥ 0,
Еще раз повторим формулировку задачи из нашего примера.
= 2x1 + 4x2 → max;
4x1 +6x2 ≤ 120,
2x1 +6x2 ≤ 72,
x2 ≤ 10;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Шаг 2. Приведение задачи к канонической форме (перевод функциональных
ограничений в систему уравнений).
Для реализации шага в ограничения задачи вводятся дополнительные
переменные. Ниже приведен порядок выполнения этой операции
.
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn + y1 = b1,
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn + y2 = b2,
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn + ym = bm.
Обозначим добавочные переменные несколько иначе, а именно: y1 = xn+1, y2 =
xn+2, ..., ym = xn+m, где n - число переменных в исходной задаче, m - число
уравнений.
Все дополнительные переменные также должны быть неотрицательными.
В отношении добавочных переменных нужно сделать еще одно важное
замечание. Все они должны иметь тот же знак, что и свободные члены системы
ограничений. В противном случае используется так называемый M-метод (метод
искусственного базиса).
Выполним второй шаг для нашего примера.
4x1 +6x2 + x3 = 120,
2x1 +6x2 + x4 = 72,
x2 + x5 = 10.
Шаг 3. Построение исходной симплекс-таблицы (получение первоначального
допустимого базисного решения).
При ручной реализации симплексного метода удобно использовать так
называемые симплексные таблицы. Исходная симплекс-таблица соответствует
первоначальному допустимому базисному решению. В качестве такового проще
всего взять базисное решение, в котором основными являются дополнительные
переменные xn+1, xn+2, ..., xn+m. Ниже приведены исходная симплексная таблица в
общем виде (таблица 2.4) и в применении к рассматриваемой нами задаче
(таблица 2.5).
Таблица 2.4 - Общий вид исходной симплекс-таблицы
базис
xn+1
xn+2
...
xn+m
cj
x1
x2
...
переменные
xn
xn+1
...
xn+m
a11
a21
...
am1
c1
a12
a22
...
am2
c2
...
...
...
...
...
a1n
a2n
...
amn
cn
1
0
...
0
0
0
...
...
0
0
0
0
...
1
0
bi
b1
b2
...
bm
L
Итак, в левом столбце записываются основные (базисные) переменные, в
первой строке таблицы перечисляются все переменные задачи. Крайний правый
столбец содержит свободные члены системы ограничений b 1, b2, ..., bm. В
последней строке таблицы (она называется оценочной) записываются
коэффициенты целевой функции, а также значение целевой функции (с обратным
знаком) при текущем базисном решении (
). В рабочую область таблицы
(начиная со второго столбца и второй строки) занесены коэффициенты aij при
переменных системы ограничений.
Таблица 2.5 - Исходная симплекс-таблица для задачи о хоккейных клюшках и
шахматных наборах
базис
x3
x4
x5
cj
x1
x2
переменные
x3
x4
x5
4
2
0
2
6
6
1
4
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
bi
120
72
10
0
Таким образом, в данном базисном решении неосновные переменные x1 и
x2равны нулю. Базисные переменные отличны от нуля: x3 = 120, x4 = 72, x5 = 10.
Данное базисное решение является допустимым. Естественно, что значение
целевой функции в этом случае равно нулю, так как в формировании целевой
функции участвуют переменные, которые для данного базисного решения
являются неосновными.
Шаг 4. Проверка условия: все cj ≤ 0. Если НЕТ - осуществляется переход к
шагу 5, если ДА - задача решена. Таким образом, на данном шаге проверяется
наличие положительных элементов в последней строке симплексной таблицы.
Если такие элементы имеются, необходимо продолжать решение.
В нашей задаче последняя строка содержит два положительных элемента,
следовательно, необходимо перейти к шагу 5.
Шаг 5. Выбор разрешающего столбца (переменной, вводимой в базис).
Разрешающий столбец выбирается в соответствии со следующим условием:
где r - номер разрешающего столбца.
Таким образом, при определении разрешающего столбца просматривается
последняя строка симплексной таблицы и в ней отыскивается наибольший
положительный элемент.
В нашей задаче в качестве разрешающего выберем второй столбец
(соответствующий переменной x2), поскольку в последней строке для этого
столбца содержится 4.
Шаг 6. Проверка условия: все air ≤ 0. Если ДА - целевая функция
неограничена и решения нет, если НЕТ - переход к шагу 7.
Таким образом, необходимо проверить элементы разрешающего столбца.
Если среди них нет положительных, то задача неразрешима.
В нашем примере все элементы разрешающего столбца положительны (6, 6 и
1), следовательно, необходимо перейти к шагу 7.
Шаг 7. Выбор разрешающей строки (переменной, выводимой из базиса) по
условию:
для air > 0,
где s - номер разрешающей строки.
Таким образом, для тех строк, где элементы разрешающего столбца
положительны, необходимо найти частное от деления элемента bi (последний
столбец таблицы) на элемент, находящийся в разрешающем столбце. В качестве
разрешающей выбирается строка, для которой результат такого деления будет
наименьшим.
Проиллюстрируем выполнение шага 7, обратившись к нашему примеру.
Для первой строки: D1 = 120 / 6 = 20.
Для второй строки: D2 = 72 / 6 = 12.
Для третьей строки: D3 = 10 / 1 = 10.
Наименьший результат деления - в третьей строке, значит именно эту строку
мы выбираем в качестве разрешающей, т.е. исключать из базисного решения
будем переменную x5.
Элемент, стоящий на пересечении разрешающей строки и разрешающего
столбца, называется разрешающим элементом. В нашем случае таковым
является единица, стоящая на пересечении третьей строки и второго столбца.
Исходная симплекс-таблица нашего примера с выделенными цветом
разрешающей строкой и разрешающим столбцом представлена ниже (таблица
2.6).
Таблица 2.6 - Исходная симплекс-таблица с выделенными разрешающей
строкой и столбцом, а также с иллюстрацией к применению правила
прямоугольника
Шаг 8. Пересчет элементов симплекс-таблицы (переход к новому базисному
решению). Порядок пересчета различных элементов таблицы несколько
отличается.
Для элементов разрешающей строки используются следующие формулы:
где s - номер разрешающей строки,
r - номер разрешающего столбца,
, - новые значения пересчитываемых элементов,
asj, bs - старые значения пересчитываемых элементов,
asr - старое значение разрешающего элемента.
Таким образом, при пересчете элементов разрешающей строки каждый ее
элемент делится на разрешающий элемент.
Еще проще пересчитать элементы разрешающего столбца. Все они (кроме
разрешающего элемента) становятся равными нулю:
.
Элементы, не принадлежащие разрешающим столбцу и строке,
пересчитываются по так называемому правилу прямоугольника: мысленно
выделяется прямоугольник, в котором элемент, подлежащий пересчету и
разрешающий элемент образуют одну из диагоналей. Формулы будут иметь
следующий вид:
где
, , , - новые значения пересчитываемых элементов,
aij, bi, cj, L - старые значения пересчитываемых элементов.
Применение правила прямоугольника проиллюстрируем, используя таблицу
2.6. Пересчитаем элемент a11 (в исходной симплекс-таблице его значение равно
4). В таблице 2.6 можно видеть прямоугольник (прочерчен пунктиром),
соединяющий четыре элемента, участвующих в пересчете:
, т.е.
Аналогичным образом пересчитываются остальные элементы.
По окончании пересчета осуществляется возврат к шагу 4.
Полностью результат пересчета для нашего примера можно видеть в таблице
2.7
Таблица 2.7 - Симплекс-таблица для задачи о хоккейных клюшках и
шахматных наборах (второе базисное решение)
базис
x3
x4
x2
cj
x1
x2
переменные
x3
x4
x5
4
2
0
2
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
-6
-6
1
-4
bi
60
12
10
-40
Таким образом, в новом базисном решении базисными переменными
являются: x2 = 10, x3 = 60, x5 = 12 (соответствующие значения можно видеть в
последнем столбце таблицы). Неосновные переменные x1 и x5 равны нулю.
Значение целевой функции в этом случае равно 40 (значение можно видеть в
правой нижней ячейке таблицы).
Доведем решение нашего примера до конца.
Вернемся к шагу 4 симплекс-алгоритма. Рассмотрим последнюю строку
таблицы 2.7. В ней есть положительные элементы, значит полученное решение не
является оптимальным.
Шаг 5. Выберем разрешающий столбец. Им окажется столбец x1, поскольку
здесь содержится единственный положительный элемент нижней строки. Стало
быть, переменную x1 будем переводить в основные.
Далее. Шаг 6. Проверка показывает, что в разрешающем столбце есть
положительные элементы, следовательно, можно продолжать решение.
Шаг 7. Определим разрешающую строку. При этом будем рассматривать
лишь первую и вторую строки, поскольку для третьей строки в разрешающем
столбце находится нуль. Найдем частное от деления элемента b i на элемент,
находящийся в разрешающем столбце:
Для первой строки: D1 = 60 / 4 = 15.
Для второй строки: D2 = 12 / 2 = 6.
Наименьший результат деления - во второй строке, значит именно эту строку
мы выбираем в качестве разрешающей, т.е. переводить в неосновные (исключать
из базиса) будем переменную x4.
Ниже приведена симплекс-таблица с выделенными разрешающей строкой и
столбцом (таблица 2.8).
Таблица 2.8 - Симплекс-таблица (второе базисное решение) с выделенными
разрешающей строкой и столбцом
базис
x3
x4
x2
cj
x1
x2
переменные
x3
x4
x5
4
2
0
2
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
-6
-6
1
-4
bi
60
12
10
-40
Далее перейдем к шагу 8 и осуществим пересчет элементов симплексной
таблицы в соответствии с правилами, приводимыми выше. Результат пересчета
представлен в таблице 2.9.
Таблица 2.9 - Симплекс-таблица для задачи о хоккейных клюшках и
шахматных наборах (третье базисное решение)
базис
x3
x1
x2
cj
x1
x2
переменные
x3
x4
x5
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
-2
1/2
0
-1
6
-3
1
2
bi
36
6
10
-52
Таким образом, в очередном (третьем) базисном решении основными
переменными являются: x1 = 6, x2 = 10, x3 = 36. Неосновные переменные x4 и
x5равны нулю. Значение целевой функции для этого решения равно 52.
Вернемся к шагу 4 симплекс-алгоритма. Рассмотрим последнюю строку
таблицы 2.9. В ней все еще есть положительные элементы, значит полученное
решение не является оптимальным, и необходимо продолжить выполнение
симплекс-алгоритма.
Шаг 5. Выберем разрешающий столбец. Им окажется столбец x5, поскольку
здесь содержится единственный положительный элемент нижней строки.
Переменную x5будем переводить в основные.
Шаг 6. Проверка показывает, что в разрешающем столбце есть
положительные элементы, следовательно, можно продолжать решение.
Шаг 7. Определим разрешающую строку. При этом будем рассматривать
лишь первую и третью строки, поскольку для второй строки в разрешающем
столбце находится отрицательное число. Найдем частное от деления элемента
bi на элемент, находящийся в разрешающем столбце:
Для первой строки: D1 = 36 / 6 = 6.
Для третьей строки: D2 = 10 / 1 = 10.
Наименьший результат деления - в первой строке, значит именно эту строку
мы выбираем в качестве разрешающей, т.е. переводить в неосновные (исключать
из базиса) будем переменную x3.
Ниже приведена симплекс-таблица с выделенными разрешающей строкой и
столбцом (таблица 2.10).
Таблица 2.10 - Симплекс-таблица (третье базисное решение) с выделенными
разрешающей строкой и столбцом
базис
x3
x1
x2
cj
x1
x2
переменные
x3
x4
x5
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
-2
1/2
0
-1
6
-3
1
2
bi
36
6
10
-52
Далее перейдем к шагу 8 и осуществим пересчет элементов симплексной
таблицы в соответствии с правилами, приводимыми выше. Результат пересчета
представлен в таблице 2.11.
Таблица 2.11 - Симплекс-таблица для задачи о хоккейных клюшках и
шахматных наборах (четвертое базисное решение)
базис
x5
x1
x2
cj
x1
x2
переменные
x3
x4
x5
0
1
0
0
0
0
1
0
1/6
1/2
-1/6
-1/3
-1/3
-1/2
1/3
-1/3
1
0
0
0
bi
6
24
4
-64
Таким образом, в очередном (четвертом) базисном решении основными
переменными являются: x1 = 24, x2 = 4, x5 = 6. Неосновные переменные x3 и
x4 равны нулю. Значение целевой функции для этого решения равно 64.
Вернемся к шагу 4. Рассмотрим последнюю строку таблицы 2.11.
Положительных элементов в ней не осталось, следовательно полученное
решение являетсяоптимальным. Решение задачи найдено. Оно, что естественно,
совпадает с решением, полученным для этой же задачи при помощи графического
метода:
,
,
.
На рисунке 2.2 приведена общая схема симплексного алгоритма, наглядно
показывающая порядок его реализации.
Рисунок 2.2 - Общая схема симплекс-алгоритма
5. Двойственность в линейном программировании
Теория математического линейного программирования позволяет не только
получать оптимальные планы с помощью эффективных вычислительных
процедур, но и делать ряд экономически содержательных выводов, основанных
на свойствах задачи, которая является двойственной по отношению к исходной
ЗЛП.
Пусть в качестве исходной дана задача:
= c1x1 + c2x2 + ... + cnxn → max;
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1,
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2,
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn≤ bm;
(2.4)
xj ≥ 0,
Задача линейного программирования, двойственная задаче (2.4), будет иметь
вид:
= b1y1 + b2y2 + ... + bmym → min;
a11y1 + a21y2 + ... + am1ym≥ c1,
a12y1 + a22y2 + ... + am2ym ≥ c2,
...
a1ny1 + a2ny2 + ... + amnym≥ cn;
yi ≥ 0,
Можно сформулировать правила
задачи исходной.
.
получения
(2.5)
двойственной
задачи из
1. Если в исходной задаче ищется максимум целевой функции, то в
двойственной ей - минимум.
2. Коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи являются
свободными членами системы ограничений другой задачи.
3. В исходной ЗЛП все функциональные ограничения - неравенства вида “≤”, а
в задаче, двойственной ей, - неравенства вида “≥”.
4. Коэффициенты при переменных в системах ограничений взаимно
двойственных задач описываются матрицами, транспонированными относительно
друг друга.
5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом
переменных в другой.
6. Условие неотрицательности переменных сохраняется в обеих задачах.
Связь между оптимальными планами
устанавливают теоремы двойственности.
взаимно
двойственных
задач
Теорема 1. Если одна из двойственных задач имеет конечный оптимум, то
другая также имеет конечный оптимум, причем экстремальные значения
целевых функций совпадают:
(2.6)
.
Если целевая функция одной из двойственных задач не ограничена, то
условия другой задачи противоречивы.
Теорема
2
(о
дополняющей
нежесткости). Для
того
чтобы
план
и
план
являлись
оптимальными
решениями, соответственно, задач (2.5) и (2.6) необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись следующие соотношения:
(2.7)
Таким образом, если компонент оптимального плана
больше нуля, то при
подстановке в соответствующее ограничение двойственной задачи оптимального
плана это ограничение обращается в верное равенство, и наоборот.
Теорема об оценках. Значения переменных в оптимальном решении
двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов biв
системе ограничений прямой задачи на величину целевой функции
:
(2.8)
Компоненты оптимального решения двойственной задачи принято
называтьдвойственными оценками. Часто употребляется также термин
«объективно обусловленные оценки».
На свойствах двойственных оценок базируется экономико-математический
анализ распределения ресурсов. В пределах устойчивости двойственных оценок
имеют место свойства, рассмотренные ниже.
При описании свойств двойственных оценок будем пользоваться задачей о
хоккейных клюшках и шахматных наборах для наглядной иллюстрации
рассматриваемых положений.
Формулировка прямой (исходной) задачи:
= 2x1 + 4x2 → max;
4x1 + 6x2≤ 120,
2x1 + 6x2 ≤ 72,
x2 ≤ 10;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Получим двойственную задачу.
= 120y1 + 72y2 + 10y3 → min;
4y1 + 2y2 ≥ 2,
6y1 + 6y2 + y3 ≥ 4,
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0.
В результате решения получим следующие оптимальные планы:
= (24, 4); = (1/3, 1/3, 0).
Легко убедиться, что при подстановке оптимальных планов в целевые
функции задач оба получаемых значения равны 64.
Перейдем к рассмотрению свойств двойственных оценок.
Свойство 1. Оценки как мера дефицитности ресурсов. Двойственные
оценки отражают сравнительную дефицитность факторов производства. Чем
выше величина оценки , тем выше дефицитность i-го ресурса. Факторы,
получившие нулевые оценки, не являются дефицитными и не ограничивают
производство.
В нашем примере нулевую оценку получил третий ресурс ( = 0), поэтому он
не является дефицитным, т.е., с точки зрения задачи, фонд рабочего времени на
участке С не ограничивает производство. Напротив, первый (участок А) и второй
(участок В) ресурсы являются дефицитными, причем ограничивают производство
в одинаковой степени ( = = 1/3).
Последнее утверждение легко подтвердить, подставив и в ограничения
исходной задачи:
4 24
4 = 120,
2 24
4 = 72,
4 < 10.
Откуда видно, что при реализации оптимального плана фонд рабочего
времени участка С, действительно, расходуется не полностью.
Свойство 2. Оценки как мера влияния ограничений на значение целевой
функции. Величина двойственной оценки какого-либо ресурса показывает,
насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем
данного ресурса увеличился на единицу. В связи с этим значение объективно
обусловленной оценки иногда называют теневой ценой ресурса. Теневая цена это стоимость единицы ресурса в оптимальном решении.
Однако нужно учитывать, что двойственные оценки позволяют измерить
эффективность лишь незначительного изменения объема ресурсов. При
значительных изменениях может быть получен новый оптимальный план и новые
двойственные оценки.
Для нашего примера увеличение (уменьшение) фонда времени на участке А
или В должно приводить к увеличению (уменьшению) максимальной прибыли на
$1/3. Соответственно, например, при увеличении фонда времени участка А на 12
н-часов общая прибыль должна увеличиться на $4 (1/3 12).
Свойство 3. Оценки как инструмент определения эффективности
отдельных хозяйственных решений. С помощью двойственных оценок можно
определить выгодность выпуска новых изделий, эффективность новых
технологических способов производства. При этом эффективным может считаться
тот вариант производства, для которого сумма прибыли, недополученной из-за
отвлечения дефицитных ресурсов, будет меньше прибыли получаемой. Разница
между этими величинами (Δj) вычисляется как:
(2.9)
В том случае, если Δj ≤ 0, вариант производства является выгодным, если Δj >
0 – вариант невыгоден.
Вернемся к нашему примеру. Пусть предприятие планирует к выпуску новый
вид изделий: бейсбольные биты. Для производства одной биты необходимо
затратить 3 часа работы на участке А, 4 часа работы на участке В и 1 час работы
на участке С. Прибыль, получаемая от продажи одной биты, составляет $3.
Выгодно ли предприятию выпускать новую продукцию?
Для ответа на вопрос рассчитаем Δj по формуле (2.9):
Δj = 3
4
1
- 3 = 3 1/3 4 1/3 1 0 - 3 = -2/3,
Δj < 0, значит производить бейсбольные биты выгодно.
Свойство 4. Оценки как мера относительной заменяемости ресурсов с
точки зрения конечного эффекта. Например, отношение / показывает,
сколько единиц k-го ресурса может быть высвобождено при увеличении объема iго ресурса на единицу, для того чтобы максимум целевой функции остался на
прежнем уровне; или наоборот, сколько единиц k-го ресурса необходимо
дополнительно ввести при уменьшении на единицу объема i-го ресурса, если мы
хотим, чтобы значение целевой функции не изменилось.
В нашем примере двойственные оценки первого и второго ресурсов равны.
Это означает, что, например, при уменьшении фонда времени на участке А на 1 нчас необходимо увеличить фонд времени на участке В на 1 н-час, чтобы общая
получаемая предприятием прибыль осталась неизменной.
Завершая рассмотрение вопроса, отметим, что применение теорем
двойственности (а именно, соотношений (2.6) и (2.7)) позволяет, зная
оптимальное решение одной из взаимно двойственных задач, без труда отыскать
оптимальное решение другой задачи.
Проиллюстрируем это утверждение примером.
Для производства четырех видов изделий А1, А2, А3 и А4 завод должен
использовать три вида сырья I, II и III. Запасы сырья на планируемый период
составляют, соответственно, 1000, 600 и 150 единиц.
Технологические коэффициенты (расход каждого вида сырья на производство
единицы каждого изделия) и прибыль от реализации единицы каждого изделия
приведены в таблице 2.12.
Таблица 2.12 - Исходные данные задачи о четырех видах изделий
Виды сырья
Технологические коэффициенты
А2
А3
А1
А4
III
5
4
1
1
2
0
0
2
2
2
1
1
Прибыль от
реализации
6
2
2,5
4
I
II
Запасы сырья
1000
600
150
Требуется, зная решение данной задачи, решить задачу, двойственную ей.
Сформулируем исходную ЗЛП.
= 6x1 + 2x2 + 2,5x3 + 4x4 → max;
5x1 + x2 +
2x4 ≤ 1000,
4x1 + 2x2 + 2x3 + x4 ≤ 00,
x1 +
2x3 + x4 ≤ 150;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0.
Оптимальное решение данной задачи состоит в следующем (сам процесс
решения здесь опускаем):
= (0, 225, 0, 150);
= 1050.
Сформулируем двойственную задачу и решим ее, используя теоремы
двойственности.
= 1000y1 + 600y2 + 150y3 → min;
5y1 + 4y2 + y3≥ ,
y1 + 2y2
≥ 2,
2y2 + 2y3 ≥ 2,5,
2y1 + y2 + y3 ≥ 4.
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0.
Подставим
в ограничения исходной задачи:
5 0 225 2 150 < 1000,
4 0 2 225 2 0 + 150 = 600,
0 2 0 + 150 = 150.
Следовательно, используя вторую теорему двойственности и первое свойство
двойственных оценок, можем записать: = 0.
Рассмотрим ограничения двойственной задачи. Каждое их них соответствует
одной из переменных исходной задачи. Поскольку > 0 и > 0, только второе и
четвертое ограничения двойственной задачи обращаются в верное равенство при
подстановке в них оптимального плана (такой вывод следует из соотношений
(2.7)). Учитывая, что = 0, можем записать систему из двух уравнений с двумя
неизвестными:
2y2
= 2,
y2 + y3 = 4.
,
,
и
Решая систему, получим: = 1, = 3.
Полностью решение двойственной задачи запишется так:
= (0, 1, 3);
= 1050.
Матричные (межотраслевые, балансовые) модели
1. Общая структура межотраслевого баланса.
2. Статическая межотраслевая модель.
3. Модель межотраслевого баланса затрат труда.
В настоящее время модели данного класса регулярно строятся во многих
странах мира. С их помощью решаются задачи анализа, планирования и
прогнозирования развития экономических систем. Регулирование экономического
развития, расчеты по составлению долгосрочных планов, расчеты по оптимизации
внешней торговли, составление межрегиональных балансов, расчеты по
ценообразованию - вот далеко не полный перечень задач, в решении которых
могут быть применены матричные модели.
Наиболее типичным примером матричных моделей считается экономикоматематическая модель межотраслевого баланса (модель В.В. Леонтьева).
Именно за разработку и применение этого метода к решению важных
экономических проблем в 1973 году Василий Васильевич Леонтьев был удостоен
Нобелевской премии в области экономики. В западной литературе модели
данного класса чаще всего именуются как метод "затраты-выпуск".
1. Общая структура межотраслевого баланса
Центральным
элементом
матричных
моделей
является
так
называемыймежотраслевой баланс. Он представляет собой таблицу,
характеризующую связи между различными отраслями экономики страны. Общая
структура межотраслевого баланса представлена в таблице 3.1.
Таблица 3.1 - Общая структура межотраслевого баланса
Производственная сфера экономики представлена в балансе в виде
совокупности n отраслей.
Баланс состоит из четырех разделов (квадрантов).
Первый квадрант представляет собой матрицу, состоящую из (n 1) строки и
(n 1) столбца. Этот раздел является важнейшей частью баланса, поскольку
именно здесь содержится информация о межотраслевых связях. Величина xij,
находящаяся на пересечении i-й строки и j-го столбца, показывает, сколько
продукции i-й отрасли было использовано в процессе материального
производства j-й отрасли. Величины xij характеризуют межотраслевые поставки
сырья, материалов, топлива и энергии, обусловленные производственной
деятельностью.
В i-й строке величины xi1, xi2, ..., xij, ..., xin описывают распределение продукции
i-й отрасли как средства производства для других отраслей.
Величины x1j, x2j, ..., xij, ..., xnj j-го столбца в этом случае будут описывать
потребление j-й отраслью сырья, материалов, топлива и энергии на
производственные нужды.
Таким образом, первый раздел баланса дает общую картину распределения
продукции на текущее производственное потребление всех n отраслей
материального производства.
В зависимости от того, в каких единицах измеряются потоки продукции в
балансе, существуют различные его варианты: в натуральном выражении, в
денежном (стоимостном) выражении, в натурально-стоимостном, в трудовых
измерителях. Мы рассмотрим баланс в стоимостном выражении, в котором потоки
продукции измеряются на основе стоимости произведенной продукции в
некоторых фиксированных ценах. Поскольку в этом случае величины xij отражают
стоимость продукции, т.е. измеряются в одних и тех же единицах, их можно
просуммировать.
Величина
отраслям.
представляет собой сумму всех поставок i-й отрасли другим
Сумма по столбцу
характеризует производственные затраты j-й отрасли
на приобретение продукции других отраслей.
На пересечении (n 1)-й строки и (n 1)-го столбца находится величина
- так называемый промежуточный продукт экономики.
Второй раздел посвящен конечному продукту. Столбец конечного продукта (n+2)-й столбец. Величина yi - потребление продукции i-й отрасли, не идущее на
текущие производственные нужды. В конечную продукцию, как правило,
включаются: накопление, возмещение выбытия основных средств, прирост
запасов,
личное
потребление
населения,
расходы
на
содержание
государственного аппарата, здравоохранение, оборону и т.д., а также сальдо
экспорта и импорта.
Ко второму разделу относится также столбец валовых выпусков (Xi). В
пределах первого и второго разделов справедливо соотношение:
(3.1)
Третий квадрант межотраслевого баланса отражает стоимостную структуру
валового продукта отраслей. В (n 2)-й строке таблицы отражена условно чистая
продукция (Vj), представляющая собой разницу между величиной валовой
продукции отрасли и суммарными затратами отрасли:
(3.2)
Условно чистая продукция подразделяется на амортизационные отчисления и
чистую продукцию отрасли. Важнейшими составляющими чистой продукции
отрасли являются заработная плата, прибыль и налоги.
Можно показать, что суммарный конечный продукт равен суммарной условно
чистой продукции (
).
Из соотношений (3.1) и (3.2):
Просумируем первое равенство по i, а второе - по j:
Левые части выражений равны, значит равны и правые:
откуда
что и требовалось доказать.
Таким образом, в третьем разделе также фигурирует конечный продукт, но
если во втором разделе он разбивается на величины yi, характеризующие
структуру потребления, то в третьем разделе величины V j показывают, в каких
отраслях произведена стоимость конечного продукта.
Четвертый раздел располагается под вторым. Он характеризует
перераспределительные отношения в экономике, осуществляемые через
финансово-кредитную систему. В плановых расчетах четвертый раздел, как
правило, не используется, и поэтому в пределах нашего курса рассматриваться
не будет.
Итак, рассмотренный нами межотраслевой баланс - это способ
представления статистической информации об экономике страны. Он строится на
основе агрегирования результатов деятельности отдельных предприятий. Такой
баланс называют отчетным. Кроме этого строятся плановые балансы,
предназначенные для разработки сбалансированных планов развития экономики.
2. Статическая межотраслевая модель
Статистические межотраслевые модели используются для разработки планов
выпуска и потребления продукции и основываются на соотношениях
межотраслевого баланса.
При построении модели делают следующие предположения:
1) все продукты, производимые одной отраслью, однородны и
рассматриваются как единое целое, т.е. фактически предполагается, что каждая
отрасль производит один продукт;
2) в каждой отрасли имеется единственная технология производства;
3) нормы производственных затрат не зависят от объёма выпускаемой
продукции;
4) не допускается замещение одного сырья другим.
В действительности эти предположения, конечно, не выполняются. Даже на
отдельном предприятии обычно выпускаются различные виды продукции,
используются различные технологии, удельные затраты зависят от объема
выпуска и в тех или иных пределах допускается замена одного сырья другим.
Следовательно, эти предположения тем более неверны для отрасли. Однако
такие модели получили широкое распространение и, как показала практика, они
вполне адекватны и применимы для составления планов выпуска продукции.
При этих предположениях величина xij может быть представлена следующим
образом:
(3.3)
Величина aij называется коэффициентом прямых материальных затрат.
Она показывает, какое количество продукции i-й отрасли идет на производство
единицы продукции j-й отрасли. Коэффициенты aij считаются в межотраслевой
модели постоянными.
Подставляя выражение (3.3) в формулу (3.1), получим:
Это соотношение можно записать в матричном виде:
X = AX + Y,
где X = (X1, X2, ..., Xn) - вектор валовых выпуков;
Y = (y1, y2, ..., yn) - вектор конечного продукта;
(3.4)
A =
- матрица коэффициентов прямых материальных
затрат.
Коэффициенты прямых материальных затрат являются основными
параметрами статической межотрслевой модели. Их значения могут быть
получены двумя путями:
1) статистически. Коэффициенты определяются на основе анализа отчётных
балансов за прошлые годы. Их неизменность во времени определяется
подходящим выбором отраслей;
2) нормативно. Предполагается, что отрасль состоит из отдельных
производств, для которых уже разработаны нормативы затрат; на их основе
рассчитываются среднеотраслевые коэффициенты.
Выражение (3.4) принято называть балансом распределения продукции. Его
можно использовать для анализа и планирования структуры экономики. Если
известны коэффициенты прямых материальных затрат, то, задав конечный
продукт по каждой отрасли, можно определить необходимые валовые выпуски
отраслей. В этом заложена основная идея использования матричных моделей для
планирования производства.
Преобразуем выражение (3.4):
X - AX = Y,
X (E - A) = Y,
X = (E - A)-1Y,
(3.5)
где E - единичная матрица.
До начала планирования следует выяснить, существует ли матрица, обратная
матрице (E-A), и не будут ли получены отрицательные значения выпуска по
отраслям.
Установим некоторые свойства коэффициентов прямых материальных затрат.
1. Неотрицательность, т.е. aij ≥ 0,
Это утверждение следует из
неотрицательности величин xij и положительности валовых выпусков Xj.
2. Сумма элементов матрицы A по любому из столбцов меньше единицы,
т.е.
Доказать это утверждение несложно.
Для любой отрасли условно чистая продукция есть величина положительная,
поскольку включает в себя заработную плату, амортизацию, прибыль и т.д., т.е.
Vj>0. Поэтому, используя соотношение (3.2), можно записать:
из соотношения (3.3):
откуда безусловно следует:
таким образом, утверждение доказано.
Можно показать, что при выполнении этих двух условий матрица B = (E - A)существует и если ее элементы неотрицательны. Говорят, что в этом случае
матрица прямых затрат А является продуктивной.
Перепишем формулу (3.5):
X = BY,
(3.6)
Матрица В носит название матрицы полных материальных затрат, а ее
элементы bij называют коэффициентами полных материальных затрат.
Коэффициент bij показывает, каков должен быть валовый выпуск i-й отрасли для
того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли.
Можно показать, что
B = E + A + A2 + A3 + ...
(3.7)
Умножим обе части на (E - A):
B(E - A) = (E + A + A2 + A3 + ...)(E - A),
B(E - A) = E + A + A2 + A3 + ..- A - A2 - A3 - ...,
B(E - A) = E,
B = E / (E - A),
B = (E - A)-1.
Доказано.
Из сотношения (3.7) следует bij ≥ aij,
Таким образом,
коэффициент полных материальных затрат bij, описывающий потребность в
выпуске продукции i-й отрасли в расчете на единицу конечного продукта j-й
отрасли, не меньше коэффициента прямых материальных затрат aij,
рассчтываемого на единицу валового выпуска.
Кроме того, из соотношения (3.7) для диагональных элементов матрицы B
следует:
bii ≥ 1,
1
Взаимосвязь
коэффициентов
прямых
и
полных
материальных
затратпроще всего проследить на примере: пусть единицей выпуска
хлебопекарной промышленности является хлеб (рисунок 3.1).
Рисунок 3.1 - Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных
затрат
Полные затараты электроэнергии для нашего примера складываются из
прямых затрат и косвенных затрат всех уровней. Косвенные затраты высоких
уровней являются незначительными и при практических расчетах ими можно
принебречь.
3. Модель межотраслевого баланса затрат труда
Предполагается, что труд выражается в единицах труда одинаковой степени
сложности. Обозначим затраты живого труда в производстве j-го продукта через
Lj, объем выпущенной продукции, как и прежде, Xj. Тогда коэффициент прямых
затрат труда:
Определим полные затраты труда, как сумму прямых затрат живого труда и
затрат овеществленного труда, перенесенного на продукт через израсходованные
средства производства.
Формирование полных затрат труда в модели происходит по схеме,
представленной на рисунке 3.2.
Рисунок 3.2 - Порядок формирования полных затрат труда
где Tj - полные затраты труда на единицу j-го продукта;
tj - прямые затраты труда на единицу j-го продукта;
aijTi - затраты овеществленного труда, перенесенного на j-й продукт через
i-е средство производства.
Таким образом:
Иначе, если известны коэффициенты полных материальных затрат bij, можно
записать:
Более компактно соотношение можно записать в матричном виде:
T = tB,
где T = (T1, T2, ..., Tn) - вектор-строка коэффициентов полных затрат труда;
t = (t1, t2, ..., tn) - вектор-строка коэффициентов прямых затрат труда.
Аналогично трудовым затратам в межотраслевой модели могут быть учтены
показатели фондоемкости изделий.
Василий Леонтьев, характеризуя значение балансовых моделей, писал:
"Чтобы прогнозировать развитие экономики, нужен системный подход. Экономика
каждой страны - это большая система, в которой много различных отраслей, и
каждая из них что-то производит - промышленную продукцию, услуги и т.д.,
которые предлагаются другим отраслям. Каждое звено, компонент системы может
существовать только потому, что получает что-то от других. Для производства
каждого вида продукции нужно напрямую использовать большое количество
других товаров, а еще больше - опосредованно.
Мы изучаем одну страну, беря в расчет 600-700 отдельных отраслей, японцы
доходят до 2000".1
1
Леонтьев В.В. Экономические эссе. Теории, исследования, факты и
политика: Пер. с англ. / В.В. Леонтьев. - М.: Политиздат, 1990. - 415 с.
Модели управления запасами
1. Зависимый и независимый спрос. Предмет теории управления запасами.
2. Основные стратегии управления запасами.
3. Модификации основных стратегий управления запасами.
4. Целевые функции моделей управления запасами.
5. Типы моделей управления запасами.
6. Простейшие модели управления запасами.
6.1 Однопродуктовая статическая модель.
6.2 Однопродуктовая статическая модель, допускающая дефицит
6.3 Модель с постепенным пополнением запасов.
6.4 Модель с постепенным пополнением запасов, допускающая дефицит
7. Вероятностные модели управления запасами.
7.1 Модель с фиксированным размером заказа и уровень обслуживания.
7.2 Модель с фиксированной периодичностью заказа и уровень обслуживания.
8. Специальные модели управления запасами.
8.1 Модель, учитывающая количественные скидки.
8.2 Однопериодная модель.
Приложение А. Таблица Брауна.
Приложение Б. Площади под кривой стандартного нормального распределения.
Товарно-материальный запас - это запас какого-либо ресурса или
предметов, используемых в организации.
С точки зрения практики проблема управления запасами является
чрезвычайно серьезной. Потери, которые несут предприятия (особенно
промышленные) вследствие нерационального управления запасами, очень
велики. Плохо, когда запас мал, недостаточен. Это может привести к нарушению
ритмичности производства, росту себестоимости продукции, срыву сроков
выполнения работ по договорам, потере прибыли. Однако же, крайне
нежелательной является и ситуация, когда запас чрезмерно велик. В этом случае
происходит "замораживание" оборотных средств организации. В результате те
деньги, которые могли бы "работать", приносить доход покоятся на складах в виде
запасов сырья, материалов, комплектующих.
Для эффективного решения проблем, связанных с управлением товарноматериальными запасами требуется применение соответствующих методов.
Такие методы существуют, однако, к сожалению, на практике (особенно в России)
они пока не находят должного распространения.
Очень показательным является высказывание одного из зарубежных
исследователей:
"...Слишком многие предприятия, к сожалению, управляют запасами
совершенно неудовлетворительно; это говорит о том, что руководство не
осознает всей важности материально-технических запасов производства. Но еще
чаще бывает, что осознание проблемы существует. Не хватает понимания
того, что надо делать и какэто делать".1
Итак, управление запасами на рациональной основе - весьма актуальная
задача. Определяющее значение при построении системы управления запасами
имеет характер потребности в хранимом продукте.
1. Зависимый и независимый спрос. Предмет теории управления
запасами
Основная особенность, определяющая используемые методы планирования и
контроля
запасов,
характер
спроса
на
эти
запасы.
Различают зависимый инезависимый спрос.
Предметы,
использующиеся зависимым спросом, как правило, представляют собой
подузлы и комплектующие, использующиеся в производстве конечного продукта.
Cпрос (т.е. использование) на подузлы и комплектующие определяется
объемом производства готовых изделий. Классическим примером здесь является
потребность в колесах для выпускаемых автомобилей. Если для каждой машины
требуется пять колес, то количество колес, требующихся для производства
партии автомобилей, является простой функцией от объема этой партии.
Например, для 200 машин требуется 1000 (200∙5) колес.
Предметы с независимым спросом - это, чаще всего, готовые изделия,
конечная продукция. Обычно готовый продукт продают (или отгружают) заказчику
- в производстве какого-либо другого изделия она не участвует. В этом случае, как
правило, невозможно точно определить потребность в товаре на какой-либо
период времени, так как в спросе обычно присутствует элемент случайности.
Таким образом, при независимом спросе большую роль в управлении
запасами играет прогнозирование, в то время как для зависимого спроса
потребность в запасах определяется, исходя из производственного плана.
В данном разделе нами будут рассмотрены модели, применяемые для
анализа ситуаций с независимым спросом. Для регулирования запасов в случае
зависимого спроса применяются несколько иные подходы. Это так называемые
логистические концепции управления движением материальных ценностей,
например, MRP, DRP, Just-in-time и другие. Соответствующие методы
рассматриваются обычно в рамках дисциплин логистика, производственный
менеджмент.
Теория управления запасами объединяет в себе методы анализа задач
регулирования запасов некоторого продукта при независимом спросе на этот
продукт.
В задачах такого рода необходимо найти рациональное количество запаса,
учитывая, что потери возникают как из-за неудовлетворенного спроса, так и из-за
того, что продукт хранится на складе.
Проблема управления запасами возникает при рассмотрении разнообразных
экономических объектов. Широко распространены задачи управления запасами
при анализе розничной торговли. В этом случае рассматриваются запасы
некоторого продукта в магазине. Обычно спрос считается случайной величиной с
заданным распределением. Запас пополняется за счет доставки товара с оптовой
базы по заявке магазина, причем время доставки может быть фиксированным или
же является случайной величиной. Перед управляющим встает вопрос: когда
подавать заявку на пополнение запаса, и какое количество товара требовать в
заявке? На подобные вопросы отвечает теория управления запасами.
Управлять запасами, как уже говорилось, необходимо и на производственных
объектах, где нужно определять рациональный уровень запасов сырья,
инструментов и т.п. Чрезмерный запас в этом случае приводит к
нерациональному использованию оборотных средств, требует значительных
затрат на хранение и уход за ним. С другой стороны, нехватка сырья, материалов
или инструментов вызывает перебои в производстве. Поэтому установление
рационального количества запаса является средством, позволяющим, с одной
стороны, ликвидировать ненужные запасы, а с другой стороны - обеспечить
ритмичность производства.
Управление
запасами
заключается
в
установлении моментов и объемовзаказов на их восполнение.
Совокупность правил, по которым принимаются такие решения,
называетсястратегией (системой) управления запасами.
Оптимальной стратегией считается та, которая обеспечивает минимум
затрат по доведению продукции до потребителей.
Нахождение
оптимальных
стратегий
составляет предмет
теории
оптимального управления запасами.
2. Основные стратегии управления запасами
Любая стратегия регулирования запасов призвана отвечать на два основных
вопроса: когда заказывать очередную партию продукции, и сколько товара
заказать?
Выделяют две основные стратегии регулирования запасов:
1) система с фиксированным размером заказа;
2) система с фиксированной периодичностью заказа.
Система с фиксированным размером заказа предполагает, что размер
поступающих партий - величина постоянная, а очередные поставки
осуществляются через разные интервалы времени. Заказ на поставку партии
делается при уменьшении размера запаса до заранее установленного
критического уровня, называемого "точкой заказа" (в зарубежной литературе
используется аббревиатура ROP - Reorder Point). Таким образом, интервалы
между поставками зависят от интенсивности потребления продукта.
Ситуацию иллюстрирует рисунок 4.1. На рисунке обозначены:
Z(t) – величина запаса продукции на складе;
S – "точка заказа", ROP (Reorder Point);
q = const – объем доставляемой партии;
,
,
- продолжительность заготовительного периода.
Рисунок 4.1 – Движение запаса продукции при использовании стратегии с
фиксированным размером заказа
Регулируемыми параметрами в такой системе являются: "точка заказа" (S,
ROP) и объем заказа (q, ROQ - Reorder Quantity).
Интервал времени между подачей заявки и поступлением партии на склад
называется заготовительным периодом. В модели продолжительность
заготовительного периода может считаться постоянной, либо быть случайной
величиной с заданным распределением.
В качестве недостатка певрой стратегии обычно называется необходимость
регулярного учета материальных ценностей на складе, с тем, чтобы не упустить
момент наступления "точки заказа".
Стратегия с фиксированным размером более подходит для ответственных,
важных материалов, поскольку предусматривает более жесткий контроль за
состоянием запасов, следовательно может быть обеспечена более быстрая
реакция на угрозу исчерпания запаса.
Система с фиксированной периодичностью заказа. В данном случае
продукция заказывается через равные промежутки времени, а размер запаса
регулируется за счет изменения объема партии. Объем партии принимается
равным разности между фиксированным максимальным уровнем, до которого
производится пополнение запаса, и фактическим его размером в момент заказа.
Ситуацию иллюстрирует рисунок 4.2. На рисунке обозначены:
Max –максимальный (плановый) уровень;
l – интервал между заказами (планируемый период).
Рисунок 4.2 – Движение запаса продукции при использовании стратегии с
фиксированной периодичностью заказа
Регулируемыми параметрами в такой системе являются: максимальный
(плановый) уровень (Max) и интервал времени между двумя заказами (l,
называемый также планируемым периодом).
Достоинство такой системы - отсутствие необходимости регулярного учета
материалов. Недостатки: иногда приходится делать заказ на незначительное
количество продуции, а при непредвиденно интенсивном потреблении возможно
исчерпание запаса до наступления очередного момента заказа.
Рисунок 4.3 подробно и наглядно описывает порядок функционирования двух
основных стратегий регулирования запасов.
Рисунок 4.3 – Порядок функционирования основных стратегий управления
запасами
3. Модификации основных стратегий управления запасами
Применяются для улучшения характеристик базовых стратегий.
Система с фиктивным уровнем запаса. Является модификацией первой из
основных стратегий. Используется в ситуации, когда интенсивность спроса
является случайной величиной, или продолжительность заготовительного
периода является случайной величиной, или оба эти параметра являются
случайными величинами. При таком положении вещей возможна ситуация, когда
по прибытии заказанного количества продукции на склад уровень запаса все
равно окажется ниже "точки заказа", т.е. сразу придется делать новый заказ. Но
зачем же ждать прихода предыдущей партии, если необходимость скорого заказа
следующей можно предсказать?
При использовании данной стратегии в качестве индикатора, используемого
для определения момента заказа, применяется фиктивный уровень запаса - Y(t).
Он представляет собой сумму наличного запаса на складе и количества
продукции, находящейся в процессе доставки. Стратегия заключается в
следующем: при достижении фиктивным уровнем запаса Y(t) "точки заказа" S
осуществляется новый заказ.
Ситуацию иллюстрирует рисунок 4.4. На рисунке обозначены:
Y(t) – пунктирная линия, фиктивный уровень запаса;
Z(t) – сплошная линия, реальный уровень запаса на складе;
– продолжительность заготовительного периода.
Рисунок 4.4 – Движение запаса продукции при использовании стратегии с
фиктивным уровнем запаса
Система с фиксированной периодичностью и двумя фиксированными
уровнями. Является модификацией второй из основных стратегий. Здесь кроме
верхнего максимального уровня запаса, устанавливается также минимальный.
Если размер запаса снижается до минимального уровня раньше наступления
момента очередного заказа, то делается внеочередной заказ. В остальное время
данная система функционирует, как система с фиксированной периодичностью
заказа. Движение запаса продукции при использовании стратегии с
фиксированной
периодичностью
и
двумя
фиксированными
уровнями
иллюстрирует рисунок 4.5.
Рисунок 4.5 – Движение запаса продукции при использовании стратегии с
фиксированной периодичностью и двумя фиксированными уровнями
Достоинством стратегии является исключение возможности нехватки
материалов. Необходимость вести регулярное наблюдение за уровнем запасов
может быть указана в качестве недостатка.
4. Целевые функции моделей управления запасами
За критерий оптимальности стратегии принимается минимум суммарных
расходов, связанных с образованием и хранением запасов, и убытков,
возникающих при наличии перебоев в обеспечении потребителей. При этом в
расчет берутся лишь те расходы, которые зависят от размера партий поставок и
величины запаса.
В качестве целевой функции в моделях управления запасами, как правило,
принимают минимум суммы следующих видов затрат.
1. Затраты, связанные с возникновением перебоев в снабжении (потери от
дефицита). Введем обозначение. Буквой a обозначим величину потерь от
дефицита единицы продукции.
2. Затраты, связанные с хранением запаса. Обозначим b - затраты на
хранение единицы продукции в единицу времени.
3. Затраты, связанные с организацией поставок; пусть c - затраты на одну
партию. В наиболее простом случае:
c(q) = c0 + c1q ,
(4.1)
где q - количество заказанной продукции,
c0 - издержки, не зависящие от объема заказа и связанные с самим
фактом его произведения;
c1 - закупочная цена единицы продукции.
Наличие в издержках c(q) величины c0, отличной от нуля, приводит к
ограничению количества заказов и, собственно, к необходимости иметь склад.
Попробуем проанализировать зависимость величины затрат каждого вида от
уровня запасов на складе. Из рисунка 4.6 видно, что с ростом уровня запаса
затраты первого вида снижаются, что естественно, поскольку при этом снижается
риск исчерпания запасов. Затраты на хранение (2) возрастают (линейно или
нелинейно), а затраты на организацию поставок (3) уменьшаются, так как высокий
уровень запасов позволяет делать заказы реже.
Обратите внимание, что кривая суммарных затрат (пунктирная линия) имеет
явную точку минимума. Это позволяет сделать вывод о том, что должен
существовать такой уровень запаса Z*, при котором суммарные издержки
достигают минимального значения Vmin.
Рисунок 4.6 – Зависимость величины затрат от среднего уровня запаса
Поскольку запас с течением времени изменяется, заявки на его пополнение
также подаются периодически, при исследовании систем хранения запасов
обычно минимизируют средние издержки функционирования системы в единицу
времени. Такие издержки могут быть представлены следующим образом:
(4.2)
где
- рассматриваемый период времени;
n( ) - полное число поставок за период [0, ];
d( ) - общий объем заказанной продукции за период [0, ].
Функция f(Z), в частном случае, подсчитывается по формуле:
f(Z) -aZ, при Z ≤ 0,
= bZ, при Z > 0.
(4.3)
Отрицательное значение Z соответствует ситуации, когда имеет место
неудовлетворенный спрос на продукт.
5. Типы моделей управления запасами
Несмотря на то, что любая модель управления запасами призвана отвечать
на два основных вопроса (когда и сколько), имеется значительное число моделей,
для построения которых используется разнообразный математический аппарат.
Такая ситуация объясняется различием исходных условий. Главным
основанием для классификации моделей управления запасами является характер
спроса на хранимую продукцию (напомним, что с точки зрения более общей
градации сейчас мы рассматриваем лишь случаи с независимым спросом).
Итак, в зависимости от характера спроса модели управления запасами могут
быть
 детерминированными;
 вероятностными.
В свою очередь детерминированный спрос может быть статическим, когда
интенсивность потребления не изменяется во времени, или динамическим, когда
достоверный спрос с течением времени может изменяться.
Вероятностный спрос может быть стационарным, когда плотность
вероятности спроса не изменяется во времени, и нестационарным, где функция
плотности вероятности меняется в зависимости от времени. Приведенную
классификацию поясняет рисунок 4.7.
Рисунок 4.7 – Типы моделей управления запасами в зависимости от характера
спроса
Наиболее простым является случай детерминированного статического спроса
на продукцию. Однако такой вид потребления на практике встречается достаточно
редко. Наиболее сложные модели - модели нестационарного типа.
Кроме характера спроса на продукцию при построении моделей управления
запасами приходится учитывать множество других факторов, например:
 сроки выполнения заказов. Продолжительность заготовительного периода
может быть постоянной либо являться случайной величиной;

процесс пополнения запаса. Может быть мгновенным либо
распределенным во времени;
 наличие ограничений по оборотным средствам, складской площади т.п.
6. Простейшие модели управления запасами
6.1 Однопродуктовая статическая модель
Модель управления запасами простейшего типа характеризуется тремя
свойствами:
 постоянным во времени спросом;
 мгновенным пополнением запаса;
 отсутствием дефицита.
В этом случае модель с фиксированным размером заказа и модель с
фиксированной периодичностью ведут себя совершенно одинаково, поскольку
интенсивность спроса и продолжительность заготовительного периода не
изменяются.
На практике такой модели могут соответствовать следующие ситуации:
использование осветительных ламп в здании; использование крупной фирмой
канцелярских товаров: бумаги, блокнотов, карандашей и т.д., потребление
основных продуктов питания.
График движения запаса на складе для подобной ситуации представлен на
рисунке 4.8. На рисунке обозначены:
q - размер партии;
Zср = q/2 - средний уровень запаса;
- тангенс соответствующего угла, интенсивность спроса (количество
продукции, потребляемой в единицу времени);
S – «точка заказа»;
– продолжительность заготовительного периода;
l - продолжительность цикла заказа (планируемого периода).
Рисунок 4.8 – Движение запаса в однопродуктовой статической модели
Для такой модели размер запаса в определенный момент времени может
быть рассчитан по формуле:
Z(t) = Z(0) - t + W(t),
(4.4)
где W(t) - суммарное поступление продукта за период [0,t].
Величина суммарных поступлений определяется из соотношения:
W(t) = q∙n(t),
(4.5)
где n(t) - полное число поставок за период [0,t].
При этом l = , т.е. уровень запаса достигнет нуля, спустя
после получения заказа размером q.
Полное число поставок:
n(t) =
=
,
единиц времени
(4.6)
где [ ] - целая часть числа.
Из соотношений (4.4), (4.5) и (4.6) получим:
(4.7)
Z(t) = Z(0) - t q∙
.
Уравнение (4.7) полностью описывает рассматриваемую систему хранения
запаса.
Оптимизация заключается в выборе наиболее экономичного размера партии
q. Утверждение иллюстрирует рисунок 4.9.
Рисунок 4.9 – Экономический смысл оптимального размера партии
Чем меньше q, тем чаще нужно размещать новые заказы. Однако при этом
средний уровень запаса будет уменьшаться.
С другой стороны, с увеличением q уровень запаса повышается, но заказы
размещаются реже.
Так как затраты зависят от частоты заказов и объема хранимого запаса, то
величина q должна определяться из условия обеспечения сбалансированности
между двумя видами затрат.
Итак, с0, как и прежде, - затраты на оформление заказа, имеющие место
всякий раз при его размещении; b - затраты на хранение единицы продукции в
единицу времени; с1 - закупочная цена единицы продукта; d(t) - общий объем
потребленной продукции за период [0,t].
Выразим суммарные затраты V(t) за период времени [0,t] и зададимся целью
отыскать минимум этих затрат:
V(t) = c0n(t) b∙Zср∙t c1d(t) → min.
Используя соотношения (4.6) и (4.7) и переходя к затратам в единицу времени
(для этого разделим предыдущее выражение на t), получим:
V = c0∙
b∙ + c1 → min.
Заметим, что требованием о целой части в выражении (4.6) нам пришлось
пренебречь, чтобы получить дифференцируемую функцию.
Далее найдем производную функции по q и приравняем ее нулю:
откуда найдем q:
(4.8)
Заметим, что вторая производная в точке q* строго положительна, что говорит
о том, что найден именно минимум функции.
Соотношение (4.8) принято называть формулой экономичного размера
заказа Уилсона. Формула Уилсона занимает центральное место во всей теории
управления запасами.
Таким образом, оптимальная стратегия модели предусматривает заказ
q*единиц продукта через каждые l* =
единиц времени.
Стратегия размещения заказов в приведенной модели должна определять
также "точку заказа". Можно показать, что "точка заказа" для данного случая
определяется как:
S* = .
(4.9)
При использовании формул (4.8) и (4.9) необходимо контролировать, чтобы
интенсивность спроса и стоимость хранения b были отнесены к одному и тому
же промежутку времени, например, к году, месяцу или дню.
В отношении оптимального объема партии q* необходимо сделать следующее
замечание.
Стоимость хранения и стоимость заказа, а также предполагаемый спрос, - все
это по своей сути ориентировочные показатели, их невозможно точно рассчитать.
Иногда стоимость хранение не рассчитывается, а просто устанавливается,
исходя из каких-то разумных соображений. Соответственно, экономичный объем
заказа нужно считать приблизительным, а не точным показателем. Так, вполне
допустимо округление полученной величины. Расчеты с точностью до нескольких
десятичных знаков могут создать ложное впечатление о точности данного
показателя.
Возникает
вопрос:
в
какой
степени
приемлем
такой
"приблизительный" объем партии с точки зрения минимальных расходов? Ответ
состоит в том, что кривая издержек в районе точки q* относительно пологая,
особенно вправо от данной точки (см. рисунок 4.10). Следовательно, показатель
экономичного объема партии можно считать достаточно устойчивым.
Рисунок 4.10 – Зона оптимального размера партии
6.2 Однопродуктовая статическая модель, допускающая дефицит
В рассмотренной выше простейшей модели дефицит продукции не
допускается. В общем случае, когда потери от дефицита сопоставимы с
расходами по содержанию запасов, дефицит допустим.
График движения запаса для такой ситуации приведен на рисунке 4.11, где
обозначает количество продукции, потребляемой в течение заготовительного
периода.
Рисунок 4.11 – Движение запаса в однопродуктовой статической модели,
допускающей дефицит
Не производя подробного вывода формул, скажем следующее.
В случае, когда вид минимизируемой функции определяется посредством
соотношений (4.1) - (4.3), оптимальные значения параметров q* и S* имеют
следующий вид:
(4.10)
(4.11)
Нетрудно заметить, что при больших издержках от неудовлетворенного
спроса, т.е. при недопустимости дефицита (a → ∞), q* и S* в формулах (4.10) и
(4.11) стремятся к соответствующим значениям в формулах (4.8) и (4.9).
6.3 Модель с постепенным пополнением запасов
Простейшая однопродуктовая статическая модель, рассмотренная нами в
разделе 6.1, обладала тремя свойствами: достоверно известный спрос,
мгновенное пополнение запаса, отсутствие дефицита.
Что происходит с оптимальными параметрами модели при допущении
дефицита, мы выяснили, рассмотрев материалы раздела 6.2. А что же будет
происходить с параметрами модели в случае, когда процесс пополнения запаса
распределен во времени? Исследуем эту ситуацию.
В некоторых случаях, например, когда предприятие одновременно является
производителем и потребителем изделий, запасы пополняются постепенно, а не
мгновенно. То есть, в данном случае одна часть производственной системы
выполняет функцию поставщика для другой части этой системы, выступающей в
роли потребителя.
Если темпы производства и потребления одинаковы, то запасы создаваться
вообще не будут, поскольку весь объем выпуска сразу же используется. В этом
случае вопрос об объеме партии не рассматривается. Чаще бывает, что темп
производства превышает темп потребления.
График движения запасов в такой системе будет иметь вид, соответствующий
графику, представленному на рисунке 4.12. Приведем обозначения необходимых
для дальнейшего анализа величин:
q - объем производимой партии, шт.;
- интенсивность потребления, шт./ед. времени;
- темп производства, шт./ед. времени; соответственно, - - темп прироста
запасов (шт./ед. времени), на графике - тангенс соответствующего угла;
Zmax - максимальный уровень запасов;
b - расходы на хранение единицы продукции в единицу времени, ед.
стоимости;
c0 - затраты на пуско-наладочные работы, ед. стоимости;
- продолжительность пуско-наладочных работ, иначе время упреждения
заказа, ед. времени.
Рисунок 4.12 – Движение запасов в модели с постепенным пополнением
Из графика видно, что изделия производятся в течение только части цикла,
потому что темп производства выше темпа потребления; потребление же
происходит на протяжении всего цикла. Во время производственной стадии цикла
создаются запасы. Их уровень равен разнице между уровнем производства и
уровнем потребления. Пока продолжается производство, уровень запасов будет
повышаться. Когда производство прекращается, уровень запасов начинает
снижаться. Следовательно, уровень запасов будет максимальным в момент
завершения производственной стадии. Когда наличный запас будет исчерпан,
производство возобновляется, и весь цикл повторяется вновь.
Когда компания сама производит изделия, то у нее нет как таковых расходов
на заказ. Однако для каждой производственной партии существуют расходы на
подготовку
это
стоимость
подготовки
оборудования
к
данному
производственному процессу: наладка, замена инструмента и т.п. По иному такие
расходы называются затратами на пуско-наладочные работы. Стоимость
подготовки в данном случае аналогична стоимости заказа, поскольку она не
зависит от размера партии. Аналогично и использование этих величин при
расчетах.
Перейдем к определению оптимальных параметров рассматриваемой
модели. Для этого используем прием, уже примененный нами в разделе 6.1:
составим выражение, показывающее зависимость затрат V от параметров
модели, отыщем производную и приравняем ее нулю.
На этот раз включим в общие расходы всего два вида издержек: затраты на
проведение пуско-наладочных работ и затраты на хранение продукции. Расходы,
пропорциональные объему партии (компонент, включающий величину c1), в
функцию включать не будем. Во-первых, как мы видели выше, это слагаемое
никак не влияет на итоговые выражения для оптимальных параметров, во-вторых,
в условиях, когда предприятие одновременно является и производителем, и
потребителем продукции, такие затраты по сути не связаны с функционированием
системы хранения запасов.
Итак, суммарные затраты V(t) за период времени [0,t]:
V(t) = c0n(t) b∙Zср∙t → min.
Используя соотношениe (4.6) и переходя к затратам в единицу времени (для
этого разделим предыдущее выражение на t), получим:
V = c0∙
b∙
→ min.
Выразим Zmax через q (объем производственной партии). Это легко сделать,
используя график движения запаса, представленный на рисунке 4.12, а именно,
рассматривая
некоторые
треугольники
и
используя
простейшие
тригонометрические соотношения:
Zmax =
( - ),
откуда:
V = c0∙ +
Приравняем нулю производную:
∙( - ) → min.
Выразим q:
(4.12)
Выражение (4.12) используется для определения оптимального размера
партии с модели с постепенным пополнением запаса.
Оптимальное значение "точки заказа" S* в этом случае, как и для
однопродуктовой статической модели, находится из соотношения (4.9):
S* = .
"Точка заказа" в данном случае представляет собой уровень запаса, при
котором следует начать пуско-наладочные работы.
6.4 Модель
дефицит
с
постепенным
пополнением
запасов,
допускающая
В однопродуктовой статической модели (раздел 6.1) пополнение запасов
происходит мгновенно и дефицит не допускается. В разделе 6.2 мы рассмотрели
случай, когда допускается дефицит, в разделе 6.3 - ситуацию, когда пополнение
запасов происходит постепенно. Теперь рассмотрим более общий случай дефицит допускается и запасы пополняются постепенно.
График движения запасов в такой системе представлен на рисунке 4.13. Все
приведенные на рисунке обозначения уже использовались нами ранее.
Рисунок 4.13 – Движение запасов в модели с постепенным пополнением,
допускающей дефицит
Не производя вывод формул для оптимальных параметров такой модели,
запишем итоговые выражения.
Оптимальный размер партии q* будет равен:
(4.13)
"Точка заказа" (критический уровень запаса, при достижении которого следует
начать пуско-наладочные работы):
(4.14)
Оптимальная продолжительность цикла l*:
(4.15)
При данных значениях параметров достигается минимум суммарных затрат в
единицу времени. Его можно рассчитать по формуле:
(4.16)
Итоги рассмотрения раздела 6 сведем в таблицу 4.1, где представлены
характеристики четырех изученных моделей, а также номера формул,
используемых для расчета оптимальных параметров моделей в каждом случае.
Таблица 4.1 - Харатеристики моделей управления запасами, рассмотренных в
разделе 6
Подраздел
Интенсивность
спроса
Характеристики модели
Пополнение
запасов
6.1
постоянная
постоянная
постоянная
постоянная
мгновенное
мгновенное
постепенное
постепенное
6.2
6.3
6.4
Дефицит
Используемые
соотношения
отсутствует
допускается
отсутствует
допускается
(4.8), (4.9)
(4.10), (4.11)
(4.12), (4.9)
(4.13) - (4.16)
7. Вероятностные модели управления запасами
Модели управления запасами, рассмотренные нами выше, предполагали, что
потребность в хранимых изделиях известна и постоянна (обратите внимание на
вторую графу таблицы 4.1). На практике в большинстве случаев потребность
является переменной величиной, изменяясь ежедневно. В связи с эти необходимо
иметь и поддерживать так называемый резервный (буферный) запас,
обеспечивая определенный уровень защиты от дефицита изделий.
Резервный запас - это величина запаса, постоянно поддерживаемая
дополнительно к ожидаемой потребности.
В случае нормального распределения колебаний спроса это будет среднее
значение отклонений. Если, например, среднемесячная потребность составляет
100 изделий, и мы предполагаем, что в следующем месяце она останется такой
же, а запас составляет 120 единиц, то 20 единиц и будут резервным запасом.
Известны несколько подходов к установлению величины запаса,
обеспечивающего защиту от колебаний спроса. Один из них основывается на
определении ожидаемого количества изделий, которых может не хватить.
Например, можно поставить задачу так: установить такой уровень запаса, чтобы
можно было удовлетворить не менее чем 95% заказов на данную продукцию, т.е.
дефицит изделий будет существовать лишь в течение 5% всего времени. Таким
образом, мы подошли к определению понятия "уровень обслуживания".
Уровень обслуживания – доля (процент) от общей величины спроса,
которую можно реально получить из наличного запаса.
Если, например, годовая потребность в некотором изделии составляет 1000
шт., то 95%-ый уровень обслуживания означает, что 950 шт. можно получить из
запаса, а 50 шт. не хватит.
Концепция уровня обслуживания основана на статистической характеристике,
известной как "Ожидаемое z или E(z)". E(z) – это ожидаемое количество
изделий, которых будет не хватать на протяжении каждого интервала времени
выполнения заказа.
Концепция предполагает, что потребность в хранимой продукции является
нормально распределенной случайной величиной.
Чтобы определить уровень обслуживания, необходимо знать, сколько изделий
не хватит.
Предположим, что среднемесячная потребность в каком-либо изделии
составляет 100 шт. ( = 100), а среднеквадратическое отклонение - 10 шт. ( = 10).
Если в начале месяца в запасе имеется 110 ед., сколько изделий нам может не
хватить?
Для ответа на этот вопрос придется вычислить сумму произведений:
E(z) = 1∙P( =111) 2∙P( =112) 3∙P( =113) + ...,
где P( =111) - вероятность того, что потребуется 111 шт., т.е. не хватит одного
изделия;
P( =112) - вероятность того, что потребуется 112 шт., т.е. не хватит двух
изделий;
P( =113) - вероятность того, что потребуется 113 шт., т.е. не хватит трех
изделий и т.д.
Такое суммирование даст нам количество изделий, которых может не хватить,
если запас в начале месяца составляет 110 шт.
Решение такой задачи - дотаточно трудоемкий процесс. Однако в настоящее
время значения E(z) табулированы. Соответствующая статистическая таблица
(так называемая таблица Брауна) показывает зависимость ожидаемого
дефицита изделий (E(z)) от резервного запаса, выраженного в стандартных
отклонениях спроса (z). При этом табличные значения приведены к стандартному
отклонению спроса, равному единице.
Далее продолжим рассмотрение обсуждаемого подхода применительно к
каждой из двух основных стратегий управления запасами.
7.1 Модель с фиксированным размером заказа и уровень обслуживания
При использовании такой стратегии уровень запаса отслеживается
непрерывно. Опасность исчерпания запаса возникает здесь только в течение
времени выполнения заказа (в течение заготовительного периода).
В течение периода (см. рисунок 4.14) возможны колебания спроса. Этот
диапазон вычисляется либо на основе анализа ретроспективных данных, либо на
основе некоторой предположительной оценки (если данные за прошедшие
периоды невозможно получить).
Величина резервного запаса зависит от требуемого уровня обслуживания.
Объем партии заказа q вычисляется обычным способом. Затем устанавливается
"точка заказа", которая учитывает ожидаемую потребность в течение
заготовительного периода, плюс резервный запас, определяемый требуемым
уровнем обслуживания.
Рисунок 4.14 – Диапазон отклонений потребности в модели с фиксированным
размером заказа
Таким образом, важнейшее различие между моделью, в которой потребность
известна, и моделью, где потребность является случайной величиной,
заключается в определении "точки очередного заказа". Объем заказа в обоих
случаях одинаков. При этом элемент неопределенности учитывается в резервном
запасе.
"Точка заказа" вычисляется следующим образом:
S= ∙ +
(4.17)
где - средняя интенсивность спроса;
- средняя продолжительность заготовительного периода;
z - число стандартных отклонений спроса в резервном запасе для
заданного уровня обслуживания;
- стандартное отклонение спроса в течение заготовительного периода.
В формуле (4.17) слагаемое ∙ определяет ожидаемый спрос в течение
заготовительного периода, а слагаемое
представляет собой величину
резервного запаса.
Остановимся на определении величин z и .
Значение
определяется в зависимости от условий задачи. Будем
рассматривать три случая.
1. Если изменяется только спрос, а продолжительность заготовительного
периода – величина постоянная, то:
(4.18)
где - стандартное отклонение спроса в единицу времени.
2. Если изменяется только заготовительный период, а спрос остается
постоянным, то:
(4.19)
где - стандартное отклонение продолжительности заготовительного
периода.
3. Наконец, если изменяются и спрос, и заготовительный период, то:
(4.20)
Перейдем к определению z. Для этого вычисляется E(z) - дефицит изделий,
который удовлетворяет заданному уровню обслуживания, а затем по таблице
Брауна находится соответствующее значение z.
Для вычисления E(z) используется формула:
(4.21)
где p - требуемый уровень обслуживания, в долях единицы; соответственно,
(1 - p) - неудовлетворенная часть потребности;
q - экономичный размер заказа (вычисляется обычным образом);
E(z) – ожидаемый дефицит изделий в каждом цикле заказа, выраженный в
стандартных отклонениях спроса.
7.2 Модель с фиксированной периодичностью заказа и уровень
обслуживания
Модель с фиксированной периодичностью предполагает, что размеры заказов
различны для разных циклов. Таким образом, размер запаса регулируется за счет
изменения объема партии. Возобновление же заказа определяется временем.
Следовательно, модель с фиксированной периодичностью должна иметь защиту
от исчерпания запасов (резервный запас) не только на время исполнения заказа,
но и на весь последующий цикла заказа (см. рисунок 4.15).
Таким образом, модель с фиксированной периодичностью больше нуждается
в резервном запасе, чем модель с фиксированным размером партии.
Рисунок 4.15 – Вероятностная модель с фиксированной периодичностью
заказа
Рассмотрим
ситуацию
с
переменным
спросом
и
постоянной
продолжительностью заготовительного периода. Ситуация наиболее частая с
точки зрения практики, а также наиболее простая для изучения.
Объем заказа в такой модели будет определяться по следующей схеме:
Объем
заказа
Ожидаемый спрос в
течение цикла
=
заказа и
+
заготовительного
периода
Резервный
запас
-
Наличный запас
в момент
подачи заявки.
Соотношение, представленное на схеме, запишем в виде формулы:
q = (l + ) +
- Z,
(4.22)
где q - размер очередного заказа;
- средняя интенсивность спроса;
l - промежуток времени между подачей заявок;
- продолжительность заготовительного периода;
z - число стандартных отклонений спроса в резервном запасе для
заданного уровня обслуживания;
- стандартное отклонение спроса в течение цикла заказа и
заготовительного периода;
Z – текущий уровень запаса.
При этом:
(4.23)
где - стандартное отклонение спроса в единицу времени.
Величину z можно получить из таблицы Брауна по E(z), которое для данного
случая определяется по формуле:
(4.24)
8. Специальные модели управления запасами
8.1 Модель, учитывающая количественные скидки
Модели управления запасами, рассмотренные нами ранее, несмотря на
существенные отличия, все же имели общую особенность - стоимость изделий
была постоянной при любом объеме заказа.
Модель, которую мы рассмотрим в данном подразделе, описывает порядок
определения оптимальной величины заказа для случая, когда цена единицы
изделия меняется в зависимости от объема заказа.
Количественные скидки – снижение закупочной цены при покупке более
крупных партий товара.
Скидки предоставляются с тем, чтобы убедить потребителей покупать как
можно больше.
Дальнейшее изложения материала будем сопровождать рассмотрением
примера.
Компания, занимающаяся производством медицинских препаратов, выпустила
прайс-лист на хирургические бинты. Соответствующие данные представлены в
таблице 4.2.
Таблица 4.2 - Прайс-лист на хирургические бинты
Объем партии, коробки
Цена за коробку, $
от 1 до 44
от 45 до 9
70 и выше
2,00
1,70
1,40
Итак, в данном случае, затраты на собственно покупку продукции должны
включаться в целевую функцию модели.
Общие расходы складываются из трех составляющих:
V(t) = c0n(t) b∙Zср∙t c1d(t) → min.
(4.25)
Напомним, что в данном случае c1 - закупочная цена единицы товара.
В однопродуктовой статической модели (подраздел 6.1) при определении
*
q закупочная цена не учитывалась, поскольку она не оказывала влияния на
величину оптимального объема партии.
Когда условия предполагают наличие количественных скидок, для каждой
закупочной цены имеется отдельная U-образная кривая общих расходов (рисунок
4.16). Кривые подняты на разный уровень - меньшая закупочная цена поднимает
кривую общий расходов на меньший уровень, большая - на больший.
Однако ни одна кривая не относится ко всем возможным значениям объема
партии; каждая кривая относится только к части диапазона значений. Реальный
показатель общих расходов сначала находится на кривой с максимальной
закупочной ценой, а затем опускается вниз, последовательно, кривая за кривой, в
точках изменения цены. Точка изменения цены - это минимальный объем партии,
необходимый для получения скидки. В примере с бинтами - это 45 и 70 коробок. В
результате получается кривая общих расходов - ступенчатая в точках изменения
цены. На рисунке 4.16 такая кривая показана жирной линией.
Рисунок 4.16 – Кривые общих затрат в модели количественных скидок
Как видно из рисунка 4.16, каждая кривая имеет свою точку минимума, однако,
не все точки реально применимы. Например, на рисунке минимум для кривой
$1,40 находится в точке, приблизительно соответствующей объему партии 55
коробок. Но прайс-лист из таблицы 4.2 показывает, что закупочная цена для
заказа объемом 55 коробок будет $1,70 за коробку. Реальная кривая общих
расходов изображена на рисунке ступенчатой линией. Только такие соотношения
цены и объема закупок реальны.
Цель модели количественных скидок – определение такого объема заказа,
который даст минимальные общие расхода для всего набора кривых.
Существуют два основных варианта модели количественных скидок. Для них
процедура поиска точки q* несколько отличается.
Рассмотрим оба варианта.
Особенность первого варианта - стоимость хранения (b) постоянна и не
зависит от закупочной цены. В этом случае для всех кривых точка минимума
будет единой (см. рисунок 4.17).
Кривые общих расходов отличаются лишь тем, что более низкие закупочные
цены отражены на более низкой кривой общих расходов.
Рисунок 4.17 – Первый вариант модели количественных скидок. Кривые
общих затрат
Для первого варианта модели процедура оптимального объема партии
состоит в следующем.
1. По формуле Уилсона (4.8) рассчитать q – единую точку минимума для всех
кривых.
2. Поскольку диапазоны цен не перекрываются, только одна закупочная цена
будет иметь рассчитанную точку q в своём реальном диапазоне. Если реальный q
находится в наименьшем диапазоне цен, то это и будет оптимальный объем
заказа q*.
Если реальный q находится в другом диапазоне, то необходимо рассчитать
общие затраты (по формуле (4.25)) для q и для всех точек изменения цены с
меньшей закупочной стоимостью. Та точка, для которой расходы окажутся
наименьшими, будет являться оптимальным размером партии q*.
Второй вариант модели. Здесь стоимость хранения определяется как
процент от закупочной цены. В этом случае каждая кривая будет иметь свою точку
минимума. По мере снижения закупочной цены каждая последующая точка
минимума будет располагаться справа от предыдущей точки, находящейся на
более высокой кривой. Ситуацию иллюстрирует рисунок 4.18.
Рисунок 4.18 – Второй вариант модели количественных скидок. Кривые общих
затрат
Процедура определения оптимального объема заказа в этом случае такова.
1. Начиная с наименьшей цены, рассчитывать по формуле Уилсона точку
минимума для каждого диапазона цен, пока не отыщется реальный q (т.е. пока
полученное значение q не попадет в реальный диапазон объема партии для
своей цены).
2. Если реален q для самой низкой цены, то он и будет оптимальным объемом
заказа q*.
Если реальный q не попадает в диапазон минимальной цены, то необходимо
сравнить общие расходы (пользуясь формулой (4.25)) в точках изменения цены
для всех меньших цен и общие затраты для наименьшего реального q. Тот объем
партии, который даст минимальные общие расходы, и будет оптимальным q*.
8.2 Однопериодная модель
Такая модель применяется при заказе скоропортящихся продуктов и
предметов с ограниченным сроком годности. Это, например, свежие фрукты и
овощи, живая рыба, цветы, газеты, журналы.
Для данной категории товаров характерной чертой является тот факт, что
непроданные (или неиспользованные) товары не хранятся более одного периода.
Или же, если такая ситуация возникает, то происходит уценка продукции.
Например, вчерашний хлеб может продаваться по сниженным ценам, несвежую
рыбу списывают, старые журналы сдают в букинистические магазины или пункты
приема макулатуры.
Иногда возникают даже определенные расходы, связанные с избавлением от
испорченных или просроченных товаров.
Ситуацию, о которой идет речь, иногда называют "задачей уличного
разносчика газет". Решение такой задачи предполагает ответ на вопрос: сколько
газет должен заказывать каждый день уличный разносчик газет?
Анализ однопериодной модели сфокусирован на двух видах затрат:
1) издержки, связанные с нехваткой запасов;
2) издержки, связанные с излишком запасов.
Рассмотрим оба вида издержек.
Издержки нехватки включают в себя потери от нереализованных продаж.
Этот вид издержек выражается как нереализованная прибыль на единицу товара:
Cs
=
Выручка от реализации
единицы продукции
-
Закупочная цена
единицы продукции.
Издержки избыточных запасов образуются в случае, если часть товара
осталась нереализованной к концу периода.
Издержки избытка – разность между закупочной ценой единицы товара и
выручкой от экстренной реализации:
Ce
=
Закупочная цена
единицы продукции
-
Выручка от экстренной
реализации единицы товара
по окончании периода.
Если возникают дополнительные расходы, связанные с реализацией или
избавлением от избыточных запасов, тогда выручка от экстренной реализации
становится величиной отрицательной и повышает издержки от избыточных
запасов.
Задача однопериодной модели – определить объем заказа, который
обеспечит минимальные издержки, связанные с недостаточными или
избыточными запасами.
Будем рассматривать два случая.
1. Спрос на хранимый товар близок к непрерывному распределению
(например, к нормальному или равномерному).
2. Спрос на хранимый товар близок к дискретному распределению.
Примеры непрерывного распределения спроса: спрос на бензин, дизельное
топливо, газ. Напротив, спрос на автомобили, компьютеры и т.п. выражается
определенными числами, и поэтому может быть описан дискретным
распределением.
Далее рассмотрим оба случая.
Непрерывный спрос на товар.
Определение оптимального уровня запаса базируется на понятии
"вероятность неисчерпания запаса" (в некоторых источниках эта величина
именуется "уровнем обслуживания").
"Вероятность неисчерпания" - это вероятность того, что спрос не превысит
уровень запаса.
В однопериодной модели оптимальным считается такой уровень запаса, при
котором "вероятность неисчерпания" равна соотношению:
(4.26)
P=
,
где P - "вероятность неисчерпания запаса";
Cs - издержки, связанные с недостаточным запасом, на единицу
продукции;
Ce - издержки, связанные с избыточным запасом, на единицу продукции.
Определение оптимального уровня запаса визуально проще всего
представить для случая равномерного спроса. Выбор уровня запаса напоминает
детские качели, где вместо людей на одном конце доски - издержки (Ce) от
избыточных запасов, на другом - издержки от недостатка Cs. Оптимальный
уровень запаса уравновешивает оба вида издержек, как это показано на рисунке
4.19.
Рисунок 4.19 – "Вероятность неисчерпания" и оптимальный объем партии
в однопериодной модели
Если фактический спрос превышает q*, то возникает нехватка, отсюда Cs - на
правом конце распределения. Аналогично, если спрос меньше, чем q*, то
возникает избыток, отсюда Ce - на левой стороне распределения. Когда Сs = Сe,
оптимальный уровень запаса находится ровно посередине между двумя концами
распределения. Если же один показатель больше другого, то q* для "поддержания
равновесия" располагается ближе к большему показателю.
Подход, применяемый при нормальном распределении спроса, аналогичен
описанному.
Для лучшего уяснения методики определения q* приведем пример.
Пример 4.1. Каждый день в бар поставляется свежесваренное пиво. Спрос
равномерно распределяется от 100 до 300 литров в день. Бар платит
производителю за литр пива 20 центов, а продает – по 80 центов за литр.
Непроданное пиво не подлежит реализации на следующий день, поскольку оно
портится.
Найдите оптимальный уровень запасов.
Решение.
Сs = $0,80 - $0,20 = $0,60 ,
Сe = $0,20 - $0 = $0,20 ,
P=
=
= 0,75.
Таким образом, оптимальный уровень запасов должен обеспечивать
"вероятность неисчерпания" на уровне 75%. Для равномерного спроса - это
минимальный спрос плюс 75% от разности между максимальным и минимальным
спросом, т.е.:
q* = 100 0,75∙(300 - 100) = 250 (литров).
Графическая иллюстрация приведенного решения представлена на рисунке
4.20.
Рисунок 4.20 – Иллюстрация решения задачи о закупках пива
В общем случае для равномерного спроса может быть применена следующая
формула:
q* = min P∙( max - min).
Ниже приведем еще один пример решения задачи. На этот раз спрос на
хранимый продукт будет распределен нормально.
Пример 4.2. Магазин продает хлебный квас. Спрос на него приближен к
нормальному со средним значением 200 литров в неделю и стандартным
отклонением 10 литров в неделю. Cs = 60 центов за литр, Ce = 20 центов за литр.
Найдите оптимальный уровень запасов кваса.
Решение.
P=
=
= 0,75.
Это означает, что 75% площади под кривой нормального распределения
должны располагаться слева от точки q* (см. рисунок 4.21).
Рисунок 4.21 – Иллюстрация решения задачи о закупках кваса (нормальное
распределение спроса)
Для нахождения q* можно использовать формулу:
q* = + ∙ ,
где - средняя величина спроса;
- число стандартных отклонений спроса для заданного P;
- среднеквадратическое отклонение величины спроса.
Значения табулированы,
их
можно
определить
по
соответствующейстатистической таблице. Кроме того, для разрешения подобных
вопросов можно использовать пакет программ Microsoft Excel, а именно одну из
его статистических функций - НОРМОБР или НОРМСТОБР.
Для решаемой нами задачи:
q* ≈ 200 0, 74∙10 ≈ 20 ,75 (литра).
Дискретный спрос на товар.
Теперь рассмотрим ситуацию, когда спрос на хранимый товар скорее
является дискретным, чем непрерывным. В этом случае величина запаса,
рассчитанная на основе соотношения (4.26), обычно не совпадает с реально
возможным уровнем запаса. В этом случае выбирается большее из двух
ближайших значений. Схема действий иллюстрируется рисунком 4.22.
Рисунок 4.22 – Схема нахождения оптимального объема партии в
однопериодной модели с дискретным характером спроса
Ниже приведем пример, поясняющий порядок определения оптимального
объема партии.
Пример 4.3. Спрос на красные розы в небольшом цветочном магазине близок
к распределению, представленному в таблице 4.3.
Таблица 4.3 - Распределение величины спроса в задаче о красных розах
Спрос (букетов в день)
Относительная частота
Суммарная частота
0
1
2
3
4
5 и более
0,10
0,15
0,30
0,30
0,15
0,00
0,10
0,25
0,55
0,85
1,00
Прибыль от реализации составляет $4 за букет. Непроданные в первый день
цветы уцениваются и продаются по цене на $1 ниже закупочной (за букет).
Предположим, что все уцененные цветы бывают проданы.
Каков оптимальный уровень запаса?
Решение.
Cs = $4, Ce = $1, P =
=
= 0,80.
Чтобы обеспечить "вероятность неисчерпания" на уровне 80%, нужно хранить
три букета роз. Таким образом, q* = 3 букета.
В
заключение рассмотрения
темы "Модели
управления
запасами"
необходимо сделать следующее важное замечание.
Представить
реальную
систему
управления
запасами
в
виде
оптимизационной модели удается лишь в относительно простых случаях.
Если же система хранения запасов имеет сложную структуру, используемые
вероятностные распределения сложны, а их характеристики изменяются с
течением
времени,
то
единственным
средством
анализа
становятся имитационные эксперименты.
Элементы теории игр
1. Основные понятия и определения. Предмет теории игр.
2. Парные игры с нулевой суммой. Решение в чистых стратегиях.
3. Решение игр в смешанных стратегиях.
4. Геометрическая интерпретация игр.
5. Приведение парной игры к задаче линейного программирования.
6. Общая схема решения парных игр с нулевой суммой.
7. Использование альтернативных критериев определения оптимальных
стратегий.
1. Основные понятия и определения. Предмет теории игр
Довольно часто в своей практической деятельности человеку приходится
сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решение в условиях,
когда две или более стороны преследуют различные цели, а результаты любого
действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуации,
возникающие, например, при игре в шахматы, шашки или домино, относят к
конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода
противника. Каков будет этот ответный ход, заранее неизвестно, поэтому говорят,
что решение приходится принимать в условиях неопределенности. Цель игры выигрыш одного из участников.
В экономике конфликтные ситуации встречаются часто и имеют
многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между
поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. В
этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов
партнеров и стремлением каждого из них принимать решения, которые реализуют
поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится
считаться не только со своими целями, но и с целями партнера, и учитывать
неизвестные заранее решения, которые эти партнеры будут принимать.
Ситуация называется конфликтной, если в ней участвуют стороны, интересы
которых полностью или частично противоположны.
Для рационального решения задач с конфликтными ситуациями существуют
научно обоснованные методы. Такие методы разработаны математической
теорией конфликтных ситуаций, которая называется теорией игр.
Игра – это действительный или формальный конфликт, в котором имеется по
крайней мере два участника (игрока), каждый из которых стремится к достижению
собственных целей.
Допустимые действия каждого из игроков, направленные на достижение
некоторой цели, называются правилами игры.
Игра
называется парной,
если
в
ней
участвуют
два
игрока,
и множественной, если число игроков больше двух. Далее будем рассматривать
только парные игры. В такой игре участвуют два игрока - A и B, интересы которых
противоположны. Под игрой (процессом игры) будет понимать ряд действий со
стороны A и B.
Количественная оценка результатов игры называется платежом.
Парная игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической,
если сумма платежей равна нулю, т.е выигрыш одного игрока равен проигрышу
другого. В этом случае для полного задания игры достаточно указать одну из
величин. Если, например, a – выигрыш одного из игроков, b - выигрыш другого, то
для игры с нулевой суммой b = -a, поэтому достаточно рассматривать,
например, a.
В рамках данного курса будем рассматривать парные игры с нулевой суммой.
Выбор и осуществление одного из действий, предусмотренных правилами,
называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными.
Личный ход – это сознательный выбор игроком одного из возможных
действий (например, ход в шахматной игре).
Случайный ход – это случайно выбранное действие (например, выбор карты
из перетасованной колоды).
В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор
его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации.
Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в
зависимости от конкретной ситуации. Однако, в принципе, возможно, что решения
приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это
означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана
в виде списка правил или программы.
Игра называется конечной, если у каждого игрока есть конечное число
стратегий, и бесконечной – в противном случае.
Стратегия игрока называется оптимальной, если она обеспечивает игроку
максимальный выигрыш (или, что то же самое, минимальный проигрыш), при
условии, что второй игрок придерживается своей стратегии.
Если игра повторяется много раз, то игроков может интересовать не выигрыш
и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во
всех партиях.
Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, необходимо для
каждого из игроков выбрать оптимальную стратегию.
Таким образом, предмет теории игр составляют методы отыскания
оптимальных стратегий игроков.
При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока
ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение
теории игр - единственность выигрыша как показателя эффективности, в то время
как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного
показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило, имеют место
задачи, в которых интересы партнеров не обязательно антагонистические. Однако
решение игр при наличии многих участников, имеющих непротиворечивые
интересы, - это гораздо более сложная задача.
Мы ограничимся рассмотрением парных игр с нулевой суммой.
2. Парные игры с нулевой суммой. Решение в чистых стратегиях
Рассмотрим парную конечную игру.
Пусть игрок А располагает m личными стратегиями: A1, A2, …, Am. Пусть у
игрока B имеется n личных стратегий. Обозначим их B1, B2, …, Bn. В этом случае
игра имеет размерность mxn. В результате выбора игроками любой пары
стратегий Ai,Bj (
) однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш
aij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш ( - aij) игрока В.
Предположим, что значения aij известны для любой пары стратегий (Ai,Bj).
Матрица А = (aij),
, элементами которой являются выигрыши,
соответствующие стратегиям Ai и Bj, называется платежной матрицей или
матрицей игры.
Общий вид платежной матрицы приведен ниже:
A=
a11 a12
a21 a22
am1 am2
...
...
a1n
a2n
...
... amn
.
Платежную матрицу также часто представляют в виде таблицы (см. таблицу
5.1).
Таблица 5.1 - Общий вид платежной матрицы
A1
A2
...
Am
B1
B2
...
Bn
a11
a21
...
am1
a12
a22
...
am2
...
...
...
...
A1n
A2n
...
Amn
Строки матрицы А соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы –
стратегиям второго.
Эти стратегии называются чистыми.
Пример 5.1. Составьте платежную матрицу для следующей игры (игра
"Поиск").
Игрок А может спрятаться в одном из двух убежищ (I или II); игрок B ищет
игрока A, и если найдет, то получает штраф 1 денежную единицу от А, в
противном случае - платит игроку А 1 денежную единицу.
Решение.
Для того чтобы составить платежную матрицу следует проанализировать
поведение каждого из игроков. Игрок А может спрятаться в убежище I - обозначим
эту стратегию через A1, или в убежище II - стратегия A2.
Для того чтобы составить платежную матрицу следует проанализировать
поведение каждого из игроков. Игрок А может спрятаться в убежище I - обозначим
эту стратегию через A1, или в убежище II - стратегия A2.
Игрок B может искать первого игрока в убежище I - стратегия B1, либо в
убежище II - стратегия B2. Если игрок А находится в убежище I и там его
обнаруживает игрок B, т.е. осуществляется пара стратегий (A 1, B1), то игрок А
платит штраф, т.е. a11 = -1. Аналогично a22 = -1.
Очевидно, что комбинации стратегий (A1, B2) и (A2, B1) дают игроку А выигрыш,
равный единице, поэтому a12 = a21 = 1.
Таким образом, для игры "Поиск" размера 2x2 получаем следующую
платежную матрицу:
A=
-1 1
1 -1 .
Рассмотрим игру размера mxn c матрицей А = (aij),
и определим
лучшую среди стратегий A1, A2, …, Am.
Выбирая стратегию Ai, игрок А должен рассчитывать , что игрок В ответит на
нее той из стратегий Bj, для которой выигрыш игрока А минимален (игрок В
стремится "навредить" игроку А).
Обозначим - наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии
Ai для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i-ой строке
платежной матрицы), т.е.
.
Среди чисел (
) выберем наибольшее
. Назовем нижней
ценой
игры или максимальным
выигрышем
(максимином).
Этогарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В.
Итоговую формулу можно записать следующим образом:
.
максимину,
Стратегия,
соответствующая
называется максиминной
стратегией.
Аналогичные рассуждения могут быть выполнены и в отношении игрока B.
Игрок B заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А.
Выбирая стратегию Bj, он учитывает, что игрок A будет стремиться к
максимальному выигрышу.
Обозначим
- наибольший проигрыш игрока B при выборе им
стратегии Bj для всех возможных стратегий игрока A (наибольшее число в j-ой
строке платежной матрицы).
Среди чисел (
) выберем наименьшее
и назовем верхней
ценой игры или минимаксом. Это минимальный гарантированный проигрыш
игрока В.
Таким образом:
.
минимаксу,
Стратегия,
соответствующая
называется минимаксной
стратегией.
Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" максиминной и
минимаксной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип
следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели,
противоположной цели противника.
Игрок выбирает свои действия, предполагая, что противник будет действовать
неблагоприятным образом, т.е. будет стараться "навредить".
Вернемся к примеру 5.1 и определим нижнюю и верхнюю цену игры в задаче
"Поиск".
Рассмотрим платежную матрицу:
-1 1
1 -1 .
При выборе стратегии A1 (первая строка матрицы) минимальный выигрыш
равен 1 = min (-1; 1) = -1 и соответствует стратегии B1 игрока B. При выборе
стратегии A2 (вторая строка матрицы) минимальный выигрыш равен 2 = min (-1;
1) = -1, он достигается при использовании игроком B стратегии B2.
Гарантируя себе максимальный выигрыш при любой стратегии игрока B, т.е.
нижнюю цену игры = max ( 1; 2) = max (-1; -1) = -1, игрок А может выбрать
любую стратегию: A1 или A2, т.е. любая его стратегия является максиминной.
Выбирая стратегию B1 (первый столбец), игрок B понимает, что игрок А
ответит стратегией A2, чтобы максимизировать свой выигрыш (проигрыш игрока
B). Следовательно, максимальный проигрыш игрока B при выборе им стратегии
B1равен 1 = max (-1; 1) = 1.
Аналогично, максимальный проигрыш игрока B при выборе им стратегии
B2(второй столбец) равен 2 = max (1; -1) = 1.
Таким образом, при любой стратегии игрока А гарантированный минимальный
проигрыш игрока B равен = min ( 1, 2) = min (1, 1) = 1 - верхней цене игры.
Любая стратегия игрока B является минимаксной.
Результаты наших рассуждений сведем в таблицу 5.2, которая представляет
собой платежную матрицу с дополнительной строкой j и столбцом i. На их
пересечении будем записывать верхнюю и нижнюю цену игры.
A=
Таблица 5.2 - Платежная матрица игры "Поиск" с дополнительными строкой и
столбцом
A1
A2
j
B1
B2
i
-1
1
1
-1
-1
-1
1
1
Таким образом, в рассматриваемой задаче нижняя и верхняя цены игры
различны: ≠ .
Если же верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней
и нижней цены v = = называется чистой ценой игры, или просто ценой игры.
Максиминная и минимаксная стратегии, соответствующие цене игры,
являютсяоптимальными стратегиями, а их совокупность – оптимальным
решением, или просто решением игры.
В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный (не
зависящий от поведения игрока В) выигрыш v, а игрок В добивается
минимального гарантированного (не зависящего от поведения игрока А)
проигрыша v. Говорят, что решение игры обладает устойчивостью, т.е., если
один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не
может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.
Пара чистых стратегий Ai и Bj дает оптимальное решение игры тогда и только
тогда, когда соответствующий ей элемент aij является одновременно наибольшим
в своем столбце и наименьшим в своей строке.
Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой (по
аналогии с поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном
направлении и вниз - в другом).
Таким образом, для игры с седловой точкой нахождение решения
заключается в выборе максиминной и минимаксной стратегии, которые и
являются оптимальными.
Далее рассмотрим пример.
Пример 5.2. Определите нижнюю и верхнюю цену игры, которая задана
следующей платежной матрицей:
A=
0,5 0,6 0,8
0,9 0,7 0,8
0,7 0,6 0,6
.
Решение.
Выясним, имеет ли игра седловую точку. Решение удобно проводить в
таблице. Таблица 5.3 включает платежную матрицу игры, а также
дополнительные строку и столбец, которые иллюстрируют процесс поиска
оптимальных стратегий.
Таблица 5.3 - Платежная матрица примера 5.2 с дополнительными строкой и
столбцом
A1
A2
A3
j
B1
B2
B3
i
0,5
0,9
0,7
0,9
0,6
0,7
0,6
0,7
0,8
0,8
0,6
0,8
0,5
0,7
0,6
= = 0,7
Приведем некоторые пояснения.
Столбец i заполнен на основе анализа строк матрицы (стратегии игрока A):
=
0,5;
1
2 = 0,7; 3 = 0,6 - минимальные числа в строках.
Аналогично, 1 = 0,9; 2 = 0,7; 3 = 0,8 - максимальные числа в столбцах.
Нижняя цена игры
столбце i).
=
i
= max (0,5; 0,7; 0,6) = 0,7 (наибольший элемент в
Верхняя цена игры =
j = min (0,9; 0,7; 0,8) = 0,7 (наименьший элемент в
строке j). Эти значения равны, т.е. = , и достигаются на паре стратегий (A2,B2).
Цена игры v = 0,7.
Таким образом, оптимальное решение состоит в выборе игроками А и В
стратегий А2 и В2 соответственно.
Пример 5.2 наглядно демонстрирует свойство устойчивости решения. Можно
убедиться, что если любой из игроков придерживается своей оптимальной
стратегии, то другому заведомо невыгодно отступать от своей оптимальной
стратегии.
3. Решение игр в смешанных стратегиях
Итак, для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе
максиминной и минимаксной стратегий, которые и являются оптимальными.
Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает
оптимального решения игры. Например, в игре "Поиск" (пример 5.1) седловая
точка отсутствует.
В этом случае можно получить оптимальное решение, чередуя чистые
стратегии.
Смешанной стратегией игрока А называется применение чистых стратегий А1,
А2, …, Аm c вероятностями u1, u2, …, um.
Обычно смешанную стратегию первого игрока обозначают как вектор: U = (u 1,
u2, …, um), а стратегию второго игрока как вектор: Z = (z1, z2, …, zm).
Очевидно, что:
ui ≥ 0,
,
zj ≥ 0,
,
ui = 1,
zj = 1.
Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и задавать
вектором, в котором единица соответствует чистой стратегии.
Оптимальное решение игры (или просто - решение игры) – это пара
оптимальных стратегий U*, Z*, в общем случае смешанных, обладающих
следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной
стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш,
соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры v. Цена игры
удовлетворяет неравенству:
≤v≤ ,
Справедлива следующая основная теорема теории игр.
Теорема Неймана. Каждая конечная игра с нулевой суммой имеет решение
в смешанных стратегиях. .
Пусть U* = ( , , ..., ) и Z* = ( , , ..., ) - пара оптимальных стратегий. Если
чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с вероятностью,
отличной от нуля, то она называется активной.
Теорема об активных стратегиях. Если один из игроков придерживается
своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным
и равным цене игры v, если второй игрок не выходит за пределы своих
активных стратегий..
Эта теорема имеет большое практическое значение - она дает конкретные
модели для нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седловой точки.
Рассмотрим игру размера 2x2.
Такая игра является простейшим случаем конечной игры. Если такая игра
имеет седловую точку, то оптимальное решение - это пара чистых стратегий,
соответствующих этой точке.
Для игры, в которой отсутствует седловая точка в соответствии с теоремой
Неймана, оптимальное решение существует и определяется парой смешанных
стратегий U* = ( , ) и Z* = ( , ).
Для того чтобы их найти, воспользуемся теоремой об активных стратегиях.
Если игрок А придерживается своей оптимальной стратегии U*, то его средний
выигрыш будет равен цене игры v, какой бы активной стратегией ни пользовался
игрок В. Для игры 2x2 любая чистая стратегия противника является активной, если
отсутствует седловая точка.
Выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) – случайная величина,
математическое ожидание которой является ценой игры. Поэтому средний
выигрыш игрока А (при использовании оптимальной стратегии) будет равен v и
для первой, и для второй стратегии противника.
Пусть игра задача платежной матрицей:
A=
a11 a12
a21 a22
.
Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную
стратегию U* = ( , ), а игрок В – чистую стратегию B1 (что соответствует первому
столбцу платежной матрицы), равен цене игры v, т.е.:
a11 + a21 = v.
Тот же средний выигрыш получает игрок А, если противник применяет
стратегию B2, т.е. a12 + a22 = v. Учитывая, что + = 1, получим систему
уравнений:
a11 + a21 = v,
a12 + a22 = v,
+ = 1.
(5.1)
Решая систему(5.1), можно найти оптимальную стратегию U* и цену игры v.
Аналогичная система уравнений может быть получена для определения
оптимальной стратегии игрока В:
a11 + a12 = v,
a21 + a22 = v,
+ = 1.
(5.2)
Далее вернемся к решению игры "Поиск" (пример 5.1).
Игра задана платежной матрицей без седловой точки:
-1 1
= -1,
= 1.
1 -1 ,
Будем искать решение в смешанных стратегиях. Составим систему уравнений
(5.1) для нахождения стратегий игрока А:
A=
-
Выразим
уравнения:
+ = v,
- = v,
+ = 1.
из третьего уравнения:
-
= 1 -
. Сделаем подстановку в другие
+ 1 - = v,
- 1 + = v,
преобразуя, получим:
2
2
+ v = 1,
- v = 1,
сложим уравнения:
4 = 2, откуда = 1/2, v = 0, = 1/2.
Система уравнений для игрока B (система (5.2)):
- + = 0,
- = 0,
+ = 1,
откуда: = = 1/2.
Таким образом, оптимальная стратегия каждого игрока состоит в том, чтобы
чередовать свои чистые стратегии, выбирая каждое из убежищ с вероятностью
1/2, при этом гарантированный средний выигрыш каждого из игроков равен нулю.
Далее рассчитаем еще один пример.
Пример 5.3. Найдите решение игры, заданной платежной матрицей:
A=
2 5
6 4
.
Решение.
Прежде всего, проверим наличие седловой точки. Для этого найдем
минимальные элементы в каждой из строк (2 и 4) и максимальные в каждом из
столбцов (6 и 5). Таким образом, нижняя цена игры = max (2, 4) = 4, верхняя
цена игры = min (6, 5) = 5. Поскольку ≠ , решение игры следует искать в
смешанных стратегиях, при этом цена игры находится в следующих пределах: 4 ≤
v ≤ 5.
Предположим, что для игрока А стратегия задается вектором U = (u 1, u2).
Тогда на основании теоремы об активных стратегиях можно записать систему
уравнений:
2
5
+ 6 = v,
+ 4 = v,
+ = 1.
Решая систему из трех уравнений с тремя неизвестными, получим: = 2/5,
= 3/5, v = 22/5.
Теперь найдем оптимальную стратегию игрока В. Пусть стратегия данного
игрока задается вектором Z = (z1, z2). Система уравнений (5.2), основанная на
использовании теоремы об активных стратегиях, запишется следующим образом:
2 + 5 = 22/5,
6 + 4 = 22/5,
+ = 1.
Решая систему, состоящую из любых двух уравнений, взятых из последней
системы, получим = 1/5, = 4/5.
Следовательно, решением игры примера 5.3 являются смешанные стратегии:
U* = (2/5, 3/5), Z* = (1/5, 4/5), цена игры v = 22/5.
4. Геометрическая интерпретация игр
Решение игр размера 2xn или nx2 допускает наглядную геометрическую
интерпретацию. Такие игры можно решать графически.
Дадим геометрическую интерпретацию игры, рассмотренной выше в рамках
примера 5.3.
На плоскости XY по оси абсцисс отложим единичный отрезок A 1A2 (рисунок
5.1). Каждой точке отрезка поставим в соответствие некоторую смешанную
стратегию U = (u1, u2). Причем расстояние от некоторой промежуточной точки U до
правого конца этого отрезка – это вероятность u1 выбора стратегии A1, расстояние
до левого конца - вероятность u2 выбора стратегии A2. Точка А1 соответствует
чистой стратегии А1, точка А2 – чистой стратегии А2.
В точках А1 и А2 восстановим перпендикуляры и будем откладывать на них
выигрыши игроков. На первом перпендикуляре (совпадающем с осью OY)
покажем выигрыш игрока А при использовании стратегии А1, на втором – при
использовании стратегии A2. Если игрок А применяет стратегию A1, то его
выигрыш при стратегии B1 игрока B равен 2, а при стратегии B2 он равен 5.
Числам 2 и 5 на оси OY соответствуют точки B1 и B2. Аналогично на втором
перпендикуляре найдем точки B'1 и B'2 (выигрыши 6 и 4).
Соединяя между собой точки B1 и B'1, B2 и B'2, получим две прямые,
расстояние от которых до оси OX определяет средний выигрыш при любом
сочетании соответствующих стратегий.
Например, расстояние от любой точки отрезка B1B'1 до оси OX определяет
средний выигрыш игрока A при любом сочетании стратегий A1 и A2 (с
вероятностями u1 и u2) и стратегии B1 игрока B.
Рисунок 5.1 – Геометрическая интерпретация игры примера 5.3 (нахождение
оптимальной стратегии игрока А)
Ординаты точек, принадлежащих ломаной B1MB'2 определяют минимальный
выигрыш игрока A при использовании им любых смешанных стратегий. Эта
минимальная величина является наибольшей в точке М, следовательно, этой
точке соответствует оптимальная стратегия U* = ( , ), а ее ордината равна цене
игры v.
Координаты точки M найдем, как координаты точки пересечения прямых
B1B'1 и B2B'2.
Для этого необходимо знать уравнения прямых. Составить такие уравнения
можно, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две точки:
Составим уравнения прямых для нашей задачи.
Прямая B1B'1:
=
или y = 4x + 2.
=
или y = -x + 5.
'
Прямая B2B 2:
Получим систему:
y = 4x + 2,
y = -x + 5.
Решим ее:
4x + 2 = -x + 5,
5x = 3,
x = 3/5, y = -3/5 + 5 = 22/5.
*
Таким образом, U = (2/5, 3/5), v = 22/5.
Аналогично решается задача по нахождению оптимальной стратегии игрока B.
Разница состоит в том, что находится точка, сводящая к минимуму средний
проигрыш, поэтому на рисунке 5.2 рассматривается ломаная A2MA'1.
Рисунок 5.2 – Геометрическая интерпретация игры примера 5.3 (нахождение
оптимальной стратегии игрока B)
Найдем координаты точки М.
Прямая A1A'1:
=
, откуда y = 3x + 2.
=
, откуда y = -2x + 6,
'
Прямая A2A 2:
Таким образом,
= 1/5,
3x + 2 = -2x + 6,
5x = 4,
x = 4/5.
= 4/5.
В общем случае схема решения игры 2xn или nx2 графическим методом
состоит в следующем.
1. Строят прямые, соответствующие стратегиям второго (первого) игрока.
2. Находят две стратегии второго (первого) игрока, которым соответствуют
две прямые, пересекающиеся в точке с максимальной (минимальной) ординатой.
Эти стратегии являются активными в оптимальной смешанной стратегии второго
(первого) игрока.
3. Находят координаты точки пересечения, тем самым определяя
оптимальную стратегию первого (второго) игрока и цену игры.
4. Оптимальную стратегию другого игрока находят, решая систему уравнений,
включающую его активные стратегии.
Пример 5.4. Найдите решение игры, заданной матрицей:
A=
Решение.
7 9 8
10 6 9
.
Сначала проверим наличие седловой точки: = 7, = 9. Поскольку нижняя и
верхняя цены игры не совпадают, седловая точка отсутствует, и решение следует
искать в смешанных стратегиях.
Выполним построения на плоскости XY в соответствии с методикой,
приведенной выше. Результат представлен на рисунке 5.3.
Рисунок 5.3 – Геометрическая интерпретация игры примера 5.4
Точка М находится на пересечении отрезков, соответствующих стратегиям
B1 и B2 второго игрока.
Найдем ее координаты:
B1B'1:
=
, откуда y = 3x + 7,
=
, откуда y = -3x + 9,
'
B2B 2:
3x + 7 = -3x + 9,
6x = 2,
x = 1/3, т.е. = 2/3, = 1/3,
цена игры v = 8.
Активными стратегиями игрока B являются стратегии B1 и B2,
следовательно, = 0.
Используя выражение (5.2), вытекающее из теоремы об активных стратегиях,
составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
7 + 9 = 8,
+ = 1.
Второе уравнение умножим на семь и вычтем из первого:
2
= 1,
= 1/2,
= 1/2.
*
*
Ответ: U = (2/3, 1/3); Z = (1/2, 1/2, 0); v = 8.
Рассмотрим очередной пример.
Пример 5.5. Найдите решение игры, заданной матрицей:
A=
6
4
2
1
5
6
7
8 .
Решение.
Проверим наличие седловой точки.
= max (5, 4, 2, 1) = 5,
= min (6, 8) = 6.
Седловая точка отсутствует, поэтому решение следует искать в смешанных
стратегиях.
Выполним построения на плоскости XY в соответствии с методикой,
приведенной выше. Результат представлен на рисунке 5.4.
Рисунок 5.4 – Геометрическая интерпретация игры примера 5.5
В данном случае необходимо отыскать точку, соответствующую
минимальному гарантированному проигрышу. Такая точка (точка М) находится на
пересечении отрезков, соответствующих стратегиям А1 и А4 игрока А.
Найдем координаты:
A1A'1:
=
'
A4A 4:
, откуда y = -x + 6,
, откуда y = 7x + 1,
=
7x + 1 = -x + 6,
8x = 5,
x = 5/8,
= 3/8, = 5/8, v = 43/8.
Активными стратегиями игрока A являются стратегии A1 и A4,
следовательно, = = 0.
Используя выражение (5.1), вытекающее из теоремы об активных стратегиях,
составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
6
+ = 43/8,
+ = 1.
Вычтем из первого уравнения второе:
5
= 35/8,
= 7/8, = 1/8.
*
*
Ответ: U = (7/8, 0, 0, 1/8); Z = (3/8, 5/8); v = 43/8.
Решим еще одну задачу.
Пример 5.6. Предприятие может выпускать два вида продукции (A1 и А2),
получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может оказаться в
одном из четырех состояний (В1, В2, В3 и В4). Задана матрица, ее элементы
характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-го вида
продукции и j-ом состоянии спроса (таблица 5.4).
Определите
оптимальные
пропорции
в
выпускаемой
продукции,
гарантирующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса, считая
его неопределенным.
Таблица 5.4 - Платежная матрица примера 5.6
A1
A2
B1
B2
B3
B4
3
9
3
10
6
4
8
2
Решение.
Задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия А против
спроса В задана платежной матрицей, представленной в таблице 5.4.
Определим верхнюю и нижнюю цены игры: = 3, = 6. Как видно, седловая
точка отсутствует, и решение нужно искать в смешанных стратегиях игроков: U* =
( , ), Z* = ( , , , ).
Решим игру, используя геометрический метод. Соответствующие построения
приведены на рисунке 5.5.
Рисунок 5.5 – Геометрическое решение игры примера 5.6
Точка M – точка максимального гарантированного выигрыша. Она находится
на пересечении отрезков, соответствующих состояниям спроса B1 и B3.
Найдем координаты точки M.
B1B'1:
=
, откуда y = 6x + 3,
=
, откуда y = -2x + 6,
'
B3B 3:
6x + 3 = -2x + 6,
8x = 3,
x = 3/8,
y = 21/4.
Таким образом, получим:
= 5/8, = 3/8, v = 21/4.
Полученное решение интерпретируется следующим образом. Продукция
А1должна составлять 62,5% (5/8) от общего объема выпущенной продукции,
продукция А2 – 37,5% (3/8). Это гарантирует предприятию среднюю прибыль в
размере 5,25 (21/4) при любом характере спроса.
Для полного решения игры осталось отыскать оптимальную стратегию спроса.
Активными стратегиями игрока B (спроса) являются стратегии B1 и B3,
следовательно, = 0, = 0.
Используя выражение (5.2), вытекающее из теоремы об активных стратегиях,
составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
3 + 6 = 21/4,
+ = 1.
Второе уравнение умножим на три и вычтем из первого:
3 = 9/4,
= 3/4, = 1/4.
*
*
Ответ: U = (5/8, 3/8); Z = (1/4, 0, 3/4, 0); v = 21/4.
Еще раз обратим внимание на рисунок 5.5 и платежную матрицу,
представленную в таблице 5.4.
Стратегия B2 заведомо невыгодна для игрока В по сравнению со стратегией
B1. На рисунке 5.5 все точки отрезка B2B'2 лежат выше отрезка B1B'1,
следовательно, заранее понятно, что стратегия B2 не входит в оптимальное
решение.
Таким образом, столбец B2 может быть исключен из рассмотрения до начала
решения задачи, поскольку соответствующая стратегия заведомо невыгодна для
игрока B по сравнению со стратегией B2.
Итак, исходная игра может быть упрощена путем исключения из платежной
матрицы строк и столбцов, соответствующих заведомо невыгодным стратегиям.
Такими стратегиями для игрока А являются те, которым соответствуют строки
с элементами, заведомо меньшими по сравнению с элементами како-либо другой
строки.
Для игрока В невыгодным стратегиям соответствуют столбцы с элементами,
заведомо бoльшими по сравнению с элементами какого-либо другого столбца.
5. Приведение парной игры к задаче линейного программирования
Игра размера mxn не имеет наглядной геометрической интерпретации. Ее
решение достаточно трудоемко, но принципиальных трудностей не имеет,
поскольку может быть сведено к решению задаче линейного программирования.
Наряду с приводимыми выше теоремой Неймана и теоремой об активных
стратегиях справедлива следующая терема теории игр.
Теорема. Для того чтобы число v было ценой игры, а U* и Z*оптимальными стратегиями, необходимо и достаточно выполнение
неравенств:
aij ≥ v,
,
aij ≤ v,
.
Рассмотрим игру mxn, определяемую матрицей:
A=
a11 a12
a21 a22
am1 am2
... a1n
... a2n
...
... amn
.
Как и ранее, игрок A обладает стратегиями A1, A2, ..., Am, игрок В –
стратегиями B1, B2, …, Bn. Требуется определить оптимальные стратегии игроков
U* и Z*.
Рассмотрим оптимальную стратегию U* игрока A.
Согласно теореме, приведенной выше, справедливо следующее утверждение.
Если игрок А применяет смешанную стратегию U* = ( , , ..., ) против чистой
стратегии Bj игрока В, то он получает средний выигрыш или математическое
ожидание выигрыша aj = a1j + a2j + ... + amj ,
.
*
Для оптимальной стратегии U все средние выигрыши не меньше цены игры v,
поэтому получаем систему неравенств:
a11 + a21
a12 + a22
a1n + a2n
+ ... + am1
+ ... + am2
...
+ ... + amn
≥ v,
≥ v,
(5.3)
≥ v.
Предположим для определенности, что v > 0.
Этого всегда можно достигнуть благодаря тому, что прибавление ко всем
элементам матрицы А одного и того же постоянного числа С не приводит к
изменению оптимальных стратегий, а только лишь увеличивает цену игры на С.
Каждое из неравенств разделим на число v (v > 0), а также введем новые
переменные: y1 = / v, y2 = / v, ..., ym = / v.
Тогда система (5.3) примет вид:
a11y1 + a21y2 + ... + am1ym≥ 1,
a12y1 + a22y2 + ... + am2ym ≥ 1,
...
a1ny1 + a2ny2 + ... + amnym≥ 1.
(5.4)
При этом yi ≥ 0,
.
Далее рассмотрим равенство + + ... + = 1.
Разделим неравенство на число v (v ≠ 0). Получим:
y1 + y2 + ... + ym = 1/v.
(5.5)
Вспомним, что цель игрока А – максимизировать свой гарантированный
выигрыш, т.е. цену игры v. Максимизация цены игры v эквивалентна минимизации
величины 1/v, поэтому задача может быть сформулирована следующим
образом:определить значения переменных yi ≥ 0, i = 1, 2, …, m, так, чтобы
они удовлетворяли линейным ограничениям (5.4) и при этом линейная
функция (5.5) обращалась в минимум.
Перед нами задача линейного программирования.
Решая задачу (5.4) – (5.5), можно найти оптимальную стратегию U*.
Аналогичные рассуждения выполним и для игрока В.
Обозначив xj = / v,
, в результате получим:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn≤ 1,
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ 1,
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ 1.
(5.6)
x1 + x2 + ... + xn = 1/v.
(5.7)
Таким образом, задача определения оптимальной стратегии игрока В
сводится к следующему: определить значения переменных xj ≥ 0, j = 1, 2, …, n,
так, чтобы они удовлетворяли линейным ограничениям (5.6) и при этом
линейная функция (5.7) обращалась в максимум.
Решая задачу линейного
оптимальную стратегию Z*.
Вновь
приведем
программирования.
программирования
формулировки
(5.6)
полученных
= y1 + y2 + ... + ym → min;
a11y1 + a21y2 + ... + am1ym≥ 1,
a12y1 + a22y2 + ... + am2ym ≥ 1,
...
a1ny1 + a2ny2 + ... + amnym≥ 1;
–
(5.7),
задач
получим
линейного
= x1 + x2 + ... + xn → max;
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn≤ 1,
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ 1,
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ 1;
yi ≥ 0,
.
xj ≥ 0,
.
Очевидно, что задачи (5.4) – (5.5) и (5.6) – (5.7) представляют собой пару
взаимно двойственных задач линейного программирования. Их решение
позволяет решить соответствующую игру.
При этом:
;
=v∙
=v∙
,
;
,
.
(5.8)
Таким образом, процесс нахождения решения игры с использованием
методов линейного программирования включает следующие этапы.
1. Формулировка пары двойственных задач линейного программирования,
эквивалентных заданной парной игре.
2. Определение оптимальных планов двойственных задач.
3. Нахождение решения игры с использованием соотношений между
оптимальными планами двойственных задач и оптимальными стратегиями и
ценой игры (формулы (5.8)).
Пример 5.7. Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию, которую
может сразу отправить потребителю (стратегия В1), отправить на склад для
хранения (стратегия В2) или подвергнуть дополнительной обработке (стратегия
В3) для длительного хранения.
Потребитель может приобрести продукцию немедленно (стратегия A1), в
течение небольшого времени (стратегия A2), по истечении длительного периода
времени (стратегия A3).
В случае стратегий B2 и B3 предприятие несет дополнительные затраты на
хранение и переработку продукции, которые не требуются для B1, однако при
B1следует учесть возможные убытки из-за порчи продукции, если потребитель
выберет стратегии А2 или А3.
Определите оптимальные пропорции продукции для применения стратегий B 1,
B2 и B3, руководствуясь «минимаксным критерием» (гарантированный средний
уровень затрат) при матрице затрат, представленной в таблице 5.5.
Таблица 5.5 - Платежная матрица примера 5.7
A1
A2
A3
B1
B2
B3
2
8
12
5
6
8
10
8
6
Решение.
Проверим игру на наличие седловой точки: = 6, = 8. Седловая точка
отсутствует. Упростить игру, путем исключения заведомо невыгодных стратегий
не удается.
Составим пару двойственных задач линейного программирования.
= y1 + y2 + y3 → min;
2y1 + 8y2 + 12y3 ≥ 1,
5y1 + 6y2 + 8y3 ≥ 1,
10y1 + 8y2 + 6y3 ≥ 1;
= x1 + x2 + x3 → max;
2x1 + 5x2 + 10x3 ≤ 1,
8x1 + 6x2 + 8x3 ≤ 1,
12x1 + 8x2 + 6x3 ≤ 1;
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0.
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.
Методы решения задач линейного программирования обсуждались нами в
разделе "Линейное программирование".
Решая первую из задач, получим:
= 0,04;
= 0;
= 0,1;
= 0,14.
Решение второй задачи дает следующие результаты:
= 0;
= 0,08;
= 0,06;
= 0,14.
Используя соотношения (5.8) найдем решение игры:
v=
=
≈ 7,14;
= 50/7 ∙ 0,04 = 4/14 ≈ 0,29;
= 50/7 ∙ 0 = 0;
= 50/7 ∙ 0,1 = 10/14 ≈ 0,71;
= 50/7 ∙ 0 = 0;
= 50/7 ∙ 0,08 = 8/14 ≈ 0,57;
= 50/7 ∙ 0,0 = /14 ≈ 0,43.
Таким образом, чтобы гарантировать себе среднюю величину затрат на
уровне 7,14 независимо от поведения потребителей, предприятию следует около
57% продукции отправлять на склад для хранения и около 43% продукции
подвергать дополнительной обработке.
6. Общая схема решения парных игр с нулевой суммой
При решении произвольной конечной игры размера mxn рекомендуется
придерживаться следующей схемы.
1. Исключить из платежной матрицы заведомо невыгодные стратегии.
2. Определить верхнюю и нижнюю цены игры и проверить, имеет ли игра
седловую точку. Если седловая точка есть, то соответствующие ей стратегии
игроков будут оптимальными, а цена игры совпадает с верхней (нижней) ценой.
3. Если седловая точка отсутствует, то решение следует искать в смешанных
стратегиях. Игры размера mxn решаются путем сведения к задаче линейного
программирования. Для игр размера 2xn или nx2 возможно геометрическое
решение.
7. Использование альтернативных критериев определения оптимальных
стратегий
В задачах, решаемых на основе использования теории игр, довольно часто в
качестве противника выступает так называемая природа. Природа может
находиться в одном из множества возможных состояний, которое, в принципе,
может быть как конечным, так и бесконечным. Довольно часто в этой ситуации
речь идёт о выборе одной (соответственно, чистой) стратегии, т.е. «повторить
партию», чтобы вести речь о средних выигрышах, невозможно.
Итак, будем считать, что множество состояний природы Bj (
) конечно.
Все возможные состояния известны, не известно только, какое состояние будет
иметь место в условиях, когда планируется реализация принимаемого
управленческого решения.
Будем считать, что множество управленческих решений (планов) Ai также
конечно и равно m.
Как и ранее, исход игры будем определять платёжной матрицей A. Далее
условимся, что в том случае, если элементы aij для игрока представляют собой
выигрыш, полезность будем считать, что A – это игрок, B – природа. И наоборот,
если aij – затраты, потери, то, как таковой, игрок – это игрок В, природа – игрок А.
Один из критериев, применяемых при решении подобных задач, был
рассмотрен в предыдущих разделах – это максиминный/минимаксный
критерий(называемый также критерием Вальда).
Рассмотрим некоторые альтернативные критерии.
Критерий Лапласа
Данный критерий опирается на «принцип недостаточного основания»,
согласно которому все состояния природы Bj полагаются равновероятными, т.е.
вероятности того, что природа окажется в одном из n своих состояний, одинаковы
и равны:
.
Если для принимающего решение элементы матрицы aij платёжной матрицы
– выигрыши, то оптимальной считается та стратегия Ai, для которой среднее
арифметическое возможных выигрышей максимально, т.е. критерий:
(5.9)
.
Если принимающий решение является игроком B, то критерий становится
таким:
(5.10)
.
Критерий Сэвиджа
Введём понятие матрицы рисков R. Это матрица, имеющая размерность
mxn. Её элементы rij определяются по следующей формуле (если A – игрок, В природа):
(5.11)
rij = - aij,
где – максимальный элемент j-ом столбце платёжной матрицы.
Для
иллюстрации
порядка
формирования
матрицы
рисков
используем пример. Пусть задана следующая платёжная матрица:
4 8 3
A= 9 5 2
6 4 8 .
Если решение принимает игрок А, то соответствующая матрица рисков
такова:
5 0 5
R= 0 3 6
3 4 0 .
Если же человек, принимающий решение, – игрок В, т.е. aij – потери, то
элементы матрицы рисков определяются так:
rij = aij - ,
(5.12)
где – минимальный элемент в i-ой строке платёжной матрицы.
Вернемся к примеру, приведенному выше. В случае, если принимающий
решение - игрок B, матрица рисков будет такой:
1 5 0
R= 7 3 0
2 0 4 .
Критерий Сэвиджа использует матрицу рисков R и рекомендует в условиях
неопределенности выбирать ту стратегию, при которой величина риска принимает
наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации, т.е.:
(5.13)
.
По сути, это тот же минимаксный критерий, только по отношению к матрице
рисков, а не к платежной матрице.
Если принимающий решение – игрок B, критерий становится таким:
(5.14)
.
Критерий Гурвица
Данный критерий основан на использовании так называемого коэффициента
доверия. Обозначим его и предположим, что природа окажется в самом
выгодном состоянии с вероятностью и в самом невыгодном состоянии с
вероятностью 1- .
Критерий Гурвица ориентирован на установление баланса между случаями
крайнего пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих исходов.
Если принимающий решение – игрок А, то:
.
(5.15)
Если принимающий решение – игрок B, то:
.
(5.16)
Заметим, что, если коэффициент доверия равен нулю, критерий Гурвица
превращается в "классический" минимакс, а при =1 получаем правило "максимум
из максимумов" - выбор лучшего из лучших исходов.
Пример 5.8. Телефонная компания должна определить уровень своих
возможностей по предоставлению услуг так, чтобы удовлетворить спрос своих
клиентов на планируемый период.
Для каждого уровня спроса существуют различные уровни возможностей
телефонной компании (например, при вводе нового тарифа). Имеются четыре
варианта спроса на телефонные услуги, что равнозначно наличию четырёх
состояний природы. Известны также четыре варианта предоставления
телефонных услуг. Прибыль для каждого сочетания «управленческое решение –
состояние природы» приведена в таблице 5.6.
Таблица 5.6 - Платежная матрица примера 5.8
A1
A2
A3
A4
B1
B2
B3
B4
23
21
5
18
20
24
12
22
12
22
14
9
8
5
9
10
Необходимо определить оптимальную стратегию телефонной компании,
используя различные критерии.
Решение.
Максиминный критерий (критерий Вальда).
В данном случае обычным образом определяем нижнюю цену игры: =9.
Оптимальная стратегия - A4.
Критерий Лапласа.
Необходимо определить среднее арифметическое по каждой из строк
платежной матрицы, а затем выбрать максимальное значение (критерий (5.9)). В
результате расчетов получим:
для стратегии A1: 15,75 ;
для стратегии A2: 18 ;
для стратегии A3: 10 ;
для стратегии A4: 14,75 .
Оптимальная стратегия по критерию Лапласа - A2.
Критерий Сэвиджа.
Сначала сформируем матрицу рисков R. Для этого воспользуемся
соотношением (5.11), т.е. будем вычитать каждый элемент платежной матрицы из
максимального элемента соответствующего столбца.
В результате получим следующую матрицу рисков:
0 4 10 2
2 0 0 5
R=
18 12 8 1
5 2 13 0 .
Вычисляя максимум в каждой строке, получим:
для стратегии A1: 10 ;
для стратегии A2: 5 ;
для стратегии A3: 18 ;
для стратегии A4: 13 .
Выбираем минимум. Таким образом, по критерию Сэвиджа оптимальной
является стратегия A2.
Критерий Гурвица.
Определение оптимальной стратегии по критерию Гурвица предполагает
установление коэффициента доверия. Примем его равным 0,5 и найдем
оптимальную стратегию для данного значения. Используя критерий (5.15), для
каждой из строк платежной матрицы определим значение выражения в
квадратных скобках:
для стратегии A1: 15,5 ;
для стратегии A2: 14,5 ;
для стратегии A3: 9,5 ;
для стратегии A4: 15,5 .
Таким образом, оптимальными стратегиями по критерию Гурвица являются
две стратегии - A1 и A4.
Заметим, что такое решение было получено при =0,5. При иных значениях
коэффициента доверия оптимальное решение может быть другим.
Эконометрические модели
1. Основные понятия корреляционно-регрессионного анализа.
2. Линейная парная регрессия.
3. Коэффициент линейной корреляции.
4. Множественная регрессия.
5. Сравнение коэффициентов регрессии.
6. Коэффициент множественной корреляции.
7. Коэффициент частной корреляции.
8. Оценка параметров нелинейной регрессии.
9. Индекс корреляции.
10. Проблема мультиколлинеарности.
11. Проверка адекватности модели регрессии.
12. Построение точечных и интервальных прогнозов.
Приложение А. Значения критерия Дарбина-Уотсона.
Приложение Б. Критические границы отношения R/S.
Приложение В. Процентные точки распределения Стьюдента.
Эконометрика
– наука, изучающая количественные взаимосвязи
экономических объектов и процессов при помощи математических и
статистических методов и моделей. Основная задача эконометрии – построение
количественно определенных экономико-математических моделей, разработка
методов определения их параметров по статистическим данным и анализ их
свойств. Наиболее часто используемым математическим аппаратом решения
задач данного класса служат методы корреляционно-регрессионного анализа.
1. Основные понятия корреляционно-регрессионного анализа
Понятие корреляции появилось в середине XIX века в работах английских
статистиков Ф. Гальтона и К. Пирсона. Этот термин произошел от латинского
"correlatio" - соотношение, взаимосвязь.
Понятие регрессии (латинское "regressio" - движение назад) также введено
Ф. Гальтоном, который, изучая связь между ростом родителей и их детей,
обнаружил явление "регрессии к среднему" - рост детей очень высоких родителей
имел тенденцию быть ближе к средней величине.
Теория и методы корреляционного анализа используются для выявления
связи между случайными переменными и оценки ее тесноты.
Основной задачей регрессионного анализа является установление формы и
изучение зависимости между переменными.
В общем случае две величины могут быть связаны функциональной
зависимостью, либо зависимостью другого рода, называемой статистической,
либо быть независимыми.
Статистической называется зависимость, при которой изменение одной из
величин влечет изменение распределения другой.
Статистическая зависимость, при которой изменение одной из величин влечет
изменение среднего значения другой, называется корреляционной.
Корреляционные зависимости занимают промежуточное положение между
функциональной зависимостью и полной независимостью переменных.
Между величинами, характеризующими экономические явления, в
большинстве случаев существуют зависимости, отличные от функциональных.
Действительно, в экономике закономерности не проявляются также точно и
неизменно, как, например, в физике, химии или астрономии.
Пусть, например, мы рассматриваем зависимость величины Y от величины x –
y(x).
Невозможность выявления строгой связи между двумя переменными
объясняется тем, что значение зависимой переменной Y определяется не только
значением переменной x, но и другими (неконтролируемыми или неучтенными)
факторами, а также тем, что измерение значений переменных неизбежно
сопровождается некоторыми случайными ошибками.
Вследствие этого корреляционный анализ широко используется при
установлении взаимосвязи экономических показателей.
Итак, если с увеличением x значение зависимой переменной Y в среднем
увеличивается, то такая зависимость называется прямой или положительной.
Если среднее значение Y при увеличении x уменьшается, имеет место
отрицательная или обратная корреляция.
Если с изменением x значения Y в среднем не изменяются, то говорят, что
корреляция – нулевая.
Часто при исследовании взаимосвязи между какими-либо показателями,
представляют изучаемый объект в виде так называемого "черного
(кибернетического) ящика".
Самый простой случай – изучение связи между одной переменной x, которую
называют фактором (входной переменной, независимой переменной), и
переменной
Y,
которую
называют откликом (реакцией, зависимой
переменной). Ситуации соответствует рисунок 6.1.
В более общем случае итогом функционирования системы является целый
набор результирующих величин Ys (
). При этом значения откликов Ys
определяются, с одной стороны, совокупностью факторов xj (
), а , с другой
стороны, набором возмущений (случайных, неконтролируемых
xвi (
). Такую ситуацию иллюстрирует рисунок 6.2.
Рисунок 6.1 – Представление исследуемой
системы в виде "черного ящика"
(один фактор, один отклик)
факторов)
Рисунок 6.2 – Представление исследуемой
системы в виде "черного ящика"
(общий случай)
Собственно говоря, на протяжении столетий ученые (особенно,
естествоиспытатели) используют подобные приемы, т.е. наблюдают, что
произойдет с явлением, процессом (с откликом Y), если изменять значения
влияющих на процесс факторов (переменных x).
Корреляционным полем называется множество точек {Xi, Yi} на плоскости
XY (рисунки 6.3 - 6.4).
Рисунок 6.3 – Пример корреляционного поля
(положительная корреляция)
Рисунок 6.4 – Пример корреляционного поля
(отрицательная корреляция)
Если точки корреляционного поля образуют эллипс, главная диагональ
которого имеет положительный угол наклона ( / ), то имеет место положительная
корреляция (пример подобной ситуации можно видеть на рисунке 6.3).
Если точки корреляционного поля образуют эллипс, главная диагональ
которого имеет отрицательный угол наклона ( \ ), то имеет место отрицательная
корреляция (пример изображен на рисунке 6.4).
Если же в расположении точек нет какой-либо закономерности, то говорят, что
в этом случае наблюдается нулевая корреляция.
2. Линейная парная регрессия
Связь зависимой переменной с одной или несколькими независимыми
переменными описывается с помощью уравнения регрессии:
= f(x1, x2, ..., xm).
Это уравнение показывает, каково будет в среднем значение y, если
переменные x примут конкретные значения.
Если независимая переменная одна, то регрессия называется парной.
Построение уравнения регрессии включает два этапа:
1) определение вида зависимости (этап спецификации);
2) определение коэффициентов регрессии (этап идентификации).
Предположим,
на этапе
спецификации
установлено,
что
между
величинами x и y существует линейная зависимость. Реальные значения y будут
отличаться от этой теоретической зависимости.
В общем случае линейное уравнение связи двух переменных, учитывающее
случайные отклонения, можно представить в виде:
y= + x+ ,
(6.1)
где – отклонение от теоретически предполагаемого значения;
и - неизвестные параметры (коэффициенты регрессии).
В уравнении (6.1) можно выделить две части:

систематическую, = + x, где характеризует некоторое среднее
значение y для данного значения x;
 случайную ( ).
Коэффициенты и описывают
вид
зависимости
для
генеральной
совокупности. Так как при выполнении подобных исследований всегда имеют
дело с выборочной совокупностью, то истинные значения параметров и
являются неизвестными, и мы можем говорить лишь об их оценках. Обозначим
эти оценки, соответственно, а и b, тогда уравнение регрессии с оцененными
параметрами будет иметь вид:
(6.2)
i = a + bxi,
где n - объем выборки.
Обозначим через ei отклонение реального значения отклика yi от теоретически
рассчитанного по уравнению i.
Параметры a и b уравнения регрессии чаще всего оцениваются с помощью
метода наименьших квадратов (МНК).
Суть его состоит в том, чтобы зная положение точек на плоскости XY, так
провести линию регрессии, чтобы сумма квадратов отклонений этих точек от
проведенной прямой вдоль оси OY была минимальной.
Математически критерий оценки параметров линейной парной регрессии
записывается так:
Q=
=
=
→ min.
Условие существования экстремума функции – равенство нулю производной:
=-2
(yi - a - bxi) = 0,
=-2
(yi - a - bxi)xi = 0.
Раскрыв скобки и выполнив преобразования, получим систему из двух
уравнений с двумя неизвестными:
na + b xi =
a xi + b
yi,
=
xiyi.
Разделив первое уравнение на n, получим:
a+b = ,
т.е. метод наименьших квадратов дает прямую, проходящую через точку ( , ).
Решая
систему,
получим
расчетные
формулы
для
нахождения
коэффициентов уравнения регрессии:
(6.3)
a= -b .
Заметим, что данные значения могут быть легко получены средствами пакета
Microsoft Excel. Для вычисления коэффициента a используется функция
ОТРЕЗОК, коэффициента b – функция НАКЛОН.
3. Коэффициент линейной корреляции
Величина влияния фактора на исследуемый отклик может быть оценена при
помощи коэффициента линейной парной корреляции, характеризующего
тесноту (силу) линейной связи между двумя переменными.
Коэффициент можно определить по формуле:
(6.4)
.
Коэффициент обладает следующими свойствами:
1) не имеет размерности, следовательно, сопоставим для величин различных
порядков;
2) изменяется в диапазоне от –1 до
1. Положительное значение
свидетельствует о прямой линейной связи, отрицательное – об обратной. Чем
ближе абсолютное значение коэффициента к единице, тем теснее связь.
Считается, что связь достаточно сильная, если коэффициент по абсолютной
величине превышает 0,7, и слабая, если он менее 0,3.
Значение коэффициента легко вычисляется при помощи MS Excel (функция
КОРРЕЛ).
Величина r2 называется коэффициентом детерминации. Он определяет
долю вариации одной из переменных, которая объясняется вариацией другой
переменной.
4. Множественная регрессия
В тех случаях, когда необходимо оценить влияние нескольких факторов на
исследуемую величину, строится уравнение множественной регрессии.
Если связь является линейной, то уравнение линейной множественной
регрессии запишется в виде:
i = a0 + a1xi1 + a2xi2 + ... + amxim,
где m - число учитываемых факторов (независимых переменных),
n - объем выборки.
Рассмотрим случай, когда y зависит от двух переменных – x1 и x2.
Уравнение с оцененными параметрами будет иметь вид:
i = a0 + a1xi1 + a2xi2,
Чтобы определить значения коэффициентов a0, a1 и a2, воспользуемся
методом наименьших квадратов.
Как и ранее, задача формулируется следующим образом:
Q=
=
→ min.
Приравняв частные производные нулю и выполнив преобразования, получим
систему уравнений:
na0 + a1 xi1 + a2 xi2 =
a0 xi1 + a1
yi,
+ a2 xi1xi2 =
a0 xi2 + a1 xi1xi2 + a2
=
yixi1,
yixi2.
Решив систему, можно получить формулы для расчета коэффициентов
уравнения множественной линейной регрессии (a0, a1, a2).
Рассмотрим более общий случай - зависимость переменной y от m факторов.
Обозначим:
A = {aj}, j = 0, 1, 2, ..., m - вектор оценок параметров регрессии;
Y = {yi},
- вектор значений зависимой переменной;
X = {xij},
, j = 0, 1, 2, ..., m - матрица значений независимых переменных;
при этом m - количество независимых переменных, n - объем выборки.
Уравнение регрессии может быть представлено в следующим образом.
Для конкретного yi:
(6.5)
i = a0 + a1xi1 + a2xi2 + ... + amxim,
или в матричном виде:
Y = A ∙ X,
где X =
1 x11 x12
1 x21 x22
1 xn1 xn2
...
...
...
...
x1m
x2m
xnm
.
Обратите внимание на то, что в матрицу X дополнительно введен столбец,
все элементы которого равны 1, т.е. условно полагается, что в уравнении (6.5)
свободный член a0 умножается на фиктивную переменную xi0, принимающую
значение 1 для всех i.
Можно показать, что для общего случая множественной линейной регрессии,
коэффициенты уравнения могут быть определены из следующего соотношения:
A = (Xт∙X)-1∙Xт∙Y.
(6.6)
5. Сравнение коэффициентов регрессии
Допустим, в результате анализа получено следующее уравнение регрессии:
y = 2,4 + 0,8x1 + 3,2x2.
Если величины x1 и x2 являются соизмеримыми, то мы можем сопоставить
влияние факторов x1 и x2 путем непосредственного сравнения соответствующих
коэффициентов. В нашем примере можно сказать, что фактор x2 воздействует
на yв четыре раза сильнее.
В тех случаях, когда x1 и x2 измеряются в разных величинах для сравнения
степени их влияния прибегают к нормированию коэффициентов регрессии и
определяют так называемый бета-коэффициент ( ):
(6.7)
= aj ∙
,
где aj - соответствующий коэффициент уравнения регрессии;
j
,
- среднеквадратическое отклонение значений
переменной xj (m – число учитываемых факторов);
- среднеквадратическое отклонение значений переменной y.
Математически бета-коэффициент показывает, на какую часть величины
среднеквадратического отклонения меняется среднее значение зависимой
переменной
с
изменением
независимой
переменной
на
одно
среднеквадратическое отклонение при фиксированном на постоянном уровне
значении остальных независимых переменных.
Заметим,
что
некоторые
авторы
именуют
бета-коэффициент
стандартизированным коэффициентом регрессии.
Для целей сравнения коэффициентов регрессии (сравнения силы влияния
каждого фактора на отклик) также может быть использован коэффициент
эластичности (Э):
(6.8)
Эj = aj ∙
.
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется
зависимая переменная при изменении соответствующего фактора на один
процент.
6. Коэффициент множественной корреляции
Экономические явления чаще всего адекватно описываются именно
многофакторными моделями. Поэтому возникает необходимость обобщить
рассмотренное выше корреляционное отношение (6.4) на случай нескольких
переменных.
Теснота линейной взаимосвязи между переменной y и рядом переменных xj,
рассматриваемых в целом, может быть определена с помощью коэффициента
множественной корреляции.
Предположим, что переменная y испытывает влияние двух переменных x и z. В этом случае коэффициент множественной корреляции может быть
определен по формуле:
(6.9)
.
где ryx, ryz, rxz - простые коэффициенты линейной парной корреляции,
определенные из соотношения (6.4).
Коэффициент множественной корреляции заключен в пределах 0 ≤ R ≤ 1. Он
не меньше, чем абсолютная величина любого парного или частного
коэффициента корреляции с таким же первичным индексом.
С помощью множественного коэффициента (по мере приближения R к 1)
делается вывод о тесноте взаимосвязи, но не о ее направлении. Величина R2,
называемая множественным коэффициентом детерминации, показывает,
какую долю вариации исследуемой переменной (y) объясняет вариация
остальных учтенных переменных (x, z).
7. Коэффициент частной корреляции
Иногда представляет интерес измерение частных зависимостей (между y и xj)
при условии, что воздействие других факторов, принимаемых во внимание,
устранено. В качестве соответствующих измерителей приняты коэффициенты
частной корреляции.
Рассмотрим порядок расчета коэффициента частной корреляции для случая,
когда во взаимосвязи находятся три случайные переменные – x, y, z. Для них
могут быть получены простые коэффициенты линейной парной корреляции – ryx,
ryz, rxz. Однако большая величина этого коэффициента может быть обусловлена
не только тем, что y и x действительно связаны между собой, но и в силу того, что
обе переменные испытывают сильное действие третьего фактора – z.
Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента
линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию
соответствующих признаков (y и x) при условии, что влияние на них третьего
фактора (z) устранено.
Соответствующая расчетная формула:
.
(6.10)
Частный коэффициент корреляции, так же как и парный коэффициент
корреляции r (рассчитанный по формуле (6.4)), может принимать значения от -1
до 1.
8. Оценка параметров нелинейной регрессии
Пусть предварительный анализ исходной информации дает основание
предполагать, что регрессионная зависимость носит нелинейный характер.
Пример корреляционного поля, соответствующего нелинейной зависимости,
представлен на рисунке 6.5.
Рисунок 6.5 – Пример корреляционного поля (нелинейная зависимость)
Рассмотрим в качестве примера следующее уравнение регрессии:
(6.11)
= a0 + a1x1 + a2 + a3x2 + a4 .
Пусть необходимо определить коэффициенты уравнения.
В этом случае, как правило, выполняют линеаризующие преобразования
переменных.
Введем обозначения:
z1 = x1; z2 = ; z3 = x2; z4 = .
Тогда исходное уравнение (6.11) примет вид:
= a0 + a1z1 + a2z2 + a3z3 + a4z4 .
(6.12)
Уравнение (6.12) представляет собой уравнение линейной регрессии с
четырьмя независимыми переменными. Коэффициенты последнего уравнения
находятся по уже известной нам формуле (6.6):
A = (Zт∙Z)-1∙Zт∙Y.
После нахождения коэффициентов необходимо выполнить обратные
преобразования для возврата к исходным переменным.
9. Индекс корреляции
Индекс корреляции используется для выявления тесноты связи между
переменными в случае нелинейной зависимости.
Он показывает тесноту связи между фактором x и зависимой переменной y:
(6.13)
.
где ei = yi - i - величина ошибки, т.е. отклонение фактических значений
зависимой переменной от рассчитанных по уравнению регрессии.
Индекс корреляции есть неотрицательная величина, не превосходящая 1: 0 ≤
Iyx≤ 1.
Связь тем сильнее, чем ближе Iyx к единице.
В случае линейной зависимости Iyx = | ryx |. Расхождение между Iyx (формула
(6.13)) и ryx (формула (6.4)) может быть использовано для проверки линейности
корреляционной зависимости.
10. Проблема мультиколлинеарности
При разработке структуры уравнения регрессии сталкиваются с явлением
мультиколлинеарности. Под мультиколлинеарностью понимают взаимосвязь
независимых переменных уравнения регрессии.
Пусть имеется уравнение регрессии:
= a0 + a1x1 + a2x2 .
Переменные x1 и x2 могут находиться в некоторой линейной зависимости
между собой. Эта зависимость может быть функциональной, тогда имеет
место строгая мультиколлинеарность переменных. Чаще, однако, взаимосвязь
между переменными не столь жестка и проявляется лишь приблизительно, в этом
случае мультиколлинеарность называется нестрогой.
Одно из основных предположений метода наименьших квадратов
заключается в том, что между независимыми переменными нет линейной связи.
Нарушение этого условия будет приводить к тому, что получаемое уравнение
регрессии будет ненадежным, и незначительное изменение исходных выборочных
данных будет приводить к резкому изменению оценок параметров.
Для обнаружения мультиколлинеарности вычисляется матрица парных
коэффициентов корреляции, охватывающая все сочетания независимых
переменных. Коэффициенты, близкие по значению к ±1, свидетельствуют о
наличии мультиколлинеарности между соответствующими переменными.
Устранение проблемы достигается путем пересмотра структуры уравнения
регрессии.
Самый простой способ – исключение из модели одной из двух переменных,
находящихся во взаимосвязи.
11. Проверка адекватности модели регрессии
Действия, выполняемые в данном случае, представляют собой процесс
(этап) верификации модели регрессии, т.е. процесс, в ходе которого
подвергается анализу качество полученной модели.
Допустим, имеется уравнение регрессии в линейном или нелинейном виде.
Значения определяемые уравнением - i , тогда фактические значения можно
представить как:
yi = i + ei ,
где ei - случайная (остаточная) компонента.
Анализ остаточной компоненты (остаточного ряда) позволяет оценить
качество полученного уравнения регрессии. Качество характеризуется
выполнением определенных статистических свойств и точностью, т.е. степенью
близости к фактическим данным. Модель считается хорошей со статистической
точки зрения, если она адекватна и достаточно точна. Смысл используемых
терминов характеризуют рисунки 6.6 и 6.7.
Рисунок 6.6 – Пример модели регрессии
(модель адекватна, но не точна)
Рисунок 6.7 – Пример модели регрессии
(модель точна, но не адекватна)
Оценить адекватность модели позволяет анализ случайной компоненты e i.
Модель считается адекватной исследуемому процессу, если:
1) математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно
нулю;
2) значения остаточного ряда случайны;
3) независимы;
4) подчинены нормальному закону распределения.
Таким образом, анализ адекватности модели разбивается на несколько
этапов.
1. Равенство нулю математического ожидания ряда остатков означает
выполнение следующего соотношения:
Однако в случае применения метода наименьших квадратов такая проверка
является излишней, поскольку использование МНК предполагает выполнение
равенства
, откуда безусловным образом следует
математического ожидания значений остаточного ряда.
равенство
нулю
2.
Проверка
случайности
последовательности
ei проводится
с
помощьюкритерия пиков (поворотных точек). Каждое значение ряда (ei)
сравнивается с двумя, рядом стоящими. Точка считается поворотной, если она
либо больше и предыдущего и последующего значения, либо меньше и
предыдущего и последующего значения.
В случайном ряду должно выполняться строгое неравенство:
,
(6.14)
где p - число поворотных точек;
[ ] - целая часть результата вычислений.
3. При проверке независимости значений ei определяется отсутствие в
остаточном ряду автокорреляции, под которой понимается корреляция между
элементами одного и того же числового ряда. В нашем случае автокорреляция -
это корреляция ряда e1, e2, e3 ... с рядом eL+1, eL+2, eL+3 ... Число L характеризует
запаздывание (лаг). Корреляция между соседними членами ряда (т.е. когда L = 1)
называется автокорреляцией первого порядка. Далее для остаточного ряда будем
рассматривать зависимость между соседними элементами ei.
Значительная автокорреляция говорит о том, что спецификация регрессии
выполнена неправильно (неправильно определен тип зависимости).
Наличие автокорреляции может быть выявлено при помощи d-критерия
Дарбина-Уотсона. Значение критерия вычисляется по формуле:
(6.15)
.
Эта величина сравнивается с двумя табличными уровнями: нижним - d1 и
верхним - d2. Соответствующая статистическая таблица приведена в приложении
A. Если полученное значение d больше двух, то перед сопоставлением его нужно
преобразовать:
d' = 4 - d.
Если d (или d') находится в интервале от нуля до d1 , то значения остаточного
ряда сильно автокоррелированы.
Если значение d-критерия попадает в интервал от d2 до 2, то автокорреляция
отсутствует.
Если d1 < d< d2 - однозначного вывода об отсутствии или наличии
автокорреляции сделать нельзя и необходимо использовать другой критерий,
например, коэффициент автокорреляции первого порядка:
(6.16)
.
Если |r(1)| окажется меньше табличного (при n<15 rтабл = 0,36), то гипотеза о
наличии автокорреляции отвергается.
4. Соответствие остаточного ряда нормальному распределению проще всего
проверить при помощи RS-критерия:
,
где emax - максимальное значение ряда остатков;
emin - минимальное значение ряда остатков;
(6.17)
- среднеквадратическое отклонение значений остаточного ряда.
Если рассчитанное значение попадает между табулированными границами с
заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении
принимается. Соответствующая статистическая таблица приведена в приложении
Б.
Для характеристики точности модели наиболее часто вычисляют среднюю
относительную ошибку:
.
(6.18)
В отношении величины средней относительной ошибки, как правило, делают
следующие выводы. Величина менее 5% свидетельствует о хорошем уровне
точности, ошибка до 15% считается приемлемой.
12. Построение точечных и интервальных прогнозов
C помощью построенной регрессионной модели можно не только
анализировать какой-либо процесс, но и прогнозировать значения зависимой
переменной при каких-либо заданных значениях факторов.
Модель регрессии позволяет проводить как экстраполяцию, так и
интерполяцию значений. Интерполяция - прогнозирование значений зависимой
переменной y для значений фактора x, принадлежащих интервалу [xmin;
xmax]. Экстраполяция - прогнозирование значений зависимой переменной y для
значений фактора x, выходящих за границы интервала [xmin; xmax], чаще всего, при
x > xmax.
Точечный прогноз получается путем простой подстановки соответствующих
значений x в уравнение регрессии.
Зачастую значения факторов, для которых нужно сделать прогноз значения
зависимой переменной, получают на основе среднего прироста значений фактора
внутри выборочной совокупности:
(6.19)
,
где xmax и xmin - соответственно, максимальное и минимальное значение
переменной x в выборочной совокупности.
При выполнении экстраполяции для определения конкретного значения х,
используемого для расчета прогнозного значения y, можно использовать
формулу:
xk = xmax + ∙ k ,
(6.20)
при прогнозе на один шаг k = 1, на два шага - k = 2 и т.д.
Подставляя полученное значение в уравнение регрессии, получим точечный
прогноз величины y.
Однако вероятность точного "попадания" значения y в эту точку достаточно
мала. Поэтому представляет интерес вычисление перспективных оценок
значений yв виде доверительных интервалов.
Доверительные границы прогноза определяются по формуле:
граница прогноза = k ± Uk,
(6.21)
где k - точечный прогноз величины y,
Uk - величина отклонения от точечного значения, соответствующая
исследуемой точке xk и заданному уровню вероятности.
Величина Uk для линейной модели рассчитывается по формуле:
(6.22)
.
где S - среднеквадратическое отклонение значений остаточного ряда из
формулы (6.17),
kp - табличное значение t-статистики Стьюдента (соответствующая
статистическая таблица приведена в приложении В) для заданной вероятности
попадания прогнозируемой величины внутрь доверительного интервала.
И если построенная модель регрессии адекватна, то
вероятностью можно утверждать, что при сохранении
с выбранной
сложившихся
закономерностей функционирования изучаемой системы прогнозируемая
величина попадет в интервал, образованный нижней и верхней границами.
Методы экспертных оценок
1. Основные понятия метода экспертных оценок.
2. Этапы подготовки и проведения экспертизы.
3. Получение экспертных оценок. Понятие шкалы. Типы шкал.
4. Способы измерения объектов.
5. Обработка результатов опроса экспертов.
5.1 Формирование обобщенной оценки.
5.2 Определение относительных весов объектов.
5.3 Установление согласованности мнений экспертов.
1. Основные понятия метода экспертных оценок
В случаях чрезвычайной сложности проблемы, ее новизны, недостаточности
имеющейся информации, невозможности математической формализации
процесса решения приходится обращаться к рекомендациям компетентных
специалистов, прекрасно знающих проблему, - к экспертам. Их решение задачи,
аргументация, формирование количественных оценок, обработка последних
формальными методами получили название метода экспертных оценок.
Эксперты (от латинского "expertus" - опытный) – это лица, обладающие
знаниями и способные высказать аргументированное мнение по изучаемому
явлению.
Процедура получения оценок от экспертов называется экспертизой.
Метод экспертных оценок включает в себя три составляющие.
1. Интуитивно-логический анализ задачи. Строится на логическом
мышлении и интуиции экспертов, основан на их знании и опыте. Этим
объясняется высокий уровень требований, предъявляемых к экспертам.
2. Решение и выдача количественных или качественных оценок. Эта
процедура представляет собой завершающую часть работы эксперта. Им
формируется решение по рассматриваемой проблеме и дается оценка
ожидаемых результатов.
3. Обработка результатов решения. Полученные от экспертов оценки
должны быть обработаны с целью получения итоговой оценки проблемы. В
зависимости от поставленной задачи изменяется количество выполняемых на
этом этапе расчетных и логических процедур. Для обеспечения оперативности и
минимизации ошибок на данном этапе целесообразно использование
вычислительной техники.
В условиях недостаточно полной и недостоверной информации методы
экспертных оценок дают вполне приемлемые результаты. В настоящее время,
характеризующееся ускорением научно-технического прогресса, появлением
новых проблем организационного, технического, экономического, социальнопсихологического плана, сфера применения метода расширяется.
Приведем некоторые примеры задач, при решении которых могут
использоваться экспертные оценки:

выбор вариантов технического и социально-экономического развития
предприятия;
 отбор проектов при проведении тендеров;
 отбор заявок на получение грантов и разработку научных тем;
 формирование тематики НИР и ОКР;
 определение стратегических целей фирмы и т.п.
Для решения подобных задач могут использоваться различные формы
проведения экспертизы:
 дискуссия;
 анкетирование;
 интервьюирование;
 «мозговой штурм»;
 совещание;
 деловая игра и др.
Иногда различные формы используются в комплексе.
Одной из наиболее перспективных форм проведения экспертного оценивания
считается метод Дельфы.
Метод Дельфы - это набор процедур, выполняемых в определенной
последовательности с целью формирования группового мнения о проблеме,
характеризующейся недостаточностью информации для использования других
методов.
Метод Дельфы - это метод группового анкетирования. Используемые
процедуры характеризуются тремя основными чертами: анонимностью,
регулируемой обратной связью и групповым ответом. Обратная связь
осуществляется за счет проведения нескольких туров опроса, причем результаты
каждого тура обрабатываются статистическими методами и сообщаются
экспертам. Во втором и последующих турах эксперты аргументируют свои ответы.
Таким образом, в последующих турах эксперты могут пересмотреть свои
первоначальные ответы. От тура к туру ответы экспертов носят все более
устойчивый характер и, в конце концов, перестают изменяться, что служит
основанием для прекращения опросов.
Практика показывает, что обычно проводится три-четыре тура опросов, так
как в дальнейшем оценки перестают изменяться.
2. Этапы подготовки и проведения экспертизы
Качество получаемых экспертных оценок в значительной степени
определяется подготовкой экспертизы, а также применяемыми методами
обработки информации, получаемой от экспертов.
Единых правил подготовки и проведения экспертизы нет.
Однако можно выделить основные этапы ее подготовки и проведения. К ним
относятся:
 формулировка цели экспертного анализа;
 формирование группы организаторов экспертизы;
 разработка процедур проведения экспертной оценки;
 подбор экспертов;
 получение экспертных оценок;
 обработка результатов опроса и анализ полученных данных;
 установление степени достижения цели экспертизы.
С точки зрения изучаемой нами дисциплины наибольший интерес
представляют два этапа: получение экспертных оценок, обработка результатов
опроса и анализ полученных данных.
3. Получение экспертных оценок. Понятие шкалы. Типы шкал
Рациональное использование информации, получаемой от экспертов,
возможно при условии преобразования ее в форму, удобную для дальнейшего
анализа.
Формализация информации, получаемой от экспертов, должна быть
направлена на подготовку решения таких задач, которые не могут быть в полной
мере описаны математически.
Одна из главных трудностей при оценивании состоит в том, что помимо
явлений, объектов, факторов, состояние которых может быть выражено
количественно (в руб., $, кг, км, % и т.п.), приходится оценивать качественные
факторы, уровень которых нельзя точно определить. Часть информации, не
поддающуюся количественному измерению, необходимо представить в виде
косвенных оценок.
Если эксперт способен сравнить и оценить какие-либо объекты, явления,
факторы, варианты действий, приписав каждому из них какое-либо число, то
говорят, что он обладает определенной системой предпочтений.
В зависимости от того, по какой шкале заданы эти предпочтения, экспертные
оценки содержат больший или меньший объем информации и обладают
различной способностью к математической формализации.
Шкала – это инструмент (принятая система правил) оценки (измерения) какихлибо объектов или явлений.
Различают четыре типа шкал.
1. Номинальная шкала. Реализует простейший тип измерения. В этом случае
проводится сравнение свойств объекта (явления) с каким-либо признакомэталоном, результатом является упорядочение по двухэлементной шкале, где
каждому из объектов (явлений) присваивается балл, равный нулю либо единице.
Примером измерения по номинальной шкале может служить проведение
зачета. В этом случае эксперт-преподаватель оценивает уровень знаний
студентов и выносит решение: зачет (объекту-студенту присваивается балл,
равный нулю) или незачет (объекту-студенту присваивается балл, равный
единице).
2. Порядковая шкала. Цель состоит в упорядочении объектов (явлений), а
точнее, в выявлении с помощью экспертов скрытой упорядоченности, которая, по
предположению, присуща множеству объектов. Результатом оценки является
решение о том, что какой-либо объект (явление) предпочтительнее другого в
отношении какого-то критерия.
Примером может служить определение жюри победителей и призеров какоголибо конкурса. Здесь эксперты должны решить, что участник, занявший первое
место, оказался предпочтительнее (с точки зрения целей конкурса) участника,
занявшего второе место. Участник, занявший второе место, в свою очередь,
признается лучшим по отношению к третьему и т.д.
3. Интервальная шкала. Оценка по данной шкале позволяет не только
определить, что один объект (явление) предпочтительнее другого, но также
определить: на сколько предпочтительнее. Нулевая точка и единица измерения
выбираются при этом произвольно.
Ярким примером оценки по интервальной шкале является проведение
экзамена. Здесь эксперт-преподаватель, оценивая уровень знаний студентов,
должен не только решить, что один студент знает материал лучше другого, но
сказать: на сколько лучше. Измерение фактически производится по шкале из
четырех баллов ("неудовлетворительно", "удовлетворительно", "хорошо",
"отлично"). При этом уровень знаний, соответствующий нулевому баллу (нулевая
точка) не известен.
Измерение по интервальной шкале используется при выставлении
экспертами-судьями оценок в таких видах спорта, как фигурное катание, прыжки в
воду, художественная и спортивная гимнастика.
4. Шкала отношения. В данном случае предполагается, что известно
абсолютное значение свойств объекта, т.е. известна истинная нулевая точка.
Шкала используется для тех факторов, которые могут быть представлены
количественно.
Например, при помощи такой шкалы эксперты могут оценить размер прибыли,
которая может быть получена в результате реализации какого-либо проекта.
В зависимости от существа исследуемых объектов для их оценки могут быть
использованы различные шкалы.
Такие факторы как затраты, прибыль, время могут быть оценены по шкале
отношения или интервальной шкале (например, в рублях, днях, баллах).
Для оценки таких факторов как срок окупаемости или сравнительная
эффективность может быть использована интервальная или порядковая шкала.
Качественные, например, социальные или политические факторы могут
оцениваться по порядковой или номинальной шкале.
4. Способы измерения объектов
Перейдем к рассмотрению вопросов формирования экспертных оценок, а
именно к рассмотрению способов (техники) измерения объектов.
В первую очередь нас будут интересовать способы измерения, позволяющие
расположить объекты на порядковой или интервальной шкале, поскольку именно
такой тип оценок чаще всего используется при проведении экспертизы. Это
объясняется тем, что оценка по номинальной шкале предполагает лишь два
варианта ответов - ДА, НЕТ. По шкале отношения измеряются факторы, имеющие
количественный характер. Значения этих факторов часто можно получить
расчетным путем без использования экспертных оценок.
Выделим способы измерения объектов, наиболее часто применяемые при
оценке по порядковой или интервальной шкале: ранжирование, парное сравнение,
непосредственная оценка.
1.Ранжирование – это расположение объектов в порядке возрастания или
убывания какого-либо присущего им свойства. Ранжирование позволяет выбрать
из исследуемой совокупности факторов наиболее существенный.
Результатом проведения ранжирования является ранжировка.
Если имеется n объектов, то в результате их ранжирования j-ым экспертом
каждый объект получает оценку xij – ранг, приписываемый i-му объекту j-ым
экспертом.
Значения xij находятся в интервале от 1 до n. Ранг самого важного фактора
равен единице, наименее значимого – числу n.
Ранжировкой j-го эксперта называется последовательность рангов x1j, x2j, …,
xnj.
Достоинством метода является его простота, а недостатком - ограниченные
возможности использования. При оценке большого количества объектов
экспертам очень трудно строить ранжированный ряд, поскольку приходится
учитывать множество сложных связей.
От этого недостатка свободен следующий метод.
2. Парное сравнение - это установление предпочтения объектов при
сравнении всех возможных пар. Здесь не нужно, как при ранжировании,
упорядочивать все объекты, необходимо в каждой из пар выявить более
значимый объект или установить их равенство.
Парное сравнение можно проводить при большом числе объектов, а также в
тех случаях, когда различие между объектами столь незначительно, что
практически невыполнимо их ранжирование.
При использовании метода чаще всего составляется матрица размером nxn,
где n – количество сравниваемых объектов. Общий вид матрицы парных
сравнений представлен на рисунке 7.1.
Объекты
1
2
...
j
...
n
1
2
...
i
...
n
Рисунок 7.1 - Общий вид матрицы парных сравнений
При сравнении объектов матрица заполняется элементами aij следующим
образом (может быть предложена и иная схема заполнения):
2, если объект i предпочтительнее объекта j (i > j),
aij= 1, если установлено равенство объектов (i = j),
(7.1)
0, если объект j предпочтительнее объекта i (i < j).
Сумма
(по строке) в данном случае позволяет оценить относительную
значимость объектов. Тот объект, для которого сумма окажется наибольшей,
может быть признан наиболее важным (значимым).
Суммирование можно производить и по столбцам (
), тогда самым
существенным будет фактор, набравший наименьшее количество баллов.
3. Непосредственная оценка. Часто бывает желательным не только
упорядочить (ранжировать объекты анализа), но и определить, на сколько один
фактор более значим, чем другие.
В этом случае диапазон изменения характеристик объекта разбивается на
отдельные интервалы, каждому из которых приписывается определенная оценка
(балл), например, от 0 до 10.
Именно поэтому метод непосредственной оценки иногда именуют также
балльным методом.
Смысл метода состоит в том, что эксперт помещает каждый из
анализируемых объектов в определенный интервал (приписывает балл).
Измерителем при этом является степень обладания объекта тем или иным
свойством.
Число интервалов, на которые разбивается диапазон изменения свойства,
может быть различным для разных экспертов. Кроме того, метод разрешает
давать одну и ту же оценку (т.е. помещать в один и тот же интервал) различным
объектам.
Например, метод непосредственной оценки используется при проведении
экзаменов. Здесь диапазон, характеризующий уровень знаний студентов
мысленно разбивается экспертом-преподавателем на интервалы, подобно тому,
как показано на рисунке 7.2.
Рисунок 7.2 – Пример разбиения диапазона изменения характеристик объекта
на интервалы
5. Обработка результатов опроса экспертов
Перейдем к рассмотрению процедур, выполняемых на этапе обработки
результатов опроса.
На базе оценок экспертов получается обобщенная информация об
исследуемом объекте (явлении) и формируется решение, задаваемое целью
экспертизы. При обработке индивидуальных оценок экспертов используют
различные количественные и качественные методы. Выбор того или иного метода
зависит от сложности решаемой проблемы, формы, в которой представлены
мнения экспертов, целей экспертизы.
Чаще всего при обработке результатов опроса используются методы
математической статистики.
В зависимости от целей экспертизы при обработке оценок могут решаться
следующие проблемы:
 формирование обобщенной оценки;
 определение относительных весов объектов;
 установление степени согласованности мнений экспертов и др.
Далее рассмотрим некоторые методы решения каждой из перечисленных
задач.
5.1 Формирование обобщенной оценки
Итак, пусть группа экспертов оценила какой-либо объект, тогда xj – оценка j-го
эксперта,
, где m – число экспертов.
Для формирования обобщенной оценки группы экспертов чаще всего
используются средние величины. Например, медиана (ME), за которую
принимается такая оценка, по отношению к которой число больших оценок
равняется числу меньших.
Может использоваться также точечная оценка для группы экспертов,
вычисляемая как среднее арифметическое:
(7.2)
5.2 Определение относительных весов объектов
Иногда требуется определить, насколько тот или иной фактор (объект) важен
(существенен) с точки зрения какого-либо критерия. В этом случае говорят, что
нужно определить вес каждого фактора.
Один из методов определения весов состоит в следующем. Пусть xij – оценка
фактора i, данная j-ым экспертом,
,
, n – число сравниваемых
объектов,m – число экспертов. Тогда вес i-го объекта, подсчитанный по оценкам
всех экспертов (wi), равен:
(7.3)
где wij – вес i-го объекта, подсчитанный по оценкам j-го эксперта, равен:
(7.4)
5.3 Установление степени согласованности мнений экспертов
В случае участия в опросе нескольких экспертов расхождения в их оценках
неизбежны, однако величина этого расхождения имеет важное значение.
Групповая оценка может считаться достаточно надежной только при условии
хорошей согласованности ответов отдельных специалистов.
Для анализа разброса и согласованности оценок применяются статистические
характеристики – меры разброса.
Вариационный размах (R):
R = xmax - xmin,
(7.5)
где xmax - максимальная оценка объекта;
xmin - минимальная оценка объекта.
Среднее квадратическое отклонение, вычисляемое по известной
формуле:
(7.6)
где xj - оценка, данная j-ым экспертом;
m - количество экспертов.
Коэффициент вариации (V), который обычно выражается в процентах:
(7.7)
Специфичны подходы к проверке согласованности, используемые при оценке
объектов методом ранжирования.
В этом случае результатом работы эксперта является ранжировка,
представляющая собой последовательность рангов (для эксперта j): x1j, x2j, …, xnj.
Согласованность между ранжировками двух экспертов можно определить с
помощью коэффициента ранговой корреляции Спирмэна:
(7.8)
где xij – ранг, присвоенный i-му объекту j-ым экспертом;
xik – ранг, присвоенный i-му объекту k-ым экспертом;
di – разница между рангами, присвоенными i-му объекту.
Величина может изменяться в диапазоне от –1 до 1. При полном
совпадении оценок коэффициент равен единице. Равенство коэффициента минус
единице наблюдается при наибольшем расхождении в мнениях экспертов.
Кроме того, расчет коэффициента ранговой корреляции может применяться
как способ оценки взаимоотношений между каким-либо фактором и
результативным признаком (реакцией) в тех случаях, когда признаки не могут
быть измерены точно, но могут быть упорядочены.
В этом случае значение коэффициента Спирмэна может быть
интерпретировано подобно значению коэффициента парной корреляции.
Положительное значение свидетельствует о прямой связи между факторами,
отрицательное - об обратной, при этом, чем ближе абсолютное значение
коэффициента к единице, тем теснее связь.
Когда необходимо определить согласованность в ранжировках большого
(более двух) числа экспертов, рассчитывается так называемый коэффициент
конкордации – общий коэффициент ранговой корреляции для группы, состоящей
из m экспертов:
(7.9)
где
Заметим, что вычитаемое в скобках представляет собой не что иное, как
среднюю сумму рангов (при суммировании для каждого объекта), полученных i
объектами от экспертов.
Коэффициент W изменяется в диапазоне от 0 до 1. Его равенство единице
означает, что все эксперты присвоили объектам одинаковые ранги. Чем ближе
значение коэффициента к нулю, тем менее согласованными являются оценки
экспертов.
Далее приведем примеры расчета коэффициентов и W.
Пример 7.1. Пусть два эксперта приписали двенадцати факторам, влияющим
на успешность реализации инновационного проекта, ранги, показанные в таблице
7.1.
На основе приведенных данных рассчитайте коэффициент ранговой
корреляции Спирмэна.
Решение.
Рассчитаем
коэффициент
Спирмэна,
используя
формулу
Промежуточные результаты расчетов (di и di2) приведены в таблице 7.1.
(7.8).
Таблица 7.1 - Исходные данные и промежуточные результаты расчетов
примера 7.1
Фактор
Ранги
первый эксперт (xi1)
второй эксперт (xi2)
А
Б
В
Г
Д
Е
З
Ж
И
К
Л
М
7
8
2
1
9
3
12
11
4
10
6
5
6
4
1
3
11
2
12
10
5
9
7
8
2
di
di
1
4
1
-2
-2
1
0
1
-1
1
-1
-3
1
16
1
4
4
1
0
1
1
1
1
9
40
Подставляя вычисленное значение в формулу (7.8), получим:
Такое значение коэффициента
согласованности оценок экспертов.
Спирмэна
свидетельствует
о
высокой
Пример
7.2.
Пять
экспертов
проранжировали
семь
вариантов
капиталовложений (соответствующие оценки приведены в таблице 7.2).
Проверьте
согласованность
ранжировок,
используя
коэффициент
конкордации.
Решение.
Рассчитаем коэффициент конкордации, используя формулу (7.9). В таблице
7.2 приведены промежуточные результаты расчетов.
Таблица 7.2 - Исходные данные и промежуточные результаты расчетов
примера 7.2
Варианты
I
II
III
IV
V
VI
VII
1
2
Эксперты
3
4
5
Сумма
рангов
Отклонения от
средней суммы
Квадрат
отклонения
1
2
6
4
7
3
5
1
2
7
6
3
5
4
2
1
6
4
7
5
3
3
1
5
6
4
7
2
1
2
6
4
5
7
3
8
8
30
24
26
27
17
-12
-12
10
4
6
7
-3
144
144
100
16
36
49
9
498
Подставляя вычисленное значение в формулу (7.9), получим:
Такая величина W позволяет сделать вывод о том, что существует
неслучайная согласованность в мнениях экспертов.
Раздел 5. Принципы и методы построения динамических моделей
5.1. Общие принципы и этапы построения динамических моделей
В отличие от статических, независимых от времени, моделей динамические
модели описывают экономические или управленческие процессы или системы в
движении, то есть, в зависимости от временных периодов, что были или будут.
Динамические модели позволяют прогнозировать развития процесса на будущие,
чтобы уже сейчас иметь представление о его результатах и соответствующим
образом реагировать на определенные следствие этого развития.
Динамическое моделирование – многошаговый процесс, каждый шаг
соответствует поведению экономической системы у определенный временный
период. Каждый текущий шаг получает результаты предыдущего шага, который по
определенным правилам определяет текущий результат и формирует данные для
следующего шага.
Таким образом, динамическая модель в ускоренном режиме позволяет
исследовать развития сложной экономической системы, скажем, предприятия, на
протяжении определенного периода планирования в условиях изменения
ресурсного обеспечения (сырья, кадров, финансов, техники), и получение
результаты представить у соответствующему плане развития предприятия на
заданный период.
Для решения динамических задач оптимизации в математическом
программировании сформировался соответствующий класс моделей под
названием динамическое программирование, его основателем стал известный
американский математик Р. Беллман. Им предложен специальный метод
решения задача этого класса на основе «принципа оптимальности», согласно
которого оптимальное решение задачи находится путем ее разбиения
на n этапов, каждый с которых представляет подзадачу относительно одной
переменной. Расчет выполняется таким образом, что оптимальный результат
одной подзадачи является исходными данными для следующей подзадачи с
учетом уравнений и ограничений связи между ними, результат последней из них
является результатом всей задачи.
Следует отметить, что динамическая задача не сводится полностью к
задаче оптимизации для последовательных периодов времени, рассматриваемых
изолированно друг от друга. Так, например, если, решая задачу рационального
выбора ингредиентов для комбикорма, фермер допускает некоторое ослабление
требований к составу пищевой смеси в течение одного периода, рассчитывая на
компенсацию в последующие периоды, когда будут более благоприятны цены на
компоненты
корма,
то
возникает
типичная
задача
динамического
программирования. При этом очевидно, что в такой оптимизационной задаче не
удастся представить модель как простую совокупность невзаимосвязанных задач
оптимизации для каждого периода времени.
Общим для всех моделей этой категории является то, что текущие
управляющие
решения
"проявляются"
как
в
период,
относящийся
непосредственно к моменту принятия решения, так и в последующие периоды.
Следовательно, наиболее важные экономические последствия проявляются в
разные периоды, а не только в течение одного периода. Такого рода
экономические последствия, как правило, оказываются существенными в тех
случаях, когда речь идет об управляющих решениях, связанных с возможностью
новых капиталовложений, увеличения производственных мощностей или
обучения персонала с целью . создания предпосылок для увеличения
прибыльности
или
сокращения
издержек
в
последующие
периоды.
Типичными областями применения моделей динамического программирования
при принятии решений являются:
Разработка правил управления запасами, устанавливающих момент
пополнения запасов и размер пополняющего заказа.
Разработка принципов календарного планирования производства и
выравнивания занятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию.
Определение необходимого объема запасных частей, гарантирующего
эффективное использование дорогостоящего оборудования.
Распределение дефицитных капитальных вложений между возможными
новыми направлениями их использования.
Выбор методов проведения рекламной кампании, знакомящей покупателя с
продукцией фирмы.
В задачах, решаемых методом динамического программирования, значение
целевой функции (оптимизируемого критерия) для всего процесса получают
простым суммированием частных значений fi(x) того же критерия на отдельных
шагах, то есть
Если критерий (или функция) f(x) обладает этим свойством, то его
называют аддитивным (аддитивной).
Во многих практических задачах критерий f(x) аддитивен. Если в
первоначальной постановке задачи критерий неаддитивен, то постановку задачи
надо изменить так, чтобы он стал аддитивным. К примеру, если рассматривается
критерий f(x), представленный в виде произведения выигрышей, достигаемых на
отдельных этапах f(x) = f1(x)*f2(x)*,. . ., *fm(x) (такой критерий
называют мультиплексным), то можно просто преобразовать его к аддитивному,
прологарифмировав выражение для f(x)
Обозначим V = lgf(x),
V
=
∑
Vi ,
Vj = lgfi(x). Получим
обладающий
свойством
новый
аддитивности
критерий
и
m
имеющий
i=1
тот же оптимум, что и f(x).
Рассмотрим общую схему решения задач с аддитивным критерием. Процесс
управления состоит из m шагов. На каждом i-том шаге управление xi переводит
систему из состояния Si-1, достигнутого в результате (i-1)-го шага, в новое
состояние Si, которое зависит от состояния Si-1 и выбранного управления хi,:
Здесь существенно, чтобы новое состояние Si, зависело только от состояния
Si-1 и управления xi и не зависело от того, каким образом система пришла в
состояние Si-1. В крайнем случае, это достигается увеличением числа состояний
системы (в понятие "состояние системы" вводят те параметры, от которых зависит
будущий результат).
В теории динамического программирования, если рассматривают стратегии
зависящие только от текущего состояния, оптимальную стратегию характеризуют
очень просто.
Принцип оптимальности
Оптимальная стратегия обладает тем свойством, что, каковы бы ни были
первоначальное состояние и решение, последующее решение должно
определять оптимальную стратегию относительно состояния, полученного в
результате предыдущего решения.
Рассмотрим задачу о максимизации целевой функции f(x) на m-шаговом
процессе.
Под влиянием управлений x1, х2, . . . , хm система переходит из начальногс состояния
S0 в конечное SK0H. За m шагов получают выигрыш (значение целевой функции)
где f|(Si-1, хi) - выигрыш на i-том шаге.
Принцип оптимальности позволяет заключить, что при любом начальном
управлении хi имеет место соотношение
Поскольку это соотношение справедливо для всех начальных решений x1,
то, чтобы найти максимальный выигрыш, надо найти максимум по x1 значения
f(x). Это приводит к основному функциональному уравнению динамического
программирования
к рекуррентной
формуле
динамического
программирования (РДП)
Представленное выше выражение означает, что, зная f0(S), можно вычислить
f1(S), зная f1(S), -f2(S) и т.д. Такая вычислительная процедура
именуется рекуррентным алгоритмом, а выражение - рекуррентной формулой
или рекуррентным соотношением.
Согласно этому выражению, алгоритм получения решения в динамическом
программировании можно определить как последовательность функций
выигрыша или же как последовательность стратегий {xn(S0)}. Эти
последовательности определяют друг друга - в этом и состоит смысл
рекуррентных соотношений. Причем имеется только одна последовательность
оптимальных значений целевой функции, хотя, в принципе, могут иметь место
различные оптимальные стратегии, которые приводят к тому же максимальному
выигрышу.
В динамическом программировании, планируя многоэтапную операцию,
управление на каждом шаге выбирают с учетом будущего. И только на одном
шаге - последнем - такой необходимости нет. Этот последний шаг можно
спланировать так, чтобы он приносил наибольшую выгоду.
Планируя оптимальным образом последний шаг, к нему присоединяют
предпоследний и находят согласно основной рекуррентной формуле наибольший
выигрыш на этих двух шагах и т.д. Поэтому в динамическом программировании
процесс разворачивается от конца к началу. А как спланировать последний шаг,
если мы не знаем, каков результат предпоследнего? Для этого делают различные
предположения о том, чем закончится предпоследний шаг, и для каждого
предположения выбирают управление на последнем, которое запоминают до
конца решения задачи. Такое оптимальное управление, выбранное при
определенном условии о том, каков результат предыдущего шага,
называют условным оптимальным управлением.
Алгоритм динамического программирования
1. На выбранном шаге задаем набор (определяемый условиямиограничениями) значений переменной, характеризующей последний шаг,
возможные состояния системы на предпоследнем шаге. Для каждого возможного
состояния и каждого значения выбранной переменной вычисляем значения
целевой функции. Из них для каждого исхода предпоследнего шага выбираем
оптимальные значения целевой функции и соответствующие им значения
рассматриваемой переменной. Для каждого исхода предпоследнего шага
запоминаем оптимальное значение переменной (или несколько значений, если
таких значений больше одного) и соответствующее значение целевой функции.
Получаем и фиксируем соответствующую таблицу.
2. Переходим к оптимизации на этапе, предшествующем предыдущему
(движение "вспять"), отыскивая оптимальное значение новой переменной при
фиксированных найденных ранее оптимальных значениях следующих
переменных. Оптимальное значение целевой функции на последующих шагах
(при оптимальных значениях последующих переменных) считываем из
предыдущей таблицы. Если новая переменная характеризует первый шаг, то
переходим к п.З. В противном случае повторяем п.2 для следующей переменной.
З. При данном в задаче исходном условии для каждого возможного значения
первой переменной вычисляем значение целевой функции. Выбираем
оптимальное значение целевой функции, соответствующее оптимальному(ым)
значению(иям) первой переменной.
4. При известном оптимальном значении первой переменной определяем
исходные данные для следующего (второго) шага и по последней таблице оптимальное(ые) значение(ия) следующей (второй) переменной.
5. Если следующая переменная не характеризует последний шаг, то
переходим к п.4. Иначе переходим к п.6.
6.Формируем
(выписываем)
оптимальное
решение.
Изложенные
принципы
и
рассмотренная
процедура
могут
быть
проиллюстрированы на конкретном примере.