Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета»

Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета»
Выпуск 2006 ▪ www.omsk.edu
Е.В. Шульга
Омский государственный педагогический университет
Обучение математическому моделированию
экономических процессов студентов
специальности «Прикладная информатика в менеджменте»
(на примере темы «Межотраслевой баланс»)
13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания (информатика)
А
В статье рассматриваются вопросы создания балансовых моделей. Модель межотраслевого баланса
Леонтьева. Полные затраты. Схема межотраслевого баланса и ее анализ. Приводится пример решения
задачи в MS Excel на нахождение коэффициентов полных затрат, вектора валового выпуска, межотраслевых поставок продукции, с проверкой продуктивности матрицы и заполнением схемы межотраслевого баланса.
Современный уровень развития и запросы общества привели к повышению спроса
в вузах на специальности с экономической направленностью. Спрос порождает предложение. Востребованный сегодня на рынке труда специалист, должен владеть, как минимум,
навыками работы на персональном компьютере и начальными экономическими знаниями.
Для студентов специальности «Прикладная информатика в менеджменте» математическое
моделирование экономических процессов – это одно из тех направлений, в котором изучаемая экономическая теория органично сочетается с ее реализацией на компьютере.
«Межотраслевой баланс» относится к ключевым темам в экономикоматематическом моделировании. Эффективное ведение народного хозяйства предполагает
наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой − как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Суть сбалансированности в том, что
все затраты должны компенсироваться доходами хозяйства.
В основе создания балансовых моделей лежит балансовый метод: взаимное сопоставление имеющихся ресурсов и потребностей в них. Межотраслевой баланс отражает
производство и распределение валового национального продукта в отраслевом разрезе,
межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.
Наиболее простым вариантом модели межотраслевого баланса является модель Леонтьева, за которую автор в 1973 г. был удостоен премии Альфреда Нобеля по экономике
«За развитие метода «затраты-выпуск» и его применение к важным экономическим проблемам» [2].
Для построения модели вводятся следующие условия:
1. Пусть вся экономика страны разбита на n отраслей материального производства
и в ней продаются, покупаются, потребляются и инвестируются n продуктов, т. е. каждая
отрасль выпускает некоторый продукт (разные отрасли выпускают разные продукты),
часть которого потребляется другими отраслями (промежуточный продукт), а другая
часть идет на конечное потребление и накопление (конечный продукт).
2. Каждая отрасль является «чистой» − это условная отрасль, которая объединяет
все производство данного продукта независимо от ведомственной подчиненности предприятия, т. е. некоторая часть народного хозяйства, более или менее цельная (например,
энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т. д.).
3. Под производственным процессом в каждой отрасли понимается преобразование некоторых (возможно всех) типов продуктов в определенный продукт. При этом соотношение затраченных продуктов и выпускаемого предполагается постоянным. Т. е. не-
зависимо от масштаба производства удельный выпуск и соотношение затрат предполагаются постоянными.
Обозначим:
хi (i = 1, …, n) – общий объем продукции отрасли i за данный промежуток времени,
т. е. валовой выпуск отрасли i;
xij – объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе производства;
уi – объем продукции отрасли i, предназначенный для потребления; в непроизводственной сфере − объем конечного потребления;
Zj – условно-чистая продукция, включающая оплату труда, чистый доход и амортизацию.
Единицы измерения всех указанных величин могут быть натуральными (кубометры, тонны, штуки и т. п.) или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный или стоимостной межотраслевые балансы.
Балансовый характер выражается следующим балансовым соотношением: при любом i = 1, …, n должно выполняться:
(1)
хi = хi1 + хi2 + … + хin + уi.
Это соотношение обозначает, что валовой выпуск хi расходуется на производственное потребление, равное хi1 + хi2 + … + хin, и непроизводственное потребление, равное
у i.
В.В. Леонтьев, рассматривая развитие экономики, обратил внимание на важное обстоятельство: величины аij = xij/ хj остаются постоянными в течение ряда лет. Это обусловливается примерным постоянством используемой технологии. Согласно предположению 3, материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции и выполняется:
xij = аij хj (i, j = 1, …, n),
где аij – коэффициенты прямых затрат (технологические коэффициенты, коэффициенты
материалоемкости) характеризуют количество продукции i-ой отрасли, использованной
при производстве единицы валовой продукции j-ой отрасли.
С учетом соотношения (1), модель Леонтьева для отраслей-производителей выглядит следующим образом:
а11 х1 + а12х2 + … + а1n хn + у1 = х1;
а21 х1 + а22х2 + … + а2n хn + у2 = х2;
…………………………………….
an1 х1 + аn2х2 + … + аnn хn + уn = хn.
Или в матричной записи:
Х = АХ + У.
(2)
Вектор Х называется вектором валового выпуска, У – вектор конечного потребления, А – матрица коэффициентов прямых затрат.
Матрица коэффициентов прямых затрат называется продуктивной, если:
аij > 0 и Σ аij < 1.
Экономический смысл этого определения заключается в том, что экономика должна быть рентабельной.
Уравнение (2) называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для целей планирования. В этом случае
задача ставится так: для предстоящего планового периода [t0, t1] задается У – вектор конечного потребления. Требуется определить вектор Х – валового выпуска. Другими словами, нужно решить задачу: сколько следует произвести продукции разных видов, чтобы
обеспечить заданный уровень конечного потребления? При этом нужно учитывать, что
уравнения системы в модели Леонтьева имеют следующие особенности:
1) все компоненты матрицы А и вектора У неотрицательны (это вытекает из экономического смысла А и У): А ≥ 0, У ≥ 0;
2) все компоненты вектора Х также должны быть неотрицательными: Х ≥ 0.
С помощью модели Леонтьева можно выполнять еще три вида расчетов [3]:
1. Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли, можно определить объем конечной продукции каждой отрасли:
У = Х – АХ, следовательно, У = (Е – А)Х, где Е – единичная матрица.
2. Задав величины конечной продукции всех отраслей можно определить величины валовой продукции каждой отрасли:
Х = (Е – А)-1У
-1
Обозначим обратную матрицу (Е – А) = В = || bij || − матрица коэффициентов полных затрат, тогда предыдущее равенство можно записать в виде:
Х = ВУ, т. е.
хi = bi1 у1 + bi2 у2 + … + bin уn.
Коэффициент полных затрат bij показывает какое количество продукции i-ой отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-ой отрасли.
Полные затраты отражают использование ресурса на всех этапах изготовления продукции и равны сумме прямых и косвенных затрат на всех предыдущих стадиях производства продукции.
Пример [1].
Затраты на производство проката показаны в таблице 1.
Таблица 1
Руда
Электроэнергия
Чугун
Электроэнергия
Сталь
Электроэнергия
Косвенные затраты 2 порядка
Косвенные затраты 1 порядка
Прямые затраты
Прокат
3. Задав для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных
отраслей − объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции
первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.
Для того чтобы обеспечить положительный конечный выпуск У > 0 по всем отраслям, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:
1. Определитель det⏐Е − А⏐≠ 0, т. е. матрица (Е – А) имеет обратную матрицу (Е – .
А)-1
2. Наибольшее по модулю собственное значение матрицы А: ⏐А - λЕ⏐= 0, строго
меньше единицы: max ⏐λ⏐< 1.
3. Все главные миноры матрицы (Е – А), т. е. определители матриц, образованных
элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n, положительны.
Межотраслевой баланс состоит из четырех квадрантов (таблица 2). Первый квадрант отражает межотраслевые потоки продукции. Второй − характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода. Третий − представляет национальный доход как стоимость условно-чистой продукции. Четвертый квадрант показывает конечное
распределение и использование национального дохода.
Таблица 2
Производящие отрасли
1
2
…
n
Амортизация
Оплата труда
Межотраслевой баланс
Потребляющие отрасли Конечный продукт
1
2
…
n
х11
х12
…
x1n
у1
x21
x22
…
x2n
y2
…
…
…
Ι
ΙΙ
xn1
xn2
…
xnn
yn
Z1
Z2
Zn
Валовой продукт
х1
x2
xn
Чистый продукт
Валовой продукт
х1
ΙΙΙ
…
x2
ΙV
xn
Σ хi = Σ хj
В соответствии с изложенной выше теорией студентам на лабораторных занятиях
предлагается решить следующую задачу:
Даны коэффициенты прямых затрат (матрица А) и конечное потребление (У) для
трехотраслевой экономики:
⎛ 0,1 0,2 0,1⎞
⎛ 200 ⎞
⎟
⎟
⎜
⎜
А = ⎜ 0,2 0,1 0 ⎟ , У = ⎜150 ⎟ .
⎜ 0 0,2 0,1⎟
⎜ 250 ⎟
⎠
⎠
⎝
⎝
Требуется определить:
а) коэффициенты полных затрат;
б) вектор валового выпуска;
в) межотраслевые поставки продукции;
г) проверить продуктивность матрицы А;
д) заполнить схему межотраслевого баланса.
В результате в Excel получается решение, которое можно использовать как шаблон
для решения других аналогичных задач или построения подобных балансовых моделей.
Решение:
1. Вычислим матрицу коэффициентов полных затрат B = (E – A)-1.
В таблице 3 приведены результаты решения по первым трем пунктам задачи.
Таблица 3
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
B
C
D
E
А
0,1
0,2
0
0,2
0,1
0,2
0,1
0
0,1
Е-А
0,9
-0,2
0
-0,2
0,9
-0,2
-0,1
0
0,9
1,175617
0,261248
0,058055
0,290276
1,175617
0,261248
0,130624
0,029028
1,117562
47,16981
23,58491
47,16981
33,01887
0
33,01887
F
G
1)
В
У
200
150
250
2)
Х
311,3208
235,8491
330,1887
3)
Х
31,13208
62,26415
0
Для вычисления обратной матрицы необходимо:
− выделить диапазон ячеек для размещения обратной матрицы;
− выбрать функцию МОБР в категории математические;
− ввести диапазон ячеек, где содержится матрица Е – А;
− нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.
В ячейки B6:D8 запишем элементы матрицы Е – А. Массив Е – А задан как
диапазон ячеек. Выделим диапазон B10:D12 для размещения обратной матрицы B = (E –
A)-1 и введем формулу для вычислений МОБР (B6:D8). Затем следует нажать
клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.
Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица А продуктивна (это ответ на пункты «а» − «г»).
2. Вычислим вектор валового выпуска Х по формуле Х = ВУ.
Для умножения матриц необходимо:
− выделить диапазон ячеек для размещения результата умножения матриц;
− выбрать функцию МУМНОЖ в категории математические;
− ввести диапазоны ячеек, где содержатся матрицы В и У;
− нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.
В ячейки G10:G12 запишем элементы вектора конечного продукта У. Выделим
диапазон В15:В17 для размещения вектора валового выпуска Х, вычисляемого по формуле
Х = (E – A)-1 У. Затем вводим формулу для вычислений МУМНОЖ (В10:D12, G10:G12).
Далее следует нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.
3. Межотраслевые поставки хij вычисляем по формуле хij = аij Хj .
4. Заполняем схему МОБ (таблица 4).
Производящие отрасли
1
2
3
Условно чистая продукция
Валовой продукт
Потребляющие отрасли
1
2
3
31,13208 47,16981 33,01887
62,26415 23,58491
0
0
47,16981 33,01887
217,9245 117,9245 264,1509
311,3208 235,8491 330,1887
Конечный продукт
200
150
250
600
Таблица 4
Валовой продукт
311,3208
235,8491
330,1887
877,3585
Изучение экономических процессов математическими методами и средствами информатики является необходимым условием эффективного обучения не только студентов
специальности «Прикладная информатика в менеджменте», но и студентов специальностей, в учебных планах которых имеются дисциплины «Экономическое моделирование»,
«Экономико-математические методы и модели», «Бизнес-анализ» и др. Кроме того, сочетание вышеназванных средств и методов отвечает современным требованиям, предъявляемым обществом к обучению в высшей школе.
Библиография
1.
2.
3.
Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента. – СПб.:
Изд-во «Лань», 2000. – 480 с.
Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. –
М.: Вузовский учебник, 2004. – 144 с.
Экономико-математические методы и модели: Программа, методические указания и задания / Сост. И.
П. Геращенко. – Омск, 2002. – 42 с.