Экономико-математические модели оптимизации затрат

Экономико-математические модели оптимизации затрат
на продвижение товара
Решение задач продвижения товаров требует существенных затрат,
которые в конечном итоге направлены на то, чтобы увеличить объем сбыта.
Увеличение объемов сбыта при неизменных ценах приведет к увеличению
выручки от реализации. При этом увеличение выручки в результате реализации
маркетинговых мероприятий по продвижению товара должно, как минимум,
покрывать затраты фирмы на их осуществление. Поэтому с формальной точки
зрения прибыль фирмы можно рассматривать как функцию затрат на
продвижение товара.
Пусть u – совокупные затраты на продвижение товара, осуществленные
за определенный период времени, а Q – объем продаж данного товара за тот же
временной период. Естественно предположить, что Q является функцией от u.
Функция Q u определена при u≥0 и является неотрицательной на
всей области определения. Чем больше затраты на продвижение товара, тем
больше объем продаж. То есть Q u 1 Qu 2  при u 1u 2 . Поэтому, если
считать функцию Q u дифференцируемой на всей области определения, то
Q ' u0 . Вполне естественным будет также предположение о том, что
затраты на продвижение товара имеют убывающую эффективность, то есть чем
больше средств вложено в продвижение товара, тем меньше увеличение
продаж при дальнейшем росте этих затрат. Это означает, что вторая
производная функции Q u отрицательна. Указанным предположениям
удовлетворяет, например, степенная функция следующего вида:
Q u=Q 0ku a
(1)
В соответствии со свойствами функции Q u , должны выполняться
условия 0a1, Q 00, k0 .
Предположим, что фирма не может существенно изменить отпускную
цену на поставляемый товар, а также переменные затраты, связанные с его
производством (заготовлением) и реализацией. В этом случае при любом
объеме продаж маржинальная прибыль на единицу товара является постоянной
величиной.
Пусть m – маржинальная прибыль на единицу товара, а C – постоянные
затраты фирмы. Тогда ее прибыль может быть определена по формуле:
Y u=mQ u−C−u
(2)
Подставив выражение (1) в (2) получим:
Y u=mQ 0 mku a−C −u
(3)
Производная функции (3) равна:
(4)
Y ' u=mkau a−1−1
*
Она обращается в ноль при значении u , равном:
1
1 a−1
*
(5)
u=
mka
 
1
Вторая производная функции прибыли Y u равна mka a−1u a−2 .
Вследствие того, что m0, k0, 0a1 , она отрицательна при всех u0 .
Поэтому в точке u * , определяемой соотношением (5), достигается ее
максимум. Таким образом, формула (5) при известных значениях параметров
m, k и a позволяет определить такой уровень затрат на продвижение товара,
при котором достигается максимальная прибыль.
Рассмотренная модель может быть обобщена для случая, когда затраты
направляются на продвижение всей совокупности товаров, поставляемых
фирмой. В этом случае уже нельзя оперировать натуральными показателями
сбыта и нужно рассматривать его стоимостные характеристики.
Пусть R u – зависимость суммы выручки от реализации от затрат на
продвижение всей совокупности поставляемых фирмой товаров и услуг.
Функция Ru обладает свойствами, аналогичными свойствам функции
Q u . То есть она определена при u≥0 , неотрицательна на всей области
определения, ее первая производная положительна (чем больше затрат на
продвижение товаров, тем больше их сбыт, а, следовательно, и сумма
выручки), а вторая – отрицательна (убывающая эффективность затрат на
продвижение товаров и услуг). Для представления Ru может быть
использована функция вида:
R u=R 0kua
(6)
В соответствии со свойствами функции Q u , должны выполняться
условия 0a1, R00, k0 .
При данной постановке задачи параметр m является нормой
маржинальной прибыли фирмы на рубль выручки от реализации. Решение
задачи максимизации прибыли при данных предположениях и обозначениях
параметров также определяется по формуле (5).
Основной сложностью при практическом применении представленных
моделей является определение параметров функции зависимости объема
продаж (суммы выручки от реализации) от затрат на продвижение товара
(совокупности товаров и услуг). При наличии необходимых статистических
данных о затратах на продвижение и величин объемов реализации или
суммарной выручки указанные параметры могут быть определены методами
статистического оценивания путем построения уравнения регрессии. В том
случае, когда сопоставимые статистические данные отсутствуют, расчет
параметров функций может быть осуществлен на основе экспертных оценок.
Для этого может быть использована следующая процедура.
Пусть R0 – экспертная оценка суммы выручки от реализации при
полном отсутствии затрат на продвижение товаров и услуг фирмы ( u=0 );
u F , R F – затраты на продвижение и выручка от реализации базового
периода; R P – экспертная оценка предполагаемой суммы выручки от
реализации при затратах на продвижение, равных u P .
При этих предположениях неизвестными являются два параметра
функции (6): k и a, которые могут быть определены из системы уравнений:
2
RF = R0 k u F a
(7)
R P = R0k u P a
(8)
Ее решениями являются:
ln  R P − R0 −ln  R F −R0 
a=
(9)
ln u P −ln u F 
R −R
k= F a 0
(10)
uF
Ограничением рассмотренной модели является то, что в ней учитываются
только те затраты на продвижение товара, которые были произведены в
течение одного периода. В то же время, целенаправленная деятельность фирмы
по продвижению товара может проводиться на протяжении достаточно
длительного промежутка времени. В этом случае должна учитываться вся
совокупность затрат на продвижение товара, произведенных на протяжении
нескольких периодов. Затраты прошлых периодов нашли отражение при
формировании определенного имиджа товара у его потребителей. Поэтому,
даже если фирма перестает вкладывать средства в продвижение данного
товара, он еще некоторое время продолжает оставаться "узнаваемым" и
пользоваться определенной популярностью у потребителей.
Очевидно, что одинаковые затраты на продвижение товара в текущем и
прошлых периодах неэквивалентны с точки зрения их влияния на уровень
продаж в текущем периоде. Поэтому влияние ранее произведенных затрат на
продвижение товара на его реализацию в текущем периоде должно
рассматриваться с учетом их дисконтирования.
Пусть U t – совокупные дисконтированные затраты на продвижение
товара, осуществленные за весь период его присутствия на рынке вплоть до
момента времени t. В соответствии с этим определением:
t
uk
U t= ∑
(11)
t−k
k=t 1
t 0 – номер временного периода, соответствующий началу
где
осуществления затрат на продвижение товара; t – номер, соответствующий
текущему периоду времени tt 0  ; u k – затраты на продвижение товара в
период k t 0 ≤k≤t  ;  – коэффициент дисконтирования затрат на
продвижение товара.
Пусть F U  – зависимость суммы выручки от реализации текущего
периода от совокупных дисконтированных затрат на продвижение товара,
произведенных вплоть до текущего периода включительно. Чем больше
средств в совокупности затрачено на продвижение товара – тем он популярнее
и потому его использование приносит больше выручки. Вследствие этого
можно считать, что функция F U  обладает свойствами, аналогичными
свойствам рассмотренных выше функций R u , Q u . То есть она
определена при U ≥0 , неотрицательна на всей области определения, ее
0
3
первая производная положительна, а вторая – отрицательна. Поэтому для
представления F U  можно использовать аналогичную зависимость:
F U =F 0w U b
(12)
При этом должны выполняться условия 0b1, F 00, w0 .
В отличие от статической постановки задачи, норму маржинальной
прибыли на рубль выручки от реализации в разные периоды в общем случае
нельзя считать постоянной, поскольку со временем и цены на поставляемые
фирмой товары (услуги) и совокупные переменные затраты фирмы по разным
причинам могут меняться в достаточно широких пределах. Для большей
общности постановки задачи будем считать также, что постоянные затраты
фирмы тоже подвержены изменениям со временем.
При данных предположениях прибыль фирмы Y t в период t составит:
Y t =m t F U t −C t −u t
(13)
где m t – норма маржинальной прибыли фирмы на рубль выручки от
реализации в период t; U t – совокупные дисконтированные затраты на
продвижение товара, накопленные к периоду t; C t – постоянные затраты
периода t; u t – затраты на продвижение товара в период t.
Целью фирмы является выбор такой политики продвижения товара на
протяжении его жизненного цикла, при которой дисконтированная прибыль от
его продаж за весь период присутствия на рынке была бы максимальной. В
рамках данной постановки задачи управление продвижением товара состоит в
выборе той или иной политики осуществления затрат на его продвижение в
разные периоды. Поэтому функционал задачи может быть представлен в виде:
T t
Yt
= ∑
 max
(14)
t−t
1
t=t
t 0 – номер временного периода, соответствующий началу
где
осуществления затрат на продвижение товара; T – срок, в течении которого
предполагается поставлять товар на рынок; Y t – прибыль фирмы в период t,
рассчитываемая по формуле (13) t 0 ≤t ≤T t 0  ;  – коэффициент
дисконтирования прибыли.
Таким образом, задача оптимизации управления продвижением товара
может быть поставлена в следующем виде:
T t
Yt
= ∑
 max
(15)
t−t
t=t 1
Y t =m t F U t −C t −u t
(16)
b
F U t =F 0 w U t 
(17)
t
uk
U t= ∑
(18)
t−k
k=t 1
t 0≤t≤T t 0
0 ≤u t ≤u max
(19)
t
0
0
0
0
0
0
0
4
где u max
- предельно допустимая величина затрат на продвижение
t
товара в период t t 0≤t≤T t 0 .
Модель (15)-(19) является задачей нелинейного математического
программирования и при наличии должной информационной базы может быть
решена с помощью стандартных пакетов прикладных программ, реализующих
методы численного решения задач условной оптимизации.
5