

(10 класс, модуль I, урок 1)
Урок 1. Об аксиомах
План урока
 1.1. Аксиомы
 1.2. Аксиоматический метод
 Мини-исследование
Цели урока:— изложить суть аксиоматического метода, как способа
построения научной теории, при котором в основу принимаются некоторые
очевидные исходные утверждения (аксиомы), а все остальные утверждения
получаются путем логических рассуждений (или доказательств) с помощью
аксиом.
1.1. Аксиомы
Вы уже знакомы с тем, что в математике принята строгая система
доказательств. Некоторые исходные совершенно ясные для нас утверждения
мы считаем истинными без доказательства и называем их аксиомами.
Аксиомы содержат некоторые начальные понятия, которые
называются основными и которым не дается никаких определений. Тем
самым аксиомы представляют собой принимаемые без доказательства
утверждения о свойствах основных понятий. Все последующие утверждения
выводятся как логические следствия из аксиом и уже доказанных
утверждений.
Вопрос. Какие аксиомы вы знаете?
1.2. Аксиоматический метод
Метод последовательного получения утверждений, исходя из аксиом,
получил
в
математике
название
аксиоматического
метода.
Аксиоматический метод позволяет сводить сложные математические
понятия к простейшим, которые не требуют пояснений. Он позволяет также
устанавливать непротиворечивость данной теории путем построения для нее
конкретной модели, что важно для практики.
Яркий пример применения аксиоматического метода в древней
математике – это попытка изложения геометрии великим Евклидом в его
знаменитых «Началах».
Мини-исследование.
Пусть P обозначает множество положительных действительных
чисел. В качестве исходных свойств упорядочения в множестве
действительных чисел примем следующие:
1. Для всякого действительного числа x либо x  P , либо x  0 ,
либо  x  P , и эти три возможности взаимно исключают друг
друга.
2. Если x, y  P , то x  y  P и xy  P .
По определению x  y (или y  x ) означает, что y  x  P .
Докажите, что если x  P и  y  P , то  xy  P (т.е. произведение
положительного и отрицательного чисел отрицательно).
Докажите, что произведение двух
отрицательных чисел
положительно.
Докажите, что если a  b и c  0, то ac  bc .
Попробуйте установить остальные стандартные свойства неравенств,
1 1
в частности, если a  b и a, b  0, то 
a b
Как доказывать стандартные свойства нестрогих неравенств?
Словарь терминов
Аксиомы — принимаемые без доказательства утверждения о
свойствах основных понятий. При возникновении аксиоматического метода
за аксиомы принимались исходные утверждения, которые представлялись
совершенно ясными и считались истинными без доказательства
Аксиоматический метод — метод построения научной теории путем
последовательного получения утверждений, исходя из аксиом теории.