Равновесная конфигурация сетчатой оболочки с

УДК 539.3
Равновесная конфигурация сетчатой
оболочки с несимметричной укладкой
нитей по геодезическим линиям
Чан Ки Ан
Разработана методика расчета и построения равновесных профилей
сетчатых оболочек, полученных геодезической намоткой с различными
углами укладки нитей левого и правого семейств. Методика сведена
к численному интегрированию системы двух уравнений с начальными ус
ловиями. Приведены примеры построения равновесных профилей сетча
тых оболочек с несимметрично уложенными нитями при различных зна
чениях безразмерных параметров.
Чан Ки Ан
аспирант кафедры
«Прикладная механика»
(МГТУ им. Н.Э. Баумана)
Ключевые слова: сетчатые оболочки, равновесная конфигурация,
геодезическая несимметричная укладка нитей.
The article presents an approach to calculate the uniform deformation of
lattice shells obtained from geodesic winding two systems of left and right wires
around a spiral rib at different angles. The approach is based on solving a system
of two differential equations with specific initial conditions using numerical
method. As illustrative examples, we apply the approach to calculate the uniform
deformation of lattice shells asymmetrically wound with different values of
dimensionless parameters.
Keywords: lattice shells, equilibrium profile, asymmetrical geodesic
winding.
оболочки, выполненные непрерывной намоткой
Композитные
успешно применяют при конструировании баллонов давления,
корпусов летательных аппаратов и других изделий. Если семейств ни"
тей всего две — левое и правое, то сетка нитей является геометриче"
ски изменяемой, так как в ее основе лежит нежесткая фигура — па"
раллелограмм, а сами нити могут свободно изгибаться. Некоторую
конфигурацию, которая называется равновесной, такая оболочка
приобретает при приложении основных нагрузок — давления и осевой
силы (аналогичным образом ведут себя «мягкие» оболочки). Равно"
весная конфигурация определяется теорией сетчатых оболочек [1, 2].
При намотке на оправку из условия отсутствия проскальзывания сле"
дует, что нить должна ложиться по геодезическим линиям оправки [3],
поэтому равновесные профили таких оболочек иногда называют гео"
дезическими.
Как правило, наклон нитей левого и правого семейств одинаков
[1—3], что обусловлено технологией непрерывной намотки. Однако,
если допустить возможность различного наклона нитей левого и пра"
вого семейств, то это существенно расширит спектр равновесных кон"
фигураций сетчатых оболочек, изготовляемых намоткой. Данная ста"
2011. ¹12
23
Рис. 1. Схема нагружения сетчатой оболочки,
координаты и расположение нитей на ее срединной
поверхности
тья посвящена разработке методики расчета
и построения профилей таких оболочек.
Стенка сетчатой оболочки вращения обра"
зована сетью из двух несимметрично располо"
женных систем нитей (рис. 1). Поверхность та"
кой оболочки удобно исследовать, пользуясь
обычной системой гауссовых координат s, ϕ: s —
длина дуги меридиана от некоторой начальной
параллели; ϕ — угол, определяющий положение
меридиональной плоскости.
В произвольной точке оболочки направле"
ния нитей составляют с меридианом углы β п и
β л , которые зависят только от координаты s.
ds
Участок ds 2 = rdϕ пересекает k 2 cosβ п и
hп
ds
k 2 cosβ л нитей каждого из направлений, где
hл
hл, hп — шаги нитей левого и правого семейств
(рис. 2), k — количество слоев. Суммарное уси"
лие в меридиональном направлении, воспри"
нимаемое участком ds 2 , составляет (см. рис. 2)
ds
ds
T1 ds 2 = kN п 2 cos 2 β п + kN л 2 cos 2 β л ,
hп
hл
где N п , N л — усилие в нитях (натяжение) пра"
вого и левого семейства.
24
Рис. 2. Шаги нитей, натяжения нитей и мембранные
усилия (ds1 = ds, ds2 = rdϕ)
Отношение полученной силы к ds 2 дает
мембранное усилие T1, усилия T2 и S получают"
ся аналогично:
ì
N
N
ïT1 = k п cos 2 β п + k л cos 2 β л ;
hп
hл
ï
ï
N
N
íT 2 = k п sin 2 β п + k л sin 2 β л ;
hп
hл
ï
ï
N
N
ïS = k п cos β п sin β п - k л cos β л sin β л .
hл
hп
î
(1)
Система (1) связывает три мембранных уси"
лия T1 ,T 2 , S с двумя натяжениями нитей N п ,
N л . Исключив N п , N л из (1), получим следую"
щее тождественное соотношение, связываю"
щее T1 ,T 2 и S :
T 2 = S (tgβ п - tgβ л ) +T1 tgβ п tgβ л .
(2)
При отсутствии крутящего момента отсутст"
вует и сдвигающая сила (S = 0), что приводит
к упрощенному варианту выражения (2):
T 2 =T1 tgβ п tgβ л .
(3)
2011. ¹12
Соотношение (3) обобщает хорошо извест"
ное уравнение (4) из работ [1, 2] на случай не"
симметричной укладки нитей
T 2 =T1 tg 2 β.
(4)
В работе [1] показано, что из формулы (4)
следует результирующее геометрическое соот"
ношение
1/ 2
½c r 2 -c 2 -c r 2 -c 2 ½
æ 2 P0 ö
л
п
п
л
÷
ç
½ . (9)
½
sin θ = Açr + ÷
2
2
2
2
πp ø
è
½c п r -c л +c л r -c п ½
Постоянная A определяется из условия на
экваторе оболочки: для максимального радиуса
оболочки r = R наклон нормали к оси составля"
ет прямой угол (sinθ=1), это приводит к окон"
чательному выражению для sinθ:
2
sin θ = A(r + P0 / πp)e
2
ò tgr β dr
-
1/ 2
,
(5)
где θ — угол наклона нормали к оси оболочки;
А — произвольная постоянная.
Поскольку переход от симметричной уклад"
ки к несимметричной фактически сводится
к замене (4) на (3), т. е. к замене tg2β на tgβпtgβл,
то очевидно, что аналогичная замена в (5) при"
водит к результирующему геометрическому со"
отношению для несимметричной укладки нитей
sin θ = A(r 2 + P0 / πp)e
ò
-
tgβ пtgβ л
dr
r
.
(6)
Для оболочек, изготовляемых намоткой на"
тянутых нитей на оправку (например, для стек"
лопластиковых оболочек, получаемых спи"
ральной намоткой), нити укладывают по крат"
чайшим расстояниям, т. е. по геодезическим
линиям. Уравнение геодезических линий на
поверхности вращения имеет вид [1]
c
c
sin β п = п ; sin β л = л ,
r
r
(7)
где c п , c л — геометрические параметры, опре"
деляемые технологией изготовления. Подста"
новка (7) в (6) приводит к неопределенному
интегралу, вычисляемому в аналитическом
виде:
tgβ tgβ
c c
ò пr л dr = ò 2 п2 л 2 2 dr =
r r -cп r -cл
(8)
2
2
2
2½
½
1 cл r -cп +cп r -cл
½,
= ln½
2 ½c л r 2 - c п2 - c п r 2 - c л2½
где знак модуля вызван симметрией при замене
индексов (c п « c л ).
Из выражений (6) и (8) следует основная
формула, определяющая геометрию рассмат"
риваемого класса оболочек:
2011. ¹12
½c r 2 -c 2 -c r 2 -c 2 ½
æ 2 P0 ö
л
п
п
л
÷
ç
½
½
r
+
÷
ç
2
2
2
2
p
π
ø
è
½c п r -c л +c л r -c п ½
sin θ =
. (10)
1/ 2
2
2
2
2½
½
æ 2 P0 öc л R -c п -c п R -c л
ç
½
½
÷
çR + ÷
2
2
2
2
πp ø
è
½c п R -c л +c л R -c п ½
Осевая и радиальная координата связаны
следующим образом:
dz = drtgθ =-
sin θ
1- sin 2 θ
dr .
(11)
Из выражений (10) и (11) следует, что опре"
деление уравнения меридиана оболочки z = z(r)
свелось к квадратуре. Однако вычисление ука"
занной квадратуры затруднительно из"за обра"
щения знаменателя (11) в нуль на экваторе
оболочки. В связи с этим численное интегри"
рование проводилось по безразмерному мери"
диану оболочки на основе соотношений
dz
= sin θ;
ds
dr
= cos θ =- 1- sin 2 θ.
ds
(12)
Для сокращения числа параметров, опреде"
ляющих форму оболочки, были введены без"
размерные параметры
c
c
P
(13)
αп = п ; αл = л ; Π= 0 2 .
R
R
pπR
Аналогичным образом вводились безраз"
мерные переменные:
σ=
s
r
z
; ρ= ; ζ = .
R
R
R
(14)
Подстановки (13), (14) в (10), (12) приводят
к системе безразмерных дифференциальных
уравнений, удобной для расчета профиля обо"
лочки:
25
ì
½α ρ 2 - α 2 - α ρ 2 - α 2½1 / 2
п
п
л
ï
½ л
½
ï
2
2
2
2
2
+
α
ρ
α
α
ρ
α
½
л
л
п½
ïsinθ = ρ + Π п
;
ï
1+ Π ½α 1- α 2 - α 1- α 2½1 / 2
п
п
л
ï
½ л
½
ï
2
α п 1- α л + α л 1- α п2½
½
ï
ïdζ
í = sin θ;
(15)
ïdσ
ïdρ
2
ï =- 1- sin θ.
d
σ
ï
ï
ï
ï
ï
î
Для интегрирования уравнения (15) приме"
нялись встроенные процедуры из компьютер"
ного пакета MATLAB. Нижняя граница интер"
вала интегрирования принималась равной
нулю (σ = 0), верхняя граница определялась
подбором. Система (15) интегрировалась со
следующими начальными условиями:
ζ(0) = 0;
(16)
ρ(0) =1.
Построенные профили оболочек, получен"
ные численным интегрированием уравнения
(15) с учетом (16) представлены на рис. 3—4.
C целью сопоставления на рисунках показаны
также равновесные профили сетчатых оболочек с
симметрично уложенными нитями (αл = αп = 0,5),
для расчета которых применялась методика из [1]
(применение уравнений (16) в случае симметричной
укладки нитей невозможно из"за обращения
числителя и знаменателя дроби в нуль). Из рисунков
видно, что несимметричная укладка, в самом деле,
позволяет получать профили существенно
отличающиеся от традиционных профилей,
изготовленных симметричной намоткой.
Выводы
1. Разработана методика расчета и построения
равновесных профилей сетчатых оболочек с не"
симметричной геодезической укладкой нитей.
2. Основное уравнение, определяющее равно"
весную конфигурацию оболочки, проинтегриро"
вано в аналитическом виде. Для уравнений, опре"
деляющих координаты равновесного профиля
приведены несложные дифференциальные урав"
нения (16) с начальными условиями (17).
26
Рис. 3. Равновесные профили сетчатой оболочки при
П=0, αЛ=0.5, αП={0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5}
Рис. 4. Равновесные профили сетчатой оболочки при
П=0.5, αЛ=0.5, αП={0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5}
3. Представлены примеры построения рав"
новесных профилей сетчатых оболочек с не"
симметрично уложенными нитями при различ"
ных значениях безразмерных параметров.
Показано, что несимметричная укладка нитей
значительно расширяет набор равновесных
профилей.
Литература
1. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций.
Статика. М.: Машиностроение, 1977. 488 с.
2. Бидерман В.Л., Бухин Б.Л. Уравнения равновесия без"
моментной сетчатой оболочки // Изв. АН СССР. Механика
твердого тела. 1966. № 1. С. 81—89.
3. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптималь"
ное армирование оболочек вращения из композиционных
материалов. М.: Машиностроение, 1977. 144 с.
Статья поступила в редакцию 01.11.2011
2011. ¹12