Кривые поверх. их образов., классифик. и изображение

Н. И. Привалов, А. П. Иващенко
КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ, ИХ
ОБРАЗОВАНИЕ, КЛАССИФИКАЦИЯ
И ИЗОБРАЖЕНИЕ
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО
УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Н. И. Привалов, А. П. Иващенко
КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ, ИХ
ОБРАЗОВАНИЕ, КЛАССИФИКАЦИЯ
И ИЗОБРАЖЕНИЕ
Учебное пособие
Волгоград
2015
1
УДК 744 (075.8)
П 75
Рецензенты: исп. директор ЗАО «Астория» Н. В. Бойко; зам.
директора по учебной работе ГАОУ СПО «Камышинский политехнический колледж» Л. А. Сергеева
Привалов, Н. И. КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ, ИХ ОБРАЗОВАНИЕ,
КЛАССИФИКАЦИЯ И ИЗОБРАЖЕНИЕ: учеб. пособие / Н. И. Привалов,
А. П. Иващенко. – Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2015. – 44 с.
ISBN 978-5-9948-1659-2
Представлены основные кривые поверхности, применяемые в
технике, их образование, классификация и изображение, а также
даются варианты заданий по теме.
Предназначено для студентов ВПО направлений 13.03.02
«Электроэнергетика и электротехника», 29.03.02 «Технология и
проектирование текстильных изделий» и 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», изучающих дисциплину «Начертательная геометрия. Инженерная графика».
Ил. 31.
Библиогр.: 5 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
©
ISBN 978-5-9948-1659-2
2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2015
ВВЕДЕНИЕ
Мир поверхностей разнообразен и безграничен. Он простирается от элементарной, отличающейся простотой и математической
строгостью плоскости до сложнейших, причудливых форм криволинейных поверхностей, не поддающихся математическому описанию.
Без преувеличения можно сказать, что по разнообразию форм
и свойств, по своему значению при формировании различных геометрических фигур, по той роли, которую они играют в науке,
технике, архитектуре, изобразительном искусстве, поверхности не
имеют себе равных.
Любой естественный предмет или любое искусственное изделие ограничено поверхностями. Естественные предметы люди
воспринимают такими, какие они есть, или придают им необходимые формы. Искусственные изделия, созданные в результате творчества людей, формируются по определенным заданным условиям. Эти условия могут быть продиктованы целесообразностью
взаимодействия с окружающей средой, выполнением определенных функций, прочностью, аэродинамическими характеристиками,
эргономическими требованиями, целесообразным эстетическим
воздействием и другими требованиями или желаниями. Немаловажное значение имеет трудоемкость изготовления изделия и, наконец, стоимость производства.
Многие эти свойства могут быть выполнены при удачном выборе поверхностей, формирующих формы изделия, еще на стадии
творческого создания образа изделия.
В математике под поверхностью подразумевается непрерывное множество точек, и если между координатами этих точек устанавливается зависимость – в форме алгебраического уравнения
или трансцендентной функции, то в первом случае поверхность
называют алгебраической, во втором – трансцендентной.
В начертательной геометрии геометрические фигуры задаются
графически, поэтому целесообразно поверхность рассматривать
как совокупность всех последовательных положений некоторой
перемещающейся в пространстве линии.
3
1. ОБРАЗОВАНИЕ И ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ НА
ЧЕРТЕЖЕ
1.1. Кинематический способ
Поверхность образуется непрерывным перемещением линии (образующей) в пространстве по определенному закону.
Закон перемещения образующей обычно задают в виде линий
(направляющих).
В процессе образования поверхности образующая может оставаться неизменной (поверхность с постоянной образующей) или менять свою форму и положение в пространстве (поверхность с переменной образующей).
Рис. 1.
Для наглядности изображения поверхности на эпюре Монжа
закон перемещения образующей целесообразно задавать графически в виде семейства линий. Так, закон перемещения кривой а
(рис. 1) зададим двумя направляющими m и n и плоскостью .
При этом имеется в виду, что образующая а скользит по направляющим m и n, все время оставаясь параллельной плоскости .
1.2. Каркасный способ
Множество точек или линий, определяющих поверхность,
называется ее каркасом.
В зависимости от того, чем задается каркас поверхности, точками или линиями, каркасы подразделяют на точечные и линейные.
Линейным каркасом называется множество линий,
имеющих единый закон образования и связанных между собой
определенной зависимостью.
4
Закон образования линий каркаса называется законом каркаса.
Зависимость, устанавливающую связь между его линиями, называют
зависимостью каркаса. Зависимость каркаса характеризуется некоторой изменяемой величиной, называемой параметром каркаса.
Линейный каркас считается непрерывным, если параметр
каркаса – непрерывная функция, в противном случае он называется дискретным.
В качестве линий, образующих каркас, обычно берут семейство плоских линий, полученных в результате сечения поверхности
пучком параллельных плоскостей. Непрерывное однопараметрическое множество линий в пространстве задает поверхность
и, обратно, всякая поверхность может быть представлена однопараметрическим множеством линий, свойства которых и
закон их распределения в пространстве определяют свойства
поверхности.
На рис. 2. показан каркас поверхности, состоящий из двух ортогонально расположенных семейств линий а1, а2, а3, , аn и b1,
b2, b3, ., bn.
Рис. 2.
Эта пара семейств линий обладает тем свойством, что каждое
из семейств может быть как образующими линиями, так и направляющими.
Две группы таких линий пересекают друг друга, образуя каркасную поверхность. Точки пересечения линий образуют точечный каркас, который может быть задан и координатами точек поверхности.
Такой способ задания поверхностей на чертеже служит для
5
изображения поверхностей, образование которых не подчинено никакому геометрическому закону. Так, например, каркасные поверхности широко используют при конструировании корпусов судов,
самолетов и автомобилей.
2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ
Кинематический способ образования поверхности подводит
нас к понятию определителя, под которым мы будем подразумевать совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность.
В число условий, входящих в состав определителя, должны
быть включены:
1) геометрические фигуры (точки, линии, поверхности), с помощькоторых может быть образована поверхность;
2) алгоритм формирования поверхности из геометрических
фигур, включенных в состав определителя.
Чтобы отличить первую (геометрическую) часть определителя
от второй (алгоритмической) части, условимся заключать первую
– в круглые, а вторую – в квадратные скобки. Тогда определитель
произвольной поверхности будет иметь следующую структурную
форму:
Ф (Г) [А],
где (Г) – геометрическая часть; [А] – алгоритмическая часть.
Чтобы найти (установить) определитель поверхности, следует
исходить из кинематического способа ее образования. Ввиду того,
что поверхность может быть образована различным путем, то,
очевидно, одна и та же поверхность может иметь различные определители.
Например: поверхность прямого кругового цилиндра с кинематической точки зрения можно представить:
а) как след, оставляемый в пространстве прямой а, при ее
вращении вокруг оси т.
При этом прямая а задает образующую, а ось m – словесное
добавление, что цилиндрическая поверхность является поверхностью
вращения – определяет закон движения образующей а (рис. 3, а). Определителем цилиндрической поверхности вращения будет:
Ф (а, m) [А1].
6
а)
б)
в)
г)
Рис. 3.
Образование цилиндрической поверхности вращения может
быть представлено также:
б) вращением кривой b вокруг оси т (рис. 3, б); тогда определитель поверхности можно записать:
Ф (b, m) [А1];
в) поступательным перемещением окружности с, при этом
центр окружности о перемещается вдоль оси т, а ее плоскость все
время остается перпендикулярной к этой оси (рис. 3, в). Определитель может быть записан в следующей форме:
Ф (c, т)[А2].
И, наконец, цилиндрическую поверхность вращения можно
рассматривать как
г) огибающую всех положений сферической поверхности р постоянного радиуса, центр которой перемещается по оси m (рис. 3, г).
Определитель в этом случае примет вид:
Ф (р, m) [A2].
Из множества определителей поверхности обычно стремятся
выбрать наиболее простой, в рассматриваемом случае таким определителем будет Ф (а, т) [А1].
7
3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Чтобы задать поверхность на чертеже, достаточно указать
проекции не всего множества точек или линий, принадлежащих
поверхности, а только некоторых из них, либо входящих в состав
ее определителя, либо задающих каркас поверхности (точечный
или линейный). В первом случае поверхность задается определителем, во втором – каркасом.
Задание поверхности проекциями геометрических элементов
ее определителя не всегда обеспечивает наглядность, а это, в свою
очередь, затрудняет чтение чертежа. Поэтому для получения наглядного изображения поверхности на эпюре Монжа в ряде случаев следует указывать очерк (очертание) этой поверхности.
Очерком поверхности (при ортогональном проецировании)
называют след на плоскости проекции проецирующей цилиндрической поверхности, которая огибает заданную поверхность.
4. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Многообразие форм поверхностей создает большие трудности
при их исследовании. Для облегчения изучения поверхностей целесообразно осуществлять их систематизацию, распределив все
поверхности по классам, группам и видам.
Признаком для отнесения поверхности к тому или иному
классу (подклассу, группе, виду) может служить, в частности,
единство способа ее образования, то есть тех условий, которые
входят в определитель поверхности.
Поэтому в основу систематизации поверхностей может быть
положен их определитель.
Будем считать, что поверхности принадлежат к одному
классу, если они имеют единую структурную форму определителя и одинаковое значение его геометрической части. Используя отмеченные критерии, все многообразие поверхностей может
быть разделено на два класса.
Класс I составляют поверхности, имеющие определитель:
Ф (а, т) [А, А1],
где а – криволинейная образующая; т – направляющая; А –
закон перемещения образующей; A1 – закон изменения формы образующей.
Класс II составляют поверхности, определитель которых име8
ет вид:
Ф (т, п, ℓ),
здесь т, п и ℓ – направляющие (прямолинейная образующая а
в определитель не входит).
Класс I объединяет поверхности нелинейчатые (образующая – кривая линия).
Класс II объединяет поверхности линейчатые (образующая
– прямая линия).
При такой классификации поверхностей во внимание принималась форма образующей, то есть геометрическая часть определителя.
Условия алгоритмической части определителя, характеризующие закон движения образующей, позволяют выделить из I и
II классов поверхностей три подкласса (рис. 4).
Подкласс 1 содержит поверхности, образованные поступательным перемещением образующей линии. Такие поверхности
называют поверхностями параллельного переноса.
Подкласс 2 составляют поверхности, образованные вращательным перемещением образующей линии, – поверхности вращения.
Подкласс 3 включает поверхности, образованные винтовым
перемещением образующей, – поверхности винтовые.
Поверхности подклассов 1, 2 и 3 имеют одинаковую структурную форму определителя:
Ф (а, т)[А],
у них может быть также одинаковая геометрическая часть определителя, но алгоритмическая часть [А] различная.
Каждый из классов I и II делится на группы А, Б, ..., которые
могут быть подразделены на подгруппы а, б, .... В свою очередь
подгруппы состоят из отдельных видов поверхностей. Критерии
для деления на группы, подгруппы и виды также берутся из определителя поверхности. Например, II класс (поверхности линейчатые) содержит три группы АII, БII и ВII. Признаком для такого разделения служит число направляющих:
АII – поверхности линейчатые с тремя направляющими:
Ф (т, п, ℓ).
БII – поверхности линейчатые с двумя направляющими:
Ф (т, п)[А1].
ВII – поверхности линейчатые с одной направляющей:
Ф (т)[А2].
9
П О В Е Р Х Н О С Т И Ф (Г)
I. Поверхности нелинейчатые Ф (a, m,) [ A, A1]
Классы (I, II)
II. Поверхности линейчатые Ф (m, n, ℓ )
1. Поверхности параллельного переноса Ф (a, m) [A]
Подклассы
(1, 2, 3)
2. Поверхности вращения Ф (a, m) [A]
3. Поверхности винтовые Ф (a, m) [A]
Группы
(А, Б, В)
10
АI
С образующей
переменного
вида
Ф (a, m) [A, A1]
aI
бI
вI
БI
С образующей
постоянного
вида
. [A]
Ф (a, m)
гI
дI
Б II
Две
направляющие
Ф (m, n) [A]
AII
Три
направляющие
Ф (m, n, ℓ )
аII
бII
в II
B II
Одна
направляющая
Ф (m) [A]
Подгруппы
(а, б, в)
гII
Виды
(a, b, g)
Рис. 4.
10
В свою очередь каждая из отмеченных групп подразделяется
на подгруппы.
А II Три направляющие
Ф (m, n, ℓ )
Группа
Подгруппы
a II Косой цилиндр
с тремя
направляющими
б II Дважды
косой
цилиндроид
вII Дважды
косой
коноид
г II Однополостной
гиперболоид
Виды
Поверхность
косого клина
a
Поверхность дважды
косого винтового
цилиндроида
b
Поверхность
косого перехода
g
Рис. 5.
Так группа АII содержит четыре подгруппы (см. рис. 5):
аII – косой цилиндр с тремя направляющими:
~
~ , n~ , l ),
Ф( m
все три направляющие – кривые;
бII – дважды косой цилиндроид:
~ , n~ , l ),
Ф (m
две направляющие кривые, одна – прямая;
вII – дважды косой коноид
~ , n , l ),
Ф (m
одна направляющая кривая, две – прямые;
гII – однополостный гиперболоид:
Ф ( m , n , l ),
все три направляющих прямые.
Каждая из подгрупп включает отдельные виды поверхностей,
например: в подгруппу бII входят  – поверхность косого клина, 
–поверхность дважды косого винтового цилиндроида и  – поверхность косого перехода.
Рассмотрим более подробно поверхности, входящие в каждый
из отмеченных классов и подклассов.
11
5. КЛАСС I. ПОВЕРХНОСТИ НЕЛИНЕЙЧАТЫЕ
5.1. Поверхности нелинейчатые с образующей
переменного вида (группа AI)
Эта группа поверхностей имеет единый по форме определитель:
Ф (a, m) [A, A1],
в котором а – образующая переменного вида, т – направляющая,
А – закон перемещения образующей по направляющей, А1 – закон
изменения формы образующей.
Рассматриваемая группа поверхностей включает в себя три подгруппы:
1. Поверхность общего вида (aI) (рис. 6). Такая поверхность
может быть образована перемеще-нием произвольной (плоской или пространственной)
кривой а по криволинейной направляющей т. В процессе движения, которое опре-деляется условием [А], образующая кривая а
изменяет свою форму по закону
[A1].
Рис. 6. Поверхность общего вида (а1)
2. Каналовая поверхность (бI) (рис. 7). Каналовой поверхностью называют поверхность, образованную непрерывным
каркасом замкнутых плоских сечений, определенным образом
ориентированных в пространстве. Площади этих сечений монотонно изменяются в процессе их перемещения по направляющей.
В инженерной практике наибольшее распространение получили два способа ориентирования плоскостей образующих:
1) параллельно какой-либо плоскости – каналовые поверхности с плоскостью параллелизма;
2) перпендикулярно к направляющей линии – нормальные
(прямые) каналовые поверхности.
12
Рис. 7. Каналовая поверхность (б1)
Каналовая поверхность может быть использована для создания переходных участков между двумя поверхностями типа трубопроводов, имеющих:
а) различную форму, но одинаковую площадь нормального
сечения;
б) одинаковую форму, но различные площади сечения;
в) различную форму и различные площади поперечных сечений.
3. Циклическая поверхность (BI) (рис. 8). Циклическую поверхность можно рассматривать как частный случай каналовой
поверхности. Она образуется с помощью окружности, центр
которой перемещается по криволинейной направляющей.
О3
О2
а
Рис. 8. Циклическая поверхность
13
5.2. Поверхности нелинейчатые с образующей
постоянного вида (группа БI )
Определитель таких поверхностей имеет вид:
Ф (а, т)[А],
где а – образующая; т – направляющая; [А] – закон перемещения образующей.
Эта группа поверхностей включает в себя две подгруппы:
1. Поверхность общего вида (г1) (рис. 9) образуется произвольной (плоской или пространственной) кривой а, характер перемещения которой
определяется формой и положением направляющей т и дополнительными условиями, составляющими содержание [А].
В качестве дополнительных
условий [А] при образовании поверхности вида гI можно, в частности, принять, что точка А  а
Рис. 9. Поверхность
скользит по кривой т, а биноробщего вида (г1)
маль кривой а в точке А всегда принадлежит спрямляющей плоскости а кривой т.
2. Трубчатая поверхность (д1). Трубчатая поверхность является частным случаем циклической и каналовой поверхностей.
Она содержит в себе свойства, присущие этим видам поверхностей. У циклической поверхности она позаимствовала форму образующей, а у каналовой – закон движения этой образующей.
Итак, трубчатая поверхность может быть получена при
движении окружности постоянного радиуса по криволинейной
направляющей; плоскость окружности все время остается перпендикулярной к направляющей. Трубчатая поверхность может
также быть образована движением сферы постоянного радиуса,
центр которой перемещается по криволинейной направляющей.
6. КЛАСС II. ПОВЕРХНОСТИ ЛИНЕЙЧАТЫЕ
6.1. Поверхности линейчатые с тремя направляющими
(группа АII)
Определитель линейчатой поверхности с тремя направляю14
щими имеет вид:
Ф (т, п, ℓ),
здесь т, п и ℓ – направляющие.
В зависимости от формы направляющих и их расположения в
пространстве получаем разнообразные поверхности этой группы,
которые могут быть отнесены к четырем подгруппам.
1. Поверхность косого цилиндра с тремя направляющими
(аII) образуется при движении прямолинейной образующей по
трем криволинейным направляющим (рис. 10).
Рис. 10. Поверхность косого цилиндра с тремя направляющими (аII)
(поверхность общего вида)
2. Поверхность дважды косого цилиндроида (бII) (рис. 11).
Поверхность дважды косого цилиндроида образуется в том
случае, когда две из трех направляющих кривые, а третья –
прямая линия.
В инженерной практике находят применение частные случаи
поверхности этого вида.
Рис. 11. Поверхность дважды
косого цилиндроида (бII)
15
3. Поверхность косого клина (). Эта поверхность получается в том случае, когда все три направляющие расположены в
параллельных плоскостях, причем криволинейные направляющие – гладкие кривые (рис. 12).
Поверхность косого клина используется при конструировании
поверхности крыла летательного аппарата. При этом достигаются не
только высокие аэродинамические свойства крыла, но и обеспечиваются хорошие технологические условия изготовления его каркаса.
Рис. 12. Поверхность косого клина ( )
4. Поверхность дважды косого коноида (в) образуется в
случае, когда одна из трех направляющих – кривая, а две другие – прямые линии. На рис. 13, кроме направляющих т, п и ℓ
показана прямолинейная образующая а, которая пересекает направляющие в точках М, N и L.
Рис. 13. Поверхность
дважды косого коноида (в)
5. Поверхность однополостного гиперболоида (г) (рис. 14).
Поверхность однополостного гиперболоида может быть получена при движении прямолинейной образующей по трем скрещивающимся прямым, не параллельным одной плоскости.
16
Рис. 14. Поверхность
однополостного гиперболоида
(г)
6.2. Поверхности линейчатые с двумя направляющими
и направляющей плоскостью (группа БII)
В рассматриваемую группу поверхностей входят три подгруппы поверхностей:
а) цилиндроиды, б) коноиды, в) косые плоскости.
Перечисленные подгруппы поверхностей могут быть отнесены к двум разновидностям:
1) поверхности, образованные с помощью направляющей плоскости;
2) поверхности, в создании которых принимала участие плоскость параллелизма.
К первой разновидности относятся косые линейчатые поверхности (косой цилиндроид, косой коноид, дважды косая плоскость); ко второй – прямые линейчатые поверхности (прямой
цилиндроид, прямой коноид, косая плоскость). Поверхности с
плоскостью параллелизма называются поверхностями Каталана.
Из линейчатых поверхностей с двумя направляющими рассмотрим
только поверхности Каталана, так как именно эти поверхности находят широкое применение в технике.
6.2.1. Поверхности линейчатые с двумя направляющими
и плоскостью параллелизма (поверхности Каталана)
Определитель для группы поверхностей Каталана имеет вид:
Ф (т, п)[А].
Для задания поверхности этой группы на эпюре Монжа достаточно указать проекции направляющих т и п и положение плоскости параллелизма .
1. Поверхность прямого цилиндроида (рис. 15). Поверх17
ность прямого цилиндроида образуется в том случае, когда
направляющие т и п – гладкие кривые линии, причем одна из
них должна принадлежать плоскости, перпендикулярной плоскости параллелизма.
Поверхность прямого цилиндроида находит применение в инженерной практике. В частности, она используется при изготовлении воздухопроводов большого диаметра.
m
Рис. 15. Поверхность прямого
цилиндроида
2. Поверхность прямого коноида (рис. 16). Отличие поверхности коноида от цилиндроида состоит только в том, что одна из
направляющих линий коноида – прямая.
Коноид называется прямым, если его прямолинейная
направляющая перпендикулярна плоскости параллелизма.
Поверхность прямого коноида используется в гидротехническом строительстве для формирования поверхности устоев мостовых опор.
Рис. 16. Поверхность прямого
коноида
18
3. Поверхность гиперболического параболоида (косая
плоскость) (рис. 17).
Гиперболический параболоид может быть получен также
при скольжении прямой по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим, при этом образующая все время остается параллельной плоскости параллелизма.
В технике гиперболический параболоид часто называют косой
плоскостью.
Косая плоскость находит широкое пременение в инженернострои-тельной практике для формирования поверхностей откосов,
насыпей, железных и автомобильных дорог, набережных, гидротехнических сооружений в местах сопряжения откосов, имеющих
различные углы наклона.
Рис. 17. Поверхность
гиперболического параболоида
(косая плоскость)
6.3. Поверхности линейчатые с одной
направляющей (торсы)(группа ВII)
Торсом называют линейчатую поверхность, которую
можно совместить всеми ее точками с плоскостью без складок
и разрывов. Такие поверхности называют также развертывающимися поверхнос-тями. Определитель этой группы поверхностей имеет вид:
Ф (m)[A].
1. Поверхность с ребром возврата (рис. 18). Непрерывное
множество этих касательных образует плавную поверхность с
ребром возврата. Так как в каждой точке плавной кривой можно
провести только одну касательную, то при задании поверхности с
ребром возврата направляющую – кривую т можно не указывать.
Поэтому определитель такой поверхности будет иметь вид:
Ф (т1)[А],
19
где т1 – пространственная плавная кривая – ребро возврата;
[А] – условие, отражающее закон движения прямолинейной образующей, заключающееся в том, что она все время остается касательной к ребру возврата.
Рис. 18. Поверхность с
ребром возврата
2. Цилиндрическая поверхность (рис. 19). Определитель цилиндрической поверхности:
Ф (т)[А].
В этом случае т – криволинейная (плоская или пространственная) направляющая; [А] – условие параллельности всех прямолинейных образующих.
Рис. 19. Цилиндрическая
поверхность
3. Коническая поверхность (рис. 20). Все прямолинейные образующие конической поверхности пересекаются в собственной точке S.
Определитель конической поверхности:
Ф (т)[А],
где т – криволинейная (плоская или пространственная) направляющая; [А] – условие прохождения всех прямолинейных образующих через собственную точку S.
20
Рис. 20. Коническая
поверхность
7. ПОВЕРХНОСТИ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА
(ПОДКЛАСС 1 )
Поверхностью параллельного переноса называется поверхность, образованная поступательным перемещением плоской линии. При этом образующие поверхность линии все
время остаются параллельными между собой (рис. 21).
Рис. 21. Поверхность
параллельного
переноса
Под параллельными кривыми линиями подразумеваются линии, получаемые одна из другой путем параллельного переноса
принадлежащих им точек на некоторое одинаковое расстояние.
В общем случае определитель поверхности параллельного переноса имеет вид:
Ф (а, т)[А].
В геометрическую часть определителя входят образующая
кривая а и направляющая т. Алгоритмическая часть состоит из
условия параллельного перемещения точек образующей.
21
8. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ (ПОДКЛАСС 2)
8.1. Поверхности вращения общего вида
Поверхностью вращения общего вида называют поверхность, которая образуется произвольной кривой (плоской или
пространственной) при ее вращении вокруг неподвижной оси
(рис. 22).
Рис. 22. Поверхность вращения общего вида
В состав определителя поверхности вращения входит образующая а, ось вращения т и условие [А] о том, что эта образующая вращается вокруг оси т:
Ф (а, т)[А].
Каждая точка образующей а (А, В, С, D, E) при вращении вокруг оси т описывает окружность с центром на оси вращения. Эти
окружности называют параллелями.
Наибольшую и наименьшую параллель называют соответственно экватором и горлом (шейкой).
Плоскости , проходящие через ось поверхности вращения,
называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность, – меридианами.
Меридиональную плоскость 1, параллельную плоскости проекции, принято называть главной меридиональной плоскостью,
а линию ее пересечения с поверхностью вращения – главным меридианом.
22
8.2. Частные виды поверхностей вращения
В технике, в частности в машиностроении, поверхности вращения находят широкое применение. Это объясняется распространенностью вращательного движения и простотой обработки поверхностей вращения на станках.
Возьмем в качестве образующей окружность. В зависимости
от взаимного расположения окружности и оси вращения можно
получить различные поверхности:
1. Top. Поверхность тора может быть получена при вращении окружности а вокруг оси т, принадлежащей плоскости
этой окружности , но не проходящей через ее центр О.
В зависимости от соотношения величин R – радиуса образующей окружности и расстояния t от центра окружности до оси
вращения поверхность тора подразделяют на:
• открытый тор (или кольцо) при R < t – окружность не
пересекает ось вращения (рис. 23, а);
• закрытый тор при R  t – окружность пересекает ось
вращения или касается ее (рис. 23, б).
2. Сфера. Поверхность сферы образуется в том случае, когда центр окружности принадлежит оси вращения О  т, т. е.
сферу можно рассматривать как частный случай тора, у которого t =
0 (рис. 23, в).
3. Параболоид вращения. Для того чтобы получить поверхность параболоида вращения, в определителе поверхности вращения за образующую а следует принять параболу, а за ось вращения т – ее ось (рис. 23, г). Для задания параболоида вращения на
эпюре Монжа достаточно указать проекции образующей а и оси т.
4. Эллипсоид вращения. Этот вид поверхности образуется
при вращении эллипса вокруг его оси, при этом, если за ось
вращения принять малую ось [CD], получим сжатый эллипсоид
вращения (рис. 23, д); когда вращение осуществляется вокруг
большой оси [АВ], образуется поверхность вытянутого эллипсоида вращения (рис. 23, е).
23
а)
б)
г)
в)
д)
е)
Рис. 23. Тор (а – открытый, б – закрытый); в – сфера; г – параболоид вращения;
тор эллипсоид (д – сжатый, е – вытянутый)
5. Глобоид. Образующей этой поверхности является дуга
окружности, плоскость которой может в общем случае и не
совпадать с осью вращения (рис. 24).
24
6. Гиперболоид вращения. При
вращении гиперболы можно получить
две различные поверхности.
Поверхность однополостного гиперболоида вращения. Эта поверхность образуется при вращении гиперболы а вокруг ее мнимой оси m1 (рис.
25, а).
Поверхность двуполостного гиперболоида вращения образуется при
Рис. 24. Глобоид
вращении гиперболы а вокруг ее действительной оси т (рис. 25, б).
а)
б)
Рис. 25. Гиперболоид вращения (а – однополостный, б – двуполостный)
7. Коническая и цилиндрическая поверхности вращения.
Эти поверхности образуются при вращении прямой а вокруг
оси п. При этом, если пересечение образующей а с осью т происходит в собственной точке – образуется коническая поверхность,
если точка пересечения несобственная – цилиндрическая поверхность.
9. ПОВЕРХНОСТИ ВИНТОВЫЕ (ПОДКЛАСС 3)
Поверхность называется винтовой, если она получается
винтовым перемещением образующей. Винтовое перемещение
25
характеризуется вращением вокруг оси и одновременно поступательным движением, параллельным этой оси.
В зависимости от формы образующей отдельные виды винтовых поверхностей могут относиться как к классу линейчатых, так
и нелинейчатых поверхностей. Выделение этих поверхностей в
самостоятельную группу связано со стремлением подчеркнуть
значение винтовых поверхностей в технике, архитектурно-строительной практике и особенно, в машиностроении. Определитель
винтовой поверхности имеет вид:
Ф (а, т)[А],
где а – образующая (кривая или прямая); т – направляющая –
винтовая линия; [А] – дополнительные указания о характере винтового перемещения образующей а.
1. Винтовые поверхности с криволинейной образующей.
На рис. 26 показана винтовая поверхность, образованная плоской
кривой а, совершающей винтовое перемещение в пространстве.
Рис. 26. Винтовая
поверхность
2
Закон этого перемещения определяется видом винтовой линии т
(ее диаметром, шагом и ходом) и характером перемещения образующей а по т.
2. Винтовые поверхности с прямолинейной образующей и
направляющей – винтовой линией постоянного шага.
Все точки образующей при винтовом движении описывают
винтовые линии, каждая из которых может служить направляющей поверхности. Такие линии называют также винтовыми параллелями. Все винтовые параллели имеют одинаковый шаг Р,
называемый шагом винтовой поверхности.
26
Характерной особенностью для винтовых поверхностей с постоянным шагом является постоянство угла  – наклона прямолинейной образующей к направляющей плоскости, за которую
принята плоскость, перпендикулярная оси винтовой поверхности.
Как уже неоднократно отмечалось, для получения наглядного
изображения поверхности (в частности винтовой) ее задание проекциями геометрической части определителя следует расширить до
задания каркасом, состоящим из двух семейств линий: семейства
направляющих (винтовых параллелей) и семейства, составленного
из последовательных положений прямолинейных образующих.
Линейчатые винтовые поверхности называют геликоидами. В
зависимости от величины угла наклона образующей к оси, геликоиды называют прямыми (если этот угол равен 90°) и косыми (или
наклонными), когда угол произвольный – отличный от 0 и 90°.
Рис. 27, а дает представление о прямом геликоиде. Изображенная на рис. 27, б поверхность называется косым геликоидом.
На рис. 27, а и 27, б указаны поверхности не полностью, а только
их отсеки, заключенные между направляющей т и ее осью i.
а)
б)
Рис. 27. Геликоид (а – прямой, б – косой)
В свою очередь, прямые и косые геликоиды подразделяются
на закрытые и открытые. Признаком такого деления служит взаимное расположение оси геликоида и его образующей. Если обра27
зующая и ось пересекаются, геликоид называют закрытым, если
скрещиваются – открытым.
Следует отметить одно важное свойство винтовых поверхностей, состоящее в том, что эти поверхности, так же как и поверхности вращения, могут сдвигаться, т. е., совершая винтовое перемещение, поверхность скользит вдоль самой себя. Это свойство
обеспечивает винтовым поверхностям широкое применение в технике. Винты, шнеки, сверла, пружины, поверхности лопаток турбин и вентиляторов, рабочих органов судовых и воздушных винтов, конструкции наклонных винтовых аппарелей и лестниц – вот
далеко не полный перечень технического использования винтовых
поверхностей.
10. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ПРЯМОЙ И КРИВОЙ ЛИНИЕЙ
Существует общий прием построения точек пересечения
прямой с любой поверхностью:
1) через прямую следует провести вспомогательную плоскость;
2) найти линию пересечения этой плоскости с поверхностью;
3) точка пересечения заданной прямой и построенной линии
на поверхности и будет искомой точкой пересечения прямой с
поверхностью.
″
Вспомогательную
плоскость,
b
T″
проводимую
через
прямую,
при пеA″
ресечении ею какой-либо поверхно1″
A″
2″K″
сти, следует выбирать так, чтобы
3″
получились простейшие сечения.
4″B″
M″
На рис. 28 показано пересечение
x
N″
прямой линии с некоторой цилиндричеN′
ской поверхностью. Эта поверхность за4′
3′
R′ дана ее следом на пл. 1 – кривой MN и
A′
направлением образующей – прямой
B′
K′
M′
МТ. Через прямую АВ проведена вспо2′
могательная фронтально-проецирующая
1′
T′
плоскость , пересекающая данную циРис. 28.
линдрическую поверхность по кривой,
28
построенной по точкам, в которых образующие поверхности пересекают пл. . В пересечении полученной кривой с заданной прямой АВ
находим точку K, в которой прямая АВ пересекает цилиндрическую
поверхность.
Для нахождения точек пересечения кривой линии с кривой поверхностью необходимо:
1) через кривую линию провести некоторую вспомогательную поверхность;
2) построить линию пересечения вспомогательной и заданной поверхностей;
3) найти точки пересечения этой линии с заданной кривой линией.
Рассмотрим
пересечение
пространственной кривой (кривой двоякой кривизны) с кривой поверхностью.
На рис. 29 показано построение точек пересечения
кривой АВ с поверхностью
кругового кольца.
Через кривую АВ проведена вспомогательная цилиндрическая поверхность с образующими, перпендикулярными
к пл. 1. Затем найдена линия
пересечения этой поверхности
с заданной поверхностью, для
чего проведен ряд плоскостей,
пересекающих заданную поверхность по параллелям. Так
как у вспомогательной цилиндрической поверхности образующие перпендикулярны плоРис. 29
щадке 1, то в пересечении горизонтальных проекций параллелей и А'В' получаются точки (1, 2',
3', ...), которые являются горизонтальными проекциями точек, определяющих линию пересечения поверхностей – заданной и вспомогательной. Построив фронтальную проекцию этой линии, получаем проекции K 1 , K 2 , а по ним проекции K 1 , K 2 .
29
11. ПРОВЕДЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ, КАСАТЕЛЬНЫХ
К КРИВЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ
При изображении кривых поверхностей и при выполнении
связанных с ними построений может оказаться необходимым проведение плоскости, касательной к поверхности.
Плоскость вполне определяется двумя пересекающимися
прямыми; поэтому для построения плоскости, касательной к
кривой поверхности в некоторой ее точке, достаточно через
эту точку провести на поверхности две кривые и к каждой из
них касательную в той же точке. Эти две прямые (касательные) определяют касательную плоскость.
Точка поверхности, в которой может быть (и притом только
одна), касательная плоскость, называется обыкновенной (или
правильной). Обыкновенным точкам противопоставляются особые, например: вершина конической поверхности, вершина поверхности вращения, точка на ребре возврата.
Перпендикуляр к касательной
плоскости в обыкновенной точке поверхности служит нормалью к поверхности. Отсюда нормальное сечение поверхности – сечение плоскостью, проходящей через нормаль.
Плоскость, касательная к сфере, перпендикулярна к радиусу,
проведенному в точку касания.
Поэтому, проведя радиус ОА (рис.
30), строим плоскость, задавая ее горизонталью АВ и фронталью АС,
перпендикулярной к ОА. Эти прямые
определяют плоскость, касательную
к сфере в ее точке A.
На рис. 31 показано проведение
плоскости,
касательной к цилиндру.
Рис. 30
Слева на рис. 31 плоскость проведена
через заданную точку С на цилиндрической поверхности, справа –
через точку K вне цилиндра.
Здесь плоскость касается поверхности не в одной точке, а во всех
точках на образующей. Такие точки поверхности называются пара30
болическими. К поверхностям с параболическими точками относятся цилиндрические, конические, поверхности с ребром возврата.
Построение на рис. 31 слева заключается в следующем. Данная поверхность линейчатая. Поэтому через точку С можно провести образующую АВ, которая является одной из двух пересекающихся прямых, определяющих касательную плоскость. В качестве второй прямой можно взять касательную BF к окружности –
горизонтальному следу цилиндрической поверхности. Прямые АВ
и BF определяют искомую касательную плоскость. Прямая BF является горизонтальным следом этой плоскости.
На рис. 31 справа точка K задана вне цилиндрической поверхности. Касательная плоскость должна содержать в себе образующую поверхность; значит, эта плоскость вообще параллельна направлению образующей. Поэтому прямая KМ, параллельная образующей, принадлежит касательной плоскости. В качестве второй
прямой, определяющей в пересечении с KМ плоскость, касательную цилиндрической поверхности, на рис. 31 справа показана MQ
– горизонтальный след искомой плоскости. Эта плоскость касается
поверхности по образующей DE.
Рис. 31
31
Второе решение: через точку М проведена прямая MN – горизонтальный след второй касательной плоскости (касание по образующей АВ).
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гордон, В. О. Курс начертательной геометрии / В. О. Гордон, М. Л. Семенцов-Огиевский. – М.: Высшая школа, 1998. – 272 с.
2. Бубенков, А. Д. Начертательная геометрия / А. Д. Бубенков, М. Я. Громов
– М.: Высшая шк., 1973. – 416 с.
3. Фролов, С. А. Начертательная геометрия / С. А. Фролов. – М.: Машиностроение, 1983. – 239 с.
4. Чекмарев, А. А. Начертательная геометрия и черчение / А. А. Чекмарев. –
М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999. – 417 с.
5. Кривые поверхности, их образование, классификация и изображение: методические указания / Н. В. Бережная, Н. И. Привалов; ВолгГТУ, Волгоград,
2009. – 48 с.
32
ПРИЛОЖЕНИЕ
Варианты задач к самостоятельному графическому заданию
по теме «Кривые поверхности»
1. Построить каркас отсека линейчатой поверхности  и недостающую проекцию точки А  . Поверхность задана направляющими m и n и плоскостью параллелизма  (  2).
b″
n″
m″
n′
m′
A′
2. Построить очерк поверхности вращения  и недостающую
проекцию точки K  . Поверхность задана образующей ℓ (окружность) и осью вращения.
ℓ″
ℓ′
O
K″
i″
O′
i′
3. Построить каркас отсека линейчатой поверхности  и недостающую проекцию точки А  . Поверхность задана направляющими m и n и плоскостью параллелизма 1.
m″
n″
n′
m′
A′
33
4. Сконструировать отсек конической поверхности и построить
недостающую проекцию линии а, принадлежащей поверхности.
m″
S″
a″
m′
S′
5. Сконструировать отсек линейчатой поверхности, заданной направляющими m и n и плоскостью параллелизма  (  2). Построить недостающую проекцию точки А, принадлежащей поверхности.
m″
m′″
A′″
n′″
n″
b″
6. Линейчатая поверхность  задана направляющей m и направлением S образующей. Построить каркас отсека поверхности
и недостающую проекцию линии а  .
S″
m″
m′
a″
S′
7. Построить горизонтальный след отсека цилиндрической поверхности , заданной направляющей m и направлением S образующей.
m″
S″
x
S′
m′
34
8. Построить очерк и недостающую проекцию точки А, принадлежащей каналовой поверхности, если даны: m – линия центров, ℓ – образующая окружность, 2 – плоскость параллелизма.
ℓ″
O
m″
A″
O′
ℓ′
m′
9. Коническая поверхность  задана вершиной S и направляющей m. Построить каркас отсека поверхности и недостающую
проекцию линии а  .
S″
m″
S′
m′
a′
10. Построить очерк отсека поверхности вращения, заданной
осью вращения i и образующей m.
i′″
i″
i′″
m″
11. Построить очерк отсека поверхности вращения, заданной
осью вращения i и образующей m. Принадлежит ли данная точка А
поверхности вращения?
35
i″
A″
i′
m″
A′
m′
12. Построить очерк отсека поверхности вращения, заданной
проекциями элементов определителя Ф (i, ℓ).
i″ ℓ″
ℓ′
i′
13. Построить очерк и недостающую проекцию точки А, принадлежащей каналовой поверхности, если даны: t – линия центров
образующей окружности ℓ и 3 – плоскость параллелизма.
t″
t′″
O″
ℓ″
A′″
O′″
ℓ ′″
14. Построить фронтальный след конической поверхности, заданной вершиной S и направляющей m.
S″
m″
x
m′
S′
36
15. Построить очерк отсека – трубчатой поверхности, если а –
образующая окружность, m – направляющая.
a″ O″
a′
R
O″1
m
O′ m′ O1′
16. Построить каркас отсека поверхности Каталана, если заданы направляющие m, n и плоскость параллелизма  (  1). Принадлежит ли точка А данной поверхности?
m″ n
A″
m′
a′
A′
n′
17. Построить каркас отсека линейчатой винтовой поверхности,
если заданы m – направляющая (винтовая линия с шагом t и диаметром d), i – ось винтовой линии. Образующая ℓ с осью винтовой
линии i составляет угол 90.
i″
t
A″
m″
x
i′
d
m′
18. Построить очерк и недостающую проекцию точки А, принадлежащей каналовой поверхности, если дано: m – линия центров
образующей окружности ℓ и плоскость параллелизма 1.
37
ℓ″
ℓ′
O″
A″
m″
m′
O′
19. Построить каркас отсека линейчатой винтовой поверхности
 и недостающую проекцию точки A  . Поверхность задана направляющими m (винтовая линия) и i (ось винтовой линии) и плоскостью параллелизма 1.
i″
t
A″
m″
x
i′
d
m′
20. Цилиндрическая поверхность  задана направляющей m и
направлением S образующей. Сконструировать отсек поверхности
и построить недостающую проекцию линии а  .
a″
S″
m″
m′
S′
21. Построить очерк отсека поверхности вращения, заданной
осью вращения i и образующей m.
m″
i″
m′
i′
38
22. Коническая поверхность  задана вершиной S и направляющей m. Сконструировать отсек поверхности и построить недостающую проекцию линии а  .
a″
m″
m′
S″
S′
23. Построить каркас отсека линейчатой поверхности, заданной направляющими m, n и плоскостью параллелизма  (  2), и
недостающую проекцию линии а, принадлежащей поверхности.
n″
a″
m″
b″
m′
n′
24. Сконструировать отсек линейчатой поверхности, заданной
направляющими m, n и плоскостью параллелизма 2, и построить
недостающую проекцию линии а, принадлежащей поверхности.
n″
a″ m″
n′
m′
25. Сконструировать отсек поверхности параллельного переноса,
заданной двумя семействами линий – а (образующей) и m (направляющей).
a″
m″
a′
N″
m′
N′
39
26. Поверхность вращения  задана образующей m (окружность) и осью вращения. Построить очерк поверхности и недостающую проекцию линии а  .
i″
i′″
a″
m″
m′″
27. Построить очерк поверхности, заданной вертикальной
осью i и производящей окружностью m в главной меридиональной
плоскости. Определить недостающую проекцию точки K, принадлежащей поверхности.
i″
m″
K″
m′
i′
28. Построить очерк поверхности, заданной вертикальной
осью i и фронтальным меридианом – производящей кривой линией
m в главной меридиональной плоскости. Определить недостающую проекцию точки K, принадлежащей данной поверхности.
i″
m″
K″
m′
i′
29. Построить очерк поверхности, заданной вертикальной
осью i и фронтальным меридианом – производящей кривой линией
m в главной меридиональной плоскости. Определить недостающую проекцию пространственной кривой линии а, принадлежащей данной поверхности.
40
i″
m″
a″
i′
m′
30. Построить очерк поверхности, заданной вертикальной
осью i и производящей пространственной кривой линией m. Определить недостающую проекцию точки K, принадлежащей данной
поверхности.
i″
m″
K
i′
m′
41
Пример выполнения задач
1. Определить недостающие проекции точек Е и К, принадлежащих конической поверхности. Коническая поверхность задана направляющей кривой линией а и вершиной S.
2. Поверхность вращения задана вертикальной осью и
производящей пространственной кривой линией а. Построить очертания поверхности в горизонтальной и фронтальной
проекциях.
42
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………… 3
1. Образование и задание поверхности на чертеже…………… 4
1.1. Кинематический способ………………………….……… 4
1.2. Каркасный способ……………………………………..….. 4
2. Определитель поверхности……………………….………….
6
3. Ортогональные проекции поверхностей……………………. 8
4. Классификация поверхностей……………………………….. 8
5. Класс I. Поверхности нелинейчатые………………………..
12
5.1. Поверхности нелинейчатые с образующей переменного
вида (группа А1)………………………………………………….
12
5.2. Поверхности нелинейчатые с образующей постоянного
вида (группа Б1)…………………………………………………... 14
6. Класс II. Поверхности линейчатые…………………………. 14
6.1. Поверхности линейчатые с тремя направляющими
(группа АII) ……………………………………………………….
14
6.2. Поверхности линейчатые с двумя направляющими и
направляющей плоскостью (группа БII)……....……………..….
17
6.2.1. Поверхности линейчатые с двумя направляющими и
плоскостью параллелизма (поверхности Каталана).................... 17
6.3. Поверхности линейчатые с одной направляющей
(торсы) (группа ВII)………………………………………………. 19
7. Поверхности параллельного переноса (подкласс 1)……..… 21
8. Поверхности вращения (подкласс 2)………….……..……... 22
8.1. Поверхности вращения общего вида……………………. 22
8.2. Частные виды поверхностей вращения…………………. 23
9. Поверхности винтовые (подкласс 3)………………….…….
25
10. Пересечение кривых поверхностей прямой и кривой
линией……………………………………………………………..... 28
11. Проведение плоскостей, касательных к кривым поверхностям…………………………………………………………………. 30
Список использованной литературы……………………………
32
Приложение. Варианты задач к самостоятельному графическому заданию по теме «Кривые поверхности»……………...… 33
43
Учебное издание
Николай Иванович Привалов
Александр Петрович Иващенко
КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ, ИХ ОБРАЗОВАНИЕ,
КЛАССИФИКАЦИЯ И ИЗОБРАЖЕНИЕ
Учебное пособие
Редактор Пчелинцева М. А.
Компьютерная верстка Сарафановой Н. М.
Темплан 2015 г., поз. № 32К.
Подписано в печать 19.05.2015 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 2,56. Уч.-изд. л. 2,5.
Тираж 28 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400005, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 1.
Отпечатано в КТИ (филиал) ВолгГТУ
403874, г. Камышин, ул. Ленина, 5
44