Теория потребительского выбора в условиях определенности - 7: и доходу, уравнение Слуцкого

Факультет мировой экономики
и мировой политики НИУ ВШЭ,
2011-2012
Ю.В. Автономов
Теория потребительского выбора
в условиях определенности - 7:
взаимосвязи между эластичностями спроса по цене
и доходу, уравнение Слуцкого
¾ Декомпозиция и связь между значениями эластичностей
(случай двух благ)
¾Обобщенный закон Энгеля
¾Эластичность по цене и объем расходов на благо
¾Взаимосвязи между эластичностями по цене и доходу
¾Уравнение Слуцкого для денежного дохода
Взаимосвязь между эластичностями спроса на
блага по доходу
p1 x1 + p2 x2 = I
Расходы потребителя на благо 1
Расходы потребителя на благо 2
Предположим, доход возрастает.
• Могут ли оба блага быть товарами роскоши?
• Могут ли оба блага быть инфериорными?
• Если эластичность спроса на благо 1 по доходу больше
единицы (εI1 > 1), что можно сказать о εI2 ?
“Обобщенный закон Энгеля”: если для некоторых благ εI < 1…
…найдутся такие блага, для которых εI > 1.
Доказательство
• Продифференцируем уравнение БО по доходу:
p1∂x1
p2∂x2
+
=1
∂I
∂I
• NB!
∂x1 I
ε1 =
∂I x1
I
(аналогично для блага 2).
Перепишем уравнение БО в терминах эластичностей:
p1 x1 I
p2 x2 I
ε1 +
ε2 = 1
I
I
• Обозначим доли расходов на x1 и x2 в общем бюджете
как s1 и s2 :
s1ε1 + s2ε 2 = 1
I
(1)
I
• Заметим, что:
s1 ≤ 1, s2 ≤ 1 и s1 + s2 = 1
• Пусть 0 < ε2I < 1. Тогда:
s1 + s2ε 2 < 1
I
• Чтобы (1) выполнялось, необходимо ε1I >1,
.
Эластичность по цене и объем общих
расходов на благо
p·x – общие расходы на x
∂ ( px )
∂x
⎛ ∂x p ⎞
p
x
+
p
= x ⎜1 +
= x (1 + ε x )
=
⎟
∂p
∂p
⎝ ∂p x ⎠
εx > 1
p
εx < 1
p
Спрос на x эластичен по цене,
∂ ( px )
<0
∂p
Спрос на x неэластичен по цене,
∂ ( px )
>0
∂p
Взаимосвязи между собственной и перекрестной
ценовой эластичностью
p1 x1 + p2 x2 = I
Пусть p1 возрастает, а спрос на благо 1 эластичен по цене.
• Как изменится объем расходов на благо 1?
• Как изменится объем расходов на благо 2?
Блага 1 и 2 – субституты или комплементы?
ε1 > 1
p
Î
∂p1 x1
< 0 Î p1x1 упадет
∂p1
Î
p2 неизменна
Î
Î
Î p2x2 должно
вырасти
x2 должно вырасти
x2 – валовый субститут x1
Связи между эластичностями: графический анализ
Если два блага являются комплементами и одно из благ –
нормальное, в каких пределах будет лежать ценовая эластичность
спроса на нормальное благо?
1) Пусть благо 1 нормальное.
x2
x1 нормальное
2) Пусть p1 снижается.
С
комплементы
A
B
0
I/p1
0
субституты
I/p1
1
x1
3) Эти блага – комплементы: в новом
наборе будет больше x2, чем в наборе
A.
4) Благо 1 нормальное: в новом наборе
будет больше x1, чем в наборе B.
Рассмотрим уравнение БО:
5) p1x1 + p2x2 = I. После падения p1, p2x2 выросло, – чтобы уравнение БО
выполнялось, расходы на благо 1 (p1x1) должны упасть Æ 0 < |ε1p1| < 1.
“Потребитель тратит весь свой доход на два блага.
Если одно из них – товар Гиффена, то оно является
валовым комплементом другого блага, причем
ценовая эластичность спроса на товар Гиффена
должна быть больше единицы.”
Подтвердите или опровергните это утверждение.
Рассмотрим уравнение бюджетной линии:
p1x1 + p2x2 = I
1) Пусть благо 1 – товар Гиффена (если необходимо, блага всегда
можно перенумеровать).
2) Пусть p1 уменьшается
2.1) x1 должно снизиться (т.к. для товаров Гиффена εp > 0)
2.2) p1x1 также снизится
3) Чтобы уравнение БО выполнялось, x2 должно возрасти
Æ ε2p1 < 0, x2 является валовым комплементом x1.
4) А вот ценовая эластичность спроса на благо 1 может быть как
больше, так и меньше единицы:
4.1) Если ε1p1 > 1,
при снижении p1 потребление блага 1 упадет сильнее.
4.2) Если ε1p1 < 1,
при том же снижении p1 потребление блага 1 упадет слабее.
5) Но т.к. в обоих случаях p1x1 упадет, утверждения (2.2) и (3) остаются
верными независимо от точного значения ценовой эластичности
спроса на благо 1.
Вывод уравнения Слуцкого
Упрощенно, уравнение Слуцкого – это формула, задающая связь
между:
– общим изменением величины спроса, dX
– изменением величины спроса, вызванным эффектом
замещения, dXS
– изменением величины спроса, вызванным эффектом дохода,
dXI
dX = dXS + dXI
Однако, в экономической литературе оно (сделайте глубокий вдох)
записывается так:
∂xi ( p, I ) ∂hi ( p , u)
∂xi ( p, I )
=
− x j ( p, I )
∂p j
∂p j
∂I
∂xi ( p, I ) ∂hi ( p , u)
∂xi ( p, I )
=
− x j ( p, I )
∂p j
∂p j
∂I
Изменение величины маршаллианского спроса,
вызванное малым изменением цены…
РАВНО
изменению величины маршаллианского спроса под
воздействием эффекта замещения…
ПЛЮС
изменение величины маршаллианского спроса под
воздействием эффекта дохода.
∂xi ( p, I ) ∂hi ( p , u)
∂xi ( p, I )
=
− x j ( p, I )
∂p j
∂p j
∂I
Откуда здесь индекс “j”?
Что еще за функция “hi(p,u)”?
Что это за параметр – “u”?
Такие вопросы вполне естественны – ведь мы записали
уравнение Слуцкого в его наиболее общем виде.
Постепенно, мы ответим на каждый из них. Но сначала,
давайте покажем, как получить этот результат из простого
уравнения dX = dXS + dXI Î
• Разделим уравнение dX = dXS + dXI на dpx:
dX
dX S dX I
=
+
dp X dp X dp X
• NB! первое слагаемое правой части, отражающее
влияние эффекта замещения, всегда отрицательно.
• NB! второе слагаемое правой части, отражающее
влияние эффекта дохода,
– отрицательно для нормальных благ
– положительно для инфериорных благ
Продолжим наши преобразования Î
• Домножим и разделим последнее слагаемое на dI:
dX
dX S dX I dI
=
+
dp X dp X
dI dp X
• Теперь представим себе, что dI – это денежный эквивалент
изменения реального дохода.
• Будем измерять реальный доход по методу Слуцкого. Если
мы хотим, чтобы после изменения цены X на dpX исходный
оптимальный набор остался доступен, денежный доход надо
изменить на dpXX:
dI = dp X X
На этом месте, по чисто математическим причинам,
мы должны пойти на определенную хитрость Î
• Наша цель – получить уравнение следующего вида:
∂xi ( p, I ) ∂hi ( p , u)
∂x ( p, I )
=
− x j ( p, I ) i
∂p j
∂p j
∂I
Изменение маршаллианского
спроса при предельно малом
росте цены
Изменение компенсированного
спроса при предельно малом
росте цены
Изменение маршаллианского
спроса при предельно малом
росте дохода
Проблема в том, что рост цены (левая часть уравнения)
вызывает падение реального дохода, а никакой не рост.
Отсюда – необходимость знака «минус».
• Для того, чтобы этот «минус» появился и в нашем
уравнении, будем рассматривать денежный эквивалент
изменения реального дохода с обратным знаком:
dI = – dpX*X
dX
dX S dX I dI
=
+
• Подставляя это в уравнение
dp X dp X
dI dp X
, получим:
dX
dX S dX I
X
=
−
dp X dp X
dI
• Переходя к дифференциально малым изменениям:
∂X
∂X S ∂X I
X
=
−
∂p X ∂p X
∂I
NB! Эффект дохода тем больше,
чем больше блага X мы
изначально покупали!
• Обратите внимание: мы можем заменить “X” на x(p, I) во
всех слагаемых нашей формулы, кроме одного:
∂X
∂X S ∂X I
X
=
−
∂p X ∂p X
∂I
•
Это слагаемое соответствует изменению оптимальной величины
потребления блага при изменении цены…
…и денежном доходе, меняющемся так…
…чтобы реальный доход по-Слуцкому
(обозначим его R) остался постоянным.
•
Введем специальную функцию s(p,R), которая показывала бы,
какое количество блага выберет потребитель при ценах p и
реальном доходе R.
•
Будем называть эту функцию функцией компенсированного
спроса (по Слуцкому).
•
Перепишем уравнение так, чтобы оно отражало зависимость
потребления блага от p, I и R:
∂x ( p, I ) ∂s( p, R ) ∂x ( p, I )
=
−
X ( p, I )
∂p X
∂p X
∂I
•
•
•
Обратите внимание, что если речь идет о дифференциально
малых изменениях, декомпозиция по Слуцкому дает точно тот же
результат, что декомпозиция по Хиксу.
Следовательно, аналогично компенсированному спросу по
Слуцкому, мы могли бы ввести функцию компенсированного
спроса по Хиксу.
Так как в интерпретации Хикса реальный доход – это полезность,
эта функция имела бы вид h(p,U), где U – уровень полезности.
∂x ( p, I ) ∂h( p,U ) ∂x ( p, I )
=
−
X ( p, I )
∂p X
∂p X
∂I
Компенсированный спрос
По умолчанию, словосочетание
«компенсированный спрос» в
экономической литературе
ассоциируется именно со спросом,
компенсированным по Хиксу, h(p, U).
В нашем курсе мы тоже будем следовать
этой традиции.