1 2 3 36 P

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЙ КУРСОВОГОЙ
РАБОТЫ
Задачи данного раздела составлены в соответствии с программой третьего семестра
курса «Математика-2 (Прикладная математика)». Решения задач должны содержать все
необходимые расчеты и пояснения. С учетом этого требования следует приводить, по
возможности, краткие и четкие решения. При решении задач этого раздела следует
использовать методы, описанные в учебно-методических пособиях «Типовые задачи
базового уровня по математике с решениями» (части 3 и 4) [7]. В дальнейшем мы будем
называть это пособие «Типовые задачи» и давать ссылки на его определенные разделы.
Задачи 1 – 8 составлены в соответствии с частью 3 данного учебно-методического
пособия (раздел 2 «Введение в теорию вероятностей»). Задачи 1,2,3 соответствуют
разделам 2.1 (Элементы комбинаторики) и 2.2 (Классическое определение вероятности)
пособия «Типовые задачи», часть 3. Во всех этих задачах искомые вероятности
определяются по классической формуле (раздел 2.2):
N ( A)
P( A) =
,
N
где N - общее число элементарных исходов опыта, N ( A) - число благоприятных
элементарных исходов опыта. При вычислении числителя и знаменателя могут
использоваться формулы комбинаторики (раздел 2.1).
Покажем в качестве примера возможный вариант оформления решения задачи 2. Пусть,
например, номер варианта курсовой работы α = 35 . Тогда один из возможных вариантов
оформления решения может выглядеть следующим образом.
Задача 2. На один ряд, состоящий из 39 мест, случайно садятся 39 учеников. Найти
вероятность того, что 3 определенных ученика окажутся рядом.
Решение. Случайный эксперимент – рассаживание 39 учеников в один ряд. Элементарный
исход – перестановка из 39 элементов. Общее число таких перестановок
N = P39 = 39! = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 39 . Благоприятными исходами являются те, в которых 3
конкретных ученика (например, те, которые имеют номера 1,2 и 3) окажутся рядом. Число
таких исходов можно определить так. Тройка учеников, сидящих рядом, имеет 37
вариантов своего размещения среди 39 учеников, поскольку «самый левый» из этой тройки
может сидеть на местах с 1-ого по 37-ое. Внутри этой тройки число вариантов размещения
учеников равно P3 = 3! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6 . Остальные 36 учеников могут размещаться на
оставшихся 36 местах числом способов, равным P36 = 36! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 36 . Тогда число
благоприятных элементарных исходов равно N ( A) = 37 ⋅ P3 ⋅ P36 . Искомую вероятность
определим по классической формуле:
N ( A) 37 ⋅ P3 ⋅ P36
37 ⋅ 6 ⋅1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 36
6
1
=
=
= =
P( A) =
N
P39
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 36 ⋅ 37 ⋅ 38 ⋅ 39 38 ⋅ 39 247
1
.
247
Следует отметить, что приведенный вариант оформления решения является лишь
одним из возможных. Способ изложения решения, так же, как и используемые обозначения,
Ответ:
могут быть различными – такими, к каким студенты привыкли при проведении
практических занятий.
Задачи 4 и 5 соответствует разделам 2.5 (Формула полной вероятности) и 2.6
(формула Бейеса) пособия «Типовые задачи», часть 3, соответственно. При их решении
можно использовать логику примеров 2.5.1 и 2.6.1 соответственно.
Задачи 6 и 7 соответствует разделу 3.1 (Дискретные случайные величины), а задача
8 – разделу 3.2 (Непрерывные случайные величины) пособия «Типовые задачи», часть 3.
При их решении следует использовать логику различных примеров из указанных разделов.
Задачи 9 – 16 составлены в соответствии с разделом «Законы распределения
случайных величин»: №9 – биномиальное распределение; №10 – геометрическое
распределение; №11 – распределение Пуассона в простейшем потоке; №12 – распределение
Пуассона как закон «редких явлений»; №13 – равномерное распределение; №14 –
показательное распределение; №15 – нормальное распределение (характеристики); №16 –
нормальное распределение (правило «трех сигм»). Для решения задач данного раздела
следует использовать материал разделов 2.7 (формула Бернулли), 3.3 (нормальный закон
распределения) и 3.4 (показательный закон распределения) учебно-методического пособия
«Типовые задачи». Формула Бернулли используется при определении характеристик
биномиального распределения (задача №9). Также следует использовать материал
соответствующих разделов учебника «Теория вероятностей и математическая статистика»
(автор В.Н. Калинина).
План решения задач 9-16 может быть следующим: вводится случайная величина;
определяется ее закон распределения; по исходным данным определяются параметры этого
закона; зная закон распределения, определяются все требуемые характеристики
рассматриваемой случайной величины.
В качестве примера рассмотрим решение задачи 11. Пусть α = 35. Тогда один из
возможных вариантов оформления решения может выглядеть следующим образом.
Задача 11. К киоску в среднем за 35 минут приходит 1 покупатель. Считая поток
покупателей простейшим, найти вероятность того, что за 2 минуты к киоску подойдет: а)
менее 2 покупателей; б) хотя бы 1 покупатель. Найти м.о. и с.к.о. числа покупателей за 1
минуту.
Решение. Рассмотрим случайную величину X – количество покупателей, подходящих к
киоску за 2 минуты. Поскольку поток покупателей является простейшим, то случайная
величина X имеет распределение Пуассона. Найдем его параметр. Интенсивность потока:
1
2
1
⋅ 2=
≈ 0, 0571 . Теперь,
λ = . Параметр распределения Пуассона: a= λ ⋅ ∆t=
35
35
35
используя формулу Пуассона, найдем искомые вероятности: P( X < 2) = P( X = 0) + P( X = 1)
; P( X ≥ 1) =1 − P( X =0) . По формуле Пуассона: P( X= k=
)
ak −a
⋅e .
k!
a0 −a
a1 − a
−0,0571
Тогда P( X =0) = ⋅ e =e
≈ 0,944; P( X =1) = ⋅ e =0, 0571e −0,0571 ≈ 0, 054.
0!
1!
Теперь
P ( X < 2)
= 0,944 + 0, 054
= 0,998 ; P ( X ≥ 1) =1 − 0, 944 =0, 056 .
Используем формулы для числовых характеристик распределения Пуассона:
MX= a= 0, 0571; DX= a= 0, 0571; σ x=
=
MX 0,=
057; σ x 0, 239.
Ответ: а) 0,998; б) 0,056;
0, 0571 ≈ 0, 239.
Задачи 17 и 18 составлены в соответствии с частью 4 учебно-методического пособия
«Типовые задачи» (раздел 4 «Математическая статистика»). Для решения задачи 17 следует
изучить примеры 4.1.1, 4.2.1 и 4.4.1. Для решения задачи 18 следует изучить примеры 4.1.3,
4.3.1 и 4.3.2.
Еще раз отметим, что при оформлении работы способ изложения решения, так же,
как и используемые обозначения, могут быть различными – такими, к каким студенты
привыкли при проведении практических занятий.
Образец титульного листа курсовой работы
Приложение
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ»
Институт открытого образования
КУРСОВАЯ РАБОТА
по учебной дисциплине Математика-2 (Прикладная математика)
Вариант №
Выполнил (а)
.................................................. (Ф.И.О. студента)
Институт
....................................................................
Направление подготовки ....................................................................
Группа
....................................................................
Руководитель курсовой работы
.............................
(ученая степень, звание)
............................ ...............................
(подпись)
(инициалы, фамилия)
Москва 20__